RelLabFisMod - Modelo de Böhr para o Átomo de Hidrogênio

8/2/2019 RelLabFisMod - Modelo de Böhr para o Átomo de Hidrogênio

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Universidade Estadual de LondrinaLaboratório de Física Moderna

6FIS-027

Modelo de Böhr para

o Átomo de Hidrogênio

Rafael Bratifich

Turma 0001

Profº Dr Américo Tsuneo Fujii

[email protected]

Centro de Ciências Exatas

Departamento de Física - UEL



Sumário

1.0 Objetivo.........................................................................................................................03

2.0 Evolução dos Modelos Atômicos..................................................................................04

2.1 Os atomistas na Grécia antiga...........................................................................04

2.2 O Modelo de Dalton............................................................................................04

2.3 A Descoberta do elétron......................................................................................05

2.4 A Descoberta do próton......................................................................................06

2.5 O Modelo de J. J. Thomson................................................................................06

2.6 O Experimento de Rutherford...........................................................................07

2.7 Rydberg e Balmer...............................................................................................08

2.8 Teoria de Böhr para o átomo..............................................................................08

3.0 Fundamentação Teórica...............................................................................................10

4.0 Metodologia...................................................................................................................13

5.0 Materiais Usados para o Experimento.......................................................................13

5.1 Procedimento Experimental..................................................................................13

6.0 Resultados.....................................................................................................................14

7.0 Análise dos Resultados.................................................................................................148.0 Conclusão......................................................................................................................17

9.0 Bibliografia....................................................................................................................17

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2.0 Evolução dos Modelos Atômicos

Na antiguidade acreditava-se que dividindo a matéria em pedaços cada vez

menores, chegar-se-ia a um ponto onde partículas, cada vez menores, seriam invisíveis

ao olho humano e, segundo alguns pensadores, indivisíveis. Graças a essa propriedade,

receberam o nome de átomos, termo que significa indivisíveis, em grego. Foi quando

surgiu entre os filósofos gregos o termo atomismo. Desde, então, muitas teorias sobre a

estrutura atômica da matéria foram formuladas das mais simples às complexa

chegando até a contemporaneidade.

2.1 Os atomistas na Grécia antiga

A teoria atomista foi desenvolvida no século V a.C. por Leucipo de Mileto e seudiscípulo Demócrito de Abdera que conciliou as constantes mudanças postuladas por

Heráclito com a unidade e imutabilidade do ser propostas por Parmênides.

Demócrito postulava que a realidade se compõe de partículas indivisíveis ou

"átomos" de natureza idêntica e do vácuo ou não-ente e que estes existem desde a

eternidade em mútua interação dando origem ao movimento.

Segundo Demócrito, os átomos por si só apresentam as propriedades de

tamanho, forma, impenetrabilidade e movimento, dando lugar, por meio de choquesentre si, a corpos visíveis. Além disso, ao contrário dos corpos macroscópicos, os átomos

não podem interpenetrar-se nem dividir-se, sendo as mudanças observadas em certos

fenômenos químicos e físicos atribuídas pelos atomistas gregos a associações e

dissociações de átomos. Nesse sentido, o sabor salgado dos alimentos era explicado

pela disposição irregular de átomos grandes e pontiagudos.

Heráclito postulava que não-ente (vácuo) e matéria (ente) desde a eternidade

interagem entre si dando origem ao movimento. E que os átomos apresentam as

propriedades de: forma; movimento; tamanho e impenetrabilidade e, por meio de

choques entre si, dão origem a objetos.

2.2 O Modelo de Dalton

O professor da universidade inglesa New College de Manchester, John Dalton

(1766 - 1844) foi o criador da primeira teoria atômica moderna na passagem do século

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XVIII para o século XIX. Em 1803 Dalton publicou o trabalho Absorption of Gases by

Water and Other Liquids, (Absorção de gases pela água e outros líquidos), neste

delineou os princípios de seu modelo atômico.

Segundo Dalton:

- Átomos de elementos diferentes possuem propriedades diferentes entre si.- Átomos de um mesmo elemento possuem propriedades iguais e de peso

invariável.

- Átomos são partículas reais, indivisíveis e descontínuas formadoras da

matéria.

- Nas reações químicas, os átomos permanecem inalterados.

- Na formação dos compostos, os átomos entram em proporções numéricas

fixas 1:1, 1:2, 1:3, 2:3, 2:5 etc.

- O peso total de um composto é igual à soma dos pesos dos átomos dos

elementos que o constituem.

Em 1808, Dalton propôs a teoria do modelo atômico, onde o átomo é uma

minúscula esfera maciça, impenetrável, indestrutível e indivisível. Todos os átomos de

um mesmo elemento químico são idênticos. Seu modelo atômico foi apelidado de

"modelo atômico da bola de bilhar".

2.3 A Descoberta do elétron

Por volta de 1856, muitas descobertas interessantes foram feitas utilizando-se a

ampola criada por Sir William Crookes, na qual era introduzido um gás a baixa

pressão para, em seguida, aplicar uma alta voltagem entre os eletrodos.

Utilizando a ampola de Crookes um gás, normalmente mau condutor de

eletricidade, se tornava condutor caso tivesse sua pressão muito reduzida (entre 10 e0,01 mmHg). Nessas condições, ao se aplicar uma alta voltagem entre os eletrodos na

ampola de Crookes, provocava-se a descarga elétrica do gás e via-se um fluxo luminoso

partindo do cátodo, em direção ao ânodo. A esse fluxo luminoso deu-se o nome de raios

catódicos. Sobre os raios catódicos chegou-se às seguintes conclusões:

Os raios catódicos possuem massa. São capazes de mover um pequeno moinho

colocado dentro da ampola de Crookes.

Os raios catódicos caminham em linha reta. Projetam na parede oposta da

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ampola a sombra de qualquer anteparo que for colocado em sua trajetória.

Os raios catódicos possuem carga negativa. Quando é aplicado um campo

elétrico externo à ampola, os raios catódicos se dirigem para o campo positivo.

Em 1897, o físico inglês Joseph John Thomson, trabalhando com raios catódicos,

concluiu que eles eram parte integrante de toda espécie de matéria, uma vez que a

experiência podia ser repetida com qualquer tipo de gás. Thomson denominou então os

raios catódicos de elétrons.

2.4 A Descoberta do próton

Em 1886, Eugen Goldstein, utilizando um cátodo perfurado em ampolassemelhantes à de Crookes, contendo gás a baixa pressão (0,1 mmHg

aproximadamente), pôde observar um foco luminoso surgir atrás do cátodo, vindo da

direção do ânodo.

Goldstein denominou esse fluxo de raios anódicos ou raios canais. Os raios

canais possuem carga elétrica positiva. Eles são desviados para a placa negativa na

presença de um campo elétrico externo à ampola.

De todos os gases empregados nas experiências, o hidrogênio era o que produzia

raios canais com a menor massa e o menor desvio no campo elétrico. A essa parte

elementar dos raios canais chamou-se próton.

2.5 O Modelo de J. J. Thomson

Em 1898, Joseph John Thomson formulou a teoria segundo a qual a matéria,

independente de suas propriedades, contém partículas de massa muito menores que o

átomo do hidrogênio. Inicialmente denominou-as de corpúsculos, depois conhecidas

como elétrons.

Através de suas experiências, Thomson concluiu que a matéria era formada por

um modelo atômico diferente do modelo atômico de Dalton: uma esfera de carga

positiva continha corpúsculos (elétrons) de carga negativa distribuídos uniformemente

à semelhança de um pudim de passas.

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O "modelo atômico do pudim com passas", substituiu então ao "modelo da bola

de bilhar", mas não eliminou totalmente as deduções de Dalton, apenas foram

acrescentadas mais informações. Grande parte das teorias de Thomsom estão em sua

obra Conduction of Electricity Through Gases (1903; Condução de eletricidade através

dos gases).

2.6 O Experimento de Rutherford

Em 1911, o cientista neozelandês Ernest Rutherford, descobriu que o átomo não

seria uma esfera maciça, e uma estrutura composta por uma região central, chamada

núcleo atômico, e uma região externa ao núcleo, chamada eletrosfera. No núcleo

atômico estariam as partículas positivas, os prótons, e na eletrosfera as partículasnegativas, os elétrons. Para chegar a essas conclusões Rutherford e seus colaboradores

bombardearam uma lâminas de ouro com partículas alfa (2 prótons e 2 nêutrons)

emitidas por polônio radioativo, a lâmina estava dentro de um envoltório de sulfeto de

zinco(ZnS) conforme figura abaixo.

Figura 1: Esquema do experimento de Rutherford

Rutherford observou que a maioria das partículas alfa atravessava

normalmente a lâmina de ouro que apresentava aproximadamente 10-5 cm de

espessura. Outras partículas sofriam pequenos desvios e outras, em número reduzido,

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batiam na lâmina e voltavam. O caminho seguido pelas partículas alfa podia ser

detectado devido as cintilações que elas provocavam no anteparo de sulfeto de zinco.

Comparando o número de partículas lançadas com o número de partículas que

sofriam desvios, Rutherford calculou que o raio do átomo deveria ser 10.000 a 100.000

vezes maior do que o raio do núcleo, ou seja, o átomo seria formado por espaços vazios.

Por esses espaços vazios a grande maioria das partículas alfa atravessava a lâmina de

ouro.

Os desvios sofridos pelas partículas alfa eram devidos às repulsões elétricas

entre o núcleo (positivo) e as partículas alfa, também positivas, que a ele se dirigiam.

Surgia, então, o modelo do atômico de Rutherford, conhecido também como modelo

planetário: o átomo é constituído por um núcleo central positivo, muito pequeno emrelação ao tamanho total do átomo porém com grande massa e ao seu redor, localizam-

se os elétrons com carga negativa (compondo a "enorme"eletrosfera) e com pequena

massa, que neutraliza o átomo.

2.7 Rydberg e Balmer

No final do século XIX, os cientistas Rydberg e Balmer estudavam o fenômenoda emissão de luz na passagem de um elétron de uma camada de seu átomo para a

outra. Rydberg conseguiu encontrar uma expressão matemática que relacionasse o

comprimento de onda da frequência emitida com o número dos níveis do qual o elétron

estaria saltando. A equação encontrado por Rydberg foi

1

= R H 1

ni

2−

1

n f

2 onde R H é a constante de Rydberg, obtida experimentalmente.

O trabalho de Balmer foi semelhante porém menos geral que o de Rydberg

(incorporando apenas alguns níveis).

2.8 Teoria de Böhr para o átomo

Os experimentos até então, realizados por Rutherford mostravam que o átomo

consistia de uma nuvem eletricamente carregada em torno de um centro, denso, e

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positivamente carregado chamado núcleo.

Tal proposta de Rutherford leva ao mundo da física propor o modelo planetário

para os elétrons, onde o núcleo estaria agindo como o Sol e os elétrons em volta do

núcleo como planetas em órbita.

O modelo planetário tinha uma falha muito aparente, talvez uma das questõesmais interessantes a surgir na física moderna. Naquela época, os trabalhos de

electromagnetismo desenvolvidos pelo modelo de Maxwell explicavam toda e qualquer

manifestação eletromagnética conhecida. Uma das leis de Maxwell dizia que uma

carga acelerada, obrigatoriamente, emite radiação eletromagnética.

Então, um elétron em volta de um núcleo está acelerado (aceleração centrípeta).

Se esse elétron emitir onda eletromagnética, ele estará perdendo energia, e com isso

sua órbita deveria diminuir gradativamente até chegar ao núcleo, gerando uma colisão

catastrófica. Sabemos que isso não é verdade, e não poderia ser, uma vez que a

estabilidade da matéria é algo concreto.

Bohr, baseando-se nos estudos feitos em relação ao espectro do átomo de

hidrogênio e na teoria proposta em 1900 por Planck (Teoria Quântica), segundo a qual

a energia não é emitida em forma contínua, mas em “pacotes”, denominados quanta de

energia, propôs os seguintes postulados:

1. Um elétron em um átomo se move em uma órbita circular em torno do

núcleo sob influência da atração coulombiana entre o elétron e o núcleo, obedecendo

às leis da mecânica clássica.

2. Em vez da infinidade de órbitas que seriam possíveis segundo a mecânica

clássica, um elétron só pode se mover em uma órbita na qual seu momento angular

orbital L é um múltiplo inteiro de ℏ (a constante de Planck dividida por 2 ).

3. Apesar de estar constantemente acelerado, um elétron que se move em uma

dessas órbitas possíveis não emite radiação eletromagnética. Portanto sua energia

total E permanece constante.

4. É emitida radiação eletromagnética se um elétron, que se move

inicialmente sobre uma órbita de energia total E i, muda seu movimento

descontinuamente de forma a se mover em uma órbita de energia total E f . A

frequência da radiação emitida v é igual à quantidade (E i -E f ) dividida pelo

constante de Planck h.

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3.0 Fundamentação Teórica

Considerando um átomo constituído de um núcleo de carga +Ze e massa M, e

um único elétron de carga -e e massa m. Supomos que o núcleo permanece fixo no

espaço. A condição de estabilidade mecânica do elétron é

1

40

Z e2

r 2=me

v2

r (1)

onde v é a velocidade do elétron em sua órbita,e r o raio da órbita. O lado esquerdo

dessa equação é a força coulombiana que atua sobre o elétron, e o lado direito é

m a , onde a é a aceleração centrípeta que mantém o elétron em sua órbita

circular. Porém o momento angular orbital do elétron, L=me v r , deve ser uma

constante, pois a força que atua sobre o elétron é central. Aplicando a condição de

quantização proposta por Böhr, temos

me r v=nℏ n=1, 2, 3, …

me

r v=n h

2⇒ v=

nℏ

me

r (2)

Obtendo v e substituindo em (1), temos

Z e2=40 me v

2r =40 me r nℏ

me r 2

=40

n2ℏ

2

me r (3)

de forma que

r =40

n2ℏ

2

me Z e2 n= 1, 2, 3, … (4)

e

v=n ℏme r

=1

40

Z e2

n ℏn= 1, 2, 3, … (5)

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A seguir calculamos a energia total de um elétron atômico se movendo em

uma das órbitas possíveis. Vamos definir a energia potencial como sendo zero

quando o elétron está infinitamente longe do núcleo. Então a energia potencial V a

qualquer distância finita r pode ser obtida integrando-se o trabalho que seria

realizado pela força coulombiana que atua de r a ∞ . Portanto

V =−∫r

∞ Z e

2

40

r 2

dr =−Z e

2

40 r (6)

A energia potencial é negativa porque a força coulombiana é atrativa; é

necessário trabalho para mover um elétron de r ao infinito, contra essa força. A

energia cinética do elétron, K, pode ser calculada, com auxílio de (1), como sendo

K =1

2me v

2=

Z e2

40 2 r (7)

A energia total do elétron, E , é então

E = K V =−Z e2

40 2 r =− K (8)

Usando (4) para r na equação anterior, temos

E =−me Z

2e

4

4022ℏ

2

1

n2 n= 1, 2, 3, … (9)

A quantização do momento angular orbital do elétron implica na quantização

de sua energia total. Portanto para o átomo de hidrogênio (Z=1), sendo

e=1,602.10−19

C , me=9,109.10−31 kg ,1

40

=8,987.109 N

kg .C 2 e ℏ=1,054.10

−34 kg . M 2

s

, as energias possíveis as quais o elétron pode estar será

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4.0 Metodologia

Figura 3: Esquema do Espectrômetro utilizado nas medidas dos comprimentos de onda emitidos peloátomo de hidrogênio na região do visível.

A luz de uma fonte atravessa a fenda do colimador, a luz divergente encontra

uma lente convergente no interior do colimar. A luz sai do colimador em feixes

paralelos como uma onda plana e incide perpendicularmente sobre a rede de difração

onde é difratada formando um ângulo de difração. Com a ordem m = 0, na posição θ0

=90º, com o eixo central da rede. Deslocando-se a luneta para valores maiores deθ0

,

passa-se por bandas coloridas, do violeta até o vermelho.

5.0 Materiais Usados para o Experimento

Para a montagem experimental foi utilizado os materiais abaixo listados.

- Rede de difração de 600 linhas por mm.

- Uma lâmpada de hidrogênio.

- Espectrômetro de Estudante PASCO Scientific Model SP-9268A.- Fonte de alimentação para a lâmpada.

- Lupa.

5.1 Procedimento experimental

1. Os procedimentos de nivelamento e focalização do espectrômetro foram

realizados pelos técnicos do laboratório.

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2. A calibração da lâmpada de hidrogênio e do espectrômetro foram realizadas

pelo professor.

2. Estando o espectrômetro e a rede de difração devidamente alinhados anotou-

se o valor do ângulo correspondente ao zero de difração (o zero da escala da plataforma

fixa não coincide com a posição do telescópio alinhado com o eixo óptico doespectrômetro).

3. Mediu-se os ângulos de difração a esquerda do zero para os diferentes

comprimentos de onda difratados utilizando a rede de difração com 600 linhas/mm.

Anotou-se os valores em uma tabela.

6.0 Resultados

Tabela 3 – Rede 600 linhas/mm - Esquerda

Cor Ângulo α

Violeta 74º50'

Verde Azulado 72º55'

Vermelho 66º47'

7.0 Análise dos Resultados

O ângulo medido α foi encontrado em grau e minutos de arco, precisamos agora

convertê-lo para graus para assim obter o ângulo θ , e calcular o ângulo de desvio θd e

também o comprimento de onda λ . Assim para transformar α em θ, temos que

converter minutos para décimos de grau, logo o ângulo θ será

= º , onde =' 1º

60 '

sendo αº parte em graus, α' parte em minutos e β conversão de minutos para décimos de grau;

por exemplo, Tab. 1 – cor violeta , ângulo α é 74 graus e 50 minutos de arco,

=74º 50

' 1º

60 ' =74,83º .

Para calcular o ângulo de desvio utilizamos

θ d =θ 0−θ (esquerda),

sendo θ0 o ângulo em que a difração é nula (o espectrômetro foi ajustado para este

ângulo corresponder a 90º, ou seja, θ0=90º) e θ é o ângulo de difração. Assim

continuando com o exemplo acima

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θ d =θ 0−θ =90º−74,83º =15,17 º

Para calcular o comprimento de onda utilizamos

=d sen

d

m,

sendo - comprimento da onda, d- espaçamento da rede, m- ordem de difração ed - ângulo de desvio. Por exemplo

=d sen d

m=

10-3

600

sen 15,17 º

1=4,361.10

-7m ,

o 10-3 corresponde a conversão da distância entre as linhas do milimetro para o metro,

ou seja, a rede de difração de 600 linhas por milimetro pode ser escrita como

600 linhas

1 mm

logo o espaçamento da rede será

d =1 linha1 mm

600 linhas=

1 mm

600=

1 mm

600

10−3

m

1 mm=

10- 3

600m .

A tabela abaixo apresenta os cálculos descritos acima.

Tabela 4 – Rede 600 linhas/mm, esquerda, ordem m=1 – cálculos deângulo em grau, desvio de difração e comprimento de onda.

Cor Ângulo θ Desvio θd sen(θd) Comp. de onda λ

Violeta 74,83º 15,17º 0,26 4,361.10-7 m Verde Azulado 72,91º 17,08º 0,29 4,895.10-7 m

Vermelho 66,78º 23,22º 0,39 6,570.10-7 m

Para o calculo das energias utilizamos a equação de Planck E =h v , onde h é

a constante de Planck e v é a frequência que pode ser expressa em função da

velocidade e do comprimento da onda eletromagnética como v=c

, sendo c e h

constantes podemos obter a energia por

E =h c

=6,626.10

-34[ m

2kg / s ]2,997.10

8[ m / s ]

[ m]=1,98.10

- 25

-1[ m

2kg / s

2] ou

E =1,98.10-25

-1[ J ]

6,2415.1018

[eV ]

1[ J ]=1,239.10

- 6

- 1[eV ] .

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8.0 Conclusão

O objetivo verificar o modelo proposto por Böhr para o átomo de Hidrogênio foi

alcançado com sucesso. Verificou-se que as diferença de energia dos níveis E3-E2, E4-E2

e E5-E2 previstas pelo modelo de Böhr e as obtidas experimentalmente foram

“praticamente as mesmas”, ocorreu, uma pequena variação dos últimos dígitos quando

comparamos as energias na escala Joule, mas quando convertidas para elétron-volts os

valores experimentais e teóricos são aproximadamente os mesmo. O modelo teórico de

Böhr pode representar com grande aproximação o átomo de hidrogênio.

9.0 Bibliografia

[1] Sears e Zemansky Física IV: Ótica e Física Moderna / Young, Hhugh;

Freedman, Roger - Editora Pearson Addison Wesley.

[2]. Eisberg, R. Martin ; Resnick, R. FÍSICA QUÂNTICA: ÁTOMOS,

MOLÉCULAS, SÓLIDOS, NÚCLEOS E PARTÍCULAS. Editora Campus, 1979.

[3]. Manual PASCO Scientific home page. STUDENT SPECTROMETER,

modelo AP-9268A. http://store.pasco.com/pascostore/showdetl.cfm?

&DID=9&Product_ID=54046&groupID=292&Detail=1 Acesso 15/08/2011 às 18:30.[4] Melissinos, A. C., Napolitano, J. Experiments in Modern Physics. 2 ed., P.

Academic. San Diego, Califórnia, USA, 2003.

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http://store.pasco.com/pascostore/showdetl.cfm?&DID=9&Product_ID=54046&groupID=292&Detail=1




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