Múltiplos y Divisores

MLTIPLOS Y DIVISORES

Aprendamos Mltiplos de un Nmero Natural

Franco compr un chocolate de 2 soles. Quiere invitar un chocolate igual a cada uno de sus 8 amigos, Cuntos soles necesita para invitar un chocolate a cada uno ?

Necesita 16 soles.

Un nmero a es mltiplo de b, si a es el producto de b por un nmero natural.

Ahora Franco quiere saber cunto soles necesita para invitar a 2; 3; 4; 5; 6 amigos .

Observa como lo sabr fcilmente:

............................................................................................................; son mltiplos 2

Recuerda:El 0 es mltiplo de todos los nmeros.Todo nmero es mltiplo de s mismo.El conjunto de mltiplos de un nmero, distinto de 0, es infinito.

Prctica de clase

01.Hallamos los mltiplos de 3:

.........................................................................................................; son mltiplos 3

02.Completa las tablas y encontrars el conjunto de los mltiplos de 4; 5 y de 7.

El conjunto de los mltiplos de 4 es : [........................................................................

El conjunto de los mltiplos de 7 es : [.......................................................................

El conjunto de los mltiplos de 5 es : [........................................................................

03.Completa:

a)6 x 5 = 30 entonces 30 es mltiplo de ....................... y de ..................b)8 x 3 = .................. entonces ..................... es mltiplo de ...................... y de ......................c)10 x 2 = ................. entonces ................... es mltiplo de .................... y de .......................d)5 x 7 = .................. entonces ................... es mltiplo de .................... y de .......................

04.Completamos la tabla y hallaremos los 10 primeros mltiplos de 3;5;6;11.

Observa la tabla y completa

Qu nmero es mltiplo de 3; 5; 6 y 11? ...................................................................

........................................................................................................................................

05.Completa:

a)5 x ............. = 20 entonces ...................... es mltiplo de ..................... y de .........................

b).......... x 4 = 40 entonces ......................... es mltiplo de .................... y de ........................

c)........... x ........... = 18 entonces .................... es mltiplo de ...................... y de ...................

d)3 x ........ x 2 = 24 entonces ................ es mltiplo de ................ , ............... y de ..................

06.Escribe:

a)Los nmeros mltiplos de 2 mayores que 10 y menores que 40

...................................................................................................................................

b)Los nmeros mltiplos de 3 mayores que 8 y menores que 40

...................................................................................................................................

c)Los nmeros mltiplos de 5 mayores que 10 y menores que 100

...................................................................................................................................

07.Tacha los nmeros que no son mltiplos de:

Taller:

01.Escribe nueve mltiplos de 7:.......................................................................................................................................02.Escribe nueve mltiplos de 8:.......................................................................................................................................03.Halla los mltiplos de 9 entre 25 y 120 :.......................................................................................................................................

04.Halla los elementos de cada conjunto y represntalo grfica y simblicamente

a.C: Conjunto de los mltiplos de 5b.D: Conjunto de mltiplos de 17 menores que 72.menores que 140.

c.E:Conjunto de los mltiplos paresd.F:Conjunto de los mltiplos im-de 13 menores que 170. pares de 21 menores que 295.

ejercicios propuestos n 10

01.El conjunto de los mltiplos de 6 mayores que 15 y menores que 29; son:

a) b) c) d) N.A.

02.El conjunto de los mltiplos de 12 menores que 49, son:

a) b) c) d) N.A.

03.Cul es el nmero, que es mltiplo de cualquier nmero?

a) cerob) unoc) no sed) N.A.

04.El conjunto de los mltiplos de cualquier nmero es:

a) finitob) infinitoc) unitariod) N.A.

TAREA DOMICILIARIA

01.Hallar los ocho primeros mltiplos de 7, 13 y 25:

a)Mltiplos de 7={.............................................................................................

b)Mltiplos de 13={.............................................................................................

c)Mltiplos de 25={.............................................................................................

02.Completa la tabla de los mltiplos de:

DIVISORES DE UN NMERO NATURAL

Entre qu nmeros se puede dividir exactamente a 12?Entre los nmeros 1 ; 2 , 3 ; 4 ; 6 y 12.

Un nmero a es divisor de b, si a divide exactamente a b.

Ejemplos:

1.Los divisores de 20 son los nmeros que lo dividen exactamente.

20 1 = 2020 5 = 4divisiones exactas

20 2 = 1020 10 = 220 4 = 520 20 = 1El conjunto de divisores de 20 se representa con D(20) = { 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 10 ; 20 } .

2.Representemos el conjunto de divisores de 12.

D(12) = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12 }

Relaciones entre Mltiplos y Divisores:

Si m es mltiplo de d, con d 0, entonces d es divisor de m.

Ejemplo:

Como 20 es mltiplo de 5, entonces 5 es divisor de 20.

Si d es divisor de m, entonces m es mltiplo de d.

Ejemplo:

Como 6 es divisor de 18, entonces 18 es mltiplo de 6.

Recuerda:

1 es divisor de cualquier nmero.Todo nmero es divisor de s mismo.El conjunto de divisores de un nmero es un conjunto finito.Prctica de clase

1.Determina los elementos del la parte sombreada.

2.Completa las multiplicaciones con los factores correspondientes y escribe el conjunto de divisores de cada nmero.

D(24) = {}D(32) = {}

D(42) = {}D(30) = {}

D(54) = {}D(48) = {}

3.Escribe dentro de los parntesis: V si la afirmacin es verdadera y F si es falsa segn corresponda. Completa en las lneas punteadas la justificacin de tu respuesta.

a)4 y 6 son divisores de 12 ( V ) porque 12 4 = 3 y 12 6 = 2

b)5 y 4 no son divisores de 18 ( ) porque ........................................................................

c)9 y 8 son divisores de 36 ( ) porque ............................................................................

d)8 y 4 son divisores de 30 ( ) porque .............................................................................

e)2 y 5 son divisores de 20 () porque .............................................................................

4.Fjate en los ejemplos, piensa y completa el cuadro

.... es divisor de ....

104152025303440100

1

2No

3

4

5NoSi

6

7

8

9

5.Escribe el conjunto de divisores de:

a)D(18) = [...............................................................................................................]b)D(12) = [...............................................................................................................]c)D(9) = [...............................................................................................................]d)D(36) = [...............................................................................................................]e)D(40) = [...............................................................................................................]f)D(50) = [...............................................................................................................]g)D(56) = [...............................................................................................................]h)D(45) = [...............................................................................................................]

6.Completa:

a)3 x 5 = 15 15 es mltiplo de 3 y 5 ; 3 y 5 son divisores de 15

b)7 x 2 = .................... ...................................................................................c)11 x .................... = 110 .................................................................................

d)14 x 2 = .................... ..................................................................................

7.Lee atentamente todo el ejercicio anterior y responde: Es lo mismo mltiplo que divisor ? ______________

8.En 7 x 4 = 28 , 3 x 5 = 15 y 9 x 5 = 45 ;

Cules son mltiplos y cules son divisores ?

.......................................................................................................................................

9.Completa :

a.[ 1 , .... ; 3 ............................................................................ ] es el conjunto de divisores de 18

b.[ ....... ; ........... ; 4 ; .............................................. 36 ] es el conjunto de divisores de 36

c.[ ......................... ; 5 ; .................... 15 .......................... ] es el conjunto de divisores de 30

d.[ ............... ; ............... 4 ................ 14 .................................. ] es el conjunto de divisores de 28


1.El conjunto de todos los divisores de 24 es:

a) {24;48;...}b) {1;2;3;4;6;12;24}c) {1;2;24}d) N.A.

2.El conjunto de todos los divisores de cualquier nmero es:

a) finitob) infinitoc) unitariod) N.A.

3.El conjunto de los divisores comunes de 12 y 15 es:

a) {12;15}b) {1;3;5}c) {1;3}d) N.A.

4.La suma de todos los divisores de 21 es:

a) 32b) 31c) 33d) N.A.

5.La suma de todos los divisores de 10 es:

a) 10b) 8c) 18e) N.A.

TAREA DOMICILIARIA

Hallar el conjunto de todos los divisores de:

a) 45b) 20c) 18d) 45e) 27f) 115

Infrmate:Renato Descartes

( 1596 1650 )

Filsofo y matemtico francs. Durante su juventud fue soldado y recorre Hungra, Suiza e Italia.La reina Cristiana de Suecia lo invita a su corte, para que le d clases de matemticas; Descartes va y all muere.Fue el primero en aplicar el lgebra a la Geometra, creando as la Geometra Analtica.

DIVISIBILIDAD

Hemos visto en el tema anterior el concepto de mltiplo de un nmero

Decimos que:56 es mltiplo de 7 porque 56 = 7 x 8

Podemos afirmar tambin que:

56 es divisible por 7 ( 7 es divisor de 56) porque al dividirlos el residuo es 0.

En consecuencia; cuando decimos:a es mltiplo de b estamos afirmando quea es divisible por b

Ejemplos:25 es mltiplo de 5 equivale a decir que 25 es divisible por 540 es mltiplo de 8 equivale a decir que 40 es divisible por 8

Responde:

35 es divisible por 7?............................................. porque ..........................................






Criterios de divisibilidad:Para saber si un nmero es divisible por otro se utilizan reglas a las que llamamos criterios de divisibilidad.

Un nmero es divisible porCriterioEjemplos

2Si termina en cifra par o en cero.478 y 126, porque terminan en cifra par.400 y 990 porque terminan en cero.

3Si la suma de sus cifras es un mltiplo de 3.318, porque 3 + 1 + 8 = 12 y 12 es mltiplo de 3.

4Si sus 2 ltimas cifras forman un mltiplo de 4 o son ceros.3524, por terminar en 24 y 24 es mltiplo de 4.9700, porque sus dos ltimas cifras son ceros.

5Si termina en cero o en 5.1230, por terminar en cero.245 por terminar en 5.

6Si es divisible por 2 y 3.312 porque es divisible por 2 y 3.

8Si sus tres ltimas cifras son ceros o forman un mltiplo de 8.77000, porque sus tres ltimas cifras son ceros.23640, porque sus tres ltimas cifras 640 = 80 x 8 es mltiplo de 8.

9Si la suma de sus cifras es un mltiplo de 9.4509, porque 4 + 5 + 0 + 9 = 18 y 18 es mltiplo de 9.

10Si termina en cero.4720 y 6000, porque terminan en cero.

Atento:El nmero 7632 es divisible por:

-2, porque termina en cifra par.-3, porque 7 + 6 + 3 + 2 = 18 y 18 es mltiplo de 3.-4, porque termina en 32 y 32 es mltiplo de 4.-6, porque es divisible por 2 y 3.-9, porque 7 + 6 + 3 + 2 = 18 y 18 es mltiplo de 9.

Prctica de clase

1.Encierra todos los nmeros divisibles por 2:

791 548 900 702 407 765 2560 4566

2.Encierra los nmeros divisibles por 5:

700 409 705 1008 365 4962 - 7005


413 333 729 408 395 113 1113 7209 - 4215


905 700 806 9000 3527 4625 9400 5005

5.Completa la tabla colocando en el casillero correspondiente un si el nmero es divisible o una X si no lo es.

Es divisible por234568910

120X

522

9180

735

8556

3960

6.Hallar los elementos de cada conjunto:

A = {x N / 38 < x < 46; x es divisible por 3}.......................................................................................................................................B = {x N / 63 < x < 83; x es divisible por 5}.......................................................................................................................................C = {x N / 25 < x 42; x es divisible por 2}.......................................................................................................................................D = {x N / 46 x 100; x es divisible por 10}.......................................................................................................................................

7.Completa el diagrama; la flecha se lee:

... es divisible por ...


1.El nmero 11199 es divisible por:a) 3b) 2c) 10d) N.A.2.Qu nmero es divisible por 5?a) 1062b) 333c) 505d) N.A.3.Los elementos de A = {x N / 6 < x 15, x es divisible por 5} son:a) {6;12;15}b) {10;15}c) {6;15}d) N.A.4.Hallar el valor de a para que 238a sea divisible por 3:a) 2b) 1c) 0e) N. A.5.Qu valores puede tomar a para que 138a sea divisible por 5?A) 5b) 0c) 0 ; 5e) N. A.

TAREA DOMICILIARIA

1.Escribe 10 nmeros divisibles por 22.Escribe 10 nmeros divisibles por 33.Escribe 10 nmeros divisibles por 54.Escribe 10 nmeros divisibles por 10

NMEROS PRIMOS Y NMEROS COMPUESTOS

De que forma podramos ubicar en cajas rectangulares 18 chocolates

Divisores de 18 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18 18 es un nmero compuesto

Un nmero es compuesto cuando tiene otros divisoresadems del l mismo y de la unidad.

Ahora, De qu forma podemos ubicar 13 chocolates en cajas rectangulares?

Divisores de 13 1 ; 13 13 es un nmero primo

Un nmero diferente de cero, es primo cuando solo tiene comodivisores a si mismo y a la unidad.

Importante:El nmero 1 no es ni primo ni compuesto.

Prctica de clase

Aprendamos a conocer cules son nmeros primosY cuales nmeros compuestos

1.Escribe en los recuadros todos los factores del nmero propuesto en el crculo.

Los nmeros 7; 31; 2 y 17 tienen cada uno ........................... factores que son el mismo y ...........................

Los nmeros 7 ; 31 ; ....................................... y .......................................... son nmeros .................................................

2.Completa en la tabla los nmeros primos menores que 103

217293137

43596779

3.Encuentra todos los factores de estos nmeros y diga cuales son primos y cuales compuestos

Factores : ..............................................Factores : ..............................................F. Primos:..............................................F. Primos:..............................................F. Compuestos: ......................................F. Compuestos: ......................................






4.Escribe verdadero o falso segn convenga:

a)35 es un nmero primo.......................................................................b)39 es un nmero compuesto.......................................................................c) (51 + 52) da un nmero primo.......................................................................d) 59 es un nmero compuesto.......................................................................e) Hay nmero primo divisible entre 2.......................................................................f) 61 no es un nmero compuesto.......................................................................g) Existe un nmero que sea primo y compuesto.......................................................................h)1111 es un nmero primo.......................................................................


1.El 8 es nmero primo:

a) Sib) No


a) Sib) No


a) Sib) No


a) Sib) No

TAREA DOMICILIARIA

Escribe los nmeros del 1 al 50 y encierra con rojo los nmeros primos y con azul los nmeros compuestos.

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