Teoria Das Estruturas I Parte 1

UNIVERSIDADE COMUNITRIA DA REGIO DE CHAPEC

UNOCHAPEC

3010059 - Teoria das Estruturas I.

Evandro Paulo Folletto

Avaliaes

1 avaliao G1 - contedo parcial;

2 avaliao G1 - contedo parcial;

Prova G2 - todo o contedo;

Prova G3 - todo o contedo.

Referncias

Os slides a seguir esto baseados nas seguintes referncias:

SSSEKIND, Jos Carlos. Curso de anlise estrutural: estruturas isostticas. 5. ed. Porto Alegre: Globo, 1980-1981. 366 p. : (Tcnica universal globo).

SORIANO, Humberto Lima. Esttica das estruturas. 2. ed. rev. e ampl. Rio de Janeiro: Moderna, 2010. 402 p. ISBN 9788573939095 (broch.).

UANG, Chia-Ming; GILBERT, Anne. Fundamentos da anlise estrutural. 3. ed. So Paulo: McGraw Hill, 2009. xxii, 790p. ISBN 9788577260591 (broch.).

HIBBELER, R. C. Resistncia dos materiais. 5. ed. So Paulo: Pearson, 2004. 670 p. ISBN 9788587918673 (broch.).

BEER, Ferdinand Pierre; JOHNSTON JNIOR, E. Russell. Resistncia dos materiais. 3. ed. So Paulo: Makron Books, 1996. xx, 1255 p. ISBN 85-346-0344-8.

Etapas do projeto estrutural

-Concepo estrutural

-Definio dos elementos estruturais (posies, dimenses iniciais);

-Definio dos materiais e suas propriedades;

-Definio das aes;

-Anlise estrutural

-Comportamento da estrutura perante as aes aplicadas;

-Clculo e anlise dos esforos e deslocamentos;

-Dimensionamento e detalhamento

-Etapa onde so dimensionados e detalhados todos os elementos estruturais.

Classificao das aes

-Quanto a frequncia

-Estticas

-Dinmicas

-Quanto a durao

-Permanentes

-Variveis

-Excepcionais

-Quanto a forma de aplicao

-Concentradas

-Foras

-Momentos

-Distribudas por unidade de comprimento

-Distribudas por unidade de rea

Tipos de elementos estruturais

Quanto s dimenses e s direes das aes os elementos estruturais podem ser classificados em unidimensionais, bidimensionais e tridimensionais.

-Unidimensionais (ou reticulares)

Estruturas em que uma das dimenses prevalece sobre as outras duas dimenses. Estruturas formadas por barras.

-Bidimensionais

Estruturas em que duas das suas dimenses prevalecem sobre a terceira.

-Tridimensionais

Estruturas em que as trs dimenses se comparam.

Apoios

A funo dos apoios de restringir graus de liberdade

das estruturas, fazendo com que apaream reaes nas

direes dos movimentos impedidos.

Apoios

-Apoio de primeiro gnero apoio mvel.

Reao: vertical

Deslocamento livre: horizontal e rotao (2 g.l.)

Apoios

-Apoio de segundo gnero apoio fixo.

Reao: vertical e horizontal

Deslocamento livre: rotao (1 g.l.)

Apoios

-Apoio de terceiro gnero engaste.

Reao: vertical, horizontal e rotao

Deslocamento livre: nenhum (0 g.l.)

Apoios

-Luva guia de deslizamento.

Reao: vertical e rotao

Deslocamento livre: horizontal (1 g.l.)

Apoios

-Patim.

Reao: horizontal e rotao

Deslocamento livre: vertical (1 g.l.)

Apoios

-Rotulado fixo.

Reao: rotao

Deslocamento livre: vertical e horizontal (2 g.l.)

Convenso de sinais Esforos internos

-Esforos normal:

-Esforo cortante:

-Esforo de flexo:

-Esforo de toro:

Reviso de estruturas isostticas

VIGAS

Vigas - Definio

O modelo de Viga tem barras dispostas sequencialmente em

uma mesma linha reta horizontal.

Carregamento: plano vertical.

Esforos: Momento fletor, cortante e normal.

Exemplos de vigas:

Vigas - Exemplos

Vigas - Estaticidade

-Classificao quanto ao equilbrio esttico (plano XY):

No plano, tem-se 3 equaes de equilbrio:

Fx = 0

Fy = 0

MA = 0 , onde A um ponto qualquer desse plano

A equao Fy = 0 pode ser substituda por MB = 0 desde

que o segmento AB no seja paralelo ao eixo Y.

Tambm, as equaes Fx = 0 e Fy = 0 podem ser

substitudas por MB = 0 e MC = 0, desde que os pontos A, B e C sejam pertencentes ao plano XY, mas no colineares.

Vigas - Estaticidade As vigas podem ser classificadas em hipostticas, isostticas e hiperestticas.

-Hiposttica: os apoios so em nmero inferior ao necessrio para impedir todos os movimentos possveis da estrutura.

N Equaes > N Incgnitas condio necessria e suficiente

-Isosttica: os apoios so em nmero estritamente necessrio para impedir todos os movimentos possveis da estrutura.

N Equaes = N Incgnitas condio necessria, mas no suficiente

-Hiperestica: os apoios so em nmero superior ao necessio para impedir todos os momentos da estrutura.

N Equaes < N Incgnitas condio necessria, mas no suficiente

Vigas - Estaticidade

Exemplo: Classificar as seguintes vigas em hipostticas,

isostticas e hiperestticas.

Vigas - Exerccio

Exerccio: determinar as reaes de apoio e os

diagramas de esforos internos da viga abaixo:


VIGAS GERBER

Vigas Gerber - Definio

A viga Gerber composta por uma associao de

vigas simples, biapoiadas e em balano, apoiando-se

uma sobre as outras e em apoios externos, de maneira

a formar um conjunto estvel isosttico. Nessa

composio, as ligaes so feitas por meio de rtulas.

E pelo menos um dos apoios dessa viga deve ser

projetado para absorver eventuais foras horizontais.



Vigas Gerber

Exemplo:

Vigas Gerber

As rtulas utilizadas podem ser classificadas da

seguinte forma:

Permite deslocamento horizontal e rotao.

(comportamento semelhante ao apoio de

primeiro gnero)

Permite apenas rotao.

(comportamento semelhante ao apoio de

segundo gnero)

Vigas Gerber - Estaticidade

A classificao das vigas Gerber seguem os mesmos

critrios mostrados para o caso das vigas simples,

podendo ser classificadas em:

- Hipostticas (estruturas sem estabilidade);

- Isostticas (estruturas com estabilidade);

- Hiperestticas (estruturas com estabilidade).

Lembrando que cada rtula presente na estrutura

adiciona uma equao de equilbrio ao sistema.

Vigas Gerber Exemplos

Exemplos de vigas Gerber isostticas:

Vigas Gerber - Exemplos

Outros exemplos de vigas Gerber hipostticas:

Vigas Gerber

Considerando a figura acima, nota-se que tem-se uma

rtula sobre o apoio B.

Prossegue-se o clculo da seguinte forma: considera-

se como se fossem duas vigas biapoiadas AB e BC

independentes.

A reao vertical de B obtida somando-se as duas

reaes VB dos trechos AB e BC.

Vigas Gerber

Exemplo de utilizao (Sssekind, 1981): construir

uma ponte em concreto, que se apoie nos pilares A, B

C, D.

1 Soluo:

2 Soluo:

Vigas Gerber

Vigas Gerber


diagramas de esforos internos da viga Gerber abaixo:


PRTICOS PLANOS

Prticos planos - Definio

So estruturas em barras retas ou curvas, orientadas

segundo qualquer direo, em um plano usualmente

vertical.



Obs.: a conveno dos sinais dos

esforos a mesma utilizada

anteriormente. Porm,

necessrio escolher uma posio

de observao de cada barra,

para se ter os correspondentes

lados superior e inferior.

Prticos planos - Exemplos

Prticos planos - Tipos

Biapoiado Engastado

Triarticulado Biapoiado com rtula

e tirante (ou escora)

Prticos planos


diagramas de esforos internos do prtico plano

abaixo:


PRTICOS PLANOS BARRAS CURVAS

Prticos planos barras curvas




abaixo:


Fazendo-se uma seo, obtemos as equaes de

esforos internos:

M() = P2. (R R.cos()) ; V() =

P2. sen() ; N() = -

P2. cos()


PRTICOS PLANOS COMPOSTOS

Prticos planos compostos

Semelhantemente s vigas Gerber, certos prticos

podem ser decompostos em partes isostticas que se

apiam entre si.


Obs.: As equaes para

obteno dos esforos

internos podem ser obtidas

considerando o prtico

plano decomponto

Prticos planos - Estaticidade

A classificao dos prticos planos segue os mesmos

critrios mostrados para o caso das vigas, podendo ser

classificadas em:




Lembrando que cada rtula presente na estrutura

adiciona uma equao de equilbrio ao sistema.




composto abaixo:


TRELIAS PLANAS

Trelias planas - Definio

Estruturas formadas por barras retas birrotuladas, sob foras externas apenas nas rtulas, desenvolvendo, assim, apenas esforos normais.

Trelias so idealizaes, pois assume-se:

- rtulas perfeitas;

- cargas apenas nas rtulas.

Contudo, em estruturas que:

- rigidez a flexo pequena em relao a axial;

- carga peso prprio pequena em relao s nodais;

- eixos geomtricos concorrentes em pontos nodais.

O modelo de barras birrotuladas conduz a resultados muito bons em comparao com dados experimentais, mesmo nos casos de ligaes entre barras que sejam semirrgidas, desde que os eixos sejam concorrentes em pontos nodais.

Modelo de trelias - Exemplos

Trelia plana - Estaticidade As trelias so classificadas em hipostticas, isostticas e hiperestticas. Para analisar a estaticidade das trelias, necessrio comparar o nmero de incgnitas (r + b) e o nmero de equaes de equilbrio (d.n).

Onde:

r = nmero de reaes de apoio;

b = nmero de barras;

d = Trelia plana, d = 2

Trelia espacial, d = 3

n = nmero de ns.

Trelia plana - Estaticidade

-Hiposttica (r+b < 2.n):

N Equaes > N Incgnitas condio necessria e suficiente.

-Isosttica (r+b = 2.n):

N Equaes = N Incgnitas condio necessria, mas no suficiente.

-Hiperesttica (r+b > 2.n):

N Equaes < N Incgnitas condio necessria, mas no suficiente.

Grau hiperesttico: r + b 2.n

Trelia plana mtodos de resoluo

Mtodos para resoluo de trelias planas:

- processo de equilbro dos ns;

- processo das sees (processo de Ritter);

- processo de substituio de barras;

- processo de Cremona.

Vamos nos ater aos dois primeiros mtodos:

- processo de equilbro dos ns;

- processo das sees (processo de Ritter).

Processo de equilbrio dos ns

Consiste em determinar os esforos normais em cada barra da trelia atravs do somatrio das foras transmitidas por cada barra a um n especfico.

Desta forma, em cada n tem-se duas equaes:

Fx = 0

Fy = 0

Em suma:

-deve-se comear por ns com apenas 2 incgnitas;

-resolver as duas equaes de equilbrio para encontrar os esforos normais atuantes;

-transmitir os vetores invertidos para as outras extremidades das duas barras.

Processo de equilbrio dos ns convenso de sinais

O mtodo de equilbrio dos ns avalia o esforo que

cada barra transfere para os ns analisados, desta

forma, os vetores analisados durante a resoluo

representam as reaes das barras ao esforo sofrido

por elas.

Ou seja:

- o esforo de trao est puxando os ns;

- o esforo de compresso est empurrando os ns.

Exerccio mtodo do equilbrio dos ns

Exerccio: Determinar, via mtodo do equilbrio dos

ns as reaes de apoio e os esforos atuantes nas

barras da trelia plana abaixo:

Processo das sees (mtodo de Ritter)

Este processo, em geral, utilizado quando deseja-se

descobrir os esforos em apenas poucas barras.

Esse processo baseia-se no fato de que, como a trelia

esta em equilbrio, cada uma de suas partes est em

equilbrio tambm.

Calcula-se as reaes de apoio com as equaes de

equilbrio (Fx = 0), (Fy = 0) e (M = 0), para,

ento, supor algumas barras seccionadas, cujos esforos

normais so calculados atravs da aplicao de equaes

de equilbrio a uma das partes em que ficou dividida a

trelia.

Processo das sees (mtodo de Ritter)

-A seo deve interceptar trs barras no paralelas nem

concorrentes no mesmo ponto, para podermos

determinar seus esforos com as equaes universais

da esttica.

Podem, entretanto, ocorrer sees de Ritter que

interceptem mais de trs barras e a partir das quais

consigamos determinar os esforos normais em

algumas das barras.

-As sees podem ter formas quaisquer, no

precisando ser retas, desde que sejam contnuas.

Exerccio mtodo das sees (Ritter)

Exerccio: Determinar, via mtodo das sees, as

reaes de apoio e os esforos atuantes nas barras

destacadas da trelia plana abaixo:


GRELHAS

Grelhas - Definio

Grelhas so constitudas de barras retas ou curvas

situadas em um plano, sob aes externas

perpendiculares a este plano, de maneira que tenham

apenas esforos de toro, flexo e cortante.

o caso do comportamento integrado das vigas de um

mesmo andar de um edifcio, quando se consideram

essas vigas apoiadas nos pilares.

Grelhas Equaes de equilbrio Levando em conta que as grelhas so estruturas espaciais e o seu carregamento ortogonal ao seu plano, as equaes de equilbrio se modificam.

Tomando como exemplo o sistema abaixo:

Tem-se as seguintes equaes de equilbrio:

Fy = 0 Mz = 0 Mx = 0

A primeira equao pode ser substituda por outra de um somatrio de momento nulo em relao a um eixo no plano XZ, no coincidente com os eixos das outras equaes de momento.

Grelhas - Estaticidade

Para identificar o tipo de equilbrio, recorre-se as

equaes de equilbrio de grelha como um todo, alm

das equaes devido a eventuais articulaes internas.

Por se tratarem de estruturas em barras, as grelhas

podem ser:




Grelhas Estaticidade

- Grelhas com 2 ou menos apoios:

- Grelhas com 3 apoios colineares:

Grelhas Exemplos

Os tipos mais comuns de grelhas so:

Grelha engastada

Grelha com 3 apoios

Grelhas

Como as grelhas so, de uma forma geral, dispostas no

plano horizontal, a identificao do lado inferior e

superior de cada barra. Mas, para definir o sinal do

esforos cortante, necessrio definir o lado de

observao de cada barra.

Grelhas

Exerccio: baseando-se na grelha abaixo, determinar

os diagramas de esforos internos e as reaes de

apoio.

Vigas-balco [carga pontual]

As grelhas constitudas por barras curvas so

denominadas vigas-balco. Para estes casos, a

obteno dos diagramas solicitantes um pouco mais

trabalhosa.

V() = -P

M() = P x AC = P.R.sen() trao fibra superior

T() = P x CS = P.R(1-cos())

Vigas-balco [carga uniformemente distribuda]

Neste caso, a resultante da carga atuante no arco AS aplicada no ponto M, que o centro de gravidade do arco.

V() = -q.R.

M() = q.R. x MC = 2.q.R.sen(/2)

T() = q.R. x CS = q.R.( - sen())

C.G. arco

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