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A MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA NA EDUCAÇÃO BÁSICA

Prof. Ilydio Pereira de SáProf. Ilydio Pereira de Sá

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Você sabe responder às questões seguintes?

1) Uma conceituada loja, numa promoção, oferece as seguintes opções de compra: a) à vista, com 30% de desconto sobre o preço de tabela; com um

acréscimo de 20% sobre o preço de tabela.b) em dois pagamentos “iguais” (entrada mais outro para 30 dias).

Qual é a taxa de juros, sobre o saldo devedor, que a loja está cobrando na segunda opção oferecida?

2) Uma loja oferece uma mercadoria à vista por 400 reais ou então em duas parcelas iguais de 220 reais (para 30 e 60 dias). Qual a taxa de juros sobre o saldo devedor que está sendo cobrada pela loja?

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3) Por quanto tempo deve ser colocado o capital de R$ 5.000, à taxa de 8% a.a, a fim de produzir um montante de R$ 12 000, sendo a capitalização anual. Dados: log 2 0,30103 e log 3 0,47712

4) Calcule quanto uma pessoa deve depositar semestralmente numa conta a prazo fixo, que paga juros de 12% ao semestre, para acumular R$ 50 000,00, daqui a 10 anos, considerando-se que o depósito inicial somente ocorrerá no final do primeiro semestre.

5) Um eletrodoméstico pode ser comprado por R$ 1.500 à vista ou com entrada de R$ 450 e mais 4 pagamentos mensais de R$ 296,11. Qual a taxa de juros implícita no financiamento proposto?

Será que esses tipos de questões costumam, normalmente, ser trabalhadas nas séries da Educação Básica?

Será que nossa formação contempla tais discussões?

Quais os motivos?

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Casos comentadosCasos comentados1) O senhor Enkren Kado, gerente de um supermercado, tem que aumentar os preços de todos os produtos de um setor em 32,5 %. Qual o fator de aumento? Quanto passará a custar uma mercadoria do setor, que custava R$ 60,00?

soluçãosolução FATOR DE AUMENTO = 1,325 NOVO PREÇO = 1,325 x 60,00 = 79,50

OS DOIS PRINCIPAIS “SEGREDOS” DA MATEMÁTICA FINANCEIRA

2) Ritinha, em Setembro, obteve uma correção salarial de 35%, sobre o salário de Agosto, passando a receber R$ 337,50. Quanto recebia em Agosto?

A x 1,35 = 337,50 A = 337,50 :1,35 = 250,00. Logo, em agosto, Ritinha recebia R$ 250,00

soluçãosolução

55

3) Um remédio estava custando R$ 34,00, e passou a custar R$ 47,00. Qual o fator e qual o percentual de aumento?

34,00 x F = 47,00 F = 47 : 3440 = 1,3824 (Fator de correção) 1,3824 x 100 - 100 = 38,24 % (Aumento Percentual)

soluçãosolução

4) Vamos supor que , no exemplo anterior, o remédio custasse R$ 47,00 e sofresse uma redução de preço para R$ 34,00. Qual seria o fator de redução e o percentual de redução correspondente ?

soluçãosolução 47 x F = 34 F = 34 : 47 = 0,7234 (Fator de Redução) 0,7234 x 100 = 72,34 % (Valor Final) 100 % - 72,34 % = 27,66 % (Redução Percentual)

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5) Uma loja está vendendo um produto com um desconto à vista de 30%, ou então com pagamento normal, sem desconto, com um cheque pré-datado para 30 dias. Quanto estará pagando de juros , em um mês, o cliente que optar pela segunda forma de pagamento?

F = 100 / 70 1,4286 Logo, a taxa de juros cobrada, em um mês, foi de 42,86%

Observe que o preço à vista é de 70 reais e não de 100 reais. É sobre tal valor que se faz o cálculo dos juros.

Vamos supor que a mercadoria estivesse tabelada em 100 reais. Com o desconto de 30%, o preço à vista será de 70 reais.

soluçãosolução

70

100

30

77

6) O que aconteceria no problema anterior, se a opção pelo pagamento do preço de tabela, fosse subdividida em duas parcelas iguais, uma no ato da compra e outra a 30 dias da compra?

soluçãosolução

70

5050

20 Saldo devedor 30

F = 50 /20 = 2,5

Logo, a taxa de juros cobrada foi de 150% em um mês.

88

Primeiro “Segredo” – Fatores de CorreçãoPrimeiro “Segredo” – Fatores de Correção

F = (100 + k ) :100 (Fator de Aumento de k%)

F = (100 - k ):100 (Fator de Redução de k%)

Exemplo: Seja uma taxa de 3,5%

Taxa percentual = 3,5% taxa unitária = 0,035 fator de aumento 1,035 fator de redução = 0,965

99

AUMENTOS E REDUÇÕES AUMENTOS E REDUÇÕES SUCESSIVOSSUCESSIVOS

7) Qual o aumento total, acumulado, gerado por 3 aumentos sucessivos de 12%?

soluçãosoluçãoP +12% +12% +12%P x 1,12 (P x 1,12) x 1,12

((P x 1,12) x 1,12) x 1,12 = P x 1,123

P x 1,123 = P x 1,4049

Logo, o aumento total acumulado foi de 40,49%

Aumentos ou reduções sucessivos – Multiplica-se os respectivos fatores de correção

1010

8) Certa classe trabalhadora conquistou, no mês de julho de 2005 (em dissídio coletivo), um reajuste salarial de 15%, sobre os salários de janeiro de 2005, descontadas as possíveis antecipações. Ocorre que eles receberam, em junho de 2005 uma antecipação de 8%, sobre os salários de janeiro. Qual o valor do reajuste complementar, devido a tal classe trabalhadora, sobre os salários de junho de 2005?

soluçãosolução Verifique que se trata de um caso de aumentos sucessivos. O segundo

aumento (a determinar), sobre o primeiro (antecipação de 8%), terão de dar um total acumulado de 15%.

JAN. 05 +8% JUN. 05 +X% = 15%

1,08 x F = 1,15, LOGO, O FATOR DESCONHECIDO SERÁ: F = 1,15 : 1,08 1,065 Conclusão: Deverão receber um reajuste complementar de 6,5%, aproximadamente.

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IMPORTANTE: Assim como aumentos sucessivos eram calculados pelo produto dos fatores de correção, as subtrações geradas por taxas sucessivas devem ser calculadas através da divisão dos respectivos fatores de correção.

9) Uma mercadoria aumentou 12% num mesmo período em que a inflação correspondente foi de 5%. Qual a taxa de AUMENTO REAL dessa mercadoria?

Essa é uma questão análoga à anterior. Quando há inflação, o aumento sofrido por algum preço é constituído por duas parcelas: a correção da inflação e o aumento real (quando há).

+X% (aumento real)

5%inflação

= 12%

(Taxa nominal)

Logo, F = 1,12 : 1,05 1,067 A taxa de aumento real da mercadoria, foi de 6,7%

1212

FATOR DE AUMENTO = 260 / 240 1,0833

TAXA DE AUMENTO =

0,0833 x 100 = 8,33 %

Ou (1,0833 – 1) x 100

Jornal do Brasil – 30 de abril de 2004

10) Trabalhando com a Notícia na sala de aula ...

Taxa real de aumento ... F = 1,0833: 1,0702 1,012 (fator de aumento)

A taxa de ganho real do salário mínimo, foi de 1,2% e a notícia estava correta.

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O Segundo Segredo... “O VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO”

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PODEMOS AFIRMAR QUE NA MATEMÁTICA FINANCEIRA, NO REGIME DE JUROS COMPOSTOS (OU JUROS SOBRE JUROS), TODOS OS PROBLEMAS SE RESOLVEM ATRAVÉS DO VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO.

NUMA DATA FUTURA, O DINHEIRO FICA MULTIPLICADO POR F n E

NUMA DATA ANTERIOR, FICA DIVIDIDO POR F n.

A Bx F n

11) Lídia comprou um relógio, com uma taxa de juros de 5% ao mês e a última parcela, de 80 reais, teria de ser paga no dia 10 de setembro de 2005. Acontece que Lídia ganhou um dinheirinho extra e está propondo à loja, pagar a sua dívida no dia 10 de agosto de 2005, ou seja, um mês antes da data estipulada. Quanto Lídia teve de pagar?

soluçãosolução

Como Lídia está propondo uma antecipação do pagamento, de 1 mês, teremos de DIVIDIR 80 por 1,05 (fator de correção). Logo, 80 : 1,05 = 76,19 reais.

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12) Certa pessoa aceitou um empréstimo garantido pelas promissórias, a seguir discriminadas:

R$ 10 000, prazo de 1 mês;

R$ 20 000, prazo de 3 meses;

R$ 40 000, prazo de 6 meses.

No fim do primeiro mês, na impossibilidade de pagar o primeiro título, entrou em acordo com o credor para efetuar o pagamento do total do empréstimo ao final do segundo mês. Sendo de 5 % a.m. a taxa envolvida na época do fechamento do negócio e de 15% a.m. a taxa acertada para as parcelas vencidas e não pagas, qual o pagamento global a ser feito na referida data?

1616

10 000 20 000

40 000

0 1 2 3 4 5 6

W

0 1 2 3 4 5 6

10 000 20 000

40 000

455,72 63 (1,05)

000 40

1,05

000 20 1,15 . 000 10 W

411

soluçãosolução

1717

Devemos “empurrar” todos os valores para uma mesma data (por exemplo para o mês 3) e igualar as entradas (empréstimo) com as saídas (pagamentos periódicos).

soluçãosolução

0 1 2 3

5000

2500x

2500 x 1,05 + x = 5000 x (1,05)32625 + x = 5788,13

x = 3163,13

13) Vinícius tomou um empréstimo de R$ 5000,00 a juros mensais de 5%. Dois meses depois, ele pagou R$ 2500,00 e, um mês após esse pagamento, liquidou seu débito. Qual o valor desse último pagamento?

1818

14) Uma loja oferece uma mercadoria a vista por 400 reais ou então em duas parcelas iguais de 220 reais (para 30 e 60 dias). Qual a taxa de juros sobre o saldo devedor que está sendo cobrada pela loja?

0 1 2

400

220 220

Sugerimos “empurrar” todos os valores para a data 2 e igualar as entradas (valor à vista) com as saídas (pagamentos mensais).

400 . F2 = 220 . F + 22040 . F2 = 22 . F + 22 ou 20. F2 – 11. F – 11 = 0

40

64,3111

40

100111

40

)11.(20.412111F

Como só nos serve a resposta positiva, teremos F = (11 + 31,64) / 40 Logo, F = 1 + i 1,067 ou i 0,067 ou ainda i 6,7%

1919

15) Cálculo do tempo... Aplicando logaritmos.

Durante quantos meses (aproximadamente) estiveram aplicados 580 reais, sob juros compostos com taxa efetiva de 5% ao mês, para gerarem um montante de 900 reais? Informação: log (1,55) ≈ 0,1903 e log (1,05) ≈ 0,021

soluçãosolução

580 x (1,05) n = 900(1,05) n = 1,55 ou entãon . log (1,05) = log (1,55)n = log (1,55) / log (1,05)

n = 0,1903 / 0,021n 9 meses

2020

i = 8 % a.a.

12.000

5.000

0 n

log(1,08)

log(2,4) n (2,4) log (1,08) log .n

2,4 1,08

2,4 5000

000 12 1,08

000 12 1,08 x 5000

n

n

n

0,38021 1 - 0,47712 0,30103 . 3

10 log - 3 log 2 log . 3

10 log - 3)x (2 log 10

24 log (2,4) log 3

0,03342 2 - 3.0,47712 0,30103 . 2

100 log - 3 3.log 2 log . 2

100 log - )3x (2 log 100

108 log (1,08) log 32

anos 11,3767 0,03342

0,38021

log(1,08)

(2,4) log n

16) Por quanto tempo deve ser colocado o capital de R$ 5.000, à taxa de 8% a.a, a fim de produzir um montante de R$ 12 000, sendo a capitalização anual. Dados: log 2 0,30103 e log 3 0,47712

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Prof. Ilydio Pereira de Sá

ilydio@gmail.com

Livro: Matemática Financeira na Educação Básica

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