Redes Cpm e Pert[1]

Aplicações da Rede CPM

Calcular datas e folgas:� No tempo de ida: DIC e DTC, na parte superior do segmento de reta;

� No tempo de volta: DTC e DTT, na parte inferior do segmento de reta.

• Se a duração da atividade C fosse 2 dias, toda a rede seria crítica;

• No cálculo da ida, adota as 0 A

B D

3 1F2

2

5

5

5

56

Prof. Dr. Anselmo Alves Bandeira 1 / 40

• No cálculo da ida, adota as maiores datas e na volta, as menores datas;

• O caminho crítico (FT = 0) está destacado em vermelho;

• FT = DTT – DIC – d, sendo d a duração da atividade.

• FL = DIC* – DIC – d, sendo DIC* das próximas atividades.

Início Fim0 A

1 2

32

3 1F

EC0

2

2

2 6 6

65

6

9

9

3

4

3

4

2

3

ATIVIDADE DURAÇÃO PRECEDÊNCIA DIC DTC DIT DTT FT FLA 2 --- 0 2 0 2 0 0B 3 A 2 5 2 5 0 0C 1 A 2 3 3 4 1 0D 1 B 5 6 5 6 0 0E 2 C 3 5 4 6 1 1F 3 D, E 6 9 6 9 0 0

(5 – 2 – 3)

(6 – 5 – 1)

(6 – 3 – 2)

• Convenção: os destaques (sombreamento) nas tabelas significam dados do Projeto (do exercício).


Folgas:� Folga Dependente (FD): se for consumida, alterará o tempo das

atividades subsequentes.� FD = FT – FL

� FD = DTT – DIT – d

� Folga Independente (FI): total de tempo que uma atividade pode ser retardada ou deslocada, sem levar em conta o estado das atividades


retardada ou deslocada, sem levar em conta o estado das atividades antecessoras e sucessoras, e sem que afete sua duração.� FI = DTC – DIC – d

� Folga Programada (FP): aparece quando são assinalados tempos específicos para os eventos (marcos contratuais etc).

� Folga livre:� FL = DIC* – DIC – d

� DIC* corresponde a DTC da atividade em questão porque no tempo de volta, pagamos a menor DIC* para o cálculo de DTC na rede.


Desenhar a rede e calcular datas e folgas:

ATIVIDADE DURAÇÃO PRECEDÊNCIA DIC DTC DIT DTT FT FLA 1 --- 0 1 0 1 0 0B 2 A 1 3 3 5 2 0C 3 A 1 4 1 4 0 0D 5 A 1 6 4 9 3 0E 3 B 3 6 5 8 2 2F 4 C 4 8 4 8 0 0G 1 D 6 7 9 10 3 0H 3 E, F 8 11 8 11 0 0

(1 – 0 – 1)(3 – 1 – 2)(4 – 1 – 3)(6 – 1 – 5)(8 – 3 – 3)(8 – 4 – 4)(7 – 6 – 1)(11 – 8 – 3)


H 3 E, F 8 11 8 11 0 0I 1 G 7 8 10 11 3 0J 5 E, F, I 8 13 11 16 3 3K 5 H 11 16 11 16 0 0L 1 J, K 16 17 16 17 0 0

(11 – 8 – 3)(8 – 7 – 1)(16 – 8 – 5)(16 – 11 – 5)(17 – 16 – 1)

Início0 A

C F

55

1

3

JD

0

1

1

11

44

8

3 88

166

9

14

Fim2

E

5

6

7

10

13B

3

4

G1

I1

8

11

868

H3

1111

K5

1616

1616

13

L1

1717

• Caminho crítico = A C F H K L (FT = 0);• FL ≤≤≤≤ FT (sempre);• Atividade Fantasma não consome tempo, nem recurso,

logo, as datas de início e de término são as mesmas.


Desenhar a rede e calcular datas e folgas:

ATIVIDADE DURAÇÃO PRECEDÊNCIA DIC DTC DIT DTT FT FLA 5 --- 0 5 1 6 1 0B 10 A 5 15 6 16 1 0C 2 --- 0 2 0 2 0 0D 2 C 2 4 2 4 0 0E 17 D 4 21 4 21 0 0F 5 B 15 20 16 21 1 1G 3 E, F 21 24 21 24 0 0H 5 G 24 29 24 29 0 0


4

H 5 G 24 29 24 29 0 0I 30 --- 0 30 2 32 2 2J 3 H 29 32 29 32 0 0K 1 J, I 32 33 32 33 0 0

Início0 A

30

5

I

0

5

6

15

3032

10F

16

B5

2021

G32424

H5

2929

J3

3232

• Caminho crítico = C D E G H J K;• FL ≤≤≤≤ FT (sempre);• FT = DTT – DIC – d, sendo d a duração da atividade.• FL = DIC* – DIC – d, sendo DIC* das próximas atividades.

42D

C2

22

0

01

2

FimK13333

3232

E17 21

212121

3032


Exercício:� Construir a Rede CPM;� Traçar o diagrama de Gantt, considerando o início das atividades o mais cedo

possível;� Traçar o histograma.

ATIVIDADE DURAÇÃO RECURSO PRECEDÊNCIA DIC DTC DIT DTT FT FLA 5 4 --- 0 5 0 5 0 0B 2 2 --- 0 2 8 10 8 8


B 2 2 --- 0 2 8 10 8 8C 2 1 A 5 7 5 7 0 0D 3 4 C 7 10 7 10 0 0

7

Início Fim0

B2 2

10

2

10

72C

A5

55

0

08

D3 10

10

• Término/duração do Projeto em 10 dias;• FL ≤≤≤≤ FT (sempre);• FT = DTT – DIC – d, sendo d a duração da atividade.• FL = DIC* – DIC – d, sendo DIC* das próximas atividades.

Atividade Fantasma necessária para que o Projeto tenha o Evento Final (fim).

• Metodologia Executiva ou Plano de Ataque: Atividades e Precedências. A duração e os recursos são projetados com base no apontamento de dados no canteiro de obras.

HISTOGRAMA


ATIVIDADE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10ABCD

ABCD

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10ATIVIDADE

• Datas CPM: transforma a programação em calendário.

• Nivelamento de Recursos: baseia-se nas Folgas Livres das atividades (equivalência de áreas), priorizando as maiores.


0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Tempo

Unidade de Recurso

B

AAC D

Nivelamentode Recursos

atividades (equivalência de áreas), priorizando as maiores. Neste exemplo, a atividade B tem folga livre por todo período do Projeto. Se utilizássemos a Folga Total, poderia interferir na duração de outra atividade;

• Quando o recurso é o Pessoal, o prejuízo está no treinamento e nos encargos, ao ter que reduzir o quadro (picos no histograma). Ao nivelar, facilita a programação, o estudo logístico, a eficácia da cadeia de suprimentos etc;

• Se para cumprir a data de uma atividade houver a demanda de mais recursos, poderá compensar com hora-extra ou com o aumento do número de pessoas envolvidas (a fim de não postergar o prazo desta atividade). No histograma, aumentará a altura e reduzirá a base;

• É mais viável financeiramente nivelar o quadro de executivos do que de operários, a fim de não reduzir a estrutura vertical do Projeto (Down Sizing).

• Ao nivelar os recursos, deve-se refazer a programação das atividades, uma vez que a distribuição dos recursos no tempo altera durações, datas e folgas. As relações de dependência não se alteram, haja vista ter alterado apenas parte das Folgas Livres.


Exercício:� Construir a Rede CPM;� Traçar o diagrama de Gantt, considerando o início das atividades o mais cedo

possível;� Traçar o histograma.

ATIVIDADE DURAÇÃO RECURSO PRECEDÊNCIA DIC DTC DIT DTT FT FLA 2 2 --- 0 2 0 2 0 0B 6 4 A 2 8 2 8 0 0C 3 9 A 2 5 6 9 4 4

Utiliza sempre a menor DIC


C 3 9 A 2 5 6 9 4 4D 1 1 B 8 9 8 9 0 0E 6 9 B 8 14 12 18 4 4F 9 9 C, D 9 18 19 18 0 0G 2 2 E, F 18 20 18 20 0 0

Início0 A

E

3

2

6

C

0

2

2

8

148 14

8 99

95

9

26

Fim6

D8

22

B1

99

F9

1818

G2

2020

5

88

128

1818

a menor DIC das atividades subsequentes.

Sempre maior ou igual a zero.


ATIVIDADEABCDEFG

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


• Poderia utilizar linhas auxiliares verticais (tracejadas) no Diagrama de Gantt, identificando as datas mais tardes. Assim, facilitará a visualização da equivalência de área no histograma.

• Observe que apenas as atividades C e E possuem folgas livres, portanto, as únicas que podem ser “deslocadas” (nivelamento de recurso).

• A equivalência/compensação de áreas no histograma é possível porque tem a mesma unidade de medida: Tempo vs. Recurso.

• CPM é determinístico e PERT, probabilístico.

HISTOGRAMA

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Tempo

Unidad

e de Recu

rso

A

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

B

C

E

D

F

F

G

PERT Custo

PERT (Program Evaluation and Review Technique) foi criado em 1958 pela US Navy, Bozz-Allen e Lock Heed, com o objetivo de otimizar a conclusão do Projeto do míssil Polaris e de otimizar a gestão de custo face à necessidade de aceleração de sua execução. Na época, haviam 250 empresas e 9.000 sub-contratadas a serem gerenciadas.

Custos Diretos:� Ligados à atividade:


� Ligados à atividade:� CN - Custo Normal;

� CA - Custo Acelerado;

� DN - Duração Normal;

� DA - Duração Acelerada.

Contribuição Marginal de Redução de Custo (CMRC):

� , variação de custo sobre variação de duração.

� Ao acelerar o Projeto, reduz-se o tempo do mesmo, consequentemente, reduz o Custo Direto Fixo. Por outro lado, o Custo Direto Variável aumenta em proporção geométrica e o Custo Indireto diminui, porém, pouco significamente.

∆D

∆C

DADN

CNCACMRC =

−

−=

PERT Custo

CA

CN

DA DN

$

Tempo

t1 t2

CT$

Tempo

CI

CD


DA DN Tempo Tempo

Observações:� Custo Total (CT) = Custo Direto (CD) + Custo Indireto (CI);

� Custos Indiretos: não vinculados à atividade (normalmente, cresce com o tempo);

� Custo Direto Fixo: constante no tempo;

� Custo Direto Variável: se reduz a duração do Projeto, aumenta sensivelmente, pois necessitará empregar recursos – horas extras, tarefas, pessoal, equipamentos etc;

� t1: quanto maior a Velocidade do Projeto, maior o seu Custo Total;

� t2: a partir de um certo instante, se a Velocidade for reduzida ainda mais, o Custo Total passa a aumentar.

DURAÇÃO CUSTO DIRETO CUSTOS INDIRETOSATIVIDADE PRECEDÊNCIA NORMAL ACELERADA NORMAL ACELERADO CMRC DURAÇÃO VALORES

(Dias) (Dias) (Dias) . ($) ($) . ($/Dias) . (Dias) ($) .

A --- 2 1 . 5 10 . 5,0 11 12 .

B A 3 2 .. 1 3 . 2,0 10 8 .

C A 1 1 . 2 2 . 0,0 9 6 .

D B 2 1 . 1 5 . 4,0 8 4 .

PERT Custo

Exercício:� Analisar a possibilidade de aceleração do Projeto.


D B 2 1 1 5 4,0 8 4 E B, C 3 1 . 6 12 . 3,0 7 3 .

F D, E 3 1 . 1 9 . 4,0 6 2 .

TOTAL 16 41 .

Para cada dia reduzido no Projeto, investimos as quantidades indicadas no CMRC, respectivamente.

• Os Custos Indiretos englobam também as contribuições do escritório central (sede da empresa). Neste exercício, consideraremos tais custos dentro do nível do Projeto (Obra).

• Custos:

• Contábil Financeiro Operacional

Planejamento Fiscal Fluxo de Caixa Desempenho

Regime de Competência / Custeio Regime de Caixa / Desembolso Consumo

• Contribuição Marginal = Receita – (Custos Diretos fixos + Custos Diretos Variáveis).

PERT Custo

AA2

20

20

BB3

52

52

DD2

86

75

CC1

54

32

EE3

85

85

• Caminho crítico: A B E F.FF3

118

118

� Duração Normal:


54 85

AA2

20

20

BB2

42

42

DD2

75

64

CC1

43

32

EE3

74

74

• Reduz em B, pois temos o menor incremento de custo no caminho crítico (observar os valores de CMRC no enunciado do exercício);

• Observe que, neste exemplo, uma atividade crítica poderá deixar de ser, ao se reduzir a duração do Projeto. Outrossim, outra atividade que não fazia parte do caminho crítico, poderá vir a fazer;

• Caminho crítico: A B E F.

FF3

107

107

� Reduzindo para 10 dias o prazo do Projeto:

PERT Custo

AA2

20

20

BB2

42

42

DD2

64

64

CC1

43

32

EE2

64

64

• Caminhos críticos: A B D F / A B E F.

FF3

96

96

ATIVIDADE 11 DIAS 10 DIAS 9 DIAS

� Reduzindo para 9 dias o prazo do Projeto:


43 64

AA 2

20

20

BB 2

42

42

DD 2

64

64

CC1

54

32

EE1

65

54

FF 3

96

96

ATIVIDADE 11 DIAS 10 DIAS 9 DIAS

A 5 5 5B 1 3 3C 2 2 2D 1 1 1E 6 6 9F 1 1 1

TOTAL 16 18 21

� Tentando reduzir para 8 dias o prazo do Projeto:

• (*) Acrescentou 2,0 unidades de custo, ao reduzir 1 dia na duração de B (vide CMRC).

• (**) Agregou 3,0 unidades de custo pela mesma razão.

• Caminho crítico: A B D F.

(*)

(*)

• Note que reduzindo 1 dia na duração de E só aumenta o custo, pois tal atividade não faz parte do caminho crítico, não repercutindo no prazo do Projeto.

PERT Custo

� Reduzindo o prazo do Projeto:� Tomar como referência a rede PERT desenhada para a duração de 9 dias (primeira da

página anterior).

� Prazos para o Projeto:� 8 dias: redução de 1 dia na Atividade F, implicando aumento de 4,0 unidades de custo;

� 7 dias: redução de mais 1 dia na Atividade F, implicando aumento de mais 4,0 unidades de custo;

� 6 dias: redução de 1 dia na Atividade A, implicando aumento de 5,0 unidades de custo;

� 5 dias: redução de 1 dia na Atividade D e 1 dia na Atividade E, implicando aumento de 7,0unidades de custo.


ATIVIDADE 8 DIAS 7 DIAS 6 DIAS 5 DIAS

A 5 5 10 10B 3 3 3 3C 2 2 2 2D 1 1 1 5E 9 9 9 12F 5 9 9 9

TOTAL 25 29 34 41

unidades de custo.

� Note que o caminho crítico (A B D F / A B E F) permaneceu o mesmo a cada redução do prazo do Projeto.

• A tabela à esquerda é a base para a elaboração do gráfico de Custo Direto, apresentado a seguir.

ATIVIDADE 11 DIAS 10 DIAS 9 DIAS 8 DIAS 7 DIAS 6 DIAS 5 DIAS

A 16 18 21 25 29 34 41B 12 8 6 4 3 2 1

TOTAL 28 26 27 29 32 36 42

PERT Custo

CUSTO INDIRETOCUSTO DIRETO

• A tabela à esquerda é a base para a elaboração do gráfico de Custo Indireto, apresentado logo abaixo.


CUSTO INDIRETO

0

2

4

6

8

10

12

14

1 2 3 4 5 6 7

Dias

Recu

rsos

5 6 7 8 9 10 11

CUSTO DIRETO

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

1 2 3 4 5 6 7

Dias

Recu

rsos

5 6 7 8 9 10 11

PERT Custo

PERT CUSTO

25

30

35

40

45

Recursos

PERT-CUSTO


• Note que na curva do PERT Custo tem ponto de inflexão entre 9 e 10 dias.

0

5

10

15

20

25

1 2 3 4 5 6 7

Dias

Recursos

CUSTO INDIRETO

CUSTO DIRETO

5 6 7 8 9 10 11

PERT Custo

Variância ( ):� Medida da incerteza associada à duração da atividade.

, sendo a duração pessimista e a duração otimista.

� representa a amplitude máxima da duração do Projeto.

2

dσ

2

2

6

−= op

d

ddσ

( )op dd −

pd od


� representa a amplitude máxima da duração do Projeto.

� A Variância corresponde o quadrado do Desvio-Padrão.

� Variância Total: definida como a soma das variâncias das atividades que compõem o caminho mais longo para o término do Evento “i”.

Probabilidade da realização de uma evento com data pré-fixada:

( )op dd −

∑−

=2

id

ii dDZ

σ

• Sendo:

• = Fator de Probabilidade;

• = Duração pré-fixada para o Evento “i” (para qual pretende-se reduzir a duração do Projeto);

• = Duração esperada do Projeto até o Evento “i”.

• é a somatória das Variâncias das Atividades do Projeto ou, simplesmente, a Variância do Projeto.

iD

id

Z

∫∑ ==222

iiPROJETO dddσσσ

PERT Custo

� Com relação à área em destaque abaixo da Curva Normal:

� À esquerda (Z < 0) equivale à integral de áreas infinitesimais abaixo da curva normal para Z < 0. Esta área representa a Probabilidade correspondente a este valor de Z, a qual é obtida pela Tabela de Valores de

3 Desvios-

Padrão3 Desvios-

Padrão

P (Probabilidade)


valor de Z, a qual é obtida pela Tabela de Valores de uma Função de Distribuição Normal (a seguir).

� À direita (Z > 0) tem-se a mesma abordagem (analogia).

� O PERT é muito útil quando agregamos ao sistema produtivo fatores de natureza desconhecida ou pouco controlável, como intempéries, quebra de equipamentos, corte de verba etc.

Média X

Resultados doProcesso

Variação “Natural”

Limites de Tolerância de modo que toda a variação

natural esteja bem contida

99,73% dos Resultados Esperados

Z (Fator de Probabilidade)

Z > 0Z < 0

CURVA NORMAL

PERT Custo

� Tabela de Valores de uma Função de Distribuição Normal:

Z P Z P Z P Z P

< 3,0 0,0000 -1,2 0,1151 0,7 0,7580 2,6 0,9953

-3,0 0,0013 -1,1 0,1357 0,8 0,7881 2,7 0,9965

-2,9 0,0019 -1,0 0,1587 0,9 0,8159 2,8 0,9974

-2,8 0,0026 -0,9 0,1841 1,0 0,8413 2,9 0,9981

-2,7 0,0035 -0,8 0,2119 1,1 0,8643 3,0 0,9987

-2,6 0,0047 -0,7 0,2420 1,2 0,8849 > 3,0 1,0000

2

2

−=

6

op

d

ddσ


-2,6 0,0047 -0,7 0,2420 1,2 0,8849 > 3,0 . 1,0000

-2,5 0,0062 -0,6 0,2743 1,3 0,9032

-2,4 0,0082 -0,5 0,3085 1,4 0,9192

-2,3 0,0107 -0,4 0,3446 1,5 0,9332

-2,2 0,0139 -0,3 0,3821 1,6 0,9452

-2,1 0,0179 -0,2 0,4207 1,7 0,9554

-2,0 0,0228 -0,1 0,4602 1,8 0,9641

-1,9 0,0287 0,0 0,5000 1,9 0,9713

-1,8 0,0359 0,1 0,5398 2,0 0,9772

-1,7 0,0446 0,2 0,5793 2,1 0,9821

-1,6 0,0548 0,3 0,6179 2,2 0,9861

-1,5 0,0668 0,4 0,6554 2,3 0,9893

-1,4 0,0808 0,5 0,6915 2,4 0,9918

-1,3 0,0968 0,6 0,7257 2,5 0,9938

6

4 ovp dddd

++=

⋅

pd = Duração Pessimista.

= Duração Provável.

= Duração Otimista.

vd

od

PERT Custo

Exercício:� Qual a probabilidade de se executar o Projeto do exercício anterior adotando o

prazo (duração total do Projeto) de 8 dias?

� Calcule o mesmo para:� 6 dias;

� 7 dias;

� 9 dias;


� 10 dias;

� 11 dias.

1,26

3638

9,338

36

38

9,33

8

−−

==∴

==

==

=

Z

dd

D

Projetoi dd

Projetoi

i

22

σσ

• O Evento “i” passa a ser o Evento Final, pois o Fator de Probabilidade (Z) é pertinente ao Projeto.

• Portanto, para Z = -1,26 => Z ≅ -1,3 => P ≅ 0,0968 => P ≅ 9,68%.

PERT Custo

� Vejamos como construir uma tabela para as probabilidades de redução de prazo:

1,39%0,01392,22,21

3638

9,337

7

≈⇒≈⇒≈⇒==

=

−−−

PPZZ

Di


� Considerando:� Z = -3,0, tem-se P = 0,0000 = 0,00% (sem possibilidade);

� Z = +3,0, tem-se P = 0,9987 = 99,87% (altamente provável).

(sempre)3,03,03,15

3638

9,336

6

≤≤⇒==

=

−−−

ZZ

Di

94,52%0,94521,61,5811i

72,57%0,72570,60,6310

38,21%0,38210,30,319

≈⇒≈⇒≈⇒=⇒=

≈⇒≈⇒≈⇒=⇒=

≈⇒≈⇒≈⇒=⇒= −−

PPZZD

PPZZD

PPZZD

i

i

DURAÇÃO

ATIVIDADE PRECEDÊNCIA OTIMISTA . PROVÁVEL PESSIMISTA

A --- 1,0 2 3,0 2,00 0,1111 = 4/36

PERT Custo

id2

idσ

Exercício:� Qual a probabilidade de se terminar a Atividade B em 3,5 unidades de tempo,

considerando os dados do Projeto na tabela abaixo?


B A 1,0 3 4,0 2,83 0,2500 = 9/36C A 0,5 1 1,5 1,00 0,0278 = 1/36D B 0,5 1 3,5 1,33 0,2500 = 9/36E B, C 1,5 2 2,5 2,00 0,0278 = 1/36F D, E 1,5 3 5,5 3,17 0,4444 = 16/36

2

2

−=

6

op

d

ddσ

6

4 ovpi

dddd

++=

⋅

pd = Duração Pessimista.

= Duração Provável.

= Duração Otimista.

vd

od

∫∑ ==222

iiPROJETO dddσσσ

( )∫ +++= 22222

FDBAPROJETO dddddσσσσσ

1,05636

38

36

16

36

9

36

9

36

4==+++=

2

PROJETOdσ

Caminho crítico: A B D F. Portanto:

PERT Custo

� Para B = 3,5, tem-se:

1,39%0,01392,22,214,833,5

36

13

36

9

36

4

4,832,832,00

3,5

≈⇒≈≈==∴

==+=

==+=

=

⇒−⇒−−

+

+

PPZZ

ddd

D

BAi ddd

BAi

i

222

σσσ

• Se recalculássemos as probabilidades de realização para cada redução de 1 dia na duração do Projeto, faríamos um estudo pormenorizado. Normalmente, utilizamos programas computacionais para esta prospecção, tipo: MS-Project, Primavera, PERT Chart etc.


1,39%0,01392,22,21

3613

4,833,5≈⇒≈≈==∴ ⇒−⇒−

−PPZZ

AA2

20

20

BB3

42

42

DD1

75

64

CC 1

32

EE 2

74

FF3

107

107

PERT Custo

� Considerando d a duração provável, desenhamos a Rede PERT:

vi dd =dias9=∴ PROJETOd


AA

2,00

20

20

BB

2,83

4,832

4,832

DD

1,33

6,164,83

6,164,83

CC

1,00

4,163,16

32

EE

2,00

6,164,16

53 • Caminho crítico: A B D F, em ambas as redes.

FF

3,17

9,336,16

9,336,16

43 74

� Considerando d a duração esperada do Projeto, desenhamos a Rede PERT:

dias9,33=∴ PROJETOd

ii dd =

PERT Custo

Exercício:� Calcular e para as atividades abaixo:

� Atividade X:id

2

idσ

3,10

3,05

3,00

=

=

=

p

v

o

d

d

d


od

4102,786

3,003,10

6⋅=

−=

−=

22

2 op

d

dd

iσ

3,056

3,003,0543,10

6

4=

++=

++=

⋅⋅ ovpi

dddd

• Por e serem equidistantes de , tem-se:pd vd

0→2

idσ

vi dd =od

PERT Custo

od

� Atividade Y:

0,14696

2,004,30

6=

−=

−=

22

2 op

d

dd

iσ

3,056

2,003,0044,30

6

4

4,30

3,00

2,00

=++

=++

=⋅⋅

=

=

=

ovpi

p

v

o

dddd

d

d

d


od 66

od

� Atividade Z:

0,69446

1,006,00

6=

−=

−=

22

2 op

d

dd

iσ

6,506

1,008,0046,00

6

4

6,00

8,00

1,00

=++

=++

=⋅⋅

=

=

=

ovpi

p

v

o

dddd

d

d

d


CANTEIRO ATIVIDADE DURAÇÃO RECURSO CUSTO ($)

Canteiro CANT 12 --- 1.200

CE-A 12Cravação de Estacas CE-1 12 2.400 /

CE-2 12 Bloco

QUADRO DE ATIVIDADES

1 Bate-Estaca

Exercício Geral:� Considere a Obra de construção de uma ponte, conforme esquematizado a seguir.

• O Recurso Físico limita o início da próxima atividade, em função do


CE-2 12 BlocoCE-B 12

BL-A 6Blocos BL-1 6 1.800 /

BL-2 6 BlocoBL-B 6

ENC-A 10Pilares / Encontros ENC-B 10 4.000 /

PL-1 10 Pilar ouPL-2 10 Encontro

CIM-A1 12Cimbramento CIM-12 12 4.800 / Vão

CIM-2B 12

TAB-A1 18Tabuleiros TAB-12 18 7.200 /

TAB-2B 18 Tabuleiro

Acabamento ACAB 8 --- 5.600

Estaca

1 Jogo de Formas/Bloco

1 Jogo de Formas

3 Conjuntos /

1 Equipe

1 Jogo de Formas

atividade, em função do término da atividade precedente.

• O limite é o Jogo de Formas para cada estrutura, respectivamente.

• Uma Equipe comporta a instalação de um Conjunto por vez (construtibilidade). O Cimbramento só poderá ser removido após a conclusão do Tabuleiro. Não pode utilizar menos do que 3 Conjuntos neste exercício.


� Programar as atividades desta Obra através da Rede CPM, relevando que:� O Estaqueamento somente poderá ser iniciado após a instalação do Canteiro;

� O Escoramento em um determinado vão só poderá ser executado após a conclusão dos pilares que definem o vão;

� Os serviços de Acabamento da ponte serão executados de uma só vez depois da conclusão da estrutura da Ponte.

� Observações:� Utilizando o mesmo Jogo de Formas em todas as estruturas similares/correspondentes,


� Utilizando o mesmo Jogo de Formas em todas as estruturas similares/correspondentes, reduzimos o custo, rateando equitativamente em cada parte estrutural. O mesmo procede para cada Equipe e para cada Bate-Estaca, ou seja, rateia os custos de cada recurso nas atividades e partes estruturais envolvidas, considerando as relações de precedência.

� A priori, sem considerar agentes externos (política, intempéries etc), há sentido investir recursos nas atividades críticas a fim de se reduzir a duração do Projeto/Obra.


ENC-A

A 1 2 B

PL-1

PL-2

TAB-A1 TAB-12 TAB-2B

Plano de Ataque

ENC-B


A 1 2 B

BL-A BL-1 BL-2 BL-B

CE-A CE-1 CE-2 CE-B

Estacas de Concreto

� Calcular:� As primeiras e as últimas datas e folgas de cada atividade;

� Traçar o cronograma físico (Diagrama de Gantt), considerando as atividades programadas para o seu início mais cedo;

� A partir do cronograma físico, gerar o programa de desembolso (Cronograma Financeiro), relevando que os custos das atividades são distribuídos de maneira uniforme, ao longo de cada uma das atividades.


InícioCANT12

00

1212

CE-A12

1212

2424

CE-112

2424

3636

CE-212

3642

4854

CE-B12

4860

6072

BL-A62426

3032BL-16

3636

4242

4042

3032

ENC-A

10

BL-26

4854

5460

PL-110

4242

5252

BL-B6

6072

6678

PL-210

5460

6470

ENC-B10

6678

5252 CIM-A1ENC-B

106678

7688


CIM-1212

6470

6464

12

6464 TAB-A1

18

1078

CIM-1212

647064

64 TAB-A1

18

88

7682

8282

CIM-2B12

7688

88100

TAB-1218

8282

100100

TAB-2B18

118118

ACAB8

126126

100100

118118

Fim

• Caminho crítico: CANT � CE-A � CE-1 � BL-1 � PL-1 � CIM-A1 � TAB-A1 � TAB-12 � TAB-2B � ACAB. No caminho crítico, existem duas atividades fantasmas.

• Na notação francesa, a visualização é mais rápida, uma vez que as datas á esquerda da caixa são idênticas, ou seja, DIC = DIT.

• A soma das atividades críticas equivale à duração do Projeto. Neste exemplo, 126 dias.

• Na ilustração ao lado, as atividades A e B terminam juntas.

A

B


CANTCANT12

120

120

CECE--AA12

2412

2412

CECE--1112

3624

3624

CECE--2212

5442

4836

CECE--BB12

7260

6048

BLBL--AA6

3226

3024

BLBL--116

4236

4236

BLBL--226

6054

5448

BLBL--BB6

7872

6660


ENCENC--AA 10

4232

4030

PLPL--11 10

5242

5242

PLPL--22 10

7060

6454

ENCENC--BB 10

8878

7666

CIMCIM--A1A112

6452

6452

CIMCIM--121212

8270

7664

CIMCIM--2B2B12

10088

8876

TABTAB--A1A118

8264

8264

TABTAB--121218

10082

10082

TABTAB--2B2B18

118100

118100

ACABACAB8

126118

126118

• A notação francesa é bem mais prática do que a notação americana.

• Observe que a disposição se assemelha a uma matriz, sendo que as linhas compõem a estrutura, segundo a cronologia de execução. Por outro lado, as colunas, o plano de a;cão do Projeto (da ombreira esquerda para a direita). O vetor resultante decorrente da hierarquia da esquerda para a direita e de cima para baixo.

• Cruzamento:


ATIVIDADE DURAÇÃO RECURSO CUSTO ($) PRECEDÊNCIA DIC DTC DIT DTT FT FL

CANT 12 --- 1.200 --- 0 12 0 12 0 0

CE-A 12 CANT 12 24 12 24 0 0CE-1 12 2.400 / CE-A 24 36 24 36 0 0CE-2 12 Bloco CE-1 36 48 42 54 6 0CE-B 12 CE-2 48 60 60 72 12 0

BL-A 6 CE-A 24 30 26 32 2 0BL-1 6 1.800 / CE-1, BL-A 36 42 36 42 0 0BL-2 6 Bloco CE-2, BL-1 48 54 54 60 6 0

QUADRO DE DATAS E FOLGAS

1 Bate-Estaca

1 Jogo de Formas/


BL-2 6 Bloco CE-2, BL-1 48 54 54 60 6 0BL-B 6 CE-B, BL-2 60 66 72 78 12 0

ENC-A 10 BL-A 30 40 32 42 2 2ENC-B 10 4.000 / BL-B, PL-2 66 76 78 88 12 0

PL-1 10 Pilar ou BL-1, ENC-A 42 52 42 52 0 0PL-2 10 Encontro BL-2, PL-1 54 64 60 70 6 0

CIM-A1 12 PL-1 52 64 52 64 0 0CIM-12 12 4.800 / Vão CIM-A1, PL-2 64 76 70 82 6 0CIM-2B 12 CIM-12, ENC-B 76 88 88 100 12 12

TAB-A1 18 CIM-A1 64 82 64 82 0 0TAB-12 18 7.200 / TAB-A1, CIM-12 82 100 82 100 0 0TAB-2B 18 Tabuleiro TAB-12, CIM-2B 100 118 100 118 0 0

ACAB 8 --- 5.600 TAB-2B 118 126 118 126 0 0

Formas/Bloco

1 Jogo de Formas

1 Equipe

1 Jogo de Formas

• FL ≤≤≤≤ FT (sempre);• FT = DTT – DIC – d, sendo d a duração da atividade.• FL = DIC* – DIC – d, sendo DIC* das próximas atividades.

• Caminho crítico: CANT � CE-A � CE-1 � BL-1 � PL-1 � CIM-A1 � TAB-A1 � TAB-12 �TAB-2B � ACAB.


HISTOGRAMA

14

16

18

20

Unidad

e de Recu

rso

35

40

45

50

BL-2

BL-B

ENC-B

• Quando o Pessoal é multifuncional, o nivelamento de recursos (transposição de áreas no histograma) torna-se mais fácil, haja vista que estes deslocamentos implicam habilidades distintas em muitos


0

2

4

6

8

10

12

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Tempo

Unidad

e de Recu

rso

CANT

20 40 60 80 100 120 140

5

10

15

2025

30

CE-A

CE-1

CE-2

CE-B

BL-A

BL-2

ENC-A

CIM

-2B

PL-1

PL-2

CIM

-A1

CIM-12

TAB-

TAB-12

TAB-

ACAB

BL-1

habilidades distintas em muitos casos.

• Durante o nivelamento de recursos, deve-se atentar para não dividir as áreas em duas partes, refutando o princípio da continuidade.

• Em determinados instantes deste Projeto, existem variações intensas na alocação dos recursos, conforme demonstra o histograma.


ATIVIDADE

CANT 15

CE-A 10CE-1 10CE-2 10CE-B 10

BL-A 12BL-1 12BL-2 12BL-B 12

DIAGRAMA DE GANTT

15

10101010

12121212

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 PESSOAL

Complemento do

enunciado (dado).


BL-B 12

ENC-A 15ENC-B 15

PL-1 15PL-2 15

CIM-A1 13CIM-12 13CIM-2B 13

TAB-A1 18TAB-12 18TAB-2B 18

ACAB 15

12

1515

1515

131313

181818

15

• ENC-A e CIM-2B são as únicas atividades que têm FL ≠ 0, ou seja, suporta o nivelamento de recurso.

• Postergando ENC-A em 2 dias e CIM-2B em 12 dias, não haverá qualquer redução do Recurso de Pessoal, em qualquer instante (observar as Folgas Livres de ENC-A e CIM-2B na tabela anterior).


ATIVIDADE 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 TOTAL83% 17%1.000 200

67% 33%1.600 800

50% 50%1.200 1.200

1.200

2.400

2.400

CRONOGRAMA FINANCEIRO

CANT

CE-A

CE-1

• O custo no período é obtido fazendo o rateio do custo total sobre o número de dias da atividade correspondente.

• O percentual do Custo Global é resultante da razão entre o custo no período sobre o Custo Total do Projeto.


33% 67%800 1.600

17% 83%400 2.000

100%1.800

67% 33%1.200 600

33% 67%600 1.200

100%1.800

100%4.000

40% 60%1.600 2.400

4.000

4.000

2.400

2.400

1.800

1.800

1.800

1.800

BL-2

BL-B

ENC-A

ENC-B

CE-2

CE-B

BL-A

BL-1

• Os percentuais nas linhas das atividades são percentuais relativos, ao passo que os percentuais no rodapé da planillha (na próxima transparência) são percentuais absolutos.

• Poderíamos obter a Curva “S”, a Curva ABC das atividades (física e de custo), com base nesta planilha.


80% 20%3.200 800

60% 40%2.400 1.60067% 33%3.200 1.600

50% 50%2.400 2.400

33% 67%

4.800

4.800

4.800

4.000

4.000

CIM-2B

PL-1

PL-2

CIM-A1

CIM-12

• Poderíamos obter a Curva “S”, a Curva ABC das atividades (física e de custo), com base nesta planilha.


33% 67%1.600 3.200

33% 56% 11%2.400 4.000 800

44% 56%3.200 4.000

56% 44%4.000 3.200

25% 75%1.400 4.200

100,00%77,78% 83,07% 88,36% 94,44%26,72% 39,42% 54,50% 68,25%1,32% 3,70% 8,73% 18,25%

5,29% 5,29% 6,08% 5,56%

75.600

1,32% 2,38% 5,03% 9,52% 8,47% 12,70% 15,08% 13,76% 9,52%

58.800 62.800 66.800 71.400

4.600 4.200

1.000 2.800 6.600 13.800 20.200 29.800 41.200 51.600

10.400 7.200 4.000 4.000

---

100,00%

---

1.000 1.800 3.800 7.200 6.400 9.600 11.400

7.200

7.200

5.600

75.600

4.800

7.200

% DO CUSTO ACUMULADO

ACAB

CUSTO DO PERÍODOCUSTO

ACUMULADO% DO CUSTO GLOBAL

CIM-2B

TAB-A1

TAB-12

TAB-2B


ATIVIDADE 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 TOTAL83% 17%1.000 200

67% 33%1.600 800

50% 50%1.200 1.200

33% 67%800 1.600

17% 83%400 2.000

100%1.800

67% 33%1.200 600

33% 67%600 1.200

100%

1.200

2.400

2.400

2.400

2.400

1.800

1.800

1.800

1.800

BL-2

BL-B

CE-2

CE-B

BL-A

BL-1

CRONOGRAMA FINANCEIRO

CANT

CE-A

CE-1


100%1.800

100%4.000

40% 60%1.600 2.400

80% 20%3.200 800

60% 40%2.400 1.60067% 33%3.200 1.600

50% 50%2.400 2.400

33% 67%1.600 3.200

33% 56% 11%2.400 4.000 800

44% 56%3.200 4.000

56% 44%4.000 3.200

25% 75%1.400 4.200

100,00%77,78% 83,07% 88,36% 94,44%26,72% 39,42% 54,50% 68,25%1,32% 3,70% 8,73% 18,25%

5,29% 5,29% 6,08% 5,56%

75.600

1,32% 2,38% 5,03% 9,52% 8,47% 12,70% 15,08% 13,76% 9,52%

58.800 62.800 66.800 71.400

4.600 4.200

1.000 2.800 6.600 13.800 20.200 29.800 41.200 51.600

10.400 7.200 4.000 4.000

---

100,00%

---

1.000 1.800 3.800 7.200 6.400 9.600 11.400

7.200

7.200

5.600

75.600

4.800

4.800

4.800

7.200

4.000

4.000

4.000

4.000

% DO CUSTO ACUMULADO

1.800

ACAB

CUSTO DO PERÍODOCUSTO

ACUMULADO% DO CUSTO GLOBAL

CIM-2B

TAB-A1

TAB-12

TAB-2B

PL-1

PL-2

CIM-A1

CIM-12

BL-B

ENC-A

ENC-B


CURVA "S"

80%

90%

100%

110%

% do Custo Acumulado

• O cronograma de consumo de recursos é a Curva “S” de cada atividade, incidindo sobre a quantidade de recursos alocados em cada atividade.


0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Dias


10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130

cada atividade.

• Para simplificar, algumas empresas adotam a Curva “S” da Obra para todas as suas atividades, obtendo-se projeções pouco precisas.

• O consumo de recursos no período (dias da Obra) é a soma do consumo de todas as atividades neste período.

• Em suma, o cronograma de consumo de recursos é a influência da Curva “S” (curva de execução) no Diagrama de Gantt.


ATIVIDADE TOTAL ATIVIDADE TOTAL % ISOLADA % ACUMULADA

42,33%

48,68%

55,03%

9,52%

19,05%

28,57%

35,98%

6,35%

6,35%

6,35%

9,52%

9,52%

9,52%

7,41%

CIM-2B 4.800

CIM-A1 4.800

CIM-12 4.800

TAB-2B 7.200

ACAB 5.600

TAB-A1 7.200

TAB-12 7.200

CURVA ABC

BL-1 1.800

CE-B 2.400

BL-A 1.800

DADOS

CANT 1.200

CE-A 2.400

CE-1 2.400

CE-2 2.400Estabelecendo a ordem

descendente de custo

• A título de exploração, poderíamos ainda prospectar a viabilidade da redução da duração do Projeto, projetando os custos diretos, indiretos e desenhando o PERT Custo.

• Mais profundamente, poderíamos


93,65%

96,03%

98,41%

100,00%

82,54%

85,71%

88,89%

91,27%

65,61%

70,90%

76,19%

79,37%

60,32%

2,38%

2,38%

2,38%

1,59%

3,17%

3,17%

3,17%

2,38%

5,29%

5,29%

5,29%

3,17%

5,29%

75.600 100,00% -----TOTAL

BL-B 1.800

CANT 1.200

BL-1 1.800

BL-2 1.800

CE-B 2.400

BL-A 1.800

CE-1 2.400

CE-2 2.400

PL-2 4.000

CE-A 2.400

ENC-B 4.000

PL-1 4.000

ENC-A 4.000

5.600TOTAL

TAB-2B 7.200

ACAB 5.600

TAB-A1 7.200

TAB-12 7.200

CIM-12 4.800

CIM-2B 4.800

PL-2 4.000

CIM-A1 4.800

ENC-B 4.000

PL-1 4.000

BL-B 1.800

ENC-A 4.000

BL-2 1.800 Estabelecendo a ordem

descendente de custo

• Mais profundamente, poderíamos analisar as probabilidades de realização para cada redução na duração do Projeto.

• A Rede PERT é muito útil quando inserimos nas projeções fatores de natureza pouco controlável ou alguns imprevistos que podem, por algum motivo, acontecer. Ex.: chuvas, intempéries, quebra de equipamento, planos governamentais, liberação de verbas, novos marcos contratuais etc.

DIAGRAMA DE PARETO (Curva ABC)

70%

80%

90%

100%

110%



A B C

• Classe A = TAB + ACAB + CIM;

• Classe B = ENC + PL + CE;

• Classe C = BL + CANT.


0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

1

Atividades


TAB-A1

TAB-12

TAB-2B

ACAB

CIM

-A1

CIM

-12

CIM

-2B

ENC-A

ENC-B

PL-1

PL-2

CE-A

CE-1

CE-2

CE-B

BL-A

B-1

BL-2

CANT

• Classe C = BL + CANT.

• Observe que nos trechos da Curva ABC em que tem-se a sequência de partes estruturais (TAB, CIM, ENC, PL, CE e BL), há um segmento de reta e não uma curva, pois o custo isolado em cada parte estrutural é o mesmo, independentemente do vão (A, 1, 2 e B).

• O princípio de classificação foi estabelecido pelo Economista italiano Vilfredo Pareto: poucos itens determinam a maior parte de um resultado.

Redes Cpm e Pert[1]

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