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1/48
Modelagem Estatística
Testes de Hipóteses
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2/48Testes de Hipóteses
População
Conjectura (hipótese) sobre o comportamento de variáveis
Amostra
Resultados reais obtidos
Decisão sobre a admissibilidade da hipótese
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Exemplos de Hipóteses
A propaganda produz um efeito positivo nas vendas.
Um método de treinamento tende a aumentar a produtividade dos funcionários.
Dois métodos de treinamento produzem resultados diferentes.
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Hipóteses de um Teste
Ho - Hipótese Nula
H1 - Hipótese Alternativa
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Hipóteses de um Teste
Ho - Hipótese Nula - hipótese que será
suposta inicialmente como verdadeira.
É, basicamente, a negação do que o pesquisador deseja provar.
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Hipóteses de um Teste
H1 - Hipótese Alternativa - hipótese que será aceita, se os dados mostrarem evidências suficientes para a rejeição da hipótese nula.
Geralmente, é a própria hipótese da pesquisa.
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Exemplo
Ho: Em média, as vendas não aumentam com a introdução da propaganda.
H1: Em média, as vendas aumentam com a introdução da propaganda.
Ho: Em média, a produtividade não cresce com o treinamento.
H1: Em média, a produtividade cresce com o treinamento.
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Exemplo
Suspeita-se que uma moeda, utilizada em jogo de azar, seja viciada, isto é, que a probabilidade de sair “cara” seja diferente de 50%.
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Hipóteses
Ho: p = 0,5 (a probabilidade é 50%)
H1: p = 0,5 (a probabilidade não é 50%)
p - probabilidade de cara.
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Amostra
Para se tomar a decisão de se aceitar, ou não, que a moeda seja honesta, tomou-se uma amostra com 10 lançamentos e observou-se o número de caras.
(variável X - estatística do teste).
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ValorEsperado
Qual é o valor esperado para o número
de caras (variável X - estatística do teste)
se a probabilidade for realmente 50%?
5 caras
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Resultado da amostra
Valor esperado se a probabilidade for realmente 50%: 5 caras.
Situação 1: Valor obtido: X = 10 caras. Qual seria a conclusão?
Situação 2: Valor obtido: X = 7 caras. Qual seria a conclusão?
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Desvio Observado
Valor esperado seHo for verdadeira
Valor observadona amostra
Desvioocorreu porque Ho é falsa ?
ocorreu por acaso? (Ho verdadeira)
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Distribuição de Referência
Todo teste está associado a uma distribuição de probabilidades, usada para se verificar a adequação de Ho com o resultado observado na amostra.
No exemplo da moeda, a distribuição é binomial (n=10 e p=0,5).
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Exemplo
Distribuição
(n=10,
p=0,5).
X0.001 0.01
0.044
0.117
0.205
0.246
0.205
0.117
0.044
0.01 0.001
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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16/48Probabilidade
de Significância
(ps)
Probabilidade da estatística do teste acusar um resultado tão (ou mais) distante do esperado quanto o resultado ocorrido na amostra observada.
Pode ser compreendida como a probabili-dade do desvio observado ter ocorrido por acaso se a hipótese nula for verdadeira.
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Desvio Observado
Valor esperado seHo for verdadeira
Valor observadona amostra
Desvioocorreu porque Ho é falsa ?
ocorreu por acaso? (Ho verdadeira)
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Situação 1
A amostra apresentou 10 caras.
Se p = 0,5, a probabilidade da amostra apresentar X = 10 (ou X=0) caras é:
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Situação 1
ps = 0,002 ou 0,2%
X0.001 0.01
0.044
0.117
0.205
0.246
0.205
0.117
0.044
0.01 0.001
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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Conclusão...
ps = 0,2% (probabilidade do desvio ter ocorrido por acaso)
Qual seria a conclusão?
Rejeita-se Ho, ou seja, não se admite que o desvio tenha ocorrido por acaso.
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Situação 2
A amostra apresentou 7 caras.
Se p = 0,5, a probabilidade da amostra apresentar X = 7 ou mais (ou X=3 ou menos) caras é:
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Situação 2
ps = 0,344 ou 34,4%
X0.001 0.01
0.044
0.117
0.205
0.246
0.205
0.117
0.044
0.0100.001
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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Conclusão...
ps = 34,4% (probabilidade do desvio ter ocorrido por acaso)
Qual seria a conclusão?
Aceita-se Ho,ou seja, não se pode afirmar que o desvio não tenha ocorrido por acaso.
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Decisão
Se a probabilidade do desvio ter ocorrido por acaso for considerável (ps alta), não há evidências para se rejeitar Ho. Aceita-se Ho.
Quando a probabilidade do desvio ter ocorrido por acaso for considerada pequena (ps baixa), há evidências para a rejeição de Ho. Rejeita-se Ho.
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Nível de Significância
()
O nível de significância () é o limite para a probabilidade de significância a partir do qual se passa a rejeitar a hipótese nula do teste.
Representa a probabilidade tolerável de se rejeitar Ho quando esta for verdadeira.
Os valores mais comuns para o nível de significância são 5%, 10% e 1%.
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A hipótese nula pode ou não ser impugnada pelos resultados de um experimento. Ela nunca pode ser provada, mas pode ser desaprovada no curso da experimentação.
R. A. Fisher
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Exercício 1
Exercícios 1, 2 e 4, pg. 208.
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Testes Bilaterais
O teste bilateral é empregado quando se deseja detectar variações no parâmetro, tanto para mais quanto para menos.
Num teste bilateral, a hipótese alternativa (H1) diz que o parâmetro é diferente do valor estipulado na hipótese nula.
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Testes Bilaterais
No exemplo discutido, o teste é bilateral, pois se deseja detectar variações na probabilidade de sair cara tanto para mais quanto para menos, isto é, rejeita-se Ho quando se achar que a probabilidade de sair cara é diferente de 50%.
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Testes Bilaterais
HIPÓTESES
Ho: p = 0,5
H1: p = 0,5
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Testes Bilaterais
A probabilidade de significância é calculada assim:
X
ps / 2ps / 2
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Testes Unilaterais
O teste unilateral é empregado quando se deseja detectar se um padrão mínimo foi atingido (unilateral à esquerda) ou se um limite máximo não foi excedido (unilateral à direita).
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Testes Unilaterais
Num teste unilateral, a hipótese alternativa (H1) diz que o parâmetro é maior (unilateral à direita) ou menor (unilateral à esquerda) do que o valor estipulado na hipótese nula.
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Testes Unilaterais
No exemplo discutido, caso se desejasse testar apenas a possibilidade da probabilidade de cara ser maior que 50%, ter-se-ia um teste unilateral à direita. A rejeição de Ho dar-se-ia somente quando se achasse que a probabilidade fosse maior que 0,5.
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Testes Unilaterais
HIPÓTESES (unilateral à direita)
Ho: p = 0,5
H1: p > 0,5
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Testes Unilaterais
A probabilidade de significância seria calculada assim:
X
ps
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37/48
Testes Unilaterais
No exemplo discutido, caso se desejasse testar apenas a possibilidade da probabilidade ser menor que 50%, ter-se-ia um teste unilateral à esquerda. A rejeição de Ho dar-se-ia somente quando se achasse que a probabilidade fosse menor que 0,5.
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Testes Unilaterais
HIPÓTESES (unilateral à esquerda)
Ho: p = 0,5
H1: p < 0,5
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39/48
Testes Unilaterais
A probabilidade de significância seria calculada assim:
X
ps
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40/48
Exercício
Para cada um dos exemplos de hipóteses a seguir, indique qual abordagem (unilateral ou bilateral) é a mais adequada.
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41/48
Exercício
A propaganda produz um efeito positivo nas vendas.
Um método de treinamento tende a aumentar a produtividade dos funcionários.
Dois métodos de treinamento tendem a produzir resultados diferentes na produtividade.
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42/48
Exercício 2
Exercícios 8, 10 e 11, pg 211.
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43/48Testes
O que é preciso saber?
1. Hipóteses (para que serve o teste?)
2. Estatística do Teste (qual é a variável aleatória que é utilizada?)
3. Distribuição de Referência (qual modelo probabilístico deve ser empregado?)
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Teste para a Proporção
Hipótese nula: Ho: p = po
Distribuição de referência: Normal (válido quando a amostra for grande).
Estatística: )1.(.
.
00
0
ppn
pnyz
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Teste para a Proporção
Estatística: )1.(.
.
00
0
ppn
pnyz
n
interessedeatributoocomelementosdenúmero
n
yp ˆ
y’ = y – 0,5 se y > n.p0; ou
y’ = y + 0,5 se y < n.p0 (correção de continuidade)
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Hipótese nula: Ho: =
Distribuição de referência: t de Student, com (n-1) graus de liberdade (válido quando a amostra for grande ou a população tiver
distribuição normal).
Estatística:
Teste paraa Média
t =(X - n
S
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Estatística:
Teste paraa Média
X - média observada na amostraS - desvio padrão da amostrao - média considerada na hipótese nulan - tamanho da amostra
t =(X - n
S
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RealidadeHo verdadeira Ho falsa
AceitarHo
RejeitarHo
Decisão
Tipos de Erros
O KE r r o
T i p o II( )
E r r oT i p o I
( )O K