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SUMÁRIO

APRESENTAÇÃO ................................................................................. 4INTRODUÇÃO .......................................................................................6

1. Números Proporcionais .................................................................. 7

2. Operações sobre Mercadorias ....................................................... 12 2.1 - Preços de custo e venda: ........................................................ 13 2.2 - Lucros e Prejuízos: ................................................................. 13

3. Taxa de Juros .................................................................................. 17 3.1 - Homogeneidade entre tempo e taxa: ..................................... 18 3.2 - Juro Exato e Juro Comercial: ............................................... 20

4. Inflação ............................................................................................ 21

5. Capitalização Simples .................................................................... 24 5.1 - Juros Simples: ....................................................................... 25 5.3 - Desconto Simples: ................................................................ 28

6. Capitalização Composta ................................................................. 32 6.1 - Juros Compostos: .................................................................. 33 6.2 - Montante Composto: .............................................................. 34 6.3 - Desconto Composto: ............................................................. 36

BIBLIOGRAFIA BÁSICA ...................................................................... 40QUESTÕES .......................................................................................... 41GABARITO ........................................................................................... 50

4

APRESENTAÇÃO

Esta apostila foi elaborada para contribuir com a honrosa profissão de Corretor de Imóveis já fazia parte de meus projetos, antes mesmo, de receber o nobre convite do COFECI.

Desde pequeno eu acompanhava o trabalho do meu pai, um corretor de imóveis que conta hoje com praticamente quarenta anos de profissão, e que sempre se preocupou em oferecer um excelente serviço ao cliente, para assim, efetuar a venda do produto – o imóvel.

O serviço prestado ao cliente pode ser classificado como, a parte das relações humanas, no processo de venda. É nesta etapa que devemos mostrar o conhecimento da linguagem da Matemática Financeira, informando, orientando e trazendo segurança para o comprador.

Nossa apostila começa com uma matemática básica e fundamental, necessária para a construção de um alicerce bem estruturado, passando pelas operações sobre mercadorias, pelas taxas de juros, pela inflação, até chegarmos aos regimes de capitalização. Vários autores foram pesquisados na tentativa de se obter bons conteúdos.

No primeiro tópico - Números Proporcionais - foi utilizado como referência o livro Matemática Comercial e Financeira com complementos de matemática e introdução ao cálculo, de Nicolau D’ambrósio e Ubiratan D’ambrósio. Nessa bibliografia capturamos os fundamentos das razões equivalentes, das proporções, da divisão em partes proporcionais, da divisão em partes inversamente proporcionais e das porcentagens.

Esses conhecimentos serão de grande valia para o entendimento e a resolução de alguns exercícios no final da apostila.

No segundo tópico- Operações sobre Mercadorias– são feitos estudos (através de exemplos), mostrando-se o cálculo de lucros e prejuízos, referenciando-se nos preços de compra e venda. Os livros aqui adotados, Matemática Financeira: noções básicas, de José Lineu Marzagão e Matemática Comercial e Financeira, de Rogério Gomes de Faria, foram de grande valia, pois proporcionaram uma visão esclarecedora de vários casos de negociações de vendas e compras.

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No terceiro tópico- Taxas de Juros- procurou-se informar como se utiliza o tempo de aplicação e a taxa de juros em fórmulas de matemática financeira, bem como, a diferença entre juro exato e juro comercial.

Novamente, os autores Nicolau D’ambrósio e Ubiratan D’ambrósio são nossos esteios na elaboração desta lição que, possui também, exemplos resolvidos para a obtenção de um melhor entendimento sobre o assunto. É importante compreendermos as taxas, pois as mesmas estão presentes nos investimentos e empréstimos.

O assunto Inflação (quarto tópico) utiliza-se de uma linguagem bem tranqüila, baseada no livro Guia da inflação para o povo, de Paul Singer, possibilitando ao leitor um entendimento geral deste, dito terror, do mundo econômico.

O estudo do regime de Capitalização Simples é o nosso cenário principal no quinto tópico da apostila. Aqui, são abordados a conceituação de juros simples, montante simples, desconto simples, cálculo de taxa acumulada, sempre com a utilização de vários exemplos.

Na seqüência, o sexto tópico, é feito o estudo da Capitalização Composta. Neste regime de capitalização são analisados os juros compostos, o montante composto e o desconto composto. São também estudados o cálculo do montante a partir de uma série de vários depósitos e a equivalência entre taxa anual composta e taxa mensal composta.

Sabendo-se que todas as negociações financeiras têm como suporte um dos regimes de capitalização, procurou-se dar ênfase aos dois últimos tópicos, estando os seus respectivos exemplos de aprendizagem, digitados no estilo passo a passo. A bibliografia, aqui utilizada, foi o livro Concursos Públicos - Matemática Geral e Financeira, de Benjamin Cesar de Azevedo Costa que, muito nos auxiliou na formatação das etapas finais destes estudos.

Através dos conteúdos abordados, a presente apostila tem por objetivo, dar ao aluno uma melhor visão dos conceitos matemáticos, possibilitando-o executar transações financeiras e também prepará-lo para o exame de proficiência do COFECI na disciplina em questão.

O estudo deve ser uma constante na vida do aluno, pois, aquele que conseguir aliar fundamentação teórica à prática, terá um poderoso instrumento de trabalho nas mãos, além

é claro, de clientes para efetuar negócios.

6

INTRODUÇÃO

O Capitalismo começou após o enfraquecimento do Feudalismo, por volta do décimo segundo século depois de Cristo, constituindo-se em um novo sistema econômico, social e político.

Como importantes características do Capitalismo podemos citar:a combinação de três centros econômicos (produção, oferta e consumo) formatando

a economia de mercado;o surgimento das grandes empresas;as relações de trocas monetárias;a preocupação com os rendimentos;e principalmente, o trabalho assalariado.

Durante o seu desenvolvimento, o Capitalismo passou por quatro fases, sendo atualmente chamado, nos países de primeiro mundo, de Capitalismo Financeiro. Nesta fase, as grandes empresas financeiras são as detentoras do maior volume do capital em circulação.

Sobre as outras três etapas do Capitalismo podemos, assim, enumerar:1ª)Pré-Capitalismo: fase de implantação desse sistema (séculos XII ao XV);2ª)Capitalismo Comercial: os comerciantes administravam a maior parte dos lucros

(séculos XV ao XVIII);3ª)Capitalismo Industrial: o capital é investido nas indústrias, transformando os

industriais em grandes capitalistas (séculos XVIII, XIX, XX). É bom lembrar que esta terceira fase ainda acontece.

Então, para existir um melhor entendimento entre as relações de troca, para a utilização das melhores taxas em empréstimos e investimentos, para se fazer previsões de movimentação de capital no mercado, para cálculo de juros, montante, descontos, dentre outros, a matemática foi sendo gradativamente aplicada ao comércio e às finanças; Conseqüentemente, originando o seu ramo específico, chamado Matemática Financeira.

A Matemática Financeira deve ser bem entendida, pois, em um mercado econômico que não é estático, o conhecimento e a informação representam um grande poder para a execução de serviços.

7

1Números Proporcionais

8

• Sendo a e b, duas grandezas conhecidas, definimos a razão entre a e b, nesta

ordenação, como o quociente entre a e b.

Então, escrevemos: ba

ou a : b.

Observação: A grandeza que se encontra no denominador deve possuir, o

seu valor, diferente de zero.

ba→ ( a é o numerador e b é o denominador).

Exemplo: Calcule a razão entre a e b, sabendo-se que a = 32 e b = 28.

Solução: a = 32 , então 32 = 16 = 8 . Essas três frações são Razões

b 28 28 14 7

Equivalentes pois dividindo-se, o pelo denominador, em cada uma das três frações,

obteremos o mesmo resultado.

Resposta: 78

=ba .

• A igualdade de duas razões equivalentes é chamada de Proporção.

Exemplo 1: 16 = 8, 16 e 7 são os extremos da proporção e 14 e 8 são os meios da

14 7

proporção.

Propriedade Fundamental: “Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto

dos extremos”.

Exemplo 2: As razões 321

e 461

são iguais, logo:

461

321= , então: 3 x 16 = 4 x 12.

48 = 48.

• Vamos trabalhar agora, com a Divisão em Partes Proporcionais, através da análise

do exemplo a seguir:

Exemplo: Dividir o número 850 em partes proporcionais aos números 1, 4 e 5.

9

Observação: como a divisão é proporcional à três números, o número 850

será dividido em três partes.

Solução: vamos supor que as três partes do número 850 sejam representadas,

respectivamente, pelas letras X, Y e Z.

X= .851*541

850=

++

Y= .3404*541

850=

++

Z= .4255*541

850=

++

Somando-se os números 85, 340 e 425 obteremos o número 850, provando assim,

que a divisão em partes proporcionais está correta.

No cálculo de cada uma das letras ( X , Y e Z ), devemos sempre dividir o número

principal ( neste caso o número 850 ), pelo somatório das partes proporcionais ( no exemplo

foram os números 1, 4 e 5), e em seguida, multiplicar o resultado desta divisão por cada

uma das partes proporcionais.

• Divisão em Partes Inversamente Proporcionais utilizando uma exemplificação:

Exemplo: Dividir o número 1.200 em partes inversamente proporcionais aos números

2 e 4.

1º passo: Deve-se inverter os números, tornando-os 21 e

41

.

2º passo: Deve-se agora, colocar as frações em um mesmo denominador

(denominador comum). Vamos fazer o mínimo múltiplo comum e depois dividir, o

mínimo múltiplo encontrado, pelo denominador. Em seguida multiplicaremos o resultado

desta divisão pelo numerador, lembrando que, estes cálculos estão acontecendo com as

frações 21

e 41 . Como o valor do mínimo múltiplo comum será 4, as frações se modificarão

para 42 e

41 .

3º passo: Um novo problema aparecerá, pois agora serão utilizados apenas

10

os numeradores das novas frações encontradas no item 2º passo. A partir daqui teremos

uma resolução semelhante à divisão em partes proporcionais , pois o número principal (

neste caso o número 1.200 ) será dividido pelo somatório das partes ( números 2 e 1 ),

sendo o resultado desta divisão multiplicado por cada uma das partes.

• 1º parte: .8002*12

200.1=

+

• 2º parte: .4001*12

200.1=

+

4º passo: Somando-se os números 800 e 400 obteremos o número 1.200,

provando assim que, a divisão em partes inversamente proporcionais está correta.

• Nesta parte, vamos estudar noções básicas que serão de grande valia no trabalho

com porcentagens (percentagens).

Exemplo 1: Escreva a taxa de 14,45% na forma unitária.

Solução: devemos dividir a taxa por 100.

14,45% = 14,45 .1445,0100

45,14= 0,1445 é a forma unitária.

100

Exemplo 2: Colocar a fração 43

na forma percentual.

Solução: devemos utilizar as Razões Equivalentes e a propriedade

fundamental das Proporções que estão citadas no início deste tópico.

1004

3 x=

4 . x = 3 . 100

4x = 300

x = 75, então 3 = 75 = 75%

4 100

11

Exemplo 3: Calcular 27% de 270.

Solução : transformar 27% na forma unitária e depois multiplicar o número

encontrado por 270.

27% = 27 = 0,27. Assim: 0,27 x 270 = 72,9.

100

72,9 corresponde a 27% de 270.

12

2Operações sobre Mercadorias

13

2.1 - Preços de custo e venda:

Vamos trabalhar, nesta seção, com problemas de porcentagens relacionados às

operações de compra e venda.

Ao se efetuar a venda de uma mercadoria pode-se ter lucro ou prejuízo, sendo que

os mesmos, podem ser calculados sobre o preço de custo ou sobre o preço de venda da

mercadoria em questão.

Fórmula básica : PRV = PRC + LC

Onde: • PRV = Preço de Venda;

• PRC =Preço de Custo ou Preço de Compra;

• LC = Lucro obtido na Venda.

2.2 - Lucros e Prejuízos:

O estudo desta seção será feito com base nos exemplos a seguir:

Exemplo 1: Lucro sobre o custo.

Uma mercadoria foi comprada por R$3.000,00 e vendida por R$3.850,00. Calcule o

lucro, na forma percentual, sobre o preço de compra.

Solução: PRC = 3.000

PRV = 3.850 3.000 → 100%

PRV = PRC + LC 850 → X

LC = PRV - PRC

LC = 3.850 – 3.000 3.000 . X = 100 . 850

LC = 850 X = 28,333%

14

Obs.: O lucro sobre o custo foi de 28,333%.

Exemplo 2: Lucro sobre a venda.

Uma mesa de escritório foi comprada por R$550,00 e vendida por R$705,00. Calcule

o lucro, na forma percentual, sobre o preço de venda.

Solução: PRC = 550

PRV = 705 705 → 100%

PRV = PRC + LC 155 → X

LC = PRV – PRC 705 . X = 100 . 155

LC = 705 – 550 X = 21,986%

LC = 155 Obs.; O lucro sobre o custo foi de 21,986%.

Exemplo 3:

Uma mercadoria foi vendida por R$430,00. Sabendo-se que o lucro foi de 15% sobre

o preço da venda, calcule o mesmo.

Solução: 430 → 100%

X → 15%

100 . X = 430 . 15

X = 64,5

O lucro foi de R$64,50.

Sendo o lucro calculado sobre o preço da venda, este terá o valor de 100% .

Exemplo 4:

Um monitor foi vendido por R$670,00, dando um lucro de R$152,00. Calcule o lucro,

em porcentagem, sobre o preço de custo.

15

Solução: PRV = PRC + LC 518 → 100%

PRC = PRV – LC 152 → X

PRC = 670 – 152

PRC = 518

518 . X = 100 . 152

X = 29,344%.

Sendo o lucro calculado sobre o preço de custo, este terá o valor de 100%.

Exemplo 5:

Uma mercadoria que foi comprada por R$1.050,00 foi vendida, com um prejuízo de

42%, sobre o preço de venda. Calcule o preço de venda.

Solução: 142% → 1.050

100% → X

142 . X = 100 . 1050

X = 739,44.

O preço de venda é R$739,44.

Como o prejuízo é de 42% sobre o preço de venda, este corresponderá a 100%. O preço de custo corresponderá então a 142%.

Exemplo 6:

Uns móveis de escritório foram vendidos com prejuízo de 15% sobre o preço de venda.

Calcule o preço de venda sabendo-se que o preço de custo foi de R$445,00.

Solução: 115% → 445

100% → X

16

115 . X = 100 . 445

X = 386,96

O preço venda de é R$386,96.

Como o prejuízo é de 15% sobre o preço de venda, este corresponderá a 100%. O preço de custo corresponderá a 115%.

Exemplo 7: Utilização de índices.

Em uma operação de compra e venda, a taxa de prejuízo para o preço de venda foi de

4 para 8. Determine o preço de venda sabendo-se que o preço de custo foi de R$2.500,00.

Solução: Custo Prejuízo Venda

2.500 4P

8PRV

12

2.500 = PRV

12 8

12 . PRV = 2500 . 8

PRV = 1666,67.

O preço de venda é R$1.666,67.

A relação de proporcionalidade entre o prejuízo e o preço de venda é estabelecida pela taxa 4 para 8. Temos assim 8 unidades de preço de venda para 4 unidades de prejuízo e, conseqüentemente, para cada 12 unidades de custo, neste exercício.

17

3Taxa de Juros

18

Quando pedimos emprestado uma certa quantia, a uma pessoa ou a uma instituição

financeira, é normal, após um certo tempo, pagarmos a quantia que nos foi emprestada,

mais uma “ outra quantia que representa o aluguel pago pelo empréstimo”.

Essa outra quantia, citada acima, representa o juro; ou seja, representa o bônus que

se paga por um capital emprestado.

O juro que é produzido em uma determinada unidade de tempo ( ao ano, ao mês, ao

dia), representa uma certa porcentagem do capital ou do montante, cuja taxa se chama

Taxa de Juros.

3.1 - Homogeneidade entre tempo e taxa:

Sempre o prazo de aplicação (representado pela letra n) deve estar na mesma unidade

de tempo (anos, meses, dias) em que está a taxa de juros (representada pela letra i ).

•Considerações Importantes:

1º) - O mês comercial possui 30 dias;

- O ano comercial possui 360 dias;

- O ano civil possui 365 dias.

2º) Normalmente, a taxa de juros i está expressa na forma percentual, assim, para

usá-la em qualquer fórmula de matemática financeira, deve-se antes, transformá-la para a

forma unitária.

Ex.: i = 25,8% → forma unitária → i = 0,258.

19

Exemplo 1: A taxa de juros de 18% ao ano, considerando-se ano comercial, equivale

a quantos % (por cento) ao dia?

Solução: ano comercial = 360 dias.

i = %50,0360

%81= ao dia. resposta: 0,05% ao dia.

Exemplo 2: A taxa de juros de 12% ao ano, equivale a quantos % (por cento) ao mês?

Solução: i = 12% ao ano.

i = %121%21

= ao mês. resposta: 1% ao mês.

Exemplo 3: A taxa de juros de 3% ao mês, considerando-se o mês comercial, equivale

a quantos % (por cento) ao dia?

Solução: mês comercial = 30 dias.

i = %1,003

%3= ao dia. resposta: 0,1% ao dia.

Exemplo 4: A taxa de juros de 4,5% ao mês, equivale a quantos % ( por cento) ao

ano?

Solução: ( 4,5% ao mês) x 12 = 54% ao ano.

i = 54% ao ano. resposta: 54% ao ano.

Exemplo 5: A taxa de juros de 0,03% ao dia, equivale a quantos % ( por cento) ao ano,

levando-se em consideração o ano civil?

Solução: ( 0,03% ao dia ) x 365 = 10,95% ao ano.

i = 10,95% ao ano. resposta: 10,95% ao ano.

20

3.2 - Juro Exato e Juro Comercial:

Geralmente, nas operações correntes, a curto prazo, os bancos comerciais utilizam o

prazo n ( tempo ) expresso em dias. Assim, no cálculo do juro exato, teremos a taxa de juros

i dividida por 365 dias, pois o ano utilizado é o ano civil.

Já, no cálculo do juro comercial, teremos a taxa de juros i dividida por 360 dias, pois o

ano utilizado é o ano comercial.

• Juro Exato → J = C x 365i

x n.

• Juro Comercial → J = C x 360i

x n.

Obs: As fórmulas do juro exato e do juro comercial serão abordadas no tópico

capitalização simples. Por enquanto, basta compreender que as divisões feitas nas duas

fórmulas foram necessárias para que, a unidade de tempo, entre n e i, fossem iguais.

21

4Inflação

22

(O presente tópico visa dar ao aluno um conhecimento básico sobre o problema

inflacionário).

De uma maneira global, a inflação é caracterizada por um aumento geral e cumulativo

dos preços. Esse aumento geral não atinge somente alguns setores, mas sim, o bloco

econômico como um todo. Já o aumento cumulativo dos preços acontece de forma contínua,

prolongando-se ainda, por um tempo indeterminado.

O Estado em associação com a rede bancária aumenta o volume do montante dos

meios de pagamento para, atender à uma necessidade de demanda por moeda legal; mas

associado ao aumento do montante, acontece também, um aumento dos preços.

O aumento dos preços gera a elevação do custo de vida, popularmente chamado de

carestia.

O custo de vida apresenta-se com peso variado nas diferentes classes econômicas.

Uma família pobre tende a utilizar, o pouco dinheiro conseguido, para comprar gêneros

alimentícios. O restante do dinheiro geralmente é utilizado para o pagamento de serviços

de água, luz e esgoto.

Em uma família abastada, além dos gastos com alimentos, água tratada e eletricidade,

costuma-se também gastar com roupas, carros, viagens, clínicas de beleza e estética,

entre outras coisas mais. Assim, um aumento nos preços dos produtos de beleza e

rejuvenescimento, terá peso zero no custo de vida da família pobre e um acréscimo no

orçamento da família rica.

Em suma, o custo de vida aumenta, quando um produto que possui um determinado

peso nas contas mensais, sofre também um aumento.

• Exemplo para um melhor entendimento do aumento do custo de vida:

Um casal gasta de seu orçamento mensal 12% com alimentação, 10% com vestuário,

8% com plano de saúde e 5% com o lazer.

Acontece então uma elevação geral nos preços, acrescentando um aumento de 3%

nos gastos com alimento, 5% nos gastos com vestuário, 4% nos gastos com plano de

saúde e 2% nos gastos com o lazer. Calcule o aumento do custo de vida no mês.

23

Solução:

Produtos

Gastono

orçamento

Gasto noorçamento naforma unitária

Aumentodos produ-

tos

Aumento dos produtosna formaunitária

Alimentos 12% 0,12 3% 0,03

Vestuário 10% 0,10 5% 0,05

Plano de Saúde 8% 0,08 4% 0,04

Lazer 5% 0,05 2% 0,02

Para o cálculo do aumento, proporcionado por cada produto, deve-se multiplicar o

gasto no orçamento na forma unitária com o aumento dos produtos na forma unitária.

Alimentos: 0,12 x 0,03 = 0,0036.

Vestuário: 0,10 x 0,05 = 0,005.

Plano de Saúde: 0,08 x 0,04 = 0,0032.

Lazer: 0,05 x 0,02 = 0,001.

ProdutosAumento do custo do

produto na formaunitária

Aumento do custo do pro-duto na forma percentual

Alimentos 0,0036 0,36%

Vestuário 0,005 0,50%

Plano de Saúde 0,0032 0,32%

Lazer 0,001 0,10%

Com o somatório dos aumentos de cada produto na forma percentual obtemos o

aumento do custo de vida no mês em questão: 0,36% + 0,50% + 0,32% + 0,10% = 1,28%.

Nesse mês, o aumento no custo de vida para a família do exemplo foi de 1,28%,

devido à elevação dos preços de quatro produtos utilizados pelo casal.

24

5Capitalização Simples

25

No regime de capitalização simples temos, a taxa ( i ) incidindo somente sobre o

capital inicial ( C ), proporcionando-nos obter assim, juros simples, ao final do período de

tempo( n ).

5.1 - Juros Simples:

.Juro produzido pelo capital C ao final de um período de tempo: J = C x i ٭

.Juro produzido pelo capital C ao final de n ( vários ) períodos de tempo: J = C x i x n ٭

Fórmula Básica: J = C x i x n Onde: J = juros simples.

C = capital inicial ou principal.

i = taxa de juros.

n = tempo de aplicação ou prazo de tempo.

Exemplo 1: Se um capital de R$8.825,00 for aplicado durante 2 meses, à taxa de 2%

ao mês, qual será o valor dos juros simples?

Solução: J = C x i x n

C = 8825 J = 8825 x 0,02 x 2

i = 2% ao mês = 0,02 J = 353

n = 2 meses J = R$353,00

Obs: i e n estão na mesma unidade de tempo.

Exemplo 2: Se um capital de R$550,00 for aplicado durante 4 meses, à taxa de 9%

ao ano, qual será o valor dos juros simples?

Solução: J = C x i x n.

C = 550.

i = 9% ao ano =→21%9

0,75% ao mês = 0,0075.

n = 4 meses.

26

J = 550 x 0,0075 x 4.

J = 16,50.

J = R$16,50.

Exemplo 3: Calcule o capital necessário para que haja um rendimento de R$650,00,

sabendo-se que a taxa utilizada é de 5% ao mês e o período de tempo igual a 6 meses.

Solução: J = C x i x n, mas isolando-se C temos, C = niJ.

J = 650.

i = 5% ao mês = 0,05. C = 6*50,0650

n = 6 meses. C = 2166,67.

C = R$2.166,67.

Exemplo 4: Um capital de R$425,00 foi aplicado durante 6 meses, rendendo R$105,00

de juros simples. Calcule a taxa mensal i.

Solução: J = C x i x n, mas isolando-se i temos, i = ..nCJ

J = 105.

C = 425. i = 6*425105

n = 6 meses. i = 0,04117

i = 0,04117 está na forma unitária. Para colocarmos o resultado na forma percentual devemos multiplicar i por 100, ficando então como resposta, i = 4,117% ao mês.

Na taxa i a unidade de tempo utilizada foi o mês porque o período de aplicação estava, em meses.

27

5.2 - Montante Simples:

À soma dos juros simples (relativo ao período de aplicação) com o capital inicial ou

principal dá-se o nome de montante simples.

Fórmulas: S = J + C ou S = C x i x n + C

S = C x ( i x n + 1)

Onde: S = Montante Simples.

J = Juros Simples.

i = Taxa de Juros.

n = Período de Aplicação.

Exemplo 1: Um capital de R$1.550,00 foi aplicado durante um período de 8 meses, à

taxa de 24% ao ano, no regime de capitalização simples. Calcule o montante.

Solução: S = J + C

C = 1550.

i = 24% ao ano ao mês = 0,02.

n = 8 meses.

J = C x i x n.

%221%42

=→

J = 1550 x 0,02 x 8.

J = 248.

S = J + C.

S = 248 + 1550.

S = 1798.

S = R$1.798,00.

Exemplo 2: Calcule o tempo, no qual, devo aplicar uma quantia de R$200.000,00,

para obter um montante simples de R$360.000,00, à taxa de 16% ao mês.

28

Solução: C = 200.000. S = C x (i x n + 1)

S = 360.000.

( i x n + 1 ) = CS

i = 16% ao mês = 0,16.

(i x n + 1) = 000.200000.360

(i x n + 1) = 1,8.

i x n = 1,8 – 1.

i x n = 0,8.

0,16 x n = 0,8.

n = 5 meses.

A unidade utilizada para n foi meses, devido ao fato, de i também estar em meses.

5.3 - Desconto Simples:

Toda vez que se paga um título, antes da data de seu vencimento, obtemos um

desconto (abatimento).

• Algumas considerações:

Valor Nominal (VN) é o valor indicado no título, na data de seu vencimento.

Valor Atual (VA) é o valor do título no dia do seu pagamento antecipado, ou seja, antes

da data de vencimento.

D =VN – VA Onde D = Desconto.

•• Desconto Racional ou “Por Dentro”:

Equivale aos juros simples produzidos pelo valor atual, à taxa utilizada e ao período

de tempo correspondente.

Fórmula: niNV

niRDAV

.1.1 +== Onde: DR = Desconto Racional;

29

VA = Valor Atual;

VN = Valor Nominal;

i = taxa;

n = Período de Tempo.

Exemplo 1: Calcule o desconto racional para um título com valor atual de R$16.000,00,

à taxa de 2,6% ao mês e com prazo de 3 meses para o vencimento.

Solução: niRDAV

.1= VA = 16.000

i = 2,6% ao mês = 0,026

n = 3 meses.

DR = VA x i x n

DR = 16.000 x 0,026 x 3

DR = 1.248

DR = R$1.248,00

Exemplo 2: Se um empréstimo com valor atual de R$750,00, calcule o desconto

racional, sabendo-se que a taxa de juros é de 12% ao ano e o prazo é de 5 meses para o

vencimento.

Solução: niRDAV

.1= VA = 750.

i = 12% ao ano %121%21

=→ ao mês = 0,01.

DR = VA x i x n

DR = 750 x 0,01 x 5

DR = 37,5

DR = R$37,5.

•• Desconto Bancário ou Comercial ou “Por Fora”:

Equivale aos juros simples produzidos pelo valor nominal, à taxa utilizada e ao período

30

de tempo correspondente.

Fórmula: 1..1NV

niBD

niAV

==−

Onde: DB = Desconto Bancário;

VA = Valor Atual;

VN = Valor Nominal;

i = Taxa;

n = Período de Tempo.

Exemplo 1: Calcule o desconto bancário para um compromisso de valor nominal igual

à R$2.700,00, à taxa de 18% ao ano, e prazo de 33 dias antes do vencimento. (Considerar

o ano comercial).

Solução: 1.NV

niBD= VN= 2.700.

i = 18% ao ano %05,0

360%18

=→ ao dia = 0,0005.

DB = VN x i x n

DB = 2700 x 0,0005 x 33

DB = 44,55

DB = R$44,55.

Exemplo 2: Calcule o desconto “por fora” para um pagamento antecipado, à taxa de

5,8% ao mês e prazo de 5 meses, sabendo-se que o valor nominal é de R$42.000,00.

Solução: 1.NV

niBD= VN = 42.000

i = 5,8% ao mês = 0,058.

DB = VN x i x n

DB = 42.000 x 0,058 x 5

DB = 12.180

DB = R$12.180,00.

31

• Considerações finais dentro da capitalização simples:

-Como se calcular uma taxa acumulada (ao ano) que é aplicada pelo período de n

meses:

Exemplo: No regime de capitalização simples, calcular a taxa acumulada a 36% ao

ano, aplicada durante 8 meses.

Solução: 1º) Verifica-se a taxa, neste caso i =36% ao ano;

2º) Verifica-se o número de meses de aplicação, neste exemplo são 8 meses;

3º) Calcula-se o valor da taxa i no mês;

ex.: 36% ao mês.

12

4º) Multiplica-se a taxa encontrada pelo número de meses;

ex.: 3% x 8 = 24%.

5º) Resultado Final: 24%.

32

6Capitalização Composta

33

Inicialmente temos o capital principal; após um período, esse capital sofre uma

remuneração (juros), sendo então, capital e juros somados para, assim, formarem um novo

capital (1º montante).

Esse novo capital, após um segundo período, sofre uma outra remuneração (juros),

sendo então, novo capital e juros somados para, assim, formarem um segundo montante.

(E assim por diante).

Então as remunerações acontecerão sempre, “em cima” do montante do período

anterior, caracterizando o que chamamos de capitalização composta.

6.1 - Juros Compostos:

Fórmula: j = C x ( )[ ]11 −+ ni Onde: j = Juros Compostos;

C = Capital Inicial;

( 1+i ) = Fator de Capitalização;

i = Taxa de Juros;

n = Período de Tempo.

Exemplo 1: Ao se aplicar um capital de R$829,30, no regime de capitalização composta,

por um período de 3 meses, à taxa de 2,4% ao mês, qual será o juro obtido?

Solução: C = 829,30. j = C x ( )[ ]11 −+ ni

i = 2,4% ao mês = 0,024. j = 829,30 x ( )[ ]1024,01 3 −+

n = 3 meses. j = 829,30 x ( )[ ]1024,1 3 −

j = 829,30 x [ ]1073742,1 −

j = 61,15

j = R$61,15.

34

Exemplo 2: Calcule o valor dos juros compostos para um capital de R$777,56, aplicado

à taxa de 6% ao ano, durante um período de 2 meses.

Solução: C = 777,56.

i = 6% ao ano 21%6

→ = 0,5% ao mês = 0,005. j = C x ( )[ ]11 −+ ni

n = 2 meses. j = 777,56 x ( )[ ]1005,01 2 −+

j = 777,56 x ( )[ ]1005,1 2 −

j = 777,56 x [ ]1010025,1 −

j = 7,80 → j = R$7,80.

6.2 - Montante Composto:

Fórmula: s = C x ( 1+i ) Onde: s = Montante Composto;

C = Capital Principal;

( 1+i ) = Fator de Capitalização.

i = Taxa de Juros;

n = Período de Tempo.

Exemplo 1: Calcule o montante composto para um capital de R$627,43, aplicado à

taxa de 2% ao bimestre, durante um período de 6 meses.

Solução: C = 627,43.

i = 2% ao bimestre = 0,02.

n = 6 meses

Como 6 meses correspondem a três bimestres, o n será igual a 3, pois o período de

capitalização é bimestral.

35

s = C x ( 1+i )

s = 627,43 x (1+0,02)

s = 627,43 x (1,02)

s = 627,43 x (1,061202)

s = 665,83

s = R$665,83.

Exemplo 2: Calcule o montante produzido por um capital de R$15.600,70, aplicado à

taxa de 7,2% ao mês, durante 4 meses.

Solução: C = 15.600,70. s = C x ( 1+i )

i = 7,2% ao mês = 0,072. s = 15.600,70 x (1+0,072)

n = 4 meses. s = 15.600,70 x (1,072)

s = 15.600,70 x (1,320623)

s = 20.602,64.

s = R$20.602,64.

Exemplo 3: Calcule o capital que gera um montante composto de R$7.656,70, à taxa

de 18% ao ano, durante um período de aplicação de 4 meses.

Solução: s = 7656,70.

i = 18% ao ano %5,121%81

=→ ao mês = 0,015.

n = 4 meses.

36

Exemplo 4: Calcule a taxa composta para que, um capital de R$300,00, consiga gerar

um montante de R$4.800,00, em um período de 2 meses.

Solução: C = 300.

s = 4.800

n = 2 meses

s = C x (1+i )

(1+i ) = Cs

(1+i ) 300800.42=

(1+i ) = 16.

(1+i ) = 16

1+ i = 4

i = 4 – 1

i = 3

• i = 3 representa a taxa na forma unitária;

• Ao multiplicarmos por 100 obteremos a taxa i na forma percentual: i = 300%;

• Para se descobrir a unidade de tempo da taxa, é só lembrar que, o período de

tempo n está sendo usado em meses.

• Resposta: i = 300% ao mês.

6.3 - Desconto Composto:

No desconto composto, a taxa incide sobre uma determinada quantia que equivale ao

capital. Essa determinada quantia é chamada de valor atual.

Nos cálculos deste tipo de desconto, o montante, equivale ao valor nominal.

37

Fórmula: VN = VA x ( )ni+1 D = VN - VA

Onde: VN = Valor Nominal;

VA = Valor Atual;

D = Desconto Composto.

Exemplo 1: Determine o desconto composto de um capital de R$1.250,52, à taxa de

1,7% ao mês, 2 meses antes do vencimento.

Solução : VN = 1.250,52.

i = 1,7% ao mês = 0,017.

n = 2 meses.

VN = VA x ( )ni+1

VA = ( )niNV+1

VA = ( )2017,0125,250.1

+

VA = ( )2017,1

52,250.1

VA = 034289,1

52,250.1

VA = 1.209,06.

D = VN – VA

D = 1.250,52 – 1.209,06

D = 41,46

D = R$41,46.

Exemplo 2: Calcular o valor atual de um título de R$753,53, à taxa de 18% ao ano, 3

meses antes do vencimento.

Solução: VN = 753,53.

38

• Considerações finais dentro da capitalização composta:

Cálculo do montante a partir de uma série de vários depósitos:

Fórmula: M = Dep x ( )ii n 11 −+

Onde: M = Montante;

Dep = Depósitos.

Exemplo: Calcule o montante de uma série de 4 depósitos de R$230,00 cada um,

efetuados no fim de cada mês, à taxa de 2% ao mês, após o quarto depósito.

Solução: Dep = 230.

i = 2% ao mês = 0,02.

39

Equivalência entre taxa anual composta e taxa mensal composta:

Fórmula: ( ) ( ) 2111 ma ii +=+ Onde: i = Taxa anual composta;

i = Taxa mensal composta.

Exemplo: Determine a taxa anual composta equivalente à taxa mensal de 3%.

Solução: ( ) ( ) 2111 ma ii +=+

( ) ( ) 2130,011 +=+ ai

( ) ( ) 2130,11 =+ ai

( ) ( )425760,11 =+ ai

i = 1,425760 - 1

i = 0,425760

Ao se multiplicar a taxa anual composta por 100, obtém-se o valor da referida taxa na forma percentual, ficando o valor igual a 42,5760%..

40

BIBLIOGRAFIA BÁSICA

ARRUDA, J. J. A (1988) História Moderna e Contemporânea. 3ª Ed. São Paulo: Editora

Ática, 263p.

COSTA, B. C. A (1996) Concursos Públicos - Matemática Geral e Financeira. 2ª Ed.

Rio de Janeiro: Oficina do Autor, 206 p.

CRESPO, A A. (1991) Matemática Comercial e Financeira. 6ª Ed. São Paulo: Editora

Saraiva.

D’AMBRÓSIO, N. & D’AMBRÓSIO, U. (1977) Matemática Comercial e Financeira

com complementos de matemática e introdução ao cálculo. 25ª Ed. São Paulo: Companhia

Editora Nacional, 287 p.

FARIA, R. G. (1979) Matemática Comercial e Financeira. Belo Horizonte: Editora Mc

Graw-Hill do Brasil, 219 p.

MARZAGÃO, L. J. (1996) Matemática Financeira: noções básicas. Belo Horizonte:

Edição do Autor, 173 p.

SANTOS, C. A. M.; GENTIL, N. & GRECO, S. E. (2003) Matemática. Série Novo

Ensino Médio – Volume Único. São Paulo: Editora Ática, 424 p.

SINGER, P. (1983) Guia da Inflação para o povo. 9ª Ed. Petrópolis: Vozes, 80 p.

41

QUESTÕES

(Resolva todos os exercícios, retornando ao texto, sempre que julgar necessário).

1- Escreva a fração 16 na forma percentual:

18

88,889%

86,800%

80,600%

90,889%

92,800%

2- A taxa de juros de 23,5% na forma unitária é:

235,0

0,023

023,5

02,35

0,235

3- Calcular o valor do somatório de: 42% de 350 com 16% de 102:

160,40

163,32

165,45

167,32

161,23

42

4 - Dividir o número 540 em partes proporcionais aos números 4, 5 e 6:

148, 180, 212.

180, 212, 148.

100, 200, 240.

144, 180, 216.

200, 216, 124.

5 - Dividir o número 325 em partes inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 4:

200, 100, 25.

50, 75, 200.

150, 100, 75.

300, 10, 15.

20, 85, 220.

6 - Uma mesa de escritório foi comprada por R$ 275,00 e vendida por R$ 345,00.

Calcule o lucro, na forma percentual, sobre o preço de compra:

25,45%

25,75%

22,40%

23,45%

26,40%

7 - Uma mercadoria foi comprada por R$ 150,00 e vendida por R$ 205,00. Calcule o

lucro, na forma percentual, sobre o preço de venda:

25,20%

26,75%

25,89%

26,50%

43

26,83%

8 - Um monitor de computador foi vendido com um prejuízo de 9% sobre o preço de

venda. Calcule o preço de venda sabendo-se que o preço de custo foi de R$ 327,00:

R$ 300,00

R$ 305,00

R$ 310,00

R$ 295,00

R$ 290,00

9 - Em uma determinada operação imobiliária (compra e venda), a taxa de prejuízo

para o preço de venda foi de 2 para 6. Determine o preço de venda sabendo-se que o preço

de custo foi de R$ 705,00:

R$ 515,45

R$ 522,75

R$ 538,75

R$ 532,75

R$ 528,75

10 - A taxa de juros de 24% ao ano, considerando-se o ano comercial, equivale a

quantos % ao dia?

0,050% ao dia.

0,056% ao dia.

0,067% ao dia.

0,072% ao dia.

0,035% ao dia.

11 - A taxa de juros de 18% ao ano, equivale a quantos % ao mês?

44

1,50% ao mês.

1,30% ao mês.

1,25% ao mês.

1,35% ao mês.

1,55% ao mês.

12 - A taxa de juros de 3,75% ao mês, equivale a quantos % ao ano?

40% ao ano.

45% ao ano.

35% ao ano.

30% ao ano.

42% ao ano.

13 - Calcule os juros simples para um capital de R$ 823,00, aplicado à taxa de 24%

ao ano, durante um período de 6 meses:

R$ 101,00.

R$ 99,40.

R$ 98,76.

R$ 95,20.

R$ 97,40.

14 - Calcule a taxa necessária para transformar R$ 15.000,00 em R$ 25.000,00 no

prazo de 3 meses no regime de capitalização simples (juros simples):

22,22% ao mês.

22,23% ao ano.

2,22% ao ano.

2,22% ao mês.

88,22% ao mês.

45

15 - Aplicando-se a juros simples a quantia de R$ 30.000,00 , durante 8 meses, à taxa

de 5% ao mês, qual será o montante obtido no final do período?

R$ 34.000,00

R$ 36.000,00

R$ 38.000,00

R$ 40.000,00

R$ 42.000,00

16 - Calcule o montante de uma série de 3 depósitos de R$ 150,00 cada um, efetuados

no fim de cada mês, à taxa de 1% ao mês, após o terceiro depósito:

R$ 450,47

R$ 454,51

R$ 460,51

R$ 458,87

R$ 465,00

17 - Calcule o montante, da aplicação de um capital de R$ 35.000,00, durante um

período de 4 meses, a juros compostos de 7% ao mês:

R$ 50.887,86

R$ 48.787,90

R$ 46.560,86

R$ 45.877,86

R$ 42.900,86

18 - No regime de capitalização simples, a taxa acumulada a 18% ao ano, aplicada

durante 4 meses é de:

7%

4%

46

6%

8%

10%

19 - No regime de capitalização composta, determine a taxa anual equivalente à taxa

mensal de 1,5%:

19,56%

20,06%

22,07%

18,40%

18,56%

20 - Um capital C foi aplicado em um sistema de capitalização que, pagou juros

compostos, à taxa de 10% ao mês. Após um bimestre, o montante era de R$ 1.050,00.

Calcule o valor do capital C:

R$ 850,50

R$ 855,46

R$ 867,76

R$ 870,40

R$ 872,76

21 - Um capital de R$ 2.330,00 eleva-se para R$ 2.790,00 , em 1 ano, no regime de

capitalização simples. Calcule a taxa de aplicação ao ano.

19,50% ao ano

19,74% ao ano

18,56% ao ano

13,74% ao ano

15,64% ao ano

47

22 - Calcule o montante simples para um capital de R$11.111,00, aplicado por um

período de 72 dias, à taxa de 18% ao ano:

R$ 11.350,60

R$ 11.430,23

R$ 12.400,00

R$ 11.510,99

R$ 10.540,99

23 - Uma Letra de R$ 555,55 reduziu-se a R$ 490,00 quando foi paga um mês antes

do vencimento. Calcule a taxa de desconto comercial simples:

12,33% ao mês

11,55% ao mês

13,55% ao mês

12,40% ao mês

11,80% ao mês

24 - Sabendo-se que a taxa semestral é de 3,24%, calcule o valor da taxa nominal

anual:

6,40% ao ano

6,48% ao ano

5,72% ao ano

6,58% ao ano

6,48% ao mês

25 - Calcular os juros compostos de um capital de R$ 14.401,00, à taxa de 8,6% ao

ano, durante um período de 3 anos:

R$ 4.300,00

48

R$ 3.390,15

R$ 4.100,15

R$ 4.044,15

R$ 4.032,00

26 - Calcule o montante produzido pelo capital de R$ 7.702,00, a juros compostos de

6,2% ao ano, em um período de 3 anos:

R$ 8.340,00

R$ 8.400,65

R$ 8.686,65

R$ 8.540,70

R$ 7.680,00

27 - Calcule o valor do desconto composto para uma dívida de R$ 6.000,00 que foi

descontada 1 ano antes do vencimento, à taxa de 15% ao ano:

R$ 640,00

R$ 690,61

R$ 794,61

R$ 760,60

R$ 782,61

28 - Um produto obteve dois aumentos consecutivos de 5% e 9%. No regime de

capitalização composta, calcule o aumento final do produto:

12,45%

13,00%

13,45%

14,00%

14,45%

49

29 - Calcule a taxa semestral proporcional a 47,42% ao ano:

4,74%

20,42%

25,00%

23,71%

23,00%

30 - Calcule os juros simples para um capital de R$ 57,57, à taxa de 9% ao mês,durante

um período de 23 dias:

R$ 4,50

R$ 5,97

R$ 3,97

R$ 2,62

R$ 3,45

50

GABARITO

1. A 11. A 21. B2. E 12. B 22. D3. B 13. C 23. E4. D 14. A 24. B5. C 15. E 25. D6. A 16. B 26. C7. E 17. D 27. E8. A 18. C 28. E9. E 19. A 29. D10. C 20. C 30. C