MATEMÁTICA DISCRETA

RELAÇÕES E FUNÇÕES

Profa. Eulanda Miranda dos Santos PhD. Eng.

CURSO NÍVEL DEPARTAMENTO PERIODO

Engenharia da Computação

Graduação Ciência da Computação

MATUTINO

OBJETIVO DA AULA:

Identificação de relações, determinação de ordem, testar funções e taxa de crescimento de funções

ASSUNTOS ANTERIORES

1. Teoria dos Números

2. Lógica de Predicados

3. Técnicas de Demonstração

4. Teoria dos Conjuntos

5. Análise Combinatória

6. Teoria dos Grafos

CONTEÚDO

1. Introdução

2. Relações

3. Funções

1. INTRODUÇÃO

• Há muitas relações na Matemática e na Ciência da Computação– “Menor do que”– “É paralelo à”– “É um subconjunto de”

• Tipos de relações:– Relações de equivalência– Relações de ordem– Funções

CONTEÚDO

1. Introdução

2. Relações

3. Funções

2. RELAÇÕESPRODUTO DE CONJUNTOS: Sejam A e B : A x B = {(x,y)|x A e y B}– Conjunto de todos os pares ordenados (x,y)

• A x A = A2

– Ex: A = {1,2} e B = {3,4} A x B = {(1,3), (1,4),(2,3),(2,4)} B x A = {(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)} A2 = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)} A3 = {(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(1,2,2), (2,1,1),(2,1,2),(2,2,1),(2,2,2)}

– Portanto, |AxB| = 4 e |A| x |B| = 4

2. RELAÇÕESRELAÇÕES BINÁRIAS EM UM CONJUNTO

– Uma relação binária é um conjunto de pares ordenados

• Dado o conjunto A, é uma relação binária em A, se for um conjunto de pares ordenados de membros de A.

• É um subconjunto de A2.

– Existem relações unárias, ternárias, quaternárias, etc.– Em geral uma relação binária é definida por uma

descrição da relação predicado binário

2. RELAÇÕESRELAÇÕES BINÁRIAS EM UM CONJUNTO• Ex: Considere o conjunto S = {1, 2, 4}

– Relaçõesa) x y x = y/2 ; b) x y x + y é ímpar;

RELAÇÕES BINÁRIAS ENTRE CONJUNTOS DIFERENTES• Dados dois conjuntos S e T, uma relação binária de S para T é um

subconjunto de SxT

{(1,2), (2,4)} satisfazem

{(1,2), (1,4)} satisfazem

2. RELAÇÕESRELAÇÕES BINÁRIAS ENTRE CONJUNTOS DIFERENTES• Ex: Considere os conjuntos

• E - Todos os estudantes de Engenharia da Computação (EC)• L - Todos os laboratórios do DCC• P - Todos os professores do DCC• D - Todas as disciplinas do curso de EC

– Relaçõesa)e l (e,l) E x L, e está matriculado e estagia no lab 1b)e d (e,d) E x D, e está matriculado na disciplina dc)d p (d,p) D x P, disciplina d é ensinada por p

2. RELAÇÕESTIPOS DE RELAÇÕES BINÁRIAS

– Um para um: cada componente aparece apenas uma vez na relação.

– Um para muitos: se a primeira componente aparece mais de uma vez.

– Muitos para um: se a segunda componente aparece em mais de um par.

– Muitos para muitos: se cada componente aparece em mais de um par.

2. RELAÇÕESPROPRIEDADES DAS RELAÇÕES

Dado o conjunto A– é reflexiva x x para todo x A

• Ex: <= e = sobre N

– é simétrica x y y x para todo x, y A• = sobre N, e irmãos sobre pessoas

– é transitiva x y e y z x z para todo x, y, z A• <, <= e = sobre N

– é anti-simétrica x y e y x x=y para todo x, y A

• = sobre N

2. RELAÇÕESExercícios

Teste as relações no conjunto dado S e diga suas propriedades:

1.S = N; x Y x + y é par 2.S = Z+; x Y x divide y3.S = N; x Y x = y2

4.S = {0,1}; x Y x = y2

5.S = {1,2,3}; = {(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)}

Reflexiva, simétrica e transitiva

Reflexiva, anti-simétrica e transitiva

Anti-simétrica

Reflexiva, simétrica, anti-simétrica e transitiva

Reflexiva, simétrica e transitiva

2. RELAÇÕESFECHOS DE RELAÇÕES

– Uma relação binária * em um conjunto S é o fecho de uma relação em S em relação à propriedade P se

1. * tem a propriedade P;2. *;3.* é subconjunto de qualquer outra relação em S que

inclua e tenha a propriedade P

2. RELAÇÕESEx: Sejam S={1,2,3} e = {(1,1),(1,2),(1,3),(3,1),(2,3)}

– é reflexiva, simétrica e/ou transitiva? – O fecho de em relação à reflexividade:

– O fecho de em relação à simetria:

– O fecho de em relação à transitividade:

• Exercício: Encontre os fechos reflexivo, simétrico e transitivo da relação: S = {a,b,c}; = {(a,a), (a,b), (b,c),(c,c)}

NÃO

{(1,1),(1,2),(1,3),(3,1),(2,3), (2,2), (3,3)}

{(1,1),(1,2),(1,3),(3,1),(2,3), (2,1), (3,2)}

{(1,1),(1,2),(1,3),(3,1),(2,3), (3,2), (3,3),(2,1),(2,2)}

RELAÇÃO DE ORDEM PARCIAL– Uma relação binária em um conjunto S que seja

reflexiva, anti-simétrica e transitiva.– Conjunto parcialmente ordenado: é o par ordenado

(S, ), em que é uma ordem parcial em S.– Ex:

• Relação < = no conjunto R • Relação “a divide b” no conjunto N+

2. RELAÇÕESRELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA

– Uma relação binária em um conjunto S que seja reflexiva, simétrica e transitiva.

– Ex: Em N, x Y x + y é par• Em {1,2,3}, = {(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)}

RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA E PARTICÕES– Seja S um conjunto não vazio, uma partição de S é uma

subdivisão de S em conjuntos não vazios disjuntos.• Ex: Seja S = {1, 2, …, 8,9}

– Partição de S = [{1, 3, 5}, {2, 4, 6, 8}, {7,9}]

2. RELAÇÕESTEOREMA:

– Uma relação de equivalência em um conjunto S determina uma partição de S e uma partição de S determina uma relação de equivalência;

CLASSE DE EQUIVALÊNCIA [X]– Dados uma relação de equivalência no conjunto S e x

S;– [x] conjuntos de todos os elementos de S relacionados a x.– [x] = {y | y S x y}

2. RELAÇÕESEx1: Em S= {1,2,3}, = {(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)}

[1][2]

Ex 2: x y x + y é par em N. 1. par: se x é um número par, então, para todo número par y, x +

y é par, e y [x].2. ímpar: se x é um número ímpar, então, para todo número

ímpar y, x + y é par, e y [x].

S

1 2 3

[1] = [2]

[3] = {3}

pares ímpares

N

= {1,2};

= {1,2};

EXERCÍCIO1. Diga quais dos pares ordenados pertencem às relações

binárias abaixo, definidas em N:a) x y x = y + 2; (0,2), (4,2), (6,3), (5,3)b) x y y é o quadrado perfeito de x; (1,1), (4,2), (3,9), (25,5)

2. Teste se as relações binárias em S dadas a seguir são reflexivas, simétricas, anti-simétricas ou transitivas:a) S = N; x y x * y é parb) S = {1,2,3}; ={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3)}c) S = {1,2,3}; ={(1,1),(1,2), (2,2),(2,3)}

EXERCÍCIO3. Encontre os fechos reflexivo, simétrico e transitivo da

relação abaixo:a) S = {a, b, c, d}; = {(a,a),(b,b),(c,c),(a,c),(a,d), (b,d), (c,a),

(d,a)}

4. Seja a relação de equivalência no conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}: = {(1,1),(1,5),(2,2),(2,3),(2,6), (3,2),(3,3),(3,6), (4,4),(5,1),

(5,5), (6,2),(6,3),(6,6)}Mostre as classes de equivalência de

CONTEÚDO

1. Introdução

2. Relações

3. Funções

3. FUNÇÕES– Sejam S e T conjuntos

• Uma função f de S em T, f:ST, é um subconjunto de S x T tal que cada elemento de S aparece uma única vez como primeiro componente de um par ordenado.

– S – domínio; T – contradomínio; t – imagem de s;s – imagem inversa de t;

s

Domínio S Contradomínio T

. f(s)=t

EXERCÍCIOSeja f: A B ?

– Domínio de f: – Contra-domínio de f:– Imagem de f:

Quais das relações abaixo são funções?a) f: S T, onde S = T = {1,2,3}; f = {(1,1),(2,3),(3,1),(2,1)}b) g: Z N, onde g é definida por g(x) = |x| (módulo de x)c) h : NN, onde h é definida por h(x) = x – 4d) f : RR, onde f é definida por f(x) = 4x – 1

Não

Sim

Não

Sim

A

B

{b : existe a tal que f(a) =b

3. FUNÇÕESEXEMPLOS DE FUNÇÕES

– Função piso: x ; Função teto: x– Função módulo: f(x) = x mod n

FUNÇÕES IGUAIS : Funções que têm o mesmo domínio, o mesmo contra-domínio e a mesma associação de valores de contra-domínio a valores de domínio.

• Ex: Prove que f=g, dados S= {1,2,3} e T= {1,4,9} e f={(1,1), (2,4),(3,9)} e

2

)24()( 1

n

k

kng

3. FUNÇÕESPROPRIEDADES DE FUNÇÕES• Injetora (“one-to-one”) se:

– f(a1) = b e f(a2) = b a1 = a2– Ex: f: R R, f(x)= x3

• Sobrejetora (“onto”) se:– A imagem de f é o contra-domínio de f.– Ex: f: R R, f(x)= x3

• Bijetora (correspondência um-para-um) se:– É injetiva e sobrejetiva.– Ex: f: R R, f(x)= x3

3. FUNÇÕES– FUNÇÃO COMPOSTA

• Sejam f : S T e g : T U. A função composta g o f é função de F em U definida por :

(g o f)(s) = g(f(s))

• Ex: Seja f: R R definida por f(x) = x2. Seja g: R R definida por g(x) = x

– Valor de (g o f)(2.3)? 5

3. FUNÇÕES– FUNÇÕES EM ANÁLISES DE ALGORITMOS

• Função teto e função piso 3,14 = 3 3,14 = 4

• Funções valor inteiro e valor absolut0: INT(3,14) = 3 ABS (-14) = 14

• Função resto 25 (mod 7) = 4• Funções exponenciais• Funções logarítmicas

3. FUNÇÕES– Exercício

• Diga quais são funções, e suas propriedades:a) f: Z N, onde f (x)= x2+1b) f:{1,2,3} {p,q,r}, onde f{(1,q),(2,r),(3,p)} (módulo de x)c) g : NN, onde g é definida por g(x) = 2x

• Defina f:NN por f(x) = x+1. Seja g:NN dada por g(x) = 3x. Calcule as seguintes expressões:

a)(g o f)(5)? b)(f o g)(5)?