Testes de Hipóteses 1 Testes de Hipóteses Paulo J Azevedo DI - Universidade do Minho 2009 Revisão...

Testes de Hipóteses

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Paulo J Azevedo

DI - Universidade do Minho2009

Revisão à análise de significância estatística


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Testes de Significância

• Determinar o grau de confiança com que se pode concluir que os factos observados reflectem mais do que simples coincidência do acaso.

• Em Data Mining/Machine Learning são tipicamente usados para avaliar se a amostra que estamos a estudar (factos observados) é fruto do acaso (se é ou não significativa).

• Neste contexto são muitas vezes usados para detectar falsas descobertas.• Permitem também avaliar se tem cabimento esperar que os padrões

extraídos dos dados de treino (amostra) ocorram em dados futuros.

• Todos os testes envolvem duas componentes:– Um valor observado (obtido da amostra),– O valor esperado se nada mais do que variabilidade aleatória (acaso) operar

nesta situação.

• Vários testes disponíveis dependendo do tipo de situação:.


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Testes de Significância (2)

• Quando executamos um teste de significância estatística assumimos duas teses:– A hipótese especifica que a nossa investigação pretende averiguar (Hipótese

alternativa H1),– A antítese da hipótese a investigar (Hipótese nula H0)

• Exemplo com um ensaio médico: Avaliar se os resultados de um ensaio com um novo medicamente para prevenir AVCs aplicado a 1000 pacientes com 400 resultados positivos é significativo:– H0 - o novo medicamento não tem efeito significativo– H1 – o medicamento tem algum grau de eficácia na prevenção de AVCs

• Em termos estatísticos:– H0 – o número de resultados positivos não é significativamente diferente do

valor esperado por variabilidade aleatória MCE (mean chance expectation)– H1 – o valor observado é significativamente diferente do valor esperado.


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Direccionalidade da Hipótese Alternativa

• Dependendo do tipo de questão que queremos endereçar com a nossa hipótese alternativa, esta pode ser direccional ou não-direccional.– Não direccional, se não considerar em que sentido os

valores observados se afastam do valor esperado (MCE). Assim temos:

• H0: valor observado = MCE• H1: valor observado ≠ MCE

– Direccional, se considera em que sentido os valores observados se afastam do valor esperado (MCE).

• Ho: valor observado = MCE• H1: valor observado > MCE, ou em alternativa• H1: valor observado < MCE.


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Exemplo • Lançar 100 vezes uma moeda ao ar. Verificar se o número de caras

obtido (59) é significativo (se a moeda é equilibrada o valor esperado é 50% do número de testes).

• Usando a Binomial, com N=100,k=59,p=0.5,q=0.5.

• Notar que há mais 9 caras do que o esperado!• De todos os possíveis cenários com 100 lançamentos, apenas

4.46% têm no mínimo 59 caras. O resultado dos nossos lançamentos é significativo (probabilidade ≤ 0.05)

H1: nº caras > MCE.(Hipótese direccional)

One-sided ou One-tailed test

Este valor é denominado por p-value.


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Exemplo • Agora para uma hipótese alternativa não direccional.• No nosso caso, H1: nº de caras ≠ MCE.• Ou seja, responder à pergunta: “Em 100 lançamentos, qual é a

probabilidade de obter um excesso de caras ou coroas (>50) tão grande ou igual ao valor obtido (59)”.

• Neste teste, o valor observado não é significativo (0.0892 > 0.05)

• A pergunta do teste anterior era: “Em 100 lançamentos, qual é a probabilidade de obter um excesso de caras (>50) tão grande ou igual ao valor obtido (59)”

H1: nº caras ≠ MCE.(Hipótese direccional)

Two-sided ou Two-tailed test

Valor da estatística das observações.z = ((k - μ ) ± 0.5) / σ


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Algumas Definições• p-value: é a probabilidade de obter (de forma aleatória) um

resultado tão ou mais extremo do que o que foi observado, assumindo que a hipótese nula é verdadeira. Isto é P(Obs ≥ MCE | H0)

• Interpretação alternativa, p-value é o grau de contradição da hipótese nula pelas observações na amostra estudada. Quanto menor, maior o grau de contradição.

• α é o grau de significância. O valor tradicional é 5%, mas pode também ser de 1% ou outros valores entre [0,1].

• grau de confiança (1 - α).

• α também define a região critica i.e. região onde a hipótese nula é rejeitada. α está relacionado com o erro Tipo I.

• Erro tipo I, rejeitar H0 quando ela é verdadeira (α).• Erro tipo II, não rejeitar H0 quando ela é falsa (β).

• Força do teste (power of the test): probabilidade de correctamente rejeitar H0. quando esta é falsa e não rejeitá-la quando ela é verdadeira. É, respectivamente, (1 - α) e (1 – β).


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Intervalos de Confiança• Em alternativa aos p-values, podemos usar intervalos de confiança.

Usa-se para estimar parâmetros da população usando a amostra e.g. estimar média (μ) de uma população usando média da amostra (x).

• O grau de confiança C = 1- α determina a probabilidade de o intervalo produzido pelo método usado incluir o verdadeiro valor do parâmetro a estimar. Trabalha sempre com a estatística do teste.

• Para C =0.95, z*=1.96, então IC = [x-1.96+σ/√n , x+1.96+ σ/√n]


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Teste Binomial• Testa a significância do desvio de uma amostra

representando um conjunto de experiências de Bernoulli em relação à distribuição teórica esperada dessas observações i.e as variáveis são dicotómicas – sucesso/insucesso.

• É um teste exacto !– Um teste de significância exacto é um teste onde todas as

condições assumidas para a derivação da distribuição onde o teste estatístico é baseado são satisfeitas. Consequentemente, leva também à obtenção de um p-value exacto (e não aproximado).

– Um teste aproximado é um teste onde a aproximação pode ser feita o mais precisa possível à custa da obtenção de uma amostra suficientemente grande.


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Teste Binomial (2)

• Parâmetros:– n, tamanho da amostra.– k, número de observações com sucessos em n.– p, probabilidade esperada para sucesso– q, probabilidade esperado para insucesso.– p = 1 – q (categorias dicotómicas!)

– Para one-sided test (H1: observações > MCE): • p-value = prob(k,n,p,q) + prob(k+1,n,p,q)+ prob(k+2,p,q) + … +

prob(n,n,p,q).

knk qpknk

nqpknprob

)!(!

!),,,(

Cálculo computacionalmente pesado! Por vezes faz-se uma

aproximação à Gaussiana (Normal)


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Testes Paramétricos• Estão relacionados com um ou mais parâmetros da

população (distribuição assumida) e.g. média, desvio padrão.

• Tipicamente é assumida a Gaussiana.• Testes de localização: relacionados com o valor

esperado da população (média), onde o centro da população está localizado.

• Vários tipos:– Uma amostra: dada uma amostra e um valor esperado de uma população,

testar se a amostra foi tirada da população com o valor esperado dado.

– Duas amostras independentes: dadas duas amostras independentes, testar se as amostra são originadas de populações com o mesmo valor esperado.

– Duas amostras dependentes: dadas duas amostras dependentes (paired), testar se as amostra são tiradas de uma população com o mesmo valor esperado (tipicamente 0 para verificar significância da diferença).


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Student t-test

• Assume uma distribuição Gaussiana (Normal)• Ideal para aplicar a amostra com N<30, para N≥30 devemos usar o

z-teste.• É um teste de médias.

• H0: μ = μ0 (μ0 é o valor esperado da população)

• H1: μ ≠ μ0, μ < μ0, μ > μ0 (dependendo de ser two-sided ou one-sided)

• Estatística do teste:

– onde N é o tamanho da amostra, X média na amostra, S desvio padrão na amostra.

• Quando H0 é verdadeira a TS segue uma distribuição tN-1 (N - 1 graus de liberdade i.e. nº de parâmetros que podem ser variados independentemente).

NS

XTS

/0


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Student t-test (one sample)

• Para um dado α fazemos o seguinte teste (sendo TS definida como):

• Para

– H1: μ ≠ μ0, TS ≤ -tN-1(α/2) ou TS ≥ tN-1(α/2)

– H1: μ < μ0, TS < tN-1(α)

– H1: μ > μ0, TS > tN-1(α)

• Rejeitar H0 se o teste for positivo.

• Os valores críticos de tN-1 podem ser obtidos de uma tabela…

NS

XTS

/0


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Distribuição t-student

• Upper critical values of Student's t distribution with degrees of freedom

• Probability of exceeding the critical value

Graus de liberdade

Valor crítico α

Valor da t-estatística


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Student t-test (amostras independentes)

• Usado para verificar se as amostras provêm de populações com diferentes médias.

• Três situações possíveis (e respectivas def. de TS):1. Amostras de tamanhos e variância diferente,

2. Amostras de tamanhos diferentes mas variância igual,

3. Amostras de tamanhos e variância igual.

• Se H0 for verdadeira TS segue uma distribuição tDF:

δ0 é a diferença entre valores

esperados das populações


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Student t-test (2) (amostras independentes)

• Três situações possíveis para testar H0

– H0: μA - μB = δ0

• Para um dado valor de α, rejeitar H0 se as condições forem satisfeitas:– H1: μA - μB ≠ δ0 , se TS ≤ -tGL(α/2) ou TS ≥ tGL(α/2)

– H1: μA - μB < δ0 , se TS < tGL(α)

– H1: μA - μB > δ0 , se TS > tGL(α)

• Os valores críticos de tGL são os mesmo da tabela apresentada anteriormente.


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Student t-test (paired test)

• É o t-test que nos vais ser mais útil.

• Assume amostra emparelhadas (por exemplo referente a observações no mesmo local ou tempo, etc).

• Determina se as amostras diferem de uma forma significativa, considerando as condições de que as diferenças entre pares são independentes e que seguem uma distribuição Normal.

• Hipóteses:

– H0: μΔ = 0

– H1: μΔ ≠ 0 , μΔ < 0 ou μΔ > 0

• Onde

– Δ = XA – XB é a diferença emparelhada entre as duas amostras,

– μΔ o valor esperado da diferença das populações.

– Onde Δ é a média das diferenças nas amostras, N o tamanho das amostras e SΔ o desvio padrão das diferenças nas amostras.

NSTS

/


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• Quando H0 é verdadeira TS segue uma distribuição tN - 1

• Para um dado α fazemos os seguintes testes:– H1: μΔ ≠ 0 , se TS ≤ -tN - 1(α/2) ou TS ≥ tN - 1(α/2)– H1: μΔ < 0 , se TS < tN - 1(α) – H1: μΔ > 0 , se TS > tN - 1(α)

• rejeitando H0 quando eles são verdadeiros. Os valores críticos de tN – 1 são os mesmo da tabela anterior.

• Notar que este teste acaba por ser one-sample (as diferenças entre pares formam uma só amostra)!

• Testes alternativos– Z-test quando N>30,– Mann-Whitney para amostras independentes de populações não

Normais.– Binomial, Wilcoxon para amostras emparelhadas de populações não

Normais.

Student t-test (2) (paired test)


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Teste de Mann-Whitney-Wilcoxon • Teste não paramétrico de localização. Avalia se duas amostras tem

origem na mesma população. Uma alternativa ao paired t-test.

• Assume que as observações são independentes e contínuas ou ordinais i.e. é possível estabelecer uma ordem sobre as observações.

• Testa (em vez de comparar médias) se as populações são idênticas. É um teste de ranks sinalizados (signed rank).

• Determina se há uma tendência em seriar mais alto uma amostra (observação) em relação à outra e.g. valores médicos antes e depois de tratamento. Hipótese nula assume que não há tendência.

• Hipóteses:– H0:ηA = ηB (nº de valores positivos ≈ nº de negativos i.e. não há tendência)

– H1:ηA ≠ ηB , ηA > ηB ou ηA < ηB


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Geração de ranks (com ties)

Amostra A

Amostra B Diferença entre amostras

rank das diferenças em valor absoluto

Valor absoluto da diferença

W é a soma dos ranks (sem valores nulos)

Diferenças nulas são ignoradas

Rank das diferenças com sinal

Tratamento de empates (ties): se duas ou mais diferenças têm o mesmo valor então todos passam a ter o valor médio desses

ranks. e.g. 3º,4º e 5ª dá rank 4 para todos.


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Teste de Mann-Whitney-Wilcoxon

• Procedimento:– Calcular XA – XB, ignorar casos com valor zero,

– Calcular |XA – XB|, rank deste valor e o rank sinalizado:

• + se XA – XB > 0

• - se XA – XB < 0

– (soma de um rank = N(N-1)/2, sendo N o nº de observações)– Calcular W = soma dos signed ranks

– Calcular δW

onde N é o nº de signed ranks considerados (sem os nulos).– Estatística do teste é:

6

)12)(1(

NNNW

W

Wz

5.0

Consultar valores críticos de z numa tabela própria. Com N > 20 aproxima à Normal.


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Teste de Associação• Testes não paramétricos que medem o grau de

dependência entre duas variáveis aleatórias. • Não assumem nenhum tipo de distribuição.• Assume observações de frequência de variáveis

categóricas. As variáveis da amostra estão “divididas” em categorias.

• As observações das duas variáveis são agrupadas em classes independentes (disjuntas).

• Tipicamente, os dados do teste estão representados em tabelas de contingência 2 x 2. No entanto podemos ter mais do que 2 dimensões.

• Testes a estudar– Teste do Χ2 (chi quadrado)– Teste exacto de Fisher,


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Teste do Χ2 • Hipóteses:

– H0 : as variáveis são independentes

– H1 : as variáveis não são independentes

• Sendo X e Y as nossas variáveis estas podem ser agrupadas em I (i=1,..I) e J (j=1,..,J) categorias numa tabela de contingência:

• Onde Nij é a frequência observada da var X com a categoria i conjuntamente com a var Y com a categoria j.

J

jiji NN

1


24

Teste do Χ2 (2) • Estatística do teste:

• eij é a frequência esperada para a célula (i,j):

• Se H0 for verdadeira, a TS segue a distribuição Χ2(I-1)(J-1).

• Nº de graus de liberdade = (I-1) x (J-1)• Para um dado α, rejeitamos a hipótese nula se:

– TS > Χ2(I-1)(J-1)(α)

J

j ij

ijijI

i e

eNTS

1

2

1

)(

N

NNe ji

ij


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H0 : tipo de tuberculose que causa a morte a estes indivíduos é independente do seu sexo.e11 = (4853 x 3804) / 5375 = 3434.6

Χ2 = (3534 – 3434.6)2 / 3434.6 + (1319 – 1418.4)2 / 1418.4 + …..

+ (252 – 152.6)2 / 152.6 = 101.35

Para α=0.05 temos Χ2(1)(1)(0.05) =3.84. Rejeitamos H0 se Χ2 > 3.84 o que é o caso.

Conclusão: a proporção de homens que morre de tuberculose tipo SR é diferenteda proporção de mulheres. Isto é, há evidências de uma associação entre tipo deTB e sexo.

Exemplo com tabela 2 x 2

Homens Mulheres Total

TB no SR 3534 1319 4853

Outras TB 270 252 522

Total 3804 1571 5375

Valor obtido da tabela de

distribuição do Χ2.

TB

SEXO


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Características do teste do Χ2 • É um teste não direccional. É sempre two-sided.• É um teste aproximado. O p-value é obtido por

aproximação. No problema anterior p-value < 0.00001.• Para observações pequenas é um teste pouco fiável.

Para valores esperado pequenos (eij < 5) não deve ser usado.

• No caso específico de tabelas 2 x 2 devemos usar a Correcção de Yates para continuidade.

• Para o problema anterior, Yates Χ2 = 100.39.

2

1

22

1

'5.0)(

j ij

ijij

i e

eNTS


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Teste Exacto de Fisher• O teste ideal para aplicar com tabelas de contingência

de dados pequenos esparsos e não balanceados.• Não sofre dos mesmos problemas do teste Χ2 • Embora seja aplicável noutras situações, vamos sempre

usar em tabelas 2 x 2 e com hipóteses alternativas direccionais (one-sided) i.e. afasta-se de H0 numa direcção específica!

• É um teste exacto, portanto um p-value exacto.• A ideia geral é considerando a tabela de observações,

“gerar” as tabelas com as mesmas margens, que são mais extremas que a observada, na mesma direcção da nossa observação e.g. que a proporção TB do tipo SR nas mulheres é menor que proporção TB tipo SR nos homens.


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Teste Exacto de Fisher (2)• Considerando a tabela de contingência 2 x 2 geral, temos:

• A probabilidade de obter (de forma aleatória) as observações desta tabela é:

• O p-value = ∑ p das tabelas tão ou mais extremas do que a observada. (tipicamente ∑ p: p < pobservada)

• Para o exemplo anterior p-value = 2.959442371307591e-22

Y1 Y2 Total

X1 a b a + b

X2 c d c + d

Total a + c b + d n

!!!!!

)!()!()!()!(

dcban

dbcadcbap

n = a+b+c+d

As margens estão a azul


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Goodness-of-fit(testes para a qualidade do ajuste)

• No nosso caso, vai servir para verificar se duas amostras foram retiradas de uma mesma população. Tradicionalmente são utilizados para verificar a qualidade da adequação (fit) de uma distribuição teórica em relação a um conjunto de observações (amostra) e.g. testar a Normalidade de uma amostra.

• Testes não paramétricos:– Para amostras de valores contínuos

• Kolgomorov-Smirnov

– Para amostras de valores categóricos• Pearson’s goodness-of-fit (Χ2)


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Χ2 Goodness-of-fit

• Verifica se duas amostras têm origem em populações idênticas.

• H0 : populações A e B são idênticas

• H1: populações A e B são diferentes

• As observações NA e NB são agrupadas em K (K > 2) categorias (disjuntas).

• Em cada amostra é contada a frequência absoluta de cada diferente ki categoria, com ki∈K.

• As frequências esperadas são calculadas da seguinte forma:

• com Nk = NkA + NkB , N = NA + NB sendo ∑ekA= NA e ∑ekB= NB

N

NNe k

AkA kAkkB eNe


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Χ2 Goodness-of-fit (2)

• A estatística do teste é:

• H0 é verdadeira se TS segue uma distribuição Χ2K-1

• Para um dado α, rejeitamos H0 se:

– TS > Χ2K-1(α)

K

k kB

kBkBK

k kA

kAkA

e

eN

e

eNTS

1

2

1

2 )()(


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Teste de Kolgomorov-Smirnov(duas amostras)

• É um teste exacto (Χ2 é aproximado) para amostras de valores

contínuos.• Assume distribuições contínuas onde a forma e os parâmetros da

função densidade de probabilidade são conhecidos• O teste compara a proximidade entre as funções de densidade

acumulada (CDF) de cada amostra (também conhecidas por funções de distribuição empirica).

• Encontra a máxima discrepância entre as duas CDFs e verifica se esta é estatisticamente significativa.

• CDF das amostras são definidas como (N = ∑xi):

ijj

iiA xxN

xxSxxF :)(:)(


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Teste de Kolgomorov-Smirnov (2)(duas amostras)

• H0 : FA(x) = FB(x)

• H1 : FA(x) ≠ FB(x)

• A estatística do teste é:

• Para um dado α, rejeitamos H0 se o seguinte teste for verdadeiro:

• Os valores críticos de √[(NANB )/(NA + NB )]D’(α) podem ser consultados na tabela da distribuição de Kolgomorov.

)()(max' xSxSDTS BAx

)(' ' DDNN

NN

BA

BA


34

Teste de Kolgomorov-Smirnov (3)(execução)

)()(max' xSxSDTS BAx


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Múltiplas Hipóteses• Controle da capitalização do acaso.

• Exemplo de situação típica:– Queremos contratar um corrector para investir na bolsa. A

função deste corrector é emitir previsões sobre a subida/descida do indicador PSI20 ao fim de cada dia. Queremos ter a garantia que não contratamos um charlatão (alguém cujas previsões não são melhores do que o acaso). Para avaliar esta possibilidade usamos um teste de 14 dias de bolsa. Se o consultar acertar em 11 ou mais dias então aceitamo-lo como fiável.

– São 11 em 14 dias porque há 50% de hipóteses de acertar em cada dia, logo há só 2.87% de acertar ao acaso em 11 ou mais dias.

– Assim, se um corrector for contratado porque passou o teste dos 11 dias, temos uma probabilidade ≤ 0.0287 de contratar um charlatão.

Teste Binomial com: n=14, k=11, p=0.5, q=0.5,

e H1: obs > MCE


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Múltiplas Hipóteses• Nova situação:

– Vamos imaginar agora que aceitamos 10 candidatos para esta função, onde vamos seleccionar o corrector com maior precisão.

– Para n candidatos, n > 1, cada charlatão tem 2.87% de passar o teste.

– Em geral, a probabilidade de seleccionar um charlatão

é ≤ 1 - (1 – 0.0287)n.

No caso de n=10, esta probabilidade é ≤ 25.3%

– Conclusão: Se não ajustarmos o nosso limite α, que define quando um corrector passa a ser considerado um charlatão, aumentamos a probabilidade de ocorrer um erro do tipo I.

– Com um nº suficientemente grande de charlatães entre os candidatos, iremos quase de certeza ter pelo menos um deles com um desempenho que passa qualquer limite α (sem a garantia de ele não ser um charlatão).


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Múltiplas Hipóteses (2)• Problema das Multiplas Comparações. Risco de erro tipo I

é não mais do que α.• Probabilidade de ocorrer um erro de tipo I aumenta com o

número de testes. • Para n testes αreal = 1 - (1 - α)n

• Usar Ajustamento de Bonferroni:– (corrigir α para n testes como sendo κ= α/n)– tendência a ser um crivo demasiado fino!

• Usar Ajustamento de Holm (k em vez de α).– Requer ordenação crescente dos p-values e ter disponíveis todos

estes valores antes de determinar valor de ajustamento (k). – Para n testes, )

1:max( 1

jnppk jiji


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Ajustamento de Bonferroni(utilização típica em Data Mining)

• Usar Ajustamento de Bonferroni (corrigir α para n testes como sendo κ= α/n).

• Usar layered critical values,• Em vezes de um cutoff global que corrige o α

inicial, obter vários α’L para cada nível L.

)('

max LL SL

Onde SL é o nº de padrões possíveis de gerar com tamanho L. Lmax é o tamanho máximo de um padrão. Temos a garantia que:

max

1

'L

L LL S


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Resumo

• Testes de significância,• Inferência estatística e controle de fenómenos

fruto do acaso,• Tipos de erro,• Testes paramétricos e não paramétricos,• Direccionalidade, poder do teste, região crítica,

p-value e intervalos de confiança,• Testes de localização, associação e goodness-

of-fit,• Múltiplas hipóteses e controle de erro,• Ajustamento do valor de significância (α).

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