unidade 1 vibracoes

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Unidade 1 - Introduo

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2. A freqncia natural da vibrao longitudinal de uma coluna inversamente proporcional ao comprimentoda mesma.

3. A tese anterior tambm vlida para recipientes. Pitgoras mudava a freqncia natural colocando guadentro deles.

4. Pitgoras tambm testou discos, mas no existem registros de resultados. Existe um relato em Phaedon dePlato, que Hipasos (um discpulo de Pitgoras que diz-se tenha sido morto por revelar segredos pitagricos) testou quatro discos de bronze e encontrou freqncias naturais inversamente proporcionais s

espessuras.

Figura 1.2 esquerda experincias de Bocio com o monocrdio e direita Pitgoras e suas experincias commartelos e sinos em seu laboratrio (Reproduzido de Dimarogonas, A., Vibration for Engineers, Prentice Hall, 1995).

As pesquisas sobre o movimento do pndulo se originaram nas culturas grega e chinesa, encontrando-se

indicaes que tenha sido utilizado como medidor de tempo (portanto sendo conhecido o seu isocronismo perodoconstante) nos tempos de Aristfanes (450-388 AC).O primeiro texto sobre acstica,On Acoustics , foi escrito por Aristteles, tendo sido o termo utilizado pela

primeira vez ento.

Figura 1.3 Sismgrafo chins do segundo sculo (Reproduzido de Dimarogonas, A., Vibration for Engineers, PrenticeHall, 1995).


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Os instrumentos de medio de vibraes se originam na Grcia e China antigas. Herdoto (cerca de 484 a 425a.C.) registra a existncia de um transdutor de vibrao (um escudo coberto com uma fina camada de bronze) que eraencostado ao solo produzindo som quando este apresentava qualquer movimento vibratrio. Era utilizado no sextosculo a.C. para detectar a escavao de tneis subterrneos em Barca, norte da frica, atual Lbia, ento sobdominao persa. Vrios outros instrumentos podem ser citados, mas um merece especial ateno: um sismgrafoconstrudo na China por volta do ano de 132 d.C. O governo imperial desejava detectar antecipadamente terremotos, para que pudessem se preparar. O cientista e matemtico Zhang Heng inventou um instrumento que era constitudo por

um pndulo de 3 m de comprimento, usando bolas para registrar a direo e, talvez, a magnitude. Com 2 metros delargura, parecia um jarro de bronze. Oito cabeas de drago circundavam a parte superior. Debaixo de cada uma haviaum sapo de bronze. Quando o jarro sentia um tremor de terra, mesmo nfimo, uma bola caa de um drago na boca deum sapo. A genialidade desse ancestral de todos os sismgrafos estava no fato de que a bola caa na direo de ondevinha o tremor graas a um mecanismo no interior do jarro. Alguns engenheiros supem que se tratava de um pndulosuspenso por um cabo com oito alavancas ligadas s oito bocas de drago. Quando um tremor vinha do sul, porexemplo, fazia com que a parte inferior do pndulo oscilasse para o norte. Assim a parte superior inclinava-se para o sul,acionando a alavanca ligada ao drago do sul. Sua boca abria-se e a bola caa. Desse modo, Zhang Heng podia informar corte quando ocorria um terremoto, indicando a direo da rea atingida. Este instrumento instalado no Departamentode Astronomia e Calendrio, da cidade de Luoyang, ento capital da Dinastia Han (de 206 a.C. a 220 d.C.), registrou umterremoto ocorrido a cerca de 600 km de distncia, no sensvel ao ser humano o que convenceu a todos da utilidade domesmo ( National Geographic Brasil, fevereiro de 2004). A Fig. 1.3 mostra uma reproduo deste sismgrafo.

J nos primrdios da era modernaGalileu estabeleceu formalmente a relao entre o comprimento do pnduloe o seuper odo de osci lao e observou a ressonncia entre dois corpos, conectados por algum meio de transferncia deenergia e sintonizados em uma mesmafreqnci a natural . Galileu tambm observou as relaes entre densidade,tenso, comprimento e freqncia de uma corda vibratria. A relao entre o som e a vibrao de um elementomecnico j era conhecida no seu tempo, mas foi Galileu quem achou a relao entre a tonalidade sonora e a freqnciada vibrao do elemento mecnico. Quase ao mesmo tempo,Hooke demonstrou as mesmas relaes entre tonalidade efreqncia.

Wallis e Sauveur observaram, independentemente, o fenmeno das formas modais (com pontos estacionrios,chamadosns) ao estudarem cordas vibratrias. Tambm descobriram que a freqncia do segundo modo o dobro dafreqncia do primeiro, a do terceiro o triplo, etc. A Sauveur so creditados os termosfundamental para a freqnciado primeiro modo eharmnicas para as outras.

Bernoulli foi o primeiro a propor o princpio da superposio linear de harmnicas: qualquer configurao davibrao livre construda a partir das configuraes das harmnicas individuais, agindo independentemente, com pesosvariados.

Aps o enunciado da Lei da Elasticidade por Hooke em 1676,Euler (1744) eBernoulli (1751) determinarama equao diferencial que governa a vibrao lateral de barras prismticas e investigaram a sua soluo para o caso de pequenas deformaes.

Coulomb (1784) realizou estudos tericos e experimentais sobre as oscilaes torcionais de um cilindrometlico suspenso por um arame.

H uma histria interessante relacionada ao desenvolvimento da teoria de vibrao em placas: Em 1802, Chladni desenvolveu o mtodo de espalhar areia sobre uma placa vibratria para encontrar as

suas formas modais, observando a beleza e a complexidade dos desenhos que se formavam sobre as placas emvibrao. Em 1809, a Academia Francesa convidou Chladni para dar uma demonstrao de suas experincias.Napoleo Bonaparte , comparecendo ao encontro, ficou muito impressionado e destinou uma soma de 3000 francos

para a Academia premiar a primeira pessoa que apresentasse uma teoria matemtica satisfatria sobre vibrao de placas. Na data da competio, outubro de 1811, somente Sophie Germain se apresentou. Mas Lagrange , que era umdos julgadores, observou um erro na determinao das equaes diferenciais do movimento. A Academia, entodeterminou uma outra competio em outubro de 1813. Sophie Germain novamente se apresentou com a forma corretada equao diferencial. A Academia, entretanto, no concedeu o prmio porque os juizes exigiram uma justificativa

fsica para as hipteses utilizadas na demonstrao da equao. Apenas na terceira edio da competio, em 1816,Sophie Germain conseguiu ganhar o prmio, apesar dos juizes no estarem completamente satisfeitos com a sua teoria.

Realmente, mais tarde descobriu-se que a equao diferencial estava correta mas as condies de contorno estavamerradas. As condies de contorno corretas foram apresentadas apenas em 1850, por Kirchoff . ( possvel ver ademonstrao da placa de Chladni no site www.youtube.com).

Em 1877,Lord Rayleigh publicou seu livroA Teori a do Som , at hoje considerado um clssico no assunto.Dentre vrias outras contribuies de Rayleigh, merece destaque o mtodo de determinao da freqncia fundamentalde vibrao de um sistema conservativo utilizando o princpio da conservao da energia, conhecido comoM todo deRayleigh .

Em 1902,Frahm investigou a importncia do estudo da vibrao torsional no projeto de eixos propulsores de barcos a vapor. O absorvedor dinmico de vibrao, que envolve a adio de um sistema massa-mola secundrio paraeliminar as vibraes de um sistema principal, foi tambm proposto por Frahm em 1909.
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Modernamente, muitos outros pesquisadores contriburam com o estudo de vibraes.Stodola apresentou ummtodo de anlise de vibraes em vigas que tambm se aplica a vibraes de lminas de turbinas. Timoshenko eMindlin contriburam marcadamente com a melhoria das teorias de vibrao em vigas e placas.

Em vibraes no lineares a teoria comeou a se desenvolver no final do sculo passado comPoincar eLyapunov. Aps 1920,Duffing e van der Pol realizaram estudos (suas equaes so paradigmas de sistemasdinmicos no-lineares) sobre a teoria de vibraes no lineares e concentraram ateno em sua aplicao a problemasde engenharia. Nos anos recentes, com o uso de computadores que permitem a realizao de grandes quantidades de

clculos em tempos pequenos, cresceu muito o interesse por estudos em vibraes no-lineares, o que se reflete em umagrande quantidade de trabalhos publicados.O primeiro cientista a falar em vibraes aleatrias foiEinstein, em 1905, ao estudar o movimento Browniano

( o movimento aleatrio de partculas macroscpicas num fluido como consequncia dos choques das molculas dofluido nas partculas). A introduo da funo de correlao em 1920, porTaylor , e da densidade espectral, no incio dadcada de 30, porWiener e Khinchin, abriram novas perspectivas para o progresso da teoria de vibraes aleatrias.Lin e Rice publicaram trabalhos entre 1943 e 1945, abrindo o caminho para aplicao de vibraes aleatrias a problemas de engenharia.

Atualmente, o estudo de vibraes est sendo altamente influenciado pelo advento dos computadores digitaisque proporcionaram a realizao de grandes quantidades de clculos em tempos pequenos. Isto permitiu odesenvolvimento de mtodos numricos de anlise de sistemas de vrios graus de liberdade, permitindo a criao demodelos matemticos para representar o comportamento de sistemas de grande porte e com grande preciso.Instrumentos de medio de alta tecnologia (lasers, por exemplo) tambm permitiram o desenvolvimento de mtodosexperimentais que, associados aos mtodos computacionais, proporcionaram extraordinrios avanos no estudo de problemas vibratrios.

1.2 - A importncia do estudo da vibraoA maioria das atividades humanas envolve alguma forma de vibrao. Ns ouvimos porque o tmpano vibra,

ns vemos porque ondas luminosas se propagam. A respirao est associada vibrao dos pulmes, os batimentoscardacos so movimentos vibratrios, a fala se fundamenta na vibrao das cordas vocais e os movimentos humanosenvolvem oscilaes de braos e pernas. Em muitos outros campos da atividade humana, fenmenos apresentamvariveis cujo comportamento oscilatrio (economia, biologia, qumica, fsica, etc.). No campo tecnolgico, asaplicaes de vibraes na engenharia so de grande importncia nos tempos atuais. Projetos de mquinas, fundaes,estruturas, motores, turbinas, sistemas de controle, e outros, exigem que questes relacionadas a vibraes sejam levadas

em conta.Os primeiros estudos de vibraes em engenharia mecnica foram motivados pelo problema de balanceamentoem motores. O desbalanceamento pode ser tanto devido a problemas de projeto como fabricao e manuteno. Odesbalanceamento em motores diesel, por exemplo, pode causar vibraes no solo de tal grandeza que criamdesconforto ambiental em reas urbanas. As rodas de locomotivas podem sair at um centmetro dos trilhos devido adesbalanceamento. Os engenheiros ainda no conseguem resolver uma grande parte dos problemas originados em ps erotores de turbinas. As estruturas projetadas para suportar mquinas centrfugas pesadas (motores, turbinas, bombas,compressores, etc.) tambm esto sujeitas a vibrao. possvel que partes destas estruturas sofram fadiga devido variao cclica de tenses induzidas. A vibrao tambm causa desgaste mais rpido de mancais e engrenagens provocando rudo excessivo. Em mquinas, a vibrao causa o afrouxamento de parafusos. Em processos de usinagem,a vibrao pode causar trepidao, conduzindo a um pobre acabamento superficial, por exemplo.

Sempre que a freqncia natural de vibrao de uma mquina ou estrutura coincide com a freqncia da foraexterna atuante, ocorre um fenmeno conhecido comoressonncia que ocasiona grandes deformaes e falhasmecnicas. A literatura rica de exemplos de falhas em sistemas causados por vibraes excessivas em virtude deressonncia. Um destes exemplos o da ponte deTacoma Narrows (Fig. 4), nos Estados Unidos, inaugurada em julhode 1940, colapsou em 7 de novembro do mesmo ano quando entrou em ressonncia induzida pelo vento. De acordo comregistro de cmeras de vdeo, a ponte Rio-Niteri tambm oscilou significativamente em algumas ocasies. Quando ovento atinge determinada velocidade e direo, a estrutura comea a oscilar com maior amplitude. Em outubro de 1997,rajadas estimadas em 124 km/h fizeram o vo central oscilar com amplitudes de 30 cm. Embora estas oscilaes norepresentem riscos estrutura da ponte, o pnico causado pode ter conseqncias devastadoras. Nesse dia os motoristassaram correndo dos carros e a ponte teve de ser fechada por duas horas. Hoje o trnsito interrompido em caso deventania forte. ( National Geographic Brasil , abril de 2004). Em virtude dos efeitos devastadores que podem surgir emmquinas e estruturas, os testes vibratrios se tornaram um procedimento padro no projeto e desenvolvimento damaioria dos sistemas em engenharia.

Em muitos sistemas de engenharia, o ser humano atua como parte integrante do mesmo. A transmisso devibrao para o ser humano resulta em desconforto e perda de eficincia. Vibraes de painis de instrumentos podem produzir mal funcionamento ou dificuldade de leitura de medidores. Portanto um dos propsitos importantes do estudode vibrao a reduo dos nveis vibratrios atravs de projeto e montagem adequados de mquinas. Nesta interface, oengenheiro mecnico tenta projetar a mquina para que a mesma apresente nveis vibratrios pequenos enquanto oengenheiro estrutural tenta projetar a base da mquina de forma a assegurar que o efeito da vibrao no se transmita.


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Figura 1.4 Ponte de Tacoma Narrows durante vibrao induzida pelo vento (Reproduzido de Rao, S., MechanicalVibrations, Addison Wesley, 1990).

A vibrao tambm pode ser utilizada com proveito em vrias aplicaes industriais. Esteiras transportadoras, peneiras, compactadores, misturadores, mquinas de lavar, utilizam vibrao em seu princpio de funcionamento.Vibrao tambm pode ser utilizada em testes de materiais, processos de usinagem, soldagem. Os ultra-sons solargamente utilizados tambm em medicina (obstetrcia, destruio de clculos renais, etc.). Tambm empregada parasimular terremotos em pesquisas geolgicas e para conduzir estudos no projeto de reatores nucleares.

1.3 Conceitos Bsicos de VibraesVibrao

qualquer movimento que se repete, regular ou irregularmente, depois de um intervalo de tempo. Omovimento de um pndulo e da corda de um violo so exemplos simples de vibraes no mundo real. Em engenhariaestes movimentos ocorrem em elementos de mquinas e nas estruturas, quando estes esto submetidos a aesdinmicas.

Vibraes Livre e ForadaVibrao l ivre aquela produzida por uma perturbao inicial que no persiste durante o movimento

vibratrio. Como exemplo tem-se a vibrao do pndulo simples. Depois de deslocado de sua posio de equilbrio, o pndulo simples permanece em movimento oscilatrio sem que nenhum efeito externo intervenha.

Vibr ao for ada provocada por um efeito externo que persiste durante o tempo em que o movimentovibratrio existir. O movimento de um rotor desbalanceado tpico de uma vibrao forada.

Vibrao Amortecida e No AmortecidaVibrao amor tecida aquela em que a energia vibratria se dissipa com o transcorrer do tempo de forma que

os nveis vibratrios diminuem progressivamente. Vibrao no amor tecida aquela em que a energia vibratria no se dissipa de forma que o movimento

vibratrio permanece imutvel com o passar do tempo. Os sistemas em que ocorre a vibrao no amortecida sosistemas ideais, pois sempre alguma energia ser dissipada em um sistema fsico. Entretanto, em muitos casos, oamortecimento to pequeno que possvel desprez-lo, pois os nveis vibratrios diminuem muito pouco durante otempo em que o movimento observado e a anlise do problema se torna matematicamente mais simples. Em setratando de um sistema real, as resistncias passivas esto sempre presentes fazendo com que a energia oscilatria sedissipe. Esta dissipao de energia representada pela caracterstica chamadaamortecimento . A Fig. 1.5 ilustra umavibrao no amortecida e uma amortecida. Alguns modelos tpicos de amortecimento como viscoso, atrito seco(Coulomb) e atrito interno sero estudados nas sees seguintes.


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O

x (t )

t

Amortecido

No amortecido

x0

Figura 1.5 Vibraes livres sem e com amortecimento.

Vibrao Linear e No LinearVibrao linear aquela que ocorre em um sistema cujos componentes atuam linearmente (a fora de mola

proporcional ao deslocamento, a fora de amortecimento proporcional velocidade e a fora de inrcia proporcional acelerao).

Vibr ao no l inear aquela em que um ou mais componentes do sistema no se comporta linearmente, ouseja a fora produzida no apresenta uma relao linear com a varivel cinemtica a que se associa (relaesquadrticas, cbicas, logartmicas, exponenciais, senoidais, etc.).

Vibrao Determinstica e AleatriaVibrao determinsti ca aquela em que se pode prever todas as caractersticas do movimento vibratrio em

qualquer instante de tempo. Vibrao aleatria ou no determinstica aquela em que no possvel prever o que ir acontecer no

movimento vibratrio.

Graus de Liberdade o nmero mnimo de coordenadas independentes necessrias a descrever completamente o movimento de todas as partes que compem um sistema vibratrio. A Fig. 1.6 mostra exemplos esquemticos de sistemas com um, dois e trsgraus de liberdade. Se um sistema possui pelo menos um grau de liberdade, os valores das variveis que descrevem oestado do sistema ( posio, velocidade, acelerao) devem ser especificados. Para isto necessrio que se escolha umsistema de coordenadas. Esta escolha arbitrria: pode-se escolher qualquer sistema de coordenadas para descrever ummovimento. Na Fig. 1.7 o movimento do pndulo representado por dois sistemas de coordenadas. No primeiro, sonecessrias duas coordenadas para determinar exatamente a posio do pndulo ( x e y), sua velocidade ( x ) e suaacelerao ( x ). No segundo sistema apenas a coordenada , representa completamente a posio do pndulo, suavelocidade e sua acelerao. Nada impede que o sistema xy seja utilizado. Apenas o mesmo apresentar um nmerode equaes maior do que o necessrio. Nele deve ser includa a equao de restrio (condio de contorno) x2 + y2 =l 2. J com a utilizao de , apenas uma equao descrever o movimento do sistema. Este sistema apresenta umnmero mnimo de coordenadas, igual ao nmero de graus de liberdade, necessrias a representar completamente omovimento do sistema. chamado de sistema de coordenadas generalizadas . O nmero de graus de liberdade sempreigual ao nmero de coordenadas utilizado menos o numero de equaes de restrio. Assim sendo, um movimentodescrito em um sistema de coordenadas generalizadas no apresenta equaes de restrio. Sistemas Contnuos e Discretos

Sistemas que podem ser separados em partes de forma que cada uma delas possua um determinado nmero degraus de liberdade e o sistema global tenha umnmero f in ito de graus de li berdade so sistemas discretos , sendotambm chamados de sistemas com parmetros concentr ados . Umsistema con tnuo no pode ser dividido, possuindoumnmero infi ni to de graus de li berdade sendo tambm conhecidos como sistemas com parmetr os distr ibudos .


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(a) Um grau de liberdade.

(b) Dois graus de liberdade.

(c) Trs graus de liberdadeFigura 1.6 Sistemas com um, dois e trs graus de liberdade.

Figura 1.7 Sistemas de coordenadas no movimento do pndulo.


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1.4 - Movimento Harmnico

x = A sen w t w t

x A

p 4p w tO

A

T

V

Figura 1.8 - Mecanismo de Scotch Yoke gerando um movimento harmnico

O movimento harmnico a forma mais simples com que uma vibrao se apresenta. A Fig. 1.8 ilustra agerao deste movimento, representado matematicamente pela equao

t A x w sen (1.1a)

ou, se a origem do movimento no coincidir com 0sen t w

w t A x sen (1.1b)

A forma do movimento harmnico no muda se ao invs de seno se utilizar cosseno ou uma soma de seno ecosseno com o mesmo argumento. Estas formas apenas provocam um deslocamento da funo no tempo, refletida novalor de .

As principais caractersticas do movimento harmnico so:

Ampl itude - A - o mximo valor atingido por x. A unidade utilizada a mesma da varivel x. Na literatura,muitas vezes encontra-se os termos amplitude de pico significando o que aqui sechama simplesmente deamplitude e amplitude pico a pico significando a diferena entre o valor mximo e o valor mnimo de x,sendo, para o movimento harmnico, o dobro da amplitude A.

Per odo - T - o tempo transcorrido at que o movimento se repita (mesmos x, x e x ). O perodo expresso

por uma unidade de tempo, normalmente o segundo . Freqncia - f - o nmero de repeties que ocorrem em uma determinada unidade de tempo. definida

como o inverso do perodo,

T f

1 , (1.2) normalmente medida em ciclos por segundo (Hertz - Hz). Uma outra unidade de freqncia bastante comum

em engenharia mecnica a RPM (rotaes por minuto) ou CPM (ciclos por minuto), freqentementeutilizada para medir velocidade de rotao em sistemas rotativos.

Freqnci a angular - - a velocidade angular com que um vetor de amplitude A gira (Fig. 1.9), de formaque suas projees horizontal e vertical so movimentos harmnicos. Relaciona-se com a freqncia f por w p 2 f , (1.3)


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uma vez que um perodo de oscilao corresponde a uma volta completa do vetor o que equivale a umngulo de2p rad. , portanto, medida emrad/seg .

A A sen w t

A cos w t

w t

w

Figura 1.9 Vetor girante e freqncia angular.

ngulo de fase - - o ngulo inicial do argumento da funo senoidal que descreve o movimentoharmnico. Deve ser normalmente representado emradianos. O ngulo de fase comea a se tornar importantequando se compara dois movimentos harmnicos no coincidentes no tempo. Ao se estabelecer ummovimento como bsico, uma escolha adequada do incio da observao do movimento far com que ongulo de fase represente o quanto um movimento est adiantado ou atrasado em relao ao outro. O ngulode fase normalmente medido emradianos (outra unidade que permite a medio de ngulo tambm possvel).

t

x (t ) v(t )a (t )

Figura 1.10 Deslocamento, velocidade e acelerao.

A velocidade e a acelerao com que se movimenta verticalmente a haste do mecanismo de Scotch Yoke (Fig.1.8) so obtidos derivando-se a expresso 1.1a, chegando-se a

t A xv w w cos (1.4a)

t A xa w w sen2 (1.4b)

A Fig. 1.10 mostra uma representao das trs variveis que descrevem o movimento vertical da haste domecanismo da fig. 1.8.

DecibelA unidade tcnicadecibel utilizada para expressar valores relativos da amplitude do deslocamento, da

velocidade e da acelerao. definida como dB = 20 log10 ( z / z 0), onde z a quantidade em considerao e z 0 um valorde referncia para a mesma quantidade. Alguns valores de referncia em uso sov0 = 10-8 m/s para a velocidade ea0 =9,81 x 10-6 m/s2 para a acelerao e p0 = 2 x 10-5 N/m2 para presso acstica, I 0 = 10-12 W/m2 para intensidade acstica eW 0 = 10-12 W para potncia acstica. Estes ltimos valores correspondem aos limiares de percepo do ouvido humano.


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O significado do decibel exemplificado observando alguns valores:

20 dB ==> a quantidade medida igual a 10 vezes o valor de referncia



Oitava a medida relativa geralmente utilizada para a freqncia: se duas freqncias possuem a relao 2:1 se diz

que esto separadas poruma oitava .

Valor rmsUma medida de vibrao muito utilizada ovalor rms (root mean square = valor mdio quadrtico).

definido por

T

rms dt t xT X

0

22 1

Para funes harmnicas t A x w sen , A A X rms 707,022 .

O valor rms veio a ser utilizado porque os instrumentos que medem vibraes convertem o movimentovibratrio x(t ) em um sinal eltrico V (t ) = cx(t ) medindo a sua potncia que dada por

220

22

0

21rms

T T

X cdt t xT c

dt t V T

.

1.4.1 - Representaes Vetorial e ComplexaA manivela do mecanismo de Scotch Yoke, pode ser interpretada como um vetor de mdulo A cuja direo

muda constantemente segundo o ngulow t . As projees horizontal e vertical do vetor so movimentos harmnicos(Fig. 1.9), dados por

t A x w cos (1.5a)

t A y w sen (1.5b)

Se x e y so movimentos harmnicos, ento suas derivadas tambm sero movimentos harmnicos, dados pelasexpresses

t A x w w sen (1.6a)

t A x w w cos2 (1.6b)

t A y w w cos (1.6c)

t A y w w sen2 (1.6d)

A mesma representao vetorial pode ser expressa na forma de nmeros complexos. O plano complexo entoutilizado para descrever o movimento. No mesmo movimento representado na Fig. 1.9 o vetor girante representado

por umfasor , que uma quantidade complexa, com os eixos x e y sendo substitudos pelos eixos real e imaginrio. Ofasor que representa o movimento expresso por

t it A Ae t i w w w sencos X (1.7a) t t i Ai Aei t i w w w w w w sencos XX (1.7b)

t it A Ae t i w w w w w w sencos22 2-XX (1.7c)onde as componentes real e imaginria so movimentos harmnicos na forma de seno e cosseno.

A Fig. 1.11 ilustra o resultado das expresses (1.7). Observa-se que o vetor velocidade ortogonal ao vetordeslocamento e seu mdulo igual aw A, ou seja, a amplitude da velocidade de um movimento harmnico igual amplitude do deslocamento multiplicada pela freqncia angular. Pelas expresses 1.7 pode-se observar tambm que seos deslocamentos representam movimentos harmnicos, ento a velocidade e a acelerao tambm so harmnicos. O

mdulo da acelerao w

A e a mesma est em oposio de fase em relao ao deslocamento.As representaes vetoriais, seja na forma padro ou na complexa, podem ser extremamente teis quando se

opera algebricamente com os movimentos harmnicos. Um dos casos em que isto utilizado no fenmeno dobatimento , que um tpico caso de soma de movimentos harmnicos.


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Im

Rep /2

p /2

w

X i X w

X

X X w 2

w t

Figura 1.11 - Representao complexa de deslocamento, velocidade e acelerao.

1.5 Pndulo SimplesO pndulo simples, ou pndulo matemtico, constitui-se no exemplo mais simples de um sistema fsico que

exibe movimento harmnico quando oscila com pequenas amplitudes (at 30). formado por uma massam, ligada extremidade de uma haste de comprimentol de massa desprezvel, que, em sua outra extremidade vincula-se a umaarticulao de forma que seu movimento uma oscilao no plano vertical. A Fig. 1.12a mostra o modelo de um pndulo simples. A Fig. 1.12b apresenta um exemplo de um guindaste com uma carga pendurada que pode serconsiderado como um pndulo simples quando se estuda o movimento da carga. Em um determinado instante de tempot , a haste forma um ngulo com a vertical. As foras que atuam sobre a massam so o seu pesoW e a tenso na hasteT como ilustra a Fig. 1.12c. A massa apresenta uma acelerao com componentes radiala r e tangenciala t e a haste possuiuma velocidade angular

t e uma acelerao angular 2

2

t .

Figura 1.12 Pndulo simples.

Aplicando a Lei de Euler (Segunda Lei de Newton para movimento de rotao) para o conjunto de forasmostrado no diagrama de corpo livre da Fig. 1.12c, na forma da soma de momentos em relao articulao, obtm-se aseguinte relao

2sen ml J mgl

dividindo tudo porml 2 e arrumando os termos chega-se conhecida equao do pndulo simples

0sen l

g (1.8)


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Para pequenas oscilaes pode-se linearizar a equao (1.8) fazendo sen . Assumindo-se que aamplitude pequena, a equao (1.8) pode ser escrita na forma

02 w (1.9)

onde w 2 = g /l . Esta uma equao diferencial, ordinria, de segunda ordem, de coeficientes constantes, homognea,cuja soluo uma funo harmnica como

t senct ct w w 21 cos (1.10)ondec1 e c2 so constantes que sero determinadas pelas condies iniciais do movimento. O pndulo, portanto, executa

uma oscilao harmnica com freqncia angular (ou circular) constante l g w . O perodo das pequenas oscilaes

do pndulo g l T p w

p 22 no dependendo da amplitude, sendo esta propriedade chamada de isocronismo.

Observa-se tambm que o perodo de oscilao no depende da massa do pndulo.

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