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18/08/2015 06:55 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

Estatística Aplicada I

Prof. Dr. Jorge Teófilo de Barros Lopes

Universidade Federal do Pará

Instituto de Tecnologia

Campus de Belém

Curso de Engenharia Mecânica

18/08/2015 06:55 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teste de Hipóteses

Capítulo VII

Universidade Federal do Pará

Instituto de Tecnologia

Teste de Hipóteses

Campus de Belém

Curso de Engenharia Mecânica

8/18/2015

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Introdução

Conceitos fundamentais

Testes de significância

VII – Teste de Hipóteses


Introdução




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7.1 Introdução

O teste de hipótese é outra técnica para se fazer

inferência estatística.

Na técnica do intervalo de confiança, o objetivo é se

aproximar do parâmetro populacional desconhecido.

No teste de hipótese, como o próprio nome indica,

formula-se uma hipótese quanto ao valor do parâmetro

populacional, e por meio dos elementos amostrais faz-se

um teste que indicará a aceitação ou a rejeição da

hipótese formulada previamente.


Introdução




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7.2 Conceitos Fundamentais

Hipótese estatística:

• É uma suposição quanto ao valor de um parâmetro populacional,

ou quanto a natureza da distribuição de probabilidade de uma

variável populacional.

Exemplos:

- A altura média da população brasileira é 1,65 m, isto é:

H: μ = 1,65 m;

- A variância populacional dos salários da empresa A é $30002:

H: σ2 = 30002;

- A distribuição de probabilidade das alturas dos moradores de

Belém é normal.



Teste de hipótese:

• É uma regra de decisão para aceitar ou rejeitar uma hipótese

estatística com base nos elementos amostrais.

Tipos de hipóteses:

• Hipótese nula (Ho): É a hipótese estatística a ser testada

(expressa em igualdade);

• Hipótese alternativa (H1): É dada por uma desigualdade.

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Tipos de hipóteses:

• Exemplos:

Ho: μ = 50,5 kg Origina um teste bicaudal.

H1: μ ≠ 50,5 kg

Ho: μ = 50,5 kg Origina um teste unicaudal à direita.

H1: μ > 50,5 kg

Ho: μ = 50,5 kg Origina um teste unicaudal à esquerda.

H1: μ < 50,5 kg



Tipos de erro

• Erro tipo I: Rejeição de uma hipótese quando ela é, de fato,

verdadeira.

• Erro tipo II: Aceitação de uma hipótese quando ela é, de fato,

falsa.

Ho verdadeira Ho falsa

Aceitar Ho Decisão correta (1 – α) Erro tipo II (β)

Rejeitar Ho Erro tipo I (α) Decisão correta (1 – β)

- A probabilidade α do erro tipo I é denominada “nível de

significância” do teste.

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Tipos de erro:

• O tomador de decisão deseja reduzir ao mínimo as probabilidades

dos dois tipos de erro.

• Entretanto, isso é uma tarefa muito difícil, pois para uma amostra de

determinado tamanho, a probabilidade de se incorrer em um erro

tipo II aumenta à medida que diminui a probabilidade do erro tipo I

e vice-versa.

• A redução simultânea dos erros poderá ser atingida pelo aumento do

tamanho da amostras.



O mecanismo dos erros

• Testar Ho: μ = 20 contra H1: μ > 20;

• Sabe-se que a variância populacional é igual a 16 (σ2 = 16), e que

a amostra tem 16 elementos (n = 16), ou seja:

20:H

16n1620:H

1

2

o

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O mecanismo dos erros:

20

• Para valores amostrais de próximos de 20 a hipótese Ho poderá

ser aceita; entretanto, como H1: μ > 20, deve existir um limite

crítico à direita para valores de . Assim: x

x

• Como é o estimador de μ, que por hipótese vale 20, tem-se: x



O mecanismos dos erros:

• A área cinza à direita de corresponde à probabilidade de rejeitar

Ho: μ = 20, quando esta hipótese é verdadeira; ou seja, a área

representa α (probabilidade de cometer o erro tipo I).

cx

μ = 20 cx

Região de aceitação

para Ho: μ=20

Região de rejeição

para Ho: μ=20

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• Para encontrar o limite crítico ( ) deve-se estabelecer o nível de

significância do teste (probabilidade máxima com a qual se

sujeitaria a correr o risco de um erro tipo I → α);

• Aqui será admitido α = 5%;

• Em seguida, passa-se da distribuição normal das médias para a

distribuição normal padrão.

cx




μ = 20 cx

α = 5%

Z

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64,21x

16

4

20x64,1ou

n

xZ

)1,0(NZn

;Nx

c

cc

d2d

• Regra da decisão para Ho:

64,21xquandoHAceitar

64,21xquandoHjeitarRe

co

co




• Tem-se grande probabilidade de aceitar Ho (95%) e pouca

probabilidade de rejeitar Ho (5%).

• Quando se aceita uma hipótese pode-se estar cometendo o erro tipo

II (aceitar Ho quando Ho é falsa). No exemplo dado, essa

probabilidade poderá ser de até 95%.

• Por outro lado, tem-se apenas 5% de chances para rejeitar Ho

quando Ho é verdadeira; todavia, quando se rejeita Ho pode-se

estar cometendo o erro tipo I (rejeitar Ho quando Ho é verdadeira).

Como a probabilidade neste caso é relativamente baixa (até 5%), a

decisão de rejeitar Ho é mais segura do que a decisão de aceitá-la.

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• Lógica do teste de significância:

Atribuem-se baixos valores para α, geralmente de 1% a 10%;

Formula-se Ho com pretensão de rejeitá-la, daí o nome de

hipótese nula;

Se o teste indicar a rejeição de Ho tem-se um indicador mais

seguro para a decisão;

Caso o teste indique aceitação de Ho, diz-se que, com o nível de

significância α, não se pode rejeitar Ho, e nestes casos a

decisão não é tão segura quanto a rejeição de Ho.




• Fixado α, pode-se determinar a probabilidade β de se cometer o

erro tipo II (aceitar Ho quando Ho é falsa).

• Para o cálculo de β (probabilidade de aceitar Ho, quando Ho é

falsa), admite-se outros valores para Ho, já que o seu valor original

é considerado falso (no exemplo, Ho: μ = 20 seria falso, na

realidade μ > 20);

• Essa suposição corresponde a uma infinidade de possíveis valores.

Para cada um desses valores de μ > 20 pode-se determinar o valor

de β condicionado à hipótese admitida. Assim, para um valor

qualquer, μ1 > 20, tem-se a seguinte configuração de β:

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• Se , por exemplo, for igual a 20,5, será aceita a hipótese falsa

Ho: μ = 20, quando na realidade a verdadeira hipótese é Ho: μ =

μ1.

x




• Quando se consideram valores de μ1 próximos de 20 tem-se

elevados índices para β. Observe no gráfico o deslocamento de μ1

para a esquerda:

• Quando μ1 = 21,64 tem-se P(β/μ1) = 50%, e esse valor irá

crescendo à medida que se consideram valores de μ1 menores que

21,64.

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• Quando μ = 21,64

50,00

16

4

64,2164,21ZP)64,21/64,21x(P)64,21/(P

Deslocamento da segunda curva para a esquerda até que μ1 = 21,64




• Quando μ = 22

3594,036,0

16

4

2264,21ZP)22/64,21x(P)22/(P

Deslocamento da segunda curva para a direita até que μ1 = 22

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O mecanismo dos erros:

• Assim:

Ho: μ = μ1 β 1 - β

20,50

21,00

21,64

22,00

0,8729

0,7389

0,5000

0,3594

0,1271

0,2611

0,5000

0,6406

• Quando se tem hipóteses próximas à hipótese original que se está

testando, os valores de β são elevados, diminuindo à medida que o

valor de μ1 se afasta do valor testado.



Curva característica de Operação (CCO):

• Curva que expressa o comportamento do erro β em função das

diversas hipóteses alternativas feitas para Ho, fixando-se o nível de

α. No exemplo analisado, a CCO é dada por:

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Curva Característica de Operação (CCO):

• À medida que o

tamanho da amostra

aumenta consegue-se

menores valores para

o erro β, admitindo-se

um valor de α baixo

(entre 1% e 10%).


Introdução




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7.3 Testes de Significância

São os mais usados nas pesquisas;

Consideram apenas o erro α

Procedimento para a sua realização:

1. Enunciar as hipóteses Ho e H1;

2. Fixar o limite do erro α e identificar a variável do teste;

3. Das tabelas estatísticas, considerando α e a variável do teste,

determinar as regiões críticas (RC) e a região de aceitação (RA)

para Ho;

4. Com os elementos amostrais, calcular o valor da variável do teste;

5. Concluir pela aceitação ou rejeição de Ho pela comparação do

valor obtido no 4º passo com RA e RC.



Teste de significância para as médias

1. Ho: μ = μo

H1: uma das alternativas: (a) μ ≠ μo (b) μ > μo (c) μ < μo

2. Fixar α, admitindo-se que σ2 é desconhecida; a variável do

teste, neste caso, será t de Student, com φ = n – 1;

3. Com o auxílio da tabela t determinam-se RC e RA;

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4. Cálculo do valor da variável do teste;

5. Conclusões:

n

S

xt o1

cal

amostradatamanhon

padrãodesvioS

nulahipótesedavalor

amostralmédiax:onde

o

a) Se – tα/2 ≤ tcal ≤ tα/2 , não se pode rejeitar Ho.

Se tcal > tα/2 ou tcal < –tα/2 , rejeita-se Ho.

b) Se tcal < tα , não se pode rejeitar Ho.

Se tcal > tα , rejeita-se Ho.

c) Se tcal > -tα , não se pode rejeitar Ho.

Se tcal < -tα , rejeita-se Ho.




• Exemplo: Os dois registros dos últimos anos de um colégio,

atestam para os calouros admitidos uma nota média de 115 (teste

vocacional). Para testar a hipótese de que a média de uma nova

turma é a mesma, tirou-se, ao acaso, uma amostra de 20 notas,

obtendo-se a média 118 e desvio padrão 20. Admitir α = 5%.

1. Ho: μ = 115

H1: μ ≠ 115

2. α = 0,05; Variável t com φ = 20 – 1 = 19 graus de liberdade

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• Exemplo:

3.

4.

5. Como -2,093 ≤ tcal ≤ 2,093, não se pode rejeitar Ho: μ = 115

para o nível de significância α = 5%.

2,093 -2,093

α/2 = 0,025 α/2 = 0,025

67,0

2020

115118tcal



Teste de significância para variâncias

1. Ho: σ2 = σo

2

H1: uma das alternativas: (a) σ2 ≠ σo2 (b) σ2 > σo

2 (c) σ2 < σo2

2. Fixar α; escolher a variável qui-quadrado com φ = n – 1;

3. Com o auxílio da tabela χ2 determinam-se RC e RA;

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Teste de significância para variâncias


5. Conclusões:

2

o

22

cal

S)1n(


amostraliânciavarS

amostradatamanhon:onde

2

o

2

a) Se χ2inf ≤ χ2

cal ≤ χ2sup , não se pode rejeitar Ho.

Se χ2cal > χ2

sup ou χ2cal < χ2

inf , rejeita-se Ho.

b) Se χ2cal < χ2

sup , não se pode rejeitar Ho.

Se χ2cal > χ2

sup , rejeita-se Ho.

c) Se χ2cal > χ2

inf , não se pode rejeitar Ho.

Se χcal < χ2inf , rejeita-se Ho.



Testes de significância para variâncias

• Exemplo: Para testar a hipótese que a variância de uma

população é 25, tirou-se uma amostra aleatória de 25 elementos

obtendo-se S2 = 18,3. Admitindo-se α = 10%, efetuar o teste de

significância unicaudal à esquerda.

1. Ho: σ2 = 25

H1: σ2 < 25

2. α = 0,10; Variável χ2 com φ = 25 – 1 = 24 graus de liberdade

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Testes de significância para variâncias

• Exemplo:

3.

4.

5. Como χ2cal > 15,7 não se pode rejeitar Ho: σ

2 = 25 para o nível

de significância de 10%.

56,1725

3,18)125(2

cal

α = 0,10

φ = 24

χ2inf =15,7



Teste de significância para proporções

1. Ho: p = po

H1: uma das alternativas: (a) p ≠ po (b) p > po (c) p < po

2. Fixar α; escolher a variável normal padrão Z;

3. Com o auxílio da tabela de distribuição normal padrão

determinam-se RC e RA;

Zα/2

α/2 α/2 α α

-Zα/2 Zα Zα

(a) (b) (c)

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5. Conclusões:

n

)p1(p

pfZ

oo

o

cal

amostradatamanhon

amostralpadrãodesvioS

nulahipótesedavalorp

amostranaevento

dorelativafrequênciaf:onde

o

a) Se – Zα/2 ≤ Zcal ≤ Zα/2 , não se pode rejeitar Ho.

Se Zcal > Zα/2 ou Zcal < –Zα/2 , rejeita-se Ho.

b) Se Zcal < Zα , não se pode rejeitar Ho.

Se Zcal > Zα , rejeita-se Ho.

c) Se Zcal > -Zα , não se pode rejeitar Ho.

Se Zcal < -Zα , rejeita-se Ho.




• Exemplo: As condições de mortalidade de uma região são tais

que a proporção de nascidos que sobrevivem até 60 anos é de 0,6.

Testar essa hipótese ao nível de 5% se em 1000 nascimentos

amostrados aleatoriamente, verificou-se 530 sobreviventes até 60

anos.

1. Ho: p = 0,6

H1: p ≠ 0,6

2. α = 0,05; a variável escolhida é a normal (0,1)

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• Exemplo:

3.

4.

5. Como Zcal < -1,96, rejeita-se Ho, concluindo-se, ao nível de

5%, que p ≠ 0,6.

1,96 -1,96

α/2 = 0,025 α/2 = 0,025

Z

42,4

1000

)6,01(6,0

6,01000

530

Z cal



Teste de significância para a igualdade de duas variâncias

1. Ho: σ12 = σ2

2

H1: σ12 ≠ σ2

2 (alternativa mais comum)

2. Fixar α; escolher a variável F com φ1 = n1 – 1 graus de

liberdade no numerador, e φ2 = n2 – 1 graus de liberdade no

denominador.

3. Com o auxílio da tabela F determinam-se RC e RA;

F Finf Fsup

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5. Conclusões:

2

2

2

1

calS

SF

2amostradaiânciavarS

1amostradaiânciavarS:onde

2

2

2

1

Se Finf ≤ Fcal ≤ Fsup , não se pode rejeitar Ho.

Se Fcal > Fsup ou Fcal < Finf , rejeita-se Ho.




• Exemplo: Dois programas de treinamento de funcionários foram

executados. Os 21 funcionários treinados no programa antigo

apresentaram uma variância em suas taxas de erro de 146. No

novo programa, 13 funcionários apresentaram uma variância de

200. Sendo α = 10%, pode-se concluir que a variância é diferente

para os dois programas?

1. Ho: σ12 = σ2

2

H1: σ2 ≠ σ2

2

2. α = 0,10; variável F com φ1 = 21 – 1 = 20 e φ2 = 13 – 1 = 12

graus de liberdade.


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• Exemplo:

3.

4.

5. Como 0,43 ≤ Fcal ≤ 2,54 , não se pode rejeitar Ho ao nível de

significância de 10%.

73,0200

146

S

SF

2

2

2

1

cal


α = 0,05

α = 0,05

Finf=0,43 Fsup=2,54



Teste de significância para a igualdade de duas médias

1. Ho: μ1 = μ2 ou μ1 – μ2 = d, onde d é uma diferença admitida

entre as médias

H1: μ1 ≠ μ2 ou μ1 – μ2 ≠ d (caso mais comum)

2. Fixar α; a variável do teste é a normal padrão;

3. Com o auxílio da tabela Z determinam-se RC e RA;

1º Caso: As variâncias populacionais são conhecidas,

independentes e normais

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5. Conclusões:

amostradatamanhon

amostralpadrãodesvioS


amostralmédiax:onde

o

Se – Zα/2 ≤ Zcal ≤ Zα/2 , não se pode rejeitar Ho.



2

2

2

1

2

1

21

cal

nn

d)xx(Z



• Exemplo: Um fabricante produz dois tipos de pneus. Para o tipo

A, σ = 2500 milhas, e para o tipo B, σ = 3000 milhas. Um táxi

testou 50 pneus do tipo A e 40 do tipo B, obtendo duração média

de 24000 e 26000 milhas, respectivamente. Adotando-se um risco

α = 4%, testar a hipótese de que a vida média dos dois tipo é a

mesma.

1. Ho: μA = μB

H1: μ ≠ μB

2. α = 0,04

Variável Z → N(0,1)


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• Exemplo:

3.

4.

5. Como Zcal ≤ -2,05, rejeita-se Ho, concluindo-se que as vidas

médias dos pneus analisados são diferentes com risco de 4%.

2,05 -2,05

α/2 = 0,02 α/2 = 0,02

38,3

40

)3000(

50

)2500(

0)2600024000(Z

22cal





1. Ho: μ1 = μ2 ou μ1 – μ2 = d, onde d é uma diferença admitida

entre as médias

H1: μ1 ≠ μ2 ou μ1 – μ2 ≠ d (caso mais comum)

2. Fixar α; a variável do teste é t com φ = (n1 + n2 – 2);

3. Com o auxílio da tabela de t determinam-se RC e RA;

2º Caso: As variâncias populacionais são desconhecidas e

admitidas iguais, independentes e normais.

φ=(n1+n1 -2

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5. Conclusões:


2nn

S)1n(S)1n(S,

nn

nnS

d)xx(t

21

2

22

2

11

c

21

21

c

21

cal

Se – tα/2 ≤ tcal ≤ tα/2 , não se pode rejeitar Ho.

Se tcal > tα/2 ou tcal < –tα/2 , rejeita-se Ho.




• Exemplo: Na tabela abaixo estão registrados os índices de venda

em 6 supermercados para os produtos concorrentes da marca A e

marca B. Testar a hipótese de que a diferença das médias no índice

de vendas entre as marcas é zero. Admitir α = 5%.

Supermercado Marca A Marca B

1

2

3

4

5

6

14

20

2

11

5

12

4

16

28

9

31

10

Σ 64 98

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1. Ho: μA = μB

H1: μ ≠ μB

2. α = 0,05; variável t com φ = 6 + 6 – 2 = 10 graus de liberdade

3. RA e RC


2,2281 -2,2281

α/2 = 0,05 α/2 = 0,05



• Exemplo:

4.

5. Como -2,2281 ≤ tcal ≤ 2,2281, não se pode rejeitar a hipótese

de igualdade das médias, ao nível de 5%.

0,10S3,16x

9,5S7,10x

BB

AA


21,8266

100)16(8,34)16(Sc

18,1

66

6621,8

0)3,167,10(tcal

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Teste de significância para a igualdade de duas proporções

1. Ho: p1 = p2

H1: p1 ≠ p2

2. Fixar α; escolher a variável normal padrão Z;

3. Com o auxílio da tabela de distribuição normal padrão

determinam-se RC e RA;




5. Conclusões:

2

2

2

1

1

1

21

21

21

21

caln

xf

n

xf

nn

xxp̂

n

1

n

1)p̂1(p̂

ffZ

21

21

pepacomumestimadorp̂

amostraisrelativassfrequênciaf,f:onde

Se – Zα/2 ≤ Zcal ≤ Zα/2 , não se pode rejeitar Ho.



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• Exemplo: Deseja-se testar se são iguais as proporções de

homens e mulheres que lêem revista e se lembram de determinado

anúncio. Os resultadosas de amostras aleatórias independentes de

homens e mulheres encontram-se na tabela abaixo, onde x1 é o

número de homens que se lembram do anúncio e x2 é o

correspondente número de mulheres. Admitir α = 10%.


Homens Mulheres

x1 = 70

n1 = 200

x2 = 50

n2 = 200



• Exemplo:

3.


1. Ho: p1 = p2

H1: p1 ≠ p2

2. α = 0,1; variável escolhida é a normal (0,1)

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• Exemplo:

4.

5. Como Zcal > 1,64, rejeita-se a hipótese da igualdade das

proporções, concluindo-se, com risco 10%, que as proporções

são diferentes.

18,2

200

1

200

1)3,01(3,0

25,035,0Z30,0

200200

5070p̂

25,0200

50f35,0

200

70f

cal

21



FIM


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