Resumo 01: Matemática Básica, Teoria dos Conjuntos e Noções de Lógica 1

MÚLTIPLOS E DIVISORES

I. Divisão entre Naturais

Numa divisão entre números Naturais, podem-se identificar os seguintes elementos e suas relações:

1) N = D.Q + R.

2) R < D.

3) Divisão Exata R = 0.

4) Maior Resto Possível: D – 1.

II. Sistema Decimal

No Sistema Decimal de Numeração, os números são formados pela composição de dez algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9) que tem seu peso, variando com a posição por estes ocupada.

Exemplo:

No número 632 temos:

632 = 6.(10)² + 3.(10)¹ +2.(10)0

III. Números Primos (em N)

Diz-se que um número natural p é primo se, e somente se, ele é divisível apenas por si mesmo e pela unidade.

• p 0 e p 1.

• D(p) = {1, p} (divisores naturais de p).

𝐏 = {𝟐, 𝟑, 𝟓, 𝟕, 𝟏𝟏, 𝟏𝟑 … }

(Números naturais primos)

ATENÇÃO:

a) 2 é o único número par que é primo.

b) Um número natural, diferente de zero, que possui mais de dois divisores, chama-se de

NÚMERO COMPOSTO.

IV. Número de divisores (em N)

Sendo N um número natural, demonstra-se que o número de divisores de N pode ser obtido da seguinte maneira: a) Fatore o número N.

b) Some 1 a cada expoente das potências dos fatores primos e em seguida multiplique seus resultados.

Exemplo:

150 2 75 3 25 5 5 5

1 21 ∙ 31 ∙ 52

No D (150) = (1 + 1).(1 + 1).(2 + 1) = 12

Do exemplo acima podemos concluir que

150 possui 12 divisores.

V. Mínimo Múltiplo Comum (MMC)

Seja M(n) o conjunto dos múltiplos naturais de um determinado número n, então: M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 48, 54, 60, ...}

M(8) = {0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, ...}

M(6 ) M(8) = {0, 24, 48, ...}

OBSERVE QUE:

• Com EXCEÇÃO DO ZERO (que é múltiplo

comum de quaisquer números), 24 é o menor múltiplo comum de 6 e 8, logo: M.M.C.(6, 8) = 24.

• O Mínimo Múltiplo Comum de dois ou mais números naturais é o menor número natural, diferente de zero, divisível pelos números dados.

Obtenção do MMC a) Método da fatoração simultânea:

Exemplo:

6, 8 2

3, 4 2 3, 2 2 3, 1 3 1, 1 Então: M.M.C.(6, 8) = 23.3 = 24.

VI. Máximo Divisor Comum (MDC)

Seja D(n) o conjunto dos divisores naturais de um determinado número n, então: D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}

D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

D(18) D(24) = {1, 2, 3, 6}

OBSERVE QUE:

• 6 é o maior divisor comum de 18 e 24, logo: M.D.C.(18, 24) = 6.

• O Máximo Divisor Comum de dois ou mais números naturais é o maior número natural que é divisor dos números dados.

Obtenção do MDC a) Método das divisões sucessivas (Algoritmo

de Euclides)

• Divide-se o maior número pelo menor.

• Se o resto da divisão anterior não for nulo, divide-se o menor dos números pelo resto.

• Proceder como no item anterior, até que o resto obtido seja nulo. O último divisor exato será o M.D.C.

Exemplo:

1 3

24 18 6

6 0 M.D.D.(24, 18) = 6

IMPORTANTE:

✓ Dois números Naturais são PRIMOS ENTRE

SI, se M.D.C.(x, y) = 1.

Exemplo:

D(8) = {1, 2, 4, 8}

D(15) = {1, 3, 5, 15}

8 e 15 são números primos entre si. ✓ M.M.C.(A, B) x M.D.C.(A, B) = A x B.

POTÊNCIAS E RAÍZES

I. Propriedades

a) b0 = 1, b 0. b) b1 = b.

c) 𝑏−𝑛 =1

𝑏𝑛, b 0.

d) 𝑏𝑚+𝑛 = 𝑏𝑚 ∙ 𝑏𝑛.

e) 𝑏𝑚−𝑛 =𝑏𝑚

𝑏𝑛, b 0.

f) (𝑎 ∙ 𝑏)𝑚 = 𝑎𝑚 ∙ 𝑏𝑚.

g) (𝑎

𝑏)

𝑚

=𝑎𝑚

𝑏𝑚, b 0.

h) (𝑏𝑚)𝑛 = 𝑏𝑚∙𝑛.

i) ( √𝑏𝑛

)𝑚

= 𝑏𝑚

𝑛 , b 0.

j) √ √𝑏𝑚𝑛

= √𝑏𝑛∙𝑚

.

k) √𝑎𝑛 ∙ √𝑏𝑛

= √𝑎 ∙ 𝑏𝑛

.

l) √𝑎𝑛

√𝑏𝑛 = √

𝑎

𝑏

𝑛.

Nota: As propriedades acima são válidas se forem atendidas as condições de existência de cada uma das expressões.

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PRODUTOS NOTÁVEIS

Existem produtos que comumente encontraremos nas mais diversas expressões algébricas e, por isso, daremos um destaque

especial. Os principais PRODUTOS NOTÁVEIS

são:

Quadrado da soma

(x + y)2 = x2 + 2xy + y2

Quadrado da diferença

(x + y)2 = x2 - 2xy + y

Produto da soma pela diferença

(x + y).(x – y) = x2 – y2

Cubo da soma

(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

Cubo da diferença

(x - y)3 = x3 - 3x2y + 3xy2 - y3

FATORAÇÃO

I. Definição

A FATORAÇÃO é um processo algébrico que

TRANSFORMA uma SOMA de duas ou mais

parcelas, num PRODUTO de dois ou mais

fatores.

II. Casos Típicos

Fator comum

Se um fator é comum a todas as parcelas da expressão, devemos colocá-lo em evidência.

Exemplos:

• 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 = 𝑎. (𝑥 + 𝑦).

• 𝑎3. 𝑏2 − 𝑎4. 𝑏3. 𝑐 = 𝑎3. 𝑏2. (1 − 𝑎. 𝑏. 𝑐).

Agrupamento

Se uma expressão possui uma quantidade par de termos, e não possui um fator comum a todos, devemos agrupá-la, por partes, até transformá-la em um produto.

Exemplo:

• 𝒂𝒙 + 𝒂𝒚 + 𝒃𝒙 + 𝒃𝒚 = (𝒂 + 𝒃). (𝒙 + 𝒚)

III. Simplificação Algébrica

A SIMPLIFICAÇÃO ALGÉBRICA é um processo

que consiste na eliminação de termos comuns, no numerador e no denominador de uma fração, levando-se em consideração a sua condição de existência.

Exemplo:

𝑥2−6𝑥+9

𝑥−3=

(𝑥−3)2

𝑥−3=

(𝑥−3).(𝑥−3)

(𝑥−3)= 𝑥 − 3,

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≠ 3.

RACIONALIZAÇÃO

A racionalização de uma fração consiste na sua transformação, sem alteração do seu valor, de modo que o radical, antes presente no denominador, desapareça.

FATOR RACIONALIZANTE: É a expressão,

com radicais, que multiplicada por outra, resulta numa expressão sem radicais.

Exemplos:

• √3 é fator racionalizante de √3, pois √3 ∙ √3

é igual a 3.

• √225 é fator racionalizante de √235

, pois

√225. √235

= 2.

• (√2 + 1) é fator racionalizante de (√2 − 1),

pois: (√2 + 1). (√2 − 1) = 2 – 1 = 1.

EQUAÇÕES

I. Equação do 1o grau

Denomina-se equação polinomial do 1o grau, na incógnita x, a qualquer expressão redutível à forma:

𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎, 𝒄𝒐𝒎 𝒂, 𝒃 ∈ 𝑹 𝒆 𝒂 ≠ 𝟎 A resolução de uma equação do 1o grau consiste na obtenção do valor de x que verifica a igualdade acima.

II. Equação do 2o grau

Denomina-se equação polinomial do 2o grau, na incógnita x, a qualquer expressão redutível à forma:

𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎, 𝒄𝒐𝒎 𝒂, 𝒃 𝒆 𝒄 ∈ 𝑹 𝒆 𝒂 ≠ 𝟎 O cálculo das soluções, raízes, de uma equação do 2o grau é feito através da fórmula de Bhaskara:

𝒙 =−𝒃 ± √∆

𝟐𝒂, 𝒄𝒐𝒎 ∆= 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄

IMPORTANTE:

a) Em relação ao valor de :

> 0 Duas raízes reais e distintas.

= 0 Duas raízes reais e iguais.

< 0 Duas raízes não reais. b) Para uma equação do 2o grau, de raízes x’

e x”, pode-se demonstrar que:

{𝑥1 + 𝑥2 = −

𝑏

𝑎

𝑥1 ∙ 𝑥2 =𝑐

𝑎

SISTEMAS LINEARES

I. Sistemas Lineares

Um sistema de duas equações do 1o grau, com incógnitas x e y, é um conjunto de equações do tipo:

{𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 = 𝒄𝒅𝒙 + 𝒆𝒚 = 𝒇

Com: 𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒅, 𝒆, 𝒇 ∈ 𝑹. A resolução do sistema acima consiste na obtenção dos valores de x e y que atendam, simultaneamente, as duas equações.

Método da Substituição

Consiste em isolar uma incógnita numa das equações e SUBSTITUÍ-LA, na outra equação.

Exemplo: {𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟓

𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 = 𝟑

Isolando x na 1a equação:

x = 5 – 2y (I)

Substituindo seu valor na 2a equação:

2.(5 – 2y) – 3y = 3

Resolvendo a equação obtida:

10 – 4y – 3y = 3

-7y = -7 y = 1.

Substituindo o valor de y em (I):

x = 5 – 2.(1)

x = 3.

Então:

S = {(3, 1)}

Método da Adição

Consiste na transformação das duas

equações de modo que uma das incógnitas se apresente com coeficientes simétricos.

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Exemplo: {𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟓

𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 = 𝟑

Logo:

{𝟑𝒙 + 𝟔𝒚 = 𝟏𝟓 𝟒𝒙 − 𝟔𝒚 = 𝟔

(+)

7𝑥 = 21 → 𝑥 = 3.

3 + 2y = 5

2y = 2 y = 1 Então: S = {(3, 1)}.

II. Problemas

Dentre as dificuldades observadas na resolução de problemas práticos, utilizando a Matemática, podemos citar: ✓ A inexistência de métodos específicos para

a resolução de problemas. ✓ A dificuldade de equacionamento de

problemas, através de símbolos e operações matemáticas.

Com o objetivo de minimizar tais

dificuldades, recomenda-se a adoção dos seguintes procedimentos:

1) Fazer uma leitura atenta do enunciado,

identificando quais são as incógnitas do problema e representando-as por símbolos (x, y, ...).

2) Escrever as equações de acordo com as

informações do problema.

3) Resolver as equações obtidas, através de

procedimentos matemáticos.

4) Interpretar a solução obtida no referido

problema.

TEORIA DOS CONJUNTOS

I. Conjuntos Numéricos

a) NATURAIS:

𝑵 = {𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, … }

b) INTEIROS:

𝒁 = {… , −𝟐, −𝟏, 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, … }

c) RACIONAIS:

𝑸 = {𝒙|𝒙 =𝒑

𝒒, 𝒄𝒐𝒎 𝒑, 𝒒 ∈ 𝒁 𝒆 𝒒 ≠ 𝟎}

d) IRRACIONAIS:

𝑸′ = {… , √𝟐, √𝟓𝟒

+ 𝟏, 𝟐√𝟑, 𝝅, … }

e) REAIS:

𝑹 = 𝑸 ∪ 𝑸′

II. Operações

a) UNIÃO:

𝑨 ∪ 𝑩 = {𝒙|𝒙 ∈ 𝑨 𝒐𝒖 𝒙 ∈ 𝑩}

b) INTERSEÇÃO:

𝑨 ∩ 𝑩 = {𝒙|𝒙 ∈ 𝑨 𝒆 𝒙 ∈ 𝑩}

c) DIFERENÇA:

𝑨 − 𝑩 = {𝒙|𝒙 ∈ 𝑨 𝒆 𝒙 ∉ 𝑩}

d) COMPLEMENTAÇÃO:

𝑩 ⊂ 𝑨 ⇒ 𝑪𝑨𝑩 = 𝑨 − 𝑩

III. Propriedades

a) Se A B A B = B e A B = A.

b) ∅ A, para todo A.

c) A ∅ = A e A ∅ =∅.

IV. Intervalos numéricos

São subconjuntos contínuos de IR. Exemplos: [a, b] a b

[a, b[ a b

]-, a[ a

[b, +[ b

LÓGICA MATEMÁTICA

I. Simbologia

a) : e.

b) : ou.

c) →: se, ..., então.

d) : se, e somente se.

e) ~p: não p (“~” : negação).

f) : para todo, qualquer que seja.

g) : existe.

II. Operações

a) NEGAÇÃO: modifica o valor lógico da

proposição.

p ~p

V F

F V

b) CONJUNÇÃO: “p e q”.

p q pq

V V V

V F F

F V F

F F F

c) DISJUNÇÃO: “p ou q”.

p q pq

V V V

V F V

F V V

F F F

d) CONDICIONAL SIMPLES: “se p, então q”.

p q p→q

V V V

V F F

F V V

F F V

e) BICONDICIONAL: “p se, e somente se, q”.

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F V

IMPORTANTE:

✓ ~(~p) = p.

✓ ~(p q) = ~p ~q.

✓ ~(p q) = ~p ~q.

✓ ~(p → q) = p ~q.

✓ ~(p q) = ~p q ou p ~q.

✓ TAUTOLOGIA: Proposição sempre “V”.

✓ CONTRADIÇÃO: Proposição sempre “F”.

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