4

2.3.3 Eventos Mutuamente Exclusivos

Dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um

exclui a realização do(s) outro(s). Assim, no lançamento de uma moeda, o evento

"tirar cara" e o evento "tirar coroa" são mutuamente exclusivos, já que, ao se realizar

um deles, o outro não se realiza.

Se dois eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade de que um ou

outro se realize é igual à soma das probabilidades de que cada um deles se realize:

)B(P)A(P)BOUA(P)BA(P

Exemplos:

1) No lançamento de um dado qual a probabilidade de se tirar o nº 3 ou o nº 4 ?

Os dois eventos são mutuamente exclusivos então:

316161)4.no(P)3.no(P)BOUA(P)BA(P

2) Um parafuso é selecionado aleatoriamente de um lote de 100 parafusos, sendo que

15 apresentam pequenos defeitos e 10 são não-conformes (não aceitáveis). Qual é a

probabilidade do parafuso selecionado ser:

a) Perfeito ou apresentar pequeno defeito?

b) Apresentar pequeno defeito ou não-conforme?

Solução:

15,0100

15)defeitopequeno(P

10,0100

10)conformenão(P

A B

S

5

75,0100

75)perfeito(P

a) 90,0100

15

100

75)defeitopequenoouperfeito(P

b) 25,0100

10

100

15)conformenãooudefeitopequeno(P

2.4 Definição Clássica de Probabilidade

Seja A um subconjunto do espaço amostral S. Então, se todos os resultados

elementares de S são equiprováveis, a medida da probabilidade de ocorrência do

evento A é dada por:

)S(n

)A(n

Semelementosdenúmero

Aemelementosdenúmero)A(P

2.5 Definição Axiomática de Probabilidade

Seja o espaço amostral S associado a um certo experimento. A cada evento

SA associa-se um número real representado por )A(P , chamado de probabilidade

de A , satisfazendo as propriedades:

1) 1)A(P0

2) 1)S(P (ou seja, a probabilidade do evento certo é igual a 1 )

3) sejam A e B dois eventos mutuamente exclusivos. A probabilidade de ocorrência de

A ou B é igual à soma das probabilidades individuais.

)B(P)A(P)BouA(P

2.6 probabilidade Condicional

Definição 4: Sejam A e B eventos de um experimento E, com 0)B(P . Então a

probabilidade condicional do evento A dado que B tenha ocorrido é:

)B(P

)BA(P)B|A(P

, EA

6

Exemplo: A tabela a seguir fornece um exemplo de 400 itens classificados por falhas

na superfície e como defeituosos (funcionalmente).

DEFEITUOSO FALHAS NA SUPERFÍCIE

Sim Não TOTAL

Sim 10 18 28 Não 30 342 372 TOTAL 40 360 400

a) Qual é a probabilidade do item ser defeituoso, dado que apresenta falhas na

superfície?

b) Qual é a probabilidade de ter falhas na superfície dado que é defeituoso?

Solução:

a) %2525,040

10)erfíciesupnafalhas|defeituoso(P

b) 35,71%0,357128

10)defeituoso|erfíciesupnafalhas(P

A Probabilidade Condicional pode assumir a forma abaixo, chamada algumas

vezes de teorema da multiplicação de probabilidades:

)B(P)B|A(P)BA(P , ou de forma equivalente, )A(P)A|B(P)BA(P

Exemplo: A probabilidade de que o primeiro estágio de uma operação,numericamente

controlada, de usinagem para pistões com alta rpm atenda às especificações é igual a

0,90. Falhas são devido a variações no metal, alinhamento de acessórios, condições

da lâmina de corte, vibração e condições ambientais. Dado que o primeiro estágio

atende às especificações, a probabilidade de que o segundo estágio de usinagem

atenda à especificações é de 0,95. Qual a probabilidade de ambos os estágios

atenderem as especificações?

855,090,095,0)A(P)A|B(P)BA(P

2.7 Teorema da Probabilidade Total

Suponha que eventos aleatórios k21 A,,A,A sejam k conjuntos mutuamente

exclusivos e exaustivos )S...,AAA( k21 . Então:

7

i

ii )A|B(P).A(P)B(P

Exemplos:

1) A probabilidade de que um conector elétrico que seja mantido seco falhe durante o

período de garantia de um computador portátil é 1%. Se o conector for molhado, a

probabilidade de falha durante o período de garantia será de 5%. Se 90% dos

conectores forem mantidos secos e 10% forem mantidos molhados, qual é a

probabilidade dos conectores falharem durante o período da garantia?

Solução:

01,0)osecmantido|falhar(P)A|B(P 1

90,0)A(P 1

05,0)molhado|falhar(P)A|B(P 2

10,0)A(P 2

0,01405,010,001,090,0)A|B(P).A(P)B(Pi

ii

2) Suponha que na fabricação de semicondutores, a probabilidade seja de 0,10 de

que um chip que esteja sujeito a altos níveis de contaminação durante a fabricação

cause uma falha no produto. A probabilidade é de 0,005 de que um chip que não

esteja sujeito a altos níveis de contaminação durante a fabricação cause uma falha no

produto. Em um dado instante da produção, 20% dos chips estão sujeitos a altos

níveis de contaminação. Qual a probabilidade de um produto usando um desses chips

vir a falhar?

Solução:

10,0)açãomincontadenívelalto|falhar(P

20,0)açãomincontadenívelalto(P

005,0)açãomincontadenívelaltonão|falhar(P

80,0)açãomincontadenívelaltonão(P

0,024005,080,010,020,0)A|B(P).A(P)B(Pi

ii