UNIVERSIDADE FEDERAL DO PAR

INSTITUTO DE TECNOLOGIA - ITEC

FACULDADE DE ENGENHARIA MECNICA - FEM

PROFESSOR: DANILO DE SOUZA BRAGA

BRUNO ALBERTO CARDOSO PIGNATARIO

201002140017

DANIEL FREITAS COELHO

201002140014

VIBRAO FORADA EM UMA VIGA BIAPOIADA COM 1 GRAU

DE LIBERDADE

Belm - 2015

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1. INTRODUO

Quando se modela um sistema de maquinas rotativas, o desbalanceamento surge como causa de

vrios problemas de manuteno. Tecnicamente impossvel uma mquina rotativa sem

desbalanceamento, sendo evidente o entendimento da problemtica para atenuao de seus efeitos

Neste trabalho, para um sistema de viga bi-apoiada com motor em rotao desbalanceado, ser

determinada, experimentalmente e analiticamente, o amortecimento, rigidez e massa equivalentes do

sistema e, com tais, a frequncia natural de sistemas desse tipo com um grau de liberdade.

Para o modelo matemtico, solucionado analiticamente, foram feitas hipteses simplificadoras,

de que a excitao ocorre em apenas com 1 grau de liberdade e que a massa da viga tem influncia

na massa equivalente. O procedimento experimental e analtico ser discutido nas sees

subsequentes.

2. OBJETIVOS

Os objetivos do experimento realizado em laboratrio, sero de:

Determinar a amplitude da vibrao gerada por desbalanceamento rotativo para diferentes rotaes de um motor desbalanceado;

Determinar o ngulo de fase para diferentes rotaes de um motor desbalanceado;

Determinar o amortecimento do sistema;

Calcular analiticamente a amplitude e o ngulo de fase variando com a rotao e verificar erro com relao aos resultados experimentais.

3. MATERIAIS UTILIZADOS

Os equipamentos utilizados para realizar o experimento so:

Bancada universal para teste de vibrao (TecQuipment TM 16 N.S. 200);

Motor eltrico (electro-craft corporation servo motor-tach E-58C6A)

Lmpada Estroboscpica (DAWE Tipo 1214B)

Viga de ao de seo retangular

Controlador de rotao (TecQuipment E-11 S.N. 079)

Trena (preciso de 0,1 mm) e paqumetro (preciso de 0.05 mm)

Balana (preciso de 0,001 kg)

Micrmetro embutido na bancada (0,01 mm)

A bancada experimental montada conforme a Figura 1 (b), j (a) apresenta a conexo da lmpada

estroboscopica com o sistema.

2

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Figura 1. (a) Conexo do sistema com a lmpada estroboscpica, (b) Configurao da bancada

universal e materiais utilizados no experimento.

4. METODOLOGIA

O experimento primeiramente modelado matematicamente considerando as hipteses

simplificadores a fim de representar o modelo fsico em questo, a Figura 2 apresenta o modelo fsico

e o modelo de parmetros concentrados que foi usado na modelagem matemtica, e a partir deste,

determinando ento a frequncia natural e a razo de frequncia analiticamente, para comparao

com a experimental, cujo procedimento ser agora descrito.

Para determinar a frequncia natural e razo de frequncia experimentalmente, primeiramente a

bancada montada de forma a ter-se uma viga bi-apoiada com um motor desbalanceado e massa

conhecida preso no seu centro. Uma fonte de controle de rotao ligada ao motor e um sistema

eltrico que liga a viga em questo em um micrometro, que funciona tambm como interruptor,

utilizado para que a lmpada estroboscpica pisque na mesma frequncia de oscilao do sistema.

Isto , conforme a viga vibra com a variao da rotao do motor, o contato abre e fecha, como o

disco preso no eixo do motor tem uma marcao angular, ao se aproximar a luz estroboscpica o

ngulo de fase em questo ser mostrado. E a distncia de contato responsvel por mostrar a

amplitude de vibrao do sistema.

Se a resposta de vibrao tem a mesma caracterstica da fora de excitao, ou seja, mesma

frequncia, com uma defasagem devido a inercia de resposta do sistema. Pode-se afirmar ento que

o flash da lmpada est aproximadamente na mesma frequncia, porm com um ngulo de atraso em

relao a entrada.

Figura 2. Modelagem matemtica do sistema em questo.

(a) (b)

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5. FUNDAMENTAO TEORICA

5.1 Massa equivalente de uma viga bi-apoiada

Segundo Rao (2004), em um sistema composto de vrios elementos com massa, a massa

equivalente ser a soma das vrias massas em suas contribuies efetivas para a inercia do sistema.

Isso , no caso estudado, deve-se considerar a massa do motor e parte da massa da viga usada.

A massa efetiva da viga pode ser deduzida a partir da anlise de qualquer ponto infinitesimal

desta, de forma que a energia cintica para este ponto dada por:

=1

2

2 (1)

Se a densidade da viga no varia no comprimento, esta tem um comportamento linear, sendo

ento:

= (2)

Se a Eq. 2 for substituda na Eq. 1 e a integrao for feita no intervalo de 0 a L, e aplicando a

relao de simetria, obtm-se:

= 2 1

22

/2

0 =

2/2

0 (3)

Relacionando os deslocamentos estticos e dinmicos tem-se:

()=

(/2) =

()

(/2) (4)

A derivada do deslocamento no tempo traduz a velocidade em qualquer ponto da vida como:

=()

(/2) (5)

A substituio da Eq. 5 na equao da energia cintica resulta em:

=

(/2)22 ()2

/2

0 (6)

Onde () a equaao da linha elastica e (/2) a equaao da flexa maxima para a viga bi-apoiada. Com essas relaes estipuladas do conhecimento em mecnica dos slidos, obtm-se:

=17

35

67

22 (7)

Substituindo a equao da energia cintica da viga na equao de energia cintica do sistema tem-

se a massa equivalente total a ser usada neste problema:

1

2

2 =1

2

2 +17

35

2

2 (8)

= +17

35 (9)

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5.2 Rigidez de uma viga bi-apoiada

Para obter-se a rigidez de uma viga bi-apoiada com carregamento central, parte-se do pressuposto

que a lei de Hooke valide, ou seja, o deslocamento da viga proporcional a fora aplicada, sendo

ento o maior valor da flexa da viga o ponto onde o carregamento aplicado. Desta forma:

= (10)

A anlise do momento fletor na viga mostra que:

() = 1

2 (11)

Se

2 :

() =(2)

2 (12)

J a equao da linha elstica dada por:

. 2

2= ()

(13)

Substituindo o momento na equao da linha elstica e solucionando a equao diferencial

obtm-se:

. . () = 3

12+ 1 + 2 (14)

As constantes C1 e C2 so determinadas a partir das condies de contorno do problema, logo:

=

2

= 0

= 0 (0) = 0

A soluo da equao pode ser ento expressa, em x = L/2, por:

=3

48.

(15)

E a rigidez equivalente deste modelo dado por:

=48.

3 (16)

5.3 Vibrao forada e desbalanceamento rotativo

D figura 1 tem-se o modelo fsico construdo para simular um grau de liberdade do sistema

estudado, com vibrao forada e amortecida histereticamente. A massa equivalente, a rigidez

equivalente e o amortecimento equivalente se relacionam com a fora excitadora atravs da segunda

lei de Newton pela Eq. (17) abaixo:

+ + = () (17)

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A equao linear ordinria de segunda ordem tem a forma homognea e particular expressas por:

() = () + () (18)

Para uma fora harmnica externa aplicada, o sistema ir responder da mesma forma, tal que:

() = sin (19)

() = sin( ) (20)

Os valores de Xo e so a amplitude e a fase de resposta. A equao do movimento trata Xo como:

=/

(12)2+(2)2 =

(2)2+() 2 (21)

E a fase como:

= tan1 (2

12) = tan1 (

(2) (22)

Na regio de ressonncia a razo de frequncias, r, igual a um, logo:

=/

2 (23)

E o amortecimento equivalente pode ser calculado como:

ceq = 2 (24)

No caso especifico do desbalanceamento rotativo a fora centrifuga a responsvel por excitar o

sistema, de forma a causar uma excentricidade, que a distncia da massa desbalanceadora para o

centro de rotao a uma determinada frequncia de rotao. Logo, a equao para a fora torna-se:

() = 2 sin (25)

Substituindo este valor na equao do movimento, Eq. (17), e resolvendo as solues homogneas

e particulares, tem-se que:

=

2 /2

(12)2+(2)2 e se U = me *e , =

2

(12)2+(2)2

O fator de amplificao ento definido com a resposta do sistema a excitao, com relao a

frequncia de vibrao. Dado pela equao:

=1

(12)2+(2)2=

/ (26)

Todos esses parmetros de resposta harmnica forada geraram grficos que caracterizam a

resposta do sistema a vibrao, de acordo com seu amortecimento, excitao e ngulo de resposta.

Tais comportamentos podem ser evidenciados no grfico da figura 3. A anlise deste grfico permite

a comparao do sistema a comportamentos de acordo com a frequncia de trabalho, para ento,

nortear projetos e entendimento do comportamento do sistema nas operaes de trabalho.

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Figura 3. Comportamento de Xo e com a razo de frequncia. Rao (2004)

6. Tratamento de Dados Experimentais 6.1 Erros em resultados

Erros existem no momento em que so adotadas hipteses simplificadoras para um modelo fsico.

Seja utilizando de mtodos analticos ou numricos, estas hipteses devem ser feitas para que se

possam solucionar as equaes caractersticas do problema.

A partir do momento em que se calcula um resultado por aproximao, preciso saber como

estimar e delimitar o erro cometido nessa aproximao. O erro relativo () pode relacionar os resultados experimentais () e resultados analticos (), por exemplo, em termos de porcentagem dos resultados experimentais, o que descrito pela Eq. (23).

=||

(23)

7 DISCUSSES E RESULTADOS 7.1 Resultados experimentais

Os dados obtidos experimentalmente de amplitude de vibrao e ngulo de fase variando com a

rotao do motor desbalanceado podem ser visualizados na Tabela 1. Como pode-se visualizar na

tabela, a rotao que apresenta maior amplitude e ngulo de fase 875 RPM e , portanto, a

frequncia natural do sistema.

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Tabela 1. Amplitude e ngulo de fase para diferentes valores de rotao.

Rotao

(RPM)

Amplitude

(mm)

ngulo de

fase (graus)

725 0,16 -50

750 0,25 -10

775 0,28 -20

800 0,4 -20

825 0,51 -20

850 2,31 -10

875 7,33 90

900 0,7 150

925 0,52 160

950 0,42 170

975 0,34 170

7.2 Resultados analticos

Deve-se calcular o valor de frequncia natural de maneira analtica e, portanto deve-se conhecer a

rigidez equivalente e a massa equivalente do sistema. Onde a massa equivalente a soma de todos os

componentes do motor com a massa efetiva da viga que pode ser obtido pela Eq. (9), a rigidez

equivalente do sistema igual a rigidez da viga, que pode ser obtida pela Eq. (16).

Considerando a viga feita de ao com mdulo de elasticidade igual a 210 GPa, seo transversal

retangular de 0,0254m x 0,0127m, comprimento de 0,79 m e massa de 1,9877 kg. Alm do motor

desbalanceado, de 4,978 kg, que tem massa desbalanceadora de 0,011 kg e a excentricidade de 0,0376

m. A partir destes parmetros podemos calcular frequncia natural analtica do sistema.

A frequncia natural obtida analiticamente de 1166,2 RPM, ou 122,12 rad/s, o que mostra um

erro relativo de 33,28% comparado com a frequncia obtida experimentalmente. Isso se deve

erros relativos ao experimento como de o seletor de rotao no estar calibrado, e no se pode medir

precisamente a frequncia do motor. Ainda, podem ter havido erros relativos medio das

dimenses da barra e massa dos componentes do experimento.

A partir dos dados obtidos experimentalmente (ver Tabela 1), pode-se calcular o fator de

amortecimento do sistema que amortecimento histertico. Este clculo pode ser realizado como

mostra a Eq. (23) para uma amplitude de fora relativa que utiliza a frequncia natural calculada. O

valor obtido de fator de amortecimento 0,0027. Aps, utilizando a Eq. (24), pode-se calcular o

amortecimento equivalente do sistema, onde obtm-se 3,8903 Ns/m.

Os valores de amplitude e ngulo de fase so ento calculados e adequados graficamente para

visualizar sua variao conforme a razo de frequncias (ver Figura 4). Para o clculo analtico, as

razes de frequncias calculadas levam em considerao a frequncia natural calculada

analiticamente, por isso o pico na ressonncia coincide com o resultado experimental.

Pode-se visualizar que a amplitude na ressonncia obtida analiticamente igual a 0,0122 m, o

resultado obtido experimentalmente foi 0,0073. Um erro relativo igual a 67,12% do resultado

analtico. Isto pode se dar pelo fato de o domnio da frequncia experimental no for muito bem

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discretizado prximo ressonncia, caso o experimento tivesse mais amostras, era possvel um

resultado mais prximo.

No ngulo de fase houveram pequenas discrepncias, porm para a menor razo de frequncia

obteve-se um erro prximo 100%, o que pode ter sido por erro na leitura do transferidor fixo no

motor.

Figura 4. Amplitude e ngulo de fase para diferentes razes de frequncia.

8 CONCLUSES

Muitas so as aplicaes de sistemas onde podemos model-los por parmetros concentrados, onde

temos um sistema de vibrao forada, com 1 GDL e com amortecimento. Neste trabalho foi descrita

a obteno da amplitude de vibrao e ngulo de fase de um sistema submetido uma fora harmnica

devido ao desbalanceamento de um motor que fixo em uma viga biapoiada.

Foram determinados o valor da frequncia natural, rigidez, massa e amortecimento equivalente em

que o ltimo amortecimento histertico ou estrutural. Como o amortecimento baixo, tm-se altos

valores de amplitude, o que pode ser reduzido com a atribuio de um elemento de amortecimento

viscoso ou viscoelstico.

Observa-se que o erro relativo encontrado para o valor da frequncia natural foi em torno de 30%,

o que bem considervel. Este erro alto pode ser devido ao seletor de rotao ser descalibrado, ou

ento medio imprecisa das dimenses e massas relativas ao sistema.

Para a amplitude que calculada, obteve-se um erro relativo maior que 60%. Este pode ser devido

ao domnio da frequncia experimental no ter sido bem discretizado, j que para um nmero maior

de amostras possvel que o erro diminua. Tambm, este erro referente forma como foi medido

as amplitudes, de forma, a inferir erros como paralaxe e mal contato do circuito eltrico.

Para o ngulo de fase obteve-se um erro mximo de 50% para a menor frequncia de rotao

atribuda, o que pode ser explicado tambm por paralaxe e mal contato do circuito eltrico, j que

para rotaes pequenas era mais difcil visualizar o ngulo no transferidor com a lmpada

estroboscopica.

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A prtica experimental de vibrao forada em uma viga biapoiada que foi apresentada se mostra

como um procedimento experimental importante para aprofundar os conceitos tericos no sentido da

determinao de parmetros como frequncia natural, amortecimento, rigidez, massa etc. E ainda, a

monitorao de equipamentos submetidos a este tipo de regime (desbalanceamento) pode ser feita se

utilizando destes conhecimentos de vibraes mecnicas.

9 REFERNCIAS

Flitzgerard, R. Mechanics of Materials. Mass.: Addison-Wesley. 1982.

Rao, S. S. Mechanical Vibrations. Pearson Prentice Hall. 4th Ed. United States of America. 2004.

Soeiro, N. S. Curso de fundamentos de vibrao. Universidade Federal do Par, 2008.