Universidade Estadual de LondrinaLaboratório de Física Moderna

6FIS-027

Quantização dos estados de energia do átomo de mercúrio.(Experimento de Franck-Hertz)

Rafael BratifichTurma 0001

Profº Dr Américo Tsuneo Fujiiafujii@uel.br

Centro de Ciências ExatasDepartamento de Física - UEL

Sumário

1.0 Objetivo.........................................................................................................................032.0 Introdução.....................................................................................................................043.0 Fundamentação Teórica...............................................................................................05

3.1 Emissão Termoiônica..........................................................................................053.2 Livre Caminho Médio.........................................................................................063.3 Colisão Elástica e Inelástica..............................................................................07

3.3-1 Colisão Elástica entre o elétron e o átomo de Hg....................................073.3-2 Colisão Inelástica entre o elétron e o átomo de Hg.................................10

3.4 Níveis energéticos do 80Hg..................................................................................113.5 Carregando o capacitor.......................................................................................11

4.0 Metodologia...................................................................................................................135.0 Materiais Usados para o Experimento.......................................................................14 5.1 Procedimento Experimental..................................................................................156.0 Resultados.....................................................................................................................167.0 Análise dos Resultados.................................................................................................178.0 Conclusão......................................................................................................................189.0 Bibliografia....................................................................................................................19

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1.0 ObjetivoO seguinte experimento realizado no Laboratório de Física Moderna da

Universidade Estadual de Londrina tem como objetivo observar e analisar a quantificação dos níveis de energia da primeira excitação do átomo de mercúrio 80Hg.

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2.0 IntroduçãoA teoria de Bohr para o átomo de hidrogênio, desenvolvida entre 1912 e 1913,

obteve enorme sucesso, pois conseguiu explicar de forma convincente os espectros de raias e, mais particularmente, as séries espectrais do hidrogênio, embora tivesse grande exatidão de suas previsões, não havia outra indicação de que realmente os estados de energia do átomo eram quantizados.

Um conceito fundamental por ele introduzido é que as transferências de energia, seja na geração de um fóton, seja na absorção de radiação (levando o átomo para um estado excitado superior) se dá de maneira quantizada. Niels Bohr introduziu este modelo atômico estudando os comprimentos de onda do gás de hidrogênio. Prevendo que a energia total de um átomo fosse quantizada

E=−me Z

2 e4

4022ℏ2

1n2

n= 1, 2, 3, … (1)

Em 1914 James Franck e Gustav Hertz realizam um experimento que não só comprova as ideias de Bohr, mas também mostra que as transferências de energia por colisão se dão de forma quantizada.

Figura 1: Válvula de Franck-Hertz

Uma típica válvula de Franck-Hertz é mostrada na figura 1. Nela, o catodo é aquecido (emissão termoiônica) ao submetê-lo a uma tensão e nesse processo forma-se uma nuvem eletrônica em seu redor. Se a grade for colocada em um potencial positivo (denominado de potencial de excitação), os elétrons irão ser acelerados em sua direção e alguns deles passam por ela, sendo recolhidos no anodo. Contudo, se o anodo for colocado em um potencial negativo (chamado de potencia de retardo), apenas os

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elétrons que tiverem energia maior que este potencial irão atingir a placa. O interior da válvula é preenchido com gás monoatômico de Hg, os átomos

deste gás se chocam com os elétrons acelerados a partir do catodo. A escolha do gás monoatômico é feita devido ao fato do experimento tentar quantificar os níveis de energia do átomo; caso o gás não fosse monoatômico, veríamos a interação do elétron com moléculas e não com os átomos.

Em geral esses choques são elásticos, de forma que não ocorrem transferências de energia. Contudo em determinados valores bem específicos de energia dos elétrons os choques são inelásticos e há então transferência de energia para os átomos de Hg. Sob o ponto de vista quântico, essa transferência de energia corresponde à transição entre níveis de energia do Hg, mais especificamente do estado fundamental ao primeiro estado excitado. Essa diferença é de 4,9 eV.

Ao perder energia para os átomos de Hg, os elétrons não terão energia suficiente para vencer o potencial de retardo e dessa forma a corrente recolhida pelo anodo diminui. Entretanto, devido ao potencial de excitação, a energia dos elétrons aumenta novamente e a partir de um determinado valor superam o potencial de retardo e assim a corrente no anodo passa a crescer. Contudo o crescimento da energia dos elétrons vai até o ponto onde sua energia é equivalente à diferença dos níveis de energia do Hg e assim uma nova absorção ocorre, isto é, um novo choque inelástico ocorre e a corrente do anodo decresce novamente.

Essa experiência, realizada por James Franck e Gustav Hertz, lhes rendeu o prêmio Nobel em 1925, pois comprovava por um processo puramente mecânico (o espalhamento inelástico de elétrons por átomos de mercúrio) a quantização dos estados de energia do átomo.

3.0 Fundamentação Teórica3.1 Emissão Termoiônica

Ao aquecer um metal a elevadas temperaturas, os elétrons (por agitação térmica) ficam com energia suficiente para saírem da banda de condução e serem ejectados. Estes elétrons são emitidos com uma energia que segue uma distribuição de Maxwell-Boltzman. Ao aplicar um potencial exterior, o número de eletrões ejetados vai aumentar até saturar. Esta situação ocorre quando não é possível retirar mais

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elétrons/segundo do metal.

3.2 Livre Caminho MédioÉ uma grandeza que traduz a probabilidade de interação de um elétrons num

gás homogêneo e representa a média dos percursos da partícula até interagir com um átomo do gás. É função do número e velocidade média das moléculas do gás. O livre percurso médio é dado por:

l= 12 R02n

(2)

onde R0 é o raio do átomo de mercúrio e n o número de átomos por unidade de volume.Tendo em conta que P=nKT, tem-se:

l= 12 R02

k TP (3)

Em um gás, geralmente, com o aumento da temperatura aumenta o livre caminho médio reduzindo o número de colisões, assim aumentando a chance de um elétron chegar ao ânodo. Contudo, o que ocorre ao Hg é o inverso, pois ocorre a redução da corrente medida com o aumento da temperatura. A pressão de vapor de mercúrio em relação a temperatura é

log10P =−2,7192,51.10−2T−2,68.10−5T 2 (4)

Utilizando a equação (3), podemos escrever:

log10 12R02

k Tl =−2,7192,51.10−2T−2,68.10−5T 2

l= k T2 R02

102,68.10−5T 2−2,51.10−2T2,719

(4)

O raio atômico do Hg é aproximadamente 1,5.10-10m e k=1,38.10-23J/K.l=1,38.102,68.10

−5T 2−2,51.10−2T−1,281 (5)Plotando o livre caminho médio pela temperatura dado pela equação acima:

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Figura 2: Gráfico do livre caminho médio em função da temperatura.

3.3 Colisões Elásticas e InelásticasSupondo uma colisão frontal simples de dois corpos de massas diferentes,

consideramos este sistema de dois corpos fechado (não há entrada ou saída de massa), isolado (nenhuma força externa resultante age sobre ele) e que a Energia Cinética do sistema seja a mesma antes e depois da colisão. Tais impactos, onde a Energia Cinética é conservada, são chamados de colisões elásticas. Enquanto que em uma colisão inelástica é a Energia Cinética do sistema de corpos que colidem não é conservada. O momento Linear desse sistema é sempre conservado em uma colisão, seja a mesma elástica ou não.

3.3-1 Colisões Elásticas entre o elétron e o átomo de HgConsidera-se o caso de dois corpos de massas m1 e m2 movendo-se em linha

reta, com velocidades v1 e v2 respectivamente, permanecendo os mesmos dois após a colisão (sem que haja desagregação), conforme a Figura 3.

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Figura 3: Diagrama da Colisão elástica

As energias cinéticas inicial e final para cada partícula são mostradas abaixo.

E1 i=12m1 v1i

2 E1 f=12m1 v1 f

2 (6)

E2 i=12m2 v2 i

2 E2 f=12m2v2 f

2 (7)

p1 i=m1 v1 i p1 i=m1 v1 f (8)p2 i=m2v2 i p2 i=m2 v2 f (9)

Conservação de Energia

E1 iE2 i=E1 fE2 f (10)

Conservação do momentop1 i p2 i= p1 fp2 f (11)

Utilizando as relações de energia e momentos, obtemos as seguintes relações

v1 f=2m2 v2 im1m2

v1 im1−m2m1m2

(12)

e

v2 f=2m1 v1 im1m2

v 2im2−m1m1m2

. (13)

Considerando 1 o elétron e 2 o átomo de Hg(inicialmente em repouso), teremos que:

v1 i=vei ⇒ velocidade inicial do elétron.v1 f=ve f ⇒ velocidade final do elétron.v2 i=vHg i ⇒ velocidade inicial do átomo de Hg.v2 f=vHg f ⇒ velocidade final do átomo de Hg.v2 i=vHg i=0 ⇒ velocidade inicial do átomo de Hg.m1=me ⇒ massa do elétron.m2=mHg=M ⇒ massa do Hg.

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A velocidade do elétron após a colisão com o átomo de Hg é, classicamente:

ve f=veime−M meM . (14)

Como me << M, o elétron colide elasticamente com o átomo de Hg e faz um caminho curto retrógrado, e depois é acelerado pelo potencial criado dentro do tudo. Verificamos também a energia cinética perdida pelo elétron nesta colisão.

EC e=12me [ve f

2 −ve i2 ] , (15)

EC e=12 me[vei2 me−MmeM

2

−vei2 ] ,

ECe=12me vei

2 [ −4meMmeM 2 ] ,

EC e=−2M vei

2

1Mme 2 ,

EC eEC ei

=

−2M v ei

2

1Mme 2

12meve i

2=− 4M

me1Mme2

.

Expandindo em binômio de Newton a função 1Mme2

1Mme2

≈M2

me2 . (16)

EC eECei

=−4meM . (17)

A fração de energia perdida pelo elétron na colisão elástica com o átomo é praticamente nula, pois me << M. Durante o experimento, será verificado que esta situação acontece quando o elétron possui energia diferente de múltiplos de 4,9 eV.

Utilizando me = 6,7.10-4u e M = 200u, conclui que a velocidade do elétron após a colisão não é tão pequena; isso pode ser entendido como o elétron sendo dispersado.

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3.3-2 Colisões Inelásticas entre o elétron e o átomo de HgNa colisão inelástica, o momento é conservado. Neste caso, a velocidade final do

elétron e do átomo de Hg são muito próximas. Desta forma:p f=v f m1m2 e p1 i p2 i= p f . (18)

m1 v1 im2 v 2i=v f m1m2 . (19)

v f=m1 v1 im2 v 2i

m1m2⇒ ve f=

meve iM vHgimeM . (20)

Analogamente à colisão elástica:

EC e=12me[ me

2 ve i2

meM 2−vei

2 ] , (21)

EC e=−12me

ve i2 2meMM 2

1Mme 2

Utilizando a aproximação da expansão binomial para o denominador, equação (16):

EC e≈−12meMvei2 2meM (22)

EC eECei

≈− 1M

2meM (23)

Utilizando os valores dados para me e M, têm-se para um elétron com 4,9 eV:EC e f=4,9−4,9.1,000006 ⇒ ve f 0 (24)

Na colisão inelástica entre o elétron e o átomo de Hg, o elétron passa sua energia para o átomo de Hg. O átomo de Hg praticamente não se move, ou seja, esta energia obtida do elétron é utilizada para excitar o elétron do átomo de Hg.

A diferença entre a excitação por fótons, é que nesta excitação toda a energia do fóton vai para o elétron do átomo e, caso haja ionização, o excesso de energia é totalmente transferido ao elétron ejetado. Se tivéssemos ionização devido a colisão de um elétron, toda a energia em excesso não é transferida ao elétron ejetado do material.

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3.4 Níveis Energéticos do 80HgO átomo de mercúrio tem 80 elétrons e as camadas O e P estão preenchidas do

seguinte modo:Camada O 5s2 5p6 5d10 .Camada P 6s2 .Na figura 4 estão os níveis energéticos que são relevantes para a experimento. O

nível 6s ou 1S0 vai ser o nível base de excitações. Na figura 4 estão indicadas as possíveis excitações.

Figura 4: Níveis de energia para os últimos elétrons do Hg.

Contudo, nem todas as transições são permitidas. Os estados 1P1 e 3P1 são estados normais, com tempos de vida de aproximadamente 10-8s antes de decaírem para o nível 1S0. Os estados 3P2 e 3P0 são estados metaestáveis, o seu tempo de vida é 10-3s, ou seja 105 vezes maior que o de um estado normal. Portanto, as transições 3P2→1S0 e 3P0 →1S0 são transições proibidas, ao contrário das transições 3P1 →1S0 e 1P1→1S0 que são transições permitidas.

A excitação direta para a partir de A excitação 3P0, 3P1, 3P2, e 1P1 para 1S0 é equiprovável.

3.5 Carregando o CapacitorNa caixa de controle do experimento, há um capacitor de capacitância C que irá

nos fornecer o valor do potencial de aceleração do elétron Va. Tanto a carga q no

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capacitor quando a corrente i medida variarão no decorrer do tempo. Então, podemos escrever

V 0=i RqC

⇒V 0

R= dqdt

qRC

⇒ dqdt

qRC

−V 0R=0 . (25)

Temos uma EDO de primeira ordem e por um fator integrante

u t =exp[∫ 1RC

dt] , iremos resolvê-la. Multiplicando a equação diferencial acima por

u:

etRC dqdt

etRC=e

tRC V 0R

⇒ ddtqe t

RC =V 0RetRC ,

q etRC=

V 0R ∫ e

tRC dt ⇒ q e

tRC=C V 0e

tRCK ,

q t =C V 0K e− tRC . (26)

Inicialmente a carga no capacitor é nula, temos então q(0)=0.q 0=C V 0K=0 ⇒ K=−CV 0 .

q t =C V 01−e− t

RC . (27)

A diferença de potencial no capacitor é dada pela razão entre a carga e a capacitância logo V=q/C, então

V C=V 01−e−tRC . (28)

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4.0 Metodologia

Figura 5: Diagrama esquemático do arranjo experimental utilizado por James Franck e Gustav Hertz na verificação da validade do modelo atômico proposto por Niels Bohr.

Aquecemos indiretamente a ampola pois no seu interior há uma certa quantidade de 80Hg, a temperaturas >> 180ºC o Hg torna-se vapor. Por efeito termoiônico elétrons provenientes de um filamento H são acelerados por uma diferença de potencial acelerador V0 aplicada entre o cátodo e o ânodo G, cuja superfície é uma grade metálica. Dependendo do potencial aplicado e da temperatura dentro da ampola é possível que na distância H-G os elétrons adquiram energia suficiente (4,87 eV) para provocar a primeira excitação dos átomos de Hg e em certas condições de temperatura e potencial de aceleração é possível também que ocorra uma segunda excitação (1S0 →1P1 - 6.67 eV) e mesmo a ionização (10,5 eV).

Os elétrons ao atravessarem a grade G são submetidos a uma diferença de potencial negativa em relação ao ânodo sendo, portanto, desacelerados. Este arranjo experimental possibilita analisar a energia com que os elétrons atravessam a grade G. O potencial de desaceleração impede que os elétrons de baixa energia atinjam o coletor em P, ou seja, o número de elétrons que chegariam nesta placa seria o mesmo número de elétrons que saíram do cátodo caso não existisse esse potencial. O fluxo de elétrons recebidos no ânodo é medido como uma corrente que varia com V0.

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5.0 Materiais Usados para o ExperimentoPara a montagem experimental foi utilizado os materiais abaixo listados.

- Fonte de Tensão – PHYWE – GEREGELTES NETZGERÄT 0...600 V - DC - CONSTANTER.- Amplificador – PHYWE – GLEICHSTROM-MESSVERSTÄRKER DC AMPLIFIER.- Caixa de Controle – PHYWE 09086.01.- Forno – PHYWE - 09085.00.- Interface PASCO – Science Worshop – 500 interface.- 03 Multímetros – 02 Minipa ET-1110 e 01 BK TEST BEACH 338.- Software de dados Science Worshop.- Cabos de conexão.

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5.1 Procedimento experimental

Figura 6: Diagrama esquemático do arranjo experimental utilizado no experimento para medir a quantização dos estados de energia do átomo de Hg.

1- Monta-se o experimento conforme diagrama da figura 6.2- Aqueceu-se o forno para promover a evaporação total do mercúrio no interior

do tubo de Franck-Hertz, a chave do termostato, localizada na parte lateral do forno, foi posicionada em seu valor máximo a temperatura obtida foi de >180ºC.

3- Mantendo a chave fechada e ligou-se o resto dos equipamentos. A escala do amplificador de corrente foi ajustada para 10nA. O voltímetro 1 esta ligado ao amplificador de corrente e medirá a corrente elétrica que passa entre o anodo e a placa coletora do tubo Franck-Hertz. O voltímetro 2 mostra a diferença de potencial de aceleração dos elétrons no percurso catodo anodo e variará de 0 até 50V durante o

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experimento. O voltímetro 3 esta ligado ao circuito e mostra a diferença de potencial entre o catodo e a grade, não devendo ultrapassar 0,5V durante todo processo.

4- Com a chave fechada e o cátodo desligado carregou-se o capacitor e verificou-se sua curva característica pela interface PASCO, e também calculou-se via elementos do circuito qual deveria ser a curva do capacitor via equação n onde R=10kΩ, C=2200F e Vo=44,9V. Então comparou-se os dois dados gerados para comprovar se a equação (28) realmente poderia representar a variação do potencial no tempo pois no gráfico corrente versus potencial de aceleração o potencial é calculado via equação (28).

5- Com a calibração realizada, o capacitor carregado e o catodo ligado abriu-se a chave a descarga do capacitor irá fornecer o potencial de aceleração entre o catodo e o anodo. A interface PASCO coletará a variação da corrente e o programa Science Workshop instantaneamente plotará o gráfico da corrente (i) no anodo pelo tempo decorrido (t). Esses dados foram salvos e a partir deles foi plotado a curva do gráfico n.

6.0 ResultadosOs dados foram salvos em um formato de tabelas xls e estão disponíveis junto ao

Prof. Dr. Américo Tsuneo Fujii.Alguns dados sobre a placa controladora R=10kΩ, C=2200F e Vo=44,9V.

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7.0 Análise dos Resultados

Figura 7: Corrente versus potencial de aceleração

A medida que o potencial de aceleração cresce a corrente também cresce, contudo a corrente apresenta picos em múltiplos inteiros próximos de 4,9V e após esses picos decai e inicia um novo processo de crescimento após alcançar um vale, observa-se que as distâncias pico a pico e vale a vale são simétricas e múltiplos inteiros de 4,9V. Isto ocorre devido a interação entre os elétrons e os átomos de Hg, em geral os elétrons se colidem com os átomo de Hg esses choques são elásticos, de forma que não ocorrem transferências de energia. Contudo quando a energia do elétron é de 4,9eV os choques são inelásticos e há então transferência de energia para os átomos de Hg. Sob o ponto de vista quântico, essa transferência de energia corresponde à transição entre níveis de energia do Hg, mais especificamente do estado fundamental ao primeiro estado excitado. Observa-se, então, uma linha espectral a cada queda de corrente. Quando a energia dos elétrons do feixe é menor do que 4,9eV , não é emitida nenhuma linha espectral pelo vapor de mercúrio no tubo, e quando a energia é um pouco maior que 4,9eV apenas uma linha espectral é emitida. Esta linha espectral é proveniente do desexcitamento do elétron no átomo de mercúrio que ao seu nível

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característico emite essa energia recebida na forma de comprimento de onda no caso da luz visível.

Ao perder energia para os átomos de Hg, os elétrons não terão energia suficiente para vencer o potencial de retardo e dessa forma a corrente recolhida pelo anodo diminui. Entretanto, devido ao potencial de excitação, a energia dos elétrons aumenta novamente e a partir de um determinado valor superam o potencial de retardo e assim a corrente no anodo passa a crescer. Contudo o crescimento da energia dos elétrons vai até o ponto onde sua energia é equivalente à diferença dos níveis de energia do Hg e assim uma nova absorção ocorre, isto é, um novo choque inelástico ocorre e a corrente do anodo decresce novamente. Deste modo podemos aplicar um potencial superior ao potencial de ionização do átomo de mercúrio 10,5eV e o vapor de mercúrio não irá se ionizar nem observaremos descargas elétricas no gás.

8.0 ConclusãoO objetivo de observar e analisar a quantificação dos níveis de energia da

primeira excitação do átomo de mercúrio 80Hg foram alcançados com sucesso. Observou-se que elétrons com energia inferior a 4,9 eV colidem elasticamente com os átomos de Hg, e nesta colisão a energia transferida é praticamente nula; enquanto que elétrons com energias de 4,9 eV colidem inelasticamente com os átomos de Hg e sua energia é transferida para os elétrons do átomo de Hg, que realizam o salto quântico e ao se desexcitarem emitem essa energia na forma de comprimento de onda que foi perceptível no tubo. Assim tomando duas situação como exemplo, (i) um elétron é acelerado por uma diferença de potencial de 4 eV, este elétron se chocará elasticamente com os átomo de mercúrio, contudo, a transferência se energia entre eles será praticamente nula, então, ele terá energia suficiente para ultrapassar o potencial desacelerador e ser lido no coletor; (ii) um elétron é acelerador por um diferença de potencial de 6 V, este elétron colidirá inelasticamente com o átomo de mercúrio sua energia será transferida para este átomo que apresentará velocidade praticamente nula após a colisão assim essa energia transferida será toda destinada a excitação do elétron em sua camada fundamental saltando para a primeira camada e após sofrerá uma desexcitamento e retornará a sua camada fundamental emitindo a energia recebida na forma de comprimento de onda, quanto ao elétron até o momento

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da colisão ele foi acelerado e ficou com uma energia 4,9 eV como o potencial do é de 6V ele sofrerá uma nova aceleração apresentando no final uma energia de 1,1 eV não sendo coletado no coletor de corrente pois não irá ultrapassar a barreira de desaceleração que é de 1,5V.

9.0 Bibliografia[1] D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Fundamentos de Física, Vol. 4, LTC, 4a

ed., Rio de Janeiro, 1993. [2] - R. Eisberg, R. Resnick, Física Quântica, Ed. Campus, Rio de Janeiro, 1979. [3] - A. C. Melisinos, Experiments in Modern Physics, Academic Press, New

York, 1966. [4] - J. Rudnick, D. S. Tannhauer, “Concerning a widespread error in the

description of the photoelectric effect”, Am. J. Phys., Vol. 44(8), pp. 796-798, 1976. [5] - Laboratory Experiments in Physics, 5.1.03, 5.1.04 e 5.1.05, Phywe System e

GmbH, Göttingen, 1999. [6] - J. Goldemberg, Física Geral e Experimental, 3º Vol, Ed. da Universidade de

São Paulo, São Paulo, 1973. [7] - G. F. Hanne, “What really happens in the Franck-Hertz experiment with

mercury?”, Am. J. Phys., Vol. 56(8), pp. 696-700, 1988. [8] - M. Ference Jr., H. B. Lemon, R. J. Stephenson, Curso de Física – Eletrônica

e Física Moderna, Edgard Blücher Ltda. [9] - M. Alonso, E. J. Finn, Fundamental University Physics, Vol. III,

Addison-Wesley, Massachusetts, 1971. [10] - R. Crane, “The Franck-Hertz experiment: a field-trip through

quantization”, disponível em http://www.cce.ufes.br/jair/web/rcrane.rtf.

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