UNIFOR_-_Notas_de_Aula_Estatica_I_-_Gulielmo
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ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
1
ESTÁTICA
DAS
CONSTRUÇÕES I
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
2
carregamento
reações de apoio
Mz
Mx
1.0 Introdução: O estudo da Estática compreende a ação de forças externas sobre um corpo rígido, em posição de repouso (Fig. 1). Fig. 1 Exemplo: Viga bi-apoiada Fig. 2 As forças grupam-se em sistemas que podem ser de forcas concorrentes, paralelas ou quaisquer. Qualquer destes sistemas pode ser coplanar ou espacial. Todo sistema pode ser substituído pela ação de duas forças que, em relação a um ponto qualquer, venham a produzir o mesmo efeito do sistema dado. Estes efeitos são: resultante e o momento resultante. A resultante é a soma vetorial das projeções das forças do sistema e capaz de produzir translação. O momento resultante é a soma vetorial dos momentos das forças do sistema e capaz de produzir rotação. ;
Fy
Fz
Fx
R M My
Z
X
Y
Sistema espacial
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
3
Z
Observação: O momento é sempre produzido em torno de um eixo normal ao plano em que se encontram
as forças A finalidade principal da Estática é estudar os sistemas em equilíbrio, isto é, onde são nulos os movimentos de translação e rotação Para equilibrar um sistema, torna-se necessário a introdução de um sistema equivalente ao primeiro mas de sinal contrário, ficando nulas as ações da resultante e do momento resultante. Podemos escrever as seguintes 6(seis) equações universais da Estática: e
- Casos particulares:
a) Sistema de forças concorrentes coplanares: As 6 equações se transformam em 2 - 2 equações de força ou - 2 equações de momento ou - 1 equação de força e 1 equação de momento.
b) Sistema de forças paralelas coplanares: As 6 equações se transformam em 2
- 2 equações de momento ou - 1 equação de força e 1 equação de momento.
c) Sistema de forças quaisquer coplanares: As 6 equações se transformam em 3
- 2 equações de força e 1 equação de momento ou - 1 equação de força e 2 equações de momento ou - 3 equações de momento.
Mz O M α
F
X
Y
Mz = OM x F.sen α
Mão Direita
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=Σ
=Σ=Σ
⇒=Σ
0
00
0
z
y
x
F
FF
F⎪⎩
⎪⎨
⎧
=Σ
=Σ=Σ
⇒=Σ
0
00
0
z
y
x
M
MM
M
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
4
V
H
V
H M
1.1 Apoios: Tem a finalidade de impedir movimentos e classificam-se conforme o número de movimentos impedidos, que chamamos de gênero. Para uma estrutura espacial temos apoios de 6 gêneros e para uma estrutura plana apenas 3. a) Apoio do 1º gênero: Impede 1 movimento deixando livre 2. b) Apoio do 2º gênero: Impede 2 movimentos deixando livre 1. c) Apoio do 3º gênero (engaste): Impede 3 movimentos.
Situação Representação
V Situação Representação
Situação
Representação
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
5
De acordo com o número de incógnitas os sistemas podem ser: HIPOSTÁTICO: (I < E) ISOATÁTICO: (I = E) HIPERESATÁTICO: (I > E) Onde: I = No. de incógnitas E = No. de equações Exemplos de estruturas isostáticas: I) Viga biapoada: II) Quadro biapoiado: III) Vigas e quadros engastados: IV) Sistemas triarticulado: V) Viga articulada:
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
6
VI) Treliça: 1.2 Exercícios: Calcular as reações de apoio para as estruturas que se seguem 1.2.1 Solução:
080 =−+⇒=Σ BAy VVF
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
==∴
=⋅=−−−⋅
=×−×−×−×
⇒=Σ
tfV
VV
V
M
A
A
A
A
B
75,4838388
04430802241658
0
tfVB 25,375,48 =−=∴
B A
5t 1t 2t
VB VA
2m 2m 2m 2m
B A
5t 1t 2t
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
7
1.2.2 Solução:
B A
2m
2m
2t
3t
2m 2m 1m 1m
2t 1t
VA VB
HA
2t
3t
2t 1t
⎩⎨⎧
=∴=+−
⇒=ΣtfH
HF
A
AX 1
0230
⎩⎨⎧
=+=−−+
⇒=ΣtfVV
VVF
BA
BAY 3
0120
⎪⎩
⎪⎨⎧
=∴
=×−×−×−×−⋅⇒=Σ
tfV
VM
B
B
A
617
02351221260
tfVA 61
=∴
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
8
4m 4m
4m
BA
VB VA 1m
2t
1m
2t
2t 2t
A
VA
HA
MA
2t 2t
1.2.3 Solução: (Obs.: o sinal negativo significa que o sentido da força
está invertido) 1.2.4
2m
2m
4m
⎩⎨⎧
=+=−+
⇒=ΣtfVV
VVF
BA
BAY 2
020
⎩⎨⎧
=∴=×−⋅
⇒=ΣtfV
VM
B
BA 5,2
05240
tfVA 5,0−=∴
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
9
Solução: 1.3 Esforços: Seja um corpo em equilíbrio: Imaginando-se que o corpo seja dividido em 2 partes através da seção S, a parte (I) ou a parte (II) continuará em equilíbrio acrescentando-se os esforços N, Q e M
M1
N
M
Q
S
F4 F3 F2 F1
M2
M1 R3
R1
⎩⎨⎧
=∴=−+
⇒=ΣtfH
HF
A
AX 0
0220
00 =⇒=Σ AY VF
⎩⎨⎧
=∴=×−×−
⇒=tfmM
MM
A
AA 8
022220Σ
R2
(I) (II)
S
F2 F1
R1
(I)
MMQFNF
Y
X
⇒=Σ⇒=Σ⇒=Σ
000
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
10
4t 6t
30° B A
2m 1m 1m VA = 5,2tf VB = 2,8tf
HA = 3,4tf
1m
S
4t
30°
VB = 2,8tf
3,4
0,8
4,4
- Convenção de sinais: - Estruturas lineares contínuas: Exemplo: Conhecendo-se as reações de apoio, determinar os esforços na seção S
-
+
-
+ d e
S
N: (-): compressão
(+): tração
-
+ -
+ d e
S
Q:
-
+
-
+ d e
S
M:
corte
fletir
-
+
-
+ d e
S
T: torcer
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
11
HA = 2tf
2tf
1tf/m
B
A
3m 1m
VA = 3,5tf
VB = 0,5tf
S2 C D
S1
1m
1m
1m
Solução: a) Pelo lado esquerdo: ou b) Pelo lado direito: - Estruturas não-lineares contínuas: Exemplo: Conhecendo-se as reações de apoio, determinar os esforços nas seções indicadas I) Estudo da seção S1: a) Pela esquerda:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=×−×=−=
−=−=
tfmMtfN
tfQ
4,41622,54,3
8,062,5
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=×⋅−×=
−=⋅−=
−=⋅+−=
tfmMtfN
tfQ
4,4230sen438,24,330cos4
8,030sen48,2
o
o
o
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=×−=−=−=
tfmMtfN
tfQ
40,225,3
2
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
12
HBB
VA
A
C
HA
VB
4tf
6tf
1,0 1,0 1,5 1,5
1,0
1,0
ou b) Pela direita: II) Estudo da seção S2: a) Pela esquerda: - Estruturas lineares articuladas: Mesmo procedimento das estruturas lineares contínuas. - Estruturas não-lineares articuladas: Mesmo procedimento das estruturas não-lineares contínuas. Exercício: Temos 4 incógnitas e 3 equações da Estática; necessitamos de mais 1 equação complementar (momento fletor nulo na rótula). Solução:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=××−×+×=−=+×−=
−=
tfmMtfN
tfQ
40,20,41120,45,05,35,00,41
2
2 2 -8
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=××−×−×=−=
=×−=
05,10,310,320,35,32
5,00,30,15,3
MtfN
tfQ
⎩⎨⎧
=+∴=−+
⇒=ΣtfHH
HHF
BA
BAX 6
060
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
13
Equações fundamentais da Estática: O equilíbrio das forças verticais permite escrever: (1) ou Observações: ; , onde qx e qy são as componentes da carga.
Q+dQ
M+dM M
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=∴=⋅−−
=×−×−×⇒=Σ
tfVV
VM
B
B
B
A
4,00546
00,50,140,160
⎩⎨⎧
=−∴=−−
⇒=ΣtfVV
VVF
BA
BAY 4
040
tfVA 4,44,04 =+=∴
⎪⎩
⎪⎨⎧
=−
=∴
=×−×−×⇒=
tfH
HM
A
A
C 4,22
0,48,800,20,140,24,4
0
tfH B 6,34,26 =−=∴
Q
N N+dN
dx
q(x)
S1 S2
dxxqdQdQQdxxqQ
)(0)(
−==−/−−/
dxdQxq −=∴ )(
∫ −= dxxqQ )(
)(xqdxdQ
y−= )(yqdxdN
x=
Pelas forças da esquer- da ou da direita!
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
14
O equilíbrio dos momentos, em relação à seção S2, permite escrever: (2) ou Substituindo (2) em (1), podemos escrever: Conclusões: I) Nos trechos onde q(x) = 0, o esforço cortante Q é constante e o momento fletor M varia
linearmente; II) Nos trechos onde q(x) = constante, o esforço cortante Q varia linearmente e o momento
fletor M varia segundo uma parábola do 2º grau.
dxdMQ =∴
∫= QdxM
dMQdx
dMdxdQQdx
dMMdxdxxqMQdx
dMMdxdxxqQdxM
=
+⋅−=
+/+⋅+/−=
=+−⋅−+
2
2)(
0)(2
)(
2
2
)(dx
Mdxq −=∴
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
15
x
P
B A
a b
S
l
VA VB
2.0 Vigas biapoiadas: 2.1 Com carga concentrada: a) Reações de apoio: b) DMF: ; x ≤ a → pela esquerda ; x ≥ a → pela esquerda → pela direita
PVVF BAy =+⇒=Σ 0
⎪⎩
⎪⎨
⎧ =⋅−⋅⇒=Σ
00
aPVM
B
A
l
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅=
⋅−=−=∴
ll
ll-aPaPaPPVPV BA 1
laPVB
⋅=∴
lbP ⋅
=
xbPxVM A ⋅⋅
=⋅=l
( )axPxVM A −⋅−⋅=
( )xaPM −⋅⋅
= ll
ou
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
16
P
x l-x
VA VB
Para x = a ⇒ c) DEC: ; x ≤ a ; x ≥ a d) Posição da carga que fornece o esforço máximo
(+)
(+) P
VB
VA
xbP⋅
⋅l
( )xaP−⋅
⋅ ll
lbaPM máx
⋅⋅=
(-)
AVbPdx
dMQ =⋅
==l
BVaPdx
dMQ −=⋅
−==l
lll
l
2)( xPxPxxPbaPM ⋅−⋅=−⋅⋅
=⋅⋅
=
⇒=−⋅=⋅
−== 0)21(2llxPxPP
dxdMQ
=⋅⋅
=l
baPM máx 4l⋅P
2l
=x
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
17
VB (-)
x
q
S
l
VA VB
2.2 Com carga uniformemente distribuída: a) Reações de apoio: b) DMF: b) DEC:
2l⋅
==qVV BA
22
2xqxqM S ⋅−⋅⋅
=l
20
2ll
=⇒=⋅−⋅
== xxqqdx
dMQ
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅−⋅
⋅=∴
2
2222lll qqM máx 8
2l⋅q
(+)
l/2 l/2
2
8l⋅
=∴qM máx
(+) VA
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
18
2.3 Com carga distribuída triangular com vértice no apoio da esquerda: a) Reações de apoio: ; b) DMF: onde:
qS
l
q
VA VB
x S
2/3l 1/3l
R = q.l/2
6l⋅
=qVA
6631
26
2xqxqxxqxqM SSS ⋅−⋅⋅
=⋅⋅⋅−⋅⋅
=ll
lll
l⋅=⋅=⇒=
⋅⋅
−⋅
== 5774,0330
26
2
xxqqdx
dMQ
=∴ máxM39
2l⋅q
3l⋅
=qVB
xqqS ⋅=l
3
66xqxqM S ⋅
⋅−⋅
⋅=∴
ll
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
19
c) DEC: 2.4 Com carga distribuída triangular com vértice no apoio da direita:
0,5774 l
Mmáx
0,5774 l
(+)
(+)
(-)
6l⋅q
3l⋅q
l
q
x’
6l⋅q
3l⋅q
(+)
(+)
(-) 6l⋅q
3l⋅q
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
20
2.5 Com momento aplicado numa seção qualquer: a) Reações de apoio: b) DMF: c) DEC:
(-)
(+)
(-)
b a
l
M
VA VB
⎩⎨⎧
=∴=+−
⇒=ΣBA
BAY VV
VVF
00
⎪⎩
⎪⎨⎧
=∴
=−⋅⇒=Σ
l
lMV
MVM
B
B
A
00
lMVA =∴
axxM≤→⋅−
l
axMxM>→+⋅−
l
lM
eixo
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
21
S
VA
MA
x
l
P
2.6 Com carga trapezoidal: Pode-se empregar o princípio da superposição dos efeitos. 3.0 Vigas em balanço: 3.1 Com carga concentrada: a) Reações de apoio: b) DMF:
eixo(-)
qb qa
PVF AY =⇒=Σ 0
⎩⎨⎧
⋅=∴=⋅−
⇒=Σl
lPM
PMM
A
AA
00
xPM S ⋅=
l⋅= PM xP ⋅
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
22
MA S
VA
x
l
q
c) DEC: 3.2 Com carga distribuída: a) Reações de apoio: b) DMF:
eixo
P(+)
⎩⎨⎧
⋅=∴=⋅−
⇒=Σl
lqV
qVF
A
AY
00
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⋅=∴
=⋅⋅−⇒=Σ
2
020 2l
ll
qM
qMM
A
A
A
22
2xqxxqM S ⋅=⋅⋅=
000 =→=⇒=⋅== mínMxxqdx
dMQ
.)(constPdx
dMQ ==
(-)
2
2l⋅=
qM máx
8
2l⋅q
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
23
S
q = 5 t/m
VA VB
P = 2 t
a = 3,00m b = 2,00m
2,66
13,3
x -13,7
-3,7
-1,7
c) DEC: Exercício: Calcular os diagramas Solução: a) Reações de apoio: b) DEC:
(+)
(+)
l⋅q
⎩⎨⎧
=−=⇒=+=×−−+
⇒=ΣtfVVVV
VVF
ABBA
BAY 7,132727
000,5520
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=∴=+=⋅
=××−×−×
⇒=ΣtfV
V
V
M
A
A
A
B
3,135,665,6245
0200,500,5500,2200,5
0
(-)
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
24
Para: Observações: I) O DEC ao encontrar uma carga concentrada (reação de apoio ou carregamento), sofre
uma descontinuidade (salto) de valor igual à intensidade da carga e na direção em que aponta a carga;
II) Q = 0 ⇒ Mmáx (interceptando o eixo) c) DMF: ou pela esquerda ou pela direita
mxxxqVQx Ax 66,25
3,13053,13:)00,3( ==⇒=⋅−=⋅−=→<
⎩⎨⎧
−=−⋅−=−⋅−=−=⋅−=⋅−=
→=tfPqVQ
tfqVQx
ASd
ASe
7,3200,353,1300,37,100,353,1300,3
:)00,3(
2:)00,3(
2xqxVMx Ax ⋅−⋅=→≤
tfmMx máx 689,172
66,2566,233,13:)66,2(2
=×
−×=→=
tfmMx 4,17200,3500,333,13:)00,3(
2
=×
−×=→=
ax
xqxqbaPM=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅−⋅
⋅+
⋅⋅=
22
2ll
( ) →−⋅−⋅−⋅=→> 00,32
:)00,3(2
xPxqxVMx A
( ) ( )→
−⋅−−⋅=
2
2xqxVM Bll
1,0 II 1,0 1,5
17,689
e
f
11,1
17,4
c
d
14,325
1,16
(+)
I 0,34
tfQx x 7,130200,553,13:)00,5( −==−×−=→=
PxqVQx Ax −⋅−=→> :)00,3(
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
25
ou: Observações: III) Nos trechos ente cargas concentradas aplicadas (reações de apoio ou carregamento) e
nos extremos das cargas distribuídas, os momentos podem ser obtidos, pendurando-se (ql2/8) no ponto médio do trecho, a partir da linha de fechamento ligando as ordenadas dos momentos no trecho
IV) O DMF ao encontrar um momento concentrado (reação de apoio ou carregamento), sofre uma descontinuidade (salto) de valor igual à intensidade do momento e na direção em que aponta o momento. Exemplos:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+==−=⋅−×=
+==×−×=⋅−×=
fetfmqVM
dctfmqVM
BII
AI
2,11257,13
20,10,1
325,1425,155,13,13
25,15,1
2
22
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=+=⇒=×
=⋅
=
=+=⇒=×
=⋅
=
===
2,115,28
00,258
325,14625,5800,35
8
7,82
4,17
22
22
feMtfmbqf
dcMtfmaqd
tfmec
II
I
l
8
2l⋅q
q
l
8
2l⋅q
q
b a
l
M
(+)
(-)
xM⋅−
l
MxM+⋅−
l
:DMF⇒
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
26
l
P
l
q
:DMF⇒
(-)
l⋅P
:DMF⇒(-)
2
2l⋅q
l⋅= PM A
2
2l⋅=
qM A
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
27
2,00m D A 2,00m C B
VC VB
VCd
MC
VBe
MB
MB
MC
VCd VBe
A D
C
VB VC
B
1tf/m 1tf/m 2tf/m
4,00m
2tf
4.0 Vigas biapoiadas com balanços: Pode ser resolvida considerando a viga por inteiro ou considerando os vãos separados: ou Exercício: I) Solução considerando a viga por inteiro:
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
28
2,00m D A 2,00m C B
VC VB
1tf/m 1tf/m
4,00m
2tf
MB
VBe 2,00m
1tf/m
2tf
a) Reações de apoio: II) Solução separando os vãos: a) Reações de apoio: - Balanço da esquerda:
tfVVF CBy 14200,2100,4200,210 =+×+×+×=+⇒=Σ
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==∴=−−+=⋅
=+××+××−××−×⇒=
tfVV
xVM
B
B
B
C
5420204216104
000,2200,100,2100,200,4200,500,2100,40Σ
tfVV BC 914 =−=∴
tfVF Bey 200,210 =×=⇒=Σ
⎩⎨⎧
=∴=××−
⇒=ΣtfmM
MM
B
BB 2
000,100,210
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
29
2tf/m
4
6
2
2
MC
VCd
VB VC
2,00m
1tf/m
4,00m
2tf/m
MC MB
VBd = 3 VCe = 5
4,00m
- Balanço da direita: - Vão central: Observação: Se não tivéssemos incluído VBe nem VCd, teríamos encontrado em vez de VB e VC, VBd = 3tf e
VCe = 5tf:
tfVF Cdy 4200,210 =+×=⇒=Σ
⎩⎨⎧
=∴=×−××−
⇒=ΣtfmM
MM
C
CC 6
000,2200,100,210
tfVVF CBy 14400,4220 =+×+=+⇒=Σ
⎪⎩
⎪⎨
⎧
→=∴=+++−=⋅
=−××−×−+×⇒=Σ
!520216864
0200,200,4200,42600,40
OKtfVV
VM
B
B
B
C
!914 OKtfVV BC →=−=∴
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
30
Mmáx(+)
2
26
xmáx
1,5
3
-2
4
2
-5
(+) (+)
(-) (-)
(-) (-)
Conclusão: As reações de apoio são iguais à soma dos esforços cortantes à esquerda e à direita do apoio. b) DMF(tfm): c) DEC(tf):
tfVVVtfVVV
CdCeC
BdBeB
945532
=+=+==+=+=
5,0800,21 2
=×
5,0800,21 2
=×
48
00,42 2
=×
tfmM
qV
xxqVdx
dMQ
xqMxVM
máx
BdBd
BBdx
25,02
5,1225,13
5,1230
2
2
2
=×
−−×=∴
===⇒=⋅−==
⋅−−⋅=
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
31
A
B
HA
VA = q.a/2
VB = q.a/2
q
S
x
x'
a
α
b c
5.0 Vigas inclinadas: a) Reações de apoio: b) DMF:
aac
cos=∴
axx
cos=′∴
⎩⎨⎧
⋅=+=⋅−+
⇒=ΣaqVVaqVV
FBA
BAy
00
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⋅=∴
=⋅
−⋅⇒=Σ
2
020
2
aqV
aqaVM
A
A
B
00 =⇒=Σ Ax HF
2aqVB
⋅=∴
8
20
2
22
2
2
aqM
axxqaqdx
dMQ
xqxaqM
máx
x
⋅=∴
=⇒=⋅−⋅
==
⋅−⋅
⋅=
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
32
q.a/2 α
q.x.cos α q.x
α
x'
q.a/2.cos α
S
(-)
(+)
q.a/2 α q.a/2.cos α
α q.a/2.cos α
Conclusão: Uma viga biapoiada inclinada se comporta, para fins de DMF, como se fosse uma viga
biapoiada de vão igual à projeção de seu comprimento sobre uma reta perpendicular ao carregamento atuante.
Nota: As ordenadas do diagrama são sempre marcadas perpendicularmente ao eixo da barra. c) DEC:
( )
8cos
cos42cos2cos
2
2cos20coscos
2
cos2
cos22
coscos2
22
2
2
2
2
aqaqaaqM
caxxqaqxd
dMQ
xqxaqxxqxaqM
máx
xx
x
⋅=⋅⋅−⋅
⋅=∴
==′⇒=⋅′⋅−⋅
=′
=
⋅′−′⋅⋅
=′
⋅⋅⋅−′⋅⋅
=
′′
′
ααα
α
ααα
αααα
8
2aq ⋅
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
33
(-)
(+)
q.a/2 α
q.a/2.sen α
q.a/2 α
q.a/2.sen α
Det.
Det.
d) DEN: 6.0 Vigas Gerber: Funciona como um conjunto de vigas biapoiadas, vigas biapoiadas com balanço ou vigas engastadas e livres. Representação:
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
34
Para resolve-la, basta fazer sua decomposição nas vigas que a constituem, resovendo inicialmente aquelas sem estabilidade própria e, após, as dotadas de estabilidade própria acrescidas das forças transmitidas pelas rótulas ou então, resolver a viga por inteiro. Exemplos de decomposição: a) = b) =
A B C D E F G H
A B C D E F G
C D G H 1 1
2 2
A B C
A B C B
B
1 1
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
35
c) = Exercício: Observação: Rótula
- transmite cortante e normal; - momento nulo ou conhecido (antes e/ou depois):
q = 2 kN/m
A B C D E F G H I
G H 1
E F G H I 2 2
C D E 3
A B C 4
C B A
3,00 m 2,00 m
VA VB
HA MA
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
36
Temos: HA, VA, MA e VC = ? → (4) incógnitas ∑ Fx = 0 ; ∑ Fy = 0 ; ∑ M = 0 e MB = 0 → (4) equações Nota: ( ∑ M = 0 ) ≠ ( MB = 0)
somente as forças e momentos de um lado do corpo entram!
todas as forças e momentos externos entram! Assim, a decomposição seria: : DEC(kN): DMF(kNm): :
B A
MA
C B
VA
VB
+
VB VC
1 2
1
kNqVV CB 22
00,222
=×
=⋅
==l
2
-2 B
C (+)(-)
B C (+)
kNmq 18
00,228
22
=×
=⋅ l
B A
MA
VA
VB = 2kN 2
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
37
DEC(kN): DMF(kNm): Juntando + : DEC(kN): DMF(kNm):
B A
2
⎩⎨⎧
=∴=×−−
⇒=ΣkNV
VF
A
Ay 8
000,3220
⎩⎨⎧
=∴=××−×−
⇒=ΣkNmM
MM
A
AA 15
05,100,3200,320
(+)
8
B A
(-) -15
kNmq 25,28
00,328
22
=×
=⋅ l
1 2
2 (+)
(-) -15
-2 (+)
(-)
(+)
8
2,25
1
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
38
Exercício: Temos:
5 Reações → VA, VC, HC, VF e VH (3+2) Eq. → ∑ Fx = 0 ; ∑ Fy = 0 ; ∑ M = 0 mais MB = 0 e MGe = MGd = -1,5
ou MG = 0 Decomposição: - Trecho A-B: Reações:
2kN/m
G
B A
C D E F G
H
2kN/m 3kN/m 3kN
2kN/m
1,5kNm 1,5kNm
2,00m 1,00 1,00 1,00 1,00 2,00 2,00m
Sistema isostático
B A G H 1,5kNm
B C D E F 1,5kNm
2
2kN/m2kN/m
1 1
2kN/m 3kN/m 3kN
VB = 2
VB = 2
VG = 2,75
VG = 2,75
kNVVF BAy 22
00,220 =×
=+⇒=Σ
VC = 4,833 VF = 11,9167
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
39
DMF(kNm): DEC(kN): - Trecho G-H: Reações: DEC(kN): ou DMF(kNm):
⎩⎨⎧
=+∴=×−+
⇒=Σ4
000,220
HG
HGy VV
VVF
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=−
=∴
=−⋅+
=××−×+
⇒=Σ
kNV
V
V
M
H
H
H
G
25,12
5,140425,1
0200,200,2200,25,1
0
A B (+)
kNmq 18
00,228
22
=×
=⋅ l
-2
(+)
(-)
2
B A
kNVV HG 75,225,144 =−=−=∴
-1,25
(+) 2,75
(-) x
0,625
mxx 375,142
75,2=⇒= m
qVx Gd 375,1
275,2
===
1,5
Mmáx
(-) (+)
G H
G H
kNmM máx 39,02
625,02625,025,12
≅×−×=
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
40
- Trecho B-G: Reações: DEC(kN): DMF(kNm): Onde:
⎩⎨⎧
=+=−×−+−×−+×−−
⇒=Σ75,16
075,200,22300,1300,1220
FC
FCy VV
VVF
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=∴=−×−××−×+
×−××−××+×⇒=
kNVVM
F
FC
9167,1105,100,5750,200,400,2200,3
00,235,000,135,000,1200,120Σ
kNVC 833,4=∴
G
B C D E F
2,75
-2
-4
0,833
-2,167
-5,167
6,75
x
(+)
(-) (-)
mq
Vx Cd 2778,03833,0
===
G B C D E F
-11
1
-1,5
-5,833
-3,667 0,375
M =-2,88
(-)
(+)
-3
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
41
Exercício: Solução: a) Reações: b) DEC(kN):
2kN/m 3kN/m 3kN
2kN/m
A B
kNmM
MMMM
F
E
D
C
88,22
2778,032778,0833,47778,000,122778,12
115,100,275,200,100,22833,55,100,375,200,200,2200,19167,11
667,300,1833,45,000,1350,100,1200,2235,000,1200,12
2
−≅×−×+××−×−=
−=−×−××−=−=−×−××−×=
−=×+××−××−×−=−=××−×−=
A B
C
E
D
10kNm
5kN/m
HE
VE
ME
VB
4,001,00m 1,50m 2,00
⎩⎨⎧
=+=×−+
⇒=Σ35
000,750
EB
EBy VV
VVF
01000,500,7550,70 =++××−×⇒=Σ EBE MVM
kNmM E 562,66=∴
00 =⇒=Σ Ex HF
⎩⎨⎧
=∴−=××−×
⇒−=kNV
VM
B
BCe 125,13
1050,200,5500,410
kNmVV BE 875,2135 =−=∴
A B C E D
-5
8,125
(+)
(-)
(-)
-11,875
-21,875
x
mq
Vx Bd 625,15125,8
===
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
42
c) DMF(kNm):
875,21875,2100,25875,11
875,1100,45125,8125,85500,15
0
−=−=−=×−−=
−=×−==+−=
−=×−==
EE
D
C
BBd
Be
A
VQQQ
VQQQ
A B C E D (+)
(-) -2,5
0,625
-10 2,5
-33,7495
-66,562
Mmáx = 4,1015
1015,42625,2625,25625,1125,13
562,667495,335,1875,21562,66
010
5,25,000,150
=××−×=
−=−=×+−=
=−=
−=××−==
máx
E
D
Cd
Ce
B
A
M
MMMMMM
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
43
7.0 Estruturas planas aporticadas: Pórticos são estruturas reticuladas, formadas por barras em direção qualquer e conexões rígidas.
Estruturas reticulada - é aquela formada por barras que tem uma dimensão preponderante em relação às outras duas.
Conexão rígida - é uma região de ligação entre duas ou mais barras, trocando força e momento fletor.
Observação: Rótula é uma conexão não rígida. Tipos de pórtico (ou quadro): Bi-apoiado: Tri-articulado: Atirantado ou Composto: escorado: Engastado e livre:
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
44
8kNm
F
12,8
HF = 9,6
4kN/m
A
4m 2m
VA = 18,4
VF = 18,4
C D
3m
2m
2m
9,6
16kN
B
E
α
sen α = 0,6 cos α = 0,8
Com barras curvas: Exercício: 7.1 Bi-apoiado: a) Reações:
⎩⎨⎧
=∴=+×−−
⇒=ΣkNV
VF
F
Fy 4,18
000,648,124,180
⎩⎨⎧
=∴=××−×−×+−×
⇒=ΣkNV
VM
A
AF 4,18
000,100,6400,48,1200,16,9800,40
⎩⎨⎧
=∴=−
⇒=ΣkNH
HF
F
Fx 6,9
06,90
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
45
F
C D
B
E
A
(-)
-9,6
-18,4
(-)
(-)
(-)
-18,4
-5,6
F
C D
B
E
A
-9,6
(+) (-)
9,6
(+) (+)
(-)
-10,4
5,6
8,0 x
b) DEN(kN): c) DEC(kN):
→ pela esquerda
→ pela direitaou
4,186,9
6,58,124,184,18
−=−=
−=+−=−=
F
Cd
Bd
A
NNNN
0,800,24
0,84,184,104,1000,446,5
6,58,124,186,9
=×=
=+−=−=×−=
=−=−=
Dd
Dd
De
Cd
Bd
Q
QQQQ
mx
QF
40,146,5
6,9
==
=
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
46
E
F
C D
B
A
-8
(-) (-)
(-) (-)
-27,2
-36,8
(-)
-27,2
-8
-28,8 Mmáx
8 28,8
C S2 S3
D S4
S1 S5
→ pela esquerda
→ pela direita
→ pela esquerda
→ pela esquerda
→ pela direita
d) DMF(kNm): Observações: 1)
88
00,44 2
=×
28
00,24 2
=×
28,232,27240,140,1440,16,5
8,2800,36,90
8,3600,36,900,100,24
8,362,2700,200,4400,46,52,2700,26,98
8
−=−××−×=
−=×−==
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=×−××−=
−=−××−×=
==−=×−−=−=
máx
Db
F
De
Dd
CCdCe
A
M
MM
M
MMMM
M
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
47
-27,2
-27,2 -36,8 -8
-28,8
10kNm
F HF = 8
6kN/m
A
4m 2m
VA = 20,75
VF = 3,25
C D 1,50m
2,50m
2,50m
B
E
α
sen α = 0,6 cos α = 0,8 1,50m
8kN
2m
; ; 2) 7.2 Bi-apoiado:
kNQkNQ
S
S
6,56,9
2
1
=−=
kNNkNN
S
S
6,96,5
2
1
−=−=
⎩⎨⎧
−=−=
kNmMkNmM
S
S
2,272,27
2
1
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−=−=
kNmMkNmM
kNmM
S
S
S
8,288
8,36
5
4
3
Em um nó com duas barras perpendiculares entre si, o esforço cortante de uma é igual ao esforço normal da outra!
O somatório de momentos em um nó é igual a zero!
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
48
-3,25
F
F
A
C
D
E
B (-)
-20,75
(-)
-1,95 4,45
(+)
A
C
D
E
B
(-)
-2,6
-7,4
(-)
F 8
3,25
E
α
8 α
α
(+)
20,75
x
→ pela direita
a) Reações: b) DEN(kN): c) DEC(kN):
⎩⎨⎧
=∴=+×−
⇒=ΣkNV
VF
F
Fy 25,3
000,4675,200
⎩⎨⎧
=∴=×−××−−×
⇒=ΣkNV
VM
A
AF 75,20
050,1800,600,461000,80
kNHF Fx 80 =⇒=Σ
kNNkNN
Ee
F
95,1cos845,445,4sen25,3cos8
−=⋅−==⋅−⋅=
ααα
mx 4583,3675,20
==
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
49
F
A
C D
E
B
(-) -10
18,5
(+)
25
-10
25
Mmáx
→ pela direita→ pela direita
→ pela direita→ pela direita
d) DMF(kNm):
6,2sen84,74,7sen8cos25,3
25,300,4675,2075,20
−=⋅+−=−=⋅−⋅−=
−=×−==
ααα
Ee
F
De
Cd
QQQQ
88,252
4583,364583,375,20102
=×−×+−=máxM
2550,1800,3800,425,35,1800,225,35,18
02500,200,4600,475,2010
=×−×+×==×+×=
==××−×+−=
Dd
E
F
De
MMMM
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
50
B
HA = 0
D
A
VA = 8,5
2,25t/m
4,00
α
sen α = 0,6 cos α = 0,8
2t/m
2t/m
9t 4t
4t
B
C
2,00 2,00
VD = 8,5
(-)
(+)
α
8,5-4 = 4,5 4,5.sen α = 2,7 4,5.cos α = 3,6
α
2,7
D
A
C
-2,7
8,5-4 = 4,5 4,5.sen α = 2,7 4,5.cos α = 3,6
7.3 Barra inclinadas: Solução: DEN(tf):
00 =⇒=Σ Ax HF
⎩⎨⎧
=∴=×−×+×+×
⇒=ΣtfV
VM
D
DA 5,8
000,800,7400,4900,140
⎩⎨⎧
=∴=+−−−
⇒=ΣtfV
VF
A
Ay 5,8
05,84940
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
51
(+)
8,5 D
A
C
B
(+)
(-) (-)
-8,5
4,5
-4,5 3,6
-3,6
(+)
D
A
C
B
1
(+)
(+)
1
13
13
13
13
Mmáx
normal à direção x
x = 2,00
DEC(tf): DMF(tfm):
CdBe MM ==×−×= 1300,1425,8
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=+=×
+=⋅
+=
=×−×+=⋅−⋅+=
=××−+×−+×=
5,175,4138
00,425,2138
13
5,17200,225,200,25,413
2
5,17200,200,225,2)00,200,1(4)00,200,2(5,8
22
22
lqM
ou
xqxQMM
ou
M
máx
iimáx
máx
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
52
7.4 Quadro engastado e livre: Solução: DEN(tf):
MA = 1HA = 1
VA = 8
3t 1t/m
1t
1t
C
A
B
D E
F
2,00
-7
1,00
2,00
2,00
tfHF Ax 10 =⇒=Σ
⎩⎨⎧
=∴=×−×+×−×+
⇒=ΣtfmM
MM
A
AA 1
000,2400,2100,1100,230
⎩⎨⎧
=∴=−×−−
⇒=ΣtfV
VF
A
Ay 8
0100,4130
C
A
B
D E
F
(-)
-1
-8
(-)
(-)
3,00
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
53
DEC(tf): DMF(tfm):
C
A
B
D E
F
(-)
1
-1
(+)
(-)
-3
(+)
4
C
A
B
D E
F
(-)
-1
-3
(-) (-)
-8
-6
(-)
(-)
-2
-1
28
00,41 2
=×
tfmMtfmM
De
Bd
200,2100,1100,411200,1100,211
−=×+×+×−−=−=×+×−−=
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
54
VB = 4 VA = 4
HA = 0
4tm
VBVA
A B
4,00m
2,00m
2,00m
2t/m
4tm
C D
E F
HA A B
C D
E F
N = 2
N = 2
7.5 Quadro atirantado ou escorado: Como a barra CD está descarregada e rotulada nas extremidades, ela tem, em todas as suas seções, M = Q = 0, podendo estar submetida, apenas, a um esforço normal constante (no caso de ser de tração a barra será denominada tirante e, no caso de ser de compressão, será dita uma escora). Nada se alterará, então, sob o ponto de vista estático, se rompermos a barra CD, substituindo-a por um par de esforços normais N, de sentidos opostos e aplicados no quadro ABEF. (pelas forças da direita)
00 =⇒=Σ Ax HF
⎩⎨⎧
=∴=××−×
⇒=ΣtfV
VM
A
AB 4
000,200,4200,40
⎩⎨⎧
=∴=×−+
⇒=ΣtfV
VF
B
By 4
000,4240
0=FM⎩⎨⎧
=∴=−×
→tfN
N2
0400,2
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
55
-4
A B
-2
C D
E F
(-)
(+)
2
(-) (-)
-4 -4
A B
C D
F (+) E
(-)
(-) (+)
4
-2 2
DEN(tf): DEC(tf):
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
56
VB = P/2
A B
C D
F E
(-) (-)
-4
-4 -4 -4
VA = P/2
A B
P
θ
θ
C
DMF(tfm): 7.6 Barra curva:
48
00,42 2
=×
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⋅=⋅=
⋅=⋅=
−⋅
=⋅−⋅=
θθ
θθ
θθ
cos2
cos
sen2
sen
)cos1(2
)cos(
PVN
PVQ
RPRRVM
AS
AS
AS
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
57
A B θ θ
C
(+)
A B θ θ
C (+)
(-)
A B θ θ
C
(-) (-)
DMF: DEC: DEN:
)cos1(2
θ−⋅ RP )cos1(
2θ−
⋅ RP2
RPM máx⋅
=
θsen2
⋅P
θsen2
⋅−P
2P
2P
−
θcos2
⋅−P θcos
2⋅−
P
2P
−2P
−
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
58
VB = P/2 VA = P/2
A B
P
θ
C
M
VB = 8 VA = 4
A B
C D
2t/m
3t
5t
6,00
HA = 2t
4,00
3,00
Observação: Marcando os valores dos momentos a partir de uma reta horizontal, o diagrama será
retilíneno, conforme figura a seguir, pois os momentos fletores crescem linearmente segundo o valor de AM = R . (1-cos θ).
Exercício:
)cos1(22
θ−⋅
=⋅RPAMP
2RPM máx
⋅=
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
59
4 4
A B
C D -8
-8
-20
-20
(-) (-)
(-)
15-9 = 6
C D
2t/m
5 2+3 = 5 8 20
DMF(tfm): Observação: Barra CD isoladamente =
⎩⎨⎧
=∴=−+
⇒=ΣtH
HF
A
Ax 2
0530
⎩⎨⎧
=∴=××−×+×
⇒=ΣtfV
VM
A
AB 4
000,300,6200,4300,60
⎩⎨⎧
=∴=+×−
⇒=ΣtfV
VF
B
By 8
000,6240
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
60
4 4
C D
2t/m
5 8 20 D
5 C
C D
8
20
D C
5x3 = 15
8
20
15-9 = 6
+ Diagramas: + = Resumindo: Para o traçado do diagrama de momentos fletores na barra curva CD, a partir de uma reta
horizontal CD, marcamos a partir da linha de fechamento o diagrama de viga biapoiada mais o diagrama devido apenas às forças horizontais.
tfm98
00,62 2
=×
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
61
HC = 3
HC = 3
G HG = 3HD = 0 D A
B C
E F
1t/m
3t
2t
4,00
2,
00
2,00
8,00 5,00 3,00
VA = 4,75 VD = 6,5 VG = 6,75
G HG = 3HD = 0 D A
B C
E F
3t
2t
VA = 4,75 VD = 6,5 VG = 6,75
1t/m
1t/m
C
VC = 3,25
VC = 3,25
1
2
7.7 Quadro composto: Decomposição:
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
62
1
2
: : DEN(tf):
(-)
-3
(-)
-3
-4,75 (-)
-6,75 -6,5 -4,75
(pelas forças da esquerda)
⎩⎨⎧
=∴=−
⇒=ΣtH
HF
C
Cx 3
030
⎩⎨⎧
=∴=××−×−×
⇒=ΣtfV
VM
A
AC 75,4
000,400,8100,2300,80
⎩⎨⎧
=∴=+−
⇒=ΣtfV
VF
C
Cy 25,3
0875,40
⎩⎨⎧
=∴=−
⇒=ΣtH
HF
G
Gx 3
030
⎩⎨⎧
=∴=×−×−×−×+×
⇒=ΣtfV
VM
D
DG 5,6
000,4800,3200,825,300,4300,80
⎩⎨⎧
=∴=+−−−
⇒=ΣtfV
VF
G
Gy 75,6
02825,35,60
0=CM⎩⎨⎧
=∴=×
⇒0
000,4
D
D
HH
(-) (-) (-)
-3,25 (-)
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
63
DEC(tf): DMF(tf):
-6 -6 -12 (-)
-6
-18
-18
(-)
8 -12
-12
8
(+)
(-)
(+)
(-)
3
(+) -3,25
-3
(-)
(+) -4,75
-3 (-)
-4,75 (-)
-3,25 -2
(-)
-6
(-)
(+)
(-)
-6
(-)
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
64
D I
2tm
B
A 1t
2,00m
1t
1t
2tm C
G H
E F
2,00m 2,00m
2,00m
2,00m
2tm
1t 1t
1t
2tm
H
HF = 1t
HG = 2t HG = 2t
HC = 2t HC = 2t
HA = 3t
VA = 2t VD = 2t
7.8 Quadro composto: Decomposição:
2=N
2=N
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
65
-1
2
246
6
2
2 (+)
(-)
(+) 2
(+)
3
(+) 2 (+)
(-) -2
DMF(tfm): DEN(tf):
2
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
66
B A HA = 3
2,00m
HB = 3
VA = 6 VB = 10
2,00m 2,00m 2,00m 2,00m
3,00
m
3,00
m
4t
2t 2t
1t/m
6tm6tm
C D E
F H
G
J
α
sen α = 0,6 cos α = 0,8
2 2
6
3
7.9 Quadro triarticulado: Solução:
(pelas forças da esquerda)
⎩⎨⎧
=∴=−
⇒=ΣtfH
HF
B
Bx 3
030
⎩⎨⎧
=∴=×+×−×−×−×
⇒=ΣtfV
VM
A
AB 6
000,2200,2400,4800,6200,80
⎩⎨⎧
=∴=+−−−−
⇒=ΣtfV
VF
B
By 10
0248260
0=GM⎩⎨⎧
=∴=+××−×−×−×
⇒tfHH
A
A
30600,200,4100,2200,600,46
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
67
B A
-3
C D E
F H
G
J
(-)
(-)-6
(-)-10
(-)
-2,4
-3,6-4,8
(-)
(-) -6 -6
α
3
(pela esquerda)!
DEN(tf):
Cálculos: ou:
68,036,06cossen −=×−×−=×−×−= αα AACd HVN
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=×−×−−=
−=×+−=××+−=
8,4cos3sen26
8,46,026sen216
αα
α
Je
Je
NouN
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=×+×−×−−=
−=×+−=
6.3sen2cos3sen26
6,3sen28,4
ααα
α
Jd
Jd
NouN
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=×−×−−−=
−=×−=
4.2cos3sen426
4,2cos3
αα
α
Ge
Ge
NouN
3−=GdN
4,2cos3 −=− α
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
68
B A
C D E
F H G
J
(-)
-4
(-)
-4
(-) -1,8
-0,2
(-) -3
3
3 (+)
(+)
1,4
(+)
2
DEC(tf): Cálculos:
3sen3cos6 =×−×= ααCdQ
( )( )⎩
⎨⎧
−=×−×−−==×−×−=
2,0sen3cos2264,1sen3cos26
αααα
Jd
Je
( )( )⎩
⎨⎧
=++−=−=×−×−−=
04268,1sen3cos426
Gd
Ge
QQ αα
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−−=
−=++−=
4826
42410
Fe
Fe
QouQ
00,4110 ×+−
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
69
H-10
B A
C D E
F G
J
-8 -3,5
(-)
-9
-9 (-)
4
-14
-0,5
-0,5
-6 -6 2
(-) -4
(-)
(-)
-1 -9
(-)
(-)
→ (pela direita)
→ (pela direita)
→ (pela esquerda)
→ (pela esquerda)
→ (pela esquerda)
M =
DMF(tfm): Cálculos:
13324 −=×−×=EcM
106324 −=×−×=FbM
624226346 −=×−×−×−×=GdM
14246 −=×−−=FeM
5,3200,215,4326
2
−=×−×−×=JM
44
00,200,22800,41
8
22
=××
+×
=⋅⋅
+⋅
=l
l baPqM
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
70
B A
3
1 2
B A
3
4
C
C D
B
A
3
C D 4
B A
3
C
8.0 Treliças planas isostáticas: Definição: São estruturas reticuladas, articuladas em todos os nós e carregadas apenas nos nós. Exemplos: I)
Tem estabilidade! Costitui uma cadeia rígida, (isto é, indeformável), pois sendo o trecho AB indeformável (por se tratar, isoladamente, de uma viga biapoiada), se lhe acrescentamos as 2 barras e concorrentes em C, este último ponto C fica também indeslocável, por estar preso a 2 pontos indeslocáveis A e B e, com isto, todo o conjunto ABC é indeslocável.
II)
Não tem estabilidade! Costitui uma cadeia deformável, pois os pontos C e D não estão ligados, cada um deles, a dois pontos indeslocáveis do reticulado.
Lei de formação: Partindo de uma treliça estável e adicionando duas barras a partir de dois nós diferentes pré-existentes, formando um novo nó, garante-se a estabilidade interna da treliça.
1 2 1 2
10t 1
2
5
1 2
10t
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
71
B
A
3
C D 4
G E 7
F
10
11
F1 F2 = -F1
Observação: Na treliça ideal não existem esforços cortantes nem fletores, só existe esforço normal, Classificação das treliças: I) Quanto a estacidade: I = r + b onde: b = número de barras (esforços normais a determinar); r = número de reações de apoio; I = número de incógnitas. Equações de equilíbrio = 2n (n = número de nós)
Casos: a) r + b < 2n → poderemos afirmar que a treliça é hipóstática;
b) r + b = 2n → o que sugere tratar-se de uma treliça isostática; o diagnóstico final só poderá ser dado após análise dos apoios externos e da lei de formação interna da treliça;
c) r + b > 2n → o que sugere tratar-se de uma treliça hiperestática; o diagnóstico final só poderá ser dado após análise.
II) Quanto à lei de formação:
a) Simples: são formadas pela adição de triângulos aos sistemas básicos (apoios ou mesmo triângulos). Exemplo:
61 2 5 9
8
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
72
b) Compostas: são formadas por associações entre treliças simples, através de ligações isostáticas. Exemplo:
c) Complexas: são as que não se enquadram nos casos anteriores. Exemplo: Cálculo dos esforços nas treliças: I) Método dos nós (ou equilíbrio dos nós) Exemplo:
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
73
E
α
sen α = 0,6 cos α = 0,8
A
1α α B
45
6 7
2
11 12
F
G
C D
H
3
89
13
10
E
A 1 B
4 5 6
11
F
Solução: I = r + b = 3 + 13 = 16 Isostática!
Eq. = 2n = 2 x 8 = 16
2t 2t 2t 2t
1t
2,00m 2,00m 2,00m
1,50
m
3t
1t
VE = 1,875 VG = 7,125
⎩⎨⎧
=∴=×+×−×+×+×+×−
⇒=ΣtfV
VM
G
GE 125,7
000,6100,400,6200,4200,2250,110
⎩⎨⎧
=∴=−+−
⇒=ΣtfV
VF
E
Ey 875,1
01125,780
⎩⎨⎧
=∴=−−
⇒=ΣtfH
HF
E
Ex 4
0310
HE = 4
2
1
1,875
N1 = 1
N4 = -2
N1 = 1
N4 = -2
4
N11 = -4,1667
N5 = 0,2083
N5 = 0,2083
2
N11 = -4,1667
N6 = -2,125
N6 = -2,125
N2 = 1,1666
N12 =-7
N7 =3,5417
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
74
F
C
8
12 G
B 2
6 7
D
10
13 H
8 9
C 3
G
2
7,125
N1 = 1
N7 = 3,5417
N7 = 3,5417
2
N8 = -7,125
N3
N13 =-7
N2 = 1
N5 = 0,2083 N6 = -2,125
N6 = -2,125
N11 = -4,1667 N12 =-7 N12 =-7
N8 = -7,125
1
N2
N10 = -2
3
N3 = 0
N7 = 3,5417 N8 = -7,125
N8 = -7,125
N13 =-7 N13 =-7
N10 = -2
N9
2 2
N3 = 0
N9 = 5
7,125 N12 =-7
N9 = 5
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
75
Cálculos: O nó inicial escolhido e o próximo, é sempre aquele com no máximo 2 incógnitas.
Observação: As barras são comprimidas quando o sentido da força axial se dirige para o nó e são tracionadas quando se afastam do nó.
Resumo: (+) tração
(-) compressão
b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 N(tf) 1 1,1666 0 -2 0,2083 -2,125 3,5417 -7,125 5 -2 -4,1667 -7 -7
⎩⎨⎧
→−=⇒=−−⇒=→=⇒=+−⇒=
)(2020)(1010
:44
11
compressãotfNNFtraçãotfNNF
Ay
x
ΣΣ
⎩⎨⎧
=⇒=⋅+−⇒=Σ−=⇒=⋅++⇒=Σ
tfNNFtfNNNF
Ey
x
2083,00sen2875,101667,40cos40
:55
11511
αα
⎩⎨⎧
−=⇒=−×−−⇒=Σ=⇒=+×−−⇒=Σ
tfNNFtfNNF
By
x
125,20sen2083,0201666,10cos2083,010
:66
22
αα
⎩⎨⎧
=⇒=×+−⇒=Σ−=⇒=+×+⇒=ΣtfNNF
tfNNNFF
y
x
5417,30sen125,2070cos1667,40
:77
12127
αα
⎩⎨⎧
−=⇒=+⇒=Σ−=⇒=+⇒=Σ
tfNNFtfNNF
Gy
x
125,70125,707070
:88
1313
⎩⎨⎧
−=⇒=−−⇒=Σ=⇒=Σ
tfNNFNF
Dy
x
202000
:1010
3
⎩⎨⎧
→=⇒=×+−−⇒=Σ=⇒=×−−⇒=Σ
)!(000sen512050cos370
: 99
identidadeFtfNNF
Hy
x
αα
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
76
E A
α
sen α = 0,6 cos α = 0,8
B
2
1 5
3
D
4
6
7
C
C
Exemplo:
Solução: I = r + b = 3 + 7 = 10 Isostática!
Eq. = 2n = 2 x 5 = 10
0,3kN
2,00m 2,00m
1,50
m
VA = 0,15 VE = 0,75
HA = 0
1,50
m
0,6kN
⎩⎨⎧
=∴=×−×−×
⇒=ΣkNV
VM
E
EA 75,0
000,46,000,23,000,40
⎩⎨⎧
=∴=−−+
⇒=ΣkNV
VF
A
Ay 15,0
06,03,075,00
00 =⇒=Σ Ax HF
N2 N7
0,6
⎩⎨⎧
=⇒=−⇒=Σ=⇒=⋅⇒=Σ
)(6,006,0000cos0
77
22
CkNNNFNNF
y
x α
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
77
E
B
A
D
Resumo: (T) tração
(C) compressão
b 1 2 3 4 5 6 7 N(kN) 0,25(C) 0 0,20(T) -0,2(T) 0 0,25(C) 0,6(C)
N4
0,75
N6
N1 N5
0,25
0,25
0,2
0,15
N3
0,6
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=∴
=⇒=⋅−−⇒=Σ=⋅+⇒=Σ
)(2,0
)(25,00sen6,075,000cos0
4
66
64
TkNN
CNNNFNNF
y
x
αα
0,3
⎩⎨⎧
=⇒=×+×+−⇒=Σ=⇒=×−⋅⇒=Σ
00sen25,0sen25,03,00)(25,00cos25,0cos0
55
11
NNFCkNNNF
y
x
αααα
0,2 )(2,00 3 TkNNFx =⇒=Σ
⎩⎨⎧
→=⇒=×−⇒=Σ→=⇒=+×−⇒=Σ
!000sen25,015,00!0002,0cos25,00
OKFOKF
y
x
αα
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
78
B A
B 1
5 6
10 11
F G
78
129
2 3
4
13
C D
H
E
S
S
A
B 1
5 6
10
F
2 C
S
S
B11
G
78
129
3
4
13
D
H
E
S
S
N2
N6
N11 N11
N6
N2
II) Método das seções (ou método de RITTER) Consiste em seccionar o sistema cortando 3 barras e estabelecer o equilíbrio de todas as forças de um lado da seção com as forças das 3 barras seccionadas. É indiferente analisar-se o equilíbrio da parte da esquerda ou da direita ou 3 equações gerais da Estática: ou
6
2
11
000
NFNMNM
y
F
D
⇒=Σ⇒=Σ⇒=Σ
6
2
11
00
0
NFNF
NM
y
x
D
⇒=Σ⇒=Σ
⇒=Σ
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
79
B
A
1
6
F
7
8
5
2 3
4
C D
G
E
9 10 11
1,00 1,00 1,00 1,001,00
1,00
1t 1t 1t
VA = 1,5 VB = 1,5
HA = 0
S1
S1
S3
S3
S2
S2
A
C
1t
1,5
N2
N5
N8
F
S1
S1
Exemplo: Solução: Seção 1-1:
1,00
⎩⎨⎧
=∴=×−×−×−×
⇒=ΣtfV
VM
B
BA 5,1
000,5100,3100,1100,60
⎩⎨⎧
=∴=−−−+
⇒=ΣtfV
VF
A
Ay 5,1
01115,10
00 =⇒=Σ Ax HF
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
80
D
B
G
E
1t
1,5
ou 2
S2
S2
- 2
Seção 2-2:
⎩⎨⎧
=−=∴=×+×−×
⇒=Σ)(2
000,100,1100,25,10
32
2
CNtfNN
M F
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==∴
=⋅−−⇒=
)(22
045sen15,10
118
8
TNtfN
NFyΣ
⎩⎨⎧
==∴=×−×
⇒=Σ)(5,1
000,15,100,10
75
5
TNtfNN
M C
⎩⎨⎧
=∴=×−×+×
⇒=Σ)(5,2
000,35,100,2100,10
6
6
TtfNN
M D
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−=∴
=⋅+−⇒=
)(22
045sen15,10
910
10
CNtfN
NFyΣ
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
81
A
B A
VA VB
C
D E F G H I J K
h
P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8
S2
S2 S1
S1
O3
D3
U3
V3
ϕ
Seção 3-3 por RITTER ou usando o método anterior (equilíbrio dos nós): Observações:
- A seção S-S deve cortar preferencialmente 3 barras não paralelas e não concorrentes em um mesmo ponto;
- A seção S-S deve ser contínua e não precisa ser uma reta; - A seção S-S deve começar e terminar fora da estrutura; - A seção S-S não pode cortar 2 vezes a mesma barra; - Quando a treliça for de altura constante e o carregamento for vertical, o cálculo pelo método de
RITTER, recai no cálculo de uma viga de substituição. Exemplo:
1,5
N1
1,5
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
→−=⇒=⋅+⇒=Σ
→−=⇒=⋅+⇒=Σ
)(2
23045sen5,10
)(12
23045cos5,10:
11
11
CtfNNF
CtfNNFA
y
x
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
82
A
VA
D E F G
P1 P2 P3
S1
S1
O3
D3
U3
F’
d
e f g h
i
j k
P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8
VA VB
Seção S1-S1: com Viga de substituição:
0
0
3
3
=×−
⇒=Σ
hUM
UM
g
G
Mg = momento na seção g da viga de substituição, de mesmo vão e mesmo carregamento
3322111 llll ×−×−×−×= PPPVM Ag
Obs.: li = braços de alavanca
0
0
3
3
=×+
⇒=Σ ′
hOM
OM
f
F
22111 lll ×−×−×= PPVM Af
hM
U g+=∴ 3
hM
O f−=∴ 3
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
83
A
VA
D E F G
P1 P2 P3 P4
S2
S2
V3
B A
VA VB
C D E F G
h = 3,00
2t 2t 2t 2t 2t
O1
V3
3,00 3,00 3,00 3,00
E’
O2 O3 O4
V0 V1 V2 V4
U1 U2 U3 U4
D1 D2 D3 D4
Seção S2-S2: Exercício:
0sen0sen)(
0
3
3321
3
=×+=×+−−−
⇒=Σ
− ϕϕ
DQDPPPV
DF
gf
A
y
00)(
0
3
34321
3
=−=−−−−−
⇒=Σ
− VQVPPPPV
VF
hg
A
y
gfQD −⋅−=∴ϕsen
13
hgQV −=∴ 3
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
84
g c
5t 5t
d e f
2t 2t 2t 2t 2t
9 9 12
(+)
3
-3
1
-1
(+)
(-)
Solução: Viga de substituição e seus diagramas DMF(tfm): DEC(tf) Teremos: - barras O:
0/
33/9/33/9/
0/
4
3
2
1
=−=
−=−=−=−=−=−=
=−=
hMO
hMOhMOhMO
g
f
d
c
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
85
A
5
C D
2 2
A
5
C
2
D1
S1
S1
D2
S2
S2
B
5
F G
2 2
D3 D4
S3
S3
ou
ou
ou
- barras U: - barras D:
2345sen
3
045sen250
1
1
−=−=∴
=×+−⇒=Σ
D
DFy
3/4/
43/12/33/9/
4
3
2
1
====
======
hMUhMUhMUhMU
f
e
e
d
2
045sen2250
2
2
−=∴
=×+−−⇒=Σ
D
DFy
2
022545sen0
3
3
−=∴
=−−+×⇒=Σ
D
DFy
dcQD −=−=∴ϕsen
11
edQD −−=∴ϕsen
12
feQD −=∴ϕsen
13
feQ −−
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
86
B
5
G
2
D4
S4
S4
A
5
C D
2 2
V1
S1
S1
B
5
F G
2 2
V3
S2
S2
ou
- barras V:
23
02545sen0
4
4
−=∴
=−+×⇒=Σ
D
DFy
ed
y
QVVF
−==∴
=−−−⇒=Σ
102250
1
1
fe
y
QV
VF
−−==∴
=+−−−⇒=Σ
1
05220
3
3
gfQD −=∴ϕsen
14
gfQ −−
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
87
C
2
E’
V2
V0
4 4
0
1
-3 -3 0
-2 1 0 -2
3 4 4 3
Resumindo:
40
0
2020
VVVFy
=−=∴
=−−⇒=Σ
00 2 =⇒=Σ VFy
23− 23−2− 2−
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
88
S2
C’
A
A’ D’ O1
V3
2,00 2,00 2,00 2,00
C
O2 O3
V0i V1i V2i
U1 U2 U3
D1i D2i D3i
h/2 = 2,00
B
Va = 5 Vb = 5
2t 2t 2t 2t 2t
h/2 = 2,00
D E F G
V0s
ϕ
D1s V1s D2s V2s
D3
S1
S1
S2 S3
S3
a c
b
2 2 2 2 2
d e f g
2,00 2,00
10 10
16 1618
(+)
Exercício: Treliça de Hassler: Solução: Viga de substituição e seus diagramas DMF(tfm):
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
89
5 3
1 (+)
(-) -5 -3
-1
A
A’ O1
U1
V0s
S1
S1
5
V0s
V0i
S2
A
A’
U1D1i
S2
5
D1s
ϕ
ϕ
0
0
DEC(tf):
⎪⎩
⎪⎨⎧
==∴
=×−⇒=Σ ′ 0
00
1
1
hM
U
hUMM
a
a
A
⎪⎩
⎪⎨⎧
=−=∴
=×+⇒=Σ
0
00
1
1
hM
O
hOMM
a
a
A
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
===−=∴
===−=∴
th
MOU
th
MOU
d
c
0,44
16
5,24
10
33
22
0sensen50 11 =⋅+⋅−⇒=Σ ϕϕ siy DDF
⎩⎨⎧
−=∴=⋅+⋅
⇒=Σsi
six DD
DDF
11
11 0coscos0
ϕϕ
tD
tQD
DD
s
aci
si
225
225
sen21
sen25
0sensen5
1
1
11
−=∴
=⋅×
=×
=∴
=⋅+⋅−∴
ϕϕ
ϕϕ
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−=∴
=−=∴
tDD
tDD
si
si
222
23
33
22
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
90
C
A’ 0
V0s
C’ ϕ
V1s
2,5 0
D’ ϕ
V2s
4,0 2,5
A
A’ 0
0
V0s
S1
S1
5
0
V0i
C’
A
A’
S3 5 2
2,5
2,5
V1i
2,5
00 0 =⇒=Σ sy VF2
25
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==∴
=−×⇒=Σ
tV
VF
s
s
y
5,225
0sen2
25
0
1
1ϕ
223
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==∴
=−×⇒=Σ
tV
VF
s
s
y
5,123
0sen2
23
0
2
2ϕ
⎩⎨⎧
−=∴=+
⇒=ΣtV
VF
i
iy 5
050
0
0
⎩⎨⎧
−=∴=+−−
⇒=ΣtVV
Fi
iy 5,0
05,2250
1
1
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
91
0
D
C’
A
A’ D’
C
S4
S4
E
V3
2
5 2 2
4,0
1,5
V2i
4,0
4,0 ϕ 4,0 ϕ
0
1,0
-2,5 -4,0
-5
0
-4,0 -2,5 0
0
-5
2,5 2,5
-0,5 -0,5 0,5 0,5
1,5 1,5
0 2,5 4,0 4,0 2,5
Resumo:
22
⎩⎨⎧
=∴=+−−−−
⇒=ΣtV
VF
i
iy 5,0
05,12250
2
2
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=∴
=−×+⇒=ΣtV
VFy
0,1
02sen2
220
3
3 ϕ
2
25−
2
25−
2
25
2
25
2
23−
2
23−
2
23
2
232
2
2
2
2
2−
2
2−
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
92
D A
2
E
l l
l
3P
VA = 2P VD = P
HA = 3P C B
3P
F 1
3 4 56
7 8 9
b a e
dc
f hi
g
Nós percorridos: A, E, B, F, D e C.
III) Cremona Roteiro: 1 - Verificar a isostaticidade da treliça; 2 - Calcular as reações de apoio;
3 - Atribuir uma letra (minúscula) diferente a cada intervalo entre duas forças externas aplicadas nos nós do contorno da treliça, assim como a cada triângulo formado pelas barras da treliça;
4 - Cada letra minúscula corresponde a um ponto do cremona, assim como a força externa
ou o esforço na barra compreendidas entre duas letras correspondente ao segmento de reta que una os pontos correspondentes a estas duas letras no cremona;
5 - Começando por um nó com apenas duas incógnitas (duas barras de esforços
desconhecidos), analisamos o seu equilíbrio graficamente, desenhando todas as forças que nele atuam, respeitando as suas direções, sentidos e módulos (todas na mesma escala);
6 - As forças são desenhadas em uma sequência tal que contornemos o nó no sentido
horário, partindo de qualquer força conhecida;
7 - Em seguida analisa-se o equilíbrio de outro nó, com apenas duas incógnitas, aproveitando-se o desenho já feito, e assim por diante, de forma que o desenho final (cremona) conterá todos os pontos (letras) e todas as forças da treliça.
l
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
93
b,d
a
e
c
fh
i
g
A B
6t 6t
6t 7
b
aNós percorridos: A, G, F, E, D, C e B. 6,00
2t
2t
2t
6,00
6,00
6,00 6,00 6,00
6,00
1
2
3 4
5
68
9
10
11
k
j e
d
i
h
cg
f
C D
E F
G
Escala:
⇔ 1tf
Observação: Durante o traçado do cremona, não precisamos nos preocupar se o esforço normal obtido é de tração ou de compressão
Exemplo: Obter o esforço na barra BF Pelo nó F: ⇒ esforço = hg (nó sempre percorrido no sentido horário);
(compressão, pois converge para o nó). ou Pelo nó B: ⇒ esforço = gh (compressão, pois converge para o nó). Exercício:
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
94
a
b c d e
k
g h
i j
-2,0
6,4
4,8
3,2 -3,2
-3,2
-4,8-2,9
3,0
-2,2
2,0
Escala:
⇔ 1tf
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
95
9.0 Princípio dos trabalhos virtuais: 9.1 Princípio de d`Alembert:
Para um ponto material em equilíbrio ( ), o trabalho virtual realizado pelo sistema de forças reais em equilíbrio que atua sobre o ponto, quando este sofre um deslocamento virtual arbitrário qualquer, é nulo:
9.2 Extrapolação dos teoremas gerais da Mecânica: a) Corpos rígidos:
Para um corpo rígido em equilíbrio, a soma algébrica dos trabalhos virtuais de todas as forças (reais) que sobre ele atuam é nula, para todos os deslocamentos virtuais arbitrários (compatíveis com os vínculos do corpo) que lhe imponhamos.
b) Corpo elástico:
Para um corpo elástico, que atingiu sua configuração de equilíbrio, o trabalho virtual total das forças externas que sobre ele atuam é igual ao trabalho virtual das forças internas (esforços simples) nele atuantes, para todos os deslocamentos virtuais arbitrários (compatíveis com os vínculos do corpo) que lhe imponhamos.
trabalho virtual
deslocamento virtual
m m1
0=Rr
P2 P1 Pi
Pn δr
0=⋅= δrr
RW
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
96
9.3 Princípio dos trabalhos virtuais:
É condição, necessária e suficiente, para que um sistema de forças esteja em equilíbrio que, para qualquer deslocamento virtual passível de se realizar, a soma dos trabalhos virtuais do sistema de forças seja nulo.
9.4 Cálculo de deformações (Fórmula de Mohr): Seja a estrutura dada um corpo elástico
δ2
R2H
R1V
F1
F2
F3
R2V
δ1 δ3
0332211 =×+×+× δδδrrr
FFF
Pi
RA VB
A B
. . dS P1 Pn
∆
m
δ
Estado de deformação: Esforços:
M, N e Q Deformações relativas: dϕ, ∆ds, e dh
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
97
Da Resistência dos Materiais, temos: ( rotação relativa de duas seções distantes de ds, devida a M ); ( deslocamento axial relativo de duas seções distantes de ds, devida a N ); ( deslizamento relativo de duas seções distantes de ds, devida a Q ); sendo: E = módulo de elasticidade longitudinal do material; G = módulo de elasticidade transversal; J = momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo neutro; S = área da seção transversal; χ = coeficiente de redução, resultante da distribuição não uniforme das tensões cisalhantes, cujo valor
varia com o tipo de seção. Seja calcular o deslocamento δ, no ponto m, na direção ∆: Seja agora: Então: Trabalho virtual das forças externas (cargas): (as reações não realizam trabalho)
EJMdsd =ϕ
ESNdsds =∆
GSQdsdh χ
=
A B
. . ∆
δ
Estado de carregamento: Esforços:
, e Deformações relativas:
BVAR
1=P QM N
ϕϕ dd =
dsds ∆=∆
dhhd =
δ⋅= PWext
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
98
Trabalho virtual das forças internas: Igualando-se: (Fórmula de Mohr) Observações:
a) A escolha do estado de carregamento deve ser tal que a carga associada à deformação δ, que se deseja calcular, nos forneça um trabalho virtual de forças externas igual a , sendo, pois, função da deformação a calcular e pode ser tabelado;
b) O estado de deformação pode ser provocado por:
- carregamento externo; - variação de temperatura; - movimentos (recalques) de apoio; - modificações impostas na montagem.
c) No caso mais geral (estruturas no espaço), teríamos a acrescentar ao trabalho virtual das forças
internas: sendo: Jt = momento de inércia à torção da seção ≠ Jp (momento de inércia polar).
d) Usualmente, na prática, podemos desprezar as parcelas: (exceto em caso de vãos muito curtos e cargas muito elevadas)
(exceto nos casos de arcos, escoras, tirantes, barras de treliça, pilares esbeltos e peças protendidas em geral)
∫ ∫∫∫ ∫∫ ++=+∆+=l lll ll GS
QdsQESNdsN
EJMdsMdhQdsNdMW χϕint
∫ ∫∫ ++=∴l ll GS
QdsQESNdsN
EJMdsM χδ
δ⋅PP
∫∫ =ll
tGJTdsTdT θ
∫ =l
0GS
QdsQχ
∫ =l
0ESNdsN
∫ ∫∫ ++=⋅l ll GS
QdsQESNdsN
EJMdsMP χδ
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
99
Exercício:
Calcular o deslocamento horizontal em D Solução: a) Estado de carregamento: DMF(tm): b) Estado de deformação: DMF(tm):
5t
5,00
3,00
A
B C
D
1
2
3
EJ = 2x104tm2 (constante)
-3
-3
-3 (-)
(-)(-)
1 x
-x
1=P
M
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
100
c) Cálculo de δ : Sendo EJ constante, temos: = 0
(Obs.: o sinal negativo significa que a deformação tem sentido contrário à força unitária aplicada)
Resposta: O deslocamento em D vale 7,88mm para a direita. Observação: As integrais representam trabalho de deformação na barra correspondente e, trabalho
independe do sistema de coordenadas adotado. Podemos então escolher livremente, para cada barra, um sistema de coordenadas para fins de cálculo das integrais.
9.5 Uso de tabelas para cálculo de : Kurt Beyer tabelou para diversos tipos de diagramas a integral , sendo Jb uma
inércia arbitrária chamada de inércia básica (usualmente igual à menor das inércias das barras). Então,
(+)
5 x
5x M
5
x
3x
3 3
∫∫∫∫∫∫ +=++==⋅21321
dsMMdsMMdsMMdsMMdsMMdsMMEJl
δ
mmm
dxxdxxxEJ
88,710875,7
5,157)3()3())(5(3
3
0
5
0
−=×−=∴
−=−−=⋅−
∫ ∫δ
δ
∫ EJdsMM
∫barrabarra
b dsMMJ
J
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
101
Exercício: Calcular a deformação no nó A
J1
J2 J3
J4
∑ ∫
∑∫∫
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⋅
==
barrabarra
bb
barrabarra
dsMMJ
JEJ
EJdsMM
EJdsMM
δ
δl
J1A = 100
A B
1 2
J2B = 100
J12 = 200
2t/m
8,00 δ
5,00
E = 210t/cm2 Jb = 100dm4
)( bEJ×
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
102
Solução: DMF(tm):
00,420010000,8
00,510010000,5
1212
21
11
=×==′
′==×==′
JJJJ
b
BA
bAA
ll
lll
M
8 8
16 (+)
M
1
-5 (-)
1=P
-5 -5
(-) (-)
=⋅δbEJ-5
x x 5−=M
16=mM
+ +
-5 x
= 0
= 0
.)(32 TABMM m →′l
mmm
tmEJb
2,10010159,0100210
333,213
333,213)5(1600,432 3
−=−=×
−=∴
−=−×××=⋅
δ
δ
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
103
C
B
5 4
6
3
2 A 1
2t 2t
3,00 3,00
3,00
ES =104t (constante)
N
26
2 2
2
-2
Exercício: Para a treliça dada, pedem-se: 1o) Deslocamento em A
2o) Modificações de comprimento da barra 5 para que o ponto A fique no mesmo nível de B
1o) Deslocamento em A: Solução: a) Estado de deformação: EN(t):
24− 22−
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
104
12
1
-1
b) Estado de carregamento: EN(t): c) Cálculo de : Observação: Se as áreas das barras fossem diferentes, teríamos: 2o) Variação de comprimento da barra 5 : Empregando-se o mesmo estado de carregamento do item anterior, vamos dar uma variação virtual
de comprimento à barra 5 tal que o ponto A tenha um deslocamento (também virtual) de ( ).
Teremos:
2− 2−N
Aδ
( )
+××+×−−+××+××=⋅∴
⋅=⋅
=
∑
∑∫
3123)1)(2(312)326(A
barraA
barraA
ES
NNES
ESdsNN
δ
δ
δ
l
∑ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×=⋅
barra
barraA S
NNEl
δ
tm10523)2)(22(23)2)(24( =×−−+×−−+
cmmA 05,10105,010105
4 ===⋅∴ δ
1=P
δ ′Aδ−
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
105
Trabalho virtual das forças externas: Trabalho virtual das forças internas: Igualando, obtemos: A barra 5 deve ser montada, pois, com um comprimento 0,74cm superior ao seu comprimento teórico. Observações: a) Este exemplo mostra a forma pela qual podemos dá contra-flechas em treliças;
b) O problema pode ser resolvido variando-se o comprimento de qualquer barra da treliça, desde que seu esforço normal seja diferente de zero.
9.6 Deformações devidas à variação de temperatura:
)05,1()1()( cmtP A −⋅=−⋅ δ
δδ ′⋅−=′⋅ )2(5 tN
cm74,02
05,1==′∴δ
N
m
te
Estado de deformação: Esforços nulos Deformações relativas:
dsh
ttd ei ⋅−
⋅=)(αϕ
dstds g ⋅⋅=∆ α
0=dh
ti ∆
δ h
Seção transversal:
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
106
Os ensaios de laboratório indicam que no estado de deformação, temos:
a) Deslocamento axial relativo: , sendo tg a variação de temperatura no centro de gravidade;
b) Rotação relativa: , sendo α o coeficiente de dilatação
linear. Calcular o deslocamento δ no ponto m e na direção ∆: Supondo seção constante, temos:
Estado de carregamento: Esforços:
, e
Deformações (virtuais) relativas:
QM N
ϕϕ dd =
dsds ∆=∆
0=hd
ds
h CG
1S 2Sϕd
dste ⋅⋅α
dstg ⋅⋅α
dsti ⋅⋅α
dstds g ⋅⋅=∆ α
dsh
tdsh
ttad ei ⋅
∆⋅=⋅
−⋅=
αϕ)(
m δ
1=P
∫∫∆⋅
+⋅⋅⋅=⋅ll
dsh
tMdstNP gααδ
ϕd
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
107
Observações: 1) Se as barras não tiverem seção constante:
2) Convenção de sinais: tração; tracionar as fibras internas da estrutura; quando se tratar de aumento de temperatura;
3) O valor de δ não é afetado pela existência de esforço cortante nem de momentos torçores no estado de carregamento.
Exercício: Calcular o deslocamento horizontal no ponto B
∫∫ ⋅∆⋅
+⋅⋅=⋅ll
dsMh
tdsNtP gααδ
MNg Ah
tAtP ⋅∆⋅
+⋅⋅=⋅∴ααδ
Área do diagrama de momento fletor
Área do diagrama de esforço normal
∫∫⋅
∆⋅+⋅⋅=⋅ll h
dsMtdstNP g ααδ
:)(+N
:)(+M
:)(),(),( +++ gei ttt
)( ei ttt −=∆
A B
6,00
4,00
-10°C +70°C
α = 10-5/°C
b
h = 0,50m
h/2
h/2
te = -10°C
ti = +70°C
tg = +30°C
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
108
B A
Solução: Diagramas e no estado de carregamento 9.7 Caso particular (variação uniforme de temperatura ∆t = 0): Seja
NM
1 1=P
(+) 1t
(+)
(+) (+)
4tm 4tm 4tm
MN
=⋅∆⋅
+⋅⋅= MNg Ah
tAt ααδ
=×+×××+
+++=−
− )400,6400,4212(
50,0)1070(10)1)(00,6)(30(10
55
cmm 58,6106580 5 =×= −
m
∆
1=P
tg atuante (uniforme)
AR BR
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
109
Temos: sendo, φ = ângulo entre e a tangente ao eixo da estrutura numa seção genérica do trecho A-m;
γ = ângulo entre e a tangente ao eixo da estrutura numa seção genérica do trecho B-m, assim, as integrais podem ser reescritas sob a forma: Trabalho realizado por ao percorrer a trajetória A-m Trabalho realizado por ao percorrer a trajetória B-m da Mecânica Racional, sabe-se que o trabalho independe da trajetória, dependendo apenas de seus pontos extremos, então: Exercício: Calcular o deslocamento horizontal em B devido a um aumento uniforme de 20°C
AR
BR
∫∫ ∆⋅+⋅⋅⋅=⋅ll
dshMtdstNP g ααδ
01
=∆=
tP
dsRtdsRtdsNtm
A B
m
BgAgg ∫ ∫∫ ⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅= γαφααδ coscosl
==∫∫ sdRdsRm
A A
m
A A
rrφcos
==∫∫ sdRdsRm
B B
m
B B
rrγcos
ARr
BRr
Para calcular deformações em estruturas isostáticas devida a uma variação uniforme de temperatura, a estrutura pode ser substituída por outra qualquer, desde que contenha os mesmos vínculos e pontos de aplicação de carga do estado de carregamento.
A B
10,00m
α = 10-5/°C
y
x
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
110
Solução: Substituição
1t tP 1=
N
+1t
mmmAt Ng 2002,0)100,10(2010 5 ==×××=⋅⋅=∴ −αδ
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
111
TABELA: Cálculo de para barras retas de comprimento l e inércia J.
M
MMMl′
BM
BMMl ′21
BMAM mM BM BM M
l⋅α l⋅β
BM
AM
BMAM
mM
BM
AM
BM
AM
M
l⋅α l⋅β
)(21
BA MMM +′lmMMl ′
32
BMMl ′32
BMMl ′31 MMl ′
21
MMBl ′21
MM Al ′21
)(21
BA MMM +′l
MM ml ′32
MM Bl ′32
MM Al ′32
MM Bl ′31
MM Al ′31
MMl ′21
BB MMl ′31
BAMMl ′61
)2(61
BAB MMM +′l
BmMMl ′31
BB MMl ′125
BAMMl ′41
BBMMl ′41
BAMMl ′121
)1(61 α+′ MM Bl
)2(61
BAB MMM +′l
)2(61
BAA MMM +′l
)]2(
)2(61
BAB
BAA
MMM
MMM
++
+′ [l
)(31
BAm MMM +′l
)5
3(121
B
AB
M
MM +′l
)3
5(121
B
AA
M
MM +′l
)3
(121
B
AB
M
MM +′l
)
3(121
B
AA
M
MM +′l
])1(61
B
A
M
MM
α
β
++
+′ )(1[l
mBMMl ′31
mAMMl ′31
)(31
BAm MMM +′l
mmMMl ′158
mBMMl ′157
mAMMl ′157
mBMMl ′51
mAMMl ′51
)1(31 αβ+′ MM ml
BB MMl ′125
BAMMl ′41
)5
3(121
B
AB
M
MM +′l
BmMMl ′157
BBMMl ′158
BAMMl ′3011
BB MMl ′103
BAMMl ′152
)5(121
2ββ −−
×′ BMMl
BBMMl ′41
BAMMl ′121
)3
(121
B
AB
M
MM +′l
BmMMl ′51
BB MMl ′103
BAMMl ′152
BBMMl ′51
BAMMl ′301
)1(121
2αα ++
×′ BMMl
)1(61 α+′ MM Bl
)1(61 β+′ MM Al
)]1(
)1(61
α
β
++
+′
B
A
M
MM [l
)1(31 αβ+′ MM ml
)5(121
2ββ −−
×′ MM Bl
)5(121
2αα −−
×′ MM Al
)1(121
2αα ++
×′ MM Bl
)1(121
2ββ ++
×′ MM Al
MMl ′31
∫ dsMMJJb ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛=′
JJ bll