UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL

FERNANDO RODRIGUES DA CONCEIO

O TOMO DE HIDROGNIO

Dourados/MS 2009

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL

1

FERNANDO RODRIGUES DA CONCEIO

O TOMO DE HIDROGNIO

Dourados/MS 2009

Trabalho de Concluso de Curso apresentado como requisito parcial para obteno do ttulo de Licenciado em Fsica pela Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul, sob orientao do Professor Dr. Antonio Cesar Aguiar Pinto.

2

Dedico este Trabalho de Concluso de Curso ao meu querido av Adlio da Conceio por ter me dado oportunidade de estudar.

3

AGRADECIMENTOS

A minha querida madrinha e me, Marlene Pereira da Conceio por ter me

acompanhado todos esses anos da minha vida;

Aos meus queridos avs, Adlio da Conceio e Amlia da Pereira da Conceio, por terem acreditado no meu potencial;

Ao meu querido e amado pai, Alcione da Conceio pelo apoio durante os meus

estudos;

A minha querida e eterna amada, Aline Marques Leite pela compreenso durante

todo este tempo;

Aos meus dois grandes amigos e irmos, Gustavo Targino Valente e Josu

Gabriel de Leo pelas horas memorveis e prazerosas de estudo.

Aos amigos e colegas que chegaram comigo no final do curso: Alex Csar Pereira Rocha; Bruno Lemos da Silva, Francylaine Silva de Almeida; Gustavo

Targino Valente, Josiane Pereira Torres, Josu Gabriel de Leo, Luana Cristina da Cruz, Peres Antnio Melo Souza, Tatiane Reis de Souza, Vanessa Maioral e a

todos os outros que aqui no foram citados.

Aos grandes amigos, Adilson da Conceio, Alencar Pirotti Terra, Joaquim

Bernardino Valente, Luzia Targino Valente, Maria Rosetnia, Professor Nilson

Oliveira da Silva, Sandro Chaves da Conceio, pelo apoio durante o

desenvolvimento do curso.

Ao orientador, Antonio Cesar Aguiar Pinto, pela motivao e orientao no

desenvolvimento do tema do trabalho aqui proposto.

4

Ao Professor Luis Humberto da Cunha Andrade pelas orientaes nos projetos de iniciao cientfica, os quais foram de suma importncia na minha formao

acadmica.

A Professora Adriana Diogo, pelo incentivo e escolha deste maravilhoso curso,

A todos que aqui no foram citados, mas que colaboraram diretamente ou

indiretamente com a minha formao profissional.

5

Voc s ter sucesso na vida quando perdoar os erros e as decepes do passado.

Clarice Linspector

6

RESUMO

No final do sculo XIX e incio do sculo XX, a Fsica passou por uma mudana radical de paradigmas. Vrios fenmenos que ocorreram neste perodo contriburam fortemente para o surgimento de novas teorias com conceitos extremamente incompatveis com a fsica clssica. Um desses fenmenos que contriburam para o surgimento desta nova teoria (mecnica quntica) est relacionado com os espectros atmicos, explicitamente, com as linhas espectrais do tomo de hidrognio, as quais foram descritas empiricamente em 1885 por Balmer e em 1890 por Rydberg. Baseando-se nestes resultados empricos, vrios cientistas buscaram descrever quantitativamente modelos atmicos que concordassem com o observado e que fossem capazes de fazer previses de futuros comportamentos. Neste contexto, vamos apresentar aqui uma breve reviso bibliogrfica da formulao matemtica da mecnica ondulatria desenvolvida por

Schrdinger em 1925 para descrever os autovalores e as autofunes do tomo hidrognio, pois este foi o primeiro sistema real que Schrdinger tratou com a sua teoria

de mecnica quntica. Palavras-chave: Equao de Schrdinger; Funo de onda; Mecnica Quntica.

7

SUMRIO

1 INTRODUO..................................................................................................8

2 EQUAES DIFERENCIAIS.......................................................................12

2.1 Equao Generalizada de Legendre.....................................................12

2.2 Resoluo da Equao Generalizada de Legendre. ............................13

2.3 Harmnicos Esfricos..........................................................................16

3 O TOMO DE HIDRGNIO

3.1 Separao de Variveis..................................................................................18

3.2 Soluo da Coordenada Azimutal .............................................................23 3.3 Soluo da Coordenada Polar ....................................................................26 3.4 Soluo da Coordenada Radial R - Espectros de Energias...........................27

4 CONCLUSO............................................................................................................ 42

REFERNCIAS.............................................................................................................43

8

CAPTULO 1

INTRODUO

At o fim do sculo XIX, acreditava-se que a Fsica estava bem estruturada em torno das teorias da mecnica newtoniana e na eletrodinmica de Maxwell. Porm muitos problemas surgiram no final do sculo XIX e no incio do sculo XX, os quais exigiram conceitos totalmente incompatveis com a Fsica Clssica. Um desses problemas estava relacionado com os espectros atmicos, mais precisamente, com as

linhas espectrais do tomo de hidrognio. Muitos cientistas da poca questionavam por que o hidrognio s emite certas raias na regio dos espectros visvel e por que o

hidrognio s absorve as raias que tm os comprimentos de onda que emite? O primeiro a tentar descrever matematicamente o espectro de emisso do tomo de hidrognio foi o fsico suo Balmer com uma expresso matemtica para calcular os valores das freqncias correspondentes srie de linhas da parte visvel desse espectro.

Posteriormente, outros investigadores encontraram novas sries para descrever o espectro do hidrognio. Em todas essas sries, foi encontrada uma regularidade anloga

na sucesso dos valores das freqncias, o que permitiu estabelecer uma expresso matemtica geral para o clculo dessas freqncias relativas a qualquer das linhas. A expresso geral devida ao fsico sueco Rydberg, e pode apresentar-se da seguinte forma:

= 22

11if

Hnn

cRf

onde f a freqncia da radiao emitida pelo hidrognio, c a velocidade da luz e HR a constante de Rydberg, cujo valor 1,0979 X 1710 m . Porm muitos cientistas da poca no entendiam porque o espectro do hidrognio se ajustava to bem a essas expresses relativamente simples. Diante desse fato, vrios cientistas que se aventuram a utilizar conceitos

clssicos ficaram perplexos diante do seu fracasso, pois a fsica clssica ao tentar descrever este novo paradigma (espectro do tomo de hidrognio) falhou, de forma que,

9

tornou-se necessrio formular novos conceitos acompanhados de modelo matemtico totalmente distinto do que se utilizava na poca, surgindo desta forma a mecnica quntica. Um dos pioneiros da mecnica quntica foi o cientista dinamarqus Neils Bohr, o qual em 1913 apresentou uma explicao dos espectros atmicos que inclua algumas caractersticas da teoria corretamente aceita.

A teoria de Bohr era uma combinao de idias da teoria quntica original de

Planck, da teoria dos ftons de luz de Einstein e do modelo atmico de Rutherford. Segundo este modelo, o tomo de hidrognio tem aspectos clssicos e tambm postulados revolucionrios que no poderiam ser justificados no contexto da fsica clssica [1]. As idias apresentadas por Bohr foram expostas em quatro postulados, os quais so a essncia de seu trabalho. No primeiro postulado, Bohr diz que o eltron se move em rbitas circulares em torno do prton, sob influncia da fora de atrao

coulombiana, de acordo com a Fig 1.

Fig. 1: Diagrama do modelo Bohr

O seu segundo postulado nos diz que, ao invs da infinidade de rbitas que

seriam possveis segundo a mecnica clssica, um eltron s pode se mover em uma rbita na qual seu momento angular L um mltiplo inteiro de h , onde h a constante

de Planck h dividida por pi2 . No seu terceiro postulado, Bohr aborda que apesar de

estar constantemente acelerado, um eltron que se move em uma dessas rbitas possveis no emite radiao eletromagntica. Portanto a sua energia total E permanece constante. Neste postulado, Bohr resolve o problema da estabilidade de um eltron se movendo em rbitas circulares, pois devido emisso da radiao eletromagntica pelo eltron, exigida pela teoria clssica, este deveria perder energia at colapsar com o ncleo (prton). Esse postulado se baseia no fato de que os tomos so estveis mesmo que isto no seja previsto pela teoria clssica [2]. No seu quarto e ltimo postulado, Bohr aborda que a radiao eletromagntica emitida se um eltron, que se

move inicialmente sobre uma rbita de energia total iE , muda seu movimento

descontinuamente de forma a se mover em uma rbita de energia total fE . A freqncia

da radiao emitida igual quantidade ( iE - fE ) dividida pela constante de Planck

10

h . Neste contexto, podemos verificar que o primeiro postulado baseia na existncia do

ncleo atmico, o qual foi proposto pela primeira vez por Rutherford e o segundo postulado introduz um dos entes mais importante na mecnica quntica, a quantizao

de energia. Podemos verificar que estes postulados misturam completamente a fsica

clssica e no clssica. Um fato importante que, o eltron se movendo em uma rbita circular obedece mecnica clssica e, no entanto, a idia no clssica de quantizao

do momento angular includa. Supe-se que o eltron obedea a uma caracterstica da teoria eletromagntica clssica, a lei de Coulomb, no entanto, no obedea a outra

caracterstica, a saber: a emisso de radiao por um corpo carregado acelerado. Entretanto, no deveramos nos surpreender se as leis da fsica clssica, que se baseiam

na nossa experincia com sistemas macroscpicos, no forem completamente vlidas quando lidamos com sistemas microscpicos, como o tomo. Outro cientista que teve um papel fundamental no desenvolvimento da mecnica quntica foi o fsico terico austraco Erwin Schrdinger, considerado o criador da mecnica ondulatria. Schrdinger contribuiu muito para acelerar a aceitao da teoria quntica, ao demonstrar a equivalncia matemtica entre a sua mecnica ondulatria e a mecnica de matrizes, mais abstrata, desenvolvida por Heisenberg.

De acordo com Schrdinger, cada sistema fsico quntico tem, associado a ele, uma funo de onda que o representa e que contm toda informao fsica que possa ser

necessria. Assim, em mecnica quntica, a funo de onda do sistema extremamente importante e, para um dado problema, o objetivo central obt-la de alguma forma. Alm disso, o ato fsico real de medir uma grandeza fsica numa certa experincia representado, matematicamente, pelo ato de operar o operador correspondente

a essa grandeza fsica na funo de onda e multiplicar esse resultado pelo complexo conjugado da funo de onda. H uma correspondncia direta entre o mundo real, fsico, e o mundo matemtico, representado pelas funes de onda e pelos operadores qunticos [3]. Em relao ao estudo do tomo de hidrognio, este foi o primeiro sistema que Schrdinger tratou com a sua teoria de mecnica quntica, ou seja, sua descrio matemtica mostrou que os autovalores previstos pela teoria para o tomo de hidrognio esto de acordo com aqueles previstos pelo modelo de Bohr e observados

experimentalmente. Isso forneceu a primeira verificao da teoria de Schrdinger. Alm de sua importncia histrica e intrnseca, a teoria de Schrdinger para o tomo de

11

hidrognio de grande importncia prtica porque fornece os fundamentos para o tratamento da mecnica quntica dos tomos de muitos eltrons, bem como para molculas e ncleos.

Podemos verificar que grande parte do desenvolvimento da mecnica quntica se

baseou em torno da descrio de modelos atmicos, principalmente no que diz respeito quantizao da energia no mesmo. Isso se tornar muito aparente nos prximos

captulos do presente trabalho de concluso de curso, neste contexto abordaremos o carter matemtico de Schrdinger na descrio do tomo de hidrognio, o qual o sistema ligado mais simples que ocorre na natureza.

Este trabalho de concluso de curso est organizado da seguinte maneira. No

captulo 2, tratamos da importncia das equaes diferenciais na fsica e resolvemos uma equao diferencial que de suma importncia na descrio matemtica do tomo

de hidrognio: a equao de Legendre. Neste captulo tambm, apresentamos os harmnicos esfricos. No captulo 3, resolvemos a equao de Schrdinger para o tomo de hidrognio pelo mtodo de separao de variveis e obtemos as funes correspondentes em funo das trs coordenadas esfricas. No captulo 4, apresentamos

nossas concluses sobre esse trabalho e apresentamos em seguida uma lista de referncias utilizadas para a escrita dessa monografia.

12

CAPTULO 2

EQUAES DIFERENCIAIS

2.1 Equao Generalizada de Legendre

Alm do ponto de vista matemtico, por si s relevante, o estudo de equaes diferenciais muito importante do ponto de vista fsico. Os fsicos, ao estudarem algum fenmeno, procuram inicialmente descrev-lo de forma qualitativa, por meio de

palavras. Aps a compreenso qualitativa do experimento, tenta-se obter uma explicao quantitativa, na forma de uma ou mais equaes matemticas, que visam

descrever matematicamente a experincia e fazer previses que podem ser verificadas atravs de outras experincias.

A descrio quantitativa de um experimento feita atravs de uma ou mais equaes. Para uma boa parte dos sistemas fsicos conhecidos at o momento, a equao

ou equaes que descrevem os fenmenos, pelo menos de forma aproximada, so na forma de equaes diferenciais [4].

Uma dentre as vrias equaes diferenciais utilizadas na resoluo de problemas fsicos, mais especificadamente, como no caso das que envolvem sistemas em

coordenadas esfricas, a equao generalizada de Legendre. Esta aborda todo um tratamento especial relacionada com as coordenadas esfricas, que em nosso caso relevante, pois o problema do tomo de hidrognio se encontra nesta condio.

Para a resoluo do tomo de hidrognio temos que utilizar a equao

generalizada de Legendre, onde temos que levar em considerao o potencial, o qual deve ser contnuo, finito e unvoco, como as funes de onda.

Inicialmente, vamos trabalhar com a seguinte equao diferencial.

01

)1()1( 22

2=

++

x

mlldxd

xdxd

(1).

13

que representa uma equao diferencial na varivel cos=x , onde o ngulo polar num sistema de coordenadas esfricas. Por causa disso, queremos achar solues que

sejam vlidas no intervalo 1cos1 = x , j que pi 0 . Podemos notar que a Eq. 1 tem pontos singulares apenas em 10 =x , e para que o problema seja solvel, podemos achar uma soluo como uma srie de potncia em x, em torno de 00 =x .

Essa equao diferencial conhecida como equao generalizada de Legendre.

2.2 Resoluo da Equao Generalizada de Legendre

Realizando a derivada na Eq.1, podemos reescrev-la da seguinte forma:

01

)1(2)1( 22

2

22

=

++

x

mlldxd

xdxd

x (2).

A equao de Legendre obtida da equao generalizada de Legendre fazendo

0=m . As duas equaes aparecem quando resolvemos a equao de Laplace em

coordenadas esfricas. Vimos que elas esto associadas varivel , j que cos=x . Sabemos que a soluo da equao diferencial generalizada de Legendre [3]:

)()1()( 22 xxxm

= (3).

Para resolver a Eq. (2), vamos substituir a Eq. (3) na Eq. (2), dessa forma

0)()1(1

)1()]()1[(2)]()1[()1( 2222

22222

22

=

++ xxx

mllxxdxd

xxxdxd

x

mmm

(4).

Podemos melhorar a equao acima, de forma que obtemos a seguinte relao:

0)()]1()1([)()1(2)()1( 22

2=++++ xmmllx

dxd

xmxdxd

x (5).

14

Temos agora uma equao diferencial para )(x , onde )(x so polinmios associados de Legendre: Para resolver a equao (5), vamos utilizar o mtodo de soluo em srie de potncia. Supondo que a soluo seja do tipo:

=

=0

)(n

n

n xax (6).

Substituindo a Eq. (6) na Eq. (5), temos que:

=

=

=

=

=++++1 02 2

2 0)]1()1([)1(2)1()1(n n

n

n

n

n

n n

n

n

n

n xammllxnamxannxann (7).

Observamos que na Eq. 7, na primeira somatria, x aparece com o expoente

)2( n , ao passo que nas outras temos nx . Precisamos transformar esta somatria para que tambm tenhamos nx . Para fazer isso, vamos definir que 2= nm ou 2+= mn , assim:

m

m

m

m

n

m

n

n

n xammxammxann 20

22

22

2

2 )1)(2()1)(2()1( +

=

+

=

+

=

++=++=

Agora, como n e m so ndices mudos, que apenas indicam o incio e o fim da

somatria, podemos considerar que mn = sem problemas, ou seja,

n

n

nn

n

n xannxann 202

2 )1)(2()1( +

=

=

++= (8).

Substituindo a equao (8) na equao (7), temos:

=

=

=

+

=

=++++++1 02

20

0)]1()1([)1(2)1()1)(2(n n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

xammllxnamxannxann (9).

As somatrias comeam em valores diferentes de n , e a faixa comum ocorre

para 2n . Assim, explicitamos os termos com 1=n e 2=n :

[ ] { } 0)]1()1([)1)(2(])1(26[)1(22

211302 =+++++++++++

=

+n

n

nn xannllannxallaaalla

15

Dessa forma temos uma igualdade de polinmios que fornece as seguintes equaes:

0)1(2 02 =++ alla (10).

(11).

nn annllann )]1()1([)1)(2( 2 +++++ + (12).

Podemos obter atravs das Eqs. (10-12), os seguintes coeficientes:

2)1( 0

2all

a+

=

)1)(2()]1()1([

2++

++=+

nn

allnna nn , 0n (13).

A equao (13) conhecida como relao de recorrncia.

Fisicamente, m precisa ser um nmero natural; n indica um termo da srie, e

por causa disso, tambm um nmero natural. Portanto, l um nmero natural como os anteriores, o que se verifica tambm no caso da Equao de Legendre. Alm disso,

para um valor fixo de l , m pode valer no mximo l , e assim, lm ,...,1,0= . Assim,

obtemos a partir de mlm

ml xxP ,22

,)1()( = e

=

=0

,

n

n

nml xa os Polinmios de Legendre

em termos de cos , as quais esto apresentadas na tabela 1.

ml, )(,

xml )(cos, ml 0,0 1 1 1,0 x cos 1,1 21 x sen

1,-1 2121

x sen21

2,0 )13(21 2

x )1cos3(21 2

2,1 -3 21 xx sencos3

0)1(26 113 =++ allaa

6)]1(2[ 1

3all

a+

=

16

2,-1 2121

xx sencos21

2,2 )1(3 2x 23sen 2,-2 )1(

81 2x 2

81

sen

Tabela 1: Polinmios de generalizado de Legendre.

2.3 Harmnicos Esfricos

Muitos problemas fsicos que envolvem coordenadas esfricas esto relacionados com a resoluo da equao de Laplace em coordenadas esfricas. Uma das equaes de Laplace em coordenadas esfricas est expressa em termos da

coordenada azimutal :

022

=+ mdd (14).

Vamos resolver a equao (14) mais adiante, quando abordarmos a parte azimutal do tomo de hidrognio. Nestas circunstncias, cabe a ns somente utilizar neste momento a soluo geral da eq. (14)

pi

ime21)( = , j normalizada.

Os polinmios generalizados de Legendre )(,

xml e as funes ime , nas

solues de problemas em coordenadas esfricas, sempre aparecem multiplicados,

formando fatores do seguinte tipo: )()(),(,

= mlY , dessa forma temos a seguinte relao:

pi

immlml eY )(2),( ,,

= (15).

Por causa disso, estes produtos so definidos como funes especiais, chamados

de harmnicos esfricos ),(,

mlY

pi

immlml emlmllY )()(4

)!(12),(,,

+

+= (16)

17

Note que, em geral, os harmnicos esfricos so funes complexas. Os harmnicos esfricos so importantes em muitas reas da fsica, como no eletromagnetismo, mecnica quntica e mecnica clssica [5]. A tabela 2 apresenta alguma dessas funes.

ml, ),(,

mlY

0,0 pi41

1,0 pi

cos43

1,1 pi

iesen83

1,-1 pi

iesen

83

2,0 )1cos3(45

21 2

pi

2,1 pi

iesencos815

2,-1 pi

iesen cos815

2,2 pi

22

215

41 iesen

2,-2 pi

22

215

41 iesen

ml, pi

imml e

mlmll )()(4

)!(12,

+

+

Tabela 2: Harmnicos esfricos ),(,

mlY .

18

CAPTULO 3

O TOMO DE HIDROGNIO

3.1 Separao de Variveis

Para o problema do tomo de hidrognio, a energia potencial relevante a energia potencial eltrica associada ao nico eltron e ao ncleo do tomo, que tem uma

carga positiva Ze , sendo 1=Z o nmero de prtons do ncleo, tambm chamado de

ncleo atmico, e e o valor do mdulo da carga do eltron )10.6,1( 19 Ce = . Para simplificar, vamos considerar que o ncleo esteja numa posio fixa e que o eltron esteja orbitando em torno dele a uma distncia r , conforme a Fig.2. Para que esta suposio se justifique, necessrio utilizar o conceito de massa reduzida, pois o ncleo tem massa M grande quando comparada com a massa m do eltron, mas no

to grande assim de forma que possa ser considerada infinita. Portanto, um orbitaria ao redor do outro, e nenhum estaria fixo.

Figura 2: Movimento do eltron ao redor do ncleo

Para que possamos supor que o ncleo esteja parado, devemos corrigir a massa do eltron, que fica sendo uma partcula com massa reduzida , dada por:

mMmM

+=

19

Como esta suposio, o ncleo fica fixo, e o eltron, de massa reduzida , rbita ao redor dele a uma distncia r . A energia potencial eltrica neste caso assume uma simetria esfrica,

r

erU

2

041)(

pi=

o que sugere um sistema de coordenada esfrica. Portanto, para a resoluo do tomo de hidrognio, teremos que resolver a

equao de Schrdinger em coordenadas esfricas:

t

tritrrUtr

=+ ),,,(),,,()(),,,(

22

2

hh

(17).

Vamos agora separar a parte temporal da parte espacial. Para isso vamos

reescrever a funo ),,,( tr da seguinte forma

)(),,(),,,( tTrtr =

que substituindo na equao (17), resulta em

t

tTritTrrUrtT

=+ )(),,()](),,()[(),,(2

)( 22

hh

Dividindo a expresso acima por )(),,( tTr e separando a parte espacial da parte temporal da parte espacial, obtemos

t

tTtT

irUrr

=+ )()(

1)(),,(2),,(

1 22h

h (18).

Podemos notar que na equao (18), o lado direito depende no mximo de t , enquanto que o lado esquerdo depende apenas das coordenadas espaciais. Para que

sejam iguais, preciso que ambos sejam uma constante numrica c , ou seja,

ct

tTtT

irUrr

=

=+ )()(1)(),,(

2),,(1 22

hh

dessa forma, temos que resolver duas equaes diferenciais

20

crUrr

=+ )(),,(2),,(

1 22 h

(19).

e

cdt

tdTtT

i =)()(1

h (20).

A equao (20) uma equao diferencial de primeira ordem e podemos resolv-la separando as diferenciais:

dtic

tTtdT

h=)(

)(.

A equao acima pode ser integrada, resultando em

=

=

t

t

T

T

dtic

TdT

000h

tic

TT

h=

0

ln

Aplicando a funo exponencial em ambos os lados da equao anterior, temos

tic

eTtT h

= 0)(

Podemos aplicar a relao de Euller na equao acima e desta forma encontrar a

unidade da constante c , ou seja,

=

tcisentce

tic

hh

h cos (21).

mas

( ) ( )tisente iwt = cos (22).

onde pi 2= , ou seja a freqncia angular do eltron ao redor do ncleo.

Comparando a equao (21) com a equao (22), temos que

pi 2==h

c

21

colocando a expresso anterior em termos da freqncia

hpi

2c

=

sabemos que a energia pode ser expressa em termos da relao hE = , onde hpi2=h .

Substituindo a freqncia expressa em termos da constante c na relao de

energia, obtemos que

hpi2chE = , mas hpi2=h

portanto

cE =

e o resultado que a constante c tem dimenses de energia.

Podemos encontrar o resultado anterior fazendo uma anlise dimensional do expoente

1=

tich

[ ] 1][][

=tc

h

[ ] 1].[][

=ssJ

c

[ ]jc =][

Na verdade c , de fato a energia do sistema, e assim, para a parte temporal, a soluo

tEi

eTtT h

= 0)( (23).

Voltamos agora para a equao (19), que se torna

ErUrr

=+ )(),,(2),,(

1 22 h

ou

22

),,()(),,(2

22

rErUr =+ h (24)

Esta equao chamada Schrdinger independente do tempo. Sempre que o

potencial no for uma funo explcita do tempo, ser possvel separar a parte temporal

da parte espacial, e o resultado, para )(tT , sempre ser o mesmo. Para resolver a parte espacial, precisamos escrever o Laplaciano [6] em coordenadas esfricas, que :

2

2

2222

22 11)(1

+

+

=senr

sensenr

rrr

Aplicando o mtodo de separao de variveis, isto , que a soluo separvel

e que ela dada por

)()()(),,( =r

rRr , (25).

substituindo essa soluo no Laplaciano e em seguida na equao (24), obtemos a seguinte relao,

)()()()()()()()()()()()()(2 2

2

2332

22

+

+

+

rR

r

rUd

dsenr

rRd

dsen

dd

senr

rRdr

rRdr

h

)()()( = rRr

E

Dividindo a expresso acima por )()()( rR , obtemos

ErUdd

senrdd

sendd

senrdrRd

R=+

+

+ )(111112 2

2

2222

22

h

Vamos agora multiplicar a relao acima por 2

222h

senr , o que resulta em

23

EsenrrUsenrdd

dd

senddsen

drRd

Rsenr

2

22

2

22

2

2

2

222 2)(21hh

=

+

+

Isolando o termo em , temos

=

d

dsen

ddsen

drRd

RsenrErUsenr

dd

2

222

2

22

2

2

])([21h

A dependncia em est apenas do lado esquerdo, enquanto que o lado direito depende de r e . Portanto, ambos so iguais a uma constante, que consideraremos

2m . Assim,

22

222

2

22

2

2

])([21 mdd

senddsen

drRd

RsenrErUsenr

dd

=

=

h

ou ainda,

22

21m

dd

=

(26).

e

22

222

2

22

])([2 mdd

senddsen

drRd

RsenrErUsenr =

h (27).

3.2 Soluo da Coordenada Azimutal

Vamos resolver a equao (26). Ela pode ser reescrita como

0222

=+ mdd

(28).

Supondo que a soluo para esta equao seja da forma

e= ,

24

podemos substituir essa soluo na equao (28), obtendo aps um pouco de lgebra:

imm =

de forma que, podemos reescrever a equao(28) com sua respectiva soluo

0222

=+ mdd

com

ime=

e a equao (27) da seguinte maneira

22

222

2

22

])([2 mdd

senddsen

drRd

RsenrErUsenr =

h (29),

a qual ser resolvida mais adiante.

Conforme representado na Fig. 3, varia de 0 a pi2

Fig 3: Representao do ngulo azimutal

O ngulo denominado de coordenada azimutal, cuja sua respectiva funo unvoca em 0 e pi2 , ou seja

)2()0( pi= pi20 imim ee =

pi21 ime=

Aplicando a relao de Euller, podemos reescrever a relao acima em termos de seno e cosseno.

( ) ( )pipi 22cos1 misenm +=

25

Pela identidade acima observamos que

( )pi2cos1 m=

( )pi20 msen= .

Para que as expresses acima satisfaam as respectivas igualdades

simultaneamente, temos que considerar que pipi 22 nm = , onde n um nmero inteiro,

ou seja, ...3,2,1,0 =n , de forma que nm = . Portanto, o ngulo azimutal quantizado de acordo com os possveis valores de

m .

Vamos agora normalizar a nossa funo para a coordenada azimutal, j que a condio de normalizao para a funo de onda expressa por

dddrsenrrrv

22),,(),,(

O mtodo de separao de variveis permite que a as funes )(rR , )( e )( sejam normalizadas independentemente uma das outras [6]. Assim a condio de

normalizao da parte azimutal pode ser expressa da seguinte forma:

1)()(2

0

= pi

dmm

12

0

2=

pi dee imim

12

0

2=

pi

d

pi21

=

Portanto, podemos escrever a funo de onda da coordenada azimutal em termos da constate de normalizao

26

( ) pi

imm e21

= (30).

onde ...3,2,1,0 =m

3.3 Soluo da Coordenada polar

Vamos agora retornar a equao (29) em termos da constante de separao de variveis, ou seja,

22

222

2

22

])([2 mdd

senddsen

drRd

RsenrErUsenr =

h

Para continuar a resoluo, dividimos a equao diferencial acima por 2sen , o que resulta em

2

2

2

22

2

2 1])([2sen

m

dd

sendd

sendrRd

RrErUr =

h

Separando os termos em r e e multiplicando a equao por 1 , obtemos

2

2

2

22

2

2 1)]([2sen

m

dd

sendd

sendrRd

Rr

rUEr +

=+h

Podemos notar que o lado esquerdo da expresso acima depende exclusivamente

de r , enquanto o lado direito depende somente de , desta forma podemos separar as duas equaes atravs de uma constante, que escolheremos ser ( )1+ll , isto ,

( )11)]([2 22

2

22

2

2

+=+

=+ llsen

m

dd

sendd

sendrRd

Rr

rUEr

h

que fornece as seguintes equaes:

( )1)]([2 222

2

2

+=+ lldr

RdRr

rUErh

(31).

e

( )11 22

+=+

llsen

m

dd

sendd

sen

(32).

27

Para a equao (32) vamos fazer a seguinte mudana de varivel. Chamamos cos=x , e assim podemos expressar as derivadas em em termos de x , ou seja,

dxd

sendxd

ddx

dd

==

e podemos reescrever a equao como:

( )11 2

22 +=

+

llx

m

dxd

sendxd

sen

sen

ou

( ) ( ) 011

1 22

2=+

ll

x

m

dxd

xdxd

ou ainda,

( ) ( ) 01

121 22

2

22

=

++

x

mlldxd

xdxd

x

que a equao generalizada de Legendre (eq.(2)). As solues dessa equao so as funes generalizadas de Legendre )(

,xml , as quais esto expostas na tabela 1.

No entanto, lembrando a definio dos harmnicos esfricos ),(,

mlY , veja a equao (16):

pi

immlml emlmllY )()(4

)!(12),(,,

+

+=

podemos incorporar as solues das partes angulares nos harmnicos esfricos, cujas solues esto expostas na tabela 2.

3.4 Soluo da Parte Radial R Espectros de Energia

Vamos agora obter a soluo para a equao diferencial radial do tomo de hidrognio a partir da equao (31)

( )1)]([2 222

2

2

+=+ lldr

RdRr

rUErh

28

A equao para R pode ser reescrita como

( ) 01)]([2 22

2

22

=++ RllRrUErdr

Rdr

h

Vamos explicitar o potencial na equao acima

( ) 014

220

2

2

2

2

2

2

22

=+++ RllRerRErdr

Rdr

pi

hh

(33).

Esta equao aparentemente bastante complicada, e precisamos utilizar algumas manipulaes fsicas e matemticas para resolv-la. Primeira, vamos reescrev-

la da seguinte forma: vamos dividir a equao (33) por 2r

( ) 014

222

0

2

222

2

=

+++ R

r

llRZeREdr

Rdpi

hh

(34).

Agora, vamos fazer a substituio de variveis,

rE

h

8= (35).

Vamos encontrar as diferenciais da equao (34), de modo que

ddRE

ddR

dxd

drdR

h

8==

e

2

2

22

2

2

2 888

d

RdEd

RddrdE

ddRE

drd

drRd

hhh==

=

Fazendo a substituio da derivada de segunda ordem na equao diferencial (34) obtemos

08)1(8

4228

220

2

222

2

2 =+

++ REllR

EeREd

RdEhhhhh

pi

(36)

29

Vamos fazer mais uma substituio de variveis,

h0

2

42 pi eE

= (37).

ou seja,

piEe 2

4 0

2

=

h

Substituindo esta relao na equao diferencial (36), temos

08)1(16228 22

2

2

=

+++ REllR

EER

dRdE

ou

0)1(4 22

2

=

+++ REllR

ERE

dRdE

(38).

Para que possamos simplificar esta expresso, precisamos conhecer o sinal da

energia E , pois, se 0E , EE = , e se 0E , EE = .

Inicialmente vamos fazer uma anlise clssica. Classicamente (e quanticamente), a energia potencial eltrica deste sistema

r

eU2

041

pi=

e a energia cintica pode ser achada considerando que a fora eltrica a fora centrpeta que mantm o eltron na rbita, ou seja,

cel FF =

r

v

r

e 2

2

2

041

pi=

30

r

ev

pi2

0

2

41

=

Conhecida a velocidade de rbita do eltron, sua energia cintica

r

e

r

evK

2

0

2

0

2

81

41

21

21

pipi ===

Somando a energia cintica com a potencial, obtemos a energia mecnica total desse sistema, ou seja,

r

e

r

e

r

eUKE2

0

2

0

2

0 81

41

81

pipipi==+=

e vemos que a energia total negativa. Na verdade, este resultado j era esperado, por causa da forma da dependncia do potencial com a posio r . Sempre, nestes casos, os sistemas ligados tm energia total negativa. Sob o ponto de vista quntico, o tomo de hidrognio continua sendo um sistema ligado, e ele tambm ter uma energia total negativa. Assim, voltando a equao (38), temos que EE = , e o resultado

0)1(41

22

2

=

++ RllRR

dRd

ou ainda

041)1(

22

2

=

+

+ RRll

dRd

(39).

Matematicamente, o prximo passo seria tentar resolver este problema pelo mtodo de Frbenius, mas primeiro vamos estudar fisicamente o comportamento desta

equao quando , lembrando que as funes de onda devem permanecer sempre finitas.

Quando , temos a equao diferencial

(40).

041

2

2

= Rd

Rd

31

a qual podemos resolver propondo uma soluo do tipo exponencial, ou seja,

meR =

Resolvendo a diferencial e substituindo o resultado na equao (40), obtemos que

0412

=

mR

onde podemos achar que 21=m , de forma que podemos obter as seguintes funes

21

e e

21

e

Entretanto, quando , a primeira funo diverge e no aceitvel fisicamente. Resta, portanto, a segunda. Assim, explicitamente impomos que as solues possveis para a equao diferencial inicial (eq. 38) sejam dadas por

2

1

)()( = eFR

Vamos aplicar esta soluo na equao diferencial (39). Aps uma pequena lgebra precisamos resolver a equao

0)1( 222

=

++ Fll

ddF

dFd

(41).

e o mtodo indicado o mtodo de Frbenius, pois h um ponto singular em 0= [4]. Todavia, este ponto singular dito regular, como pode ser visto se multiplicarmos o F

por 2 . Assim, reescrevendo a equao diferencial na forma

[ ] 0)1(222

2=++ Fll

ddF

dFd

(42).

e supondo uma soluo em srie do tipo

32

=

+

=

==

00 n

n

n

n

n

n aaF

vamos encontrar as diferenciais da equao (42). Comeamos com a diferencial de menor ordem, temos

=

++=0

1)(n

n

nanddF

e

=

+++=

0

22

2

)1)((n

n

nanndFd

Substituindo as diferenciais encontradas na equao diferencial (42), obtemos

0)1()()1)((00

1

0

1

0=+++++

=

+

=

++

=

++

=

+

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n allaanann

Vamos passar todas as somatrias para o mesmo expoente em . Para o segundo

e terceiro termos, chamamos 1+= nm , ou 1= mn . Assim, para o segundo termo, temos

=

=

+

+++=+

0 11

1 )1()(n m

m

m

n

n aman

e para o terceiro:

=

+

=

++=

11

0

1

m

m

m

n

n

n aa

Lembrando que os ndices n e m so mudos, voltamos para o ndice n , ou seja,

=

=

+

+++=+

0 11

1 )1()(n n

n

n

n

n anan

e

33

=

+

=

++=

11

0

1

n

n

n

n

n

n aa

Voltando equao, temos

0)1()1()1)((01

11

10

=+++++

=

+

=

+

=

+

=

+

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n allaanann

A faixa comum dos ndices comea em 1=n , portanto explicitamos os termos

com 0=n na primeira e na ltima somatria e em seguida colocando alguns termos em evidncia. Fazendo isso, obtemos

[ ] [ ]{ } [ ]

=

+

=+++++++1

01 0)1()1()1()1()1)((n

n

nn allanallnn

que resulta em

[ ] 0)1()1( 0 =+ all

e

[ ] [ ] 0)1()1()1)(( 1 =+++++ nn anallnn (43).

Utilizando a equao (43) podemos obter a relao de recorrncia, a qual pode ser colocada na seguinte forma:

1)1()1)(()1(

+++

+= nn allnn

na

relao de recorrncia.

A relao [ ] 0)1()1( 0 =+ all nos d, como possveis solues, os valores do expoente

l= e 1+= l

34

Porm, lembrando que a soluo tentativa

=

=

0n

n

naF

vemos que, se for negativo, ou seja, se l= , a soluo para F diverge quando 0= , e isto no deve acontecer, por causa da finitude da funo de onda. Assim,

descartamos a possibilidade de que l= , e resta a outra raiz, 1+= l . Substituindo esta raiz na relao de recorrncia, obtemos:

1)1())(1()(

++++

+= nn alllnln

lna

Pelo teste da razo, obtemos, para valores grandes de n ,

)1())(1()(

1 ++++

+=

lllnlnln

a

a

n

n

21 n

n

a

a

n

n

na

a

n

n 11

, n grande

A srie de Taylor de e

=

=

0 !n

n

ne

e o teste da razo para esta srie fica

)!1(!1

+=

+

n

n

a

a

n

n

!)1(!

nn

n

+=

11+

=

n

35

na

a

n

n 11

+

Quando n , preciso que a srie para algum valor de na , pois seno a funo de onda divergir quando , o que no permitido. Assim a relao de

recorrncia deve terminar em algum n . Analisando a relao

1)1())(1()(

++++

+= nn alllnln

lna

vemos que, se k= , sendo k um inteiro, a srie pra quando lkn = , pois

0)1())(1()(

1 =++++

+=

lklk allllkllkkllk

a

e a partir da, todos os outros na , so nulos. Alm disso, n e l so nmeros inteiros, e o

valor mnimo de n 1. Portanto, o valor mnimo de k 1+n . Ento, para um valor de

k fixo ( 1k ), l varia desde 0=l at 1= kl , enquanto n varia desde 1 at, no mximo, lk , pois em lkn = a srie pra. Assim, teremos polinmios,

dependendo de k e l , comeando pelo valor 1=k . A relao de recorrncia fica

1)1())(1()(

++++

+= nn alllnln

klna

e podemos explicitar alguns dos polinmios lkF , .

1. 1=k

Quando 1=k , 0=l , e a srie pra j no primeiro termo, que 0a . Assim, lembrando que 1+= l e

= nnaF

36

temos

00100,1 ...)0( aaF =++= +

e, para )(R , achamos

200,1 )(

= eaR

2. 2=k

Neste caso, l pode ser tanto 0=l como 1=l . Para 0=l , temos

1)(2

+

= nn alnnn

a

e os termos so 0a e

111 )11(121

+

= aa

01 21

aa =

pois, a partir de 2a , os termos so nulos. Para F , obtemos

=+++= +

211...)0( 010100,2 aaaF

e, para )(R , achamos

200,2 2

11)(

= eaR

Quando 1=l , temos

11 2)1)(2(1

2)1)(2(21

++

=

++

+= nnn a

nn

na

nn

na

e assim,

37

111 2)11)(21(11

++

= aa

01 =a

A funo F fica

200

111,2 ...)0( aaF =++= +

e a funo )(R

2201,2 )(

= eaR

e assim sucessivamente, para outros valores de k . Vamos retomar agora uma das substituies que fizemos. Vamos utilizar a relao (36)

h0

2

42 pi eE

=

O raio de Bohr 0r escrito da seguinte forma

2

20

04

er

pi h

= (44)

e, em termos do raio de Bohr, fica

00 21

2 rEEhh

==

Vamos considerar a substituio de na relao de recorrncia, em que consideramos k= , um inteiro. Dessa forma

021

rEk h

=

ou seja,

02

22

21

rEk h

=

38

022

2

21

rkE h

=

Lembrando que a energia negativa, obtemos

20

2

2

21

krEk

h

= (45).

Com a equao (45) temos uma relao muito importante: a energia do tomo de

hidrognio discreta, a qual depende do nmero inteiro k , assumindo apenas os valores

dados pela equao acima.

Vamos considerar agora a relao (35), ou seja,

rE

h

8=

Usando o valor de E obtido, temos

rkr

h

h

=

220

2

28

h

h r

kr 220

24=

h

h r

kr02

=

0

2kr

r=

Com esta definio, as funes R ficam

0

000,1

2)( rr

er

raR

=

39

02

0000,2 2

1)( rr

er

r

r

raR

=

022

001,2 )( r

r

er

raR

=

No entanto, no incio do problema supusemos que a soluo geral era do tipo (veja a equao (25))

)()()(),,( =r

rRr

e assim, precisamos dividir as funes )(rR por r , o qual resulta em

00,10,1 )( r

r

eaR

=

02

00,20,2 2

1)( rr

er

raR

=

e

021,21,2 )(

= reaR

sendo que as constantes foram incorporadas em lka , .

Dessa forma podemos obter a soluo geral para a equao (24), a qual possui uma dependncia radial, azimutal e polar

2,,,,

)()()(4)!(12),,(

pi

+

+== eFe

mlmll

r lkim

mlmlk

que a soluo completa da parte espacial do tomo de hidrognio. As funes

),(,

mlY so os harmnicos esfricos, dados na tabela 2, enquanto as funes lkR , so

dadas em termos da relao

=

=

0n

n

naF .

40

Atravs da soluo geral, podemos obter as autofunes do tomo de hidrognio

para os trs primeiros valores de k :

1=k 0=l 0=m 023

0100

11r

r

er

=

pi

2=k 0=l 0=m 020

121321 2

3

0200

r

r

r

er

r

=

pi

1=l

0=m

pi

cos1321

02

0

23

0210

r

r

r

er

r

=

1=l =m

pi

ir

r

eer

r

r

= sin1

641

02

0

23

0121

3=k 0=l 0=m pi

ir

rr

err

r

r

+

= sin)21827(1

3811

03

00

223

0300

1=l

0=m

pi cos)6(12

811

03

00

223

0

21

310r

r

rr

err

r

=

1=l 1=m pi

ir

rr

eerr

r

r

= sin)6(1

811

03

00

223

0131

2=l 0=m )1cos3(1681

1 22

23

0320

03

0

=

pi

rr

r

er

r

2=l

1=m

pi

ir

r

eer

r

r

= cossin1

811

03

0

223

0132

2=l 2=m pi

ir

r

eer

r

r 22

223

0232 sin

1162

103

0

=

Tabela 3: Representao das autofunes do tomo de hidrognio [8].

41

Alm disso, a energia do tomo de hidrognio discreta e negativa, tendo

apenas os valores dados pela equao (45), a qual depende apenas de k , existem k valores possveis para l , pois 10 kl , e para um valor de l , m pode ter os valores

lml , num total de 12 +l valores. Todas as funes tm a mesma energia (so 2k no todo), e ento, dizemos que a energia das autofunes degenerada e que as

autofunes so degeneradas no ndice k . Usando os valores numricos para as constantes da expresso da energia, chegamos ao valor da energia do tomo de hidrognio.

eVk

Ek 26,13

=

onde eV (eltron-volt) uma unidade de energia, 1 JeV 19106,1 = . Os nveis de energia do tomo de hidrognio so bem definidos, e por causa disso, os espectros de emisso deste elemento so formados por raias estreitas. Isto discorda das previses clssicas, mas muito bem explicado atravs da teoria quntica, pois a freqncia das radiaes emitidas esto ligadas s diferenas de energia entre os nveis de energia, ou seja,

=

== 2222,

116,136,136,13mkmk

EEE mkmk

= 22,

11mk

E mk , mk >

e a freqncia ser dada por hE mk = , , isto

=

= 22

, 116,13mkhh

E mk , mn >

como n e m nmeros naturais, as freqncias assumem apenas alguns valores bem definidos, esses valores previstos concordam muito bem com as medies experimentais. Isto completa a nossa discusso acerca deste problema [8].

42

CAPTULO 4

CONCLUSO

Durante o desenvolvimento do trabalho de concluso de curso, pode-se verificar a grande importncia da mecnica ondulatria de Schrdinger na descrio de fenmenos qunticos. Schrdinger, baseando-se nas ondas de de Broglie, aplicou a sua teoria da mecnica quntica ondulatria para explicar os autovalores dos espectros de energia do tomo de hidrognio e obteve a mesma equao para estes autovalores encontrada por Neils Bohr. De acordo os trabalhos de de Broglie, em que todos os elementos como partculas esto associados de alguma forma a uma onda, Schrdinger buscava encontrar quais seriam as funes de onda desta partcula, quais seriam estas funo que representava este vnculo. Neste contexto, assim como Schrdinger, neste trabalho obtivemos, utilizando a equao de Schrdinger, as autofunes dos trs autoestados iniciais dos espectros de energia que o eltron assume no tomo de hidrognio, sendo essas grandezas apresentadas na tabela 3. Outro ponto importante da teoria de Schrdinger que ao aplicarmos essa teoria na resoluo do tomo de hidrognio, conseguimos recuperar todos os dados experimentais dos espectros de absoro e emisso do tomo de hidrognio, as quais eram baseadas empiricamente por meio das sries de Balmer, Lyman, Paschem, Bracket e Pfund, as quais no foram muito convincentes na poca, pois a explicao para esses espectros dava-se por meio de uma simples srie matemtica sem muito significado fsico. Assim, Schrdinger com sua equao bem fundamentada nos trabalhos de Einstein e de de Broglie, conseguiu prever as mesmas sries e outros entes que so quantizados assim como a energia, encontrou que o momento magntico e ngulo azimutal so tambm grandezas quantizadas, fazendo desta forma previses que nenhum modelo atmico tinha realizado at ento.

Em termos da minha formao acadmica, vale ressaltar que ao desenvolver este tema pude aplicar os conceitos e as ferramentas matemticas desenvolvidas durante o curso, ainda mais, verifiquei a magnfica evoluo de conceitos que envolvem a transio da Fsica Clssica para a Fsica quntica e tambm a importncia da Fsica Terica na descrio dos fenmenos qunticos, pois com ela, conseguimos fazer previses, os quais podem ser medidos e comprovados atravs da fsica experimental.

43

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

[1] SERWAY, Raymond A. Fsica Moderna; Relatividade, Fsica Atmica e Nuclear. Rio de Janeiro: Editora LTC, 1996. pgs. 44 e 45.

[2] EISBERG, Robert; RESNICK, Robert. Fsica Quntica. Rio de Janeiro. Editora Campus, 1994. Pg.138.

[3] MACHADO. Kleber D. Equaes Diferenciais Aplicadas Fsica. Ponta Grossa, Editora UEPG, 2000. Pgs. 418 e 419.

[4] BUTKOV. E. Fsica Matemtica. PUC RJ, Editora LTC, 1988. Pgs. 125, 132 a 149.

[5] MACHADO. Kleber D. Teoria do Eletromagnetismo. Ponta Grossa, Editora UEPG, 2 Edio, 2004. Pgs. 348; 850 a 858; 867.

[6] CARUSO, Francisco; OGURI, Vitor. Fsica Moderna: Origens Clssicas e Fundamentos Qunticos. Rio de Janeiro: Elsevier, 2006. Pgs. 520 a 522.

[7] Introduo a modelagem molecular: tomo de Hidrognio: disponvel em: . 10 de setembro de 2009.

[8] GRIFFITHS, David. J; Introduction To Quantun Mechanics. New Jersey. USA.