PLANO CARTESIANO Produção: Patrizia Lovatti. Representando pares ordenados de reais.
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PLANO
CARTESIANO
Produção: Patrizia Lovatti
Representando pares ordenados
de reais
O professor de Matemática construiu um quadro com as notas de seus alunos, na
última prova que ele aplicou.
Nota
Nº do aluno 8 9 10 4566 7 7 8
1 32 10764 5 8 9
8 9 10 4566 7 7 8Nota
Nº do aluno
1 32 10764 5 8 9
Os dados desse quadro podem ser representados, também, pelos
pares ordenados
8 9 10 4566 7 7 8Nota
Nº do aluno
1 32 10764 5 8 9
Os dados desse quadro podem ser representados, também, pelos
pares ordenados
(1,8)
8 9 10 4566 7 7 8Nota
Nº do aluno
1 32 10764 5 8 9
Os dados desse quadro podem ser representados, também, pelos
pares ordenados
(1,8) (2,9)
8 9 10 4566 7 7 8Nota
Nº do aluno
1 32 10764 5 8 9
Os dados desse quadro podem ser representados, também, pelos
pares ordenados
(1,8) (2,9) (3,10)
8 9 10 4566 7 7 8Nota
Nº do aluno
1 32 10764 5 8 9
Os dados desse quadro podem ser representados, também, pelos
pares ordenados
(1,8) (2,9) (3,10) (4,6)
8 9 10 4566 7 7 8Nota
Nº do aluno
1 32 10764 5 8 9
Os dados desse quadro podem ser representados, também, pelos
pares ordenados
(1,8) (2,9) (3,10) (4,6)
(5,7)
8 9 10 4566 7 7 8Nota
Nº do aluno
1 32 10764 5 8 9
Os dados desse quadro podem ser representados, também, pelos
pares ordenados
(1,8) (2,9) (3,10) (4,6)
(6,6)(5,7)
8 9 10 4566 7 7 8Nota
Nº do aluno
1 32 10764 5 8 9
Os dados desse quadro podem ser representados, também, pelos
pares ordenados
(1,8)
(7,5)
(2,9) (3,10) (4,6)
(6,6)(5,7)
8 9 10 4566 7 7 8Nota
Nº do aluno
1 32 10764 5 8 9
Os dados desse quadro podem ser representados, também, pelos
pares ordenados
(1,8)
(7,5)
(2,9) (3,10) (4,6)
(6,6)(5,7) (8,7)
8 9 10 4566 7 7 8Nota
Nº do aluno
1 32 10764 5 8 9
Os dados desse quadro podem ser representados, também, pelos
pares ordenados
(1,8)
(7,5)
(2,9) (3,10) (4,6)
(6,6)(5,7)
(9,8)
(8,7)
8 9 10 4566 7 7 8Nota
Nº do aluno
1 32 10764 5 8 9
Os dados desse quadro podem ser representados, também, pelos
pares ordenados
(10,4)
(1,8)
(7,5)
(2,9) (3,10) (4,6)
(6,6)(5,7)
(9,8)
(8,7)
Nessa representação, convencionamos que o 1º elemento de cada par indica o número do aluno e o 2º elemento, a
nota que ele tirou.
Os pares (5,7) e (7,5), por exemplo, são diferentes. Apesar de serem
constituídos pelos mesmos elementos,eles estão dispostos numa ordem
diferente.
Em um par ordenado qualquer (a,b), chamamos
a - abscissa
b - ordenada
a e b - coordenadas
No par ordenado (5,7), por exemplo,a abscissa é 5, a ordenada é 7, e as
coordenadas são 5 e 7.
Qual a condição para que os pares ordenados (a,b)
e (b,a) sejam iguais?
R: a deve ser igual a b
Pode ocorrer a igualdade(3, x+y) = (x-y,-5) ?
R: Sim
Para que valores de x e y ?
R: Para x = -1 e y = -4
Observe:
(3, x+y) = (x-y,-5)
3 = x-y
x+y=-5
y = x-3
Substitui-se na 2ª:
x+(x-3)=-5
2x=-2
x=-1
y=-4
y=-1-3
Vamos estudar agora, de modo especial,o conjunto dos pares ordenados de nos
reais. Ele é representado por R2 e podeser definido assim:
R2 = {(x,y); x R e y R}
Por exemplo,
-3 R e 2 R (-3,2) R2
Os pares ordenados de números reais podem,também, ser associados a pontos. Essa correspondência se dá por meio do plano cartesiano.
O plano cartesiano é determinado por dois eixos perpendiculares, que se interceptam na origem O de cada um deles.
Você já sabe que os nos reais podem ser associados a pontos de uma reta - a reta real ou eixo real.
y
x
Ordenadas
Abscissas
Origem
P (a,b)
a
b.O (0,0).
O eixo horizontal (x) é o eixo das abscissas, orientado para a direita; e o eixo vertical (y) é o eixo das ordenadas, orientado para cima.
Observe os pares ordenados abaixo.
A (-7,4)
B (-3,-2)
C (2,-1)
D (9/2,1)
E (7,0)
F (0,3)
G (,5)
H (-3,0)
I (-6,-7/2)
Na figura seguinte, vamos marcar ospontos correspondentes a esses pares
ordenados.
.A
.B
.C
.D .E
.Fx
yG.
.H
.I
A (-7,4)
B (-3,-2)
C (2,-1)
D (9/2,1)
E (7,0)
F (0,3)
G (,5)
H (-3,0)
I (-6,-7/2)
G
.
.
..
...
A
BC
D
E
F
x
y .
.H
I
Observe que os pontos do eixo x têm ordenada nula (E e H) e os pontos do
eixo y têm abscissa nula (F).
x
y
Os eixos coordenados dividem o planoem quatro regiões, chamadas quadrantes.
1º quadrante(+,+)
3º quadrante(-,-)
2º quadrante(-,+)
4º quadrante(+,-)
O plano cartesiano estabelece, portanto,uma correspondência entre ponto e par
ordenado de reais, de forma que
A cada ponto do plano está associadoum único par ordenado de reais;
A cada par ordenado de reais está associado um único ponto do plano.
Sendo a e b nos reais não-nulos, em que quadrante está o ponto (-a,b) ?
R: Não é possível saber.
Observe os quatro exemplos:
a=1 e b=2
a=1 e b=-2
a=-1 e b=2
a=-1 e b=-2
(-a,b)=(-1,2)
4º Q
1º Q
2º Q
(-a,b)=(-1,-2) 3º Q
(-a,b)=(1,2)
(-a,b)=(1,-2)
Podem dois pares ordenados distintosserem representados pelo mesmo
ponto do plano cartesiano ?
R: Não
INTRODUÇÃO ÀS FUNÇÕES
No universo as coisas dependem umas das outras. É essa relação de dependência que faz do mundo um
organismo vivo, dinâmico, cujos elementos se comunicam, se
relacionam e interagem continuamente.
Estudar, representar e analisar as relações
de dependência entre as grandezas
é o objetivo básico da Ciência,
desde os seus primeiros momentos.
GRANDEZAS
Quando se solta uma pedra, ela cai. Por que ela cai? O que provoca sua
queda? O que ocorre com sua velocidade durante a queda?
E ao se soltar uma pedra mais pesada? Muda alguma coisa?
E se a mesma experiência fosse feita na superfície
da Lua?
Ao estudar um fenômeno natural, a preocupação básica da Ciência é descobrir os fatores que nele influem e analisar de que forma
essa influência se dá.
Nesse processo, as variáveis envolvidas
são geralmente relacionadas por meio de
fórmulas, tabelas ou
gráficos.
Ex.1:
Fórmula: y = 2x + 4
Tabela:
x y
1 6
-3 -2
0 4
-2 0
2 8
Gráfico:
x
y
..
..
.Função de 1º
grau:
Reta
Ex.2:
Fórmula: y = x2 + 1
Tabela:
x y
1 2
-2 5
0 1
2 5
-1 2
Gráfico:
x
y Função de 2º grau:
Parábola
...
..
Função – uma lei
1
-2
02
-3
Fórmula: y = 2x + 4
6
0
48
-2
Domínio Contra-domínio
Função – representação
f: A B
DomínioContra-domínio
E a imagem?
Ex.: Dados os conjuntos A={1;2;3} e B={2;4;6;8} e a função f: A B
representada por f(x)=2x.Observe o diagrama que representa f.
1
23
2
46
8
E a imagem?
Domínio = A={1;2;3}Contra-domínio = B={2;4;6;8}Imagem = {2;4;6}
1
23
2
46
8
Imagem
Função – uma máquina
Máquina de
dobrar
1 27
2 414
O que é?
É um modo especial de relacionar grandezas. Nesse tipo de relação, duas grandezas, x e y,se relacionam de tal forma que:
• x pode assumir qualquer valor em um conjuntoA dado;• a cada valor de x corresponde um único valor de y em um dado conjunto B;• os valores que y assume dependem dos valoresassumidos por x.
x1
x2
x3
y1
y2
y3
x1
x2
x3
y1
y3
É função.
É função.
x1
x3
y1
y2
y3
x1
x2
x3
y1
y2
Não é função.
Não é função.