Teste de Hipoteses

Teste de Hipoteses

Professora Ana Hermınia Andrade

Universidade Federal do AmazonasFaculdade de Estudos Sociais

Departamento de Economia e Analise

Perıodo 2016.1

Teste de Hipoteses

Teste de Hipoteses

O Teste de Hipoteses consiste em uma regra de decisao elaboradapara rejeitar (ou nao) uma afirmacao (hipotese) feita a respeito deum parametro populacional desconhecido, com base eminformacoes colhidas de uma amostra aleatoria.

Exemplo

Verificar se o salario medio de certa categoria profissional noBrasil e igual a R$1.500, 00.

Testar se 40% dos eleitores votarao em certo candidato nasproximas eleicoes.

Testar se um medicamento e mais eficaz que outro.

Teste de Hipoteses

Conceitos fundamentais

Hipotese Nula (H0): E a hipotese a ser testada.

Hipotese Alternativa (H1): E a hipotese a ser confrontada comH0.

O teste sera feito de tal forma que devera sempre concluir narejeicao (ou nao) de H0.

Como estamos tomando uma decisao com base eminformacoes de uma amostra, estaremos sujeitos a cometerdois tipos de erros.

Teste de Hipoteses

Conceitos fundamentais

Erro do tipo I: Rejeitarmos H0 quando H0 e verdadeira.

α = P(erro do tipo I) = P(rejeitar H0|H0 e verdadeira)

Erro do tipo II: Nao rejeitarmos H0 quando H0 e falsa.

β = P(erro do tipo II) = P(nao rejeitar H0|H0 e falsa)

Obs: α e denominado de nıvel de significancia do teste.

Teste de Hipoteses

Conceitos fundamentais

Nossas decisoes em um teste de hipoteses podem ser resumidas naseguinte tabela:

Teste de Hipoteses

Conceitos fundamentais

Estatıstica do teste: E a estatıstica utilizada para julgar H0.

Regiao crıtica do teste (RC): E formada pelo conjunto devalores que levam a rejeicao de H0. Ela depende do tipo dehipotese alternativa, do nivel de significancia (α) adotado, e dadistribuicao de probabilidade da estatıstica do teste.

Teste de Hipoteses

Etapas para a elaboracao de um Teste de Hipoteses

1 Definir as hipoteses nula (H0) e alternativa (H1);

2 Fixar o nıvel de significancia (α);

3 Determinar a estatıstica do teste;

4 Determinar a regiao crıtica do teste;

5 Calcular o valor da estatıstica do teste (com base numaamostra da populacao de interesse);

6 Se o valor calculado no passo 5 pertencer a RC, rejeitar H0,caso contrario, nao rejeitar H0;

7 Conclusao do teste.

Teste de Hipoteses

Teste de Hipoteses para a media populacional

Caso 1: σ2 conhecida.

1. Definicao das hipoteses:

H0 : µ = µ0 H0 : µ = µ0 H0 : µ = µ0

H1 : µ 6= µ0 ou H1 : µ < µ0 ou H1 : µ > µ0

2. Fixar o nıvel de significancia α;

3. Definir a estatıstica de teste:

Z =X − µσ/√n∼ N (0, 1)

Teste de Hipoteses

Teste de Hipoteses para a media populacional

4. Definir a regiao crıtica do teste (RC):

Teste de Hipoteses

Teste de Hipoteses para a media populacional

5. Com base nos valores observados da amostra, calcular o valorda Estatıstica de teste Z :

Zc =X − µ0

σ/√n

6. Se Zc ∈ RC ⇒ rejeitar H0 (aceitar H1).

Se Zc /∈ RC ⇒ nao rejeitar H0 (nao aceitar H1).

7. Concluir sobre a decisao tomada no passo 6.

Teste de Hipoteses

Exemplo

Os sistemas de escapamento de uma aeronave funcionam devido apropelente solido. A taxa de queima desse propelente e umacaracterıstica importante do produto. As especificacoes requeremque a taxa media de queima tem de ser 50 centımetros porsegundo. Sabemos que a taxa de queima e normalmentedistribuıda com desvio padrao de σ = 2 centımetros por segundo.O experimentalista seleciona uma amostra aleatoria de tamanho 25e obtem uma taxa media amostral igual a 51, 3 centımetros porsegundo. Que conclusoes poderiam ser tiradas ao nıvel designificancia, de 0, 05?

Teste de Hipoteses

Resolucao: Teste para media com σ2 conhecida

1. As hipoteses que queremos testar sao:

H0 : µ = 50 contra H1 : µ 6= 50

2. Fixamos α = 0, 05;

3. A estatıstica de teste e: Z = X−µσ/√n∼ N (0, 1)

4. A regiao crıtica e do tipo:

onde z = zα/2 = z0,025 = 1, 96 (tabela da distribuicao normalpadrao).

Teste de Hipoteses

Resolucao

5. A partir dos dados amostrais temos que:

Zc =X − µ0

σ/√n

=51, 3− 50

2/√

25

6. Temos que Zc ∈ RC pois 3, 25 > 1, 96, portanto, rejeitamos ahipotese nula.

7. Baseados nos dados amostrais, podemos concluir, ao nıvel de5% de significancia, que a taxa media de queima difere de 50centımetros por segundo.

Teste de Hipoteses

Teste de Hipoteses para a media populacional

Caso 2: σ2 desconhecida.

1. Definicao das hipoteses:

H0 : µ = µ0 H0 : µ = µ0 H0 : µ = µ0

H1 : µ 6= µ0 ou H1 : µ < µ0 ou H1 : µ > µ0

2. Fixar o nıvel de significancia α;

3. Definir a estatıstica de teste:

T =X − µS/√n∼ t(n−1)

Teste de Hipoteses

Teste de Hipoteses para a media populacional

4. Definir a regiao crıtica do teste (RC):

Teste de Hipoteses

Teste de Hipoteses para a media populacional

5. Com base nos valores observados da amostra, calcular o valorda Estatıstica de teste Z :

Tc =X − µ0

S/√n

6. Se Tc ∈ RC ⇒ rejeitar H0 (aceitar H1).

Se Tc /∈ RC ⇒ nao rejeitar H0 (nao aceitar H1).

7. Concluir sobre a decisao tomada no passo 6.

Obs: se σ2 for desconhecida, mas o tamanho da amostra forgrande, pode-se definir a regiao crıtica atraves da distribuicaoNormal padrao.

Teste de Hipoteses

Exemplo

Suponha que, no exemplo anterior, o valor do desvio padrao fossedesconhecido e o experimentalista o tivesse estimado, a partir daamostra como S = 2, 3 centımetros por segundo. Ao nıvel de 5%de significancia, que conclusao obterıamos acerca da queima mediado propelente?

Teste de Hipoteses

Resolucao: Teste para media com σ2 desconhecida

1. As hipoteses que queremos testar sao:

H0 : µ = 50 contra H1 : µ 6= 50

2. Fixamos α = 0, 05;

3. A estatıstica de teste e: T = X−µS/√n∼ t(n−1)

4. A regiao crıtica e do tipo:

onde t = tn−1;α/2 = t24;0,025 = 2, 064 (tabela da distribuicaot-student).

Teste de Hipoteses

Resolucao: continuacao

5. A partir dos dados amostrais temos que:

Tc =X − µ0

S/√n

=51, 3− 50

2, 3/√

25

6. Temos que Tc ∈ RC pois 2, 83 > 2, 064, portanto, rejeitamosa hipotese nula.

7. Baseados nos dados amostrais, podemos concluir, ao nıvel de5% de significancia, que a taxa media de queima difere de 50centımetros por segundo.

Teste de Hipoteses

Teste de Hipoteses para a proporcao populacional

1. Definicao das hipoteses:

H0 : p = p0 H0 : p = p0 H0 : p = p0

H1 : p 6= p0 ou H1 : p < p0 ou H1 : p > p0

2. Fixar o nıvel de significancia α;

3. Definir a estatıstica de teste:

Z =p − p0√p0(1−p0)

n

∼ N (0, 1)

Teste de Hipoteses

Teste de Hipoteses para a proporcao populacional

4. Definir a regiao crıtica do teste (RC):

Teste de Hipoteses

Teste de Hipoteses para a proporcao populacional

5. Com base nos valores observados da amostra, calcular o valorda Estatıstica de teste Z:

Zc =p − p0√p0(1−p0)

n

6. Se Zc ∈ RC ⇒ rejeitar H0 (aceitar H1).

Se Zc /∈ RC ⇒ nao rejeitar H0 (nao aceitar H1).

7. Concluir sobre a decisao tomada no passo 6.

Teste de Hipoteses

Exemplo

Dentre 1655 pacientes tratados com um medicamento A, 2, 1%tiveram reacoes adversas. A empresa que fabrica o medicamentoafirma que apenas 1, 2% dos usuarios tem algum tipo de reacaoadversa. Teste, ao nıvel de significancia de 1%, a afirmativa daempresa pode ser considerada verdadeira.

Teste de Hipoteses

Resolucao: Teste para porporcao

1. As hipoteses que queremos testar sao:

H0 : p = 0, 012 contra H1 : p 6= 0, 012

2. Fixamos α = 0, 01;

3. A estatıstica de teste e: Z = p−p0√p0(1−p0)

n

∼ N (0, 1)

4. A regiao crıtica e do tipo:

onde z = zα = z0,005 = 2, 33 (tabela da distribuicao normalpadrao).

Teste de Hipoteses

Resolucao

5. A partir dos dados amostrais temos que:

Zc =p − p0√p0(1−p0)

n

=0, 021− 0, 012√

0,012(1−0,012)1655

= 2, 57

6. Temos que Zc ∈ RC, pois 2, 57 > 2, 33 portanto, rejeitamos ahipotese nula.

7. Ao nıvel de significancia de 1%, a amostra fornece evidenciasestatısticas suficientes de que o percentual de usuarios domedicamento que tem alguma reacao adversa e superior a1, 2%

Teste de Hipoteses

Valor p

Valor p: e a probabilidade de se obter um valor da estatısticade teste que seja, no mınimo, tao extremo quanto aquele querepresenta os dados amostrais, supondo que a hipotese nulaseja verdadeira.

A hipotese nula deve ser rejeitada se o valor p for muitopequeno. Na pratica, adota-se que se o valor p for menor ouigual ao nıvel de significancia do teste, entao devemos rejeitara hipotese nula.