MATEMÁTICA PARA CONCURSOS II - Somática · PDF filesejam resolvidos tais...

Curso Matemática Para Concursos II – Módulo II

LEMBRETE: Todos os módulos do curso são revisados pela equipe www.somaticaeducar.com.br , quaisquer divergência com sinais, números, símbolos, soluções dos exercícios, problemas de digitação ou outros problemas, a www.somaticaeducar.com.br deverá ser comunicada imediatamente para que sejam resolvidos tais problemas.

1

MATEMÁTICA PARA CONCURSOS II

Fonte: http://www.migmeg.com.br/

MÓDULO II

Estudaremos neste módulo geometria espacial e volum e dos

principais sólidos geométricos. Mas antes de começa r a aula, segue

uma dica interessante de um link sobre a História d a Geometria

Espacial:

http://calculomatematico.vilabol.uol.com.br/geoespa cial.htm .

UM BOM ESTUDO PARA TODOS NÓS...

___________________________________________________________



2

GEOMETRIA ESPACIAL E VOLUME DOS PRINCIPAIS

SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

PRISMAS: são poliedros convexos que têm duas faces paralelas e

congruentes (chamadas bases) e as demais faces em forma de

paralelogramos (chamadas faces laterais).

Objeto Prisma reto Prisma oblíquo Arestas laterais têm a mesma medida têm a mesma medida

Arestas laterais são perpendiculares ao plano da base

são oblíquas ao plano da base

Faces laterais são retangulares não são retangulares

Prisma reto Aspectos comuns Prisma oblíquo

Bases são regiões poligonais congruentes

A altura é a distância

entre as bases

Arestas laterais são paralelas com as mesmas medidas

Faces laterais são

paralelogramos



3

Quanto à base, os prismas mais comuns estão mostrados na tabela:

triangular quadrada pentagonal hexágonal

Área da Superfície de um Prisma

- Superfície lateral: formada pelas faces laterais

- Área lateral: área da superfície lateral (Sl)

- Superfície Total: é formada pelas bases e pelas faces laterais

- Área total é a área da superfície total (St)

Exemplos: Dado um prisma reto de base hexagonal (hexágono regular),

cuja altura é h = 3 m e cujo raio do círculo que circunscreve a base é R =

2m, calcular a área total desse prisma.



4

Prisma Planificado

- Cálculo da base (Sb)

A base é um hexágono regular que pode ser decomposto em seis

triângulos eqüiláteros, de lado igual ao raio da circunferência.

S triângulo = 2 3 4 3

34 4

a = = m 2

Sb = 6 ⋅ S triângulo = 6 ⋅ 3 m 2



5

- Cálculo da área lateral (Sl)

Num prisma regular, sabemos que as faces laterais são retângulos.

S retângulo= 2 3 m 2

Como temos 6 retângulos, vem:

Sl = 6 ⋅ S retângulo

Sl = 6 ⋅ 2 3

Sl = 12 3 m 2

- Cálculo da área total (St)

St = Sl+2Sb

St = 12 3 + 2 ⋅ 6 3

St = 24 3 m 2

Fazendo 3 ≃ 1,7, temos:

St = 24 ⋅ 1,7 = 40,8m 2

Resposta: A área total do prisma é de 40,8m 2 .



6

Considerações:

Um paliteiro e uma barra de sabão são exemplos de objetos de uso

comum de forma prismática;

- Se todas as faces são quadrados, o prisma é um cubo;

- Se todas as faces são paralelogramos, o prisma é um paralelepípedo.

Em qualquer paralelepípedo as faces são paralelas duas a duas.

Num prisma temos os seguintes elementos:

- bases (polígonos)

- faces (paralelogramos)

- arestas das bases (lados das bases)

- arestas laterais (lados das faces que não pertencem às bases)

- vértices (pontos de encontro das arestas)

- altura (distância entre os planos das bases).



7

Volume de um prisma

Sendo B−

a área da base e h−

a medida da altura de um prisma, o volume

V−

desse prisma é dado por:

Seja você também a diferença,

mas não deixe de sonhar nunca,

mostre para as outras pessoas que você é especial,

e verá no futuro, muitos iguais a você

fazendo um volume de exemplos para o mundo.

Seja a diferença nesta vida!

Fonte: http://paginas.terra.com.br/arte/sonhosepoemas/reflexao/c_reflexao.htm



8

Fonte: http://paginas.terra.com.br/arte/sonhosepoemas/reflexao/cartao215.htm

Exercícios:

1) Um calendário de madeira tem a forma e as dimensões da figura

abaixo. Quantos cm 2 de madeira foram usados para fazer o

calendário? (use: 3 ≃ 1,7)



9

Sb = 2 3

4

a r = 6cm h = 12cm

Sb = 26 3

4

Sb = 9 3 cm 2

S retângulo= b ⋅ h

S retângulo= 6 ⋅ 12

S retângulo= 72cm 2

Como temos 3 retângulos


Sl = 3 ⋅ 72

Sl = 216cm 2

St = Sl + 2Sb

St = 216+2 ⋅ 9 3

St = 216+18 3

St = 216+30,6

St = 246,6cm 2 de madeira.

2) Calcular o volume de um prisma triangular no qual a resta da base

mede 4cm e a altura mede 10 3 cm.

Resolução:

- Cálculo da área da base

A base é um triângulo eqüilátero de lado a = 4cm; logo:



10

B = 2 3

4

a

B = 16 3

4

B = 4 3 cm 2

- Cálculo do volume

V = B ⋅ h

V = ( 4 3 cm 2 ) ⋅ (10 3 cm)

V = 120cm 3

Resposta: O volume do prisma é de 120cm 3 .

3) Um prisma pentagonal regular tem 20cm de altura. A aresta da base

do prisma mede 4cm. Determine a sua área lateral.

Resolução:


S retângulo= 20 ⋅ 4

S retângulo= 80cm 2

Como o prisma é pentagonal (5 lados)


Sl = 5 ⋅ 80

Sl = 400cm 2



11

Resposta: A área lateral do prisma pentagonal é de 400cm 2 .

4) Um fabricante de embalagens de papelão quer construir uma caixa em

forma de prisma hexagonal regular. Sabendo que a altura da caixa é

de 20cm e que o lado do polígono da base mede 16cm. Calcule a área

do papelão necessária para se construir essa embalagem. Admita que

se utilize 25% a mais de material do que o estritamente calculado para

que seja possível fazer colagens necessárias à confecção da caixa

(use: 1,73).

Resolução:

Prisma hexagonal regular

h = 20cm

a = 16cm

- Cálculo da área da base (Sb)

A base é um hexágono regular que pode ser decomposto em 6 triângulos

eqüiláteros cujos lados medem 16cm.

S triângulo = 2 3

4

a

S = 216 3

4

S = 110,72cm 2



12

Logo, Sb = 6 ⋅ S triângulo

Sb = 6 ⋅ 110,72

Sb = 664,32cm 2

- Cálculo da área lateral (Sl)

Num prisma regular, sabemos que as faces laterais são retângulos.


S = 16 ⋅ 20

S = 320cm 2 → é a superfície de um triângulo, como é hexagonal


Sl = 6 ⋅ 320

Sl = 1920cm 2

- Cálculo da área total (St)

St = Sl+2Sb

St = 1920+2 ⋅ 664,32

St = 3248,64cm 2

Devemos usar, conforme o enunciado do problema, 25% a mais de

papelão do que o calculado:

área = St+25% ⋅ St

área = 1St+0,25St

área = 1,25 ⋅ St

área = 1,25 ⋅ 3248,64

área = 4060,8cm 2



13

Resposta: A área do papelão para fabricar uma caixa é igual a

4060,8cm 2 .

Paralelepípedo Retângulo e Cubo

- Paralelepípedo Retângulo

O paralelepípedo retângulo tem as seis faces retangulares e são inúmeros

os objetos que têm sua forma: um tijolo, uma caixa de sapatos, uma caixa

de fósforos, um livro...

Seja o paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c da figura:

Temos quatro arestas de medida a, quatro arestas de medida b e quatro

arestas de medida c; as arestas indicadas pela mesma letra são

paralelas.



14

db = diagonal base

dp = diagonal paralelepípedo

Diagonal = d = 2 2 2a b c+ +

Área Total = St = 2( )ab ac bc+ +

Volume = V = a ⋅ b ⋅ c

Usando:

a = comprimento

b = largura

c = altura

Exercícios

1) Calcular a medida da diagonal de um paralelepípedo retângulo de

dimensões 5cm, 4cm e 3cm.

Resolução:

d = 2 2 2a b c+ +

d = 2 2 25 4 3+ +

d = 25 16 9+ +

d = 50

d = 5 2 cm



15

Resposta: A medida da diagonal é 5 2 cm.

2) Deseja-se cimentar um quintal retangular com 10m de largura e 14m

de comprimento. O revestimento será feito com uma mistura de areia e

cimento de 3cm de espessura. Qual é o volume da mistura utilizado

nesse revestimento?

Resolução:

V = a ⋅ b ⋅ c

V = 14 ⋅ 10 ⋅ 0,03

V = 4,20m 3

Resposta: O volume da mistura é de 4,20m 3 .

- Cubo

O cubo tem as seis faces quadrados e um objeto típico é o dado.



16

dc = diagonal cubo

db = diagonal base

Diagonal = d = a 3

Área total = St = 6 ⋅ a 2

Volume = V = a 3

Exercícios

1) Calcular a medida da diagonal de um cubo de aresta 5cm:

d = a 3

d = 5 3 cm

2) Qual é o volume de um cubo de 5cm de aresta?

V = a 3

V = 5 3

V = 125cm 3

3) Num cubo de aresta 10cm, qual é a área total?

St = 6 ⋅ a 2

St = 6 ⋅ 10 2

St = 600cm 2



17

Cilindro

Cilindro reto ou de revolução é o sólido obtido quando giramos, em

torno de uma reta, uma região retangular.

Um exemplo típico é o brinquedo chamado reco-reco.

Área da base (Sb) → é a área do círculo de raio r−

Sb = π ⋅ 2r

Área lateral (Sl) → Sl = 2π rh

Área total (St) → St = 2π ( )r h r+

Volume (V) → o volume do cilindro é igual a área da base multiplicado

pela altura.

V = Sb ⋅ h ou V = π 2r h



18

Exercícios

1) Calcular a área lateral e a área total de um cilindro circular reto, cujo

raio da base mede 6cm e a altura mede 5cm.

Solução:

Sl = ? Sb = π 2r Sl = 2π r h St = Sl+2Sb

St = ? Sb = π ⋅ 6 2 Sl = 2π 6 ⋅ 5 St = 132π cm 2

r = 6cm Sb = 36π cm 2 Sl = 60π cm 2

h = 5cm

2) Calcular o volume de um cilindro reto de raio 5cm e altura 9cm.

Solução:

r = 5cm V = π 2r h

h = 9cm V = π ⋅ 5 2 ⋅ 9

V = 225π cm 3

3) Uma lata de cerveja tem a forma cilíndrica, com 8cm de diâmetro e

15cm de altura. Quantos cm 3 de cerveja cabem nessa lata?

Solução:

d = 8cm

h = 15cm



19

V = ?

d = 2 r

2 r = d

r = 2

d

r = 8

2

r = 4cm

V = π 2r h

V = π ⋅ 4 2 ⋅ 15

V = 240π cm 3

π ≃ 3,14

240 ⋅ 3,14 = 753,6cm 3

Cabem 753,6cm 3 de cerveja nesta lata ou 753,6 ml ou 0,7536 litros.

Cone

g = 2R g = geratriz

Sb = π R 2



20

Sl = π Rg

∝ = 0360

8

R

∝ = ângulo do setor

St = Sl+Sb ou St = π R(g+R)

V = 3

Sb h⋅

2 2 2g h r= +

Piadas Curtas!

Se você está se sentindo sozinho, abandonado, achando que ninguém liga

para você... “Atrase um pagamento..."

“Um eletricista vai até a UTI de um hospital, olha para os pacientes ligados a

diversos tipos de aparelhos e diz-lhes: Respirem fundo: vou trocar o fusível.”

“Dois amigos conversam sobre as maravilhas do Oriente. Um deles diz:

Quando completei 25 anos de casado, levei minha mulher ao Japão. Não diga?

E o que pensa fazer quando completarem 50? Volto lá para buscá-la.”

Fonte: http://www.piadasengracadas.com.pt



21

Exercícios

1) O raio da base de um cone eqüilátero mede 5cm. Calcule a medida g

da geratriz e a medida h da altura.

r = 5cm 2 2 2g h r= +

g = ? 10 2 = 2h +5 2

h = ? 2h +25 = 100

2h =100-25

g = 2r 2h = 75

g = 2 ⋅ 5 h = 75

g = 10cm h = 5 3 cm

2) O tanque cônico indicado na figura tem 8m de profundidade e seu topo

circular tem 6m de diâmetro. Calcular o volume máximo que esse

tanque pode conter água:

r = 2

d

6

2r =

r = 3m



22

V = 2

3

r hπ

V = 23 8

3

π ⋅ ⋅

V = 9 8

3

π ⋅ ⋅

V = 72

3

π

V = 24π m 3 ou 24 ⋅ 3,14 = 75,36m 3 ou 75360 litros.

Esfera

S = 4π R 2



23

V = 4

3π R 3

2 2 2R r d= +

Exercícios

1) O volume de uma esfera é 6

πcm 3 , então seu diâmetro é:

Solução:

V = 34

3

Rπ

6

π =

34

3

Rπ

3π = 24 3Rπ

24 3Rπ = 3π

3R = 3

24

ππ

3R = 1

8

133 3=R 8

31

8R =

1

2R =

d = 2R



24

d = 2 ⋅ 1

2

d = 1

Resposta: O diâmetro é de 1cm.

2) Calcular a área de uma superfície esférica de raio 6cm.

Solução:

r = 6cm

S = ?

S = 4π 2r

S = 4π ⋅ 6 2

S = 36 ⋅ 4π

S = 144π cm 2 é a área da superfície esférica.

Pirâmide



25

Classificação

Uma pirâmide é reta quando a projeção ortogonal do vértice coincide com

o centro do polígono da base.

Toda pirâmide reta, cujo polígono da base é regular, recebe o nome de

pirâmide regular. Ela pode ser triangular, quadrangular, pentagonal etc.,

conforme sua base seja, respectivamente, um triângulo, um quadrilátero,

um pentágono etc.

Veja:



26

Exercícios

1) Em uma pirâmide quadrangular regular, a aresta da base mede 8cm.

Sabendo-se que a altura da pirâmide é de 3cm, calcular a área lateral

e a área total dessa pirâmide:

Solução:

a = 8cm

h = 3cm

Como a base é um quadrado (pirâmide quadrangular regular), temos:

m = 2

a

m = 8

2

m = 4cm m = apótema da base

Cálculo do apótema da pirâmide (g)

Como o ∆ VOM é retângulo, aplicando Pitágoras, temos:

2 2 2g h m= +

2g = 3 2 +4 2

2g = 9+16

g = 5cm



27

Cálculo da área lateral (Sl)

S face= 2

a g⋅

S face= 8 5

2

⋅

S face= 40

2

S face= 20cm 2

Sl = 4 ⋅ S face

Sl = 4 ⋅ 20

Sl = 80cm 2

Sb = a 2

Sb = 8 2

Sb = 64cm 2

Cálculo da área total (St)

St = Sb+Sl

St = 64+80

St = 144cm 2

Área lateral = 80cm 2

Área total = 144cm 2



28

2) A base de uma pirâmide é um quadrado de aresta 3cm. Sabendo que

a altura da pirâmide mede 10cm, calcular o volume dessa pirâmide

Solução:

a = 3cm Sb = a 2

h = 10cm Sb = 3 2

V = ? Sb = 9cm 2

V = 1

3Sb ⋅ h

V = 1

3⋅ 9 ⋅ 10

V = 90

3

V = 30cm 3

O volume da pirâmide é de 30cm 3 .

MATEMÁTICA PARA CONCURSOS II - Somática · PDF filesejam resolvidos tais...

Documents

Transcript of MATEMÁTICA PARA CONCURSOS II - Somática · PDF filesejam resolvidos tais...