UnB - FT – ENE

Lúcio Martins da Silva 2014-2

Modulação de Amplitude – AM

Modulação é o processo pelo qual uma ou mais características (amplitude, frequência ou fase) de uma

portadora (sinal senoidal de frequência cf hertz) são variadas de acordo com um sinal modulante de banda

básica (sinal de informação ou sinal-mensagem). O resultado do processo de modulação é um sinal passa-faixa,

denominado sinal modulado, que transporta a informação contida no sinal modulante. Do ponto de vista espectral,

a modulação realiza uma translação da informação da banda básica para uma faixa do espectro em torno da

frequência da portadora, cf . O propósito da modulação é adequar o sinal de informação (de banda básica) às

características de um canal passa-faixa ou possibilitar o agrupamento de vários sinais de informação por meio da

multiplexação por divisão da faixa de frequência (FDM – frequency division multiplexing).

Existem vários tipos de modulação, neste experimento estudaremos a técnica de modulação de amplitude que

produz um sinal modulado com banda lateral dupla (double sideband – DSB) e com portadora potente. Essa técnica

é, geralmente, denominada simplesmente modulação de amplitude ou AM (amplitude modulation). Considerando

as seguintes definições:

)2cos()( tfAtc cc π= � Onda portadora senoidal

cA � Amplitude de pico da portadora (volt ou ampère)

cf � Frequência da portadora (hertz)

)(tm � Sinal modulante (de banda básica, tensão)

ak � Ganho do modulador AM (adimensional)

um sinal AM pode ser descrito como uma função do tempo da seguinte forma:

[ ]( ) ( ) cos(2 )c a cs t A k m t f tπ= + (1)

Note que a amplitude de pico da cossenoide é variada, em torno do valor cA , linearmente com o sinal modulante

)(tm . A equação (1) pode ser reescrita como

)2cos()()2cos()( tftmktfAts cacc ππ += (2)

em que fica evidente que o sinal AM possui dois componentes: a portadora e um sinal em que está presente o sinal

modulante (sinal de informação) )(tm . A Figura 1 mostra um exemplo de sinal AM.

Da equação (2) segue que a transformada de Fourier do sinal AM )(ts é dada por

[ ] [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

portadora bandas laterais

c ac c c c

A kS f f f f f M f f M f fδ δ= − + + + − + +

14444244443 1444442444443

(3)

onde )( fM é a transformada de Fourier (ou espectro) de )(tm . A Figura 2 mostra, em forma estilizada, o

espectro )( fS de um sinal AM. Note que o espectro de um sinal AM contém duas bandas laterais à frequência da

portadora, sendo, portanto, um sinal com banda lateral dupla (double sideband – DSB) e com uma portadora não

modulada potente. Essa portadora não modulada não carrega informação e, portanto, se for suprimida não implica

em perda de informação: nesse caso, restaria apenas o segundo componente nas equações (2) e (3) e se teria um

Modulação de amplitude – AM 2

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sinal DSB com portadora suprimida (DSB suppressed carrier – DSB-SC). Além disso, as duas bandas laterais de um

sinal DSB são redundantes: portanto, a eliminação de uma delas não implica em perda de informação e resultaria

um sinal de banda lateral única (single sideband – SSB). Têm-se, assim, três técnicas básicas de modulação: AM,

DSB-SC e SSB. Nesse experimento, realiza-se um estudo prático da primeira.

Figura 1 – Exemplo de um sinal AM.

Figura 2 - Espectro do sinal modulante (de banda básica) M(f) e espectro S(f) do sinal AM correspondente.

maxA

minA

cA

cA−

t

)(ts)()( tmkAta ac +=

maxA

minA

cA

cA−

t

)(ts)()( tmkAta ac +=

t

)(tm

+pm

−− pm

0t

)(tm

+pm

−− pm

0

cA

cA−

t

)(tc

cA

cA−

t

)(tc

f →fc-fc 0 Bm-Bm

M( f )γ

- fc f →fc0

S( f )

2Bm2Bm

Banda lateral inferior

Banda lateral

superior

Banda lateral inferior

Banda lateral

superior

Ac /2 Ac /22γak

f →fc-fc 0 Bm-Bm

M( f )γ

- fc f →fc0

S( f )

2Bm2Bm

Banda lateral inferior

Banda lateral

superior

Banda lateral inferior

Banda lateral

superior

Ac /2 Ac /22γak

- fc f →fc0

S( f )

2Bm2Bm

Banda lateral inferior

Banda lateral

superior

Banda lateral inferior

Banda lateral

superior

Ac /2 Ac /22γak

Modulação de amplitude – AM 3

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Um parâmetro importante de um sinal AM é o seu índice de modulação, que representa a intensidade (ou

profundidade) da modulação realizada. Três índices são usualmente definidos:

Índice de modulação positiva �

max[ ( )]max a pc a

c c c

k mA A k m t

A A Aµ

++

−= = = (4)

Índice de modulação negativa �

min[ ( )]min a pc a

c c c

k mA A k m t

A A Aµ

−−

− −= = = (5)

Índice de modulação �

cA

AA

22

minmax −=

+=

−+ µµµ (6)

onde

)](min[

)](max[

)](min[)](min[

)](max[)](max[

tmm

tmm

mkAtmkAtmkAA

mkAtmkAtmkAA

p

p

pacacac

pacacac

−=

=

−=+=+=

+=+=+=

−

+

−

+

min

max

(7)

A Figura 1 mostra graficamente o que representa maxA e minA . Quando expresso em percentagem, o índice de

modulação passa a ser denominado percentagem (ou profundidade) de modulação, sendo que %100%

×= µµ .

Note que

se +− = pp mm , então, 2

minmax AAAc

+= e

minmax

minmax

AA

AA

+

−=== −+ µµµ (8)

A Figura 3 mostra sinais AM com diferentes profundidades de modulação — o sinal modulante )(tm é, em

todos os casos, um sinal senoidal e, portanto, +− = pp mm e −+ == µµµ .

Para um sinal AM descrito matematicamente como

[ ]( ) ( ) cos(2 )c a cs t A k m t f tπ= + (9)

sua envoltória, )(ta , é dada por

)()( tmkAta ac += (10)

Veja ilustração na Figura 1. Note que

1),()( ≤+= −µsetmkAta ac (11)

ou seja, se [ ]( )min a ck m t A≥ − . Veja Figura 1, Figura 3a e Figura 3b. Nesse caso, o sinal de informação )(tm

pode ser extraído de )(ts por um demodulador não coerente (ou assíncrono) extremamente simples denominado

detector de envoltória — veja a seção “Demodulação de sinais AM” a seguir. Por outro lado,

1),()()( >+≠+= −µsetmkAtmkAta acac (12)

Veja Figura 3c. Nesse caso, o sinal de informação )(tm não pode ser extraído de )(ts por um detector de

envoltória: é preciso usar um demodulador coerente (ou síncrono), que é mais complexo e caro que um detector de

envoltória.

A possibilidade de se usar um detector de envoltória para demodular um sinal AM é uma das principais

vantagens dessa modulação em relação à modulação DSB-SC, que requer um demodulador coerente (ou síncrono).

Outra vantagem é o fato da geração de um sinal AM também ser mais simples que a geração de um sinal DSB-SC

— embora as expressões matemáticas desses sinais sugiram o contrário.

Modulação de amplitude – AM 4

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(a) Sinal AM com µ = 0,5

(b) Sinal AM com µ = 1,0

(c) Sinal AM sobremodulado

com µ = 1,5

Figura 3 – Sinais AM para diferentes índices de modulação e sinal modulante senoidal.

Figura 4 – Sinal AM com µ_ = 1,5 e sinal modulante senoidal, gerado por um tipo de

modulador comumente utilizado em estações de rádio AM.

Quando 1≤−µ , a maior parte da potência do sinal AM está na portadora não modulada existente no sinal

AM — primeiro componente nas equações (2) e (3) —, que não carrega informação. Essa é uma característica ruim

da técnica AM. Na prática, se faz 1≤−µ para que se possa demodular o sinal AM com detector de envoltória e,

geralmente, menos de 25% da potência do sinal AM fica no componente que carrega informação — segundo

cA

cA−

maxA

minA

t

0

a(t)

cA

cA−

maxA

minA

t

a(t)

cA

cA−

maxA

minA

t

0

a(t)

minA−

cA

cA−

maxA

t

0

Modulação de amplitude – AM 5

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componente nas equações (2) e (3). Isso prejudica a qualidade do sinal de informação recuperado pelo receptor em

presença de ruído. Entretanto, esse é o preço para se ter a possibilidade de usar o detector de envoltória como

demodulador.

Todo sinal AM que pode ser representado pelas equações (1) e (3) tem largura espectral igual a 2Bm,

sendo Bm a largura de banda do sinal modulante — veja a Figura 2. Contudo, os moduladores AM utilizados pelas

emissoras de rádio geram, normalmente, sinais AM que não podem ser representados pelas equações (1) e (3),

quando ocorre sobremodulação ( 1>−µ ). Um exemplo desse tipo de sinal é mostrado na Figura 4 — compare esse

sinal com aquele mostrado na Figura 3c. Note que, na Figura 4, o sinal é anulado durante o período de

sobremodulação. Isso faz com que o sinal gerado ocupe uma banda maior que 2Bm. Além disso, a informação

)(tm é distorcida e, por isso, nem mesmo um detector coerente é capaz de recuperá-la sem distorção.

Sinal AM com modulante senoidal

Se )(tm contém um único componente de frequência (ou um único tom), isto é, se

)2cos()( tfAtm mm π= (13)

então o sinal AM correspondente é dado por

[ ]( ) cos(2 ) cos(2 )c a m m cs t A k A f t f tπ π= + (14)

Nesse caso, mAtmtm =−= )]([)]([ minmax e, portanto,

a m

c

k A

Aµ µ µ+ −= = = (15)

Logo, a equação (14) poder reescrita como

[ ]( ) 1 cos(2 ) cos(2 )

cos(2 ) cos[2 ( ) )] cos[2 ( ) )]2 2

cos(2 ) cos[2 ( ) )] cos[2 ( ) )]

c m c

c cc c c m c m

c c bl c m bl c m

s t A f t f t

A AA f t f f t f f t

A f t A f f t A f f t

µ π π

µ µπ π π

π π π

= +

= + − + +

= + − + +

(16)

onde

c

blcbl A

AAA

2

2=⇒= µ

µ (17)

Métodos de medição do índice de modulação

O índice de modulação de um sinal AM pode ser medido de várias formas, duas delas são descritas a seguir.

1. Usando um osciloscópio, os valores de minA e maxA podem ser medidos diretamente na forma de onda do

sinal modulado )(ts . Retirando-se a modulação, pode-se medir o valor de cA . Substituindo os valores

medidos nas equações (4)-(6), pode-se calcular o valor de qualquer dos índices de modulação. Se

+− = pp mm , então pode-se usar a equação (8). Esse método é impreciso para índice de modulação muito

pequeno. Além disso, para um sinal qualquer (um sinal de áudio, por exemplo), esse método funciona somente

se 1≤−µ , pois não é possível medir minA se 1>−µ .

2. Os valores de minA e maxA podem ser medidos usando-se o método do trapézio. Aplica-se a onda modulada

no eixo vertical do osciloscópio e uma amostra da onda modulante no eixo horizontal (o osciloscópio deve estar

mo modo XviaB ou XY). Se a envoltória de )(ts e a onda modulante estiverem em fase, aparecerá na tela do

osciloscópio uma figura cujo contorno tem a forma de um trapézio, como aquela mostrada na Figura 5. Os

Modulação de amplitude – AM 6

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valores de minA e maxA podem ser medidos como indicado naquela figura. Se a amostra de )(tm utilizada na

medição estiver atrasada ou adiantada em relação à envoltória )(ta do sinal AM, a figura observada terá a

forma mostrada na Figura 6(a). Se 1>µ ou se a modulação apresenta distorção (não é linear), a figura

observada terá as formas mostradas na Figura 6(b) e (c), respectivamente. O inconveniente desse método de medição do índice de modulação é que ele requer a disponibilidade de uma amostra do sinal modulante, o que não é possível se ter em uma medição de um sinal AM que está sendo captado de uma transmissão — ou seja, se não se está próximo do modulador (ou transmissor).

Figura 5 - Cálculo do índice de modulação pelo método do trapézio.

Figura 6 - Figuras obtidas com o método do trapézio quando (a) m(t) e a(t) estão defasados, (b) µ > 1, e

(c) a modulação apresenta distorção não linear.

Demodulação de sinais AM

Demodulação (ou desmodulação) é o processo de recuperar o sinal de informação (de banda básica) da

onda modulada, quando esta chega ao extremo receptor do sistema de transmissão. Por razões históricas este

processo é também denominado detecção.

Um sinal AM com percentagem de modulação negativa inferior ou igual a 100% ( 1≤−µ ) tem sua

envoltória, )(ta , dada pela equação (11), aqui repetida por conveniência:

1),()( ≤+= −µsetmkAta ac (18)

Nesse caso, o sinal de informação )(tm pode ser extraído do sinal modulado, )(ts , por um detector não-coerente

(ou assíncrono) extremamente simples denominado detector de envoltória, como ilustra a Figura 7. Esta é, aliás,

uma das principais vantagens da modulação AM.

A forma mais simples de um detector de envoltória é um circuito de carregamento não-linear com tempo de

carga extremamente curto e com descarga lenta. Ele é usualmente construído colocando-se um diodo em série com

um capacitor e um resistor ligados em paralelo, como mostra a Figura 8(b).

maxA

maxA2minA

minA2

(a) (b) (c)

Modulação de amplitude – AM 7

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Figura 7 – Recuperação de )(tm usando um detector de envoltória — a

percentagem de modulação negativa deve ser no máximo de 100%.

Figura 8 - Detector de envoltória.

O detector de envoltória funciona conforme descrição que se segue. O sinal AM de entrada carrega

rapidamente o capacitor C com o valor máximo da sua forma de onda durante o semiciclo positivo da portadora.

Quando o sinal de entrada cai abaixo do seu máximo, o diodo fica polarizado reversamente e deixa de conduzir. Isto

é seguido por uma descarga lenta do capacitor através do resistor R, até o próximo semiciclo positivo da portadora,

quando o sinal de entrada torna-se maior do que a tensão no capacitor e, consequentemente, o diodo conduz

novamente.

Para que o detector funcione satisfatoriamente é preciso que a constante de tempo da descarga, RC, tenha

um valor apropriado. Uma forma simples de obter um valor apropriado para RC é escolhendo um valor que satisfaça

a seguinte desigualdade:

mc B

RCf

11 <<<< (19)

onde cf é a frequência da portadora e mB é a largura de banda do sinal modulante )(tm . Um valor de RC que

satisfaz essa desigualdade irá, geralmente, propiciar um resultado similar àquele ilustrado na Figura 8(c). Contudo,

se RC é muito grande (isto é, RC não é muito menor que mB1 ), a taxa de descarga exponencial do capacitor

poderá ser menor que a taxa de decaimento máxima da envoltória )(ta do sinal AM e, desse modo, o detector de

envoltória poderá perder alguns semiciclos positivos da portadora e assim não reproduzir satisfatoriamente a

envoltória )(ta — veja ilustração mostrada na Figura 8(d). Por outro lado, se a constante de tempo RC é muito

pequena (isto é, RC não é muito maior que cf1 ), o detector de envoltória gerará uma forma de onda muito

ondulada, perdendo parte da sua eficiência — veja ilustração mostrada na Figura 8(e).

O sinal detectado resultante após o detector de envoltória, )(ˆ ta , possui um nível médio (ou componente

CC), que precisa ser removido por meio de um capacitor de bloqueio de CC, bccC — veja Figura 8(b). O sinal

)(~ tm — veja Figura 8(b) — conterá ondulações de frequência fundamental cf — veja Figura 8(c) — que podem

ser eliminadas por um filtro passa-baixos.

+

–

Detectorde

envoltória(ideal)

)(ts

+

–

[ ])(1)( tmkAta ac += )(tmc

+

–

+

–

Detectorde

envoltória(ideal)

)(ts

+

–

[ ])(1)( tmkAta ac += )(tmc

+

–

(c) Constante de tempoRC correta

(d) Constante de tempoRC muito grande

(e) Constante de tempoRC muito pequena

)(ˆ ta)(ˆ ta )(ˆ ta

(c) Constante de tempoRC correta

(d) Constante de tempoRC muito grande

(e) Constante de tempoRC muito pequena

)(ˆ ta)(ˆ ta )(ˆ ta

RC)(ts

+

−

)(ˆ ta

+

−

)(~ tm

+

−

Filtro passa-baixos

)(ˆ tm

+

−

bccCDetector de envoltória)(ts

(a) (b)

RC)(ts

+

−

)(ˆ ta

+

−

)(~ tm

+

−

Filtro passa-baixos

)(ˆ tm

+

−

bccCDetector de envoltória

RC)(ts

+

−

)(ˆ ta

+

−

)(~ tm

+

−

Filtro passa-baixos

)(ˆ tm

+

−

bccC

RC)(ts

+

−

)(ˆ ta

+

−

)(~ tm

+

−

Filtro passa-baixos

)(ˆ tm

+

−

bccCDetector de envoltória)(ts

(a) (b)