GEOMETRIA DESCRITIVA A11.º Ano

Problemas Métricos

Ângulos entre Duas Rectas

GENERALIDADES

Um ângulo será toda a superfície plana entre duas semi-rectas com direcções diferentes e a mesma extremidade.

O ângulo entre duas rectas está contido no plano definido pelas duas rectas.

s

r

A

B

B’

C

C’

Os ângulos BÂC e B’ÂC’ são ângulos verticalmente opostos e são geometricamente iguais – têm a mesma amplitude.

s

r

A

O ângulo entre duas rectas é sempre o menor ângulo por estas formado.

O estudo sobre ângulos trata da V.G. da sua amplitude, utilizando uma qualquer letra minúscula do alfabeto grego para representar o ângulo.

αº

αº

s

r

A

B

B’

C

C’

r’

O

P

Q

Os ângulos BÂC e PÔQ são ângulos de lados diretamente paralelos e são geometricamente iguais.

Os ângulos B’ÂC’ e PÔQ são ângulos de lados inversamente paralelos e são geometricamente iguais.

m

n

o

r

αº

αº

αº

Duas rectas paralelas entre si formam, com uma terceira recta concorrente com aquelas, ângulos geometricamente iguais.

Ângulo entre Duas Rectas Horizontais Concorrentes

Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre as duas rectas, a e b.

x

a2 ≡ b2

a1

b1 P1

P2

Duas rectas concorrentes (no ponto P) definem um plano (plano horizontal).

A V.G. do ângulo entre as duas rectas a e b está no ângulo menor formado entre a1 e b1, com o vértice em P1.

αº

Ângulo entre Duas Rectas Frontais Enviesadas

Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre as duas rectas, a e b.

x

a2

a1

b1

Para transformar duas rectas frontais enviesadas, é necessário obter uma recta b’ paralela à recta b e concorrentes com a recta a, no ponto P.

A V.G. do ângulo entre as duas rectas a e b’ está no ângulo menor formado entre a2 e b’2, com o vértice em P2.

b2

≡ b’1

P1

P2

b’2

αº

São dadas duas rectas frontais, f e f’, concorrentes no ponto A (2; 3). A recta f faz um ângulo de 25º (a.d.) com o Plano Horizontal de Projecção. A recta f’ faz um ângulo de 65º (a.d.) com o Plano Horizontal de Projecção. Determina a V.G. do ângulo entre as duas rectas, f e f’.

x

A1

A2

f1 ≡ f’1

f2

f’2

Duas rectas concorrentes (no ponto P) definem um plano (plano frontal).

A V.G. do ângulo entre as duas rectas f e f’ está no ângulo menor formado entre f2 e f’2, com o vértice em P2.

αº

São dadas duas rectas horizontais, h e h’. A recta h faz um ângulo de 30º (a.d.) com o Plano Frontal de Projecção, e contém o ponto A (2; 2; 2). A recta h’ faz um ângulo de 30º (a.e.) com o Plano Frontal de Projecção, e contém o ponto B (0; 2; 4). Determina a V.G. do ângulo entre as duas rectas, h e h’.

x

y ≡ z

A1

A2

B1

B2

h2

h1

h’2

h’1

Para transformar duas rectas horizontais enviesadas, é necessário obter uma recta h’’ paralela à recta h’ e concorrentes com a recta h, no ponto P.

A V.G. do ângulo entre as duas rectas h e h’’ está no ângulo menor formado entre h1 e h’’1, com o vértice em P1.

≡ h’’2

≡ h’’1

P1

P2

αº

Ângulo entre Duas Rectas Oblíquas Concorrentes

Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre as duas rectas, r e s.

x

P1

P2

r1

r2 s2

s1

Duas rectas concorrentes (no ponto P) definem um plano θ.

Para determinar a V.G. do ângulo entre as duas rectas r e s é necessário rebater o plano θ para o Plano Horizontal de Projecção.

A V.G. está no ângulo menor formado entre rr e sr, com o vértice em Pr. H1

H2

H’1

H’2

e1

≡ e2

Pr1

Pr

≡ Hr

≡ H’r

rr sr

αº

Ângulo entre Duas Rectas Oblíquas Enviesadas

Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre as duas rectas, r e s.

x

r2

s2

s1 r1

Primeiro é necessário obter uma recta s’ paralela à recta s e concorrentes com a recta r, no ponto P.

Para determinar a V.G. do ângulo entre as duas rectas r e s’ é necessário rebater o plano formado pelas duas rectas para um plano frontal φ.

A V.G. está no ângulo menor formado entre rr e s’r, com o vértice em Pr.

P1

P2

s’1

s’2

(hφ) ≡ e1 M1

M2

N1

N2

e2

Pr1

Pr

≡ Mr

≡ Nr

αºs’r

rr

Ângulo entre uma Recta Oblíqua e uma Recta de Perfil

Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre as duas rectas, r e p.

x

p1 ≡ p2

r1

r2

A1

B1

B2

A2

Primeiro é necessário obter uma recta r’ paralela à recta p e concorrentes com a recta r, no ponto A.

Para determinar a V.G. do ângulo entre as duas rectas r’ e p é necessário rebater o plano formado pelas duas rectas para um plano horizontal υ.

A V.G. está no ângulo menor formado entre r’r e pr, com o vértice em Pr. r’1

r’2

(fυ) ≡ e2

C1

C2

≡ Br

≡ Cr

e1Ar1

Ar

pr

r’r

αº

Ângulo entre uma Recta Oblíqua e uma Recta FrontalPretende-se a V.G. do ângulo formado entre as duas rectas, r e f.

x

r2

r1

f1

f2

Primeiro é necessário obter uma recta r’ paralela à recta r e concorrentes com a recta f, no ponto P.

Para determinar a V.G. do ângulo entre as duas rectas r’ e f é necessário rebater o plano formado pelas duas rectas para um plano frontal φ que contém a recta f. Um ponto qualquer A da recta r’ permite rebater a recta r’.

A V.G. está no ângulo menor formado entre r’r e fr, com o vértice em Pr.

P1

P2

r’1

r’2

≡ (hφ)

≡ fr

A1

A2

Ar1

Ar

≡ Pr

r’r

αº

São dadas duas rectas oblíquas, r e s, concorrentes num ponto com 3 cm de cota. A recta r é uma recta do β1,3 e a sua projecção frontal faz um ângulo de 30º (a.e.) com o eixo x. A recta s é paralela ao β2,4 e a sua projecção frontal faz um ângulo de 45º (a.e.) com o eixo x. Determina a V.G. do ângulo entre as duas rectas, r e s.

x

r2

r1

s2

P1

P2

s1

Para determinar a V.G. do ângulo entre as duas rectas r e s é necessário rebater o plano formado pelas duas rectas para um plano horizontal υ.

A V.G. está no ângulo menor formado entre rr e sr, com o vértice em Pr.

(fυ) ≡ e2

A1

A2

B1

B2

e1

≡ Ar

≡ Br

Pr1

Pr

rr

sr

αº

São dadas duas rectas oblíquas, m e n. A recta m contém o ponto A (4; 4; 2) e o seu traço frontal tem 0 cm de abcissa e 4 cm de cota. A recta n é paralela ao β2,4, o seu traço horizontal tem –3 cm de abcissa e 4 cm de afastamento e a sua projecção horizontal faz um ângulo de 60º (a.d.) com o eixo x. Determina a V.G. do ângulo entre as duas rectas, m e n.

x

y ≡ z

A1

A2

F2

F1

m2

m1

H1

H2

n1

n2 Primeiro é necessário obter uma recta n’ paralela à recta n e concorrentes com a recta m, no pontoqualquer P da recta m.

Para determinar a V.G. do ângulo entre as duas rectas n’ e m, é necessário rebater o plano formado pelas duas rectas para um plano horizontal υ.

A V.G. está no ângulo menor formado entre n’r e mr, com o vértice em Pr.

P1

P2

n’1

n’2

(fυ) ≡ e2

B1

B2

e1 ≡ Ar

≡ Br

Pr1

Pr mr

n’r

αº