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Teoria de Estruturas II- Estruturas hiperestáticas –

Prof. Marcelo Lopes Martins Borges

26/janeiro/2015

Centro Universitário do Leste de Minas Gerais

UNILESTE

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Objetivo

Fornecer os fundamentos da análise estrutural através do cálculo de esforços e deslocamentos em estruturas hiperestáticas utilizando-se o Método das Forças e o Método dos Deslocamentos.

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Referências bibliográficas

• SORIANO, Humberto Lima, LIMA, Silvio de Souza. Análise de Estruturas – Método das Forças e Método dos Deslocamentos.

• SUSSEKIND, José Carlos. Curso de Análise Estrutural – Deformações em Estruturas – Método das Forças. Volume 2.

• SUSSEKIND, José Carlos. Curso de Análise Estrutural – Método das Deformações – Processo de Cross. Volume 3.

• MARTHA, Luiz Fernando. Métodos Básicos da Análise de Estruturas.

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Avaliações

• Primeira avaliação: 20 pontos.

• Segunda avaliação: 25 pontos.

• Terceira avaliação: 25 pontos.

• Trabalhos: 20 pontos.

• PI: 10 pontos.

• Total: 100 pontos.

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Programa

1 – Introdução2 – Métodos para análise de estruturas hiperestáticas3 – Método das forças4 – Método dos deslocamentos5 – Processo de Cross6 – Equação dos três momentos7 – Introdução ao estudo dos cabos (complemento da Teoria de

Estruturas I)

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1 – Introdução

Quando uma estrutura possuir muitas reações externas e/ou forças internas a serem determinadas usando apenas as equações de equilíbrio estático, ela será estaticamente indeterminada.

Até o início do século XX, as estruturas estaticamente indeterminadas eram evitadas o máximo possível pela maioria dos engenheiros.

O que fez mudar esta situação foi o avanço nos métodos de análise.

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1 – Introdução

A partir de uma breve revisão, as estruturas são classificadas quanto à estaticidade e estabilidade.

1 – Os apoios são em número estritamento necessário para impedir todos os movimentos possíveis da estrutura

O número de reações de apoio (número de incógnitas) é igual ao número de equações de equilíbrio.

Estrutura isostática - equilíbrio estável.

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1 – Introdução

2 – Os apoios são em número inferior ao necessário para impedir todos os movimentos possíveis da estrutura

O número de reações de apoio (número de incógnitas) é inferior ao número de equações.

O número de reações de apoio não impedi os deslocamentos de corpos rígidos.

Estrutura hipostática - equilíbrio instável.

São estruturas inadmissíveis para as construções.

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1 – Introdução

3 – Os apoios são em número superior ao necessário para impedir todos os movimentos possíveis da estrutura

O número de reações de apoio (número de incógnitas) é superior ao número de equações de equilíbrio, não sendo possível a sua determinação.

Sistema indeterminado, sendo necessário o uso das equações de compatibilidade de deformações.

Estrutura hiperestática - equilíbrio estável.

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1 – Introdução

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1 – Introdução

Na Teoria de Estruturas II, a análise se restringe ao estudo das estruturas em barras, desenvolvendo métodos e processos de determinação de esforços seccionais (tensões), deslocamentos e reações de apoio, com ênfase nas denominadas estruturas hiperestáticas ou estaticamente indeterminadas.

Apesar da resolução da estrutura hiperestática ser complexa, a maioria das estruturas é estaticamente indeterminada.

A seguir tem-se a comparação entre as estruturas isostáticas e hiperestáticas.

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1 – Introdução

1 - Os esforços internos em uma estrutura hiperestática têm, em geral, uma distribuição mais otimizada ao longo da estrutura.

Isto pode levar a menores valores para os esforços máximos.

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1 – Introdução

2 – Na estrutura hiperestática há um controle maior dos esforços internos por parte do analista estrutural.

Na Figura (a), as colunas são muito mais rígidas do que a viga, fazendo com que as rotações das extremidades da viga sejam muito pequenas, se aproximando do caso de uma viga com extremidades engastadas.

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1 – Introdução

Na Figura (c), a viga é muito mais rígida que as colunas, a ponto destas não oferecerem impedimento às rotações das extremidades das vigas, que se aproxima do comportamento de uma viga simplesmente apoiada.

A Figura (b) representa um caso intermediário.

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1 – IntroduçãoNa estrutura isostática, as reações de apoio e o diagrama de momentos fletores independem dos parâmetros de rígidez relativos entre vigas e colunas. O diagrama de momentos fletores só depende dos valores da carga e reações, e da geometria da estrutura, sendo considerado uma vantagem para este tipo de estrutura.

Outra vantagem é acomodarpequenas deformações.

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1 – IntroduçãoVantagens das estruturas hiperestáticas

1 – Economia de materiais

Um elemento estrutural de um determinado tamanho pode suportar mais cargas sendo parte de uma estrutura continua do que se for simplesmente apoiado.

Estruturas continuas de concreto ou aço são de menor custo sem as juntas, os pinos e tudo o mais necessário para torná-las estaticamente determinadas, como era frequentemente a prática no passado.

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1 – IntroduçãoVantagens das estruturas hiperestáticas

2 – Coeficientes de segurança maiores

Quando partes de estruturas estaticamente indeterminadas são submetidas a tensões acima de seus limites, frequentemente elas possuem a capacidade de redistribuir partes daquelas tensões para áreas menos solicitadas.

Há uma redistribuição dos momentos na estrutura.

Esse comportamento é semelhante ao caso no qual três homens estão caminhando com um tronco em seus ombros e um dos homens fica cansado e abaixa um pouco seu ombro. O resultado é a redistribuição da carga para os outros homens com modificações adequadas das reações, esforços cortantes e momentos fletores ao longo do tronco.

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1 – IntroduçãoVantagens das estruturas hiperestáticas

3 – Maior rigidez e menores deslocamentos transversais

Estruturas estaticamente indeterminadas são mais rígidas e apresentam menores deflexões do que estruturas estaticamente determinadas. Devido a sua continuidade, elas são mais espessas e possuem maior estabilidade em relação a todos os tipos de cargas (horizontais, verticais, móveis).

4 – Estruturas mais atraentes

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1 – IntroduçãoDesvantagens das estruturas hiperestáticas

1 – Recalque dos apoios

Podem causar variações nos momentos fletores, esforços cortantes, forças de reação e forças nos elementos estruturais.

2 – Desenvolvimento de outras tensões

A modificação das posições relativas dos elementos estruturais causada por variações de temperatura, má fabricação ou deformações internas dos elementos estruturais sob a ação de cargas pode ocasionar variações significativas das forças ao longo da estrutura.

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1 – IntroduçãoDesvantagens das estruturas hiperestáticas

3 – Dificuldade de análise e projeto

As forças em estruturas estaticamente indeterminadas não dependem apenas de suas dimensões, mas também das propriedades elásticas e geométricas de sua seção transversal (módulo de elasticidade, momentos de inércia e áreas).

Essa situação representa uma dificuldade de projeto: as forças não podem ser determinadas até que as dimensões dos elementos estruturais sejam conhecidos, e as dimensões dos elementos estruturais não podem ser determinados até que suas forças sejam conhecidas.

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1 – IntroduçãoDesvantagens das estruturas hiperestáticas

O problema é tratado admitindo-se dimensões dos elementos estruturais e calculando-se as forças, projetando-se os elementos para essas forças e calculando-se as forças para as novas dimensões e assim por diante, até que o projeto final seja obtido.

O projeto por esse método – o método das aproximações sucessivas – toma mais tempo do que o projeto de uma estrutura estaticamente determinada correspondente.

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1 – IntroduçãoDesvantagens das estruturas hiperestáticas

4 – Tensões reversas

Geralmente, ocorrem mais forças reversas em estrutura estaticamente indeterminadas do que em estrutura estaticamente determinada. Pode ser necessário material adicional em determinadas seções para que sejam resistidas condições de carregamento diferentes e para evitar falhas por fadiga.

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2 – Métodos

Estruturas estaticamente indeterminadas possuem mais forças desconhecidas do que equações de equilíbrio estático, sendo necessário equações adicionais. As forças além das necessárias para manter a estrutura estável são denominadas forças redundantes, e podem ser forças de reação ou forças nos elementos que fazem parte da estrutura.

Para a análise de estruturas hiperestáticas, têm-se dois métodos principais:

• Método das forças ou da flexibilidade ou da compatibilidade (MF)

As redundantes estáticas são selecionadas e removidas da estrutura de forma que reste uma estrutura estável e estaticamente determinada.

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2 – Métodos

É escrita uma equação de compatibilidade para cada local de onde foi removida uma redundante estática, e as equações resultantes são resolvidas a fim de fornecerem os valores numéricos das redundantes. A seguir podem ser usadas as equações da estática para calcular os esforços.

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2 – Métodos

• Método das deformações ou rigidez ou equilíbrio

Os deslocamentos dos nós necessários para descrever completamente a configuração deformada da estrutura são usados em um conjunto de equações simultâneas. Quando estas equações são resolvidas e os valores desses deslocamentos encontrados, estes são substituídos nas relações força-deformação de cada elemento estrutural para que sejam determinados vários esforços internos.

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2 – Métodos

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2 – Métodos

Para estruturas muito indeterminadas estaticamente, como edifícios com vários andares, o MF não é apropriado e útil para ser utilizado, sendo indicado o MD. Contudo, o MF fornecerá um entendimento do comportamento das estruturas indeterminadas.

O MD pode ser desenvolvido através do processo matricial, o qual é utilizado na análise computacional.

Atualmente, a análise matricial através dos computadores substitui quase completamente os métodos clássicos de análise nos escritórios de engenharia, porém o estudo dos métodos clássicos oferece um melhor entendimento do comportamento estrutural.

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2 – Métodos

“... Eficientes sistemas computacionais para a análise automática de estruturas são atualmente disponíveis e indispensáveis nos escritórios de projetos. Contudo, não é recomendável a sua utilização por usuário que não tenha capacidade de avaliação crítica dos resultados obtidos. Para isso, é necessário o conhecimento das potencialidades e limitações dos métodos implementados, e que se tenha “sentimento de comportamento das estruturas”. ...”

(Professor Humberto Lima Soriano, livro “Análise de Estruturas”, 2006)

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4 – Método das ForçasSistemática

1. Grau de hiperestaticidade.2. Escolha de um sistema isostático.3. Cálculo dos deslocamentos (coeficientes de flexibilidade).4. Resolução do sistema de equações de compatibilidade de

deslocamentos.5. Obtenção dos esforços finais.

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4 – Método das Forças 1º passo: grau de hiperestaticidade

• Número de esforços desconhecidos (reações de apoio e esforços internos) que supera o número de equações de equilíbrio disponível.

• Exemplo de cálculo do grau de hiperestaticidade

Pórtico plano com articulação (SORIANO, pgs. 75 e 76)

• A rótula em D expressa que não se tem transmissão de momento fletor da barra CD para a extremidade D das barras BD e DF.

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4 – Método das Forças 1º passo: grau de hiperestaticidade

• Na extremidade D da barra CD pode-se ter apenas esforço cortante e esforço normal, quando se “abre” a parte fechada CDEF, representada na

figura b: gint = 2

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4 – Método das Forças 1º passo: grau de hiperestaticidade

• OU quando se “abre” a seção extrema esquerda da barra CD, têm-se, nessa seção, momento fletor, esforço cortante e esforço normal. Isso é um esforço seccional a mais que o caso precedente, mas tem-se também a equação de equilíbrio adicional

• Logo gint = 3 1 = 2

0 CDDM

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4 – Método das Forças 1º passo: grau de hiperestaticidade

• Na figura estão representados quatro reações de apoio. Como no presente plano têm-se apenas 3 equações de equilíbrio da estática (Fx = 0 ,

Fy = 0, Mz = 0):

gext = 4 – 3 = 1

• Logo, o grau de indeterminação estática total é:

gtotal = gint + gext

gtotal = 1 + 2 = 3

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4 – Método das Forças 1º passo: grau de hiperestaticidade

Treliça plana

O grau de hiperestaticidade total pode ser determinado pela expressão:

b r = 2 n g OU g = b + r – 2 x n

onde: b = número de barras; r = número de reações de apoio; n = número de nós.

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4 – Método das Forças 1º passo: grau de hiperestaticidade

Exemplo:

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4 – Método das Forças 1º passo: grau de hiperestaticidade

Outra forma de se determinar o grau de hiperestaticidade para pórticos planos é através do procedimento geral do prof. Luiz Fernando Martha:

g = (nº de incógnitas do problema estático) – (nº de equações de equilíbrio)

As incógnitas do problema estático dependem dos vínculos de apoio da estrutura e da existência de ciclos fechados (anéis).

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4 – Método das Forças 1º passo: grau de hiperestaticidade

(nº de incógnitas do problema estático) =(nº de componentes de reação de apoio) + 3 x (nº de anéis)

(nº de equações de equilíbrio) = (3 equações do equilíbrio global) + (nº de equações vindas de articulações externas)

articulações externas = n – 1 se a articulação é completa na qual convergem n barras articulações externas = 1 se a articulação não for completa

Logo:g = [(nº de componentes de reação de apoio) + 3 x (nº de anéis)] – [3 + (nº de

equações vindas de articulações externas)]

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4 – Método das Forças 1º passo: grau de hiperestaticidade

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4 – Método das Forças 1º passo: grau de hiperestaticidade

Determinação do grau de hiperestaticidade para grelhas é análoga ao procedimento adotado para pórticos planos

• Uma barra de grelha tem três esforços internos: esforço cortante, momento fletor e momento torçor.