matematica_-_etapa_5

8/3/2019 matematica_-_etapa_5

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Rodovia BR 470, km 71, n 1.040, Bairro BeneditoCaixa postal n 191 - CEP: 89.130-000. lndaial-SC

Fone: (0xx47) 3281-9000/3281-9090Home-page: www.uniasselvi.com.br

Curso de Nivelamento de MatemticaCentro Universitrio Leonardo da Vinci

OrganizaoCristiane Bonatti

Reitor da UNIASSELVIProf. Malcon Anderson Tafner

Pr-Reitor de Ensino de Graduao a DistnciaProf. Janes Fidlis Tomelin

Pr-Reitor Operacional de Ensino de Graduao a DistnciaProf. Hermnio Kloch

Diagramao e CapaDavi Schaefer Pasold

Reviso:

Digenes SchweigertJos RodriguesMarina Luciani Garcia

Todos os direitos reservados Editora Grupo UNIASSELVI - Uma empresa do Grupo UNIASSELVI

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Copyright Editora GRUPO UNIASSELVI 2011.

Proibida a reproduo total ou parcial da obra de acordo com a Lei 9.610/98.


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RAZES E PROPORES

Razo de dois nmeros o quociente simplificado do

primeiro pelo segundo, sendo o segundo diferente de zero.

Quando falamosde quociente, estamos falando da diviso de doisnmeros, e o quociente o resultado dessa diviso;assim, o segundo precisa ser diferente de zero, poisno existe diviso por zero.

Proporo a igualdade de duas razes.

Exemplo:

H quatro nmeros em uma sequncia: 1, 4, 3, 12.Nessa ordem, formam uma proporo. Assim:

, l-se: 1 est para 4, assim como 3 est para 12.

A razo do primeiro est para o segundo e a razo doterceiro est para o quarto.


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Ento, os nmeros 1, 4, 3 e 12 formam uma proporo,assim:

Ento:Em toda proporo, o produto dos meios igual ao

produto dos extremos, ou vice-versa.

Produto dos meios

Produto dos extremos

REGRA DE TRS

GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

A regra de trs simples utilizada para resolver situaesque envolvam grandezas diretamente proporcionais, issoquer dizer que, ao aumentar uma delas, a outra aumenta

na mesma proporo.


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O que caracteriza duas grandezas diretamenteproporcionais a razo entre dois valores, uma delas igual

razo entre os valores correspondentes da outra.

Vamos pensar na situao do consumo de energiaeltrica de alguns aparelhos domsticos. Partindo do fato deque, quanto mais voc usar, mais energia ir pagar, assim:

Exemplo:

TABELA 1 CONSUMO DE ENERGIA POR APARELHOS DOMSTICOS

Aparelho Tempo de uso por dia Consumo (KWh)Geladeira 8h 210

Computador 12h 50,4TV 7h 18,9

Chuveiro 1h 46,6FONTE: O autor

De acordo com a tabela 01, podemos observar que, quantomaior o tempo de uso dos eletrodomsticos, maior ser o consumode energia de cada um. Isso quer dizer que tempo e consumo sograndezas diretamente proporcionais.

Se o uso da TV fosse de 15 horas por dia, qual seria oconsumo? Veja que a energia indicada por (x).

Tempo de uso Consumo (KWh)7h 18,9

15h x


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Isso quer dizer que a proporo de ; para

obtermos o valor do (x), basta multiplicar numerador daprimeira frao pelo denominador da segunda frao, e vice-versa, veja:

Ou seja, a TV vai consumir 40,5 (KWh) se ficar ligada15 horas.

GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Em duas grandezas inversamente proporcionais, arazo entre dois valores de uma delas igual ao inverso da

razo entre os dois valores.

Duas grandezas so inversamente proporcionais quandoao aumentar ou diminuir o valor de uma delas certo

nmero de vezes, o valor da outra diminui ou aumentana mesma proporo.


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Exemplo:

Para colher 500 caixas de mas foram necessrias 15pessoas trabalhando durante 7 dias. Quantas pessoas seriamnecessrias para colher as mesmas 500 caixas em 5 dias?

Analisando essas informaes, podemos perceber que,

quanto menos dias, mais pessoas sero necessrias. Sendoassim, podemos dizer que as grandezas, quantidades depessoas e dias so inversamente proporcionais.

A resoluo segue o mesmo procedimento: nesse caso,

o (x) ser o nmero de pessoas necessrias.

pessoas dias

As grandezas so inversamente proporcionais, poisquanto mais pessoas, menos dias trabalhados.

Temos:

, observe que, conforme as flechas indicaram,

so inversamente proporcionais.5.x = 15. 75x = 105x = 21


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Resposta: Sero necessrias 21 pessoas.

Ou seja, se quisermos colher em menos dias,precisaremos mais pessoas.

PORCENTAGEM

Porcentagem qualquer razob

a, na qual o b igual

a 100. A porcentagem indicada pelo smbolo %, que

indica uma diviso por 100.

Exemplo:

Toda porcentagem pode ser escrita na forma de fraoe na forma decimal.

27% = = 0,27

8,5 % = = 0,085

150% = = 1,5


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No entanto, quando queremos saber a porcentagemde um desconto ou a quantidade que a porcentagem indica,

resolvemos pela regra de trs simples.

Exemplo:

(a)

Superoferta de refrigeradores de R$ 3.045,00, comdesconto de 42%. Qual ser o desconto?Lembre: nesse caso o (x) o valor do desconto.

Porcentagem % Valor

100 3.04542 X

O desconto ser de R$ 1.278,90.

(b)Na compra de uma geladeira que custa R$ 1.296,00

o desconto ser de R$ 150,00. Esse desconto equivale aquantos por cento?

O (x) agora a nossa porcentagem do desconto.


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ou seja, o desconto foi de aproximadamente 11,6 %.

- Voc j percebeu que, quando tratamos do valortotal, ele representado por 100% =

100

100 = 1.

Assim podemos evidenciar vrias situaes onde a

aplicabilidade da porcentagem utilizada.

A mesma situao serve para quando tratamos dadosnuma tabela e queremos saber a porcentagem de cada item.Usamos a regra de trs.

De acordo com a tabela 2, uma fbrica de conservasvendeu em seis meses 15 mil vidros de pepinos. Observe osdados:


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TABELA 2 QUANTIDADE CONSERVAS DE PEPINO

Meses(2010)

VidrosVendidos

%ms

Agosto 1.892Setembro 3.612Outubro 4.327

Novembro 1.918Dezembro 3.251

=15000

FONTE: O Autor

Para sabermos qual foi a porcentagem de cada ms,resolvemos atravs da regra de trs.

Agosto Setembro Outubro

100

x

15000

4327=

15000.x = 1892.100 15000.x = 3612.100 15000.x=4327.10015000x = 189200 15000x = 361200 15000x = 432700

x =15000

325100x =

15000

361200x =

15000

432700

x 12,61 x 24,08 x 28,85

1892

100

x

15000=

3612

100

x

15000=

12


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Novembro Dezembro

100

x

15000

1918=

100

x

15000

3251=

15000.x = 1918.100 15000.x =3251.100

15000x = 191800 15000x = 325100

x =15000

191800x =

15000

325100

x 12,79 x 21,67

TABELA 2 QUANTIDADE CONSERVAS DE PEPINO

Meses

(2010)

Quantidade de vidros

vendidos

%

msAgosto 1.892 12,61

Setembro 3.612 24,08Outubro 4.327 28,85

Novembro 1.918 12,79Dezembro 3.251 21,67

=15000 = 100

FONTE: O Autor

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(c)

O preo da gasolina vai aumentar 7%. Calcule dequantos reais ser esse aumento, sabendo-se que atualmentea gasolina custa R$ 3,12.

Observe que o que queremos saber, nesse caso, ovalor do aumento: ele ser nosso (x).

3,12

x

100

7=

100.x = 21,84

x =

x = 0,2184

Ou seja, a gasolina ter um aumento de aproximadamente

R$ 0,22

Toda vez que calcularmos porcentagem em uma tabela,

temos que tomar cuidado com os arredondamentos,pois o somatrio da porcentagem sempre ter queser 100%. Observe que, quando resolvemos a regrade trs, sempre temos que observar os dados que atabela ou a situao-problema nos traz.

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REGRA DE TRS

Grandezas diretamente proporcionais: ao aumentar umadelas, a outra aumenta na mesma proporo. Mais consumode energia, maior a fatura de energia.

Grandezas inversamente proporcionais: ao aumentaruma, a outra diminui na mesma proporo. Numa colheitamais pessoas trabalhando, menos dias de colheita.

PORCENTAGEM

Porcentagem qualquer razob

a, na qual o b igual

a 100. A porcentagem indicada pelo smbolo %, que indica

uma diviso por 100.

R ESUMO DO TPICO

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1. Num treino de handebol, Sandro fez 500 arremessos eacertou 415. Rafael fez 400 arremessos e errou 89.

a) Calcule a porcentagem de acertos de cada um.b) Quem teve a maior porcentagem de acertos?

Assinale a alternativa correta:a) 83% e 22,25%, Sandro maior pontuao.b) 83% e 77,75%, Sandro maior pontuao.c) 8,3% e 7,77%, Rafael maior pontuao.

d) 8,3% e 22,25%, Rafael maior pontuao.

2. A classe de Luiz tem 30 alunos: 4 com 8 anos, 14 com 9anos e 12 com 10 anos. Calcule a porcentagem dos alunosque tm 10 anos.

Assinale a alternativa correta:a) 50 % dos alunos.b) 40% dos alunos.c) 12% dos alunos.

d) 36% dos alunos.

3. No incio de uma corrida, havia 312 atletas. Depois de15 minutos, um tero dos atletas deixou a corrida. Dos quesobraram, metade desistiu. Dos que restaram, apenas 15%

conseguiram chegar at o final. Assim, concluram a prova:

AUTOATIVIDADE

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a) Aproximadamente 16 atletas.b) Aproximadamente 80 atletas.

c) Aproximadamente 45 atletas.d) Aproximadamente 8 atletas.

4. Em uma classe de 26 alunos, faltaram 6. Qual a porcentagemdos alunos presentes?

a) Aproximadamente 77%b) Aproximadamente 23%c) Aproximadamente 6%d) Aproximadamente 20%

5. Durante uma competio, um tenista disputou 47 jogos e venceu 29 deles. Qual foi seu aproveitamento emporcentagem?a) Aproximadamente 62%b) Aproximadamente 38%

c) Aproximadamente 29%d) Aproximadamente 47%

6. Uma empresa teve um faturamento de R$ 145.000,00durante o ltimo semestre de 2010, sendo que o gerente

gostaria de ter uma tabela com suas respectivas porcentagens/ms. De acordo com a tabela, verifique a porcentagem/msdessa empresa.

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Meses (2010) Vendas/Ms%

ms

Agosto 25.012,00Setembro 30.545,26Outubro 43.270,02

Novembro 19.188,22Dezembro 26.984,50

Observao, as porcentagens esto em ordem deagosto a dezembro.

Assinale a alternativa correta:

a) 17%, 21%, 30%, 13%, 19%b) 13%, 20%, 32%, 19%, 16%c) 32%, 18%, 20%, 13%, 17%d) 15%, 25%, 10%, 30%, 20%

7. De acordo com a tabela a seguir, foram vendidos 36.548automveis durante um feiro. A tabela nos mostra emporcentagem a venda desses veculos. Calcule quantosveculos de cada marca foram vendidos.

Frota de Veculos Vendas Feiro % Vendas

Volkswagen 33Fiat 21Ford 27

Chevrolet 17Outras 2

= =

==

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Os valores esto na ordem de VW a Outras.

Assinale a alternativa correta:a) Aproximadamente 12.061, 7.675, 9.868, 6.213, 731 carros.b) Aproximadamente 3.300, 2.100, 2.700, 1.700, 200 carros.c) Aproximadamente 33.061, 21.675, 9.868, 16.213, 2.731carros.

d) Aproximadamente 13.530, 11.536, 9.857, 827, 798, carros.

8. Para a pintura de um muro, so necessrios, para pintarem 10 dias, 30 pintores. Para fazer o mesmo servio em 6dias, quantos pintores sero necessrios?

a) Sero necessrios 50 pintores.b) Sero necessrios 18 pintores.c) Sero necessrios 36 pintores.d) Sero necessrios 40 pintores.

9. Uma casa construda em 90 dias, por uma equipe de13 pedreiros. Em quanto tempo ficaria pronta a mesma casacom uma equipe de 26 pedreiros?a) Em 45 dias.

b) Em 60 dias.c) Em 108 dias.d) Em 180 dias.

10. Em um campeonato de reciclagem, a turma de Maristela

trouxe 615 kg de papel e a turma de Clara trouxe 13% a mais.Quantos quilos a turma de Clara trouxe?

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Assinale a alternativa correta:

a) Aproximadamente 695 kg.b) Aproximadamente 800 kg.c) Aproximadamente 628 kg.d) Aproximadamente 211 kg.

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1. Num treino de handebol, Sandro fez 500 arremessos e acertou 415. Rafael fez400 arremessos e errou 89.

a) Calcule a porcentagem de acertos de cada um.b) Quem teve a maior porcentagem de acertos?

Sandro (acerto)

500 = 100415 = xAssim:500x =41500x = 41500/500x = 83%

Rafael (erro)400 = 10089 = xAssim:400x =8900x = 8900/400x = 22,25%

Como queremos saber a quantidade de acertos 100 - 22,25 = 77,75% acertos deRafael.Assim Sandro teve 83 % e Rafael 77,75% de acertos.

Assinale a alternativa correta:a) 83% e 22,25%, Sandro maior pontuao.b) 83% e 77,75%, Sandro maior pontuao.

c) 8,3% e 7,77%, Rafael maior pontuao.d) 8,3% e 22,25%, Rafael maior pontuao.

2. A classe de Luiz tem 30 alunos: 4 com 8 anos, 14 com 9 anos e 12 com 10 anos.Calcule a porcentagem dos alunos que tm 10 anos.

30 = 100

12 = xAssim:30x =1200

GABARITO

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x = 1200/30x = 40%

Assinale a alternativa correta:a) 50% dos alunos.b) 40% dos alunos.c) 12% dos alunos.d) 36% dos alunos.

3. No incio de uma corrida, havia 312 atletas. Depois de 15 minutos, um tero dos

atletas deixou a corrida. Dos que sobraram, metade desistiu. Dos que restaram,aproximadamente 15% conseguiram chegar at o final. Assim, concluram a prova:

Desenvolvimento

104x

x3

312

x3

1312.

=

=

=

Primeiramente precisamos saber quantos sobraram depois dos 15 minutos, ouseja 104 atletas.

Desses 104 metade desistiu ento:

E por fim desses 52 atletas somente 15,5% concluram a prova, ento 52 . 0,15 =

7,80 dos atletas.

a) Aproximadamente 16 atletas.b) Aproximadamente 80 atletas.c) Aproximadamente 45 atletas.d) Aproximadamente 8 atletas.

4. Em uma classe de 26 alunos, faltaram 6. Qual a porcentagem dos alunospresentes?

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26 = 1006 = xAssim,

26x = 600x = 600 / 26x = 23,08% estes so os que faltaram, assim, os que compareceram100 23,08 = 76,92 ou seja aproximadamente 77 %

a) Aproximadamente 77%b) Aproximadamente 23%

c) Aproximadamente 6%d) Aproximadamente 20%

5. Durante uma competio, um tenista disputou 47 jogos e venceu 29 deles. Qualfoi seu aproveitamento em porcentagem?

47 = 100

29 = xAssim,47x = 2900x = 2900 / 47x = 61,70%

a) Aproximadamente 62%

b) Aproximadamente 38%c) Aproximadamente 29%d) Aproximadamente 47%

6. Uma empresa teve um faturamento de R$ 145.000,00 durante o ltimo semestrede 2010, sendo que o gerente gostaria de ter uma tabela com suas respectivasporcentagens ms. Verifique na tabela a porcentagem ms dessa empresa:

Meses (2010) Vendas/Ms%

msAgosto 25.012,00

Setembro 30.545,26

Outubro 43.270,02Novembro 19.188,22

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Dezembro 26.984,50

= =

DesenvolvimentoPrimeiro saber o faturamento semestral que o somatrio dos ltimos 6

meses assim, 145.000,00Para calcularmos o percentual de cada ms utilizamos a regra de trs:Assim,Ms Agosto145.000,00 = 10025.012,00 = x145.000,00x = 2.501.200,00x = 2.501.200,00 /145.000,00

x = 17,25 %Ms Setembro145.000,00 = 10030.545,26 = x145.000,00x = 3.054.526,00x = 3.054.526,00 /145.000,00

x = 21,07 %Ms Outubro145.000,00 = 10043.270,02 = x145.000,00x = 4.327.002,00x = 4.327.002,00 /145.000,00

x = 29,84 %Ms Novembro145.000,00 = 10019.188,22 = x145.000,00x =1.918.822,00x = 1.918.822,00 /145.000,00

x = 13,23 %

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Ms Dezembro145.000,00 = 10026.984,50 = x

145.000,00x =2.698.450,00x = 2.698.450,00 /145.000,00x = 18,61 %

Lembre-se que quando vamos montar uma tabela o total da porcentagemdeve ser 100 % por isso tome cuidado com os arredondamentos.

Ento as porcentagens ms:Agosto 17,25 %Setembro 21,07 %Outubro 29,84 %Novembro 13,23 %Dezembro 18,61%

Assim o total de 17,25 + 21,07 + 29,84 + 13,23 + 18,61 = 100

Meses (2010) Vendas Ms %ms

Agosto 25.012,00 17,25Setembro 30.545,26 21,07

Outubro 43.270,02 29,84Novembro 19.188,22 13,23Dezembro 26.984,50 18,61

= 145.000,00 = 100

Observao, as porcentagens esto em ordem de agosto a dezembro.Assinale a alternativa correta:

a) 17%, 21%, 30%, 13%, 19%b) 13%, 20%, 32%, 19%, 16%

c) 32%, 18%, 20%, 13%, 17%d) 15%, 25%, 10%, 30%, 20%

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7. De acordo com a tabela a seguir, foram vendidos 36.548 automveis duranteum feiro. A tabela nos mostra em porcentagem a venda desses veculos. Calculequantos veculos de cada marca foram vendidos.

Frota de Veculos Vendas Feiro % VendasVolkswagen 33

Fiat 21Ford 27

Chevrolet 17

Outras 2

= =

Volkswagen

36548 = 100x = 33100x = 1.206.084x = 1.206.084/ 100x = 12.060,84

Fiat

36548 = 100x = 21100x = 767.508x = 767.508/ 100x = 7.675,08

Chevrolet

36548 = 100x = 27100x = 986.796x = 986.796/ 100x = 9.867,96

Ford

36548 = 100x = 17100x = 621.316

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x = 621.316/ 100x = 6.213,16

Outros36548 = 100x = 2100x = 73.096x = 73.096/ 100x = 730,96

A soma dos valores de v ser 365548Assim, 12.060,84 + 7.675,08 + 9.867,96 + 6.213,16 + 730,96 = 36.548Lembrando que como estamos exemplificando veculos temos que arredondar osvalores, para preenchermos a tabela:Ento:AproximadamenteVW = 12.061

Fiat = 7.675Chevrolet = 9.868Ford = 6.213Outros = 731

Frota de Veculos Vendas Feiro % Vendas

Volkswagen 12.061 33

Fiat 7.675 21

Ford 9.868 27

Chevrolet 6.213 17

Outras 731 2

= 36.548 = 100

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Os valores esto na ordem de VW a Outras.Assinale a alternativa correta:a) Aproximadamente 12.061, 7.675, 9.868, 6.213, 731 carros.

b) Aproximadamente 3.300, 2.100, 2.700, 1.700, 200 carros.c) Aproximadamente 33.061, 21.675, 9.868, 16.213, 2.731 carros.d) Aproximadamente 13.530, 11.536, 9.857, 827, 798, carros.

8. Para a pintura de um muro, so necessrios 30 pintores para pint-lo em 10dias. Para fazer o mesmo servio em 6 dias, quantos pintores sero necessrios?

Para esse desenvolvimento vamos utilizar a regra de trs inversa30 = 10x = 6Assim:30 = 6x = 106x = 10 . 30

6x = 300x = 300/6x = 50 Assim com menos dias sero necessrios mais pintores.

a) Sero necessrios 50 pintores.b) Sero necessrios 18 pintores.c) Sero necessrios 36 pintores.

d) Sero necessrios 40 pintores.9. Uma casa construda em 90 dias, por uma equipe de 13 pedreiros. Em quantotempo ficaria pronta a mesma casa com uma equipe de 26 pedreiros?

Para esse desenvolvimento vamos utilizar a regra de trs inversa.90 = 13

x = 26Assim:90 = 26x = 1326x = 13 . 9026x = 1170x = 1170/26

x = 45 Assim com mais pedreiros menos dias sero necessrios.

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a) Em 45 dias.b) Em 60 dias.c) Em 108 dias.

d) Em 180 dias.10. Em um campeonato de reciclagem, a turma de Maristela trouxe 615 kg depapel e a turma de Clara trouxe 13% a mais. Quantos quilos a turma de Claratrouxe?

615 . 0,13 = 79,95

Como 13 % representam 79,95 kg somando a quantidade de Maristela temos 615+ 79,95 = 694,95 kg

Assinale a alternativa correta:a) Aproximadamente 695 kg.b) Aproximadamente 800 kg.c) Aproximadamente 628 kg.

d) Aproximadamente 211 kg.

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