Teste de hipóteses - UFJF · râmetro da distribuição ou quanto a natureza da população...

Teste de hipóteses

Tiago M. Magalhães

Departamento de Estatística - ICE-UFJF

Juiz de Fora, 25 de outubro de 2019

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 1 / 45

Roteiro

1 Teste de hipóteses

2 Valor-p

3 Principais teste de hipóteses

4 Teste de hipóteses para tabelas de contingência

Roteiro

2 Valor-p

Teste de hipóteses

Hipótese estatística

É uma suposição que se faz, a partir de uma amostra, quanto ao pa-

râmetro da distribuição ou quanto a natureza da população (testes não-

paramétricos).

Teste de hipóteses

Hipótese estatísticaÉ uma suposição que se faz, a partir de uma amostra, quanto ao pa-

paramétricos).

Teste de hipóteses

Hipótese estatísticaÉ uma suposição que se faz, a partir de uma amostra, quanto ao pa-

paramétricos).

Teste de hipóteses

Tipos de hipóteses

H0 : hipótese de nulidade

H1 : hipótese alternativa

Teste de hipótesesÉ uma regra de decisão que consiste em aceitar ou rejeitar H0, baseado nos

dados amostrais.

Teste de hipóteses

Tipos de hipóteses H0 : hipótese de nulidade

Teste de hipóteses

É uma regra de decisão que consiste em aceitar ou rejeitar H0, baseado nos

dados amostrais.

Teste de hipóteses

É uma regra de decisão que consiste em aceitar ou rejeitar H0, baseado nos

dados amostrais.

Teste de hipóteses

dados amostrais.

Teste de hipóteses

dados amostrais.

Exemplos

Sorteamos uma pessoa e as hipóteses são construídas em relação à nacio-

nalidade: H0 : Brasileira

H1 : Não brasileira

Exemplos

Sorteamos uma pessoa e as hipóteses são construídas em relação à nacio-

nalidade: H0 : Brasileira

H1 : Não brasileira

Exemplos

Em um estudo sobre a média salarial da população brasileira, deseja-se

avaliar: H0 : µ = 1000

H1 : µ 6= 1000

Exemplos

Em um estudo sobre a média salarial da população brasileira, deseja-se

avaliar: H0 : µ = 1000

H1 : µ 6= 1000

Exemplos

O mesmo estudo anterior, mas avaliando a diferença salarial entre homens

e mulheres: H0 : µ1 − µ2 = 0

H1 : µ1 − µ2 6= 0

Exemplos

O mesmo estudo anterior, mas avaliando a diferença salarial entre homens

e mulheres: H0 : µ1 − µ2 = 0

H1 : µ1 − µ2 6= 0

Exemplos

Um estudo sobre a proporção de estudantes que conseguem emprego, em

até um ano, após a formatura: H0 : p ≥ 0, 5

H1 : p < 0, 5

Exemplos

Um estudo sobre a proporção de estudantes que conseguem emprego, em

até um ano, após a formatura: H0 : p ≥ 0, 5

H1 : p < 0, 5

Teste de hipóteses

Tipos de erro

Erro do tipo I (α). Probabilidade de rejeitarmos H0 quando H0 é

verdadeira.

Erro do tipo II (β). Probabilidade de aceitarmos H0 quando H0 é falsa.

Teste de hipóteses

Tipos de erroErro do tipo I (α).

Probabilidade de rejeitarmos H0 quando H0 é

verdadeira.

Teste de hipóteses

Tipos de erroErro do tipo I (α). Probabilidade de rejeitarmos H0 quando H0 é

verdadeira.

Teste de hipóteses

verdadeira.

Erro do tipo II (β).

Probabilidade de aceitarmos H0 quando H0 é falsa.

Teste de hipóteses

verdadeira.

Teste de hipóteses

verdadeira.

Teste de hipóteses

Decisão

Rejeitar H0 Aceitar H0

H0 verdade Erro do tipo I Decisão correta

H0 falsa Decisão correta Erro do tipo II

Teste de hipóteses

Decisão

Rejeitar H0 Aceitar H0

H0 verdade Erro do tipo I Decisão correta

H0 falsa Decisão correta Erro do tipo II

Exemplo

No estudo da proporção de alunos empregados, foi amostrado 20 dos for-

mados nos últimos 12 meses e todos ainda estavam desempregados após

um ano de formatura, isto é, a proporção (frequência) amostral foi igual a

zero. Porém, após um Censo, verificou-se que a proporção populacional era

0,75. Portanto, ocorreu o Erro do Tipo I.

Exemplo

No estudo da proporção de alunos empregados, foi amostrado 20 dos for-

mados nos últimos 12 meses e todos ainda estavam desempregados após

um ano de formatura, isto é, a proporção (frequência) amostral foi igual a

zero. Porém, após um Censo, verificou-se que a proporção populacional era

0,75. Portanto, ocorreu o Erro do Tipo I.

Procedimento para a realização de um teste de hipóteses

1 Enunciar as hipóteses H0 e H1.

2 Fixar o nível de significância, α, e identificar a distribuição associada

ao teste (normal, t, F, χ2).

3 Determinar as regiões de aceitação e rejeição de H0, baseados na hi-

pótese alternativa e no nível de significância.

4 Calcular a estatística do teste(

Z = X̄−µσ/√

n ; t = X̄−µS/√

n ; F = S2max

5 Conclusão: consiste em aceitar ou rejeitar H0, baseados em (3) e (4).

Z = X̄−µσ/√

n ; t = X̄−µS/√

n ; F = S2max

Z = X̄−µσ/√

n ; t = X̄−µS/√

n ; F = S2max

Z = X̄−µσ/√

n ; t = X̄−µS/√

n ; F = S2max

Z = X̄−µσ/√

n ; t = X̄−µS/√

n ; F = S2max

Z = X̄−µσ/√

n ; t = X̄−µS/√

n ; F = S2max

Roteiro

2 Valor-p

Valor-p

Definição

O valor-p (ou nível descritivo) é a probabilidade de se obter uma estatística

de teste igual ou mais extrema que aquela observada em uma amostra, sob

a hipótese nula.

Valor-p

DefiniçãoO valor-p (ou nível descritivo) é a probabilidade de se obter uma estatística

a hipótese nula.

Valor-p

DefiniçãoO valor-p (ou nível descritivo) é a probabilidade de se obter uma estatística

a hipótese nula.

Valor-p

Seja S uma estatística do teste qualquer e s o valor obtido com a amostra,

o valor-p é calculado da seguinte forma:

P(S ≥ s|H0) para testes unilaterais à direita.

P(S ≤ s|H0) para testes unilaterais à esquerda.

2×min {P(S ≤ s|H0), P(S ≥ s|H0)} para testes bilaterais.

Valor-p

Interpretação

Um valor-p pequeno significa que a probabilidade de obter um valor da

estatística de teste como o observado é muito improvável, levando assim à

rejeição da hipótese nula.

Valor-p

InterpretaçãoUm valor-p pequeno significa que a probabilidade de obter um valor da

Valor-p

InterpretaçãoUm valor-p pequeno significa que a probabilidade de obter um valor da

Roteiro

2 Valor-p

Teste de hipóteses para média µ

1o caso.

A variância populacional é conhecida.

H0 : µ = µ0

(a) H1 : µ 6= µ0 (bilateral)

(b) H1 : µ > µ0 (unilateral à direita)

(c) H1 : µ < µ0 (unilateral à esquerda)

2 Fixar α, com distribuição associada normal padrão.

1o caso. A variância populacional é conhecida.

H0 : µ = µ0

Região de

rejeição de

(α 2)

Região de

aceitação de

(1 − α)

Região de

rejeição de

(α 2)

− zα 2 0 zα 2x

Figura 1: Região crítica para H1 (a), bilateral

Região de

aceitação de

(1 − α)

Região de

rejeição de

0 zαx

Figura 2: Região crítica para H1 (b), unilateral à direita

Região de

rejeição de

Região de

aceitação de

(1 − α)

− zα 2 0x

Figura 3: Região crítica para H1 (c), unilateral à esquerda

4. Calcular a estatística do teste:

Zc = X̄ − µ0σ/√

5. Conclusão:

(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.

(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα.

(c) aceitaremos H0 se −Zα < Zc .

Zc = X̄ − µ0σ/√

5. Conclusão:

Zc = X̄ − µ0σ/√

5. Conclusão:

Zc = X̄ − µ0σ/√

5. Conclusão:

Zc = X̄ − µ0σ/√

5. Conclusão:

Zc = X̄ − µ0σ/√

5. Conclusão:

Zc = X̄ − µ0σ/√

5. Conclusão:

Zc = X̄ − µ0σ/√

5. Conclusão:

Exercício

Os indivíduos de um país apresentam altura média de 170cm e desvio padrão

de 5cm, com a altura seguindo uma distribuição normal.

Uma amostra de

40 indivíduos apresentou média 167cm. Podemos afirmar ao nível de 5%

que essa amostra é formada por indivíduos desse país?

Exercício

de 5cm, com a altura seguindo uma distribuição normal. Uma amostra de

40 indivíduos apresentou média 167cm.

Podemos afirmar ao nível de 5%

Exercício

2o caso.

A variância populacional é desconhecida e n > 30, a estatística do

teste é dada por:

Zc = X̄ − µ0S/√

em que S é o desvio padrão da amostra.

2o caso. A variância populacional é desconhecida e n > 30, a estatística do

teste é dada por:

Zc = X̄ − µ0S/√

teste é dada por:

Zc = X̄ − µ0S/√

teste é dada por:

Zc = X̄ − µ0S/√

Teste de hipóteses para a proporção

H0 : p = p0

(a) H1 : p 6= p0 (bilateral)

(b) H1 : p > p0 (unilateral à direita)

(c) H1 : p < p0 (unilateral à esquerda)

3 Região crítica: as mesmas apresentadas nas Figuras 1 a 3.

H0 : p = p0

Zc = f − p0√p0(1−p0)

5. Conclusão:

Zc = f − p0√p0(1−p0)

5. Conclusão:

Zc = f − p0√p0(1−p0)

5. Conclusão:

Zc = f − p0√p0(1−p0)

5. Conclusão:

Zc = f − p0√p0(1−p0)

5. Conclusão:

Zc = f − p0√p0(1−p0)

5. Conclusão:

Zc = f − p0√p0(1−p0)

5. Conclusão:

Exercício

Um fabricante de droga medicinal afirma que ela é eficaz em pelo menos

90% do casos de alergia.

Em uma amostra de 200 pacientes, a droga

curou 150 pessoas. A um nível de significância de 1% (z0,01 = −2, 33), a

afirmação do fabricante é legítima?

Exercício

90% do casos de alergia. Em uma amostra de 200 pacientes, a droga

curou 150 pessoas.

A um nível de significância de 1% (z0,01 = −2, 33), a

Exercício

Teste de hipóteses para a diferença entre as médias

1o caso.

As variâncias populacionais são conhecidas.

H0 : µ1 − µ2 = δ

(a) H1 : µ1 − µ2 6= δ (bilateral)

(b) H1 : µ1 − µ2 > δ (unilateral à direita)

(c) H1 : µ1 − µ2 < δ (unilateral à esquerda)

1o caso. As variâncias populacionais são conhecidas.

H0 : µ1 − µ2 = δ

Zc = (X̄1 − X̄2)− δ√σ2

+ σ22

5. Conclusão:

Zc = (X̄1 − X̄2)− δ√σ2

+ σ22

5. Conclusão:

Zc = (X̄1 − X̄2)− δ√σ2

+ σ22

5. Conclusão:

Zc = (X̄1 − X̄2)− δ√σ2

+ σ22

5. Conclusão:

Zc = (X̄1 − X̄2)− δ√σ2

+ σ22

5. Conclusão:

Zc = (X̄1 − X̄2)− δ√σ2

+ σ22

5. Conclusão:

Zc = (X̄1 − X̄2)− δ√σ2

+ σ22

5. Conclusão:

Exercício

Testar a hipótese da igualdade entre as médias, usando α = 4% (z0,04 =

2, 05), para o seguinte resultado amostral:

Amostra 1: n1 = 60; X̄1 = 5, 71; σ21 = 43.

Amostra 2: n2 = 35; X̄2 = 4, 12; σ22 = 28.

Exercício

Amostra 1: n1 = 60; X̄1 = 5, 71; σ21 = 43.

Amostra 2: n2 = 35; X̄2 = 4, 12; σ22 = 28.

Exercício

Amostra 1: n1 = 60; X̄1 = 5, 71; σ21 = 43.

Amostra 2: n2 = 35; X̄2 = 4, 12; σ22 = 28.

Teste de hipóteses para a diferença entre as proporções

H0 : p1 − p2 = δ

(a) H1 : p1 − p2 6= δ (bilateral)

(b) H1 : p1 − p2 > δ (unilateral à direita)

(c) H1 : p1 − p2 < δ (unilateral à esquerda)

H0 : p1 − p2 = δ

Zc = (f1 − f2)− δ√f1(1−f1)

n1+ f2(1−f2)

5. Conclusão:

Zc = (f1 − f2)− δ√f1(1−f1)

n1+ f2(1−f2)

5. Conclusão:

Zc = (f1 − f2)− δ√f1(1−f1)

n1+ f2(1−f2)

5. Conclusão:

Zc = (f1 − f2)− δ√f1(1−f1)

n1+ f2(1−f2)

5. Conclusão:

Zc = (f1 − f2)− δ√f1(1−f1)

n1+ f2(1−f2)

5. Conclusão:

Zc = (f1 − f2)− δ√f1(1−f1)

n1+ f2(1−f2)

5. Conclusão:

Zc = (f1 − f2)− δ√f1(1−f1)

n1+ f2(1−f2)

5. Conclusão:

Roteiro

2 Valor-p

Teste de hipóteses para tabelas de contingência

Tabelas de contingência

São tabelas utilizadas para registrar observações independentes de duas ou

mais variáveis aleatórias, normalmente qualitativas.

Tabelas de contingênciaSão tabelas utilizadas para registrar observações independentes de duas ou

Exemplo 1Número de alunos nos cursos de Enfermagem e Estatística por sexo.

Tabela 1: Distribuição dos alunos por sexo e curso escolhido.

CursoSexo

TotalMasculino Feminino

Enfermagem 15 85 100

Estatística 90 10 100

Total 105 95 200

CursoSexo

Total 105 95 200

CursoSexo

Total 105 95 200

Exemplo 2Número de alunos aprovados e reprovados por três professores.

Tabela 2: Distribuição dos aprovados por professores.

SituaçãoProfessor

TotalA B C

Aprovado 50 55 60 165

Reprovado 10 10 15 35

Total 60 65 75 200

SituaçãoProfessor

TotalA B C

Aprovado 50 55 60 165

Total 60 65 75 200

SituaçãoProfessor

TotalA B C

Aprovado 50 55 60 165

Total 60 65 75 200

Situação 1O teste do qui-quadrado é utilizado quando queremos verificar a existência

de associação (dependência) entre duas variáveis qualitativas

Situação 1O teste do qui-quadrado é utilizado quando queremos verificar a existência

de associação (dependência) entre duas variáveis qualitativas

1 H0 : Existe independência (não existe associação)

H1 : Não existe independência (existe associação)

2 Fixar α, com distribuição qui-quadrado com l − 1 e c − 1 graus de

liberdade, em que l é o número de linhas e c é o número de colunas

da tabela de contingência.

3 Região crítica:

Região de

aceitação de

(1 − α)

Região de

rejeição de

0 χα2

Figura 4: Região crítica para o teste χ2.

χ2c =

n∑i=1

m∑j=1

(Oij − Eij)2

em que Oij e Eij são, respectivamente, as frequências observadas e

esperadas na tabela de contingência e

Eij = total da linha i × total da coluna jtotal geral .

5. Conclusão: aceitaremos H0 se χ2c < χ2

[α;(l−1)(c−1)].

χ2c =

n∑i=1

m∑j=1

(Oij − Eij)2

[α;(l−1)(c−1)].

χ2c =

n∑i=1

m∑j=1

(Oij − Eij)2

[α;(l−1)(c−1)].

χ2c =

n∑i=1

m∑j=1

(Oij − Eij)2

5. Conclusão:

aceitaremos H0 se χ2c < χ2

[α;(l−1)(c−1)].

χ2c =

n∑i=1

m∑j=1

(Oij − Eij)2

[α;(l−1)(c−1)].

χ2c =

n∑i=1

m∑j=1

(Oij − Eij)2

[α;(l−1)(c−1)].

Situação 2O teste do qui-quadrado é utilizado quando queremos verificar se a distri-

buição de duas ou mais variáveis aleatórias são iguais, isto é, homogêneas.

As hipóteses neste teste são: H0 : Existe homogeneidade

H1 : Não existe homogeneidade

Os passos seguintes são exatamente os mesmos do teste para independência.

As hipóteses neste teste são:

H0 : Existe homogeneidade

Exercício 1Para os dados da Tabela 1, verificar ao nível de significância de 5% (χ2

0.05,1 =

3, 84), a existência de associação entre as variáveis sexo e curso escolhido.

Exercício 1Para os dados da Tabela 1, verificar ao nível de significância de 5% (χ2

0.05,1 =

3, 84), a existência de associação entre as variáveis sexo e curso escolhido.

Exercício 2Para os dados da Tabela 2, testar a um nível de 5% (χ2

0.05,2 = 5, 99), a hi-

pótese de que as proporções de estudantes reprovados pelos três professores

serem iguais.

Exercício 2Para os dados da Tabela 2, testar a um nível de 5% (χ2

0.05,2 = 5, 99), a hi-

pótese de que as proporções de estudantes reprovados pelos três professores

serem iguais.

Obrigado!

B [email protected]

Í ufjf.br/tiago_magalhaes

Departamento de Estatística, Sala 319

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