quali_v2_0811

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC

Mestrado em Matemtica Aplicada

Augusto Csar Dias dos Reis

Modelo de Ponzano-Regge

Santo Andr, 2015

Universidade Federal do ABC

CMCC - Centro de Matemtica, Computao e Cognio -UFABC

Augusto Csar Dias dos Reis

Modelo de Ponzano-Regge

Orientador: Prof. Dr. Rodrigo Fresneda

Texto de qualificao do mestrado apresen-tado ao CMCC - Centro de Matemtica,Computao e Cognio - UFABC, como re-quisito parcial para obteno do ttulo deMestre em Matemtica Aplicada.

Santo Andr, 2015

AGRADECIMENTOS

Agradeo todos que quero agradecer.

i

Resumo

Insira o resumo e as palavras chaves.

Palavras-chave: TCC, Trabalho, Modelo

iii

Abstract

Insert the abstract and keywords.

Keywords: Thesis, Model, Book.

v

Sumrio

Captulo 1. INTRODUO 1

Captulo 2. GRUPO DE LIE SU(2) 32.1. Representaes do grupo SU(2) 32.2. Representaes 52.3. Redutibilidade das representaes 62.4. Produto direto de representaes 62.5. Lema de Schur 82.6. Representaes nos espaos de funes 92.7. Representaes irredutveis de SU(2) 122.8. Reduo do produto direto de representaes irredutveis 182.9. Reduo de um produto triplo 242.10. Relao entre os coeficientes 3-j e 6-j 27

Captulo 3. MOMENTO ANGULAR 293.1. Operador de Casimir 293.2. Autovalores de L2 e de L3 293.3. No-degenerescncia dos autovalores de L3 353.4. Propriedades de ortogonalidade de representaes irredutveis 363.5. Adio de Momento Angular 38

Captulo 4. MODELO DE PONZANO-REGGE 454.1. Soma de estado 454.2. Redes de Spin 46

Referncias Bibliogrficas 50

Apndices 53

Captulo A. REDES DE SPIN 55A.1. ngulos entre sistemas 55

vii

1INTRODUO

O modelo de Ponzano-Reggel considerado o primeiro modelo que define a gravitaoquntica em uma variedade tridimensional triangularizada. um modelo que faz uso dogrupo de Lie SU(2), por meio de suas representaes irredutveis e suas propriedades. Dessaforma, neste trabalho iniciaremos abordando pr-requisitos matemticos para o estudo maisdetalhado do modelo em questo.

Primeiro faremos um apanhado geral sobre representaes de grupos de Lie (compac-tos), como redutibilidade de uma representao, representaes de produto direto, repre-sentaes no espao de funes, aplicaes ao caso particular de SU(2), alm de definirmosos smbolos 3-j e 6-j.

Em seguida, relacionamos esses conceitos com a teoria de momento angular na fsicae definimos o que so redes de spin, apresentando algumas de suas propriedades. Tendoesses conceitos estabelecidos, os relacionaremos com o nosso modelo de estudo.

Por fim, apresentaremos as concluses preliminares de nossa pesquisa e intenes paraa concluso da dissertao.

1

2GRUPO DE LIE SU(2)

2.1. Representaes do grupo SU(2)

O grupo SU(2), tambm chamado de grupo das representaes unitrias especiais deordem 2, constitudo pelas matrizes 2x2 complexas unitrias e de determinante 1, emque unitria significa AA = AA = 1, tal que A representa a transposta conjugada deA. Note que A possui inversa e A1 = A.

Vamos denotar A por A =

(a11 a12

a21 a22

), onde aij C. Temos:

AA = 1(|a11|2 + |a12|2 a11a21 + a12a22a21a11 + a22a12 |a21|2 + |a22|2

)=

(1 0

0 1

).

Isso nos fornece o seguinte sistema:

|a11|2 + |a12|2 = 1a11a21 + a12a22 = 0

a21a11 + a22a12 = 0

|a21|2 + |a22|2 = 1.

}so equivalentes.

Alm disso, detA = 1, ento resulta que a11a22 a12a21 = 1.Sendo assim, tais matrizes possuem quatro elementos complexos, ou oito parmetros

reais, porm devido unitariedade reduz-se o nmero de parmetros independentes de 8para 4, e a condio detA = 1 d mais uma restrio, levando ao total de 3 parmetrosreais.

Tais condies nos permitem reescrever A como:

A =

(0 + i3 2 + i12 + i1 0 i3

), (2.1.1)

3

4 2. GRUPO DE LIE SU(2)

onde

detA = 20 + 21 +

22 +

23 = 1.

Observe que 20 +21 +

22 +

23 = 1 a equao da esfera S

3 que pode ser reparametrizadaem coordenadas bicomplexas como

0 + i3 = cos()ei1 , 1 + i2 = sen()e

i2 ,

onde os trs ngulos , 1, 2 so tais que 0 < 0, conclumos que > 0.Escrevemos, por convenincia, os autovalores de L2 como = l(l + 1)~2, com l > 0

e os autovalores de L3 como = m~, e como L2 e L3 comutam, podemos escolher uma29

30 3. MOMENTO ANGULAR

base ortogonal, cujos vetores so, simultaneamente, autovetores de L2 e L3, relacionadosaos autovalores l(l+ 1)~2 e m~, respectivamente. Denotaremos esses autovetores por l,m.

Assim, temos L2l,m = ~2l(l + 1)l,m e L3l,m = m~l,m.Vamos definir os operadores no hermitianos L+ e L por:

L+ := L1 + iL2 (3.2.1)

L := L1 iL2 (3.2.2)

Apesar de no serem hermitianos, temos que L+ = L e vice-versa. Esses operadorespodem ser chamados operadores de levantamento e abaixamento. Note que somando (3.2.1)

e (3.2.2), temos L1 =L+ + L

2e subtraindo (3.2.1) de (3.2.2), temos L2 =

L+ L2i

. Logo,[La, Lb] = iabcLc pode ser escrita em termos de L+, L e L3, da seguinte forma:

[L3, L+] = [L3, L1 + iL2]

= [L3, L1] + i[L3, L2]

= i~L2 i2~L1= ~(L1 + iL2)

= ~L+ (3.2.3)

[L3, L] = [L3, L1 iL2]= [L3, L1] i[L3, L2]= i~L2 + i2~L1

= ~(L1 + iL2)= ~L (3.2.4)

[L+, L] = [L1 + iL2, L1 iL2]= [L1, L1] i[L1, L2] + i[L2, L1] [L2, L2]= i2~L3 i2~L3= 2~L3. (3.2.5)

3. MOMENTO ANGULAR 31

E, tambm temos:

L+L = (L1 + iL2)(L1 iL2)= L21 iL1L2 + iL2L1 + L22= L21 i[L1, L2] + L22 (3.2.6)= L21 + L

22 i2~L3

= L21 + L22 + ~L3.

LL+ = (L1 iL2)(L1 + iL2)= L21 + iL1L2 iL2L1 + L22= L21 + i[L1, L2] + L

22 (3.2.7)

= L21 + L22 + i

2~L3

= L21 + L22 ~L3.

Dessa forma, usando (3.1.1), podemos reescrever (3.2.6) e (3.2.7) da seguinte forma:

L+L = L2 L3 + ~L3 (3.2.8)LL+ = L2 L23 ~L3. (3.2.9)

Somando (3.2.8) e (3.2.9), obtemos:

L+L + LL+ = 2L2 2L23L2 =

1

2(L+L + LL+) + L23.

Assim, usando estas igualdades, podemos obter vrias concluses sobre os autovalorese autovetores de L2 e L3.

Proposio 18. Se l(l + 1)~2 e m~ so os autovalores de L2 e L3, respectivamente,associados ao mesmo autovetor l,m, ento l e m satisfazem:

l 6 m 6 l.


Demonstrao.

L+Ll,m = (L2 L23 + ~L3)l,m= L2l,m L23l,m + ~L3l,m= [l(l + 1)~2 (m~)2 + ~2m]l,m= [~2(l +m)(l m+ 1)]l,m.

LL+l,m = (L2 L23 ~L3)l,m= L2l,m L23l,m ~L3l,m= [l(l + 1)~2 (m~)2 ~2m]l,m= [~2(l m)(l +m+ 1)]l,m.

Logo,

l,m, L+Ll,m = ~2(l +m)(l m+ 1)||l,m||2 (3.2.10)l,m, LL+l,m = ~2(l m)(l +m+ 1)||l,m||2. (3.2.11)

Como L = L,

0 6 Ll,m, Ll,m = l,m, L+Ll,m0 6 L+l,m, L+l,m = l,m, LL+l,m .

Segue que

(l +m)(l m+ 1) > 0 e (l m)(l +m+ 1) > 0Logo, vale

(1) l +m > 0 e l m+ 1 > 0 ou(2) l +m 6 0 e l m+ 1 6 0

Vale tambm que:(3) l m > 0 e l +m+ 1 > 0 ou(4) l m 6 0 e l +m+ 1 6 0

Em (2), se somarmos as desigualdades, temos que 2l 6 1, o que no possvel, pois l > 0.Ento, temos por (1) que m > l.

Em (4), assim como em (2), temos uma contradio. Ento, por (3) temos que m 6 l.Assim, conclumos que

l 6 m 6 l. (3.2.12)


Proposio 19. Seja l,m um autovetor no nulo de L2 e de L3 com autovaloresl(l + 1)~2 e m~, respectivamente. Ento

(1) m = l Ll,m = 0.(2) Se m > l, ento Ll,m um autovetor no nulo de L2 e L3 associados aos

autovalores l(l + 1)~2 e (m 1)~, respectivamente.Demonstrao.

(1) Por (3.2.10), temos que ||Ll,m||2 = ~2(l + m)(l m + 1)||l,m||2. Por hiptese,m = l. Logo, ||Ll,l||2 = ~2[l+ (l)][l (l) + 1]||l,l||2 = 0. Como a normade um vetor zero se, e somente se, o vetor nulo, conclumos que todos os vetoresLl,l so nulos.Por outro lado, se Ll,m = 0, multiplicando a igualdade por L+, obtemos

L+Ll,m = L+0

[~2(l +m)(l m+ 1)]l,m = 0Logo, por (3.2.12), conclumos que a nica soluo m = l.

(2) Se m > l, por (3.2.10), ||Ll,m||2 6= 0. Sabemos que os operadores L e L2comutam:

[L2, L]l,m = 0

mL2Ll,m = LL2l,m

= l(l + 1)~2Ll,m

Logo, Ll,m um autovetor de L2 associado ao autovalor l(l + 1)~2.Agora, por (3.2.4):

[L3L]l,m = ~Ll,mm

L3Ll,m = LL3l,m ~Ll,m= m~Ll,m ~Ll,m= (m 1)~Ll,m


Assim, Ll,m autovetor de L3 associado ao autovalor (m 1)~.

Analogamente, segue a proposio:

Proposio 20. Seja l,m um autovetor no nulo de L2 e L3 associado aos autovaloresl(l + 1)~2 e m~, respectivamente. Ento

(1) m = l L+l,m = 0(2) Se m < l, L+l,m um autovetor no nulo de L2 e L3 associado aos autovalores

l(l + 1)~2 e (m+ 1)~, respectivamente.

Demonstrao.

(1) Por (3.2.11), temos que

||L+l,m||2 = ~2(l m)(l +m+ 1)||l,m||2.

Por hiptese, m = l. Logo, ||L+l,l||2 = ~2(l l)(l + l + 1)||l,l||2 = 0. Como anorma de um vetor zero se, e somente se, o vetor nulo, conclumos que todosos vetores L+l,m so nulos.

Por outro lado, se L+l,mm = 0, multiplicando a igualdade por L, obtemos

LL+l,m = L0

[~2(l m)(l +m+ 1)]l,m = 0

Logo, por (3.2.12), conclumos que a nica soluo m = l.

(1) Se m < l, por (3.2.11), ||L+l,m||2 6= 0. Sabemos que os operadores L+ e L2comutam:

[L2, L+]l,m = 0

mL2L+l,m = L+L

2l,m

= l(l + 1)~2L+l,m

Logo, L+l,m um autovetor de L2 associado ao autovalor l(l + 1)~2.Agora, por (3.2.3):


[L3, L+]l,m = ~L+l,m

mL3L+l,m = L+L3l,m + ~L+l,m

= m~L+l,m + ~L+l,m

= (m+ 1)~L+l,m

Assim, L+l,m autovetor de L3 associado ao autovalor (m+ 1)~.

3.3. No-degenerescncia dos autovalores de L3

Acabamos de concluir que l,m um autovetor de L2 e L3, associados aos autovaloresl(l + 1)~2 e m~, respectivamente. Logo os 2l + 1 vetores

Ll+m l,m, , Ll,m, l,m, L+l,m, , Llm+ l,m (3.3.1)so autovetores no nulos de L2, associado ao autovalor l(l + 1)~2 e autovetores no

nulos de L3, associados aos autovalores m~, com l 6 m 6 l.Como estes 2l + 1 vetores correspondem a autovetores distintos, ento so ortogonais

entre si.Suponhamos, agora, que l,m seja outro autovetor de L2 e de L3 associado aos autova-

lores l(l + 1)~2 e m~, respectivamente. Assim, da mesma forma, os 2l + 1 vetores

Ll+m l,m, , Ll,m, l,m, L+l,m, , Llm+ l,m (3.3.2)tambm so autovetores no nulos de L2, associados aos autovalores l(l + 1)~2 e auto-

vetores no nulos de L3, associados aos autovalores m~, com l 6 m 6 l.Sejam U e V os subespaos (2l + 1)-dimensionais gerados por (3.3.1) e (3.3.2), respec-

tivamente.Vamos mostrar, por induo, que U e V so ortogonais.De fato, como os autovalores de L3 so ortogonais, basta mostrarmos que:

(L)al,m, (L)al,m = 0, a = 0, , l mPara a = 0, imediato, pois l,m|l,m = 0, j que so ortogonais, por hiptese. Vamos

supor que

(L+)a1l,m, (L+)a1l,m = 0 a = 0, , l m


Usando que L+ = L, temos

(L+)al,m, (L+)al,m = (L+)a1l,m, LL+(L+)a1l,m(3.2.9)

= (L+)a1l,m, (L2 L23 ~L3)(L+)a1l,m

Agora, usando que (L+)a1l,m autovetor de L2 associado ao autovalor l(l + 1)~2 eautovetor de L3 associado ao autovalor (m a 1)~, temos:

(L+)al,m, (L+)al,m ={l(l + 1)~2 [(m a 1)~]2 (m a 1)~2}(L+)a1l,m, (L+)a1l,m

= 0

A demonstrao de

(L)a1l,m, (L)a1l,m = 0 a = 0, , l +m

anloga.Assim, conclumos que U e V so ortogonais.Porm, note que U e V so subespaos invariantes na lgebra gerada por L1, L2, L3,

ou seja, essa representao no irredutvel, o que contraria a hiptese. Logo, a dimensode cada autoespao igual a 1 e (3.3.1) representa todos seus respectivos autovetores.

Cada representao irredutvel de SU(2) caracterizada por um autovalor de L2, entovamos index-las pelo ndice l: Dl, onde l inteiro ou semi-inteiro, j que a dimenso finita

3.4. Propriedades de ortogonalidade de representaes irredutveis

Seja D(g) uma representao irredutvel de um grupo de Lie compacto G. Considere aintegral

X =

D(g)Z D(g1)dg,

onde Z uma matriz constante arbitrria. A integral representa a integral de cada elementoD(g)Z D(g1) e dg a medida de Haar em G. A matriz X satisfaz D(A)XD(A1) = X,


pois

D(A)X D(A1) = D(A)D(g)Z D(g1)dg D(A1)

=

D(A)D(g)Z D(g1)D(A1)dg

=

D(Ag)Z D((Ag)1)dg

e pela invarincia da medida de Haar temos que D(A)X D(A1) = X.

Assim, X = I, onde pode ser representada pela expresso =TrX

n, tal que n a

dimenso da representao, j que Tr I = n. Assim, podemos escrever:

TrX =

Tr[D(g)Z D(g1)]dg

=

Tr[D(g)D(g1)Z]dg

=

Tr[IZ]dg

=

TrZ dg

= TrZ,

onde o volume do grupo definido pela integral. Portanto,D(g)Z D(g1)dg =

TrZ

nI. (3.4.1)

Podemos reescrever a equao (3.4.1) limitando-nos apenas s representaes unitriastais que D(g1) = D(g)1 = D(g) da seguinte maneira:

kl

D(g)ik ZklD(g)jldg =

TrZ ijn

, (3.4.2)

j que o transposto conjugado de D(g)lj D(g)jl.A matriz Z, que at agora era arbitrria ser escolhida como sendo a matriz tal que

Zkl(m,n) = kmln. Logo, seu trao TrZ(m,n) = mn.Substituindo em (3.4.2), j que a soma em kl reduz-se em um termo, temos:

D(g)imD(g)jndg =

mnijn

.

Vamos considerar duas representaes irredutveis no equivalentes D1(A) e D2(A),matrizes de dimenses m e n, respectivamente.


3.5. Adio de Momento Angular

A adio de momento angular tem um importante papel em aplicaes de diversas reasda fsica moderna (de espectroscopia atmica at colises de partculas e nucleares). Almdisso, seu estudo permite ilustrar o conceito de troca de bases e o lado fsico de diversaspropriedades que estudamos em carter mais matemtico.

3.5.1. Exemplos de adio de momento angular. Antes de formalizarmos o con-ceito de adio de momento angular, vamos apresentar um exemplo de como somar mo-

mentos angulares de spin de duas partculas de spin1

2.

O operador de spin total escrito como

S = S1 + S2,

onde,

[S1i, S2j] = 0,

com i 6= j e i, j = x, y, z. As relaes de comutao usuais so dadas por [S1a, S1b] =i~abcS1c e [S2a, S2b] = i~abcS2c, a, b, c = x, y, z. O que nos d como consequncia diretaque para as componentes Sx, Sy e Sz do operador de spin total:

[Sx, Sy] = i~Sz;

[Sy, Sz] = i~Sx;

[Sz, Sx] = i~Sy.

Os autovalores dos operadores sero dados por:

S2 = (S1 + S2)2 : s(s+ 1)~2

Sz = S1z + S2z : m~

S1z : m1~

S2z : m2~,

onde s m s; m, s = , 0, 12, 1, , e dados s1 e s2 autovalores de S1 e S2,

respectivamente, si mi si; mi, si = , 0, 12, 1, , com i = 1, 2.

Podemos expandir o vetor correspondente a um estado de spin arbitrrio de dois eltronsem termos de autovetores de S1z e S2z ou em termos de autovetores de S2 e Sz. Nesse caso,o espao de Hilbert o produto direto dos espaos S = S1 S2. As duas possibilidadesque temos so:


(1) A representao {m1,m2} baseada nos autovetores de S1z e S2z:

|+,+ , |+, , |,+ , e |, ,

onde |+, representa m1 = 12, m2 = 1

2, e etc.

(2) A representao {s,m} baseada nos autovetores de S2 e Sz :

|s = 1,m = 1, 0 e |s = 0,m = 0 ,

onde, quando s = 1 chamada de tripleto de spin e quando s = 0 chamada desingleto de spin.

Existe uma matriz de mudana de base entre essas bases e uma relao entre dois dessesconjuntos dada por:

|s = 1,m = 1 = |+,+ . (3.5.1)

O lado direito da igualdade (3.5.1) indica que temos ambos eltrons com spin up. Apartir desta igualdade, podemos aplicar o operador escada

S = S1 + S2

= (S1x iS1y) + (S2x iS2y),

da seguinte forma:

S |s = 1,m = 1 = (S1 + S2) |+,+ ,obtendo

1 + 1

1 1 + 1 |s = 1,m = 0 =

1

2+

1

2

1

2 1

2+ 1 (|+,+ |,+)

|s = 1,m = 0 = 12

(|+,+ |,+) . (3.5.2)

Procedendo da mesma forma em (3.5.2), obtm-se a seguinte igualdade

|s = 1,m = 1 = |, , (3.5.3)

que por sua vez, resulta em

|s = 0,m = 0 = 12

(|+, |,+) . (3.5.4)

Os coeficientes que aparecem do lado direito das equaes (3.5.1), (3.5.2), (3.5.3) e(3.5.4) so alguns dos exemplos mais simples de coeficientes de Clebsch-Gordan, que soos elementos da matriz de transformao que liga a base {m1,m2} base {s,m}.


3.5.2. Formalismo da Adio de Momento Angular. Considere dois operado-res de momento angular J1 e J2 em diferentes subespaos. As componentes de J1(J2)satisfazem as relaes usuais de comutao de momento angular:

[J1i, J1j] = i~ijkJ1k (3.5.5)

e

[J2i, J2j] = i~ijkJ2k. (3.5.6)

Mas,

[J1k, J2l] = 0

para qualquer par de operadores de subespaos diferentes.O operador de rotao infinitesimal que afeta ambos os subespaos escrito como(

1 iJ1 n~

)(

1 iJ2 n~

)= 1 i(J1 1+ 1 J2) n

~.

A partir de (3.5.5) e (3.5.6), temos que J satisfaz as relaes de comutao de momentoangular

[Ji,Jj] = i~ijkJk,

o que fisicamente faz sentido, j que J o gerador de todo o sistema.O que vimos anteriormente sobre o espectro dos autovalores de J2 e Jz e a matriz dos

elementos dos operadores escada tambm so vlidos para J.Podemos escolher entre duas opes de base de autovetores.

(1) Os autovetores simultneos de J21, J22, J1z e J2z, os quais denotaremos por |j1, j2;m1,m2 .

As equaes de autovalor para esses operadores so definidas por:

J21 |j1, j2;m1,m2 = j1(j1 + 1)~2 |j1, j2;m1,m2 ;J1z |j1, j2;m1,m2 = m1~ |j1, j2;m1,m2 ;J22 |j1, j2;m1,m2 = j2(j2 + 1)~2 |j1, j2;m1,m2 ;J2z |j1, j2;m1,m2 = m2~ |j1, j2;m1,m2 .

(2) Os autovetores simultneos de J21, J22, Jz e J

2, os quais denotaremos por |j1, j2;m .Observe que, assim como no caso anterior, todos esses operadores comutam entresi e, em particular, [J2,J21] = 0, que fcil de ser mostrado reescrevendo J

2 =

J21 + J22 + 2J1zJ2z + J1+J2 + J1J2+. As equaes de autovalor desses operadores


so definidas por:

J21 |j1, j2;m = j1(j1 + 1)~2 |j1, j2;m ;J22 |j1, j2;m = j2(j2 + 1)~2 |j1, j2;m ;J2 |j1, j2;m = j(j + 1)~2 |j1, j2;m ;Jz |j1, j2;m = m~ |j1, j2;m .

Observao 21. Mesmo que J2 comute com Jz, o mesmo no acontece entre J2 e J1znem com J2 e J2z, ou seja, no podemos acrescentar J2 na 1 opo e, da mesma forma,no podemos adicionar J1z e J2z na 2 opo. Ento temos dois possveis conjuntos debases de vetores correspondentes aos dois conjuntos maximais de observveis mutualmentecompatveis que temos construdo.

Vamos considerar a seguinte transformao unitria que conecta as duas bases:

|j1, j2; j,m =m1

m2

|j1, j2;m1,m2 j1, j2;m1,m2|j1, j2; j,m ,

ondem1

m2

|j1, j2;m1,m2 j1, j2;m1,m2| = 1 a relao de completeza da base antigae 1 o operador identidade no espao vetorial de j1 e j2. Os elementos dessa matriz detransformao j1, j2;m1,m2|j1, j2; j,m so os coeficientes de Clebsch-Gordan.

Algumas propriedades interessantes desses coeficientes podem ser estudadas. Primeiro,os coeficientes so anulados a menos que

m = m1 +m2. (3.5.7)

Uma demonstrao simples desse fato pode ser obtida observando a seguinte igualdade

(Jz J1z J2z) |j1, j2; j,m = 0.Se multiplicarmos pela esquerda o vetor j1, j2;m1,m2| , obtemos

(mm1 m2) j1, j2;m1,m2|j1, j2; j,m = 0,o que mostra a nossa igualdade.

Alm disso, vamos verificar quais valores j pode assumir. Vamos considerar as desi-gualdades (3.5.8) e (3.5.9).

j1 m1 j1, (3.5.8) j2 m2 j2. (3.5.9)

Usando (3.5.7), reescrevemos essas desigualdades acima como

j1 mm2 j1,


j2 mm1 j2.Vamos assumir que m, m1 e m2 assumem seus valores mximos m = j, m1 = j1 e

m2 = j2. Assim, as desigualdades acima podem ser escritas como:

j2 j1 j j1 + j2,j1 j2 j j2 + j1.

J que essas desigualdades so simultaneamente satisfeitas, conclumos que

|j1 j2| j j1 + j2. (3.5.10)Uma consequncia disso que como m varia entre j e +j, j pode assumir apenas os

valores

j = |j1 j2|, |j1 j2|+ 1, , j1 + j2 1, j1 + j2,e, ento o espao gerado pelo vetor |j1, j2;m1,m2 tem a mesma dimenso do espao geradopor |j1, j2; j,m .

Dado ja existem 2ja + 1 possveis valores para ma, a = 1, 2, de onde obtemos

N = (2j1 + 1)(2j2 + 1).

De (3.5.10) temos que

N =

j1+j2j=j1j2

(2j + 1)

=1

2[2(j1 j2) + 1 + 2(j1 + j2) + 1] [2j2 + 1]

=1

2[4j1 + 2] [2j2 + 1]

= (2j1 + 1)(2j2 + 1).

Os coeficientes de Clebsch-Gordan formam uma matriz unitria e seus elementos serotomados reais, por conveno. Uma consequncia imediata disso que o coeficiente inversoj1, j2; jm|j1, j2;m1,m2 o prprio j1, j2;m1,m2|j1, j2; j,m.

Do fato de os coeficientes de Clebsch-Gordan serem reais e da ortonormalidade de{|j1j2;m1,m2} , obtemos a condio de ortogonalidade

j

m

j1, j2;m1,m2|j1, j2; j,m j1, j2;m1,m2|j1, j2; j,m = m1m1m2m2.

E tambmm1

m2

j1, j2;m1,m2|j1, j2; j,m j1, j2;m1,m2|j1, j2; j,m = jjmm.


Para o caso especial em que j = j, m = m = m1 +m2, obtemosm1

m2

| j1, j2;m1,m2|j1, j2; j,m |2 = 1,

que a condio de normalizao para |j1, j2; j,m .3.5.3. Relao entre os coeficientes de Clebsch-Gordan e os smbolos 3-j.

Alguns autores tambm usam notaes diferentes, por exemplo, em termos dos smbolos3-j:

j1, j2;m1,m2|j1, j2; j,m = (1)j1j2+m

2j + 1

(j1 j2 j

m1 m2 m

).

Note que a relao acima verdadeira.

4MODELO DE PONZANO-REGGE

4.1. Soma de estado

4.1.1. Peso. Seja M uma variedade tridimensional compacta triangularizada. Umestado do modelo representado por uma representao irredutvel do grupo SU(2) paracada aresta da triangularizao. As representaes irredutveis (chamaremos de irrepre-sentaes) so rotuladas por um parmetro j semi-inteiro no negativo, chamado de spin,tal que a dimenso da representao 2j+1. Para cada estado existe determinado nmeroreal denominado peso. O peso dado pela seguinte frmula

W =

arestas interiores

(1)2j(2j + 1)

tringulos interiores

(1)j1+j2+j3

tetraedro

{j1 j2 j3

j4 j5 j6

},

onde os pesos para cada simplex so determinados pelas etiquetas em cada simplex. Ostringulos e arestas que aparecem so os que existem no interior da variedade. O peso paraum tetraedro um smbolo 6-j.

Observe na figura (4.1.1) como so etiquetados as arestas do tetraedro.

j1

j5

j2

j3

j4

j6

Figura 4.1.1. Tetraedro

Os smbolos 6-j so simtricos sob o grupo de permutaes dos vrtices do tetraedro.45

46 4. MODELO DE PONZANO-REGGE

O peso definido igual 0 se as condies de admissibilidade no so satisfeitas. Taiscondies so

j1 + j2 + j3 Z,j1 + j2 + j3 0,

para cada tringulo. Alm disso, comum definir-se os valores de um smbolo 6-j iguais zero caso essas condies no so satisfeitas em cada face.

Definindo j1 j2 j3j4 j5 j6 = i2(j1+j2+j3+j4+j5+j6)

{j1 j2 j3

j4 j5 j6

},

obtemos uma frmula alternativa para o peso

W =

arestas interiores

(1)2j(2j + 1)

tetraedro

j1 j2 j3j4 j5 j6 .

4.2. Redes de Spin

Os pesos de Ponzano-Regge podem ser entendidos sistematicamente usando redes despin, que so diagramas que codificam um clculo usando operadores de entrelaamentopara representaes de SU(2). necessrio observar que a ordem dos argumentos nessesgrficos importa.

Se A e B so representaes de SU(2), ento um operador de entrelaamento de A eB representado por um diagrama desenhado em um subconjunto retangular do plano,com limites dados pelas quatro arestas. Este subconjunto retangular tem a aresta inferiorrotulada por A e sua aresta superior rotulada por B.

No diagrama existem linhas rotuladas por irrepresentaes e tais linhas podem alcanaros limites da regio retangular no topo ou na base. Por exemplo, se a aresta inferior deum diagrama encontra-se com duas linhas rotuladas por j1 e j2,ento o rtulo inferior dodiagrama A = j1j2. Dois diagramas so considerados iguais se um obtido do outro poruma deformao contnua do plano que mantm as arestas verticais e horizontais intactas.

Uma tripla de spins (j1, j2, j3) chamada admissvel se a representao j3 ocorre nadecomposio de Clebsch-Gordan de j1 j2. Para cada tripla admissvel (j1, j2, j3), existeuma escolha cannica de operadores de entrelaamento j1 j2 j3. Este um vetor dabase em um espao unidimensional de tais entrelaamentos como representado na figura(4.2.1).

4. MODELO DE PONZANO-REGGE 47

j1 j2

j3

Figura 4.2.1. Vrtice da rede de spin

Os entrelaamentos so representados pelo empilhamento vertical dos retngulos e oproduto tensorial entre eles so representados pelo empilhamento horizontal dos retngulos.No entrelaamento, as linhas devem ser contnuas, por exemplo, se entrelaarmos

j j

comj j

,

resulta em

j

=

j

.

Um exemplo de produto tensorial

j

=j

jj

.

As representaes e os operadores de entrelaamento cannicos so construdos da re-

presentao de spin1

2e alguns entrelaamentos bsicos so chamados de diagramas iden-

tidade, mximo, mnimo e cruzado. Quando qualquer linha for rotulada consideraremos

como sendo representao de spin1

2.

identidade maximo mnimo cruzado

No necessrio saber a representao de tensor dos operadores de entrelaamento,pois podemos trabalhar com estes diagramas bsicos e suas relaes. Isto foi desenvolvidosistematicamente por Kauffman em [X] para a teoria mais generalizada de qdeformao.Kauffman introduziu um parmetro A como o parmetro de deformao, com A2 = q, ouseja, para o caso do modelo de Ponzano-Regge escolhemos A = 1 ou A = 1. As relaesbsicas para spin

1

2, com A = 1, so

48 4. MODELO DE PONZANO-REGGE

= 2

e

= A +

Estas relaes envolvem dois diferentes sinais que precisam de explicao, o menos em(4.2) e a escolha do A = 1 em (4.2).

4.2.1. Sinal na categoria esfrica. O sinal de menos em (4.2) uma consequnciada relao

=

que corrige a representao de tensor do diagrama mximo dada a definio do mnimo.Invarincia sob o grupo SU(2) significa que o mnimo um tensor antissimtrico, ij, noespao de spin bidimensional, mas sua escala global arbitrria. O loop em (4.2) tem valorl = ij

ij, onde ijjk = ki . Assim l = Tr(I) = 2.Esta relao generaliza o caso de um loop rotulado com o spin j irredutvel. Neste caso,

o valor do diagrama a dimenso quntica.

j= (1)2j(2j + 1).

4.2.2. Sinal no diagrama cruzado. O modelo de Ponzano-Regge independente daescolha de A = 1 em (4.2), devido que as redes de spin necessrias na definio do modelode Ponzano-Regge so todos planares, ou seja, sem cruzamentos, alm da escolha cannicados entrelaamentos do vertex que podem ser expressos sem o uso de cruzamentos.

til usar diagramas com cruzamentos para diversos clculos. Calculando o ladodireito de (4.2) obtemos o entrelaamento

A(ij

kl + ki lj

)= Akj

li.

Para A = 1, isto apenas 7 e as redes de spin so o clculo espinorial. ParaA = 1, o diagrama cruzado 7 , que uma verso ferminica do clculoespinorial chamado de clculo binorial.

4. MODELO DE PONZANO-REGGE 49

4.2.3. O Peso. O peso do modelo de Ponzano-Regge pode ser escrito usando redes

de spin definindo-se

[j1 j2 j3

j4 j5 j6

]como sendo a rede de spin tetraedral

j4

j2j3

j5

j6j1

e (a, b, c) pela rede teta

a b c

O smbolo 6 j dado por

{j1 j2 j3

j4 j5 j6

}=

[j1 j2 j3

j4 j5 j6

]|(j1, j2, j3)(j2, j4, j6)(j3, j4, j5)(j1, j5, j6)| .

Como o sinal de (j1, j2, j3) igual (1)j1+j2+j3 , o peso para a variedade fechada podeser escrito como

W =

arestas

(1)2j(2j + 1)

tringulos

(j1, j2, j3)1

tetraedro

[j1 j2 j3

j4 j5 j6

].

Referncias Bibliogrficas

[1] TALMAN, J. D. Special functions: A group theoretic approach. W. A. Benjamin, Inc., 1968.[2] BARATA, J. C. A. Curso de fsica-matemtica. Verso de 27 de maio de 2015. 2119 pginas.[3] BARRETT, J. W.; NAISH-GUZMAN, I. The ponzano-regge model. Classical and Quantum Gravity,

v. 26, n. 15, p. 155014, 2009.[4] BRUSCHI, L. Los grupos su(2), so(3) y sus representaciones. Notas de aula da disciplina "Estructura

de la Materia 4".[5] COHEN-TANNOUDJI, C.; DIU, B.; LALO, F. Quantum mechanics. Wiley, 1977.[6] EDMONDS, A. R. Angular momentum in quantum mechanics. Princeton, N.J. : Princeton University

Press, 1957.[7] KREYSZIG, E. Introductory functional analysis with application. Wiley, 1978.[8] MAJOR, S. A. A spin network primer. American Journal of Physics, Woodbury, 1999.[9] PENROSE, R. Angular momentum: An approach to combinatorial space-time. Quantum Theory and

Beyond, 1971.[10] REGGE, T.; WILLIAMS, R. M. Discrete structures in gravity. J. Math. Phys., v. 41, p. 39643984,

2000.[11] SAKURAI, J. J. Advanced quantum mechanics. Addison-Wesley, 1967.

51

Apndices

53

AREDES DE SPIN

A.1. ngulos entre sistemas

Iniciaremos com o conceito de momento angular e usando as regras de combinaode momentos angulares, para a partir disso tentar construir o conceito de espao.

Suponha que tenhamos um eltron ou alguma partcula de spin1

2~. Qual direo aponta

esta partcula? Poderamos dizer que esta partcula est apontada para cima, ou para baixo,bem como poderamos dizer que est apontada para direita ou para esquerda. O eltronpoderia estar apenas em duas direes, cujas alternativas seriam para cima e para baixoou para direita e para esquerda. Independente de quais alternativas questionamos, istodepender de como este eltron estar conectado com o mundo macroscpico.

Se considerarmos uma partcula de momento angular zero, que pela mecnica quntica esfericamente simtrica, apenas uma direo pode ser considerada. Com uma partcula

de spin1

2teremos duas direes para escolher. Da mesma forma, com uma partcula de

spin 1 existem trs direes para escolhermos. Prosseguindo assim, para uma partcula despin s teramos a possibilidade de 2s+ 1 direes disponveis.

Quando dizemos que existem essas escolhas disponveis, queremos dizer que so opespara a partcula quanto ao seu estado de spin, mas, no mundo macroscpico, a partculaj conhece quais so as diferentes possibilidades que possui.

Como vimos, no podemos fugir do conceito de espao e direo no ponto de vistamacroscpico. Ento, devemos trabalhar apenas com alternativas discretas ou sistemassimples. Como no queremos propor direes pr-definidas pelo espao, devemos trabalharcom o momento angular total (valor j), em vez de spin em uma direo (valor m).

O conceito de momento angular total no deve ser pensado em termos de, por exemplo,uma direo z, pois qual seria a direo z?

Vamos imaginar a seguinte figura:

55

56 A. REDES DE SPIN

Figura A.1.1.

Considere cada linha como as linhas mundo das partculas. Podemos determinar otempo como sendo a direo, digamos de baixo para cima no diagrama. A direo que otempo anda no ser relevante, ento no nos preocuparemos com isto agora.

Colocaremos um nmero em cada linha. Este nmero, chamado de nmero de spin,ser um inteiro e representar duas vezes o momento angular, em unidades de ~.

Figura A.1.2.

Observao. Esta figura apenas um modelo que descreve um tipo de situao dateoria quntica, no deve ser considerada uma sugesto de que o universo desta formaou algo parecido.

Precisamos estabelecer algumas regras para construir o conceito de conservao demomento angular. Antes, comearemos com algumas definies.

Chamaremos de norma o inteiro no-negativo associado cada diagrama (rede de spin).Essa norma permite-nos calcular as probabilidades de vrios valores de spin em determi-nados experimentos simples.

A. REDES DE SPIN 57

Se definirmos uma direo no espao como algo associado uma Nunit, com N umvalor suficientemente grande, podemos ento definir ngulos entre essas direes. Paraisso, vamos explicar usando um exemplo de um experimento. Suponha que separamosuma 1-unit de uma Nunit de tal forma que ficamos com (N 1)unit. Fazendo omesmo procedimento em alguma outra unidade Munit, ns teremos uma probabilidadepara que a nova unidade seja (M 1)unit e outra probabilidade para que seja (M +1)unit. Conhecendo esses valores de probabilidade, temos informao sobre o nguloentre a Nunit e a Munit. Por exemplo, dizemos que duas unidades so paralelas se aprobabilidade para o valor M 1 nula e para o valor M + 1 de 100%. Dizemos que soantiparalelas quando ocorrer o contrrio. Quando so perpendiculares, as probabilidadesesperadas so de 50% para cada. De maneira geral, para um ngulo entre duas unidades,

devemos esperar uma probabilidade de1

21

2cos para que a unidadeMunit seja reduzida

para uma (M 1)unit e de 12

+1

2cos que seja uma (M + 1)unit.

Figura A.1.3. Probabilidades

Na figura A.1.3, representa alguma rede de spin conhecida. Dessa forma, podemosusar conhecimentos desta rede de spin para encontrar a probabilidade de cada uma dasduas possibilidades. Essas probabilidades so sempre nmeros racionais p =

m

n, pensando

como se o universo tivesse que fazer uma escolha entre m possibilidades de um tipo e n deoutro tipo.

58 A. REDES DE SPIN

Agora, suponha que ns temos determinado nmero de sistemas no conectados entre si,cada um produzindo uma Nunit. Vamos tentar medir o ngulo entre dois desses sistemas.Primeiro separo uma 1unit de uma das Nunits, deixando-a com (N 1)unit. Entoeu conecto a 1unit a uma das outras Nunits, devendo encontrar que a probabilidadeda segunda Nunit se tornar (N 1)unit de

12(N + 1 1)N + 1

(tornando-se iguais quando

N ). Assim, se ns atribuirmos um ngulo entre essas unidades, este dever ser ocorreto.

Captulo 1. INTRODUOCaptulo 2. GRUPO DE LIE SU(2)2.1. Representaes do grupo SU(2)2.2. Representaes2.3. Redutibilidade das representaes2.4. Produto direto de representaes2.5. Lema de Schur2.6. Representaes nos espaos de funes2.7. Representaes irredutveis de SU(2)2.8. Reduo do produto direto de representaes irredutveis2.9. Reduo de um produto triplo2.10. Relao entre os coeficientes 3-j e 6-j

Captulo 3. MOMENTO ANGULAR3.1. Operador de Casimir3.2. Autovalores de L2 e de L33.3. No-degenerescncia dos autovalores de L33.4. Propriedades de ortogonalidade de representaes irredutveis3.5. Adio de Momento Angular

Captulo 4. MODELO DE PONZANO-REGGE4.1. Soma de estado4.2. Redes de Spin

Referncias BibliogrficasApndicesCaptulo A. REDES DE SPINA.1. ngulos entre sistemas

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