Matematica Comercial e Financeira

Notas de aulas de Matematica para ocurso de Administracao de Empresas

Prof. Ulysses Sodreulysses@uel.br

Departamento de Matematica - UEL

Londrina-PR, 4 de Abril de 2008

ii

Ulysses Sodre 2008 ulysses@uel.br

Notas de aulas de Matematica Financeira, contendo diversos materiais utilizados em minhasaulas na Universidade Estadual de Londrina e tambem fora dela. Desejo que tais notas sejamapenas um roteiro para as aulas e nao espero que as mesmas venham a substituir qualquer livrode Matematica Comercial e Financeira. A ordem do material e aquela normalmente tratadaem livros sobre o tema. Alguns conceitos foram extrados de alguns livros, mas muitos delesforam fortemente modificados. Em lngua portuguesa, existem poucos materiais de domniopublico, mas em lngua inglesa ha diversos materiais que estao disponveis na Internet. Suge-rimos que o leitor realize pesquisas para obter materiais gratuitos para os seus estudos.

Versao compilada no dia 4 de Abril de 2008.

Pagina Matematica Essencial

Enderecos da Pagina:

250 links - atualizada: http://mat.uel.br/matessencial/

168 links - desatualizada: http://www.sercomtel.com.br/matematica/

PORQUE DEUS AMOU O MUNDO DE TAL MANEIRA QUE DEU O SEUFILHO UNIGENITO, PARA QUE TODO AQUELE QUE NELE CRE NAOPERECA, MAS TENHA A VIDA ETERNA. PORQUE DEUS ENVIOUO SEU FILHO AO MUNDO, NAO PARA QUE JULGASSE O MUNDO,MAS PARA QUE O MUNDO FOSSE SALVO POR ELE. QUEM CRENELE NAO E JULGADO; MAS QUEM NAO CRE, JA ESTA JULGADO;PORQUANTO NAO CRE NO NOME DO UNIGENITO FILHO DE DEUS.E O JULGAMENTO E ESTE: A LUZ VEIO AO MUNDO, E OS HOMENSAMARAM ANTES AS TREVAS QUE A LUZ, PORQUE AS SUAS OBRASERAM MAS. PORQUE TODO AQUELE QUE FAZ O MAL ABORRECEA LUZ, E NAO VEM PARA A LUZ, PARA QUE AS SUAS OBRAS NAOSEJAM REPROVADAS. MAS QUEM PRATICA A VERDADE VEM PARAA LUZ, A FIM DE QUE SEJA MANIFESTO QUE AS SUAS OBRAS SAOFEITAS EM DEUS. A B IBLIA SAGRADA, JOAO 3:16-21

CONTEUDO iii

Conteudo

1 Elementos basicos em Matematica Financeira 1

1.1 Capital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Juros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3 Notacoes comuns que serao utilizadas neste material . . . . . . . . . . . . . 1

1.4 Compatibilidade dos dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Juros simples 2

2.1 Juros simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2 Montante simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3 Fluxo de caixa 4

3.1 Exemplos importantes de Fluxos de Caixa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4 Juros compostos 10

4.1 Montante composto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.2 Calculando logaritmos no navegador para a Internet . . . . . . . . . . . . . . 12

4.3 Fator de Acumulacao de Capital (Fator de P para S) . . . . . . . . . . . . . . 12

4.4 Calculo do FAC com uma calculadora comum . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.5 Fator de Valor Atual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.6 Calculo do FVA com uma calculadora comum . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.7 Calculo de juros Compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5 Taxas 14

5.1 Taxa Nominal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.2 Taxa Efetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.3 Taxa Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.4 Conexao entre as taxas real, efetiva e da inflacao . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.5 Taxas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5.6 Calculos de taxas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

6 Descontos 19

6.1 Tipos de descontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

6.2 Desconto Simples Comercial (por fora) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

6.3 Desconto Simples Racional (por dentro) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

CONTEUDO iv

6.4 Desconto Comercial composto (por fora) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

6.5 Desconto Racional composto (por dentro) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

7 Financiamento pelo Sistema Price 22

8 Sistemas de amortizacao 25

8.1 Sistema de Pagamento unico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

8.2 Sistema de Pagamentos Variaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

8.3 Sistema Americano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

8.4 Sistema de Amortizacao Constante (SAC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

8.5 Sistema Price (Sistema Frances) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

8.6 Sistema de Amortizacao Misto (SAM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

8.7 Sistema Alemao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

9 Estudo matematico do sistema alemao 31

9.1 O Modelo matematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

9.2 Formulas basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

9.3 Exemplo tpico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

10 Analise de investimento ou financiamento 35

10.1 Valor Presente Lquido (NPV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

10.2 Taxa Interna de Retorno (IRR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

10.3 Conexao entre NPV e IRR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

10.4 Analise entre dois Investimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

10.5 Analise entre dois Financiamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

10.6 A Matematica do Valor Presente Lquido (NPV) . . . . . . . . . . . . . . . . 37

11 Divisao em partes proporcionais 39

11.1 Propriedades das proporcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

11.2 Divisao em duas partes diretamente proporcionais . . . . . . . . . . . . . . . 40

11.3 Divisao em varias partes diretamente proporcionais . . . . . . . . . . . . . . 40

11.4 Divisao em duas partes inversamente proporcionais . . . . . . . . . . . . . . 41

11.5 Divisao em varias partes inversamente proporcionais . . . . . . . . . . . . . 42

11.6 Divisao em duas partes direta e inversamente proporcionais . . . . . . . . . . 43

11.7 Divisao em n partes direta e inversamente proporcionais . . . . . . . . . . . . 44

11.8 Regra de Sociedade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Secao 1 Elementos basicos em Matematica Financeira 1

1 Elementos basicos em Matematica Financeira

A Matematica Financeira e uma ferramenta util na analise de algumas alterna-tivas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. A ideia basicae simplificar a operacao financeira a um Fluxo de Caixa e empregar algunsprocedimentos matematicos.

1.1 Capital

O Capital e o valor aplicado atraves de alguma operacao financeira. Tambemconhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado.Em lngua inglesa, usa-se Present Value, indicado nas calculadoras financeiraspela tecla PV.

1.2 Juros

Juros representam a remuneracao do Capital empregado em alguma atividadeprodutiva. Os juros podem ser capitalizados segundo os regimes: simples oucompostos, ou ate mesmo, com algumas condicoes mistas.

Regime Processo de funcionamentoSimples Somente o principal rende juros.Compostos Apos cada perodo, os juros sao incorporados ao Capital, pro-

porcionando juros sobre juros.

1.3 Notacoes comuns que serao utilizadas neste material

C Capital.

n numero de perodos.

j juros simples apos n perodos.

J juros compostos apos n perodos.

r taxa percentual de juros.

i taxa unitaria de juros i =r

100.

P Principal ou valor atual.

M Montante obtido em capitalizacaosimples.

S Montante obtido em capitalizacaocomposta.

1.4 Compatibilidade dos dados 2

1.4 Compatibilidade dos dados

Se a taxa de juros for mensal, trimestral ou anual, os perodos deverao serrespectivamente, mensais, trimestrais ou anuais, de modo que os conceitosde taxas de juros e perodos sejam compatveis, coerentes ou homogeneos.Situacoes onde isto nao ocorre, serao estudadas a parte e deverao ser feitasconversoes de unidades.

Exemplo: Na formulaF(i,n) = 1+ i n

a taxa unitaria de juros i devera estar indicada na mesma unidade de tempo queo numero de perodos n, ou seja, se a taxa e i=0,05 ao mes, entao n deveraser um numero indicado em meses.

2 Juros simples

2.1 Juros simples

Se n e o numero de perodos, i e a taxa unitaria ao perodo e P e o valorprincipal, entao os juros simples sao calculados por:

j = P i n

Exemplo: Os juros simples obtidos por um capital P=1250,00 durante 4 anosa taxa de 14% ao ano sao dados por:

j = 1250,000,144 = 700,00

Se a taxa ao perodo e indicada percentualmente, devemos substituir i porr

100para obter a formula:

j =P r n100

Exemplo: Os juros simples obtidos por um capital P=1250,00 durante 4 anosa taxa de 14% ao ano sao dados por:

j =1250,00144

100= 700,00

Se a taxa e r% ao mes, usamos m como o numero de meses e a formula:

j =P r m100

2.2 Montante simples 3

Exemplo: Os juros simples obtidos por um capital P=1250,00 durante 4 anos(48 meses) a taxa de 2% ao mes sao dados por:

j =1250,00248