Zaions D. R. (2008) - Apostila de Elementos de Maquinas II
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UNIVERSIDADE DO OESTE DE SANTA CATARINA
CAMPUS DE JOAABA
VICE-REITORIA DE GRADUAO
REA DAS CINCIAS EXATAS E DA TERRA
CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUO MECNICA
ELEMENTOS DE
MQUINAS II
Prof. Douglas Roberto Zaions,MSc.
Joaaba, 29 de julho de 2008
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UNOESC Curso de Engenharia de Produo Mecnica iiProf. Douglas Roberto Zaions
UNIVERSIDADE DO OESTE DE SANTA CATARINA
CAMPUS DE JOAABA
VICE-REITORIA DE GRADUAO
REA DAS CINCIAS EXATAS E DA TERRA
CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUO MECNICA
ELEMENTOS
DE
MQUINAS II
Prof. Douglas Roberto Zaions,MSc.
Joaaba, 29 de julho de 2008
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Este material foi elaborado para a disciplina de Elementos de Mquinas II do curso de
Engenharia de Produo Mecnica oferecido pela Universidade do Oeste de Santa Catarina
Campus de Joaaba
O trabalho apresenta citaes dos autores pesquisados e referncias bibliogrficas, constituindo-
se em uma tima fonte para aprofundamento do conhecimento sobre os elementos de mquinas.
No mesmo so tratados assuntos como: molas, dimensionamento de cordes de solda, freios,
embreagens, transmisso por correia, corrente, e acoplamentos flexveis e elementos de vedao
Tem a finalidade de proporcionar aos acadmicos o contedo bsico da disciplina, com o intuito
de melhorar o aproveitamento dos mesmos.
Qualquer sugesto com referncia ao presente trabalho ser aguardada, pois assim pode-se
melhor-lo com futuras modificaes.
Prof. Eng. Douglas Roberto Zaions,MSc.
Julho de 2008
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UNOESC Curso de Engenharia de Produo Mecnica ivProf. Douglas Roberto Zaions
DOUGLAS ROBERTO ZAIONS
Engenheiro Mecnico formado pela Universidade Federal de Santa Maria em 1993. Em 1994 iniciou
o curso de especializao em Engenharia Mecnica na Universidade Federal de Santa Catarina obtendo o
grau de Especialista em Engenharia Mecnica. Em 2003 concluiu o curso de Mestrado em Engenharia deProduo na Universidade Federal do Rio Grande do Sul na rea de concentrao de Gerncia,
desenvolvendo o trabalho intitulado Consolidao da Metodologia da Manuteno Centrada em
Confiabilidade em uma Planta de Celulose e Papel. Atualmente doutorando do curso de Engenharia
Mecnica pela Universidade Federal de Santa Catarina na rea de concentrao de Projeto de Sistemas
Mecnicos onde desenvolve uma Metodologia para a Aquisio, a Organizao e o Tratamento de Dados
de Falhas e Reparos para Anlise de Confiabilidade e Mantenabilidade
Doze anos de docncia em cursos tcnicos, tecnolgicos, engenharia e especializao na rea
mecnica e de produo.Professor de vrias disciplinas da rea de projetos nos cursos Tcnico em Mecnica e Eletromecnica
do SENAI CET Joaaba.
Professor do curso de Engenharia de Produo Mecnica da UNOESC Joaaba onde atua nas
disciplinas de Resistncia dos Materiais, Elementos de Mquinas, Mecanismos, Processos de Usinagem e
Comando Numrico, Pesquisa Operacional, Projeto de Mquinas e Manuteno Mecnica. tambm
pesquisador nas reas de Desenvolvimento de Projeto e Manuteno Industrial.
Professor dos cursos de Especializao em Engenharia de Manuteno Industrial, Gesto da Produo
e Engenharia de Produo da Universidade do Oeste de Santa Catarina ministrando as disciplinas de
Manuteno de Elementos de Mquinas e Gesto da Manuteno. No curso de Especializao em
Projetos de Sistemas Mecnicos atua nas disciplinas de Metodologia de Projeto de Sistemas Mecnicos e
Projeto para a Confiabilidade e Mantenabilidade.
Conselheiro Estadual e membro da Cmara Especializada de Engenharia Industrial do Conselho
Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia do Estado de Santa Catarina, CREA SC no perodo
de janeiro de 2001 at dezembro de 2003. Tambm foi Diretor do CREA SC no perodo de janeiro de
2002 at dezembro de 2002.Foi Coordenador do Curso de Engenharia de Produo Mecnica de maro/2000 at maro/2006 e do
Curso de Tecnologia em Processos Industriais Modalidade Eletromecnica de maro/2000 at
Junho/2002 da UNOESC Joaaba.
perito tcnico judicial, desenvolvendo trabalhos nas reas automotiva e industrial na busca de causa
raiz de falhas.
Contato: Universidade do Oeste de Santa Catarina Campus de Joaaba
e-mail: [email protected]
Fone/Fax: (49) 3551 - 2035
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NDICE
1 MOLAS ..................................................... ........................................................... ........................................................... 81.1 MATERIAIS PARA MOLAS.......................................................... ........................................................... ................... 81.2 MOLAS HELICOIDAIS DE COMPRESSO............................................................................ ..................................... 11
1.2.1 Nomenclatura e parmetros ................................................................ ........................................................ 111.2.2 Tenso nas Molas Helicoidais de Compresso ................................................................... ........................ 121.2.3 Deflexo das molas helicoidais de Compresso ............................................................... .......................... 151.2.4 Detalhes de Extremidades das Molas Helicoidais de Compresso ............................................................ 161.2.5 Detalhes das deformaes e comprimentos das molas ........................................................... .................... 181.2.6 Estabilidade das Molas de Compresso (Segundo Shigley et al (2005)) .................................................... 181.2.7 Resistncia ao Escoamento sob Toro .............................................................. ........................................ 201.2.8 Projeto de Molas Helicoidais de Compresso para Cargas Estticas Segundo Shigley et al (2005) ........ 201.2.9 Projeto de Molas Helicoidais de Compresso para Cargas Estticas Segundo Norton (2004) ................. 221.2.10 Resistncia a fadiga sob toro .................................................................... .............................................. 231.2.11 O diagrama S-N de Cisalhamento Torcional para Fios de Molas ............................................................. 241.2.12 Diagrama de Goodman modificado para fio de mola ............................................................................... . 251.2.13 Projeto de Molas Helicoidais de Compresso para Cargas Dinmicas (Fadiga) segundo Norton (2004) 271.2.14 Frequncia Crtica ........................................................................................ .............................................. 30
1.3 MOLAS HELICOIDAIS DE TRAO................................................................ ......................................................... 311.3.1 Espiras ativas em molas de trao.............................................................................................................. 311.3.2 Constante de mola helicoidais de trao ...................................................................................... .............. 321.3.3 Indice de mola ............................................................... ............................................................ .................. 321.3.4 Pr-carga das espiras nas molas de trao ................................................................................................ 321.3.5 Deflexo de molas helicoidais de trao .............................................................. ...................................... 331.3.6 Tenses nas espiras das molas helicoidais de trao ................................................................ ................. 331.3.7 Tenses nas extremidades (ganchos) das molas helicoidais de trao ....................................................... 331.3.8 Materiais para molas helicoidais de trao ................................................................................. .............. 35
1.4 ASSOCIAO DE MOLAS......................................................................................... ............................................... 351.5 MOLAS HELICOIDAIS DE TORO.................................................................. ........................................................ 36
1.5.1 Terminologia aplicada ........................................................................................... ..................................... 371.6 MOLAS BELLEVILLE........................................................ ........................................................... ........................... 421.7 MOLAS DIVERSAS.................................................. ........................................................... ..................................... 43
1.7.1 Mola Voluta ................................................................................ ................................................................ 431.7.2 Molas cnicas ............................................................... ............................................................ .................. 441.7.3 Molas e Lminas Planas ............................................................ ......................................................... ........ 44
2 LIGAES SOLDADAS ...................................................................................................... ...................................... 462.1 INTRODUO......................................................... ........................................................... ..................................... 462.2 TIPOS DE JUNTAS SOLDADAS...................................................................................................... ........................... 47
2.2.1 Soldas de topo ....................................................... ........................................................... ........................... 472.2.2 Soldas em ngulo (filete)............. ................................................................ ................................................ 48
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2.2.3 Soldas de topo e ngulo (filete) ........................................................... ........................................................ 482.3 TORO EM JUNTAS SOLDADAS.......................................................... ........................................................... ....... 522.4 FLEXO EM JUNTAS SOLDADAS.................................................................... ........................................................ 562.5 RESISTNCIA DE JUNTAS SOLDADAS.......................................................................................... ........................... 59
3 FREIOS ........................................................... ........................................................... ................................................... 613.1 FREIOS DE TAMBOR E SAPATA............................................................ ........................................................... ....... 61
3.1.1 Freio de tambor com sapatas simples ............................................................... .......................................... 613.1.2 Freios de tambor com sapatas duplas externas ........................................................... ............................... 643.1.3 Freios de tambor com sapatas duplas internas ....................................................... ................................... 65
3.2 FREIO DE TAMBOR E CINTA........................................................ ........................................................... ................. 663.2.1 Freio de cinta para rotao em um sentido .................................................................................. .............. 673.2.2 Freio de cinta para rotao nos dois sentidos ............................................................................................ 673.2.3 Freio de cinta diferencial ..................................................................... ....................................................... 68
4 EMBREAGENS ........................................................................................................ ................................................... 704.1 EMBREAGENS DE DISCOS MLTIPLOS.................................................................................................. ................. 704.2 EMBREAGENS CNICAS................................................... ........................................................... ........................... 72
4.2.1 Acoplamentos de embreagens cnicas ................................................................ ........................................ 734.2.2 Fora axial na embreagem cnica .............................................................. ................................................ 734.2.3 Fora axial necessria a separar o acoplamento cnico ....................................................................... .... 744.2.4 Capacidade de transmitir potncia ..................................................................................................... ........ 74
4.3
CALOR DESENVOLVIDO.......................................................................................... ............................................... 74
4.4 VIDA PROVVEL.................................................... ........................................................... ..................................... 764.5 EMBREAGENS E ACOPLAMENTOS DIVERSOS.................................................. ........................................................ 77
4.5.1 Embreagem tipo engrazador ............................................................. .......................................................... 774.5.2 Embreagem de sobrecarga ............................................................... .......................................................... 78
5 CORRENTES .................................................. ........................................................... .................................................. 795.1 DIMENSIONAMENTO......................................................................................................... ..................................... 795.2 SISTEMA TRIBOLGICO DA CORRENTE......................................................... ......................................................... 845.3 FORAS TRANSMITIDAS................................................... ........................................................... ........................... 865.4 AVARIAS NAS CORRENTES DEVIDO A FALHA NA LUBRIFICAO............................................................................ 865.5 PROPRIEDADES DOS LUBRIFICANTES PARA CORRENTES.................................................... ..................................... 87
5.5.1 Aderncia .......................................................... ............................................................... ........................... 875.5.2 Detergncia ....................................................... ............................................................... ........................... 875.5.3 Estabilidade a elevadas temperaturas ........................................................ ................................................ 875.5.4 Proteo anticorrosiva ........................................................ ............................................................... ........ 885.5.5 Resistncia ao meio .............................................................. ............................................................... ........ 885.5.6 Carbonizao ...................................................... ............................................................. ........................... 885.5.7 Poder humectante ................................................. ..................................................................... ................. 885.5.8 Poder Lubrificante ....................................................................... ............................................................... 88
5.6 SELEO DO LUBRIFICANTE E MTODO DE LUBRIFICAO........................................................................... ....... 88
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5.6.1 Viscosidade .................................................................................................... ............................................. 885.6.2 Mtodo de Lubrificao ......................................................... .............................................................. ....... 90
5.7 ESPECIFICAES DE TRANSMISSES POR CORRENTES DE ROLOS............................................... ........................... 926 CORREIAS ............................................................................ ........................................................... ........................... 94
6.1 CORREIAS SINCRONIZADORAS................................................... ........................................................... ................. 946.2 CORREIAS TRAPEZOIDAIS.......................................................... ........................................................... ................. 95
6.2.1 Dimenses ........................................................... ............................................................. ........................... 966.2.2 Partes componentes .................................................................. ........................................................... ....... 976.2.3 Seleo das correias trapezoidais ......................................................... ...................................................... 986.2.4 Foras Transmitidas em Correias ............... ................................................................ ............................. 104
6.3 CORREIAS PLANAS................................................................................................. ............................................. 1076.3.1 Norma para especificao de correia plana .......................................................... ................................... 110
7 ACOPLAMENTOS ........................................................................ .............................................................. ............. 1137.1 ACOPLAMENTOS RGIDOS................................................................... ........................................................... ..... 1137.2 ACOPLAMENTOS ELSTICOS.................................................................................. ............................................. 115
7.2.1 Alinhamento de eixos .......................................................... .................................................................. .... 1177.2.2 Especificao de acoplamentos elsticos ..................................................................... ............................ 1207.2.3 Seleo de outros tipos de acoplamentos ..................................................... ............................................. 123
8 ELEMENTOS DE VEDAO ................................................................ ............................................................. .... 1308.1 INTRODUO......................................................... ........................................................... ................................... 1308.2 ELEMENTOS DE VEDAO ESTTICA......................................................................................... ......................... 130
8.2.1 Juntas ............................................................ ........................................................... ................................. 1318.2.2 Junes........................................................................... ............................................................. .............. 132
8.3 ELEMENTOS DE VEDAO DINMICA........................................................................................ ......................... 1338.3.1 Elementos de Vedao por contato ............................................................... ............................................ 1338.3.2 Elementos de Vedao dinmica sem contato .................................................................. ........................ 143
8.4 CONSIDERAES SOBRE FABRICAO................................................................................................. ............... 1459 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ............................................................................. ........................................ 14610 EXERCCIOS ............................................................................. ............................................................. ............. 148
10.1 MOLAS......................................................................................................... ....................................................... 14810.2 LIGAO SOLDADA......................................................... ........................................................... ......................... 15110.3 FREIOS................................................................................................................................................................ 15410.4 EMBREAGENS........................................................ ........................................................... ................................... 15710.5 CORRENTES.............................................................................. ............................................................ .............. 15810.6 CORREIAS.................................................... ........................................................... ............................................. 15810.7 ACOPLAMENTOS.................................................................................................................................................. 159
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1MOLASMola um elemento de mquina que se caracteriza pela possibilidade de apresentar deformaes
relativamente grandes, sem que o limite de elasticidade do material seja ultrapassado. A maioria emprega
material metlico, mas outros materiais como plstico, no metlicos e outros tem sido utilizados com
sucesso dentro de suas caractersticas (SHIGLEY, 1984).
As molas so utilizadas em mquinas para exercer foras, proporcionar flexibilidade ou paraarmazenar ou absorver energia. Em geral, as molas podem ser classificadas quanto forma (planas,
helicoidais, quadradas, etc...) e quanto ao esforo no elemento (flexo e toro) (SHIGLEY, 1984).
1.1 MATERIAIS PARA MOLAS
Na fabricao de molas, so usados tanto processos de trabalho a quente, como trabalho a frio. Esta
escolha depende das dimenses, do ndice de curvatura da mola e das propriedades desejadas. Em geral o
fio tratado termicamente no deve ser usado, se Dd
dp f4 6 ou se . Ao enrolarem-se as espiras, induz-
se tenses de trabalho nas espiras da mola (molas de trao e compresso). Muito freqentemente, no
processo de fabricao, estas tenses so aliviadas aps o enrolamento das espiras, atravs de um
tratamento trmico adequado.
H uma grande variedade de materiais prprios para a confeco de molas, tais como: aos ao
carbono, aos liga, aos resistentes a corroso, materiais no ferrosos como bronze fosforoso, lato para
molas, ligas de cobre berilo e ligas de nquel (SHIGLEY, 1984)
Pode-se comparar os materiais para molas atravs da observao das resistncias trao, e, estas
variam tremendamente com o dimetro do fio (que no podem ser especificadas at que ele seja
conhecido) e, de uma maneira mais branda, com o material e processo de fabricao. Conforme Shigley et
al(2005), a resistncia a trao Sut do fio de uma mola determinada com uma boa estimativa a partir
da seguinte expresso:
Equao 1.1 mut dAS =
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Elementos de Mquinas II 9Prof. Douglas Roberto Zaions
Os valores das constantes A e m da Equao 1.1 tem
sido calculadas a partir de pesquisas recentes e podem se
obtidos para alguns materiais atravs da Tabela 1.2. O uso dos
valores das constantes A e m da Tabela 1.2 fornecero oresultado da Equao 1.1 em MPa.
A Tabela 1.1 ilustra os dimetros preferenciais de fio para
fabricao de molas.
A Equao 1.1 indica a resistncia trao Sut.
Conforme Norton (2004) uma estimativa razovel do limite de
resistncia a toro de materiais comumente utilizados emmolas de 67% do limite de resistncia a trao do material.
Isso pode ser identificado pela Equao 1.2:
Equao 1.2 utus SS = )76,0(
Shigley et al (2005) apresenta uma estimativa grosseira
para calcular a resistncia ao escoamento por toro pode ser
assumida que a resistncia ao escoamento a trao seja entre60 a 90% da resistncia trao. Ento, a teoria da energia de
distoro pode ser empregada para obter a resistncia ao
escoamento de toro ( yys SS = 577,0 ), onde essa abordagem
aplicada no intervalo utysut SSS 52,035,0 . Resumindo
tem-se que:
Equao 1.3 uty SaS = )9,06,0(
Equao 1.4 yys SS = 577,0
A Tabela 1.3 indica a descrio e aplicao para alguns
materiais comuns para fios de molas. A Tabela 1.4 apresenta
algumas propriedades mecnicas de alguns fios de mola
Tabela 1.1 Dimetrospreferenciais de fio
Fonte: Noton (2004)
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Tabela 1.2 Constantes A e m para uso na Equao 1.1
Material NmeroASTM
Dimetro[mm]
Expoentem
ConstanteA
Custorelativodo fio
Fio musical corda de piano A228 0,10 6,5 0,145 2211 2,6Fio temperado em banho de leoe revenido
A229 0,5 -12,7 0,187 1855 1,3
Fio repuxado a frio A227 0,7 12,7 0,190 1783 1,0Fio de Cromo-vandio A232 0,8 11,1 0,168 2005 3,1Fio de Cromo-silcio A401 1,6 9,5 0,108 1974 4,0Fio de ao inoxidvel 302 A313 0,3 2,5 0,146 1867 7,6 - 11Fio de bronze-fosforoso B159 0,1 0,6 0 1000 8
0,6 2,0 0,028 9132,0 7,5 0,064 932
Fonte: Shigley et al(2005)
Tabela 1.3 Materiais comuns para fios de molas
ASTM Material NoSAE DescrioA227 Fio repuxado a frio 1065 Fio de mola mais barato e de uso mais geral. Adequado para
carregamento, porm inadequado para carga de fadiga ou impacto. O
intervalo de temperaturas vai de O a 120C (250F).A228 Fio musical (corda de
piano)1085 Material mais tenaz e de uso mais generalizado para molas de pequenas
espiras. Resistncia mais alta de trao e fadiga de todos os fios musicais.Intervalo de temperaturas de O a 120C (250F).
A229 Fio revenido em leo 1065 Ao de uso geral para molas. Menos custoso e disponvel em tamanhosmaiores que os fios musicais. Adequados para carga esttica, masinadequados para carga de fadiga ou impacto. Intervalo de temperatura de0C a 180C (350F).
A230 Fio revenido em leo 1070 Qualidade de mola para vlvula - adequado para carga de fadiga.A232 Cromo vandio 6250 Liga mais popular de ao para mola. Qualidade de mola para vlvula -
adequada para carga de fadiga. Tambm boa para cargas de choque eimpacto. Para temperaturas at 220C (425F). Disponvel na forma
recozido e pr-revenido.A313(302)
Ao inoxidvel 30302 Adequado para aplicaes de fadiga.
A401 Cromo de silcio 9254 Qualidade de mola de vlvula - adequado para carregamento de fadiga.Segunda resistncia mais alta para fio musical e tem resistncia maiselevada temperatura mxima de at 220C (425F).
B134,260
Lato de mola CA-260 Baixa resistncia - boa resistncia corroso.
B159 Fsforo bronze CA-510 Resistncia mais alta que a do lato melhor resistncia fadiga boaresistncia corroso. No pode ser tratado termicamente ou dobrado aolongo dos gros.
B197 Berlio Cobre CA-172 Resistncia maior que a do lato - melhor resistncia fadiga - boaresistncia corroso. Pode ser tratado
termicamente ou dobrado ao longo dos gros.- Inconel X-750 - Resistncia corroso.
Fonte: Norton (2004)
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Elementos de Mquinas II 11Prof. Douglas Roberto Zaions
Tabela 1.4 Propriedades mecnicas de alguns fios de mola
Material Limite elstico% do Sut
Dimetro d E G
Trao
Sy
Toro
Sys
[in] [GPa] [GPa]
Fio musical A228 65 - 75 45 - 60 < 0,032 203,4 82,70,033 0,063 200,0 81,70,064 0,125 196,5 81,0> 0,125 193,0 80,0
Mola endurecida A227 60 - 70 45 - 55 < 0,032 198,6 80,70,033 0,063 197,9 80,00,064 0,125 197,2 79,3> 0,125 196,5 78,6
Revenido em leo A239 85 - 90 45 - 50 196,5 77,2Mola de vlvula A230 85 - 90 50 - 60 203,4 77,2Cromo-vandio A 231 88 - 93 65 - 75 203,4 77,2Cromo-vandio A 232 88 - 93 203,4 77,2Cromo-silcio A401 88 - 93 65 - 75 203,4 77,2Ao inoxidvel A313 65 - 75 45 - 55 193,0 69,0Ao inoxidvel 17-7 PH 75 8- 55 - 60 208,4 75,9Ao inoxidvel 414 65 - 70 45 - 55 200,0 77,2Ao inoxidvel 420 65 - 75 50 - 55 200,0 77,2Ao inoxidvel 431 72 - 76 50 - 55 206,0 79,3Bronze-fsforo B159 75 - 80 45 - 50 103,4 41,4Bronze-cobre B197 70 50 117,2 44,8
Bronze-cobre B197 75 50 - 55 131,0 50,3Liga inconel X-750 65 - 70 40 - 45 213,7 77,2
Fonte: Shigley et al(2005)
1.2 MOLAS HELICOIDAIS DE COMPRESSO
1.2.1 Nomenclatura e parmetros
A nomenclatura e os parmetros
dimencionais de uma mola helicoidal de
compresso so ilustrados na Figura 1.1.
Figura 1.1 - Parmetros dimensionais das molashelicoidais de compresso
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1.2.2 Tenso nas Molas Helicoidais de Compresso
Na Figura 1.2 ilustrada uma mola helicoidal de compresso de fio de seo circular, carregada por
uma fora axial F, onde D o dimetro da mola e d o dimetro do fio (SHIGLEY, 1984).
Supondo o corte de uma parcela da mola e substituindo o efeito da parcela removida pelos esforos
internos, observa-se que estes, so um esforo e uma toro na parte remanescente da mola (SHIGLEY,
1984).
Para melhor entender o efeito de toro, imagine um fio enrolado sobre um cilindro, por exemplo, um
retrs de linha. Ao tomarmos a extremidade do fio e tracionarmos no sentido axial do cilindro, o fio se
desenrolar do mesmo. Ao soltarmos a extremidade do fio, este girar em torno de seu prprio eixo,
comprovando a toro que o fio sofre ao ser tracionado. O mesmo efeito ocorrer para o caso da mola
helicoidal sujeita a um esforo de trao (SHIGLEY, 1984).
Figura 1.2 - Mola helicoidal. Fonte: Shigley et al(2005)
A tenso desenvolvida no fio, devido ao momento toror, :
Equao 1.5J
rT=
onde:
T - Momento toror: [ ] [ ] [ ]
2
mDNFNmT =
r - raio de girao: [ ] [ ]
r md m
=2
J - Momento polar de inrcia: [ ] [ ]( )
J md m4
4
32=
.
-
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A tenso desenvolvida no fio, devido ao esforo cortante, ser:
Equao 1.6 =F
A
Somando-se os efeitos devidos a toro (Equao 1.5) e do cisalhamento (Equao 1.6), e substituindoos valores correspondentes obtem-se a mxima tenso no fio da mola (Equao 1.8):
Equao 1.7A
F
J
rT+
=max
Equao 1.824max
4
22
32
d
F
d
dDF
+
=
SubstituindoD
dC= , que representa o ndice de mola, teremos :
Equao 1.9
+
=
Cd
DF 5,01
83max
A Equao 1.9 pode ainda ser rearranjada de forma a salientar o fator de correo de tenso de
cisalhamento Ksou tambm como conhecido fator de acrscimo de tenso devido ao cisalhamento.
Este fator calculado a partir da seguinte expresso:
+= CKs
5,01 ou C
CKs
+= 2
12
Assim, substituindo estas expresses na Equao 1.9 tem-se que:
Equao 1.10 sKd
DF
=
3max
8
Para a maioria das aplicaes, o ndice de mola C varia entre 4 a 12.
A Figura 1.3 que segue mostra o efeito decada um dos esforos e o efeito total, sobre a
seo do fio sendo que: (a) efeito da toro pura;
(b) efeito do cisalhamento puro; (c) soma dos
efeitos de toro e cisalhamento; e (d) efeito
resultante devido toro, cisalhamento e ao
efeito de curvatura;
Figura 1.3 - Efeitos dos esforos sobre a seodo fio de uma mola helicoidal. Fonte: Shigley
(1984)
-
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1.2.2.1 Efeito de Curvatura
Wahl apud Shigley (1984), demostrou analiticamente que nas molas helicoidais, a tenso mxima
desenvolvida na borda interna do fio da mola (Figura 1.3 d), engloba duas parcelas: devido ao
cisalhamento e devido a curvatura do fio, e pode ser calculada pela (Equao 1.11) :
Equao 1.11CC
CKW
615,0
44
14+
=
O fator de Wahl KW pode tambm ser determinado pelo grfico da Figura 1.4 onde os valores so
determinados, em funo do ndice de mola. Os valores obtidos na Figura 1.4 so vlidos para molas
helicoidais de trao e compresso com fio de seo circular.
Figura 1.4 Valores dos fatores de correo de tenso para molas helicoidais de seo circular, decomrpesso ou trao (Somente para fator de Wahl). Fonte: Shigley (1984)
Definindo-se KW= KC.KS, onde KCrepresenta o efeito isolado da curvatura, tem-se que:
Equao 1.12S
WC
K
KK =
Bergstrsser apud Shigley (1984) tambm elaborou uma expresso levando em considerao os
mesmos efeitos que diverge em seu resultado em aproximadamente 1% com relao a expresso de Wahl.
Shigley et al(2005) prefere a utilizao do fator de Bergstrsser ao invs do fator de Wahl nos clculos
de molas. A Equao 1.13 o fator de Bergstrsser.
Equao 1.1334
24
+
=C
CKB
Definindo-se KB= KC.KS, onde KCrepresenta o efeito isolado da curvatura, tem-se que:
Equao 1.14S
BC
KKK =
-
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Conforme Shigley (1984) resultados experimentais revelam que a teno de cisalhamento devido ao
efeito da curvatura se localiza principalmente na parte interior da mola. As molas submetidas a apenas
uma solicitao esttica sofrem um escoamento localizado nas bordas interiores, aliviando-se assim as
tenses. Assim, para solicitaes estticas, pode-se desprezar o efeito da curvatura e usar
preferencialmente a Equao 1.13. Para solicitaes dinmicas, KC usado como um fator de reduo da
resistncia a fadiga e, portanto deve-se usar a Equao 1.14, pois a mesma indicar nesta situao a
tenso correta.
Assim para cargas estticasa seguinte expresso deve ser usada para calcular a mxima tenso de
cisalhamento em uma mola helicoidal:
Equao 1.15S
Kd
DF
=
3max
8
Assim para cargas dinmicasa seguinte expresso deve ser usada para calcular a mxima tenso de
cisalhamento em uma mola helicoidal:
Equao 1.16 CKd
DF
=
3max
8
O uso de seo especial (quadradas, retangulares), para o fio da mola, no recomendvel, a no ser
que haja limitao de espao. Os fios de seo especial, no so feitos em grandes escalas, como os de
seo circular, e, por isso, no se beneficiam dos avanos tecnolgicos de fabricao, podendo no ser to
resistentes como os de seo circular. Quando as limitaes de espao so severas, recomenda-se o uso de
molas em paralelo, concntricas, Este tipo de montagem pode oferecer vantagens econmicas, assim
como de resistncia, sobre as molas de fio especial (SHIGLEY, 1984).
1.2.3 Deflexo das molas helicoidais de Compresso
Para obter a equao da deflexo de uma mola helicoidal, deve-se considerar um trecho elementar de
fio, de espessura dx, formado por duas superfcies transversais adjacentes. Na Figura 1.5 esta
representado este segmento de fio com dimetro d. Considerando a linha AB na superfcie do fio, antes de
carregado, aps a deformao, esta linha sofrer uma rotao de um ngulo e ocupar a nova posio
AC. A equao de Hooke, para a toro, (SHIGLEY, 1984):
G
=
Gd
DF
=
3
8
-
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Figura 1.5 - Deflexo das molas helicoidais. Fonte: Shigley (1984)
Chamando de N = Na o nmero de espiras ativas, o comprimento do fio em trabalho ser D N.
Substituindo o valor de na equao, e, posteriormente, fazendo-se a integrao de uma extremidade do
fio em relao a outra, obtm-se a deflexo angular, que :
dxd
ND
=
0
2
ou dxGd
DFND
=
0 4
16
ou Gd
NDF
= 4
216
A fora F, tem um brao de alavancaD
2, portanto, a deflexo sob a carga
2
Dy = resultando em:
Equao 1.17Gd
NDFy a
=
4
38
Shigley et al(2005) obtem a mesma expresso acima, atravs da anlise do trabalho de deformao
por toro.
Por definio, a constante de mola a relao entre a fora aplicada pela deformao produzida
kF
y= , desde que respeitada a lei de Hooke. Assim tem-se que:
Equao 1.18aND
Gdk
=3
4
8
As equaes apresentadas so vlidas para molas helicoidais de compresso e trao, mas deve-se
observar que, molas helicoidais longas, com comprimento livre maior que 4 vezes o dimetro mdio,
sujeitas a compresso, podem falhar por flambagem. Este efeito pode ser corrigido atravs da montagem
da mola com uma mangueira interna ou ento dentro de um tubo, lembrando que ao ser comprimida a
mola aumenta seu dimetro externo, logo, deve-se prever uma folga para que no ocorra engripamento.
1.2.4 Detalhes de Extremidades das Molas Helicoidais de Compresso
As molas helicoidiais de compresso, que obrigatoriamente, devem ter as espiras afastadas entre si,
transmitem a carga atravs de suas extremidades. O tipo de extremidade influi no nmero de espiras
-
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inativas da mola, que devem ser subtradas do nmero total de espiras para se obter o nmero de espiras
ativas (SHIGLEY, 1984).
Figura 1.6 - Tipos de extremidades em molas de compresso.Fonte: Norton (2004)
A Figura 1.6 ilustra os tipos de extremidades para molas de compresso e a Tabela 1.5 identifica as
expresses a serem usadas nos clculos de molas.
Tabela 1.5 Frmulas para dimenses de molas de compresso
Termo Tipos de Extremidades de MolaSimples ou planaou em ponta
Simples/Plana eesmerilhada
Esquadrejada eFechada
Esquadrejadaeesmerilhada
Nmero de espirasde extremidadeNi
0 1 2 2
Nmero de espirastotais N
aN 1+aN 2+aN 2+aN
Numero de espirasativas Na
aN 1tN 2tN 2tN
Comprimento livreda mola Lf
dNp a+ )1( + aNp dNp a + 3 dNp a + 2
Comprimentoslido da mola LS )1( + tNd tNd )1( + tNd tNd
Passo da mola p
a
f
N
dL
1+a
f
N
L
a
f
N
dL 3
a
f
N
dL 2
Fonte: Shigley et al (2005)
No existe uma regra segura, porm, com este procedimento o resultado final est muito prximo do
real.
No projeto de molas, usual desprezarem-se os efeitos da excentricidade de carga devido ao tipo deextremidade. Costuma-se tambm, desprezar-se os efeitos das tenses residuais causados por tratamento
-
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trmico ou encruamento, no entanto, estes dois fatores so levados em conta atravs do aumento do fator
de segurana. prtica normal, na fabricao de molas de compresso, aproxim-las do comprimento
slido, (mola totalmente comprimida at as espiras se tocarem) pois esta prtica induz uma tenso
residual em sentido oposto a tenso de trabalho e tem efeito de aumentar a resistncia da mola
(SHIGLEY, 1984).
1.2.5 Detalhes das deformaes e comprimentos das molas
As molas possuem diversos comprimentos e deformaes de interesse. A figura abaixo ilustra estas
dimenses.
Figura 1.7 - Vrios comprimentos e deformaes de uma mola helicoidal de compresso em uso. Fonte:Norton (2004)
1.2.6 Estabilidade das Molas de Compresso (Segundo Shigley et al (2005))
Uma mola de compresso carregada como
uma coluna e, portanto pode flambar (Figura 1.8)se muito esbelta e quando a deflexo se tornar
muito grande.
Figura 1.8 - Flambagem de molas helicoidais decompresso. Fonte: Norton (2004)
-
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Shigley et al(2005) apresentam a equao abaixo para o clculo da deflexo crtica de uma mola.
Equao 1.19
=
2/1
2
'2'
1 11eff
fcr
CCLy
Equao 1.20D
Lfeff
=
Equao 1.21( )GEE
C
=2
'1
Equao 1.22( )
EG
GEC
+
=2
2 2'1
Onde:ycr deflexo que corresponde ao incio da instabilidade;eff razo efetiva de esbeltez, calculada pela Equao 1.20;- condio de extremidade dada pela Tabela 1.6 que depende da forma como as extremidades da
mola so apoiadas;E mdulo de elasticidade longitudinal [Pa];G mdulo de elasticidade transversal [Pa]
Tabela 1.6 Constante de condio de extremidade para molas helicoidais de compresso.
Condio de extremidade Constante
Molas suportadas entre superfcies planas paralelas(extremidades fixas)
0,5
Uma extremidade suportada por superfcie plana,perpendicular ao eixo da mola (fixa) e outra extremidadearticulada (pivotada)
0,707
Ambas extremidades articuladas (pivotadas) 1Uma extremidade engastada e a outra livre 2
Fonte: Shigley et al(2005)
Shigley et al(2005) mensionam que a estabilidade absoluta ocorre quando o termo 2
'
2
eff
C
maior que a
unidade. Disso resulta que a condio para estabilidade absoluta :
Equao 1.23( ) 2/1
2
2
+
EG
GEDLf
Tem-se ento que para aos:
Equao 1.24
DLf 63,2
-
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Para extremidades esquadrejadas e esmerilhadastem-se que:
Equao 1.25 5,0=
Equao 1.26 DLf 26,5
Norton (2004) salienta que a mola pode flambar se 4>D
Lf .
1.2.7 Resistncia ao Escoamento sob Toro
A tabela 1.7 ilustra fatores de resistncia ao escoamento sob toroSys recomendados para diversos
fios de mola comuns como uma porcentagem do limite de resistncia a trao do fio. Esses valores devem
ser usados para estimar a resistncia de molas helicoidais compresso em condies estticas de
carregamento.
Tabela 1.7 Resistncia de escoamento torcional Syspara molas helicoidais de compresso em aplicaesestticas
Material Percentual mxima do limite da resistncia trao
Antes da remoo dedeformao (ajuste useKWou KB)
Depois da remoo dedeformao (Ajuste useKS)
Fio musical (corda de piano) e ao carbono repuxado a
frio( por exemplo A227, A228)
45 60 - 70
Ao carbono endurecido e revenido e ao de baixo liga(por exemplo, A229, A230, A232, A401)
50 65 75
Aos austenticos inoxidveis (por exemplo A313) 35 55 65Ligas no ferrosas(por exemplo B134, B159, B197 35 55 - 65
Fonte: Shigley et al(2005) e Norton (2004)
1.2.8 Projeto de Molas Helicoidais de Compresso para Cargas Estticas Segundo Shigley et al
(2005)
No projeto de molas helicoidais sujeitas a cargas estticas, segue na seqncia deste texto algumas
recomendaes que devem ser seguidas.
O intervalo recomendado para o ndice de mola dado pela Equao 1.27 sendo que para valores mais
baixos torna-se mais difcil de conformar a mola devido aos perigos de ocorrer fissuras.
Equao 1.27 124 C
O intervalo recomendado para o nmero de espiras ativas :
Equao 1.28 153 aN .
-
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A fora operacional mxima deve ser limitada a SFF = 87
max onde FS a fora de servio. Isso evita
o contato entre as espiras, devido a imperfeies na fabricao, evitando no linearidades da mola.
Definindo a folga fracionria at o fechamento como sendo , tem-se que
Equao 1.29 max)1( FFS +=
Como SS FFF
+=+=8
7)1()1( max tem-se que 15,0143,07
1== . Assim recomendado
que seja:
Equao 1.30 15,0
Conforme Shigley et al (2005), alm das relaes e propriedades do material para molas, tem-se que o
coeficiente de segurana Ns seja:
Equao 1.31 2,1SN
Shigley et al(2005) salientam que ao considerar o projeto de uma mola para produo em grandes
quantidades, pode-se levar em considerao o valor da figura de mrito, do ingls figure of merit fom
que pode ser o custo do fio do qual a mola ser fabricada. O valor de fom pode ser calculado por:
Equao 1.324
material)dorelativocusto(22 DNd
fom t
=
Shigley et al(2005) sugere a seguinte extratgia de clculo:
1 Como primeira escolha, selecione um fio de ao duro repuxado cujo custo relativo do mateiral 1;
2 Escolha um tamanho de fio d e com todas as decises feitas gere uma coluna com os seguintes
parmetros: d, D, C, Dext, Dint, Na. Ls, L0, (Lf)cr, NSe fom;
3 Incremente os tamanhos de fio disponveis e v gerando colunas com os seguintes parmetros: d,
D, C, Dext, Dint, Na. Ls, L0, (Lf)cr, NSe fom;
4 Observe as recomendaes da Equao 1.27 a Equao 1.31 e elimine aquelas opes que no
atendem a estas recomendaes;
5 Das opes restantes, escolha aquela que apresenta maior fom;
-
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Shigley et al (2005) sugere tambm o uso das seguintes expresses para o clculo de molas
submetidas a cargas estticas deduzidas a partir das equaes iniciais deste captulo:
Equao 1.33( )
+
+=
=
2max
3
18
34
248
d
CF
C
C
d
DFK
N
SS
B
S
ys
Onde:
Equao 1.34S
ys
N
S=
Equao 1.35( )
2max18
d
F
+=
Substituindo-se a Equao 1.34 e Equao 1.35 na Equao 1.33 tem-se uma equao quadrtica em
C:
Equao 1.36
+
=4
3
4
2
4
22
C
1.2.9 Projeto de Molas Helicoidais de Compresso para Cargas Estticas Segundo Norton (2004)
O dimensionamento de molas helicoidais pode diferenciar de autor para autor. Aqui neste captulo,estaremos abordando o mtodo de dimensionamento baseado em Norton (2004).
Geralmente o processo de dimensionamento de molas iterativo, algumas hipteses devem ser feitas
para posteriormente determinar tenses, deformaes, constantes de mola. A soluo do problema deve
ento ser analisada e caso for conveniente, poder ser adotada. Parmetros tais como, peso, custo, nveis
de tenso, devem ser analisados durante o dimensionamento.
Norton (2004) menciona que o dimetro do fio da mola d e o ndice de mola C de modo adeterminar do dimetro mdio da mola D. Um material da mola escolhido por tentativas e sua
resistncia associada ao dimetro do fio deve ser calculada. conveniente calcular as tenses antes de
calcular a deflexo pois ambas dependem de d e D porm a deflexo depende tambm de N a. Se a
fora F estiver definida, a respectiva tenso pode ser calculada pela Equao 1.17 ou Equao 1.18,
conforme o caso. Se dois nveis de foras forem definidos com uma deflexo associada, pode-se ento
calcular a constante de mola.
-
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O estado de tenso ento comparado resistncia ao escoamento sob carregamento esttico.
Conforme Norton (2004), o coeficiente de segurana para carga esttica calculado atravs da seguinte
expresso:
Equao 1.37
ys
SSN =
Norton (2005) recomenda a seguinte anlise:
1 Se o valor da tenso calculada for muito alto comparado resistncia do material, o dimetro do
fio, o ndice de mola ou o material podem ser alterados para melhorar o resultado;
2 Quando a tenso calculada ao nvel de fora de trabalho (operao) parecer razovel em
comparao a resistncia do material, pode-se assumir tentativamente novos valores para o nmero de
espiras e para a tolerncia de contato e a partir da calcular uma nova constante de mola, deflexo e
comprimento livre;
3 Deve ser verificada a possibilidade de flambagem da mola;
O uso do computador para resolver as equaes matemticas fundamental para encotrar a soluo do
problema. Percebe-se que a otimizao dos parmetros de uma mola dependem fundamentalmente de
processos iterativos e bastante trabalhosos para serem resolvidos a mo. Por isso lembre-se: Na
engenharia o trabalho braal deve ser automatizado com o uso de programas de computadores que podem
ser facilmente implementados em planilhas eletrnicas como o Excel ou Calc.
1.2.10 Resistncia a fadiga sob toro
A resistncia a fadiga sob toro varia no intervalo 103N107com o material e com o fato de ter
sofrido ou no jateamento de esferas. A Tabela 1.8 ilustra o valor recomendado para diversos materiais de
fios para as condies com e sem jateamento de esfera para trs pontos nos respectivos diagramas S-N: (i)
105ciclos; (ii) 106ciclos; e (iii) 107ciclos. Observem que so resistncias fadiga com toro e que foram
determinadas para molas testadas sob tenses com componentes mdias e alternantes idnticas
( 0min
min ==
R ). Portanto, elas no so diretamente comparveis a nenhum dos limites de resistncia
fadiga sob carregamento alternado gerado pelos corpos de prova submetidos a flexo alternante conforme
estudados no Captulo 4 de Elementos de Mquinas I devido ao carregamento torcional e da presena de
componente mdia e alternante. Utilizaremos a designao Sfw para estes ensaios de fadiga de fios
(wire) para diferenci-los dos limites de resistncia descritos no Capitulo 4 de Elementos de Mquinas I.
-
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Tabela 1.8 Resistncia a fadiga torcional mxima Sfwpara molas helicoidais de compresso de fioredondo em aplicaes cclicas (razo de tenso, R=0)
Vida a fadiga
(Ciclos)
Percentual do limite de resistncia a trao SutASTM 228, ao inoxidvel austentico
deformao permanente:
ASTM 230, e A232 e no ferrosos
deformao permanente:Sem jateamento Com jateamento Sem jateamento Com jateamento105 36% 42% 42% 49%106 33 39 40 47107 30 36 38 46
Pesquisas desenvolvidas indicam que os materiais de fios de mola apresentam um limite de fadiga que
independente do tamanho ou da composio da liga que os constitui. Zimmerli apudNorton (2005)
reporta que todos os fios de ao de mola com menos de 10 mm de dimetro apresentam um limite de
resistncia fadiga torcional para vida infinita com razo de tenso R = 0 (Para diferenciar do limite de
resistncia relativo s tenses alternadas, chamaremos de Sew).
Assim, temos que:
Equao 1.38 MPaSew 310= (Molas no jateadas)
Equao 1.39 MPaSew 465= (Molas jateadas)
No existe necessidade neste caso de aplicar correes para condio de superfcie, tamanho ou
fatores de correo de carga para determinar Sewou Sfwuma vez que os dados de teste foram obtidos sob
condies reais no que refere a estes aspectos dos materiais de mola. No entanto, esses valores podem ser
corrigidos caso a mola operar em temperaturas diferentes da ambiente, ou em ambientes corrosivos ou
quando se deseja levar em considerao a confiabilidade. Assim as expresses corrigidas podem tomar a
seguinte forma:
Equao 1.40 daeConfiabiliaTemperaturewew CCSS =
Equao 1.41 daeConfiabiliaTemperaturfwfw CCSS =
OBS.: Nas discusses futuras deste trabalho, usaremos Sew = Sew e Sfw = Sfw, lembrando que
estamos assumindo projeto para temperatura ambiente e para uma confiabilidade de 50%.
1.2.11 O diagrama S-N de Cisalhamento Torcional para Fios de Molas
Um diagrama S-N de cisalhamento por toro para um fio de material e tamanho particular pode ser
construdo a partir das informaes contidas na tabela Tabela 1.2 e Tabela 1.8. A regio de interesse parafadiga a alto ciclo corresponde ao intervalo de N= 1000 at N = 107ciclos e mais.
-
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O limite de resistncia a fadiga torcional para uma vida infinita Sew determinado pelas Equao
1.40 e Equao 1.41.
A resistncia a trao para N = 1000 ciclos Sm normalmente da ordem de 90% da resistncia a
trao Sut ou seja Sm = 0,9Sut. Como aqui estamos trabalhando com carregamento torcional, as
resistncias trao no fio devem ser convertidas resistncia torcional. Assim, tem-se que:
Equao 1.42 ( ) ututusms SSSS 6,067,09,09,0
Assim:
Equao 1.43 utms SS 6,0
A Figura 1.9 ilustra o diagrama S-N de fadiga torcional de fio musical (Corda de piano) de vriosdimetros.
Figura 1.9 - Diagrama S-N de fadiga torcional de fio musical (Corda de piano) de vrios dimetros.Fonte: Norton (2004)
1.2.12 Diagrama de Goodman modificado para fio de mola
Um diagrama de Goodman modificado pode ser construdo para qualquer situao de carregamento da
mola. No caso de molas, o diagrama de Goodman construdo utilizando a resistncia a toro e
aplicando as tenses torcionais calculadas diretamente a esse diagrama ao invs de se utilizar das tenses
equivalentes de von Mises estudadas no captulo 4 de Elementos de Mquinas I.
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Ses ouSfs
Tenso de cisalhamento mdia m
Tensodecisalham
entoalternantea
Sus0,5.Sfwou0,5.Sew
C
B
A
m
Linha de Goodman
0,5.Sfwou0,5.Sew
45o
Figura 1.10 - Diagrama de Goodman modificado de tenses torcionais para fio de mola
Norton (2004) sugere o seguinte procedimento para determinar os pontos caractersticos do diagrama
de Goodman modificado:
1 Clculo da tenso de resistncia a trao do material utilizando-se a Equao 1.1:
mut d
AS =
2 - Clculo da tenso de resistncia a toro do material utilizando-se a Equao 1.2:
utus SS = )76,0(
3 Determinar Sfw ou Sew, dependendo de se tratar de vida finita ou infinita respectivamente. A
resistncia a fadiga Sfw determinada a partir da Tabela 1.8. Determina-se Sfw@1E6. A partir do clculo de
Sfw, determina-se as coordenadas de interseco com o diagrama de Goodman dada pela expresso
fwS5,0 . Este ponto plotado como o ponto B no diagrama. Para o caso de vida infinita se utiliza o Sewe
oponto B determinado pelas coodenadas ewS5,0 .
4 Observe na Figura 1.10 que a resistncia a fadiga do fio Sfw plotada em uma linha a 45 oda origem
de modo a corresponder s condies de ensaio de componentes de tenso mdia e alternantes iguais ou
seja 0min
min ==
R . O ponto B ento conectado com o limite de resistncia ao cisalhamento Sus no eixo
das tenses mdias no ponto A, para traar o diagrama de Goodman que estendido ao ponto C;
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5 Pode-se ento agora deteminar o valor da resistncia fadiga sob condies alternantes (R=-1), que
corresponde ao ponto C no diagrama. Este valor pode ser determinado a partir da equao da lina de
Goodman, definida em termos de seus pontos conhecidos, A e B:
Equao 1.44fwus
fw
SSSm
=5,0
5,0
Equao 1.45 usfs SmS =
Equao 1.46fwus
usfw
fsSS
SSS
=
5,0
5,0
6 O uso da linha de Goodman conservadora para razes de tenso R0 e seu uso justificvel neste
caso porque as molas devem ser carregadas sempre na mesma direo. Molas helicoidais de compresso
tendem a ter razes de tenso R entre 0 e 0,8, o que coloca suas coordenadas de tenso a direita da linha
de 45ona figura, onde a linha de Goodman mais conservadora que a linha de Gerber.
7 Qualquer outra combinao de tenso mdia e alternada com uma razo de tenso R0 para o material
em questo e vida pode agora ser plotada neste diagrama a fim de obter o coeficiente de segurana.
1.2.13 Projeto de Molas Helicoidais de Compresso para Cargas Dinmicas (Fadiga) segundo
Norton (2004)
Quando as molas esto sujeitas a cargas dinmicas, ocorre a fadiga nas mesmas. O procedimento para
o projeto de molas helicoidais de compresso para cargas dinmicas similar ao de cargas estticas,
porm com algumas diferenas significativas. Uma mola carregada dinamicamente opera entre dois nveis
de fora (Fmaxe Fmin) e a partir destes valores, deve-se determinar as componentes mdia e alternante (Fae
Fm). As seguintes expresses so utilizadas:
Equao 1.472
minmax FFFa= e
2minmax FFFm
+=
Uma razo de fora RFpode ser definida como:
Equao 1.48max
min
F
FRF=
Nos casos mais comuns de carregamentos de molas, Fmaxe Fminso positivos, com uma razo de fora
aproximadamente entre 8,00 pp FR .
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O problema no dimensionamento assim como mencionado no item anterior tambm um processo
iterativo. Um dimetro inicial d deve ser assumido e um ndice de mola C deve ser precisamente
escolhido, a partir dos quais determinado o dimetro mdio da mola D. O material da mola tambm
deve ser escolhido e as resistncias relevantes do material devem ser calculadas com base no dimetro
d assumido para o fio. Os limites de resistncia ao cisalhamento, de resistncia ao escoamento sob
cisalhamento e de resistncia fadiga (ou resistncia a fadiga correspondente a determinado nmero de
ciclos) devem ser determinados. As componentes Fmaxe Fmindevem ser calculadas.
No caso de carregamentos repetidos, onde h a componente mdia Fm, necessita-se elaborar o diagrma
de Goodman para analisar a falha. Uma vez que as maiores tenses desenvolvidas na mola so de
cisalhamento por toro e a maior parte dos dados de material so para carregamento torcional,
utilizaremos o diagrama de Goodman torcional. O diagrama de Goodman modificado construdo apartir da resistncia torcional do fio Sfw, ou do limite de resitncia fadiga sob toro do fio Sew
definidos ao longo de uma linha que 45oa partir da origem para representar os dados de teste que foram
gerados para RF= 0. O grfico de Goodman modificado tambm construdo utizando-se do limite de
resistncia fadiga sob carregamento alternante Ses e o limite de resistncia toro Sus.
A linha de carga, que representa o estado de tenso aplicado, no desenhada a partir da origem neste
caso, mas sim a partir de um ponto no eixo m representando a tenso inicial nas espiras i , resultantes
da montagem. Isso pressupe que alguma pr-carga aplicada s molas o que geralmente costuma
acontecer. No se quer Fmin= 0 em uma situao de carga dinmica pois isso criar condies para cargas
de impacto nas espiras. Se Fmin= 0 a linha de carga iniciar na origem.
Ses
Tenso de cisalhamento mdia m
Tensodecisalhamen
toalternantea
Susi m
a
0,5.Sew
Sa
C
B
DE
A
Linha de carregamento
ml
Linha de Goodman
Ponto de Falha
Estado de tenso
Figura 1.11 - Diagrama de Goodman modificado mostrando a a linha de carga e dados necessrios para o
clculo do coeficiente de segurana de uma mola de compresso carregada dinamicamente
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O coeficiente de segurana para fadiga torcional determinado atravs da razo entre a resistncia
alternada Sa" na interseco da linha de carga e a linha de Goodman (ponto D) e a tenso alternante
aplicada a no ponto E confome equao abaixo:
Equao 1.49a
a
fs
SN
=
A Equao 1.49 pode ser rearranjada em termos das variveis conhecidas do problema resultando na
Equao 1.50. A deduo desta expresso feita por Norton (2004) nas pginas 716 e 717.
Equao 1.50( )
( ) ausimesiuses
fsSS
SSN
+
=
Onde:
Equao 1.51ewus
usew
esSS
SSS
=
5,05,0
Utilizam-se tambm as expresses abaixo para determinar Fae Fm:
Equao 1.52 FaF Fm x min=
2
FmF Fm x min=
+2
Por sua vez, as tenses desenvolvidas por estas cargas, levando em considerao tambm o fator deconcentrao de tenso devido ao cisalhamento KSe fator de Wahl KWso:
Equao 1.533.
..8
d
DFK aWa
=
m sm
KF D
d=
83
. .
.
A tenso de montagem ou de pr-carga determinada utilizando-se a seguinte expresso onde F i a
fora de montagem ou pr-carga da mola:
Equao 1.543.
..8
d
DFK i
Si =
Este procedimento pressupe que a pr-carga no variar de forma significativa durante a vida da
mola e que tambm, qualquer aumento da carga ser tal que uma razo constante entre as componentes
alternantes e mdias ser mantida (Caso 3 do Captulo 4 Solicitaes dinmicas de Elementos de
Mquinas I). Se, contudo essa no for a situao, dever ser utilizado os casos 1, 2 ou 4 descritos.
Se o coeficiente de segurana for muito baixo, o dimetro do fio, ndice de mola ou material podems
ser modificados para melhorar os resultados. Uma vez que o coeficiente de segurana a fadiga sejaaceitvel, um nmero inicial de espiras e um limite de interferncia (folga entre espiras) podem ser
assumidos e clculos seqenciais para a constante de mola, deflexo e comprimento livre podem ser
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desenvolvidos. Qualquer valor no adequado destes parmetros ir requerer novas iteraes atravs de
modificaes de hipteses.
Da mesma forma que em projetos de molas sujeitas a cargas estticas, aqui tambm ser necessrio o
uso freqente de programas ou planilhas computacionais. Para implementar os clculos em uma planilha
do tipo Excel, em mdia so necessrios de 10 a 30 horas de dedicao inicial podendo necessitar mais
conforme o grau de sofisticao. Porm posteriormente a obteno da soluo muito mais rpida
inclusive com a gerao do memorial de clculo.
1.2.14 Frequncia Crtica
As molas helicoidais, so utilizadas freqentemente em aplicaes que implicam em um movimento
alternativo muito rpido entre as espiras, como nas molas de vlvulas de motores de combusto interna.
Neste caso, o projetista deve certificar-se que a Frequncia natural no fique muito prxima da
Freqncia de aplicao da carga. Tais condies fariam a mola entrar em ressonncia com o movimento
aplicado. Como as molas helicoidais so praticamente livres de amortecimento, as tenses e deflexes
geradas durante a ressonncia seriam mito elevadas (SHIGLEY, 1984).
Wahl demonstrou que a freqncia crtica da molas helicoidais, vale:
Equao 1.55 fm k
M=
2
onde:
f - freqncia, em ciclos por segundo (Hert);m - 1, 2 ... primeira harmnica, segunda harmnica, etc...;
k - Constante de mola (N
m)
M - massa do arame em Kg massa
A massa pode ser determinada, por:
Equao 1.56 ( )M A Ld
D N= =
2
4 ou
4
22 = a
NDdM
onde igual a massa especfica do arame.
A freqncia natural, deve ser de 15 a 20 vezes a freqncia de funcionamento, para evitar-se a
ressonncia. Se a freqncia natural no for suficientemente alta, a mola dever ser redimensionada,
aumentando-se k e ou diminuindo-se M (SHIGLEY, 1984).
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1.3 MOLAS HELICOIDAIS DE TRAO
As molas helicoidais de trao so similares s molas helicoidais de compresso, porm so
carregadas a trao. Devido a isso, as molas de trao devem, necessariamente, ter meios de transferir a
carga do suporte para o corpo. Embora isso possa ser feito com uma pea rosqueada ou um gancho, estassolues aumentam o custo do produto, assim, geralmente, se emprega um dos mtodos mostrados na
Figura 1.12, devendo-se considerar a concentrao de tenso ocasionada.
Figura 1.12 - Extremidades de molas de trao. Fonte: Shigley (1984)
1.3.1 Espiras ativas em molas de trao
Todas as espiras no corpo da mola so
consideradas espiras ativas, mas tipicamente uma
espira adicionada ao nmero de espiras ativaspara obter um corpo de comprimento Lb . As
expresses abaixo so usadas em molas
helicoidais de trao:
Equao 1.57 1+= at NN
Equao 1.58 tb NdL =
A Figura 1.13 ilustra as dimenses de uma
mola de trao.
Figura 1.13 Dimenses de uma mola de trao.Fonte: Norton (2004)
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1.3.2 Constante de mola helicoidais de trao
As espiras de mols helicoidais de trao so
enroladas de forma a criar uma pr-carga na
mola. O fio torcido a medida que enrolado,
criando ento a pr-carga nas espiras que deve
ser superada quando se quer separa-las. A Figura
1.14 mostra uma curva tpica de carga versus
deflexo de uma mola helicoidal de trao. A
constante da mola k linear exceto para a
parte inicial. A constante de mola pode ento ser
determinada por:
Equao 1.59y
FFk i
=
Equao 1.60aND
Gdk
=3
4
8 Figura 1.14 - Curva fora-deflexo de uma mola
helicoidal de trao indicando sua fora de pr-carga. Fonte: Norton (2004)
Observe que nenhuma deflexo ocorre at que a fora aplicada esceda a pr-carga Fi, que impostapela mola.
1.3.3 Indice de mola
O ndice de mola C recomendado para molas helicoidais de trao tambm deve estar entre 4 a 8.
1.3.4 Pr-carga das espiras nas molas de trao
A pr-carga Fipode ser controlada, at certo ponto, durante o processo de fabricao de molas, e deve
ser especificada de maneira a manter as tenses iniciais dentro do intervalo preferencial dado pela mdia
dos valores das Equao 1.61 e Equao 1.62:
Equao 1.61 [ ] ( ) 70,006894752864033875,181231,4 23 ++= CCCMPai
Equao 1.62 [ ] ( ) 70,006894753840434277,139987,2 23 ++= CCCMPai
Norton (2005) apresenta um grfico relacionando as duas expresses acima. Observem que o
resultado das expresses em psi.
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1.3.5 Deflexo de molas helicoidais de trao
A deflexo calculada a partir da mesma expresso utilizada no caso de molas de compresso, porm
com a introduo da pr-carga Fi:
Equao 1.63( )
Gd
NDFFy ai
=
4
38
1.3.6 Tenses nas espiras das molas helicoidais de trao
Assim para cargas estticase utilizando-se o fator de Wahl a seguinte expresso deve ser usada para
calcular a mxima tenso de cisalhamento em uma mola helicoidal:
Equao 1.64 SKd
DF
= 3max8
Assim para cargas dinmicas e utilizando-se o fator de Wahl e a Erro! Fonte de referncia no
encontrada.a seguinte expresso deve ser usada para calcular a mxima tenso de cisalhamento em uma
mola helicoidal:
Equao 1.65 CKd
DF
=3max
8
Sendo KW= KC.KS, onde KCrepresenta o efeito isolado da curvatura, tem-se que:
Equao 1.66S
WC
K
KK =
Equao 1.67
+=C
Ks5,0
1
Equao 1.68 CC
C
KW615,0
44
14
+
=
1.3.7 Tenses nas extremidades (ganchos) das molas helicoidais de trao
Os ganchos e laos padro possuem dois pontos de alta tenso, como ilustrado na Figura 1.15. A
mxima tenso de toro ocorre no ponto B onde o raio de flexo mnimo. H tambm uma componente
de tenso devido flexo no ponto A do gancho ou lao, uma vez que a extremidade carregada como
uma viga curva. Wahl apudNorton (2004) define um fator de concentrao de tenses Kbpara flexo em
um fio curvo. A tenso de flexo no ponto A encontrada a partir de:
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Equao 1.6923
416
d
F
d
FDKbA
+
=
onde:
Equao 1.70( )14
14
11
12
1
=CC
CCKb
e
Equao 1.71d
RC 11
2 =
Sendo R1o raio mdio do lao. Observe que para uma extremidade padro, o raio mdio do lao
idntico ao raio mdio da espira.
Figura 1.15 - Pontos de mxima tenso no gancho ou no lao de uma mola helicoidal de extenso. Fonte:Norton (2004)
A tenso de toro no ponto B encontrada a partir da seguinte expresso:
Equao 1.7232
8
d
FDKWB
=
onde:
Equao 1.7344
14
2
22
=
C
CKW
e
Equao 1.74d
RC 22
2 =
Sendo R2o raio do lado flexionado. C2deve ser maior que 4.
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1.3.8 Materiais para molas helicoidais de trao
Os mesmos materiais so utilizados para fios de molas helicoidais de trao e compresso. Alguns dos
dados de resistncias utlizados em molas de compresso so aplicveis a molas de trao. A Tabela 1.9
mostra valores recomendados de resistncia ao escoamento sob cargas estticas do corpo, da espira eextremidades para toro e flexo. A Tabela 1.10 mostra a resistncia fadiga recomendada para dois
materiais a diferentes valores de vida, apresentando dados separados para as espiras, de corpo e de
extremidades. Os limites de resistncia fadiga da Equao 1.12 e Equao 1.13 so vlidos para molas
de trao e devem ser convertidos a valores alternados com a Equao 1.51 para que possam ser usados
na expresso do coeficiente de segurana da linha de Goodman da Equao 1.50.
Tabela 1.9 Resistncia de escoamento torcional Syse flexo Sypara molas helicoidais de extenso em
aplicaes estticasMaterial Percentual mxima do limite da resistncia
traoSutSysem toro S em flexo
Corpo Extremidade ExtremidadeFio musical (corda de piano) e ao carbonorepuxado a frio( por exemplo A227, A228)
45% 40% 75%
Ao carbono endurecido e revenido e ao de baixoliga (por exemplo, A229, A230, A232, A401)
50 40 75
Aos austenticos inoxidveis (por exemplo A313) 35 30 55Ligas no ferrosas(por exemplo B134, B159, B197 35 30 55
Fonte: Norton (2004)
Tabela 1.10 Resistncia a fadiga torcional mxima Sfwe resistncia a fadiga flexional Sfwb para molashelicoidais de trao de fio redondo de ao ASTM A228 e ao inoxidvel tipo 302 em aplicaes cclicas
(razo de tenso, R=0)
Vida a fadiga
(Ciclos)
Percentual do limite de resistncia a trao SutSysem toro Syem flexo
Corpo Extremidade Extremidade
105 36% 434% 51 %
106 33 30 47107 30 28 45
Fonte: Norton (2004)
1.4 ASSOCIAO DE MOLAS
Molas helicoidais podem ser associadas tanto em paralelo como em srie. A associao mais usada
em paralelo, e geralmente com uma montagem de molas concentricamente, que podem ter uma ou mais
das seguintes finalidades (SHIGLEY, 1984): (i) Necessidades de grandes foras em pequeno espao; (ii)Assegurar a continuidade de funcionamento, mesmo que precariamente, quando uma das molas venha a
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falhar; e (iii) Necessidade de fora que no varie diretamente com a deflexo ( molas com comprimentos
diferentes).
A constante de mola equivalente, para os dois casos, pode ser obtida pelas seguintes equaes
ilustradas na Tabela 1.11, conhecendo-se as constantes de mola individuais.
Tabela 1.11 Associao de molas
Associao Constante de mola equivalenteEm paralelo k k k= + +1 2 .......Em Srie
..........11
1
21
++=
kk
k
Para molas concntricas, o enrolamento das molas devem ter sentidos opostos.
1.5 MOLAS HELICOIDAIS DE TORO
As molas helicoidais de toro, so usadas em dobradias de portas, chaves de partida de automveis,
fechaduras, etc...,na verdade em qualquer aplicao onde haja necessidade de se aplicar torque. So
enroladas da mesma maneira que as molas de trao ou compresso, porm, tm extremidades adequadas
para transmitir torque (SHIGLEY, 1984). A Figura 1.16 ilustra alguns tipos de molas helicoidais de
toro com suas extremidades.
Figura 1.16 - Molas helicoidais de toro Fonte: (SHIGLEY, 1984).
Figura 1.17 - Especificao de requisitos carga e deflexo de molas de toro
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Onde:- ngulo entre extremidades;F carga nas extremidades formando um ngulo ;L brao de alavanca;- deflexo angular a partir da posio livre;
O momento aplicado em uma mola de toro provoca a ao de um momento fletor M = F.L, que
produz uma tenso normal no arame. Note-se o contraste existente em relao as molas helicoidais de
trao e de compresso, onde a fora aplicada produz uma tenso residual provocada durante o
enrolamento est na mesma direo da tenso de trabalho. Estas tenses residuais so teis para aumentar
a resistncia da mola, contanto que a carga seja sempre aplicada de maneira a enrolar a mola. Em virtude
das tenses de trabalho serem opostas as tenses residuais, as molas de toro podem ser projetadas para
operar em nveis de tenso, iguais ou mesmo superiores a resistncia de escoamento do material
(SHIGLEY, 1984). Conforme Norton (2004), o momento aplicado nunca deve ser revertido em servio.
No caso de carregamento dinmico, deve ser repetido ou variado com razo de tenso 0R .
1.5.1 Terminologia aplicada
A terminologia utilizada a mesma de molas helicoidais de trao e compresso: (i) D o dimetro
mdio da mola; (ii) d o dimetro do fio da mola; (iii) C o ndice de mola; (iv) Dext o dimetro
externo; (v) Dint o dimetro interno; e (vi) Na o nmero de espiras ativas. A constante de mola k
expressa como o momento por unidade de deflexo angular.
1.5.1.1 Nmero de espiras ativas
Onmero de espiras ativas igual ao nmero de espiras no corpo da mola Nb mais a contribuio
das extremidades que tambm fletem. Para extremidades retas, a contribuio,pode ser expressa como um
nmero equivalente de espiras Ne dado por:
Equao 1.75D
LLNe += 321
Onde L1e L2so os comprimentos dos braos respectivos s tangentes de extremidades das espiras. O
nmero de esspiras ativas ento:
Equao 1.76 eba NNN +=
Onde Nb o nmero de espiras do corpo da mola.
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1.5.1.2 Deflexo angular
A deflexo angular da mola normalmente expressa em radianos, porm frequentemente
convertida em nmero de voltas ou revolues. Como a extremidade da mola comporta-se semelhante a
uma viga em balano, (sujeito a flexo) a deflexo angular pode ser calculada pela seguinte expresso:
Equao 1.77IE
LM fioradrev
=
=
2
1
2
1
Onde: M o momento aplicado, Lfio o comprimento do fio, E o mdulo de elasticidade
longitudinal e I o momento de inrcia da seco do fio;
Para molas de fio de dimetro circular, tem-se que:
Equao 1.78 ( )
=
64
21
4d
E
NdM arev
que atravs de simplificaes resulta em:
Equao 1.79Ed
NDM arev
42,10
O fator 10,2 usualmente substitudo por 10,8 com base em experincias, para levar em conta o atrrito
nas espiras e desse modo a equao se torna:
Equao 1.80Ed
NDM arev
48,10
1.5.1.3 Constante de mola
A constante de mola obtida a partir da seguinte expresso:
Equao 1.81arev ND
EdMk
==8,10
4
1.5.1.4 Fechamento das espiras
Quando uma mola de toro carregada no sentido de fechar a mola, o dimetro da mola diminui e
seu comprimento aumenta. O dimetro mnimo para a delfexo plena :
Equao 1.82 dN
NDD
revb
b
+
=
minint
-
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Elementos de Mquinas II 39Prof. Douglas Roberto Zaions
Onde D o dimetro mdio da espira no carregada. Qualquer que seja o pino sobre o qual a espira
trabalhe deve ser limitado em 90% Dint min.
O mximo comprimento do corpo da mola quando completamente enrolada dado pela seguinte
expresso:
Equao 1.83 ( )revbNdL ++= 1max
1.5.1.5 Tenses nas espiras
A tenso na fibra externa de uma viga engastada reta I
cM.= . No caso de mola, ao invs de viga
engastada reta, tem-se uma viga curva e deve-se incorporar o respectivo fator de concentrao de tenses
para vigas curvas resultando na expressoI
cMK
.= onde K o fator de concentrao de tenso, que
depende da forma do arame e do fato da tenso ser desejada para a borda interna ou externa do fio.
Wahl apudShigley (1984), determinou analiticamente os seguintes valores de K, para arame de seo
circular:
( )14
14 2
int
=
CC
CCKb
( )14
14 2
+
+=
CC
CCK
extb
onde C, o ndice de mola b int e b ext referem-se respectivamente a borda interna e externa da
espira.
Quando, LFM = e , so substitudos na equao da tenso, obtm-se:
Equao 1.843
32
d
MK
=
ou
3
32
d
LFK
=
que fornece o resultado devido da flexo para uma mola helicoidal com fio de seo circular.
A mxima tenso de compresso na borda do dimetro interno da mola com fio de seo circular :
Equao 1.853max
int
32intmax d
MKb
=
As componentes de tenso de trao na borda externa da mola com fio de seo circular :
Equao 1.863
min32
min d
MK
extbext
=
3
max32
max d
MK
extbext
=
Em termos de componentes mdias e alternantes tem-se:
-
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UNOESC Curso de Engenharia de Produo Mecnica 40Prof. Douglas Roberto Zaions
Equao 1.872
minmax extext
extm
+ e
2minmax extext
exta
No dimensionamento de molas sujeitas a carga esttica(carregamento fechando a mola) deve-se
levar em considerao a maior tenso de compresso que maxint dado pela Equao 1.85.
No dimensionamento de molas sujeitas a carga dinmica(carregamento fechando a mola) deve-se
levar em considerao as tenses de trao (a fissura progride devido ao efeito de trao) e as tenses so
calculadas para o dimetro exteno da mola, usando a Equao 1.86 e Equao 1.87.
Conforme Norton (2004) se a mola for carregada de modo a abrir as espiras (situao no
recomendada) esta deve sofre um tratamento trmico de alvio de tenses, para eliminar as tenses
residuais das espiras e ento a tenso interna deve ser levada em considerao nos clculos da fadiga.
1.5.1.6 Parmetros dos materiais da mola
No caso de molas helicoidais de toro, o limite de resistncia ao escoamento Sy e a fadiga so
necessrios. A Tabela 1.12 ilustra os valores sugeridos de resistncia ao escoamento para diversos
materiais como um valor percentual da sua tenso de resistncia a trao Sut.
Tabela 1.12 Resistncia de escoamento sob flexo Sypara molas helicoidais de toro em aplicaes
estticas. Fonte: Norton 2004.Material Percentual mxima do limite da resistncia
trao SutTenses alividadas Tenses residuais
favorveisAo carbono repuxado a frio( por exemplo A227, A228) 80 100Ao carbono endurecido e revenido e ao de baixo liga(por exemplo, A229, A230, A232, A401)
85 100
Aos austenticos inoxidveis (por exemplo A313) 60 80Ligas no ferrosas(por exemplo B134, B159, B197 60 80
A Tabela 1.13 ilustra os valores da tenso de resistncia fadiga flexo Sfw paa molas helicoidais
de toro com fio de seo circular como um percentual da tenso limite de resistncia a trao Sut.
Tabela 1.13 Resistncia a fadiga flexo Sfwpara molas helicoidais de toro de fio redondo emaplicaes cclicas (razo de tenso, R=0) Fonte: Norton (2004
Vida a fadiga
(Ciclos)
Percentual do limite de resistncia a trao SutASTM 228, ao inoxidvel austentico (302) ASTM 230 e A232
Sem jateamento Com jateamento Sem jateamento Com jateamento
105 53% 62% 55% 64%106 50 60 53 62
Os dados limites de resistncia fadiga so:
-
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Elementos de Mquinas II 41Prof. Douglas Roberto Zaions
Equao 1.88 MPaSbew
537, = (para molas no jateadas)
Equao 1.89 MPaSbew
806, = (para molas jateadas)
1.5.1.7 Coeficiente de segurana esttico
Para carregamento esttico, a falha ocorre no escoamento do material. Assim, o coeficiente de
segurana esttico determinado pela seguinte expresso:
Equao 1.90maxint
ySN=
1.5.1.8 Coeficiente de segurana dinmico
O coeficiente de segurana dinmico usando as teorias de molas helicoidais de trao e compreo
determinado por:
Equao 1.91( )
am extutextexte
extute
fbSS
SSN
+
=
min
min