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Divisores de um número naturalOndina fez 12 pães e pretende distribuí-los em caixas nas seguintes condições: todas as caixas devem conter a mesma quantidade de pães e nenhum pão pode sobrar fora delas.

1 caixa 2 caixas 3 caixas

4 caixas 6 caixas 12 caixas

Podemos indicar os divisores de 12 assim: d(12): 1, 2, 3, 4, 6, 12

FOTO

S: F

AB

IO Y

OS

HIH

ITO

MAT

SU

RA

Início SairCapítulo 5 • Divisores e múltiplos de números naturais

Obtenção dos divisores pelo processo geométrico

d(16): 1, 2, 4, 8, 16

Início SairCapítulo 5 • Divisores e múltiplos de números naturais

Em uma escola será realizada uma gincana para a qual estão inscritos 108 alunos. Se forem formadas equipes de 6 alunos cada, algum aluno ficará de fora?

Como a divisão é exata, afirmamos:• 108 é divisível por 6• 108 é múltiplo de 6• 6 é divisor de 108

1 0 8 6− 6 1 8

4 8− 4 8

0

MA

UR

O S

OU

ZA/A

RQ

UIV

O D

A E

DIT

OR

A

Divisibilidade

Início SairCapítulo 5 • Divisores e múltiplos de números naturais

Se a gincana fosse dividida em equipes de 5 alunos, então:

Como 108 : 5 não é divisão exata, dizemos:

• 108 não é divisível por 5• 108 não é múltiplo de 5• 5 não é divisor de 108

1 0 8 5 − 1 0 2 1

0 8− 0 5

3

Divisibilidade

MA

UR

O S

OU

ZA/A

RQ

UIV

O D

A E

DIT

OR

A

Início SairCapítulo 5 • Divisores e múltiplos de números naturais

No início do ano, uma papelaria vai realizar uma grande promoção para vender 3180 cadernos que estão no estoque. O gerente pretende fazer pacotes com a mesma quantidade de cadernos sem que sobrem cadernos.

• 2 cadernos no pacote

Um número natural é divisível por 2 quando ele é número par.

3 1 8 0− 2 1 5

1 1− 1 0

1

2

8− 1 8

0 0

9 0

Critérios de divisibilidade

Divisibilidade por 2

MA

UR

O S

OU

ZA/A

RQ

UIV

O D

A E

DIT

OR

A

Início SairCapítulo 5 • Divisores e múltiplos de números naturais

• 3 cadernos no pacote

Um número natural é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos é divisível por 3.

3 1 8 0− 3 1 0

0 1− 0 0

1

3

8− 1 8

0 0

6 0

− 00

Divisibilidade por 3• 4 cadernos no pacote

Um número natural é divisível por 4 quando o número formado pelos seus dois algarismos da direita é divisível por 4.

3180: é divisível por 4, porque 80 é divisível por 4.

3 1 8 0− 2 8 7 9

3 8− 3 6

2

4

0− 2 0

0

5

Divisibilidade por 4

Início SairCapítulo 5 • Divisores e múltiplos de números naturais

Divisibilidade por 5• 5 cadernos no pacote

Um número natural é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5.

3 1 8 0− 3 0 6 3

1 8− 1 5

3

5

0− 3 0

0

6

Divisibilidade por 6Conhecidos os critérios de divisibilidade por 2 e por 3, enunciamos:

Um número natural é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.

Exemplo

246 é divisível por 6, pois é divisível por 2 (é par) e é divisível por 3 (2 + 4 + 6 = 12).

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Um número natural é divisível por 9 quando a soma de seus algarismos é divisível por 9.

Exemplo• 37 512 é divisível por 9, porque

3 + 7 + 5 + 1 + 2 = 18, e 18 é divisível por 9.

• 984 não é divisível por 9, porque 9 + 8 + 4 = 21, e 21 não é divisível por 9.

Um número natural é divisível por 10 quando termina em zero (0).

Exemplo• 4 240 é divisível por 10, pois

termina em zero.

• 90 405 não é divisível por 10, pois não termina em zero.

Divisibilidade por 10Divisibilidade por 9

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Número primo é todo número natural maior do que 1 que tem exatamente dois divisores distintos: o 1 e ele mesmo.

Exemplos• 3 é número primo, pois é maior do que 1 e só tem 1 e 3 como divisores.• 7 é número primo, pois é maior do que 1 e só tem 1 e 7 como divisores.• 21 e 24 não são números primos, pois têm mais de dois divisores.

Crivo de Eratóstenes1o) Construa um quadro com os números naturais.

2o) Risque os múltiplos de 2 maiores do que ele.

3o) Risque os múltiplos de 3 maiores do que ele.

4o) Risque os múltiplos de 5 e os múltiplos de 7 maiores do que eles.

5o) O maior número primo a ser checado corresponde à raiz quadrada do valor-limite, arredondado para baixo.

Número primo

Início SairCapítulo 5 • Divisores e múltiplos de números naturais

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Decomposição de um número natural em fatores primos

Fatorar um número é transformá-lo em uma multiplicação (mostrar os fatores).

Veja o número 36 escrito como produto de dois ou mais números naturais.

• 36 = 6 × 6

• 36 = 2 × 18

• 36 = 2 × 2 × 9

• 36 = 2 × 2 × 3 × 3

De todas as fatorações do número 36, há uma em que todos os fatores são números primos:

Processo das fatorações sucessivasTodo número maior do que 1 que não é primo pode ser decomposto em um produto de dois ou mais fatores primos.

36 = 2 × 2 × 3 × 3

42

2 21

2 3 7

9

3 3

12

2 6

2 3 2

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Processo das divisões sucessivas

• Buscamos um número primo que seja divisor de 63. Nesse caso, escolhemos o 3. Veja onde colocamos o quociente 21.

• Agora, buscamos um número primo que seja divisor de 21. Ao escolher o 3, o quociente é 7.

• Como 7 é primo, fazemos a divisão exata por ele mesmo.

• O quociente 1 indica o final do processo.

Veja um exemplo com o número 63.

63

21

7

1

3

3

7

63

3 21

3 3 7

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Determinação de todos os divisores de um número

48

24

12

6

3

1

2

2

2

2

3

1

2 (2 × 1)

4 (2 × 2)

8 (2 × 4)

16 (2 × 8)

3 – 6 – 12 – 24 – 48

(3 × 1) (3 × 2) (3 × 4) (3 × 8) (3 × 16)

Veja um exemplo com o número 48.

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Máximo divisor comum (mdc)O máximo divisor comum (mdc) de dois ou mais números naturais é o maior dos divisores comuns desses números.

ExemploIvo tem 12 selos e 30 figurinhas repetidos. Ele quer reparti-los igualmente entre um grupo de amigos de modo que não sobrem selos nem figurinhas. Qual é o número máximo de amigos que o grupo pode ter para que isso seja possível?

• 12 selos podem ser distribuídos por:

• 30 figurinhas podem ser distribuídas por:

Então, os selos e figurinhas podem ser distribuídos ao mesmo tempo entre:1, 2, 3, 4, 6 ou 12 amigos

divisores de 12

1, 2, 3, 5, 6,10,15 ou 30 amigosdivisores de 30

1, 2, 3 ou 6 amigosdivisores comuns de 12 e 30

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120, 252 2

Processo prático para determinação do mdc

mdc(120, 252)

60, 126 2

30, 63 2

15, 63 3

5, 21 3

5, 7 5

1, 7 7

1, 1

fator comum

fator comum

só divide o 30

só divide o 21

só divide o 5

só divide o 7

fator comum

mdc(120, 252) = 2 . 2 . 3 = 12

mdc(165, 90)

165, 90 2

165, 45 3

55, 15 3

55, 5 5

11, 1 11

1, 1

3 . 5 = 15

mdc (165, 90) = 15

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0, 4, 8, 12, 16, 20, 24• Horários para tomar xarope: múltiplos de 4 até 24

0, 6, 12, 18, 24• Horários para tomar o comprimido: múltiplos de 6 até 24

Mínimo múltiplo comum (mmc)

O mínimo múltiplo comum (mmc) de dois ou mais números naturais é o menor número, diferente de zero, que é múltiplo comum desses números.

Exemplo

O médico de Sabrina receitou-lhe um comprimido de 6 em 6 horas e uma colher de xarope de 4 em 4 horas. Sua mãe deu-lhe um comprimido e uma colher de xarope à zero hora (meia-noite). Qual é o primeiro horário em que Sabrina voltará a tomar comprimido e xarope ao mesmo tempo?

mmc(6, 4) = 12

• Horários que coincidem os dois remédios: 0, 12, 24 múltiplos comuns de 6 e 4 até 24

• Primeiro horário após zero hora 12, que é o mínimo múltiplo comum de 6 e 4.

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Processo prático para a determinação do mmc

mmc(14, 35)

14, 35 2

7, 35 5

7, 7 7

1, 1 70 2 . 5 . 7

mmc(14, 35) = 70

mmc(8, 10, 14)

8, 10, 14 2

4, 5, 7 2

2, 5, 7 2

1, 5, 7 5

1, 1, 7 7

1, 1, 1 280 2 . 2 . 2 . 5 . 7

mmc(8, 10, 14) = 280