Prof. Daniel Orquiza de Carvalho Eletromagnetismo I · Qual é a diferença de potencial V AB entre...
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Eletromagnetismo I - Eletrostática
• Energia despendida no movimento de uma carga imersa num campo Elétrico.
• Diferença de potencial e potencial.
EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza1
Energia e Potencial Elétrico (Capítulo 4 - Páginas 75 a 84no livro texto)
§ A Lei de Coulomb pode ser usada (indiretamente) para calcular o campo E de cargas pontuais e pelo princípio da superposição, vimos que é possível chegar a expressões para calcular os campos gerados por distribuições de cargas.
Eletromagnetismo I - Eletrostática
§ Mais adiante vamos definir expressões que relacionam diretamente este potencial escalar com as fontes de campo (cargas).
EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza2
§ Agora vamos definir um potencial elétrico V (campo escalar), que está diretamente associado com o campo elétrico E (campo vetorial).
§ A Lei de Gauss permite simplificar bastante o cálculo da distribuição de campos em problemas com simetrias espaciais.
Trabalho e Potencial Elétrico
§ O trabalho diferencial realizado para mover uma carga Q imersa em um campo elétrico E ao longo de uma distância diferencial dl é:
Eletromagnetismo I - Eletrostática
EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza3
Trabalho e Potencial Elétrico
dW = −Q!E ⋅d!l ,
onde d!l = aldl
① Note que se E e dl forem perpendiculares o trabalho é nulo:
② O sinal negativo é devido à convenção de que o trabalho é realizado por um agente externo (não pelo campo elétrico).
§ O trabalho necessário para mover a carga por uma distância finita é:
W = −Q!E ⋅d!l
inicial
final∫
Eletromagnetismo I - Eletrostática
Dado o campo elétrico:
calcule a quantidade diferencial de trabalho exercido no deslocamento de uma
carga de 6nC por uma distância ‘diferencial’ de 2µm, começando em P(2,-2,3) e
movimentando-se na direção
EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza4
!E = 1
z28xyzax + 4x
2zay − 4x2yaz( ) [V /m],
al = − 67ar +
37ay +
27az.
Exemplo
Eletromagnetismo I - Eletrostática
§ Vamos considerar o trabalho realizado ao longo de um caminho B à A em um campo uniforme.
EletromagnetismoI
Prof.DanielOrquiza
5
Campo Uniforme
E
§ A integral de linha do campo elétrico para um campo uniforme se reduz a:
ΔR1
ΔR2
ΔR3
ΔR4
ΔR5
ΔR6
W = −Q!E ⋅d!l
B
A∫
§ Se dividirmos o caminho em N segmentos, podemos escrever:
W = −Q!E1 ⋅ Δ
!R1 +!E2 ⋅ Δ
!R2 +...+
!EN ⋅ Δ
!RN( ),
fazendo: Δ!RN → 0 (N→∞)
EΔR1
ΔR2
ΔR3
ΔR4
ΔR5
ΔR6
Eletromagnetismo I - Eletrostática
Campo Uniforme
§ O campo elétrico é uniforme:
§ Além disso, a soma dos vetores distância é:
W = −Q!E1 ⋅ Δ
!R1 +!E2 ⋅ Δ
!R2 +...+
!EN ⋅ Δ
!RN( ), Δ
!RN → 0 (N→∞)
!E =!E1 =
!E2 =
!EN
!RBA = Δ
"R1 +Δ
"R2 +...+Δ
"RN
§ Assim, o trabalho é independente do caminho!
W = −Q !E ⋅!RBA
Isto é válido para um campo uniforme, mas também é válido para qualquer outro campo eletrostático gerador por cargas e distribuições de cargas (Campo Conservativo).
§ O trabalho realizado ao se movimentar a carga é:
Como calculamos o trabalho realizado para mover uma carga ao longo de um caminho circular de raio ‘a’, ao redor de uma linha de cargas?
Eletromagnetismo I - Eletrostática
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Trabalho para mover uma carga ao redor de uma linha infinita de cargas
ρ
ρL
x
y
z
φ !E = Eρ aρ
!E = ρL
2πε0ρaρ
§ Vimos que o campo gerado só possui componente radial:
§ Em coord. cilíndricas:
0 0
W = −Q ρL2πε0a
aρ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟⋅adφaφφ=0
2π∫
aρ ⋅ aφ = 0 W = 0
a
Como calculamos o trabalho realizado para mover uma carga ao longo de um caminho radial (do ponto ‘a’ até o ponto ‘b’)?
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Trabalho para mover uma carga ao redor de uma linha infinita de cargas
ρ
ρL
x
y
z
φ
§ Em coord. cilíndricas:
0 0
§ O trabalho realizado ao se movimentar a carga é:
aρ
a
b
W = −Q ρL2πε0ρ
aρ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟⋅dρaρa
b∫
W = −QρL2πε0
ln ba⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
§ O trabalho W é:
Como calculamos o trabalho realizado para mover uma carga ao longo de um caminho radial (do ponto ‘a’ até o ponto ‘b’)?
Eletromagnetismo I - Eletrostática
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Trabalho para mover uma carga ao redor de uma linha infinita de cargas
ρ
ρL
x
y
z
φ
§ O elemento de linha muda?
§ O trabalho realizado ao se movimentar a carga é:
aρ
a
b
W = −Q ρL2πε0ρ
aρ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟⋅dρaρb
a∫
W =QρL2πε0
ln ba⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
§ O trabalho W fica:
§ E se invertermos o sentido do caminho? (do ponto ‘b’ até o ponto ‘a’)
A diferença de potencial elétrico entre os pontos A e B é definida como o trabalho realizado para mover uma carga de teste de B até A, por unidade de carga teste.
Eletromagnetismo I - Eletrostática
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Diferença de Potencial e Potencial Elétrico (V)
VAB =WQ= −
!E ⋅d!l
B
A∫ [V ]
• Importante: VAB é positiva se o trabalho é realizado externamente no deslocamento da carga de B até A.
E
VABB
A
Qual é a diferença de potencial entre os pontos com ‘ρ = b’ até o ponto ‘ρ = a’ Vba?
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Diferença de potencial ao redor de uma linha infinita de cargas
ρ
ρL
x
y
z
φ
§ O trabalho realizado ao se movimentar a carga de ‘a’ até ‘b’ é:
aρ
a
b
W = −Q ρL2πε0ρ
aρ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟⋅dρaρa
b∫
W = −QρL2πε0
ln ba⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
§ Realizando a integral:
V =ρL2πε0
ln ab⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
§ A diferença de potencial é:
Qual é a diferença de potencial VAB entre os pontos com raio ‘ rA’ até o ponto ‘rB’ com relação a uma carga pontual no centro do sistema de coordenadas esféricas?
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r
x
y
z
φ
arθ
§ O campo gerado pela carga pode ser obtido pela Lei de Coulomb. !
E = Erar =Q
4πε0r2 ar
§ Em coord. esféricas:
0 0
§ A diferença de potencial entre os pontos A e B é:
VAB = −!E ⋅d!l
rB
rA∫
rA
rB
Trabalho para mover uma carga ao redor de uma carga pontual
Q
Qual é a diferença de potencial VAB entre os pontos com raio ‘ rA’ e raio ‘rB’ com relação a uma carga pontual no centro do sistema de coordenadas esféricas?
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EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza13
Trabalho para mover uma carga ao redor de uma carga pontual
§ Substituindo a expressão para o Campo Elétrico:
§ A diferença de potencial VAB fica:
VAB = −Q
4πε0r2 ar
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟⋅drarrB
rA∫
VAB =Q4πε0
1rA−1rB
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
§ Note que se rB > rA, a diferença de potencial é positiva.
(há uma ação externa para trazer a carga de rB até rA)
r
x
y
z
φ
arθrA
rB
Q
§ A diferença de potencia pode ser expressa em termos dos potenciais em cada ponto.
Eletromagnetismo I - Eletrostática
§ Em outros problemas o potencial do plano terra é adotado como nulo!
EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza14
§ No problema do potencial próximo a uma carga pontual, o potencial no infinito é o potencial de referência e é zero
§ A referência de potencial é arbitrária embora existam certas convenções.
Diferença de potencial e potencial
Vab =Va −Vb
Qual é a diferença de potencial VAB entre os pontos com raio ‘ rA’ e raio ‘rB’ com relação a uma carga pontual no centro do sistema de coordenadas esféricas?
Eletromagnetismo I - Eletrostática
EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza15
Trabalho para mover uma carga ao redor de uma linha infinita de cargas
§ A diferença de potencial VAB fica:
VAB =Q4πε0
1rA−1rB
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
§ Se adotarmos o raio rB como infinito, o potencial no infinito é zero e o potencial no ponto A fica:
VA =Q4πε0
1rA
§ Para uma carga pontual em r’, o potencial em r fica:
V (!r ) = Q4πε0
1!r − !r '
r
x
y
z
φ
arθ
Q
rA
rB