Vibracoes Sistemas Mecanicos Resumo MHS

MOV_HARMONICO_SIMPLES 10/09/2015

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VIBRAÇÃO DE SISTEMAS MECÂNICOS

Vibrações – Conceitos BásicosConceito: É qualquer movimento que se repete,

regular ou irregularmente, depois de um intervalo detempo.

O movimento de um pêndulo e da corda de umviolão são exemplos simples de vibrações.

Em engenharia estes movimentos ocorrem emelementos de máquinas e nas estruturas, quandoestes estão submetidos a ações dinâmicas.

Vibração livre é aquela produzida por umaperturbação inicial que não persiste durante omovimento vibratório. Como exemplo tem-se avibração do pêndulo simples. Depois de deslocado desua posição de equilíbrio, o pêndulo simplespermanece em movimento oscilatório sem quenenhum efeito externo intervenha.


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Vibrações – Conceitos BásicosVibração forçada é provocada por um efeito externo

que persiste durante o tempo em que o movimentovibratório existir. O movimento de um rotordesbalanceado é típico de uma vibração forçada.

Vibração amortecida é aquela em que a energiavibratória se dissipa com o transcorrer do tempo deforma que os níveis vibratórios diminuemprogressivamente.

Vibração não amortecida é aquela em que aenergia vibratória não se dissipa de forma que omovimento vibratório permanece imutável com opassar do tempo.

Vibrações – Conceitos BásicosVibração forçada é provocada por um efeito externo

que persiste durante o tempo em que o movimentovibratório existir. O movimento de um rotordesbalanceado é típico de uma vibração forçada.

Vibração amortecida é aquela em que a energiavibratória se dissipa com o transcorrer do tempo deforma que os níveis vibratórios diminuemprogressivamente.

Vibração não amortecida é aquela em que aenergia vibratória não se dissipa de forma que omovimento vibratório permanece imutável com opassar do tempo.


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Vibrações – Conceitos BásicosVibração linear é aquela que ocorre em um sistema

cujos componentes atuam linearmente (a força demola proporcional ao deslocamento, a força deamortecimento é proporcional à velocidade e a forçade inércia é proporcional à aceleração).

Vibração não linear é aquela em que um ou maiscomponentes do sistema não se comportalinearmente, ou seja a força produzida não apresentauma relação linear com a variável cinemática a que seassocia (relações quadráticas, cúbicas, logarítmicas,exponenciais, senoidais, etc.

Vibração determinística é aquela em que se podeprever todas as características do movimentovibratório em qualquer instante de tempo.

Vibrações – Conceitos BásicosVibração aleatória ou não determinística é aquela

em que não é possível prever o que irá acontecer nomovimento vibratório.

Graus de Liberdade é o número mínimo decoordenadas independentes necessárias a descrevercompletamente o movimento de todas as partes quecompõem um sistema vibratório.


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Vibrações – Conceitos Básicos



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Vibrações – Conceitos BásicosSistemas Contínuos e Discretos - Sistemas que

podem ser separados em partes de forma que cadauma delas possua um determinado número de grausde liberdade e o sistema global tenha um número finitode graus de liberdade são sistemas discretos, sendotambém chamados de sistemas com parâmetrosconcentrados.

Um sistema contínuo não pode ser dividido,possuindo um número infinito de graus de liberdadesendo também conhecidos como sistemas comparâmetros distribuídos.

Vibrações – Conceitos BásicosMovimento HarmônicoO movimento harmônico é a forma mais simples

com que uma vibração se apresenta. A Figura ilustra ageração deste movimento. Pode ser representado pelaequação x = Asen(ωt) ou, se a origem do movimentonão coincidir com sen(ωt) = 0, x = Asen(ω t +φ ).

A forma do movimento harmônico não muda se aoinvés de seno se utilizar cosseno ou uma soma deseno e cosseno com o mesmo argumento. Estasformas apenas provocam um deslocamento da funçãono tempo, refletida no valor de φ .

As principais características do movimentoharmônico são:


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Vibrações – Conceitos BásicosAmplitude - A - é o máximo valor atingido por x. A unidade

utilizada é a mesma da variável x.Período - T - é o tempo transcorrido até que o movimento se

repitaFrequência - f - é o número de repetições que ocorrem em

uma determinada unidade de tempo. É definida como o inversodo período,

Frequência angular - ω - é a velocidade angular com que umvetor de amplitude A gira, de forma que suas projeçõeshorizontal e vertical são movimentos harmônicos.

Relaciona-se com a frequência f por ω = 2πf.Fase inicial - φ - é o ângulo inicial do argumento da função

senoidal que descreve o movimento harmônico.

Vibrações – Conceitos Básicosimportante quando se compara dois movimentos

harmônicos não coincidentes no tempo. Ao seestabelecer um movimento como básico, uma escolhaadequada do início da observação do movimento farácom que o ângulo de fase represente o quanto ummovimento está adiantado ou atrasado em relação aooutro.

A velocidade e a aceleração com que semovimenta verticalmente a haste do mecanismo deScotch Yoke (Figura). São obtidos derivando-se aequação do movimento chegando-se a:

v = dx/dt=ωA.cos(ωt + φ)a = dv/dt=-ω2A.sen(ωt + φ)


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Vibrações – Conceitos BásicosDecibelA unidade técnica decibel é utilizada para

expressar valores relativos da amplitude dodeslocamento, da velocidade e da aceleração. Édefinida: dB = 20log(z/zo), onde z é a quantidade emconsideração e zo um valor de referência para amesma quantidade. Alguns valores de referência emuso são vo = 10-8 m/s para a velocidade e ao = 9,81 x10-6 m/s2 para a aceleração e po = 2 x 10-5 N/m2 parapressão acústica, Io = 10-12 W/m2 para intensidadeacústica e W0 = 10-12 W para potência acústica. Estesúltimos valores correspondem aos limiares depercepção do ouvido humano. Importante quando secompara dois movimentos harmônicos nãocoincidentes no tempo.

Vibrações – Conceitos BásicosOitavaÉ a medida relativa geralmente utilizada para a

freqüência: se duas freqüências possuem a relação2:1 se diz que estão separadas por uma oitava.

Valor rmsUma medida de vibração muito utilizada é o valor

rms (root mean square = valor médio quadrático). Édefinido por:

X2 = 1/T∫ x2 (t)dt (integral de 0 a T).Para funções harmônicas x = A.sen(ωt) , X=

0,707.AO valor rms veio a ser utilizado porque os

instrumentos que medem vibrações convertemmovimento vibratório x(t) em um sinal elétrico V(t) =c.x(t) medindo a sua potência que é dada por : 1/T∫ V2

(t)dt = c2/T ∫ x2 (t)dt = c2.X


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Vibrações – Conceitos BásicosRepresentações Vetorial e ComplexaA manivela do mecanismo de Scotch Yoke, pode

ser interpretada como um vetor de módulo A cujadireção muda constantemente segundo o ângulo ωt.As projeções horizontal e vertical do vetor sãomovimentos harmônicos dados por: x = A.cos(ωt) e y =A.sen(ωt).

A mesma representação vetorial pode serexpressa na forma de números complexos. O planocomplexo é então utilizado para descrever omovimento. O vetor girante é representado por umaquantidade complexa, com os eixos x e y sendosubstituídos pelos eixos real e imaginário. O expressopor: X = A.e-iwt = A.[cos(ωt) +i.sen(ωt)]



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Vibrações – Conceitos BásicosO pêndulo simples, ou pêndulo matemático, constitui-se noexemplo mais simples de um sistema físico que exibemovimento harmônico quando oscila com pequenas amplitudes(até 30º). É formado por uma massa m, ligada à

extremidade de uma haste de comprimento l de massa

desprezível, que, em sua outra extremidade vincula-se a uma

articulação de forma que seu movimento é uma oscilação noplano vertical. A Figura mostra o modelo de umpêndulo simples. E em seguida apresenta um exemplo de umguindaste com uma carga pendurada que pode serconsiderado como um pêndulo simples quando se estuda omovimento da carga. Em um determinado instante de tempo t,

a haste forma um ângulo θ com a vertical. As forças que atuam

sobre a massa m são o seu peso W e a tensão na haste T

como ilustra a Figura.

Vibrações – Conceitos BásicosA massa apresenta uma aceleração com componentes radial

ar e tangencial at e a haste possui uma velocidade angular ωuma aceleração angular α.Aplicando a Lei de Newton para movimento de rotação para oconjunto de forças mostrado no diagrama de corpo livre daFigura, na forma da soma de momentos em relação àarticulação, obtém-se a seguinte relação− mgl senθ = I.d2θ/dt2 = ml2.d2θ/dt2 , dividindo tudo por ml2 earrumando os termos chega-se à conhecida equação dopêndulo simples: d2θ/dt2 + (g/l).sen(θ) = 0 para pequenasoscilações pode-se linearizar fazendo senθ ≅θ .Assumindo-se que a amplitude é pequena a equação podeser escrita na forma: d2θ/dt2 + ω2 . θ = 0, cuja solução é dadapor θ (t) = c1 (ωt) + c2.sen(ωt).


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Vibração Livre de Sist. c/Amortecimento Viscoso

O amortecimento representa a capacidade do sistema em dissiparenergia. Como modelo mais simples de amortecimento se apresenta oamortecimento viscoso, assim chamado por representar a forçadissipativa proporcionada por um fluido viscoso. Esta força tem comocaracterística principal ser proporcional à velocidade relativa entre assuperfícies em movimento quando existe um fluido separando-as.

A força de amortecimento viscoso tem como expressão Fa = -cdx/dt,onde c é a constante de amortecimento.

Ao se aplicar o 2°axioma da mecânica, temos a equação


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� Discutir a vibração de um grau de liberdade não amortecida de um

corpo rígido usando os métodos de equação de movimento e

energia.

Objetivos do capítulo – MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES

� Define-se vibração como o movimento periódico de um corpo ou

sistema de corpos conectados tirados de uma posição de

equilíbrio.

� Há dois tipos de vibração: livre e forçada, que podem ser

amortecidas ou não.

� A vibração livre ocorre quando o movimento é mantido por forças

restauradoras gravitacionais ou elásticas (exemplo: o movimento

de um pêndulo).

� A vibração forçada é causada por uma força intermitente ou

periódica externa aplicada ao sistema.

Vibração livre não amortecida


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� O tipo mais simples de movimento vibratório é a vibração livre

não amortecida, representada pelo modelo de bloco e mola

mostrado na Figura abaixo:


� O diagrama de corpo livre é mostrado na Figura abaixo:



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Modelo de Sistema Massa-Mola

1. Diagrama de corpo livre

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Sistema Massa-Mola

Domínio do Tempo Condições Iniciais


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A constante ωn é chamada de a frequência natural e, neste caso,

A primeira equação é uma equação diferencial linear, de segunda

ordem, homogênea com coeficientes constantes. Pode ser

demonstrado, usando os métodos de equações diferenciais, que a

solução geral é


A velocidade e aceleração do bloco são determinadas tomando

sucessivas derivadas de tempo, o que resulta em

Por exemplo, suponha que o bloco na figura ao

lado foi deslocado uma distância x1 para a

direita de sua posição de equilíbrio e submetido

a uma velocidade (positiva) inicial v1 direcionada

para a direita.



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A equação descrevendo o movimento torna-se

A equação apresentada anteriormente também pode ser expressa em

termos de movimento senoidal simples. Para demonstrar isso,

suponha

e

então,


Se esta equação é representada em um eixo x versus ωnt, o gráfico

mostrado na Figura abaixo é obtido.



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Observe que a curva do seno completa um ciclo no tempo t = τ

quando ωnτ = 2π, ou

o período também pode ser representado como

A frequência f é definida como o número de ciclos completados por

unidade de tempo, que é o recíproco do período; isto é,

Consequentemente, o movimento é descrito por:


� A vibração livre ocorre quando o movimento é mantido por forças

restauradoras elásticas ou gravitacionais.

� A amplitude é o deslocamento máximo do corpo.

� O período é o tempo necessário para completar um ciclo.

� A frequência é o número de ciclos completados por unidade de

tempo, onde 1 Hz = 1 ciclo/s.

� Apenas a coordenada de posição é necessária para descrever a

localização de um sistema de um grau de liberdade.

Pontos importantes


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Diagrama de corpo livre

� Trace o diagrama de corpo livre do corpo quando este é deslocado

uma pequena distância de sua posição de equilíbrio.

� Localize o corpo em relação à sua posição de equilíbrio utilizando

uma coordenada inercial q apropriada. A aceleração do centro de

massa do corpo aG ou a aceleração angular do corpo α devem ter

um sentido de direção presumido que está na direção positiva da

coordenada de posição.

Procedimento para análise

Diagrama de corpo livre

� Se a equação rotacional de movimento ΣMP = Σ(Mk)P deve ser

usada, então também pode ser benéfico traçar o diagrama cinético,

já que ele leva em consideração graficamente os componentes

m(aG)x, m(aG)y, e, IGα, e desse modo, torna conveniente para a

visualização os termos necessários na soma de momentos Σ(Mk)P.



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Equação de movimento� Aplicar a equação de movimento para relacionar as forças

restauradoras elásticas ou gravitacionais e momentos acoplados

atuando sobre o corpo ao movimento acelerado do corpo.

Cinemática� Utilizando a cinemática, expresse o movimento acelerado do

corpo em termos da segunda derivada de tempo da coordenada de

posição, .

� Substitua o resultado na Equação de movimento e determine ωn

rearranjando os termos de maneira que a Equação resultante seja

na ‘fórmula-padrão’,


Considere mais uma vez o modelo de bloco e mola na Figura abaixo:

Métodos de energia


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Já que a energia é conservada, é necessário que

A equação diferencial descrevendo o movimento acelerado do bloco

pode ser obtida diferenciando-se essa equação em relação ao tempo,

ou seja,

Já que a velocidade x não é sempre zero em um sistema vibratório,

Métodos de energia

.

Equação de energia

� Desenhe o corpo quando ele é deslocado por uma pequena

distância da sua posição de equilíbrio e defina a localização do

corpo a partir de sua posição de equilíbrio por uma coordenada de

posição apropriada q.

� Formule a conservação de energia para o corpo, T + V =

constante, em termos da coordenada de posição.



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Equação de energia

� Em geral, a energia cinética tem de levar em consideração tanto o

movimento rotacional quanto o translacional do corpo.

� A energia potencial é a soma das energias potenciais elásticas e

gravitacionais do corpo, V = Vg + Ve. Em particular, Vg deve ser

medido a partir de um ponto de referência para o qual q = 0

(posição de equilíbrio).


Derivada de tempo

� Tome a derivada de tempo da equação de energia usando a regra

de três composta do cálculo e remova os termos comuns. A

equação diferencial resultante representa a equação de movimento

para o sistema. A frequência natural de ωn é obtida após rearranjar

os termos na ‘fórmula-padrão’,



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Rigidez do Material

• Segunda lei de Newton

Capítulo 2 Vibração livre de sistemas com um

grau de liberdade2.2 Vibração livre de um sistema de translação não amortecido

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grau de liberdade

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( )d d

M t Jdt dt

θ =

r&&r

( )d

M t J Jdt

θθ= =

rr&&r&& cteJ =


grau de liberdade

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2.2 Vibração livre de um sistema de translação não amortecido

• Princípio de D’Alembert


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grau de liberdade

Slide 54

• Princípio dos deslocamentos virtuais


• Princípio da conservação de energia


grau de liberdade

Slide 56

• Equação de movimento de um sistema massa-mola em posição vertical



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grau de liberdade

Slide 58

Solução• Substituindo na equação do movimento



grau de liberdade

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Solução (continuação)2.2 Vibração livre de um sistema de translação não amortecido


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grau de liberdade

Slide 60

Movimento harmônico



grau de liberdade

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grau de liberdade

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2.3 Vibração livre de um sistema torcional não amortecido

0t

GJM

l=

4

032

dJ

π=

4

0

32

tt

M GJ Gdk

l l

π

θ= = =

,

Modelo Equivalente – Massa Mola


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grau de liberdade

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Equação de movimento2.3 Vibração livre de um sistema torcional não amortecido


grau de liberdade

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Solução2.3 Vibração livre de um sistema torcional não amortecido


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grau de liberdade

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Solução2.3 Vibração livre de um sistema torcional não amortecido

00( ) cos senn n

n

t t tθ

θ σ ω ωω

= +

&


grau de liberdade

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Pêndulo composto – centro de percussão:



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grau de liberdade

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grau de liberdade

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grau de liberdade

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2.5 Método de energia de Rayleigh

Vibração Livre de Sistemas de Sistemas Torcionais

Vibração Livre sem AmortecimentoVibração torsional é entendida como a oscilação deum corpo em relação a um eixo de referência. Omovimento é descrito por uma coordenada angular eos esforços atuantes se apresentam na forma demomentos. Desta forma o elemento elástico apresentaum momento de restauração, resultante da torçãodeste mesmo elemento. A figura apresenta o esquemade um disco sustentado por um eixo em torção.A torção de eixos circulares apresenta a relação entreo momento torsor e a deformação produzida naextremidade dada por:


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Sendo Mt o momento torsor aplicado na extremidadedo eixo, l o comprimento do eixo, G o módulo deelasticidade transversal do eixo, o momento deinércia polar da área da seção transversal do eixo e θa deformação produzida na extremidade do eixo. Arigidez torsional, Kt, pode então ser definida como:


Vibração Livre sem AmortecimentoA vibração livre, gerada por uma condição inicial, éregida por uma equação resultante da aplicação dosegundo axioma da mecânica ao movimento angular,em que os esforços atuantes estão mostrados nodiagrama de corpo livre da figura, resultando em:em que I0 é o momento de inércia de massa do disco.A EDO é homogênea de segunda ordem. A solução édada por:

Aplicando as condições iniciais θ(0)=θ0 ea equação se transforma em:


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Vibração Livre sem AmortecimentoExemplo 16 - Qualquer corpo rígido pivotado em umponto que não seja o seu centro de gravidade oscilaráem torno do ponto de pivotamento, quando deslocadode sua condição de equilíbrio estático, em virtude daforça gravitacional. Este tipo de sistema (Figura) éconhecido como pêndulo composto. Determinar a suafreqüência natural.


O Segundo axioma da mecânica aplicado aomovimento em relação ao ponto de pivotamentoresulta em:que pode ser linearizada com senθ ≅θ , assumindo-sepequenas oscilações, resultando em:que é uma oscilação com frequência natural igual a:

Como a frequência natural do pêndulosimples é dada por: é possível se estabelecerum pêndulo simples equivalente ao pêndulo composto(com a mesma frequência natural) que deverá ter umcomprimento igual a: Se I0 = m(k0)2, onde k0 é oraio de giração em relação ao pivô O, a frequêncianatural e o comprimento do pêndulo simplesequivalente são dados por:


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O teorema de Steiner (teorema dos eixos paralelos)permite que se relacione o raio de giração em relaçãoao pivô, k0 , e o raio de giração em relação ao centrode gravidade kG, na forma: usando a relaçãoentre o raio de giração em relação ao pivô e ocomprimento do pêndulo simples equivalente, estepode também ser dado por:Na figura, o comprimento do pêndulo simplesequivalente é: l = GA + d = AO.

O ponto A que é o ponto onde se deve concentrar todaa massa do corpo para que ele se transforme em umpêndulo simples de mesma freqüência natural éconhecido como centro de percussão, e tem algumasaplicações práticas, como por exemplo:


1. Um martelo deve ser construído de forma que oseu centro de percussão se localize na cabeça e ocentro de rotação na empunhadura para que aforça de impacto não produza reação normal naempunhadura;

2. Uma máquina de ensaio de impacto deve serprojetada de forma que o ponto de impacto nocorpo de prova seja o centro de percussão dopêndulo para que seja reduzida a deformação porflexão do braço do pêndulo;

3. Se as rodas dianteiras de um automóvel passampor um buraco, os passageiros não sentirão esteimpacto se o centro de percussão se localizarpróximo ao eixo traseiro. O ideal é que o centro deoscilação do veículo se localize em um eixo e ocentro de percussão no outro.


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.


.


36




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Onde I0 é o momento de inércia da massa do disco,é a velocidade angular e Kt é a constante de rigideztorsional do sistema (torque de restituição por unidadede deslocamento).

A solução dessa EDO pode ser obtida de formaanáloga àquela que utilizamos nos sistemas comvibração livre com amortecimento viscoso. Porexemplo, no caso de vibração sub-amortecida, afreqüência da vibração amortecida é dada por:


Exemplo 17 - Vibração rotacional de sólidos. Umdisco circular de raio R tem um furo de raio r a umadistância do seu centro. O disco está livre para girarno plano vertical em torno de um eixo perpendicular aoplano do disco e passando pelo seu centro.Determinar a freqüência natural de oscilação do disco.


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Exemplo 17 - Vibração rotacional de sólidos. Umdisco circular de raio R tem um furo de raio r a umadistância do seu centro. O disco está livre para girarno plano vertical em torno de um eixo perpendicular aoplano do disco e passando pelo seu centro.Determinar a frequência natural de oscilação do disco.

Se M é a massa que teria o disco se não tivesse oburaco e m a massa que preencheria o buraco então:

e como segue:

BIBLIOGRAFIA BÁSICA

• SOTELO Jr, J.; FRANÇA, L. N. F. Introdução ás Vibrações Mecânicas. 1ª edição. São Paulo: Editora Edgard Blucher, 2006.

• BALACHANDRAN, B.; MAGRAB, E. B. Vibrações Mecânicas. Tradução da 2ª edição norte americana. São Paulo: Editora Cengage Learning, 2011.

• RAO, S. Vibrações Mecânicas. 4ª edição. São Paulo: Editora Prentice Hall, 2008.

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BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR

• BEER, F. P.; Russell, J.E. Jr. Mecânica Vetorial para Engenheiros. Dinâmica. 7a edição. Rio de Janeiro: McGraw-Hill, 2006.

• HIBBELER, R. C. Mecânica – Dinâmica: mecânica para engenharia. 12ª edição. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2011.

• MERIAM, J. L.; KRAIGE, L. G. Mecânica para Engenharia: Dinâmica. 6ª edição. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científico, LTC, 2009.

• BORESI, A P., SCHIMIDT, R. J. Dinâmica. Editora Pioneira Thompson Learning, São Paulo, 2003.

• UICKER, J. J.; PENNOCK, G. N.; SHIGLEY J. E. Theory of Machines and Mechanisms. 4th Edition, Oxford, England: Oxford Press: 2010.

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