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Prof. Juliano J. Scremin

Teoria das Estruturas - Aula 08

Cálculo de Deslocamentos em Estruturas Isostáticas (1) • Trabalho Externo das Cargas e

Energia Interna de Deformação; • Relações entre Energia de Deformação e

Esforços Internos; • Aplicação da Igualdade entre o Trabalho das Forças

Externas e a Energia Interna de Deformação;

1

Aula - Seção 1: Trabalho Externo das Cargas e Energia Interna de Deformação

2

Trabalho de Uma Força (W)

d : deslocamento de corpo rígido; F : força; α : ângulo da força com a horizontal; m : massa do corpo

𝑊𝑊 = 𝐹𝐹.𝑑𝑑. 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝛼𝛼

* Só há trabalho da direção do deslocamento

Trabalho Externo de uma Carga Aplicada “W” (1)

L : comprimento longitudinal da barra; P : força axial aplicada dx : deslocamento relativo infinitesimal ao longo do eixo longitudinal (eixo x); A : área da seção transversal da barra;

dW : trabalho realizado pela força P enquanto a barra se alonga de um comprimento “dx”

𝑑𝑑𝑊𝑊 = 𝑃𝑃.𝑑𝑑𝑑𝑑

4

O trabalho total realizado pela força P enquanto ela é gradualmente aplicada à barra resulta em:

𝑊𝑊 = � 𝑃𝑃𝑑𝑑𝑑𝑑𝛿𝛿

0

5



• No caso de uma deformação linear e elástica, a porção do diagrama força-deslocamento referente ao problema estudado pode ser representada por uma linha reta de equação P = kx

𝑊𝑊 = � 𝑃𝑃 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 =

𝛿𝛿1

0� 𝑘𝑘𝑑𝑑𝛿𝛿1

0𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑊𝑊 =12𝑘𝑘𝑑𝑑

2𝛿𝛿1

0=

12𝑘𝑘𝛿𝛿1

2 =12 𝑘𝑘𝛿𝛿1. 𝛿𝛿1

𝑊𝑊 =12𝑃𝑃. 𝛿𝛿1

6

Teorema de Clapeyron

7

“ O trabalho realizado pelas forças externas, variáveis desde zero, em um corpo de material elástico linear e que sofre pequenos deslocamentos, é igual a metade do trabalho que resultaria se as forças externas agissem de modo instantâneo”

𝑊𝑊 =12𝑃𝑃𝛿𝛿

Analogia de Mola Elástica Linear

• Equação de Mola: (Relação Força x Deslocamento)

𝑃𝑃 = 𝑘𝑘. 𝛿𝛿

Mola

Barra Solicitada Axialmente • Relação Força x Deslocamento


k : constante de rigidez da mola

k : rigidez axial da barra

Como determinar “k”?

Revisão de RESMAT (1)

Barra Solicitada Axialmente

Deslocamento ( δ )

Deformação ( 𝛆𝛆 )

δ [ unidade de comprimento ]

δ / L [ adimensional (%) ]





𝜎𝜎 = 𝐸𝐸. 𝜀𝜀

𝜎𝜎 =𝑃𝑃𝐴𝐴

𝜀𝜀 =𝛿𝛿𝐿𝐿

: tensão normal

: deformação axial

: relação tensão x deformação (Módulo de Elasticidade E)





𝜎𝜎 = 𝐸𝐸. 𝜀𝜀 𝜎𝜎 =𝑃𝑃𝐴𝐴 𝜀𝜀 =

𝛿𝛿𝐿𝐿

𝑃𝑃𝐴𝐴 = 𝐸𝐸.

𝛿𝛿𝐿𝐿 𝑃𝑃 =

𝐴𝐴𝐸𝐸𝐿𝐿 𝛿𝛿

Logo, para uma barra solicitada axialmente a rigidez axial “k” é:

𝑘𝑘 =𝐴𝐴𝐸𝐸𝐿𝐿

Energia Interna de Deformação “U” e o Princípio da Conservação de Energia Mecânica

• Quando aplicadas a um corpo, as cargas deformam o “material”. Desde que não haja perda de energia sob a forma de calor, o trabalho externo por elas realizado será convertido em trabalho interno denominado “Energia Interna de Deformação (U)”.

• Esta energia, sempre positiva, armazena-se no corpo e é provocada pela ação das tensões normais e/ou cisalhantes.

• Assim sendo, o Princípio da Conservação de Energia Mecânica pode ser expresso como :

12

𝑊𝑊 Trabalho Externo

das Cargas

𝑈𝑈 Energia Interna de Deformação

Rigidez x Módulo de Elasticidade (Barra Solicitada Axialmente)

13

𝜎𝜎 = 𝐸𝐸. 𝜀𝜀

𝑃𝑃 =𝐸𝐸𝐴𝐴𝐿𝐿 . 𝛿𝛿


𝑃𝑃𝐴𝐴 = 𝐸𝐸.

𝛿𝛿𝐿𝐿

Energia de Deformação Específica (por Unidade de Volume) “u”

• Se tomarmos a expressão da energia de deformação e dividirmos pelo volume do corpo solicitado (barra prismática axialmente solicitadada ) temos:

• A energia de deformação específica “u” independe da geometria do elemento sendo definida em função da integração das tensões em termos das deformações:

𝑢𝑢 =𝑈𝑈𝑉𝑉

= �𝑃𝑃𝑉𝑉𝑑𝑑𝑑𝑑

𝛿𝛿

0= �

𝑃𝑃𝐴𝐴𝑑𝑑𝑑𝑑𝐿𝐿

𝛿𝛿

0= � 𝜎𝜎𝑑𝑑𝜀𝜀

𝜀𝜀

0

𝑢𝑢 = � 𝜎𝜎𝑑𝑑𝜀𝜀𝜀𝜀

0

Energia de Deformação x Energia Específica de Deformação

• É interessante reconhecer que a Energia de Deformação pode ser escrita como a integral de volume da Energia de Deformação Específica sobre o corpo:

𝑈𝑈 = �𝑑𝑑𝑢𝑢𝑉𝑉

Escrita em função

das cargas

Escrita em função

dos esforços internos (M,V, N e T)

Estruturas com Comportamento Elástico Linear

16

• Nos estudos que se seguem, o conceito de Energia de Deformação será aplicado às estruturas de comportamento elástico linear.

• Em tais estruturas: a) É valida a Lei de Hooke (linearidade física, ou seja,

tensões diretamente proporcionais às deformações);

b) São desprezados os deslocamentos das cargas em função da deformação dos elementos, sendo utilizada sempre a configuração indeformada para posicionamento destas (linearidade geométrica);

c) Como consequência é possível a aplicação do Princípio da Superposição dos Efeitos;

Estado Triplo de Tensões (1)

17

𝜀𝜀𝑥𝑥 =1𝐸𝐸

[𝜎𝜎𝑥𝑥 − 𝜐𝜐(𝜎𝜎𝑦𝑦 + 𝜎𝜎𝑧𝑧)]

𝜀𝜀𝑦𝑦 =1𝐸𝐸

[𝜎𝜎𝑦𝑦 − 𝜐𝜐(𝜎𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝜎𝑧𝑧)]

𝜀𝜀𝑧𝑧 =1𝐸𝐸

[𝜎𝜎𝑧𝑧 − 𝜐𝜐(𝜎𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝜎𝑦𝑦)]

𝜀𝜀𝑥𝑥, 𝜀𝜀𝑦𝑦, 𝜀𝜀𝑧𝑧 : deformações normais em relação aos eixos x,y e z respectivamente

𝜎𝜎𝑥𝑥,𝜎𝜎𝑦𝑦 ,𝜎𝜎𝑧𝑧 : tensões normais em relação aos eixos x,y e z respectivamente

𝐸𝐸 : módulo de elasticidade normal 𝜐𝜐 : coeficiente de Poisson

Estado Triplo de Tensões (2)

18

𝛾𝛾𝑥𝑥𝑦𝑦 =𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦𝐺𝐺

𝛾𝛾𝑥𝑥𝑦𝑦 𝛾𝛾𝑥𝑥𝑧𝑧 𝛾𝛾𝑦𝑦𝑧𝑧 : distorções angulares

𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦 : tensões tangenciais

𝐺𝐺 : módulo de elasticidade transversal (módulo de cisalhamento)

𝛾𝛾𝑥𝑥𝑧𝑧 =𝜏𝜏𝑥𝑥𝑧𝑧𝐺𝐺

𝛾𝛾𝑦𝑦𝑧𝑧 =𝜏𝜏𝑦𝑦𝑧𝑧𝐺𝐺

Energia Interna de Deformação Específica em Função de Estado Triplo de Tensões (1)

19

• Diferencial da Energia Interna de Deformação Espefícia correspondente às Tensões Normais:

• Diferencial da Energia Interna de Deformação correspondente às Tensões Tangenciais:

𝒅𝒅𝒅𝒅𝝈𝝈 =𝝈𝝈𝒙𝒙𝜺𝜺𝒙𝒙𝟐𝟐

+𝝈𝝈𝒚𝒚𝜺𝜺𝒚𝒚𝟐𝟐

+𝝈𝝈𝒛𝒛𝜺𝜺𝒛𝒛𝟐𝟐

𝒅𝒅𝒙𝒙𝒅𝒅𝒚𝒚𝒅𝒅𝒛𝒛

𝒅𝒅𝒅𝒅𝝉𝝉 =𝝉𝝉𝒙𝒙𝒚𝒚𝜸𝜸𝒙𝒙𝒚𝒚𝟐𝟐

+𝝉𝝉𝒙𝒙𝒛𝒛𝜸𝜸𝒙𝒙𝒛𝒛𝟐𝟐

+𝝉𝝉𝒚𝒚𝒛𝒛𝜸𝜸𝒚𝒚𝒛𝒛𝟐𝟐

𝒅𝒅𝒙𝒙𝒅𝒅𝒚𝒚𝒅𝒅𝒛𝒛

Energia Interna de Deformação Específica em Função de Estado Triplo de Tensões (2)

20

• O trabalho elementar interno total será:

• Aplicando a Lei de Hooke Generalizada:

𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝒅𝒅𝒅𝒅𝝈𝝈 + 𝒅𝒅𝒅𝒅𝝉𝝉

𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟏𝟏𝟐𝟐𝝈𝝈𝒙𝒙𝜺𝜺𝒙𝒙 + 𝝈𝝈𝒚𝒚𝜺𝜺𝒚𝒚 + 𝝈𝝈𝒛𝒛𝜺𝜺𝒛𝒛 + 𝝉𝝉𝒙𝒙𝒚𝒚𝜸𝜸𝒙𝒙𝒚𝒚 + 𝝉𝝉𝒙𝒙𝒛𝒛𝜸𝜸𝒙𝒙𝒛𝒛 + 𝝉𝝉𝒚𝒚𝒛𝒛𝜸𝜸𝒚𝒚𝒛𝒛 𝒅𝒅𝒙𝒙𝒅𝒅𝒚𝒚𝒅𝒅𝒛𝒛

𝒅𝒅𝒅𝒅 =𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐

𝝈𝝈𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝝈𝝈𝒚𝒚𝟐𝟐 + 𝝈𝝈𝒛𝒛𝟐𝟐 −𝝊𝝊𝟐𝟐

𝝈𝝈𝒙𝒙𝝈𝝈𝒚𝒚 + 𝝈𝝈𝒚𝒚𝝈𝝈𝒛𝒛 + 𝝈𝝈𝒙𝒙𝝈𝝈𝒛𝒛 +𝟏𝟏𝟐𝟐𝑮𝑮

𝝉𝝉𝒙𝒙𝒚𝒚𝟐𝟐 + 𝝉𝝉𝒙𝒙𝒛𝒛𝟐𝟐 + 𝝉𝝉𝒚𝒚𝒛𝒛𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒙𝒙𝒅𝒅𝒚𝒚𝒅𝒅𝒛𝒛

𝑼𝑼 = � 𝒅𝒅𝒅𝒅𝑽𝑽

𝑼𝑼 = �𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐

𝝈𝝈𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝝈𝝈𝒚𝒚𝟐𝟐 + 𝝈𝝈𝒛𝒛𝟐𝟐 −𝝊𝝊𝟐𝟐

𝝈𝝈𝒙𝒙𝝈𝝈𝒚𝒚 + 𝝈𝝈𝒚𝒚𝝈𝝈𝒛𝒛 + 𝝈𝝈𝒙𝒙𝝈𝝈𝒛𝒛 +𝟏𝟏𝟐𝟐𝑮𝑮

𝝉𝝉𝒙𝒙𝒚𝒚𝟐𝟐 + 𝝉𝝉𝒙𝒙𝒛𝒛𝟐𝟐 + 𝝉𝝉𝒚𝒚𝒛𝒛𝟐𝟐

𝑽𝑽

𝒅𝒅𝑽𝑽

Aula 08 - Seção 2: Relações entre Energia de Deformação e Esforços Internos

21

Energia Interna de Deformação devido a Solicitação Axial – N (1)

22

• Para peças solicitadas somente por carga axial tem-se:

𝜎𝜎𝑥𝑥 =𝑁𝑁𝐴𝐴

𝜎𝜎𝑦𝑦 = 𝜎𝜎𝑧𝑧 = 0

𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦 = 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑧𝑧 = 𝜏𝜏𝑦𝑦𝑧𝑧 = 0

Energia Interna de Deformação devido a Solicitação Axial – N (2)

23

• Dado que:

• Logo:

𝜎𝜎𝑥𝑥 =𝑁𝑁𝐴𝐴

𝜎𝜎𝑦𝑦 = 𝜎𝜎𝑧𝑧 = 0 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦 = 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑧𝑧 = 𝜏𝜏𝑦𝑦𝑧𝑧 = 0

𝑈𝑈 = �12𝐸𝐸

𝜎𝜎𝑥𝑥2 + 𝜎𝜎𝑦𝑦2 + 𝜎𝜎𝑧𝑧2 −𝜐𝜐𝐸𝐸

𝜎𝜎𝑥𝑥𝜎𝜎𝑦𝑦 + 𝜎𝜎𝑦𝑦𝜎𝜎𝑧𝑧 + 𝜎𝜎𝑥𝑥𝜎𝜎𝑧𝑧 +12𝐺𝐺

𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦2 + 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑧𝑧2 + 𝜏𝜏𝑦𝑦𝑧𝑧2

𝑉𝑉

𝑑𝑑𝑉𝑉

𝑈𝑈𝑁𝑁 = �12𝐸𝐸

𝜎𝜎𝑥𝑥2

𝑉𝑉

𝑑𝑑𝑉𝑉 = �12𝐸𝐸

𝑁𝑁𝐴𝐴

2

𝑉𝑉

𝑑𝑑𝑉𝑉 =12�

𝑁𝑁2

𝐸𝐸𝐴𝐴2𝐿𝐿

𝑑𝑑𝑑𝑑 � 𝑑𝑑𝐴𝐴𝐴𝐴

𝑼𝑼𝑵𝑵 =𝟏𝟏𝟐𝟐�

𝑵𝑵𝟐𝟐

𝟐𝟐𝑬𝑬

𝑳𝑳

𝟎𝟎𝒅𝒅𝒙𝒙

Energia Interna de Deformação devido a Momento Fletor – M (1)

24

𝜎𝜎𝑥𝑥 =𝑀𝑀𝐼𝐼𝑦𝑦

𝜎𝜎𝑦𝑦 = 𝜎𝜎𝑧𝑧 = 0

𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦 = 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑧𝑧 = 𝜏𝜏𝑦𝑦𝑧𝑧 = 0

• Para peças solicitadas por flexão ao redor do eixo “z”:





𝑉𝑉

𝑑𝑑𝑉𝑉

𝑈𝑈𝑀𝑀 = �12𝐸𝐸

𝜎𝜎𝑥𝑥2

𝑉𝑉

𝑑𝑑𝑉𝑉

Energia Interna de Deformação devido a Momento Fletor – M (2)

25


𝜎𝜎𝑥𝑥2

𝑉𝑉

𝑑𝑑𝑉𝑉 𝜎𝜎𝑥𝑥 =𝑀𝑀𝐼𝐼𝑦𝑦 𝑈𝑈𝑀𝑀 = �

12𝐸𝐸

𝑀𝑀𝐼𝐼𝑦𝑦

2

𝑉𝑉

𝑑𝑑𝑉𝑉


𝑀𝑀2

𝐼𝐼2𝑦𝑦2

𝑉𝑉

𝑑𝑑𝑉𝑉 =12�𝑀𝑀2

𝐸𝐸𝐼𝐼2𝑑𝑑𝑑𝑑

𝐿𝐿

� 𝑦𝑦2

𝐴𝐴

𝑑𝑑𝐴𝐴 =12�𝑀𝑀2

𝐸𝐸𝐼𝐼2𝑑𝑑𝑑𝑑

𝐿𝐿

𝐼𝐼

𝑼𝑼𝑴𝑴 =𝟏𝟏𝟐𝟐�

𝑴𝑴𝟐𝟐

𝟐𝟐𝑰𝑰

𝑳𝑳


Energia Interna de Deformação devido ao Cortante – V (1)

26

𝜏𝜏𝑥𝑥𝑧𝑧 =𝑉𝑉𝑉𝑉𝑏𝑏𝐼𝐼

𝜎𝜎𝑥𝑥 = 𝜎𝜎𝑦𝑦 = 𝜎𝜎𝑧𝑧 = 0

𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦 = 𝜏𝜏𝑦𝑦𝑧𝑧 = 0

• Para peças solicitadas por corte no plano “xz”:





𝑉𝑉

𝑑𝑑𝑉𝑉

𝑈𝑈𝑉𝑉 = �1

2𝐺𝐺𝜏𝜏𝑥𝑥𝑧𝑧2

𝑉𝑉

𝑑𝑑𝑉𝑉


27


2𝐺𝐺𝜏𝜏𝑥𝑥𝑧𝑧2

𝑉𝑉

𝑑𝑑𝑉𝑉 𝑈𝑈𝑉𝑉 = �1

2𝐺𝐺𝑉𝑉𝑉𝑉𝑏𝑏𝐼𝐼

2

𝑉𝑉

𝑑𝑑𝑉𝑉


2𝐺𝐺𝑉𝑉2𝑉𝑉2

𝑏𝑏2𝐼𝐼2𝑉𝑉

𝑑𝑑𝑉𝑉 =12�

𝑉𝑉2

𝐺𝐺𝐼𝐼2𝑑𝑑𝑑𝑑

𝐿𝐿

�𝑉𝑉2

𝑏𝑏2𝐴𝐴

𝑑𝑑𝐴𝐴

𝜏𝜏𝑥𝑥𝑧𝑧 =𝑉𝑉𝑉𝑉𝑏𝑏𝐼𝐼

𝐼𝐼 = 𝐴𝐴. 𝑖𝑖2

Dado que:

𝑖𝑖 : raio de giração

𝑈𝑈𝑉𝑉 =12�

𝑉𝑉2

𝐺𝐺𝐴𝐴2𝑖𝑖4𝑑𝑑𝑑𝑑

𝐿𝐿

�𝑉𝑉2

𝑏𝑏2𝐴𝐴

𝑑𝑑𝐴𝐴 =12�𝑉𝑉2

𝐺𝐺𝐴𝐴𝑑𝑑𝑑𝑑

𝐿𝐿

1𝐴𝐴𝑖𝑖4

�𝑉𝑉2

𝑏𝑏2𝐴𝐴

𝑑𝑑𝐴𝐴

𝜒𝜒 =1𝐴𝐴𝑖𝑖4

�𝑉𝑉2

𝑏𝑏2𝐴𝐴

𝑑𝑑𝐴𝐴 Propriedade Geométrica da Seção Transversal


28

• Verifica-se portanto que o fator (χ) é uma constante que depende somente da forma da seção transversal, denominado “Fator de Cisalhamento”. Portanto é possível escrever:

𝑈𝑈𝑉𝑉 =12�𝑄𝑄2


𝐿𝐿

1𝐴𝐴𝑖𝑖4

�𝑉𝑉2

𝑏𝑏2𝐴𝐴

𝑑𝑑𝐴𝐴 =12�𝑉𝑉2


𝐿𝐿

𝜒𝜒

𝑼𝑼𝑽𝑽 =𝝌𝝌𝟐𝟐�

𝑽𝑽𝟐𝟐

𝑮𝑮𝑬𝑬

𝑳𝑳



29

• Exemplos de alguns Fatores de Cisalhamento já calculados para seções transversais mais comuns:

Princípio da Conservação de Energia Mecânica

30

• Considerando a igualdade entre o Trabalho das Forças Externas e a Energia Interna de Deformação tem-se que:

• Logo:

𝑊𝑊 =12𝑃𝑃. 𝛿𝛿

𝑈𝑈 =12�

𝑁𝑁2

𝐸𝐸𝐴𝐴𝑑𝑑𝑑𝑑𝐿𝐿

0+

12�

𝑀𝑀2

𝐸𝐸𝐼𝐼 𝑑𝑑𝑑𝑑𝐿𝐿

0+𝜒𝜒2�

𝑉𝑉2

𝐺𝐺𝐴𝐴 𝑑𝑑𝑑𝑑𝐿𝐿

0

𝑷𝑷.𝜹𝜹 = �𝑵𝑵𝟐𝟐

𝟐𝟐𝑬𝑬𝒅𝒅𝒙𝒙𝑳𝑳

𝟎𝟎+ �

𝑴𝑴𝟐𝟐

𝟐𝟐𝑰𝑰 𝒅𝒅𝒙𝒙𝑳𝑳

𝟎𝟎+ 𝝌𝝌�

𝑽𝑽𝟐𝟐

𝑮𝑮𝑬𝑬𝒅𝒅𝒙𝒙𝑳𝑳

𝟎𝟎

Aula 08 - Seção 3: Aplicação da Igualdade entre o Trabalho Externo das Cargas e a Energia Interna de Deformação

31

Aplicação de W = U em Treliças (1)

32

• Calcular o “deslocamento” do ponto “B” da treliça abaixo:

𝑷𝑷.𝜹𝜹 = �𝑵𝑵𝟐𝟐

𝟐𝟐𝑬𝑬𝒅𝒅𝒙𝒙𝑳𝑳

𝟎𝟎

Para todas as barras: E = 200GPa A = 10 x 30 mm

A

B

C

• Como nas treliças ocorrem somente esforços axiais : M = 0 e Q = 0

• Como na treliça em questão não ocorre variação da área da seção transversal das barras:

𝑷𝑷.𝜹𝜹 = �𝑵𝑵𝒊𝒊

𝟐𝟐

𝟐𝟐𝑬𝑬 𝑳𝑳𝒊𝒊𝒊𝒊


33

• Da expressão abaixo temos que para calcular o deslocamento do ponto B (onde está aplicada a carga de 100kN) é necessário calcularmos os esforços internos em todas as barras:

A

B

C

𝑷𝑷.𝜹𝜹 = �𝑵𝑵𝒊𝒊

𝟐𝟐

𝟐𝟐𝑬𝑬𝑳𝑳𝒊𝒊

𝒊𝒊

• Substituindo os valores dos esforços em cada barra e demais variáveis, tem-se que:

100kN.𝜹𝜹 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟕𝟕𝟕𝟕𝑵𝑵 𝟐𝟐.𝟓𝟓,𝟎𝟎𝟎𝟎+ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟕𝟕𝑵𝑵 𝟐𝟐.𝟒𝟒,𝟎𝟎𝟎𝟎+ 𝟎𝟎 𝟐𝟐.𝟏𝟏,𝟎𝟎𝟎𝟎

𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏 𝟕𝟕𝑵𝑵𝟎𝟎2

. 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟒𝟒𝟎𝟎𝒎


34

• Isolando o deslocamento na expressão tem-se que:

𝜹𝜹 =𝟐𝟐𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟕𝟕𝑵𝑵𝟐𝟐𝟎𝟎

𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟎𝟎𝟐𝟐 𝟕𝟕𝑵𝑵.𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟕𝟕𝑵𝑵= 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟏𝟏𝟓𝟓𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟓𝟓 𝟎𝟎𝟎𝟎

• Consultando as respostas do FTOOL para os deslocamentos na estrutura, obtemos:


35

• Pela comparação com os resultados do FTOOL:

• Note-se que o software dá como resposta um deslocamento de 35 mm na direção “X” (Dx)

• Entretanto além do deslocamento em “X” o ponto B desloca-se 8,888 mm para baixo em “Y” (Dy)

• Conseguimos calcular os 35 mm de deslocamento porque este deslocamento é colinear à força de 100kN considerada.

Limitações da Aplicação de W = U:

36

• Do que vimos até então, o PCEM apresenta as seguintes limitações quanto ao cálculo de deslocamentos: a) Somente é possível o cálculo de deslocamentos

colineares (ou correlatos) à forças aplicadas na estrutura;

b) Somente é possível calcular os deslocamentos correlatos de pontos onde existam cargas aplicadas;

Questionamentos :

37

1. Como calcular o deslocamento vertical (Dy) da treliça que acabamos de estudar dado que a carga aplicada no ponto era somente na vertical?

2. Como calcular o deslocamento de um ponto de uma estrutura em que não há uma carga aplicada, como por exemplo no meio do vão ao lado?

Resposta aos Questionamentos:

38

• Para ambas as situações anteriormente expostas, a resposta é uma só:

Imaginamos cargas virtuais unitárias na direção dos deslocamentos que queremos calcular e

acoplamos os efeitos destas no segundo termo da expressão da igualdade W = U

em conjunto com os efeitos das cargas reais.

FIM

39

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