Teoria dos Grafos

Aula 1

Jaqueline Faria de Oliveira E-mail: jaqueline.oliveira@prof.unibh.br

Conceitos Básicos

• Grafo é uma coleção de vértices e arestas

• Vértice é um objeto simples que pode ter nomes e outros atributos

• Aresta é uma conexão entre dois vértices

Problema das Pontes de Königsberg

No século XVIII havia na cidade de Königsberg um conjunto de sete pontes que cruzavam o rio Pregel . Elas conectavam duas ilhas entre si e as ilhas com as margens.

Por muito tempo os habitantes daquela cidade perguntavam-se se era possível cruzar as sete pontes numa caminhada contínua sem passar duas vezes por qualquer uma delas.

• Euler conseguiu resolver este problema.

• Ele conseguiu provar que não existia um caminho possível.

• Este problema hoje também conhecido como Caminho de Euler.

Problema das Pontes de Königsberg

Problema do desenho da casa

No desenho abaixo, uma criança diz ter posto a ponta do lápis numa das bolinhas e com movimentos contínuos (sem levantar e sem retroceder o lápis) traçou as linhas que formam o desenho da casa, traçando cada linha uma única vez.

A mãe da criança acha que ela trapaceou pois não foi capaz de achar nenhuma seqüência que pudesse produzir tal resultado. Você concorda com esta mãe?

Problema das Cores

• Dado um mapa plano, dividido em regiões, quantas cores são suficientes para colori-lo de forma a que regiões vizinhas não partilhem a mesma cor?

Problema das Cores

Teorema das quatro cores

• Somente 4 cores.

• Em 1852, Thomas Gutherie criou o Teorema das quatro cores.

O Problema das três casas e três serviços

• Suponha que tenhamos três casas e três serviços, a exemplo de:

• É possível conectar cada serviço a cada uma das três casas sem que haja cruzamento de tubulações?

GÁS LUZ ÁGUA

Não!

Problema do caminho de custo mínimo

• De forma a reduzir seus custos operacionais, uma empresa de transporte de cargas deseja oferecer aos motoristas de sua frota um mecanismo que os auxilie a selecionar o caminho de menor custo entre quaisquer

duas cidades por ela servidas. Como realizar esta tarefa?

Teoria dos Grafos

• Provavelmente vocês já se depararam com algum problema resolvido por grafos.

• Conseguem citar algum?

Teoria dos Grafos

• As aplicações da teoria dos grafos estão em diversas áreas: – Estudo de moléculas, construção de ligações em

química e estudo de átomos;

– Em biologia para estudar a migração de determinadas espécies e o impacto que ela causa em outras espécies.

– Em pesquisa operacional: Problema do caixeiro viajante; Problema da árvore geradora mínima; Problema de alocação de recursos.

– Em gerenciamento de projetos com os problemas

Atividade

Sr. MANUEL VAI À CIDADE

Sr. Manuel mora na roça e veio à cidade para ir à Igreja. Aproveitou a viagem ir ao Colégio do filho, à Padaria, no Açougue e ao Barbeiro. Sr. Manuel sabe que saindo do Barbeiro, existem três ruas que o levam à Padaria, Igreja e Escola. Na Igreja, existem três ruas que o levam ao Barbeiro, Padaria e Escola. Da Padaria, ele consegue chegar por quatro ruas ao Barbeiro, Igreja , Açougue e Escola. Da Escola ele consegue chegar ao Barbeiro, Igreja, Açougue e Padaria. Do Açougue só é possível chegar à Padaria e Escola.

Sr. Manuel quer passar por todas as ruas, pelo menos uma vez. Qual percurso ele deve fazer?

Atividade

BARBEIRO

IGREJA

AÇOUGUE

ESCOLA PADARIA

Perguntas

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