Código Chimisso - Elementos de Maquinas

DECIFRANDO O CÓDIGO CHIMISSO

Elementos de Máquinas

Leonardo Mackmillan Paim.

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Leonardo Mackmillan Paim 35697 2

SUMÁRIO Prefácio ............................................................................................................................. 5

Agradecimentos ................................................................................................................ 6 1. Concentração de Tensões � Shigley, pág. 258 ....................................................... 7

1.1 Projeto – Solicitações Estáticas ou Progressivas ...................................................................................................................... 7 1.2 Fator de Concentração de Tensões Teórico ( Kt) ..................................................................................................................... 8 1.3 Efeito de Entalhe .................................................................................................................................................................... 10

1.4 MFLE – Mecânica da Fratura Linear Elástica ........................................................................................................................ 11

2. Introdução ao Estudo da Fadiga dos Materiais. .......................................................... 15 2.1 Aspecto e Análise de Fraturas ( Fractografia) ........................................................................................................................ 15 2.2 Modelos que Descrevem o Início do Trincamento: ............................................................................................................... 18 2.3 Metodologia da Tensão Média Nominal: .............................................................................................................................. 19 2.4 SOLICITAÇÕES ................................................................................................................................................................... 20

2.4.1 Solicitações: ................................................................................................................................................................. 21

2.5 Determinação do Limite de Fadiga � Curvas SN ( ou curvas de Moore). ................................ 22 2.6 Determinação da Curva de Moore .......................................................................................................................................... 23 2.7 Limite de Fadiga para Projeto: ............................................................................................................................................... 25

3. Diagramas de Fadiga .................................................................................................. 26 3.1 Diagrama de Smith ( norma DIN) .......................................................................................................................................... 28 3.2 Diagrama de Goodman ( + usado no projeto mecânico) ......................................................................................................... 29 3.3 Diagrama de Soderberg: ( escola conservativa)...................................................................................................................... 31 3.4 Diagrama de Gerber: .............................................................................................................................................................. 32

3.5 Demais Diagramas e Definições Matemáticas. ...................................................................................................................... 33 3.6 Pode-se obter os seguintes diagramas de vida ( infinita ou finita) e de segurança. ................ 34

4. Fatores Redutores ..................................................................................................... 35 4.1 Fator de Carga ( Load Factor) CL: ......................................................................................................................................... 35

4.2 Fator de Tamanho ou Geométrico ( Size Factor) CD: ............................................................................................................. 36 4.3 Fator de Acabamento Superficial CS ...................................................................................................................................... 36

4.4 Fator de Choque e Vibrações, CC ........................................................................................................................................... 37

4.5 Fator de Solda CW .................................................................................................................................................................. 37 4.6 EFEITO GLOBAL NO LIMITE DE FADIGA ..................................................................................................................... 37 4.7 Fator de Concentração de Tensões à Fadiga Kf. ..................................................................................................................... 38 4.8 EQUAÇÃO DE PETERSON ................................................................................................................................................. 38 4.9 RESUMO .............................................................................................................................................................................. 39

5. Solicitações Analíticas: Método da Tensão Média Nominal...................................... 40

6. Influencia da Amplitude Variável na Vida de um Elemento Mecânico ou Estrutural 44 6.1 Sub-Tensão : ( understress ) .................................................................................................................................................. 44 6,2 Sobre-Tensão : ( overstress ) ................................................................................................................................................. 45 6.3 Regra de Palmgren-Maner: ( regra do acúmulo de dano) ....................................................................................................... 45 6.4 Contagem de Ciclos: o método ‘Rain Flow’ ( ou caminho da chuva) ................................................................................... 46

6.5 Procedimento de Cálculo para Estado Plano de Tensões com presença de Tensão Média (Shigley). .................................... 48

7. Fadiga de Baixo Cilclo ou Olígocíclica ( Método εN) ................................................ 50 7.1. Introdução ............................................................................................................................................................................. 50

7.2 Método Coffin ( 1956) .......................................................................................................................................................... 51

7.3. Evolução do Ciclo de Histerese. ........................................................................................................................................... 53 7.4 Método de Manson ( 1965) ................................................................................................................................................... 54

8. Eixos e Árvores de Transmissão ................................................................................ 55 8.1 Caso mais Simples: Eixo em Flexão ...................................................................................................................................... 56 8.2 Caso +/- Simples: Eixo gira, R=cte ........................................................................................................................................ 56 8.3 Casos Especiais: Torque Puro ................................................................................................................................................ 56 8.4 Casos +/- Complicados: Árvores de Transmissão __ Torque cte e Flexão rotativa. ............................................................... 57

8.5 Caso mais Complicado: TUDO, Flexão + Torção + Esforços Axiais. .................................................................................... 57

8.6 Esforços Atuantes em Eixos e Árvores de Transmissão ......................................................................................................... 58 8.6.1 Polias e Correias: ................................................................................................................................................................ 58

8.6.2 Rodas Dentadas: .................................................................................................................................................................. 60

8.7 Projeto Mecânico: .................................................................................................................................................................. 61

8.8 Chavetas: ................................................................................................................................................................................ 62

9. Rigidez Estrutural ....................................................................................................... 64 9.1. Vibrações Flexionais: ............................................................................................................................................................ 65

9.2. Determinação dos coeficientes de influência: Exemplo ........................................................................................................ 67 9.3. Outros Métodos: .................................................................................................................................................................... 68


10. MOLAS – FLEXIBILIDADE .................................................................................. 70 10.1. Barras de Torção: ............................................................................................................................................................... 72

10.2. Helicoidais Cilíndricas Comprimidas: ................................................................................................................................ 72 10.2.1. Fator de Wahl, Kw: ................................................................................................................................................... 73

10.2.2. DEFLEXÃO ............................................................................................................................................................... 74 10.2.3. FLAMBAGEM .......................................................................................................................................................... 75 10.2.4. Tensões de Projeto: .................................................................................................................................................... 76 10.2.5. JOELHO: ................................................................................................................................................................... 77

10.3. Molas Helicoidais em Paralelo: ........................................................................................................................................... 79 10.4. Soluções Possíveis: ............................................................................................................................................................. 81

10.4.1. Deutschman: ................................................................................................................................................ 81 10.4.2. Shigley: ........................................................................................................................................................ 81 10.4.3. Procedimento 3: ........................................................................................................................................... 81

10.4.4. Particularizando para molas: EXPLICAÇÃO QUADRO ............................................................................. 82 10.5. Molas Tracionadas: ................................................................................................................................................. 82 10.6. Molas de Flexão: ..................................................................................................................................................... 83

10.6.1. Belleville: ................................................................................................................................................................... 84

10.6.2. Barra em Flexão: ........................................................................................................................................................ 85 10.6.3. Feixe de Molas: .......................................................................................................................................................... 85 10.6.4. Barra Triangular ( = Resistência) ............................................................................................................................... 86 10.6.5. Feixe de Molas Barra Triangular: ............................................................................................................................... 86 10.6.6. Feixe de molas Barra Trapezoidal: ............................................................................................................................. 87 10.6.7. Molas Balestra: ........................................................................................................................................................... 88

11. Vasos de Pressão ...................................................................................................... 89 11.1. Classificação: ..................................................................................................................................................................... 89

11.1.1. Elementos de Paredes Espessas: São considerados como CASCAS (vigas curvas bi-dimensionais). ........................ 89 11.1.2. Elementos de Paredes Delgadas: São consideradas como membranas (cordas bi-dimensionais)................................ 89 11.1.3. Elementos de Paredes Medianamente Espessas: São aqueles que não se classificam em nenhuma das duas anteriores (tubos em geral). .................................................................................................................................................................... 89

11.2. Elementos de Paredes Espessas – Cilindros: ....................................................................................................................... 89 11.2.1. A Solução de Lamé: ................................................................................................................................................... 90 11.2.2. Casos Usuais: ............................................................................................................................................................. 94 11.2.3. EFEITO TAMPAS: ................................................................................................................................................... 95 11.2.4. Equações de Projeto (Resistência Mecânica) ............................................................................................................. 96 11.2.5. Caso Particular: Cilindro de Paredes Mediamente Espessas. ..................................................................................... 99

11.2.6. Soluções para alta pressão: .......................................................................................................................................100 11.3. Elementos de Paredes Espessas – Esféricas: ......................................................................................................................107 11.4. Algumas Soluções Clássicas: .............................................................................................................................................108

11.4.1 Redes Adutoras de Água : Carga 1 ( Estática) ............................................................................................................108 11.4.2 Cilindros para Bombas de Êmbolo: ............................................................................................................................109 11.4.3 Cilindros para Prensas Hidráulicas: ...........................................................................................................................110 11.4.4. Cilindros para Máquinas a Vapor: .............................................................................................................................110 11.4.5. Redes de Vapor: .......................................................................................................................................................110

11.5. Tensões Térmicas ...............................................................................................................................................................112

11.5.1. Cilindros Longos: ......................................................................................................................................................112 11.5.2. Tensões Térmicas Estáveis: Gradiente Térmico Logarítmico. ...................................................................................112

11.5.3. Tensões Térmicas Estáveis: Gradiente Térmico Linear. ...........................................................................................114

11.5.4. Transientes Térmicos: ..............................................................................................................................................115 11.6. Elementos com Simetria Axial – Paredes Delgadas. ..........................................................................................................116

11.6.1 Cilindros .....................................................................................................................................................................116

11.6.2 Casco Esférico Sob Pressão Interna: .........................................................................................................................117 11.6.3. Vasos Cônicos sob Pressão Interna: .........................................................................................................................117 11.6.4 Casco Elipsoidal sob-pressão interna. (Uso comum em tampas de cilindros)............................................................117

11.6.5. Casco Toroidal sob Pressão Interna ...........................................................................................................................119 11.6.6. Casco Cilíndrico, Vertical e Cheio de Líquido: ........................................................................................................120 11.6.7. Casco Cilíndrico Vertical e cheio de Líquido, sustentado por Anel Inferior e com Fundo Cônico. ....................121

11.7. INTRODUÇÃO DA FLUTUAÇÃO DA PRESSAO � FADIGA ...................................... Erro! Indicador não definido.

11.8. Tampas ...............................................................................................................................................................................123

11.8.1. Tampas Abauladas ou Toro-Eféricas: ........................................................................................................................123 11.8.2 Tampas Hemisfericas .................................................................................................................................................124 11.8.3 Tampas Cônicas: ........................................................................................................................................................124 11.8.4. Tampas Elipsoidais: ..................................................................................................................................................125 11.8.5. Tampas Planas ...........................................................................................................................................................125 11.8.6 Tampas de Cilindros de Motores a explosão: ............................................................................................................125

11.9. Aberturas em Cilindros e Tampas ......................................................................................................................................126 11.9.1. Aberturas em Cilindros: ...........................................................................................................................................126 11.9.2. Aberturas em Tampas: ..............................................................................................................................................127

11.10. Complementos em Paredes Delgadas. ..............................................................................................................................128 11.10.1 Deformações em vasos de Pressão: .........................................................................................................................128 11.10.2 Deformações Radias admitindo as partes unidas. ....................................................................................................129 11.10.3. Cilindros de Paredes Delgadas Encamisados:.........................................................................................................129


12. Parafusos de Força (movimento) ............................................................................ 131 12.1. Perfis Usuais: (Roscas).......................................................................................................................................................131

12.2. Analise de Forças: ..............................................................................................................................................................132

12.3. AUTO RETENÇÃO: (auto-travamento) ............................................................................................................................134 12.4. AUTO ROTAÇÃO : (deslizamento) ..................................................................................................................................134 12.5. EFICIÊNCIA DO PARAFUSO: ........................................................................................................................................135 12.6. PROJETO: .........................................................................................................................................................................135

13. Parafusos de União ................................................................................................. 140 13.1. TERMINOLOGIA: ............................................................................................................................................................140 13.2. Relação entre o Torque no parafuso e o Esforço de Aperto:...............................................................................................142 13.3. Solicitações Progressivas ..................................................................................................................................................144

13.3.1 - Montagens sem Tensão Prévia: ................................................................................................................................144 13.3.2- Montagem com Tensão atuante:................................................................................................................................145 13.3.3- Cargas Cisalhantes: ...................................................................................................................................................146

13.4.- Fratura: .............................................................................................................................................................................146

13.5. Diagramas de Carga x Deslocamento: ...............................................................................................................................148 13.6. Carga de serviço = (acréscimo no parafuso) + ( decréscimo de carga na união).................................................................149

13.7. Aperto de Montagem Crítico: .............................................................................................................................................150 13.8. Determinação de QC: pelo diagrama. ..................................................................................................................................150

13.9. Juntas de Vedação: ............................................................................................................................................................151

13.10 Análise de Tensões ...........................................................................................................................................................153

13.12. Solicitações Dinâmicas ...................................................................................................................................................155 13.12.1. - Cargas Flutuantes – FADIGA: .............................................................................................................................155 13.12.2. Resiliência: .............................................................................................................................................................157

13.13. PARAFUSOS ESPECIAIS PARA ABSORÇÃO DE IMPACTO: ..................................................................................158

13.14. Efeitos Térmicos: ............................................................................................................................................................159

13.14.1. – Cálculo Aproximado: ..........................................................................................................................................160 13.14.2. Calculo Real: ..........................................................................................................................................................161

14. ACOPLAMENTOS: ............................................................................................... 162 14.1. Acoplamentos Rígidos: .....................................................................................................................................................162 14.2. Acoplamentos Flexíveis (Partes Resilientes): ...................................................................................................................164 14.3. Acoplamentos Flexíveis (Partes Rígidas): .........................................................................................................................165

15. EMBREAGENS: .................................................................................................... 167 15.1. Embreagens de Contato Positivo: ......................................................................................................................................167 15.2. Embreagens de Contato Progressivo: ................................................................................................................................168

15.2.1. Embreagens Multi-disco:...........................................................................................................................................169 15.2.2. Embreagens Cônicas: ................................................................................................................................................169

16. FREIOS .................................................................................................................. 170 16.1. FREIOS DE SAPATA: ......................................................................................................................................................171

16.1.1. FREIO DE SAPATA SIMPLES: ..............................................................................................................................171 16.1.2. FREIO DE SAPATAS DUPLAS: .............................................................................................................................172

16.2. FREIO DE CINTA:............................................................................................................................................................172 16.2.1. FREIO DE CINTA SIMPLES: ..................................................................................................................................172 16.2.2. FREIO DE CINTA DIFERENCIAL: ........................................................................................................................173

I7. CORREIAS: ........................................................................................................... 174 18. CORRENTES: ....................................................................................................... 177 ANEXOS ...................................................................................................................... 185 CONTATO: [email protected]


Prefácio

Esta apostila tem o objetivo de oferecer uma trajetória satisfatória no andamento da disciplina de Elementos de Máquinas da Universidade Federal do Rio Grande. Espero que ao revelar todo meu conhecimento que pude adquirir durante o ano de 2008 ,nesta publicação, possa ajudar a tornar mais incentivadoras as madrugadas dedicadas para o conhecimento da disciplina.

Tenho conhecimento que de fato a maioria dos estudantes da atualidade tem uma

certa inércia para tomar certas atitudes, assim faço de meu trabalho um leve ‘’empurrão (spinta)’’ para que então possam caminhar sozinhos. Esse tipo de problema é muito comum, mas deve ser encarado, onde muitas vezes só consegue-se agir por pressão e quando já se tem pouco tempo para estudar. Sabe-se que cada um tem um melhor método de estudo para si, mas posso afirmar que o estudo pré-aula é o ideal para alunos que principalmente estão enfrentando a disciplina pela primeira vez, pois assim pode complementar o conhecimento adquirido com o estudo realizado anteriormente, ao invés de, pegar uma noção do conteúdo nas aulas para ‘’tentar’’ estudar em casa. Acredito que este seja um dos principais fatores que deixam de motivar os alunos, assim prejudicando muitas vezes sua total eficiência.

Esta edição foi criada a partir de uma idéia, que inicialmente havia sido apenas

citada por mim dentre uma roda de amigos, a fim de organizar as notas de aula, com a repartição de tarefas, porém não foi efetivada. Algum tempo depois, já com o ano letivo em andamento busquei uma alternativa para enfrentar a disciplina e aproveitar o tempo ocioso que havia presente no meu cotidiano. Então, foi tomada a decisão de reunir minhas notas de aula com a de outros colegas ainda antes da primeira avaliação. Foi bastante trabalhoso reunir, organizar e digitar todo o material, mas depois de muito comprometimento foi possível obter êxito na minha tarefa. Assim, foi assumido um compromisso com esse método de estudo que se estendeu ao longo do ano letivo.

Acredito, que meu sacrifício e empenho, tenha me acrescentado um bom

conhecimento no assunto e possa ser de grande utilidade para as próximas gerações de estudantes de Elementos de Máquinas. Assim, espero que a partir desta ‘’base’’ seja construída uma grande obra, com apenas um pouco de solidariedade e comprometimento de cada um que usufruir dela.

Logo, para obter êxito ao final dessa caminhada é necessário muita

perseverança, companheirismo, disciplina e respeito. Como muitos do fiel grupo de estudos sabem, ‘’ Estudar é amargo, mas os frutos são SABOROSOS’’ e também ‘’Para colher ROSAS, devemos nos machucar nos ESPINHOS’’(mestre dos magos).

A apostila começa com uma introdução ao estudo da fadiga, seguido de projeto

de eixos e molas, vasos de pressão, parafusos de força e de união, acoplamentos, freios, embreagens, correias, correntes e finalizando com um breve estudo de cabos de aço. Para a criação da mesma, foi usada além das notas de aula, que serviram como base, outras bibliografias e material pesquisado na internet.

Leonardo Mackmillan Paim.


Agradecimentos

Devido a colaboração de alguns colegas foi possível ser confeccionada esta obra, assim segue meus agradecimentos para: Felipe Lemos Chaves, Matheus Ribeiro Xavier, Gustavo dos Santos Correia, Isabel Barreto Rochedo.


1. Concentração de Tensões �� Shigley, pág. 258 Kt = independe das propriedades do material da barra, depende apenas da

geometria da barra e do tipo de descontinuidade. -A medida que a descontinuidade `r` decresce, a concentração de tensão aumenta. -Provocada por acidente de forma de origem geométrica ou aleatória. - Deve-se evitar cantos vivos em construções mecânicas.

1.1 Projeto – Solicitações Estáticas ou Progressivas

- Solução real é diferente da solução do modelo matemático que tenta descrever o problema. - Problema: as soluções através das simplificações da mecânica dos sólidos elásticos, mesmo fornecendo resultados aceitáveis, não são totalmente concordantes com a realidade. - Aceitam-se soluções que levem em consideração : --A simplificação da resistência dos materiais; --Coeficientes de segurança apropriados; --Fatores intensificadores ou redutores, que intervem diretamente no problema. snom x kt < sadm

a) Simplificações da Mecânica dos Sólidos - Tensão ( quase isotrópica ) - Linha elástica ( corpos formados por fibras longitudinais que não interagem entre si – Linha Neutra) - Corpo Virgem ( livre de tensões, desprezando tensões residuais gerados na formação e manuseio do componente) b) Coeficiente de Segurança - Inversamente proporcional ao detalhamento e ao refinamento de análise e modelagem do projeto.


c) Fatores que intervem na análise e na modelagem do problema. c.1) Fatores de Natureza Interna : - Alguns dizem se o material é adequado para a finalidade proposta e outros, por inspeção favorecem a análise qualitativa (tipo passa-não-passa ) - Dependem diretamente do material utilizado no projeto e entram no mesmo como variáveis internas, tipo: -- Deformação plástica à quente: fluência; -- Deformação plástica à frio: encruamento ( dobramento, forjamento) -- Composição, estrutura, granulação; -- Defeitos internos ( inclusões, bolhas, segregação, microvazios, trincas); -- Tratamentos térmicos ( tempera, cementação ). c.2) Fatores de Natureza Externa: - Dependem da geometria dos acidentes de forma que o componente a projetar apresenta e do tipo de solicitação atuante. `` A falha não depende somente de se alcançar a tensão limite num determinado ponto, mas também do estado de tensões.`` `` O material somente pode escoar num ponto se os pontos no entorno ( adjacentes) começarem a ceder.`` Em flexão : Sy1

Sy2 > Sy1 ( 1,36 a 1,45 Sy1)

Sy3 > Sy2 ( aprox. 1,70 Sy1)

1.2 Fator de Concentração de Tensões Teórico ( Kt) - Relaciona a tensão máxima na descontinuidade geométrica com a tensão nominal.

o

máxKtσ

σ= ou o

máxKtsτ

τ=

- Materiais Frágeis: ruptura brusca, violenta e rápida; absorve menos energia, Kt = Total = integral. - Materiais Dúcteis: materiais plásticos e elásticos, absorve mais energia; Kt =1 (sempre). - Kt, conceitualmente é um fator puramente geométrico ( independe do material). Seu efeito pode ser visto através de analogias.


-- Analogia de Fluxo: ``A severidade de concentrações de tensões Kt, será proporcional a curvatura das linhas de fluxo``

-- Analogia da Barra Curva: `` Para uma mesma carga a barra curva alonga-se mais que a barra reta, ou, para um mesmo alongamento, a barra reta suporta um esforço maior que a barra curva.``

- Gráficos

� sflexao x Kt = smáx.f. � st,c x Kt = smáx.t,c

� t x Kts = tmáx.s - Determinação de Kt. � Geometria + Solicitação externa. -- Teoria da Elasticidade:

+

+=42

)( 23

22

2 x

d

x

domáxx

σσ � furo

( )edb

P

A

Po .−

==σ sendo: x = d/2 smáx = 3 so

Kt=3, quando d/b < 0,25, erro em smáx < 6%.


1.3 Efeito de Entalhe

- O efeito é muito localizado ( detalhe local);

a) Materiais Frágeis: altamente sensível ao entalhe, Kt integral.

b) Materiais Frágeis não homogêneos: ( ferro fundido cinzento); grafite em quantidade não desprezível que por si mesma ??? pontos de concentração de tensões muitas vezes bem mais critica. Kt não é importante.

c) Materiais Dúcteis sob Solicitação Estática: ocorre escoamento localizado junto

ao acidente de forma e conseqüente homogeinizição do campo de tensões, com o crescimento da solicitação externa.

smáx > Sy: região escoada

Logo a distribuição passa a ser uniforme Kt =1. - Cuidados: temperatura de transição e solicitações dinâmicas.


1.4. MFLE – Mecânica da Fratura Linear Elástica

(shigley pg:280), não tem no Juvinall

( isotrópica, homogênea e plana )

1) Considerações

Kt = f (1/r) ; se r = 0 ; kt �∞ - Quando existe uma trinca ou defeito de fabricação, com raio de curvatura muito pequeno e de valor desconhecido, Kt tende ao infinito. - Observações: a) Para materiais frágeis, a definição de Kt não pode ser usado. b) Para materiais dúcteis, mesmo conhecendo o raio de curvatura de uma trinca ou de uma acidente de forma intenso, as altas tensões locais geram deformação plástica localizada, circundada por uma região de deformação elástica – rótula de plastificação. Também nestes casos a definição de Kt não pode ser utilizado.

2) Evolução � Griffith

3) Aplicação: `` A MFLE funciona para materiais que falham de forma bastante frágil ( a fratura ocorre com deformação plástica nula ou quase nula) ex: papel, vidro, cerâmicas, concreto, aços muito duros, etc.`` `` A MFLE não funciona para materiais que falham por deformação plástica acentuada: polietileno, poliésteres, polipropilenos, borrachas sintéticas e naturais de aço carbono, etc.`` `` Toda a fratura que permite a recomposição da peça, pode ser tratada como MFLE`` - Característica básica da MFLE: existência de uma trinca e falha da estrutura devido a presença da mesma.


4) Estado de Tensões numa Trinca: - Fator Intensidade de Tensões:

Diferentemente de Kt, K1 é dimensional: mMPa ou inKsi , sendo função da tensão média e da geométrica da peça. Porém do ponto de vista do projetista, continua a ser um fator geométrico ( independe do material). - Placa Retangular sob Tração: --Tensões axiais s , admitir trinca de comprimento L = 2a -- Se 2h>>2b e se 2b>>2a. A análise elástica mostra que as condições para o crescimento da trinca são controladas por um fator chamado FATOR DE INTENSIDADE DE TENSÃO, k1.

Forma Geral : aKo .πσ=

Conhecida a geometria: aKK o ...1 πσαα ==

Exemplo: h/b = 1 ; a/b = 0,5 ; K1= 1,32 ; Ko= a.32,1 π

-- A relação K1/Ko (valor desejado)/ (valor base), é função de varias relações h/b e a/b. -- K1 controla a tensão atuante: pode-se saber qual a tensão atuante na ponta de uma trinca. -- Numa forma geral, a solução para o campo de tensões numa trinca feita num material elástico linear ( que apresenta deformação plástica desprezível) é dada pelas expressões;

( )θπ

σ xx fr

K.

.21=

( )θπ

σ yy fr

K.

.21=

( )θπ

τ xyxy fr

K.

.21=

Desta forma: ( )θπ

σ θθ fr

K.

.21=


- Tenacidade à Fratura K1c `` Determinar qual o fator de intensidade de tensão, para o qual a trinca começa a se propagar.`` Kc = tenacidade à fratura ( ou fator de intensidade de tensão crítico). Kc = f ( geometria do material) -- A capacidade de propagação da trinca depende do material que compõe a peça. -- Logo, para uma tensão atuante e conhecida, onde se conhece ou se assume uma trinca de comprimento 2.a quando o valor de K�Kc a trinca propaga. -- Método Poderoso: Utiliza-se Kc, obtido no ensaio de um corpo trincado, para um material utilizado num componente estrutural de geometria bem mais complexa. -- Modo de fratura: 1 em torção e 2 em cisalhamento;

-- Modo 1: é o mais usado ( facilidade de ensaio e de observação). Kc = K1c; Logo: Kc = Fator de intensidade de tensão; K1c = Fator crítico de intensidade de tensão ( tenacidade à fratura) -- Experimentalmente observa-se que, em geral, o aumento da espessura da peça leva a redução de K1c até um valor assintótico. -- Este valor é chamado de `` Fator Crítico de Intensidade de Tensão em Deformação Plana``; pois a deformação no sentido da espessura, na parte da trinca é contida pelo material estático circundante. -- Este valor é geralmente medido: K1c é um limite inferior � conservativo quando aplicado em estado plano de tensões. ( peças finas)


-- Quando a magnitude do fator de intensidade de tensão do modo1 alcança um valor critico, a propagação de trinca K1c começa. -- O fator de intensidade de tensão crítico K1c é uma propriedade do material que depende do modo de trinca, do processamento do material, da temperatura, da razão do carregamento e do estado de tensões no sítio da trinca ( Tal qual Tensão plana vs. Deformação plana). -- O fator intensidade de Tensão Crítico K1c é também chamado de tenacidade de fratura do material, por essa razão, o termo K1c é tipicamente definido como a Tenacidade de Fratura de Deformação Plana do Modo1. -- Carga Estática: é uma força estacionária ou momento aplicado a um membro. Para ser estacionário, tal força ou momento deve ser imutável em magnitude, em ponto de aplicação e em direção. (shigley pg:252) 5) Conclusões: - Analisando o tamanho crítico de uma trinca pode-se dizer:

aK cc ..1 πσα= ou cc aK ..1 πσα=

- `` O material de alta resistência mecânica, pode não ser o ideal para o projeto se não tiver uma alta tenacidade à fratura.`` - `` K1 tem que ter sentido físico, isto é, deve ser maior do que a anisotropia estrutural do material``.


2. Introdução ao Estudo da Fadiga dos Materiais. - Falhas com cargas que geram tensões menores que as de ruptura. Os materiais tem um comportamento semelhante ao cansaço no corpo humano.

2.1 Aspecto e Análise de Fraturas ( Fractografia)

- A análise macroscópica da peça fraturada pode levar a conclusões significativas sobre as possíveis causas da falha. - Ruptura por Fadiga � ocorrência ( freqüência )

Tração – Compressão ( ruptura bastante rara); Torque; Flexão Plana ( alternada ou repetida); Flexão Rotativa.

- Acidentes Característicos: (inspeção visual da face de uma ruptura ) A: Trinca Inicial; B: Linhas de Repouso; C: Linhas Radiais; F: Zona de Ruptura Lenta ( Fadiga); R: Zona de Ruptura Violenta ( granulação grosseira). A: Trinca Inicial: geralmente gerada por algum defeito superficial ou peça mal acabada, micro fissuras com alta concentração de tensão geram trinca inicial. B: Linhas de Repouso: marcam as etapas progressivas de desenvolvimento da fissura inicial. As linhas de repouso, devem-se as paradas e/ou variações no regime de funcionamento do equipamento. Não aparecem nos ensaios de fadiga em corpos de prova; devido ao caráter continuo dos mesmos. C: Linhas Radiais: marcam desníveis nas faces sucessivas de desenvolvimento das fissuras. Surgem devido à paradas e também devido à acidentes geométricos ( rasgos de chaveta, escalonamento, etc) F: Zona de Ruptura Lenta ( fadiga): característica numa face de ruptura por fadiga de um material dúctil. Engloba as linhas radiais e de repouso. Apresenta-se lisa e dependendo das condições de serviço, espelhada. Para se formar leva toda a vida da peça. R: Zona de Ruptura Violenta: as dimensões da peça são insuficientes para suportar a solicitação externa. A região apresenta-se com aparência rugosa, superfície áspera e granulação ( características de ruptura violenta)


OBS: -Compressão não gera propagação de falha ( Trinca ); - Tração gera propagação de falha ( Trinca). - A característica de falha é da solicitação predominante. - Questionamentos a serem feitos na presença de uma ruptura; 1) Verificar se já ocorreram rupturas semelhantes; 2) Qual o tempo de serviço do componente antes da falha; 3) Verificar se a causa da falha encontra-se a montante ou a jusante da peça; 4) Qual o estado dos demais componentes no equipamento; 5) Verificar se as condições de trabalho ou operação seguem as recomendações ou especificações do fabricante. - Causas Principais de Falha em Componentes Mecânicos: 1) Traçado da peça ( balanceamento); 2) Natureza do contato com os outros componentes ( mov. relativo, atrito, desgaste, etc) 3) Natureza das faces de contato ( tratamentos de endurecimento) 4) Ambiente de trabalho ( corrosão) 5) Vibrações 6) Qualidade da usinagem; 7) Defeitos do material; 8) Detalhes de soldagem. - Aspectos Preliminares: -- Fadiga de Alto Ciclo: ( ou falha de alto número de ciclos) pouca ou nenhuma deformação plástica ocorre ( N >= 10.000 ciclos). -- Fadiga de Baixo Ciclo: ( ou fadiga de baixo número de ciclos ou oligociclica) existe deformação plástica que não caracteriza grandes deformações ( 100 <= N<= 10.000 ciclos). - Ensaio de Fadiga ( Diagrama de Moore ) -- Diagrama que associa a tensão ao número de ciclos.

- Projeto de Fadiga:

-- Medição do carregamento; -- Contagem de ciclos; -- Obtenção das propriedades mecânicas de fadiga; -- Modelos de acúmulo de danos.


- Modelos Tradicionais de Acúmulo de Danos. -- São metodologias fenomenológicas de detalhe local;

a) Modelos que descrevem o início do trincamento: análise de tensões convencionais: -- Método SN ( Longa vida e alto ciclo); -- Método εN ( Vida curta e baixo ciclo).

b) Modelos que descrevem a propagação da trinca:

-- Método da/dN ``Fail Safe Design``, onde se acompanha e limita o crescimento da trinca ( é a aplicação da MFLE). -- Tolerância ao Dano ``Damage-Tolerant Design`` é uma extensão do método da/dN, depende de um bom controle de qualidade e da inspeção continuada ( ensaios não destrutivos). `` O movimento das discordâncias do material causado pela energia de distorção gerada no processo de deformação, gera a chamada Trinca inicial. Esta é a responsável pela falha por fadiga, mesmo que a peça apresente um ótimo acabamento superficial.``

- OBS: -- Em geral as trincas nascem na superfície da peça ( estado plano de tensões); -- Deve-se as máximas tensões no ponto mais solicitado da seção mais solicitada da peça; -- A vida de propagação de uma trinca é muito menor do que a vida até a iniciação da mesma ( para uma peça bem dimensionada). -- Deve-se num projeto por fadiga, ser considerada a maior quantidade possível de fatores externos que de uma forma ou de outra possam contribuir para a redução da vida útil de um componente mecânico ( detalhe local).


2.2 Modelos que Descrevem o Início do Trincamento:

-- Fadiga de Alto Ciclo ( Método SN)

Conceito: fadiga do material é a capacidade do mesmo entrar em colapso quando submetido a um estado de tensões inferior a estado de tensões típico de falha em solicitação estática, bastando que o mesmo seja aplicado, repetidamente, um número suficiente de vezes.

-- Regras de Wohler: 1) Pode-se sempre romper um corpo de prova, com uma solicitação, tal que: smin = 0 e smax < Sy. Desde que o carregamento imposto seja repetido ( N), um número suficiente de vezes.

2) É uma extensão da primeira fazendo smin > 0 e mantendo smax < Sy, o número de repetições da solicitação (N) necessário para romper o corpo de prova aumentará.

N2 > N1 Quando smin� smax , smax < Sy em solicitação estática, não ocorre falha.

3) Tomando a solicitação tal que smax = |smin| e smax < Sy, o número de repetições de solicitação (N2) necessário para romper p corpo de prova diminuirá.

Máquinas de ensaio de Fadiga em Flexão Rotativa. N3 < N2 < N1 Situação crítica é dada pela 3ª regra: pior situação disponível.


2.3 Metodologia da Tensão Média Nominal:

-- Para um material ``A`` cujos corpos de prova tem dimensões ``b,c,d`` e o acabamento superficial ``B`` e demais padronizações.

S`n10³� limite de fadiga para 1000 ciclos. -- Não se pode usar o limite de escoamento porque não é uma ensaio estático.

-- S`n � menos valor da tensão para o qual o N�∞ . -- s > S`n � rompe; -- s = S`n � F.S = 1 ( rompe não rompe) -- s < S`n � tem vida infinita.


2.4 SOLICITAÇÕES

- Conceito : Tendo em vista o universo de solicitações fica praticamente inviável a determinação via ensaio das características associadas a cada tipo de carregamento, a cada tipo de material, a cada tipo de geometria e a cada tipo de ambiente de trabalho. A combinação desses fatores geram infinitas combinações. - Conceitos Auxiliares: -- Tensão Média (sm, τm) : é a tensão acima e abaixo da qual existe uma solicitação de igual amplitude ( divide o ciclo pela metade). -- Tensão Alternante: ( ou Alternada) (sa, τa): é a amplitude da solicitação.

-- Definem-se :

2minmax σσσ +=m e

2minmax σσσ −=a

Logo:

am σσσ +=max e am σσσ −=min

-- A tensão média é um vetor e a tensão alternada é um escalar.


2.4.1 Solicitações:

1) Monótona ou Progressiva: ( carga I)

maxσσ =m e 0=aσ � σσσ == maxmin

2) Alternativa Pura ( carga III) – Alternada:

0=mσ aσσ =max � maxmin σσ −=

3) Repetida ( carga II) o=minσ σσ =max

Logo: max.5,0 σσσ == am

4) Flutuante ( carga II) ou Pulsante ( carga II) : positiva ou negativa

2

minmax σσσ +=m

2

minmax σσσ −=a


2.5 Determinação do Limite de Fadiga �� Curvas SN ( ou curvas de Moore).

- As curvas SN geralmente são obtidas em ensaio de flexão rotativa. - S`n �� Limite de Fadiga ( característica mecânica) -- É o valor limite de tensão, para a qual o corpo de prova pode suportar um numero infinito de ciclos regulares, sem romper ( alguns materiais não respondem desta forma). -- Limite de Fadiga em flexão rotativa para um corpo de prova em condições reais de fabricação e ambiente. - S N �� Resistência à Fadiga ( não é característica mecanica) -- É o valor máximo de tensão suportada para um dado número de ciclos, por um corpo de prova, após o qual ocorre a falha mecânica. Utilizado no projeto de vida finita.


2.6 Determinação da Curva de Moore

- Ensaio de Tração smax = 60% a 70% ( ou 90% Su); - Decremento constante de s , ∆s mantendo a velocidade de ensaio para corpos de prova ( CPs) seguintes: -- marcam-se os pontos de ruptura num diagrama sx N ; -- quando s é tal que não ocorre mais falha, incrementa-se a tensão de ∆s até o valor de smax voltando todo o processo. -- no final dos ensaios ( de 100 a 200 CPs) obtém-se uma amostragem com a distribuição que segue.

X � ruptura; O � não ruptura; Ensaio típico de flexão rotativa.

- Para Aços em Geral , a curva torna-se assintótica entre 106 e 107 ciclos. - Para Ligas de Alumínio, a curva tem decaimento contínuo, logo, ligas de Al não possuem características mecânicas. Limite de fadiga, trabalha-se sempre com precisão de vida finita ( resistência à fadiga). -- Al (anomalo) com comportamento diferente em relação a curva acima.

--Convenção SN, Al � N = 5.108 ciclos. - Linearizar: Log NS x Log N --p/ aços : N >= 1000 ciclos ( N < 1000 deformação plástica predominante.)


- De forma genérica ( sempre solicitação axial)

SN = a.Nb ou 3

3

10

10

10loglog

10loglog

`log`log

`log`log

3

3

−−=

−−

αα

N

SS

SS

nn

nN

-- AÇO n = a= 106

3

3log

`log`log

`log`log

36

3

1010

10 −=−− N

SS

SS

n

nN

-- Alumínio

310.5log

3log

`loglog

`log`log8

1010..5

10

38

3

−−=

−− N

SS

SS

nN

nN sendo α = f( material);

Uma boa aproximação para o projeto de peças em aço ( em flexão rotativa). S`n10

3= 0,9 Su S`n106= 0,5 Su

Ensaio em Flexão Rotativa: Moore e Wohler. - Características Mecânicas: -- Solicitação uniaxial e de amplitude constante ao longo do tempo; -- Material apresenta `` Limite de Fadiga`` associado;

N

nSadma

`=≤ αα

S`n � é limite de fadiga do material associado ao tipo de ensaio cíclico e ao corpo de prova. É uma característica mecânica [f(material)] - A determinação de S`n geralmente, é obtida em ensaio de Flexão Rotativa ( cíclico alternativo puro). -- Peça solicitada solicitada em flexão rotativa σm=0 e σa=σ; -- Ensaio de corpo de prova em flexão rotativa S`n;

N

nSadma

`=≤ αα comparação direta;

-- Não vale para a infinidade de solicitações que não se caracterizam como alternativa pura. - Exceção para alguns Tipos de Aços: -- Carga Axial e Flexão: -- Torque:

max

min2

.3``

σσ−

= SnSn

max

min1

.2``

ττ−

= SnSn


2.7. Limite de Fadiga para Projeto:

- Aços : Flexão Rotativa � S`n10

3= 0,9 Su S`n106= 0,5 Su

Solicitação Axial � S`n10

3= 0,75 Su Torque � S`nS= 0,9 Sus ,sendo Sus = 0,8 Su, Sys = 0,5 Sy Sus (stress ultimate share – troção ) - Outros materiais: -- Alumínio : 0≤ Su≤ 48Ksi � S N/Su= 0,4 Su > 48 Ksi � SN = 19Ksi; -- Ferro Fundido: ( N = 2.107) S`N/Su= 0,4 a 0,5 -- Ligas Mg: ( N = 108) SN/Su= 0,35 -- Ligas Cu : ( N = 108) SN/Su= 0,25 a 0,5 -- Ligas Ni: ( N = 108) SN/Su= 0,35 a 0,5 -- Ligas de Ti: ( N =106 a 108) S N/Su= 0,25 a 0,5 - Obs: O diagrama de Mo ore, sempre é relacionado a uma solicitação uniaxial. - Aspecto e Análise se Fraturas ( fractografia) -- A análise macroscópica da peça fraturada pode levar a conclusões significativas sobre as possíveis causas de falha. -- Rupturas por fadiga : Flexão rotativa � Flexão plana ( alternada ou repetida) �Torque � Tração – compressão. -- ``A fratura tem geralmente a característica da solicitação predominante``


3. Diagramas de Fadiga - REGRAS DE WOHLER: Conforme vimos, para um valor igual de tensão máxima, determinam-se os ciclos de vida, reduzindo as amplitudes dos mesmos.

- Aplicação da Regra de Wohler: Qual deve ser a tensão aplicada para que variando a amplitude obtenhamos ruptura com aproximadamente o mesmo número de ciclos? Isto é:

- Para que as falhas ocorram com o mesmo ( aproximado) numero de ciclos do caso alternativo puro, surge uma tensão média para os demais ciclos e uma redução na tensão alternada ( amplitude).

- Os ciclos de tensão são limitados pelas curvas de tensão máxima e mínima caracterizam `` solicitações equivalentes`` em vida ou número de ciclos. - Através desta constatação, pode-se obter os chamados `` DIAGRAMAS DE FADIGA``. Vários diagramas são apresentados na bibliografia, atendendo a esta consideração de vida equivalente.


- No lugar de obtermos diagramas do Moore para cada caso ou tipo de solicitação, conhecendo-se as características do material, limites de Su e S`n, sempre podemos obter curvas de tensões máximas e mínimas, delimitando-se uma região de resistência equivalente. - Obs: Cada material tem seu diagrama para cada tipo de esforço ( Torque, Push – Pull, Flexão)


3.1 Diagrama de Smith ( norma DIN)

- É o mais completo, mais didático, pois permite a visualização de todos os ciclos de vida equivalente. -- Inconveniente: as tensões alternadas são lidas indiretamente a partir da linha de tensões médias. - Vantagem: ler e enxergar qualquer ciclo e em qualquer posição sm (+) � abre trinca. sm (-) � não abre trinca ( com exceções )

a) Su,Su b) S`n ( linha máxima, linha média, linha mínima) c) Sy ( limitando ao escoamento com linha horizontal até a S`n, desce vertical

até encontrar linha mínima). d) Segurança� depende de quanto vai se usar o N, vai até linha média com

uma perpendicular até linha mínima, unindo os pontos. e) S N (entra em log S x log N) S`N para correspondente que quero saber.

- Diagrama de Segurança : é interior e formado por segmentos de reta paralelos ao diagrama de vida infinita. - Diagrama de Vida Finita: são exteriores ao diagrama de vida infinita, e, portanto, formados por segmentos de reta e não paralelos aos segmentos das mesmas.


3.2 Diagrama de Goodman ( + usado no projeto mecânico)

- Os diagramas de Goodman, assim como os demais diagramas que seguem, apesar de não fornecer a visualização do ciclo, tem a vantagem de se obter, via leitura direta, as tensões médias e alternada para uma determinada solicitação. - Utiliza a parte positiva do diagrama de Smith.


- Goodman não limitado ao escoamento OAB ~ CDB ( semelhança de triângulos).

___

___

___

___

CB

OB

CD

OA = � ma Su

SuSn

σσ −= � 1=+

SnSuam σσ

- Goodman Limitado ao Escoamento: -- Dependerá da posição de σm a) Conhecer a.

b) Se am < amintersecção � 1610

=+SnSu

am σσ

c) Se am < amintersecção � Syam =+σσ

d) Conhecendo am e aa , conhece-se o ponto de carga e a linha de carga

conhecida � ασσ 1−= Tan

a

m

( )( ) θ1

10

10

6

6 −=−

−Tan

SuSySn

SySuSn

ângulo linha de carga ângulo do joelho

-- θα > � 1`

=+nSSuam σσ

( limitado a ruptura)

-- θα ≤ � Syam =+σσ ( limitado ao escoamento)


3.3 Diagrama de Soderberg: ( escola conservativa)

- Projeto no regime elástico. - Diagrama bastante usado quando no projeto não se admitem deformações plásticas.

- Por limitar ao escoamento este diagrama não deve ser usado para solicitações de fadiga que provoquem plastificações ao corpo de prova.


3.4 Diagrama de Gerber:

- O que mais se aproxima da realidade ( parábola) - É uma parábola que cobre a maioria dos eventos. - Para projeto de vida finita ( fadiga de baixo ciclo 100 a 10000 ciclos)


3.5 Demais Diagramas e Definições Matemáticas.

- Goodman e Soderberg podem ser expressas através de equações de retas e Gerber através de equações de parábolas.

� ∆OAB ~ ∆CDB

___

___

___

___

CB

OB

CD

OA = � ma Su

SunS

σσ −=`

� equação de goodman: 1`

=+nSSuam σσ

-- Forma Geral para Vida Finita ou Infinita:

1`.

=

+

q

a

P

m

nSSuK

σσ

-- Forma Geral para Segurança N:

1`

.

.

. =

+

q

a

P

m

nS

N

SuK

N σσ


3.6 Pode-se obter os seguintes diagramas de vida ( infinita ou finita) e de segurança.

-- SODERBERG: Su

SyK = , p = q = 1.

1`

. =

+

nSSyam σσ

1`

.. =

+

nS

N

Sy

N am σσ

Vida Finita ou Infinita Segurança -- Goodman: K = p = q =1.

1`

. =

+

nSSuam σσ

1`

.. =

+

nS

N

Su

N am σσ

Vida Finita ou Infinita Segurança

-- Elíptico ( ASME): Su

SyK = , p = q = 2.

1`

22

=

+

nSSyam σσ

1`

..22

=

+

nS

N

Sy

N am σσ

Segurança

-- Bagci: Su

SyK = , p = 4 e q = 1.

1`

.4

=

+

nSSyam σσ

1`

..4

=

+

nS

N

Su

N am σσ

Segurança -- Escoamento ( LANGER):

Syam =+σσ N

Syam =+ σσ

Segurança -- Gerber: K = q =1, p = 2.

1`

.2

=

+

nSSuam σσ

1`

..2

=

+

nS

N

Su

N am σσ

Segurança


4. FATORES REDUTORES Padronização dos Ensaios - ler no Juvinall e comparar com o Shigley

- Fatores que reduzem o Limite ( e a Resistência ) à Fadiga: S`n � característico de um material , determinado em ensaios de laboratório. - Problemas 1) Discrepâncias entre os resultados obtidos em lugares diferentes; 2) Diferente geometria e dimensões entre as peças reais e corpos de prova; 3) Diferenças entre ambiente de trabalho e ambiente de laboratório. - Laboratórios: resultados obtidos em laboratórios diferentes eram muito discrepantes. Não havia padronização nas metodologias e na realização dos ensaios. - Peça Real: apresenta diferenças em relação ao corpo de prova ( acabamento, acidentes de geometria, dimensões, solicitação, ambiente de trabalho, etc...) - Estes fatores externos são determinantes para que o limite de fadiga obtido em laboratório não se verifique na prática. - Variáveis Externas Responsáveis pela Redução do Limite de Fadiga: -- Tipo de solicitação, freqüência, sobrecargas; -- Temperatura, tratamentos térmicos; -- Ambiente de trabalho, corrosão; -- Tratamentos metalúrgicos, encruamento, têmpera; -- Coberturas protetivas.

4.1 Fator de Carga ( Load Factor) CL:

- É função do tipo de solicitação; - Flexão Plana: diferenças na ordem de 5% em S`n, portanto considera-se CL= 1,0. - Solicitação Axial Reversa: S`nAXIAL ≠ S`nFLEXAO-ROTATIVA, provavelmente devido a: possíveis excentricidades, diferentes gradientes de tensão. -- De forma genérica: 0,75 ≤ CL ≤ 1,0 :

� Teste com controle severo: CL= 0,9 a 1,0. � Teste com excentricidade indeterminada: CL= 0,6 a 0,85.

- Sempre que possível quantificar a carga externa atuante

- Solicitação de Torção: conforme Von Misses 2

21 σστ −= é a forma mais

apropriada de projetar. Logo, adota-se CL= 0,58 ( valor recomendado)

Logo: ROTATIVAFLEXAO

ENSAIOL nS

nSC

−

=`

`


4.2 Fator de Tamanho ou Geométrico ( Size Factor) CD:

- É extremamente difícil de obter propriedades metalúrgicas iguais e acabamento superficial constante, numa superfície quando esta é muito grande. ( microestrutura uniforme). - Verificou-se que se f cresce � S`n decresce. - Adotou-se em acordo internacional, corpo de prova padrão f= 8 mm.

Logo: mm

MAIORD nS

nSC

8`

`=

- Existem gráficos que fornece a redução do limite de fadiga em função do aumento do diâmetro da peça. Na falta adotam-se tanto para flexão quanto para torque. F mm 10 20 30 50 100 200 250

CD 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,57 0,56 Tabela de Hanchen

f < 0,4`` � CD = 1,0

0,4`` ≤f ≤ 2,0`` � CD = 0,9

f > 2,0`` � reduzir 0,1 para cada polegada até um mínimo de CD = 0,6.

4.3 Fator de Acabamento Superficial CS

- Considerando que o método SN é de detalhe local, o acabamento da superfície altera sensivelmente o limite de Fadiga S`n. - Quanto pior o acabamento superficial, menor o limite de fadiga.

polidoprovadecorpo

processodoacabamentoS nS

nSC

−−−

−−=`

`

- Em geral são fornecidas curvas de acabamento superficial obtidas em laboratório. - Para projeto de maior responsabilidade � dados específicos sobre o material. - Observa-se que, materiais duros � granulação fina � maior sensibilidade para a geração de trincas por fadiga na presença de rugosidade superficial.


4.4 Fator de Choque e Vibrações, CC

- Verifica-se que o funcionamento de uma máquina em função da existência das vibrações, pode alterar o limite de fadiga. - Sempre que possível quantificar o fator de impacto, I, conforme a Mecânica dos Sólidos.

- CC ≥ 1 � impactoprovadecorpo

padraoprovadecorpoC nS

nSC

+−−

−−−=`

`

Tipo de Equipamento

Impacto CC

Maquinas Rotativas – Turbinas- elétricas em Geral

Leve 1,0 a 1,1

Máquina Embolo – ( combustão, vapor, bomba, compressor, tornos, plainas)

Médio 1,2 a 1,5

Forjas, Tesouras, Pulsionadores

Forte 1,6 a 2,0

Martelo de Queda, Moinhos de mola, Laminadores.

Muito Forte 2,1 a 3,0

4.5 Fator de Solda CW

- Um acabamento superficial de qualidade para a superfície soldada, pode melhorar resistência a fadiga em até 20%. - CW ≤ 1,0 ( AWS) American Welding Society.

4.6 EFEITO GLOBAL NO LIMITE DE FADIGA

nSC

CCCCSn

C

WDSL`.

...=

- `` Devido a aparência quase estática da ruptura ( grande deformação plástica ), os fatores redutores de limite de fadiga podem ser desprezados quando N ≤ 1000 ciclos ``.


4.7 Fator de Concentração de Tensões à Fadiga Kf.

- Determinação experimental : 1`

`

..

..f

especificoformaseacidentescomPC

formaseacidentessempadraoPCf nS

nSK

−−−−−

−−−−−=

- Dificuldades : a) para cada tipo de acidente de forma, um valor de S`n. b) para cada tipo de material e mesmo acidente de forma, um valor diferente de S`n. - Conclusão : Kf, além da geometria e da solicitação, depende do material, é uma característica mecânica. - Sendo Kf. dependente também da geometria, procurou-se uma relação com KT. Verificou-se experimentalmente que, para iguais material e acidente de forma Kf. < KT.

4.8 EQUAÇÃO DE PETERSON

- Introduz o conceito de `` sensibilidade ao entalhe`` do material ``q`` muito conveniente para uso imediato do projetista, q = f ( r,a, material)

1

1

−−=

q

F

K

Kq � Kf = 1 + q .( KT - 1)

- Determinação da Sensibilidade ao Entalhe ``q``: -- Peterson fornece famílias de Curvas q = f ( Su, r) -- Equação Neuber Simplificada:

r

a

KK T

F

+

−+=1

11 �

r

aK

K

T

F

+=

−−

1

1

1

1 logo:

r

aq

+=

1

1

Sendo a = constante de Neuber. ( figura Juvinall) -OBS: a) Kf, pode ser usado como redutor de Limite de Fadiga, ou como intensificardor da Tensão alternada atuante. -- Como redutor do limite de fadiga por exemplo:

FC

WDSL

KnS

C

CCCCSn

1.`.

...=

b) Heywood � verifica-se que para aços em geral não se pode desprezar Kf, para 103 ciclos. -- A figura mostra o trabalho de Heywood em que se considera Kf, para 103 ciclos.

Su = x e =−−

1

1

T

F

K

K y logo, Sn10

3 = 1/ Kf


4.9 RESUMO

a) Dada a dureza Brinell � Su (ksi) :

)(5,0 ksiSuBhn=

b) Para 103 ciclos: CL= 1 KF = 1 + a.( KF - 1 ) Sn10

3 = S`n103 . 1/ K F

-- Flexão rotativa: Sn`103 = 0,9 Su

-- Torque alternativo: Sn`103 = 0,9 Su

-- Tração – Compressão: Sn`103 = 0,75 Su

c) Para 106 ciclos: Flexão Torque Axial CL 1,0 0,58 0,75 a 0,9 CS Gráficos Gráficos Gráficos CD Tabelado Tabelado 1,0 CC Tabelado ou Fator

de impacto Tabelado ou Fator de impacto

Tabelado ou Fator de impacto

CW ASME ASME ASME - Observações: -- Flexão Rotativa : Sn10

6 = 0,5 Su -- Se a solicitação for de torque e não forem fornecidas as características mecânicas próprias, utiliza-se Sus = 0,8 Su , com Sys = 0,5 Sy para flexão rotativa aplicando o fator de carga CL = 0,58. -- Se a solicitação for de torção e forem fornecidas as características do material: Sus, Sy e S`ns e fator de carga CL , será unitário. �� Procedimento de Projeto:

�


5. Solicitações Analíticas: Método da Tensão Média Nominal - O nome deve-se ao fato de que a tensão média permanece inalterada.

| Goodman � f ( α,ө)

| } Lineares

| Soderberg � f ( α,ө)

Mas - tensão média estática : Logo:

} em solicitação estática.

Ci� δ – fator de conversão estática . Fulvio: `` O pulo do gato é transformar uma solicitação dinâmica, aumentando sua tensão alternada de modo que ela se compare a uma solicitação estática equivalente.`` �� Casos / Solicitações Externas 1°) Solicitações Simples ( Tração, Flexão, Torção ) , sem componente médio (σσσσm=0) -- σa = Sn , sendo Sn = S`n . CL. CS. CD. CW / Cc.KF

Ou σa = Su, quando Vida Finita

2°) Solicitação Simples com Componente Média σσσσm 0≠ -- Utiliza-se um dos procedimentos de fadiga ( Soderberg, Smith, Goodman, Gerber,...) solução gráfica ou analítica para a solicitação atuante, com os seguintes fatores redutivos do Limite de Fadiga, aplicáveis.

Soderberg: NSnSy

am 1=+ σσ ou

N

Sy

Sn

Syam =

+ σσ . (= σadm)

Goodman: NSnSu

am 1=+ σσ ou

N

Su

Sn

Suam =

+ σσ . (= σadm)

- As expressões acima, mantém a tensão média constante e alteram a tensão alternada de uma quantidade adimensional e constante, função das características do material ( Su ou Sy e Sn). Esta será chamada de : =δ FATOR DE CONVERSÃO ESTÁTICA


OBS: δ flexão δ torção

Soderberg: N

Syam =+δσσ (= σadm)

Sn

Sy=δ

Goodman: N

Suam =+δσσ (= σadm)

Sn

Su=δ

-- Idem para os demais diagramas... 3°) Estado Plano de Tensões – Tensões Completamente Alternadas (σσσσm=0) -- Problema: qual a tensão de resistência? Sy, Sn ou Su ? - Alguns procedimentos: a) Uso de um procedimento de fadiga ( Goodman, Gerber, Soderberg, ...) para a determinação de uma `` Tensão Equivalente Estática`` a qual pode ser então utilizada numa teoria de falha conveniente ( Tresca ou Von Mises ). -- Tensão Equivalente Estática:

Flexão ou Solicitação Axial: eeadma N

Suou

N

Sy σσσδ =

= ...

Torque ou Cisalhamento: eeadmat N

Susou

N

Sys τττδ =

= ...

� Determinação da Tensão Ideal Equivalente Estática:

Tresca: ( ) ( ) ( )[ ] 2/1222/12221, ..4..4 ataeeee

Teei τδσδτσσσσ +=+=−=

Von Mises:

( ) ( ) ( )[ ] 2/1222/1221

22

21, ..3..3. ataeeee

Meei τδσδτσσσσσσ +=+=−+=

Onde: Sn

Sy=δ ou Sn

Su , sendo

FC

WDSL

KC

CCCCnSSn

1.

....`= (CL=1, Flexão )

Sns

SysT =δ ou

Sns

Sus , sendo

tFC

DSL

KC

CCCnSSns

,

1.

...`= (CL=0,58 , torção )


b) Um procedimento alternativo: Alteram-se (aumentando-se) as tensões alternadas, multiplicando-as as mesmas pelos respectivos fatores de concentração de tensão à Fadiga . Desta forma obtém-se uma tensão ideal equivalente estática alternante, que pode ser compara diretamente com o limite de fadiga em flexão rotativa.

( ) ( )[ ] 2/12,

2,, ..43. atfaf

MTeeia KouK τσσ +=

- Neste procedimento, reduz-se a complexidade pois para os casos específicos de vida finita , a variação de Kf não é linear. 4°) Estado Plano de Tensões Flutuantes, Alternadas, Repetidas (σσσσm 0≠ ) - Não é possível compara diretamente a tensão ou as tensões com o limite de fadiga, Sn, devido as presenças de tensões médias e alternadas (σm e σa ou τa e τm ) a) Um procedimento simplificado consiste, novamente, determinar tensões equivalentes estáticas através do uso de um procedimento de fadiga ( Gerber, Goodman, ...) e de uma teoria de falha mecânica conveniente ( Tresca ou Von Mises).

Flexão com Torção: ( ) ( )[ ] 2/122, ..4. atmam

Teei τδτσδσσ +++=

( ) ( )[ ] 2/122, ..3. atmam

Meei τδτσδσσ +++=

-- Nota-se que para os casos em que existem esforços de tração – compressão combinados com flexão, a tensão normal resultante é obtida por superposição. FLEXAOmCTmTOTALm −−− += σσσ ..

FLEXAOaCTaTOTALa −−− += σσδσ ...

Sempre considerando os fatores de conservação estática,δ , pertinentes.

b) No procedimento considerado PADRÃO, seguem-se os passos: (Juvinall)

1) Para a resistência ( característica de fadiga) utiliza-se o diagrama (ou equação de SN) de Moore, vida infinita, solicitação de flexão rotativa, incluindo-se os fatores redutores de S`n, menos o fator de concentração de tensão à fadiga Kf.

2) Aplica-se os fatores Kf apropriados como intensificadores das tensões

alternadas envolvidas na solicitação (σa T.C , σa.F e τa ) 3) Utiliza-se a Teoria de Falha Mecânica de Von Mises para determinar uma

tesão alternada equivalente.

( ) ( )[ ] 2/12,

2 .3. aTfafae KK τσσ ++=


4) Através do Circulo de Mohr ( ou equações da Tensões Principais) determina-se uma tensão média principal ( equivalente), considerando uma situação hipotética, em que as tensões médias atuem isoladamente.

( ) 2/1222,1 .4

2

1/

2 mmm

m τσσσ +−+=

5) Com σ1m utiliza-se o diagrama de Goodman ( limitado ou não ao escoamento) para flexão rotativa e determina-se uma tensão alternante, σ1a, associada a σ1m. Esta tensão σ1a é de comparação.

6) Se σ1a ≥ σea = Segurança.

N �� σσσσ1a σσσσea

- A utilização de K como intensificador de tensão alternada, em vez de redutor do limite de Fadiga pode se revelar vantajoso, principalmente se as curvas SN e a resistência a fadiga para uma determinada vida, forem independentes da geometria do acidente de forma. - Logo as mesmas curvas podem ser utilizadas repetidamente para componentes ( fabricados com o mesmo material e mesmas características mecânicas) com diferentes acidentes de forma.


6. Influencia da Amplitude Variável na Vida de um Elemento Mecânico ou Estrutural - Natureza de Solicitação Externa: -- Ciclos de amplitude constante ( máquinas que trabalham ciclicamente sob solicitação monótona ); -- Ciclos de amplitude variável com repetição em blocos ( máquinas que trabalham ciclicamente sob solicitação com variação determinada ); -- Ciclos de amplitude aleatória ( máquinas e equipamentos sujeitos a ação de forças da natureza );

A solicitação numa aplicação real, pode ter, amplitudes completamente aleatórias, por exemplo ( cargas de ventos em estruturas ).

Porém, muitas vezes uma solicitação de amplitude variável pode ser decomposta

em blocos de amplitude semelhante, que, em relação ao limite de fadiga do material, podem caracterizar sobre-tensão ou sub-tensão.

Amplitudes em relação ao Limite de Fadiga e de escoamento do material:

Sub-tensão ou Treinamento

Sobre-tensão

6.1 Sub-Tensão : ( understress )

-- Gera o treinamento do material; -- Causa acréscimo de vida em até 20%.

1 – ( σ1,N1) � Sub-tensão; 2 – ( σ2,N2) � Vida estimada; 3 – ( σ3,N3) �Vida real devido a Sub- Tensão.


6,2 Sobre-Tensão : ( overstress )

-- Pode reduzir a vida da peça; -- Melhora as características mecânicas ( encruamento ), porém fragiliza o material, favorecendo a propagação de trincas. - Para uma analise mais acurada, deve-se verificar se o material sob solicitação tal que cause sobre-tensão ( tensões cíclicas superiores a tensão de escoamento do material) sofre amolecimento cíclico ou endurecimento cíclico.

Ponto 1: sobre-tensão de N1 ciclos; Ponto 1’: vida prevista para sobre-tensão σ1;

Ponto 2: N2 ciclos de vida para σ2 após sobre-tensão; Ponto 2’: vida prevista para σ2 sem a sobre-tensão; Ponto 3: vida de N3 ciclos após sobre-tensão, aplicando tensão σ2 igual ao limite de fadiga ( falha ).

- Redução na Vida : _____

___

'2''2

'22.100% =∆

6.3 Regra de Palmgren-Maner: ( regra do acúmulo de dano)

- Solicitações aleatórias, ocorrem com ciclos tanto de sub-tensão como de sobre-tensão, indiscriminadamente. Não interessa matematicamente se uma vem antes da outra. - Qual o efeito final para a vida do componente? Regra de acúmulo de dano, conhecida como regra de Miner.

CN

n

N

n

N

n

N

n

i

i =++++ ...3

3

2

2

1

1 ou CN

nn

i i

i =∑=1

-- Sendo C, uma constante experimental, depende do material 2,27,0 ≤≤ C . -- Recomenda-se em geral, C = 1.

Se 11

≥∑=

n

i i

i

N

n � FALHA.

- Limitações: -- A regra não leva em consideração o endurecimento cíclico que pode ser causado por sobre-tensão, em alguns matérias e sem o treinamento. -- A regra também não preserva a ordem das amplitudes da solicitação.


6.4 Contagem de Ciclos: o método ‘Rain Flow’ ( ou caminho da chuva)

-- Leva-se esse nome devido ao fato de Matsushi e Endo, visualizarem invertendo 90°, o caminho que a chuva percorre do teclado de uma pagoda. - Método ( regra de contagem):

1) A contagem inicia em todos máximos e mínimos e PÁRA sempre que: a- encontrar um máximo + máximo ou um mínimo + mínimo do que aquele de

onde a contagem começou ( ponto de origem de contagem) ( -|); b- esbarrar numa contagem iniciada num ponto anterior ( quando encontrar a

``chuva`` vindo de um ponto ``acima``); 2) Deve-se armazenar os meios ciclos entre o inicio e o término de cada

contagem. Desta forma armazenam-se os valores de amplitude e médio de cada meio ciclo.

Pm e Pa, Mfm e Mfa, Tm e Ta.


� Faz-se uma Tabela: Pto (inicio) Valor (KN) Pto (fim) Valor (KN) Pa (KN) Pm (KN)

0 0 - - - - 1 0 4 4 2 2 2 2,5 3 0 1,25 1,25 3 0 X 2,5 1,25 1,25 4 4 F -3,5 3,75 0,25 5 2 6 3,5 0,75 2,75 6 3,5 X 2 0,75 2,75 7 -2,5 8 -0,5 1 -1,5 8 -1 X -2,5 1 -1,5 9 -3,5 F 3,5 3,5 0

10 3,5 13 -3,5 3,5 0 11 1,5 12 3,5 1 2,5 12 3,5 X 1,5 1 2,5 13 -3,5 F 1,5 2,5 -1 14 1,5 F -1 1,25 0,25 15 -1 16 1.5 1,25 0,25 16 1,5 17 -1 1,25 0,25 17 -1 19 1,5 1.25 0,25 18 1,5 19 -0,5 1 0,25 19 -0,5 - - - -

� Obtém-se os meios ciclos:

n Pm (KN) Pa (KN) 2N 1 2 2 1 2 1,25 1,25 2 3 0,25 3,75 1 4 2,75 0,75 2 5 -1,5 1 2 6 0 3,50 2 7 2,50 1 2 8 -1 2,50 1 9 0,25 1,25 4 10 0,50 1 1

∑18 � tivosrepresentaciclosn __92/18 ==


6.5 Procedimento de Cálculo para Estado Plano de Tensões com presença de Tensão Média (Shigley).

1°) Diagrama SN para flexão rotativa, com fatores redutores ( excluindo Kf); 2°) Determinam-se as tensões σm, τm, σa e τa ( com os Kf correspondentes para as tensões alternadas ); 3°) Determinam-se as tensões principais e ideais através da Teoria de Falha de Von Mises.

[ ] 2/122 .3 mmM

im τσσ += e [ ] 2/122 .3 aaM

ia τσσ +=

4°) Aplicam-se as expressões acima no procedimento de Goodman:

NSnSu

Mia

Mim 1=+

σσ

5°) Determinam-se ou a segurança do projeto ou dimensiona-se o componente.


Exercício A figura representa num teste padrão, a flutuação de torque em kN.m, num

entalhe da ponta de eixo, cujo fator de concentração de tensões à fadiga é 1,48. O componente é feito a partir de uma liga de Alumínio 2024 que apresentou : Su = 480MPa, Sy = 410MPa, e S`N = 140 MPa para N = 108 ciclos em flexão rotativa. A geometria é cilíndrica de 40 mm de diâmetro, na região do entalhe, gerando fator de tamanho 0,75. Considerando o fator de concentração de tensões à fadiga para 103 ciclos é 1,27 e os fatores de choque superficial unitários. Determinar, em horas, a vida do componente.

ni Tmax Tmin Tm

(kN.m) Ta (kN.m)

τm (MPa)

τa (MPa)

SNS (MPa)

Ni (ciclos)

2 1,5 -1,5 0 1,5 0 119,37 119,37 151,74 2 2,5 -2,5 0 2,5 0 198,94 198,94 6,748 3 0,5 -0,5 0 0,5 0 39,79 39,79 ∞ 3 3,0 0 1,5 1,5 119,37 173,22 173,22 15,69

∑ =1i

i

N

n CC ,CS ,CN = 1 CD = 0,75 CL = 0,58 )/1.(..` 88 1010 fDLNN

KCCSS =

� Tensões: J

rTmm

.=τ J

rTaa

.=τ � Para c/ amplitude: 1=+NS

a

US

m

SS

ττ�SNS

� Equação SN: 38

3

1010

1038

3

loglog

loglog

10log10log

10loglog

nSNS

NSNSii

SS

SSN

−−

=−−

� SnS10

3 = S nS103. 1/K f = 0,9 SUS. . 1/Kf

� SnS108 = S nS10

8.CL.CD 1/K f Elementos de Máquinas 24.04


7. Fadiga de Baixo Cilclo ou Olígocíclica ( Método εN)

7.1. Introdução

O corpo de prova ou peça sofrem a ação solicitações de grandeza tal que ocorre

deformações plásticas. Tendo em vista a existência de deformação plástica, trabalha-se em laboratório

com o controle de deslocamento deformação descrita. Nos ensaios de baixo ciclo, não usamos força, pois conforme o material vai

alongando-se ( amortecendo) não conseguimos chegar na carga desejada. Ex: força de 1kN ``push-pull``. Obs: Nos teste, antes de se chegar a ruptura podemos observar a formação do ``bico de pato``. Figuras: -- Tensão prescrita; -- Deformação prescrita. `` A diferença para o que vimos antes, é que agora nos preocupamos com a deformação e não com a tensão. Não aplicamos cargas, mas sim, deslocamentos.``

Desta forma � Método εN

Em ensaios de força ou tensão prescrita na presença de deformação plástica não se consegue um controle na amplitude do ciclo.

Tensão Presente Deformação Presente.


7.2 Método Coffin ( 1956)

-- Vantagens: *Serve para qualquer número de ciclos ( εmelhor para N ) *Relaciona parâmetros mensuráveis (ε pode ser medido) *Reconhece o efeito da deformação plástica εT PeT εεε += � para pequenas deformações eε -parcela elástica Pε - parcela plástica. --Desvantagens: * Algebricamente bem mais complexo do que o método SN; *Fenomenológico ( também não reconhece a presença de trincas); *Relações empíricas entre ε e N ( não reversíveis). - Conceitos Básicos , Definição: - Curva monótona é obtido em ensaio de tração.

Parada � 0≤εσ

d

d

- As características oligicíclicas são determinadas geralmente em ensaios uniaxiais de tração-compressão ( push-pull) com controle de deformação ou deslocamento. - Em ensaios de deformação prescrita, a deformação na região elasto-plásticas nas curvas de histerese pode-se observar o fenômeno de endurecimento cíclico. - Curvas de histerese de loop fechado com deformação plástica presente. - Curvas cíclicas ( ou de consolidação cíclica) para um determinado material, são obtidas através da união dos bicos dos ciclos de histerese estabilizados. - Endurecimento cíclico: a curva cíclica é superior ( exterior) a curva monótona. - Amortecimento cíclico: a curva é inferior ( interna) à curva monótona . - Ciclo estabilizado: acontece após o gasto de uma de uma pequena parcela da vida prevista ( de 1% a 10%).


1° Sudida ( Curva Monótona ) PeT εεε += sendo:

E

e σε = ( parte elástica) e n

P

k

/1

= σε ( parte plástica )

K = módulo de elasticidade; n = expoente de endurecimento.

Invertendo: ( )nPk εσ .= descreve a curvatura. Logo:

Para a curvatura: n

T

kE

/1

+= σσε

Para ciclo estabilizado: 222

PeT εεε ∆+∆=∆

Observe que o amortecimento ou o endurecimento cíclico ocorre antes da estabilização. Deformação Prescrita :

Desta forma em função do comportamento do material no regime elasto-plástico pode-se traçar a curva de consolidação cíclica ou curva cíclica.

Monótona: n

T

kE

/1

+= σσε Cíclicos: `/1

`

nT

kE

+= σσε

Onde n` e k` estão relacionados com o comportamento das curvas de

consolidação ( ou cíclicas).


7.3. Evolução do Ciclo de Histerese.

Loop de Histerese: `/1

`.2.22

nT

kE

∆+∆=∆ σσε

Importante : Compatibilidade geométrica. Não podem ser criadas descontinuidades na peça.

Com o passar do tempo a curva estabilizada começa a decair, isto é, para uma deformação ( ou deslocamento prescrito) constante, o material vai perdendo sua resistência mecânica. O estado de tensões começa a decair. Experimentalmente L.F.Cofin obteve curvas de falhas ( pontos iniciais) para diversos materiais.

Curvas )2log(2

log NX

ε , sendo N = meio ciclo medido na reversão.

Curva Pε x N ciclos : Cf

P

N)2(2 `εε =∆

Curva eε x N ciclos : bfe

NE

)2(2

`σε =∆


Observar que são curvas ``materiais``

`fε = coeficiente de ductilidade. É a deformação verdadeira ( real) correspondente à

falha no 1° bico de histerese ( intersecção da reta com 2n=1). A linha de deformação plástica começa a ... . É uma propriedade cíclica.

`fσ = coeficiente de resistência. É a tensão real correspondente à falha ocorrendo no 1°

bico de histerese. É o inicio da linha de deformação elática.

Ef `σ

= componente da deformação elástica na ruptura.

C= expoente de ductilidade. b = expoente de resistência.

7.4 Método de Manson ( 1965)

-0,70 < C < -0,50 -0,15 < b < -0,08

Cf

bfT

NNE

)2()2(2 `

` εσε +=∆


8. Eixos e Árvores de Transmissão Critérios de Projeto: -- Critério de Resistência Mecânica; -- Critérios de Rigidez � flecha máxima é em função de limitações de trabalho.( é a que manda)

dfinal ( critérios de resistência) < dfinal ( critérios de rigidez) Critério que Superdimensiona: Soderbeg-Tresca.

Soderberg:

NSS n

a

y

m 1=+ σσ ( tração/compressão e flexão)

NSS n

a

y

m 1=+ ττ ( torque)

Tresca:

22211 4τσσσσ +=−=T

Flexão: σm e σa Torque: τm e τa Axial: σm e σa

� Esforços internos, estão em fase: gerados por externo por esforços externos, pode-se transformar para equivalente estático. Senão estiver em fase, tem-se carga assimétrica.

� Determinação de Tensões Equivalente Estático:

ctactctmctee ,_,,_,_ σδσσ += ( ) ( )fafctactfmctmx

ee _,_,_,_ σδσδσσσ +++=

faffmfee ___ σδσσ +=

aTmee τδττ += � ( ) ( )22

1 4 eex

eeT

ee τσσ +=

GERAL:

( ) ( )( ) ( )N

Syadmafmfafctactfmctm

Tiee =≤+++++= στδτσδσδσσσ 22

_,_,_,_ 4 �

Segurança ( segurança não quer dizer que o está bem dimensionado � rigidez)


8.1. Caso mais Simples: Eixo em Flexão

O eixo suporta somente solicitação estática.

≤=N

Syadmfm

Tiee σσσ _

8.2. Caso +/- Simples: Eixo gira, R=cte

Eixo gira em flexão rotativa, σm=0

( )

≤=N

Syadmaf

Tiee σσδσ 2

8.3. Casos Especiais: Torque Puro

�Se torque estático: barra de torque -- ( )

≤===N

Symm

Tiee τττσ .2.2.4 2

�Se torque alternante -- ( )

≤+=N

SyaTm

Tiee

2.4 τδτσ

Particularidade: eixos sob torque puro � vazados tem maior capacidade de

absorção de torque.


8.4. Casos +/- Complicados: Árvores de Transmissão __ Torque cte e Flexão rotativa.

Torque cte: τa=0 Flexão rotativa : σm=0

( ) ( )

≤+=N

Syadmmaf

Tiee στσδσ 22 .4

I

yM faa

._=σ J

yTmm

.=τ 64. 4d

Iπ=

32. 4d

Jπ= IJ .2=

Sn

Syf =δ

ffC

DSL

KC

CCCSnSn

1.

..`.=

( ) ( )2

4

2

4_

32.

2/..4

64.

2/..

+

=d

dT

d

dM

Sn

Sy mfaTiee ππ

σ � ( )

≤+

=N

SyTM

Sn

Sy

d mfaT

iee2

2

_3.

.32

πσ

Para dimensionar:

( )3/1

22

_..

.32

+

≥ mfa TMSn

Sy

Sy

Nd

π

8.5. Caso mais Complicado: TUDO, Flexão + Torção + Esforços Axiais.

2

33

2

3

_

2,3

_

2 ..16

...16

.4.

.32.

.

.4.

.

.32

.

.4

++

++

+=

d

T

d

T

d

M

d

P

d

M

d

P aT

mamf

act

fmmTiee π

δππ

δπ

δππ

σ

1..4

CPm =

π 2

_.32C

M fm =π

3,

.4. C

Pact =

πδ

5

.16C

Tm =π

6

.16. C

TaT =

πδ 4

_.32. C

M amf =

πδ

xd

=1 � ( ) ( )3

63

53

42

33

22

1 xCxCxCxCxCxCTiee +++++=σ

( ) ( ) 65469

612

511

410

69

238

27

2CxBxAxxCxCxCxCxCxCxCT

iee ++=+++=++=σ

�resolve-se por Ruffini ou Newton-Raphison �tração e compressão são pequenos, logo no inicio são desprezados em Newton-Raphison.


8.6. Esforços Atuantes em Eixos e Árvores de Transmissão

Montagens Polias – Correias Coroas – Correntes Rodas Dentadas Cilindricas Dentes Retos Dentes Helicoidais Cônicas Dentes Retos Dentes Helicoidais Rodas de Atrito Falhas em Árvores de Transmissão: -- Flexão Rotativa; -- Torque ( alternante ou pulsante); -- Estado Plano com aparência da Solicitação predominante.

8.6.1. Polias e Correias:

- A correia não pode patinar, evitando a perda de potência; - As polias podem ser planas ou trapezoidais.

Plano\Posição A 2 1 B Horizontal RHA F2 cos(α) F1 cos(β) RHB Vertical RVA F2 sen(α) + P2 F1 sen(β) + P1 RVB


Diagrama de Momentos:

22fVfHfr MMM +=

- A força Tangencial é responsável pelo Torque, não causa Flexão. - Fs é responsável pela Flexão.

21 FFFs += � Força de Tração

21 FFFt −= � Força Tangencial

poliaRFtT .= � Torque

Ft� Torque Fs � Flexão

rpm

HP

n

NT .α=

α= 7160 � N.m α= 63000 � lbf.in

a) ( )( )

)2/(

.

22

21

/./. θ

αµsene

gvWF

gvWF =−−

; AF adm.1 σ= ; hbA .= ( seção da correia)

Valor de controle, não pode-se admitir uma força que rompa a correia

W—peso linear da correia; v – velocidade tangencial da correia; g— gravidade; µ— coeficiente de atrito; θ— ângulo de entalhe; α— ângulo de abraçamento entre polia e correia; F1 – ramo tenso; F2— ramo frouxo.

b) ϕ=+−=

21

21

FF

FF

Fs

Ft ( relação de Transmissão )

Faltando dados: φ = 0,4 – correia nova; φ = 0,67 – correia em V; φ = 0,5 – em geral.


8.6.2. Rodas Dentadas:

)cos(. θNMTM FF =

)(. θsenFF NMRM =

)tan(θ=TM

RM

F

F � )tan(. θTMRM FF =

motoraprimitivoTM R

TF

_

=

� Nas rodas conduzidas os esforços são a favor do movimento (ativas) e nas

motoras são ao contrário ao movimento ( reativas).

A) Rodas Cilíndricas de Dentes Retos:

Posição\Plano Vertical Horizontal 1 FTM.cos(β)+FRM.sen(β)+PM

= Result. Vertical FTM.sen(β)-FRM.cos(β) = Result. Horizontal

22fVfHfr MMM +=


B) Rodas Cônicas de Dentes Retos: φ= ângulo de pressão; β= semi-ângulo do cone; FR � FC ( coroa) FP ( pinhão) FT� torque e flexão; FC� Flexão; FP� Flexão e Axial ( tração e compressão)

)cos(. βRC FF =

)(. βsenFF RP =

)tan(. φTR FF =

)cos().tan(. βφTC FF =

)().tan(. βφ senFF TP =

8.7. Projeto Mecânico:

�Fase 1: Projeto Trivial � Fase 2: Projeto Completo

Geometria

Caracteristicas Mecânicas

Segurança ( N)

Solicitações Atuantes

Solicitações Internas

Croqui

Geometria: Detalhes

Croqui Final

Tensões (Ptos críticos)

Verificações : Segurança

Desenho Final

Execução

Verificação de Rigidez

Vibrações

Projeto de Processo

Projeto Mecânico

Detalhamento ( tropicalização)

Execução


8.8. Chavetas:

-- Serve como elemento de fixação do eixo com a roda ou polia, evitando o movimento relativo entre a roda e o cubo do eixo.

-- Funciona como um fusível mecânico. -- A capacidade de absorção da chaveta deve ser menor que a capacidade de absorção do eixo ( para que se rompa primeiro). -- Elemento de sacrifício, em caso de sobrecarga é o primeiro a romper. -- Com a chaveta é permitida a desmontagem para a manutenção. -- Podem ter seção retangular ou quadrada. ��Projeto Dimensionamento: Cisalhamento e Compressão F’ � binário resistente ao giro; F � binário que tende a girar a chaveta na sede.

a) Falha por Cisalhamento:

árovreT RFM .=

Seção resistente: A=b.L ( L – comprimento da chaveta)

RLb

RF

R

R

Lb

F

...

..

==τ � RLb

MT

..=τ

-- MT =90% Mt(eixo) ( real) � Fusível. -- O Torque que a chaveta pode transmitir é limitado pelo cisalhamento. RLbM admT ...τ=

b) Esmagamento ( Compressão)

A

FC =σ � A= (t/2).L �

RLt

RFC ..

..2=σ

F= MT/Reixo

RLt

MTC ..

.2=σ RLtM admT ....21 σ=

-- Chavetas de seção quadrada, tem igual resistência t=b.

)()( comprTcisT MM = � RLtRLb admadm ....21

... στ = � tN

Syb

N

Sys..

21

. =

tN

Syb

N

Sy..

21

..5,0 = �

tb =


c) Concentração de Tensões

i ) Empirismo:

6,1=fTK � material de baixa resistência mecânica.

02,2=fTK � material de alta resistência mecânica.

Chaveta meia-lua: t/d = 0,35 � 3=fTK

ii) Análise Experimental de Tensões ( MEF + Foto elasticidade )

-- Stress Concentration Factors � R.E. Peterson iii) Influência entre Acidentes Geométricos: -- Proximidade entre escalonamento e rasgo de chaveta. -- Flexão sem influência para:

083,0/021,0 ≤≤ dr ; -- Torque � Kt chaveta cresce 10%; -- Torque e Flexão, sem influência se: dl 1,0≥ . -- KT diminui na região


9. RIGIDEZ ESTRUTURAL:

i) Flexional: deflexão máxima permitida f( projeto); l = comprimento entre mancais consecutivos (mm)

Eixos: 30000

lmáx =δ Árvores:

5000

lmáx =δ

-- O espaçamento entre mancais pode ser determinado em ante-projeto.

dl .237'≤ � ‘l’ e ‘d’ em mm , para rpmn _500≤

dl .212≤ � rpmn _1000≤ -- n( aumenta) � l( diminui)

ii) Torcional: Ângulo de Torção permitido.

-- ‘ Em geral, o primeiro por 4000mm de comprimento’.

prd IG

lT

.

.=θ

rdo θ

πθ .

180= � p

o

IG

lT

.

..

180

πθ = ou

p

o

IG

T

l ..

180π

θ =

-- Para o Aço:

4000

1=l

oθ [°/mm] G=81Gpa

4/1.317,2 Td =


9.1. Vibrações Flexionais:

1) S1GL – Sistema de 1 grau de liberdade

-- Força centrífuga:, δ.. 2wmFc =

onde: m = massa;

δ = deflexão; W = vel. angular. -- Por melhor montagem – excentricidade sempre existe! δ = y+e y = deflexão estática; e = excentricidade.

( )eymwFc += 2 . -- Equilíbrio: Fc = Fm (força de “mola” do eixo)=Ky

( )eymwKy += 2 � ( ) emwymwK 22 =−

mw

kem

y−

=2

. � W=Wp � y = ∞ � W=Wc (WC--crítica)

ou

m

kWn=

=− ...02 mw

k

qmP .= � , δ =deflexão estática (castiliano, sol.estática, superposição)

δP

K = �

Castigliano Solução Gráfica Superposição

Castiliano: p

u

∂∂=δ

( )dx

EI

xMU ∫=

2

2

1

δq

WcWn ==


2) SVGL – Sistema com vários graus de liberdade – Parâmetros Concentrados Obtém-se a equação da freqüência natura: é um problema de autovalor. Para um sistema com i massas concentradas: PijaijYi += � i = 1,n � i = posição de deflexão

� j =1,n =aij coef. de influência � i = j �j = posição de carga unitária

nnPaiPaiPaiPaiy ++++= ...3322112

As forças Pi �Forças Centrífugas Fci: 2.. wyjmjFcj =

Logo: 2

2 ... wyimjaijy = Sendo (i = j): 2.. wyimiaijyi +=

Em notação matricial: { } [ ]{ }yawy 2= ou [ ] [ ] { } { }01

2=

− YIw

a �problema de

autovalor Veja que: [ ]a = [ ][ ]MAma jij = ;

[ ]M = matriz diagonal;

[ ]I = matriz identidade.

Logo: [ ] [ ] 01

2=− I

wa �Eq. característica

- Cujas raízes (autovalores) são as Wnaturais. - Os autovalores associaddossão os modos de vibração.


Exemplo: S3GL (sistema de 3 graus de liberdade):

0

100

010

0011

00

00

00

2

3

2

1

333231

232221

131211

=

−w

m

m

m

aaa

aaa

aaa

aij =aji ji ≠ 2112 aa = Exemplo: S2GL (sistema de 2 graus de liberdade):

( ) ( )211222112122211142

11aaaammmama

ww−++−

aij = coeficiente de influência. Deflexão provocada na posição i por uma carga unitária na posição j. Maxweel (superposição): nnPaPaPa 12121111 ...+++=δ

9.2. Determinação dos coeficientes de influência: Exemplo

( )[ ]LFxblEIl

ba x

ij1222

6−−−=

( )[ ]1222 36

−−−= FxblEIl

bijϕ

( )222 '6

'xal

EIl

axaij −−=

( )222 '36

xalEIl

aij −−=ϕ

Note que devido a excentricidade � jiij aa = , ji ≠

Voltando a equação característica: 24

1 λ=w

�

02 =+− βλαλ �2 raízes �Rpositivo = 2λ

2

2 1

λ=w �w = raiz positiva 1λ

21 λλ = �autovalores.


9.3. Outros Métodos:

Dunkerley e Reyleigh – Ritz �Determinam somente a freqüência natural (aproximada) de 1° ordem. Equação de Dunkerley: Valor inferior ao real

Para i massas inerciais: ∑=

=n

i ic ww 022

11

0W = CW devida somente a massa da árvore.

1W = CW devida somente a 1º massa inercial sem efeito das demais.

2W = CW devida somente a 2º massa inercial sem efeito das demais.

nW = CW devida somente a “n” massa inercial sem efeito das demais.

Por Exemplo:

1

1 δq

w =

�Despreza-se o efeito das demais massas, * 1δ deflexão estática

1111 Pa=δ Idem para as demais massas

Eixo: meio contínuo�2

1

44

0

= g

ql

EIiW β

iβ �fator de vinculação e ordem de freqüência

Em geral� πβ =1 iβ �relacionando a 01W interresa

� πβ 22 = �relacionando a 02W ( )0102 WW >>

Logo: 2

1

44

0

=

ql

EIqW π

Eixo, peso próprio:

(EI

ql 4

013,0=δ logo, sradW /1

59,350 δ= )


Equação de Rayleigh – Ritz: valor de CW1 superior ao real.

2

1

21

=

∑∑

ii

iiC

Q

QgW

δδ

2

1

233

222

211

3322111

++++

=∑∑

δδδδδδ

QQQ

QQQgWC

3132121111 QaQaQa ++=δ

Recomendação:

Trabalhar com rotações 20% acima ou abaixo de Wc. Passagem rápida pela região de Wc.

Note que: ...321 CCC WWW <<<<


10. MOLAS – FLEXIBILIDADE Goodman Limitado ao Escoamento – Von Misses

NSn

a

Su

m 11 =+→≥ σσθα

Solicitação Externa ⇒ Repetida ou Pulsante ( Ângulos maiores que 45° as molas não funcionam ) ⇒ REGIÃO INATIVA

amm

a σσσσ ≥⇒≤ 1

⇒ Forma; Classificação Função: ⇒ Solicitação Externa; ⇒ Esforços Internos. ⇒Mola de Torção: ⇒Mola de Flexão: ⇒ Absorção – energia, vibração; Uso: ⇒ Medição/Aferiação; ⇒ Controle ( força/pressão); ⇒ Fonte (energia/movimento). ⇒ Geometria; Classificação: ⇒ Material; ⇒ Solicitações interna atuantes.

N

Syam =+→< σσθα1


TORÇÃO: 1. Barras de Torção: 2. Helicodais: - Cilíndricas: tracionadas, comprimidas. - Cônicas: inclinação constante, passo constante. - Parabólicas. OBS: Podem ser de arame circular, retangular e quadrado. COMPRESSÃO: 1. Borracha natural ou sintética ( neoprene, plastiprene). 2. Ar. FLEXÃO: 1. Barras plásticas de geometria (retangular, triangular, trapezoidal). 2. Feixes de mola de geometria (retangular, triangular, trapezoidal). 3. Molas balestras. 4. Molas helicoidais de flexão (arame circular e quadrado). 5. Molas belleville. 6. Projetos Originais.


MOLAS DE TORÇÃO:

10.1. Barras de Torção:

Torque: 3

16

d

Plt

πτ =

Cisalhamento (a teoria da elasticidade):

( )( )Iv

Pdvc

++=

116

21 2

τ

⇒ Ponto A: ctT τττ +−= ⇒ Ponto B: ctT τττ += * O ponto interno a curvatura é o mais solicitado.

( )Ld

d

PlT 3075,0116

30 +=π

τ eq. 1

⇒≤N

SySBτ Segurança

10.2. Helicoidais Cilíndricas Comprimidas:

Simbologia: β ângulo da hélice ( ))106 °≤≤° β D = φ médio da esfera d = φ arame.

dDDe += nD

GdFK

3

4

max

max

8

.==δ

n= n° de espiras ativas; hc= altura comprimida; hL= altura livre; X= espiras inativas; N= n° total de espiras. C= índice de mola; l= comprimento da espira; � estático � fadiga

Introduzindo o corte direto: 2

Dl = ;

2

4

d

Pc

πτ = .

KsCd

P..

82π

τ = KwCd

P..

82π

τ =

δ+= cL hh

Gd

nDF

.

..84

3max

max =δ

Ndhc ..1,1= d

DC =

KC

Gd

KD

Gdn

..8

.

..8

.33

4

==

DNl ..π=xnN +=

3

8

d

PDt

πτ =


Da eq. 1:

+=d

D

d

PDTB 615,01

83π

τ eq.

Considerando a simplificação

=2

4

d

Pc

πτ : ctT τττ +=

+=D

d

d

PDTB 5,01

83π

τ eq.2a

10.2.1. Fator de Wahl, Kw:

Índice de Mola ⇒ d

DC = , índice da curvatura.

CC

CKw

615,0

44

14 +−−= ⇒ considera efeito na curvatura e de corte direto

C

KsKw615,0

1+=→ ou C

Ks5,0

1+= .

⇒ Solicitação Dinâmica: considera o efeito de curvatura.

Efeito de curvatura ⇒ 44

14

−−=

C

CKc

* Para materiais dúcteis ⇒ Kc=1 ⇒ recomenda-se a eq. 2. “ Dependendo da escola, a forma de utilização do Fator de Wahl poderá reduzir o limite de fadiga ou intensificar as tensões.”


10.2.2. DEFLEXÃO

θθ dD

Rddx2

==

2

PDPRT ==

• Castigliano: Deflexão ⇒ Q=P

∫

∂∂=

L

dxQ

T

GK

T

0 'δ ⇒

32'

4dIpK

π==

⇒ NL π2=

Gd

nPC

Gd

nPD 3

4

3 88 ==δ n = n° espiras ativas.

• Altura Livre e Altura Carregada:

n = espiras ativas; N = total de espiras; xnN += , em geral ¾ de espiras inativas por extremidade. x = parcelas inativas, hl = altura livre, hc = altura carregada.

- Bloqueio: Deve ser evitado.

Espaçamento mínimo, sob carga máxima, entre espiras: 0,1d sendo altura de bloqueio: Nd , o espaçamento total para Nespiras: 0,1Nd logo,

( ) .1,11,1 livrehchlecarregadaxndhcNdhc δ+=+=→=


10.2.3. FLAMBAGEM

Determinação da Carga Crítica: PCR ( 40≥l ) M = resultante; M1 = M.cos( φ) � Torque; M2 = M.sen( φ) � Flexão;

φRddl = �� ‘’l’’ é o comprimento da bobina sob flexão. -- Deflexão Angular ( Slope) devido à Flexão:

IE

dlsenMd

.).(.

1

φθ = �� IE

dRsenMd.1

..).(.1 φφθ =

-- Rotação devido à Torção:

PIGdRMd

.1

..).cos(. φφγ =

-- Deflexão Angular Resultante:

)cos(.)(.1 φγφθθ dsendd += �

)cos(..

1..).cos(.)(.

.

1..).(. φφφφφφθ

+

=PIG

dRMsenIE

dRsenMd

φφφθπ

dIGIE

senRM

n

P

..

)(cos

.

)(..

.2

0

22

∫

+= , onde :

64. 4d

Iπ=

32. 4d

I P

π=

4.2

1....128

dE

RnM

+=

γ

θ

( )ν+=

12

EG


-- Viga em Flexão:

eq

l

IE

hM

.

.=θ � analogia;

+=

21...128

. 4

νRn

dhI l

eq

Valores de ’’k’’ para a eq. de Euller:

10.2.4. Tensões de Projeto:

1. Solicitações Estáticas:

admS d

DPk τ

πτ ≤=

3max ..

..8

2. Solicitação Dinâmica:

am τττ +=max � ‘’Molas não devem ser submetidas a solicitações reversas.

’’ Logo, limitação � 0min ≥P am PP ≥

2

...

l

eqCR

h

IEkP

π=


m

a

ττ

10.2.5. JOELHO:

-- SnS(II)= limite de fadiga para solicitação repetida, nSIInS SS >)( , sempre;

-- II, solicitação repetida; -- am ττ ≥ , sempre para estar na região aitva;

-- Soderbeg, Soderbeg Segurança:

NSnsSysam 1≤+ ττ

ou NSnsSys II

aam 1.2

)(

≤+− τττ

-- Soderberg ou Goodman, limitado ao escoamento; -- Equações segundo a análise gráfica: > Se °> 45θ � θα > (sempre) ( é a equação do dimensionamento);

> se 1≤m

a

ττ

� °≤ 45α

>> se °< 45θ se θα > �

se θα ≤ �

-- Projeto : Possibilidades em função das relações entre e Sns: f (acidentes geométricos)Kft. Kft � redutor de Sns; � intensificador de τa;

( )( )SusSnsSys

SysSusSns

..

.tan

−−=θ

N

Sysam ≤+ττ

NSnsSusam 1≤+ ττ

NSnsSusam 1≤+ ττ


-- Considerações: 1°) τa alterado por Kft:

Acidente � Ktt Kft fta K.τ � m

a

ττ

� ftm

a K.ττ

Material � q

� Neste procedimento Sns permanece inalterado. � α aumenta em função do aumento de τa.α � Se usar Kft como redutor � Tensões Inalterdas τa e τm. � Se usar Kft como intensificador � altera as tensões e Sns fica inalterado.

2°) Redução de Sns:

ftK

Sns1

. e m

a

ττ

, Permanece Inalterado.


10.3. Molas Helicoidais em Paralelo:

-- Para ‘’n’’ molas concêntricas: P = P1+P2+P3+ ... + Pi para ‘’i’’ molas; δ = δ1 = δ2 -- Condições de Projeto:

1. δ1 = δ2 = δ3 =...= δi = δmola

2. n1 d1 = n2 d2 =...= ni di = nd mola

3. Cd

D

d

D

d

D ==== ...3

3

2

2

1

1

-- Relação entre Cargas: 4

3

.

...8

i

iiii

dG

nDP=δ

a) Mola Externa: b) Mola Interna:

41

13

111

.

...8

dG

nDP=δ 42

23

222

.

...8

dG

nDP=δ

13

1

411

1..8

..

nD

dGP

δ=

23

2

422

2..8

..

nD

dGP

δ=

>> Aplicando a 2° condição de projeto: >> Colocando P1 em evidência:

++

+

+=

2

1

2

1

3

2

1

21 ......1.

d

d

d

d

d

dPP i �

21

123

14

21

32

412

2

1

.

..

1.

.

.

dn

dn

CC

Ddn

Ddn

P

P ==21

12

2

1

.

.

dn

dn

P

P =

22

21

2

1

d

d

P

P =

223

22

21

21

1...

.

idddd

dPP

++++=


-- Considerações Construtivas:

X= parâmetro construtivo,

( ) xddDD .22121 ++=− X= afastamento entre molas;

( )21. ddx += ϕ 3,01,0 ≤≤ ϕ Logo, ( )( )ϕ.21.2121 ++=− ddDD (1) Continuação:

2

2

1

1

d

D

d

DC == �

21

21

dd

DDC

++=

( )21

121 . DDCdd +=+ − em (1)

( )( )ϕ.21. 21

121 ++=− − DDCDD ou ( )[ ] ( )[ ]ϕϕ .21..21. 21 ++=+− CDCD

( )( )ϕ

ϕ.21.21

1

2

+++−=

C

C

D

D � ∆=

1

2

D

D

Sendo:

1

2

1

2

D

D

d

d = � ∆=1

2

d

d ou

12 .dd ∆= � 12 .dd ∆=

� 12

3 .dd ∆=

Tendo-se:

P1 � Ou ‘’Constante de Mola’’ do Conjunto δ1=δ2=........= δi iPPPPP ++++= ...321

23 .dd ∆=

1. −∆= ii dd1

1.dd ii

−∆=

2242

21

1 ...1

.−∆++∆+∆+

=i

dPP

1

13

11 .

...8

dG

nCPi == δδ

31

111

.

..8.

d

DPK

πτ =

δP

K =

δδδδδ iT KKKKK ++++= ...321 ∑=

=n

iiT KK

1


+

+−−

=

C

CC

C

m

a

m

a

5,01.

5,04.41.4

.*

τ

τ

ττ

10.4. Soluções Possíveis:

10.4.1. Deutschman:

τm sem Kw e Ks τa

3/1

1 .

...8

=

m

mS DPKd

τπ

3/1

2 .

...8

=

a

aW DPKd

τπ � Prevalece o maior valor.

-- τm= τa sem KC e KW; m

a

m

a

P

P=ττ

-- Utiliza-se os diagramas de goodman ou soderberg sem KC ;

C

DSLS C

CCCSnSn

..'.=

10.4.2. Shigley:

-- KC : `` O fator de curvatura AFETA o limite de fadiga SnS � Concentração de Tensões ’’

3/13/1

.

...8

.

...8

=

=

a

aS

m

mS DPKDPKd

τπτπ

dmaior = dprojeto

10.4.3. Procedimento 3:

KW � τa Altera a linha de carga. KS � τm -- SnS não é alterado por KC.

3/1

1 .

..8

=

m

m DPd

τπ

3/1

2 .

..8

=

a

a DPd

τπ � Prevalece o maior

diâmetro.


10.4.4. Particularizando para molas: EXPLICAÇÃO QUADRO

CKS

5,01+=

4.41.4

−−=

C

CKC

CC

CKw

5,04.41.4 +

−−=

m

a

m

a

P

P=ττ

3.

..8

d

DP

πτ = � Genérico � 3

1.

...8

d

DPK mSm π

τ =

32.

...8

d

DPK aWa π

τ =

-- ‘’O diagrama só é utilizado para a visualização, usa-se as equações específicas para cada ponto do diagrama.’’

10.5. Molas Tracionadas:

-- Enrolamento – espiras com pressão de contato. Ponto de falha ( provável): curvatura do gancho. compressãoprojetotraçãoprojeto __ %.70 ττ ≅

-- Vantagens da Protensão: > espiras fechadas; > menor deflexão para igual carga; > enrolamento a frio; -- Análise de Protensão: Pi = carga inicial de abertura da mola com protensão; P = PPt = cargas iniciais para ambas as molas; δ = deflexão, sob P, da mola comum; δPt= deflexão da mola com protensão; δi= deflexão inibida da mola com protensão. Para igual carga de serviço:

δ > δPt δi = δ - δPt


� Por semelhança de triângulos OAD ~ ABC:

BC

AD

AC

OD = � i

i

Pt

i

PP

P

−=

δδ

� Pti

ii PP

P δδ .

−=

� Torção no Arame para obter Protensão:

4.....32

dG

lrPrd π

θ =

� Comprimento ‘l’ do arame no qual deve-se aplicar uma torção de θ=2.π , para

obter a protensão desejada:

rP

dGl

..16.. 42π=

10.6. Molas de Flexão:

Belleville Trampolim Helicoidal

� Espiral ` � Balestra


10.6.1. Belleville:

-- Pilhas de arruelas anulares

tHh −= H = altura do prato; t = espessura da chapa que é feita a arruela; d = diâmetro do furo; D = diâmetro do prato. -- ASME para uma Arruela:

( ) ( ) ( )

+−

−−

= 322

..2

.2/..1

.ttyh

yh

DM

yEP

ν

( ) ( )

+

−−

= tCy

hCDM

yE.

2..

2/..1

.2123ν

σ

Y = Deflexão;

( )( )

( )2

/1/

./ln.

−=dD

dD

dD

GM

π

( )( )

( )

−−= 1/ln

1/.

/ln.1 dD

dD

dD

GC

π

� ou tabelas.

( )( )

−=2

1/.

/ln.2

dD

dD

GC

π

-- Vantagem:

Pode variar: > rigidez; > flexibilidade; > capacidade de carga.

-- Montagem em série: δT=δ1+ δ2 +δ2 +δ3+.......+ δi para ‘i’ arruelas. PT = Parruela

> Grande Flexibilidade. -- Montagem em Paralelo: PT=P1+ P2 +P2 +P3+.......+ Pi para ‘i’ arruelas. δT = δarruela

> Maior capacidade de carga.


-- Montagem Mista: P = carga por arruela; PT=P.ne

δ = deflexão por arruela; ne= n° de arruelas em paralelo; δ T= δ.ns ns= n° de arruelas em série. > Mais usada,pois tem grande resistência e boa flexibilidade OBS: Ymáx < 60% h

10.6.2. Barra em Flexão:

F

F

W

M=σ 6. 2hb

WF = lPM F .=

2...6

hb

lP=σ ( no engaste)

-- Deflexão ( Castigliano) ( )∫=

ldx

IE

xPU

0

2

...2

.

IE

lP

P

U

..3. 3

=∂∂=δ

hE

l

hb

lP

hE

l

..

.32

...6

...3

.2 2

2

2 σδ ==

10.6.3. Feixe de Molas:

I

yM máxF .=σ 2

1min ..

..6hbn

lPmolaala == σσ

Sendo:

n

bb =1

n = n° de lâminas; b= largura total;

ln

PM F .= p/ lâmina;

IT=I1+ I2 +I3+.......+ Ii para ‘i’ lâminas. IT=n.I para lâminas iguais.

12

. 3hbI =

hE

l

hEbn

lP

..3

..2

...

..4 2

31

3 σδ ==IE

lP

..3

. 3

=δ


10.6.4. Barra Triangular ( = Resistência)

2)( .

..6

hb

xPx =σ

l

xbb .0=

( ou igual resistência σ(x)= σ) -- Se l>> b1.b0 ( outras dimensões ) não considera o cisalhamento.

10.6.5. Feixe de Molas Barra Triangular:

Matriz: l

xbb .01 =

l

xhbhbWX .

6.

6. 2

02

1 ==

Feixe: ∑= 'AAX WW

Placa 3: 6. 2

3

hbW X =

Placa 2: 6. 2

22

hbW X =

XXX WWW 32 += l

xhbWX .

6. 2

0=

Tensão de Flexão:

( ) xPM X .= ( )

( )X

XX W

M=σ �

2....6hbn

lPX =σ

Deflexão:

3

3

...

..6

hbEn

lP=δ � hE

l

...6 2σδ =

20

)( ...6

hb

lPx =σ


10.6.6. Feixe de molas Barra Trapezoidal:

Secção cte: hE

l

..3..2 2

1

σδ =

Secção ∆ : hE

l

.. 3

2

σδ =

-- Sistema trabalha em conjunto, δ1=δ2

Logo σ1 ≠ σ2

σi = Tensão nas lâminas internas; σe = Tensão nas lâminas escalonadas.

δi=δe � ei σσ .23=

-- Dimensionamento por σmáximo : bi-be=b PT=Pi+Pe

2....6hbn

lP

i

ii =σ

2....6hbn

lP

e

ee =σ

ei σσ .23=

-- Sabendo a parcela de carga para cada tipo de Mola:

2max ....6hbn

lP

i

ii == σσ ou ( )ei nnhb

lP

.2.3....18

2max +=σ

-- Deflexão:

δδδ == ei � Ehbn

lP

Ehbn

lP

e

e

i

i

.....6

.....4

3

3

3

3

= � ( )ei nnhbE

lP

.2.3.....12

3

3

+=δ

e

e

i

i

n

P

n

P.

2

3=

+=

ei

eTe nn

nPP

.2.3

.2.

+=

ei

iTi nn

nPP

.2.3

.3.


10.6.7. Molas Balestra:

-- Curvatura: > Reação elástica às forças longitudinais; > Tal que não se anule após a carga ser aplicada. ‘’’Deve-se evitar que as molas fiquem na horizontal, pois irá gerar um sistema instável sujeito a flambagem.’’ -- Larguras ‘’b’’ usuais: > locomotivas: b= 90mm; > vagões: b= 75mm; > caminhões: b= 60mm; > automóveis: b= 35mm. -- Detalhes construtivos:

a) Sulcos de encaixe evita o jogo lateral; b) Fixação:

-- Carga Total �Direção Radial: > Indeformada; > Deformada;

)cos(. αTPP = )tan(.' αPP =

)(. αsenPP T= ( )αtan.. ylPM Fo +=

fyy −= 0

y0 = deflexão de construção;

2...6

hbn

M F=σ � ( )

2..tan...6

hbn

ylP ασ +=

-- Material: aço de silício-manganês Sy =1200 MPa Su= 1400 MPa -- Diferente curvatura( Mola Mestra) � Distribuição de σ:

Antes da montagem C, tal que: ( )

2..tan...6

hbn

ylPei

ασσ +== 2

3

.....2hbEn

lPC =

( )

3

2

...

tan....6

hbnE

yllP αδ +=


11. Vasos de Pressão

11.1. Classificação:

Entende-se como elementos de simetria axial todos os recipientes, tubos,

reservatórios, vasos de pressão (caldeiras, trocadores de calor, autoclaves, etc.). São todos classificados como cascas ou membranas de revolução em função da

espessura de parede e das hipóteses simplificadoras adotadas. São gerados a partir de uma curva segundo um eixo de giração.

11.1.1. Elementos de Paredes Espessas: São considerados como CASCAS (vigas curvas bi-dimensionais).

Rt .5,0≥

11.1.2. Elementos de Paredes Delgadas: São consideradas como membranas (cordas bi-dimensionais).

Rt .2,0≤

11.1.3. Elementos de Paredes Medianamente Espessas: São aqueles que não se classificam em nenhuma das duas anteriores (tubos em geral).

Como orientação: Rt .5,0≤ `` A classificação de um elemento axial simétrico como casca ou membrana não é função somente da relação entre ‘t’ e ‘R’ mas também dependerá das dimensões gerais do mesmo. ``

11.2. Elementos de Paredes Espessas – Cilindros:

As tensões nominais são principais, em função da geometria e do sistema de

coordenadas (cilíndrico) adotada. Observe que segundo o eixo Z o campo de

tensões na ausência de tampas ou quando o cilindro é muito longo, não varia.

Logo, pode ser analisado um segmento circular

unitário do mesmo, sem prejuízo do campo de tensões atuantes.


11.2.1. A Solução de Lamé:

Cilindros de paredes espessas, sob ação de pressão interna e externa, atuando

simultaneamente. � Equações de Equilíbrio:

r- raio até um ponto qualquer; dr- raio infinitesimal (estabelece a forma como as tensões variam na espessura); � Deformações num Cilindro de Espessura Constante:

A deformação é simétrica e independente do comprimento do cilindro ∆l=1. � Deformação Circunferencial εθ:

rl ..2π= � ( )urll +=∆+ ..2π � l

l∆=θε � r

u=θε

� Deformação Radial εr:

drl = � drdr

dul .

=∆ � l

lr

∆=ε � dr

dur =ε

� Hiperestático Internamente:

Sendo N’N a bissetriz dθ:

∑ = 0'NNF � 0. =−−dr

dr r

rt

σσσ

∑ =⊥ 0'NNF

Equação de Equilíbrio:

Relação matemática que vinculam deformação e deslocamento.

0. =−−dr

dr r

rt

σσσ


� Analisam-se as deformações do cilindro: * Admite-se o cilindro sem tamponamento σL=0 ( tensão longitudinal). Logo, equações constitutivas, regime eslático:

( )trr

E νεεν

σ +−

= .1 2

( )rtt

E νεεν

σ +−

= .1 2

Ou equações cinemáticas:

+−

=r

u

dr

duEr ν

νσ .

1 2

+−

=dr

du

r

uEr ν

νσ .

1 2

Substituindo as equações constitutivas na equação de equilíbrio, obtém uma relação entre os deslocamentos:

0.1

22

2

=−+r

u

dr

du

rdr

ud Equação Diferencial, 2° ordem, 1° grau e homogênea.

Solução tradicional ou colocando a mesma forma integral:

0).(

.1 =

dr

rud

rdr

d

Por integração sucessiva, 21 .1

. Cr

Cru += , sendo C1 e C2 constantes de integração f (C,

C).

Conhecida a lei de variação do deslocamento, ``u`` obtém-se a distribuição das deformações (através das equações cinemáticas):

21 .1

2C

rC

dr

dur −==ε 21 .

12

Cr

Cr

ut +==ε

Estas, substituídas nas relações constitutivas, fornecem:

++

−−

= 21212.

1.

1.

1 22C

rCC

rC

Er ν

νσ

−+

+−

= 21212.

1.

1.

1 22C

rCC

rC

Et ν

νσ


Reagrupando e, admitindo que as pressões interna e externa atuam simultaneamente, através da variação da tensão radial,

DETERMINAM-SE AS CONDIÇÕES DE CONTORNO:

iarr p−== )(σ obrr p−== )(σ

−−

−= 22

22

1

1

ab

pbpa

EC oiν

( )

( )

−−

−=222

22

2

1

abr

ppba

EC oiν

As condições de contorno, na expressão de σr,t fornecem as equações de Lamé

que representam a solução geral para cilindros de paredes espessas.

( )( )

−−

−−

=222

22

22

22

, abr

ppba

ab

pbpa oioitr mσ � Equação de LAMÉ

alLongitudinTensãoL _→= σσϕ

0=ϕσ - Quando não houver tampas;

- Quando o cilindro é suficientemente longo. CONCLUSÕES: -- ctetr =+σσ � Logo as seções transversais permanecem planas após a solicitação.

-- tr ,σ são Tensões principais, logo:

( )

−−=−=

222

22

max ..2

1

ab

pp

r

ba oirt σστ

Aplicando as condições de contorno. em ``u`` obtém-se a forma geral para o deslocamento:

( )( )

rab

ppba

Er

ab

pbpa

Eu oioi

r

11122

22

22

22

−−++

−−−= νν


Resolvendo para:

a- Pressão Interna pi=p e po=0:

( ) pab

ab

E

au a .22

22

+

−+= ν ( ) ( ) p

abE

bau b .

.

222

2

−=

b- Pressão Externa pi=0 e po=p:

( ) ( ) pabE

bau a .

.

222

2

−= ( ) p

ab

ab

E

bu b .22

22

−

−+−= ν

( )+=tσ

( )−=rσ

0≠Lσ ( )+=tσ

( )−=rσ

0=Lσ


11.2.2. Casos Usuais:

i) Cilindro sob pressão interna pi=p e po=0:

−= 2

2

22

2

, 1r

b

ab

pa itr mσ

Para r=a pr −=σ Tensões Principais: rt σσ >

22

22

.ab

abpt −

+=σ - maior tensão

Para r=b 0=rσ

22

22

ab

pat −

=σ � a < b

Observa-se que )()( btat σσ > , enquanto )()( −=arσ e 0)( =brσ . Tem-se a

necessidade de uma teoria de falha.

TRESCA: ( )

+

−+=−= p

ab

abpta 22

22

21)(max ..2

1.

2

1 σστ

Logo:

−= 22

2

)(max .ab

bpaτ

ii) Cilindro sob pressão externa pi=0 e po=p:

( )

−±

−−= 222

22

22

2

, abr

pba

ab

pbtrσ

Para r=a 0=rσ

22

22

ab

pbt −

−=σ � a < b

Para r=b pr −=σ

22

22

.ab

abpt −

+−=σ

-- Observe que sendo 2222 abb +> , os pontos sobre a superfície interna do cilindro continuam sendo os mais solicitados.

tσ � maior tensão

``Ponto mais solicitado é a parede interna, sob pressão, salvo cargas pontuais``


11.2.3. EFEITO TAMPAS: � Pressão Interna cilindronotraçaoernai FAp __int. =

2

int .aA erna π=

2.. apF i π=

coroa

L A

F=σ ( )22

2

.

..

ab

apiL −

=π

πσ � ( )22

2.

ab

apiL −

=σ

( )22. abAcoroa −= π

� Pressão Externa FAp externao =.

2

int .bA erna π=

2.. bpF o π=

coroa

L A

F=σ ( )22

2

.

..

ab

bpoL −

−=π

πσ �

( )22. abAcoroa −= π

( )22

2.

ab

bpoL −

−=σ


11.2.4. Equações de Projeto (Resistência Mecânica)

11.2.4.1. Materiais Frágeis:

i) Equação de Lamé (a TMTP). Utilizado para tubos fabricados com materiais

frágeis.

TMTP � )(atp

i σσ =

=≤−+=

N

Su

ab

abp adm

pi σσ

22

22

.

-- Pressão Interna:

−

−+= 1

p

pat

σσ

-- Pressão Externa:

−

−= 1

2pat

σσ

ii) Equação de Grashoff (TMDN e σL=0)

Utilizada para cilindros com extremidades abertas, pressão interna: Camisas de

cilindros, cano de armas de fogo. Materiais: bronze, latão, ligas de alumínio.

( )321 σσνσσ +−=Ni 03 == Lσσ 21 νσσσ −=N

i

( )( )

−

−−−+= 1

1

1

p

pat

νσνσ

iii) Equação de Claverino (TMDN e e σL≠0)

Utilizada para cilindros com tampas, pressão interna: cilindros de compressores,

bombas hidráulicas... Com tampas: σL≠0

( ) ( )LrttN

i σσνσσσνσσ +−=+−= 32

Logo:

−+−−

−+= 22

2

22

22

..ab

app

ab

abpN

i νσ

Para 3,0=ν :

−

−+= 1

3,1

4,0

p

pat

σσ


Dedução Equação de Grashoff (TMDN e σL=0) Cilindro sob pressão interna pi=p e po=0 e r =a (região mais solicitada)

( )( )

−−

−−

=222

22

22

22

, abr

ppba

ab

pbpa oioitr mσ � ( )

−

−=

222

22

22

2

,

.

abr

pba

ab

pa iitr mσ

� ( )222

2222

,

.

abr

pbapra iitr −

= mσ �( )

( )222

222

,

.

abr

brpa itr −

= mσ

( )( )222

222.

aba

bapa ir −

+=σ �( )

( ) 1

1.

22

22

−−

−+=ab

bapirσ �

( )( ) i

ir p

ba

bap −=−

+−=22

22

σ

( )

( )222

222.

aba

bapa it −

+=σ �( )

( )22

22

ab

abpit −

+=σ

Aplicando a TMDN: σL=0

( )321 σσνσσ +−=Ni 03 == Lσσ 21 νσσσ −=N

i

( )

( ) iiN

i pab

abp.

22

22

νσ +−+= �

( ) ( )( )22

2222 .

ab

abpabp ii

−−++= νσ �

( ) ( ) ( )222222 .. abpabpab ii −++=− νσ �

222222 ........ apbpapbpab iiii ννσσ −++=− � ( ) ( )νσνσ .. 22iiii ppappb −+=−−

�( )( )( )( )νσ

νσ−−−+=

1

122

i

i

p

pab � tab += �

( )( )( )( )νσ

νσ−−−+=+

1

1

i

i

p

paat �

( )( )

−

−−−+= 1

1

1

p

pat

νσνσ

Dedução Equação de Claverino (TMDN e e σL≠0)

Cilindro sob pressão interna pi=p e po=0 e r =a (região mais solicitada)

ir p−=σ ( )

( )22

22

ab

abpit −

+=σ ( )22

2

.

..

ab

ap

A

F i

coroaL −

==π

πσ � ( )22

2.

ab

apiL −

=σ

Aplicando TMDN: σL≠0

( )

( ) ( )22

2

22

22 ...

ab

app

ab

abp ii

iNi −

−+−+= ννσ �

( ) ( )( )22

22222 ....

ab

apabpabp iiiNi −

−−++= ννσ �

( ) ( ) ( ) 2222222 .... apabpabpab iii ννσ −−++=− �

( ) ( )iiii ppappb ..2. 22 νσνσ −+=−− �( )( )ii

ii

pp

ppab

..

..222

νσνσ

−−−+= � tab += �

( )( )ii

ii

pp

ppaat

..

..2

νσνσ

−−−+=+ � 3,0=ν �

( )( )

−

−+

= 1.3,1

.4,0

i

i

p

pat

σσ


11.2.4.2. Materiais Dúcteis:

Em geral utiliza-se a teoria de Tresca (TMTT). `` Verifica-se que, tanto para pressão interna como para pressão externa, com a presença de tampas (σL≠0) ou sem tampas (σL=0), obtém-se uma mesma expressão para o dimensionamento.``

i) pi=p Pressão Interna Sem Tampa: par −=)(σ

22

22

)( .ab

abpart −

+==σ

po=0

σL=0 pab

abpT

i +−+==

22

22

max .2τσ

ii) pi=p Pressão Interna Com Tampa: par −=)(σ

22

22

)( .ab

abpart −

+==σ

po=0

σL≠0 22

2

.ab

apL −

=σ

τmax não muda. iii) pi=0 Pressão Externa Sem Tampa: 0)( ==arrσ

22

2

)(

2.

ab

bpart −

−==σ

po=p

σL=0 22

2

max

2.2

ab

bpT

i −== τσ

iv) pi=0 Pressão Externa Com Tampa: par −=)(σ

22

22

)( .ab

abpart −

+==σ

po=p

σL≠0 22

2..

ab

pbpL −

−=σ 22

2

max

2.2

ab

bpT

i −== τσ

τmax não muda.

PARA QUALQUER CASO:

−

−= 1

2pat

σσ

pab

abpT

i +−+==

22

22

max .2τσ


11.2.5. Caso Particular: Cilindro de Paredes Mediamente Espessas.

São os cilindros que obedecem a seguinte relação entre a espessura e o diâmetro.

ttab

ta

.3

.2

=+==

tde

tdi

.6

.4

==

Resolvendo a expressão de Lamé para pressão Interna:

2

2

22

22

22

22

20....

t

didi

de

dipdide

didep

ab

abpT

i

+=

−+=

−+=σ

Resolvendo para di ou para de, obtém-se a equação de BOARDMANN:

Para diâmetro interno: p

dipt

2,12

.

−=

σ

Para diâmetro externo: p

dept

8,02

.

+=

σ geralmente usado.

� Comportamento em Alta Pressão: Analisando a maior tensão principal, σt ,para pressão interna:

22

22

)( .ab

abpat −

+=σ 2

2

)( 1

1.

c

cpat −

+=σ

e sendo b

ac =

(relação entre raios) Logo: C � 0 : ou a�0 (tubo capilar) ------- pat →)(σ

ou b�∞ ------- ∞→)(atσ

C � 1 : ou a�b -------- ∞→)(atσ

ou t << a

Conclusão: Se a pressão de serviço, p , for maior ou igual ao limite de escoamento do material (pserviço>Sy) a parede do tubo entra em escoamento, independe de sua espessura. -- Deve-se usar material de melhor qualidade; --Não adianta ter uma grande espessura se σadm não suportar a pressão de serviço.

2

at =


11.2.6. Soluções para alta pressão:

11.2.6.1. Cilindros encamisados:

Tem-se como solução para alta pressão o encamisamento do cilindro. Se a

pressão de serviço, p, for maior ou igual ao limite de escoamento do material (pserviço ≥ Sy) a parede do tubo entre em escoamento, independente da sua espessura. (pserviço �� Sy, irá escoar sempre). Assim é feita um montagem colocando um cilindro dentro do outro, ou por aquecimento do cilindro camisa (usual) , ou resfriamento do tubo interno. A pressão de contato é gerada pela interferência radial [deslocamento do tubo externo (pressão interna) e o deslocamento externo do tubo interno(pressão externa)] que é inibida devido `` ao aumento do raio interno do tubo externo e à redução do raio externo do tubo interno’’ . Assim, tem-se o EFEITO DE SUPERPOSIÇÃO DE PRESSÃO cujas Tensões diminuem em qualquer ponto do tubo interno. ‘’

Felipe Chaves. Cilindros inicialmente com interferência radial. É colocado um cilindro dentro do outro, ou por aquecimento do cilindro camisa (usual), ou por resfriamento do tubo interno. Conforme vimos, a variação do deslocamento ``u`` é dado por: Quando, após a montagem, o sistema é resfriado, os cilindros tendem às suas geometrias iniciais ( diâmetros). A pressão de contato é gerada pela interferência que é inibida devido `` ao aumento do raio interno do tubo externo e à redução do raio externo do tubo interno``.

-- Pressão Interna: ( pi = p e po = 0)

r=a �

+

−+= ν22

22

..

ab

ab

E

paui

r=b � ( )22

2

.

..2

abE

pbaue −

=

-- Pressão Externa: ( pi = 0 e po = p)

r=a � ( )22

2

.

.2

abE

paui −

−=

r=b �

−−+−= ν

22

22

..

ab

ab

E

pbue


SISTEMA INDEFORMADO:

A interferência radial é dada pela diferença entre o deslocamento interno do tubo externo ( pressão interna) e o deslocamento externo do tubo interno ( pressão externa).

Logo:

−

−++

+

−+=∆ νν 22

22

22

22

..

..

ii

iii

ee

eee

ab

ab

E

pb

ab

ab

E

par

Onde: p - pressão de contato; be - raio externo do tubo externo; bi - raio externo do tubo interno; ae - raio interno do tubo externo; ai - raio interno do tubo interno. Adotando para o sistema conforme a figura que segue, após a montagem ; a= raio interno do tubo interno; b= raio externo do tubo externo; c= raio da superfície de contato; obtém-se:

Sendo: ( )( )

( )

−−−

∆= 222

2222

.2.

.

abc

accb

c

Erpc

No caso de dilatação, onde é dado α[°C-1] a variação do diâmetro do cilindro pode ser calculado: ( materiais diferentes ‘’x’’ e ‘’y’’)

Tru xxmx ∆= .., α 2,

car xm

+=

Tru yymy ∆= .., α 2,

cbr ym

+=

� yx uur −=∆ �

� yy

ymc

xx

xmcyx tE

rp

tE

rpuur

.

.

.

. ,2

,2

−=−=∆ �

−

−++

+

−+=∆ νν

22

22

22

22

..

..

ac

ac

E

pc

cb

cb

E

pcr


11.2.6.2. Cilindros Auto-forçados: ( blindados)

Aplica-se pressão interna ao cilindro, até provocar escoamento total ou parcial na parede do mesmo.

i) Pressão interna necessária para iniciar o escoamento na parede do cilindro, pi:

Reescrevendo a equação de equilíbrio do sistema hiperestático internamente:

(1)

A solução de Lamé, para pressão interna, pi, fornece:

(2)

Utilizando a teoria de falha de Tresca ( verifica-se também pelo círculo de Mohr das Tensões Principais):

( )222

22

max .

..

2 abr

pba irt

−=−= σστ

Para r=a � ( )22

2

max

.

ab

pb i

−=τ (3)

Quando τmax � Sys, ocorre a transição de um caso elástico para um caso plástico. Logo:

2

22

.b

abSysp

i

i

−= (4) pi<Sys

É a pressão necessária para iniciar o escoamento. Para pi=Sys ocorre escoamento

sem controle.

ii) Determina-se a pressão necessária para escoar toda a espessura de parede do Tubo, p2

Aplica-se um incremento de pressão, ∆p, constantemente até os pontos da

superfície externa alcançarem o escoamento (τmax=Sys em r=b). A equação de equilíbrio não se altera. Porém, as equações constitutivas não são mais as mesmas ( a região não tem mais comportamento elástico).

Controla-se o crescimento da região plástica no limite : τmax ≤ Sys, Logo:

Sysrt ≤−=2max

σστ (5)

Quando um ponto sobre a superfície, em r=b, escoar, então Sysrt ≤−

2

σσ (6) para

toda a espessura da parede, ``t``.

rdr

d rtr σσσ −=

−−=

2

2

22

2

, 1.2

r

b

ab

pa itr mσ


Para o critério de projeto no regime elasto-plástico,

Eq. (5) � (1) : Sysrt .2=− σσ � Sysdr

d r .2=σ

Integrando: ( )CrSysr += ln..2σ Onde: C=f(C.C), Aplicando as condições de contorno. pi=p; po=0; r(b)=0 � C=-ln(b)

Assim:

=b

rSysr ln..2σ (8)

Logo, a pressão que provoca a plasticidade em toda a espessura da parede do tubo:

rp σ−=2

−=b

aSysp ln..22 ou

−=b

aSyp ln.2 (9)

Determinam-se as tensões plásticas ( espessura ``t``):

=b

rSysr ln..2σ

+=b

rSyst ln1..2σ

iii) Conclusão: No carregamento aplica-se p2 e determenam-se σr e σt . Na descarga

surgem tensões residuais σr (residual) e σt ( residual) as quais devem ser determinadas por superposição de efeitos.

iv) Exemplo: Admitindo uma relação b/a=2,2 , determine as tensões atuantes para a geração de

um multi-tubo.

1- Tensões na deformação plástica:

( )SysSysar .2.79,02,2

1ln..2)( =

=σ 0)( =brσ

( )SysSysat .2.21,02,2

1ln1..2)( =

+=σ ( ) SysSyst .201..2 =+=σ


2- Tensões elásticas no descarregamento ( de compressão):

( )SysSyspp .2.79,02,2

1ln..22

*2 −=

−=−= logo,

( )Syspar .2.79,0*2)( =−=σ 0)( =brσ

( )Syspab

abat .2.20,1. *

222

22

)( −=−+=σ ( )Sysp

ab

abt .2.41,0.

.2 *222

2

)( −=−

=σ

3- Superposição: Tensão resultante = Tensão de plastificação + Tensão elástica. 0)( =RESarσ 0)( =RESbrσ

( )SysRESat .2.99,0)( −=σ ( )SysRESbt .2.59,0)( =σ

4- Traçando as distribuições das Tensões ao longo da espessura:

Observar que quando a TENSÃO TANGENCIAL RESIDUAL r=a é compressiva favorecendo o estado tensional final para quando atuar pressão de serviço.

Não se pode sobrepor tensões para paredes espessas pois ocorre a variação do comportamento da distribuição na espessura da parede. Pressão interna de serviço máxima:

1

.2..2

22

22

222

2

+−+

−−

+≤

ab

ab

Syspab

b

Padm

máxADM

σ sendo:

N

Syadm =σ


11.2.6.3 Sistemas para Altíssima Pressão:

Prensas Hidráulicas e de extrusão utilizam pressões de fluido bem elevados,

requerendo cilindros de paredes extremamente espessas. Cilindros que suportem pressões na ordem de 200 Ksi são necessários na indústria de sinterização de diamantes e da metalurgia do pó.

1- Vasos Segmentados em Cunha

Este sistema consiste na colocação de um conjunto de cunhas no interior de um cilindro de paredes espessas. As cunhas são impermeabilizadas, ou, com gaxetas tipo membranas nas entre faces, desta forma o fluido interno está em contato unicamente com a superfície externa.

Para um número grande de cunhas, despreza-se a deformação tangencial, logo:

a

cpp .1 =

22

2

max ab

pb i

−=τ e 1ppi =

−= 22

2

max .ab

b

a

cpτ Otimizando 0max =

da

dτ 3=

a

b

ab .7,1= 2- Vasos Segmentados

São colocados tijolos curvos segmentados e unidos entre si por parafusos

(tirantes) conforme mostra a figura. A vedação é obtida utilizando-se uma membrana pelo lado interno.

Esse princípio de projeto substitui a tensão tangencial por uma tensão de tração nos tijolos curvos segmentados, conforme mostram as figuras.

tσσ =2 e trativa no equilíbrio.

=∫ 2tan..2.cos.2....2

2/

0

θθFdttrpw

=

2tan..2

2....4

θθFsenrpw

Para ângulos pequenos sem(θ)=tan(θ)

twA .=

A

Ft =σ

t

rpt

..2=σ

Para cilindros de indústrias de pedras preciosas sintéticas e de indústrias de metalurgia do pó, que precisam suportar uma pressão de 200000psi, é empregado o princípio da cunha durante a construção. Um grande número de cunhas radiais é colocado dentro do cilindro espesso; elas são presas por gaxetas membranais para impedir escapamento de fluido através da superfície de contato entre elas (Fig.8). Uma vez que o número de cunhas é grande, a deformação tangencial pode ser desprezada e uma pressão p1 é criada entre cada cunha e o cilindro inteiriço espesso.

Este princípio baseia-se na eliminação das tensões tangenciais da parede espessa do cilindro, substituindo-as por uma distribuição uniforme de tensão de tração através da espessura.


� Princípio de Cascata: Tensões de membrana : superposição de tensões;

Tensão tangencial no cilindro interno, devido a pressão interna: i

iiiit h

rp ., =σ thi =

Tensão tangencial no cilindro interno, devido a pressão externa: i

iiet h

rp .0, =σ

Tensão tangencial no cilindro externo, devido a pressão do fluido: 0

01,

.

h

rpeet =σ

Tensão Resultante no cilindro interno:

i

ii

i

iteresul h

rp

h

rp ..0tan +−=σ

( )i

iiteresul h

ppr 0tan

. −=σ

Este princípio consiste em introduzir uma pré-tensão dentro de toda a espessura do cilindro para obter comportamento membranal no vaso. É aperfeiçoado pelo uso de uma série de vasos coaxiais separados por fluido mantido sob pressão controlada por uma fonte externa.

A tensão no cilindro externo não é influenciada pela pressão interna.

P0-pressão do fluido Pi- pressão interna σii-cil. Int. pres. Int. σie-cil. Int. pres. fluido σee-cil. Ext. pres. fluido


11.3. Elementos de Paredes Espessas – Esféricas:

Da mesma forma que nos cilindros de paredes espessas, as tensões nominais

atuantes são principais, em função de geometria e do sistema de coordenadas adotado.

Equilíbrio: Desprezando os infinitésimos de 2° ordem:

02

..4 321 =

+−

+ Adrdr

ddsenAA r

trr

σσθσσ

221 θdrA = drrdA θ=2 ( ) ( ) ( ) 22

3 . θθθ ddrrddrrddrrA +=++=

Desprezando os infinitésimos de 2° ordem:

rdr

d rtr σσσ += .2

Reescrevendo as equações constitutivas:

( )( ) ( )ttt

E νεενν

σ ++−

=121

( )( ) ( )[ ]trr

E εννενν

σ ..21121

+−+−

=

Sendo:

dr

dur =ε e

r

ut =ε obtém: 0

2222

2

=−+ urdr

du

rdr

ud

Com solução:

221

1. C

rCru −= logo: 231

1C

rCt −=ε

231

1C

rCr +=ε


Substituindo nas equações constitutivas: -- Pressão Interna:

( )( )

p

p

a

b

adm

adm

.2.1

..213

3

νσ

νσ+−

−+≥ 3,0=ν

−

−+≥ 1

.65,0.4,0

. 3

p

pat

adm

adm

σσ

-- Pressão Externa:

( )pa

b

adm

adm

νσ

σ

.1.233

3

−−≥ 3,0=ν

−

−≥ 1

.05,1. 3

pat

adm

adm

σσ

11.4. Algumas Soluções Clássicas:

Estas soluções são específicas para alguns tipos de problemas. O uso de uma ou outra equação dependerá do trabalho a ser desenvolvido pelo engenheiro na indústria. Como orientação sugere-se a bibliografia seguinte ( além da consulta obrigatória a normas específicas quando houverem): -- Scienza delle Construzioni, Odone Belluzi, Pitagora Editrice, Itália / ``Ciencia de La Construcion; -- Hütte, Manual del Ingeniero, Editonal Gustavo Gili, 1992, Barcelona/Espanha; -- Dubbel: Manual do Engenheiro; -- Hütte Des Ingenieurs Taschenbush, Veriag/Berlin;

11.4.1 Redes Adutoras de Água : Carga 1 ( Estática)

Tubos de paredes medianamente espessas. Equação de Boardmann. Recomendação: soma-se à pressão de regime, uma sobrepressão, Pw, para vencer os possíveis golpes de Aríete que se formam na linha (fechamento brusco de válvulas, por exemplo). )7,0/7(7 2

min_ MPacmkgfatmP imow ==

Equação de projeto:

( )C

p

dppt iw +

−+=

.2,1.2σ C = 1-10 mm; depende do tipo de utilização.


11.4.2 Cilindros para Bombas de Êmbolo:

Devido a flutuação considera-se Caso de Carga II (repetida ou flutuante)

i) Tensões Admissíveis: Ferro Fundido 15 a 25 MPa Aço 35 a 55 MPa Bronzina 30 a 50 MPa

ii) Exigências de Fundição:

Os cilindros de fundição, submetidos a pequenas pressões internas, devem ser verificados em função da forma de fabricação (tipo de molde...)preferencialmente.

Ferro Fundido Fundição Vertical � mmd

t 1050min +=

Fundição Horizontal � mmd

t 1240min +=

Aços e Brones Fundição Vertical � mmd

t 1470min +=

Fundidos Fundição Horizontal � mmd

t 1560min +=

iii) Equações Utilizáveis:

Ferro Fundido Equação de Lamé � Cp

pat +

−

−+= 1

σσ

C=6mm Equação de Boardman � Cp

dipt +

−=

.2,1.2

.

σ

Aços e Brones Equação de Claverino �

ν=0,3 e C=6mm Cp

pat +

−

−+= 1

3,14,0

σσ


11.4.3 Cilindros para Prensas Hidráulicas:

Sofrem pressão estática ( cargaI). Uma forma de projeto consiste em utilizar tubos encamisados.

i) Tensões Admissíveis: Ferro Fundido ou Bronze Ordinário

35 a 70 MPa

Bronza Fosforoso 50 a 100 MPa Aço Doce 100 a 150 MPa

ii) Equações Utilizáveis:

Ferro Fundido ou Bronze Ordinário: Equação de Lamé com C = 0

Demais Materiais: Equação de Claverino com C = 0 (devido ao óleo, não à corrosão)

11.4.4. Cilindros para Máquinas a Vapor:

i) Solução Kent ( Kent`s Mechanical Engineers Handbook, Wiley & Sons) As

expressões não são dimensionalmente coerentes di=mm e p=atm (=kgf/cm2)

p ≤ 10 atm � mmd

t i 1350min +=

p > 10 atm � ( )

mmdp

t i 5,7175

.min +=

ii) Verifica-se a Tensão Admissível com C=30mm, utilizando a equação de Lamé para Ferro Fundido.

11.4.5. Redes de Vapor:

A tensão máxima devido a pressão interna não deve ultrapassar a tensão admissível do material na temperatura de serviço. σadm em Tserviço � Considerar a possibilidade de ``CREEP`` (Fluência).

i) Equações Utilizáveis: Conforme USAS.B.31 ( American Standard Code for Pressure Piping)

Cpy

bpt

adm

++

=..

.σδ

δ- eficiência de junta; p- pressão interna de serviço; σadm- tensão admissível do material na temperatura de serviço; y- coeficiente de redução f(material e temperatura do tubo).

Cp

pat +

−

−+= 1

σσ

Cp

pat +

−

−+= 1

3,1

4,0

σσ


Valores de Y

Material\temperatura <480°C 510°C 540°C 570°C 600°C 625°C Aços Ferríticos 0,4 0,5 0,7 0,7 0,7 0,7 Aços Austeníticos 0,4 0,4 0,4 0,4 0,5 0,7 Material Diâmetro Valor de ``C`` Tubo de aço ou ferro batido com rosca

≤ 3/8’’ 1mm

Tubo de aço ou ferro batido com rosca

> 3/8’’ 20/n (n= n° de fios por polegada)

Tubo de aço ou ferro batido sem rosca

≤ 1’’ 1mm

Tubo de aço ou ferro batido sem rosca

> 1’’ 2mm

Tubos de Ferro fundido ----------- 4mm

ii) Equação de Boardman com Iguais δ e C:

iii) Considerações Adicionais: -- Tensões Admissíveis para altas temperaturas: Code ASME VIII, Disivion I, Part UCS. Tables UCS-27 or UCS-23. -- Tubos Soldados: Verificar a eficiência de junta (ASME VIII, UW-12) solda de topo, arco ou gás. Solda totalmente radiografada δ= 0,9 Solda parcialmente radiografada δ= 0,8 Solda sem inspeção radiográfica δ= 0,65 Relembrando ... USAS.B.36 – Conceitua e define o ``Schedule Number``

Designa a espessura de um tubo adm

psch

σ.1000=

Sendo ``p`` a pressão de serviço (psi) e σadm a tensão admissível do material (psi).


11.5. Tensões Térmicas As restrições aos deslocamentos ``ui`` causadas pela variação da temperatura ao longo da espessura de parede do tubo, originam tensões térmicas. Através da espessura de parede cria-se uma expressão diferencial (diferentes alongamentos/encurvamento) em fibras adjacente. Fibras com maior ∆T são tracionadas.

11.5.1. Cilindros Longos:

Devido à produção de vapor, a padere de um cilindro é aquecida de modo não-uniforme na espessura. Logo, os elementos infinitesimais da mesma não se expandem uniformemente criando interferência mútua e o aparecimento de tensões térmicas. Segundo, Timoshenko e Goodier (Theory of Elasticity), para uma distribuição simétrica e constante da temperatura ao longo do tubo e considera-se as condições de contorno nas proximidades das tampas, as tensões principais serão dadas por:

( )

−

−−

−= ∫ ∫

b

a

r

ar drrTdrrTab

ar

r

E.....

.1

.22

22

2νασ

( )

−+

−+

−= ∫ ∫

b

a

r

at rTdrrTdrrTab

ar

r

E 222

22

2 .......1

.

νασ

( )

−−−

= ∫b

aL TdrrTabr

E...

2

.1

.222ν

ασ

Se o gradiente térmico através da espessura é conhecido, resolvem-se as integrais acima e a tensões térmicas para o caso particular estarão determinadas.

11.5.2. Tensões Térmicas Estáveis: Gradiente Térmico Logarítmico.

É o caso comum, o calor escoa através da parede de forma estável. Logo, a diferença de temperaturas entre as faces interna e externa da parede é constante. Conforme: ASME `` O escoamento térmico é radial e proporcional ao raio, através de uma secção de fluxo transversal, originando para a temperatura uma distribuição logarítmica através da espessura.`` A temperatura em qualquer ponto, função da temperatura da parede interna. Considerando a equação de Calor de Fourrier (distribuição da temperatura num corpo homogêneo).

t

TT

∂∂=∇ .. 2β sendo: β, a difusividade térmica do material no corpo.

Para condições estáveis: 0=∂∂

t

T , sendo 0≠β , 0.2 =∇ T


Em coordenadas cilíndricas r,t(θ), l(z):

0.1

.1

.2

2

2

2

22

22 =

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇

t

T

t

T

rt

T

rt

TT

Assumindo T função somente de ``r``, a equação se simplifica:

0.1

2

2

=∂∂+

∂∂

t

T

rt

T Com solução: 21 )ln(. CrCT +=

As constantes C1 e C2 são determinadas pelas condições de contorno do problema.

r=a,T=Ta e r=b, T=Tb

Logo, ( )( )ab

rbTT o /ln

/ln.= sendo: To=Ta-Tb

Em geral assume-se Tb=0. Assim: ( )( )ab

rbTT a /ln

/ln.= (2)

Substituindo e integrando:

( )

−

−−

−−

=a

b

r

b

ab

a

r

b

ab

TE ar ln.1ln

)/ln(.1.2

..2

2

22

2

νασ

( )

+

−−

−−

=a

b

r

b

ab

a

r

b

ab

TE at ln.1ln1

)/ln(.1.2

..2

2

22

2

νασ (3)

( )

−−

−−

=a

b

ab

a

r

b

ab

TE aL ln.

.2ln.21

)/ln(.1.2

..22

2

νασ

Note que (2) que a distribuição de temperatura depende somente da relação entre raios interno e externo do cilindro. Porém, apesar de independer da espessura ,∆T, pode aumentar com o aumento da espessura da parede de tubo. `` Logo, cascos de paredes espessas podem falhar mais facilmente que cascos de paredes finas, devido às tensões térmicas.`` Quando Ta é positiva, a tensão radial será negativa (compressiva) através da espessura, anulando-se em ``a`` e ``b``. As tensões tangencial e longitudinal tem seus maiores valores nas faces externa do tubo.

( )

−−

−==

a

b

ab

b

ab

TE aaLat ln.

.21

)/ln(.1.2

..22

2

)()( νασσ

( )

−−

−==

a

b

ab

a

ab

TE abLbt ln.

.21

)/ln(.1.2

..22

2

)()( νασσ


Para o caso b/a=2 e Ta positiva, as tensões tangencial e longitudinal serão compressivas na superfície interna, conforme pode ser visto na figura que segue, onde mostra a distribuição das tensões. O material nesta região tende a se expandir, no que é impedido pelo material adjacente que se encontra numa temperatura inferior. Esta situação se modifica gradualmente para um estado trativo nos pontos da superfície externa.

-- Trincas propagam na parte externa devido a tração; -- σt é trativo na parte externa e interna, sendo benéfico na parte interna, visto que na sobreposição (temp+pressão) as parcelas no interior se subtraem e no exterior se somam. -- As tensões térmicas superpõem-se as tensões geradas pelo estado de pressão atuante.

11.5.3. Tensões Térmicas Estáveis: Gradiente Térmico Linear.

É um procedimento utilizado quando se trata de paredes delgadas. De qualquer forma (para avaliar o erro), vejamos como ficariam as expressões considerando que a temperatura se distribui linearmente através das paredes espessas. (5) Substituindo e integrando:

( )( )( )

( )( ) ( )

( )

−−−−+

+−−

−=

ab

arbar

ab

abar

r

TE ar .6

..3.2

.6

2

.1

.. 223322

2νασ

( )( )( )

( )( ) ( )

( )( )( )

−−−

−−−−−

+−−

−=

ab

rrb

ab

arbar

ab

abar

r

TE at

2223322

2 .6

..3.2

.6

2

.1

..

νασ (6)

( )( )

( )( )( )

−−−

++

−=

ab

rb

ab

ab

r

TE aL .3

2.1

..2ν

ασ

Verifica-se que, idem ao gradiente logarítmico, as maiores tensões, σt σL ocorrem nos pontos interno e externo da parede do tubo.

( )( )

( )

++

−−==

ab

abTE aaLat .3

21

..)()( ν

ασσ (7)

( )( )

( )

++

−==

ab

abTE abLbt .3

21

..)()( ν

ασσ

ab

rbTT a −

−= .


Veremos que, para paredes delgadas, as expressões (7) serão idênticas as obtidas para o gradiente logarítmico. Porém, para paredes espessas a consideração do gradiente linear induz a erros consideráveis.

a) Para uma relação b/a=1,2 � considerando gradiente linear erro = 70%; b) Para uma relação b/a=2 � considerando gradiente linear erro = 23%;

11.5.4. Transientes Térmicos:

Antes da entrada em serviço, o tubo encontra-se a temperatura ambiente. Com a

entrada em serviço, o equilíbrio térmico somente é alcançado após uma fase de transição.

)/ln(

)/ln(.

ab

rbTT a=

-- Temos que evitar o transiente térmico, aquecendo o tubo gradativamente, conforme o tubo esquenta, chega a um estado de equilíbrio. Tendo-se as curvas de temperatura, pode-se determinar a evolução das tensões térmicas no tempo. Para um intervalo de tempo muito pequeno (t�0), na face interna, r=a, temos:

( )νασσ

−−==

1

.. aLt

TE (8)

A equação (8) expressa máximos alcançados pela tensões térmicas, durante o

processo de aquecimento do tubo. Expressam a inibição total de expansão térmica sobre a face interna, estado compressivo. Para um processo de resfriamento, basta inverter o sinal da equação.

Conforme o tubo esquenta, chega-se a um estado de equilíbrio


11.6. Elementos com Simetria Axial – Paredes Delgadas.

Para paredes delgadas, a tensão radial é desconsiderada pela equação da membrana. Logo temos: 0=rσ e pelo circulo de Mohr tem-se:

2maxθστ =

11.6.1 Cilindros

Os cilindros sob PRESSÃO INTERNA são projetados segundo os critérios de equilíbrio elástico; equações da membrana e particular.

Quando sob a ação de pressão externa a análise da instabilidade elástica (rigidez estrutural) é o critério de projeto adotado. CASCO CILÍNDRICO SOB PRESSÃO INTERNA:

Sendo: Rθ=rө Rφ=∞

Pela equação da Membrana: t

rp o.=θσ

σφ � para cilindros de grandes diâmetros onde se tenham chapas soldadas.

Pela equação Particular: t

rp

t

rp oo

.2

.

0cos..2

. =°

=ϕσ

Em geral utiliza-se TMTP onde admi σσσσ θ === 1 :

Crp

tadm

o +=σδ .

. Sendo C um fator de corrosão e δ um fator de eficiência de solda.

Algumas Equações para Projeto: ASME VIII UG-27 Hütte, equações da caldeira.

PES

RPt

.6,0.

.

−= Cilindro Aberto

pr .5,0

0

−=

=

σσϕ

P=p TRESCA ϕθ σσσσσ −=−= 21i

R=ro

S=σadm Cp

rpt o +

−=

.5,0.

.

σδ

E = δ(UW-12)


11.6.2 Casco Esférico Sob Pressão Interna:

Pela simetria orRR == θϕ e ϕθ σσ =

MEMBRANA: Crp

tadm

o +=σδ ..2

. ASME:

PES

RPt

.2,0..2

.

−=

)(2

1)( cilindroesfera θθ σσ =

-- Toda geometria sob pressão interna tende à forma esférica. -- A espessura de um vaso de pressão esférico é bastante inferior aos vasos cilíndricos, porém a construção de vasos esféricos são bem mais complexas.

11.6.3. Vasos Cônicos sob Pressão Interna:

MEMBRANA: α

σθ cos.

.

t

rp o= USUAL: Crp

tadm

o +=ασδ cos..

.

11.6.4 Casco Elipsoidal sob-pressão interna. (Uso comum em tampas de cilindros).

‘’a’’ e ‘’b’’ – semi-eixos da elipse

222222 bayaxb =+ 22 bab

ay −±=

Raio de curvatura para qualquer ponto:

2

2

2/12

1

dy

xd

dy

dx

p

+

=


Sendo ρϕ =R e ya

xb

dx

dy2

2

−=

32

4

2/32

2

2

1

ya

b

ya

xb

R

+

=ϕ

32

2

2

2

ya

b

dx

yd −= [ ]

44

2/32424

ba

xbyaR

+=ϕ

Pela figura, , , logo: [ ]

2

2/12424

b

xbyaR

+=θ

A relação entre Rφ e Rθ � Tensões : e

Rφ e Rθ variam ponto a ponto, portanto σφ e σθ também variarão, assumindo valores máximos e mínimos.

Em geral os pontos com valores externos situam-se no pólo ou no equador (ou coroa).

No Pólo: x=0 ; Rφ=l ; l=a2/b2 ; logo: No Equador: x=a ; e l=0 ; logo: e Observar que σθ torna-se compressiva para , isto é, para (a/b)>1,42

22.

.tan

xaa

xb

dy

dx

−==ϕ

l

x=ϕtan 22 xaR −=ϕ

4

23.

a

bRR θϕ =

t

Rp

.2

. θϕσ =

−=

ϕ

θθθσ

R

RR

t

p

.2

2

b

aRR

2

== θϕ

tb

ap

..2

. 2

== θϕ σσ

aR =θa

bR

2

=ϕ

t

ap

.2

.=ϕσ

−=

2

2

.21

.

b

a

t

apθσ

0.2

12

2

<

−

b

a


11.6.5. Casco Toroidal sob Pressão Interna

O toro, partes do mesmo, é uma das formas mais usadas em vasos de pressão,

como elemento de concordância para reduzir descontinuidades geométricas entre diferentes geometrias.

As tensões na parede do toro, sob pressão interna são calculadas pela condição

de equilíbrio das forças verticais sobre porção ‘’ab’’ conforme mostra a figura:

Verifica-se σφ atuando sobre a circunferência ro não tem componente vertical, logo o equilíbrio é feito para o plano ‘’ac’’. Tensões: -- σθ : independe do ponto sobre o toro. -- Variação de σφ: a- Linha Neutra do Toro: b θ=0° b- Ponto externo à superfície do toro: e θ=π/2 é um mínimo. c- Ponto interno à superfície do toro: f θ=3π/2

( )22...2. orrpsent −=θπσ ϕ

( )

+

=−=r

rr

t

Rp

sent

senRrrp oo

.2.

...2

.. ϕθπ

θσ θϕ

t

Rp

.2. ϕσ ϕ =

0. ==− θϕ senRrr o

orr = t

Rp ϕϕσ

.=

ϕRrr o =−

++

=ϕ

ϕϕϕσ

Rr

Rr

t

Rp

o

o.2

.2

.

ϕRrr o −=−

−−

=ϕ

ϕϕϕσ

Rr

Rr

t

Rp

o

o.2

.2

. Onde pode-se observar que ro tender a valores próximos a Rφ, σφ tende a alcançar valores muito altos. É o ponto fraco da geometria toroidal.


11.6.6. Casco Cilíndrico, Vertical e Cheio de Líquido:

Somente nesta posição do cilindro, o carregamento é simétrico.

Equação da Membrana: Sendo o peso específico do fluído, obtém-se: A espessura da chapa é função da altura do costado. Para este caso de casco apoiado na base, sem tampas, σφ =0, pois a pressão não tem atuação no fundo do cilindro.

� Caso de Cilindro Suspenso:

σθ continua a variar com a altura de fluído σφ, meridional e trativa, existe e é constante, independendo do ponto do costado analisado. b) c) Equilíbrio:

Sendo , temos que

t

p

r=+

∞ θ

θϕ σσ

zzfp .)( γ==

γ( )

t

rz o.γσθ =

( ) wtro =...2πσϕ ( )tr

w

o...2πσϕ =

( ) ( ) 0..2'....2' 2 =−−+ trwrptr ooo πσππσ ϕϕ

( ) 22 ..... oo rpzrw πγπ == ϕϕ σσ '=


11.6.7. Casco Cilíndrico Vertical e cheio de Líquido, sustentado por Anel Inferior e com Fundo Cônico.

As tensões no cilindro são as mesmas do caso de fundo apoiado em base rígida:

Análise do estado de tensões nos pontos do fundo cônico: equilíbrio do setor com determinado volume, conforme figura:

Equilíbrio de forças ( Tensão meridional que passa pelo circulo em BD) Sendo Obtém-se: Conclusões:

i) No vértice do cone: (r=0); σφ=0

ii) Para α=90° (placa), σφ=∞, a membrana plana não suporta esforços normais à sua superfície.

iii) A tensão tangencial para a parte cônica é determinada através da equação da membrana.

Sendo que também σθ=0 no vértice e σθ=∞ no fundo do plano.

Para em vaso de fundo cônico, com espessura constante, basta explicitar ‘’t’’ tomando-se o maior valor.

( )t

rz o.γσθ = 0=ϕσ

( ) ABCDEwtr =απσϕ cos...2

( ) απσϕ cos....2 tr

wABCDE= ( )[ ]

+−+= απαπγ cot3.

cot.3

2 rrrhrw oABCDE

−+=

ααγσϕ sen

rrh

t

r o .32

cos.2.

∞=ϕR αθ cos

rR =

ασθ cos.

.

t

rp=


11.7. INTRODUÇÃO DA FLUTUAÇÃO DA PRESSAO �� FADIGA

pmax pm,pa � amam ,,,, ,,, θθϕϕ σσσσ

pmin ≥ 0

*não pode sofrer inversão pressão interna pressão externa Cilindro com Tampas Pressão Flutuante:

�Teoria de Fadiga : Goodman

NSnSuam 1

610

=+ σσ

�Teoria de Falha : TRESCA

( ) ( ) ( )[ ] 2/1222/12221, ..4..4 ataeeee

Teei τδσδτσσσσ +=+=−=

�Teoria de Falha : VON MISES

( ) ( ) ( )[ ] 2/1222/1221

22

21, ..3..3. ataeeee

Meei τδσδτσσσσσσ +=+=−+=

tr

rp

tr

F

...2

..

...2

2

ππ

πσ ϕ ==

t

rp

.2

.=ϕσt

rp.=θσ

t

rpmm .2

.. =ϕσ

t

rpaa .2

.. =ϕσ

t

rpmm

.. =θσ

t

rpaa

.. =θσ

mmmiT

.., ϕθ σσσ −=

Para preservar o efeito faseefeito faseefeito faseefeito fase sempre utilizamos primeiro a Teoria de Falha e depois a de Fadiga, esse efeito nada mais é a solicitação em um instante (t) e em um instante (t+∆t), ou seja, a curva da solicitação é a mesma, o que muda é o instante de tempo, podendo deslocar ela para cima ou para baixo, mas mantendo a mesma curva. Caso não seja mencionado no projeto esse efeitoefeitoefeitoefeito, adota-se o procedimento mais simplificado.

Mauro Mello


11.8. Tampas

Valem as equações obtidas para cascos axiais simétricos.

11.8.1. Tampas Abauladas ou Toro-Eféricas:

Condições Geométricas: ei dR

d << ϕ2

Condição Normativa: ϕRr .06,0≥

Logo: 66,16≤r

Rϕ

ASME VIII, UG-32

CES

RPMt +=

.

..

2ϕ ou

PES

RPMt

.1,0.

..

2 −= ϕ

Sendo: r

RM ϕ25,075,0 +=

� Condições Limites:

i) Maior espessura de tampa 66,16≤r

Rϕ ; 77,1=M

CES

RPt +=

.

..885,0 ϕ

ii) Menor espessura de tampa 1=r

Rϕ ; 1=M

CES

rPt +=

.

..5,0 � Tampa Hemisférica.

Importante : Tampas Toro-esféricas executadas com material cuja tensão limite, Su, excede 80Ksi, devem ser projetadas , usando S=20Ksi à temperatura ambiente e tendo este valor reduzido proporcionalmente à redução do valor da tensão máxima admissível à temperatura de serviço, conforme ASME VIII, 1 seção C, pertinente ao material.


11.8.2 Tampas Hemisfericas

Fornecem a menor espessura, porém, ocupam maior volume entre todas as geometrias. Logo, é necessário otimizar custos e necessidades. Apesar de ser a construção mais complicada, é a ideal para armazenamento de gases.

RRR == θϕ CRP

tadm

+=σδ ..2

. ou C

PES

RPt +

−=

.2,0..2

.

A utilização destas tampas é aconselhável, quando:

Rt .356,0≤ e admP σ≤

*Senão passam a ser tornar antieconômicas.

11.8.3 Tampas Cônicas:

As considerações são função do semi-ângulo do cone.

i) Sem curva de transição °< 30α

( ) Cp

dpt

adm

i +−

=.6,0.).cos(.2

.

δσα

Sem recomendações especiais.

ii) Com curva de transição Toro-cônica

Mesma equação : ( ) Cp

dpt

adm

i +−

=.6,0.).cos(.2

.

δσα

Recomendações especiais:

)(.06,0 cascoidr ≤

)(.3 cascotr >

°≥ 30α


11.8.4. Tampas Elipsoidais:

i) Quando a relação entre Semi-eixos da elipse for, a/b=2 , use:

Cp

apt

adm

+−

=.1,0.

.

δσ ou C

PES

DPt +

−=

.2,0..2

.

ii) Para outras relações de a/b: U/A-4(C)

CPES

KDPt +

−=

.2,0..2

.. onde:

+=2

.22

6

1

h

DK

Sendo D=2.a e h=b; Cuidado: com a relação D/2.h , pois podem surgir tensões negativas, conforme visto. Utilizar uma teoria de falha ( em geral, TRESCA) quando isto ocorrer.

11.8.5. Tampas Planas

Utiliza-se o mesmo procedimento tanto para pressão atuando interna ou externamente.

11.8.6 Tampas de Cilindros de Motores a explosão:

O dimensionamento, tendo em vista o grande número de variáveis não é trivial. Além disto, cada fabricante em função da experiência adquirida experimentalmente, utiliza-se parâmetros e coeficientes próprios (função do material, desgaste, oxidação...) obtidos em testes de laboratório. Como exemplo: Dubbe (manual do engenheiro).

2/1

..31,0

=

adm

idpt

σ

Valores médios de pressão de explosão Valore médios de Tensão admissível - gasolina: p = 3,5 MPa Aço fundido: 80 MPa - ólieo diesel: p = 7 MPa Ferro ao Niquel: 55 MPa Fofo ou Ligas de Al: 35 MPa


11.9. Aberturas em Cilindros e Tampas

11.9.1. Aberturas em Cilindros:

Delimita-se uma ``área de influência``: os reforços devem estar contidos na mesma. Conforme ASME VIII,1 Área de influência: - direção normal ao eixo da abertura: x=d ou x=(d/2)+tC+tB

-direção do eixo de abertura: y=2,5.tC ou y= 2,5.tB+tC OBS: Duas aberturas próximas podem ter o mesmo reforço. - A área retirada com o furo deve ser reposta. Porém considere que na área de influência utiliza-se a área de calculo e não a da espessura da chapa comercial. - Reforço demais gera rigidez demasiada ao redor do furo, desloca-se a região perigosa. Geram-se também concentração de tensões.

Cálculo para reforço de abertura:

Deve-se ter A1=A2

=2

.1

dtA p ( )[ ]Ctttl

dt pnrp −−+== .

2

( )[ ]CtttlA pnr −−+= .2

Essas considerações são válidas também para tampas, somando-se a elas as

considerações que seguem.


11.9.2. Aberturas em Tampas:

i) Tampas Planas:

Limitantes: mmd 200max ≤ ou

3/12/1

max ....14,8

−≤

adm

pdKtdid

σ

Sendo: ϕϕ

=K e φ=fator de vinculação ASME VIII,1.

ii) Tampas Toro-esféricas:

Limitantes: mmd 200max ≤ ou ( )[ ] 3/1max 1...75,3 Kdtd e +≤

Sendo adm

e

t

dpK

σ..2

..5=

iii) Tampas Toro-esfericas com aberturas rebardeadas (ASME VIII, IUG-939)

Utilizadas quando as aberturas são com diâmetros superiores a 150mm. Recomendações:

1- Se edR .8,0≥ϕ , a tampa dever ser dimensionada como toro-esférica, com:

a- 15% de acréscimo em ‘’t’’ , ou b- No mínimo 3mm de acréscimo em sobre-espessura.

2- Se edR .8,0≥ϕ , faz-se cteR =ϕ e dimensiona-se a tampa conforme o item

anterior, com iguais acréscimos.

3- Se mais de uma abertura tiver que ser executada, a distância mínima entre centros deverá ser lmin=0,25.de.

4- A profundidade ‘’h’’ deve ser de no mínimo: a- th .3≥ , para chapas até 38 mm; b- mmth 75.3 +≥ , para cilindros de paredes espessas.

iv) Tampas Hemisféricas:

Limitantes: mmd 200max ≤ ou edd .6,0max ≤ ou

3/1

max ..4

.1...14,8

−≤

adm

ee t

dpdtd

σ

Para todos os casos, quando a abertura foge às considerações limitantes, deve-se

verificar a necessidade de reforços (área de influência) idem cilindros.


11.10. Complementos em Paredes Delgadas.

11.10.1 Deformações em vasos de Pressão:

Como a finalidade é compatibilizar os deslocamentos o que nos interessa é o

deslocamento radial tanto no casco como nas tampas.

r.θεδ =

er

u.=θε Pela geometria

θεε θ cos.=r

dr

dur =ε ∫=

2/

0..

πθεδ drr

Conforme visto

∫=2/

0.cos..

π

θ θθεδ dr

Logo: r.θεδ =

i) Cilindro: 0== rσσϕ

r.θεδ = E

θθ

σε = t

rp.=θσ Et

rp

.

. 2

=δ

ii) Esferas:

E

rr

.. θ

θσεδ ==

Et

rp

..2

. 2

=δ

iii) Cone:

E

rr

.. θ

θσεδ ==

αδ

cos..

. 2

Et

rp=

iv) Elipsoide: análise no equador.

−= 2

2

.21

.

b

a

t

apθσ conforme vimos σθ será função da relação a/b.

Para r=a E

aa

.. θ

θσεδ ==

−= 2

22

.21

.

.

b

a

Et

apδ


11.10.2 Deformações Radias admitindo as partes unidas.

Quando as tampas e o cilindro estão unidos, surgem tensões meridionais, σφ,

estado plano de tensões.

( )ϕθθ σνσε ..1 −=E

e ( )θϕϕ σνσε ..1 −=E

As deformações dos componentes serão:

i) Casco Cilíndrico:

( )ϕθθ σνσεδ ... −==E

rr ( )νδ −= 2

..2

. 2

Et

rp

t

rp.=θσ t

rp

.2

.=ϕσ

ii) Tampa Hemisférica: t

rp

.2

.== ϕθ σσ , logo:

( )νδ −= 1..2

. 2

Et

rp

iii) Tampa Cônica: ( )να

δ −= 2cos...2

. 2

Et

rp

iv) Tampa Elipsoidal:

−−=

2.21

.

.2

22 νδb

a

Et

rp

11.10.3. Cilindros de Paredes Delgadas Encamisados:

Da mesma forma que os tubos de paredes espessas, os cilindros podem ser encamisados à quente ou à frio.

Sendo Et

rp

.

. 2

=δ o deslocamento radial,

(variação do raio de um cilindro no regime elásico).

t

rp.=θσ é a tensão tangencial.


Casos: 1°) Cilindros ou Tubos de paredes delgadas, de mesmo material, com interferência radial. A interferência é obtida pela soma das inibições radiais de cada cilindro.

radialerferênciarr inuiçãoernocilindroacréscimoexternocilindro _int)(dimint_)(_ =∆+∆

rtE

rp

tE

rp

ernocile

ernocile

externocili

externocili ∆=+)int.(

)int.(2

).(

).(2

.

.

.

.

Sendo rrrr contatoernocileexternocili === )int.().(

rtE

rp

tE

rp

ernoexterno

∆=+int

22

.

.

.

.

2°)Tubos de materiais diferentes, com ajuste perfeito, O conjunto entrando em serviço, com temperatura diferente da temperatura de montagem, dilatações radiais diferentes provocam o aparecimento das pressões de contato. Primeiro analisam-se os tubos separadamente à temperatura de serviço. Em geral, devido às pequenas espessuras, considera-se os raios médios.

Trr m ∆=∆ ..11 α

Trr m ∆=∆ ..22 α onde α é o coeficiente de dilatação térmica linear.

Em seguida calcula-se a diferença nas dilatações radiais, a qual não existe os tubos montados (encamisados).

22

22

11

21

21 .

.

.

.

tE

rp

tE

rprr mm +=∆−∆

Devido à pequena espessura despreza-se o gradiente de tensão ao longo da

espesura. cte=θσ

Desta forma, a pressão de contato, determinada pela expressão acima, pode ser

somada algebricamente à pressão de serviço e a análise pode ser feita tanto considerando as pressões como as tensões associadas ao estado de um ponto material.


12. Parafusos de Força (movimento) - Elevação de carga; - Transmissão de Força em máquinas; - Transformar movimento circular em retilíneo. Vantagens: - Projeto simples; - vantagem mecânica, alta relação de transmissão; - Auto-retenção; - Precisão no passo; Desvantagens: - Grandes perdas por atrito; - Desgaste; - Baixo coeficiente de rendimento na transmissão.

12.1. Perfis Usuais: (Roscas)

• Perfil Quadrado: - mais eficiente; - mais caro;

• Perfil Trapezoidal: - menos eficiente; - menos caro;

• Perfil de Dente de Serra: - mesma eficiência do perfil quadrado; - transmissão mono sentido; Obs: As porcas são comumente fabricadas em aço ou em bronze.


12.2. Analise de Forças:

Obtenção de Torque � Plano de inclinação duplo sobre o qual desloca-se uma carga Q. Movimentos Básicos: i) Porca Fixa e Translação no Parafuso: ii) Rotação do Parafuso e Translação da Porca: -- A carga não gira (pivô) -- O parafuso gira sem translação Representação Esquemática (Rosca Trapezoidal) -- O movimento pode ser analisado segundo 2 planos de inclinação:

• Inclinação do Filete: a carga ‘’sobe’’ no plano; • Inclinação do perfil: nula para rosca quadrada;

Fn- resultante normal à superfície da rosca; � Inclinação da Hélice : filete retificado. � Inclinação dos Dentes -- Outras projeções não interessam, não contribuem para o movimento.


� Determinação do Torque:

∑ = 0Fv ∑ = 0T

0.cos.cos. =−− ααθ senFaQFn n ( ) 0..cos.. =− mnm rsenFnrP αθ

FnFa .µ= FnFa .µ=

αµαθ sen

QFn

n .cos.cos −= (a) ( )αµαθ cos..cos += senFnP n

(b)

(a) � (b): ( )( )αµαθ

αµαθsenFn

senFn

Q

P

n

n

.cos.cos.

cos..cos

−+=

Sendo 2

.. 2dPrP m = � ‘’T’’ necessário para levantar a carga Q:

( )( )αµθ

µαθtan.cos

tan.cos

2. 2

−+=

n

ndQT

* Existência de Pivô � ‘’T adicional’’ para vencer o atrito. Em geral:

Qd

T cpivo .2

. 2µ= cµ = coeficiente de atrito no pivô;

2

2d= raio efetivo (superfície de atrito).

Simplificações : i) Pivotamento com rolamento anti-fricção: cµ desprezado.

ii) Sendo α pequeno � θn≈θ

θαθ tan.costan =n , para α pequeno � 1cos =α � θθ tantan =n � θθ =n

( )( )

+

−+=

2.

tan.cos

tan.cos

2. 2 c

cn

n ddQT µ

αµθµαθ

( )( )

−−=

αµθµαθ

tan.cos

tan.cos

2. 2

n

ndQT

( )( )

+

−+

=2

.tan.1

tan.cos

2. 2 c

c

ddQT µ

αµµαθ


iii) Rosca Quadrada θn≈θ = 0° Notar que: Na equação do torque: µ.p – despresível

Considerando o Pivotamento:

12.3. AUTO RETENÇÃO: (auto-travamento)

- Necessidade de conjugado positivo para baixar a carga; - O autotravante ocorre quando α é pequeno; Geral: � Rosca Quadrada:

( )( )

+−

+=2

.tan.1

tan

2. 22 dd

QT cµαµµα

2.tan

d

p

πα =

−

+

=

2

22

..1

.

2.

d

p

d

p

dQT

πµ

µπ ( )

( )

−+=

pd

dpdQT

..

..

2.

2

22

µππµ

( )2....2

dpQ

T πµπ

+=

( )

++=2

.....2

1. 2

cc

ddpQT µπµ

π

( )( )

+

+−=

2.

tan.cos

tan.cos

2. 2 c

cn

nAT

ddQT µ

αµθαθµ

( )( )

++

−=2

.tan.1

tan

2. 2 c

cAT

ddQT µ

αµαµ

2.tan

d

p

πα =

+

−=2

...

2

1. 2 c

cAT

dpdQT µ

ππµ


12.4. AUTO ROTAÇÃO : (deslizamento)

α -> aumenta � Qdesliza � Tadicional Geral: Deslizando no limite � TAR=0 e desprezando o pivotamento. Ou Geral Rosca Quadrada

12.5. EFICIÊNCIA DO PARAFUSO:

-- Relação entre torque ideal (sem perdas por atrito) e torque real. Geral: � Desprezando o atrito de pivotamento.

12.6. PROJETO:

i) Pressão Superficial: Filetes necessários para a porca suporta a carga Q. - evitar desgastes acentuados nas faces de contato entre filetes; - Desgaste aumenta: aumento da pressão superficial; aumento da velocidade de deslocamento;

• Área resistente do parafuso:

d=φext d1= φnucleo

Admite-se a carga por filete em j (pmax.adm) � n° de filetes � altura do filete OBS: p(adm)=f(regime de funcionamente da máquina) PORCA PARAFUSO Padm (MPa) V (m/min) Serviço Bronze Aço 1 – 2 > 15 Rosca / parafuso de avanço

Aço Aço 4 – 7 6 ≤ v ≤ 12 Parafuso de suspensão de carga

Bronze Aço 7 - 10 6 ≤ v ≤ 12 Parafuso de suspensão de carga

Aço Aço 12 – 17,5 < 4,5 macaco

Bronze Aço 15 - 24 < 4,5 Prensa / macaco

( )( )

−

++−=

2.

tan.cos

tan.cos

2. 2 c

cn

nAR

ddQT µ

αµθαθµ

[ ] 0.... =Q nθµα

costan = µα =tan

T

TE i=

( )( )

+

−+

=

2.

tan.cos

tan.cos

2.

tan.2

.

2

2

cc

n

n ddQ

dQ

E

µαµθµαθ

α

αµθαµθ

tan.cos

tan.cos

+−=

n

nE

( )122

4ddAj −= π

( ) admadm pddpAjK

Q.

4. 1

22 −== π ( ) admpdd

QK

..

.4

122 −

=π

pKH .=


• Velocidade de deslocamento do parafuso: Porca ou parafuso movimenta-se ‘e’ [mm] e ‘t’ [min] -- e – geralmente é o curso total. -- uma rotação da porca anda ‘p’[mm]. -- ‘n’[rpm] �

• Potência Necessária: Logo: ii) Tensões de Flexão: filete = viga cantilever; Q � distribuída ao longo do diâmetro primitivo; Seção no engaste: retangular; -- Para rosca quadrada tem-se que : (t=h) iii) Tensões Axiais: Surgem em parafusos de movimento. Verificou-se, através de ensaios, que corpos de prova lisos com φ=d1, eram menos resistentes do que corpos de prova com roscas tendo φnúcleo=d1 anterior. Área média: leva em conta o acréscimo de resistência. d1 – diâmetro do núcleo; d2 – diâmetro primitivo.

t

ev =

pnv .=

].[.7162000][

][ mmNn

NT

rpm

HP == ].[.63000][

][ inlbfn

NT

rpm

HP ==

tpC

TeN HP ..

.

1][ =

12

. 2hbI =

1.. dkb π=

2max

hy =

khdt

Wf .. 21

π=

2.t

QM f = f

ff W

M=σ

khd

tQf ..

..32

1πσ =

khd

Qf ..

.3

1πσ =

Act

σσ =,

2

21

24

+= ddA

π


iv) Tensões Combinadas: Torque � cisalhamento TRESCA / VON MISES Axial � tração / compressão TRESCA:

VON MISES:

Sendo : v) Flambagem: Quando l > 8.d1 (coluna) � índice de esbeltez l: comprimento livre entre ponto de carga e apoio; i: raio de giração; λ ≤ 100 -- coluna curta; λ > 100 -- coluna esbelta; a) Colunas Curtas : λ ≤ 100 b) Colunas Esbeltas: λ > 100 Várias propostas, entre elas – Fórmula de Ritter : Sendo : P= carga de coluna; A= área K= fator de vinculação Para todos os casos: Carga aplicada excentricamente: Nfl= segurança contra flambagem

Nfl= (3 a 4) c = distância do centróide até a fibra externa;

e= excentricidade;

fW

T=τ 31.

16dWf

π=

i

l=λ

2/1

=A

Ii 4

1.64

dIπ= 2

1.4

dAπ=

41d

i =

+=Ek

Sy

A

P

...1

22

πλσ µ

K= 0,25 – um extremo livre e um engastado K= 1,0 – extremos articulados K= 2,0 – um extremo articulado e outro engastado K=4,0 – extremos engastados

++=22

2 .

...1

k

ec

Ek

Sy

A

Pfl π

λσ

2

2 ...

λπ AEk

PCR =

2

2..

λπσ Ek

fl =

fl

fladm N

σσ =

( ) 2/12221 .4τσσσσ +=−=T

i

( ) 2/1221

22

21 .3. τσσσσσσ +=−+=M

i


vi) Análise do Ponto mais Solicitado: -- Análise qualitativa, exemplo : Grampo. 1°) Seção BB’ (antes da porca): Flexão � Torque � Posição do Parafuso:

a) Peça Grande: lparafuso: : parte útil (só parafuso), o que esta dentro da porca não interessa ‘’

Torque Constante � Flexão Máxima �

b) Peça Fina (lâmina):

-- igual torque , flexão mínima. * Conclusão: Seção BB’ � estado mais nocivo (a) 2°) Seção AA’ (após a porca): -- Independe das dimensões da peça a fixar; Torque Constante (gerado no pivô): Axial (compressão) constante, f(Q): * Verificar Flambagem na posição crítica : Peça fina

Óbvio: Pior condição – O estado de tensões num ponto, depende da posição do mesmo ( antes ou depois da porca).

ff W

cP.=σt

real

W

T=τ

bcHl +=−

tW

T=τ rPT .=f

ff W

M=σ ( )bcPM f += .

'cl = '.cPM f =

t

pivô

W

T=τ

1A

Qc =σ


3°) Conclusões: -- Verificar a segurança / dimensionar, para as piores situações, conforme configuração. T , Mf Tpivô Se a conclusão de seção / ponto + solicitado for favorável à seção AA’ � VERFICAR FLAMBAGEM 4°) Exemplo: a) -- BB’:

--AA’: - verificar flambagem b) -- BB’:

--AA’: - verificar flambagem c) -- BB’:

--AA’: d) -- BB’:

--AA’:

0

0

==

τσ

cσσ =

)(Tf=τpivôexternoR TTT −=

)(

0

Tf==

τσ

cσσ =

)(Tf=τpivôR TT =

)(TfT

==

τσσ

)(

0

Tf==

τσ

pivôR TT =

externoT

0

0

==

τσ

)(TfT

==

τσσ

pivôexternoR TTT −=


13. Parafusos de União História: facilidade em unir-desunir ( montagem e desmontagem) componentes mecânicos e estruturas. Vantagens: - Facilidade de encaixe – desencaixe; - Tipo de rosca : f(situação) - baixo custo; - segurança de união. Desvantagens: - Elevada concentração de tensões; - Distribuição desigual de carga nos filetes; - Desalinhamento: cabeça x parafuso x porca. Utilização:

• Solicitação Estática: - parafusos de fixação; - parafusos de aperto; - estais: luva que une dois elementos com roscas diferentes; - parafusos de cisalhamento.

• Solicitação Dinâmica: - parafusos de vedação;

- parafusos de impacto; - parafusos de movimento (macaco, prensas mecânicas)

� As roscas podem ser classificadas em dois tipos fundamentais: FORÇA E MOVIMENTO

Sistemas: Especificam Dimensões - ( métrico, Sistema Unificado) Especificam Resistência Mecânica - (SAE, ASTM, Normas específicas de cada país) 13.1. TERMINOLOGIA: α= ângulo de filete; t2=t= altura do filete; t1= profundidade útil; p= passo; d= DN diâmetro nominal; d1= diâmetro da raiz (núcleo); d2= diâmetro do flanco; h= avanço; * Parafuso de uma entrada: h=p


Tipos de Roscas:

• Rosca em V: é a mais simples e a menos resistente, pois possuem alto Kt raiz do filete.

• Rosca Sellers: crista e raiz truncados, menor Kt, utilizada em materiais frágeis.

• Rosca Whitworth: (1841) crista e raiz arredondadas , é padrão na Inglaterra,

possui melhor resistência à fadiga.

• Rosca Métrica: crista cortada e raiz arredondada, possui boa resistência à fadiga.

Tanto métrica como unificada: Grossa, Fina, Extra-fina. São as séries: -- Roscas Grossas: UNC e NC (Unified National Course). São roscas de uso geral para choques ou vibrações leves e desmontagens freqüentes. (Também quando a rosca é aberta em matéria diferente do aço). Utilizar rosca GROSSA sempre, salvo especificações em contrário. -- Roscas Finas: UNF e NF (Unified National Fine) Também conhecidas como roscas SAE. Utilizadas na indústria automotiva e aeronáutica. Quando choques e vibrações tendem a afrouxar a porca. Indicada associada ao uso de porca castelo. Quando o furo roscado é aberto em aço (deve-se evitar o uso em materiais quebradiços). -- Roscas Extra-finas: NEF (National Extra Fine). Comum em equipamentos. É de ajuste fino. Utilizados em componentes de pouco espessura e submetidos a vibrações excessivas. Em geral, os parafusos são de aço liga, tratados termicamente. * Todas de acordo com o sistema unificado, apresentam α=60°.


Especificação : -- Rosca Métrica: Mx-y x- diâmetro nominal (mm) y- passo, p (mm) Ex: M12-1,75 � diâmetro nominal = 12mm , passo = 1,75 mm. MF MEF -- Rosca unificada: x-y UNF x- diâmetro nominal, (in) y- n° de fios por polegada Ex: 5/8 – 18 UNF � rosca fina, diâmetro nominal = 5/8’’, 18 fios por polegada. UNC UNEF -- Rosca Whitworth x-BSW-y : rosca grossa x-BSF-y : rosca fina. x,y = idem unificado. Obtenção: Geometricamente, a rosca é uma hélice formada ao enrolar sobre um cilindro, um triângulo retângulo de altura igual ao passo da rosca é de base igual ao perímetro (primitivo) do cilindro.

13.2. Relação entre o Torque no parafuso e o Esforço de Aperto:

Condição de Equilíbrio: Admitindo nulo o atrito entre a porca e o parafuso, e sendo: P- esforço aplicado; sem atrito. Considerando o atrito: Sendo:

2.tan

d

p

πα =

torqueesforço WW = TpQ ..2. π=

2. 2d

PT =

2... dPpQ π=2.

.

d

pQP

π=

2.tan

d

p

πα =

αtan.QP =

( )ρα += tan.QP ςµ tan=


* Considerando que parte do torque aplicado é absorvido entre as superfícies em contato, da porca e da placa a unir, deve-se somar esta parcela ao esforço externo: * Relação entre CAUSA (torque de aperto) e EFEITO (carga de tração produzida na parafuso), não é exata, em termos de cálculo, devido ao grande número de fatores que influenciam a mesma: desalinhamentos, distribuição da carga nos filetes, superfície de apoio, etc. Uma solução empírica: (MANEY) d= diâmetro nominal; C= coeficiente de torque; Q= carga. Na prática recomenda-se: (roscas com ou sem lubrificação) C= 0,20 � contato superfícies secas; C= 0,15 � contato superfícies lubrificadas;

amabsorvido TrQT == ..µ aT TTT +=

mT rQd

PT ..2

. 2 µ+= ( ) mT rQd

QT ..tan.2

. 2 µρα ++=

QdCT ..=


13.3. Solicitações Progressivas

13.3.1 - Montagens sem Tensão Prévia:

-- A solicitação aparece após a montagem: parafusos utilizados para movimentar peças. -- Admite-se carga centrada: passando pelo eixo de simetria do parafuso.

a) Flexão: (em geral).

b) Cisalhamento: admite-se em função a altura “H” da cabeça, distribuição triangular das tensões cisalhantes.

� Número de Filetes X Carga Aplicada: -- Número mínimo de filetes necessário para a porca.

a) Considerando Flexão no Filete: n = n° de filetes Se determina-se o número de filetes necessário para suportar a carga externa: Altura da porca:

A

P=σ

4

. 2dA

π=

2/1

.

.41

=σπP

d

Syaadm %.80__%60== σσ

1.2 dD =

2. 1d

PMf =

Wf

Mf=σWf

dP

.2

. 1=σ 21..

6HdWf

π=

2/1

.

.3

=

adm

PH

σπ

admd

PH

τπ ..

.2

1

=

A

P

2

1=τ HdA .. 1π=

2.t

n

PMf =

21..

6hdWf

π=nhd

tPf ...

..32

1πσ =

N

Syadmf == σσ

admhd

tPn

σπ ...

..32

1

=hnH .=


b) Considerando Esmagamento: Seção resistente ao esmagamento: Idem, altura da porca:

13.3.2- Montagem com Tensão atuante:

Caso em que a tensão surge durante a montagem. ( Estado plano de tensões) ‘’ O escoamento, com carga atuante, é dificultado pelo atrito entre filetes de porca e parafuso.’’

ESTAI, esticador (luva de aperto), constituídos de 2 parafusos, um com rosca esquerda e outro com rosca direita, com a mesma porca.

P � σ,τ Torque: Axial: P ,sendo: α= ângulo da formação da hélice. ρ= ângulo de atrito : tan ρ = µ Logo: Teoria de Falha conveniente � TRESCA , VON MISES. VON MISES: Dimensionamento: as tensões atuantes são incógnitas. Admite-se cisalhamento máximo,tal que: στ .5,0= Logo:

( )nddA .4

21

2 −= π

oesmagamentA

P=σ ( ) admdd

Pn

σπ .

.42

12 −

=

hnH .=

( )ρα += tan.2

. 2dPT

A

P=σ

TW

T=τ

21.

.4

d

P

πσ =

( )31

2

.16

1.tan.

2.

d

dP πρατ += ( )ρα

πτ += tan.

.

..831

2

d

dP

≤+=N

SyMi

22 .3τσσ

admMi σσσ == .32,1

2/1

1 .3,1

=

adm

Pd

σ


13.3.3- Cargas Cisalhantes: Cisalhamentos na seção transversal: Projeto: cisalhamento direto Absorção do cisalhamento por atrito. Atrito: força de aperto, P , tal que gera uma força de atrito nas placas, Fa. µ= coeficiente de atrito; m= número de placas (superfície de contato); Logo: Exemplo: Juntas de aço: µ=0,2 m= 2 ( duas superfícies de contato) � P > 12500 N -Para não ter cisalhamento P > 2,5.Q , tal que gere um atrito capaz de eliminar o cisalhamento. - O parafuso pode ser solicitado em excesso à tração. * Na prática evita-se este problema, via: chavetas, castelos, dentes, etc. (nas placas)

Vide Dobrovolski, pag.156

13.4.- Fratura: -- Pontos críticos f(concentração de tensões, distribuição de tensões irregulares ).

Onde as falhas ocorrem com maior freqüência:

1°) Junção da haste com a cabeça: (15% as falhas) Solução: raio de concordância. r= 0,1 a 0,2 d1 � KT tradicional 2°) Saída do primeiro filete ( ≈ 20% das falhas) Solução: ângulo de saída diferente de 60°, em geral entre 15° e 22°

QPmFa >= ..µ

m

QP

.µ>

m

QP

.µ>


3°) Carga no 1° Filete ( ≈ 60% das falhas) - A carga não se distribui uniformemente entre todos os filetes de ligação porca – parafuso, sobrecarregando o primeiro filete do parafuso e causando desgaste nos filetes mais carregados da porca. - Pesquisa: 34% da carga externa é suportada pelo 1° filete. Soluções possíveis: a) supressão no primeiro dente; a) b) b) alívio de tensões na porca; b ) Cai 26% a carga no filete: KF=1,9 (métrica) KF=2 a 2,3 (unificado) 3- Concentração de Tensões: - Vimos que um acidente geométrico isolado, pode ser muito mais nocivo (alívio de tensões). - Estudo, via foto - elasticidade, investigaram várias combinações de uniões roscadas. Rosca Whitworth: r= -,1372.p - porções standart, KT=3,85 - porca com lábio. * Brown e Hickson (modelo em fosforite) Para conexão standart: - KT = 6,7 � A ser usado quando fadiga e possível fragilização estiverem envolvidos no trabalho da conexão. ** Considerar Peterson, ‘’ Stress Concentration Factor’’. FADIGA ( Charles Lipson e R. Juvinall) Roscas, Sistemas unificado.

Kf

Flexão ou Axial

Laminado Usinado Recozido 2,2 2,3

Temperado e revenido

3,0 3,8


13.5. Diagramas de Carga x Deslocamento:

Para a união (parafuso + união + junta de vedação), no regime elástico.

� Diagrama de Tensão x Deformação, da União, Regime Elástico

-- Analisa-se o conjunto parafuso – peças a unir porca, com a influência ou não do juntas de vedação, por fase. Q- carga de montagem : protensão (garantia); λp- alongamento do parafuso; λj- esmagamento (compressão) na junta (ou união).

-- Se Ep≠Ej (comum) � diferentes diagramas Q x λ. No regime elástico: Admite-se Eunião>Ep - Sendo Ej>Ep � β>α � Kj>Kp Constante de Mola: Notar que: A deformação ocorre simultaneamente. FASE 1: - Assim , representa-se a fase inicial de montagem: carga inicial de aperto e deslocamento união – parafuso. FASE 2: - A carga de serviço, tende a separar a união, tracionando o parafuso. - Deve-se evitar a separação total da união, situação totalmente indesejável.

Q- carga de montagem; P- carga de serviço;

‘’ Note que a carga P=f(p), não atua totalmente no parafuso: antes de vencer parte da carga de montagem atuante.’’ Q’- aperto residual na união após a carga de serviço surgir; PT – carga total no parafuso; PZ – Adicional de carga no parafuso;

AE

lP

.

.=δ

pp

QK

λα == tan

jj

QK

λβ == tan


Q – Q’- descarga na união; ∆ – quantidade de descompressão da união ( afrouxamento); λp+ ∆ – alongamento total do parafuso; ou ** A carga total no parafuso não é de determinação direta.

13.6. Carga de serviço = (acréscimo no parafuso) + ( decréscimo de carga na união)

� � Logo: � Sendo: Sp – limite de linearidade ou proporcionalidade. Sy > Sp.

ZT PQP += PQPT += '

( )'QQPP Z −+=

βtan.∆=ZP pZ KP .∆=

βtan.' ∆=− QQ jKQQ .' ∆=−( )jp KKP +∆= .

+=

jp

pZ KK

KPP .

p

j

K

K=ϕ

+=

ϕ1

1.PPZ

ZT PQP +=

++=

jp

pT KK

KPQP .


13.7. Aperto de Montagem Crítico:

-- P, tal Q’=0 � Q=QC � aperto crítico -- Q’=0 , junta se descomprime totalmente.

- A configuração no diagrama Q x λ é altamente prejudicial ao conjunto.

-- Ep << Ej

Grande alongamento no parafuso, gera QC.

-- Ej >> Ep Pequena sobrecarga, PZ, no parafuso, gera QC.

13.8. Determinação de QC: pelo diagrama.

� � � deve ser evitada

* carga de montagem < QC.

SEGURANÇA: � C = coeficiente de aperto = 1,2 a 2,0. Logo,

jp

P

λλα

+=tan ( )jppKP λλ +=

p

cQ

λα =tan ppc KQ λ.=

p

jp

cQ

P

λλλ +

=

K

Q=λ

+=

jp

jc KK

KPQ .

+=

ϕϕ

1.PQc

cincial QQ > cQCQ .=

+=

jp

j

KK

KPCQ ..


13.9. Juntas de Vedação:

- Juntas de vedação tendem a sacrificar o parafuso, sempre. - Recomendação: grande rigidez e pouca espessura, para aliviar o parafuso. Parafuso � A1 – área do núcleo do parafuso. DIFICULDADES: Aj =? , logo, Kj= ? * Admitindo igual ‘’l’’ (ao do parafuso) para a união: , admitindo mesmo material na união (no caso, flange e aba) DETERMINAÇÃO DE Aj: admite-se um valor médio para o raio de ação da deformação no sistema comprimido (união). a) Norma DIN: Aj � limitada por bucha cilíndrica equivalente de dimensões: (diâmetro nominal do parafuso) b) Código ASME/TEMA: idem, bucha cilíndrica, tal que. (diâmetro nominal do parafuso) a – distância ente 2 lados paralelos da porca. Segundo : a) e b) , logo: � �

λQ

K =

1.

.

AE

lQ=λl

AEK p

.=

l

AEK p

1.=

l

AEK jj

j

.=

parafusoNd _φ=

parafusoND _.3φ=

parafusoNd _φ=

2

laD +=

( )22.4

dDAj −= π

( )222.3.4 nnj ddA −= π

4

..8 2n

j

dA

π=2..2 nj dA π=

( )22.4

. dDl

EK j

j −= π


c) Dobrovolski: (Escola Russa), Cones de Influência.

-- Admite-se que os ângulos gerados dos cones de influência formam um ângulo de 26°40’ com a linha vertical. Sendo: � Generalizando: para ‘’i’’ elementos unidos: Logo: * Quando l1=l2 , e mesmo material, , � Observação: existência de junta de vedação (permeio) Determina-se um Kj resultante, Kj,R . K j,u – constate de mola da união; K j,v – constante de mola da junta de vedação. * Note que, Kj,v é denominante se Ej,v << j,u portanto tende a sacrificar o parafuso, nestes casos, Kj,v << Kj,u. Logo, pode-se considerar Kj,T = Kj,v desprezando Kj,u. (vide Shigley)

5,0tan 1−=α

21

1

laD +=

22

2

laD +=

−

+= 22

11, 2

.4 nj d

laA

π

−

+= 22

22, 2

.4 nj d

laA

π

l

AEK jj

j

.=

1,1,

jj K

Q=λ

λQ

K =

2,2,

jj K

Q=λ

2,1,, jjTj λλλ +=2,1,,

111

jjTj KKK+=

∑=ijTj KK ,,

11

∑=ijij

i

Tj AE

l

K ,,, .

1

21 lll += 2,1, jjj AA ==jjTj AE

l

K=

,

1

vjuj

vjujRj KK

KKK

,,

,,,

.

+=


13.10 Análise de Tensões

- Durante o aperto de montagem � estado plano de tensões (Von Mises) � � - Com a solicitação de serviço � PZ sobre o parafuso. a) Considerando que após a montagem cessa o efeito de torção . -- Admite-se estado uniaxial de tensões no parafuso. Obtém-se: b) Considerando o Torque sempre atuante: -- Mantendo-se -- Superdimensiona, pois não considera o alívio quando atua a carga de serviço P. ** Considerando a superposição de σi

M de montagem com o efeito de PZ:

[ ] 2/122 .3τσσ +=Mi στ .5,0≈ N

Syadm

Mi =≤= σσσ .32.,1

1A

PZZ =σ

ZT PQP +=1

1 A

PQ Z+== σσ

2/1

1 128,1

+=adm

ZPQd

σ

montagemστ .5,0≈1

.5,0A

Q≈τ

2/12

1

2

1

.4

3

+

+=A

Q

A

PQ ZMiσ

N

Sy

A

P

A

Qadm

Z =≤+= σσ11

max .32,1


13.11. Segurança contra o Afrouxamento: a) Calculando a Carga Crítica, conforme: * Shigley: considera igualmente b) Considerando o limite de proporcionalidade elástica, Sp, tal que: Sp < Sytração

Sem torque residual, � Aplicando a SEGURANÇA em P: Obtém-se: c) Recomendações Gerais: � conexões usadas em montagens e desmontagens freqüentes. � conexões permanentes.

+=

ϕϕ

1.PQC ( ) CQPC =− .1

SpA

PQ Z =+=1

σ

++= PQ

ASp .

1

11

1 ϕ

++= PCQ

ASp ..

1

11

1 ϕ( )( )

P

QASpC

ϕ+−= 1.. 1

pC FQ .75,0=

pC FQ .9,0=

1SpAFp =


13.12. Solicitações Dinâmicas

13.12.1. - Cargas Flutuantes – FADIGA:

Sendo Q=estática � Flutuação f(PZ) Se Então somente PZ sofre flutuação: -- O estado Tensional: se Porém, f(carga de serviço)

PP =max

)0(min ≠< PP

ZZ PP =max,

)0_(min, >< ZZ PP

max,max, ZT PQP +=

min,min, ZT PQP += QPP TZ =→= min,min, 0

( )max,1

max

1ZPQ

A+=σ

( )min,1

min

1ZPQ

A+=σ

( )min,max,1

.2.2

1ZZm PPQ

A++=σ

( )min,max,1.2

1ZZa PP

A−=σ

+=

jp

pZ KK

KPP .

+=

ϕ1

1.PPZ

p

j

K

K=ϕ

+=

ϕ1

1.maxmax, PPZ

+=

ϕ1

1.minmin, PPZ


Então: * No caso em que , então: Que revertem a formulação ‘’Shigley’’: -- A maioria dos autores não considera um acréscimo de carga residual, PZ,min. -- Desta forma o projeto torna-se mais conservativo. Note que σm >σa.

( )

++

+= minmax1

.1

1.2

.2

1PPQ

Am ϕσ ( )

−+

= minmax1

.1

1

.2

1PP

Aa ϕσ

00 min,min =→= ZPP

ZZ PP =max,

0min, =ZP

PP =max

0min =PZT PQP +=max,

QPT =min,

( )[ ]Zm PQA

+= .2.2

1

1

σ

++=

ϕσ

1.2

.2

1

1

PQ

Am

+=

ϕσ

1.2

1

1

P

Aa

TTm A

Fi

A

PC +=.2

.σT

a A

PC

.2

.=σ

Solução: Goodman (gráfico, analítico), não limitado ao escoamento, pode ocorrer deformação plástica. N

ouSn

a

a

m 1__1=+ σ

σσ

2/1

min,max,min,max,1

.2..8,0

−+

++=

Sn

PP

Su

PPQNd ZZZZ

( ) ( )

2/1

minmaxminmax1 .1.1

.2..8,0

+−+

+++=

Sn

PP

Su

PP

Su

QNd

ϕϕ


* Caso em que f(Pz) f(P):

13.12.2. Resiliência:

- Cargas de impacto � tensões cíclicas nocivas. a) Impacto provocado por ‘’m’’ a velocidade constante. Pi- carga de impacto. W – peso de ‘’m’’ em M.U. * Pode-se considerar: Sendo solicitação cíclica, repetida: b) Queda livre: Fator de Impacto: (FI)

-- Diminuindo o diâmetro, aumenta a elasticidade e a capacidade de suportar o impacto.

-- As tensões variam na mesma forma do item a).

00 min,min =→= ZPP

2/1

1

.2..8,0

++=Sn

P

Su

PQNd ZZ

( ) ( )

2/1

1 .1.1

.2..8,0

++

++=

Sn

P

Su

P

Su

QNd

ϕϕ

2..2

1vmEC =

λ..2

1id PE =

Cd EE =

q

vW

AE

lPP

p

ii

2

1

..

2

1

.

...

2

1 =1

2

21

2

.

.

.

.

Aq

vW

AE

lP

p

i =2/1

1..

.

=

lAq

EWv pσ

N

Sychoqueadm .7,0. =σ

)(max Difσσ =

0min =σ

1

.A

WFI=σ

++=

est

hFI

δ.2

11AE

lW

AE

lgmest .

.

.

.. ==δ


13.13. PARAFUSOS ESPECIAIS PARA ABSORÇÃO DE IMPACTO:

Parafuso resiliente � grande capacidade de armazenar trabalho. Soluções: -- parafuso longo x porca castelo; -- redução no diâmetro da haste do parafuso; Comparando a capacidade de absorção de impacto: a) Entre parafusos longos e normais: Edeformação,Ed. b) Entre parafusos normais e reduzidos na haste:

NORMAL: RESILIENTE: Kt- concentração de

tensões. --Se � resiliente não rompe. Logo, se , normal, também não rompe. Para ‘’P’’ igual,

1.

2

.

.

2

1..

2

1

AE

lPPE

ppd == λ ( )'.

.2

1..

2

1

1.

2

llAE

PPE

pp

Rd +== λ

dR

dd EEE −=∆p

d E

AlE 1'..

2

1 σ=∆

11 σ=d 2σ=rd

),( 11 dPf=σ21 σσ <

),,(2 tr KdPf=σ

admσσ =2 admσσσ ≤< 21

21

1

4

d

P

πσ = t

r

Kd

P.

422 π

σ =

2

21

1

2 .r

t d

dK=

σσ 1>tK

12

21 >rd

d1.

2

21 >=r

t d

dKr


Analisando a energia de deformação (trabalho...); Logo:

13.14. Efeitos Térmicos:

Deslocam os diagramas P e λ do conjunto parafuso x união. Montagem � Serviço � União Deforma (à temperatura ambiente) (∆T) f(∆T,α) αp – coeficiente de expansão térmica linear – parafuso; αj – coeficiente de expansão térmica linear – união; ∆Tj – aumento de temperatura- parafuso; ∆Tp – aumento de temperatura – união; * Em geral : * Para evitar afrouxamento: --Quando isto ocorre, há decomposição na junta, requerendo reaperto (em serviço) do parafuso.

11 ..2

1 λPT =

.

1211

..

2

1

pE

lAT σ=

AE

lP

.

.=λ

rPT λ..2

12 =

.

222

..

2

1

p

r

E

lAT σ=

22 .σσ r=

.

21

22

...

2

1

p

r

E

lArT σ=

1.1

.1

.1

21

2

22

21

21

21

2 <===d

d

Kd

d

rA

A

rT

T r

trr

21 TT <

pj αα >


• METODOLOGIAS:

13.14.1. – Cálculo Aproximado:

-- Considera-se que as constantes de mola (idem E) não se alteram com o acréscimo de temperatura.

tanα= Kp=cte tanβ= Kj=cte

-- O diagrama desloca-se segundo linhas paralelas , com declividade constante. Admite-se em 1° lugar o efeito da temperatura: αj > αp e (da união)

Considerando que o efeito da temperatura é simultâneo, obtém a parcela de compressão térmica de união. Responsável pelo aperto térmico, QT, que tensiona o parafuso e comprime a união.

(a) (b) Então: Sendo , obtém-se: sendo λj,T, conhecido. Somente agora considera-se as variações devido ao carregamento de serviço.

21 lll p +=

lll jp == ppp Tll ∆=∆ ..α

jjj Tll ∆=∆ ..α

ppjj TlTl ∆>∆ .... αα

pjTj ll ∆−∆=,λ ( )ppjjTj TTl ∆−∆= ..., ααλ

jjTj ''', λλλ += j

Tp

QK

'tan

λα ==

j

j

j

p

K

K

'

''

λλ

=

j

Tj

QK

''tan

λβ ==

++=

j

pjTj K

K1', λλ

++=

jp

jTjj KK

K,' λλ

+=

jp

jpTjT KK

KKQ

..,λpjjT KQ 'tan' λαλ ==


13.14.2. Calculo Real:

O aperto QT, devido à temperatura, é menor daquele visto. ∆T � Ep,Ej veriam � Kp, Kj variam. Ep,T < Ep αT < α � Ej,T < Ej βT < β Os valores de PZ, QT,real , determinados pelo diagrama. Conhecidos: P QT ∆T1= ∆T2 Determina-se PT para assegurar carga residual mínima na ligação, Q’T. • SOLICITAÇÃO PROGRESSIVA :

σadm,T = tensão admissível na temperatura de serviço

-- Segurança adicional � N = 2 a 3; • SOLICITAÇÃO CÍCLICA :

-- Tanto faz estar em função de P ou PZ.

• OBSERVAÇÕES:

Não tem sentido utilizar o procedimento de cálculo real para temperaturas que não alterem significativamente o módulo de elasticidade.

TTpK αtan, =

TTjK βtan, =

PQP TT += '

2/1

,1 .128,1

++=Tadm

ZT PQQd

σ

( ) 2/1

,1

..128,1

++=Tadm

ZT NPQQd

σ

( )( ) ( )

2/1

minmaxminmax1 .1.1

.2..8,0

+−+

++++=

Sn

PP

Su

PP

Su

QQNd T

ϕϕ


14. ACOPLAMENTOS: Classificação: Acoplamentos rígidos - Luvas - inteiras - bipartidas - Flanges - pratos Acoplamentos Flexíveis - Com partes - molas helicoidais

resilientes - molas sanfonadas (serpentinas) - Com partes - engrenagens rígidas - articuladas (juntas universais-

cardan) (flexibilidade cinemática) - em cruz

14.1. Acoplamentos Rígidos:

-- Acoplamentos rígidos são usados apenas para eixos colineares. �� Luvas: a) ‘’Baixa responsabilidade’’: anéis colocados a quente, luvas de pinos. (máximo 3HP) b) ‘’Responsabilidade’’ : luva nervurada (bipartida) Aperto – tensão nos parafusos. d1 ≤ 25 mm 25 ≤ d1 ≤ 300 mm * Sempre que possível – acoplamentos elásticos (permitem pequenas flechas).

dL .8= dL .3=

1.5dL =12 .4dd =

1.5,3 dL =12 .2 dd =


�� Flanges: (potência elevada e baixa rotação) Projeto: cisalhamento dos parafusos. Transmissão de potência. atrito – pressão superficial mínima. a) Cisalhamento: Torque 1 parafuso - ‘n’ parafusos - Logo: b) Atrito ou pressão uniforme: -- re – ri = largura da face de contato; -- Gera-se resistência (por atrito) maior ou igual ao Torque a ser transmitido. b1) Admitindo Pressão Uniforme: -- Considerando a força normal atuante no elemento infinitesimal, de raio ‘’r’’, vale: - p: pressão uniforme da interface. F- força axial de acoplamento dos discos. T- capacidade de torque. b2) Admitindo Desgaste Uniforme: F- força axial de acoplamento dos discos. T- capacidade de torque.

A

Fadm =τCrFT .=

4

. 11

dA

π=

1.AnA =

admdnF τπ...

421= admC dnrT τπ

....4

21=

( )22.. ie rrpF −= π

( ) pdrrdF ....2π=

( )33...3

2ie rrpT −= µπ

( )( )22

33

.3

...2

ie

ie

rr

rrFT

−−= µ

( ) iie rrrpF ....2 max −= π

( )22max .... iei rrrpT −= µπ

+=2

.. ie rrFT µ


�� Outros acoplamentos:

SHARP -

14.2. Acoplamentos Flexíveis (Partes Resilientes):

-- Suportam choques e vibrações (transmissões) [Falk, Elbo] �� FALK: Leva em conta: - pequenos desalinhamentos; - movimento axial entre árvores; - pequenos choques (absorve vibrações); -- Fita (Cisalhamento): t- espessura de lâmina (fita); h- altura de lâmina; rf – vide desenho; n – n° de dobras (ranhuras). Pois:

ASME:

Tadmárvore WT .τ=16

. 3dWT

π=

A

F=τ

nrhtT fadmfita ....τ=

fa rFT .= ( )nhtA n ..=árvoreadmalâadm ,min, %.95 ττ =


14.3. Acoplamentos Flexíveis (Partes Rígidas):

- Admitem deslocamentos entre eixo motor e conduzido. Importante: ‘’ Árvores formando ângulos entre si, a relação (W/W1) varia periodicamente entre os cossenos de ângulos e (1/cosα) durante uma rotação’’. -- Para Wmotor= constate � W1 varia conforme o ângulo. �� Acoplamentos Cardan: -- Utilizado na extremidade dos eixos motrizes das rodas traseiras dos automóveis. -- Se a cruzeta de entrada gira a uma velocidade angular constante, a velocidade da cruzeta de saída apresentará uma flutuação de velocidade de até duas vezes a velocidade de rotação. -- A variação da relação de velocidade dos dois eixos aumenta com o ângulo de desalineamento. -- Se duas juntas forem utilizadas (com as cruzetas alinhadas) as flutuações de velocidade entre as duas juntas se cancelam fornecendo uma rotação uniforme para a cruzeta de saída. -- Recomendações: α = 15° (altas velocidades) α = 35° (baixas velocidades) Geometria: ‘’ Dois eixos formando ângulos α entre si: em descreve ângulo de rotação φ e o outro descreve ângulo de rotação φ1’’. -- Admitindo α = constante: * Note que sendo α = constante, os limites máximos e mínimos da equação, ficam condicionados a variação de .

αϕϕ

cos

tantan 1 =

ϕ2cos

αϕα

cos

cos.1 22

1

sen

W

W −= ),,(1 αϕWfW =


Análise:

a)

b) -- Mesma rotação o eixo conduzido apresenta flutuação na velocidade angular que varia de valores menores que W até valores que W1 , completando 1 ciclo.

c) Quando W=W1 ?

ou

d) Impossibilidade: α=90° -- W1 varia de 0 a ∞ mostrando-se a impossibilidade de uma ligação entre eixos ortogonais. * Recomendação: - altas velocidades

- baixas velocidades -- Fixação: Dados MT , W, α da árvore motora, determinar o torque na árvore conduzida, para posições -- Sistemas sem perdas: toda a potência é cedida à árvore conduzida. Logo:

0cos2 =ϕ °°= 270__90 ouϕ WW <1

1cos2 =ϕ °°= 180__0 ouϕ WW >1

αϕα

cos

cos.11

22

1

sen

W

W −== ααϕ

22 cos1

cossen

−=α

ϕcos1

1cos2

+=

αϕ costan2 =

∞==αcos

1

1W

W 01 =W

0cos1

== αW

W ∞=1W

°=15maxα

°= 35maxα

°°°°°= 360,270,180,90,0ϕ

rpm

HP

n

NT .7162=

n

n

T

T 1

1

=11 n

n

W

W =

°= 0ϕ αcos1

=n

n αcos.1 TT =

°= 90ϕ αcos

1

1

=n

n

αcos1

TT =


15. EMBREAGENS: - Acoplamentos intermitentes na transmissão da potência. Classificação: a) Quanto ao acoplamento: - mecânico - elétrico - hidráulico b) Quanto a forma de transmitir o Torque: - contato positivo - contato progressivo (atrito)

15.1. Embreagens de Contato Positivo:

-- Acoplamento instantâneo: velocidades relativas nulas ou muito reduzidas, com transmissão através de garras. -- Vantagem: não há deslizamento � não há perda de potência via calor. Obs: Considera-se fator de choque no dimensionamento. CC = 2 -- Projeto considera o cisalhamento: Tensão cisalhante � pr= perímetro médio; -- Para cada dente: θ= ângulo de abraçamento para cada dente [°] logo: -- Em funcionamento: dificuldade de debrear � Força de Atrito gerada: dm – diâmetro médio; d1 – diâmetro do eixo.

rpm

HP

n

NCT .1=

mR

TF =

2ie

m

rrR

+=

Dentes e ranhuras são de iguais dimensões para evitar folga.

( )ie rrK

TF

+=

.

.2

tp

F

r .=τ

mr Rp ..2π=

+=2

..2 ier

rrp π

( )°

+=360

...2θπ ier rrp

( )trr

F

ie ...

.360

+=

θπτ

+=

1

11...2

ddTF

ma µ


15.2. Embreagens de Contato Progressivo:

Disco simples múltiplos (motos) Embreagens Cônico simples duplo 2 Hipóteses: - Pressão constante e uniforme � novas - Desgaste uniforme � mais usadas a) Hipótese de pressão uniforme: a pressão uniforme ocorre quando a embreagem é nova, ou quando, os discos forem suficientemente flexíveis. Projeto � idem aos acoplamentos. b) Hipótese de desgaste uniforme: num intervalo de tempo considerado, o trabalho realizado por unidade de superfície é constante. ∆- desgaste constante; k – constante; w- velocidade angular (constante para um ponto dado) Logo: * A pressão varia inversamente em relação ao raio. (ponto genérico)

-- Sendo pmax função do tipo de material � -- Esforços atuantes: (elemento infinitesimal) Para projeto:

rwpvp ..__.__ αα∆ rwpk ...=∆

Crp =.r

Cp =

ir

Cp =max

er

Cp =min

irwpk ... max=∆

erwpk ... min=∆rwpk ...=∆

r

rpp i.max=

projetoadmpp ,max ≤

mrQT ..µ=

( )22max... iei rrrpT −= µπ

( )iei rrrpQ −= ...2 maxπ

2ie

m

rrR

+=

+=2

. ie rrQT µ


15.2.1. Embreagens Multi-disco: -- Transmissão de alta potência em espaços reduzidos; -- número de faces ativas � sempre ‘’par’’ Desgaste uniforme:

15.2.2. Embreagens Cônicas: -- Ação de cunha, com mais eficiência na transmissão. a) Pressão constante: p – pressão. F – força na embreagem b) Desgaste Uniforme: ou c) Superfície de contato: onde: ou Temperatura: At – área de atrito. 632 – equivalente térmico. C – coeficiente de transmissão de calor. Valores de ‘’C’’ para superfícies sem polimento V [m/s] 0 6 12 18 24 30 C [(kcal/h)/(cm2.°C)] 0,74 1,22 1,62 1,93 2,2 2,5

1−+= cma nnn

1+= ad nn

2ie

m

rrr

+= ( )ma rQnT ..µ=

αµsen

rFT m..=

−−=

22

33

..

.3

2

ie

ie

rr

rr

sen

FT

αµ

αsenNF .=

NFa .µ= ma rFT .= mrNT ..µ=α

µsen

rFT m..=

2ie

m

rrr

+=

1≤αsen pratosconica TT ≥

b

rrsen ie +=α

( )α

πsen

rrrpN iie .

..2 max

−=

( )iei rrr

senNp

−=

...2

.max π

α

( )iei rrr

Fp

−=

...2max π

tAc

dECT

.

..632)( =°

°+≈

Cm

hkcalvc

.

/_.65,4

24/3

( )α

µπsen

rrpT ie

33....

3

2 −=

+=

2.

. ie rr

sen

FT

αµ


16. FREIOS -- Ação � frenagem: transformação de energia cinética em calor. Freios - Mecânicos - Dinâmicos: motor elétrico funcionando como gerador. Acionamento - Mecânico - Alavancas, pesos - Molas, engrenagens - Hidráulicos - Pistões a ar - Pistões a óleo - Variação de Campo Magnético `` No projeto, é muito importante o posicionamento no freio em relação à cadeia cinemática.`` Freio � sobre o elemento girante com maior velocidade angular, w. Vantagem: menor momento e freio com dimensões reduzidas.

Desvantagem: falha catastrófica, com ruptura em alta rotação. Classificação em função da forma da superfície de contato. -Freio de Sapata - Externa - Curta (θ≤60°) - Longa (θ>60°) - simples - dupla

- Interna -Freio de Cinta - simples - diferencial -Freio de Cone -Freio a Disco -- A melhor escolha fica condicionada à operação em função do projeto analisado.


16.1. FREIOS DE SAPATA:

-- Consistem em blocos que são comprimidos contra a superfície de um cilindro rotativo chamado tambor de freio.

16.1.1. FREIO DE SAPATA SIMPLES:

-- Baseia-se na análise de forças e momentos. -- Quando a força de atrito µ.N age no mesmo sentido da força F o freio é parcialmente auto-travante. -- Para o freio ser inteiramente auto-travante, o valor da força F deve ser nulo ou negativo. * O peso da sapata é desprezível. -- Para um freio que não seja auto-travante: N –força normal. R – raio. Auto-travante. -- Quando a sapata for grande, a construção mais adequada é a articulada. Considerando desgaste uniforme: h – determina a localização da articulação da sapata. -- Usada quando tem-se uma distribuição não uniforme de pressão. CALOR GERADO PELA FORÇA DE ATRITO: Z- n° de voltas. n- velocidade angular [rpm] Q – calor gerado pela força de atrito. - potência gerada.

RNT ..µ=

0... ≤−=

b

cNaNF

µ

µ≤c

a

θθ

θ

µµsen

senRNhNT

+

== 2..4

....θθ

θ

sen

senRh

+

= 2..4

( )θθ senRb

NF

+=

..

.2max

dFQW .== NFaF .µ==

Zrd ...2π=

ZrNQ ...2.. πµ=t

QW =

•

60

...2.. ZrNW

πµ=•

•W


16.1.2. FREIO DE SAPATAS DUPLAS:

-- Usadas para diminuir os esforços nos mancais e eixos, reduzindo a quantidade de calor desenvolvida por unidade de área. -- A força NL na sapata esquerda não é necessariamente igual a força NR , sobre a sapata direita. -- Para ângulo de contato (sapata/tambor) menor que 60° o momento frenante é : -- Para ângulos de contato maoires que 60° , usa-se sapatas articuladas e o momentos de frenagem é:

16.2. FREIO DE CINTA:

-- Constam de uma cinta flexível, parcialmente enrolada em torno de um tambor. -- A capacidade do freio depende do ângulo de abraçamento, do coeficiente de atrito e da tração na cinta.

16.2.1. FREIO DE CINTA SIMPLES:

-- A direção de rotação do tambor deve ser tal que o ramo tenso corresponda ao lado da cinta fixado na articulação. -- Relação entre ramo tenso e ramo frouxo: - F1 – tensão no ramo tenso; - F2 – tensão no ramo frouxo; - θ – ângulo de abraçamento; - µ - coeficiente de atrito. -- O momento de frenagem : -- Este tipo de freio não possui propriedades auto-frenantes. -- Um freio capaz de funcionar igualmente bem tanto no sentido horário como no sentido anti-horário, é mostrado na figura:

- Isso ocorre devido os braços dos momentos nos ramos tenso e frouxo, terem tamanhos iguais.

( )LR NNrT += ..µ

( )θθ

θ

µsen

senRNNT LR +

+= 2..4

..

θµ .

2

1 eF

F =

( )21. FFrT −=


16.2.2. FREIO DE CINTA DIFERENCIAL:

-- Possui propriedades auto-frenantes. -- Geralmente a rotação do tambor é escolhida para que a tensão no lado tenso venha a ajudar na frenagem. -- Fazendo a soma de momentos em relação à articulação, tem-se: -- O auto-travamento se dá quando:

0≤F , desde que θµ ..eab ≤

` θµ ..ea

b ≤

-- Pressão unitária máxima: w- largura da cinta. * ocorre na extremidade tensa da cinta. -- Tensão normal média entre a cinta e o tambor: CALOR GERADO DURANTE A FRENAGEM: -- O calor desenvolvido durante a aplicação do freio deve ser dissipado para que não haja superaquecimento do freio e mesmo queima do revestimento. -- O calor desenvolvido é correspondente ao trabalho gasto para vencer o atrito: pmed - pressão média de contato [psi] Ac – área de contato [in2] µ- coeficiente de atrito. v - velocidade tangencial. [ft/min]

0... 21 =++ bFaFcFc

bFaFF

.. 21 +=θµ .

2

1 eF

F = ( )c

eabFF

θµ .2 .−=

rw

Fp

.1

max =

−= θµ

θµ

θµ .

.1 1

... e

e

rw

Fpmed

778

.. . vApQ cmed

a

µ= [ ]min/Btu


I7. CORREIAS: -- Transmissão de potência entre árvores silenciosamente, sem a necessidade de manter extra a relação de transmissão (deslizamento) -- Possuem baixo custo inicial, alto coeficiente de atrito, elevada resistência ao desgaste e funcionamento silencioso; -- São flexíveis e elásticas possuindo uma capacidade de amortecimento capaz de reduzir a transmissão das cargas de impacto e vibrações, sendo adequadas para grandes distâncias entre centros. -- Utilizado quando se quer transmitir potência para eixos que encontram-se relativamente afastados. -- Formas de dar pré-carga na correia: -- O esforço no ramo tenso admissível depende da seção transversal da correia e da resistência do material. -- CORREIA EM ‘’V’’ : geralmente utilizadas em motores elétricos.

- Quando uma correia em ‘’V’’ não é suficiente para em determinado trabalho, múltiplas correias podem ser utilizadas. - Quando houver necessidade de substituição de uma das correias de um conjunto, um novo conjunto completo deve ser instalado.

- A capacidade de transmissão de potência nas correias tipo ‘’V’’ são maiores que nas correias planas devido ao efeito de cunha que aumenta o esforço normal entre a correia ‘’V’’ e a polia. -- CORREIAS DENTADAS : (correia de sincronização ou correia de regulação)

- O acionamento é realizado por meio de dentes, em vez de por atrito, não ocorre deslizamento e o eixo motriz e motor permanecem sincronizados. - Permitem o uso de polia com pequenos arcos de contato. Com apenas 6 dentes são capazes de transmitir toda a capacidade de carga.


Classificação: Correias Planas - Simples - Dentadas Correias Trapezoidais - Simples - Articuladas - Dentadas Observação: Cuidado com o afastamento entre as árvores, função da relação polia/correia. Em geral grandes afastamentos entre eixo motor e eixo conduzido. -- Projeto: Relação entre ramo frouxo e ramo tenso. a) Considerando o efeito da força centrifuga: ( seção da correia)

W—peso linear da correia; v – velocidade tangencial da correia; g— gravidade; µ— coeficiente de atrito; α — ângulo de entalhe; θ— ângulo de abraçamento entre polia e correia; F1 – ramo tenso; F2— ramo frouxo.

b) Desprezando a força centrífuga: (baixas velocidades) c) Capacidade para Transmitir potência: -- Par de polias: a capacidade é função da polia que apresenta o menor valor para a relação. Prática: t- espessura da correia. Torque � poliat RFT .= C1= 7162 N.m

C1= 63000 lbf.in

=−− 2

.

2

1

αθµ

sen

C

C eFF

FF g

vWFC

2.=AF adm.1 σ=

hbA .= Valor de controle, não pode-se admitir uma força que rompa a correia

θµ.

2

1 eF

F =

( ) 2/

.

αθµ

sene

tpolia .30=φ

rpm

HP

n

NCT .1=


d) Ângulo de Abraçamento: d1) Correia Aberta:

-- Comprimento da Correia: perímetro ‘’L’’ Logo: d2) Correia Cruzada: C- f(dimensões reais) * Razoável considerar o maior valor entre :

c

rRsen

−=β

βθ .21801 −°=βθ .21802 +°=

βsenCrRa .=−=C

rRsen

−=β

[ ] 2/1221 )( rRCC −−=

121 ...2 θθ rRCL ++= dr.=θ

C

rRsen

−−°=° −11 .2180θ

C

rRsen

−+°=° −12 .2180θ

( )[ ] 12

2/122 ...2 θθ rRrRCL ++−−=

βθθθ .218021 +°===

C

rRsen

++°=° −1.2180θ

θθ ...2 rRbL ++=

( )[ ] ( )rRrRCL +++−= ..22/122 θ

RrC += .3 RC .2=


18. CORRENTES: -- Transmissão sem deslizamento. A razão de transmissão é constante, com rendimento maior que 96%. -- Na interferência entre o dente da roda dentada e o rolete da corrente ocorre uma tensão de contato de Hertz. -- Também ocorre um impacto quando cada novo dente entra em contato, e a intensidade desse impacto aumenta significativamente com a velocidade. -- As correntes são substituídas devido ao desgaste que ocorre entre os pinos e as buchas, esse desgaste faz com que o passo (distância entre os centros dos roletes) aumente, podendo-se ajustar com o aumento da distância entre centros, ou com uma roda intermediária. -- Vida útil de aproximadamente 15.000 horas. -- a) Classificação: - Correntes Roletes (comum); - Correntes Silenciosas (Morse de dentes invertidos); - Correntes Articuladas (vmax≤ 27 m/min) b) Ações na Corrente: 1. Tração, devido à transmissão de potência; 2. Flexão próximo ao pinhão (desgaste nas ligações); 3. Força centrífuga – soma-se a carga na corrente; 4. Impacto no contato elo-roda dentada (fonte de ruído); 5. Ação poligonal.


c) Ação Poligonal : -- Ocorre uma elevação e abaixamento na linha de centro da corrente, tornando a relação de transmissão não uniforme, variando efetivamente o raio primitivo da roda dentada. -- A elasticidade da corrente absorve boa parte dessa pequena flutuação de velocidade. -- O efeito poligonal ocorre quando se tem um número pequeno de dentes na roda dentada, causando um aumento de velocidade instantânea do rolete, quando este se acopla na roda dentada, isto é, o rolete percorre um espaço um espaço maior (arco de circunferência) causando um aumento de velocidade brusca e impacto. -- Para minimizar o efeito deve-se aumentar o n° de dentes da roda dentada. -- Estabelece o número mínimo de dentes no pinhão, quanto menor o número de dentes, maior a ação poligonal.

• Rolete na sede – distância rS ≤ r • Pinhão- w = cte (ou nrpm=cte)

-- Velocidade do eixo geométrico na corrente varia de:

- Em cada ciclo (ou periodo) de engatamento do dente

-- Deve-se especificar o número mínimo de dentes do pinhão para minimizar o efeito da ação poligonal. a variação do raio. Nd – número de dentes do pinhão (Nd ≥ 17 em geral) D- diâmetro primitivo ou -- Quanto maior o número de dentes, menor o θ, maior Dpinhão. As cordas do polígono mais se aproximam de Dprimitivo e menor será a ação poligonal.

nrv s...2π= nrv ...2π=

θcos.rrs = ( )θcos1. −r

dN

°= 360.2θ

r

psen

2/. =θ

2D

r = θ.sen

pD =

=

dNsen

pD

180.


Observação:

• Nd preferencial: 19 a 21 � maior a vida da corrente. • Nd > 30 � somente para velocidades muito elevadas. • Melhor distribuição do desgaste: Nd ímpar do pinhão, número par na corrente. A

freqüência de contato entre em dente e um rolete em particular é um mínimo. • Velocidades permitidas na corrente (Shigley, Inglês).

ou

• Número máximo de dentes numa roda: Nd = 150 • Aconselha-se:

d) CARGA – Corrente de Roletes: 1. Força Centrífuga, FC : w- peso linear da corrente. v- velocidade linear da corrente. 2. Força de Arraste – carga transmitida: FT Função de Potência Nominal: 3. Soma-se ainda os efeitos indeterminados: -- Impacto, ação poligonal; -- Ação repetida sobre possibilidades de falha por fadiga. Porém, normalmente a falha ocorre por desgaste nas uniões. Fórmula: p= passo (in) v= ft/min Nd= n° de dentes da roda menor -- Correntes que operam com fator de serviço unitário e com a potência nominal acima, tem vida provável de 15000 horas. Cs – fator de serviço. -- Pressão sobre o pino � 800 – 1000 psi. Função da carga transmitida, funcionamento suave e longa vida. p- pressão no pino; FT – força de arraste; L – largura do rolete; área projetada. d- diâmetro do rolete;

rpmnDv .π= rpmd nNpv ..=

50,, ≥+ conduzidadmotorad NN

g

vWFC

2.=

][33000min/

lbfv

NF

ft

HPT =

+−=

41,122

139.

90.501

7,23.

v

Nsen

vpN

dHP

correntesHPTOTAL nNN °= . Se houver necessidade de n° maior de correntes

dL

Ftp

.=


e) Comprimento de Corrente e Distância entre centros: Em número de passos: L- comprimento da corrente; C- distância entre centros; N1 – número de dentes na roda menor; N2 – número de dentes na roda maior; p – passo. * O comprimento da corrente é aproximado para um número inteiro de passos, imediatamente superior; ** Em geral � número par de passos (evita-se elo adicional); *** Envolvimento mínimo admissível entre corrente e pinhão: 120° � para relação entre velocidades iguais; 135° � mínimo recomendável; Se (diâmetro externo das rodas) -- Na prática, um bom valor é : C = 30 / 50 passos. -- Correntes tendem a esticar com o uso: utilizar distância entre centros ajustável. A extensão geralmente ocorre durante as primeira 1000 horas de uso: pré-amaciamento.

( )( )pC

NNNN

p

C

p

L

/402.2 2

2121 −+++=

32

1 >n

nee dDC −≥


19. CABOS DE AÇO: (Movimentação de Cargas) Classificação: -- É função do modo de torcer e enrolar o arame ao redor de um núcleo (alma).

• Enrolamento Padrão: (diagonal ou cruzado )

- Arames torcidos num sentido e pernas torcidos no sentido oposto, formando o cabo. - Não dobra e não distorce.

• Enrolamento Paralelo (Lang)

- Arames e pernas torcidos no mesmo sentido. - Mais resistência à fadiga e ao desgaste. - Podem dobrar e se distorcer. Nomenclatura: Cabo X’’ Y x Z X- diâmetro do cabo; Y- número de pernas; Z- número de arames em cada perna. -- Quanto maior o número de fios numa perna, maior a flexibilidade: cabos feitos de fios finos são mais adequados a grandes curvaturas. Porém apresentam mais desgaste nos fios externos. Uso: 6 x 7 � Fios Grossos: mais resistentes ao desgaste. (reboques e transmissões). 6 x 19 � Maior uso: serviços gerais, BP, compromisso entre flexibilidade e desgaste. SEALE 6 x 19 � Arames grossos no exterior da perna (durável) e arames finos nas camadas internas (flexível). 6 x 37 � Muito flexível : maior curvatura (menor polia) sem sofrer avarias. Materiais: IPS � Improved Plow Steel (alta resistência) 240 / 280 Ksi; PS � Plow Steel (média resistência) 210 / 240 Ksi; MPS � Mild Plow Steel (aço dúctil) 180 / 210 Ksi;


TABELAS: (Shigley): -- Fornecem relações entre a capacidade de carga do cabo.

Cabos 6 x 7 6 x 19 6 x 37 W 1,52.d2 1,6.d2 1,55.d2

Dmin 42.d 30.d 18.d Dideal 72.d 45.d 27.d

da 0,111.d 0,067.d 0,048.d Am 0,38.d2 0,4.d2 0,4.d2 EC 13.106 12.106 12.106

American Steel Wire Company Handbook. (ASWC) W – peso linear (lbf/ft) d - diâmetro do cabo (Dc) (in) D – diâmetro da polia (Ds) (in) Am – área de metal na seção transversal (in2) EC – ‘’ modulo de elasticidade do cabo’’ (fictício) (psi) da – diâmetro do arame (in) Tensão: Flexão na Polia. -- Curva elástica: (1) r- raio de curvatura do elemento em flexão (uniforme e homogêneo). � (2)

(1) � (2): * Observe que EC é o do cabo e não o do arame. -- Admitindo: Fb � Carga de flexão equivalente. * Onde se verifica a importância da polia com D (grande). -- Em geral � pernas e arames deslizam, logo: -- Alongamento aproximado: geral � Ft – carga externa. Fator de Segurança: (normas) -- Os valores devem considerar o efeito da flexão ao redor da polia.

r

IEM

.=

I

yM max.=σmax

.y

IM

σ=

r

yE max.=σ

2maxad

y =

2D

r =

CEE =

mb AF .σ=

)(materialC EE ≠

)(materialC EE <

AE

lP

..=δ

mC

tcabo AE

lF

..=δ

)__())__arg()__(

cabonotração

flexãodeacrupturadecardaN

−=t

bu

F

FFN

−= btu FFNF += .


Determinação do Ft: f(aceleração) Q – carga de movimento; Wl- peso do cabo; Ft – tração no cabo; L – parte do cabo suspensa;

• Corpo em repouso:

• Sistema acelerado:

FADIGA: -- Aparece através de alguns arames partidos na superfície, função da pressão do cabo sobre a polia. Pressão nominal de apoio: Ft – força no cabo em cada lado da polia (θ=180°)

-- Adota-se Su (arame). -- Para - verifica-se boa durabilidade comercial. Então: ou Em geral verifica-se o valor de C.

-- Esta equação deve ser aplicado quando houver folga do cabo na polia, evitando-se ‘’beliscões’’.

-- Quanto mais macia a ranhura da polia, maior a durabilidade do cabo. Ex:

Cabo 6 x 19: 500 psi � polias de ferro fundido. 900 psi � polias de aço fundido. 2500 psi � polias de aço manganês.

* Se a carga máxima não é de ocorrência normal em todos os ciclos, toma-se FT como sendo a carga que se espera ocorrer um número de vezes muito grande (>106).

∑ = 2

2

.dt

xdmF

lt WQF +=

lt WQFF −−=∑ ag

WQWQF lt .

+=−−

Dd

Fp t

.

.2=

SuCp .=

0015,0≤C

SuDd

Ft .0015,0.

.2 ≤ 0015,0≤Su

p

0015,0..

.2 ≤SuDd

Ft


ATRITO: -- Em algumas transmissões por cabo de aço, a fadiga de atrito entre cabo e polia motora. -- Polia motora: o ângulo de contato é 2π, o cabo passa duas vezes.

- Admitindo acionamento da motora (elétrico). - No ponto de deslizamento: � aceleração máxima.

- F1 e F2 : diagrama do corpo livre, carga e contra-peso. - W : carga. - Q : contra-peso.

-- Obtendo-se F1 e F2, determina-se Ft. Coeficientes de Atrito:

Polia Cabo Engraxado Cabo úmido Cabo Seco Ferro/Aço 0,07 0,085 0,12

Revestimento de Madeira

0,14 0,17 0,235

Revestimento Couro / Borracha

0,205 0,40 0,495

21 FFFt −=

θµ .

2

1 eF

F =

( )max21max, FFFt −=

∑ =2

2

.dt

xdmF a

g

WQQWF l

l .2,2,2

+=−−

ag

WWQWF l

l .1,1,1

+=−−


ANEXOS

Código Chimisso - Elementos de Maquinas

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