UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS

DEPARTAMENTO DE FÍSICA

OSCILAÇÕES MECÂNICAS

ACADÊMICOS: JONATAN LUCAS MOREIRA RA: 67248

MARIO HENRIQUE BUENO MOREIRA CALLEFI 67126

DANIELE CRISTINE ALEGRE 70128

MARCOS ANTONIO SILVA CIRILO 69784

PROFESSOR: ROBERTO ROSSATO

MARINGÁ

29-09-2011

INTRODUÇÃO

Em 1660, R. Hooke (1635 – 1703) estudou o comportamento de sistemas

elásticos formados por molas e observou que a deformação sofrida por uma mola com

uma de suas extremidades fixa a um suporte aumentava com o aumento da massa

suspensa na sua outra extremidade.

Com base em seus estudos, Hooke concluiu que os sistemas obedeciam a um

comportamento que ficou conhecido como Lei de Hooke:

“As forças que causam deformação em corpos elásticos é proporcional à

deformação causada.” (Lei de Hooke)

Sendo um corpo qualquer exercendo uma força de distensão em uma mola, a

mola exercerá sobre o corpo a chamada Força Elástisca. Matematicamente, a Lei de

Hooke é expressa da seguinte forma:

- Em que K é a constante elástica da mola, que representa a dureza da mola.

Quanto maior o valor de K, maior a dureza da mola e mais força é necessária para

provocar uma deformação.

No S.I. a unidade de K é Newtons/metro (N/m).

-Em que é a deformação sofrida pela mola, e vale ressaltar que esta

deformação não deve ultrapassar o limite elástico da mola/corpo, pois caso isso

aconteça não haverá recuperação das formas da mola/corpo e diremos que houve uma

deformação permanente. O sinal negativo na fórmula indica que a força exercida pela

mola sobre o corpo é uma força restauradora, isto é, uma força que atua no sentido de

desfazer a deformação causada na mola.

O sinal negativo na fórmula indica que a força exercida pela mola sobre o corpo

é uma força restauradora, isto é, uma força que atua no sentido de desfazer a

deformação causada na mola.

1

OBJETIVOS

Este experimento teve como objetivo a determinação da constante elástica de

molas de forma estática para obter a equação da constante elástica de uma mola em

movimento horizontal (caso dinâmico). Para isso foi montado um sistema constituído

por um suporte que sustentava um fio inextensível em cujas umas das extremidades

eram presas uma mola e na outra um suporte para diferentes massas. Como resultados,

foram obtidos as constantes elásticas de três molas e a equação da constante elástica de

molas em oscilação a partir do resultado encontrado para a constante elástica das molas

no caso estático. A determinação da constante elástica das molas nos casos estático e

dinâmico foi feita através da análise de gráficos construídos para observar o

comportamento das molas quando submetidas a diferentes trações devidas à reação à

força peso que as diferentes massas submetam o sistema.

2

DESENVOLVIMENTO TEÓRICO

Aplicação da Lei de Newton ao sistema utilizado no experimento

O sistema montado e utilizado no experimento é composto de uma mola

helicoidal fixa em um suporte lateral no trilho da Azeheb (ou da Pasco). Na outra

extremidade da mola, fixa-se um fio inextensível que passa por uma roldana e suspende

diferentes massas com valores conhecidos.

Observe a Figura 01 que mostra a esquematização da montagem do sistema:

Figura 01 – Esquema da montagem do sistema utilizado para o estudo e determinação da constante

elástica de algumas molas.

Observando o esquema, temos que:

1) é a força exercida pela mola sobre o corpo, e tem o sentido contrário à

atuação da força peso do corpo sobre a mola;

2) é a força de tração que transfere a força exercida pelo corpo sobre a mola (força

peso) através do fio, considerado inextensível e sem massa;

3) indica o quanto a mola está deslocada do seu ponto de equilíbrio,

sendo que é o ponto de equilibro (onde a deformação da mola é nula, ou seja,

3

quando não há forças atuando no sentido de alterar o comprimento da mola) e é a

nova posição que a mola ocupa quando é exercida uma força sobre ela.

Movimento Harmônico Simples (MHS)

Na natureza existem diversos tipos de movimentos em que pode ser observada

certa periodicidade. Um tipo bastante simples, mas de grande interesse são os

movimentos oscilatórios em que a força restauradora é diretamente proporcional ao

deslocamento x da posição de equilíbrio. Quando isso ocorre, dizemos que o corpo

elástico é ideal e obedece à lei de Hooke. A montagem experimental descrita neste

relatório é um exemplo de sistema em que ocorre esse tipo de oscilação, mais conhecida

como Movimento Harmônico Simples (MHS).

MHS e o Movimento Circular e Uniforme

Quando o sistema massa-mola mostrado na Figura 01 é posto a oscilar

horizontalmente, verifica-se que um ponto situado na junção do fio inextensível com a

mola percorre um caminho de vai-e-vem em torno de uma reta. Se colocarmos um

corpo para girar em um movimento circular e uniforme, verificaremos que a projeção

desse movimento representa de forma muito adequada o que ocorre no movimento de

oscilação da mola, sendo que a reta percorrida no movimento de vai-e-vem do ponto na

mola representa um diâmetro da circunferência.

Observe a Figura 02 que representa a comparação entre o movimento de

oscilação da mola com o movimento circular e uniforme.

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Figura 02 – Comparação do movimento de oscilação da mola com um MCU.

Observe que à medida que ocorre o movimento de oscilação do ponto

representado por uma bola cinza, um ponto representado por uma bola preta é a sua

projeção sobre o eixo que representa um diâmetro do círculo no qual o mesmo corpo

efetuaria um Movimento Circular e Uniforme.

Força Elástica

Uma mola pode ser vista como um dispositivo capaz de armazenar energia

potencial elástica quando sujeita a uma deformação (compressão ou distensão). Muitas

das forças de interações entre dois ou mais corpos são caracterizadas como forças

elásticas. Essas forças são devidas à deformação sofrida por um corpo elástico. As

deformações conhecidas como elásticas são aquelas que desaparecem quando cessam as

forças que causaram esta deformação.

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Caso Estático

Considerando o sistema montado em equilíbrio (sem oscilação horizontal e

vertical), com uma determinada massa suspensa, e utilizando a 2ª Lei de Newton,

teremos a seguinte expressão para a constante elástica no caso estático:

Caso Dinâmico

Quando o sistema oscila em torno do ponto de equilíbrio e por isso possui

aceleração não nula, a abordagem muda e passa a ser considerada um caso dinâmico.

Observando a Figura 1 citada anteriormente, como a resultante das forças agora não é

mais nula, então, da 2ª Lei de Newton, temos:

6

Mas a resultante das forças atuantes no sistema é a somatória da força elástica

exercida pela mola sobre o corpo com a força peso exercida pelo corpo sobre a mola,ou

seja, , Assim:

Porém, temos conhecimento de que a aceleração de um corpo é dada pela

derivada de segunda ordem de sua função horária do espaço. Então:

Dessa forma, substituindo o novo valor para a aceleração de (6) em (5), e

sabendo que representa a posição da mola quando há uma força atuando

sobre ela, temos, com as devidas substituições:

Mas da parte estática sabemos que:

Ou seja:

Assim, substituindo (8) em (7), teremos:

7

Resolvendo a equação diferencial (9), obteremos:

Onde A é a amplitude e uma fase qualquer.

Analisando a solução em (10) e obtendo para qual condição física é válida,

deriva-se a equação (10) duas vezes, obtendo:

E substituindo (10) e (11) em (9), obtemos:

Mas sabemos que o valor de é dado por:

Em que T é o período do movimento de oscilação.

Assim, substituindo (13) em (12), obtém:

Finalmente, isolando K, obteremos a equação para a constante elástica da mola

no caso dinâmico:

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MATERIAIS UTILIZADOS:

Trilho Pasco com uma roldana e um suporte vertical;

Carrinho (Pasco);

Três molas: de 2 cm, 4 cm e 6 cm;

Quatro massas: de 19,50 g, 19,65 g, 19,75 g e 10,3 g;

Fio inextensível;

Suporte para as massas;

Balança;

Régua;

Cronômetro;

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PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL:

Sob o trilho de Pasco, fixamos uma mola helicoidal ligada a um carrinho (com

atrito mínimo) e a um fio inextensível. Passamos o fio pela roldana e prendemo-los a

um suporte capaz de suspender diferentes massas com valores controlados, como na

figura 1. Em seguida, pesamos as quatro massas.

Na primeira parte, “Parte Estática”, usamos a mola de 2,00 cm e colocamos a

massa de 19,50 g suspensa por um suporte, de modo que a mola ficasse em estado de

equilíbrio (sem “barriga”) e desprezamos o valor da posição inicial (Xo).

Aferimos a massa (somente a quantidade que provocou o deslocamento da

mola), medimos e anotamos a variação da mola (∆X = X – Xo) na tabela 1, fixando a

massa no suporte suspenso. Logo em seguida, repetimos o mesmo processo para mais

duas massas (m2 = 19,65 g e m3=19,75g), fixando-as todas juntas na mesma mola.

Depois de anotar todos os valores, trocamos a mola mais duas vezes (para 4,00

cm e 6,00 cm) e repetimos novamente todo o processo.

Com os dados da tabela 1, calculamos os valores com os desvios da força peso e

completamos a tabela 2 e com essas informações, confeccionamos o gráfico 1: (força

peso) versus ∆X (variação da mola), em anexo. Com a interpretação dos resultados,

informamos qual é a dimensão da constante de proporcionalidade, qual a sua

representação no sistema, determinando os valores da constante de proporcionalidade e

qual a relação entre as três constantes.

Na segunda parte, “Caso Dinâmico”, usamos a mola de 6,00 cm e iniciamos com

a massa 19,50 g. Deslocamos o sistema da condição de equilíbrio, colocando-o para

oscilar. Com o auxilio do cronômetro medimos o tempo total para realizar três

oscilações completas (processo de ida e volta) e repetimos o procedimento mais duas

vezes. Variamos o total da massa, usando mais três massas (m2 = 19,65g, m3 = 19,75 g

e m4 = 10,3 g), não esquecendo que a mola não pode se deformar com excesso de

massa (o suporte não pode ultrapassar 150g) e anotamos todos os tempos na tabela 3.

Após a tabela 3 completa, calculamos os tempos e os períodos médios com os desvios,

na tabela 4 e através destas informações fizemos no papel di-log o gráfico 2: m (massa)

x Tm (período médio), em anexo e escrevemos a relação entre ambas.

Em seguida, utilizando as três molas e uma massa fixa (m=) e repetimos o

processo anterior, medindo o tempo de três oscilações completas e anotamos na tabela

5. A partir disso, montamos a tabela 6 com os dados do comprimento da mola com suas

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constantes elásticas, o tempo, o período médio de oscilação e os desvios de todos os

dados.

Com isso, criamos o gráfico 3: K (constante elástica) versus Tm (período médio)

no papel di-log, em anexo e obtivemos a relação entre essas duas grandezas.

Na terceira parte, “União da parte estática com a dinâmica” achamos a relação

entre o período médio, com a massa e a constante elástica (através da relação entre a

massa e o período e a constante com o período). Obtivemos a constante de

proporcionalidade da relação do período, com a massa e a constante elástica, através do

gráfico 4, em anexo.

Com auxilio na análise dimensional, escrevemos a equação final da constante

elástica para o caso dinâmico e obtivemos a mesma equação baseada nas Leis de

Newton e comparamos o resultado teórico com o experimental.

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RESULTADOS

Os valores obtidos na primeira parte:

L = 2 cm L = 4

cm

L = 6 cm

(g)∆X (cm) ∆X (cm) ∆X (cm)

19,50 1,6 3,1 2,6

39,15 3,7 6,9 8,4

58, 9 5,8 10,9 14,5

Tabela 1: Dados experimentais para um comprimento de mola (L) e massas suspensas variáveis ( ) e

∆X variação do deslocamento.

A partir desses dados, calculamos a força peso ( ), usando g = 980, 665

cm/ e os seus desvios (calculando a média e diminuindo o valor observado para a

força peso):

L = 2 cm L = 4 cm L = 6 cm

(Dinas) ∆X (cm) ∆X(cm) ∆X(cm)

19, 123 ± 19,305 1, 6 ±0,05 3, 1 ± 0, 05 2, 6 ± 0, 05

38, 401 ± 0, 027 3, 7 ± 0, 05 6, 9 ± 0, 05 8, 4 ± 0, 05

57, 761 ± 19, 333 5, 8 ± 0, 05 10, 9 ± 0, 05 14, 5 ± 0, 05

Tabela 2: Valores dos comprimentos das molas (L), da força peso ( ), variação do deslocamento (∆X) e

seus desvios.

Com os dados obtidos na tabela 2 construímos 3 gráficos de Ps versus ∆X:

12

13

Gráfico 1: Ps versus ∆X

Sabendo que a fórmula da constante de proporcionalidade é: (o sinal

de negativo, devido ao deslocamento), temos que as constantes de proporcionalidade

são:

Para força peso = 19, 123 dinas:

Calculando a média para temos k = 8,6.

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Para força peso = 38, 401 dinas:

Calculando a média para temos k = 6,9.

Para força peso = 57, 761 dinas:

Calculando a média para temos k = 6,42.

Na segunda parte, temos a tabela 3:

L = 6 cm

19, 50 1, 69 1, 50 1, 72

39, 15 2, 06 2, 06 2, 16

58, 9 2, 44 2, 32 2, 53

69, 2 2, 57 2, 60 2, 56

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Tabela 3: Dados experimentais, com as massas ( e o tempo de três oscilações.

Com esses dados, tiramos a média dos tempos e calculamos o

período médio ( :

(s)

19, 50 1,64 0, 55

39, 15 2,09 0, 70

58, 9 2,43 0, 81

69, 2 2,58 0, 86

Tabela 4: Dados experimentais, com as massas ( , o tempo médio das três oscilações ( e o período

médio .

Com os dados obtidos na tabela 4 efetuamos a construção do gráfico a seguir:

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Gráfico 2: Gráfico di-log de m x Tm

Repetimos o processo, com a massa

39,15x10^-3 (kg)

L(cm)

2,00 1, 35 1, 41 1, 28

4,00 1, 78 1, 62 1, 66

6,00 1, 97 1, 90 2, 03

Tabela 5: Dados experimentais, valor fixo da massa suspensa ( ), comprimento da mola (L) e o tempo

de cada oscilação.

Após esses dados, conseguimos completar a tabela 6:

l (0,05) K(0,05) tm(s) Tm(s)

2 cm 10.762,4 1,35 0,45

4 cm 5.564,2 1,69 0,56

6 cm 5.303,0 1,97 0,66

Tabela 6 – Dados Experimentais. l comprimento da mola; K constante elástica obtidas na parte I

(estática); tm e Tm é o tempo e o período médio respectivamente.

E assim com os dados obtidos na tabela 6 podemos construir o gráfico de K x Tm:

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Gráfico 3: Gráfico di-log de K x Tm

União entre as Partes II-a e II-b:

As relações obtidas anteriormente para massa e período e também para constante

elástica e o período podem formar uma única relação envolvendo as três grandezas:

Como m α T² e K α juntando as duas relações tem-se que:

Pode ser escrita como:

T =C

A unidade da constante de proporcionalidade entre T e é adimensional como

demonstrada abaixo:

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Utilizando a relação anterior e confeccionando um gráfico, onde o período estará no

eixo das ordenadas e a nas abscissas, para obter o valor da constante de

proporcionalidade C.

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ANÁLISE DOS RESULTADOS

Na etapa dinâmica do experimento, que foi dividida em três partes, sendo a

primeira parte onde deveria encontrar a relação entre a massa e o período, durante as

oscilações ocorreram algumas discrepâncias em relação ao tempo que em que as 5

oscilações terminaram, pois foi utilizado um cronometro manual que é difícil de marcar

o momento exato, alem desse problema a massa suspensa oscilava um pouco fazendo

com que o período encontrado experimentalmente. Outro erro encontrado foi na hora de

confeccionar o gráfico 3 onde teria que dar uma reta perfeita e teve uma oscilação nessa

reta mudando-a de direção.

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CONCLUSÃO

O experimento realizado teve como objetivo a determinação da constante

elástica de três molas de comprimentos diferentes, sendo elas de 2cm, 4cm e 6cm, e

determinar experimentalmente a equação da constante elástica no caso dinâmico. Como

resultado, obteve-se, relacionando o valor de deslocamento da mola com o valor da

massa suspensa obtidos no caso estático através da construção do gráfico de Peso(dinas)

X Δx(deslocamento) da mola), a relação de proporcionalidade entre a constante elástica

e o comprimento da mola, que são relacionadas inversamente, ou seja, conforme

aumenta o comprimento, menor a constante.

Assim, podemos concluir que quando se compara molas de mesmo material a

constante elástica depende do comprimento. Com relação a parte dinâmica,

encontramos experimentalmente a equação para a constante elástica relacionando os

valores obtidos de período de oscilação, massa suspensa e constante da mola. A relação

entre essas grandezas foi obtida através da construção dos gráficos de log Ms(g) X log

T(s) e de log K(dinas/cm)X log T(s) e assim obtemos que o quadrado do período

depende diretamente da massa, inversamente da constante elástica da mola e também

diretamente de uma constante de proporcionalidade, a qual é adimensional.

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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

D. Halliday.; R. Resnick, Gravitação, Ondas e Termodinâmica. 3a ed.. Rio de Janeiro,

Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda, Vol. 4, Cap.18. (1991);

F. W. Sears, Física I – Mecânica, Calor, Acústica, Rio de Janeiro, Editora Livro Técnico

Ltda, Cap. 26 e 27 , (1960);

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Universidade Estadual de Maringá;

Sites consultados

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http://pt.scribd.com/doc/58715729/15/EXPERIMENTO-17-OSCILACOES-

MECANICAS, consultado em 28/09/2011 às 23h55min.

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