Lukasiewicz, Bivalência e Verofuncionalidade Samir Bezerra Gorsky CLE-UNICAMP Orientador: Prof. Dr....

Lukasiewicz, Bivalência e Lukasiewicz, Bivalência e VerofuncionalidadeVerofuncionalidade

Samir Bezerra GorskySamir Bezerra Gorsky

CLE-UNICAMPCLE-UNICAMP

Orientador: Prof. Dr. Walter CarnielliOrientador: Prof. Dr. Walter Carnielli

Resumo:Resumo:

É bem conhecida a questão da valoração de proposições sobre É bem conhecida a questão da valoração de proposições sobre futuros contingentes tais como descreve Aristóteles no De futuros contingentes tais como descreve Aristóteles no De Interpretatione IX, assim como também são bem conhecidas as Interpretatione IX, assim como também são bem conhecidas as lógicas n-valoradas de Lukasiewicz criadas para solucionar tal lógicas n-valoradas de Lukasiewicz criadas para solucionar tal questão. Lukasiewicz trata dos futuros contingentes aristotélicos questão. Lukasiewicz trata dos futuros contingentes aristotélicos aplicando a noção de valores intermediários de verdade, tratamento aplicando a noção de valores intermediários de verdade, tratamento este criticado por alguns autores. Contudo, um ponto falho em tais este criticado por alguns autores. Contudo, um ponto falho em tais críticas é que o tratamento com valores intermediários devido a críticas é que o tratamento com valores intermediários devido a Lukasiewicz permite salvar a verofuncionalidade, perdida quando Lukasiewicz permite salvar a verofuncionalidade, perdida quando reduzimos tais lógicas a sistemas bivalorados.reduzimos tais lógicas a sistemas bivalorados.

A Batalha NavalA Batalha Naval

Aristóteles. Aristóteles. De InterpretationeDe Interpretatione IX (uma lógica com um IX (uma lógica com um terceiro valor).terceiro valor).

Uma tentativa de solucionar um problema relacionado aos Uma tentativa de solucionar um problema relacionado aos futuros contingentes.futuros contingentes.

Proposições devem corresponder a fatos. Proposições devem corresponder a fatos. Eventos situados no futuro possuem uma alternativa real e Eventos situados no futuro possuem uma alternativa real e

uma potencial em direções contrárias.uma potencial em direções contrárias. A afirmação e a negação correspondentes a essa A afirmação e a negação correspondentes a essa

proposição terão o mesmo caráter.proposição terão o mesmo caráter. Ambas poderão ser verdadeiras ou ambas poderão ser Ambas poderão ser verdadeiras ou ambas poderão ser

falsas, porém atualmente não podem possuir nenhum valor falsas, porém atualmente não podem possuir nenhum valor de verdade (verdadeiro ou falso).de verdade (verdadeiro ou falso).


Aristóteles Argumenta que não podem Aristóteles Argumenta que não podem valer, ao mesmo tempo, os seguintes casos:valer, ao mesmo tempo, os seguintes casos:

a) “Haverá ou não haverá uma batalha a) “Haverá ou não haverá uma batalha naval amanhã” é, agora, indeterminado.naval amanhã” é, agora, indeterminado.

b) Já é definitivamente verdadeiro ou b) Já é definitivamente verdadeiro ou definitivamente falso que haverá uma definitivamente falso que haverá uma batalha naval amanhã.batalha naval amanhã.


Embora nenhuma das partes da disjunção Embora nenhuma das partes da disjunção seja, agora, verdadeira ou falsa, o conjunto seja, agora, verdadeira ou falsa, o conjunto inteiro desta disjunção (haverá ou não inteiro desta disjunção (haverá ou não haverá uma batalha naval amanhã) é desde haverá uma batalha naval amanhã) é desde já definitivamente verdadeiro.já definitivamente verdadeiro.


Tratamento desta questão entre os pensadores Tratamento desta questão entre os pensadores medievais.medievais.

Okham introduz um valor “neutro” que coexiste Okham introduz um valor “neutro” que coexiste com proposições que possuem valor de verdade com proposições que possuem valor de verdade determinado (verdadeiro ou falso).determinado (verdadeiro ou falso).

Relação desta lógica tri-valorada e a omnisciência Relação desta lógica tri-valorada e a omnisciência divina.divina.

Exitem proposições indeterminadas Exitem proposições indeterminadas Existem questões para as quais Deus não Existem questões para as quais Deus não pode,desde já, conhecer a sua resposta.pode,desde já, conhecer a sua resposta.


Considere as seguintes proposições:Considere as seguintes proposições:

1) “X acontecerá”1) “X acontecerá”

2) “Deus sabe que X acontecerá” 2) “Deus sabe que X acontecerá” (Deus sabe que 1))(Deus sabe que 1))


2) 2) 1) ? 1) ? Okham pensava que sim.Okham pensava que sim. O antecedente é falso quando o conseqüente é O antecedente é falso quando o conseqüente é

“neutro”.“neutro”. (Usando a notação encontrada em [3])(Usando a notação encontrada em [3])

C0½ = 1, assim como C01 = 1C0½ = 1, assim como C01 = 1 ‘‘2) 2) 1)’ é verdadeira não importando que tipo de 1)’ é verdadeira não importando que tipo de

evento X possa ser.evento X possa ser. C00 = 1; C11 = 1 [Pois se 1) é V. Deus (sendo C00 = 1; C11 = 1 [Pois se 1) é V. Deus (sendo

Deus) saberá que 1) ].Deus) saberá que 1) ].


1) 1) 2)? 2)? Se 1) é falso então 2) é falsoSe 1) é falso então 2) é falso Se 1) é verdadeiro então 2) é verdadeiroSe 1) é verdadeiro então 2) é verdadeiro E se 1) é “neutro”?E se 1) é “neutro”? Daí 2) é falso e, portanto, 1) Daí 2) é falso e, portanto, 1) 2) é falso. 2) é falso. ““não vale ambos p e não-q” não implica, em todos não vale ambos p e não-q” não implica, em todos

os casos, “se p então q” os casos, “se p então q”

LukasiewiczLukasiewicz

O problema de se construir uma lógica O problema de se construir uma lógica verofuncional que nos permita trabalhar verofuncional que nos permita trabalhar com proposições “neutras” como as que com proposições “neutras” como as que encontramos nos trabalhos aristotélicos foi encontramos nos trabalhos aristotélicos foi atacado, de forma sistemática, em 1920 por atacado, de forma sistemática, em 1920 por Lukasiewicz.Lukasiewicz.

Ele sugeriu que deveríamos considerar as Ele sugeriu que deveríamos considerar as seguintes matrizes: seguintes matrizes:


~~

11 00

½ ½ ½ ½

00 11

&& 11 ½ ½ 00

11 11 ½ ½ 00

½½ ½½ ½½ 00

00 00 00 00


11 ½ ½ 00

11 11 ½ ½ 00

½½ 11 11 ½ ½

00 11 11 11

VV 11 ½ ½ 00

11 11 1 1 11

½½ 11 ½ ½ ½ ½

00 11 ½ ½ 00


A partir dessas matrizes (p & q) é equivalente a:A partir dessas matrizes (p & q) é equivalente a:

~ (~p ~ (~p v v ~q)~q) Podemos ainda definir (p Podemos ainda definir (p q): q):

(p (p q) & (q q) & (q p) p) p p vv q não é, entretanto, definido como: q não é, entretanto, definido como:

~p ~p q q

(no cálculo implicacional porém é definido como:(no cálculo implicacional porém é definido como:

(p (p q) q) p) p)


~p é definido como: p ~p é definido como: p Muitas leis do cálculo proposicional deixam de Muitas leis do cálculo proposicional deixam de

valer de acordo com os significados dos valer de acordo com os significados dos conectivos dados pelas matrizes acima.conectivos dados pelas matrizes acima.

Por exemplo: (~p Por exemplo: (~p p) p) p p A lei do terceiro excluído: p A lei do terceiro excluído: p vv ~p ~p

(suponha que p = ½)(suponha que p = ½)Daí temos uma divergência entre a lógica L3 de Daí temos uma divergência entre a lógica L3 de

Lukasiewicz e o que é sugerido no Lukasiewicz e o que é sugerido no De De InterpretationeInterpretatione. .


A verdade do terceiro excluído é devido ao fato de A verdade do terceiro excluído é devido ao fato de seus componentes serem contraditórios e não por seus componentes serem contraditórios e não por causa dos seus valores de verdade.causa dos seus valores de verdade.

Existe portanto um elemento não-verofuncional no Existe portanto um elemento não-verofuncional no tratamento destas proposições.tratamento destas proposições.

Prior [3] considera que o aparecimento da não-Prior [3] considera que o aparecimento da não-verofuncionalidade em tais proposições é devido verofuncionalidade em tais proposições é devido a uma confusão com relação à diferenciação das a uma confusão com relação à diferenciação das duas seguintes sentenças: duas seguintes sentenças:


i) “Haverá ou não haverá uma batalha naval i) “Haverá ou não haverá uma batalha naval amanhã” é verdadeira de acordo com regras amanhã” é verdadeira de acordo com regras verofuncionais, somente quando pelo verofuncionais, somente quando pelo menos uma das duas componentes for menos uma das duas componentes for verdadeira.verdadeira.

ii) “Amanhã será o caso da seguinte ii) “Amanhã será o caso da seguinte sentença: há ou não há uma batalha naval”sentença: há ou não há uma batalha naval”


A sentença i), apesar de salvar a A sentença i), apesar de salvar a verofuncionalidade, não possui validade para verofuncionalidade, não possui validade para todos os casos. (considerando o sistema tri-todos os casos. (considerando o sistema tri-valorado de Lukasiewiczvalorado de Lukasiewicz

A sentença ii) não é verofuncional dado que o A sentença ii) não é verofuncional dado que o conectivo de disjunção é governado pelo operador conectivo de disjunção é governado pelo operador não-verofuncional ‘amanhã será o caso...’ (tal não-verofuncional ‘amanhã será o caso...’ (tal operador não aparece no sistema tri-valorado de operador não aparece no sistema tri-valorado de Lukasiewicz)Lukasiewicz)

Problema!Problema!

Como tratar as proposições futuras em Como tratar as proposições futuras em matéria contingente a partir de seus valores matéria contingente a partir de seus valores de verdade (inclusive o “neutro”: ½ ) e de verdade (inclusive o “neutro”: ½ ) e ainda manter as características lógicas ainda manter as características lógicas básicas como por exemplo a básicas como por exemplo a verofuncionalidade? verofuncionalidade?

Propostas:Propostas:

Para responder a essa questão analisaremos duas Para responder a essa questão analisaremos duas propostas diferentes:propostas diferentes:

A proposta BA proposta BCritica os sistemas tri-valorados de Lukasiewicz e Critica os sistemas tri-valorados de Lukasiewicz e tenta uma solução a partir da temporalização da tenta uma solução a partir da temporalização da lógica.lógica.

A proposta CA proposta CDefende que os sistemas tri-valorados de Defende que os sistemas tri-valorados de Lukasiewicz não são supérfluos e que portanto não Lukasiewicz não são supérfluos e que portanto não devem ser descartados ao se tratar de lógicas devem ser descartados ao se tratar de lógicas contendo proposições futuras em matéria contendo proposições futuras em matéria contingente. contingente.

A proposta BA proposta B

Bivalência:Bivalência:

““só o discurso no qual reside o verdadeiro e só o discurso no qual reside o verdadeiro e o falso é um discurso veritativo.” o falso é um discurso veritativo.”

((De InterpretationeDe Interpretatione, IV 16b33-17a7), IV 16b33-17a7)

O Princípio da bivalência desempenha um O Princípio da bivalência desempenha um papel fundamental na tentativa de se refutar papel fundamental na tentativa de se refutar o determinismo lógicoo determinismo lógico


Diodoro Vs AristótelesDiodoro Vs Aristóteles

Diodoro aceita o determinismo. Diodoro aceita o determinismo.

Aristóteles não aceita o determinismo.Aristóteles não aceita o determinismo.


Se atribuirmos à frase “haverá uma batalha Se atribuirmos à frase “haverá uma batalha naval amanhã” o valor 1, então certamente naval amanhã” o valor 1, então certamente a batalha vai acontecer. Se atribuirmos 0, a batalha vai acontecer. Se atribuirmos 0, então certamente a batalha não vai então certamente a batalha não vai acontecer.acontecer.

Qualquer que seja o seu valor de verdade Qualquer que seja o seu valor de verdade

(0 ou 1), o futuro estará fadado a acontecer (0 ou 1), o futuro estará fadado a acontecer em conformidade com este valor. em conformidade com este valor.


Muitos interpretes consideram que Muitos interpretes consideram que Aristóteles não pode refutar o determinismo Aristóteles não pode refutar o determinismo lógico sem limitar a validade irrestrita do lógico sem limitar a validade irrestrita do princípio de bivalência.princípio de bivalência.

A proposta B é uma tentativa de resolver o A proposta B é uma tentativa de resolver o impasse causado pela ameaça do impasse causado pela ameaça do determinismo, porém sem abrir mão do determinismo, porém sem abrir mão do princípio de bivalência irrestrito.princípio de bivalência irrestrito.


Crisipo e Epicuro admitiam aimplicação do Crisipo e Epicuro admitiam aimplicação do princípio de bivalência irrestrito ao princípio de bivalência irrestrito ao necessitarismo universal.necessitarismo universal.

Crisipo aceita o princípio sem restrição e Crisipo aceita o princípio sem restrição e portanto o necessitarismo.portanto o necessitarismo.

Epicuro recusa o determinismo e daí nega a Epicuro recusa o determinismo e daí nega a universalidade irrestrita do princípio.universalidade irrestrita do princípio.

(cf. [1] p 173)(cf. [1] p 173)


Podemos considerar duas etapas ordenadas Podemos considerar duas etapas ordenadas das posições citadas acima.das posições citadas acima.

Primeiro: Vale a implicação do princípio de Primeiro: Vale a implicação do princípio de bivalência irrestrito ao necessitarismo bivalência irrestrito ao necessitarismo lógico?lógico?

Segundo: Vale o princípio de bivalência Segundo: Vale o princípio de bivalência irrestrita? irrestrita?


A maioria dos autores considerados neste A maioria dos autores considerados neste trabalho estão de acordo com a resposta trabalho estão de acordo com a resposta afirmativa à primeira questão, ou seja:afirmativa à primeira questão, ou seja:

Princípio de bivalência irrestrito Princípio de bivalência irrestrito Necessitarismo lógico Necessitarismo lógico


Questão: É possível refutar o argumento Questão: É possível refutar o argumento necessitarista contido no capítulo IX donecessitarista contido no capítulo IX doDe Interpretatione De Interpretatione sem restringir o sem restringir o princípio de bivalência? princípio de bivalência?

Deve-se compreender corretamente os Deve-se compreender corretamente os princípios lógicos ontológicos e a princípios lógicos ontológicos e a concepção aristotélica de valor-de-verdade.concepção aristotélica de valor-de-verdade.(cf. [1] p. 175) (cf. [1] p. 175)


Veritas sequitur esse rerumVeritas sequitur esse rerum A mudança é logicamente possível A mudança é logicamente possível

(contrapondo os argumentos eleáticos)(contrapondo os argumentos eleáticos) Conclusão: é preciso introduzir o tempo na Conclusão: é preciso introduzir o tempo na

formulação dos primeiros princípiosformulação dos primeiros princípios Sem tempo não há mudançaSem tempo não há mudança


O verbo ser, flexionado como por exemplo O verbo ser, flexionado como por exemplo na expressão “X é verdadeiro ou falso”, na expressão “X é verdadeiro ou falso”, pode significar o tempo presente ou o pode significar o tempo presente ou o presente omnitemporal.presente omnitemporal.

Para os defensores da proposta B, o Para os defensores da proposta B, o princípio de bivalência deve ser tomado princípio de bivalência deve ser tomado como irrestrito e portanto necessário. como irrestrito e portanto necessário.


A formulação exata do princípio de bivalência A formulação exata do princípio de bivalência torna-se, por conseguinte, algo como:torna-se, por conseguinte, algo como:

““um enunciado é veritativo se, e somente se, ele é, um enunciado é veritativo se, e somente se, ele é, foi ou/e será verdadeiro ou bem ele é, foi ou/e será foi ou/e será verdadeiro ou bem ele é, foi ou/e será falso”.falso”.

(A conjunção “e” se aplica aos enunciados (A conjunção “e” se aplica aos enunciados necessários e a disjunção “ou” aos contingentes e necessários e a disjunção “ou” aos contingentes e ambos, a conjunção e a disjunção, não serão aqui ambos, a conjunção e a disjunção, não serão aqui vero-funcionais) (cf. [1] p. 177) vero-funcionais) (cf. [1] p. 177)

ComentáriosComentários

Se tomarmos a disjunção “ou’ para os enunciados Se tomarmos a disjunção “ou’ para os enunciados contingentes estes passarão a ser necessários.contingentes estes passarão a ser necessários.

O problema não se define apenas sobre enunciados O problema não se define apenas sobre enunciados futuros mas sobre sua contingência (nem sempre futuros mas sobre sua contingência (nem sempre temporalizada). Por exemplo: Qual o valor de temporalizada). Por exemplo: Qual o valor de verdade da sentença “a camisa é verde”?verdade da sentença “a camisa é verde”?

As sentenças continuam sem referência mesmo com As sentenças continuam sem referência mesmo com a passagem do tempo (o que muda é o significado a passagem do tempo (o que muda é o significado da sentença em uma certa data determinada)da sentença em uma certa data determinada)

Se temporalizarmos os enunciados perderemos a Se temporalizarmos os enunciados perderemos a verofuncionalidade.verofuncionalidade.

A proposta CA proposta C

Roman Suszko (1970’s) Roman Suszko (1970’s) “there are but two logical “there are but two logical values, true and false”.values, true and false”.

Wójcicki-Lindembaum: Mostra que qualquer Wójcicki-Lindembaum: Mostra que qualquer lógica tarskiana tem uma semântica multi-lógica tarskiana tem uma semântica multi-valorada. valorada.

Suszko-daCosta-Scott: mostra que qualquer Suszko-daCosta-Scott: mostra que qualquer semântica multivalorada pode ser reduzida a uma semântica multivalorada pode ser reduzida a uma semântica bi-valorada.semântica bi-valorada.

Por que trabalhar com lógicas multivaloradas?Por que trabalhar com lógicas multivaloradas?

A proposta CA proposta C

Porque precisamos de uma ponte (algumas vezes) Porque precisamos de uma ponte (algumas vezes) entre a bi-valoração e a verofuncionalidade. (de um entre a bi-valoração e a verofuncionalidade. (de um ponto de vista pragmático).ponto de vista pragmático).

Os resultados redutivos de Suszko são não Os resultados redutivos de Suszko são não construtivos.construtivos.

Existe uma maneira de se construir semânticas bi-Existe uma maneira de se construir semânticas bi-valoradas para qualquer lógica que tenha uma valoradas para qualquer lógica que tenha uma semântica verofuncional finito-valorada e uma semântica verofuncional finito-valorada e uma linguagem suficientemente expressiva.linguagem suficientemente expressiva.

É indicada ainda uma maneira de se construir um É indicada ainda uma maneira de se construir um sistema canônico adequado de seqüentes ou sistema canônico adequado de seqüentes ou tableaux. tableaux.

BibliografiaBibliografia

[1] Balthazar Barbosa Filho (UFRGS/CNPq). Aristóteles e [1] Balthazar Barbosa Filho (UFRGS/CNPq). Aristóteles e o princípio da Bivalência. Analytica, Vol. 9 n 1, 2005.o princípio da Bivalência. Analytica, Vol. 9 n 1, 2005.

[2] J.-Y. Beziau (ed.). [2] J.-Y. Beziau (ed.). Carlos Caleiro, Walter Carnielli, Carlos Caleiro, Walter Carnielli, Marcelo Coniglio e João Marcos. Marcelo Coniglio e João Marcos. Two's Company: “The Two's Company: “The Humbug of Many Logical Values” In Logica Universalis Humbug of Many Logical Values” In Logica Universalis pp 169-189. Birkhäuser Verlag Basel/Switzerland 2005. pp 169-189. Birkhäuser Verlag Basel/Switzerland 2005.

[3] Arthur Prior. [3] Arthur Prior. Three-valued and Intuitionist LogicThree-valued and Intuitionist Logic in in Formal Logic. Claredon Press, Oxford 2Formal Logic. Claredon Press, Oxford 2aa ed. 1962. ed. 1962.

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