Prova de Matem tica AMARELA - Professor … dividiu as notas obtidas em classes de 3 (inclusive) a 4...

3MATEMÁTICA PROVA AMARELA

QUESTÕES OBJETIVAS

1O dono de um restaurante resolveu modificar o tipo de cobrança,misturando o sistema a quilo com o de preço fixo. Ele instituiuo seguinte sistema de preços para as refeições:

Até 300 g –– R$ 3,00 por refeiçãoEntre 300 g e 1 kg –– R$ 10,00 por quiloAcima de 1 kg –– R$ 10,00 por refeição

O gráfico que melhor representa o preço das refeições nesserestaurante é:

(A) (B)

(C) (D)

(E)

2

Para analisar o desempenho de seus alunos em uma prova, umprofessor dividiu as notas obtidas em classes de 3 (inclusive) a4 (exclusive), de 4 (inclusive) a 5 (exclusive), e assim por diante.Com os resultados, ele produziu o histograma da figura acima.Analisando esse histograma, pode-se afirmar que:(A) a maior nota na prova foi 7.(B) a nota média foi 6.(C) 50% dos alunos obtiveram nota menor que 5.(D) um dos alunos obteve nota maior que 9.(E) exatamente 5 alunos obtiveram nota menor que 6.

3Sobre a dízima periódica 0,999... , pode-se afirmar que:

(A) é um número irracional.

(B) 0,333...= 0,999...

(C) 0,999... = 1.

(D) 0 999 9991000

, ... =

(E) 0,999... não pode ser igual a 1, porque sua geratriz não pode

ser um número inteiro.

4

Na circunferência acima, de raio r, considera-se o arco AP, no

sentido anti-horário, que mede 2 radianos.

Sobre a posição de P, pode-se afirmar que:

(A) está no 1º quadrante.

(B) está no 2º quadrante.

(C) está no 3º quadrante.

(D) coincide com A.

(E) depende do raio r.

5Uma função polinomial do segundo grau, f(x), se anula nos

pontos x = 1 e x = 5.

Então, pode-se afirmar que:

(A) f(x) = x2 − 5x + 6.

(B) f(x) = x2 + 6x + 5.

(C) f(x) = ax2 − 6ax + 5a , para algum a ∈ .

(D) f tem um máximo no ponto x = 3.

(E) f tem um mínimo no ponto x = 3.

6Sendo A = (1, 11); B = (−2, −7) e C = (12, 1), o comprimento da

mediana relativa ao lado BC do triângulo ABC é:

(A) 14

(B) 54

(C) 56

(D) 532

(E) 210

4MATEMÁTICAPROVA AMARELA

7O gráfico da função f(x) = ln(x + 1) é:

(A) (B)

(C) (D)

(E)

8Um polinômio p(x), quando dividido por d(x) = x2 − 1, deixa resto

r(x) = 2x + 3. Então, p(1) é igual a:

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5

9

O círculo da figura acima tem centro O = (0,0) e passa pelo

ponto (2,0). Então:

(A) a circunferência do círculo é representada pela equação

x2 + y2 = 2.

(B) o interior do círculo é representado pela inequação x2 + y2 < 2.

(C) o interior do círculo é representado pela inequação x2 + y2 < 4.

(D) o exterior do círculo é representado pela inequação x2 + y2 > 2.

(E) o ponto (1,1) pertence à circunferência.

10

O sistema

=−−

=+−

=++

0

0

02

zypx

zpyx

zyx

admite solução diferente de

(0,0,0) se e somente se:

(A) p = 1

(B) p ≠ 0

(C) p = 0

(D) p = 0 ou p = − 1

(E) p2 − p ≠ 0

11

Na figura acima, o bloco de massa M repousa, sem atrito, sobre

o plano inclinado e está ligado, por um fio inextensível, ao corpo

de massa m.

Se o sistema está em equilíbrio, então a razão m/M é igual a:

(A) 1

2

(B) 3

3

(C) 2

3

(D) 3

(E) 1

12

Considere a afirmação:

“Dados quaisquer k números inteiros pares consecutivos, um

deles é múltiplo de 3”.

Sobre os valores de k, pode-se afirmar que:

(A) o menor valor positivo de k que torna a afirmação verdadeira é 2.

(B) o menor valor positivo de k que torna a afirmação verdadeira é 3.

(C) o menor valor positivo de k que torna a afirmação verdadeira é 4.

(D) a afirmação é verdadeira para qualquer valor positivo de k.

(E) não existe k positivo que torne a afirmação verdadeira.


13

Um "tangram" é um quebra-cabeça geométrico de 7 peças,

construído a partir de um quadrado, como mostra a figura acima.

Se um "tangram" é construído a partir de um quadrado de 10 cm

de lado, a área do quadrado sombreado mede:

(A) 2cm 225

(B) 2cm 25

(C) 2cm 24

25

(D) 12 5, cm2

(E) 25 cm2

14

A unidade de informação nos computadores digitais é o bit

(abreviatura de binary digit, ou seja, dígito binário), que pode

estar em dois estados, identificados com os dígitos 0 e 1. Usando

uma seqüência de bits, podem ser criados códigos capazes de

representar números, caracteres, figuras, etc. O chamado

código ASCII, por exemplo, utiliza uma seqüência de 7 bits para

armazenar símbolos usados na escrita (letras, sinais de

pontuação, algarismos, etc). Com estes 7 bits, quantos

símbolos diferentes o código ASCII pode representar?

(A) 7!

(B) 7

(C) 14

(D) 49

(E) 128

15

Um enfeite, feito de arame, tem a forma da figura acima.

São 7 quadrados igualmente espaçados, o interno com lado

igual a 1 cm, e o externo, com lado igual a 3 cm.

O comprimento total de arame usado nesse enfeite é de:

(A) 42 cm

(B) 56 cm

(C) 77 cm

(D) 84 cm

(E) 90 cm

16Considere as afirmativas a respeito da equação

2 3 1 03 2

x x x− + − = :

I - tem − 2 como raiz;

II - tem pelo menos uma raiz racional;

III - tem pelo menos uma raiz real entre 1 e 2.

Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s):

(A) I, apenas.

(B) II, apenas.

(C) III, apenas.

(D) I e II, apenas.

(E) II e III, apenas.

17O conjunto das soluções da inequação (1/2)x < 5 é:

(A)

(B) { }ln2ln5x x −<∈

(C) { }ln2ln5x x >∈

(D) { }ln2ln5x x −>∈

(E) { }ln3 x x −>∈


18

Qual das matrizes abaixo pode representar, em relação à base

canônica do , uma transformação linear que leva a figura

V na figura W ?

(A) 1

21

2

00

(B) 1 11

21

2−

(C) 2 21 1−

(D) 2 20 2

(E) 2 41 0

19

A figura acima mostra o gráfico de uma função ƒ: → .Sobre os sinais de sua derivada ƒ' e de sua derivada segundaƒ'' pode-se afirmar que:(A) ƒ ' < 0 e ƒ '' < 0

(B) ƒ ' < 0 e ƒ '' > 0

(C) ƒ ' = 0 e ƒ '' > 0

(D) ƒ ' > 0 e ƒ '' < 0

(E) ƒ ' > 0 e ƒ '' > 0

20Dado o número complexo z = 1 − i, o complexo z13 é igual a:

(A) 213(1 − i)

(B) 32 2 1 ( )− − i

(C) 1 2 13 ( )− i

(D) 32 (1 + i)

(E) 64 (−1 + i)

21

Considere a área limitada pelo eixo dos x, pela parábola

y = x2 e pela reta x = b, b > 0. O valor de b para que essa área

seja igual a 72 é:

(A) 7 (B) 6 (C) 5 (D) 4 (E) 3

22

O número de soluções da equação 4x + 7y = 83, onde x e y

são inteiros positivos, é:

(A) 0

(B) 1

(C) 2

(D) 3

(E) infinito

23

Seja T: → uma transformação linear cujo núcleo tem

dimensão 1. Então, pode-se afirmar que:

(A) T é injetora.

(B) T é sobrejetora.

(C) a imagem de T tem dimensão 1.

(D) a imagem de T tem dimensão 2.

(E) o vetor nulo é o único vetor cuja imagem por T é nula.

24

Considere as seguintes afirmativas sobre seqüências de

números reais:

I - uma seqüência de irracionais pode convergir a um racional;

II - uma seqüência de números positivos pode convergir a um

número negativo;

III - se todos os termos de uma seqüência convergente são

menores que 1, então seu limite também é menor que 1.

Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s):

(A) I, apenas.

(B) II, apenas.

(C) III, apenas.

(D) I e II, apenas.

(E) I, II e III.


25

O algoritmo abaixo calcula 1

1 20

10

+=∑ nn . A variável p

representa o valor de 2n a cada iteração, enquanto s

representa a soma das parcelas já consideradas.

p ← 1

s ← 0

Execute 11 vezes as instruções abaixo.

Escreva s

Para que o algoritmo funcione corretamente, o espaçoassinalado deve ser preenchido com:

(A) 1/p (B) p+1 (C) p2 (D) 2p (E) 2p

26Num cubo de aresta a, inscreve-se uma pirâmide regular debase quadrada, de modo que a sua base coincida com uma dasfaces do cubo, e o vértice da pirâmide, com o centro da faceoposta. Então, a aresta lateral da pirâmide mede:

(A) a

(B) a 23

(C) a 32

(D) a 2

(E) a 3

27Ao entrar em casa de amigos, cinco pesoas deixam seus

guarda-chuvas com a dona da casa. Quando as pessoas

resolvem pedi-los de volta para sair, a dona da casa constata que

todos eles são aparentemente iguais, e resolve distribuí-los ao

acaso. Qual a probabilidade de que exatamente três pessoas

recebam cada uma o seu próprio guarda-chuva?

(A) 12

1 (B) 6

1 (C) 4

1 (D) 3

1(E)

12

5

28Considerando duas funções não nulas tais que cada uma delas

é igual à sua derivada, pode-se afirmar que:

(A) o quociente entre elas é uma constante.

(B) a soma delas é uma constante.

(C) ambas assumem o valor 1 no ponto 0.

(D) elas diferem por uma constante.

(E) em funções não nulas tal não ocorre.

s sp

p

← ++

←

11

29Em um grupo G com operação * e elemento neutro (ou identidade)

e, o símbolo xn representa x* x* ... *x (n fatores). A ordem de um

elemento é o menor natural k (se existir), tal que xk = e. A esse

respeito, considere as afirmativas abaixo.

I - Em qualquer grupo, só existe um elemento com ordem 1.II - Existe um grupo com n elementos, onde nenhum elemento

tem ordem n.III - Em qualquer grupo com n elementos, no máximo um

elemento tem ordem n.

Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s):(A) I, apenas.(B) II, apenas.(C) III, apenas.(D) I e II apenas.(E) I, II e III.

30Considere as condições abaixo relativas a uma funçãof : →

I - Existe um ε > 0 tal que f ( x ) < ε para todo x ;

II - f x x( ) /≤ 1 para todo x > 0;

III - f é positiva e estritamente decrescente para todo x > 0.

Destas condições, é(são) suficiente(s) para garantir que

lim

x

f x

=

→ ∞( ) :0

(A) I, somente.(B) II, somente.(C) I e II, somente.(D) II e III, somente.(E) I, II e III.


QUESTÕES DISCURSIVAS

PARTE B

QUESTÕES ABERTAS COMUNS AOS FORMANDOS DE BACHARELADO E DE LICENCIATURA

1

Sendo o pentágono ABCDE regular, resolva os itens abaixo.

a) Determine os ângulos GBA ˆ e HBG ˆ . (valor: 5,0 pontos)

b) Mostre que o triângulo ABH é isósceles, e que os triângulos ABC e BHC são semelhantes. (valor: 5,0 pontos)

c) Mostre que a razão entre os comprimentos de uma diagonal e de um lado do pentágono é o número áureo 2

5+1 .(valor: 10,0 pontos)

2Uma loja adota a seguinte promoção:"Nas compras acima de R$ 100,00, ganhe um desconto de 20% sobre o valor que exceder R$ 100,00".

a) Duas amigas fazem compras no valor de R$ 70,00 e R$ 50,00, respectivamente. Que economia elas fariam se reunissem suascompras em uma única conta? (valor: 5,0 pontos)

b) Esboce o gráfico da função f que associa a cada valor de compras x ≥ 0 o valor f (x) efetivamente pago pelo cliente. (valor: 5,0 pontos)

c) Para x > 100, f (x) é da forma f (x) = ax + b. Calcule os valores de a e b. (valor: 10,0 pontos)

3Sejam p

1=2, p

2=3, p

3=5,..., p

n os n primeiros primos naturais.

a) Deduza que p1

p2

p3.....p

n+1 é divisível por um primo diferente de p

1 , p

2 , p

3 ,..., p

n, mencionando os resultados necessários na sua

dedução. (valor: 10,0 pontos)

b) Conclua, a partir de (a), que existem infinitos primos. (valor: 10,0 pontos)

4Existe uma única reflexão (ou simetria ortogonal) S do plano que transforma o ponto (5, 0) no ponto (3, 4).

a) Estabeleça uma equação para o eixo da reflexão S. (valor: 5,0 pontos)

b) Verifique que o eixo de S passa pela origem (portanto, S é uma transformação linear). (valor: 5,0 pontos)

c) Calcule a matriz (em relação à base canônica de ) da reflexão S. (valor: 10,0 pontos)

5O valor médio de uma função contínua e positiva f em um intervalo [a,b] pode ser definido geometricamente como a altura de um retângulocom base [a,b] e com área equivalente à área sob a curva y = f(x) nesse intervalo.

a) Esboce o gráfico de f(x) = sen x, para x ∈ [0,π], indicando seus valores máximo e mínimo. (valor: 10,0 pontos)

b) Calcule o valor médio de f(x) = sen x no intervalo [0,π]. (valor: 10,0 pontos)


PARTE C

QUESTÕES ABERTAS ESPECÍFICAS PARA OS FORMANDOS DE BACHARELADO

6

Um modelo clássico para o crescimento de uma população de determinada espécie está descrito a seguir. Indicando por

y = y(t) o número de indivíduos desta espécie, o modelo admite que a taxa de crescimento relativo da população seja proporcional

à diferença M − y(t), onde M > 0 é uma constante. Isto conduz à equação diferencial y'y

k ( M y)= − , onde k > 0 é uma constante que

depende da espécie.

Com base no exposto:

a) resolva a equação diferencial acima; (valor: 10,0 pontos)

b) considere o modelo apresentado para o caso particular em que M = 1000, k = 1 e y (0) = 250 e explique qualitativamente comose dá o crescimento da população correspondente, indicando os valores de t para os quais y(t) é crescente, e o valor limitede y(t) quando t → ∞ . (valor: 10,0 pontos)

7

Seja Z3 = { }0 , 1 , 1− o corpo de inteiros módulo 3 e Z

3 [x] o anel de polinômios em x com coeficientes em Z

3 .

a) Mostre que x2 + x − 1 é irredutível em Z3 [x]. (valor: 10,0 pontos)

b) Mostre que o anel quociente

( )1

][2

3

−+ xx

xZ é um corpo e que tem 9 elementos. (valor: 10,0 pontos)

8

Considere o subconjunto Γ do dado pela equação 2(x2 + y2)2 = 25 (x2 − y2).

a) Para que valores de x existem vx , vizinhança de x, e função diferenciável y = y(x) definida em vx , satisfazendo

2(x2+ y(x)2)2 = 25 (x2 − y(x)2)? Justifique. (valor: 10,0 pontos)

b) Obtenha a reta tangente a Γ no ponto (3, 1). (valor: 10,0 pontos)

9

Prove que se uma função f: → é contínua, então a imagem inversa f −1(V) de todo subconjunto aberto V ⊂ é um subconjunto

aberto de . (valor: 20,0 pontos)

Definição: Uma função f: → é contínua num ponto a ∈ quando, para todo ∈ > 0 existe δ > 0 tal que

x a − < ⇒ − < ∈δ f x f a( ) ( ) .


10

Sejam : D ⊂ → um campo conservativo, ϕ: D ⊂ → uma função potencial de e γ :[a, b] → D uma curva regular

de classe C1.

a) Mostre que o trabalho realizado por sobre γ é dado por ϕ γ ϕ γ (b) (a)( ) ( )− . (valor: 10,0 pontos)

b) Calcule o trabalho realizado pelo campo

++=

2222 , ),(

yx

y

yx

xyx sobre a curva esboçada abaixo. (valor: 10,0 pontos)

Definições: Um campo vetorial : D ⊂ → diz-se conservativo (ou gradiente) se existe ϕ : D → , de classe C1, tal

que ϕ = em todo ponto de D. Uma tal ϕ chama-se função potencial. O trabalho realizado por um campo de vetores sobre

uma curva γ :[a, b] → D é dado por ( )∫ •

b

adttt . )( )(γ


PARTE C

QUESTÕES ABERTAS ESPECÍFICAS PARA OS FORMANDOS DE LICENCIATURA

11Temos abaixo uma seqüência de triângulos construídos com palitos.

Foi proposto a uma turma o desafio de escrever uma expressão algébrica que representasse o número P de palitos necessários paraformar um número n de triângulos.Os alunos usaram palitos para construir alguns triângulos e registraram os seguintes valores na tabela.

Depois disso,

- o aluno A disse:

"Observei a tabela e concluí que o número de palitos é o dobro do número de triângulos mais 1".e escreveu: P = 2n + 1;

- o aluno B disse:

"Ao formar os triângulos, percebi que para o primeiro foram usados 3 palitos; a partir do segundo triângulo, foram sempre usados2 palitos para cada um",e escreveu: P = 3 + 2⋅ (n − 1).

Analisando as conclusões dos dois alunos, responda às perguntas abaixo.

a) Quem observou padrões de regularidade na situação: A, B ou ambos? Justifique. (valor: 10,0 pontos)

b) Quem justificou satisfatoriamente as suas conclusões: A, B ou ambos? Justifique. (valor: 10,0 pontos)

12

O gráfico da função f(x) é dado acima. Sabe-se que f é contínua, mas só se conhecem, exatamente, os seus valores nos pontos indicados.Assim sendo, perguntou-se a dois alunos o valor de f (110).

A respondeu: 100 − f (100) → 100

(100) 110=

fy

x

110 − y

B respondeu: 120 − f (120) → 120

(120) 110=

fy

x

110 − y

Os alunos se surpreenderam ao encontrar resultados diferentes.

Com base em todo o exposto, atenda às solicitações abaixo.

a) Algum dos dois alunos determinou o valor correto de f (110) ? Por quê ? (valor: 10,0 pontos)

b) Dê o gráfico de uma função f para a qual o método usado pelo aluno A estaria correto. (valor: 10,0 pontos)

N° Triângulos (n) 1 2 3 4

N° Palitos (P) 3 5 7 9


13A um aluno foi pedido um esboço da demonstração do seguinte teorema:

"Se uma reta r contém a interseção das diagonais de um paralelogramo, então r divide esse paralelogramo em duas regiões demesma área".

Observe a sua resposta.

"Considera-se o paralelogramo ABCD de diagonais AC e BD, cuja interseção é o ponto P, e uma reta r, paralela a AB, contendo P,que corta os lados AD e BC do paralelogramo nos pontos M e N, respectivamente.Prova-se que cada um dos três triângulos que compõem o quadrilátero ABNM é congruente a um dos três triângulos que compõem oquadrilátero DMNC.Como figuras congruentes têm áreas iguais, segue-se que a área de ABNM é igual à de DMNC."

Se tivesse de corrigir esta tarefa, você a consideraria correta (sem levar em conta o seu nível de detalhamento)? Justifique. (valor: 20,0 pontos)

14"Estudos e experiências evidenciam que a calculadora é um instrumento que pode contribuir para a melhoria do ensino da Matemática.A justificativa para essa visão é o fato de que ela pode ser usada como um instrumento motivador na realização de tarefas exploratóriase de investigação."

In. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática

Dê dois exemplos concretos de situações em que, de acordo com o trecho acima, a calculadora pode ser usada como recurso didáticono Ensino Fundamental ou Médio da Matemática. (valor: 20,0 pontos)

15

A demonstração do Teorema de Tales usualmente encontrada nos textos para o ensino fundamental segue duas etapas.

I - Prova-se que, se AB = BC, então DE = EF.

II - Supondo que AB ≠ BC, considera-se um segmento de comprimento u tal que:

AB = p.u e BC = q.u, sendo p,q ∈ N, p ≠ q.

Utiliza-se, então, o resultado da etapa I para concluir que as paralelas pelos pontos de subdivisão de AB e BC dividirão também

DE e EF em partes iguais (de comprimento u' ). Daí, conclui-se que: ABBC

pq

DEEF

= = .

a) Este tipo de demonstração abrange os casos nos quais ABBC

é natural? racional? real qualquer? Justifique. (valor: 10,0 pontos)

b) Cite dois exemplos de conteúdos da geometria elementar cujo ensino utilize o Teorema de Tales. (valor: 10,0 pontos)

Teorema de Tales

"Se três retas paralelas r , s e t cortam duas transversais m e n nos pontos

A, B, C e D, E, F, respectivamente, então as razões ABBC

DEEF

e são iguais."

(ver figura).


As questões abaixo visam a levantar sua opinião sobre aqualidade e a adequação da prova que você acabou de realizar.Assinale as alternativas correspondentes à sua opinião nosespaços próprios (parte inferior) do Cartão-Resposta.Agradecemos sua colaboração em respondê-las.

31Segundo a sua visão, e levando em conta o que você vivencioudurante o seu curso, qual o grau de dificuldade desta prova?(A) Muito fácil.(B) Fácil.(C) Médio.(D) Difícil.(E) Muito difícil.

32Quanto à sua extensão, como você considera a prova?(A) Muito longa.(B) Longa.(C) Adequada.(D) Curta.(E) Muito curta.

33Para você, como foi o tempo destinado à resolução da prova?(A) Excessivo.(B) Pouco mais que suficiente.(C) Suficiente.(D) Quase suficiente.(E) Insuficiente.

34Você considera que, na sua elaboração, os enunciados da provaapresentam clareza e objetividade?(A) Sim, todos os enunciados apresentam.(B) Sim, a maioria dos enunciados apresenta.(C) Sim, mas apenas cerca da metade dos enunciados apresenta.(D) Não, muito poucos enunciados apresentam.(E) Não, nenhum dos enunciados apresenta.

35Como você considera as informações fornecidas em cadaquestão para a sua resolução?(A) Sempre excessivas.(B) Sempre suficientes.(C) Suficientes na maioria das vezes.(D) Suficientes somente em alguns casos.(E) Sempre insuficientes.

36Em que medida os conteúdos abordados nesta prova foramtrabalhados no seu curso?(A) A grande maioria, com profundidade.(B) Muitos, com razoável profundidade e alguns, de forma superficial.(C) Muitos, de forma superficial e alguns, com razoável profundidade.(D) A grande maioria, de forma superficial.(E) A maioria sequer foi trabalhada no meu curso.

37Como você avalia a adequação da prova aos conteúdos defini-dos para o Provão/99 desse curso?(A) Com abrangência ampla e abordagem adequada.(B) Com abrangência ampla, mas com abordagem inadequada.(C) Com abrangência parcial, mas com abordagem adequada.(D) Totalmente inadequada.(E) Desconheço os conteúdos definidos para o Provão/99.

38Como você avalia a adequação da prova para verificar as habi-lidades que deveriam ter sido desenvolvidas durante o curso,conforme definido para o Provão/99?(A) Plenamente adequada.(B) Medianamente adequada.(C) Pouco adequada.(D) Totalmente inadequada.(E) Desconheço as habilidades definidas para o Provão/99.

39Como você considera a coerência entre a prova e o perfil dograduando tomado como referência para o Provão/99?(A) A prova guarda total coerência com o perfil esperado do

graduando.(B) A prova guarda razoável coerência com o perfil esperado do

graduando.(C) A prova demonstra pouca coerência com o perfil esperado do

graduando.(D) A prova não demonstra coerência com o perfil esperado do

graduando.(E) Desconheço o perfil esperado do graduando, tomado como

referência para o Provão/99.

40Com que tipo de problema você se deparou mais freqüentementeao responder a esta prova?(A) Desconhecimento de conteúdo: temas não abordados em

meu curso.(B) Desconhecimento de conteúdo: temas abordados no curso,

mas não estudados por mim.(C) Dificuldade de trazer a resposta à tona da memória, porque

o conteúdo foi estudado há muito tempo.(D) Espaço insuficiente para responder às questões.(E) Não tive qualquer tipo de dificuldade para responder à prova.

IMPRESSÕES SOBRE A PROVA

PROV OPROV OV

99MATEMATICA

MATEMATICA

PADROES DE RESPOSTA

QUESTOES ABERTAS

PARTE B (Questoes comuns aos Formandos de Bacharelado e de Licenciatura)

Questao 1

G

D

B

I

J

F

A

C

H

E

Sendo o pentagono ABCDE regular, resolva os itens abaixo.

a) Determine os angulos A bBG e G bBH. (valor: 5,0 pontos)

b) Mostre que o triangulo ABH e isosceles, e que os triangulos ABC e BHC sao semelhantes. (valor:

5,0 pontos)

c) Mostre que a razao entre os comprimentos de uma diagonal e de um lado do pentagono e o numero

aureo 1+p5

2.(valor: 10,0 pontos)

Padrao de Resposta Esperado

a) A bBC = 108± (angulo interno do pentagono regular).

PADROES DE RESPOSTA 1

PROV OPROV OV

99MATEMATICA

¢ABC isosceles ) B bAC = A bCB = 36± . Logo, A bBG = 36

±

:

Analogamente, A bBE = D bBC = 36±

:

Portanto, G bBH = 108±¡ 72

±= 36

±.

b) B bHC = 180±

¡ 72±

= 108±

) B bHA = 72±

:

Assim, no triangulo ABH, B = H = 72± , o que mostra que o triangulo ABH e isosceles. (1)

Tambem, pelo caso AAA de semelhanca de triangulos, tem-se a semelhanca dos triangulos ABC e

BHC, ja que os angulos de ambos medem 36±, 36± e 108±.

c) Da semelhanca entre ABC e BHC:

AB

HC=AC

BC(2)

Representando por ` o lado e por d a diagonal do pentagono, temos:

AC = d

AB = BC = `

HC = d¡AH = d¡ ` (por (1), AH = `)

Substituindo em (2), vem:

`

d¡ `=d

`) d

2 ¡ d`¡ `2= 0

µd

`

¶2

¡ d

`¡ 1 = 0

d

`=

1§p52

Comop5 > 1, a unica solucao positiva e

d

`=

1+p5

2


PROV OPROV OV

99 MATEMATICA

Questao 2

Uma loja adota a seguinte promocao:

”Nas compras acima de R$ 100,00, ganhe um desconto de 20% sobre o valor que exceder R$ 100,00”.

a) Duas amigas fazem compras no valor de R$ 70,00 e R$ 50,00, respectivamente. Que economia elas

fariam se reunissem suas compras em uma unica conta? (valor: 5,0 pontos)

b) Esboce o grafico da funcao f que associa a cada valor de compras x ¸ 0 o valor f(x) efetivamente

pago pelo cliente. (valor: 5,0 pontos)

c) Para x > 100, f(x) e da forma f(x) = ax+ b. Calcule os valores de a e b. (valor: 10,0 pontos)


a) Se elas reunem suas compras, tem um desconto de 20% sobre os R$ 20,00 que excedem R$ 100,00.

Logo, a economia e de R$ 4,00.

b)

100

100

c) Para x > 100,

f(x) = x¡ 0; 2(x¡ 100) = 0; 8x+ 20

Logo, a = 0; 8 e b = 20.


PROV OPROV OV

99 MATEMATICA

Questao 3

Sejam p1; p2; p3; : : : ; pn, os n primeiros primos naturais.

a) Deduza que p1p2p3 : : : pn+1 e divisivel por um primo diferente de p1; p2; p3; : : : ; pn, mencionando os

resultados necessarios na sua deducao. (valor: 10,0 pontos)

b) Conclua, a partir de (a), que existem infinitos primos. (valor: 10,0 pontos)


a) p1p2p3 : : : pn + 1 e divisivel por algum primo p, pois se fatora como produto de primos. Se p = pi,

entao p divide 1, o que e impossivel.

Pode-se, tambem, argumentar que p1p2 : : : pn + 1 deixa resto 1 quando dividido por pi.

Os resultados utilizados sao:

- Todo natural > 1 e primo ou produto de primos.

- Se um natural divide dois outros, entao divide sua diferenca.

b) O procedimento de (a) fornece um primo p > pn. Logo, o conjunto dos primos e ilimitado. Como

todo subconjunto ilimitado dos naturais e infinito, conclui-se que ha infinitos primos.


PROV OPROV OV

99 MATEMATICA

Questao 4

Existe uma unica reflexao (ou simetria ortogonal) S do plano que transforma o ponto (5; 0) no ponto (3; 4).

a) Estabeleca uma equacao para o eixo da reflexao S. (valor: 5,0 pontos)

b) Verifique que o eixo de S passa pela origem (portanto, S e uma transformacao linear). (valor: 5,0

pontos)

c) Calcule a matriz (em relacao a base canonica de R2 ) da reflexao S. (valor: 10,0 pontos)


a) O eixo de S e a mediatriz do segmento de extremos A(5; 0) e B(3; 4). Esta reta passa pelo ponto

medio de AB, que e o ponto (4; 2), e e perpendicular ao vetor ~AB = (¡2; 4). Logo, sua equacao e:

¡2(x¡ 4) + 4(y ¡ 2) = 0) x¡ 2y = 0

b) A origem O = (0; 0) satisfaz a equacao acima. Logo, o eixo de S passa pela origem. Alternativamente,

poderiamos verificar que O e equidistante de A e B.

c) Basta encontrar os transformados de (1; 0) e (0; 1) por S. Como S(5; 0) = (3; 4), temos S(1; 0) =¡35 ;

45

¢. Para achar S(0; 1), primeiro encontramos sua projecao sobre o eixo:

8><>:

x¡ 2y = 0

2(x ¡ 0) + y ¡ 1 = 0

)x = 2

5

y = 15

Logo, o simetrico de (0; 1) e¡45 ;¡3

5

¢.

Portanto, a matriz de S e µ 35

45

45¡

35

¶

Solucao alternativa:

S e da forma:

S(x; y) =

µa b

c d

¶µx

y

¶=

µax+ by

cx+ dy

¶

Temos

S(5; 0) = (5a; 5c) = (3; 4) ) a =3

5e c =

4

5

O ponto medio e fixo. Logo, S(4; 2) = (4; 2).


PROV OPROV OV

99 MATEMATICA

Assim µ3

5:4 + 2b;

4

5:4 + 2d

¶= (4; 2) ) b =

4

5e d = ¡4

5


PROV OPROV OV

99 MATEMATICA

Questao 5

O valor medio de uma funcao continua e positiva f em um intervalo [a; b] pode ser definido geometricamente

como a altura de um retangulo com base [a; b] e com area equivalente a area sob a curva y = f(x) nesse

intervalo.

a) Esboce o grafico de f(x) = sen x, para x 2 [0; ¼], indicando seus valores maximo e minimo. (valor:

10,0 pontos)

b) Calcule o valor medio de f(x) =sen x no intervalo [0; ¼]. (valor: 10,0 pontos)


a)

π/2

1

π

f(x)

x

O valor maximo e 1 e o valor minimo e 0.

b) O valor medio e¼R0

senx

¼=¡ cosx]¼0

¼=¡(cos¼ ¡ cos 0)

¼=

2

¼


PROV OPROV OV

99 MATEMATICA

PARTE C (Questoes especificas para os Formandos de Bacharelado)

Questao 6

Um modelo classico para o crescimento de uma populacao de determinada especie esta descrito a seguir.

Indicando por y = y(t) o numero de individuos desta especie, o modelo admite que a taxa de crescimento

relativo da populacao seja proporcional a diferenca M ¡ y(t), onde M > 0 e uma constante. Isto conduz

a equacao diferencial y0

y= k(M ¡ y), onde k > 0 e uma constante que depende da especie. Com base no

exposto:

a) resolva a equacao diferencial acima; (valor: 10,0 pontos)

b) considere o modelo apresentado para o caso particular em que M = 1000, k = 1 e y(0) = 250 e

explique qualitativamente como se da o crescimento da populacao correspondente, indicando os valores

de t para os quais y(t) e crescente, e o valor limite de y(t) quando t!1. (valor: 10,0 pontos)


a) A equacao pode ser escrita comoy0

y2= ¡k +

kM

y:

Mudando a variavel para v(t) = 1y(t) , obtem-se

v0(t) = ¡ 1

y(t)2:y0(t):

Portanto, v0(t) = k ¡ kMv, que e linear de grau 1. Logo

v(t) =1

M+

ce¡kMT

M

e, dai,

y(t) =M

1 + ce¡kMt

b) Para os valores dados, tem-se:

250 =1000

1 + c:1

Logo, c = 3. A funcao e, portanto,

y(t) =1000

1 + 3e¡1000t

Como f(t) = e¡1000t e decrescente e positiva para todo t ¸ 0, y(t) e crescente para todo t ¸ 0. Por

outro lado,

limt!1

y(t) =1000

1 + 0= 1000


PROV OPROV OV

99 MATEMATICA

Solucao alternativa para (a):

Separando as variaveis, obtemos:y0

y(M ¡ y)= k;

que e equivalente ay0

y+

y0

M ¡ y= kM

Integrando, vem

ln jyj ¡ ln jM ¡ yj = kMt+C

lny

M ¡ y= kMt+C

y

M ¡ y= eC+kMt

y =MeC+kMt

1 + eC+kMt=

M

1 + e¡C¡kMt=

M

1 + C0e¡kMt;

onde C0 = e¡C .


PROV OPROV OV

99 MATEMATICA

Questao 7

Seja Z3 =©0; 1;¡1ª o corpo de inteiros modulo 3 e Z3[x] o anel de polinomios em x com coeficientes em

Z3 .

a) Mostre que x2 + x¡ 1 e irredutivel em Z3[x]. (valor: 10,0 pontos)

b) Mostre que o anel quociente Z3/(x2+ x¡ 1) e um corpo e que tem 9 elementos. (valor: 10,0 pontos)


a) x2 + x¡ 1 nao tem raizes em Z3 e e quadratico, logo, irredutivel.

b) Usando o algoritmo da divisao em Z3[x], temos que, dado p(x) 2 Z3[x], existem q(x); r(x) em Z3[x]

com p(x) = (x2+x¡1)q(x)+r(x) com @r < 2. Dai r(x) = ax+b com a; b 2 Z3 e as classes do anel

quociente contem um unico representante linear. Logo, Z3[x]/(x2 + x ¡ 1) possui 9 elementos. Todo

elemento nao nulo possui inverso multiplicativo, pois x x + 1 = ¡x (¡x+ 1) = (x¡ 1) (¡x+ 1) =

1. Alternativamente, pode-se calcular x2+x¡1 = (ax+b)q(x)+c, onde c = 1 ou c = ¡1 e q(x) e o

inverso de ax+ b. Ainda poder-se-ia mencionar que o ideal e maximal em Z3[x] e por isso o quociente

e um corpo.


PROV OPROV OV

99 MATEMATICA

Questao 8

Considere o subconjunto ¡ do R2 dado pela equacao 2(x2 + y2)2 = 25(x2 ¡ y2).

a) Para que valores de x existem vx, vizinhanca de x, e funcao diferenciavel y = y(x) definida em vx,

satisfazendo 2(x2 + y2)2 = 25(x2 ¡ y2)? Justifique. (valor: 10,0 pontos)

b) Obtenha a reta tangente a ¡ no ponto (3; 1). (valor: 10,0 pontos)


a) Tome-se F (x; y) = 2(x2 + y2)2 ¡ 25(x2 ¡ y2) . Como @F@y

(x; y) = 8(x2 + y2):y + 50y segue que

@F

@y(x; y) = 0, y = 0:

Para y = 0 tem-se 2x4 = 25x2 e portanto x = 0 ou x = §5p2

2 .

Alem disso, ¡5p2

2 · x · 5p2

2

Isto pode ser obtido de varias formas:

- escrevendo-se ¡ em coordenadas polares;

(Fazendo x = r cos µ e y = sen µ, a equacao transforma-se em 2r4 ¡ 25r2 cos 2µ = 0, que e equivalente

a r2 = 25

2cos2µ, cujo grafico e dado abaixo.)

- resolvendo-se a equacao (incompleta) do 4± grau em x;

- analisando-se as intersecoes de ¡ com os eixos, seu grafico no 1± quadrante, etc...

0 3210-1-2-30

1

0

-1

Assim ¡5p2

2 < x < 5p2

2 e x6= 0.

b) Diferenciando implicitamente em relacao a x obtemos:

4(x2 + y2)2µ2x+ 2y

dy

dx

¶= 25

µ2x¡ 2y

dy

dx

¶

No ponto (3; 1) temos x = 3 , y(3) = 1. Ou seja:

4(32 + 12)

µ6 + 2

dy

dx

¶= 25

µ6¡ 2

dy

dx

¶;

que fornece dydx(3) = ¡ 9

13 .

Logo, a reta procurada e:y ¡ 1

x¡ 3= ¡ 9

13


PROV OPROV OV

99 MATEMATICA

Questao 9

Prove que se uma funcao f : Rn ! Rn e continua, entao a imagem inversa f¡1(V ) de todo subconjunto

aberto V ½ Rn e um subconjunto aberto de Rn. (valor: 20,0 pontos)

Definicao: Uma funcao f : Rn ! Rn e continua num ponto a 2 Rn quando, para todo ² > 0 existe ± > 0

tal que jx¡ aj < ± ) jf(x)¡ f(a)j < ².

Padrao de Resposta Esperado Suponhamos f continua e tomemos V ½ Rn um aberto. Vamos mostrar

que f¡1(V ) e aberto em Rn. Para cada a 2 f¡1(V ) temos f(a) 2 V . Sendo V aberto, existe uma bola

aberta B(f(a); ²), de centro f(a) e raio ² > 0, tal que B(f(a); ²) ½ V . Como f e continua em a, ao ² > 0

corresponde um ± > 0 tal que jx¡ aj < ± ) jf(x) ¡ f(a)j < ². Considere, agora, x 2 B(a; ±). Segue que

jx¡ aj < ± e, dai, jf(x)¡ f(a)j < ². Logo, f(x) 2 B(f(a); ²). Concluimos que f(x) 2 V e, portanto, que

x 2 f¡1(V ). Mostramos, assim, que existe uma bola aberta B(a; ±) tal que B(a; ±) ½ f¡1(V ) e, portanto,

que f¡1(V ) e aberto.


PROV OPROV OV

99 MATEMATICA

Questao 10

Sejam ~F : D ½ R2 ! R

2 um campo conservativo, Á : D ½ R2 ! R uma funcao potencial de ~F e

° : [a; b]! D uma curva regular de classe C1.

a) Mostre que o trabalho realizado por ~F sobre ° e dado por Á (°(b))¡ Á (°(a)). (valor: 10,0 pontos)

b) Calcule o trabalho realizado pelo campo ~F(x; y) =³

xx2+y2 ;

yx2+y2

´sobre a curva esbocada abaixo.

(valor: 10,0 pontos)

1 e

Definicoes: Um campo vetorial ~F : D ½ R2 ! R2 diz-se conservativo (ou gradiente) se existe Á : D ! R,

de classe C1, tal que ~rÁ = ~F em todo ponto de D. Uma tal Á chama-se funcao potencial. O trabalho

realizado por um campo de vetores sobre uma curva ° : [a; b]! D e dado porbRa

~F (°(t)) :~°0(t)dt.


a ) Basta aplicar a Regra da Cadeia e o Teorema Fundamental do Calculo

bZa

~F(°(t)):~°0(t)dt =

bZa

~rÁ(°(t)):~°0(t)dt =

bZa

d

dt(Á ± °)dt = Á ± °]ba = Á(°(b))¡ Á(°(a)):

b) O campo ~F e conservativo (em R2 ¡ f(0; 0)g) e Á(x; y) = 1

2 ln(x2 + y2) e uma funcao potencial. De

fato, temos ~rÁ(x; y) = ~F (x; y), ja que:

@Á

@x(x; y) =

x

x2 + y2

@Á

@y(x; y) =

y

x2 + y2:

Em vista do item (a):

bZa

~F(°(t)):~°0(t)dt = Á(°(b))¡ Á(°(a))


PROV OPROV OV

99 MATEMATICA

=1

2ln(12 + 02)¡ 1

2ln(e2 + 02)

=1

2ln 1¡ 1

2ln e2

= ¡ ln e

= ¡1:

Outras solucoes possiveis:

1. Como o campo e conservativo, a integral pedida e igual a integral calculada ao longo do segmento

¾ : [1; e] ! R2

¾(t) = (e + 1¡ t; 0)

Assim

eZ1

~F (°(t)):~°0(t)dt =

Z°

~F(¾(t)):~¾0(t)dt =

eZ1

e+ 1¡ t

(e+ 1¡ t)2(¡1)dt =

eZ1

¡ 1

e+ 1¡ tdt

= ln(e+ 1¡ t)]e1 = ¡ ln e = ¡1

2.

12γ

1γ

γD

e

Em consequencia do Teorema de Green, temos:I°1[°

~F:d~r +

I°2

~F :d~r =

Z ZD

µ@F2

@x¡ @F1

@y

¶dxdy

Dai, segue que

eZ1

~F(°(t)):~°0(t)dt+

1Ze

~F (°1(t)): ~°10(t)dt¡

I°2

~F :dr = 0

pois@F2

@x=

@F1

@y= ¡ 2xy

(x2 + y2)2

Sendo

°2(t) =

µ1

2cost;

1

2sent

¶; 0 · t · 2¼


PROV OPROV OV

99 MATEMATICA

e

°1(t) = (e+ 1¡ t; 0); 1 · t · e;

temos I°2

~F:d~r =

Z 2¼

0

Ã12 cos t

14

;12sent

14

!:

µ¡1

2sent;

1

2cost

¶dt = 0

e I°1

~F :d~r =

Z e

1

e+ 1¡ t

(e + 1¡ t)2dt =

Z e

1¡ 1

e+ 1¡ tdt = ¡1:

PortantoeR1

~F(°(t)):~°0(t)dt = ¡1.


PROV OPROV OV

99 MATEMATICA

PARTE C (Questoes Especificas para os Formandos de Licenciatura)

Questao 11

Temos abaixo uma sequencia de triangulos construidos com palitos.

........

Foi proposto a uma turma o desafio de escrever uma expressao algebrica que representasse o numero P de

palitos necessarios para formar um numero n de triangulos. Os alunos usaram palitos para construir alguns

triangulos e registraram os seguintes valores na tabela.

N0 Triangulos (n) 1 2 3 4

N0 Palitos (P) 3 5 7 9

Depois disso,

- o aluno A disse:

”Observei a tabela e conclui que o numero de palitos e o dobro do numero de triangulos mais 1”,

e escreveu: P = 2n+ 1;

- o aluno B disse:

”Ao formar os triangulos, percebi que para o primeiro foram usados 3 palitos; a partir do segundo triangulo,

foram sempre usados 2 palitos para cada um”,

e escreveu: P = 3 + 2:(n¡ 1):

Analisando as conclusoes dos dois alunos, responda as perguntas abaixo.

a) Quem observou padroes de regularidade na situacao: A, B ou ambos? Justifique. (valor: 10,0 pontos)

b) Quem justificou satisfatoriamente as suas conclusoes: A, B ou ambos? Justifique. (valor: 10,0 pontos)


a) Ambos os alunos observaram a regularidade envolvida na situacao. O aluno A observou uma regulari-

dade numerica no conjunto dos numeros da tabela, enquanto B observou uma regularidade a partir do

processo de formacao dos triangulos, sem olhar tais numeros.

b) Em relacao as justificativas:

² A nao justificou a generalizacao feita, porque sua conclusao se apoiou apenas em um numero finito de

casos da tabela.

² B de fato justificou a generalizacao que fez, pois sua conclusao se apoiou em uma caracteristica geral

do processo, e nao em um ou alguns casos particulares.


PROV OPROV OV

99 MATEMATICA

Questao 12

x

f (x)

100 120

O grafico da funcao f(x) e dado acima. Sabe-se que f e continua, mas so se conhecem, exatamente, os seus

valores nos pontos indicados. Assim sendo, perguntou-se a dois alunos o valor de f(110).

A respondeu 100 - f(100) ! y =110£f(100)

100

110 - y

B respondeu 120 - f(120) ! y =110£f(120)

120

110 - y

Os alunos se surpreenderam ao encontrar resultados diferentes.

Com base em todo o exposto, atenda as solicitacoes abaixo.

a) Algum dos dois alunos determinou o valor correto de f(110) ? Por que ? (valor: 10,0 pontos)

b) De o grafico de uma funcao f para a qual o metodo usado pelo aluno A estaria correto. (valor: 10,0

pontos)


a) Nao, porque ambos, ao resolverem o problema usando uma regra de tres, consideraramy e x propor-

cionais, o que nao e o caso, uma vez que a funcao y(x) nao e linear. Isto pode ser afirmado porque os

pontos (100; f(100)) e (120; f(120)) nao estao sobre uma reta contendo a origem.

b) Qualquer grafico de uma funcao tal que os pontos (100; f(100)) e (110; f(110)) estejam sobre uma

reta contendo a origem.


PROV OPROV OV

99 MATEMATICA

Questao 13

A um aluno foi pedido um esboco da demonstracao do seguinte teorema:

”Se uma reta r contem a intersecao das diagonais de um paralelogramo, entao r divide esse paralelogramo

em duas regioes de mesma area.”

Observe a sua resposta.

”Considera-se o paralelogramo ABCD de diagonais AC e BD, cuja intersecao e o ponto P , e uma

reta r, paralela a AB, contendo P , que corta os lados AD e BC do paralelogramo nos pontos M e

N , respectivamente. Prova-se que cada um dos tres triangulos que compoem o quadrilatero ABNM e

congruente a um dos tres triangulos que compoem o quadrilatero DMNC. Como figuras congruentes tem

areas iguais, segue-se que a area de ABNM e igual a de DMNC.”

Se tivesse de corrigir esta tarefa, voce a consideraria correta (sem levar em conta o seu ni vel de detalhamento)?

Justifique. (valor: 20,0 pontos)


A resposta nao esta correta, pois, de inicio, o aluno considerou um caso muito particular: a reta r paralela

a um dos lados do paralelogramo, e nao uma reta qualquer, contendo o ponto P . Mesmo estando correto o

resto do raciocinio, ele so prova a afirmacao para este caso e nao no caso geral, como afirma o teorema.


PROV OPROV OV

99 MATEMATICA

Questao 14

Estudos e experiencias evidenciam que a calculadora e um instrumento que pode contribuir para a melhoria do

ensino da Matematica. A justificativa para essa visao e o fato de que ela pode ser usada como um instrumento

motivador na realizacao de tarefas exploratorias e de investigacao.

In. Parametros Curriculares Nacionais: Matematica

De dois exemplos concretos de situacoes em que, de acordo com o trecho acima, a calculadora pode ser usada

como recurso didatico no Ensino Fundamental ou Medio da Matematica. (valor: 20,0 pontos)


Exemplos positivos: resolucao de problemas com dados reais, representacao decimal das fracoes, uso da

calculadora para verificar resultados e fazer auto-avaliacao, na notacao cientifica, no estudo do comportamento

de sequencias, na matematica financeira, no estudo da trigonometria, da estatistica, e nas aproximacoes no

calculo de areas, resolucao numerica de equacoes.


PROV OPROV OV

99 MATEMATICA

Questao 15

Teorema de Tales

Se tres retas paralelas r, s e t cortam duas transversais m e n nos pontos

A;B;C e D;E;F , respectivamente, entao as razoes ABAC e DE

EF sao iguais

(ver figura).

A D

B

F

E

C

A demonstracao do Teorema de Tales usualmente encontrada nos textos para o ensino fundamental segue

duas etapas.

I - Prova-se que, se AB = BC, entao DE = EF .

II - Supondo que AB6= BC, considera-se um segmento de comprimento u tal que:

AB = p:u e BC = q:u, sendo p; q 2 N, p6= q.

Utiliza-se, entao, o resultado da etapa I para concluir que as paralelas pelos pontos de subdivisao de

AB e BC dividirao tambem DE e EF em partes iguais (de comprimento u0). Dai , conclui-se que

ABBC

= pq= DE

EF.

a) Este tipo de demonstracao abrange os casos nos quais e natural? racional? real qualquer? Justifique.

(valor: 10,0 pontos)

b) Cite dois exemplos de conteudos da geometria elementar cujo ensino utilize o Teorema de Tales. (valor:

10,0 pontos)


a) Abrange o caso em que a razao ABBC

e racional que e, exatamente, o caso tratado na segunda parte da

demonstracao apresentada. Os casos em que ABBC

e inteiro sao casos particulares dos racionais, quando

p e multiplo inteiro de q. No entanto, se ABBC

nao e racional, nao existira nenhum segmento que esteja

contido um numero inteiro p de vezes em AB e um numero inteiro q de vezes em BC (AB e BC sao

incomensuraveis). Assim, a demonstracao dada nao se aplica.

b) Exemplos:

- Estudo de semelhanca de figuras: demonstracao dos casos de semelhanca de triangulos, teorema

da base media do triangulo, etc.

- Construcoes com regua e compasso: divisao de segmentos em partes iguais ou numa razao dada,

obtencao de quarta proporcional, etc.

- Demonstracoes dos teoremas das bissetrizes interna e externa de um triangulo, etc.


Questão AMARELA BRANCA ROSA VERDE 001 E C B A 002 C E D A 003 C D E B 004 B C C D 005 C A C E 006 D B A E 007 A B D C 008 E A E A 009 C E B D 010 D C B A 011 A D E C 012 B C D D 013 D E C B 014 E E A A 015 B D D B 016 C A E C 017 D E B C 018 B E A D 019 B D A C 020 E A C B 021 B D B D 022 D B A E 023 D C B E 024 A A C E 025 E C D A 026 C B E A 027 A E B D 028 A B D E 029 D B E B 030 B D A D

Prova de Matem tica AMARELA - Professor … dividiu as notas obtidas em classes de 3 (inclusive) a 4...

Documents

Transcript of Prova de Matem tica AMARELA - Professor … dividiu as notas obtidas em classes de 3 (inclusive) a 4...