LuizFernandoLopesRodriguesSilva

5/9/2018 LuizFernandoLopesRodriguesSilva - slidepdf.com

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D E S E N V O L V I M E N T O D E M E T O D O L O G I A S P A R A S I M U L A Ç Ã O D E

E S C O A M E N T O S P O L I D I S P E R S O S U S A N D O C Ó D I G O L I V R E

L u i z F e r n a n d o L o p e s R o d r i g u e s S i l v a

T E S E S U B M E T I D A A O C O R P O D O C E N T E D A C O O R D E N A Ç Ã O

D O S P R O G R A M A S D E P Ó S - G R A D U A Ç Ã O D E E N G E N H A R I A D A

U N I V E R S I D A D E F E D E R A L D O R I O D E J A N E I R O C O M O P A R T E D O S

R E Q U I S I T O S N E C E S S Á R I O S P A R A A O B T E N Ç Ã O D O G R A U D E D O U T O R

E M C I Ê N C I A S E M E N G E N H A R I A Q U Í M I C A .

A p r o v a d a p o r :

P r o f . P a u l o L a r a n j e i r a d a C u n h a L a g e , D . S c .

P r o f . J o s é C a r l o s C o s t a d a S i l v a P i n t o , D . S c .

P r o f . A l v a r o L u i z G a y o s o d e A z e r e d o C o u t i n h o , D . S c .

P r o f a . A n g e l a O u r i v i o N i e c k e l e , D . S c .

P r o f . H r v o j e J a s a k , P h . D .

R I O D E J A N E I R O R J , B R A S I L

J U N H O D E 2 0 0 8



S I L V A , L U I Z F E R N A N D O L O P E S

R O D R I G U E S

D e s e n v o l v i m e n t o d e M e t o d o l o g i a s p a r a

S i m u l a ç ã o d e E s c o a m e n t o s P o l i d i s p e r s o s

u s a n d o C ó d i g o L i v r e [ R i o d e J a n e i r o ] 2 0 0 8

X V I I , 2 6 2 p . 29, 7

c m ( C O P P E / U F R J ,

D . S c . , E n g e n h a r i a Q u í m i c a , 2 0 0 8 )

T e s e U n i v e r s i d a d e F e d e r a l d o R i o d e

J a n e i r o , C O P P E

1 . P r o c e s s o s M u l t i f á s i c o s

2 . B a l a n ç o P o p u l a c i o n a l

3 . F l u i d o d i n â m i c a C o m p u t a c i o n a l

4 . O p e n F O A M

5 . D Q M O M

6 . M o d e l a g e m e S i m u l a ç ã o

I . C O P P E / U F R J I I . T í t u l o ( s é r i e )

i i



À m i n h a f a m í l i a

i i i



A g r a d e c i m e n t o s

A g r a d e ç o e m p r i m e i r o l u g a r a o o r i e n t a d o r e a m i g o P a u l o L a g e q u e , d e s d e o s m e u s

t e m p o s d e i n i c i a ç ã o c i e n t í c a , c o n t r i b u i f o r t e m e n t e n a m i n h a f o r m a ç ã o , c o m s e u s

c o n s e l h o s , d i s c u s s õ e s , i d é i a s e c o r r e ç õ e s .

A g r a d e ç o a o s m e m b r o s d a b a n c a d e d o u t o r a d o , P r o f . J a s a k , P r o f a . A n g e l a , P r o f .

A l v a r o e P r o f . J o s é C a r l o s , p e l o a p o i o e s u g e s t õ e s n a a v a l i a ç ã o d e s t e d o c u m e n t o .

E m e s p e c i a l , g o s t a r i a d e a g r a d e c e r a o D r . J a s a k p e l o s v á r i o s c o n s e l h o s e p e l a s l o n g a s

e c o n s t r u t i v a s c o n v e r s a s q u e o c o r r e r a m d u r a n t e s u a e s t a d a n a U F R J .

N ã o p o s s o d e i x a r d e a g r a d e c e r a o s a m i g o s d o L a b o r a t ó r i o d e T e r m o u i d o d i n â -

m i c a , A n t o n i o , R i c a r d o C a r v a l h o , J o ã o F e l i p e , M a r c e l o , F á b i o e W i l l i a n . A c o n s -

t a n t e t r o c a d e i d é i a s , s u g e s t õ e s , p i a d a s , e t c . f o r a m d e g r a n d e v a l i a p a r a o ó t i m o c l i m a

n o l a b o r a t ó r i o e , p o r c o n s e g u i n t e , a e v o l u ç ã o d e s t e t r a b a l h o . A o s e x - i n t e g r a n t e s d o

l a b o r a t ó r i o , C l á u d i o P a t r í c i o , R i c a r d o D a m i a n , F l á v i o C a m p o s , J o r g e P a l o m i n o ,

V i c t o r R u i z e C a r l o s E d u a r d o , m u i t o o b r i g a d o p e l o a p o i o c o n s t a n t e .

M e u s s i n c e r o s a g r a d e c i m e n t o s a o s a m i g o s e c o l e g a s d o P E Q p e l o ó t i m o c o n v í v i o .

E m e s p e c i a l , a g r a d e ç o à C l a r i s s a p o r t o d o c a r i n h o e m m i m d e p o s i t a d o .

A g r a d e ç o a o s a m i g o s q u e t r i l h a r a m o c u r s o d e g r a d u a ç ã o e m e n g e n h a r i a q u í m i c a

c o m i g o e h o j e f a z e m p a r t e d a m i n h a v i d a . A o s m e u s a m i g o s d e l o n g a d a t a e a o s

m a i s r e c e n t e s , m u i t o o b r i g a d o .

A g r a d e ç o a o C N P q e à C h e m t e c h p e l o s u p o r t e n a n c e i r o .

P o r m , a g r a d e ç o à m i n h a f a m í l i a p e l o a p o i o e c o m p r e e n s ã o n a e s c o l h a d a m i n h a

p r e p a r a ç ã o p r o s s i o n a l .

i v



R e s u m o d a T e s e a p r e s e n t a d a à C O P P E / U F R J c o m o p a r t e d o s r e q u i s i t o s n e c e s s á r i o s

p a r a a o b t e n ç ã o d o g r a u d e D o u t o r e m C i ê n c i a s ( D . S c . )

D E S E N V O L V I M E N T O D E M E T O D O L O G I A S P A R A S I M U L A Ç Ã O D E

E S C O A M E N T O S P O L I D I S P E R S O S U S A N D O C Ó D I G O L I V R E


J u n h o / 2 0 0 8

O r i e n t a d o r : P a u l o L a r a n j e i r a d a C u n h a L a g e

P r o g r a m a : E n g e n h a r i a Q u í m i c a

E s c o a m e n t o s m u l t i f á s i c o s p o l i d i s p e r s o s e s t ã o p r e s e n t e s e m v á r i a s a p l i c a ç õ e s d a

i n d ú s t r i a q u í m i c a n a s q u a i s o s p r o c e s s o s d e i n t e r a ç ã o p a r t í c u l a - p a r t í c u l a p o d e m a f e -

t a r o p e r l d e e s c o a m e n t o . P o r t a n t o , o s e f e i t o s d e i n t e r a ç ã o e n t r e p a r t í c u l a s , c o m o

q u e b r a e a g r e g a ç ã o , d e v e m s e r i n c l u í d o s n a s i m u l a ç ã o d e e s c o a m e n t o s m u l t i f á s i c o s

p o l i d i s p e r s o s a t r a v é s d o a c o p l a m e n t o d a e q u a ç ã o d e b a l a n ç o p o p u l a c i o n a l ( E B P )

c o m o m o d e l o E u l e r i a n o m u l t i - u i d o . O d e s e n v o l v i m e n t o d a s m e t o d o l o g i a s p a r a a

s i m u l a ç ã o d e e s c o a m e n t o s m u l t i f á s i c o s p o l i d i s p e r s o s é a p r e s e n t a d o n e s t e t r a b a l h o .

U m a a v a l i a ç ã o d a a c u r á c i a d o s m é t o d o s n u m é r i c o s p a r a a s o l u ç ã o d a E B P f o i r e a l i -

z a d a e o D i r e c t Q u a d r a t u r e M e t h o d O f M o m e n t s s e m o s t r o u o m a i s a p r o p r i a d o . A s

m e t o d o l o g i a s f o r a m i m p l e m e n t a d a s n o p a c o t e C F D O p e n F O A M , e s c r i t o e m C + +

e d e c ó d i g o a b e r t o . O d e s e n v o l v i m e n t o f o i b a s e a d o n o m o d e l o E u l e r i a n o b i f á s i c o

i n c o m p r e s s í v e l j á i m p l e m e n t a d o n o O p e n F O A M , e s t e n d e n d o - o p a r a a a b o r d a g e m

m u l t i f á s i c a (

n + 1f a s e s ) e c o n s i d e r a n d o o a c o p l a m e n t o C F D - E B P . S i m u l a ç õ e s c o n -

s i d e r a n d o e f e i t o s d e q u e b r a e a g r e g a ç ã o d e p a r t í c u l a s f o r a m r e a l i z a d o s d e f o r m a a

v e r i c a r a s i m p l e m e n t a ç õ e s .

v



A b s t r a c t o f T h e s i s p r e s e n t e d t o C O P P E / U F R J a s a p a r t i a l f u l l l m e n t o f t h e

r e q u i r e m e n t s f o r t h e d e g r e e o f D o c t o r o f S c i e n c e ( D . S c . )

D E V E L O P M E N T O F M E T H O D O L O G I E S F O R T H E S I M U L A T I O N O F

P O L Y D I S P E R S E F L O W S U S I N G O P E N S O U R C E C O D E


J u n e / 2 0 0 8

A d v i s o r : P a u l o L a r a n j e i r a d a C u n h a L a g e

D e p a r t m e n t : C h e m i c a l E n g i n e e r i n g

P o l y d i s p e r s e m u l t i p h a s e o w s a p p e a r i n s e v e r a l c h e m i c a l i n d u s t r y a p p l i c a t i o n s

i n w h i c h t h e p a r t i c l e - p a r t i c l e i n t e r a c t i o n s m a y a e c t t h e o w p a t t e r n s . T h u s , t h e

p a r t i c l e i n t e r a c t i o n s , a s b r e a k a g e a n d a g g r e g a t i o n , s h o u l d b e i n c l u d e d i n t h e p o l y d i s -

p e r s e m u l t i p h a s e o w s i m u l a t i o n s t h r o u g h t h e p o p u l a t i o n b a l a n c e e q u a t i o n ( P B E )

a n d t h e E u l e r i a n m u l t i - u i d m o d e l c o u p l i n g . T h e d e v e l o p m e n t o f t h e m e t h o d o l o -

g i e s f o r t h e s i m u l a t i o n o f p o l y d i s p e r s e m u l t i p h a s e o w i s p r e s e n t e d i n t h i s w o r k .

A n e v a l u a t i o n o f t h e a c c u r a c y o f n u m e r i c a l m e t h o d s t o s o l v e t h e P B E w a s a c c o m -

p l i s h e d a n d t h e D i r e c t Q u a d r a t u r e M e t h o d O f M o m e n t s h a s s h o w n a s t h e b e s t c h o i c e .

T h e m e t h o d o l o g i e s w e r e i m p l e m e n t e d i n t h e O p e n F O A M o p e n s o u r c e C F D p a c k -

a g e w r i t t e n i n C + + . T h e d e v e l o p m e n t w a s b a s e d o n t h e i n c o m p r e s s i b l e E u l e r i a n

t w o - p h a s e m o d e l a l r e a d y i m p l e m e n t e d i n O p e n F O A M , e x t e n d i n g i t t o a m u l t i p h a s e

a p p r o a c h ( n + 1

p h a s e s ) a n d c o n s i d e r i n g t h e C F D - P B E c o u p l i n g . N u m e r i c a l s i m u l a -

t i o n s c o n s i d e r i n g b r e a k a g e a n d a g g r e g a t i o n e e c t s w e r e p e r f o r m e d i n o r d e r t o v e r i f y

t h e i m p l e m e n t a t i o n s .

v i



S u m á r i o

L i s t a d e F i g u r a s x i

L i s t a d e T a b e l a s x i v

N o m e n c l a t u r a x v

1 I n t r o d u ç ã o e O b j e t i v o s 1

1 . 1 C o n t e x t o e M o t i v a ç ã o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1 . 2 O b j e t i v o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1 . 3 J u s t i c a t i v a e R e l e v â n c i a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1 . 3 . 1 H i s t ó r i c o d o G r u p o d e P e s q u i s a . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1 . 3 . 2 R e a t o r e s M u l t i f á s i c o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1 . 3 . 3 P o r q u e S o f t w a r e L i v r e ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1 . 4 O r g a n i z a ç ã o d o t e x t o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 F u n d a m e n t o s d o E s c o a m e n t o M u l t i f á s i c o 1 1

2 . 1 F u n d a m e n t o s d e M o d e l a g e m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1

2 . 1 . 1 C o n c e i t o s B á s i c o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2

2 . 2 M o d e l a g e m E u l e r i a n a - E u l e r i a n a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5

2 . 2 . 1 M o d e l o M u l t i - u i d o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6

2 . 2 . 2 M o d e l o d e M i s t u r a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7

2 . 3 A b o r d a g e m p a r a o F e c h a m e n t o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8

2 . 3 . 1 F e c h a m e n t o d a s F o r ç a s d e I n t e r a ç ã o . . . . . . . . . . . . . . . 2 0

2 . 3 . 2 M o d e l a g e m d e T u r b u l ê n c i a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6

2 . 4 A n á l i s e d e E s c o a m e n t o s G á s - L í q u i d o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1

v i i



2 . 4 . 1 C o l u n a s d e B o r b u l h a m e n t o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1

2 . 4 . 2 S i m u l a ç õ e s E u l e r i a n a s : R e g i m e H o m o g ê n e o . . . . . . . . . . . 3 3

2 . 4 . 3 S i m u l a ç õ e s E u l e r i a n a s : R e g i m e H e t e r o g ê n e o . . . . . . . . . . 3 9

3 M o d e l a g e m d e B a l a n ç o P o p u l a c i o n a l 4 2

3 . 1 B a l a n ç o P o p u l a c i o n a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2

3 . 1 . 1 E q u a ç ã o d e B a l a n ç o P o p u l a c i o n a l ( E B P ) . . . . . . . . . . . . 4 4

3 . 1 . 2 P r o c e s s o s d e A g r e g a ç ã o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5

3 . 1 . 3 P r o c e s s o s d e Q u e b r a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 8

3 . 1 . 4 H i p ó t e s e s e S i m p l i c a ç õ e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 9

3 . 2 T é c n i c a s N u m é r i c a s p a r a S o l u ç ã o d e E B P s . . . . . . . . . . . . . . . 5 1

3 . 2 . 1 M é t o d o s E s t o c á s t i c o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1

3 . 2 . 2 M é t o d o d o s R e s í d u o s P o n d e r a d o s . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3

3 . 2 . 3 M é t o d o d a s C l a s s e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5

3 . 2 . 4 M é t o d o d o s M o m e n t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1

3 . 2 . 5 M é t o d o s H í b r i d o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2

3 . 3 A c o p l a m e n t o C F D - E B P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 9

3 . 3 . 1 F u n d a m e n t o s d o A c o p l a m e n t o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 0

3 . 3 . 2 R e v i s ã o d e A p l i c a ç õ e s u s a n d o C F D - E B P . . . . . . . . . . . . 7 3

4 P a c o t e C F D O p e n F O A M 8 1

4 . 1 I n t r o d u ç ã o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1

4 . 1 . 1 O r i g e m d o O p e n F O A M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2

4 . 2 E s t r u t u r a d a M e t o d o l o g i a N u m é r i c a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4

4 . 2 . 1 D i s c r e t i z a ç ã o p o r V o l u m e s F i n i t o s . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4

4 . 2 . 2 S i s t e m a A l g é b r i c o d e E q u a ç õ e s . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 9

4 . 2 . 3 N o t a ç ã o d a F o r m u l a ç ã o D i s c r e t a . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 0

4 . 3 C o n c e i t o s d e P r o g r a m a ç ã o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2

4 . 3 . 1 O r i e n t a ç ã o a O b j e t o s e C + + . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3

4 . 3 . 2 I n t e r p r e t a ç ã o d a L i n g u a g e m p e l o O p e n F O A M . . . . . . . . . 9 5

4 . 3 . 3 I m p l e m e n t a ç ã o d e C ó d i g o s C F D . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 7

v i i i



4 . 4 E s c o a m e n t o M u l t i f á s i c o n o O p e n F O A M . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 0

4 . 4 . 1 A b o r d a g e n s I m p l e m e n t a d a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 0

4 . 4 . 2 M o d e l o E u l e r i a n o B i f á s i c o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 1

5 D e s e n v o l v i m e n t o d a s M e t o d o l o g i a s 1 0 4

5 . 1 I n t r o d u ç ã o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 4

5 . 2 F o r m u l a ç ã o N u m é r i c a d o M o d e l o B i f á s i c o . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 5

5 . 2 . 1 E q u a ç õ e s M u l t i f á s i c a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 6

5 . 2 . 2 E q u a ç ã o d a P r e s s ã o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 9

5 . 2 . 3 E q u a ç ã o d a F r a ç ã o V o l u m é t r i c a . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 0

5 . 2 . 4 M o d e l o k −

p a r a T u r b u l ê n c i a . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2

5 . 2 . 5 I m p l e m e n t a ç ã o e A l g o r i t m o d e S o l u ç ã o . . . . . . . . . . . . . 1 1 2

5 . 3 B a l a n ç o P o p u l a c i o n a l n o O p e n F O A M . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 4

5 . 3 . 1 F o r m u l a ç ã o d o D Q M O M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 4

5 . 3 . 2 I m p l e m e n t a ç ã o N u m é r i c a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 5

5 . 4 A b o r d a g e m M U S I G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 7

5 . 4 . 1 I m p l e m e n t a ç ã o N u m é r i c a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 0

5 . 5 M o d e l a g e m M u l t i - u i d o e E B P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 0

5 . 5 . 1 E q u a ç ã o d e C o n s e r v a ç ã o M u l t i f á s i c a . . . . . . . . . . . . . . 1 2 2

5 . 5 . 2 E q u a ç ã o M u l t i f á s i c a d a P r e s s ã o . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 4

5 . 5 . 3 E q u a ç ã o p a r a a F r a ç ã o V o l u m é t r i c a M u l t i f á s i c a . . . . . . . . 1 2 5

5 . 5 . 4 A c o p l a m e n t o C F D - E B P M u l t i f á s i c o . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 6

5 . 5 . 5 I m p l e m e n t a ç ã o d a s A b o r d a g e n s . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 7

6 R e s u l t a d o s e D i s c u s s ã o 1 3 1

6 . 1 I n t r o d u ç ã o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 1

6 . 2 C o m p a r a ç ã o e A v a l i a ç ã o d o s M é t o d o s H í b r i d o s . . . . . . . . . . . . . 1 3 1

6 . 3 A v a l i a ç ã o d o D Q M O M e A c o p l a m e n t o M U S I G . . . . . . . . . . . . . 1 3 5

6 . 3 . 1 S o l u ç ã o d a E B P n o O p e n F O A M . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 7

6 . 3 . 2 E s c o a m e n t o e m e m u l s ã o u s a n d o o m o d e l o M U S I G . . . . . . . 1 4 0

6 . 4 E s c o a m e n t o M u l t i f á s i c o P o l i d i s p e r s o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 5

i x



6 . 4 . 1 S i m u l a ç õ e s M u l t i f á s i c a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 6

6 . 4 . 2 S i m u l a ç õ e s d e E s c o a m e n t o s P o l i d i s p e r s o s . . . . . . . . . . . . 1 4 8

7 C o n c l u s õ e s e S u g e s t õ e s 1 5 5

7 . 1 R e s u m o d o T r a b a l h o e C o n c l u s õ e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 5

7 . 2 S u g e s t õ e s p a r a T r a b a l h o s F u t u r o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 1

R e f e r ê n c i a s B i b l i o g r á c a s 1 6 3

A C o m p a r a ç ã o d o s M é t o d o s d e S o l u ç ã o p a r a E B P 1 9 5

A . 1 I n f o r m a ç õ e s s o b r e o A p ê n d i c e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 5

B A v a l i a ç ã o e I m p l e m e n t a ç ã o d a E B P e M U S I G 2 2 7

B . 1 I n f o r m a ç õ e s s o b r e o A p ê n d i c e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 7

C M o d e l a g e m e I m p l e m e n t a ç ã o d o M o d e l o P o l i d i s p e r s o 2 4 3

C . 1 I n f o r m a ç õ e s s o b r e o A p ê n d i c e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 3

C . 1 . 1 E r r a t a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 3

x



L i s t a d e F i g u r a s

2 . 1 C o e c i e n t e d e a r r a s t o p a r a e s f e r a s r í g i d a s e m f u n ç ã o d o n ú m e r o d e

R e y n o l d s ( r e t i r a d o d e S C H L I C H T I N G [ 4 4 ] ) . . . . . . . . . . . . . . . 2 2

2 . 2 C o e c i e n t e d e s u s t e n t a ç ã o p a r a u m a e s f e r a r í g i d a e l i s a e m f u n ç ã o d o

n ú m e r o d e R e y n o l d s . L i n h a s ó l i d a : s o l u ç ã o a n a l í t i c a p a r a e s c o a m e n t o

i n v í s c i d o ; l i n h a s p o n t i l h a d a s : a j u s t e d a c u r v a p a r a o s r e s u l t a d o s n u -

m é r i c o s c o m Sr = 0, 02

( •

) e Sr = 0, 2

(

) ; l i n h a s t r a c e j a d a s : s o l u ç ã o

a n a l í t i c a p a r a c r e e p i n g o w c o m Sr = 0, 02

e Sr = 0, 2

( r e t i r a d o d e

L E G E N D R E e M A G N A U D E T [ 5 1 ] ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4

2 . 3 R e p r e s e n t a ç õ e s d o s r e g i m e s d e e s c o a m e n t o o b s e r v a d o s e m c o l u n a s d e

b o r b u l h a m e n t o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2

3 . 1 R e p r e s e n t a ç ã o d o p r o c e s s o d e a g r e g a ç ã o i n i c i a d o p e l a d r e n a g e m d o

l m e u i d o q u e s e p a r a a s p a r t í c u l a s , p o d e n d o r e s u l t a r ( a ) n a a g r e g a -

ç ã o d a s p a r t í c u l a s o u ( b ) n a s e p a r a ç ã o d e s t a s . . . . . . . . . . . . . . 4 6

3 . 2 R e p r e s e n t a ç ã o d e c o m o a t é c n i c a d o p i v ô x o l i d a c o m a f o r m a ç ã o d e

n o v a s p a r t í c u l a s q u e n ã o c o i n c i d e m c o m u m p i v ô e x i s t e n t e ; • l i m i t e s

d a s c l a s s e s , |

p i v ô ( ξi ) ,

n o v a p a r t í c u l a f o r m a d a p o r a g r e g a ç ã o o u

q u e b r a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7

3 . 3 R e p r e s e n t a ç ã o d o s n

g r u p o s d e p a r t í c u l a s e p a r a d o s e m u m a m a l h a

d i s c r e t a e m t a m a n h o e s u a s r e s p e c t i v a s v e l o c i d a d e s . . . . . . . . . . . 7 1

3 . 4 E x e m p l o d a f a l t a d e a c u r á c i a e m r e p r e s e n t a r a f u n ç ã o d e d i s t r i b u i ç ã o

u s a n d o o m é t o d o d a s c l a s s e s [ 1 6 6 ] e m u m c a s o c o m q u e b r a d o m i n a n t e . 7 2

x i



4 . 1 D i s c r e t i z a ç ã o n o s d o m í n i o s d e e s p a ç o e t e m p o ( r e t i r a d o d e R U S -

C H E [ 5 2 ] ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 5

4 . 2 P a r â m e t r o s n a d i s c r e t i z a ç ã o p o r v o l u m e s n i t o s ( r e t i r a d o d e R U S -

C H E [ 5 2 ] ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 5

4 . 3 O p e r a ç õ e s d a c l a s s e g e o m e t r i c F i e l d < T y p e > u s a n d o o p e r a ç õ e s i m -

p l í c i t a s ( f v m ) e e x p l í c i t a s ( f v c ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9

5 . 1 R e p r e s e n t a ç ã o d e u m t e m p l a t e P t r L i s t

<v o l S c a l a r F i e l d

>c o m

n

e l e m e n t o s . C a d a s e t a r e p r e s e n t a u m p o n t e i r o i n d i c a n d o o l o c a l o n d e

c a d a v o l S c a l a r F i e l d e s t á a l o c a d o n a m e m ó r i a . . . . . . . . . . . . . 1 1 6

6 . 1 E r r o r e l a t i v o d o s m o m e n t o s n o c a s o d e q u e b r a d o m i n a n t e p a r a o s

m o m e n t o s d e m e n o r o r d e m , µ0 − µ1 , ( a ) e m a i o r o r d e m ,

µ2 − µ3 , ( b )

u s a n d o o Q M O M e D Q M O M , P P D C ( c ) e M o C ( d ) . . . . . . . . . . 1 3 3

6 . 2 C o m p o r t a m e n t o d e f a l s a c o n v e r g ê n c i a o b t i d o p e l o P P D C c o m 3

e 6

p o n t o s d e q u a d r a t u r a e m u m c a s o d e q u e b r a e a g r e g a ç ã o e q u i v a l e n t e s . 1 3 4

6 . 3 E r r o g l o b a l m é d i o o b t i d o p a r a o s c a s o s d e ( a ) q u e b r a d o m i n a n t e e ( b )

a g r e g a ç ã o d o m i n a n t e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 5

6 . 4 D i m e n s õ e s p a r a m é t r i c a s e n o m e d o s c o n t o r n o s d a g e o m e t r i a B F S ,

o n d e L = 11H

, l = H

e h = H/2

s e n d o H = 0, 01 m

p a r a o c a s o d e

q u e b r a e H = 0, 1 m

p a r a a g r e g a ç ã o d o m i n a n t e . . . . . . . . . . . . . 1 4 0

6 . 5 C o n t o r n o d o d i â m e t r o d e S a u t e r , ds , p a r a o s c a s o s d e ( a ) q u e b r a e

( b ) a g r e g a ç ã o d o m i n a n t e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 2

6 . 6 C o n v e r g ê n c i a e m m a l h a p a r a o s c a s o s d e ( a ) q u e b r a e ( b ) a g r e g a ç ã o

u s a n d o m a l h a s h e x a é d r i c a s e t e t r a - p r i s m á t i c a s . . . . . . . . . . . . . . 1 4 3

6 . 7 I l u s t r a ç ã o d a c o n v e r s ã o d e u m g r u p o d e e l e m e n t o s t e t r a é d r i c o s e m

u m v o l u m e d e c o n t r o l e p o l i é d r i c o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 4

6 . 8 P e r s v e r t i c a i s d e

nα=1 rα e

pp a r a o C a s o s I , ( a ) e ( b ) , e I I , ( c )

e ( d ) , u s a n d o o s o l v e r t w o P h a s e E u l e r F o a m ( T - F E u l e r ) e o c ó d i g o

m u l t i f á s i c o c o m d i f e r e n t e s n ú m e r o s

nd e f a s e s . . . . . . . . . . . . . . 1 4 7

x i i



6 . 9 P e r s v e r t i c a i s d o s c o m p o n e n t e s ( a ) x

e ( b ) y

d a v e l o c i d a d e d a m i s t u r a

p a r a o C a s o I I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 8

6 . 1 0 G r á c o s d e c o n t o r n o p a r a a s ( a ) f r a ç õ e s v o l u m é t r i c a s e ( b ) d i â m e t r o s

c a r a c t e r í s t i c o s d a s f a s e s 1

e 3

n o c a s o d e q u e b r a d o m i n a n t e . . . . . . 1 5 0

6 . 1 1 G r á c o s d e c o n t o r n o p a r a a s ( a ) f r a ç õ e s v o l u m é t r i c a s e ( b ) d i â m e t r o s

c a r a c t e r í s t i c o s d a s f a s e s 1

e 3

n o c a s o d e a g r e g a ç ã o d o m i n a n t e . . . . . 1 5 2

6 . 1 2 T e m p o c o m p u t a c i o n a l d e s i m u l a ç õ e s s e r i a i s e p a r a l e l a s ( N c p u ) u s a n d o

o s c ó d i g o s p a r a e s c o a m e n t o m u l t i f á s i c o c o m e s e m o a c o p l a m e n t o c o m

b a l a n ç o p o p u l a c i o n a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 3

x i i i



L i s t a d e T a b e l a s

4 . 1 N o t a ç ã o d a d i s c r e t i z a ç ã o p o r v o l u m e s n i t o s . . . . . . . . . . . . . . . 9 1

6 . 1 E r r o s m é d i o s n a s s i m u l a ç õ e s t r a n s i e n t e s p a r a o s c a s o s d e ( a ) q u e -

b r a e a g r e g a ç ã o e q u i v a l e n t e s , ( b ) q u e b r a d o m i n a n t e e ( c ) a g r e g a ç ã o

d o m i n a n t e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 8

6 . 2 E r r o m é d i o ( % ) p a r a a s s i m u l a ç õ e s 1 D n o c a s o s d e ( b ) q u e b r a e ( c )

a g r e g a ç ã o d o m i n a n t e u s a n d o d i f e r e n t e s m é t o d o s d e i n t e r p o l a ç ã o . . . . 1 3 9

6 . 3 P r o p r i e d a d e s f í s i c a s e c o n d i ç õ e s d e e n t r a d a p a r a a m i s t u r a b i f á s i c a . . 1 4 1

x i v



N o m e n c l a t u r a

Aá r e a p r o j e t a d a n o r m a l à v e l o c i d a d e r e l a t i v a d a p a r t í c u l a

a f r e q ü ê n c i a d e a g r e g a ç ã o e n t r e p a r t í c u l a s d e u m e s t a d o d e p a r t í c u l a a o u t r o

Bt e r m o f o n t e d a e q u a ç ã o d e b a l a n ç o p o p u l a c i o n a l r e f e r e n t e à t a x a d e n a s c i -

m e n t o d e p a r t í c u l a s

bt a x a e s p e c í c a d e q u e b r a d e p a r t í c u l a s

C D,α c o e c i e n t e d e a r r a s t o d a f a s e α

C L,α c o e c i e n t e d e s u s t e n t a ç ã o d a f a s e α

C MV,αc o e c i e n t e d e m a s s a v i r t u a l d a f a s e

αDx c o e c i e n t e d e d i f u s ã o a n i s o t r ó p i c o d a p a r t í c u l a

Dt e r m o f o n t e d a e q u a ç ã o d e b a l a n ç o p o p u l a c i o n a l r e f e r e n t e à t a x a d e m o r t e d e

p a r t í c u l a s

dα d i â m e t r o c a r a c t e r í s t i c o d a f a s e α

ds d i â m e t r o m é d i o d e S a u t e r d a f a s e d i s p e r s a

Dt a x a d e d e f o r m a ç ã o d o u i d o

f f u n ç ã o d e n s i d a d e d e n ú m e r o d e p a r t í c u l a s

F i f o r ç a a t u a n t e n a p a r t í c u l a i

gc a m p o g r a v i t a c i o n a l

Gt e r m o f o n t e d a e q u a ç ã o d e b a l a n ç o p o p u l a c i o n a l r e f e r e n t e à t a x a d e v a r i a ç ã o

d a s p r o p r i e d a d e s d a p a r t í c u l a

H t e r m o f o n t e g e r a l d a e q u a ç ã o d e b a l a n ç o p o p u l a c i o n a l

J t e r m o f o n t e d a e q u a ç ã o d e b a l a n ç o p o p u l a c i o n a l r e f e r e n t e à t a x a d e n u c l e a ç ã o

d e p a r t í c u l a s

x v



MI,α t e r m o f o n t e d a e q u a ç ã o m é d i a d e m o m e n t u m r e f e r e n t e à t r o c a d e m o m e n t u m

p e l a i n t e r f a c e d a f a s e α

mm a s s a d a p a r t í c u l a

nv e t o r u n i t á r i o n o r m a l à u m a s u p e r f í c i e e s p e c í c a

nn ú m e r o d e p o n t o s d e q u a d r a t u r a

N T n ú m e r o t o t a l d e p a r t í c u l a s

P f u n ç ã o d e d e n s i d a d e d e p r o b a b i l i d a d e n a q u e b r a d e p a r t í c u l a s

pp r e s s ã o

rα f r a ç ã o v o l u m é t r i c a d a f a s e d i s p e r s a α

Ren ú m e r o d e R e y n o l d s

S v e t o r n o r m a l à f a c e d o v o l u m e d e c o n t r o l e

Srα t a x a a d i m e n s i o n a l d e c i s a l h a m e n t o n a f a s e α

Tt e n s o r t e n s ã o

tt e m p o

uv e l o c i d a d e d o u i d o

ur,αv e l o c i d a d e r e l a t i v a e n t r e a f a s e c o n t í n u a e a d i s p e r s a

αV

t a x a d e v a r i a ç ã o d a s v a r i á v e i s e x t e r n a s

vv e t o r d e v a r i á v e i s i n t e r n a s

vv o l u m e d a p a r t í c u l a

wα p e s o

αp a r a a s v a r i á v e i s i n t e r n a s

X t a x a d e v a r i a ç ã o d a s v a r i á v e i s e x t e r n a s

xv e t o r d e v a r i á v e i s e x t e r n a s

yv e t o r d e p r o p r i e d a d e s d a f a s e c o n t í n u a

L e t r a s G r e g a s

δn ú m e r o d e p a r e s i d ê n t i c o s n a a g r e g a ç ã o

t a x a d e d i s s i p a ç ã o d e e n e r g i a t u r b u l e n t a

φα u x o v o l u m é t r i c o d a f a s e α

p e l a f a c e d o v o l u m e d e c o n t r o l e , φα = (uα)f · S

ke n e r g i a c i n é t i c a t u r b u l e n t a

λ e c i ê n c i a d e a g r e g a ç ã o

µv i s c o s i d a d e d o u i d o

x v i



µk m o m e n t o k

d a d i s t r i b u i ç ã o d e p a r t í c u l a s

Ωv d o m í n i o d a s v a r i á v e i s i n t e r n a s

Ωx d o m í n i o d a s v a r i á v e i s e x t e r n a s

Ψt e r m o d e p r o d u ç ã o d e e n e r g i a t u r b u l e n t a

ρm a s s a e s p e c í c a

ς α a b s c i s s a p o n d e r a d a d a f a s e α

( ς α = wαξα )

τ t e n s ã o v i s c o s a

ϑn ú m e r o m é d i o d e p a r t í c u l a s g e r a d a s n a q u e b r a

f r e q ü ê n c i a d e c o l i s ã o p a r a a g r e g a ç ã o

χR e r r o r e l a t i v o

ξα a b s c i s s a α

n o d o m í n i o d a s v a r i á v e i s i n t e r n a s

S u b e s c r i t o s

ar e f e r e n t e a o s p r o c e s s o s d e a g r e g a ç ã o

br e f e r e n t e a o s p r o c e s s o s d e q u e b r a

f r e f e r e n t e à i n t e r p o l a ç ã o p a r a o c e n t r o d a f a c e d e u m v o l u m e d e c o n t r o l e

I r e f e r e n t e a o s p r o c e s s o s q u e o c o r r e m n a i n t e r f a c e

mr e f e r e n t e à m i s t u r a n o A S M M

S o b r e s c r i t o s

(a)r e f e r e n t e à s o l u ç ã o a n a l í t i c a

ar e f e r e n t e à f o r ç a d e a r r a s t o

ˇr e f e r e n t e à v e l o c i d a d e u t u a n t e d e v i d o a i n t e r a ç ã o e n t r e b o l h a s

lamr e f e r e n t e a o e s c o a m e n t o l a m i n a r

mvr e f e r e n t e à f o r ç a d e m a s s a v i r t u a l

˜, r e f e r e n t e à d i f e r e n t e s e s t a d o s d e p a r t í c u l a

sr e f e r e n t e à f o r ç a d e s u s t e n t a ç ã o

turbr e f e r e n t e a o e s c o a m e n t o t u r b u l e n t o

S i g l a s

C F D F l u i d o d i n â m i c a C o m p u t a c i o n a l , e m i n g l ê s C o m p u t a t i o n a l F l u i d D y n a m i c s

E B P E q u a ç ã o d e B a l a n ç o P o p u l a c i o n a l

F O A M F i e l d O p e r a t i o n A n d M a n i p u l a t i o n

x v i i



C a p í t u l o 1

I n t r o d u ç ã o e O b j e t i v o s

1 . 1 C o n t e x t o e M o t i v a ç ã o

S ã o v a s t a s a s a p l i c a ç õ e s d e s i s t e m a s p o l i d i s p e r s o s e m e n g e n h a r i a q u í m i c a e u m a

g r a n d e v a r i e d a d e d e p r o c e s s o s p o d e m s e r c o l o c a d o s . E n t r e e s t e s p o d e m s e r c i t a d o s

a a t o m i z a ç ã o d e u m l í q u i d o e m u m a c o r r e n t e d e a r q u e n t e ( s p r a y - d r y e r ) , a i n j e ç ã o

d e g o t a s d e ó l e o e m u m a c â m a r a d e c o m b u s t ã o , o c r e s c i m e n t o d e m i c r o o r g a n i s -

m o s e m u m f e r m e n t a d o r , a q u e i m a d e p a r t í c u l a s d e c a r v ã o e m u m a m i s t u r a g a s o s a .

E m e s p e c i a l , o s p r o c e s s o s d e b o r b u l h a m e n t o e s i s t e m a s l í q u i d o - l í q u i d o s ã o u s a d o s

p a r a o p e r a ç õ e s d e e s g o t a m e n t o , e v a p o r a ç ã o p o r c o n t a t o d i r e t o , d e s t i l a ç ã o , r e a ç ã o

q u í m i c a , e t c . E m t a i s e q u i p a m e n t o s d e o p e r a ç õ e s u n i t á r i a s e r e a ç ã o , a s d i f e r e n t e s

i n t e r a ç õ e s e n t r e a s p a r t í c u l a s d i s p e r s a s a f e t a m o c o m p o r t a m e n t o d i n â m i c o d o s i s -

t e m a . E s s a s i n t e r a ç õ e s t e m i n u ê n c i a d i r e t a n o r e g i m e d e e s c o a m e n t o d e r e a t o r e s

g á s - l í q u i d o e n o g r a u d e m i s t u r a ç ã o d a f a s e d i s p e r s a , a f e t a n d o a s e p a r a ç ã o , m i s -

t u r a e r e a ç ã o n o s p r o c e s s o s [ 1 ] . D e s t e m o d o , s e t o r n a n e c e s s á r i o c o n s i d e r a r u m a

a b o r d a g e m d e t a l h a d a p a r a n s d e m o d e l a g e m e s i m u l a ç ã o d e t a i s s i s t e m a s .

N o r m a l m e n t e , e s p e r a - s e q u e o s f e n ô m e n o s a s s o c i a d o s à p r e s e n ç a d a s p a r t í c u -

l a s n o s e q u i p a m e n t o s s e j a m c o n h e c i d o s o u c o n t r o l a d o s , p e r m i t i n d o a c o m p a n h a r a

1



1 . 2 O b j e t i v o s 2

i n u ê n c i a d a s p a r t í c u l a s s o b r e o s i s t e m a . A a n á l i s e a p r o p r i a d a d e u m s i s t e m a p o -

l i d i s p e r s o p r o c u r a r e p r e s e n t a r o c o m p o r t a m e n t o e s t a t í s t i c o d a p o p u l a ç ã o e d e s e u

a m b i e n t e ( f a s e c o n t í n u a ) a p a r t i r d e u m a p a r t í c u l a g e n é r i c a e s e u a m b i e n t e l o c a l .

C o m o o c o m p o r t a m e n t o d a s p a r t í c u l a s d e p e n d e m d e v a r i á v e i s a s s o c i a d a s a o s s e u s

a m b i e n t e s l o c a i s ( c a m p o d e v e l o c i d a d e , t e m p e r a t u r a , e t c . ) , a m o d e l a g e m p a r a a p o -

p u l a ç ã o d e p a r t í c u l a s d e v e s e r m u t u a m e n t e a c o p l a d a c o m o s m o d e l o s d e c o n s e r v a ç ã o

d a s v a r i á v e i s d a f a s e c o n t í n u a . I s t o r e s s a l t a a i n u ê n c i a e a i n t e g r a ç ã o d o s f e n ô m e n o s

d e t r a n s p o r t e q u e o c o r r e m n a f a s e c o n t í n u a s o b r e a p o p u l a ç ã o i n t e i r a e v i c e - v e r s a .

P o r e x e m p l o , a u i d o d i n â m i c a d e u m e q u i p a m e n t o p o d e c o n t r i b u i r d i r e t a m e n t e n o s

e f e i t o s d e q u e b r a e a g r e g a ç ã o d e p a r t í c u l a s , e n q u a n t o q u e a p r e s e n ç a d e s t a s m e s m a s

p a r t í c u l a s p o d e i n t e r f e r i r n o e s c o a m e n t o d o u i d o .

O e s t u d o d e s t e s f e n ô m e n o s a s s o c i a d o s à s i s t e m a s p o l i d i s p e r s o s v e m s e n d o r e a l i -

z a d o c o m g r a n d e a n c o p e l a c o m u n i d a d e a c a d ê m i c a . D e f a t o , a l g u n s t r a b a l h o s [ 2 , 3 ]

a p r e s e n t a m u m a r e v i s ã o d o s e s t u d o s e a p l i c a ç õ e s d e s i s t e m a s p o l i d i s p e r s o s b a s e a d o s

n a a n á l i s e p o r b a l a n ç o p o p u l a c i o n a l , c o l o c a n d o - o c o m o u m a a b o r d a g e m p r o m i s s o r a

n o t r a t a m e n t o d e s t e s p r o c e s s o s .

1 . 2 O b j e t i v o s

O p r e s e n t e t r a b a l h o t e m c o m o o b j e t i v o g e r a l a r e v i s ã o , o d e s e n v o l v i m e n t o e a i m -

p l e m e n t a ç ã o d e m e t o d o l o g i a s p a r a a s i m u l a ç ã o d e e s c o a m e n t o s p o l i d i s p e r s o s . P a r a

a t i n g i r t a l o b j e t i v o , a l g u m a s e t a p a s t i v e r a m q u e s e r c u m p r i d a s e e s t ã o l i s t a d a s a

s e g u i r .

•E s t u d o e r e v i s ã o d a m o d e l a g e m m u l t i f á s i c a e s e u s p a r â m e t r o s .

•E s t u d o d a e q u a ç ã o d e b a l a n ç o p o p u l a c i o n a l e d o s m é t o d o s n u m é r i c o s p a r a s u a

s o l u ç ã o .

•A v a l i a ç ã o c r í t i c a e c o m p a r a ç ã o d o s m é t o d o s d e s o l u ç ã o d a e q u a ç ã o d e b a l a n ç o



1 . 3 J u s t i c a t i v a e R e l e v â n c i a 3

p o p u l a c i o n a l .

•R e v i s ã o d a s t é c n i c a s p a r a o a c o p l a m e n t o d o m o d e l o m u l t i f á s i c o c o m b a l a n ç o

p o p u l a c i o n a l .

•E s t u d o d a f e r r a m e n t a d e F l u i d o d i n â m i c a C o m p u t a c i o n a l , C F D , v i s a n d o a i m -

p l e m e n t a ç ã o e e x t e n s ã o d e c ó d i g o s m u l t i f á s i c o s .

•D e s e n v o l v i m e n t o d e m e t o d o l o g i a s e a l g o r i t m o s p a r a a s i m u l a ç ã o d e e s c o a m e n -

t o s p o l i d i s p e r s o s .

• I m p l e m e n t a ç ã o d a s m e t o d o l o g i a s n o p a c o t e C F D .

•A v a l i a ç ã o e a n á l i s e d o s r e s u l t a d o s s i m u l a d o s .

P o r m , u m a f e r r a m e n t a C F D g r a t u i t a e d e c ó d i g o a b e r t o s e r á d e s e n v o l v i d a

p a r a s i m u l a r e s c o a m e n t o s p o l i d i s p e r s o s u t i l i z a n d o a s m e t o d o l o g i a s d e s e n v o l v i d a s n o

p r e s e n t e t r a b a l h o .

O d e s e n v o l v i m e n t o d e s t e t r a b a l h o d e i x a p a r a a c o m u n i d a d e c i e n t í c a u m a f e r r a -

m e n t a a c e s s í v e l p a r a s i m u l a ç ã o d e e s c o a m e n t o s p o l i d i s p e r s o s . O f a t o d e s e r d e s e n -

v o l v i d o e m c ó d i g o a b e r t o p e r m i t e a i n d a a f u t u r a m a n i p u l a ç ã o e p o s s í v e l a p e r f e i ç o -

a m e n t o d o c ó d i g o p e l o s p e s q u i s a d o r e s e u s u á r i o s d o O p e n F O A M .

1 . 3 J u s t i c a t i v a e R e l e v â n c i a

N e s t a s e ç ã o e s t ã o r e l a t a d o s o s p o n t o s q u e j u s t i c a m o p r e s e n t e t r a b a l h o e a r e l e v â n -

c i a d o t e m a a o d e s e n v o l v i m e n t o d a á r e a d e p e s q u i s a d e e s c o a m e n t o s m u l t i f á s i c o s e m

s i s t e m a s p o l i d i s p e r s o s e s u a a p l i c a ç ã o n a i n d ú s t r i a . A l é m d i s s o , o s a s p e c t o s s o b r e

o i n c e n t i v o d o g o v e r n o b r a s i l e i r o a o u s o d e p r o g r a m a s d e c ó d i g o l i v r e s ã o c o m e n t a -

d o s n e s t a s e ç ã o , u m a v e z q u e i n u e n c i a r a m n a e s c o l h a d o p a c o t e C F D u s a d o n e s t e

t r a b a l h o .




1 . 3 . 1 H i s t ó r i c o d o G r u p o d e P e s q u i s a

A á r e a d e T e r m o u i d o d i n â m i c a c a r a c t e r i z a - s e c o m o u m a á r e a d e p e s q u i s a d a E n -

g e n h a r i a Q u í m i c a q u e v i s a a o d e s e n v o l v i m e n t o t e ó r i c o e e x p e r i m e n t a l d o e s t u d o d o

c o m p o r t a m e n t o d i n â m i c o d o s u i d o s e d o s f e n ô m e n o s a s s o c i a d o s d e t r a n s f e r ê n c i a d e

c a l o r e m a s s a e m e q u i p a m e n t o s d e s e p a r a ç ã o , m i s t u r a o u r e a ç ã o . E m e s p e c i a l , a s

l i n h a s d e p e s q u i s a n o L a b o r a t ó r i o d e T e r m o u i d o d i n â m i c a ( L T F D ) d o P r o g r a m a d e

E n g e n h a r i a Q u í m i c a d a C O P P E / U F R J i n c l u e m p r o c e s s o s m u l t i f á s i c o s e p o l i d i s p e r -

s o s , u i d o d i n â m i c a c o m p u t a c i o n a l e m é t o d o s n u m é r i c o s . A s l i n h a s d e p e s q u i s a d a

á r e a , a l g u m a s e m a n d a m e n t o d e s d e 1 9 7 0 , e n g l o b a m e s t u d o s a v a n ç a d o s q u e v i s a m a

e l a b o r a ç ã o d e t e s e s d e m e s t r a d o e d o u t o r a d o , p o s s i b i l i t a n d o t a m b é m o d e s e n v o l v i -

m e n t o d e p r o j e t o s c i e n t í c o - t e c n o l ó g i c o s i n o v a d o r e s .

O s t r a b a l h o s m a i s r e c e n t e s e f e t u a d o s n o L T F D i n c l u e m a a n á l i s e e x p e r i m e n t a l e

m o d e l a g e m d e e s c o a m e n t o s g á s - l í q u i d o [ 4 , 5 , 6 , 7 ] , e v a p o r a d o r e s p o r c o n t a t o d i r e t o

e m p r o c e s s o s d e b o r b u l h a m e n t o [ 8 , 9 , 1 0 ] , e s c o a m e n t o s m u l t i f á s i c o s e s t r a t i c a d o s

[ 1 1 ] , e s c o a m e n t o e m m e i o s p o r o s o s [ 1 2 , 1 3 , 1 4 ] e e s c o a m e n t o s m u l t i f á s i c o s p o l i d i s -

p e r s o s [ 1 5 , 1 6 , 1 7 , 1 8 ] . O p r e s e n t e t r a b a l h o d e d o u t o r a d o f o i p r o p o s t o e d e s e n v o l v i d o

e m s e q u ê n c i a n a t u r a l à e v o l u ç ã o d a p e s q u i s a d o g r u p o r e f e r e n t e a o c a m p o d e s i m u -

l a ç ã o d e e s c o a m e n t o s m u l t i f á s i c o s p o l i d i s p e r s o s .

1 . 3 . 2 R e a t o r e s M u l t i f á s i c o s

R e a t o r e s e m c o l u n a s d e b o r b u l h a m e n t o s ã o u s a d o s e m u m a g r a n d e v a r i e d a d e d e

p r o c e s s o s i n d u s t r i a i s , t a i s c o m o s í n t e s e d e F i s c h e r - T r o p s c h , p r o d u ç ã o d e r e a g e n -

t e s p a r t i c u l a d o s e m q u í m i c a n a , r e a ç õ e s d e o x i d a ç ã o e h i d r o g e n a ç ã o , f e r m e n t a ç ã o ,

c u l t u r a d e c é l u l a s e t r a t a m e n t o d e e u e n t e s [ 1 9 , 2 0 ] . A s g r a n d e s v a n t a g e n s d e s t e

e q u i p a m e n t o s ã o a a l t a á r e a i n t e r f a c i a l e n t r e a s f a s e s , b o a s t a x a s d e t r a n s f e r ê n c i a

d e m a s s a e c a l o r , u m a a l t a r e t e n ç ã o d e l í q u i d o ( f a v o r e c e n d o p r o c e s s o s c o m r e a ç õ e s

l e n t a s ) e , p o r m , a f a c i l i d a d e d e c o n s t r u ç ã o e m a n u t e n ç ã o d e u m a c o l u n a d e b o r -




b u l h a m e n t o . O c o m p o r t a m e n t o d e s t e s r e a t o r e s é a f e t a d o p o r p a r â m e t r o s g l o b a i s d e

o p e r a ç ã o , c o m o v e l o c i d a d e s u p e r c i a l d o g á s , a l t u r a d o l í q u i d o , p r e s s ã o e t e m p e -

r a t u r a . A s v a r i á v e i s h i d r o d i n â m i c a s q u e i n u e n c i a m a p e r f o r m a n c e d a c o l u n a d e

b o r b u l h a m e n t o s ã o a r e t e n ç ã o g a s o s a , a s t a x a s d e q u e b r a , c o a l e s c ê n c i a e d i s p e r s ã o

d e b o l h a s , v e l o c i d a d e d a s b o l h a s , a d i s t r i b u i ç ã o d e t a m a n h o d a f a s e d i s p e r s a , a

d i s t r i b u i ç ã o d a c o n c e n t r a ç ã o d a á r e a i n t e r f a c i a l e n t r e g á s - l í q u i d o , o s c o e c i e n t e s d e

t r o c a d e c a l o r e m a s s a e n t r e a s f a s e s e o g r a u d e m i s t u r a d a f a s e l í q u i d a [ 2 1 ] . O

e n t e n d i m e n t o d a u i d o d i n â m i c a é v i t a l p a r a o a u m e n t o o u d i m i n u i ç ã o d a e s c a l a d e

t a i s r e a t o r e s . A l é m d i s s o , é i m p o r t a n t e f r i s a r q u e , d o p o n t o d e v i s t a i n d u s t r i a l , o

e s c o a m e n t o e m r e g i m e h e t e r o g ê n e o e m c o l u n a s d e b o l h a s é d e g r a n d e i m p o r t â n c i a

p o i s g a r a n t e u m a a l t a p r o d u t i v i d a d e v o l u m é t r i c a .

A d i n â m i c a d e e s c o a m e n t o s g á s - l í q u i d o e m c o l u n a s d e b o r b u l h a m e n t o t e m s i d o

o b j e t o d e e s t u d o d u r a n t e d é c a d a s . E x i s t e m t r ê s r e g i m e s q u e c a r a c t e r i z a m o p e r l d e

e s c o a m e n t o e m c o l u n a s d e b o r b u l h a m e n t o e d e p e n d e m d a v e l o c i d a d e s u p e r c i a l d o

g á s e d o l í q u i d o , d o d i s t r i b u i d o r d e g á s e d a g e o m e t r i a d a c o l u n a [ 2 2 ] . O p r i m e i r o ,

c h a m a d o d e r e g i m e h o m o g ê n e o , é c a r a c t e r i z a d o p o r b a i x a s v e l o c i d a d e s s u p e r c i a i s

d e g á s , o n d e a s b o l h a s p o s s u e m b a s i c a m e n t e o m e s m o t a m a n h o e a s c e n d e m c o m

v e l o c i d a d e c o n s t a n t e e m t r a j e t ó r i a q u a s e r e t i l í n e a , c o m p o u c a o u n e n h u m a i n t e r a ç ã o

e n t r e e l a s . A o a u m e n t a r a v e l o c i d a d e s u p e r c i a l d o g á s , o c o r r e a t r a n s i ç ã o p a r a o

r e g i m e h e t e r o g ê n e o . N e s t e c a s o , a s i n t e r a ç õ e s e n t r e a s b o l h a s s e i n t e n s i c a m e a

f a i x a d e d i s t r i b u i ç ã o d e t a m a n h o n a s c o l u n a s a u m e n t a . P o r c o n s e q ü e n c i a , s e f o r m a

u m p a d r ã o d e c i r c u l a ç ã o i n t e r n a n o p e r l d e e s c o a m e n t o n o l í q u i d o . O r e g i m e d e

g o l f a d a ( u s u a l m e n t e c h a m a d o s l u g ) c a r a c t e r i z a - s e p o r a l t a s v e l o c i d a d e s s u p e r c i a i s

d e g á s e a f o r m a ç ã o d e g r a n d e s b o l h a s d e T a y l o r . E s t e r e g i m e s ó é a t i n g i d o e m

c o l u n a s c o m p e q u e n o d i â m e t r o .

V á r i a s m e t o d o l o g i a s d e s i m u l a ç ã o f o r a m d e s e n v o l v i d a s e d u a s f o r m a s d e m o -

d e l a g e m s e d e s t a c a r a m p a r a t r a t a r t a i s e s c o a m e n t o s . A p r i m e i r a é a m o d e l a g e m

E u l e r i a n a - L a g r a n g e a n a , o n d e c a d a p a r t í c u l a ( o u g r u p o d e p a r t í c u l a s ) é s i m u l a d a

i n d i v i d u a l m e n t e c o m b a s e n a s e g u n d a l e i d e N e w t o n p a r a o m o v i m e n t o e n o c á l c u l o




d a s f o r ç a s a t u a n t e s s o b r e a m e s m a , c o n s i d e r a n d o a s i n t e r a ç õ e s c o m o u i d o o u o u t r a s

p a r t í c u l a s ( c o l i s õ e s ) . A a b o r d a g e m L a g r a n g e a n a p o d e f o r n e c e r r e s u l t a d o s p r e c i s o s

c o m u m a m o d e l a g e m r e l a t i v a m e n t e s i m p l e s . C o n t u d o , o n ú m e r o d e p a r t í c u l a s r e p r e -

s e n t a t i v a s d e v e s e r m u i t o g r a n d e p a r a q u e , e m d a d o i n s t a n t e d a s i m u l a ç ã o , e x i s t a m

p a r t í c u l a s s u c i e n t e s e m d a d a r e g i ã o d o e q u i p a m e n t o s i m u l a d o . I s t o l e v a a u m a

a b o r d a g e m c o m a l t o c u s t o c o m p u t a c i o n a l , o q u e l i m i t a a s s i m u l a ç õ e s g á s - l í q u i d o

a v a l o r e s d e v e l o c i d a d e d e g á s e r e t e n ç ã o g a s o s a r e l a t i v a m e n t e b a i x o s [ 2 3 , 2 4 ] . A

s e g u n d a a b o r d a g e m é c o n h e c i d a c o m o E u l e r i a n a - E u l e r i a n a ( m o d e l o d e d o i s u i d o s ) ,

n a q u a l t o d a s a s f a s e s s ã o t r a t a d a s c o m o c o n t í n u a s [ 2 5 ] . N e s t e c a s o , o e s c o a m e n t o

é p r e d i t o r e s o l v e n d o - s e e q u a ç õ e s d e c o n s e r v a ç ã o m é d i a s p a r a c a d a f a s e , o n d e a p a r e -

c e m t e r m o s d e t r a n s p o r t e e n t r e a s f a s e s q u e p r e c i s a m s e r m o d e l a d o s . D e v i d o a o s e u

m e n o r c u s t o c o m p u t a c i o n a l e s u a b o a r e p r e s e n t a ç ã o m é d i a d o s i s t e m a s i m u l a d o , a

m o d e l a g e m E u l e r i a n a v e m s e n d o m u i t a e m p r e g a d a [ 2 2 , 2 6 , 2 7 ] .

A g r a n d e m a i o r i a d o s t r a b a l h o s d e s i m u l a ç ã o d e c o l u n a s d e b o r b u l h a m e n t o u t i -

l i z a u m ú n i c o d i â m e t r o m é d i o d e b o l h a e m t o d o o e q u i p a m e n t o p a r a c a l c u l a r t e r m o s

p r e s e n t e s n a m o d e l a g e m E u l e r i a n a ( p o r e x e m p l o , o c o e c i e n t e d e a r r a s t e ) . E s t a h i -

p ó t e s e é j u s t i c a d a p a r a o r e g i m e h o m o g ê n e o d e b o r b u l h a m e n t o o n d e a s i n t e r a ç õ e s

n a f a s e d i s p e r s a t e m m e n o r i m p o r t â n c i a e o t a m a n h o d a s b o l h a s é p r a t i c a m e n t e

u n i f o r m e . C o n t u d o , n o r e g i m e h e t e r o g ê n e o d e b o r b u l h a m e n t o , u s a d o n a g r a n d e

m a i o r i a d o s c a s o s i n d u s t r i a i s , a s i n t e r a ç õ e s e n t r e a s b o l h a s p r o v o c a m u m a a m p l a

d i s t r i b u i ç ã o d e t a m a n h o d e p a r t í c u l a s n o e q u i p a m e n t o , o q u e i n v a l i d a o u s o d e u m

ú n i c o d i â m e t r o m é d i o . P a r a t r a t a r e s t a s i t u a ç ã o , o u s o d e b a l a n ç o p o p u l a c i o n a l

s e t o r n a n e c e s s á r i o [ 2 8 ] , p o i s p e r m i t e o c á l c u l o l o c a l d a d i s t r i b u i ç ã o m é d i a d e t a -

m a n h o d e p a r t í c u l a s e p o d e a u m e n t a r c o n s i d e r a v e l m e n t e a a c u r á c i a d a p r e d i ç ã o

d o p e r l d e r e t e n ç ã o g a s o s a n o e q u i p a m e n t o [ 2 7 ] . A s s i m , j u s t i c a - s e a n e c e s s i d a d e

d o a c o p l a m e n t o e n t r e a s e q u a ç õ e s m é d i a s E u l e r i a n a s p a r a e s c o a m e n t o s m u l t i f á s i c o s

e a e q u a ç ã o d e b a l a n ç o p o p u l a c i o n a l . E x i s t e m v á r i a s m e t o d o l o g i a s d e s o l u ç ã o d a

e q u a ç ã o d e b a l a n ç o p o p u l a c i o n a l q u e a p r e s e n t a m d i f e r e n t e s r e s u l t a d o s d e a c u r á c i a e

e c i ê n c i a c o m p u t a c i o n a l . P o r t a n t o , é i n t e r e s s a n t e r e a l i z a r u m e s t u d o s o b r e a s t é c n i -

c a s d e s o l u ç ã o d a e q u a ç ã o d e b a l a n ç o p o p u l a c i o n a l d e v i d o a o c o n s t a n t e s u r g i m e n t o




d e n o v o s m é t o d o s e a p r i m o r a m e n t o d o s j á e x i s t e n t e s .

A l é m d a i m p o r t â n c i a d o s p r o c e s s o s i n d u s t r i a i s , d e s c r i t o s a c i m a , q u e e n v o l v e m

e s c o a m e n t o s p o l i d i s p e r s o s e s t e t r a b a l h o d e p e s q u i s a s e j u s t i c a p e l a c a r ê n c i a d e

f e r r a m e n t a s c o m p u t a c i o n a i s c o n á v e i s p a r a a s i m u l a ç ã o d e t a i s p r o c e s s o s .

1 . 3 . 3 P o r q u e S o f t w a r e L i v r e ?

P o r s e t r a t a r d e d e s e n v o l v i m e n t o s d e c ó d i g o s C F D c o m t e c n o l o g i a d e p o n t a , m o d e -

l a g e m c o m p l e x a e m é t o d o s n u m é r i c o s a v a n ç a d o s , u m a l t o g r a u d e c o n a b i l i d a d e s ó

s e r á a l c a n ç a d o u s a n d o f e r r a m e n t a s c o m c ó d i g o f o n t e a b e r t o , o u s e j a , s o f t w a r e l i v r e .

S ã o v á r i a s a s c o n s i d e r a ç õ e s q u e d e v e m s e r a v a l i a d a s a o s e e s c o l h e r u m p a c o t e

C F D c o m o f e r r a m e n t a b a s e . P o r e x e m p l o , a f a c i l i d a d e d e u s o , a c a p a c i d a d e d e g e r a r

g e o m e t r i a s e m a l h a s , a e c i ê n c i a e r o b u s t e z d a s t é c n i c a s n u m é r i c a s i m p l e m e n t a d a s e ,

p o r m , a a m p l i t u d e d o s p r o b l e m a s f í s i c o s q u e o p a c o t e p o d e r e s o l v e r . E s s e s f a t o r e s

d e p e n d e m m u i t o d o g r a u d e d e s e n v o l v i m e n t o e i n v e s t i m e n t o i n s e r i d o n o p a c o t e . S e m

d ú v i d a a l g u m a , a t u a l m e n t e o s p a c o t e s C F D m a i s d e s e n v o l v i d o s s ã o o s c o m e r c i a i s ,

c o m o C F X e F L U E N T ( a m b o s d a A N S Y S ) e P H O E N I C S ( d a C H A M ) , j u s t a m e n t e

d e v i d o a o s e u a p e l o c o m e r c i a l . C o n t u d o , o s p r e ç o s d o s p a c o t e s c o m e r c i a i s s o m a m

u m a q u a n t i a e n o r m e a o u s u á r i o n a l - e m m é d i a U S $ 2 5 0 0 0 p a r a u m a ú n i c a l i c e n ç a

a n u a l - f a t o q u e l i m i t a s e u u s o .

C o n t u d o , n a o p i n i ã o d o a u t o r , u m a d a s m a i o r e s l i m i t a ç õ e s d o s p a c o t e s c o m e r -

c i a i s s e r e f e r e à f a l t a d e d e t a l h e s n a i m p l e m e n t a ç ã o d e s e u s c ó d i g o s . D e f a t o , o s

m a n u a i s f o r n e c i d o s c o m u m p a c o t e C F D d e s c r e v e m o s m o d e l o s e o s m é t o d o s n u m é -

r i c o s u s a d o s , p o r é m n ã o s ã o s u c i e n t e s p a r a e x p l i c a r a i m p l e m e n t a ç ã o n u m é r i c a e m

s e u c ó d i g o . E s s a s i n f o r m a ç õ e s p o d e r i a m f o r n e c e r a o u s u á r i o m a i o r c o n t r o l e s o b r e a s

c a p a c i d a d e s d o p a c o t e e , s e m d ú v i d a , s e r i a m a i s f á c i l e v i t a r e r r o s n a s s i m u l a ç õ e s .

D e s t a f o r m a , a f a l t a d o c ó d i g o f o n t e p o d e l i m i t a r o u s o d a f e r r a m e n t a C F D a p o n t o

d e c o m p r o m e t e r s e u s r e s u l t a d o s . D e f a t o , e x e m p l o d e s t a s i t u a ç ã o j á o c o r r e u e e s t á




c o m e n t a d a n e s t e t r a b a l h o ( S e ç ã o 3 . 3 . 1 ) .

E x i s t e m m u i t o s c ó d i g o s C F D g r a t u i t o s d i s p o n í v e i s , s e n d o q u e a m a i o r i a f o i d e s e n -

v o l v i d a n o m e i o a c a d ê m i c o . C o n t u d o , e s t e s n o r m a l m e n t e p o s s u e m á r e a s d e a p l i c a ç ã o

m u i t o e s p e c í c a s . C e r t a m e n t e , u m a f e r r a m e n t a C F D d e v e f o r n e c e r a o u s u á r i o c o n -

d i ç õ e s d e a n a l i s a r e i m p l e m e n t a r c ó d i g o s e , a o m e s m o t e m p o , s e r g e r a l o s u c i e n t e

p a r a s e r a p l i c a d a e m d i v e r s a s á r e a s . E m c o n j u n t o c o m a s q u a l i d a d e s e n u m e r a d a s n o

i n í c i o d e s t a s e ç ã o , a s c a r a c t e r í s t i c a s p r ó p r i a s a u m a f e r r a m e n t a C F D s ã o i d e a l i z a d a s

e n m . C o m i s t o e m m e n t e , o p a c o t e d e c ó d i g o l i v r e O p e n F O A M s u r g e c o m o u m a

o p ç ã o v i á v e l e m u i t o i n t e r e s s a n t e p a r a a s i m u l a ç ã o e d e s e n v o l v i m e n t o d e c ó d i g o s

C F D .

O s f a t o r e s d a e s c o l h a d o O p e n F O A M c o m o f e r r a m e n t a C F D n e s t e t r a b a l h o e s t ã o

l i s t a d o s a s e g u i r :

•C ó d i g o a b e r t o e e s c r i t o e m C + + .

•S i m p l i c i d a d e n o u s o c o m o u m a f e r r a m e n t a C F D .

•F e r r a m e n t a s d e g e r a ç ã o d e m a l h a e v i s u a l i z a ç ã o d e d a d o s i n c o r p o r a d o s a o

p a c o t e .

•G e n e r a l i d a d e d a m a l h a ( e s t r u t u r a d a o u n ã o - e s t r u t u r a d a ) , i n c l u s i v e c o m a p o s -

s i b i l i d a d e d e i m p o r t a r m a l h a s d e o u t r o s p r o g r a m a s ( g r a t u i t o s e c o m e r c i a i s ) .

•P o s s i b i l i d a d e d e i n t e r a ç ã o d i r e t a c o m o s d e s e n v o l v e d o r e s d o p a c o t e .

•A m p l a f a i x a d e a p l i c a ç õ e s n a e n g e n h a r i a , i n c l u i n d o o e s c o a m e n t o m u l t i f á s i c o .

•M u l t i - p l a t a f o r m a ( L i n u x , S o l a r i s , M a c O S , e t c ) .

•S o l u ç ã o d a s e q u a ç õ e s d i s c r e t i z a d a s i m p l e m e n t a d a s p a r a s i m u l a ç ã o e m p a r a l e l o

( S M P e D M P ) .

•F e r r a m e n t a s d e e x p o r t a ç ã o d e r e s u l t a d o s p a r a v i s u a l i z a ç ã o e m o u t r o s p r o g r a -

m a s g r á c o s .



1 . 4 O r g a n i z a ç ã o d o t e x t o 9

•D e s e n v o l v i m e n t o t e n d e a s e r r e a l i z a d o p e l o m e i o a c a d ê m i c o .

A l é m d a s q u a l i d a d e s t é c n i c a s e m s e a d o t a r u m p a c o t e C F D c o m c ó d i g o l i v r e ,

o G o v e r n o d o B r a s i l e s t á a p o i a n d o d e f o r m a i r r e s t r i t a o u s o e d e s e n v o l v i m e n t o

d e s o f t w a r e l i v r e . C o m o o p ç ã o e s t r a t é g i c a , o g o v e r n o f e d e r a l e s t á d e f e n d e n d o a

d e m o c r a t i z a ç ã o d o c o n h e c i m e n t o e a v a l o r i z a ç ã o c a d a v e z m a i o r d a p a r t i c i p a ç ã o

e i n c l u s ã o d i g i t a l d a p o p u l a ç ã o . E m s e u p o r t a l n a i n t e r n e t

1

e s t ã o a g r u p a d o s o s

c o n c e i t o s e i d é i a s e m t o r n o d o s o f t w a r e l i v r e e o s p l a n o s e a ç õ e s d o B r a s i l e m s u a

a d o ç ã o .

1 . 4 O r g a n i z a ç ã o d o t e x t o

E s t e t r a b a l h o a p r e s e n t a u m e s t u d o s o b r e o s d i f e r e n t e s m é t o d o s d e s i m u l a ç ã o d e e s -

c o a m e n t o s m u l t i f á s i c o s e d e s o l u ç ã o d o b a l a n ç o p o p u l a c i o n a l , d e m o d o a p r o p o r a

m e t o d o l o g i a m a i s a d e q u a d a a s e r i n c o r p o r a d a a o s o f t w a r e d e u i d o d i n â m i c a O p e n -

F O A M . T r ê s s u b - á r e a s d a e n g e n h a r i a f a z e m p a r t e d o t e m a d e s t e t r a b a l h o : ( i ) m o -

d e l a g e m d e e s c o a m e n t o s m u l t i f á s i c o s ( t e r m o u i d o d i n â m i c a ) , ( i i ) m é t o d o s n u m é r i c o s

( u i d o d i n â m i c a c o m p u t a c i o n a l d e e s c o a m e n t o m u l t i f á s i c o e b a l a n ç o p o p u l a c i o n a l )

e ( i i i ) c o m p u t a ç ã o c i e n t í c a ( i m p l e m e n t a ç ã o e d e s e n v o l v i m e n t o d e s o f t w a r e ) . D e

f o r m a n a t u r a l , a e s t r u t u r a d o t r a b a l h o s e d i v i d e e m t ó p i c o s r e l a c i o n a d o s a e s t a s

s u b - á r e a s . N a s e q ü ê n c i a , e s t ã o a p r e s e n t a d a s a e s t r u t u r a e o c o n t e ú d o d o s c a p í t u l o s

d e s t e t r a b a l h o .

O s f u n d a m e n t o s d o s e s c o a m e n t o s m u l t i f á s i c o s s ã o m o s t r a d o s n o C a p í t u l o 2 , a p r e -

s e n t a n d o o s c o n c e i t o s b á s i c o s d a s u a m o d e l a g e m E u l e r i a n a - E u l e r i a n a , i n c l u i n d o a

m o d e l a g e m d o s t e r m o s d e i n t e r a ç ã o e n t r e a f a s e s e d a t u r b u l ê n c i a .

N o C a p í t u l o 3 , a e q u a ç ã o d e b a l a n ç o p o p u l a c i o n a l e s e u s t e r m o s d e i n t e r a ç ã o

s ã o a p r e s e n t a d o s , d e n i n d o p r i m e i r a m e n t e o s t e r m o s d e q u e b r a e c o a l e s c ê n c i a d e

1

E n d e r e ç o d o p o r t a l é : h t t p : / / w w w . s o f t w a r e l i v r e . g o v . b r /



1 . 4 O r g a n i z a ç ã o d o t e x t o 1 0

f o r m a g e r a l e , e m s e g u i d a , s i m p l i c a n d o - o s p a r a u s o e m a p l i c a ç õ e s r e a i s . A i n d a

n e s t e c a p í t u l o , a r e v i s ã o b i b l i o g r á c a d e d i v e r s a s t é c n i c a s n u m é r i c a s p a r a r e s o l v e r

a e q u a ç ã o d e b a l a n ç o p o p u l a c i o n a l é f e i t a , p o r é m c o m u m a ê n f a s e m a i o r n o s m é -

t o d o s d a s c l a s s e s e n o s m é t o d o s d o s m o m e n t o s . A o n a l d o c a p í t u l o , s e e n c o n t r a

u m a r e v i s ã o b i b l i o g r á c a s o b r e o a c o p l a m e n t o d a u i d o d i n â m i c a c o m p u t a c i o n a l à s

t é c n i c a s d e b a l a n ç o p o p u l a c i o n a l p a r a a s i m u l a ç ã o d e e s c o a m e n t o s p o l i d i s p e r s o s .

O p a c o t e d e u i d o d i n â m i c a O p e n F O A M , u s a d o n e s t e t r a b a l h o , é a p r e s e n t a d o

n o C a p í t u l o 4 . D e t a l h e s s o b r e a h i s t ó r i a e u s o d o s o f t w a r e c o m o f e r r a m e n t a d e

u i d o d i n â m i c a s ã o c o l o c a d o s . U m a b r e v e i n t r o d u ç ã o s o b r e a l i n g u a g e m d e p r o g r a -

m a ç ã o C + + é c o l o c a d a p a r a q u e o l e i t o r t e n h a b a s e p a r a a c o m p a n h a r a p r o g r a m a ç ã o

i n t e r n a d o O p e n F O A M e s u a e s t r u t u r a p a r a m a n i p u l a ç ã o e r e s o l u ç ã o d e c a m p o s .

P o r m , s ã o c o l o c a d o s d e t a l h e s s o b r e a m o d e l a g e m d o e s c o a m e n t o m u l t i f á s i c o n o

O p e n F O A M , c o m ê n f a s e n a a b o r d a g e m E u l e r i a n a .

O d e s e n v o l v i m e n t o d a s t é c n i c a s n u m é r i c a s p a r a s i m u l a ç ã o d e e s c o a m e n t o s p o l i -

d i s p e r s o s a v a n ç a r a m e m e t a p a s g r a d u a i s e d i s t i n t a s . E s t a s e t a p a s e s t ã o r e u n i d a s n o

C a p í t u l o 5 , a p r e s e n t a n d o a s p a r t i c u l a r i d a d e s s o b r e a f o r m u l a ç ã o d e s t a s m e t o d o l o -

g i a s . D e t a l h e s r e f e r e n t e s à i m p l e m e n t a ç ã o d o s c ó d i g o s n o O p e n F O A M t a m b é m e s t ã o

p r e s e n t e s n e s t e c a p í t u l o . E m s e g u i d a , o s r e s u l t a d o s o b t i d o s u s a d o a s m e t o d o l o g i a s

d e s e n v o l v i d a s n o c a p í t u l o a n t e r i o r s ã o a p r e s e n t a d o s e d i s c u t i d o s n o C a p í t u l o 6 .

P o r m , a s c o n c l u s õ e s d e s t e t r a b a l h o e s u g e s t õ e s p a r a t r a b a l h o f u t u r o e s t ã o

r e u n i d o s n o C a p í t u l o 7 . E m a l g u m a s p a r t e s d e s t e m a n u s c r i t o , a p e n a s o s p r i n c i p a i s

a s p e c t o s s ã o r e s s a l t a d o s c o m r e f e r ê n c i a a o s t r a b a l h o s c o l o c a d o s n o s A p ê n d i c e s A , B

e C , o n d e m a i o r e s d e t a l h e s s ã o e n c o n t r a d o s .



C a p í t u l o 2

F u n d a m e n t o s d o E s c o a m e n t o

M u l t i f á s i c o

2 . 1 F u n d a m e n t o s d e M o d e l a g e m

A t u a l m e n t e , o p r o j e t o d e e q u i p a m e n t o s n a i n d ú s t r i a q u í m i c a s e g u e d u a s a b o r d a -

g e n s d i s t i n t a s . A p r i m e i r a a b o r d a g e m s e g u e u m a l i n h a d e m o d e l a g e m d e r e a t o r e s

c o m b a s e e m a s p e c t o s e m p í r i c o s o u s e m i - e m p í r i c o s d e v i d o a u m a l o n g a h i s t ó r i a d e

a n á l i s e d i m e n s i o n a l n a i n d ú s t r i a d e e q u i p a m e n t o s . P o r o u t r o l a d o , a u i d o d i n â m i c a

c o m p u t a c i o n a l ( C F D - C o m p u t a t i o n a l F l u i d D y n a m i c s ) , q u e é b a s t a n t e u t i l i z a d a e m

o u t r o s c a m p o s d a c i ê n c i a ( c o m o e n g e n h a r i a a e r o e s p a c i a l e a u t o m o t i v a ) , e s t á s e t o r -

n a n d o c a d a v e z m a i s i n t e r e s s a n t e p a r a o s e n g e n h e i r o s q u í m i c o s . A m b a s a b o r d a g e n s

p a r a p r o j e t o d e e q u i p a m e n t o s a i n d a c o e x i s t e m . P o r é m , c o m o s r e c u r s o s c o m p u -

t a c i o n a i s s e t o r n a n d o c a d a v e z m a i s b a r a t o s e d i s p o n í v e i s , l o g o e s t a s d u a s l i n h a s

s e f u n d i r ã o e m u m a ú n i c a l i n h a d e s i m u l a ç ã o e p r o j e t o d e r e a t o r e s . U m p r i m e i r o

p a s s o n e s s e s e n t i d o f o i o t r a b a l h o d e B A U E R e E I G E N B E R G E R [ 2 9 ] q u e d e s c r e v e

a u i d o d i n â m i c a d e u m r e a t o r e m c o l u n a s d e b o r b u l h a m e n t o p o r s i m u l a ç ã o C F D e

i n c l u i r e a ç õ e s q u í m i c a s e t r a n s f e r ê n c i a d e m a s s a u t i l i z a n d o m o d e l o s z o n a i s .

1 1



2 . 1 F u n d a m e n t o s d e M o d e l a g e m 1 2

P a r a a s o l u ç ã o C F D d o e s c o a m e n t o m u l t i f á s i c o , o u s o d e u m ú n i c o b a l a n ç o d e

m a s s a e t r ê s e q u a ç õ e s p a r a q u a n t i d a d e d e m o v i m e n t o n ã o s ã o s u c i e n t e s p a r a r e p r e -

s e n t a r o s c a m p o s d e e s c o a m e n t o d e t o d a s a s f a s e s e n v o l v i d a s . D e f a t o , e s c o a m e n t o s

m u l t i f á s i c o s n e c e s s a r i a m e n t e a p r e s e n t a m u m a f a s e c o n t í n u a c o m e l e m e n t o s d i s p e r s o s

s ó l i d o s ( p a r t í c u l a s ) , l í q u i d o s ( g o t a s ) e / o u g á s ( b o l h a s ) o u m e s m o o u t r a f a s e c o n t í -

n u a ( e s c o a m e n t o e s t r a t i c a d o ) . D e a c o r d o c o m I S H I I [ 3 0 ] , c a d a t i p o d e e s c o a m e n t o

p o d e s e r c l a s s i c a d o d e a c o r d o c o m a t o p o l o g i a d a i n t e r f a c e e n t r e a s f a s e s e m t r ê s

c l a s s e s d i s t i n t a s : e s c o a m e n t o s s e p a r a d o s , m i s t o s o u d i s p e r s o s .

E m t o d a s a s a b o r d a g e n s p r o p o s t a s p a r a s o l u ç ã o C F D m u l t i f á s i c a d e e s c o a m e n t o s

d i s p e r s o s , a s e q u a ç õ e s p a r a a f a s e c o n t í n u a d e v e m s e r r e s o l v i d a s , e x i s t i n d o v á r i a s

f o r m a s p a r a t r a t a r a f a s e d i s p e r s a . A m o d e l a g e m m u l t i f á s i c a v ê m s e n d o p e s q u i -

s a d a e x a u s t i v a m e n t e n o s ú l t i m o s a n o s e , a p e s a r d i s s o , a i n d a é n e c e s s á r i o u m g r a n d e

e s f o r ç o n o d e s e n v o l v i m e n t o d e n o v a s t é c n i c a s e m o d e l o s m a i s c o n á v e i s p a r a a a p l i -

c a ç ã o e m p r o c e s s o s e x i s t e n t e s e n o a u m e n t o d e e s c a l a d e e q u i p a m e n t o s .

A s p r ó x i m a s s e ç õ e s a p r e s e n t a m a s c o n s i d e r a ç õ e s p e r t i n e n t e s a o s m o d e l o s m u l -

t i f á s i c o s e x i s t e n t e s , c o m ê n f a s e n a a b o r d a g e m E u l e r i a n a . C o n c e i t o s e d e t a l h e s n a

f o r m u l a ç ã o d a s f o r ç a s d e t r o c a d e q u a n t i d a d e d e m o v i m e n t o e n t r e f a s e s e d o s m o d e l o s

d e t u r b u l ê n c i a t a m b é m s ã o m o s t r a d o s n e s t e c a p í t u l o .

2 . 1 . 1 C o n c e i t o s B á s i c o s

P a r a a s o l u ç ã o C F D d o e s c o a m e n t o m u l t i f á s i c o , d u a s a b o r d a g e n s s e d e s t a c a m n a

l i t e r a t u r a [ 3 1 ] . A m b a s c a l c u l a m o c a m p o d e v e l o c i d a d e d a f a s e c o n t í n u a u s a n d o s u a

e q u a ç ã o d e c o n s e r v a ç ã o d e q u a n t i d a d e d e m o v i m e n t o , e n q u a n t o q u e o e s c o a m e n t o

d a f a s e d i s p e r s a é c a l c u l a d o d e m o d o L a g r a n g e a n o , c o n s i d e r a n d o e n t i d a d e s d i s c r e t a s

( b o l h a s , g o t a s o u p a r t í c u l a s ) , o u c o m o u m a f a s e c o n t í n u a , o n d e t o d a s a s f a s e s s ã o

v i s t a s c o m o m e i o s i n t e r p e n e t r a n t e s , n a c h a m a d a a b o r d a g e m E u l e r i a n a - E u l e r i a n a .

A a b o r d a g e m L a g r a n g e a n a p o d e s e r d i v i d i d a d e a c o r d o c o m o t r a t a m e n t o d a d o




à f a s e d i s p e r s a .

•M o d e l a g e m E u l e r i a n a - L a g r a n g e a n a a s p a r t í c u l a s s ã o t r a t a d a s c o m o f o n t e s

p o n t u a i s n a m o d e l a g e m d o e s c o a m e n t o d a f a s e c o n t í n u a e o n ú m e r o d e p a r t í -

c u l a s n o d o m í n i o c o m p u t a c i o n a l d e v e s e r s u c i e n t e p a r a r e p r e s e n t a r o n ú m e r o

r e a l d e p a r t í c u l a s . I n i c i a - s e o a l g o r i t m o d e s o l u ç ã o c a l c u l a n d o a s e q u a ç õ e s d a

f a s e c o n t í n u a ( E u l e r i a n a s ) e , e m s e g u i d a , a s v e l o c i d a d e s e p o s i ç õ e s d a s p a r t í c u -

l a s p a r a o p r ó x i m o p a s s o d e t e m p o s ã o o b t i d a s u s a n d o a s e g u n d a l e i d e N e w t o n

p a r a m o d e l a r c a d a p a r t í c u l a [ 3 2 , 3 3 ] . O s m o d e l o s p a r a o m o v i m e n t o e p o s i ç ã o

d e c a d a p a r t í c u l a e s t ã o c o l o c a d o s n a s E q s . 2 . 1 e 2 . 2 , o n d e mi e ui r e p r e s e n t a m

r e s p e c t i v a m e n t e a m a s s a ( mi c o n s t a n t e ) e a v e l o c i d a d e d a p a r t í c u l a

ie

F i

é a s o m a d a s f o r ç a s a t u a n t e s n a p a r t í c u l a i

.

miduidt

=

F i ( 2 . 1 )

dxi

dt= ui ( 2 . 2 )

E m u m a t e r c e i r a e t a p a , o s e f e i t o s d a s p a r t í c u l a s s o b r e o c a m p o d e e s c o a m e n t o

d a f a s e c o n t í n u a s ã o c o m p u t a d o s e m u m p r o c e d i m e n t o i t e r a t i v o . A s i n t e r a -

ç õ e s p a r t í c u l a - p a r t í c u l a o u p a r t í c u l a - p a r e d e t a m b é m p o d e m s e r i n c o r p o r a d a s

a o m o d e l o . C o n t u d o , o e s f o r ç o c o m p u t a c i o n a l c r e s c e d r a s t i c a m e n t e c o m o

a u m e n t o d o n ú m e r o d e p a r t í c u l a s s i m u l a d a s . D e s t e m o d o , e s t a a b o r d a g e m é

m a i s u s a d a p a r a s i s t e m a s d i l u í d o s ( c o m p o u c a s p a r t í c u l a s ) o u e m s i t u a ç õ e s

e s p e c i a i s , c o m o o c á l c u l o d a d i s t r i b u i ç ã o d o t e m p o d e r e s i d ê n c i a .

•S i m u l a ç ã o N u m é r i c a D i r e t a ( D N S - D i r e c t N u m e r i c a l S i m u l a t i o n ) c o n s i d e r a -

s e q u e a p a r t í c u l a o c u p a a p e n a s u m a c é l u l a d a m a l h a e m d a d o i n s t a n t e d e

t e m p o f o r n e c e n d o s o m e n t e u m a v e l o c i d a d e r e l e v a n t e a t u a n d o n a c é l u l a . E m

u m a a b o r d a g e m m a i s r e n a d a , a s p a r t í c u l a s p o d e m o c u p a r m a i s d e u m a c é l u l a

e d i f e r e n t e s v e l o c i d a d e s s ã o c o n s i d e r a d a s [ 3 4 , 3 5 ] . N e s t e c a s o , a t u r b u l ê n c i a é

r e s o l v i d a d i r e t a m e n t e s e m a n e c e s s i d a d e d e a d o t a r n e n h u m m o d e l o a d i c i o n a l

[ 3 6 ] . I s t o l e v a a u m a m o d e l a g e m m u i t o m a i s c o m p l e x a p a r a a l o c o m o ç ã o d a s

p a r t í c u l a s , n e c e s s i t a d e m a l h a s m u i t o m a i s r e n a d a s e p a s s o s d e t e m p o m u i t o




p e q u e n o s r e s u l t a n d o e m u m e s f o r ç o c o m p u t a c i o n a l a b s u r d a m e n t e a l t o . C o m o

s i m u l a ç õ e s D N S f o r n e c e m r e s u l t a d o s m u i t o p r e c i s o s , e s t a t é c n i c a e s t á s e n d o

u s a d a p a r a v e r i c a r e v a l i d a r o u t r a s f o r m a s d e m o d e l a g e m q u a n d o a r e a l i z a ç ã o

d e e x p e r i m e n t o s é i m p o s s í v e l .

P o d e - s e n o t a r p e l a d e s c r i ç ã o d o s m o d e l o s a c i m a q u e t o d a s a s a b o r d a g e n s L a -

g r a n g e a n a s n e c e s s i t a m d e u m a l t o p o d e r d e c o m p u t a ç ã o . I s t o t o r n a e s t a a b o r d a g e m

i n a p r o p r i a d a p a r a o c á l c u l o d e e s c o a m e n t o s m u l t i f á s i c o s c o m p l e x o s e p a r a a p l i c a ç õ e s

e m p r o c e s s o s r e a i s o n d e a f r a ç ã o v o l u m é t r i c a d a f a s e d i s p e r s a é u s u a l m e n t e a l t a .

O V o l u m e d e F l u i d o ( V O F - V o l u m e - o f - F l u i d ) é u m a a b o r d a g e m a i n d a m a i s r e -

n a d a q u e a s a n t e r i o r e s , o n d e a s p a r t í c u l a s u i d a s ( b o l h a s o u g o t a s ) s ã o c o n s i d e r a d a s

d e f o r m á v e i s e o a c o m p a n h a m e n t o d a s s u p e r f í c i e s p o d e s e r m o d e l a d o [ 2 4 ] . U m ú n i c o

c a m p o d e e s c o a m e n t o é c o n s i d e r a d o e a f a s e d i s p e r s a s e d i s t i n g u e d a c o n t í n u a p e l a

v a r i a ç ã o d a s p r o p r i e d a d e s d o u i d o a t r a v é s d a i n t e r f a c e . E s t a c l a s s e d e m é t o d o s f o i

i m p l e m e n t a d a c o m s u c e s s o p a r a o c á l c u l o d e e s c o a m e n t o d e f r e n t e l i v r e e m p r o b l e -

m a s d e f í s i c a s i m p l e s [ 3 7 , 1 1 ] , m a s a i n d a é p r o i b i t i v o a s i m u l a ç ã o d e r e a t o r e s r e a i s

d e v i d o a o i m e n s o c u s t o c o m p u t a c i o n a l .

O m o d e l o E u l e r i a n o - E u l e r i a n o u s a a s e q u a ç õ e s d e c o n s e r v a ç ã o d e m a s s a e m o -

m e n t u m m é d i a s p a r a d e s c r e v e r o s p e r s d i n â m i c o s d e a m b a s a s f a s e s e m u m a e s c a l a

d e t a m a n h o s u p e r i o r à m o l e c u l a r e é b a s e a d a n a p r o m e d i a ç ã o d a s e q u a ç õ e s d e c o n s e r -

v a ç ã o u s a n d o m é d i a s v o l u m é t r i c a s t e m p o r a l o u a m o s t r a l [ 3 0 , 3 8 , 3 9 ] . E m a p l i c a ç õ e s

i n d u s t r i a i s é c o m u m q u e a s f a s e s s e e n c o n t r e m b e m m i s t u r a d a s e o n ú m e r o d e p a r -

t í c u l a s o u g o t a s ( o u b o l h a s ) s e j a m u i t o g r a n d e e , p o r t a n t o , o p r o c e s s o d e m é d i a s e

t o r n a n e c e s s á r i o p a r a c a r a c t e r i z a r a m i s t u r a . D e v i d o à s u a g e n e r a l i d a d e , e s t e t r a b a -

l h o t r a t a o m o d e l o E u l e r i a n o - E u l e r i a n o c o m m a i o r e n f o q u e e o s d e t a l h e s s o b r e s u a

m o d e l a g e m s ã o a b o r d a d o s n a s p r ó x i m a s s e ç õ e s .



2 . 2 M o d e l a g e m E u l e r i a n a - E u l e r i a n a 1 5

2 . 2 M o d e l a g e m E u l e r i a n a - E u l e r i a n a

A f o r m u l a ç ã o E u l e r i a n a m a i s g e r a l é o m o d e l o m u l t i - u i d o , d e r i v a d o d o p r o c e s s o d e

p r o m e d i a ç ã o d a s e q u a ç õ e s d e c o n s e r v a ç ã o l o c a i s d e c a d a f a s e e c o n s i d e r a n d o q u e o s

m e i o s s ã o i n t e r p e n e t r a n t e s . E m o u t r a s p a l a v r a s , a s d i f e r e n t e s f a s e s p o d e m p o s s u i r

a m e s m a p o s i ç ã o n o e s p a ç o . N e s t a a b o r d a g e m , o p r o c e s s o d e m é d i a i n t r o d u z a

f r a ç ã o v o l u m é t r i c a , r

, n o c o n j u n t o d e v a r i á v e i s , q u e é d e n i d a c o m o a p r o b a b i l i d a d e

d e d a d a f a s e e s t a r p r e s e n t e e m c e r t o i n s t a n t e d e t e m p o e p o n t o n o e s p a ç o ( m é d i a

a m o s t r a l ) . D e v i d o à p e r d a d e i n f o r m a ç ã o n o p r o c e s s o d e m é d i a , t e r m o s a d i c i o n a i s

q u e p r e c i s a m s e r m o d e l a d o s a p a r e c e m n a s e q u a ç õ e s d e c o n s e r v a ç ã o d e c a d a f a s e .

E s t e s t e r m o s m o d e l a m o s f e n ô m e n o s q u e o c o r r e m e m e s c a l a s m e n o r e s q u e a e s c a l a

d a m é d i a [ 3 0 , 4 0 ] e d e v e m c o n s i d e r a r a e s t r u t u r a d o c a m p o d e e s c o a m e n t o e a s

p r o p r i e d a d e s f í s i c a s d o s m a t e r i a i s e m s u a m o d e l a g e m . D e f a t o , e s t e s t e r m o s p o d e m

s e r d e r i v a d o s e m p i r i c a m e n t e , a n a l i c a m e n t e o u n u m e r i c a m e n t e .

O m o d e l o d e m i s t u r a , c h a m a d o A S M M ( a l g e b r a i c s l i p m i x t u r e m o d e l ) , é e s s e n -

c i a l m e n t e u m a s i m p l i c a ç ã o d o m o d e l o E u l e r i a n o m u l t i - u i d o [ 4 1 ] . C o m o o ú l t i m o ,

u t i l i z a p r o p r i e d a d e s m é d i a s d e c a d a f a s e d e n i d a s e m t o d o o d o m í n i o e p e r m i t e

q u e a s f a s e s s e m o v i m e n t e m c o m v e l o c i d a d e s d i f e r e n t e s e n t r e s i . C o n t u d o , o m o -

d e l o A S M M n ã o r e q u e r a s o l u ç ã o d a s e q u a ç õ e s d a c o n t i n u i d a d e e d e q u a n t i d a d e

d e m o v i m e n t o d e c a d a f a s e , m a s a p e n a s a e q u a ç ã o p a r a a m i s t u r a . E s t a s i m p l i -

c a ç ã o b a s e a - s e n a h i p ó t e s e q u e a s f a s e s e s t ã o e m e q u i l í b r i o l o c a l . I s t o i m p l i c a q u e

a p a r t í c u l a p r e s e n t e n a f a s e d i s p e r s a a s s u m e a v e l o c i d a d e t e r m i n a l n a s c o n d i ç õ e s

l o c a i s c o r r e s p o n d e n t e s a s u a p o s i ç ã o . P o r m , u m a r e l a ç ã o d e v e s e r p r o p o s t a p a r a

a v e l o c i d a d e d e e s c o r r e g a m e n t o e n t r e a s f a s e s ( s l i p ) .

N a s e q u ê n c i a , a f o r m u l a ç ã o d o s m o d e l o s m u l t i - u i d o e d e m i s t u r a s ã o a p r e s e n -

t a d o s . N a d e s c r i ç ã o d a m o d e l a g e m m u l t i f á s i c a s ã o c o n s i d e r a d a s n + 1

f a s e s o n d e

e x i s t e m a p e n a s u m a f a s e c o n t í n u a , r e p r e s e n t a d a p e l o s u b s c r i t o α = 0

, e n

f a s e s

d i s p e r s a s , d e s c r i t a s c o m o s u b s c r i t o α = 1, . . . , n

.




2 . 2 . 1 M o d e l o M u l t i - u i d o

P a r a s i s t e m a s m u l t i f á s i c o s i s o t é r m i c o s , a s e q u a ç õ e s d e c o n s e r v a ç ã o m é d i a s s ã o d a d a s

p o r

∂ (rαρα)

∂t+ · (rαραuα) = Rα ( 2 . 3 )

∂ (rαραuα)

∂t+ · (rαραuαuα) = · (rαT

eff α )

+ MI,α + Rαuα,I + Sα + rαραg ( 2 . 4 )

o n d e ρα ,

uα , rα e

Teff α r e p r e s e n t a m , r e s p e c t i v a m e n t e , a m a s s a e s p e c í c a m é d i a , a

v e l o c i d a d e m é d i a , a f r a ç ã o d a f a s e e o t e n s o r f o r m a d o p e l a c o m b i n a ç ã o d a s t e n s õ e s

m é d i a s v i s c o s a e t u r b u l e n t a d a f a s e α

( Teff

α = Tlamα + Tturb

α ) , Rα é o t e r m o f o n t e

r e f e r e n t e à m a s s a t r o c a d a e n t r e a f a s e α

e a s o u t r a s f a s e s , Sα é o t e r m o f o n t e d e

q u a n t i d a d e d e m o m e n t o n a f a s e α

d e v i d o a f o r ç a s e x t e r n a s a l é m d a g r a v i d a d e e MI,α

é o t e r m o d e t r o c a d e m o m e n t u m p e l a i n t e r f a c e d a f a s e α

. U s u a l m e n t e , o s p r i n c i p a i s

c o m p o n e n t e s d e MI,α s ã o d e v i d o à s f o r ç a s d e a r r a s t o , s u s t e n t a ç ã o e m a s s a v i r t u a l

a t u a n d o n a i n t e r f a c e d a s f a s e s . A f o r m u l a ç ã o d o t e r m o r e f e r e n t e à t a x a d e t r o c a d e

m a s s a e n t r e f a s e s , Rα , d e p e n d e d o p r o c e s s o c o n s i d e r a d o ( e v a p o r a ç ã o , s o l i d i c a ç ã o ,

c o n d e n s a ç ã o , e t c . ) , o n d e uα,I é a v e l o c i d a d e c o m a q u a l a m a s s a é t r a n s f e r i d a a t r a v é s

d a i n t e r f a c e e n t r e a s f a s e s [ 4 0 ] .

A t e n s ã o v i s c o s a , t a m b é m c h a m a d a d e t e n s ã o m é d i a d a f a s e , u s u a l m e n t e é m o -

d e l a d a p e l a r e l a ç ã o p a r a u i d o s N e w t o n i a n o s [ 4 2 ] . A E q . 2 . 5 m o s t r a o m o d e l o d e

t e n s ã o v i s c o s a a d a p t a d o p a r a a a b o r d a g e m m u l t i - u i d o .

Tlamα = − pαI + τ

lamα

τ lamα = 2µαDα + (κα −

2

3µα)( · uα)I

Dα =1

2

uα + (uα)t

( 2 . 5 )

Q u a n d o c o n s i d e r a d o a p e n a s o e s c o a m e n t o l a m i n a r , o t e r m o d e t e n s ã o d e R e y -

n o l d s d e v i d o à t u r b u l ê n c i a é c o n s i d e r a d o n u l o . A m o d e l a g e m d o f e c h a m e n t o p a r a a

t e n s ã o t u r b u l e n t a é a b o r d a d a n a S e ç ã o 2 . 3 .




U m d o p o n t o s m a i s i m p o r t a n t e s n a m o d e l a g e m d e e s c o a m e n t o s m u l t i f á s i c o s é a

u t i l i z a ç ã o c o r r e t a d o s t e r m o s d e t r o c a d e m o m e n t u m MI,α p e l a i n t e r f a c e d a f a s e α

.

A f o r m u l a ç ã o d e s t a e x p r e s s ã o p o s s u i g r a n d e i n u ê n c i a n o c á l c u l o d a d i s t r i b u i ç ã o d a

f a s e d i s p e r s a e d o c a m p o d e v e l o c i d a d e s n o e s c o a m e n t o . A l e i d e c o n s e r v a ç ã o d e

q u a n t i d a d e d e m o v i m e n t o m o s t r a q u e a q u a n t i d a d e t o t a l d e m o m e n t u m t r a n s f e r i d a

e n t r e a s f a s e s é n u l a , o u s e j a ,

nα=0 MI,α = 0

. D e s t a f o r m a , é p o s s í v e l f e c h a r o

s i s t e m a d e e q u a ç õ e s a o d e n i r a m o d e l a g e m d e a p e n a s n

f a s e s . O s d e t a l h e s s o b r e

a m o d e l a g e m d o s t e r m o s d e t r o c a d e q u a n t i d a d e d e m o v i m e n t o e n t r e a s f a s e s s ã o

a b o r d a d o s n a S e ç ã o 2 . 3 .

M a i o r e s d e t a l h e s s o b r e a t e o r i a d e f o r m u l a ç ã o e m o d e l a g e m m u l t i - u i d o p o d e m

s e r e n c o n t r a d o s e m d i v e r s o s t r a b a l h o s [ 3 0 , 3 9 , 4 3 , 4 4 , 4 5 , 4 0 ] .

2 . 2 . 2 M o d e l o d e M i s t u r a

A e q u a ç ã o d a c o n t i n u i d a d e p a r a a m i s t u r a e s t á e x p r e s s a n a E q . 2 . 6 , o n d e ρm é a

m a s s a e s p e c í c a d e m i s t u r a d e n i d a n a E q . 2 . 7 e um é a v e l o c i d a d e d e m i s t u r a m é d i a

m á s s i c a m o s t r a d a n a E q . 2 . 8 .

∂ρm

∂t+ · (ρmum) = 0

( 2 . 6 )

ρm =n

α=0rαρα ( 2 . 7 )

um =

nα=0 rαραuα

ρm( 2 . 8 )

A e q u a ç ã o d e q u a n t i d a d e d e m o v i m e n t o p a r a a m i s t u r a p o d e s e r o b t i d a a o s o m a r

a s e q u a ç õ e s i n d i v i d u a i s p a r a a q u a n t i d a d e d e m o v i m e n t o d e t o d a s a s f a s e s . A E q . 2 . 9

m o s t r a o r e s u l t a d o d e s s a o p e r a ç ã o

∂ (ρmum)

∂t

+ · (ρmum) =

− p + · (τ m + τ turbm ) + · τ Dm + ρmg ( 2 . 9 )



2 . 3 A b o r d a g e m p a r a o F e c h a m e n t o 1 8

o n d e τ m , τ turbm e τ Dm s ã o a s t e n s õ e s v i s c o s a , t u r b u l e n t a e d i f u s i v a d e v i d o a o e s c o r -

r e g a m e n t o e n t r e a s f a s e s d e n i d a s r e s p e c t i v a m e n t e n a s E q s . 2 . 1 0 , 2 . 1 1 e 2 . 1 2

τ m = µm(um + utm) − 23µm · umI ( 2 . 1 0 )

τ turbm = µturb

m

(um + utm) −

2

3 · umI

−

2

3ρmkmI ( 2 . 1 1 )

τ Dm =n

α=0

rαραuD,αuD,α ( 2 . 1 2 )

µm =n

α=0

rαµα ( 2 . 1 3 )

s e n d o q u e , µm é a v i s c o s i d a d e d e m i s t u r a d e n i d a n a E q . 2 . 1 3 , km r e p r e s e n t a a

e n e r g i a c i n é t i c a t u r b u l e n t a d e m i s t u r a e uD,α = uα − um é a v e l o c i d a d e d i f u s i v a

( d r i f t ) e n t r e a f a s e α

e o c e n t r o d e m a s s a d a m i s t u r a . O t e r m o d e t e n s ã o t u r b u l e n t a

p o d e s e r f e c h a d o r e s o l v e n d o u m m o d e l o d e t u r b u l ê n c i a p a r a a m i s t u r a . N o t e q u e ,

c o m o a e q u a ç ã o p a r a a m i s t u r a é a s o m a d a s e q u a ç õ e s p a r a a s f a s e s e a s o m a d o s

t e r m o s d e i n t e r a ç ã o e n t r e a s f a s e s é n u l a , a E q . 2 . 9 n ã o t e m e s s e t i p o d e t e r m o .

C o n t u d o , a v e l o c i d a d e d a s f a s e s , uα , a i n d a n ã o é c o n h e c i d a , m a s p o d e s e r d e r i -

v a d a p e l a r e l a ç ã o

uD,α = uα − um =ni=0

cius l i p

,αi ( 2 . 1 4 )

o n d e ci é a f r a ç ã o m á s s i c a d a f a s e

ie u

s l i p ,αi é a v e l o c i d a d e d e e s c o r r e g a m e n t o d a

f a s e α

e m r e l a ç ã o a f a s e i

( us l i p ,αi = uα −ui ) . E x i s t e m v á r i o s m o d e l o s n a l i t e r a t u r a

p a r a d e s c r e v e r a v e l o c i d a d e d e e s c o r r e g a m e n t o [ 4 1 , 4 6 , 4 7 , 4 8 , 4 9 ] . E n t r e e s t e s

m o d e l o s , a l g u n s s ã o r e l a c i o n a d o s c o m o d i â m e t r o d a p a r t í c u l a [ 4 1 ] o u c o m a s f o r ç a s

d e i n t e r a ç ã o e n t r e f a s e s [ 4 5 ] .

2 . 3 A b o r d a g e m p a r a o F e c h a m e n t o

A a b o r d a g e m E u l e r i a n a - E u l e r i a n a é a p l i c á v e l a t o d o s o s r e g i m e s d e e s c o a m e n t o j á

q u e a t o p o l o g i a d e s t e n ã o p r e c i s a s e r p r e s c r i t a . C o n t u d o , a f o r m u l a ç ã o d o s t e r m o s

d e t r o c a d e m o m e n t u m e n t r e a s f a s e s e d e t e n s ã o t u r b u l e n t a d e p e n d e d o r e g i m e d e




e s c o a m e n t o . C o m o c o n s e q u ê n c i a , a c a p a c i d a d e p r e d i t i v a d o m o d e l o m u l t i f á s i c o r e c a i

f o r t e m e n t e n a m o d e l a g e m d e s t e s t e r m o s , q u e s ã o a s c h a m a d a s l e i s d e f e c h a m e n t o .

A s l e i s d e f e c h a m e n t o d e v e m s e m p r e s e g u i a r p e l o s s e g u i n t e s p r i n c í p i o s :

•E q u i p r e s e n ç a ;

•S o l u ç ã o b e m - p o s t a ;

•I n d i f e r e n ç a a o r e f e r e n c i a l ;

• D e t e r m i n i s m o ;

•S e g u n d a l e i d a t e r m o d i n â m i c a .

A e q u i p r e s e n ç a s i g n i c a q u e q u a l q u e r v a r i á v e l d e s c r i t a p o r u m a l e i d e f e c h a m e n t o

d e v e s e r f u n ç ã o d e t o d a s a s o u t r a s v a r i á v e i s . O p r i n c í p i o d e s o l u ç ã o b e m - p o s t a a r m a

q u e a s o l u ç ã o d a s e q u a ç õ e s d o m o d e l o e x i s t e , é ú n i c a e v a r i a c o n t i n u a m e n t e c o m

a s c o n d i ç õ e s d e c o n t o r n o i m p o s t a s . C o n t u d o , D R E W e P A S S M A N [ 3 9 ] c o n s i d e r a m

e s t e p r i n c í p i o n ã o a p r o p r i a d o p a r a s i s t e m a s m u l t i f á s i c o s . A i n d i f e r e n ç a a o r e f e r e n -

c i a l s i g n i c a q u e a s e x p r e s s õ e s t e n s o r i a i s d a s l e i s d e f e c h a m e n t o n ã o d e p e n d e m d o

r e f e r e n c i a l d o o b s e r v a d o r . O d e t e r m i n i s m o c o n r m a a p r e d i b i l i d a d e d o p r e s e n t e a

p a r t i r d e d a d o s p a s s a d o s . P o r m , s a t i s f a z e r a s e g u n d a l e i d a t e r m o d i n â m i c a g a r a n t e

q u e a s o l u ç ã o p o s s u i u m s i g n i c a d o f í s i c o .

P a r a r e s o l v e r a s e q u a ç õ e s p a r a o e s c o a m e n t o m u l t i f á s i c o , s ã o a i n d a n e c e s s á r i a s

a s c o n d i ç õ e s i n i c i a i s , p a r a e s p e c i c a r s e u e s t a d o i n i c i a l , e a s c o n d i ç õ e s d e c o n t o r n o ,

p a r a e s p e c i c a r c o m o o e s c o a m e n t o i n t e r a g e c o m a s u a v i z i n h a n ç a . U m a v e z q u e a s

l e i s d e f e c h a m e n t o , a s c o n d i ç õ e s i n i c i a i s e c o n d i ç õ e s d e c o n t o r n o s e j a m c o n h e c i d a s , o

s i s t e m a d e e q u a ç õ e s d o m o d e l o m u l t i f á s i c o e s t á f e c h a d o e p r o n t o p a r a s e r r e s o l v i d o .

N a s e q ü ê n c i a , s ã o a p r e s e n t a d o s m a i o r e s d e t a l h e s s o b r e o f e c h a m e n t o d a m o d e l a g e m

m u l t i - u i d o p a r a o s t e r m o s d e t r o c a d e m o m e n t u m e n t r e f a s e s e s o b r e a m o d e l a g e m

d a t u r b u l ê n c i a e m e s c o a m e n t o s m u l t i f á s i c o s .




2 . 3 . 1 F e c h a m e n t o d a s F o r ç a s d e I n t e r a ç ã o

O f e c h a m e n t o d o m o d e l o E u l e r i a n o t e m f o c o n o s f e n ô m e n o s q u e o c o r r e m n a i n t e r f a c e

e n t r e a s f a s e s . A f o r ç a i n t e r f a c i a l d e u m a f a s e α

n o r m a l m e n t e é d e c o m p o s t a e m t e r -

m o s d e f o r ç a d e i n t e r a ç ã o e n t r e f a s e s e p r e s s ã o e t e n s ã o d e c i s a l h a m e n t o i n t e r f a c i a i s

m é d i a s .

MI,α = MI,α + pI,αrα − τ I,α · rα ( 2 . 1 5 )

A p a r t i r d a d e c o m p o s i ç ã o c o l o c a d a n a E q . 2 . 1 5 c o m b i n a d a à E q . 2 . 5 , o l a d o

d i r e i t o d a E q . 2 . 4 ( s e m c o n s i d e r a r o s e f e i t o s d e t u r b u l ê n c i a ) p o d e s e r r e e s c r i t o c o m o

c o l o c a d o a b a i x o .

· (rαTlamα ) + MI,α + Rαuα + Sα + rαραg =

− rα pα + · (rατ lamα ) + ( pI,α − pα)rα − τ I,α · rα

+ MI,α + Rαuα,I + Sα + rαραg ( 2 . 1 6 )

A o a d m i t i r q u e o s e f e i t o s d e t e n s ã o i n t e r f a c i a l n ã o s ã o i m p o r t a n t e s ( τ I,α = 0

) ,

é p o s s í v e l c o n s i d e r a r q u e a p r e s s ã o p o s s u i l o c a l m e n t e o m e s m o v a l o r p a r a t o d a s a s

f a s e s , pα = pI,α = p

.

O t e r m o d e i n t e r a ç ã o e n t r e a s f a s e s p o d e c o n s i d e r a r v á r i o s t i p o s d e f o r ç a s i n t e r f a -

c i a i s . C o n t u d o , u s u a l m e n t e a s p r i n c i p a i s f o r ç a s s ã o d e v i d o a o a r r a s t o , s u s t e n t a ç ã o e

m a s s a v i r t u a l . O u t r a s f o r ç a s , c o m o a f o r ç a d e B a s s e t , s ã o n e g l i g e n c i a d a s n a g r a n d e

m a i o r i a d o s c a s o s p r á t i c o s [ 5 0 ] .

O s i s t e m a m u l t i f á s i c o p o d e s e r m o d e l a d o a p a r t i r d e u m a f a s e p r i m á r i a ( α = 0

) ,

c o n s i s t i n d o d a f a s e c o n t í n u a , e

nf a s e s s e c u n d á r i a s , o n d e c a d a u m a d e l a s r e p r e s e n t a

u m a c l a s s e d e p a r t í c u l a c o m v o l u m e c o m p r e e n d i d o e m u m i n t e r v a l o e s p e c i c a d o . A

E q . 2 . 1 7 m o s t r a a f o r m u l a ç ã o d o t e r m o d e i n t e r a ç ã o e n t r e f a s e s p a r a a f a s e p r i m á r i a ,

o n d e Ma , Ms e Mmv r e p r e s e n t a m r e s p e c t i v a m e n t e a s f o r ç a s d e v i d o a o a r r a s t o ,




s u s t e n t a ç ã o e m a s s a v i r t u a l .

MI,0 =n

α=1 Ma

I,0α + MsI,0α + Mmv

I,0α( 2 . 1 7 )

C o n s i d e r a n d o q u e a s f a s e s s e c u n d á r i a s n ã o i n t e r a g e m e n t r e s i , h i p ó t e s e r a z o á v e l

p a r a s i s t e m a s d i l u í d o s ( r0 → 1

) , a f o r m u l a ç ã o d o t e r m o d e i n t e r a ç ã o e n t r e f a s e s c a

n a f o r m a c o l o c a d a n a E q . 2 . 1 8 .

MI,α = MaI,α0 + Ms

I,α0 + MmvI,α0

α = 1, . . . , n( 2 . 1 8 )

N o t e q u e , a t r o c a d e q u a n t i d a d e d e m o v i m e n t o e n t r e a s f a s e s d i s p e r s a e c o n t í n u a

s e i n t e r - r e l a c i o n a d e f o r m a o p o s t a , c o m o Ma

I,α0 = −MaI,0α p a r a a f o r ç a d e a r r a s t o .

E s t a m e s m a r e l a ç ã o é v á l i d a p a r a a s o u t r a s f o r ç a s .

A d e c o m p o s i ç ã o a p r e s e n t a d a n a s E q s . 2 . 1 7 e 2 . 1 8 n ã o s ã o s e m p r e v á l i d a s d e v i d o

à i n t e r a ç õ e s n ã o l i n e a r e s e n t r e a s f o r ç a s . A p e s a r d i s s o , e s t a s i n t e r a ç õ e s a i n d a n ã o

s ã o b e m c o n h e c i d a s e u s u a l m e n t e s ã o p e q u e n a s o s u c i e n t e p a r a s e r e m d e s p r e z a d a s .

E m g e r a l , a f o r ç a d e a r r a s t o é p r e d o m i n a n t e n a m a i o r i a d o s e s c o a m e n t o s b i f á s i c o s

e a i n c l u s ã o d a s d e m a i s f o r ç a s p o d e s e r a v a l i a d a p e l a r a z ã o d e s t a s c o m a f o r ç a d e

a r r a s t o [ 5 1 ] . U m a b r e v e d i s c u s s ã o s o b r e e s s a s f o r ç a s e s t á c o l o c a d a n a s e q ü ê n c i a .

M o d e l a g e m d a F o r ç a d e A r r a s t o

A f o r ç a d e a r r a s t o a p a r e c e s e m p r e q u e e x i s t e u m m o v i m e n t o r e l a t i v o e n t r e a p a r t í c u l a

e o u i d o e p o d e s e r d e n i d a c o m o a f o r ç a e x e r c i d a p e l a f a s e c o n t í n u a s o b r e a

p a r t í c u l a n a d i r e ç ã o d o e s c o a m e n t o . A t e o r i a e m q u e a f o r ç a d e a r r a s t o , Ma

I,α , é

b a s e a d a c o m e ç o u c o m o s e s t u d o s d e N E W T O N [ 5 2 ] s o b r e a q u e d a l i v r e n o a r d e

e s f e r a s c o m d i f e r e n t e s t a m a n h o s . N e w t o n m e d i u a v e l o c i d a d e t e r m i n a l d a s p a r t í c u l a s

a o s o l t á - l a s d o a l t o d a c a t e d r a l d e S t . P a t r i c k e m L o n d r e s . C o m e s t e s d a d o s e l e f o i

c a p a z d e r e l a c i o n a r o a r r a s t o d a p a r t í c u l a c o m o f u n ç ã o d o d i â m e t r o e d a v e l o c i d a d e

t e r m i n a l . A s s i m , N e w t o n c o n c l u i u e x p e r i m e n t a l m e n t e q u e a f o r ç a d e a r r a s t o s o b r e




a p a r t í c u l a é p r o p o r c i o n a l a o q u a d r a d o d a v e l o c i d a d e t e r m i n a l . P o s t e r i o r m e n t e , a

r e l a ç ã o o b t i d a p o r N e w t o n f o i e s t e n d i d a p o r A L L E N [ 5 3 ] p a r a i n c l u i r o s e f e i t o s d a

m a s s a e s p e c í c a d a s p a r t í c u l a s e d o u i d o n a f o r ç a d e a r r a s t o . S T O K E S [ 5 4 ] c h e g o u

a e s t e m e s m o r e s u l t a d o d e f o r m a a n a l í t i c a a o n e g l i g e n c i a r a c o n v e c ç ã o n a e q u a ç ã o

d e N a v i e r - S t o k e s , c o r r o b o r a n d o c o m o s r e s u l t a d o s o b t i d o s e m [ 5 2 ] .

A m a i o r i a d o s r e s u l t a d o s d e e s t u d o s r e f e r e n t e s à f o r ç a d e a r r a s t o s ã o a p r e s e n t a d o s

e m f o r m a a d i m e n s i o n a l a t r a v é s d o c o e c i e n t e d e a r r a s t o , C D , q u e é f u n ç ã o d o n ú m e r o

d e R e y n o l d s ,

Re, c o m o a p r e s e n t a d o n a F i g . 2 . 1 [ 5 5 ] . A d e n i ç ã o d o n ú m e r o d e

R e y n o l d s é m o s t r a d a n a E q . 2 . 1 9 , o n d e

ρ0e

µ0s ã o a m a s s a e s p e c í c a e v i s c o s i d a d e

d a f a s e c o n t í n u a , ur = u0 −u p é a v e l o c i d a d e r e l a t i v a e

dα é o d i â m e t r o e q u i v a l e n t e

d a p a r t í c u l a ( d i â m e t r o d a e s f e r a c o m o m e s m o v o l u m e d a p a r t í c u l a ) .

F i g u r a 2 . 1 : C o e c i e n t e d e a r r a s t o p a r a e s f e r a s r í g i d a s e m f u n ç ã o d o n ú m e r o d e R e y n o l d s

( r e t i r a d o d e S C H L I C H T I N G [ 4 4 ] ) .

Re =ρ0|ur|dα

µ0( 2 . 1 9 )

A f o r m a f u n c i o n a l d a f o r ç a d e a r r a s t o t e m s i d o o b j e t o d e i n t e n s a p e s q u i s a e

a m a i o r i a d o s e s c o a m e n t o s m u l t i f á s i c o s u t i l i z a a f o r m u l a ç ã o c o l o c a d a n a E q . 2 . 2 0

[ 4 5 ] , o n d e C D,α r e f e r e - s e a o c o e c i e n t e d e a r r a s t o p a r a a f a s e

α, ur,α = u0 − uα é a

v e l o c i d a d e r e l a t i v a e Aα é a á r e a p r o j e t a d a n o r m a l à v e l o c i d a d e r e l a t i v a d a p a r t í c u l a




p e r t e n c e n t e à f a s e α

d i v i d i d a p e l o v o l u m e d a m e s m a .

MaI,α =

1

2ρ0rαAαC D,α|ur,α|ur,α ( 2 . 2 0 )

S e n d o e s f e r a s : Aα = πd2α/4

πd3α/6= 3

2dα.

P o r é m , a f í s i c a d e e s c o a m e n t o a o r e d o r d e p a r t í c u l a s u i d a s d i f e r e d e d u a s f o r m a s

e m r e l a ç ã o a o e s c o a m e n t o e m t o r n o d e p a r t í c u l a s r í g i d a s . D e f a t o , a f o r m a d a p a r -

t í c u l a n ã o é x a . E f e i t o s d e s s e t i p o d e v e m s e r c o n s i d e r a d o s a o c a l c u l a r o c o e c i e n t e

d e a r r a s t o p a r a b o l h a s e g o t a s [ 5 6 , 5 1 , 5 7 ] .

M o d e l a g e m d a F o r ç a d e S u s t e n t a ç ã o

E m u m e s c o a m e n t o c o m c a m p o u n i f o r m e e e s t a c i o n á r i o , a f o r ç a d e s u s t e n t a ç ã o

r e f e r e - s e à f o r ç a n o r m a l à v e l o c i d a d e r e l a t i v a d o u i d o . O p r i m e i r o r e l a t o s o b r e a

a ç ã o d a f o r ç a d e s u s t e n t a ç ã o , Ms

I,α , a t u a n d o s o b r e u m a p a r t í c u l a f o i r e g i s t r a d o p o r

P O I S E U I L L E [ 5 8 ] , a o c o n s t a t a r q u e a s c é l u l a s d o s a n g u e p e r m a n e c i a m a f a s t a d a s

d a s p a r e d e s d o s c a p i l a r e s . P o r é m , a s c a u s a s d e s t e f e n ô m e n o s ó f o r a m e s c l a r e c i d a s

m a i s d e u m s é c u l o d e p o i s c o m o t r a b a l h o d e S E G R É e S I L B E R B E R G [ 5 9 ] . O s d o i s

p e s q u i s a d o r e s e s t u d a r a m o l e v e d e s l o c a m e n t o r a d i a l d e e s f e r a s u t u a n t e s c o m d i f e -

r e n t e s t a m a n h o s s u s p e n s a s e m u m t u b o c o m c o n d i ç õ e s d e e s c o a m e n t o d e P o i s e u i l l e

d e v i d o à a t u a ç ã o d e s t a f o r ç a l a t e r a l s o b r e a s p a r t í c u l a s . A p a r t i r d a í , v á r i o s t r a b a -

l h o s s o b r e a f o r ç a d e s u s t e n t a ç ã o f o r a m r e a l i z a d o s , e m g r a n d e p a r t e p a r a e s c o a m e n t o

e m t u b o s e c a n a i s [ 6 0 , 6 1 ] .

A s o r i g e n s d a f o r ç a d e s u s t e n t a ç ã o s ã o d i v e r s a s , c o m o a p r e s e n ç a d e u m g r a d i e n t e

d e v e l o c i d a d e n a f a s e c o n t í n u a , a d e f o r m a ç ã o e r o t a ç ã o d a p a r t í c u l a ( u s u a l m e n t e

c h a m a d o d e e f e i t o M a g n u s ) e o e f e i t o d e s u r f a c t a n t e s p r e s e n t e s n o m e i o c o n t í n u o .

E m r e l a ç ã o à s a p l i c a ç õ e s c o m p a r t í c u l a s u i d a s , A U T O N [ 6 2 ] m o s t r o u q u e a f o r ç a

d e s u s t e n t a ç ã o a p l i c a d a a u m a b o l h a e s f é r i c a i s o l a d a e m u m e s c o a m e n t o e s t a c i o n á r i o

i n v í s c i d o é p r o p o r c i o n a l a o p r o d u t o v e t o r i a l d a v o r t i c i d a d e d a f a s e c o n t í n u a (×u0)

e a v e l o c i d a d e r e l a t i v a ur,α e n t r e a s f a s e s . O a u t o r c h e g o u à e x p r e s s ã o c o l o c a d a




n a E q . 2 . 2 1 p a r a r e p r e s e n t a r a f o r ç a d e s u s t e n t a ç ã o , o n d e C L,α é o c o e c i e n t e d e

s u s t e n t a ç ã o d a f a s e α

.

MsI,α = −C L,αρ0rαur,α × ( × u0) ( 2 . 2 1 )

A F i g . 2 . 2 m o s t r a a v a r i a ç ã o d o c o e c i e n t e d e s u s t e n t a ç ã o s o b r e u m a e s f e r a l i s a

e e s f é r i c a e m f u n ç ã o d o n ú m e r o d e R e y n o l d s [ 6 3 ] .

F i g u r a 2 . 2 : C o e c i e n t e d e s u s t e n t a ç ã o p a r a u m a e s f e r a r í g i d a e l i s a e m f u n ç ã o d o n ú m e r o

d e R e y n o l d s . L i n h a s ó l i d a : s o l u ç ã o a n a l í t i c a p a r a e s c o a m e n t o i n v í s c i d o ; l i n h a s p o n t i l h a d a s :

a j u s t e d a c u r v a p a r a o s r e s u l t a d o s n u m é r i c o s c o m Sr = 0, 02 ( •) e

Sr = 0, 2 ( ) ; l i n h a s

t r a c e j a d a s : s o l u ç ã o a n a l í t i c a p a r a c r e e p i n g o w c o m Sr = 0, 02

e Sr = 0, 2

( r e t i r a d o d e

L E G E N D R E e M A G N A U D E T [ 5 1 ] ) .

P e l o s e x p e r i m e n t o s d e L E G E N D R E e M A G N A U D E T [ 6 3 ] , o c o e c i e n t e d e s u s -

t e n t a ç ã o s e t o r n a c o n s t a n t e ( C L,α = 0, 5

) p a r a o c a s o d e u m a b o l h a e s f é r i c a e m u m

e s c o a m e n t o i n v í s c i d o ( Re > 102

) . Q u a n d o o n ú m e r o d e R e y n o l d s é i n f e r i o r a 102

, o

c o e c i e n t e d e s u s t e n t a ç ã o p a s s a a t e r u m a f o r t e d e p e n d ê n c i a c o m a s c a r a c t e r í s t i c a s

d o e s c o a m e n t o a o r e d o r d a p a r t í c u l a [ 6 4 , 6 5 ] , s e n d o p r i m a r i a m e n t e f u n ç ã o d o Re

e

d a t a x a a d i m e n s i o n a l d e c i s a l h a m e n t o n a f a s e α , Srα , d e n i d a p o r :

Srα =|u0|dα

|ur,α|( 2 . 2 2 )




D a d o o g r a n d e n ú m e r o d e f a t o r e s q u e i n u e n c i a m a f o r ç a d e s u s t e n t a ç ã o e a s

d ú v i d a s a i n d a p r e s e n t e s n o e n t e n d i m e n t o d o s p r o c e s s o s f í s i c o s e n v o l v i d o s , n ã o é d e

s e e s p a n t a r q u e n ã o e x i s t a u m m o d e l o q u e r e a l i z e p r e d i ç õ e s c o m a c u r á c i a s a t i s f a t ó r i a

[ 6 6 ] . U s u a l m e n t e , o s l i m i t e s a p r e s e n t a d o s n a F i g . 2 . 2 s ã o e x t r a p o l a d o s e a d m i t e - s e

q u e o c o e c i e n t e d e s u s t e n t a ç ã o é c o n s t a n t e e i g u a l a 0, 5

.

M o d e l a g e m d a M a s s a V i r t u a l

A m a s s a v i r t u a l d e u m a p a r t í c u l a s e r e f e r e a o v o l u m e d e u i d o q u e d e v e s e r a c e l e r a d o

j u n t o c o m a p a r t í c u l a , d e f o r m a q u e a m a s s a t o t a l s u j e i t a a a c e l e r a ç ã o n a e q u a ç ã o

d e c o n s e r v a ç ã o d e m o m e n t u m d a p a r t í c u l a s e j a (ρα + C MV,αρ0)υα [ 5 1 ] , o n d e

C MV,α é

o c o e c i e n t e d e m a s s a v i r t u a l d e v i d o à m o v i m e n t a ç ã o d a p a r t í c u l a e υα é o v o l u m e

d a p a r t í c u l a d a f a s e d i s p e r s a α

.

C o n s i d e r a n d o a s t e o r i a s d e e s c o a m e n t o i n v í s c i d o , c r e e p i n g o w e e s c o a m e n t o

c o m R e y n o l d s n i t o , t o d a s l e v a m a o v a l o r d e

C MV,α = 0, 5p a r a p a r t í c u l a s e s f é r i c a s ,

o q u e é c o n s i s t e n t e p a r a m u i t o s c a s o s d e p a r t í c u l a s s ó l i d a s , b o l h a s e g o t a s . M e s m o

p a r a b o l h a s d e a r c o m d i â m e t r o a c i m a d e 3, 5 mm

e f o r m a l e v e m e n t e e l i p s o i d a l , e s t e

c o e c i e n t e é a p r o x i m a d a m e n t e v á l i d o [ 5 1 ] .

A f o r m a f u n c i o n a l d a f o r ç a d e m a s s a v i r t u a l e s t á c o l o c a d a n a E q . 2 . 2 3 [ 3 8 ] .

MmvI,α = C MV,αρ0rαD0u0

Dt

−Dαuα

Dt ( 2 . 2 3 )

o n d e o o p e r a d o r

D(·)Dt

é a c h a m a d a d e r i v a d a m a t e r i a l o u s u b s t a n t i v a , d e n i d a p o r :

D(·)

Dt=

∂ (·)

∂t+ u · (·)

( 2 . 2 4 )

C o n t u d o , D R E W e L A H E Y [ 6 7 ] c o n c l u í r a m q u e t a n t o a f o r ç a d e m a s s a v i r t u a l

( E q . 2 . 2 3 ) q u a n t o a f o r ç a d e s u s t e n t a ç ã o ( E q . 2 . 2 1 ) n ã o s ã o i n d i f e r e n t e s a o r e f e -

r e n c i a l . P o r é m , a s u a s o m a é o b j e t i v a , c o n s i d e r a n d o o c a s o e m q u e o s c o e c i e n t e s

s ã o i g u a i s ( C L,α = C MV,α ) . E N W A L D e t a l . [ 3 8 ] r e s s a l t a m q u e e s t a a p r o x i m a ç ã o




é a p l i c á v e l s o m e n t e a u i d o s c o m b a i x a v o r t i c i d a d e . P a r a e s t e c a s o , a E q . 2 . 2 5 é

o b t i d a p a r a C L,α = C MV,α .

MmvI,α = ρ0rαC MV,α

D0u0

Dt− Dαuα

Dt− ur,α × ( × u0)

( 2 . 2 5 )

N o r m a l m e n t e , o s c o e c i e n t e s C D,α ,

C L,α e C MV,α s ã o d e t e r m i n a d o s e m p i r i c a -

m e n t e c o m d e p e n d ê n c i a d a s p r o p r i e d a d e s d a s p a r t í c u l a s e d a s c o n d i ç õ e s l o c a i s d e

e s c o a m e n t o . M a i o r e s d e t a l h e s s o b r e a f í s i c a e m o d e l o s p a r a e s t e s c o e c i e n t e s a d i -

m e n s i o n a i s p o d e m s e r e n c o n t r a d o s e m C L I F T e t a l . [ 5 6 ] , q u e a p r e s e n t a u m a e x t e n s a

c o m p i l a ç ã o d e d a d o s e x p e r i m e n t a i s p a r a a f o r m a e a v e l o c i d a d e t e r m i n a l d e p a r t í -

c u l a s ( c o m m a i o r ê n f a s e n o c o e c i e n t e d e a r r a s t o ) , e m L O T H [ 5 1 ] , q u e r e a l i z o u u m

ó t i m o t r a b a l h o d e r e v i s ã o b i b l i o g r á c a d o s m o d e l o s e x i s t e n t e s p a r a e s t e s c o e c i e n -

t e s a d i m e n s i o n a i s p a r a p a r t í c u l a s s ó l i d a s e u i d a s , e R U S C H E [ 6 6 ] , q u e a n a l i s o u

o s e f e i t o s p e r t i n e n t e s à s f o r ç a s d e a r r a s t o e s u s t e n t a ç ã o e c o m p a r o u v á r i o s m o d e l o s

p a r a s i m u l a r o e s c o a m e n t o b i f á s i c o g á s - l í q u i d o c o m a l t a f r a ç ã o v o l u m é t r i c a d e g á s .

2 . 3 . 2 M o d e l a g e m d e T u r b u l ê n c i a

A m o d e l a g e m d a t u r b u l ê n c i a é d e g r a n d e i m p o r t â n c i a n a d e s c r i ç ã o c o r r e t a d e e s c o a -

m e n t o s m u l t i f á s i c o s e m s i m u l a ç õ e s C F D . A p ó s v á r i o s t r a b a l h o s c o m p a r a n d o s i m u l a -

ç õ e s l a m i n a r e s e t u r b u l e n t a s p a r a o e s c o a m e n t o g á s - l í q u i d o , f o i p o s s í v e l c o n c l u i r q u e

o m o d e l o l a m i n a r n ã o é a p r o p r i a d o p a r a r e p r e s e n t a r o p e r l d e e s c o a m e n t o , m e s m o

p a r a b a i x o s v a l o r e s d e v e l o c i d a d e e r e t e n ç ã o g a s o s a [ 6 8 , 4 7 , 6 9 , 7 0 ] . A a n á l i s e d e s -

t e s t r a b a l h o s p e r m i t e c o n c l u i r q u e a s s i m u l a ç õ e s u s a n d o m o d e l o s l a m i n a r e s n ã o s ã o

c a p a z e s d e r e p r e s e n t a r o f e n ô m e n o f í s i c o p o i s o s r e s u l t a d o s n ã o c o n v e r g e m e m m a -

l h a . O s m o d e l o s d e t u r b u l ê n c i a c o n s i d e r a m o s f e n ô m e n o s d e d i s s i p a ç ã o d e e n e r g i a

q u e o c o r r e m n a s u b - e s c a l a d a m a l h a e , d e s t a f o r m a , r e p r e s e n t a m o s f e n ô m e n o s q u e

a f e t a m o e s c o a m e n t o .

A m o d e l a g e m d a t u r b u l ê n c i a g e r a l m e n t e c o m e ç a p e l a d e c o m p o s i ç ã o d e R e y n o l d s

n a q u a l a v e l o c i d a d e i n s t a n t â n e a é d i v i d i d a n a s o m a d e u m a v e l o c i d a d e m é d i a u e




u m a v e l o c i d a d e u t u a n t e u . C o m o a s e q u a ç õ e s d a c o n t i n u i d a d e e d e b a l a n ç o d e

m o m e n t u m s ã o e s c r i t a s e m f u n ç ã o d a v e l o c i d a d e i n s t a n t â n e a , e s t a s p o d e m s e r r e e s -

c r i t a s a p l i c a n d o a m é d i a d e R e y n o l d s p a r a u m a e s c a l a d e t e m p o

∆t. E s t a e s c a l a d e

t e m p o d e v e s e r m a i o r q u e a e s c a l a d e t e m p o d a s u t u a ç õ e s d e v e l o c i d a d e e m e n o r e s

q u e a e s c a l a d e t e m p o d o p r o c e s s o t r a n s i e n t e a s e r m o d e l a d o . D e s t a f o r m a , o t e r m o

d e t e n s ã o d e R e y n o l d s ( Tturb

α = −ραuαuα ) s u r g e n a e q u a ç ã o d e m o m e n t u m a p a r t i r

d o p r o c e s s o d e m é d i a , d e m o d o a c o n s i d e r a r o s e f e i t o s d e t u r b u l ê n c i a . A m o d e l a g e m

d a t u r b u l ê n c i a t e n d e a f o c a r d e t e r m i n a d o s e f e i t o s e , p o r t a n t o , a s e q u a ç õ e s d e s e u s

m o d e l o s p o d e m v a r i a r d e f o r m a s i g n i c a t i v a d e p e n d e n d o d a s h i p ó t e s e s a s s u m i d a s

e m s u a f o r m u l a ç ã o .

U m a d a s a b o r d a g e n s p a r a m o d e l a r a t e n s ã o d e R e y n o l d s é b a s e a d a n a t e o r i a

d e v i s c o s i d a d e d e B O U S S I N E S Q [ 7 1 ] o n d e c o n s i d e r a - s e q u e , a s s i m c o m o a s t e n s õ e s

v i s c o s a s e m u m e s c o a m e n t o l a m i n a r , a s t e n s õ e s t u r b u l e n t a s s ã o p r o p o r c i o n a i s a o

g r a d i e n t e d a v e l o c i d a d e m é d i a d o e s c o a m e n t o . B a s e a n d o - s e n a v i s c o s i d a d e l a m i n a r ,

B o u s s i n e q i n t r o d u z i u o c o n c e i t o d e v i s c o s i d a d e t u r b u l e n t a c o m o u m a p r o p r i e d a d e

q u e d e p e n d e d a t u r b u l ê n c i a l o c a l . C o n t u d o , e x i s t e a n e c e s s i d a d e d e m o d e l o s p a r a

c a l c u l á - l a . A E q . 2 . 2 6 a p r e s e n t a a f o r m u l a ç ã o d o t e n s o r t e n s ã o t u r b u l e n t o , o n d e

k

é a e n e r g i a c i n é t i c a t u r b u l e n t a e τ turbα é o t e n s o r t e n s ã o r e s i d u a l d e t u r b u l ê n c i a .

Tturbα = −

2

3ραkI + τ

turbα

τ turbα = 2µturb

α Dα ( 2 . 2 6 )

A i d e n t i c a ç ã o d o s f e n ô m e n o s d e t u r b u l ê n c i a e m e s c o a m e n t o s m u l t i f á s i c o s

t e v e i n í c i o a m a i s d e d u a s d é c a d a s a t r á s . O t r a b a l h o d e M I C H E L E [ 4 3 ] a p u d

B R A U E R [ 7 2 ] d e u u m d o s p r i m e i r o s p a s s o s n a m o d e l a g e m a o i d e n t i c a r d i f e r e n t e s

f o n t e s d e t u r b u l ê n c i a e p r o p ô r s u a s f o r m u l a ç õ e s . A b a i x o e s t ã o l i s t a d a s a s p r i n c i p a i s

c a u s a s d e g e r a ç ã o d e t u r b u l ê n c i a e m e s c o a m e n t o s m u l t i f á s i c o s .

•T u r b u l ê n c i a d e R e y n o l d s d e n i d a p e l a s u t u a ç õ e s d e v e l o c i d a d e , c o m o n o

c a s o m o n o f á s i c o . T a m b é m é v á l i d o p a r a e s c o a m e n t o s m u l t i f á s i c o s , p o r é m o u -

t r o s e f e i t o s , c o m o a u t u a ç ã o d e f a s e , d e v e m s e r a v a l i a d o s .




•T u r b u l ê n c i a d e I n t e r f a c e o c o r r e p e l a d i f e r e n ç a d e t e n s ã o s u p e r c i a l n a i n -

t e r f a c e q u a n d o e x i s t e t r a n s f e r ê n c i a d e m a s s a n a ú l t i m a .

• T u r b u l ê n c i a p o r D e f o r m a ç ã o i n d u z i d a p e l o m o v i m e n t o d a s u p e r f í c i e d a s

b o l h a s .

•T u r b u l ê n c i a p o r I n t e r a ç ã o d e P o p u l a ç ã o d e v i d o à s i n t e r a ç õ e s e n t r e p a r t í -

c u l a s o u b o l h a s e m m o v i m e n t o [ 7 3 ] .

A o l o n g o d o s a n o s , f o r a m d e s e n v o l v i d o s v á r i o s m o d e l o s p a r a i n c l u s ã o d o s e f e i t o s

d e t u r b u l ê n c i a e m s i m u l a ç õ e s C F D m o n o f á s i c a s [ 7 4 , 7 5 ] e a p e n a s a l g u n s d e s t e s f o r a m

a d a p t a d o s p a r a o s c a s o s m u l t i f á s i c o s .

A p e s a r d e s ó t r a t a r t u r b u l ê n c i a i s o t r ó p i c a , o m o d e l o k −

é s e m d ú v i d a a a b o r -

d a g e m m a i s u s a d a e a c e i t a n o t r a t a m e n t o d e e s c o a m e n t o s t u r b u l e n t o s m u l t i f á s i c o s

[ 6 8 , 4 7 ] . E s t e m o d e l o i n t r o d u z d u a s e q u a ç õ e s d e t r a n s p o r t e a d i c i o n a i s n o c á l c u l o ,

q u e s ã o u s a d a s p a r a c a l c u l a r a e n e r g i a c i n é t i c a t u r b u l e n t a , k

, e a t a x a d e d i s s i p a ç ã o

d e e n e r g i a ,

. A e n e r g i a c i n é t i c a a f e t a d i r e t a m e n t e a s d i f e r e n t e s e s c a l a s d a e s t r u t u r a

t u r b i l h o n a r p r e s e n t e s n o e s c o a m e n t o . A s m a i o r e s e s t r u t u r a s s ã o a s p o r t a d o r e s d e

m a i o r q u a n t i d a d e d e e n e r g i a e n q u a n t o q u e a s m e n o r e s e s t r u t u r a s t u r b i l h o n a r e s c a r -

r e g a m m e n o r q u a n t i d a d e d e e n e r g i a . A s s i m , a t a x a d e d i s s i p a ç ã o d e e n e r g i a

d e v e

s e r r e s o l v i d a d e f o r m a a c o p l a d a à e n e r g i a c i n é t i c a k

, d e m o d o a r e p r e s e n t a r a v a r i -

a ç ã o d o t a m a n h o d a s e s t r u t u r a s t u r b i l h o n a r e s . A p a r t i r d e k

e

é p o s s í v e l c a l c u l a r

a v i s c o s i d a d e t u r b u l e n t a l o c a l , u s a d a n a s e q u a ç õ e s d e t r a n s p o r t e d e m o m e n t u m .

A e q u a ç ã o d e c o n s e r v a ç ã o p a r a a e n e r g i a c i n é t i c a t u r b u l e n t a n a f a s e c o n t í n u a ,

k0 , p o d e s e r e s c r i t a c o m o c o l o c a d o n a E q . 2 . 2 7 , o n d e Ψα é o t e r m o d e p r o d u ç ã o d e

e n e r g i a t u r b u l e n t a e S 0,k é u m t e r m o f o n t e q u e p o d e s e r u s a d o p a r a i m p l e m e n t a r

e f e i t o s d e t u r b u l ê n c i a c a u s a d o s p o r o u t r a s f o n t e s c o m o , p o r e x e m p l o , a i n t e r a ç ã o

e n t r e b o l h a s .

∂ (r0ρ0k0)

∂t+ · (r0ρ0u0k0) − ·

r0

µlam0 +

µturb0

σα

k0

= r0(Ψα − ρ00) + S 0,k ( 2 . 2 7 )




A e q u a ç ã o d e c o n s e r v a ç ã o d a d i s s i p a ç ã o d e e n e r g i a t u r b u l e n t a 0 n a f a s e c o n t í n u a

é m o s t r a d a n a E q . 2 . 2 8 e o t e r m o f o n t e S 0, t a m b é m p o d e s e r u s a d o p a r a m o d e l a r

o u t r o s e f e i t o s d e t u r b u l ê n c i a .

∂ (r0ρ00)

∂t+ · (r0ρ0u00) − ·

r0

µlam0 +

µturb0

σ

0

= r00k0

(C 1Ψα − C 2ρ00) + S 0, ( 2 . 2 8 )

A v i s c o s i d a d e t u r b u l e n t a µturb0 p o d e s e r c a l c u l a d a c o m o c o l o c a d o a b a i x o .

µturb0 = C µρ0

k20

0( 2 . 2 9 )

C o m i s s o , t r ê s i n c ó g n i t a s ( k0 ,

0 e µturb0 ) e t r ê s e q u a ç õ e s ( E q s . 2 . 2 7 , 2 . 2 8 e 2 . 2 9 )

s ã o a d i c i o n a d a s a o u s a r o m o d e l o k −

p a r a c o n s i d e r a r o s e f e i t o s d e t u r b u l ê n c i a n a s

s i m u l a ç õ e s , e l e v a n d o o c u s t o c o m p u t a c i o n a l , m a s a u m n í v e l a c e i t á v e l .

A i n d a é p o s s í v e l i n c l u i r e f e i t o s d e t u r b u l ê n c i a c a u s a d o p o r o u t r a s f o n t e s , c o m o

p o r e x e m p l o , a t u r b u l ê n c i a i n d u z i d a p e l a s i n t e r a ç õ e s e n t r e a s p a r t í c u l a s u i d a s .

E s t e s e f e i t o s p o d e m s e r i n c l u í d o s p e l a d e n i ç ã o d e v e l o c i d a d e u t u a n t e d e v i d o à

p r e s e n ç a d e b o l h a s o u i n t r o d u z i n d o t e r m o s f o n t e s a d i c i o n a i s . O m o d e l o d e S a t o

p a r a t u r b u l ê n c i a i n d u z i d a p o r b o l h a s [ 7 6 , 7 7 ] a s s u m e q u e , e m e s c o a m e n t o s g á s -

l í q u i d o , a v e l o c i d a d e d o l í q u i d o p o d e s e r d e c o m p o s t a e m u m a v e l o c i d a d e m é d i a ( u ) ,

u m a v e l o c i d a d e u t u a n t e d e v i d o à t u r b u l ê n c i a i n e r e n t e a o l í q u i d o e i n d e p e n d e n t e

d o m o v i m e n t o r e l a t i v o e n t r e a s b o l h a s e o l í q u i d o ( u

) e u m a v e l o c i d a d e u t u a n t e

a d i c i o n a l d e v i d o à p r e s e n ç a d e b o l h a s n o e s c o a m e n t o ( u

) .

u = u+ u + u( 2 . 3 0 )

D e s t a f o r m a , a f o r m u l a ç ã o d e m é d i a d e R e y n o l d s p a r a a s e q u a ç õ e s d e b a l a n ç o

i n c l u i a i n d a n o v o s t e r m o s d e v i d o a o s e f e i t o s d e i n t e r a ç ã o e n t r e b o l h a s . E s t e s n o v o s

t e r m o s d e v e m s e r m o d e l a d o s d e f o r m a a p r o p r i a d a , f o r n e c e n d o u m c o m p o n e n t e a d i c i -

o n a l à e x p r e s s ã o d e v i s c o s i d a d e t u r b u l e n t a . O m o d e l o d e t e n s ã o r e s i d u a l t u r b u l e n t a

i n d u z i d a p o r b o l h a s τ turbα,b [ 7 7 ] e s t á c o l o c a d o n a E q . 2 . 3 1

τ turbα,b = 2µturb

α,b Dα , µturbα,b = Ωbrαρ0dα|ur,α|

( 2 . 3 1 )




o n d e Ωb é u m a c o n s t a n t e e m p í r i c a , u s u a l m e n t e c o m v a l o r d e

1, 2. O m o d e l o c o n s i s t e

d e u m a c o r r e ç ã o d a t u r b u l ê n c i a p e l a v i s c o s i d a d e e é b a s e a d o n o c o n c e i t o d e c o m -

p r i m e n t o d e m i s t u r a d e P r a n d t l , o n d e o r a i o d a b o l h a é u s a d o c o m o o t a m a n h o d e

e s c a l a d a t u r b u l ê n c i a i n d u z i d a p e l a s b o l h a s .

A t u r b u l ê n c i a i n d u z i d a p o r b o l h a s s e m o s t r a p r o m i s s o r a , p r i n c i p a l m e n t e d e v i d o

a o s e u b a i x o c u s t o c o m p u t a c i o n a l . C o n t u d o , e v i d ê n c i a s e x p e r i m e n t a i s [ 7 8 ] i n d i c a m

q u e e s t e m o d e l o é e s p e c i a l m e n t e a p l i c á v e l p a r a e s c o a m e n t o s c o m b a i x a r e t e n ç ã o

g a s o s a , o n d e a i n u ê n c i a e n t r e a s d u a s c o m p o n e n t e s d a E q . 2 . 3 0 é p e q u e n o , d e f o r m a

q u e a s u p e r p o s i ç ã o l i n e a r d o s t e r m o s p o d e s e r a p l i c a d a . T r a b a l h o s m a i s r e c e n t e s

c o n t i n u a m a v a l i a n d o o s e f e i t o s d a p r e s e n ç a d e p a r t í c u l a s s o b r e a t u r b u l ê n c i a e m

e s c o a m e n t o s m u l t i f á s i c o s , s e j a p o r m e i o d e a n á l i s e s e x p e r i m e n t a i s [ 7 9 ] o u n u m é r i c a s

[ 8 0 , 8 1 ] .

A p e n a s d o i s t r a b a l h o s [ 8 2 , 8 3 ] d e r i v a r a m e e s t e n d e r a m o m o d e l o d e t u r b u l ê n c i a

k − m o n o f á s i c o , d e s e n v o l v i d o p o r L A U N D E R e S P A L D I N G [ 7 4 ] , p a r a e s c o a m e n t o

m u l t i f á s i c o . C o n t u d o , a o d e r i v a r a s e q u a ç õ e s d e k e , v á r i o s t e r m o s i n t e r c o r r e l a c i o -

n a d o s q u e s u r g e m n o p r o c e s s o d e d e r i v a ç ã o f o r a m d e s p r e z a d o s , p r i n c i p a l m e n t e p e l a

d i c u l d a d e d e i n t e r p r e t á - l o s s i c a m e n t e .

O t r a b a l h o d e C H A H E D e t a l . [ 8 4 ] é o ú n i c o n a l i t e r a t u r a q u e a p l i c a o m o d e l o

d e t e n s ã o d e R e y n o l d s p a r a e s c o a m e n t o s m u l t i f á s i c o s . E s t e m o d e l o s e p a r a o s e f e i t o s

d a t e n s ã o t u r b u l e n t a n a f a s e c o n t í n u a e m d u a s p a r t e s : u m a p a r t e c o n s i d e r a n d o a

t u r b u l ê n c i a g e r a d a p e l o g r a d i e n t e d a v e l o c i d a d e m é d i a e p e l o s t u r b i l h õ e s f o r m a d o s

p e l a m o v i m e n t a ç ã o d a s b o l h a s e o u t r a p a r t e p s e u d o - t u r b u l e n t a i n d u z i d a p e l o d e s -

l o c a m e n t o d a s p a r t í c u l a s u i d a s . C a d a p a r t e é d e t e r m i n a d a p o r u m a e q u a ç ã o d e

t r a n s p o r t e . C o n t u d o , a c o m p l e x i d a d e d e s t e m o d e l o t r a z a n e c e s s i d a d e d e s e r e a l i z a r

m a i s t e s t e s d e m o d o a v e r i c a r m e l h o r a s u a a p l i c a b i l i d a d e .



2 . 4 A n á l i s e d e E s c o a m e n t o s G á s - L í q u i d o 3 1

2 . 4 A n á l i s e d e E s c o a m e n t o s G á s - L í q u i d o

D e s d e o i n í c i o d o s é c u l o X X , o e s t u d o d e c o l u n a s d e b o r b u l h a m e n t o t ê m a t r a í d o a

a t e n ç ã o d e v á r i o s p e s q u i s a d o r e s . A p e s a r d e t a n t o s e s t u d o s n a á r e a , o e n t e n d i m e n t o

c o m p l e t o d a u i d o d i n â m i c a d e s t e e q u i p a m e n t o n u n c a f o i a l c a n ç a d o d e f o r m a q u e a

m o d e l a g e m e o a u m e n t o d e e s c a l a d e r e a t o r e s e m c o l u n a s d e b o r b u l h a m e n t o a i n d a

n ã o e s t ã o b e m d e s e n v o l v i d o s . E s t e f a t o p o d e s e r a t r i b u í d o à g r a n d e c o m p l e x i d a d e

d a h i d r o d i n â m i c a e s u a d e p e n d ê n c i a c o m a s p r o p r i e d a d e s f í s i c a s d e t r a n s p o r t e d e s t e s

s i s t e m a s .

D e f a t o , c o m o c o m e n t a d o n o C a p . 1 , e s c o a m e n t o s d e s i s t e m a s g á s - l í q u i d o s ã o

t e m a d e p e s q u i s a d o L a b o r a t ó r i o d e T e r m o u i d o d i n â m i c a d a C O P P E / U F R J , l o c a l

o n d e e s t e t r a b a l h o f o i d e s e n v o l v i d o . A s p r ó x i m a s s e ç õ e s a p r e s e n t a m o s a s p e c t o s g e -

r a i s d a o p e r a ç ã o d e u m a c o l u n a d e b o r b u l h a m e n t o e , n a s e q u ê n c i a , u m a r e v i s ã o s o b r e

o s t r a b a l h o s n a l i t e r a t u r a r e f e r e n t e s a s i m u l a ç õ e s E u l e r i a n a s d e s t e e q u i p a m e n t o .

2 . 4 . 1 C o l u n a s d e B o r b u l h a m e n t o

C o l u n a s d e b o r b u l h a m e n t o a p r e s e n t a m t r ê s t i p o s d e r e g i m e d e e s c o a m e n t o , c h a m a -

d o s d e h o m o g ê n e o , h e t e r o g ê n e o ( c h u r n o u t u r b u l e n t o ) e e m g o l f a d a ( s l u g ) . B a s i -

c a m e n t e , p a r a c a d a s i s t e m a g á s - l í q u i d o , a f o r m a ç ã o e a e s t a b i l i d a d e d e s t e s r e g i m e s

d e p e n d e m d a s v e l o c i d a d e s s u p e r c i a i s d o g á s e d o l í q u i d o , d o d i s t r i b u i d o r d e g á s

e d a g e o m e t r i a d o r e a t o r d e b o r b u l h a m e n t o [ 8 5 ] . A F i g . 2 . 3 m o s t r a u m e s q u e m a

q u a l i t a t i v o d o s e s c o a m e n t o s h o m o g ê n e o ( b o l h a s d i s p e r s a s ) , h e t e r o g ê n e o ( c h u r n ) e

s l u g .

E m p r i n c í p i o , a r e t e n ç ã o g a s o s a n a c o l u n a c r e s c e c o m o a u m e n t o d a v e l o c i d a d e

s u p e r c i a l d o g á s e , n o c a s o d e u m d i s t r i b u i d o r e c i e n t e ( p l a c a p o r o s a , d i s t r i b u i d o r

c o m v á r i o s o r i f í c i o s , e t c . ) , u m v a l o r m á x i m o d e r e t e n ç ã o p o d e s e r o b t i d o n a t r a n s i ç ã o

e n t r e o s r e g i m e s h o m o g ê n e o e h e t e r o g ê n e o . U s a n d o u m d i s t r i b u i d o r m e n o s e c i e n t e




F i g u r a 2 . 3 : R e p r e s e n t a ç õ e s d o s r e g i m e s d e e s c o a m e n t o o b s e r v a d o s e m c o l u n a s d e b o r b u -

l h a m e n t o .

( p o r e x e m p l o , d i s t r i b u i d o r c o m ú n i c o o r i f í c i o ) , n ã o s e o b s e r v a u m p o n t o m á x i m o d e

r e t e n ç ã o g a s o s a e a s c a r a c t e r í s t i c a s d o r e g i m e h e t e r o g ê n e o p r e v a l e c e m n o s i s t e m a ,

m e s m o p a r a b a i x a s v e l o c i d a d e s s u p e r c i a i s d e g á s [ 8 6 , 8 7 ] .

O r e g i m e h o m o g ê n e o é c a r a c t e r i z a d o p o r b a i x a s v e l o c i d a d e s s u p e r c i a i s d e g á s

( uG < 4 cm/s

) , o n d e o t a m a n h o d e b o l h a s e a r e t e n ç ã o g a s o s a s ã o r a d i a l m e n t e

u n i f o r m e s , s e n d o q u e a s b o l h a s a p r e s e n t a m p e q u e n o s d i â m e t r o s e f o r m a s e s f é r i c a s .

N e s t e r e g i m e , a v e l o c i d a d e d e a s c e n s ã o d a s b o l h a s é p r a t i c a m e n t e u n i f o r m e , c o m

t r a j e t ó r i a a s c e n d e n t e q u a s e r e t i l í n e a . A l é m d i s s o , a s b o l h a s p o s s u e m p o u c a i n t e r a ç ã o

e n t r e s i . D e s t a f o r m a , o s f e n ô m e n o s d e q u e b r a e c o a l e s c ê n c i a d e b o l h a s p o d e m s e r

n e g l i g e n c i a d o s , n ã o h a v e n d o u m a f o r t e r e c i r c u l a ç ã o d e l í q u i d o n a c o l u n a .

C o m o a u m e n t o d a v a z ã o d e g á s , o e s c o a m e n t o s e t o r n a i n s t á v e l e o r e g i m e

h o m o g ê n e o n ã o c o n s e g u e s e m a n t e r e p a s s a p o r u m e s t a d o d e t r a n s i ç ã o [ 8 8 , 8 9 ] .

A t r a n s i ç ã o o c o r r e e m u m a p e q u e n a f a i x a d e v e l o c i d a d e s s u p e r c i a i s d e g á s , o n d e

b o l h a s m a i o r e s f o r m a d a s p o r c o a l e s c ê n c i a a s c e n d e m c o m u m a v e l o c i d a d e m a i o r q u e

a d a s b o l h a s m e n o r e s . N e s t e r e g i m e , u m p a d r ã o d e c i r c u l a ç ã o d o l í q u i d o c o m e ç a a

s e d e s e n v o l v e r . P a r a v e l o c i d a d e s s u p e r c i a i s d e g á s s u p e r i o r e s a 12 cm/s

, é p o s s í v e l




o b s e r v a r u m a t e n d ê n c i a a s e e s t a b e l e c e r u m e q u i l í b r i o e n t r e a q u e b r a e a c o a l e s c ê n c i a

d a s b o l h a s . N e s t e p o n t o o r e g i m e p a s s a a s e c h a m a r d e h e t e r o g ê n e o e é c a r a c t e r i z a d o

p o r b o l h a s c o m d i f e r e n t e s f o r m a s e t a m a n h o s e u m a i n t e n s a c i r c u l a ç ã o d e l í q u i d o

n o i n t e r i o r d a c o l u n a . A s b o l h a s m a i o r e s t e n d e m a a s c e n d e r p e l o c e n t r o d a c o l u n a

e a s p e q u e n a s p e l a r e g i ã o p r ó x i m a a s u a p a r e d e , m a s d e v i d o à c i r c u l a ç ã o d e l í q u i d o

n a c o l u n a a s ú l t i m a s p o d e m a t é r e t o r n a r .

E m c o l u n a s d e p e q u e n o d i â m e t r o , o r e g i m e s l u g p o d e s e r a t i n g i d o a o a u m e n t a r

a v e l o c i d a d e s u p e r c i a l d o g á s . N e s t e r e g i m e , e n o r m e s b o l h a s d e g á s , c h a m a d a s d e

b o l h a s d e T a y l o r , o c u p a m q u a s e t o d a a s e ç ã o d a c o l u n a , s e n d o s e p a r a d a s d a p a r e d e

p o r u m n o l m e l í q u i d o . N o r m a l m e n t e , e s t a s b o l h a s n ã o s e e s t a b i l i z a m e m c o l u n a s

c o m d i â m e t r o s m a i o r e s q u e 15 cm

[ 8 6 ] , o c o r r e n d o a s u a q u e b r a e m b o l h a s m e n o r e s ,

o c o r r e n d o , e n t ã o , o r e g i m e h e t e r o g ê n e o .

2 . 4 . 2 S i m u l a ç õ e s E u l e r i a n a s : R e g i m e H o m o g ê n e o

O g r u p o d o P r o f . S v e n d s e n d a U n i v e r s i d a d e d e T r o n d e h e i n , N o r u e g a , f o i r e s p o n -

s á v e l p e l o s p r i m e i r o s t r a b a l h o s d e s i m u l a ç ã o u i d o d i n â m i c a a p l i c a d a a c o l u n a s d e

b o r b u l h a m e n t o n a á r e a d e E n g e n h a r i a Q u í m i c a . A e v o l u ç ã o n o d e s e n v o l v i m e n t o

d o m o d e l o E u l e r i a n o b i f á s i c o ( g á s - l í q u i d o ) p o d e s e r a c o m p a n h a d a e m u m a s é r i e d e

t r a b a l h o s [ 9 0 , 9 1 , 9 2 , 9 3 , 9 4 ] . A m o d e l a g e m c o n s i d e r a v a o a r r a s t o e a s u s t e n t a ç ã o

c o m o e f e i t o s d e i n t e r a ç ã o e n t r e a s f a s e s e u t i l i z a v a o m o d e l o d e t u r b u l ê n c i a m o -

n o f á s i c o p a d r ã o k −

[ 7 4 ] . I n i c i a l m e n t e , o m o d e l o k −

f o i u s a d o p a r a a m b a s a s

f a s e s e , p o s t e r i o r m e n t e , a p e n a s p a r a a f a s e l í q u i d a , i n c l u i n d o a t u r b u l ê n c i a i n d u z i d a

p e l a s b o l h a s d e f o r m a s i m i l a r a o t r a b a l h o d e S A T O e S E K O G U C H I [ 7 6 ] . T o d a s

a s s i m u l a ç õ e s f o r a m r e a l i z a d a s e m g e o m e t r i a b i d i m e n s i o n a l a x i a l m e n t e s i m é t r i c a e

e m e s t a d o e s t a c i o n á r i o , o q u e f o i o r e s p o n s á v e l p e l a f a l t a d e s u c e s s o d o m o d e l o e m

v á r i o s a s p e c t o s .

N a m e s m a é p o c a , a l g u n s t r a b a l h o s u s a r a m m o d e l o s E u l e r i a n o s a o c o n s i d e r a r a

t u r b u l ê n c i a n a f a s e g a s o s a e m p i r i c a m e n t e r e l a c i o n a d a c o m a d a f a s e l í q u i d a [ 9 5 ,




9 6 ] , o u m o d e l o s d o t i p o d r i f t - u x , o n d e h á u m a e q u a ç ã o p a r a a v e l o c i d a d e r e l a t i v a

( s l i p ) e n t r e a s f a s e s [ 9 7 , 9 8 ] . F o r a m r e a l i z a d a s s i m u l a ç õ e s a d o t a n d o e s c o a m e n t o

l a m i n a r [ 9 8 , 9 9 ] e a m o d e l a g e m d i n â m i c a d a c o l u n a [ 9 9 , 1 0 0 ] . D e f a t o , c o m p r o v o u -

s e e x p e r i m e n t a l m e n t e q u e o e s c o a m e n t o d e n t r o d e u m a c o l u n a d e b o r b u l h a m e n t o

t e m c o m p o r t a m e n t o c a ó t i c o [ 1 0 1 ] .

S O K O L I C H I N e E I G E N B E R G E R [ 9 9 ] e B E C K E R e t a l . [ 1 0 0 ] u t i l i z a r a m u m

m o d e l o E u l e r i a n o d e d o i s u i d o s c o n s i d e r a n d o a s e q u a ç õ e s d e c o n s e r v a ç ã o d e m a s s a

e m o m e n t u m e o s e f e i t o s d e a r r a s t o , s u s t e n t a ç ã o e m a s s a v i r t u a l p a r a i n t e r a ç ã o e n t r e

f a s e s . O m o d e l o f o i a p l i c a d o p a r a u m a c o l u n a d e s e ç ã o r e t a n g u l a r c o m e s p e s s u r a

n a , p e r m i t i n d o c o n s i d e r a r g e o m e t r i a b i d i m e n s i o n a l . O s a u t o r e s r e a l i z a r a m , e n t ã o ,

s i m u l a ç õ e s d i n â m i c a s c o m e s e m c o n s i d e r a r e s c o a m e n t o t u r b u l e n t o n a f a s e l í q u i d a

( c o m a t u r b u l ê n c i a d a d a v i a m o d e l o k −

p a d r ã o d e L A U N D E R e S P A L D I N G [ 7 4 ] ) .

A p a r t i r d e s t e s t r a b a l h o s , f o i p o s s í v e l v e r i c a r q u e u m a c o l u n a d e b o r b u l h a m e n t o

n u n c a a t i n g e o e s t a d o e s t a c i o n á r i o e q u e o p a d r ã o d e c i r c u l a ç ã o n a c o l u n a p o d e

s e r o b t i d o a t r a v é s d a m é d i a t e m p o r a l d o s v a l o r e s n a s c é l u l a s . D e t e r m i n a r a m a i n d a

q u e o m o d e l o k −

i n t r o d u z 1 0 0 v e z e s m a i s d i s s i p a ç ã o v i s c o s a d o q u e o n e c e s s á r i o

p a r a o m o d e l o s i m u l a r o s d a d o s e x p e r i m e n t a i s . A p a r t i r d e s t a a n á l i s e , o s a u t o r e s

r e c o m e n d a r a m a u t i l i z a ç ã o d e s i m u l a ç õ e s d i n â m i c a s l a m i n a r e s c o m a v i s c o s i d a d e d a

f a s e l í q u i d a a j u s t a d a a o s d a d o s e x p e r i m e n t a i s .

S O K O L I C H I N e E I G E N B E R G E R [ 4 7 ] e B O R C H E R S e t a l . [ 1 0 2 ] u t i l i z a r a m

u m m o d e l o E u l e r i a n o p a r a d u a s f a s e s e m s i m u l a ç õ e s d i n â m i c a s t r i d i m e n s i o n a i s r e -

s o l v e n d o a s e q u a ç õ e s d o m o v i m e n t o p a r a a m b a s a s f a s e s , c o m o u s e m t u r b u l ê n c i a

( u s a n d o o m o d e l o k−

) e a e q u a ç ã o d a c o n t i n u i d a d e p a r a a f a s e g a s o s a c o m u m t e r m o

d e d i s p e r s ã o b a s e a d o n a t u r b u l ê n c i a ( n u l o n o c a s o l a m i n a r ) . A v e l o c i d a d e r e l a t i v a

e n t r e a s f a s e s f o i a s s u m i d a c o n s t a n t e . O s t e r m o s c o n v e c t i v o s d e t o d a s a s e q u a ç õ e s

f o r a m d i s c r e t i z a d o s u s a n d o u m e s q u e m a T V D ( T o t a l V a r i a t i o n D i m i n i s h i n g ) d e a l t a

o r d e m . A p a r t i r d e c o m p a r a ç õ e s c o m d a d o s e x p e r i m e n t a i s , f o i p o s s í v e l c h e g a r à s

s e g u i n t e s c o n c l u s õ e s :




i . a s s i m u l a ç õ e s b i d i m e n s i o n a i s l a m i n a r e s n ã o e r a m i n d e p e n d e n t e s d a m a l h a ,

a p r e s e n t a n d o m a i o r d e t a l h a m e n t o c o n f o r m e a m a l h a e r a r e n a d a . E s t e c o m -

p o r t a m e n t o é c a r a c t e r í s t i c o d e u m e s c o a m e n t o t u r b u l e n t o ;

i i . a s s i m u l a ç õ e s b i d i m e n s i o n a i s t u r b u l e n t a s n ã o l e v a m a s o l u ç õ e s d i n â m i c a s

p a r a o e s c o a m e n t o , c o n t r a p o n d o c o m o s r e s u l t a d o s o b t i d o s e x p e r i m e n t a l m e n t e

[ 1 0 0 ] ;

i i i . o u s o d o m o d e l o t r i d i m e n s i o n a l t u r b u l e n t o f o r n e c e s o l u ç õ e s d i n â m i c a s i n d e -

p e n d e n t e s d a m a l h a c o m b o a p r e d i ç ã o d o s r e s u l t a d o s e x p e r i m e n t a i s . D a í

c o n c l u í - s e q u e a a p r o x i m a ç ã o b i d i m e n s i o n a l e r a r e s p o n s á v e l p e l o s a l t o v a l o -

r e s d e d i s s i p a ç ã o v i s c o s a o b t i d o s p e l o m o d e l o k −

;

i v . o u s o d o e s q u e m a u p w i n d a o i n v é s d o T V D p a r a d i s c r e t i z a r o s t e r m o s c o n -

v e c t i v o s t o r n a a s o l u ç ã o d o m o d e l o t r i d i m e n s i o n a l t u r b u l e n t o e s t a c i o n á r i a ,

e l i m i n a n d o o c a r a c t e r d i n â m i c o d o e s c o a m e n t o e d e g r a d a n d o a p r e d i b i l i d a d e

d a s o l u ç ã o n u m é r i c a .

S O K O L I C H I N e E I G E N B E R G E R [ 4 7 ] e B O R C H E R S e t a l . [ 1 0 2 ] r e c o m e n d a m

o u s o d e u m e s q u e m a d e a l t a o r d e m p a r a t o d o s o s t e r m o s c o n v e c t i v o s , o m o d e l o

k − p a r a a t u r b u l ê n c i a e s i m u l a ç õ e s t r i d i m e n s i o n a i s t r a n s i e n t e s . A n e c e s s i d a d e d o

u s o d e s i m u l a ç ã o t r i d i m e n s i o n a l t r a n s i e n t e f o i c o n s t a t a d a t a m b é m p o r M U D D E e

S I M O N I N [ 1 0 3 ] e P F L E G E R e t a l . [ 6 8 ] .

O u t r o s a s p e c t o s n a m o d e l a g e m d o e s c o a m e n t o e m c o l u n a s d e b o r b u l h a m e n t o

p a s s a r a m a s e r c o n s i d e r a d o s c o m m a i o r d e t a l h a m e n t o . P o r e x e m p l o , a s f o r ç a s d e i n -

t e r a ç ã o e n t r e a s f a s e s ( a r r a s t o , s u s t e n t a ç ã o , m a s s a v i r t u a l , d i s p e r s ã o d e g á s ) p r e c i s a m

s e r c o n s i d e r a d a s e c o m o m o d e l á - l a s é u m f a t o r m u i t o i m p o r t a n t e [ 1 0 3 , 6 8 , 1 0 4 , 7 0 ] .

O u t r o p o n t o b a s t a n t e a n a l i s a d o [ 1 0 5 , 4 6 , 1 0 4 , 7 0 , 1 0 6 ] r e f e r e - s e à i m p o r t â n c i a d a

t u r b u l ê n c i a i n d u z i d a p e l a s b o l h a s e s e a m e l h o r f o r m a d e r e p r e s e n t a ç ã o é a t r a v é s d e

u m m o d e l o d o t i p o m i x i n g - l e n g t h [ 7 6 , 7 7 ] o u a t r a v é s d e u m a m o d i c a ç ã o d o m o d e l o

k − p a r a o e s c o a m e n t o b i f á s i c o [ 8 2 , 8 3 , 1 0 7 ] .




O t r a b a l h o d e P A N e t a l . [ 1 0 5 ] i n c l u i u a m o d e l a g e m d a t u r b u l ê n c i a i n d u z i d a

p e l a s b o l h a s u s a n d o a f o r m u l a ç ã o p r o p o s t a p o r S A T O e t a l . [ 7 7 ] . C o n t u d o , o s

a u t o r e s d e s p r e z a r a m o s e f e i t o s d e t u r b u l ê n c i a i n d u z i d a p e l o c i s a l h a m e n t o , a s s u m i n d o

q u e p a r a a s b a i x a s v e l o c i d a d e s s u p e r c i a i s d e g á s f o s s e p o s s í v e l r e s o l v e r t o d a s a s

e s c a l a s d o e s c o a m e n t o . A p e s a r d a s i m u l a ç ã o s e r b i d i m e n s i o n a l , P A N e t a l . [ 1 0 5 ]

a p r e s e n t a r a m r e s u l t a d o s r a z o á v e i s . D E E N e t a l . [ 7 0 ] i n c l u í r a m o m o d e l o d e S A T O e

S E K O G U C H I [ 7 6 ] p a r a t u r b u l ê n c i a i n d u z i d a p e l a s b o l h a s e c o m p a r a r a m s i m u l a ç õ e s

u t i l i z a n d o o s m o d e l o s k−

e L E S ( L a r g e E d d y S i m u l a t i o n ) d e S M A G O R I N S K Y [ 1 0 8 ]

p a r a m o d e l a r a t u r b u l ê n c i a d a f a s e l í q u i d a . N a a b o r d a g e m p o r L E S s ã o r e s o l v i d a s

a s e q u a ç õ e s d i n â m i c a s d o e s c o a m e n t o p a r a o b t e r o c a m p o d e v e l o c i d a d e s m é d i o e

o s m a i o r e s t u r b i l h õ e s , o n d e o s e f e i t o s d o s m e n o r e s t u r b i l h õ e s s ã o m o d e l a d o s . P a r a

i s s o , a e s c a l a d a m a l h a d e v e s e r b e m r e d u z i d a . O s r e s u l t a d o s s i m u l a d o s u s a n d o

a a b o r d a g e m p o r L E S f o r a m m u i t o s u p e r i o r e s e m r e l a ç ã o a o k −

, r e p r o d u z i n d o

m u i t o b e m o s r e s u l t a d o s e x p e r i m e n t a i s a p r e s e n t a d o s p o r D E E N e t a l . [ 1 0 9 ] . P a r a

o m o d e l o k −

, a d i s s i p a ç ã o f o i t ã o a l t a q u e a s i m u l a ç ã o t e n d e u p a r a u m e s t a d o

e s t a c i o n á r i o , p o i s o s d e t a l h e s t r a n s i e n t e s d o e s c o a m e n t o c a r a m c o n t i d o s d e n t r o d o

m o d e l o d e t u r b u l ê n c i a .

O s t r a b a l h o s d e D E E N e t a l . [ 1 0 4 , 7 0 ] o b t i v e r a m b o n s r e s u l t a d o s a o u s a r o

Q U I C K l i m i t a d o p a r a d i s c r e t i z a r o s t e r m o s c o n v e c t i v o s d a s e q u a ç õ e s a o i n v é s d o e s -

q u e m a T V D u s a d o e m o u t r o s t r a b a l h o s [ 4 7 , 6 8 , 1 0 6 ] . J á M U D D E E S I M O N I N [ 1 0 3 ]

u s a r a m u m a d i s c r e t i z a ç ã o d e t e r c e i r a o r d e m ( p o r é m n ã o c i t a m d e t a l h e s ) , e n q u a n t o

q u e B E R T O L A e t a l . [ 1 1 0 ] u t i l i z a r a m o F L U E N T p a r a t e s t a r o s e s q u e m a s P o w e r

L a w , Q U I C K e u m m é t o d o d e s e g u n d a o r d e m . B O V E e t a l . [ 1 1 1 ] a v a l i a r a m o s

m é t o d o s u p w i n d d e p r i m e i r a o r d e m e u m m é t o d o h í b r i d o ( F C T - c o m b i n a ç ã o d o

u p w i n d d e p r i m e i r a o r d e m e d i f e r e n ç a s c e n t r a i s d e s e g u n d a o r d e m ) c o m l i m i t a d o r

d e u x o s u p e r b e e n a d i s c r e t i z a ç ã o d o s t e r m o s c o n v e c t i v o . A o c o m p a r a r a s s i m u l a -

ç õ e s c o m o s e x p e r i m e n t o s d e D E E N e t a l . [ 7 0 ] , c a c l a r a a p e r d a d e d e n i ç ã o d o s

r e s u l t a d o s s i m u l a d o s u s a n d o o m é t o d o d e p r i m e i r a o r d e m . E m t o d o s o s t r a b a l h o s

s u p r a c i t a d o s , o e f e i t o d a d i f u s ã o n u m é r i c a s o b r e o s r e s u l t a d o s s i m u l a d o s é s i m i l a r

a o a u m e n t o d a v i s c o s i d a d e d a f a s e c o n t í n u a . A r e c o m e n d a ç ã o d e S O K O L I C H I N




e E I G E N B E R G E R [ 4 7 ] e m u s a r s i m u l a ç õ e s t r i d i m e n s i o n a i s t r a n s i e n t e s s e m o s t r o u

a p r o p r i a d a e f o i a d o t a d a e m d i v e r s o s t r a b a l h o s [ 1 0 3 , 6 8 , 1 0 6 , 1 0 4 , 7 0 , 1 1 1 ] . D e s t a

f o r m a , p a r a a n a l i s a r a m o d e l a g e m d o s e s c o a m e n t o s é n e c e s s á r i o c o n s i d e r a r a s i m u l a -

ç ã o t r i d i m e n s i o n a l c o m d i s c r e t i z a ç ã o d e a l t a o r d e m n o s t e r m o s c o n v e c t i v o s . M u i t o s

t r a b a l h o s d a l i t e r a t u r a p o d e m s e r d e s c a r t a d o s u s a n d o e s t e c r i t é r i o d e s e l e ç ã o .

N a s s i m u l a ç õ e s t r i d i m e n s i o n a i s t r a n s i e n t e s d o t r a b a l h o d e M U D D E e S I M O -

N I N [ 1 0 3 ] f o i p o s s í v e l c o n c l u i r q u e o t e r m o d e i n t e r a ç ã o p a r a m a s s a v i r t u a l é e s s e n -

c i a l p a r a m o d e l a r o p e r í o d o d e o s c i l a ç ã o d o e s c o a m e n t o d e u m a p l u m a d e b o l h a s

e m u m a c o l u n a d e s e ç ã o r e t a n g u l a r . C o m o S O K O L I N C H I N e E I G E N B E R G E R [ 4 7 ]

n ã o i n c l u í r a m e s t e t e r m o e m s u a m o d e l a g e m , a p r e d i ç ã o d o p e r í o d o d e o s c i l a ç ã o

c o u c o m p r o m e t i d a .

P F L E G E R e t a l . [ 6 8 ] l e v a n t a r a m a h i p ó t e s e d a t u r b u l ê n c i a i n d u z i d a p o r b o l h a s

s e r i m p o r t a n t e , m a s u s a r a m a p e n a s o m o d e l o k −

p a d r ã o . J á P F L E G E R e B E C -

K E R [ 1 0 6 ] u s a r a m u m m o d e l o k −

m o d i c a d o p a r a i n c l u i r a t u r b u l ê n c i a i n d u z i d a

p o r b o l h a s , a p r e s e n t a n d o u m i m p a c t o p o s i t i v o s o b r e o s p e r s d e v e l o c i d a d e e n e g a -

t i v o s o b r e o s p e r s d e r e t e n ç ã o g a s o s a . D E E N e t a l . [ 7 0 ] a n a l i s a r a m a i m p o r t â n c i a

d a t u r b u l ê n c i a i n d u z i d a p o r b o l h a s u s a n d o o m o d e l o d e S A T O e S E K O G U C H I [ 7 6 ]

e e m b o r a o s r e s u l t a d o s f o s s e m m e l h o r e s c o m e s t e t e r m o i n c l u í d o , o s e u i m p a c t o

e r a p e q u e n o . O t r a b a l h o d e B E H Z A D I e t a l . [ 1 1 2 ] e s t e n d e u o m o d e l o k −

d e

m i s t u r a p r o p o s t o p o r G O S M A N e t a l . [ 1 1 3 ] p a r a t r a t a r a t u r b u l ê n c i a e m s i s t e m a s

c o m a l t a s f r a ç õ e s d e g á s . C o m b a s e e m d a d o s e x p e r i m e n t a i s , o s a u t o r e s c h e g a r a m a

u m a f o r m u l a ç ã o e m p í r i c a p a r a o c o e c i e n t e d e r e s p o s t a t u r b u l e n t a

C t ( r a z ã o e n t r e

a s u t u a ç õ e s d e v e l o c i d a d e e n t r e a s f a s e s d i s p e r s a e c o n t í n u a ) e m f u n ç ã o d a f r a -

ç ã o v o l u m é t r i c a . A s s i m u l a ç õ e s u s a n d o e s t a f o r m u l a ç ã o o b t i v e r a m r e s u l t a d o s m a i s

a c u r a d o s c o m p a r a n d o c o m d a d o s e x p e r i m e n t a i s d a l i t e r a t u r a [ 1 1 4 , 1 1 5 ] . D e f a t o , a

d e d u ç ã o f e n o m e n o l ó g i c a d e C t p r o v ê m d a s e q u a ç õ e s d e t r a n s p o r t e d e m i s t u r a p a r a

ke

e r e l a c i o n a a s v i s c o s i d a d e s t u r b u l e n t a s ,

µturb, d a s f a s e s c o n t í n u a e d i s p e r s a . A

E q . 2 . 3 2 a p r e s e n t a a f o r m u l a ç ã o p a r a o c o e c i e n t e d e r e s p o s t a t u r b u l e n t a e n t r e a




f a s e c o n t í n u a 0

e a f a s e d i s p e r s a α

, o n d e ν

é a v i s c o s i d a d e c i n e m á t i c a .

C 2t =µturbα

µturb0

ν αν 0

ρ0ρα ( 2 . 3 2 )

E m t r a b a l h o r e c e n t e , B E C H [ 1 1 6 ] t e s t o u o s m o d e l o s d e c o m p r i m e n t o d e m i s t u r a

d e P r a n d t l , k −

e k − ω

p a r a t r a t a r a t u r b u l ê n c i a e m u m a c o l u n a c o m p e q u e n a

e s p e s s u r a , i n d i c a n d o o ú l t i m o p a r a m e l h o r p r e d i z e r a p l u m a d e b o l h a s d e v i d o a o s e u

t r a t a m e n t o a b a i x o s n ú m e r o s d e R e y n o l d s .

S e g u n d o S O K O L I C H I N e E I G E N B E R G E R [ 4 7 ] , o m o d e l o k −

f o r n e c e b o n s

r e s u l t a d o s p a r a t r a t a r a t u r b u l ê n c i a i n d u z i d a p e l o c i s a l h a m e n t o , p o r é m D E E N e t

a l . [ 7 0 ] n ã o r e c o m e n d a m o s e u u s o e m a l g u m a s e s c a l a s d e e s c o a m e n t o , i n d i c a n d o

o u s o d e L E S . B O V E e t a l . [ 1 1 1 ] s e g u i r a m e s s a r e c o m e n d a ç ã o u s a n d o V L E S ( V e r y

L a r g e E d d y S i m u l a t i o n ) e m s u a s s i m u l a ç õ e s , p o r é m o s r e s u l t a d o s o b t i d o s p a r a a

v e l o c i d a d e a x i a l n ã o f o r a m s a t i s f a t ó r i o s , e m p a r t e d e v i d o a f a l h a s n a f o r m u l a ç ã o d e

t u r b u l ê n c i a p r ó x i m o à p a r e d e . D e v e - s e n o t a r q u e o s t r a b a l h o s a c i m a e s t ã o l i m i t a d o s

a b a i x a s v e l o c i d a d e s s u p e r c i a i s d e g á s ( r e g i m e h o m o g ê n e o ) .

A n e c e s s i d a d e d e u s a r u m t e r m o d e d i s p e r s ã o n a e q u a ç ã o d e c o n s e r v a ç ã o d e

m a s s a d e g á s f o i i n v e s t i g a d a p o r P F L E G E R e t a l . [ 6 8 ] e D E E N e t a l . [ 7 0 ] . A m b o s

t r a b a l h o s c o n c l u í r a m q u e n ã o é n e c e s s á r i o i n c l u i r o t e r m o d e d i s p e r s ã o d e g á s , p o r é m

a f o r ç a d e s u s t e n t a ç ã o é e s s e n c i a l p a r a c a p t u r a r o s e f e i t o s d e d i s p e r s ã o d e b o l h a s .

A f o r m u l a ç ã o c l á s s i c a p a r a a f o r ç a d e a r r a s t o é a p r o p r i a d a p a r a c o l u n a s p r e s s u r i -

z a d a s u t i l i z a n d o u m f a t o r d e c o r r e ç ã o . K R I S H N A e V A N B A T E N [ 2 6 ] p r o p u s e r a m

o u s o d e u m f a t o r d e c o r r e ç ã o b a s e a d o n a m a s s a e s p e c í c a , ρg/ρg,1atm , n a f o r m u -

l a ç ã o d o a r r a s t o p a r a b o l h a s g r a n d e s . P o r é m , a i n c l u s ã o d e s t e f a t o r p o d e a f e t a r

s i g n i c a n t e m e n t e a p r e d i ç ã o d a f r a ç ã o d e g á s p a r a a l t a s v e l o c i d a d e s s u p e r c i a i s d e

g á s e p r e s s õ e s e l e v a d a s [ 2 6 ] . B E H Z A D I e t a l . [ 1 1 2 ] p r o p u s e r a m m o d i c a ç õ e s p a r a a s

e x p r e s s õ e s d o s c o e c i e n t e s d e a r r a s t o e s u s t e n t a ç ã o e m f u n ç ã o d a f r a ç ã o v o l u m é t r i c a

d e g á s , e s t e n d e n d o a v a l i d a d e d e s t a s c o r r e l a ç õ e s p a r a s i s t e m a s c o m a l t a r e t e n ç ã o g a -

s o s a . L U C A S e t a l . [ 1 1 7 ] r e a l i z a r a m t e s t e s d e e s t a b i l i d a d e n a e q u a ç ã o d e t r a n s p o r t e




d e m o m e n t u m d a f a s e l í q u i d a p a r a a v a l i a r o s l i m i t e s n u m é r i c o s n a m o d e l a g e m d o

c o e c i e n t e d e s u s t e n t a ç ã o .

E m t r a b a l h o r e c e n t e , E K A M B A R A e t a l . [ 1 1 8 ] c o m p a r a r a m a s a b o r d a g e n s 1 D ,

2 D e 3 D n a s i m u l a ç ã o d e c o l u n a s d e b o r b u l h a m e n t o . O s a u t o r e s r e a l i z a r a m s i m u l a -

ç õ e s e s t a c i o n á r i a s e m g e o m e t r i a c i l í n d r i c a , i n c l u i n d o o m o d e l o k −

d e t u r b u l ê n c i a

e a t r a n s f e r ê n c i a d e m o m e n t u m p o r a r r a s t o , s u s t e n t a ç ã o e m a s s a v i r t u a l [ 2 0 ] . O s

r e s u l t a d o s s i m u l a d o s f o r a m c o m p a r a d o s c o m e x p e r i m e n t o s e m r e g i m e h o m o g ê n e o d e

b o r b u l h a m e n t o e n c o n t r a d o s n a l i t e r a t u r a [ 1 1 9 , 1 2 0 , 1 2 1 , 1 2 2 ] p a r a o s p e r s r a d i a i s

d e r e t e n ç ã o g a s o s a , v e l o c i d a d e a x i a l , v i s c o s i d a d e t u r b u l e n t a e t e n s o r d e R e y n o l d s .

T o d o s o s m o d e l o s c o n s e g u e m a c o m p a n h a r o p e r l d e v e l o c i d a d e d e l í q u i d o , p o r é m

a p e n a s o 3 D é c a p a z d e o b t e r u m a r e p r e s e n t a ç ã o q u a l i t a t i v a d a s o u t r a s v a r i á v e i s .

A q u e s t ã o m a i s i m p o r t a n t e n o q u e c o n c e r n e a m o d e l a g e m d e r e a t o r e s e m c o l u -

n a s d e b o r b u l h a m e n t o é q u e t o d o s o s t r a b a l h o s c i t a d o s a n t e r i o r m e n t e n e s t a s e ç ã o

t r a t a r a m a p e n a s d o r e g i m e d e b o r b u l h a m e n t o h o m o g ê n e o , c o n s i d e r a n d o q u e t o d a s

a s b o l h a s t e m o m e s m o t a m a n h o . A p e n a s u m m o d e l o q u e i n c l u a a p o s s i b i l i d a d e d e

d i f e r e n t e s t a m a n h o s d e b o l h a s ( e s u a s i n t e r a ç õ e s , c o m o q u e b r a e c o a l e s c ê n c i a ) p o d e

s e r u s a d o p a r a p r e d i z e r o r e g i m e d e t r a n s i ç ã o e s i m u l a r o r e g i m e d e b o r b u l h a m e n t o

h e t e r o g ê n e o .

2 . 4 . 3 S i m u l a ç õ e s E u l e r i a n a s : R e g i m e H e t e r o g ê n e o

D e m o d o a t r a t a r o r e g i m e h e t e r o g ê n e o , K R I S H N A e t a l . [ 1 2 3 ] p r o p u s e r a m u m a

m o d e l a g e m q u e a s s u m e a e x i s t ê n c i a d e d u a s c l a s s e s d e b o l h a s c h a m a d a s d e b o l h a s

g r a n d e s e b o l h a s p e q u e n a s . E s t a a b o r d a g e m n e c e s s i t a d e i n f o r m a ç õ e s s o b r e a d i s -

t r i b u i ç ã o d e b o l h a s e v e l o c i d a d e s u p e r c i a l d o g á s , f o r n e c i d a s a t r a v é s d e c o r r e l a ç õ e s

d e c u n h o e x p e r i m e n t a l . I s t o p o d e p a r e c e r u m a d e s v a n t a g e m a p r i n c í p i o , m a s p e r -

m i t e q u e e s t e m o d e l o s e j a u t i l i z a d o p a r a q u a l q u e r s i s t e m a b i f á s i c o . E s t e m o d e l o

t e v e u m d e s e n v o l v i m e n t o e m u m a s e q ü ê n c i a d e t r a b a l h o s [ 1 2 3 , 1 2 4 , 2 6 , 1 2 5 ] e s u a s

c a r a c t e r í s t i c a s b á s i c a s e s t ã o c o l o c a d a s n a s e q ü ê n c i a .




•A s e p a r a ç ã o d a v e l o c i d a d e s u p e r c i a l d o g á s e n t r e a s d u a s c l a s s e s é r e a l i -

z a d o p e l a e x t e n s ã o d o m o d e l o d e d u a s f a s e s d e l e i t o s u i d i z a d o s a c o l u n a s

d e b o r b u l h a m e n t o p r o p o s t a p o r K R I S H N A e t a l . [ 1 2 6 ] e E L L E N B E R G E R e

K R I S H N A [ 1 2 7 ] . A f a s e l í q u i d a m a i s b o l h a s p e q u e n a s , c h a m a d a d e f a s e d e n s a ,

p e r m a n e c e c o m a s u a r e t e n ç ã o g a s o s a e v e l o c i d a d e s u p e r c i a l d e g á s d o p o n t o

d e t r a n s i ç ã o .

•A c l a s s e d e b o l h a s p e q u e n a s t e m u m d i â m e t r o a s s u m i d o c o n s t a n t e ( u s u a l m e n t e

4 mm) e s u a v e l o c i d a d e d e a s c e n s ã o é d a d a p o r u m a c o r r e l a ç ã o e m p í r i c a [ 1 2 8 ,

1 2 9 ] .

•A c l a s s e d e b o l h a s g r a n d e s t e m s e u d i â m e t r o d a d o p o r u m a c o r r e l a ç ã o e m p í r i c a

e d e p e n d e n t e d o s i s t e m a b i f á s i c o . A v e l o c i d a d e d e a s c e n s ã o v e m d a t e o r i a n ã o

v i s c o s a d e D A V I E S e T A Y L O R [ 1 3 0 ] c o m c o r r e ç õ e s p a r a o e f e i t o d e p a r e d e

[ 1 3 1 ] , p a r a o a u m e n t o d a m a s s a e s p e c í c a d o g á s c o m a p r e s s ã o [ 2 6 ] , e p a r a

e f e i t o d e p o p u l a ç ã o , d e p e n d e n t e d o s i s t e m a b i f á s i c o [ 2 2 ] .

• O m o d e l o c o n s i s t e d e s u a s e q u a ç õ e s d e c o n s e r v a ç ã o d e m a s s a e q u a n t i d a d e d e

m o v i m e n t o p a r a a f a s e l í q u i d a e p a r a a s d u a s c l a s s e s d e b o l h a s . A p e n a s a f o r ç a

d e a r r a s t o é c o n s i d e r a d a e n t r e a f a s e l í q u i d a e c a d a c l a s s e d e b o l h a s , u s a n d o

o s d i â m e t r o s e v e l o c i d a d e s d e a s c e n s ã o d a s b o l h a s n o s s e u s c á l c u l o s . N ã o h á

f o r ç a s d e i n t e r a ç ã o e n t r e a s c l a s s e s d e b o l h a s .

•O m o d e l o

k − é u s a d o p a r a m o d e l a r a t u r b u l ê n c i a d a f a s e l í q u i d a e a s f a s e s

d e b o l h a s s ã o c o n s i d e r a d a s l a m i n a r e s .

•P a r a o r e g i m e h o m o g ê n e o , a c l a s s e d e b o l h a s g r a n d e s é e l i m i n a d a . P a r a o r e -

g i m e h e t e r o g ê n e o e m l í q u i d o s v i s c o s o s e e m s u s p e n s õ e s c o m a l t a c o n c e n t r a ç ã o

d e s ó l i d o s , a c l a s s e d e b o l h a s p e q u e n a s p o d e s e r d e s c o n s i d e r a d a [ 1 3 2 , 1 3 3 , 2 2 ] .

E s t e m o d e l o f o i u s a d o i n i c i a l m e n t e e m c a s o s 2 D t r a n s i e n t e s [ 1 2 3 , 1 2 4 ] , m a s d e -

p o i s v e r i c o u - s e q u e a p e n a s a s i m u l a ç ã o 3 D t r a n s i e n t e [ 2 6 , 1 2 5 ] c o n s e g u e p r e d i z e r

a d e q u a d a m e n t e t o d o s o s a s p e c t o s d o e s c o a m e n t o . A s i m u l a ç ã o 3 D t r a n s i e n t e m o s -

t r o u u m c o m p o r t a m e n t o c a ó t i c o e f o i c a p a z d e p r e v e r o s p e r s d e r e t e n ç ã o g a s o s a




e d e v e l o c i d a d e a x i a l d a f a s e l í q u i d a e o s c o e c i e n t e s d e d i s p e r s ã o a x i a l d e c a d a

f a s e c o m r e l a t i v o s u c e s s o . A s i m u l a ç ã o 2 D t r a n s i e n t e p o d e s e r u s a d a e m a l g u n s

c á l c u l o s d e e n g e n h a r i a , m a s n ã o é a d e q u a d a p a r a a d e t e r m i n a ç ã o d o s c o e c i e n t e s

d e d i s p e r s ã o a x i a l .

O s u c e s s o d a m o d e l a g e m p r o p o s t a a c i m a [ 1 2 3 , 1 2 4 , 2 6 , 1 2 5 ] j á i n d i c a v a a t e n d ê n -

c i a f u t u r a n o d e s e n v o l v i m e n t o d a m o d e l a g e m d e c o l u n a s d e b o r b u l h a m e n t o o p e r a n d o

e m r e g i m e h e t e r o g ê n e o . O u s o d e c l a s s e s ( l i m i t a d a s a a p e n a s d u a s n e s t e s t r a b a l h o s )

e m s u a m o d e l a g e m p o d i a s e r e s t e n d i d a u s a n d o t é c n i c a s d e b a l a n ç o p o p u l a c i o n a l ,

a p r e s e n t a d a n o C a p . 3 .



C a p í t u l o 3

M o d e l a g e m d e B a l a n ç o P o p u l a c i o n a l

3 . 1 B a l a n ç o P o p u l a c i o n a l

V á r i o s p r o c e s s o s n a s i n d ú s t r i a s q u í m i c a s t e m a d i s t r i b u i ç ã o d e t a m a n h o d e p a r t í c u l a s

( D T P ) c o m o u m f a t o r c r u c i a l s o b r e a p e r f o r m a n c e d o e q u i p a m e n t o e a q u a l i d a d e d o

p r o d u t o n a l . P a r a s i s t e m a s o n d e h o u v e r p ó s , b o l h a s , g o t a s , l a m a s , s p r a y s , e t c . , a

p o p u l a ç ã o d e p a r t í c u l a s a o n a l d o p r o c e s s o n o r m a l m e n t e é d i f e r e n t e d a p o p u l a ç ã o

i n i c i a l . I s t o t o r n a n e c e s s á r i o r e a l i z a r c a d a v e z m a i s e s t u d o s s o b r e a e v o l u ç ã o d a D T P

e s e u s e f e i t o s s o b r e o c o m p o r t a m e n t o d o s i s t e m a .

N o r m a l m e n t e , a s v a r i á v e i s q u e a f e t a m a d i s t r i b u i ç ã o d e p a r t í c u l a s p o d e m s e r

d i v i d i d a s e m d o i s g r u p o s , n o m e a d o s c o m o v a r i á v e i s e x t e r n a s e i n t e r n a s . A s v a r i á -

v e i s e x t e r n a s , x, x ∈ Ωx

, s ã o c o n n a d a s a o c a m p o g e o m é t r i c o ( o u e s p a ç o f í s i c o )

a n a l i s a d o , o u s e j a a o e s p a ç o d e c o o r d e n a d a s e m

3( n o m á x i m o ) , e n q u a n t o q u e a s

v a r i á v e i s i n t e r n a s , v, v ∈ Ωv

, s ã o a s p r o p r i e d a d e s i n t r í n s e c a s d a p a r t í c u l a c o m o

t a m a n h o , c o m p o s i ç ã o , e n e r g i a i n t e r n a , e t c . D e s t e m o d o , o e s p a ç o d e e s t a d o d a

p a r t í c u l a é f o r m a d o p e l o p r o d u t o c a r t e s i a n o d o s e s p a ç o s d a s v a r i á v e i s i n t e r n a s e

e x t e r n a s . A p a r t i r d e s t a d e n i ç ã o , H U L B U R T Z e K A T Z [ 1 3 4 ] e V A L E N T A S e

A M U N D S O N [ 1 3 5 ] f o r a m o s p r i m e i r o s a i n t r o d u z i r a e q u a ç ã o d e b a l a n ç o p o p u l a c i -

4 2



3 . 1 B a l a n ç o P o p u l a c i o n a l 4 3

o n a l p a r a a m o d e l a g e m d e p r o c e s s o s e m e n g e n h a r i a q u í m i c a e n v o l v e n d o o p e r a ç õ e s

c o m f a s e s d i s p e r s a s .

U m a p o p u l a ç ã o d e p a r t í c u l a s e m u m s i s t e m a f e c h a d o p o d e s e r a f e t a d a p e l a n u -

c l e a ç ã o , a g r e g a ç ã o , q u e b r a e c r e s c i m e n t o . E s t e s f e n ô m e n o s e s t ã o a s s o c i a d o s à f o r m a

c o m o a s p a r t í c u l a s i n t e r a g e m e n t r e s i e c o m a f a s e c o n t í n u a , i n c l u i n d o o e f e i t o d o

c a m p o d e e s c o a m e n t o s o b r e a s p r o p r i e d a d e s d a s p a r t í c u l a s . I s t o l e v a a h e t e r o g e n e i -

d a d e s e s p a c i a i s e , p o r t a n t o , a m o d e l a g e m d e s t e s p r o c e s s o s é u m f a t o r i m p o r t a n t e

p a r a p r o j e t o s d e e n g e n h a r i a c o n á v e i s .

O t r a b a l h o p i o n e i r o u t i l i z a n d o b a l a n ç o p o p u l a c i o n a l d e d u z i u o m o d e l o p a r a a g r e -

g a ç ã o p u r a e a p l i c o u - o a u m s i s t e m a b i o l ó g i c o [ 1 3 6 , 1 3 7 ] . A p o p u l a r i d a d e d o b a l a n ç o

p o p u l a c i o n a l c r e s c e u d e v i d o a o l i v r o d e R A N D O L P H e L A R S E N [ 1 3 8 ] . A p e s a r d e

e s t a r b a s i c a m e n t e v o l t a d o p a r a c r i s t a l i z a ç ã o , e s t e l i v r o e x p ô s u m a a b o r d a g e m g e r a l

q u e p o d e s e r a p l i c a d a e m d i v e r s o s c a s o s , i n c l u s i v e p a r a p r o c e s s o s d e p u l v e r i z a ç ã o ,

c o a g u l a ç ã o d e a e r o s ó i s e g r a n u l a ç ã o . E m u m l i v r o m a i s r e c e n t e , R A M K R I S H N A [ 2 8 ]

i n c l u i u a i n d a o s p r o c e s s o s d e c r e s c i m e n t o d e c é l u l a s . S e u l i v r o e s t a b e l e c e u a m o -

d e l a g e m d e b a l a n ç o p o p u l a c i o n a l c o m o u m a f e r r a m e n t a b á s i c a p a r a s e r a p l i c a d a a

t o d o s o s p r o c e s s o s q u e e n v o l v e m i n t e r a ç ã o e n t r e p a r t í c u l a s .

D e f a t o , a s á r e a s d e a p l i c a ç ã o p a r a b a l a n ç o p o p u l a c i o n a l s ã o d i v e r s a s e m u i t o

v a s t a s . P o r e x e m p l o , p o d e - s e c i t a r s i s t e m a s b i o l ó g i c o s e a m b i e n t a i s [ 1 3 9 ] , n a n o -

p a r t í c u l a s [ 1 4 0 ] , p r o c e s s o s d e p o l i m e r i z a ç ã o [ 1 4 1 ] e , p o r m , a p l i c a ç õ e s à u i d o d i -

n â m i c a d e p r o c e s s o s p o l i d i s p e r s o s [ 1 4 2 ] , f o c o d e s t e t r a b a l h o .

E s t a s e ç ã o a p r e s e n t a o s f u n d a m e n t o s d a e q u a ç ã o d e b a l a n ç o p o p u l a c i o n a l ( E B P ) ,

f o r n e c e n d o a s u a f o r m u l a ç ã o c o m p l e t a , i n c l u i n d o o s t e r m o s d e a g r e g a ç ã o e q u e b r a

d e p a r t í c u l a s . D e v i d o à g r a n d e c o m p l e x i d a d e d a m o d e l a g e m d a E B P , a p r e s e n t a m - s e

a l g u m a s h i p ó t e s e s s i m p l i c a d o r a s d e m o d o a a p l i c a r e s t a t é c n i c a a c a s o s p r á t i c o s .




3 . 1 . 1 E q u a ç ã o d e B a l a n ç o P o p u l a c i o n a l ( E B P )

N e s t e m o m e n t o , é n e c e s s á r i o i n t r o d u z i r u m a n o v a v a r i á v e l , f (x,v, t)

, c o n h e c i d a

c o m o f u n ç ã o d e d e n s i d a d e n u m é r i c a d a p a r t í c u l a , q u e q u a n t i c a o n ú m e r o m é d i o

d e p a r t í c u l a s n o t e m p o

tp o r u n i d a d e d e v o l u m e n o e s p a ç o d e e s t a d o . A p a r t i r

d a f u n ç ã o d e d e n s i d a d e n u m é r i c a , v a r i á v e i s i m p o r t a n t e s p a r a s i s t e m a s p o l i d i s p e r s o s

p o d e m s e r c a l c u l a d a s . P o r e x e m p l o , o n ú m e r o t o t a l d e p a r t í c u l a s , N T , n o d o m í n i o

Ωx × Ωv d o e s p a ç o d e e s t a d o d e p a r t í c u l a s ( x,v

) é d a d o p e l a E q . 3 . 1 .

N T (t).

= Ωx Ωv

f (x,v, t) dV v dV x ( 3 . 1 )

D e f a t o , o u t r a s d e n s i d a d e s n u m é r i c a s p o d e m s e r d e n i d a s p a r a a p o p u l a ç ã o .

C o n s i d e r a n d o v(v)

c o m o o v o l u m e d a p a r t í c u l a n o e s p a ç o d e e s t a d o i n t e r n o v

, a

d e n s i d a d e d e v o l u m e p o d e s e r d e n i d a c o m o o p r o d u t o v(v)f (x,v, t)

e a f r a ç ã o

v o l u m é t r i c a d a f a s e d i s p e r s a i n c l u i n d o t o d a s a s p a r t í c u l a s , r

, é m o s t r a d a n a E q . 3 . 2 .

r(x, t).

= Ωv

v(v)f (x,v, t) dV v ( 3 . 2 )

A o c o n t r á r i o d a d e n s i d a d e n u m é r i c a , a s d e n s i d a d e s d e m a s s a e v o l u m e s e r e f e r e m

à q u a n t i d a d e d e m a t e r i a l d i s p e r s o e , c o n s e q ü e n t e m e n t e , s ã o v a r i á v e i s m a i s r e l e v a n t e s

e m a p l i c a ç õ e s p r á t i c a s .

A e q u a ç ã o d e b a l a n ç o p o p u l a c i o n a l e s t á r e p r e s e n t a d a n a E q . 3 . 3 [ 2 8 ] , o n d e X

é

a t a x a d e v a r i a ç ã o d a v a r i á v e l e x t e r n a ,

Dxé o c o e c i e n t e d e d i f u s ã o a n i s o t r ó p i c o e

H (x,v, t)é o t e r m o f o n t e d a E B P q u e i n c l u i o s e f e i t o s d e n u c l e a ç ã o , c r e s c i m e n t o ,

a g r e g a ç ã o e q u e b r a . O s e g u n d o e t e r c e i r o t e r m o s d a E q . 3 . 3 r e p r e s e n t a m o t r a n s p o r t e

c o n v e c t i v o e d i s p e r s i v o d e p a r t í c u l a s n o e s p a ç o f í s i c o .

∂f (x,v, t)

∂t= −x ·

Xf (x,v, t)

+ x ·

Dx ·

x · DT

x f (x,v, t)

+H (x,v, t)( 3 . 3 )

O t e r m o f o n t e H (x,v, t)

p o d e s e r d i v i d i d o n o s s e g u i n t e s t e r m o s : a t a x a d e

n u c l e a ç ã o J (x,v, t)

, a t a x a d e v a r i a ç ã o d a s p r o p r i e d a d e s d a p a r t í c u l a G(x,v, t)

e




a s t a x a s d e n a s c i m e n t o e m o r t e , B(x,v, t)

e D(x,v, t)

r e s p e c t i v a m e n t e , q u e p o d e m

o c o r r e r p o r p r o c e s s o s d e a g r e g a ç ã o , d e n i d o p e l o s u b s c r i t o a

, e q u e b r a , d e n i d o p e l o

s u b s c r i t o

b.

H (x,v, t) = Ba(x,v, t) − Da(x,v, t) + Bb(x,v, t) − Db(x,v, t)

+J (x,v, t) + G(x,v, t)( 3 . 4 )

O t e r m o G(x,v, t)

r e f e r e - s e a m u d a n ç a s n o e s t a d o d a s v a r i á v e i s i n t e r n a s e p o d e

s e r i n t e r p r e t a d o c o m o o d i v e r g e n t e d o u x o d e s t a s v a r i á v e i s e m s e u r e s p e c t i v o e s t a d o .

A e q u a ç ã o g e r a l p a r a e s t e t e r m o s e e n c o n t r a n a E q . 3 . 5 , s e n d o q u e

Vr e p r e s e n t a a

t a x a d e t e r m i n í s t i c a d e v a r i a ç ã o d a v a r i á v e l i n t e r n a e o s e g u n d o t e r m o d a e q u a ç ã o

r e p r e s e n t a a c o n t r i b u i ç ã o e s t o c á s t i c a d a v a r i a ç ã o .

G(x,v, t) = −v ·Vf (x,v, t)

+ v ·

Dv ·

v ·DT

v f (x,v, t)

( 3 . 5 )

E s t a n o t a ç ã o é ú t i l p o i s p e r m i t e q u a n t i c a r o s p r o c e s s o s s e p a r a d a m e n t e e , p o r -

t a n t o , m o d e l á l o s d e f o r m a m a i s f á c i l e e c i e n t e . P a r a u m e q u a c i o n a m e n t o c o m -

p l e t o d a E B P , u m c o n h e c i m e n t o d e s t e s p r o c e s s o s e d e s u a m o d e l a g e m é e s s e n c i a l .

N a s e q ü ê n c i a s ã o m o s t r a d o s a s p e c t o s d a f í s i c a e d a m o d e l a g e m d o s f e n ô m e n o s d e

a g r e g a ç ã o e q u e b r a . D e t a l h e s s o b r e n u c l e a ç ã o e c r e s c i m e n t o d e p a r t í c u l a s s e r ã o

c o l o c a d o s q u a n d o f o r a p r o p r i a d o .

3 . 1 . 2 P r o c e s s o s d e A g r e g a ç ã o

E m u m a d i s p e r s ã o e m u m e s c o a m e n t o t u r b u l e n t o , a s p a r t í c u l a s s e m o v e m a l e a t ó r i a -

m e n t e e c o l i d e m c o n t i n u a m e n t e u m a s c o m a s o u t r a s . P a r a q u e a c o a l e s c ê n c i a o c o r r a ,

o u i d o q u e e s t á e n t r e a s p a r t í c u l a s e m c o l i s ã o d e v e s e r d r e n a d o a t é a e s p e s s u r a d e

r u p t u r a d e s t e l m e u i d o . D u r a n t e o p r o c e s s o d e d r e n a g e m , é p o s s í v e l q u e a u t u a -

ç ã o t u r b u l e n t a n a f a s e c o n t í n u a s e j a t ã o i n t e n s a q u e a s p a r t í c u l a s p o s s a m s e s e p a r a r

p o r c o m p l e t o . A s s i m , n e m t o d a c o l i s ã o e n t r e p a r t í c u l a s n e c e s s a r i a m e n t e r e s u l t a e m

a g r e g a ç ã o . D e s t e m o d o , u m a e c i ê n c i a d e a g r e g a ç ã o d e v e s e r a n e x a d a a o p r o c e s s o




f í s i c o d e c o l i s ã o e n t r e p a r t í c u l a s . A F i g . 3 . 1 a p r e s e n t a u m d i a g r a m a s i m p l i c a d o d o

p r o c e s s o d e a g r e g a ç ã o .

F i g u r a 3 . 1 : R e p r e s e n t a ç ã o d o p r o c e s s o d e a g r e g a ç ã o i n i c i a d o p e l a d r e n a g e m d o l m e u i d o

q u e s e p a r a a s p a r t í c u l a s , p o d e n d o r e s u l t a r ( a ) n a a g r e g a ç ã o d a s p a r t í c u l a s o u ( b ) n a s e p a -

r a ç ã o d e s t a s .

A f r e q ü ê n c i a d e a g r e g a ç ã o a

, d e s c r i t a a b a i x o , é a p r o b a b i l i d a d e d e d u a s p a r t í c u l a s

n o e s t a d o ( x, v ) e ( x,v ) n o i n s t a n t e t

c o m a s p r o p r i e d a d e s d a f a s e c o n t í n u a , y , s e

a g r e g u e m e m u m p e r í o d o d e t e m p o d e t a t + dt.

f r e q ü ê n c i a d e a g r e g a ç ã o = f r e q ü ê n c i a d e c o l i s ã o ×

e c i ê n c i a d e a g r e g a ç ã o

o u

a(x, v;x,v;y, t) = (x, v;x,v;y, t)λ(x, v;x,v;y, t)( 3 . 6 )

F o r a m p r o p o s t a s d i v e r s a s a b o r d a g e n s p a r a m o d e l a r a f r e q ü ê n c i a d e a g r e g a ç ã o

e m d i f e r e n t e s s i s t e m a s p o l i d i s p e r s o s [ 1 4 3 , 1 4 4 , 1 4 5 , 1 4 6 ] . E s t e s a u t o r e s p r o p u s e -

r a m d i f e r e n t e s h i p ó t e s e s e t e o r i a s p a r a b a s e a r s e u s m o d e l o s e , a p e s a r d i s s o , t o d o s

c o n c o r d a m c o m o s f e n ô m e n o s f í s i c o s q u e a f e t a m a a g r e g a ç ã o . A f r e q ü ê n c i a d e a g r e -

g a ç ã o é a f e t a d a p r i n c i p a l m e n t e p o r d o i s f a t o r e s : a f r e q ü ê n c i a d e c o l i s ã o d e u m p a r

e s p e c í c o d e p a r t í c u l a s e a p r o b a b i l i d a d e d a a g r e g a ç ã o o c o r r e r a p ó s a c o l i s ã o . O

p r i m e i r o f a t o r d e p e n d e p r i n c i p a l m e n t e d a d i s t r i b u i ç ã o d e t a m a n h o d a p a r t í c u l a e d o

p a d r ã o d e e s c o a m e n t o . O s e g u n d o f a t o r d e p e n d e d o s a s p e c t o s q u e a f e t a m o s u c e s s o

d a a g r e g a ç ã o c o m o a c a m a d a l i m i t e v i s c o s a ( o u a d r e n a g e m d o l m e d o u i d o ) , a




d e f o r m a ç ã o d a s p a r t í c u l a s e o b a l a n ç o d e e n e r g i a [ 1 4 7 ] .

A s t a x a s d e n a s c i m e n t o e m o r t e p o r a g r e g a ç ã o , q u e f a z e m p a r t e d o t e r m o f o n t e

d a E B P , m o s t r a d o n a E q . 3 . 4 , s ã o d a d a s p o r R A M K R I S H N A [ 2 8 ] n a f o r m a :

Ba(x,v,y, t) =

1

δ

Ωx

Ωv

a(x, v;x,v;y, t)f (x, v, t)f (x,v, t)∂ (x, v)

∂ (x,v)dV v dV x ( 3 . 7 )

Da(x,v,y, t) =

Ωx

Ωv

a(x,v;x,v;y, t)f (x,v, t)f (x,v, t) dV v dV x ( 3 . 8 )

o n d e δ

r e p r e s e n t a o n ú m e r o d e v e z e s q u e p a r e s i d ê n t i c o s f o r a m c o n s i d e r a d o s n o i n t e r -

v a l o d e i n t e g r a ç ã o , d e f o r m a q u e 1/δ

c o r r i g e a r e d u n d â n c i a . O t e r m o ∂ (x, v)/∂ (x,v)

c o r r e s p o n d e a o j a c o b i a n o d a t r a n s f o r m a ç ã o d e c o o r d e n a d a s d e m o d o q u e o p a r d e

p a r t í c u l a s q u e c o l i d e c o m a s c o o r d e n a d a s [x, v]

e [x,v]

g e r e m p a r t í c u l a s n o e s t a d o

[x,v], s e n d o d a d o p o r :

∂ (x, v)

∂ (x,v)=

∂ x1∂ x1

∂ x1∂ x2

∂ x1∂ x3

∂ x1∂ v1

· · · ∂ x1∂ vn

∂ x2∂ x1

∂ x2∂ x2

∂ x2∂ x3

∂ x2∂ v1

· · · ∂ x2∂ vn

∂ x3∂ x1

∂ x3∂ x2

∂ x3∂ x3

∂ x3∂ v1

· · · ∂ x3∂ vn

∂ v1∂ x1

∂ v1∂ x2

∂ v1∂ x3

∂ v1∂ v1

· · · ∂ v1∂ vn

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

∂ vn∂ x

1

∂ vn∂ x

2

∂ vn∂ x

3

∂ vn∂ v

1

· · · ∂ vn∂ v

n

( 3 . 9 )

V á r i o s m o d e l o s p a r a f r e q ü ê n c i a d e a g r e g a ç ã o f o r a m p r o p o s t o s n a l i t e r a t u r a e é

i m p e r a t i v o e s c o l h e r a q u e l e q u e é a p r o p r i a d o p a r a u m a d a d a s i t u a ç ã o f í s i c a . C o n t u d o ,

a d e s c r i ç ã o s o b r e m o d e l o s d e f r e q ü ê n c i a d e a g r e g a ç ã o n ã o s e r á t ó p i c o d e s t e t r a b a l h o

e d e t a l h e s s o b r e o s m e s m o s s e r ã o c o l o c a d o s q u a n d o f o r n e c e s s á r i o .




3 . 1 . 3 P r o c e s s o s d e Q u e b r a

D i v e r s o s t r a b a l h o s n a l i t e r a t u r a t r a t a m d o s m e c a n i s m o s d e q u e b r a d e p a r t í c u l a s ,

c o n c l u i n d o q u e a q u e b r a p o d e o c o r r e r d e v i d o à c o l i s õ e s o u i n u ê n c i a d o c a m p o d e

e s c o a m e n t o . A p r i m e i r a o c o r r ê n c i a é m a i s c o m u m e m p a r t í c u l a s s ó l i d a s e s e u m e -

c a n i s m o d e q u e b r a e n v o l v e o a t r i t o n a s u p e r f í c i e d a p a r t í c u l a , o n d e e s t a é l a s c a d a

p e l a c o l i s ã o c o m o u t r a s p a r t í c u l a s , p a r e d e o u i m p e l i d o r . A l g u n s m o d e l o s d e q u e b r a

u s a n d o e s s s e c o n c e i t o f o r a m p r o p o s t o s [ 1 4 8 , 1 4 9 , 1 5 0 ] . O s e g u n d o m e c a n i s m o s e

a p l i c a a p a r t í c u l a s u i d a s , c o m o b o l h a s o u g o t a s , e o c o r r e p e l a e x p o s i ç ã o d e s t a s a

u m c a m p o d e e s c o a m e n t o t u r b u l e n t o , o q u a l p r o v o c a o s c i l a ç õ e s d e f o r m a p e l a a ç ã o

d a s f o r ç a s i n e r c i a i s e c o e s i v a s [ 1 5 1 , 1 5 2 , 1 4 5 , 1 5 3 , 1 5 4 , 1 5 5 ] . D e s t e m o d o , a q u e b r a

p o r t u r b u l ê n c i a é i n d u z i d a p e l a a ç ã o d e p e q u e n o s v ó r t i c e s ( t a m b é m c h a m a d o s d e

t u r b i l h õ e s ) q u e b o m b a r d e i a m a s u p e r f í c i e d a p a r t í c u l a , c a u s a n d o d e f o r m a ç õ e s n e s t a .

I s t o é , a e n e r g i a c i n é t i c a d o m o v i m e n t o t u r b u l e n t o d a f a s e c o n t í n u a p r o v o c a u m a u -

m e n t o d e e n e r g i a s u p e r c i a l d a p a r t í c u l a a t r a v é s d a s d e f o r m a ç õ e s . A f r a g m e n t a ç ã o

d a p a r t í c u l a o c o r r e q u a n d o o m o v i m e n t o t u r b u l e n t o f o r n e c e u m a u m e n t o s u c i e n t e

d a e n e r g i a s u p e r c i a l p a r a c a u s a r a q u e b r a . O p r e s e n t e t r a b a l h o t e r á e n f o q u e n o

s e g u n d o m e c a n i s m o , c o n s i d e r a n d o a q u e b r a c a u s a d a p e l a t u r b u l ê n c i a .

A s t a x a s d e n a s c i m e n t o e m o r t e p o r q u e b r a n a E B P s ã o d a d a s p o r [ 2 8 ] :

Bb(x,v,y, t) =

Ωx

Ωv

ϑ(x,v,y, t)b(x,v,y, t)

× P (x,v | x,v,y, t)f (x,v, t) dV v dV x ( 3 . 1 0 )

Db(x,v,y, t) = b(x,v,y, t)f (x,v, t)( 3 . 1 1 )

o n d e ϑ(x,v,y, t)

é o n ú m e r o m é d i o d e p a r t í c u l a s f o r m a d o p e l a q u e b r a d a p a r t í c u l a

d e e s t a d o ( x,v

) ( ϑ ≥ 2

) , P (x,v | x,v,y, t)

é a f u n ç ã o d e d e n s i d a d e d e p r o b a b i l i -

d a d e d a s p a r t í c u l a s f o r m a d a s p e l a q u e b r a d e u m a p a r t í c u l a d e e s t a d o ( x,v

) v i r a

p o s s u i r o e s t a d o ( x,v ) e b(x,v,y, t)

é a t a x a e s p e c í c a d e q u e b r a , o u s e j a , é a f r a ç ã o

d e p a r t í c u l a s n o e s t a d o ( x,v ) q u e q u e b r a e m u m a u n i d a d e d e t e m p o .




3 . 1 . 4 H i p ó t e s e s e S i m p l i c a ç õ e s

O p r o b l e m a g e r a l d e b a l a n ç o p o p u l a c i o n a l é , c e r t a m e n t e , d e e x t r e m a c o m p l e x i d a d e ,

s e n d o v i t a l c o n s i d e r a r h i p ó t e s e s q u e s i m p l i q u e m o e q u a c i o n a m e n t o o r i g i n a l m a s

m a n t e n d o o s d e t a l h e s d e s e j a d o s . A l g u m a s d e s t a s h i p ó t e s e s s ã o i n t r í n s e c a s à f í s i c a

d o p r o b l e m a , s e n d o n a t u r a l o p r o c e s s o d e s i m p l i c a ç ã o . A s h i p ó t e s e s f í s i c a s e d e

m o d e l a g e m a p r e s e n t a d a s a b a i x o s ã o a m p l a m e n t e u s a d a s n a s o l u ç ã o d a E B P e n o

d e s e n v o l v i m e n t o d e f u n ç õ e s d e a g r e g a ç ã o e q u e b r a [ 2 8 ] .

E m p r i m e i r o l u g a r , é i m p o r t a n t e d e s t a c a r a s s i m p l i c a ç õ e s n a n o m e n c l a t u r a d a s

e q u a ç õ e s . A s f u n ç õ e s d e q u e b r a e a g r e g a ç ã o p o s s u e m d e p e n d ê n c i a c o m a s p r o p r i -

e d a d e s d a f a s e c o n t í n u a y

, q u e p o d e m s e r , p o r e x e m p l o , o c a m p o d e v e l o c i d a d e s ,

a d i s s i p a ç ã o d e e n e r g i a t u r b u l e n t a o u m e s m o a s p r o p r i e d a d e s f í s i c a s d o m e i o c o n -

t í n u o . O v e t o r y

n ã o s e r á m a i s m o s t r a d o c o m o u m p a r â m e t r o d a s f u n ç õ e s , s e n d o

c o n s i d e r a d a i m p l í c i t a s u a d e p e n d ê n c i a n a s f u n ç õ e s .

A s E q s . 3 . 7 e 3 . 8 p a r a n a s c i m e n t o e m o r t e p o r a g r e g a ç ã o e n v o l v e m t r ê s p o s i ç õ e s

d i f e r e n t e s , c o n s i d e r a n d o d u a s p a r t í c u l a s q u e i n t e r a g e m c o m p o s i ç õ e s x

e x

e a p a r -

t í c u l a a g l o m e r a d a e m x

. A p e s a r d e s e r u m t r a t a m e n t o m a t e m a t i c a m e n t e r i g o r o s o , o

m e s m o é i m p r a t i c á v e l e d e s n e c e s s a r i a m e n t e c o m p l i c a d o p a r a a p l i c a ç õ e s p r á t i c a s d e

e n g e n h a r i a . N o r m a l m e n t e , c o n s i d e r a - s e q u e e s t a s t r ê s p o s i ç õ e s e s t ã o m u i t o p r ó x i m a s

e n t r e s i d u r a n t e o p r o c e s s o d e a g r e g a ç ã o , c o m o

x ≈ x ≈ x ( 3 . 1 2 )

s o b a h i p ó t e s e d e q u e

a(x,v;x,v;y, t) = a(x, v,v, t)δ(x − x)δ(x− x). ( 3 . 1 3 )

A o a s s u m i r q u e a s t r ê s p o s i ç õ e s s ã o p r ó x i m a s , a s E q s . 3 . 7 e 3 . 8 s ã o s i m p l i c a d a s

r e s u l t a n d o n a s E q s . 3 . 1 4 e 3 . 1 5 , r e s p e c t i v a m e n t e .

Ba(x,v, t) =1

δ

Ωv

a(x, v,v, t)f (x, v, t)f (x,v, t)∂ (v)

∂ (v)dV v ( 3 . 1 4 )




Da(x,v, t) =

Ωv

a(x,v,v, t)f (x,v, t)f (x,v, t) dV v ( 3 . 1 5 )

C o n s i d e r a n d o o p r o b l e m a m u l t i v a r i a d o , o u s e j a , u m v e t o r d e n v a r i á v e i s i n t e r n a s ,

e a h i p ó t e s e c o l o c a d a n a E q . 3 . 1 3 , o j a c o b i a n o d e t r a n s f o r m a ç ã o d e c o o r d e n a d a s p o d e

s e r s i m p l i c a d o c o m o c o l o c a d o n a E q . 3 . 1 6 .

∂ (v)

∂ (v)=

∂ v1∂ v1

· · · ∂ v1∂ vn

.

.

.

.

.

.

.

.

.

∂ vn

∂ v1 · · ·

∂ vn

∂ vn

( 3 . 1 6 )

N o t e q u e q u a n d o o p r o b l e m a é m o n o v a r i a d o , i s t o é , s ó p o s s u i u m a v a r i á v e l

i n t e r n a , o j a c o b i a n o d e t r a n s f o r m a ç ã o d e c o o r d e n a d a s s e t o r n a u n i t á r i o q u a n d o s e

t r a t a d e u m a p r o p r i e d a d e a d i t i v a n a a g r e g a ç ã o . C o n s i d e r e c o m o e x e m p l o o j a c o b i a n o

p a r a a m a s s a m

d a p a r t í c u l a .

m + m = m,

∂ m

∂m=

∂ (m − m)

∂ (m)= 1

( 3 . 1 7 )

U m a h i p ó t e s e s e m e l h a n t e a m o s t r a d a n a E q . 3 . 1 3 p o d e s e r e s t e n d i d a p a r a a

q u e b r a . O p r o c e s s o d e q u e b r a o c o r r e e m u m a e s c a l a d e t e m p o m u i t o m e n o r d o q u e

a e v o l u ç ã o d a p o p u l a ç ã o e , p o r t a n t o , a q u e b r a p o d e s e r c o n s i d e r a d a i n s t a n t â n e a .

D e s t a m a n e i r a , a s p o s i ç õ e s d a s p a r t í c u l a s m ã e x e l h a x p o d e m s e r c o n s i d e r a d a s

c o m o i g u a i s . E s t a h i p ó t e s e a p l i c a d a à E q . 3 . 1 0 p a r a n a s c i m e n t o p o r q u e b r a r e s u l t a

n a E q . 3 . 1 8 .

Bb(x,v,y, t) =

Ωv

ϑ(x,v, t)b(x,v, t)P (x,v | x,v, t)f (x,v, t) dV v ( 3 . 1 8 )

P o r m , a d e d u ç ã o d o s m é t o d o s n o p r e s e n t e t r a b a l h o l i d a p r i n c i p a l m e n t e c o m a

E B P m o n o v a r i a d a . C o m a n a l i d a d e d e a p r e s e n t a r a f o r m a n a l d a E B P u t i l i z a n d o

o v o l u m e d a p a r t í c u l a , v

, c o m o v a r i á v e l i n t e r n a , a E q . 3 . 1 9 r e p r o d u z s u a v e r s ã o



3 . 2 T é c n i c a s N u m é r i c a s p a r a S o l u ç ã o d e E B P s 5 1

s i m p l i c a d a c o m o s t e r m o s d e q u e b r a e c o a l e s c ê n c i a , c o n s i d e r a n d o q u e b r a b i n á r i a

( ϑ(x,v, t) = 2

) , d i f u s ã o i s o t r ó p i c a e u c o m o a v e l o c i d a d e c a r a c t e r í s t i c a a s s o c i a d a

a o e s p a ç o f í s i c o ( u = X

) .

∂f (x, v , t)

∂t+ · (uf (x, v , t)) − · [Dxf (x, v , t)]

=1

2

v 0

a(x, v, v, t)f (x, v, t)f (x, v, t) dv

−

∞ 0

a(x, v , v, t)f (x, v , t)f (x, v, t) dv

+ 2

∞ v

b(x, v, t)P (x, v | x, v, t)f (x, v, t) dv

− b(x, v , t)f (x, v , t)( 3 . 1 9 )

3 . 2 T é c n i c a s N u m é r i c a s p a r a S o l u ç ã o d e E B P s

E x i s t e m v á r i a s m a n e i r a s d e r e s o l v e r a e q u a ç ã o d e b a l a n ç o p o p u l a c i o n a l e a m e t o d o -

l o g i a a p r o p r i a d a d e p e n d e d a n a t u r e z a d o p r o b l e m a . A E B P é u m a e q u a ç ã o i n t e g r o -

d i f e r e n c i a l q u e n e m s e m p r e p o d e s e r r e s o l v i d a a n a l i t i c a m e n t e e , p o r t a n t o u m a a p r o -

x i m a ç ã o n u m é r i c a d e v e s e r a p l i c a d a . S o l u ç õ e s a n a l í t i c a s s ó p o d e m s e r o b t i d a s p a r a

a s s i t u a ç õ e s m a i s s i m p l e s , u s u a l m e n t e n ã o r e a l í s t i c a s [ 1 5 6 , 1 5 7 , 1 5 8 , 1 5 9 , 1 6 0 ] . A s -

s i m , p a r a s i m u l a r c a s o s r e a i s , d e v e - s e u t i l i z a r t é c n i c a s n u m é r i c a s p a r a a s o l u ç ã o d a

E B P . E s t a s p o d e m s e r d i v i d i d a s e m t r ê s c a t e g o r i a s q u e s ã o d e s c r i t a s e d i s c u t i d a s n a

s e q ü ê n c i a .

3 . 2 . 1 M é t o d o s E s t o c á s t i c o s

O s m é t o d o s e s t o c á s t i c o s ( o u d e M o n t e C a r l o ) p o d e m s i m u l a r o c o m p o r t a m e n t o d o

s i s t e m a u s a n d o t é c n i c a s d e g e r a ç ã o d e n ú m e r o s a l e a t ó r i o s p a r a c a l c u l a r a s f u n ç õ e s

d e p r o b a b i l i d a d e d o s i s t e m a [ 2 8 ] . D e s t e m o d o , o c á l c u l o d i r e t o d a s f u n ç õ e s i n t e g r a i s

e d i f e r e n c i a i s é s u b s t i t u í d o p e l a s i m u l a ç ã o e s t o c á s t i c a d o s i s t e m a . A o c o n t r á r i o




d a a b o r d a g e m d e t e r m i n í s t i c a , a a b o r d a g e m e s t o c á s t i c a m o d e l a o s f e n ô m e n o s d e

n u c l e a ç ã o , c r e s c i m e n t o , q u e b r a e a g r e g a ç ã o c o m o p r o c e s s o s d i s c r e t o s e a l e a t ó r i o s .

R A M K R I S H N A e B O R W A N K E R [ 1 6 1 , 1 6 2 ] i n t r o d u z i r a m a a b o r d a g e m e s t o c á s t i c a

p a r a m o d e l a r p r o c e s s o s p a r t i c u l a d o s . E s t e s a u t o r e s m o s t r a r a m q u e a E B P d e t e r m i -

n í s t i c a é a p r i m e i r a d e u m a s é r i e d e i n n i t a s e q u a ç õ e s d e r i v a d a s d a e q u a ç ã o p a r a

a d e n s i d a d e d e p r o b a b i l i d a d e p r i n c i p a l . A E B P d e t e r m i n í s t i c a c a l c u l a , d e f a t o , a

e x p e c t a t i v a d a f u n ç ã o d e d i s t r i b u i ç ã o e d e s c r e v e o c o m p o r t a m e n t o m é d i o .

S H A H e t a l . [ 1 6 3 ] a p l i c o u o c o n c e i t o i n t r o d u z i d o p o r K E N D A L L [ 1 6 4 ] p a r a s i -

m u l a r q u e b r a e a g r e g a ç ã o e m s i s t e m a s d i s p e r s o s , o n d e o s i n t e r v a l o s d e t e m p o s ã o

e x p o n e n c i a l m e n t e d i s t r i b u í d o s e n t r e e v e n t o s d e n a s c i m e n t o e m o r t e e m p o p u l a ç õ e s

m o n o v a r i a d a s . A s t a x a s d e q u e b r a e a g r e g a ç ã o e r a m p r o p o r c i o n a i s a o n ú m e r o d e

p a r t í c u l a s n o s i s t e m a e c o m m e c a n i s m o s d e p e n d e n t e s d o t a m a n h o d a p a r t í c u l a .

S W E E T e t a l . [ 1 6 5 ] e s t e n d e u o e q u a c i o n a m e n t o d e s c r i t o e m S H A H e t a l . [ 1 6 3 ] i n -

c o r p o r a n d o r e a ç õ e s q u í m i c a s d e p r i m e i r a o r d e m p a r a s i m u l a r u m l e i t o u i d i z a d o

n ã o i s o t é r m i c o c o n s i d e r a n d o a p e n a s a c o a l e s c ê n c i a d a s b o l h a s . E s t e t r a b a l h o u s o u

v e l o c i d a d e s s u p e r c i a i s r e l a t i v a m e n t e b a i x a s ( d u a s v e z e s m e n o r q u e a v e l o c i d a d e

m í n i m a d e u i d i z a ç ã o ) p o i s s e u o b j e t i v o f o i m o s t r a r a c a p a c i d a d e d e s i m u l a r s i s t e -

m a s c o m p l e x o s . D A S [ 1 6 6 ] d e s e n v o l v e u u m a s o l u ç ã o s e m i - a n a l í t i c a p a r a p r o c e s s o s

d e q u e b r a e a p l i c o u c o m s u c e s s o o m é t o d o d e M o n t e C a r l o . D A S [ 1 6 6 ] s u g e r e q u e ,

n a a u s ê n c i a d e u m a s o l u ç ã o a n a l í t i c a , s e u a l g o r i t m o p o d e s e r u s a d o s e m p e r d a d e

g e n e r a l i d a d e d o s r e s u l t a d o s .

A s o l u ç ã o d a E B P f o i a v a l i a d a u s a n d o d i f e r e n t e s a l g o r i t m o s e s t o c á s t i c o s e m

d i f e r e n t e s t r a b a l h o s [ 1 6 7 , 1 6 8 ] . O s t e s t e s d e c o m p a r a ç ã o e n t r e a s m e t o d o l o g i a s a n a -

l i s a r a m a v e l o c i d a d e d e s i m u l a ç ã o e a m a g n i t u d e d o s e r r o s s i s t e m á t i c o s e e s t a t í s t i c o s

p a r a d e t e r m i n a r q u a l m é t o d o é c a p a z d e p r e d i z e r a s o l u ç ã o c o m u m d a d o e r r o e m

m e n o r t e m p o .

A p e s a r d e s e r u m a t é c n i c a e x t r e m a m e n t e e x í v e l , a q u a n t i d a d e d e r e a l i z a ç õ e s

p a r a s i m u l a r a d e q ü a d a m e n t e a e v o l u ç ã o d e u m a p o p u l a ç ã o é e x t r e m a m e n t e a l t o , o




q u e e l e v a m u i t o o c u s t o c o m p u t a c i o n a l . C o n t u d o , u m a v a n t a g e m d e s t a a b o r d a g e m é

a c a p a c i d a d e d e s i m u l a r E B P s m u l t i v a r i a d a s e m r e s p e i t o à v a r i á v e i s i n t e r n a s q u a n d o

o u t r o s m é t o d o s n u m é r i c o s s e t o r n a m c o m p u t a c i o n a l m e n t e e x a u s t i v o s [ 1 6 9 , 1 7 0 ] .

3 . 2 . 2 M é t o d o d o s R e s í d u o s P o n d e r a d o s

O m é t o d o d o s r e s í d u o s p o n d e r a d o s é u m a t é c n i c a g e r a l p a r a a s o l u ç ã o d e e q u a ç õ e s

d i f e r e n c i a i s p a r c i a i s . N e s t e c a s o , e m v e z d e t e n t a r a p r o x i m a r a f u n ç ã o q u e é a s o -

l u ç ã o d a e q u a ç ã o , a p r o x i m a - s e a f u n ç ã o a p a r t i r d e f u n ç õ e s c o n h e c i d a s . A s o l u ç ã o

é d a d a p e l a e x p a n s ã o f u n c i o n a l d a f u n ç ã o d e d i s t r i b u i ç ã o e m f u n ç õ e s d e b a s e , c u -

j o s c o e c i e n t e s s ã o c a l c u l a d o s p e l a p o n d e r a ç ã o d o s r e s í d u o s d a s e q u a ç õ e s u s a n d o

f u n ç õ e s p e s o . F o r m a - s e , a s s i m , u m c o n j u n t o d e e q u a ç õ e s a l g é b r i c a s ( o u d i f e r e n c i -

a i s o r d i n á r i a s ) l i n e a r m e n t e i n d e p e n d e n t e s p a r a o b t e r o s c o e c i e n t e s d a e x p a n s ã o d a

s o l u ç ã o n a b a s e d e f u n ç õ e s u s a d a . A s f o r m u l a ç õ e s s e d i f e r e n c i a m n o u s o d e b a s e s

g l o b a i s o u l o c a i s . A s f u n ç õ e s g l o b a i s n o r m a l m e n t e s ã o u s a d a s e m p r o b l e m a s e s t a c i -

o n á r i o s e q u a n d o u m a f o r m a a p r o x i m a d a d a s o l u ç ã o e s t á d i s p o n í v e l . A f o r m u l a ç ã o

c o m e x p a n s ã o g l o b a l f o i u s a d a p o r B H A T I A e C H A K R A B O R T Y [ 1 7 1 ] p a r a r e s o l -

v e r o p r o b l e m a d a E B P e s t a c i o n á r i a c o m a g r e g a ç ã o e c r e s c i m e n t o . A t é c n i c a d e

e l e m e n t o s n i t o s u s a b a s e s l o c a i s e p e r m i t e s o l u ç õ e s m a i s g e r a i s . E s c o l h a s p o s s í v e i s

p a r a a f u n ç ã o p e s o i n c l u e m a s f u n ç õ e s d e l t a d e D i r a c , r e s u l t a n d o n o s m é t o d o s d e

c o l o c a ç ã o , o u a s p r ó p r i a s f u n ç õ e s d a b a s e r e s u l t a n d o n a f o r m u l a ç ã o d e G a l e r k i n .

O p r i m e i r o t r a b a l h o u t i l i z a n d o a t é c n i c a d e e l e m e n t o s n i t o s p a r a a E B P f o i

d e G E L B A R D e S E I N F E L D [ 1 7 2 ] . E s t e s a u t o r e s i n c o r p o r a r a m f u n ç õ e s p o l i n o m i a i s

c ú b i c a s e m u m a f o r m u l a ç ã o d e c o l o c a ç ã o p a r a r e s o l v e r u m a E B P d i n â m i c a c o m t e r -

m o s d e a g r e g a ç ã o e c r e s c i m e n t o d e g o t a s e m t a n q u e a g i t a d o . O d o m í n i o d a v a r i á v e l

i n t e r n a ( d i â m e t r o d a s g o t a s ) f o i e s c a l o n a d o d e f o r m a l o g a r í t m i c a e d i s t r i b u í d o e n t r e

e l e m e n t o s d e t a m a n h o s i g u a i s . M a i s t a r d e , e s t e m e s m o p r o b l e m a f o i a b o r d a d o p o r

E Y R E e t a l . [ 1 7 3 ] a g o r a u s a n d o B - s p l i n e s c o m o f u n ç õ e s d a b a s e n a f o r m u l a ç ã o d e

c o l o c a ç ã o .




N I C M A N I S e H O U N S L O W [ 1 7 4 ] a p l i c a r a m o m é t o d o d o s e l e m e n t o s n i t o s p a r a

E B P e s t a c i o n á r i a s p a r a e v i t a r o m a u c o n d i c i o n a m e n t o d a m a t r i z d e s o l u ç ã o e m

p r o b l e m a s c o m c r e s c i m e n t o . A m e t o d o l o g i a u s a d a n e s t e t r a b a l h o é s e n s í v e l à a n á l i s e

d e e r r o s e a t é c n i c a d e r e n a m e n t o d e m a l h a d a s v a r i á v e i s i n t e r n a s f o r n e c e u m

a u m e n t o s i g n i c a t i v o n a a c u r á c i a d a s o l u ç ã o e n a e c i ê n c i a c o m p u t a c i o n a l . C o n t u d o ,

N I C M A N I S e H O U N S L O W [ 1 7 4 ] n ã o a b o r d a r a m p r o b l e m a s d i n â m i c o s .

L I U e C A M E R O N [ 1 7 5 ] r e s o l v e r a m a E B P d i n â m i c a a p r o x i m a n d o a f r e q ü ê n c i a

d e a g r e g a ç ã o p o r u m a s é r i e d e w a v e l e t s e m s i s t e m a s c o m a g r e g a ç ã o , c r e s c i m e n t o e

n u c l e a ç ã o s i m u l t â n e a . O f o c o d e s t e t r a b a l h o f o i a p r e d i ç ã o a c u r a d a d e d e s c o n t i n u i -

d a d e s , f o r n e c e n d o b o n s r e s u l t a d o s q u a n d o p o n t o s s u c i e n t e s d e c o l o c a ç ã o ( a c i m a d e

6 7 p a r a o c a s o d e f r e q ü ê n c i a d e a g r e g a ç ã o c o n s t a n t e ) f o r a m u s a d o s .

M A H O N E Y e R A M K R I S H N A [ 1 7 6 ] a p l i c a r a m o m é t o d o d e G a l e r k i n e m e l e m e n -

t o s n i t o s p a r a s i s t e m a s c o m p r e c i p i t a ç ã o e r e s s a l t a r a m a s d i c u l d a d e s a s s o c i a d a s

à s d e s c o n t i n u i d a d e s n o i n t e g r a n d o . R I G O P O U L O S e J O N E S [ 1 7 7 ] r e s o l v e r a m a

E B P d i n â m i c a u n i d i m e n s i o n a l i n c l u i n d o n u c l e a ç ã o , c r e s c i m e n t o , q u e b r a e a g r e g a -

ç ã o u s a n d o u m a f o r m u l a ç ã o d e c o l o c a ç ã o c o m e l e m e n t o s l i n e a r e s e u m a a p r o x i m a ç ã o

u p w i n d n o t e r m o d e c r e s c i m e n t o .

R e c e n t e m e n t e , o m é t o d o d o s r e s í d u o s p o n d e r a d o s c o m b a s e n o s m í n i m o s q u a d r a -

d o s f o i a p l i c a d o c o m s u c e s s o n a s o l u ç ã o d a E B P [ 1 7 8 , 1 7 9 ] , c o n s i d e r a n d o p r o b l e m a s

e s t a c i o n á r i o s p u r a m e n t e a d v e c t i v o s n o e s p a ç o [ 1 8 0 ] e c o m d e p e n d ê n c i a n o t e m p o

e e s p a ç o [ 1 8 1 ] . E s t a m e t o d o l o g i a s e e n c o n t r a e m u m a e t a p a a v a n ç a d a d e d e s e n -

v o l v i m e n t o , s e n d o p o s s í v e l c o n s i d e r a r o a c o p l a m e n t o d e s t e m é t o d o c o m m o d e l o s

m u l t i f á s i c o s .

O m é t o d o d e e l e m e n t o s n i t o s p o s s u i a s v a n t a g e n s d e c o n s e g u i r o b t e r u m a ó t i m a

c o n v e r g ê n c i a n u m é r i c a c o m b o a a c u r á c i a d a s o l u ç ã o e e x i s t e a i n d a a p o s s i b i l i d a d e d e

a d a p t a r a m a l h a a o p r o b l e m a . C o n t u d o , o a l t o c u s t o c o m p u t a c i o n a l i m p o s t o p e l o

c á l c u l o d a s i n t e g r a i s d u p l a s n a f o r m u l a ç ã o d e G a l e r k i n é c r i t i c o . E s t e s p r o b l e m a s

a u m e n t a m q u a n d o a s f u n ç õ e s d e q u e b r a e a g r e g a ç ã o d e p e n d e m d e u m a p r o p r i e d a d e




a s s o c i a d a à p o p u l a ç ã o , c o m o t e m p o o u e s p a ç o f í s i c o . U m a r e v i s ã o s o b r e o s m é t o d o s

d e r e s í d u o s p o n d e r a d o s p o d e s e r e n c o n t r a d a n a l i t e r a t u r a [ 2 8 , 1 8 2 ] .

3 . 2 . 3 M é t o d o d a s C l a s s e s

O m é t o d o d a s c l a s s e s o u d e o r d e m z e r o , c o m o c h a m a d o p o r K O S T O G L O U e K A R A -

B E L A S [ 1 8 3 ] , s e b a s e i a e m r e p r e s e n t a r a d i s t r i b u i ç ã o d a p o p u l a ç ã o e m u m n ú m e r o

n i t o d e c l a s s e s , f o r m a d o p e l a d i v i s ã o d o d o m í n i o d o t a m a n h o d a s p a r t í c u l a s e a d o t a r

u m v a l o r c o n s t a n t e d e t a m a n h o e m c a d a c l a s s e . D e s t a f o r m a é p o s s í v e l t r a n s f o r -

m a r a E B P i n t e g r o - d i f e r e n c i a l e m u m s i s t e m a d e e q u a ç õ e s d i f e r e n c i a i s c o m s o l u ç ã o

n u m é r i c a b e m e s t a b e l e c i d a . D e a c o r d o c o m K U M A R e R A M K R I S H N A [ 1 8 4 ] , o s

m é t o d o s d e o r d e m z e r o p o d e m s e r s e p a r a d o s e m d u a s v e r t e n t e s : o s i n t e r n a m e n t e

c o n s i s t e n t e s e a s m e t o d o l o g i a s d e d i s c r e t i z a ç ã o i n c o n s i s t e n t e s c o m r e s p e i t o à p r o p r i -

e d a d e i n t e g r a l a n a l i s a d a . A c o n s i s t ê n c i a i n t e r n a i m p l i c a q u e a d i s c r e t i z a ç ã o d a E B P

s u b m e t i d a a u m o p e r a d o r i n t e g r a l é i g u a l a f o r m a d i s c r e t a d e s t e o p e r a d o r a p l i c a d a

a E B P d i s c r e t i z a d a . A e c á c i a d e s t a t é c n i c a d e c o r r e d a o b t e n ç ã o r á p i d a e a c u r a d a

d e p r o p r i e d a d e s s e l e c i o n a d a s d a p o p u l a ç ã o , c o m o d i s t r i b u i ç ã o d e m a s s a , t a m a n h o ,

e t c . , d e a c o r d o c o m a a p l i c a ç ã o . A s s i m , o m é t o d o d a s c l a s s e s s e m o s t r a a p r o p r i a d o

p a r a p r o b l e m a s C F D e u m a r e v i s ã o m a i s d e t a l h a d a s o b r e e s t e a s s u n t o é d e s c r i t a n a

s e q ü ê n c i a .

O p r i m e i r o t r a b a l h o a u s a r u m a d i s c r e t i z a ç ã o d a E B P u t i l i z o u u m a m e t o d o l o g i a

r e l a t i v a m e n t e s i m p l e s , e m p r e g a n d o o t e o r e m a d o v a l o r m é d i o . H O U N S L O W e t

a l . [ 1 8 5 ] e s t u d o u a c o a l e s c ê n c i a d e g o t a s e m t a n q u e s a g i t a d o s u s a n d o o v o l u m e d a

p a r t í c u l a c o m o v a r i á v e l i n t e r n a d i s c r e t i z a d a e m u m a m a l h a g e o m é t r i c a c o m f a t o r

d e e x p a n s ã o i g u a l a 2

( υi+1 = 2υi ) . O a u t o r d e s e n v o l v e u u m c o n j u n t o d e e q u a ç õ e s

p a r a c o n s e r v a r n ú m e r o e m a s s a d e g o t a s e m s i s t e m a s c o m a g r e g a ç ã o p u r a , c o m o

m o s t r a d o n a E q . 3 . 2 0 , o n d e N i é o n ú m e r o d e p a r t í c u l a s n o p o n t o

id a m a l h a e

ai,j




é a f r e q ü ê n c i a d e a g r e g a ç ã o a p l i c a d a a p a r t í c u l a s n o s p o n t o s i

e j

d a m a l h a .

dN idt

= N i−1

i−2

j=12 j−i+1ai−1,jN j +

1

2ai−1,i−1N 2i−1

−N i

i−1 j=1

2 j−iai,jN j − N i

imax j=1

ai,jN j ( 3 . 2 0 )

A p r i n c i p a l d e s v a n t a g e m d e s t e m é t o d o é a s u a i n e x i b i l i d a d e e m t e r m o s d e m a -

l h a , q u e i m p o s s i b i l i t a o r e n a m e n t o d a s c l a s s e s . O u t r o f a t o r n e g a t i v o é a n e c e s -

s i d a d e d e d e s e n v o l v e r n o v a s e q u a ç õ e s p a r a c o n s e r v a r p r o p r i e d a d e s d a d i s t r i b u i ç ã o

d i f e r e n t e s d e m a s s a e n ú m e r o d e p a r t í c u l a s . L I S T E R e t a l . [ 1 8 6 ] e s t e n d e r a m o

m é t o d o d e H o u n s l o w p o s s i b i l i t a n d o o r e n o e m p r o g r e s s ã o g e o m é t r i c a d a s c l a s s e s

( vi+1/vi = 21/q

, o n d e q

é u m n ú m e r o i n t e i r o m a i o r q u e z e r o ) e H I L L e N G [ 1 8 7 ]

d e s e n v o l v e r a m e q u a ç õ e s s i m i l a r e s à E q . 3 . 2 0 p a r a q u e b r a c o m r e n o d e m a l h a . A

e x i b i l i d a d e d a m a l h a u t i l i z a n d o u m a f o r m u l a ç ã o v a r i a d a d o m é t o d o d e H o u n s l o w

f o i a l v o d o t r a b a l h o d e W Y N N [ 1 8 8 ] , q u e a p l i c o u o m é t o d o a p r o b l e m a s c o m a g r e -

g a ç ã o e r e a ç ã o . P o r é m , W Y N N [ 1 8 8 ] c o m e n t a s o b r e a n e c e s s i d a d e d e r e a l i z a r t e s t e s

d e m a l h a p a r a v e r i c a r s e e x i s t e p e r d a d e m a s s a n o ú l t i m o i n t e r v a l o d e v o l u m e . R e -

c e n t e m e n t e , A L E X O P O U L O S e t a l . [ 1 8 9 , 1 9 0 ] e s t u d a r a m e s q u e m a s n u m é r i c o s p a r a

r e s o l v e r a E B P c o m n u c l e a ç ã o , c r e s c i m e n t o e a g r e g a ç ã o s i m u l t â n e a u s a n d o c o l o c a ç ã o

o r t o g o n a l e m e l e m e n t o s n i t o s e o m é t o d o d e H o u n s l o w e s t e n d i d o p o r L I S T E R e t

a l . [ 1 8 6 ] . N o s c a s o s o n d e a t a x a d e c r e s c i m e n t o d e p a r t í c u l a s f o i a l t a , o s a u t o r e s

a p o n t a r a m a l g u m a s l i m i t a ç õ e s n a a c u r á c i a d a a b o r d a g e m n u m é r i c a p r o p o s t a p o r

H O U N S L O W e t a l . [ 1 8 5 ] q u a n d o c o m p a r a d o a o m é t o d o d e e l e m e n t o s n i t o s .

P a r a d r i b l a r o p r o b l e m a d e e x i b i l i d a d e d a m a l h a , K U M A R e R A M -

K R I S H N A [ 1 8 4 ] p r o p u s e r a m u m m é t o d o d e d i s c r e t i z a ç ã o c o m u m a a b o r d a g e m m a i s

g e r a l e e x í v e l d e v i d o à p o s s i b i l i d a d e d e u s a r m a l h a s m a i s g r o s s a s o u n a s e c o m

d i f e r e n t e s f a i x a s d e t a m a n h o . E s t a t é c n i c a c o n c e n t r a a p o p u l a ç ã o d e p a r t í c u l a s

c o m d e t e r m i n a d a f a i x a d e t a m a n h o e m t o r n o d e u m ú n i c o p o n t o ( c h a m a d o p i v ô o u

a b s c i s s a ) , x o n o e s p a ç o d a s v a r i á v e i s i n t e r n a s , u s a n d o u m a f u n ç ã o d e l t a d e D i r a c

( δ

) . O s u b d o m í n i o e n t r e d o i s p o n t o s d a m a l h a vi e

vi+1 é c h a m a d o d e s e ç ã o I i e

o t a m a n h o d e p a r t í c u l a n e s t a s e ç ã o é r e p r e s e n t a d o p e l o p o n t o n a m a l h a ξi ( a b s -




c i s s a ) t a l q u e vi < ξi < vi+1 . U m a r e p r e s e n t a ç ã o e s q u e m á t i c a d a m a l h a p o d e s e r

a n a l i s a d a n a F i g . 3 . 2 . C o n t u d o , e s t a a b o r d a g e m p o s s u i u m p r o b l e m a i n t r í n s e c o j á

q u e o s f e n ô m e n o s d e q u e b r a e a g r e g a ç ã o p o d e m l e v a r a p a r t í c u l a s c u j a p r o p r i e d a d e

n ã o p e r t e n c e a n e n h u m d o s p i v ô s r e p r e s e n t a t i v o s d a m a l h a , g e r a n d o p r o b l e m a s d e

i n a c u r á c i a n u m é r i c a d a s o l u ç ã o .

F i g u r a 3 . 2 : R e p r e s e n t a ç ã o d e c o m o a t é c n i c a d o p i v ô x o l i d a c o m a f o r m a ç ã o d e n o v a s

p a r t í c u l a s q u e n ã o c o i n c i d e m c o m u m p i v ô e x i s t e n t e ; • l i m i t e s d a s c l a s s e s , | p i v ô ( ξi ) ,

n o v a p a r t í c u l a f o r m a d a p o r a g r e g a ç ã o o u q u e b r a .

O c o n j u n t o d e e q u a ç õ e s n e c e s s á r i a s p a r a c o n s e r v a r o n ú m e r o e a m a s s a d a s

p a r t í c u l a s u s a n d o a t é c n i c a d o p i v ô x o e s t á c o l o c a d o a b a i x o , o n d e δ j,k r e p r e s e n t a

o d e l t a d e K r o n e c k e r e n

é o n ú m e r o d e p o n t o s d i s c r e t i z a d o s n a m a l h a .

dN idt

=

j≥kj,k

ξi−1≤(ξj+ξk)≤ξi+1

[1 −1

2δ j,k]ηia(ξ j, ξk)N jN k

−N i

nk

a(ξi, ξk)N k +nk

j≥k

κi,kb(ξi)N j − b(ξi)N i ( 3 . 2 1 )

o n d e

ηi =

ξi+1

−(ξj+ξ

k)

ξi+1−ξiq u a n d o ξi ≤ (ξ j + ξk) ≤ ξi+1

(ξj+ξk)−ξi−1ξi−ξi−1

q u a n d o ξi−1 ≤ (ξ j + ξk) ≤ ξi

( 3 . 2 2 )

e

κi,k =

ξi+1ξi

ξi+1 − v

ξi+1 − ξiP (v | ξk) dv +

ξiξi−1

v − ξi−1ξi − ξi−1

P (v | ξk) dv( 3 . 2 3 )

V a l e r e s s a l t a r q u e , q u a n d o u m a m a l h a d i s c r e t i z a d a e m v o l u m e c o m f a t o r g e o m é -

t r i c o i g u a l a 2

é u s a d a , a s E q s . 3 . 2 1 , 3 . 2 2 e 3 . 2 3 l e v a m a u m e q u a c i o n a m e n t o i d ê n t i c o

a o d e s c r i t o e m H O U N S L O W e t a l . [ 1 8 5 ] .




K U M A R e t a l . [ 1 9 1 ] e s t e n d e r a m a m e t o d o l o g i a d o p i v ô x o [ 1 8 4 ] a o c o n s i d e r a r

u m a n o v a a b o r d a g e m p a r a a r e d i s t r i b u i ç ã o d e p a r t í c u l a s g e r a d a s p o r a g r e g a ç ã o n a

m a l h a . E s t e m é t o d o c o n s i d e r a a m é d i a d o v o l u m e d a s p a r t í c u l a s p a r a d e n i r o

l o c a l o n d e a n o v a p a r t í c u l a g e r a d a s e r á a l o c a d a . A p e s a r d e m e l h o r a r a a c u r á c i a e

p o s s i b i l i t a r o u s o d e m a l h a s m a i s g e r a i s e m p r o c e s s o s d e a g r e g a ç ã o p u r a , o m é t o d o

é l i m i t a d o p o i s u s a a f o r m u l a ç ã o o r i g i n a l [ 1 8 4 ] p a r a t r a t a r a q u e b r a . R e c e n t e m e n t e ,

e s t e m é t o d o f o i e s t e n d i d o p a r a c a s o s m u l t i v a r i a d o s n a s p r o p r i e d a d e s i n t e r n a s d a

p a r t í c u l a [ 1 9 2 ] .

V A N N I [ 1 9 3 ] r e a l i z o u u m e x t e n s o e s t u d o c o m p a r a n d o a a c u r á c i a , f a c i l i d a d e d e

i m p l e m e n t a ç ã o e v e l o c i d a d e d e c á l c u l o d e d i v e r s o s m é t o d o s d e s o l u ç ã o p a r a E B P

e n v o l v e n d o q u e b r a e a g r e g a ç ã o . O s m é t o d o s f o r a m d i v i d i d o s d e v i d o à e x i b i l i d a d e

n a d i s c r e t i z a ç ã o : ( i ) m é t o d o s b a s e a d o s e m d i s c r e t i z a ç ã o x a [ 1 9 4 , 1 8 5 ] , ( i i ) m é t o d o s

q u e p e r m i t e m r e n a m e n t o d e m a l h a [ 1 9 5 , 1 9 6 , 1 8 6 , 1 8 4 , 1 9 7 ] . O s t e s t e s d e c o m p a -

r a ç ã o a d o t a r a m d i f e r e n t e s c o m b i n a ç õ e s d e f u n ç õ e s d e q u e b r a e a g r e g a ç ã o m o n t a n d o

u m t o t a l d e 10

c a s o s . O s m é t o d o s p r o p o s t o s p o r G E L B A R D e t a l . [ 1 9 5 ] e o p i v ô

x o d e K U M A R e R A M K R I S H N A [ 1 8 4 ] s e m o s t r a r a m m a i s r o b u s t o s e c o m m a i o r

v e r s a t i l i d a d e e m r e l a ç ã o a o s o u t r o s m é t o d o s . E n q u a n t o a i m p l e m e n t a ç ã o d o m é t o d o

d e G E L B A R D e t a l . [ 1 9 5 ] é c o m p l e x a e c u s t o s a , a t é c n i c a p i v ô x o é m a i s s i m p l e s

e a p r e s e n t o u m a i o r a c u r á c i a n o s c a s o s s i m u l a d o s .

K U M A R e R A M K R I S H N A [ 1 9 8 ] p r o p u s e r a m u m a n o v a a b o r d a g e m , c h a m a d a d e

m é t o d o d o p i v ô m ó v e l , p a r a s u p e r a r a f a l t a d e a c u r á c i a n a s p r e d i ç õ e s d e g r a d i e n t e s

a l t a m e n t e n ã o l i n e a r e s p r e s e n t e s n a d i s t r i b u i ç ã o . E s t a t é c n i c a p e r m i t e q u e a n ã o

u n i f o r m i d a d e d a d i s t r i b u i ç ã o e m c a d a s e ç ã o I i , p r o v o c a d a p e l o s e f e i t o s d e q u e b r a

o u a g r e g a ç ã o , s e j a m c o n s i d e r a d o s m u d a n d o a l o c a l i z a ç ã o d o p i v ô . E m o u t r a s p a -

l a v r a s , a g o r a o s p i v ô s s ã o q u a n t i d a d e s d i n â m i c a s e s u a s p o s i ç õ e s m u d a m c o n f o r m e

a d i s t r i b u i ç ã o v a r i a . A c o p l a d o à e q u a ç ã o d e c o n s e r v a ç ã o d o n ú m e r o d e p a r t í c u l a s ,

é n e c e s s á r i o d e d u z i r a s e q u a ç õ e s p a r a a s m u d a n ç a s d e p o s i ç ã o d o s p i v ô s , q u e s e

m o v i m e n t a m d e f o r m a a c o m p e n s a r a e v o l u ç ã o d a f u n ç ã o d e d i s t r i b u i ç ã o d e v i d o a s

n o v a s p a r t í c u l a s f o r m a d a s . A s e q u a ç õ e s q u e c o n s e r v a m m a s s a e n ú m e r o p e l a t é c n i c a




d o p i v ô m ó v e l e s t ã o c o l o c a d a s a b a i x o .

dN idt

=

j≥k

j,kvi≤(ξj+ξk)≤vi+1

[1 −1

2δ j,k]a(ξ j, ξk)N jN k

−N i

imaxk=1

a(ξi, ξk)N k +imax j≥i

b(ξi)N jB(1)i,j − b(ξi)N i ( 3 . 2 4 )

dξidt

=1

N i

j≥kj,k

vi≤(ξj+ξk)≤vi+1

[1 −1

2δ j,k][(ξ j + ξk) − ξi]a(ξ j, ξk)N jN k

−

1

N i

imax j≥i

b(ξi)N j[B(v)

i,j − ξiB(1)

i,j ]( 3 . 2 5 )

o n d e

B(1)i,j =

vi+1vi

P (v | ξ j) dv

B(v)i,j =

vi+1vi

vP (v | ξ j) dv( 3 . 2 6 )

A p e s a r d a a l t a a c u r á c i a d o m é t o d o , e s t e t e m a l t o c u s t o c o m p u t a c i o n a l q u a n d o

a v a r i a ç ã o d a d i s t r i b u i ç ã o n o e s p a ç o f í s i c o é c o n s i d e r a d a . A T T A R A K I e t a l . [ 1 9 9 ]

p r o p u s e r a m d o i s a l g o r i t m o s p a r a o t i m i z a r a l o c a l i z a ç ã o d o s p i v ô s n a m a l h a e m i n i -

m i z a r o e r r o d a d i s c r e t i z a ç ã o d a E B P a p l i c a d a a s i s t e m a s d e t a n q u e s a g i t a d o s e m

b a t e l a d a o u c o n t í n u o s . E s t e s a u t o r e s u s a r a m a t é c n i c a d o p i v ô m ó v e l e m o s t r a r a m

q u e a s e q u a ç õ e s d e d e n s i d a d e n u m é r i c a e a s e q u a ç õ e s d o p i v ô ( E q s . 3 . 2 4 e 3 . 2 5 ) p o -

d e r i a m s e r r e s o l v i d a s s e q ü e n c i a l m e n t e n o t e m p o q u a n d o o n ú m e r o d e c l a s s e s f o s s e

s u c i e n t e m e n t e a l t o .

N O P E N S e t a l . [ 2 0 0 ] r e a l i z a r a m s i m u l a ç õ e s p a r a c o m p a r a r a v e l o c i d a d e d e c á l -

c u l o d o s m é t o d o s d e H o u n s l o w , p i v ô x o e p i v ô m ó v e l e m p r o c e s s o s d e a g r e g a ç ã o o u

q u e b r a p u r a e a g r e g a ç ã o e q u e b r a s i m u l t â n e a u s a n d o d i f e r e n t e s c o n d i ç õ e s i n i c i a i s .

C o n t u d o , a s i m p l i c i d a d e d a s f u n ç õ e s q u e r e p r e s e n t a m e s t e s f e n ô m e n o s s ã o q u e s t i -

o n á v e i s p a r a s e r e m u s a d o s n a a v a l i a ç ã o d a a c u r á c i a d o s m é t o d o s . O s a u t o r e s n ã o

r e a l i z a r a m c o m p a r a ç õ e s d o s r e s u l t a d o s n u m é r i c o s s i m u l a d o s c o m s o l u ç õ e s a n a l í t i -

c a s . P a r a c o m p a r a r a s m e t o d o l o g i a s d e s o l u ç ã o , N O P E N S e t a l . [ 2 0 0 ] u s a r a m t r ê s




t a m a n h o s d e m a l h a c o m 25

( g r o s s e i r a ) , 31

e 46

( r e n a d a ) c l a s s e s e m e d i r a m o t e m p o

c o m p u t a c i o n a l a t é q u e a s i m u l a ç ã o a t i n g i s s e o e s t a d o e s t a c i o n á r i o . O s a u t o r e s d e s -

t a c a r a m a d e p e n d ê n c i a d o s r e s u l t a d o s c o m o m é t o d o n u m é r i c o u t i l i z a d o e o g r a u

d e r e n o d a m a l h a d e v i d o a o f e n ô m e n o d e e n c a r c e r a m e n t o d e p a r t í c u l a s e m a l g u m a

c l a s s e ( f o r a a ú l t i m a ) , o n d e a a g r e g a ç ã o e a q u e b r a n ã o s ã o m a i s p o s s í v e i s . P a r a

o c a s o d e a g r e g a ç ã o e q u e b r a c o m b i n a d a s , o m é t o d o d e H o u n s l o w a t i n g i u o e s t a d o

e s t a c i o n á r i o m a i s r á p i d o d o q u e t o d o s o s m é t o d o s , e n q u a n t o q u e o m é t o d o d o p i v ô

m ó v e l a p r e s e n t o u u m a l t o c u s t o c o m p u t a c i o n a l , a u m e n t a d o p r o p o r c i o n a l m e n t e c o m

o n ú m e r o d e c l a s s e s u s a d a s .

K U M A R e R A M K R I S H N A [ 2 0 1 ] c o m b i n a r a m o m é t o d o d a s c a r a c t e r í s t i c a s c o m

a t é c n i c a d o p i v ô m ó v e l q u e p e r m i t e a s o l u ç ã o d a E B P t r a n s i e n t e c o n s i d e r a n d o

c r e s c i m e n t o , n u c l e a ç ã o e a g r e g a ç ã o s i m u l t â n e a s e m d e p e n d ê n c i a e s p a c i a l . E l e s m o s -

t r a r a m o s p r o b l e m a s d e d i f u s ã o / d i s p e r s ã o n u m é r i c a q u e o c o r r e m a o a p l i c a r m é t o d o s

d e d i s c r e t i z a ç ã o s i m p l e s p a r a o t e r m o d e c r e s c i m e n t o e q u e t a i s p r o b l e m a s s ã o e l i m i -

n a d o s a o u s a r u m a m a l h a m ó v e l n o e s p a ç o d e c o o r d e n a d a s i n t e r n a s . E s t a f o r m u l a ç ã o

f o i a p l i c a d a p o r L E E e t a l . [ 2 0 2 ] p a r a s i m u l a r o s e f e i t o s d e c r e s c i m e n t o , q u e b r a e

a g r e g a ç ã o d e p a r t í c u l a s e m u m c r i s t a l i z a d o r d e s u l f a t o d e p o t á s s i o . E s t e s a u t o r e s

t a m b é m a c o p l a r a m u m m é t o d o d e a d a p t a ç ã o d a m a l h a [ 2 0 3 ] p a r a p r o b l e m a s c o m

n u c l e a ç ã o d e m o d o a a u m e n t a r a a c u r á c i a d a s o l u ç ã o . U m a f o r m u l a ç ã o m a i s g e r a l

f o i d e s e n v o l v i d a p o r C A M P O S e L A G E [ 1 5 ] , q u e i n c l u i a d e p e n d ê n c i a e s p a c i a l d a

E B P .

O t r a b a l h o d e H U e t a l . [ 2 0 4 ] d e s e n v o l v e u m a f o r m u l a ç ã o b a s e a d a e m d i f e r e n -

ç a s n i t a s p a r a r e s o l v e r E B P s h o m o g ê n e a s e m o n o v a r i a d a s . O a l g o r i t m o p a r t e d e

a p r o x i m a ç õ e s p o r s é r i e d e T a y l o r d a d e n s i d a d e d e p a r t í c u l a s p a r a o b t e r e x p r e s s õ e s

a l g é b r i c a s p a r a a e v o l u ç ã o t e m p o r a l d o n ú m e r o e v o l u m e d a s p a r t í c u l a s d a p o p u -

l a ç ã o e m u m d o m í n i o d i s c r e t i z a d o e m c l a s s e s . A s i n t e g r a i s d o s t e r m o s d e q u e b r a e

c o a l e s c ê n c i a d e v e m s e r a v a l i a d a s n o i n t e r v a l o d i s c r e t i z a d o d e c a d a c l a s s e e , p a r a t a l ,

o s a u t o r e s u s a r a m a q u a d r a t u r a d e G a u s s - L e g e n d r e . F o r a m a p r e s e n t a d o s r e s u l t a d o s

d e c a s o s c o m a g r e g a ç ã o e c r e s c i m e n t o s i m u l t â n e o s , q u e b r a p u r a e c r e s c i m e n t o e n u -




c l e a ç ã o s i m u l t â n e a , o n d e t o d o s p o s s u e m s o l u ç ã o a n a l í t i c a . U m a ó t i m a c o n c o r d â n c i a

e n t r e o s r e s u l t a d o s n u m é r i c o s e a n a l í t i c o s f o i o b t i d a , p o r é m o s f e n ô m e n o s s i m u l a d o s

e a s f u n ç õ e s d e q u e b r a e c o a l e s c ê n c i a f o r a m m u i t o s i m p l e s . P a r a a v a l i a r m e l h o r e s t e

m é t o d o , m a i s s i m u l a ç õ e s c o m f u n ç õ e s d e q u e b r a e c o a l e s c ê n c i a e s i t u a ç õ e s f í s i c a s

m a i s r e a l í s t i c a s d e v e m s e r r e a l i z a d a s .

3 . 2 . 4 M é t o d o d o s M o m e n t o s

U m a o u t r a a b o r d a g e m f a z u s o d o s m o m e n t o s d a d i s t r i b u i ç ã o d e p a r t í c u l a s p a r a s i m u -

l a r s i s t e m a s d i s p e r s o s d e f o r m a a p r o p r i a d a . D e m o d o g e r a l , a f u n ç ã o d e d i s t r i b u i ç ã o

d e p a r t í c u l a s é s i s t e m a t i c a m e n t e s u b s t i t u í d a p o r u m c o n j u n t o d e m o m e n t o s d e b a i x a

o r d e m q u e s ã o , n a g r a n d e m a i o r i a d o s c a s o s , s u c i e n t e s p a r a e s t i m a r a s p r o p r i e d a d e s

f í s i c a s d o s i s t e m a d i s p e r s o s i m u l a d o [ 2 0 5 ] . O m o m e n t o k

d e u m a d i s t r i b u i ç ã o e s t á

d e n i d o n a E q . 3 . 2 7 .

µk = ∞

0

vkf (x,v, t) dv( 3 . 2 7 )

O s m o m e n t o s f o r n e c e m d e t a l h e s i m p o r t a n t e s s o b r e a d e s c r i ç ã o e s t a t í s t i c a d a

p o p u l a ç ã o . O m o m e n t o d e o r d e m z e r o ( k = 0

) r e p r e s e n t a a d e n s i d a d e n u m é r i c a

t o t a l d a p o p u l a ç ã o ( n ú m e r o t o t a l d e p a r t í c u l a s p o r u n i d a d e d e v o l u m e ) , o m o m e n t o

d e p r i m e i r a o r d e m ( k = 1

) é a c o n s e r v a ç ã o d a s v a r i á v e i s i n t e r n a s d a p o p u l a ç ã o , e o s

m o m e n t o s f r a c i o n a i s , k = 1

3e

k = 23

f o r n e c e m r e s p e c t i v a m e n t e i n f o r m a ç õ e s s o b r e o

d i â m e t r o n u m é r i c o m é d i o e a á r e a s u p e r c i a l m é d i a .

O m é t o d o d o s m o m e n t o s ( M O M ) é u m a t é c n i c a p r o m i s s o r a q u e p o s s u i v a n t a g e n s

ú n i c a s a o s i m u l a r s i s t e m a s d i s p e r s o s d i n â m i c o s [ 1 3 4 , 2 0 6 ] . M O M é u m a m e t o d o l o g i a

q u e a c o m p a n h a d i r e t a m e n t e o s m o m e n t o s d e b a i x a o r d e m a o i n v é s d a d i s t r i b u i ç ã o

p r o p r i a m e n t e d i t a e , p o r t a n t o , n ã o n e c e s s i t a d e m a i o r e s c o n h e c i m e n t o s s o b r e a ú l -

t i m a . O M O M c o n v e n c i o n a l f o r m u l a a s e q u a ç õ e s p a r a a c o m p a n h a r a e v o l u ç ã o e m

u m a f o r m a f e c h a d a , o u s e j a , s ã o e q u a ç õ e s q u e s ó e n v o l v e m f u n ç õ e s d o s m o m e n t o s .

I n f e l i z m e n t e , e s t e m é t o d o s ó p o s s u i f o r m a f e c h a d a p a r a p o u c o s c a s o s . N a g r a n d e




m a i o r i a d a s s i t u a ç õ e s , a s e q u a ç õ e s q u e d e s c r e v e m a e v o l u ç ã o d o m o m e n t o µk e n v o l -

v e m m o m e n t o s d e m a i o r o r d e m c o m o µk+1 , d e i x a n d o o p r o b l e m a s e m f e c h a m e n t o

[ 1 3 4 ] o u c o m n e c e s s i d a d e d e f o r m a s m a t e m á t i c a s e s p e c i a i s p a r a r e p r e s e n t a r a l g u n s

f e n ô m e n o s , c o m o , p o r e x e m p l o , o c r e s c i m e n t o c o n t r o l a d o p e l a d i f u s ã o e e v a p o r a ç ã o

e c r e s c i m e n t o s i m u l t â n e o s [ 2 0 6 ] . A n e c e s s i d a d e d e u m a f o r m u l a ç ã o d e f e c h a m e n t o é

u m a r e s t r i ç ã o s e v e r a d e s t e m é t o d o e é a p r i n c i p a l r a z ã o d e s t e n ã o t e r r e c e b i d o m a i s

a t e n ç ã o d a c o m u n i d a d e a c a d ê m i c a . T r a b a l h o s m a i s r e c e n t e s r e s g a t a r a m o m é t o d o

d o s m o m e n t o s f o r m u l a n d o n o v a s p r o p o s t a s p a r a o f e c h a m e n t o d a s e q u a ç õ e s .

B A R R E T T e J H E E T A e t a l . [ 2 0 7 ] f o r m u l a r a m u m a f o r m a f u n c i o n a l d o s m o -

m e n t o s p a r a o f e c h a m e n t o d a s e q u a ç õ e s e a p l i c a r a m p a r a o p r o b l e m a d e a g r e g a ç ã o ,

c o n d e n s a ç ã o e r e m o ç ã o d e p a r t í c u l a s e m a e r o s ó i s . O s a u t o r e s a s s u m i r a m q u e o l o g a -

r i t m o n e p e r i a n o d o m o m e n t o ln(µk)

p o d e s e r e x p r e s s o p o r u m p o l i n ô m i o d e o r d e m

pe m

ke s e u s c o e c i e n t e s s ã o c a l c u l a d o s a o r e s o l v e r u m s i s t e m a d e

p + 1e q u a ç õ e s

d i f e r e n c i a i s n u m e r i c a m e n t e . C o n t u d o , s a b e - s e q u e a s a p r o x i m a ç õ e s p o l i n o m i a i s p o s -

s u e m a t e n d ê n c i a d e o s c i l a r e n t r e o s v a l o r e s a j u s t a d o s e n e m s e m p r e o s m o m e n t o s

d a d i s t r i b u i ç ã o p o d e m s e r a p r o x i m a d o s p e l a f o r m a c o l o c a d a p e l o s a u t o r e s .

3 . 2 . 5 M é t o d o s H í b r i d o s

O s m é t o d o s h í b r i d o s s ã o a s s i m c h a m a d o s p o i s p o s s u e m c a r a c t e r í s t i c a s d o s m é t o d o s

d a s c l a s s e s ( d i s c r e t i z a ç ã o d a v a r i á v e l i n t e r n a ) e d o s m o m e n t o s . N e s t a c l a s s i c a ç ã o ,

u m a a b o r d a g e m i n t i t u l a d a q u a d r a t u r e m e t h o d o f m o m e n t s ( Q M O M ) f o i p r o p o s t a

p o r M C G R A W [ 2 0 8 ] , o n d e a s e q u a ç õ e s d i n â m i c a s p a r a a e v o l u ç ã o d o s m o m e n t o s

s ã o s u b s t i t u í d a s p o r u m c o n j u n t o d e a p r o x i m a ç õ e s b a s e a d a s e m q u a d r a t u r a . E s t a

f o r m u l a ç ã o s a t i s f a z a c o n d i ç ã o d e f e c h a m e n t o p a r a u m a a m p l a f a i x a d e p r o b l e m a s

s e m a n e c e s s i d a d e d e a s s u m i r u m a f o r m a m a t e m á t i c a e s p e c i a l p a r a r e p r e s e n t a r a

d i s t r i b u i ç ã o d e t a m a n h o o u o c r e s c i m e n t o d e p a r t í c u l a s . A e s s ê n c i a d o f e c h a m e n t o

b a s e a d o e m q u a d r a t u r a e n c o n t r a - s e n o f a t o d e q u e a s a b s c i s s a s ξα e o s p e s o s wα

s e j a m c o m p l e t a m e n t e e s p e c i c a d o s e m t e r m o s d o s m o m e n t o s d e m e n o r o r d e m d a




f u n ç ã o d e d i s t r i b u i ç ã o . D e s t a f o r m a , o s p e s o s e a b s c i s s a s r e p r e s e n t a m a f u n ç ã o d e

d i s t r i b u i ç ã o d a m e l h o r f o r m a p o s s í v e l e , e m c o n t r a s t e c o m o m é t o d o d a s c l a s s e s , a s

a b s c i s s a s p o d e m s e m o v e r l i v r e m e n t e p o r t o d o o d o m í n i o d a v a r i á v e l i n t e r n a s e m

l i m i t a ç õ e s o u r e s t r i ç õ e s .

A f o r m u l a ç ã o b á s i c a p r o p o s t a p o r M C G R A W [ 2 0 8 ] a d m i t e u m a d i s t r i b u i ç ã o

m o n o v a r i a d a s e m d e p e n d ê n c i a c o m v a r i á v e i s e x t e r n a s . A E q . 3 . 2 8 m o s t r a a a p r o -

x i m a ç ã o d o s m o m e n t o s p o r u m a q u a d r a t u r a c o m n

p o n t o s p a r a 2n

m o m e n t o s

(

k = 0 . . . 2n − 1) .

µk = ∞0 v

k

f (v, t) dv =

nα=1

ξk

αwα( 3 . 2 8 )

D e s t e m o d o , o s p r i m e i r o s

2nm o m e n t o s p o d e m s e r d e t e r m i n a d o s a p a r t i r d e

n

a b s c i s s a s e n

p e s o s . C o n t u d o , o i n v e r s o , i s t o é , a o b t e n ç ã o d o s p e s o s e a b s c i s s a s

a p a r t i r d o s m o m e n t o s , c o m o c o l o c a d o n a E q . 3 . 2 8 , r e q u e r u m m é t o d o d e s o l u ç ã o

p a r a e q u a ç õ e s n ã o l i n e a r e s e e s t e p r o c e d i m e n t o n ã o é r e c o m e n d a d o d e v i d o a o c u s t o

c o m p u t a c i o n a l . U m a a b o r d a g e m m a i s a p r o p r i a d a é o a l g o r i t m o P r o d u t o - D i f e r e n ç a

( P D ) [ 2 0 9 ] , q u e u s a o s m o m e n t o s p a r a c o n s t r u i r u m a m a t r i z t r i d i a g o n a l d a q u a l o s

p e s o s e a b s c i s s a s p o d e m s e r o b t i d o s .

A i d é i a b á s i c a d o Q M O M é c a l c u l a r o s t e r m o s f o n t e d a E B P u s a n d o a q u a d r a -

t u r a , a v a l i a n d o o s p e s o s e a b s c i s s a s a o l o n g o d a e v o l u ç ã o t e m p o r a l d o s m o m e n t o s .

M C G R A W [ 2 0 8 ] e s t u d o u a s i m u l a ç ã o m o n o v a r i a d a d o c r e s c i m e n t o d e g o t a s d e á c i d o

s u l f ú r i c o d i l u í d o e m a e r o s ó i s e c o m p a r o u o s r e s u l t a d o s f o r n e c i d o s p e l a s o l u ç ã o e x a t a

d o p r o b l e m a c o m a s s o l u ç õ e s n u m é r i c a s o b t i d a s p e l o m é t o d o d o s m o m e n t o s c o m

f e c h a m e n t o s p o r s é r i e d e L a g u e r r e [ 1 3 4 ] e p o r q u a d r a t u r a ( Q M O M ) u t i l i z a n d o 6

m o m e n t o s ( µ0

µ5 ) p a r a r e p r e s e n t a r a d i s t r i b u i ç ã o d e t a m a n h o . A e v o l u ç ã o d o s m o -

m e n t o s d e m e n o r o r d e m ,

µ1

µ2 , e m a m b o s o s m é t o d o s n u m é r i c o s a c o m p a n h a r a m a

s o l u ç ã o e x a t a , p o r é m s o m e n t e o Q M O M c o n s e g u i u a c o m p a n h a r a e v o l u ç ã o d o s m o -

m e n t o s d e m a i o r o r d e m , µ3

µ5 . O e r r o e m r e l a ç ã o à s o l u ç ã o e x a t a p e l o f e c h a m e n t o

d e L a g u e r r e a u m e n t a j u n t o c o m a o r d e m d o s m o m e n t o s .

M A R C H I S I O e t a l . [ 2 1 0 ] e s t e n d e r a m o Q M O M p a r a i n c l u i r a q u e b r a d e p a r t í -




c u l a s e a n a l i s a r a m d i f e r e n t e s c o m b i n a ç õ e s d e c o n d i ç õ e s i n i c i a i s d e d i s t r i b u i ç ã o d e

p a r t í c u l a s e f u n ç õ e s d e a g r e g a ç ã o e q u e b r a . A s p r e d i ç õ e s d e d e n s i d a d e n u m é r i c a

t o t a l d e p a r t í c u l a s (

µ0 ) e t a m a n h o m é d i o d e p a r t í c u l a s (

d34 = µ4/µ3 ) f o r a m c o m -

p a r a d a s c o m a s o l u ç ã o r i g o r o s a d a E B P f o r n e c i d a p o r V A N N I [ 1 9 3 ] u t i l i z a n d o u m

g r a n d e n ú m e r o d e c l a s s e s ( a p r o x i m a d a m e n t e 2 0 0 0 ) . O n ú m e r o d e v a r i á v e i s e s c a l a r e s

n e c e s s á r i a s p a r a r e s o l v e r a E B P p e l o Q M O M é m u i t o i n f e r i o r c o m p a r a d o a o m é t o d o

d a s c l a s s e s o b t e n d o a m e s m a a c u r á c i a .

A f o r m u l a ç ã o d o Q M O M o b t i d a p o r M A R C H I S I O e t a l . [ 2 1 0 ] p a r a a e v o l u ç ã o d e

2nm o m e n t o s c o n t e n d o o s t e r m o s d e q u e b r a e a g r e g a ç ã o e s t á c o l o c a d a n a E q . 3 . 2 9

e a E q . 3 . 3 0 c o n t é m o s m o m e n t o s d a d e n s i d a d e d e p r o b a b i l i d a d e d e q u e b r a .

∂µk

∂t=

1

2

nα=1

nβ =1

(ξα + ξβ )

k − ξkα − ξkβ

a(ξα, ξβ )wαwβ

+n

α=1

b(ξα)wα

ϑ(ξα)πk(ξα) − ξkα

( 3 . 2 9 )

o n d e

πk(ξα) = ξα0

vkP (v | ξα) dv( 3 . 3 0 )

A p e s a r d e t u d o , Q M O M p o s s u i d o i s f a t o r e s l i m i t a n t e s : ( i ) s e a p l i c a d o a d i s t r i -

b u i ç õ e s m u l t i v a r i a d a s , o m é t o d o p e r d e s u a s i m p l i c i d a d e e e c i ê n c i a c o m p u t a c i o n a l ,

e ( i i ) a o a c o m p a n h a r a p e n a s o s m o m e n t o s d a d i s t r i b u i ç ã o d e p a r t í c u l a s , o m é t o d o

n ã o r e p r e s e n t a d e f o r m a r e a l í s t i c a s i s t e m a s p o l i d i s p e r s o s c o m f o r t e a c o p l a m e n t o

e n t r e a s v a r i á v e i s i n t e r n a s e a s v e l o c i d a d e s d a s f a s e s . D e f o r m a a d r i b l a r e s s e s f a -

t o r e s , M A R C H I S I O e F O X [ 2 1 1 ] a p r e s e n t a m u m a m e t o d o l o g i a d e r i v a d a a p a r t i r

d o Q M O M , i n t i t u l a d a D i r e c t Q u a d r a t u r e M e t h o d O f M o m e n t s ( D Q M O M ) . O D Q -

M O M é b a s e a d o n a i d é i a d e a c o m p a n h a r d i r e t a m e n t e o s p e s o s e a b s c i s s a s p r e s e n t e s

n a a p r o x i m a ç ã o d e q u a d r a t u r a a o i n v é s d e a c o m p a n h a r o s m o m e n t o s d a d i s t r i b u i ç ã o

p r o p r i a m e n t e d i t o s . C o m o n o Q M O M , a f u n ç ã o d e d i s t r i b u i ç ã o é u n i c a m e n t e a p r o -

x i m a d a c o m o o s o m a t ó r i o d e f u n ç õ e s d e l t a d e D i r a c m u l t i d i m e n s i o n a i s . A E q . 3 . 3 1

m o s t r a a a p r o x i m a ç ã o m o n o v a r i a d a p a r a a f u n ç ã o d e d i s t r i b u i ç ã o d e t a m a n h o p e l a




f o r m u l a ç ã o d o D Q M O M .

f (x, v , t) =n

α=1

wα(x, t)δ[v − ξα(x, t)]( 3 . 3 1 )

E s t a f o r m a f u n c i o n a l p o d e s e r a n a l i s a d a c o m o u m c o n j u n t o d e n

f a s e s d i s p e r s a s

e c a d a f a s e é c a r a c t e r i z a d a p o r u m p e s o wα e u m a a b s c i s s a

ξα , q u e r e p r e s e n t a m a

d e n s i d a d e n u m é r i c a e o v a l o r d a p r o p r i e d a d e c o n s i d e r a d a e m c a d a f a s e d i s p e r s a . A

f o r m u l a ç ã o d o D Q M O M s e b a s e i a n a s u b s t i t u i ç ã o d a E q . 3 . 3 1 d i r e t a m e n t e n a E B P

( E q . 3 . 3 ) q u e a p ó s a l g u m a m a n i p u l a ç ã o c a n a f o r m a m o s t r a d a n a E q . 3 . 3 2 , o n d e

ς α = wαξαé a a b s c i s s a p o n d e r a d a ,

uαé a v e l o c i d a d e c a r a c t e r í s t i c a a s s o c i a d a c o m a

f a s e α

e δ

e δ

s ã o a s p r i m e i r a s e s e g u n d a s d e r i v a d a s d a f u n ç ã o g e n e r a l i z a d a δ

.

nα=1

δ[v − ξα(x, t)]

∂wα

∂t+ · (uαwα) − · [Dxwα]

−n

α=1

δ[v − ξα(x, t)]

∂ς α∂t

+ · (uα) − · [Dxς α]

+n

α=1

δ[v − ξα(x, t)]ξα ∂wα

∂t

+ · (uαwα) − · [Dxwα]−

nα=1

δ[v − ξα(x, t)]Dxwα(ξα) · (ξα) = H (x, v , t)( 3 . 3 2 )

D e n e - s e θα e

κα c o m o t e r m o s f o n t e d a s e q u a ç õ e s d e t r a n s p o r t e d o D Q M O M

p a r a o s p e s o s e a b s c i s s a s p o n d e r a d a s .

∂wα

∂t+ · (uαwα) − · [Dxwα] = θα

∂ς α∂t

+ · (uας α) − · [Dxς α] = κα ( 3 . 3 3 )

D e n e - s e a i n d a C α n a s e q ü ê n c i a .

C α = Dxwα(ξα) · (ξα)( 3 . 3 4 )

N o t e q u e , q u a n d o n ã o e x i s t e t e r m o d i s p e r s i v o ,

C αa s s u m e v a l o r n u l o p a r a t o d a s

a s f a s e s .




U s a n d o a s d e n i ç õ e s d a s E q s . 3 . 3 3 e 3 . 3 4 e a p l i c a n d o u m a t r a n s f o r m a ç ã o n a

E q . 3 . 3 2 q u e c o n s i s t e e m m u l t i p l i c á - l a p o r vk

e i n t e g r á - l a , c h e g a - s e à E q . 3 . 3 5 .

(1 − k)

nα=1

ξkαθα + k

nα=1

ξk−1α κα = H (n)k + C k ( 3 . 3 5 )

o n d e o s t e r m o s f o n t e s ã o d e n i d o s p o r

H (n)k =

∞0

vkH (x, v , t) dv( 3 . 3 6 )

e

C k = k(k − 1)n

α=1

ξk−2α C α ( 3 . 3 7 )

A E q . 3 . 3 5 f o r m a u m s i s t e m a l i n e a r d e e q u a ç õ e s q u e d e v e s e r r e s o l v i d o n u m e r i -

c a m e n t e e m c a d a n ó d a m a l h a d a s v a r i á v e i s e x t e r n a s e m c a d a p a s s o d e t e m p o p a r a

o b t e r o s t e r m o s f o n t e s θα e

κα , n e c e s s á r i o s p a r a r e s o l v e r a s E q s . 3 . 3 3 . O t r a b a l h o

d e M A R C H I S I O e F O X [ 2 1 1 ] d e s e n v o l v e a f o r m u l a ç ã o p a r a o s c a s o s d e c r e s c i m e n t o ,

d i s p e r s ã o , n u c l e a ç ã o , a g r e g a ç ã o e q u e b r a h o m o g ê n e o s m o n o v a r i a d o s , d i f u s ã o p u r a

m o n o v a r i a d a e e s t e n d e a a g r e g a ç ã o h o m o g ê n e a e o c r e s c i m e n t o c o m d e p e n d ê n c i a

e s p a c i a l p a r a c a s o s b i v a r i a d o s . O s a u t o r e s a i n d a c o l o c a m a f o r m u l a ç ã o d o D Q M O M

p a r a c a s o s m u l t i v a r i a d o s , c o n t u d o n ã o a p r e s e n t a m t e s t e s c o m e s t a ú l t i m a .

U m a m e t o d o l o g i a d e r i v a d a d o m é t o d o d a s c l a s s e s c h a m a d a P a r a l l e l P a r e n t a n d

D a u g t h e r C l a s s e s ( P P D C ) f o i d e s e n v o l v i d a r e c e n t e m e n t e p o r B O V E e t a l . [ 2 1 2 ] . O

c o n c e i t o d e s t e m é t o d o é u m a d e c o m p o s i ç ã o d e o p e r a d o r e s a l i a d a a o u s o d e v á r i a s

m a l h a s p a r a a s p a r t í c u l a s n a s c i d a s . D e s t a f o r m a , o s e f e i t o s d e n a s c i m e n t o e m o r t e

( p o r q u e b r a e a g r e g a ç ã o ) d e p a r t í c u l a s s ã o s e p a r a d o s e m d i f e r e n t e s m a l h a s . O s

a u t o r e s u t i l i z a r a m f u n ç õ e s d e D i r a c p a r a d e c o m p o r a f u n ç ã o d e d i s t r i b u i ç ã o e m t r ê s

c o m p o n e n t e s , q u e s e r e f e r e m a u m a m a l h a p a r a a s c l a s s e s d e p a r t í c u l a m ã e , M

m a l h a s p a r a a s c l a s s e s d e l h a s g e r a d a s p o r q u e b r a e M (M + 1)/2

m a l h a s p a r a a s

c l a s s e s l h a s g e r a d a s p e l o p r o c e s s o d e a g r e g a ç ã o . E s s a s m a l h a s e s t ã o s u p e r p o s t a s

( p a r a l e l a s ) n o d o m í n i o d a c o o r d e n a d a i n t e r n a . B O V E e t a l . [ 2 1 2 ] p a r t i r a m d e u m a

d i s c r e t i z a ç ã o p o r E u l e r e x p l í c i t o n o t e m p o p a r a o b t e r a s E q s . 3 . 3 8 , 3 . 3 9 e 3 . 4 0

r e f e r e n t e s a c a d a c o m p o n e n t e d a f u n ç ã o d e d i s t r i b u i ç ã o , o n d e

N α ,

Aαβ e

B(α)γ s ã o




r e s p e c t i v a m e n t e a s d e n s i d a d e s n u m é r i c a s d e p a r t í c u l a s p a r a a c l a s s e m ã e α

, p a r a a

c l a s s e d e l h a αβ

g e r a d a p o r a g r e g a ç ã o d e p a r t í c u l a s p r e s e n t e s n a s c l a s s e s m ã e α

e

β e p a r a a c l a s s e d e l h a

γ g e r a d a p o r q u e b r a d e u m a p a r t í c u l a p r e s e n t e n a c l a s s e

m ã e α

.

N α(tn+1) − N α(tn)

∆t= −N α(tn)

M β =1

a(ξα, ξβ )N β (tn) − b(ξα)N α(tn),( 3 . 3 8 )

α = 1, . . . , M

Aαβ (tn+1) − Aαβ (tn)

∆t=

1 −

1

2δαβ

a(ξα, ξβ )N α(tn),( 3 . 3 9 )

α, β = 1, . . . , M , β ≥ α

B(α)γ (tn+1) − B

(α)γ (tn)

∆t= ϑαb(ξα)N α(tn)

v(α)γ+1

v(α)γ

P (v | ξα) dv,( 3 . 4 0 )

α = 1, . . . , M, γ = 1, . . . , N B(α)

A p ó s r e s o l v e r o s i s t e m a d a s E q s . 3 . 3 8 à 3 . 4 0 , a f u n ç ã o d e d i s t r i b u i ç ã o e x p a n d i d a

d e t a m a n h o d e p a r t í c u l a s n o t e m p o tn+1 p o d e s e r c a l c u l a d a p e l a E q . 3 . 4 1 , o n d e yαβ

e z(α)γ s ã o a s a b s c i s s a s n a s m a l h a s d e a g r e g a ç ã o e q u e b r a r e s p e c t i v a m e n t e .

f E (v, tn+1) =M α=1

N α(tn+1)δ(v − ξα) +M α=1

M β =1

Aαβ (tn+1)δ(v − yαβ )

+M α=1

NB(i)γ =1

B(α)γ (tn+1)δ(v − z(α)γ )

( 3 . 4 1 )

C o n t u d o , a c a d a i t e r a ç ã o n o t e m p o é n e c e s s á r i o e x p r e s s a r a f u n ç ã o d e d i s t r i b u i ç ã o

e x p a n d i d a e m M

c l a s s e s ( m a l h a i n i c i a l p a r a o p r ó x i m o p a s s o d e i n t e g r a ç ã o ) e o b t e r

o s m o m e n t o s d a d i s t r i b u i ç ã o u s a n d o a E q . 3 . 2 8 . E s t e p r o c e d i m e n t o r e s u l t a e m u m

s i s t e m a d e e q u a ç õ e s n ã o l i n e a r e s e m N n+1α e

ξk,n+1α . O s a u t o r e s s u g e r e m o m é t o d o

d e G O R D O N [ 2 0 9 ] p a r a r e s o l v e r t a l s i s t e m a d e v i d o à s u a e c i ê n c i a e r o b u s t e z .

B O V E e t a l . [ 2 1 2 ] c o m p a r a r a m s i m u l a ç õ e s d o P P D C c o m a s o l u ç ã o a n a l í t i c a d e

M C C O Y e M A D R A S [ 1 6 0 ] e o r e s u l t a d o d o m é t o d o n u m é r i c o d e K U M A R e R A M -

K R I S H N A [ 1 9 8 ] p a r a t r ê s c a s o s u s a n d o d i f e r e n t e s f u n ç õ e s d e a g r e g a ç ã o e q u e b r a .




O s a u t o r e s n ã o r e l a t a m o p a s s o d e t e m p o a d o t a d o n a s s i m u l a ç õ e s . O s r e s u l t a d o s

o b t i d o s p e l o P P D C o b t i v e r a m ó t i m a c o n c o r d â n c i a c o m a s o l u ç ã o a n a l í t i c a , m e s m o

u t i l i z a n d o u m p e q u e n o n ú m e r o d e c l a s s e s . N o s e g u n d o c a s o a n a l i s a d o , f o r a m r e a -

l i z a d a s c o m p a r a ç õ e s e n t r e o s r e s u l t a d o s o b t i d o s p e l o P P D C ( 2

a 4

c l a s s e s ) e p e l o

m é t o d o d o p i v ô m ó v e l [ 1 9 8 ] ( 90

c l a s s e s ) . N e s t e c a s o , a s s i m u l a ç õ e s u s a n d o d i f e -

r e n t e s c l a s s e s n o P P D C c o n v e r g i r a m e n t r e s i , p o r é m c o m g r a n d e d i s c o r d â n c i a d o s

r e s u l t a d o s f o r n e c i d o s p e l o m é t o d o d o p i v ô m ó v e l . O s a u t o r e s n ã o c o m e n t a m e s s e

f a t o a p e s a r d a s i m p l i c i d a d e d a s f u n ç õ e s d e q u e b r a e a g r e g a ç ã o d e s t e c a s o . U m a

p o s s í v e l s o l u ç ã o s e r i a a u m e n t a r o n ú m e r o d e c l a s s e s n o m é t o d o d e K U M A R e R A M -

K R I S H N A [ 1 9 8 ] p a r a a v a l i a r a c o n v e r g ê n c i a d a s o l u ç ã o f o r n e c i d a p e l o m e s m o . U m a

d a s g r a n d e s d e s v a n t a g e n s d o P P D C e s t á e m s u a f o r m u l a ç ã o b á s i c a , q u e p a r t e d a

i n t e g r a ç ã o n u m é r i c a p o r E u l e r e x p l í c i t o .

A t u a l m e n t e , o d e s e n v o l v i m e n t o d o s m é t o d o s h í b r i d o s p a s s o u a f o c a r o s c a s o s m u l -

t i v a r i a d o s , e m e s p e c i a l u s a n d o o Q M O M e D Q M O M . O p r i m e i r o e s t u d o a p l i c a n d o

o Q M O M e m c a s o s m u l t i v a r i a d o s [ 2 1 3 ] u t i l i z o u o v o l u m e e a á r e a s u p e r c i a l d a s

p a r t í c u l a s c o m o v a r i á v e i s i n t e r n a s p a r a o c a s o d e a g r e g a ç ã o p u r a . N e s t a s i t u a ç ã o ,

o s p e s o s e a b s c i s s a s n ã o p o d e m s e r o b t i d o s p e l o a l g o r i t m o P D e f o r a m c a l c u l a d o s

p e l o m é t o d o d o g r a d i e n t e c o n j u g a d o p r o p i c i a n d o u m m a i o r c u s t o c o m p u t a c i o n a l . O s

r e s u l t a d o s u t i l i z a n d o 1 2 p o n t o s d e q u a d r a t u r a f o r a m c o m p a r a d o s à s i m u l a ç ã o p o r

M o n t e C a r l o a p r e s e n t a n d o r e s u l t a d o s c o n c o r d a n t e s . M C G R A W e W R I G H T [ 2 1 4 ]

a p r e s e n t a r a m u m a n o v a m e t o d o l o g i a d e r i v a d a d o Q M O M p a r a o f e c h a m e n t o d o s

m o m e n t o s , c h a m a d a d e T r a n s f o r m a ç ã o d a M a t r i z J a c o b i a n a ( T M J ) , c o m o o b j e t i v o

d e t r a t a r m i s t u r a s m u l t i c o m p o n e n t e s e m a e r o s ó i s . C o n t u d o , o s a u t o r e s r e l a c i o n a r a m

o s m o m e n t o s d a s c o m p o s i ç õ e s d a s p a r t í c u l a s c o m o s m o m e n t o s d a d i s t r i b u i ç ã o t o t a l

d e m a s s a e , p o r t a n t o , r e a l i z a r a m a p e n a s s i m u l a ç õ e s m o n o v a r i a d a s p a r a a c o m p a n h a r

a e v o l u ç ã o d a p o p u l a ç ã o .

N a s e q u ê n c i a d e t r a b a l h o s d e Y O O N e M C G R A W [ 2 1 5 , 2 1 6 ] f o i i n t r o d u z i d a u m a

f o r m u l a ç ã o m u l t i v a r i a d a d o Q M O M a c o p l a d a a o a l g o r i t m o d e a n á l i s e d o s p r i n c i p a i s

c o m p o n e n t e s d a p o p u l a ç ã o [ 2 1 7 , 2 1 8 ] d e m o d o a a c o m p a n h a r o s m o m e n t o s c o m b i -



3 . 3 A c o p l a m e n t o C F D - E B P 6 9

n a d o s p a r a c o m p o s i ç ã o d a s p a r t í c u l a s . O a l g o r i t m o d e a n á l i s e d o s p r i n c i p a i s c o m p o -

n e n t e s f o r n e c e u m t é c n i c a p a r a e x t r a i r a s c o m b i n a ç õ e s l i n e a r e s n ã o - c o r r e l a c i o n a d a s

q u e m e l h o r c a r a c t e r i z a m a f u n ç ã o d e d i s t r i b u i ç ã o . N e s t e c a s o , o a l g o r i t m o é u s a d o

p a r a e n c o n t r a r o n ú m e r o d e p o n t o s d e q u a d r a t u r a e s u a l o c a l i z a ç ã o ó t i m a p a r a

o b t e r o s m o m e n t o s c o m b i n a d o s . O m é t o d o é a p l i c a d o a u m a d i v e r s i d a d e d e e x e m -

p l o s c o m o , a c o n d e n s a ç ã o e a c o a g u l a ç ã o m u l t i c o m p o n e n t e ( e f e i t o s s e p a r a d o s ) e a

c o a g u l a ç ã o e s i n t e r i z a ç ã o b i v a r i a d a e m á r e a e v o l u m e ( e f e i t o s c o m b i n a d o s ) . O s r e -

s u l t a d o s f o r a m c o m p a r a d o s c o m a s s i m u l a ç õ e s n u m é r i c a s d e W R I G H T e t a l . [ 2 1 3 ]

a p r e s e n t a n d o b o a c o n c o r d â n c i a .

F O X [ 2 1 9 ] d e m o n s t r o u a e q u i v a l ê n c i a d o D Q M O M c o m o Q M O M a p l i c a d o a o s

m e s m o s c a s o s b i v a r i a d o s t r a t a d o p o r W R I G H T e t a l . [ 2 1 3 ] . E m c a s o s s e m d e p e n -

d ê n c i a e s p a c i a l , a s o l u ç ã o p e l o D Q M O M é e q u i v a l e n t e à T M J [ 2 1 4 ] u s a d o p a r a o b t e r

o s m o m e n t o s . E m c o n t r a s t e , a d e p e n d ê n c i a e s p a c i a l p r o d u z t e r m o s f o n t e s q u e c o n -

s i d e r a m o s e f e i t o s r e f e r e n t e s a o s g r a d i e n t e s d o s p e s o s e a b s c i s s a s . E s t e s t e r m o s n ã o

p o d e m s e r d e s p r e z a d o s n a f o r m u l a ç ã o b i v a r i a d a d o D Q M O M , c o m p e n a d e p r e d i z e r

i n c o r r e t a m e n t e o s m o m e n t o s .

C o m o d i s c u t i d o n o t r a b a l h o d e D I E M E R e O L S O N [ 2 2 0 ] , o d e s e n v o l v i m e n t o d e

s o l u ç õ e s e c i e n t e s b a s e a d a s n o m é t o d o d o s m o m e n t o s a b r i r á p o r t a s à m o d e l a g e m d e

p r o c e s s o s b i v a r i a d o s e e s p a c i a l m e n t e n ã o - h o m o g ê n e o s j á q u e o a c o p l a m e n t o C F D -

E B P u s a n d o m é t o d o s s e c c i o n a i s a i n d a s ã o c o m p u t a c i o n a l m e n t e i n t e n s i v o s . C o n -

t u d o , u m e s t u d o m a i s a p r o f u n d a d o d o s m é t o d o s m u l t i v a r i a d o s f o g e d o e s c o p o d e s t e

t r a b a l h o .

3 . 3 A c o p l a m e n t o C F D - E B P

S e p a r a d a m e n t e , a s t é c n i c a s n u m é r i c a s p a r a C F D e E B P s ã o c a m p o s d e p e s q u i s a

m u i t o a t i v o s . C o n t u d o , o a c o p l a m e n t o d e s t a s t é c n i c a s s e t o r n a n e c e s s á r i o a o c o n s i -

d e r a r d e f o r m a m a i s r i g o r o s a o s e f e i t o s d o s f e n ô m e n o s r e l a c i o n a d o s à s p a r t í c u l a s ( p o r




e x e m p l o , q u e b r a e a g r e g a ç ã o ) . D e s t a f o r m a , a E B P d e v e s e r r e s o l v i d a j u n t o c o m a s

e q u a ç õ e s d a c o n t i n u i d a d e e d e b a l a n ç o d e q u a n t i d a d e d e m o v i m e n t o m u l t i f á s i c a s .

E s t a s e ç ã o t e m o o b j e t i v o d e m o s t r a r a t e o r i a e f o r m u l a ç ã o d a s t é c n i c a s d e a c o -

p l a m e n t o C F D - E B P e a p r e s e n t a r u m a r e v i s ã o d a l i t e r a t u r a r e f e r e n t e à s a p l i c a ç õ e s

m u l t i f á s i c a s a c o p l a d a s a o b a l a n ç o p o p u l a c i o n a l .

3 . 3 . 1 F u n d a m e n t o s d o A c o p l a m e n t o

A f o r m a m a i s g e r a l d o a c o p l a m e n t o d a E B P c o m o m o d e l o E u l e r i a n o m u l t i f á s i c o

c o n s i d e r a q u e t o d a s a s c l a s s e s d e p a r t í c u l a s s ã o t r a t a d a s c o m o f a s e s d i s p e r s a s c o m -

p l e t a m e n t e i n d e p e n d e n t e s . A s s i m , c a d a f a s e é c a r a c t e r i z a d a p o r u m a c l a s s e d i s t i n t a

c o m u m d i â m e t r o d e p a r t í c u l a e p o s s u i c a m p o s d e v e l o c i d a d e e f r a ç ã o v o l u m é t r i c a

p r ó p r i o s . D e f o r m a n a t u r a l , e s t a s c a r a c t e r í s t i c a s f a z e m c o m q u e a s a b o r d a g e n s d i s -

c r e t a s p a r a a s o l u ç ã o d a E B P ( m é t o d o d a s c l a s s e s , p o r e x e m p l o ) s e j a m a s m a i s

a p r o p r i a d a s a o a c o p l a m e n t o c o m e s c o a m e n t o s m u l t i f á s i c o s . C o n t u d o , a n e c e s s i d a d e

d e c o n s i d e r a r u m n ú m e r o e l e v a d o d e c l a s s e s ( 20 − 30

) p a r a r e p r e s e n t a r d e f o r m a

a p r o p r i a d a a d i s t r i b u i ç ã o d e p a r t í c u l a s t o r n a e s t a a b o r d a g e m c o m p u t a c i o n a l m e n t e

e x a u s t i v a . D e s s a f o r m a , o u t r a s f o r m u l a ç õ e s p a r a o a c o p l a m e n t o C F D - E B P f o r a m

p r o p o s t a s .

A p r i m e i r a t e n t a t i v a e m a c o p l a r C F D e E B P f o i o m o d e l o M U S I G ( M U l t i p l e

S I z e G r o u p ) i n t r o d u z i d a p o r L O [ 2 2 1 ] , b a s e a d a n a f o r m u l a ç ã o d o m o d e l o d e d o i s

u i d o s o n d e a f a s e d i s p e r s a i n c l u i t o d a s a s c l a s s e s d a d i s t r i b u i ç ã o d e p a r t í c u l a s . A

m o d e l a g e m M U S I G a s s u m e q u e a s v e l o c i d a d e s d e t o d a s a s p a r t í c u l a s s ã o i g u a i s ,

s e m d e p e n d ê n c i a c o m s e u t a m a n h o . D e s t a f o r m a , o c o n j u n t o d e e q u a ç õ e s s e r e d u z à

a b o r d a g e m d e d o i s u i d o s o n d e e x i s t e u m c a m p o d e v e l o c i d a d e p a r a a f a s e c o n t í n u a

e o u t r o p a r a a d i s p e r s a . A s f o r ç a s d e i n t e r a ç ã o e n t r e a s f a s e s s ã o c a l c u l a d a s u s a n d o o

d i â m e t r o m é d i o d e S a u t e r , ds , d e t o d a a f a s e d i s p e r s a . O d i â m e t r o m é d i o d e S a u t e r

u s a d o n o c á l c u l o d a f o r ç a d e a r r a s t o p o d e s e r a p r o x i m a d o p e l a E q . 3 . 4 2 , q u e u s a a

f u n ç ã o d e d i s t r i b u i ç ã o d e t a m a n h o , o b t i d a p e l a e q u a ç ã o d e b a l a n ç o p o p u l a c i o n a l ,




F i g u r a 3 . 3 : R e p r e s e n t a ç ã o d o s n

g r u p o s d e p a r t í c u l a s e p a r a d o s e m u m a m a l h a d i s c r e t a e m

t a m a n h o e s u a s r e s p e c t i v a s v e l o c i d a d e s .

i n t e g r a d a n o v o l u m e

ds ≈

∞0

d3(v)f (v) dv ∞0

d2(v)f (v) dv,

( 3 . 4 2 )

o n d e d(v)

é o d i â m e t r o d e u m a p a r t í c u l a c o m v o l u m e v

.

A l i m i t a ç ã o d o m o d e l o M U S I G r e s i d e n a s u a i n c a p a c i d a d e e m p r e d i z e r a d i n â m i c a

d e d i f e r e n t e s c l a s s e s . N a t e n t a t i v a d e d r i b l a r e s t a l i m i t a ç ã o e s e g u i n d o a m e s m a

i d é i a d o m o d e l o d e K R I S H N A e t a l . [ 1 2 3 ] , K R E P P E R e t a l . [ 2 2 2 ] u s o u o m o d e l o

M U S I G m o d i c a d o q u e c o n s i d e r a d u a s f a s e s g a s o s a s p a r a r e p r e s e n t a r s e p a r a d a m e n t e

a d i n â m i c a d a s b o l h a s p e q u e n a s e d a s b o l h a s g r a n d e s .

E m s e g u i d a , F R A N K e t a l . [ 2 2 3 , 2 2 4 ] d e s e n v o l v e r a m o M U S I G n ã o - h o m o g ê n e o

a o c o n s i d e r a r q u e g r u p o s d e p a r t í c u l a s s e m o v e m c o m d i f e r e n t e s v e l o c i d a d e s . N e s t e

c a s o , c a d a g r u p o r e p r e s e n t a u m a f a s e d i s p e r s a d o s i s t e m a p o l i d i s p e r s o . U m e s q u e m a

d e s t a a b o r d a g e m e s t á c o l o c a d o n a F i g . 3 . 3 o n d e a s p a r t í c u l a s s ã o a g r u p a d a s p o r

t a m a n h o e m s e ç õ e s d a m a l h a e c a d a g r u p o p o s s u i u m a v e l o c i d a d e d i s t i n t a .

F R A N K e t a l . [ 2 2 3 , 2 2 4 ] s u g e r e m q u e o s g r u p o s d e v e l o c i d a d e , c o m p o s t o p o r

g r u p o s d e c l a s s e s , s e j a m c a r a c t e r i z a d o s p e l o c o m p o r t a m e n t o d a s p a r t í c u l a s d e v i d o

à s f o r ç a s d e t r o c a d e m o m e n t u m e d i s p e r s ã o t u r b u l ê n c i a . S e g u n d o o s a u t o r e s , 3 o u

4 g r u p o s d e v e l o c i d a d e ( o u f a s e s d i s p e r s a s ) s ã o s u c i e n t e s p a r a c a r a c t e r i z a r o e s c o -

a m e n t o h o m o g ê n e o o u s l u g e m c o l u n a s d e b o r b u l h a m e n t o . O s l i m i t e s d e d i â m e t r o s

s u p e r i o r e i n f e r i o r d e c a d a g r u p o d e v e m s e r d e n i d o s e o d i â m e t r o m é d i o e m c a d a

g r u p o é u s a d o p a r a c a l c u l a r o s t e r m o s d e t r o c a d e m o m e n t u m e n t r e a s f a s e s . A p e -




F i g u r a 3 . 4 : E x e m p l o d a f a l t a d e a c u r á c i a e m r e p r e s e n t a r a f u n ç ã o d e d i s t r i b u i ç ã o u s a n d o

o m é t o d o d a s c l a s s e s [ 1 6 6 ] e m u m c a s o c o m q u e b r a d o m i n a n t e .

s a r d e u s a r t o d o o d o m í n i o d i s c r e t o d o t a m a n h o d e p a r t í c u l a ( c o n s i d e r a n d o t o d o s

o s g r u p o s ) p a r a c a l c u l a r o s e f e i t o s d e i n t e r a ç ã o e n t r e p a r t í c u l a s , o s a u t o r e s n ã o s ã o

c l a r o s e m c o m o o d i â m e t r o m é d i o d e c a d a g r u p o é o b t i d o .

O m o d e l o M U S I G f o i a m p l a m e n t e d i v u l g a d o d e v i d o a s u a i m p l e m e n t a ç ã o n o

p a c o t e A N S Y S C F X [ 2 2 5 ] . E s t e m o d e l o a i n d a é u t i l i z a d o a t é h o j e , m a s é b a s t a n t e

c r i t i c a d o p e l a s u a i n e c i ê n c i a [ 1 8 ] . R e c e n t e m e n t e f o i d e s c o b e r t o u m e r r o n a i m p l e -

m e n t a ç ã o d a d i s c r e t i z a ç ã o d o t e r m o d e q u e b r a [ 2 2 6 ] , o n d e a m a s s a é c o n s e r v a d a m a s

n ã o o n ú m e r o d e p a r t í c u l a s . S e g u n d o D A M I A N [ 1 8 ] , a A N S Y S C F X j á t o m o u c o -

n h e c i m e n t o d e s t e p r o b l e m a , m a s a t é o m o m e n t o n ã o i m p l e m e n t o u a c o r r e ç ã o . D e s t a

f o r m a , a c r e d i t a - s e q u e t o d o s o s t r a b a l h o s q u e u t i l i z a r a m o M U S I G a t é h o j e t e n h a m

s i d o a f e t a d o s e m p r e c i s ã o p o r c a u s a d e s t e p r o b l e m a .

N o t e q u e a s t é c n i c a s d e a c o p l a m e n t o C F D a p r e s e n t a d a s a c i m a c o n s i d e r a r a m

a p e n a s o m é t o d o d a s c l a s s e s d e K U M A R e R A M K R I S H N A [ 1 8 4 ] n a s o l u ç ã o d a E B P .

C o n t u d o , o u s o d e p i v ô s x o s l i m i t a e s t a t é c n i c a e p o d e l e v a r a e r r o s g r o s s e i r o s n a

r e p r e s e n t a ç ã o d a f u n ç ã o d e d i s t r i b u i ç ã o . I s t o o c o r r e n a r e p r e s e n t a ç ã o m o s t r a d a n a

F i g . 3 . 4 , o n d e a f u n ç ã o d e d i s t r i b u i ç ã o i n i c i a l é a l t e r a d a d e v i d o a o s e f e i t o s d e q u e b r a

d o m i n a n t e .

N o e x e m p l o m o s t r a d o n a F i g . 3 . 4 , o m é t o d o d a s c l a s s e s n ã o é c a p a z d e r e p r e -

s e n t a r c o r r e t a m e n t e a f u n ç ã o d e d i s t r i b u i ç ã o p o i s o l i m i t e i n f e r i o r d a s c l a s s e s f o i

u l t r a p a s s a d o e v á r i a s c l a s s e s s e t o r n a r a m n ã o - r e p r e s e n t a t i v a s . A o c o n t r á r i o , o s m é -




t o d o s h í b r i d o s s e a d a p t a m d e f o r m a ó t i m a à s m u d a n ç a s n a f u n ç ã o d e d i s t r i b u i ç ã o

d e v i d o à a p r o x i m a ç ã o p e l a q u a d r a t u r a ó t i m a . D e s t a f o r m a , o s o s p e s o s e a b s c i s s a s

s e a j u s t a m p a r a m e l h o r r e p r e s e n t a r a f u n ç ã o d e d i s t r i b u i ç ã o .

A s m e t o d o l o g i a s h í b r i d a s u s a n d o q u a d r a t u r a t a m b é m s ã o a t r a t i v a s a o a c o p l a -

m e n t o C F D - E B P p o r o u t r a s r a z õ e s . A p r i m e i r a d e l a s é a a l t a a c u r á c i a d o s m é t o -

d o s p a r a c a s o s d e E B P m o n o v a r i a d a s u t i l i z a n d o u m p e q u e n o n ú m e r o d e m o m e n t o s

( 4 − 6

) . O u t r a v a n t a g e m i n e r e n t e a o D Q M O M é q u e o s p e s o s e a b s c i s s a s p o d e m s e r

v i s t o s c o m o p o n t o s d i s t i n t o s n o e s p a ç o d a s v a r i á v e i s e x t e r n a s e o m é t o d o p o d e s e r

u s a d o p a r a d e s c r e v e r s i s t e m a s m u l t i f á s i c o s . A s s i m , c a d a f a s e d i s p e r s a s e r i a c a r a c t e -

r i z a d a p e l a s v a r i á v e i s d e c a d a p o n t o d e q u a d r a t u r a . O p r e s e n t e t r a b a l h o a p r e s e n t a

a c o m p a r a ç ã o d a a c u r á c i a e p e r f o r m a n c e d o s m é t o d o s h í b r i d o s Q M O M , D Q M O M e

P P D C . E s t e s r e s u l t a d o s e s t ã o d i s c u t i d o s n o C a p . 6 . C o m o c o n c l u s ã o , o D Q M O M s e

a p r e s e n t a c o m o a t é c n i c a m a i s a p r o p r i a d a p a r a s e r a c o p l a d a a p r o b l e m a s d e C F D .

3 . 3 . 2 R e v i s ã o d e A p l i c a ç õ e s u s a n d o C F D - E B P

O t r a b a l h o d e O L M O S e t a l . [ 2 2 7 ] u t i l i z o u a f o r m u l a ç ã o M U S I G d e s e n v o l v i d a p o r

L O [ 2 2 1 ] e i m p l e m e n t a d a n o C F X 4 . 3 p a r a c o m b i n a r a s e q u a ç õ e s d e b a l a n ç o p o p u -

l a c i o n a l à s i m u l a ç ã o E u l e r i a n a - E u l e r i a n a d e u m a c o l u n a d e b o r b u l h a m e n t o . A f a s e

d i s p e r s a f o i r e p r e s e n t a d a p o r 10

g r u p o s d e d i f e r e n t e s t a m a n h o s , c o n t u d o a p e n a s u m a

e q u a ç ã o d e b a l a n ç o d e m o m e n t u m p a r a a f a s e d i s p e r s a f o i r e s o l v i d a . D e s s a f o r m a , a s

1 0 c l a s s e s d e p a r t í c u l a s s ã o c o n v e c t a d a s c o m a m e s m a v e l o c i d a d e m é d i a . O d i â m e t r o

m é d i o d e S a u t e r f o i u s a d o p a r a c a l c u l a r o s t e r m o s d e a r r a s t o e f o r ç a d e d i s p e r s ã o

t u r b u l e n t a [ 2 2 8 ] . O s a u t o r e s u s a r a m o m o d e l o c l á s s i c o k −

p a r a m o d e l a r a t u r b u -

l ê n c i a n a f a s e c o n t í n u a . A s i m u l a ç ã o f o i e s t a c i o n á r i a e 2 D a x i a l m e n t e s i m é t r i c a e

a p e n a s o s f e n ô m e n o s d e q u e b r a e c o a l e s c ê n c i a f o r a m c o n s i d e r a d o s u t i l i z a n d o o s m o -

d e l o s d e L U O e S E V E N D S E N [ 1 5 5 ] e P R I N C E e B L A N C H [ 2 2 9 ] , r e s p e c t i v a m e n t e .

O s r e s u l t a d o s f o r a m c o m p a r a d o s c o m d a d o s e x p e r i m e n t a i s e a p r e s e n t a r a m u m a b o a

c o n c o r d â n c i a p a r a o r e g i m e d e b o r b u l h a m e n t o h o m o g ê n e o e a f a i x a d e t r a n s i ç ã o




d e r e g i m e . C o n t u d o , a r e s t r i ç ã o d o m o d e l o p a r a a s e q u a ç õ e s d e t r a n s p o r t e p a r a

c a d a c l a s s e d e b o l h a s e a l i m i t a ç ã o d a s i m u l a ç ã o b i d i m e n s i o n a l d e v e m t e r l i m i t a d o

a a c u r á c i a d o s r e s u l t a d o s d e O L M O S e t a l . [ 2 2 7 ] .

O L M O S e t a l . [ 2 3 0 ] s e b a s e a r a m n a a b o r d a g e m d e s e n v o l v i d a p o r K R I S H N A e t

a l . [ 1 2 3 ] p a r a e s t e n d e r s e u t r a b a l h o a n t e r i o r [ 2 2 7 ] . O s a u t o r e s c o n s i d e r a r a m a i n -

u ê n c i a d a s b o l h a s n a t u r b u l ê n c i a d a f a s e c o n t í n u a a t r a v é s d o s m o d e l o s d e S A T O e

S E K O G U C H I [ 7 6 ] q u e c a l c u l a u m t e r m o e x t r a d e v i s c o s i d a d e i n d u z i d a p e l a s b o l h a s ,

e K A T A O K A e S E R I Z A W A [ 8 2 ] q u e l e v a e m c o n t a a p r o d u ç ã o d e t u r b u l ê n c i a n a s

e s t e i r a s d a s b o l h a s . O s a u t o r e s a i n d a c o n s i d e r a r a m a s i n t e r a ç õ e s e n t r e b o l h a s a t r a -

v é s d e u m a c o r r e ç ã o d o c o e c i e n t e d e a r r a s t o , m o s t r a d a n a E q . 3 . 4 3 , q u e u t i l i z a u m

p a r â m e t r o p

e m s u a f o r m u l a ç ã o [ 2 3 1 ] a s e r o b t i d o a p a r t i r d e d a d o s e x p e r i m e n t a i s , a

f r a ç ã o v o l u m é t r i c a d a f a s e g á s , αg , e o c o e c i e n t e d e a r r a s t o s e m f a t o r d e c o r r e ç ã o ,

C d .

C d = C d(1 − αg) p( 3 . 4 3 )

A m e t o d o l o g i a d e s o l u ç ã o p r o p o s t a p o r O L M O S e t a l . [ 2 3 0 ] u t i l i z a o s r e s u l t a d o s

d a s s i m u l a ç õ e s d e s e u t r a b a l h o a n t e r i o r [ 2 2 7 ] p a r a o b t e r a s c l a s s e s d o m i n a n t e s ( e p o r -

t a n t o o s d i â m e t r o s m é d i o s ) p a r a d i f e r e n t e s v e l o c i d a d e s s u p e r c i a i s d e g á s e o a j u s t e

d o p a r â m e t r o p

a t r a v é s d e d a d o s e x p e r i m e n t a i s d e r e t e n ç ã o g a s o s a e v e l o c i d a d e s u -

p e r c i a l d e g á s . A p ó s e s t a s d u a s e t a p a s , é r e s o l v i d o o m o d e l o E u l e r i a n o - E u l e r i a n o

c o m a s e q u a ç õ e s d e c o n s e r v a ç ã o d e m o m e n t u m p a r a a f a s e l í q u i d a e p a r a a s f a s e s g a -

s o s a s c o m o s d i â m e t r o s m é d i o s d a s c l a s s e s d o m i n a n t e s e d e s c o n s i d e r a n d o a i n t e r a ç ã o

e n t r e a s b o l h a s . O s r e s u l t a d o s m o s t r a r a m u m a b o a c o n c o r d â n c i a n a t r a n s i ç ã o d o

r e g i m e h o m o g ê n e o a o h e t e r o g ê n e o . A o a p l i c a r o s c o e c i e n t e s d e a r r a s t o a j u s t a d o s

p a r a c a d a f a s e g a s o s a , f o i p o s s í v e l o b t e r u m a b o a r e p r e s e n t a ç ã o d a t r a n s i ç ã o e n t r e

o s r e g i m e s d e b o r b u l h a m e n t o . O L M O S e t a l . [ 2 3 0 ] c o n c l u í r a m q u e e s t e s r e s u l t a d o s

s ó f o r a m p o s s í v e i s d e v i d o à c o n s i d e r a ç ã o d a d i s t r i b u i ç ã o d e t a m a n h o d e b o l h a s e a s

i n t e r a ç õ e s e n t r e e l a s e r e s s a l t a r a m a i m p o r t â n c i a d o u s o d e b a l a n ç o p o p u l a c i o n a l

p a r a r e p r e s e n t a r o r e g i m e d e t r a n s i ç ã o d e b o r b u l h a m e n t o . O s a u t o r e s t a m b é m c o -

l o c a r a m q u e o m o d e l o d e K A T A O K A e S E R I Z A W A [ 8 2 ] a p r e s e n t o u r e s u l t a d o s m a i s




a c u r a d o s n a d e s c r i ç ã o d a t u r b u l ê n c i a n o l í q u i d o .

E m t r a b a l h o r e c e n t e , C H E N e t a l . [ 2 7 ] i m p l e m e n t a r a m a E B P a c o p l a d a a o m o -

d e l o E u l e r i a n o - E u l e r i a n o d e d o i s u i d o s n a t e n t a t i v a d e r e p r e s e n t a r o r e g i m e h e t e r o -

g ê n e o d e b o r b u l h a m e n t o . O m o d e l o E u l e r i a n o b i f á s i c o d e s c r i t o p o r P A N e t a l . [ 1 0 5 ]

f o i u s a d o n o t r a b a l h o c o n s i d e r a n d o a a b o r d a g e m A S M M e i n c l u i n d o a p e n a s a f o r ç a

d e a r r a s t o [ 2 3 2 ] n o t e r m o d e t r o c a d e m o m e n t u m e n t r e f a s e s e o d i â m e t r o l o c a l

d a b o l h a é o b t i d o p e l a s o l u ç ã o d a E B P . I s t o i m p l i c a q u e o m o d e l o d e m i s t u r a n ã o

r e q u e r a s o l u ç ã o d o s b a l a n ç o s d e q u a n t i d a d e d e m o v i m e n t o e m a s s a p a r a t o d a s a s

f a s e s , a p e n a s p a r a a m i s t u r a , e q u e t o d a s a s p a r t í c u l a s u i d a s s e d e s l o c a m c o m u m a

ú n i c a v e l o c i d a d e . A t u r b u l ê n c i a n a f a s e l í q u i d a f o i t r a t a d a c o m u m m o d e l o k −

m o d i c a d o p a r a i n c l u i r t r a n s f e r ê n c i a d e m o m e n t o t u r b u l e n t o e n t r e a s f a s e s [ 1 0 7 ] e n a

f a s e d i s p e r s a o f e c h a m e n t o d a t u r b u l ê n c i a é f e i t o a t r a v é s d e c o r r e l a ç õ e s b a s e a d a s n a

d i s p e r s ã o d e p a r t í c u l a s p o r t u r b u l ê n c i a h o m o g ê n e a [ 2 3 3 ] . O s f e n ô m e n o s d e q u e b r a

[ 1 5 5 ] e c o a l e s c ê n c i a [ 2 3 4 ] f o r a m c o n s i d e r a d o s n a E B P , c o n t u d o f o i n e c e s s á r i o a j u s t a r

a t a x a d e q u e b r a p r e d i t a p e l o m o d e l o d e L U O e S V E N D S E N [ 1 5 5 ] c o m u m f a t o r d e

10v e z e s (

b = 10 b o r i g i n a l

) . C H E N e t a l . [ 2 7 ] s u g e r e m q u e i s t o o c o r r e d e v i d o à f a l t a

d e a c u r á c i a d o m o d e l o

k − e m f o r n e c e r v a l o r e s r e a l í s t i c o s d e e n e r g i a d e d i s s i p a ç ã o

t u r b u l e n t a . C o n t u d o , d e a c o r d o c o m A R A U J O [ 1 7 ] , a f o r m u l a ç ã o d o m o d e l o d e

L U O e S V E N D S E N [ 1 5 5 ] é b a s e a d a e m c o n c e i t o s e r r a d o s e p o d e t e r s i d o a p r i n c i p a l

f o n t e d e e r r o n a s s i m u l a ç õ e s . O s a u t o r e s r e p o r t a r a m r e s u l t a d o s p r ó x i m o s a o o b t i d o

e x p e r i m e n t a l m e n t e [ 2 3 5 ] p a r a a v e l o c i d a d e a x i a l d a s b o l h a s e a r e t e n ç ã o g a s o s a e m

s i m u l a ç õ e s 2 D e 3 D .

C H E N e t a l . [ 2 3 6 ] e s t e n d e r a m s e u t r a b a l h o a v a l i a n d o o e f e i t o d e d i f e r e n t e s m o d e -

l o s d e q u e b r a e c o a l e s c ê n c i a p a r a o b t e n ç ã o d a d i s t r i b u i ç ã o d e t a m a n h o d e b o l h a s n o

p r o c e s s o d e b o r b u l h a m e n t o h e t e r o g ê n e o . A E B P f o i r e s o l v i d a p e l o m é t o d o d o p i v ô

x o [ 1 8 4 ] c o n s i d e r a n d o t o d a s a s p a r t í c u l a s c o m u m a ú n i c a v e l o c i d a d e c a l c u l a d a p e l o

m o d e l o E u l e r i a n o - E u l e r i a n o [ 2 7 ] e o s m o d e l o s a n a l i s a d o s p a r a q u e b r a f o r a m d e L U O

e S V E N D S E N [ 1 5 5 ] e M A R T Í N E Z - B A Z Á N e t a l . [ 2 3 7 , 2 3 8 ] e p a r a c o a l e s c ê n c i a d e

P R I N C E e B L A N C H [ 2 2 9 ] e L U O [ 2 3 4 ] . C o m o n o t r a b a l h o a n t e r i o r , f o i n e c e s s á r i o




a j u s t a r a t a x a d e q u e b r a e m u m f a t o r d e 10

v e z e s , f a t o q u e t i r a a n a t u r e z a p r e d i t i v a

d a s i m u l a ç ã o n u m é r i c a . F o r a m r e a l i z a d a s s i m u l a ç õ e s b i d i m e n s i o n a i s d i s c r e t i z a n d o a

E B P c o m u m a m a l h a x a n o v o l u m e u s a n d o 1 6 c l a s s e s c o m d i â m e t r o s d e b o l h a e n t r e

1m m e

32m m . O s r e s u l t a d o s a p o n t a m q u e a s o l u ç ã o d a E B P p e r m i t e u m a m e l h o r

r e p r e s e n t a ç ã o d o s p e r s d e v e l o c i d a d e d o l í q u i d o e d e e n e r g i a c i n é t i c a t u r b u l e n t a

e m r e l a ç ã o à s i m u l a ç õ e s u s a n d o u m d i â m e t r o m é d i o x o , a p e s a r d e a m b a s a i n d a

a p r e s e n t a r e m d i s c r e p â n c i a s e m r e l a ç ã o a o e x p e r i m e n t o . I s t o p o d e s e r c o n s e q u ê n c i a

d a n a t u r e z a d a s i m u l a ç ã o 2 D q u e n ã o c a p t u r a t o d o s o s d e t a l h e s d o e s c o a m e n t o .

O s a u t o r e s t a m b é m r e s s a l t a r a m a c o n c o r d â n c i a d o s r e s u l t a d o s s i m u l a d o s u s a n d o

o s d i f e r e n t e s m o d e l o s d e q u e b r a e c o a l e s c ê n c i a , q u e a p r e s e n t a r a m u m a d i s t r i b u i ç ã o

u n i m o d a l d o t a m a n h o d e b o l h a s n o r e g i m e h e t e r o g ê n e o d e b o r b u l h a m e n t o , a p r e s e n -

t a n d o g r a n d e d i s c r e p â n c i a c o m a c u r v a b i m o d a l e x p e r i m e n t a l [ 2 3 9 ] . A p e s a r d i s s o ,

o s r e s u l t a d o s d e r e t e n ç ã o g a s o s a n ã o f o r a m s a t i s f a t ó r i o s .

E m s e q ü ê n c i a , C H E N e t a l . [ 2 4 0 ] r e a l i z a r a m s i m u l a ç õ e s t r i d i m e n s i o n a i s d e c o l u -

n a s d e b o r b u l h a m e n t o c o m d i f e r e n t e s d i â m e t r o s e c o n d i ç õ e s d e p r e s s ã o e v e l o c i d a d e s

s u p e r c i a i s d e m o d o a o p e r a r e m r e g i m e h e t e r o g ê n e o . O s r e s u l t a d o s s i m u l a d o s f o -

r a m c o m p a r a d o s c o m d a d o s e x p e r i m e n t a i s d a l i t e r a t u r a [ 2 4 1 , 2 4 2 , 2 4 3 ] . O s a u t o r e s

u t i l i z a r a m o m e s m o m o d e l o [ 2 7 ] , m u d a n d o o m o d e l o d e f r e q ü ê n c i a d e c o l i s ã o p a r a

o d e s e n v o l v i d o p o r S A F F M A N e T U R N E R [ 2 4 4 ] . E s t e t r a b a l h o a v a l i o u t r ê s a b o r -

d a g e n s d e s o l u ç ã o d o e s c o a m e n t o , s e n d o e l a s : ( i ) E B P c o m m o d e l o d e d o i s u i d o s

a s s u m i n d o q u e a v e l o c i d a d e d e t o d a s a s f a s e s d i s p e r s a s é l o c a l m e n t e i g u a l à v e l o -

c i d a d e m é d i a d a f a s e g á s ; ( i i ) E B P c o m A S M M , s e n d o q u e a v e l o c i d a d e d e t o d a s

a s f a s e s d e b o l h a s s ã o l o c a l m e n t e i g u a i s à v e l o c i d a d e d a f a s e g a s o s a ; ( i i i ) E B P c o m

A S M M c o m n + 1

f a s e s , o n d e c a d a c l a s s e p o s s u i s u a v e l o c i d a d e l o c a l c a l c u l a d a p e l o

A S M M . C o n t u d o , o t i p o d e a b o r d a g e m d e s o l u ç ã o n ã o t e v e u m e f e i t o s i g n i c a n t e

n o s r e s u l t a d o s s i m u l a d o s p a r a o s v a l o r e s m é d i o s t e m p o r a i s d a v e l o c i d a d e a x i a l e d a

r e t e n ç ã o g a s o s a e o s a u t o r e s a d o t a r a m a m e t o d o l o g i a ( i ) c o m 9

c l a s s e s p a r a g e r a r o s

r e s u l t a d o s c o m e n t a d o s a s e g u i r . A s u t u a ç õ e s d e v e l o c i d a d e s u p e r c i a l e r e t e n ç ã o

g a s o s a c o n s e g u e m s e r c a p t u r a d a s , f a t o q u e n ã o o c o r r e e m s i m u l a ç õ e s 2 D . A p e s a r

d i s s o , o s v a l o r e s n u m é r i c o s p a r a a t e n s ã o t u r b u l e n t a n ã o s ã o b e m p r e d i t o s e a c u r v a




d e d i s t r i b u i ç ã o d e t a m a n h o d e b o l h a s a i n d a é u n i m o d a l .

O p r i m e i r o t r a b a l h o q u e t e s t a a c a p a c i d a d e d o m é t o d o d o s m o m e n t o s c o m f e c h a -

m e n t o p o r q u a d r a t u r a p a r a r e s o l v e r p r o b l e m a s d e e s c o a m e n t o a c o p l a d o à E B P f o i

d e M A R C H I S I O e t a l . [ 2 4 5 ] . O s a u t o r e s i m p l e m e n t a r a m o Q M O M n o c ó d i g o C F D

c o m e r c i a l F L U E N T p a r a s i m u l a r o e s c o a m e n t o t u r b u l e n t o c o m p a r t í c u l a s s ó l i d a s e m

u m r e a t o r T a y l o r - C o u e t t e c o n s i d e r a n d o o s e f e i t o s d e q u e b r a e c o a l e s c ê n c i a . D e v i d o

a o p e q u e n o t a m a n h o d a s p a r t í c u l a s e à s u a b a i x a c o n c e n t r a ç ã o n o r e a t o r f o i p o s s í v e l

d e s c o n s i d e r a r a i n u ê n c i a d a f a s e d i s p e r s a s o b r e a c o n t í n u a e a d o t a r u m m o d e l o d e

t u r b u l ê n c i a m o n o f á s i c o . A s s i m u l a ç õ e s f o r a m c o m p a r a d a s c o m d a d o s e x p e r i m e n t a i s

e n c o n t r a d o s n a l i t e r a t u r a . O s r e s u l t a d o s f o r a m o b t i d o s r e s o l v e n d o o c a m p o d e e s -

c o a m e n t o m o n o f á s i c o a t é a t i n g i r o e s t a d o p e r m a n e n t e e e m s e g u i d a d e t e r m i n a n d o a

e v o l u ç ã o d i n â m i c a d o s m o m e n t o s µ0

µ5 [ 2 1 0 ] e m p a s s o s d e 10

s e g u n d o s . D i f e r e n t e s

m o d e l o s d e a g r e g a ç ã o , q u e b r a e d i s t r i b u i ç ã o d e p a r t í c u l a s l h a s f o r a m t e s t a d o s e

f o i p o s s í v e l n o t a r c l a r a m e n t e a d e p e n d ê n c i a d o r e s u l t a d o n a e s c o l h a d e s t e s m o d e l o s .

E m o u t r a s p a l a v r a s , d e v e - s e e s c o l h e r c o r r e t a m e n t e e s t e s m o d e l o s c o m b a s e n a f í s i c a

d o p r o c e s s o a n a l i s a d o e n a s e s c a l a s d e t e m p o e d i m e n s ã o p a r a a q u a l e s t e s f o r a m

d e s e n v o l v i d o s . C o n t u d o , o c u s t o c o m p u t a c i o n a l p a r a r e s o l v e r a E B P n ã o a p r e s e n t o u

d e p e n d ê n c i a c o m a s d i f e r e n t e s c o m b i n a ç õ e s d e m o d e l o s d e q u e b r a e c o a l e s c ê n c i a .

E m t r a b a l h o r e c e n t e , P R A T e D U C O S T E [ 2 4 6 ] i n t r o d u z i r a m o Q M O M n o s o f t -

w a r e d e u i d o d i n â m i c a P H O E N I C S v i a s u b r o t i n a s e m F O R T R A N , d e n i d a s p e l o

u s u á r i o p a r a s i m u l a r a e v o l u ç ã o e s p a c i a l d a d i s t r i b u i ç ã o d e t a m a n h o d e o c o s e m

u m r e a t o r a g i t a d o m e c a n i c a m e n t e . A s s i m u l a ç õ e s u t i l i z a r a m

6m o m e n t o s p a r a c a -

r a c t e r i z a r a p o p u l a ç ã o d e p a r t í c u l a s e f o r a m u s a d o s o s m o d e l o s d e S A F F M A N e

T U R N E R [ 2 4 4 ] e A D L E R [ 2 4 7 ] p a r a c o a l e s c ê n c i a e K U S T E R S [ 2 4 8 ] p a r a q u e b r a

b i n á r i a . A c a d a p a s s o d e t e m p o d a s i m u l a ç ã o t r a n s i e n t e , o s m o m e n t o s s ã o a t u a l i -

z a d o s p a r a o b t e r o s p e s o s e a b s c i s s a s u t i l i z a n d o a s r o t i n a s O R T H O G e G A U C O F

[ 2 4 9 ] p a r a e s t r u t u r a r o a l g o r i t m o d e s o l u ç ã o . A p a r t i r d o s m o m e n t o s n o r m a l i z a d o s ,

a r o t i n a O R T H O G r e a l i z a o c ô m p u t o d o s c o e c i e n t e s d a m a t r i z j a c o b i a n a u s a n d o

o a l g o r i t m o d e W h e e l e r [ 2 5 0 ] e a r o t i n a G A U C O F e x t r a i o s p e s o s e a b s c i s s a s d a




f ó r m u l a d a q u a d r a t u r a .

O t r a b a l h o d e F A N e t a l . [ 2 5 1 ] a p l i c a o D Q M O M a c o p l a d o a u m m o d e l o m u l t i -

u i d o p a r a s i m u l a r a e v o l u ç ã o d a f a s e s ó l i d a p o l i d i s p e r s a c o n s i d e r a n d o a q u e b r a

e a g r e g a ç ã o e m u m r e a t o r d e l e i t o u i d i z a d o . S ã o c o n s i d e r a d a s a s e q u a ç õ e s d a

c o n t i n u i d a d e e d e m o m e n t u m p a r a u m a f a s e c o n t í n u a e n

f a s e s d i s p e r s a s , i n c l u i n d o

a p e n a s o a r r a s t e n o t e r m o d e t r o c a d e m o m e n t u m e n t r e f a s e s e a f o r ç a d e e m p u x o . O s

a u t o r e s a d o t a r a m m o d e l o s d e q u e b r a e a g r e g a ç ã o p r o p í c i o s p a r a a d i n â m i c a d e p a r t í -

c u l a s e m l e i t o s u i d i z a d o s b a s e a d o s n a t e o r i a c i n é t i c a d e e s c o a m e n t o g r a n u l a r [ 2 3 1 ] ,

p o r é m a l g u n s t e s t e s c o m f u n ç õ e s c o n s t a n t e s f o r a m r e a l i z a d o s p a r a a n a l i s a r m e l h o r

o c o m p o r t a m e n t o d a s i m u l a ç ã o . O s m é t o d o s S I M P L E ( S e m i - I m p l i c i t M e t h o d f o r

P r e s s u r e - L i n k e d E q u a t i o n s [ 2 5 2 ] ) d e a c o p l a m e n t o p r e s s ã o v e l o c i d a d e e P E A ( P a r -

t i a l E l i m i n a t i o n A l g o r i t h m [ 2 5 3 ] ) n o t r a t a m e n t o d o a c o p l a m e n t o e n t r e f a s e s f o r a m

u s a d o s . F o r a m r e a l i z a d a s s i m u l a ç õ e s 2 D c o m 4

, 6

e 8

m o m e n t o s a p r e s e n t a n d o r e s u l -

t a d o s p r o m i s s o r e s n a d e s c r i ç ã o d o s f e n ô m e n o s d e c r e s c i m e n t o , s e g r e g a ç ã o , e l u t r i a ç ã o

d a s p a r t í c u l a s d e v i d o à q u e b r a e a g r e g a ç ã o ( a p e s a r d e n ã o a p r e s e n t a r e m c o m p a r a -

ç õ e s c o m d a d o s e x p e r i m e n t a i s ) . C o m o j á e s p e r a d o , o s m o d e l o s b a s e a d o s n a t e o r i a

c i n é t i c a a p r e s e n t a r a m m a i o r a c u r á c i a n a d e s c r i ç ã o d o s f e n ô m e n o s . O s a u t o r e s r e c o -

m e n d a m o u s o d e 6

m o m e n t o s n o c á l c u l o , p o n d e r a n d o o t e m p o c o m p u t a c i o n a l e a

a c u r á c i a o b t i d a n o s c a s o s a n a l i s a d o s .

U m a c a r a c t e r í s t i c a i m p o r t a n t e d o t r a b a l h o d e F A N e t a l . [ 2 5 1 ] é q u e a f o r m u l a ç ã o

b á s i c a d o D Q M O M a c o p l a d o a o m o d e l o E u l e r i a n o - E u l e r i a n o n ã o p r e c i s a s e r a l t e r a d a

q u a n d o s e d e s e j a i n c l u i r o u t r o s f e n ô m e n o s c o m o t r a n s f e r ê n c i a d e m a s s a e / o u c a l o r ,

t u r b u l ê n c i a , r e a ç õ e s q u í m i c a s , e t c . n a s i m u l a ç ã o . C o n t u d o , é n e c e s s á r i o u s a r u m

n ú m e r o m a i o r d e v a r i á v e i s i n t e r n a s . R e c e n t e m e n t e , o m o d e l o m u l t i - u i d o d e F A N e t

a l . [ 2 5 1 ] f o i u s a d o p a r a a v a l i a r a s e g r e g a ç ã o d a s p a r t í c u l a s e m u m l e i t o u i d i z a d o

[ 2 5 4 ] e v e r i c a r s u a v a l i d a ç ã o a o c o m p a r a r a s s i m u l a ç õ e s c o m d a d o s e x p e r i m e n t a i s

[ 2 5 5 ] e d a d o s s i m u l a d o s u s a n d o u m a a b o r d a g e m l a g r a n g e a n a [ 2 5 6 ] . E m c o m p a r a ç ã o

a o s d a d o s e x p e r i m e n t a i s , a s s i m u l a ç õ e s d e F A N e F O X [ 2 5 4 ] c o n s e g u i r a m r e p r e s e n t a r

b e m a s e g r e g a ç ã o d a s p a r t í c u l a s u t i l i z a n d o a p e n a s 2

p o n t o s d e q u a d r a t u r a ( c a r a c t e -




r i z a d o s p e l a s p a r t í c u l a s g r a n d e s e p e q u e n a s ) . C o n t u d o , d i f e r e n ç a s i n t r í n s e c a s e n t r e

o s m o d e l o s e c o n d i ç õ e s d e c o n t o r n o n a s s i m u l a ç õ e s n ã o p e r m i t i u u m a b o a c o m p a -

r a ç ã o e n t r e o s r e s u l t a d o s u s a n d o a s a b o r d a g e n s m u l t i - u i d o [ 2 5 1 ] e a l a g r a n g e a n a

[ 2 5 6 ] .

Z U C C A e t a l . [ 2 5 7 ] a p l i c a r a m o D Q M O M p a r a r e s o l v e r a E B P n a p r e d i ç ã o d a

f o r m a ç ã o d e f u l i g e m e m c h a m a s t u r b u l e n t a s d e e t i l e n o - a r . A s e q u a ç õ e s d a c o n t i n u i -

d a d e , c o n s e r v a ç ã o d e q u a n t i d a d e d e m o v i m e n t o e t r a n s p o r t e d e m a s s a c o m r e a ç ã o

p a s s a r a m p o r u m p r o c e s s o d e m é d i a d e m o d o a c o n s i d e r a r a n a t u r e z a t u r b u l e n t a d o

p r o c e s s o . A d e s c r i ç ã o d a m o d e l a g e m d o s t e r m o s d e t e n s ã o d e R e y n o l d s (

k − ) e a s

i n t e r a ç õ e s t u r b u l e n t a s d a s e s p é c i e s q u í m i c a s ( m o d e l o d e d e n s i d a d e d e p r o b a b i l i d a d e )

d e c o r r e n t e s d o p r o c e s s o d e m é d i a p o d e m s e r e n c o n t r a d a s e m F O X [ 2 5 8 ] . O s e f e i t o s

d e n u c l e a ç ã o , c r e s c i m e n t o m o l e c u l a r , o x i d a ç ã o e a g r e g a ç ã o f o r a m i n c l u í d o s n a E B P ,

o n d e a s p a r t í c u l a s f o r a m c o n s i d e r a d a s p e q u e n a s o s u c i e n t e p a r a n ã o a f e t a r o c a m p o

d e e s c o a m e n t o n a c h a m a . O s a u t o r e s u s a r a m o F L U E N T p a r a c a l c u l a r o s c a m p o s d e

v e l o c i d a d e , t e m p e r a t u r a e c o n c e n t r a ç ã o e m s i m u l a ç õ e s b i d i m e n s i o n a i s c o m o D Q -

M O M i m p l e m e n t a d o v i a f u n ç ã o d e n i d a p e l o u s u á r i o c o m 4 − 6

m o m e n t o s . F o r a m

r e a l i z a d a s c o m p a r a ç õ e s c o m d a d o s e x p e r i m e n t a i s [ 2 5 9 ] d o p e r l d e t e m p e r a t u r a e

f r a ç ã o v o l u m é t r i c a d e f u l i g e m a o l o n g o d o q u e i m a d o r a p r e s e n t a n d o u m a c o n c o r d â n -

c i a s a t i s f a t ó r i a d o s r e s u l t a d o s s i m u l a d o s . C o n t u d o , n ã o e x i s t e m d a d o s s u c i e n t e s

p a r a v a l i d a r a e v o l u ç ã o d a d i s t r i b u i ç ã o d e t a m a n h o d a s p a r t í c u l a s .

E m t r a b a l h o r e c e n t e , D A M I A N [ 1 8 , 2 6 0 ] i m p l e m e n t o u o a c o p l a m e n t o e n t r e o

m o d e l o m u l t i f á s i c o E u l e r i a n o e a E B P r e s o l v i d a p e l o D Q M O M n o A N S Y S C F X

a t r a v é s d a s r o t i n a s d e u s u á r i o e m F O R T R A N . T e s t e s d e v e r i c a ç ã o n u m é r i c a d a

i m p l e m e n t a ç ã o f o r a m r e a l i z a d o s u t i l i z a n d o u m a s o l u ç ã o a n a l í t i c a [ 1 6 0 , 1 5 8 ] , q u e r e -

s o l v e a e v o l u ç ã o t e m p o r a l d e u m p r o b l e m a d e b a l a n ç o p o p u l a c i o n a l m o n o v a r i a d o

c o m n ú c l e o s d e q u e b r a e a g r e g a ç ã o s i m p l e s [ 1 6 0 ] . A p r e c i s ã o d o s e s q u e m a s t e m p o -

r a i s e a d v e c t i v o s n a s o l u ç ã o d a E B P u s a n d o o D Q M O M f o r a m e x p l o r a d o s e m c a s o s

t r a n s i e n t e s 0 D e e s t a c i o n á r i o s 1 D , o n d e o s m é t o d o s B a c k w a r d E u l e r e H i g h R e s o -

l u t i o n s e d e s t a c a r a m . T a m b é m f o r a m r e a l i z a d a s s i m u l a ç õ e s b i d i m e n s i o n a i s p a r a o




e s c o a m e n t o d e u m a e m u l s ã o u s a n d o o a c o p l a m e n t o C F D - E B P c o m p l e t o e a a b o r -

d a g e m M U S I G . A p e s a r d e o b t e r r e s u l t a d o s b a s t a n t e s a t i s f a t ó r i o s , o p r ó p r i o A N S Y S

C F X l i m i t a a s i m p l e m e n t a ç õ e s v i a r o t i n a s d e u s u á r i o e m F O R T R A N a o r e s t r i n g i r

a l i b e r d a d e e a e x i b i l i d a d e d o s c ó d i g o s . A l é m d i s s o , a d o c u m e n t a ç ã o s o b r e o u s o

d a s r o t i n a s d e u s u á r i o e m F O R T R A N é m u i t o l i m i t a d a e v a g a , d i c u l t a n d o a i n d a

m a i s o p r o c e s s o d e i m p l e m e n t a ç ã o , m o d i c a ç ã o o u e x t e n s ã o d e s t e s c ó d i g o s .



C a p í t u l o 4

P a c o t e C F D O p e n F O A M

4 . 1 I n t r o d u ç ã o

N ã o h á d ú v i d a s q u e o s p a c o t e s C F D s ã o f e r r a m e n t a s q u e f o r n e c e m g r a n d e s v a n t a g e n s

e u m a m a i o r f a c i l i d a d e n a a n á l i s e d e d i v e r s o s t i p o s d e e s c o a m e n t o s . A i m p o r t â n -

c i a d o s p a c o t e s C F D t ê m c r e s c i d o m u i t o n o s ú l t i m o s a n o s d e v i d o à c o n a b i l i d a d e

e à r a p i d e z c o m q u e o s r e s u l t a d o s s ã o o b t i d o s , a l é m d a e c o n o m i a f r e n t e a t e s t e s

e x p e r i m e n t a i s . E s t e f a t o s e d e v e a o s a v a n ç o s n o d e s e n v o l v i m e n t o d a m o d e l a g e m

d o s f e n ô m e n o s f í s i c o s , d a s t é c n i c a s n u m é r i c a s p a r a s o l u c i o n a r o p r o b l e m a e d o a u -

m e n t o d o p o d e r i o c o m p u t a c i o n a l . C o m o c o n s e q u ê n c i a , a l é m d a f a c i l i d a d e d e u s o ,

o c o n s t a n t e a p r i m o r a m e n t o d a s t é c n i c a s e m e t o d o l o g i a s p r e s e n t e s n o s c ó d i g o s s ã o

c o n s i d e r a d o s p o n t o s c r u c i a i s e m C F D . D e s t a f o r m a , é i n t e r e s s a n t e q u e o u s u á r i o

p o s s a i n t e r a g i r i n t i m a m e n t e c o m o p a c o t e , p o s s i b i l i t a n d o a e x t e n s ã o d o c ó d i g o e

a p r i m o r a n d o a f e r r a m e n t a o u m e s m o i m p l e m e n t a n d o n o v a s f o r m a s d e s o l u c i o n a r

u m p r o b l e m a e s p e c í c o .

O p a c o t e C F D O p e n F O A M s u r g e c o m o u m a ó t i m a o p ç ã o p a r a a s o l u ç ã o d e u m a

g r a n d e v a r i e d a d e d e p r o b l e m a s . A l é m d i s s o , e s t e p a c o t e é d i s t r i b u í d o g r a t u i t a m e n t e

e j u n t o c o m s e u c ó d i g o f o n t e e , p o r t a n t o , p e r m i t e u m a i n t e r a ç ã o m a i s p r o f u n d a c o m

8 1



4 . 1 I n t r o d u ç ã o 8 2

o u s u á r i o . E s t e c a p í t u l o a p r e s e n t a a s o r i g e n s d o d e s e n v o l v i m e n t o d o O p e n F O A M ,

a s s i m c o m o a m e t o d o l g i a n u m é r i c a u t i l i z a d a e m s u a i m p l e m e n t a ç ã o . A l é m d i s s o ,

d e t a l h e s s o b r e a i n t e r p r e t a ç ã o d a l i n g u a g e m d e p r o g r a m a ç ã o p e l o p a c o t e e s e u u s o

p a r a a s o l u ç ã o d e p r o b l e m a s C F D s ã o a p r e s e n t a d o s n a s e q u ê n c i a . P o r m , u m

e s t u d o d o s m o d e l o s m u l t i f á s i c o s j á i m p l e m e n t a d o s n o O p e n F O A M é r e a l i z a d o , c o m

u m a a n á l i s e m a i s a p r o f u n d a d a d a a b o r d a g e m b i f á s i c a E u l e r i a n a .

4 . 1 . 1 O r i g e m d o O p e n F O A M

Q u a n d o s e i n i c i a u m p r o j e t o d e c o n s t r u ç ã o d e u m c ó d i g o C F D , é i n t e r e s s a n t e

e s t r u t u r á - l o d e f o r m a q u e s e t o r n e g e r a l o s u c i e n t e p a r a q u e o u t r a s p e s s o a s p o s s a m

u s á - l o n o f u t u r o c o m o u m a f e r r a m e n t a c o n á v e l , e c i e n t e e d e f á c i l m a n i p u l a ç ã o .

E s t a p r e o c u p a ç ã o e n v o l v e u o s p e n s a m e n t o s d o s e n t ã o a l u n o s d o I m p e r i a l C o l l e g e ,

H e n r y W e l l e r e H r v o j e J a s a k q u a n d o , e m 1 9 9 3 , c o m b i n a r a m e s f o r ç o s p a r a d e s e n v o l -

v e r o c ó d i g o d o F O A M ( F i e l d O p e r a t i o n a n d M a n i p u l a t i o n ) p a r a o p e r a r e m a n i p u l a r

c a m p o s t e n s o r i a i s v i s a n d o s u a a p l i c a ç ã o à u i d o d i n â m i c a c o m p u t a c i o n a l . A t e c n o -

l o g i a d o F O A M é b a s e a d a e m u m c o n j u n t o e c i e n t e e e x í v e l d e m ó d u l o s e s c r i t o s

e m C + + q u e s ã o u s a d o s c o m o i n t u i t o d e c o n s t r u i r : ( i ) s o l v e r s

1

p a r a r e s o l v e r p r o -

b l e m a s e s p e c í c o s d e e n g e n h a r i a q u e e n v o l v a m c a m p o s v e t o r i a i s , ( i i ) u t i l i t á r i o s p a r a

r e a l i z a r t a r e f a s d e p r é e p ó s - p r o c e s s a m e n t o , q u e v ã o d e u m a s i m p l e s m a n i p u l a ç ã o

d e d a d o s à v i s u a l i z a ç ã o e c o n s t r u ç ã o e p r o c e s s a m e n t o d e m a l h a s , e ( i i i ) b i b l i o t e c a s

d e e x p a n s ã o u s a d a s p e l o s s o l v e r s e u t i l i t á r i o s , t a l c o m o u m a b i b l i o t e c a d e m o d e l o s

f í s i c o s .

A o l o n g o d o s ú l t i m o s a n o s , o F O A M v i n h a s e n d o d e s e n v o l v i d o e m u m a l i n h a

c o m e r c i a l p e l a e m p r e s a i n g l e s a N a b l a , c o m a i d é i a d e f o r n e c e r a o u s u á r i o n a l u m a

f e r r a m e n t a p a r a s i m u l a ç õ e s C F D d e p r o c e s s o s s i c a m e n t e c o m p l e x o s e o f e r e c e n d o

s e r v i ç o s d e c o n s u l t o r i a s o b r e o u s o d o s o f t w a r e e i m p l e m e n t a ç ã o d e n o v o s s o l v e r s c o m

1

S o l v e r s s ã o a r q u i v o s e x e c u t á v e i s c o n s t r u í d o s a p a r t i r d o c ó d i g o f o n t e e d a s b i b l i o t e c a s d o

O p e n F O A M .



4 . 1 I n t r o d u ç ã o 8 3

m o d e l a g e m c o m p l e x a . C o n t u d o , o s d e s e n v o l v e d o r e s c h e g a r a m a c o n c l u s ã o d e q u e a

a b o r d a g e m c o m e r c i a l n ã o e r a a i d e a l . A s s i m , e m 10

d e d e z e m b r o d e 2004

o c ó d i g o d o

F O A M s e t o r n o u d e d o m í n i o p ú b l i c o s o b r e a G P L ( G n u P u b l i c L i c e n s e ) e o p r o g r a m a

p a s s o u a s e r c h a m a d o d e O p e n F O A M ( r e f e r e n t e a o c ó d i g o s e r a b e r t o ) . S e g u n d o o s

d e s e n v o l v e d o r e s , e s t a n o v a f a s e d e d e s e n v o l v i m e n t o d o c ó d i g o c o m e ç a c o m o m d e

s u a a b o r d a g e m c o m e r c i a l , r e c o n h e c e n d o q u e o O p e n F O A M é e s s e n c i a l m e n t e u m a

f e r r a m e n t a d e p e s q u i s a e q u e o f u t u r o d o c ó d i g o s ó p o d e s e r g a r a n t i d o a t r a v é s d e

c o l a b o r a ç õ e s e i n t e r a ç õ e s c o m o m e i o a c a d ê m i c o .

D e s d e q u e s e u c ó d i g o f o i l i b e r a d o , a c o m u n i d a d e c i e n t í c a t ê m t r a t a d o o O p e n -

F O A M c o m m u i t o i n t e r e s s e , t e s t a n d o - o p a r a c a s o s b e n c h m a r k , u t i l i z a n d o e m p r o j e -

t o s d e p e s q u i s a e p r o p o n d o i n ú m e r a s c o l a b o r a ç õ e s p a r a o d e s e n v o l v i m e n t o d o c ó d i g o .

F o i c r i a d o u m g r u p o d e d i s c u s s ã o n a i n t e r n e t s o b r e o O p e n F O A M p a r a d i s c u t i r a s -

p e c t o s d e u s o , i m p l e m e n t a ç ã o d e c ó d i g o e a n á l i s e n u m é r i c a d o s o f t w a r e a b e r t o . U m

c o m e n t á r i o d o P r o f . J a s a k e m e s p e c i a l r e e t e a s i t u a ç ã o a t u a l d o O p e n F O A M : É

i n c r í v e l a p o p u l a r i d a d e q u e o O p e n F O A M e s t á r e c e b e n d o d a c o m u n i d a d e c i e n t í c a .

O c ó d i g o e s t á s e e s p a l h a n d o c o m o u m p o d e r o s o v í r u s n a i n t e r n e t . É c e r t o q u e ,

s e o o b j e t i v o d e u s a r o c ó d i g o e m u m a m b i e n t e d e c o l a b o r a ç õ e s f o r a l c a n ç a d o , o

O p e n F O A M t e r á g r a n d e s c h a n c e s d e c r e s c e r e s e t o r n a r u m a d a s m a i o r e s p l a t a -

f o r m a s d e C F D e m c ó d i g o a b e r t o d a p r ó x i m a g e r a ç ã o . D e f a t o , g r a n d e s e m p r e s a s

m u l t i n a c i o n a i s , c o m o A U D I , A i r b u s , B a y e r , S h e l l , H o n d a , e n t r e o u t r a s , j á v i s u a l i z a -

r a m s e u p o n t e c i a l e u t i l i z a m o O p e n F O A M n o d e s e n v o l v i m e n t o d e p r o j e t o s d e a l t a

t e c n o l o g i a .

O t r a b a l h o a q u i a p r e s e n t a d o s e i n i c i o u j u n t o c o m o l a n ç a m e n t o d a v e r s ã o

1.0d o

O p e n F O A M e a c o m p a n h o u s u a e v o l u ç ã o a o l o n g o d a s n o v a s v e r s õ e s . N o m o m e n t o

d a e s c r i t a d e s t e d o c u m e n t o , a ú l t i m a v e r s ã o e r a a 1.4.1

, s e n d o e s t a a u t i l i z a d a n o

d e s e n v o l v i m e n t o n a l d o s c ó d i g o s .



4 . 2 E s t r u t u r a d a M e t o d o l o g i a N u m é r i c a 8 4

4 . 2 E s t r u t u r a d a M e t o d o l o g i a N u m é r i c a

O O p e n F O A M p o s s u i i m p l e m e n t a ç õ e s n u m é r i c a s e s p e c í c a s p a r a a s o l u ç ã o d e e q u a -

ç õ e s d i f e r e n c i a i s p a r c i a i s e e n t e n d e r s e u f u n c i o n a m e n t o é v i t a l p a r a a i m p l e m e n t a ç ã o

( o u e x t e n s ã o ) d o s c ó d i g o s . P o r t a n t o , e s t a s e ç ã o a p r e s e n t a a m e t o d o l o g i a d a d i s c r e -

t i z a ç ã o e s o l u ç ã o n u m é r i c a d a s e q u a ç õ e s d e t r a n s p o r t e e s u a i n t e r p r e t a ç ã o p e l o

O p e n F O A M .

4 . 2 . 1 D i s c r e t i z a ç ã o p o r V o l u m e s F i n i t o s

A m e t o d o l o g i a n u m é r i c a a p l i c a d a n a d i s c r e t i z a ç ã o d a s e q u a ç õ e s n o O p e n F O A M é

b a s e a d a p r i m a r i a m e n t e n o m é t o d o d o s v o l u m e s n i t o s [ 2 6 1 , 2 6 2 , 1 8 2 , 2 6 3 , 2 6 4 ] . O

t e r m o d i s c r e t i z a ç ã o s e r e f e r e à a p r o x i m a ç ã o d e u m p r o b l e m a e m u m d o m í n i o c o n -

t í n u o p o r e l e m e n t o s d i s c r e t o s . O m é t o d o d o s v o l u m e s n i t o s , a s s i m c o m o o m é t o d o

d a s d i f e r e n ç a s e e l e m e n t o s n i t o s , s ã o a p l i c a d o s n a d i s c r e t i z a ç ã o d o e s p a ç o f í s i c o e

t e m p o r a l . O p r i m e i r o t i p o d e d i s c r e t i z a ç ã o c o n s i d e r a a d i v i s ã o d o d o m í n i o d o e s p a ç o

e m u m c o n j u n t o d e v o l u m e s d e c o n t r o l e i n t e r c o n e c t a d o s e n t r e s i ( c o n t í g u o s ) o u c o m

o c o n t o r n o d o d o m í n i o . A d i s c r e t i z a ç ã o d o e s p a ç o f í s i c o c o n s t r ó i a c h a m a d a m a l h a

c o m p u t a c i o n a l . D e f o r m a s i m i l a r , a d i s c r e t i z a ç ã o t e m p o r a l é a p l i c a d a a p r o b l e m a s

t r a n s i e n t e s p a r t i n d o d e u m a c o n d i ç ã o i n i c i a l e s u b d i v i d e s e u d o m í n i o e m u m n ú m e r o

n i t o d e i n t e r v a l o s n o t e m p o . U m a r e p r e s e n t a ç ã o d e u m d o m í n i o d i s c r e t i z a d o e s t á

c o l o c a d a n a F i g . 4 . 1 .

U m v o l u m e d e c o n t r o l e é c o m p o s t o p o r u m c o n j u n t o d e f a c e s , q u e p o r s u a v e z

é c o m p o s t a p o r u m c o n j u n t o d e a r e s t a s . A s f a c e s p o d e m c o n e c t a r d o i s v o l u m e s d e

c o n t r o l e o u u m v o l u m e d e c o n t r o l e a o c o n t o r n o d o d o m í n i o . A F i g . 4 . 2 a p r e s e n t a a s

v a r i á v e i s r e l e v a n t e s n a i n t e r c o n e x ã o d e d o i s v o l u m e s d e c o n t r o l e v i z i n h o s ,

P e

N .

N o t e q u e p e l a F i g . 4 . 2 o v e t o r

Sé n o r m a l à f a c e

f e s u a m a g n i t u d e é i g u a l à

á r e a d a f a c e . E s t e v e t o r a p o n t a d o v o l u m e d e i n t e r e s s e P

p a r a o v i z i n h o N

. O v e t o r




F i g u r a 4 . 1 : D i s c r e t i z a ç ã o n o s d o m í n i o s d e e s p a ç o e t e m p o ( r e t i r a d o d e R U S C H E [ 5 2 ] ) .

F i g u r a 4 . 2 : P a r â m e t r o s n a d i s c r e t i z a ç ã o p o r v o l u m e s n i t o s ( r e t i r a d o d e R U S C H E [ 5 2 ] ) .

u n i t á r i o n

n o r m a l à f a c e é d e n i d o c o m o n = S

|S|e n q u a n t o q u e a d i s t â n c i a

de n t r e o

c e n t r o d o s v o l u m e s P

e N

é d e n i d a c o m o d = xN −xP . U m a m a l h a é c o n s i d e r a d a

o r t o g o n a l q u a n d o d é p a r a l e l o a o v e t o r S e m c a d a f a c e d a m a l h a .

U m p o n t o i m p o r t a n t e n a d i s c r e t i z a ç ã o é a a l o c a ç ã o d o c a m p o d e v a r i á v e i s n a

m a l h a . U s u a l m e n t e , t o d a s a s v a r i á v e i s d e p e n d e n t e s ( e f e t i v a m e n t e s o l u c i o n a d a s )

s ã o a l o c a d a s n o c e n t r o d o s v o l u m e s . E s t e t i p o d e a l o c a ç ã o , d e n o m i n a d o a r r a n j o c o -

l o c a l i z a d o , s e t o r n a a e s c o l h a m a i s ó b v i a p e l a s u a s i m p l i c i d a d e d e c o n t r o l e d o s í n d i c e s

d a m a l h a n a i m p l e m e n t a ç ã o c o m p u t a c i o n a l . C o n t u d o , p r o b l e m a s d e o s c i l a ç ã o e

a v a l i a ç ã o d o g r a d i e n t e d e p r e s s ã o p o d e m a p a r e c e r n o a r r a n j o c o - l o c a l i z a d o [ 2 6 2 ] .

P o r é m , c o m o s a v a n ç o s d a s t é c n i c a s n u m é r i c a s [ 2 6 5 , 2 6 6 ] e s t e s p r o b l e m a s f o r a m




r e s o l v i d o s e , d e s d e e n t ã o , o a r r a n j o c o - l o c a l i z a d o é u s a d o n a m a i o r i a d o s c ó d i g o s

C F D , i n c l u s i v e n o O p e n F O A M .

O p r o c e s s o d e d i s c r e t i z a ç ã o p o r v o l u m e s n i t o s t r a n s f o r m a a s e q u a ç õ e s d i f e r e n -

c i a i s d e v a r i á v e i s c o n t í n u a s e m u m s i s t e m a d e e q u a ç õ e s a l g é b r i c a s c o r r e s p o n d e n t e .

P a r t i n d o d e u m a e q u a ç ã o d e t r a n s p o r t e p a r a u m a v a r i á v e l ϕ

t e n s o r i a l g e n é r i c a

∂ (ρϕ)

∂t+ · (ρuϕ) = · (Γϕ) + S ϕ(ϕ)

( 4 . 1 )

o n d e ρ

é a m a s s a e s p e c í c a , u

é o c a m p o d e v e l o c i d a d e , Γ

é o c o e c i e n t e d e d i f u s ã o

e S ϕ(ϕ)

é o t e r m o f o n t e , s u a d i s c r e t i z a ç ã o p o r v o l u m e s n i t o s é o b t i d a i n t e g r a n d o - a

s o b r e u m v o l u m e d e c o n t r o l e V P e e m u m i n t e r v a l o d e t e m p o . t+∆t

t

V P

∂ (ρϕ)

∂tdV +

V P

· (ρuϕ) dV

dt =

t+∆t

t

V P

· (Γϕ) dV +

V P

S ϕ(ϕ) dV

dt

( 4 . 2 )

O t e o r e m a d e G a u s s é u s a d o p a r a c o n v e r t e r a s i n t e g r a i s e m v o l u m e d o s t e r m o s

d e r i v a t i v o s n o e s p a ç o e m i n t e g r a i s s o b r e a s u p e r f í c i e

S n o c o n t o r n o d o s v o l u m e s d e

c o n t r o l e . V

( · ϕ) dV =

∂V

dS · ϕ( 4 . 3 )

O t e o r e m a d e G a u s s é u t i l i z a d o n a E q . 4 . 2 p a r a a p r o x i m a r s e u s t e r m o s p e l o

s o m a t ó r i o d o s u x o s d a s p r o p r i e d a d e s p e l a s f a c e s d o v o l u m e d e c o n t r o l e . E s t e

p r o c e d i m e n t o é d e t a l h a d o n a s e q u ê n c i a .

O t e r m o c o n v e c t i v o · (ρuϕ)

d a E q . 4 . 2 é a p r o x i m a d o c o n v e r t e n d o a s i n t e g r a i s

e m v o l u m e e m s u p e r f í c i e u s a n d o o t e o r e m a d e G a u s s e s o m a n d o - a s e m t o d o o v o l u m e

d e c o n t r o l e : V

· (ρuϕ) dV =

∂V

dS · (ρuϕ) ≈f

S · (ρu)f ϕf (F,M,γ )

= f

F ϕf (F,M,γ ) ( 4 . 4 )

o n d e F

é o u x o m á s s i c o a t r a v é s d a f a c e f

d e n i d o c o m o F = S · (ρu)f . O v a l o r d a

p r o p r i e d a d e n a f a c e ϕf (F,M,γ ) p o d e s e r o b t i d o u s a n d o u m a f u n ç ã o d e i n t e r p o l a ç ã o




M p r é - d e n i d a . E s t a ú l t i m a u s u a l m e n t e u t i l i z a i n f o r m a ç õ e s d o p r ó p r i o v o l u m e d e

c o n t r o l e e s e u s v i z i n h o s , a l é m d e r e q u e r e r o u x o F

s o b r e a f a c e f

e u m o u m a i s

p a r â m e t r o s

γ p a r a e f e t u a r a i n t e r p o l a ç ã o . E x i s t e m v á r i o s m é t o d o s d e i n t e r p o l a -

ç ã o , e n t r e o s q u a i s p o d e - s e c i t a r a s a b o r d a g e n s d e i n t e r p o l a ç ã o l i n e a r ( d i f e r e n ç a s

c e n t r a i s ) , u p w i n d , Q U I C K , M U S C L , T V D ( T o t a l V a r i a t i o n D i m i n i s h i n g ) e N V D

( N o r m a l i s e d V a r i a b l e D i a g r a m ) . A f o r m u l a ç ã o d e s t e s m é t o d o s e n c o n t r a m - s e e m v á -

r i o s t r a b a l h o s [ 2 6 4 , 2 6 3 , 2 6 2 , 2 6 7 ] e s u a s f o r m u l a ç õ e s s ó s e r ã o a b o r d a d a s q u a n d o f o r

n e c e s s á r i o .

D a m e s m a f o r m a , o t e r m o d i f u s i v o

· (Γϕ)d a E q . 4 . 2 é a p r o x i m a d o u s a n d o o

t e o r e m a d e G a u s s : V

· (Γϕ) dV =

∂V

dS · (Γϕ) ≈f

Γf (S · f ϕ)( 4 . 5 )

c o n s i d e r a n d o Γ

c o m o u m a v a r i á v e l e s c a l a r . E m m a l h a s o r t o g o n a i s , o g r a d i e n t e f ϕ

p o d e s e r o b t i d o p e l a e x p r e s s ã o

f ϕ =

ϕN − ϕP

|d|. ( 4 . 6 )

U s a n d o a E q . 4 . 6 , o g r a d i e n t e d e ϕ

a v a l i a d o n a f a c e é c a l c u l a d o u s a n d o o s d o i s

v a l o r e s c e n t r a i s l o c a l i z a d o s e n t r e a f a c e f

. C o m o a l t e r n a t i v a , a d i s c r e t i z a ç ã o d o

g r a d i e n t e p o d e s e r c a l c u l a d a u s a n d o o t e o r e m a d e G a u s s p a r a a i n t e g r a l n o v o l u m e : V

ϕ dV =

∂S

dSϕ ≈f

Sϕf ( 4 . 7 )

o n d e o v a l o r d e ϕf é o b t i d o a t r a v é s d e u m a f u n ç ã o d e i n t e r p o l a ç ã o .

T e r m o s f o n t e s , c o m o S ϕ(ϕ)

m o s t r a d o n a E q . 4 . 2 , p o d e m s e r f u n ç õ e s g e n é r i c a s

d e ϕ

. A s s i m , e s t e s t e r m o s s ã o l i n e a r i z a d o s a n t e s d a d i s c r e t i z a ç ã o

S ϕ(ϕ) = S I ϕ + S E ( 4 . 8 )

s e n d o q u e S I e

S E p o d e m s e r d e p e n d e n t e s d e ϕ

. E s t e t e r m o i n t e g r a d o n o v o l u m e

d e c o n t r o l e r e s u l t a e m : V

S ϕ(ϕ) dV = S I ϕP V P + S E V P ( 4 . 9 )




A o a s s u m i r q u e o s v o l u m e s d e c o n t r o l e n ã o v a r i a m c o m o t e m p o , a E q . 4 . 2 p o d e

s e r r e e s c r i t a u s a n d o a s E q s . 4 . 4 , 4 . 5 e 4 . 9 :

t+∆t

t

∂ (ρϕ)

∂t

P

V P +f

F ϕf (F,M,γ )

dt =

t+∆t

t

f

Γf (S · f ϕ) + (S I ϕP + S E )V P

dt

( 4 . 1 0 )

A e x p r e s s ã o a c i m a u s u a l m e n t e é d i t a c o m o a f o r m a s e m i - d i s c r e t i z a d a d a e q u a ç ã o

d e t r a n s p o r t e [ 2 6 3 , 6 6 ] .

A s s u m i n d o u m a v a r i a ç ã o l i n e a r d e ϕ(t)

n o t e m p o [ 2 6 3 ] , a d i s c r e t i z a ç ã o d a d e r i -

v a d a n o t e m p o m o s t r a d a n a E q . 4 . 1 0 e a i n t e g r a l n o t e m p o p o d e m s e r c a l c u l a d a s

d i r e t a m e n t e c o m o ∂ (ρϕ)

∂t

P

=ρnP ϕ

nP − ρ0P ϕ

0P

∆t( 4 . 1 1 )

t+∆t

t

ϕ(t) dt =1

2(ϕ0 + ϕn)∆t

( 4 . 1 2 )

o n d e ϕn = ϕ(t+∆t) r e p r e s e n t a o n o v o v a l o r d e ϕ p a r a p a s s o d e t e m p o a s e r r e s o l v i d o

e n q u a n t o ϕ0 = ϕ(t)

é o v a l o r n o p a s s o a n t e r i o r . U t i l i z a n d o a s E q s . 4 . 1 0 , 4 . 1 1 e 4 . 1 2 ,

o b t é m - s e a f o r m a d i s c r e t i z a d a , t e m p o r a l e e s p a c i a l , d a E q . 4 . 1 .

ρP ϕnP − ϕ0

P

∆tV P +

1

2

f

F nϕnf (F,M,γ ) −

1

2

f

Γnf S · (f ϕ)n

+1

2

f

F 0ϕ0f (F,M,γ ) −

1

2

f

Γ0f S · (f ϕ)0

= 12

(S nE + S 0E )V P + 12

(S nI ϕnP + S 0I ϕ

0P )V P ( 4 . 1 3 )

A f o r m u l a ç ã o d a d i s c r e t i z a ç ã o t e m p o r a l a p r e s e n t a d a n a E q . 4 . 1 3 é o m é t o d o d e

s e g u n d a o r d e m d e C r a n k - N i c h o l s o n . E s t e m é t o d o r e q u e r o s v a l o r e s d e ϕ

e ϕ

n o

v o l u m e d e c o n t r o l e e n a s s u a s f a c e s n o i n s t a n t e d e t e m p o a s e r r e s o l v i d o e p a s s a d o .

O s v a l o r e s n a s f a c e s s ã o c a l c u l a d o s a p a r t i r d o s v a l o r e s n o c e n t r o d o s v o l u m e s e m

c a d a l a d o d a f a c e e u s a n d o m é t o d o s a d e q u a d o s p a r a a i n t e r p o l a ç ã o d o s t e r m o s

c o n v e c t i v o s e d i f u s i v o s .




4 . 2 . 2 S i s t e m a A l g é b r i c o d e E q u a ç õ e s

D e f a t o , o o b j e t i v o é o b t e r o n o v o v a l o r d e ϕP . C o m o

ϕf e f ϕ t a m b é m d e p e n d e m

d o v a l o r d e ϕ

n o s v o l u m e s v i z i n h o s , a E q . 4 . 1 3 p o d e s e r r e p r e s e n t a d a c o m o u m a

e q u a ç ã o a l g é b r i c a v á l i d a p a r a o v o l u m e

P .

aP ϕnP +

N

aN ϕnN = bP ( 4 . 1 4 )

A o c o n s i d e r a r t o d o s o s v o l u m e s d e c o n t r o l e d a m a l h a , a E q . 4 . 1 4 p o d e s e r e s c r i t a

c o m o u m s i s t e m a a l g é b r i c o d e e q u a ç õ e s ,

Aϕ = b( 4 . 1 5 )

o n d e A

é u m a m a t r i z e s p a r s a c o m c o e c i e n t e s d i a g o n a i s aP e n ã o - d i a g o n a i s

aN ,

e n q u a n t o q u e ϕ

e b

s ã o r e s p e c t i v a m e n t e o s v e t o r e s d a s v a r i á v e i s ϕ

e o s t e r m o s

f o n t e s r e f e r e n t e s a o c e n t r o d o s v o l u m e s . A m a t r i z A

p o d e s e r d e c o m p o s t a e m d u a s

m a t r i z e s c o n t e n d o a p e n a s o s c o e c i e n t e s d i a g o n a i s D

e o s n ã o - d i a g o n a i s N

, t a l q u e :

A = D + N ( 4 . 1 6 )

P o r t a n t o , a e s t r u t u r a d a m a t r i z d e c o e c i e n t e s A

p o d e v a r i a r d e p e n d e n d o d a

d i m e n s ã o d o p r o b l e m a , d a f o r m a d e d i s c r e t i z a ç ã o d a s e q u a ç õ e s e d a o r d e n a ç ã o d o s

v o l u m e s d e c o n t r o l e n a m a l h a . A e s t r u t u r a d a m a t r i z é u m p a r â m e t r o i m p o r t a n t e

n a e s c o l h a d o m é t o d o m a i s a p r o p r i a d o p a r a r e s o l v e r o s i s t e m a l i n e a r . E m a p l i c a ç õ e s

C F D , c e r c a d e 20%

d o t e m p o d e c o m p u t a ç ã o n e c e s s á r i o p a r a r e s o l v e r u m d a d o

p r o b l e m a e s t á a s s o c i a d o à s o l u ç ã o d e s i s t e m a l i n e a r . O s o u t r o s 80%

e s t ã o a s s o c i a d o s

à o b t e n ç ã o d a s e q u a ç õ e s d i s c r e t i z a d a s .

O s m é t o d o s n u m é r i c o s p a r a s o l u ç ã o d e s i s t e m a s l i n e a r e s p o d e m s e r d i v i d i d o s e m

d u a s c l a s s e s : d i r e t o s e i t e r a t i v o s . O s m é t o d o s d i r e t o s d e t e r m i n a m a s o l u ç ã o e x a t a , a

m e n o s d e e r r o s d e t r u n c a m e n t o , e m u m n ú m e r o n i t o d e o p e r a ç õ e s m a t r i c i a i s . E l e s

s ã o i n d i c a d o s p a r a s i s t e m a s l i n e a r e s c o m u m n ú m e r o n ã o m u i t o d e g r a n d e d e e q u a -

ç õ e s ( a t é a l g u m a s c e n t e n a s ) o u c o m u m a m a t r i z d o s i s t e m a c u j a e s t r u t u r a p e r m i t a




u m m é t o d o e s p e c i a l d e s o l u ç ã o . A l i m i t a ç ã o d e s t e s m é t o d o s a s i s t e m a s p e q u e n o s

o c o r r e p o r d o i s m o t i v o s . P r i m e i r o , o n ú m e r o d e o p e r a ç õ e s ( m a t e m á t i c a s ) c r e s c e

m u i t o r a p i d a m e n t e c o m o t a m a n h o d o s i s t e m a , o q u e a u m e n t a o c u s t o c o m p u t a c i o -

n a l s u p e r l i n e a r m e n t e . A l é m d i s s o , o a l t o n ú m e r o d e o p e r a ç õ e s l e v a a o a u m e n t o d o s

e r r o s d e t r u n c a m e n t o , o q u e d e g r a d a a a c u r á c i a d a s o l u ç ã o .

O s m é t o d o s i t e r a t i v o s f o r a m d e s e n v o l v i d o s p a r a s u p e r a r a s d e c i ê n c i a s d o s m é -

t o d o s d i r e t o s n o t r a t a m e n t o d e g r a n d e s s i s t e m a s . O s m é t o d o s i t e r a t i v o s t a m b é m

g a n h a r a m e s p a ç o d e v i d o a s u a f a c i l i d a d e d e i m p l e m e n t a ç ã o e m c o m p u t a d o r e s d e

a l t o d e s e m p e n h o c o m m e m ó r i a c o m p a r t i l h a d a o u d i s t r i b u í d a ( s u p e r c o m p u t a d o r e s e

c l u s t e r s ) , q u a n d o c o m p a r a d o a o s m é t o d o s d i r e t o s . A l g u n s d o s m é t o d o s i t e r a t i v o s ,

c o m o o G a u s s - S e i d e l , o G r a d i e n t e C o n j u g a d o ( C G ) e s u a s v a r i a n t e s e o A l g e b r a i c

M u l t i g r i d ( A M G ) p o d e m s e r c i t a d o s [ 2 6 8 ] e e s t ã o i m p l e m e n t a d o s n o O p e n F O A M .

4 . 2 . 3 N o t a ç ã o d a F o r m u l a ç ã o D i s c r e t a

O p r o c e s s o d e d i s c r e t i z a ç ã o p o d e s e r e f e t u a d o d e f o r m a i m p l í c i t a o u e x p l í c i t a , o n d e

a p r i m e i r a é u t i l i z a d a p a r a c o n s t r u i r o s i s t e m a l i n e a r a t r a v é s d a d i s c r e t i z a ç ã o . J á

s e g u n d a f o r m a r e a l i z a o s c á l c u l o s d a o p e r a ç ã o d e f o r m a e x p l í c i t a , u s a n d o o s v a l o r e s

d e ϕ

n o i n s t a n t e a t u a l . R U S C H E [ 6 6 ] a p u d W E L L E R [ 2 6 9 ] i n t r o d u z i u u m a n o t a ç ã o

e s p e c í c a p a r a v o l u m e s n i t o s q u e p e r m i t e e s p e c i c a r o t r a t a m e n t o a p l i c a d o n o

p r o c e s s o d e d i s c r e t i z a ç ã o .

C o m i s s o , a d i s c r e t i z a ç ã o d e u m o p e r a d o r L

é r e p r e s e n t a d a p o r L[ϕ]

. O o p e -

r a d o r

Lp o d e s e r d e r i v a t i v o n o e s p a ç o o u n o t e m p o , o u m e s m o u m t e r m o f o n t e q u e

p o s s u i t r a t a m e n t o i m p l í c i t o . A v a r i á v e l d e p e n d e n t e ϕ

c o l o c a d a e n t r e c o l c h e t e s d e v e

t e r t r a t a m e n t o i m p l í c i t o e s e r i d ê n t i c a e m t o d o s o s t e r m o s d a e q u a ç ã o . P o r o u t r o

l a d o , o s t e r m o s d i s c r e t i z a d o s d e f o r m a e x p l í c i t a n ã o s ã o r e p r e s e n t a d o s e n t r e c o l c h e -

t e s . A s s i m , a s o p e r a ç õ e s i m p l í c i t a s e e x p l í c i t a s p o d e m s e r d i f e r e n c i a d a s u s a n d o e s t a

n o t a ç ã o . U m r e s u m o é a p r e s e n t a d o n a T a b e l a 4 . 1 .




T a b e l a 4 . 1 : N o t a ç ã o d a d i s c r e t i z a ç ã o p o r v o l u m e s n i t o s .

T e r m o N o t a ç ã o p o r v o l u m e s n i t o s T e r m o d i s c r e t i z a d o

D e r i v a d a n o t e m p o

∂ρ[ϕ]∂t

ρnP ϕnP −ρ0P ϕ0P

∆tV P

C o n v e c t i v o

· (F [ϕ]f (F,M,γ ))

f F ϕf (F,M,γ )

D i f u s i v o · (Γ[ϕ])

f F ϕf (F,M,γ )

D i v e r g e n t e · ϕ

f S · ϕ0

f

G r a d i e n t e n o v o l u m e ϕ f Sϕ0

f

F o n t e I m p l í c i t o S I [ϕ] S I V P ϕ

n

F o n t e E x p l í c i t o S E S E V P

S e g u i n d o a n o t a ç ã o m o s t r a d a n a T a b e l a 4 . 1 , o s i s t e m a l i n e a r o b t i d o p e l a d i s c r e -

t i z a ç ã o d a e q u a ç ã o d e t r a n s p o r t e ( E q . 4 . 1 ) p o d e s e r e s c r i t a c o m o c o l o c a d o a b a i x o .

A := ∂ρ[ϕ]

∂t+ · (F [ϕ]f (F,M,γ ))− · (Γ[ϕ]) − S I [ϕ] − S E ( 4 . 1 7 )

N o t e q u e a e q u a ç ã o d i s c r e t i z a d a p a r a c a d a v o l u m e d e c o n t r o l e é i d ê n t i c a à q u e l a

m o s t r a d a n a E q . 4 . 2 .

U m a v e z q u e o s i s t e m a l i n e a r é m o n t a d o , p o d e - s e d e n i r o p e r a d o r e s e s p e c i a i s

p a r a e x t r a i r o s c o e c i e n t e s d a m a t r i z e s e u s t e r m o s f o n t e u s a n d o r e s p e c t i v a m e n t e

AA ≡ A e AS ≡ b . D a m e s m a f o r m a , m a t r i z e s c o n t e n d o o s c o e c i e n t e s d i a g o -

n a i s e n ã o d i a g o n a i s t a m b é m p o d e m s e r o b t i d a s a p a r t i r d e

AD ≡ De

AN ≡ N

r e s p e c t i v a m e n t e .

O o p e r a d o r H , AH , d e n i d o n a s e q u ê n c i a , é u s a d o e x a u s t i v a m e n t e n o s a l g o r i t -

m o s n u m é r i c o s d o O p e n F O A M . S u a d e n i ç ã o p a r t e d o m é t o d o i t e r a t i v o d e J a c o b i

p a r a o b t e n ç ã o d e u m a s o l u ç ã o a p r o x i m a d a d a s e q u a ç õ e s d i s c r e t i z a d a s c o m o m o s -

t r a d o n a E q . 4 . 1 8 .

ϕ ≈ A−1D AH ( 4 . 1 8 )



4 . 3 C o n c e i t o s d e P r o g r a m a ç ã o 9 2

L o g o , o o p e r a d o r H p o d e s e r o b t i d o u t i l i z a n d o a s E q s . 4 . 1 6 e 4 . 1 8 .

AH = AS − AN ϕ ( 4 . 1 9 )

D e n i t i v a m e n t e , o c o n h e c i m e n t o d a s e q u a ç õ e s , m o d e l o s , m é t o d o s d e d i s c r e t i z a -

ç ã o , s o l u ç ã o e a l g o r i t m o s é m u i t o m a i s i m p o r t a n t e q u e o s c o n c e i t o s d e p r o g r a m a ç ã o .

C o m e s s e p o n t o d e v i s t a , r e c o m e n d o f o r t e m e n t e q u e o l e i t o r i n t e r e s s a d o e m d e s e n v o l -

v e r c ó d i g o s n o O p e n F O A M e s t u d e a f u n d o o t r a b a l h o d e J A S A K [ 2 6 3 ] . E s t e ú l t i m o

a p r e s e n t a d e t a l h a d a m e n t e v á r i o s a s p e c t o s s o b r e a f o r m u l a ç ã o n u m é r i c a , i n c l u i n d o a

m e t o d o l o g i a d e d i s c r e t i z a ç ã o , c o n d i ç õ e s d e c o n t o r n o , e t c . , e a t e o r i a d o s a l g o r i t m o s

i m p l e m e n t a d o s , c o m o o a c o p l a m e n t o p r e s s ã o - v e l o c i d a d e , c o r r e ç ã o d o s u x o s e m m a -

l h a s n ã o e s t r u t u r a d a s , e t c . , i m p l e m e n t a d o s n o O p e n F O A M . T o d a a i m p l e m e n t a ç ã o

d o c ó d i g o é b a s e a d a n a t e o r i a a p r e s e n t a d a e m J A S A K [ 2 6 3 ] .

4 . 3 C o n c e i t o s d e P r o g r a m a ç ã o

U m a d a s d i c u l d a d e s i n e r e n t e s d e s t e t r a b a l h o é p a s s a r a o l e i t o r o s c o n c e i t o s e a

s i n t a x e b á s i c a d e p r o g r a m a ç ã o n o O p e n F O A M , s e j a e l e l e i g o e m p r o g r a m a ç ã o o u

n ã o . E x i s t e m v á r i a s f o n t e s d i s p o n í v e i s p a r a o e s t u d o d e C + + , m a s o a u t o r d e s t a c a

o s l i v r o s d e D E I T E L e D E I T E L [ 2 7 0 ] e Y A N G [ 2 7 1 ] p e l a d i d á t i c a c l a r a e e x e m -

p l o s a p l i c a d o s . A t u a l m e n t e , a s f o n t e s s o b r e p r o g r a m a ç ã o n o O p e n F O A M e s t ã o e m

s e u s m a n u a i s ( U s e r ' s G u i d e e P r o g r a m m e r ' s G u i d e ) e e m u m a e n c i c l o p é d i a v i r t u a l

g r a t u i t a e c o m u n i t á r i a ( p á g i n a t i p o W i k i

2

) . A p e s a r d e s e r e m o p o n t o d e p a r t i d a ,

e s t a s f o n t e s a i n d a n ã o s ã o s u c i e n t e s p a r a q u e o u s u á r i o i n i c i a n t e s e j a c a p a z d e e s -

c r e v e r s e u p r ó p r i o s o l v e r , s e n d o n e c e s s á r i o u m c e r t o e s f o r ç o p a r a e s t u d a r o s c ó d i g o s

e x i s t e n t e s , a e s t r u t u r a e o f u n c i o n a m e n t o d o s a l g o r i t m o s i m p l e m e n t a d o s .

2

O t e r m o W i k i é u s a d o p a r a d e s i g n a r u m a c o l e ç ã o d e d o c u m e n t o s c r i a d o s e e d i t a d o s d e f o r m a

c o l a b o r a t i v a e m u m a p á g i n a d a i n t e r n e t . A s s i m , o s v i s i t a n t e s p o d e m m o d i c a r o s d o c u m e n t o s , c o r -

r i g i n d o e r r o s , c o m p l e m e n t a n d o i d é i a s e n o v a s i n f o r m a ç õ e s . O W i k i d o O p e n F O A M e s t á h o s p e d a d o

e m : h t t p : / / o p e n f o a m w i k i . n e t / i n d e x . p h p / M a i n _ P a g e




E s t a s e ç ã o d e s c r e v e o s c o n c e i t o s b á s i c o s s o b r e o r i e n t a ç ã o a o b j e t o s e s u a a p l i c a ç ã o

n a p r o g r a m a ç ã o u s a n d o a s b i b l i o t e c a s d o O p e n F O A M .

4 . 3 . 1 O r i e n t a ç ã o a O b j e t o s e C + +

A m a i o r v a n t a g e m n a a b o r d a g e m a p l i c a d a à o r i e n t a ç ã o a o b j e t o s é r e m o v e r a l g u -

m a s d a s f a l h a s e n c o n t r a d a s n a a b o r d a g e m s e q ü e n c i a l o u c o n t í n u a . N a a b o r d a g e m

o r i e n t a d a a o b j e t o s , o s d a d o s s ã o t r a t a d o s c o m o e l e m e n t o s c r í t i c o s d o p r o g r a m a ,

c h a m a d o s o b j e t o s , e n ã o é p e r m i t i d o a l t e r á - l o s l i v r e m e n t e . O s o b j e t o s s ã o a s s o c i a -

d o s a f u n ç õ e s q u e o s a c e s s a m e o p e r a m , p r o t e g e n d o - o s d e m o d i c a ç õ e s p o r u s o d e

f u n ç õ e s e x t e r n a s . U m a g r a n d e v a n t a g e m n a a b o r d a g e m d e o r i e n t a ç ã o a o b j e t o s é a

r e u s a b i l i d a d e d o c ó d i g o .

P a r a m e l h o r e n t e n d i m e n t o d a l i n g u a g e m o r i e n t a d a a o b j e t o s , o s c o n c e i t o s d e

o b j e t o s , c l a s s e s , a b s t r a ç ã o d e d a d o s e e n c a p s u l a m e n t o , h e r a n ç a e p o l i m o r s m o e s t ã o

c o l o c a d o s n a s e q ü ê n c i a .

O b j e t o s s ã o a s e n t i d a d e s b á s i c a s d e u m s i s t e m a o r i e n t a d o a o b j e t o . A p r o g r a -

m a ç ã o é a n a l i s a d a e m t e r m o s d e o b j e t o s e n a f o r m a d e c o m u n i c a ç ã o e n t r e e l e s .

Q u a n d o u m p r o g r a m a é e x e c u t a d o , o s o b j e t o s i n t e r a g e m u n s c o m o s o u t r o s p o r

e n v i o d e m e n s a g e n s , m e s m o s e m q u e e s t e s t e n h a m c o n h e c i m e n t o s o b r e d e t a l h e s d o s

d a d o s o u c ó d i g o . A s c l a s s e s f o r m a m u m a c o l e ç ã o d e o b j e t o s s i m i l a r e s e n t r e s i .

A a b s t r a ç ã o s e r e f e r e a o a t o d e r e p r e s e n t a r a s p e c t o s e s s e n c i a i s d o p r o g r a m a s e m

i n c l u i r d e t a l h e s o u e x p l i c a ç õ e s b á s i c a s d e p r o g r a m a ç ã o . C l a s s e s u s a m o c o n c e i t o d e

a b s t r a ç ã o e s ã o d e n i d a s c o m o u m a l i s t a d e a t r i b u t o s a b s t r a t o s . O a r m a z e n a m e n t o

d e d a d o s e f u n ç õ e s e m u m a ú n i c a u n i d a d e , e n t i t u l a d a c o m o c l a s s e , é c h a m a d o e n -

c a p s u l a m e n t o . C o m i s s o , o s d a d o s n ã o p o d e m s e r a c e s s a d o s d i r e t a m e n t e e s o m e n t e

a s f u n ç õ e s e n c a p s u l a d a s n a c l a s s e p o d e m a c e s s á - l o s .

H e r a n ç a é o p r o c e s s o n o q u a l o s o b j e t o s p o d e m a d q u i r i r a s p r o p r i e d a d e s d e




o b j e t o s d e o u t r a s c l a s s e s . E s t a c a r a c t e r í s t i c a p r o p o r c i o n a a r e u s a b i l i d a d e d o c ó d i g o ,

c o m o a d i c i o n a r n o v a s p r o p r i e d a d e s a u m a c l a s s e e x i s t e n t e s e m m o d i c á - l a . P a r a t a l ,

d e r i v a - s e u m a n o v a c l a s s e a p a r t i r d e u m a j á e x i s t e n t e . A n o v a c l a s s e t e r á a s p e c t o s

c o m b i n a d o s d a s d u a s c l a s s e s .

P o r m , o p o l i m o r s m o c a r a c t e r i z a a h a b i l i d a d e d e r e a l i z a r o p e r a ç õ e s c o m d i f e -

r e n t e s c o m p o r t a m e n t o s e m s i t u a ç õ e s d i v e r s a s . O c o m p o r t a m e n t o d a o p e r a ç ã o d e -

p e n d e d o t i p o d e d a d o u s a d o n a o p e r a ç ã o . O p o l i m o r s m o é u s a d o e x t e n s i v a m e n t e

n a i m p l e m e n t a ç ã o d a h e r a n ç a d o c ó d i g o .

T e n d o s i d o c o l o c a d o e s s a s i n f o r m a ç õ e s , p o d e - s e d e s c r e v e r a l g u m a s v a n t a g e n s d a

p r o g r a m a ç ã o o r i e n t a d a a o b j e t o s e m r e l a ç ã o à s a b o r d a g e n s c o n v e n c i o n a i s , c o m o :

•F o r n e c e r u m a e s t r u t u r a m o d u l a r p a r a p r o g r a m a s , f a c i l i t a n d o a d e n i ç ã o d e

t i p o s d e d a d o s a b s t r a t o s o n d e d e t a l h e s d a i m p l e m e n t a ç ã o e s t ã o e s c o n d i d o s e

a u n i d a d e p o s s u i u m a i n t e r f a c e c l a r a m e n t e d e n i d a .

•T o r n a r m a i s f á c i l a m a n u t e n ç ã o e a m o d i c a ç ã o d e c ó d i g o s , a s s i m c o m o n o v o s

o b j e t o s p o d e m s e r c r i a d o s c o m p e q u e n a s d i f e r e n ç a s e n t r e o s e x i s t e n t e s .

•F o r n e c e r u m a b o a e s t r u t u r a p a r a b i b l i o t e c a s d e c ó d i g o s o n d e o s c o m p o n e n t e s

d e u m s o f t w a r e p o d e m s e r f a c i l m e n t e a d a p t a d o s e m o d i c a d o s p e l o p r o g r a m a -

d o r .

P a r a e n t e n d e r o f u n c i o n a m e n t o d a s b i b l i o t e c a s d o O p e n F O A M é n e c e s s á r i o t e r

u m c o n h e c i m e n t o p r é v i o d e C + + , a l i n g u a g e m b a s e d o O p e n F O A M . E s t a é u m a

l i n g u a g e m o r i e n t a d a a o b j e t o s e , p o r t a n t o p o s s u i t o d a s a s c a r a c t e r í s t i c a s d e s c r i t a s

a c i m a . P o r s e r b a s e a d a n a l i n g u a g e m p r e c u r s o r a C , C + + é u m a l i n g u a g e m d e p r o -

g r a m a ç ã o a p r o p r i a d a p a r a t r a b a l h o c i e n t í c o , d e v i d o à r a p i d e z c o m q u e o s c á l c u l o s

s ã o e f e t u a d o s . C o n t u d o , a s p r o p r i e d a d e s i n e r e n t e s à o r i e n t a ç ã o a o b j e t o s e m C + +

p r o p i c i a m u m a p e r d a d e c e r c a d e

10%n a v e l o c i d a d e d e p r o c e s s a m e n t o e m r e l a ç ã o

à l i n g u a g e m C . E s t a p e r d a n a e c i ê n c i a p o d e v a r i a r d e p e n d e n d o d a c o n s c i e n t i z a ç ã o

d o p r o g r a m a d o r e m r e l a ç ã o à e f e t i v i d a d e c o m p u t a c i o n a l . M A L A N e L E W I S [ 2 7 2 ]




r e a l i z a r a m u m e s t u d o s o b r e a a p l i c a b i l i d a d e d e c ó d i g o s e s c r i t o s e m C + + n a c o n s t r u -

ç ã o d e a l g o r i t m o s e c a z e s e m c á l c u l o s d e p r o b l e m a s C F D , a p l i c a n d o a l g o r i t m o s q u e

r e d u z e m o t r á f e g o d e d a d o s e b a l a n c e a n d o o p o l i m o r s m o d o c ó d i g o c o m a e c i ê n c i a

c o m p u t a c i o n a l .

4 . 3 . 2 I n t e r p r e t a ç ã o d a L i n g u a g e m p e l o O p e n F O A M

A g r a n d e v a n t a g e m d o u s o d a l i n g u a g e m m a t e m á t i c a é a e c i ê n c i a e m e x p r e s s a r

c o n c e i t o s a b s t r a t o s . P o r e x e m p l o , n o e s c o a m e n t o d e u m u i d o , o t e r m o c a m p o

d e v e l o c i d a d e p o s s u i u m s i g n i c a d o m e s m o s e m q u a l q u e r m e n ç ã o à n a t u r e z a d o

e s c o a m e n t o o u q u a l q u e r d a d o e s p e c í c o d e v e l o c i d a d e . O t e r m o e n c a p s u l a a i d é i a

d e m o v i m e n t o c o m d i r e ç ã o e m a g n i t u d e e a r e l a ç ã o c o m o u t r a s p r o p r i e d a d e s f í s i c a s .

N a m a t e m á t i c a , p o d e - s e r e p r e s e n t a r o c a m p o d e v e l o c i d a d e s p o r u m ú n i c o s í m b o l o ,

p o r e x e m p l o , u

, e e x p r e s s a r c e r t o s c o n c e i t o s u s a n d o s í m b o l o s , p o r e x e m p l o , o c a m p o

d e m a g n i t u d e d e v e l o c i d a d e c o m o |u|

. A s s i m , s e t o r n a p o s s í v e l e x p r e s s a r c o n c e i t o s

c o m p l e x o s c o m e x t r e m a c l a r e z a .

A s e q u a ç õ e s d a m e c â n i c a d o c o n t í n u o s ã o u s u a l m e n t e a p r e s e n t a d a s c o m o e q u a -

ç õ e s d i f e r e n c i a i s p a r c i a i s e m 3 d i m e n s õ e s n o e s p a ç o e c o m v a r i a ç ã o n o t e m p o . E s t a s

e q u a ç õ e s c o n t ê m c o n c e i t o s d e e s c a l a r e s , v e t o r e s , t e n s o r e s e s e u s r e s p e c t i v o s c a m p o s ,

e e n v o l v e m á l g e b r a t e n s o r i a l , c á l c u l o t e n s o r i a l e s i s t e m a s d e u n i d a d e s . A s o l u ç ã o

d e s t a s e q u a ç õ e s e n v o l v e p r o c e d i m e n t o s d e d i s c r e t i z a ç ã o , r e p r e s e n t a ç ã o d e m a t r i z e s e

i m p l e m e n t a ç ã o d e a l g o r i t m o s d e s o l u ç ã o d e s i s t e m a s d e e q u a ç õ e s l i n e a r e s . A t é c n i c a

d e o r i e n t a ç ã o a o b j e t o s u s a d a p e l o O p e n F O A M p e r m i t i u c r i a r d e t i p o s d e d a d o s

m u i t o p r ó x i m o s a o s u s a d o s n a m e c â n i c a d o c o n t í n u o , e a t é c n i c a d e s o b r e c a r r e g a -

m e n t o d e o p e r a d o r e s p e r m i t i u q u e a s i m b o l o g i a m a t e m á t i c a u s u a l f o s s e a p l i c a d a

p a r a o p e r a ç õ e s b á s i c a s .

A s c l a s s e s i m p l e m e n t a d a s n o O p e n F O A M d e c l a r a m t i p o s e o p e r a ç õ e s a s s o c i a d a s

q u e f a z e m p a r t e d a l i n g u a g e m m a t e m á t i c a u t i l i z a d a n a e n g e n h a r i a e n o m e i o c i e n -

t í c o . O c a m p o d e v e l o c i d a d e s a p r e s e n t a d o a n t e r i o r m e n t e p o d e s e r r e p r e s e n t a d o




n o c ó d i g o d e p r o g r a m a ç ã o p e l o s í m b o l o U e a m a g n i t u d e d o c a m p o d e v e l o c i d a d e

p o d e s e r m a g ( U ) . A v e l o c i d a d e é u m c a m p o v e t o r i a l e , p o r t a n t o , d e v e e x i s t i r , e m

u m c ó d i g o c o m o r i e n t a ç ã o a o b j e t o s , u m a c l a s s e v e c t o r F i e l d . E n t ã o , o c a m p o d e

v e l o c i d a d e p o d e s e r v i s t o c o m o u m o b j e t o d a c l a s s e v e c t o r F i e l d .

A c l a r e z a n o u s o d e o b j e t o s n a p r o g r a m a ç ã o p a r a r e p r e s e n t a r o b j e t o s f í s i c o s e

e n t i d a d e s a b s t r a t a s n ã o d e v e s e r s u b e s t i m a d a . A e s t r u t u r a d a s c l a s s e s r e s t r i n g e o

d e s e n v o l v i m e n t o d o c ó d i g o d e n t r o d a s p r ó p r i a s c l a s s e s , t o r n a n d o o c ó d i g o m a i s f á -

c i l d e m a n i p u l a r . N o v a s c l a s s e s p o d e m h e r d a r p r o p r i e d a d e s d e o u t r a s c l a s s e s , p o r

e x e m p l o , u m v e c t o r F i e l d p o d e s e r d e r i v a d o d e u m a c l a s s e v e c t o r e u m a c l a s s e

F i e l d . C + + f o r n e c e u m m e c a n i s m o c h a m a d o d e c l a s s e s t e m p l a t e , d e f o r m a q u e

a c l a s s e F i e l d < T y p e > p o d e r e p r e s e n t a r u m c a m p o d e q u a l q u e r < T y p e > , c o m o

s c a l a r , v e c t o r e t e n s o r . A s c a r a c t e r í s t i c a s g e r a i s d a c l a s s e t e m p l a t e s ã o p a s s a d a s

p a r a q u a l q u e r c l a s s e c r i a d a a p a r t i r d e s t e t e m p l a t e . O s t e m p l a t e s e a h e r a n ç a r e d u -

z e m a d u p l i c a ç ã o d e c ó d i g o e c r i a m h i e r a r q u i a s d e c l a s s e q u e i m p õ e u m a e s t r u t u r a

a o c ó d i g o .

A s s i m , u t i l i z a n d o a s c l a s s e s d o O p e n F O A M , a s i n t a x e d e e s c r i t a d o s s o l v e r s s e

a s s e m e l h a à s o l u ç ã o d e e q u a ç õ e s d i f e r e n c i a i s p a r c i a i s . P o r e x e m p l o , a E q . 4 . 2 0

∂ρu

∂t+ · (Φu) − 2(µu) = − p

( 4 . 2 0 )

é r e p r e s e n t a d a p e l o c ó d i g o e m C + +

s o l v e

(

f v m : : d d t ( r h o , U )

+ f v m : : d i v ( p h i , U )

- f v m : : l a p l a c i a n ( m u , U )

= =

- f v c : : g r a d ( p )

) ;




o n d e o s t e m p l a t e s f v m e f v c r e f e r e m - s e r e s p e c t i v a m e n t e a o p e r a ç õ e s d e d i s c r e t i z a ç ã o

i m p l í c i t a e e x p l í c i t a u s a n d o v o l u m e s n i t o s . O s i s t e m a l i n e a r r e s u l t a n t e é r e s o l v i d o

c o m a f u n ç ã o d e c l a s s e s o l v e .

O s c ó d i g o s d o s s o l v e r s s ã o s e q ü e n c i a i s j á q u e r e p r e s e n t a m u m a l g o r i t m o d e s o l u -

ç ã o e s u a s e q u a ç õ e s , q u e s ã o s e q ü e n c i a i s p o r n a t u r e z a . N o p o n t o d e v i s t a d o a u t o r ,

o s u s u á r i o s n ã o n e c e s s i t a m d e u m g r a n d e c o n h e c i m e n t o d e p r o g r a m a ç ã o o r i e n t a d a

a o b j e t o s e C + + p a r a a l t e r a r c ó d i g o s s i m p l e s , m a s d e v e m c o n h e c e r o s p r i n c í p i o s

p o r t r á s d a o r i e n t a ç ã o a o b j e t o s e t e r u m c o n h e c i m e n t o b á s i c o d a s i n t a x e d e C + + .

C o n t u d o , o s c o n c e i t o s d e p r o g r a m a ç ã o s ã o n e c e s s á r i o s a m e d i d a q u e a c o m p l e x i d a d e

d a m o d e l a g e m e s e u a l g o r i t m o d e s o l u ç ã o a u m e n t a . F a t o c o m u m e m s e t r a t a n d o d e

p r o b l e m a s C F D .

4 . 3 . 3 I m p l e m e n t a ç ã o d e C ó d i g o s C F D

C o m o m e n c i o n a d o a n t e r i o r m e n t e , a s c l a s s e s e t e m p l a t e s

3

p o d e m e n c a p s u l a r t i p o s

e o p e r a ç õ e s s o b r e v a r i á v e i s . A s c l a s s e s d e v e m s e r d e c l a r a d a s n o i n í c i o d o c ó d i g o

a t r a v é s d e b i b l i o t e c a s p a r a q u e s e j a p o s s í v e l u s a r e a c e s s a r o s c o m a n d o s p r e s e n t e s

n a m e s m a . A p r i n c i p a l b i b l i o t e c a d o O p e n F O A M e s t á d e c l a r a d a e m f v C F D . H p o i s

a g r e g a v á r i a s o u t r a s b i b l i o t e c a s q u e s ã o i m p o r t a n t e s p a r a o p l e n o f u n c i o n a m e n t o d o

c ó d i g o . E m c o n j u n t o , e s t a s b i b l i o t e c a s s ã o c a p a z e s d e a l o c a r , m a n i p u l a r e o p e r a r

v a r i á v e i s d e c a m p o i n t e r p r e t a d a s p e l o O p e n F O A M .

N a e x e c u ç ã o d e u m c ó d i g o C F D n o O p e n F O A M , p r i m e i r a m e n t e a g e o m e t r i a

e a m a l h a c o m p u t a c i o n a l s ã o a l o c a d a s u s a n d o a c l a s s e p o l y M e s h , q u e a r m a z e n a

i n f o r m a ç õ e s t o p o l ó g i c a s e g e o m é t r i c a s d a m a l h a . E s t e s d a d o s p o d e m s e r a t u a l i z a d o s

d u r a n t e a s i m u l a ç ã o , t e n d o l i b e r d a d e p a r a a p a g a r i n f o r m a ç õ e s s o b r e o s v o l u m e s d e

c o n t r o l e ( v o l u m e , á r e a d a f a c e s , p o s i ç ã o d o c e n t r o d o v o l u m e / f a c e , e t c . ) e r e c a l c u l á -

l a s q u a n d o f o r n e c e s s á r i o . A s s i m , é p o s s í v e l a p a g a r o u m o d i c a r d a d o s r e f e r e n t e s

3

A p a r t i r d e s s e m o m e n t o , p a r a q u a l q u e r m e n ç ã o à s c l a s s e s d e v e - s e i n c l u i r o s t e m p l a t e s i m p l i c i -

t a m e n t e .




a m u d a n ç a s t o p o l ó g i c a s ( r e n a m e n t o d e m a l h a ) o u g e o m é t r i c a s ( m a l h a s p o l i é d r i c a s

m ó v e i s ) . A c l a s s e f v M e s h é u m a e x t e n s ã o d a p o l y M e s h q u e i n c l u i d a d o s a d i c i o n a i s

n e c e s s á r i o s p a r a a d i s c r e t i z a ç ã o p o r v o l u m e s n i t o s .

E m a d i ç ã o , a s v a r i á v e i s d e c a m p o e s e u s c o n t o r n o s s ã o a l o c a d a s e m p o s i ç õ e s e s -

p e c í c a s d a m a l h a c o m o c e n t r o , f a c e s o u v é r t i c e s d o s v o l u m e s d e c o n t r o l e u s a n d o a

c l a s s e g e o m e t r i c F i e l d < T y p e > . E s t a ú l t i m a é c o n s t r u í d a a p a r t i r d a s c l a s s e s r e f e -

r e n t e s à m a l h a ( f v M e s h ) e a o c a m p o a l o c a d o n o i n t e r i o r e n o c o n t o r n o d a g e o m e t r i a ,

r e s p e c t i v a m e n t e d e n i d a s p e l a s c l a s s e s F i e l d < T y p e > e g e o m e t r i c B o u n d a r y F i -

e l d < T y p e > . N o t e q u e a c l a s s e g e o m e t r i c F i e l d < T y p e > h e r d a a s p r o p r i e d a d e s

d a s c l a s s e s c o m a q u a l é c o n s t r u í d a . D e f a t o , e s t a c l a s s e é r e n o m e a d a p a r a d i s t i g u i r

a p o s i ç ã o o n d e o s c a m p o s s ã o a l o c a d o s n a m a l h a , d e n i d o s c o m o :

•v o l F i e l d < T y p e > o c a m p o e s t á a l o c a d o n o c e n t r o d o s v o l u m e s d e c o n t r o l e .

•s u r f a c e F i e l d < T y p e > o c a m p o e s t á a l o c a d o n a s s u p e r f í c i e s d o s v o l u m e s

d e c o n t r o l e .

•p o i n t F i e l d < T y p e > o c a m p o e s t á a l o c a d o n o s v é r t i c e s d a m a l h a .

C o m o c i t a d o a n t e r i o r m e n t e , a d i s c r e t i z a ç ã o d a s e q u a ç õ e s é r e a l i z a d a p e l o m é t o d o

d o s v o l u m e s n i t o s e a s c l a s s e s f v m e f v c s ã o r e s p o n s á v e i s p e l a a p r o x i m a ç ã o d o s

t e r m o s d e r i v a t i v o s d a s v a r i á v e i s t e n s o r i a i s c a l c u l a d a s . A p e s a r d e s t a s c l a s s e s p o s s u í -

r e m o m e s m o p r o p ó s i t o , s u a s a p l i c a ç õ e s s ã o d i f e r e n t e s . A c l a s s e f v m r e ú n e f u n ç õ e s

p a r a r e a l i z a r o p e r a ç õ e s i m p l í c i t a s d e d i s c r e t i z a ç ã o , a r m a z e n a n d o o s r e s u l t a d o s e m

u m a m a t r i z e s p a r s a d e n i d a p e l a c l a s s e f v M a t r i x < T y p e > . E m o u t r a s p a l a v r a s ,

a c l a s s e f v m d i s c r e t i z a i m p l i c i t a m e n t e o s t e r m o s e c o n s t r ó i u m s i s t e m a d e e q u a -

ç õ e s l i n e a r e s . E s t a c l a s s e é c a p a z d e r e a l i z a r t o d a s a s o p e r a ç õ e s q u e e n v o l v e m

ϕn

c o l o c a d a s n a T a b e l a 4 . 1 .

P o r o u t r o l a d o , a c l a s s e f v c a g r u p a f u n ç õ e s p a r a c a l c u l a r o p e r a ç õ e s e x p l í c i t a s d e

d i s c r e t i z a ç ã o d o s t e r m o s p r e s e n t e s n a s e q u a ç õ e s . A s s i m , e s t a c l a s s e p o d e r e a l i z a r

c á l c u l o s e x p l í c i t o s d i r e t o s e s e u r e s u l t a d o p o d e s e r u s a d o d i r e t a m e n t e n o c ó d i g o o u




F i g u r a 4 . 3 : O p e r a ç õ e s d a c l a s s e g e o m e t r i c F i e l d < T y p e > u s a n d o o p e r a ç õ e s i m p l í c i t a s

( f v m ) e e x p l í c i t a s ( f v c ) .

m e s m o a l o c a d o n o t e r m o f o n t e d o s i s t e m a l i n e a r . E s t a s o p e r a ç õ e s d e d i s c r e t i z a ç ã o

e n v o l v e m a s v a r i á v e i s d e c a m p o n o i n s t a n t e a t u a l , ϕ0

, e r e t o r n a m u m c a m p o g e -

o m é t r i c o g e o m e t r i c F i e l d < T y p e > . O O p e n F O A M f o r n e c e f u n ç õ e s p a r a r e a l i z a r

o u t r a s o p e r a ç õ e s e x p l í c i t a s a l é m d a q u e l a s c o l o c a d a s n a T a b e l a 4 . 1 , c o m o o r o t a c i -

o n a l d e u m c a m p o e a m é d i a p o n d e r a d a n o v o l u m e d e c o n t r o l e o b t i d a a p a r t i r d o s

v a l o r e s n a s f a c e s .

A F i g . 4 . 3 m o s t r a a s d i f e r e n ç a s n o u s o e r e s u l t a d o s d a s c l a s s e s f v m e f v c o p e r a n d o

s o b r e u m g e o m e t r i c F i e l d < T y p e > .

U m a v e z q u e o s i s t e m a l i n e a r d e n i d o p e l a c l a s s e f v M a t r i x < T y p e > é c o n s -

t r u í d o , e s t e p o d e s e r r e s o l v i d o p e l a f u n ç ã o d e c l a s s e s o l v e . A s s i m c o m o o s m é t o d o s

e f u n ç õ e s d e i n t e r p o l a ç ã o u s a d a s n a d i s c r e t i z a ç ã o d a s e q u a ç õ e s , o m é t o d o n u m é r i c o

p a r a a s o l u ç ã o d o s i s t e m a l i n e a r é d e n i d o e m t e m p o d e e x e c u ç ã o . A s s i m , o u s u á r i o

p o d e e s c o l h e r l i v r e m e n t e o s m é t o d o s u s a d o s a t r a v é s d o s a r q u i v o s d e c o n g u r a ç ã o d o

c a s o s i m u l a d o .

T o d o s o s c ó d i g o s i m p l e m e n t a d o s n o O p e n F O A M u t i l i z a m o s c o n c e i t o s d e p r o g r a -

m a ç ã o a p r e s e n t a d o s n e s t a s e ç ã o . M a i o r e s d e t a l h e s s o b r e p r o g r a m a ç ã o e e s t r u t u r a

d e c l a s s e s n o O p e n F O A M p o d e m s e r e n c o n t r a d o s n o P r o g r a m m e r ' s G u i d e .



4 . 4 E s c o a m e n t o M u l t i f á s i c o n o O p e n F O A M 1 0 0

4 . 4 E s c o a m e n t o M u l t i f á s i c o n o O p e n F O A M

O d e s e n v o l v i m e n t o d o e s c o a m e n t o m u l t i f á s i c o n o O p e n F O A M t e v e i n í c i o c o m a s p e s -

q u i s a s r e a l i z a d a s n o I m p e r i a l C o l l e g e [ 2 7 3 , 2 7 4 , 2 7 5 , 2 7 6 , 6 6 , 2 7 7 ] . N e s t a s e q u ê n c i a

d e t r a b a l h o s f o r a m t r a t a d o s d i v e r s o s a s s u n t o s , e n t r e o s q u a i s a m o d e l a g e m d e e s c o -

a m e n t o s s ó l i d o - l í q u i d o [ 2 7 3 , 2 7 7 ] , l í q u i d o - l í q u í d o [ 2 7 6 , 2 7 5 ] e g á s - l í q u i d o [ 2 7 4 , 6 6 ] .

D e s t a f o r m a , o O p e n F O A M f o i u t i l i z a d o p r i n c i p a l m e n t e c o m o f e r r a m e n t a c o m p u t a -

c i o n a l [ 2 6 3 ] p a r a a i m p l e m e n t a ç ã o d e n o v o s c ó d i g o s e p a r a a v a l i d a ç ã o d o s a l g o r i t m o s

n u m é r i c o s m u l t i f á s i c o s c o m p a r a d o s a d a d o s e x p e r i m e n t a i s [ 6 6 , 2 7 5 , 2 7 7 , 2 7 6 ] .

A v e r s ã o 1.4.1

d o O p e n F O A M p o s s u i c ó d i g o s e s p e c í c o s p a r a a s i m u l a ç ã o d e

e s c o a m e n t o s m u l t i f á s i c o s i n c o m p r e s s í v e i s . U m a b r e v e r e v i s ã o d a s d i f e r e n t e s a b o r -

d a g e n s p a r a m o d e l a g e m m u l t i f á s i c a n o O p e n F O A M é a p r e s e n t a d a n e s t a s e ç ã o , c o m

ê n f a s e n o m o d e l o E u l e r i a n o b i f á s i c o d e R U S C H E [ 6 6 ] .

4 . 4 . 1 A b o r d a g e n s I m p l e m e n t a d a s

E x i s t e m t r ê s a b o r d a g e n s d e m o d e l a g e m d e e s c o a m e n t o m u l t i f á s i c o i m p l e m e n t a d a s

n o O p e n F O A M e t o d a s j á f o r a m c o m e n t a d a s n o C a p . 2 . S ã o e l a s a s a b o r d a g e n s L a -

g r a n g e a n a , E u l e r i a n a e V O F ( V o l u m e O f F l u i d ) . A p r i m e i r a a b o r d a g e m é a p l i c a d a

p a r a a s o l u ç ã o d e e s c o a m e n t o s c o m p u l v e r i z a d o r e s ( s p r a y s ) , o n d e a s p a r t í c u l a s s ã o

t r a t a d a s d e f o r m a L a g r a n g e a n a . O s o l v e r d i e s e l F o a m e s u a s v a r i a n t e s s ã o u t i l i z a -

d o s b a s i c a m e n t e e m p r o b l e m a s d e c o m b u s t ã o e p o r i s s o n ã o e s t ã o e n q u a d r a d o s n a

c a t e g o r i a d e m o d e l a g e m m u l t i f á s i c a p e l o s d e s e n v o l v e d o r e s d o O p e n F O A M .

A a b o r d a g e m V O F é a p l i c a d a p a r a o a c o m p a n h a m e n t o d e s u p e r f í c i e l i v r e , c o n -

s i d e r a n d o u m a f u n ç ã o c o l o r a ç ã o F (x , y, z, t)

p a r a i n d i c a r a f r a ç ã o d e u i d o p r e s e n t e

e m d a d a p o s i ç ã o (x,y,z)

e i n s t a n t e t

. D e s s a f o r m a , é p o s s í v e l a c o m p a n h a r o d e s -

l o c a m e n t o d a i n t e r f a c e , c o n s i d e r a n d o q u e e s t a é a d v e c t a d a c o m a v e l o c i d a d e l o c a l

d o u i d o . O s o l v e r b á s i c o u s a n d o V O F é o i n t e r F o a m , p o r é m e s t e p o s s u i v a r i a n t e s




q u e i n c l u e m m o d e l o s d e t u r b u l ê n c i a L E S ( L a r g e E d d y S i m u l a t i o n ) e R A S ( R e y -

n o l d s A v e r a g e S i m u l a t i o n ) . C o n t u d o , e s t e s m o d e l o s c o n s i d e r a m a p e n a s e s c o a m e n -

t o s b i f á s i c o s . E m s u a ú l t i m a v e r s ã o , a v e r s ã o m u l t i f á s i c a d o i n t e r F o a m , c h a m a d a

m u l t i p h a s e I n t e r F o a m , f o i l a n ç a d a e p o d e t r a t a r n

f a s e s d i f e r e n t e s .

A a b o r d a g e m E u l e r i a n a - E u l e r i a n a c o n s i d e r a q u e a s f a s e s s ã o i n t e r p e n e -

t r a n t e s e n t r e s i e i n t r o d u z o c o n c e i t o d e f r a ç ã o v o l u m é t r i c a n a m o d e l a g e m .

O s s o l v e r s i m p l e m e n t a d o s n o O p e n F O A M q u e u s a m e s t a a b o r d a g e m s ã o o

s e t t l i n g F o a m , b u b b l e F o a m , t w o L i q u i d M i x i n g F o a m e t w o P h a s e E u l e r F o a m . O s s o l -

v e r s s e t t l i n g F o a m e t w o L i q u i d M i x i n g F o a m s ã o i n d i c a d o s p a r a s i m u l a r r e s p e c t i v a -

m e n t e a d e p o s i ç ã o d e u m a f a s e d i s p e r s a e m m e i o c o n t í n u o e a m i s t u r a ç ã o d e d u a s

f a s e s l í q u i d a s . J á o s s o l v e r s b u b b l e F o a m e t w o P h a s e E u l e r F o a m s ã o o s m a i s a p r o p r i -

a d o s p a r a s i m u l a r e s c o a m e n t o s d i s p e r s o s , j á q u e o s t e r m o s d e t r o c a d e q u a n t i d a d e

d e m o v i m e n t o e n t r e a s f a s e s ( a r r a s t o , s u s t e n t a ç ã o e m a s s a v i r t u a l ) e s t ã o i n c l u í d o s

e m s u a m o d e l a g e m .

N a v e r d a d e , o d e s e n v o l v i m e n t o d o t w o P h a s e E u l e r F o a m b a s e a - s e n a e x t e n s ã o

d o c ó d i g o d o b u b b l e F o a m e , p o r t a n t o , r e t é m a s c a r a c t e r í s t i c a s b á s i c a s d o ú l t i m o .

A m b o s c o n s i d e r a m o m o d e l o b i f á s i c o E u l e r i a n o d e s c r i t o e m R U S C H E [ 6 6 ] e u t i l i z a m

o m o d e l o k −

p a r a t r a t a r a t u r b u l ê n c i a . N o c a s o , o s o l v e r t w o P h a s e E u l e r F o a m

p e r m i t e a i n d a q u e o u s u á r i o e s c o l h a d i f e r e n t e s m o d e l o s p a r a o c o e c i e n t e d e a r r a s t o

e i n c l u i a m o d e l a g e m d a t e o r i a c i n é t i c a g r a n u l a r [ 2 3 1 ] u t i l i z a d a e m e s c o a m e n t o s g á s -

s ó l i d o . A m o d e l a g e m d e s t e ú l t i m o t ó p i c o n ã o s e r á r e v i s a d a d e v i d o a s u a a p l i c a ç ã o

e s p e c í c a e f o r a d o c o n t e x t o d e s s e t r a b a l h o . D e v i d o à s u a i m p l e m e n t a ç ã o m a i s

g e r a l , a p r ó x i m a s e ç ã o s e d e d i c a a e x p l i c a r c o m m a i s d e t a l h e s a m o d e l a g e m d o

s o l v e r t w o P h a s e E u l e r F o a m .

4 . 4 . 2 M o d e l o E u l e r i a n o B i f á s i c o

O e q u a c i o n a m e n t o d a m o d e l a g e m E u l e r i a n a i m p l e m e n t a d a n o t w o P h a s e E u l e r F o a m

e s t á d e s c r i t a n o t r a b a l h o d e R U S C H E [ 6 6 ] . A f o r m u l a ç ã o p a r a a m o d e l a g e m m u l -




t i f á s i c a é b a s e a d a n o p r o c e s s o d e m é d i a c o n d i c i o n a l p r o p o s t a o r i g i n a l m e n t e p o r

D O P A Z O [ 2 7 8 ] e e s t e n d i d o p o r W E L L E R [ 2 6 9 ] a p u d R U S C H E [ 6 6 ] . N o p r o c e s s o

d e m é d i a c o n d i c i o n a l , a s e q u a ç õ e s s ã o m u l t i p l i c a d a s p o r u m a f u n ç ã o i n d i c a d o r a (

1

n a f a s e d i s p e r s a α

e 0

n a c o n t í n u a ) a n t e s d e a p l i c a r a s t é c n i c a s u s u a i s d e m é d i a .

A s E q s . 4 . 2 1 e 4 . 2 2 a p r e s e n t a m a s e q u a ç õ e s q u e c o m p õ e m a m o d e l a g e m E u l e r i -

a n a , o b t i d a s p e l o p r o c e s s o d e m é d i a c o n d i c i o n a l , c o n s i d e r a n d o f a s e s i n c o m p r e s s í v e i s

e s e m t r o c a d e m a s s a e n t r e f a s e s :

∂rα

∂t

+ · (rαuα) = 0( 4 . 2 1 )

∂ (rαuα)

∂t+ · (rαuαuα) = −

rαρα

p − · (rατ eff α )

+Mα

ρα+ rαg ( 4 . 2 2 )

o n d e o s t e r m o s d e t r o c a d e m o m e n t u m Mα e t e n s ã o

τ eff α , o q u a l c o m b i n a o s t e r m o s

d e t e n s ã o d e R e y n o l d s e v i s c o s a , s ã o o r i g i n a d o s d o p r o c e s s o d e m é d i a e n e c e s s i t a m

d e f e c h a m e n t o . D e f a t o , a s f o r ç a s d e a r r a s t o , s u s t e n t a ç ã o e m a s s a v i r t u a l e s t ã o

i m p l e m e n t a d o s n o t w o p h a s e E u l e r F o a m , q u e p e r m i t e a e s c o l h a d e d i f e r e n t e s m o d e l o s

p a r a c o e c i e n t e d e a r r a s t o [ 2 3 2 , 2 7 9 , 3 8 ] . C o n s i d e r a n d o a p e n a s d u a s f a s e s , a t r o c a

d e q u a n t i d a d e d e m o v i m e n t o e n t r e a s f a s e s é Md = −Mc , o n d e o s u b e s c r i t o d

r e p r e s e n t a a f a s e d i s p e r s a e c

a c o n t í n u a .

A m o d e l a g e m d e t u r b u l ê n c i a d e s c r i t a e m R U S C H E [ 6 6 ] d e r i v a d o t r a b a l h o d e

G O S M A N e t a l . [ 1 1 3 ] , q u e c o n s i s t e d o m o d e l o k − c o m t e r m o s f o n t e s a d i c i o n a i s

q u e i n c o r p o r a m e f e i t o s d a f a s e d i s p e r s a n a t u r b u l ê n c i a . A s e q u a ç õ e s m o d i c a d a s d o

m o d e l o k −

e s t ã o c o l o c a d a s n a s e q ü ê n c i a .

∂kc

∂t+ (uc · )kc − · (

ν eff c

σk

kc) = P c − c + S k ( 4 . 2 3 )

∂c∂t

+ (uc · )c − · (ν eff c

σ

c) =ckc

(C 1P c − C 2c) + S ( 4 . 2 4 )

A p r o d u ç ã o d e e n e r g i a c i n é t i c a t u r b u l e n t a é r e p r e s e n t a d a p o r P c , a v i s c o s i d a d e

e f e t i v a d a f a s e c o n t í n u a ν eff c é c a l c u l a d a p o r

ν eff c = ν c + ν turb, o n d e

ν turb = C µk2cc

. A s




c o n s t a n t e s C 1 e

C 2 a s s i m c o m o o s n ú m e r o s d e S c h m i d t σk e

σ p e r m a n e c e m i n a l t e r a -

d o s e m r e l a ç ã o a o m o d e l o m o n o f á s i c o . N a i m p l e m e n t a ç ã o d o t w o P h a s e E u l e r F o a m ,

R U S C H E [ 6 6 ] c o n s i d e r a o s t e r m o s f o n t e b i f á s i c o s a d i c i o n a i s

S k e

S n u l o s , d e v i d o

a p r o b l e m a s d e s i n g u l a r i d a d e . I s t o g e r a u m a c o n t r a d i ç ã o e m r e l a ç ã o a o m o d e l o d e

G O S M A N e t a l . [ 1 1 3 ] , j á q u e o s t e r m o s f o n t e c o n t r i b u e m p a r a a t u r b u l ê n c i a d a f a s e

d i s p e r s a . R U S C H E [ 6 6 ] d e s t a c a q u e a i n d a d e v e m s e r r e a l i z a d o s t e s t e s n u m é r i c o s

p a r a a v a l i a r o m o d e l o c o m p l e t o d e G O S M A N e t a l . [ 1 1 3 ] .

P o r m , a t e n s ã o d e R e y n o l d s τ eff α p a r a u m a f a s e g e n é r i c a

αé o b t i d a p e l a

h i p ó t e s e d e B O U S S I N E S Q [ 7 1 ] , c o m o m o s t r a a E q . 4 . 2 5 .

τ eff α = −ν eff α

uα + uα

t −2

3I · uα

+

2

3Ikα ( 4 . 2 5 )

C o n t u d o , a i m p l e m e n t a ç ã o d o m o d e l o d e d o i s u i d o s a p l i c a d a s e m a s d e v i d a s

m a n i p u l a ç õ e s p o d e g e r a r s i n g u l a r i d a d e s e i n s t a b i l i d a d e s n u m é r i c a s n a s e q u a ç õ e s .

D e f a t o , a E q . 4 . 2 2 s e t o r n a s i n g u l a r n o l i m i t e e m q u e rα → 0

. D e s t a f o r m a , a l g u n s

t r u q u e s n u m é r i c o s d e v e m s e r u s a d o s p a r a e v i t a r e s t e p r o b l e m a , c o m o l i m i t a r rα d e

m o d o q u e rα → δ

, o n d e 0 < δ 1

. E s t e s d e t a l h e s e s t ã o d e s c r i t o s e m R U S C H E [ 6 6 ] .

A m e t o d o l o g i a n u m é r i c a d e s o l u ç ã o p a r a o e q u a c i o n a m e n t o d e s c r i t o a c i m a é b a -

s e a d o n o a l g o r i t m o P I S O [ 2 8 0 ] p a r a o a c o p l a m e n t o p r e s s ã o v e l o c i d a d e . B a s i c a m e n t e ,

o P I S O c o n s i s t e d e u m a e t a p a d e p r e d i ç ã o d e m o m e n t u m e u m l a ç o d e c o r r e ç ã o , n o

q u a l a e q u a ç ã o d a p r e s s ã o b a s e a d a n a e q u a ç ã o d a c o n t i n u i d a d e v o l u m é t r i c a é r e -

s o l v i d a e a q u a n t i d a d e d e m o v i m e n t o é c o r r i g i d a c o m b a s e n a m u d a n ç a d e p r e s s ã o .

P a r a c o m p o r o a l g o r i t m o , e q u a ç õ e s d e p r e s s ã o , f r a ç ã o v o l u m é t r i c a e d e c o r r e ç ã o d e

m o m e n t u m d e v e m s e r d e r i v a d a s , d e m o d o s i m i l a r a o d e s c r i t o e m J A S A K [ 2 6 3 ] .

D e f a t o , e s t a f o r m u l a ç ã o é m a i s a p r o p r i a d a p a r a o d e s e n v o l v i m e n t o d e n o v o s c ó -

d i g o s p a r a a s i m u l a ç ã o d e e s c o a m e n t o s p o l i d i s p e r s o s . P o r t a n t o , t o d o s o s d e t a l h e s d a

f o r m u l a ç ã o n u m é r i c a d o t w o p h a s e E u l e r F o a m s ã o a b o r d a d o s a p e n a s n o C a p . 5 , o n d e

o d e s e n v o l v i m e n t o d e n o v a s m e t o d o l o g i a s p a r a e s c o a m e n t o m u l t i f á s i c o p o l i d i s p e r s o

s ã o a n a l i s a d a s c o n s i d e r a n d o a e x t e n s ã o d o c ó d i g o b i f á s i c o d e R U S C H E [ 6 6 ] .



C a p í t u l o 5

D e s e n v o l v i m e n t o d a s M e t o d o l o g i a s


N e s t e c a p í t u l o e s t ã o d e s c r i t a s a s e t a p a s r e f e r e n t e s a o d e s e n v o l v i m e n t o d o s m é t o d o s

p a r a o a c o p l a m e n t o d o m o d e l o m u l t i f á s i c o E u l e r i a n o c o m a s t é c n i c a s d e b a l a n ç o

p o p u l a c i o n a l v i s a n d o a s i m u l a ç ã o d e e s c o a m e n t o s p o l i d i s p e r s o s . A s m e t o d o l o g i a s

f o r a m i m p l e m e n t a d a s u s a n d o a f e r r a m e n t a C F D d e c ó d i g o - l i v r e O p e n F O A M .

T o d o s o s c o n c e i t o s a p r e s e n t a d o s n o s c a p í t u l o s a n t e r i o r e s d e s t e t r a b a l h o e s t ã o ,

e n m , a g r e g a d o s a q u i . D e f o r m a n a t u r a l , o d e s e n v o l v i m e n t o o c o r r e e m e t a p a s o n d e

a c o m p l e x i d a d e d e m o d e l a g e m e s u a i m p l e m e n t a ç ã o n u m é r i c a a u m e n t a m d e f o r m a

g r a d u a l . A e l a b o r a ç ã o d a s a b o r d a g e n s m u l t i f á s i c a s s ã o b a s e a d a s n o t r a b a l h o d e

R U S C H E [ 6 6 ] , q u e p r o p ô s e d e s e n v o l v e u o m o d e l o E u l e r i a n o b i f á s i c o i m p l e m e n t a d o

n o O p e n F O A M .

P o r t a n t o , a f o r m u l a ç ã o n u m é r i c a d o m o d e l o b i f á s i c o d e v e s e r a n a l i s a d a p r i m e i -

r a m e n t e p a r a e n t e n d e r e a c o m p a n h a r a s p r ó x i m a s e t a p a s d e d e s e n v o l v i m e n t o . E s t a s

e t a p a s e s t ã o c o l o c a d a s n a s e ç ã o s e g u i n t e , o n d e s ã o a b o r d a d o s o s a s p e c t o s d e f o r m u -

l a ç ã o e i m p l e m e n t a ç ã o d o s a l g o r i t m o s n o O p e n F O A M .

1 0 4



5 . 2 F o r m u l a ç ã o N u m é r i c a d o M o d e l o B i f á s i c o 1 0 5

A p r i m e i r a e t a p a d o d e s e n v o l v i m e n t o r e f e r e - s e à s o l u ç ã o d a E q u a ç ã o d e B a l a n ç o

P o p u l a c i o n a l ( E B P ) u s a n d o o D Q M O M [ 2 1 1 ] , o n d e o s d e t a l h e s d a f o r m u l a ç ã o n u -

m é r i c a e s u a i m p l e m e n t a ç ã o n o O p e n F O A M s ã o a p r e s e n t a d o s .

C o n s i d e r a n d o q u e t o d a s a s f a s e s d i s p e r s a s p o s s u e m a p e n a s u m c a m p o d e v e l o c i -

d a d e , a s o l u ç ã o d a E B P d e s e n v o l v i d a n a e t a p a a n t e r i o r p ô d e , e n t ã o , s e r i n c o r p o r a d a

a o m o d e l o b i f á s i c o d e R U S C H E [ 6 6 ] . E s t a é a e s t r a t é g i a M U S I G p a r a o a c o p l a m e n t o

C F D - E B P .

A i m p l e m e n t a ç ã o d o m o d e l o m u l t i - u i d o E u l e r i a n o s e t o r n a n e c e s s á r i a u m a v e z

q u e a i n d a n ã o e x i s t e t a l c ó d i g o n o O p e n F O A M . S u a e l a b o r a ç ã o p a r t e d a e x t e n s ã o

d o m o d e l o d e R U S C H E [ 6 6 ] , c o n s i d e r a r a n d o a p e n a s u m a f a s e c o n t í n u a e n

f a s e s

d i s p e r s a s . N e s t e c a s o , c a d a f a s e p o s s u i s e u p r ó p r i o c a m p o d e v e l o c i d a d e , f r a ç ã o

v o l u m é t r i c a e d i â m e t r o c a r a c t e r í s t i c o .

E m s u a e t a p a n a l d e d e s e n v o l v i m e n t o , a s o l u ç ã o d a E B P p e l o D Q M O M é

a c o p l a d a a o m o d e l o m u l t i - u i d o e l a b o r a d o n a e t a p a a n t e r i o r . D e s s a f o r m a , o s e f e i t o s

d e i n t e r a ç ã o e n t r e p a r t í c u l a s , c o m o a q u e b r a e a g r e g a ç ã o , s ã o c a p a z e s d e a f e t a r

l o c a l m e n t e a s p r o p r i e d a d e s d a p o p u l a ç ã o , c o m o d i â m e t r o e f r a ç ã o v o l u m é t r i c a .

5 . 2 F o r m u l a ç ã o N u m é r i c a d o M o d e l o B i f á s i c o

D e m o d o g e r a l , a p e n a s o s d e t a l h e s b á s i c o s d a f o r m u l a ç ã o n u m é r i c a d o m o d e l o b i f á -

s i c o i m p l e m e n t a d o n o O p e n F O A M e s t ã o c o l o c a d o s n e s t a s e ç ã o . S u a m o d e l a g e m j á

f o i a p r e s e n t a d a n o C a p . 4 e m a i o r e s i n f o r m a ç õ e s p o d e m s e r e n c o n t r a d a s e m R U S -

C H E [ 6 6 ] .

A f o r m u l a ç ã o n u m é r i c a d o m o d e l o b i f á s i c o é a p l i c a d a p a r a u m a f a s e g e n é r i c a α

,

v á l i d a p a r a a f a s e d i s p e r s a o u c o n t í n u a . E s p e c i c a m e n t e p a r a d e s c r e v e r a m o d e l a g e m

b i f á s i c a , a f a s e d i s p e r s a é r e p r e s e n t a d a p o r α = d

e α = c

p a r a a f a s e c o n t í n u a .




D e f a t o , o a l g o r i t m o i m p l e m e n t a d o n o s o l v e r t w o P h a s e E u l e r F o a m i n c l u i a f o r -

m u l a ç ã o d a t e o r i a c i n é t i c a d e e s c o a m e n t o g r a n u l a r a p l i c a d a e x c l u s i v a m e n t e p a r a a

s i m u l a ç ã o d e s i s t e m a s s ó l i d o - g á s [ 2 3 1 ] . D e v i d o a o f o c o d e s t e t r a b a l h o , o s d e t a l h e s

d e s t a f o r m u l a ç ã o n ã o s ã o c o n s i d e r a d o s .

5 . 2 . 1 E q u a ç õ e s M u l t i f á s i c a s

R U S C H E [ 6 6 ] p a r t e d e u m a v e r s ã o i n c o m p r e s s í v e l d a e q u a ç ã o m u l t i - u i d o , o b t i d a

p e l a d i v i s ã o d a e q u a ç ã o d e c o n s e r v a ç ã o d e q u a n t i d a d e d e m o v i m e n t o m u l t i f á s i c a ,

E q . 4 . 2 2 , p e l a m a s s a e s p e c í c a ρα e p e l a f r a ç ã o v o l u m é t r i c a

rα , c o n s i d e r a n d o α =

d, c.

∂ uα∂t

+ uα · uα + · (τ eff α ) +

rαrα

· τ eff α = −

1

ρα p +

Mα

rαρα+ g

( 5 . 1 )

U t i l i z a n d o a d e n i ç ã o d e τ eff α , m o s t r a d a n a E q . 4 . 2 5 , e a p ó s a l g u m a s m a n i p u l a -

ç õ e s , a E q . 5 . 1 p o d e s e r e x p r e s s a c o m o :

∂ uα∂t

+ · (uαuα) − uα( · uα)

− ·

ν eff α

rαrα

uα

+ uα ·

ν eff α

rαrα

− ν eff α 2uα

+ · (τ effC α ) +

rαrα

· τ effC α = −

1

ρα p +

Mα

rαρα+ g ( 5 . 2 )

o n d e a c o r r e ç ã o d o t e n s o r d e R e y n o l d s τ effC α e s t á d e s c r i t a n a E q . 5 . 3 .

τ effC α = −ν eff α

(uα)t −

2

3I · uα

+

2

3kαI ( 5 . 3 )

N e s t e p r i m e i r o m o m e n t o , a p e n a s o l a d o e s q u e r d o d a E q . 5 . 2 é d i s c r e t i z a d o , s e n d o

q u e a p e n a s o s t e r m o s e n v o l v e n d o uα s ã o t r a t a d o s i m p l i c i t a m e n t e e o s r e s t a n t e s p o r

o p e r a ç õ e s e x p l í c i t a s . U t i l i z a n d o a n o t a ç ã o d e v o l u m e s n i t o s c o l o c a d a n a T a b e l a 4 . 1 ,

a f o r m a d i s c r e t i z a d a d o l a d o e s q u e r d o d a E q . 5 . 2 , r e p r e s e n t a d a p o r Υα , é d e s c r i t a




c o m o :

Υα =

∂ [uα]

∂t + · (φα[uα]) − ( · φα)[uα]

−

·

ν eff αf

⊥f rα

rαf + δ[uα]

+

ν eff αf

⊥f rα

rαf + δ[uα]

−

ν eff αf 2([uα])

+ · τ effC α +

rαrα + δ

· τ effC α ( 5 . 4 )

o n d e φα é o u x o v o l u m é t r i c o d a f a s e

α, d e n i d o c o m o

φα = S · (uα)f e o s u b s c r i t o

f r e p r e s e n t a a i n t e r p o l a ç ã o d a v a r i á v e l a o c e n t r o d a s f a c e s . J á

rαr e p r e s e n t a a

m é d i a n a á r e a d a f r a ç ã o v o l u m é t r i c a a v a l i a d a n a s f a c e s d o v o l u m e d e c o n t r o l e e δ

( 0 < δ 1 ) é u s a d o p a r a l i m i t a r a f r a ç ã o v o l u m é t r i c a , rα → δ , c o m o i n t u i t o d e

e v i t a r p r o b l e m a s n u m é r i c o s q u a n d o a f r a ç ã o t e n d e a z e r o .

A E q . 5 . 2 p o d e s e r r e e s c r i t a e m u m a f o r m a s e m i - d i s c r e t i z a d a p a r a α = d, c

.

Υα = − p

ρα+

Ωα

rαρα+ g

( 5 . 5 )

P o r s u a v e z , Ω

αr e p r e s e n t a a d i s c r e t i z a ç ã o d o s t e r m o s d e i n t e r a ç ã o e n t r e f a s e s ,

c o m o a s f o r ç a s d e a r r a s t o , s u s t e n t a ç ã o e m a s s a v i r t u a l . U m t r a t a m e n t o e s p e c i a l

n a d i s c r e t i z a ç ã o d e c a d a d e s t a s f o r ç a s é n e c e s s á r i o p a r a e v i t a r p r o b l e m a s d e c o n -

v e r g ê n c i a n u m é r i c a . D e s s a f o r m a , a s f o r ç a s d e a r r a s t o e m a s s a v i r t u a l r e c e b e m u m

t r a t a m e n t o s e m i - i m p l í c i t o , e n q u a n t o q u e a f o r ç a d e s u s t e n t a ç ã o é d i s c r e t i z a d a p o r

o p e r a ç õ e s e x p l í c i t a s . A e x p r e s s ã o c o m a f o r m u l a ç ã o d i s c r e t i z a d a r e s u l t a n t e p a r a a

f a s e d i s p e r s a , Ωd , e s t á c o l o c a d a n a s e q u ê n c i a ,

Ωd = K ad (uc − [ud]) + K sdur × ( × u)

+ K mvd

Dcuc

Dt−

Dd[ud]

Dt

( 5 . 6 )

o n d e u = rdud+rcuc ,

ur = ud−uc e o s t e r m o s K ad ,

K sd e K mv

d s ã o f a t o r e s m u l t i p l i c a -

t i v o s q u e e n v o l v e m r e s p e c t i v a m e n t e o s c o e c i e n t e s d a s f o r ç a s d e a r r a s t o , s u s t e n t a ç ã o

e m a s s a v i r t u a l . R U S C H E [ 6 6 , 1 1 2 ] u t i l i z a f ó r m u l a s p a r a e s s e s f a t o r e s d e m o d o a

c o n s i d e r a r a i n v e r s ã o d e f a s e s . C o n t u d o , a f o r m u l a ç ã o d e s c r i t a p o r R U S C H E [ 6 6 ]

e a i m p l e m e n t a d a n o O p e n F O A M s ã o l i g e i r a m e n t e d i f e r e n t e s e n ã o e x i s t e d o c u -

m e n t a ç ã o s o b r e o s m o t i v o s d e s s a m u d a n ç a n o c ó d i g o . A s e q u a ç õ e s e f e t i v a m e n t e




i m p l e m e n t a d a s n o c ó d i g o e s t ã o c o l o c a d a s a b a i x o .

K ad = rcrd3

4

ρcC Ddd

|ur|( 5 . 7 )

K sd = rcrdC L(rcρc + rdρd) ( 5 . 8 )

K mvd = rcrdρcC MV ( 5 . 9 )

O s d e t a l h e s s o b r e a i n v e r s ã o d e f a s e e s e u e f e i t o s o b r e a s f o r ç a s d e i n t e r a ç ã o p o -

d e m s e r e n c o n t r a d o s n a l i t e r a t u r a [ 6 6 , 1 1 2 ] . P o r m , o t e r m o d e t r o c a d e q u a n t i d a d e

d e m o v i m e n t o r e f e r e n t e à f a s e c o n t í n u a é e x p r e s s o c o m o Ωc = −Ωd .

O s t e r m o s d i s c r e t i z a d o s i m p l i c i t a m e n t e s ã o i n c o r p o r a d o s à e q u a ç ã o d i s c r e t i z a d a

Υα , m o s t r a d a n a E q . 5 . 4 , a s s i m c o m o a s f o r m a s e x p l í c i t a s d a f o r ç a d e s u s t e n t a ç ã o

e m a s s a v i r t u a l . N e s t e p r o c e s s o , o b t é m - s e a e q u a ç ã o d i s c r e t i z a d a c o r r i g i d a , ΥC

α ,

d e n i d a a b a i x o p a r a a f a s e d i s p e r s a α = d

,

ΥC d = Υd +

K ad

rdρd

f

[ud] −

K sd

rdρd

f

φr × ( × φ)

−

K mvd

rdρd

f

Dcuc

Dt

f

−

Dd[ud]Dt

( 5 . 1 0 )

e p a r a a f a s e c o n t í n u a α = c

,

ΥC c = Υc +

K adrcρc

f

[uc] +

K sdrcρc

f

φr × ( × φ)

+

K mv

d

rcρc

f

Dc[uc]

Dt

−

Ddud

Dt

f

. ( 5 . 1 1 )

P o r t a n t o , a e q u a ç ã o s e m i - d i s c r e t i z a d a , m o s t r a d a n a E q . 5 . 5 , p o d e s e r r e e s c r i t a

u s a n d o a s E q s . 5 . 1 0 e 5 . 1 1 p a r a a f a s e d i s p e r s a

ΥC d = −

p

ρd+

K adrdρd

uc + g ( 5 . 1 2 )

e c o n t í n u a

ΥC c = −

p

ρc+

K adrcρc

ud + g ( 5 . 1 3 )

C o n t u d o , a s o l u ç ã o d i r e t a d a E q . 5 . 5 n ã o g a r a n t e a c o n t i n u i d a d e d e m a s s a n o

s i s t e m a . T a l o b j e t i v o p o d e s e r a l c a n ç a d o a t r a v é s d a d e d u ç ã o d e u m a e q u a ç ã o p a r a




p r e s s ã o o b t i d a d e t a l f o r m a q u e a e q u a ç ã o d a c o n t i n u i d a d e s e j a o b e d e c i d a . A c o n -

v e r g ê n c i a d e s t a e q u a ç ã o é a t i n g i d a p e l a c o r r e ç ã o d o s u x o s v o l u m é t r i c o s n a s f a c e s

d o s v o l u m e s d e c o n t r o l e . D e f o r m a i t e r a t i v a , o s u x o s c o r r i g i d o s s ã o u s a d o s p a r a

o b t e r u m c a m p o d e p r e s s ã o a t u a l i z a d o a t é o b t e r s u a c o n v e r g ê n c i a .

A s e q u a ç õ e s d e c o r r e ç ã o s ã o d e r i v a d a s a p a r t i r d a E q s . 5 . 1 2 e 5 . 1 3 , q u e p o d e m s e r

e x p r e s s a s u s a n d o o s o p e r a d o r e s m a t r i c i a i s d i a g o n a l ()D e H

()H a p l i c a d o s à m a t r i z

Aα p r o v i n d a d a d i s c r e t i z a ç ã o d e ΥC α . T a i s o p e r a d o r e s f o r a m d e n i d o s p r e v i a m e n t e

n a S e ç ã o 4 . 2 . 3 . P a r a a f a s e d i s p e r s a :

(Ad)Dud = (Ad)H − pρd

+ K adrdρd

uc + g( 5 . 1 4 )

O r e a r r a n j o d a E q . 5 . 1 4 f o r n e c e u m a e q u a ç ã o d e c o r r e ç ã o p a r a a q u a n t i d a d e d e

m o v i m e n t o , q u e p a r a a f a s e d i s p e r s a é :

ud =(Ad)H

(Ad)D−

p

ρd(Ad)D+

K adrdρd(Ad)D

uc +1

(Ad)Dg

( 5 . 1 5 )

S e g u i n d o o m e s m o p r o c e d i m e n t o c o l o c a d o a c i m a , a d e d u ç ã o p a r a a e q u a ç ã o d e

c o r r e ç ã o p a r a a f a s e c o n t í n u a é t r i v i a l .

5 . 2 . 2 E q u a ç ã o d a P r e s s ã o

A f o r m u l a ç ã o d a e q u a ç ã o d a p r e s s ã o d e v e s e r o b t i d a c o n s i d e r a n d o a c o n t i n u i d a d e

d a s f a s e s . D e f o r m a g e r a l , u t i l i z a - s e a e q u a ç ã o d a c o n t i n u i d a d e d a m i s t u r a , o b t i d a

p e l o s o m a t ó r i o d a e q u a ç ã o d a c o n t i n u i d a d e , m o s t r a d a n a E q . 4 . 2 1 , d e t o d a s a s

f a s e s . D e s t a f o r m a , é p o s s í v e l o b t e r a p e n a s u m a ú n i c a e x p r e s s ã o p a r a a p r e s s ã o .

S u a f o r m u l a ç ã o p a r t e , e n t ã o , d a e q u a ç ã o d a c o n t i n u i d a d e d a m i s t u r a i n t e r p o l a d a n o

c e n t r o d a f a c e f

.

· (rdf φd + rcf φc) = 0( 5 . 1 6 )

O s u x o s v o l u m é t r i c o s , o b t i d o s p e l a i n t e r p o l a ç ã o d a E q . 5 . 1 5 a o c e n t r o d a f a c e




f , s ã o d e n i d o s a b a i x o .

φα = φ∗α −1

ρα(Aα)Df

|S|f p ( 5 . 1 7 )

o n d e φ∗d é e x p r e s s o p a r a a f a s e d i s p e r s a (

α = d) c o m o

φ∗d =

(Ad)H

(Ad)D

f

· S +

1

(Ad)D

f

g · S+

K ad

rdρd(Ad)D

f

φc ( 5 . 1 8 )

e φ∗c p a r a a f a s e c o n t í n u a (

α = c) c o m o

φ∗c =

(Ac)H

(Ac)D

f

· S+

1

(Ac)D

f

g · S +

K ad

rcρc(Ac)D

f

φd ( 5 . 1 9 )

O s u x o s v o l u m é t r i c o s d e a m b a s a s f a s e s s ã o s u b s t i t u í d o s d i r e t a m e n t e n a E q . 5 . 1 6

e r e s u l t a m n a e q u a ç ã o d a p r e s s ã o c o l o c a d a a b a i x o .

· (D p p) = · (rdf φ∗d + rcf φ

∗c)

( 5 . 2 0 )

o n d e

D p = rdf 1

ρd(Ad)Df

+ rcf 1

ρc(Ac)Df

( 5 . 2 1 )

A e q u a ç ã o d a p r e s s ã o , m o s t r a d a n a E q . 5 . 2 0 , é d i s c r e t i z a d a c o m o u m t e r m o

d i f u s i v o i m p l í c i t o .

· (D p[ p]) = · (rdf φ∗d + rcf φ

∗c)

( 5 . 2 2 )

A s s i m , o c a m p o d e p r e s s ã o d a m i s t u r a é o b t i d o d e f o r m a a g a r a n t i r a c o n t i n u i d a d e

d o s u x o s v o l u m é t r i c o s d a m i s t u r a . E s t a f o r m a d e a c o p l a m e n t o e n t r e o s c a m p o s d e

p r e s s ã o e v e l o c i d a d e d a s f a s e s c a c a r c t e r i z a o a l g o r i t m o P I S O [ 2 8 0 ] .

5 . 2 . 3 E q u a ç ã o d a F r a ç ã o V o l u m é t r i c a

A s f r a ç õ e s v o l u m é t r i c a s s ã o o b t i d a s a t r a v é s d a e q u a ç ã o d a c o n t i n u i d a d e d e c a d a

f a s e , m o s t r a d a n a E q . 4 . 2 1 . S u a d i s c r e t i s a ç ã o d e v e s e r e c i e n t e , l e v a r a r e s u l t a d o s

c o n s e r v a t i v o s e q u e r e s p e i t e m o s l i m i t e s f í s i c o s d a f r a ç ã o v o l u m é t r i c a ( 0 ≤ rα ≤ 1

) .




A o l o n g o d o s a n o s , v á r i a s a b o r d a g e n s d e s o l u ç ã o d a f r a ç ã o v o l u m é t r i c a f o r a m

p r o p o s t a s e , u s u a l m e n t e , e s t a s a p r e s e n t a v a m p r o b l e m a s d e d i v e r g ê n c i a n u m é r i c a ,

n a c o n s e r v a ç ã o d a f r a ç ã o v o l u m é t r i c a e a o l i m i t a r s e u s v a l o r e s . D e m o d o a e v i t a r

e s s e s p r o b l e m a s , R U S C H E [ 6 6 ] u t i l i z o u a f o r m u l a ç ã o d e W E L L E R [ 2 6 9 ] a p u d R U S -

C H E [ 6 6 ] , q u e r e - a r r a n j a a E q . 4 . 2 1 d e f o r m a q u e s e j a c o n s e r v a t i v a p a r a t o d o s o s

t e r m o s e l i m i t e rα e m a m b o s c o n t o r n o s i n f e r i o r e s u p e r i o r . A e x p r e s s ã o r e s u l t a n t e

e s t á c o l o c a d a a b a i x o ,

∂rd∂t

+ · (urd) + · [urrdrc)] = 0( 5 . 2 3 )

o n d e u = rdud + rcuc e rc = 1 − rd . D e f a t o , e s t a a b o r d a g e m f o r n e c e a i n d a u m

a c o p l a m e n t o i m p l í c i t o e n t r e a s f a s e s a t r a v é s d a v e l o c i d a d e r e l a t i v a ( ur = ud − uc ) .

A d i s c r e t i s a ç ã o d a E q . 5 . 2 3 é r e a l i z a d a d e f o r m a i m p l í c i t a e m t e r m o s d e rd c o m o :

∂ [rd]

∂t

+

· (φ[rd](φr ,M ))

+

· (φrd[rd](φr ,M ))

= 0( 5 . 2 4 )

o n d e φrd = rcf (−φr ,M )φr e

φr = φd − φc .

O s e g u n d o t e r m o d a E q . 5 . 2 4 r e s p e i t a o s l i m i t e s d a f r a ç ã o u m a v e z q u e o u x o

v o l u m é t r i c o d a m i s t u r a s a t i s f a z a c o n t i n u i d a d e . N o t e r c e i r o t e r m o , o s l i m i t e s d e

rd s ã o r e s p e i t a d o s u s a n d o φr n a d i s c r e t i z a ç ã o d o t e r m o c o n v e c t i v o p a r a i n t e r p o l a r

rd p a r a a f a c e e −φr n a i n t e r p o l a ç ã o d e

rc . D e s t a f o r m a , a c o n s e r v a ç ã o d a f r a ç ã o

v o l u m é t r i c a e m a m b a s a s f a s e s d e p e n d e f o r t e m e n t e d o m é t o d o d e i n t e r p o l a ç ã o u s a d o .

P o r t a n t o , o u s o d e m é t o d o s d e i n t e r p o l a ç ã o d e a l t a o r d e m c o m l i m i t a d o r e s d e u x o ,

c o m o T V D o u N V D [ 2 6 3 , 2 6 7 ] s ã o r e q u e r i d o s n e s t a a b o r d a g e m .

A n ã o l i n e a r i d a d e d e rd , p r e s e n t e n o t e r c e i r o t e r m o d a E q . 5 . 2 4 , é t r a t a d a a t r a v é s

d e u m p r o c e s s o d e s o l u ç ã o i t e r a t i v o . D e s s a f o r m a , a E q . 5 . 2 4 é r e s o l v i d a i t e r a t i v a -

m e n t e a t é a t i n g i r c o n v e r g ê n c i a e m rd . R U S C H E [ 6 6 ] r e s s a l t a q u e e s t e p r o c e s s o n ã o

é s e m p r e c o n v e r g e n t e s e n d o n e c e s s á r i o u t i l i z a r b a i x o s n ú m e r o s d e C o u r a n t ( Co

) .

I s t o n ã o a p r e s e n t a g r a n d e s l i m i t a ç õ e s , p o i s b a i x o s v a l o r e s d e p a s s o d e t e m p o j á s ã o

n e c e s s á r i o s p a r a a a c u r á c i a d e s i m u l a ç õ e s t r a n s i e n t e s .




5 . 2 . 4 M o d e l o k − p a r a T u r b u l ê n c i a

A t u r b u l ê n c i a n a f a s e c o n t í n u a é r e s o l v i d a c o m o m o d e l o k −

, c u j a f o r m u l a ç ã o f o i

m o s t r a d a n a s E q s . 4 . 2 3 e 4 . 2 4 . N o t e q u e a t u r b u l ê n c i a s ó é r e s o l v i d a s e a t i v a d a p e l o

u s u á r i o . ∂ [kc]

∂t

+ · (φc[kc]) − · (φc)[kc] −

· (

ν eff c

σk

[kc])

=

P c −

ckc

[kc]

( 5 . 2 5 )

∂ [c]

∂t+ · (φc[c]) − · (φc)[c] − · (

ν eff c

σ

[c]) =C 1P c

ckc

−

C 2

ckc

[c]

( 5 . 2 6 )

P o r m , a v i s c o s i d a d e e f e t i v a é c a l c u l a d a p a r a a m b a s a s f a s e s c o m o ν eff α =

ν α + ν turbc o m

α = d, c, o n d e

ν turb = C µk2cc

.

5 . 2 . 5 I m p l e m e n t a ç ã o e A l g o r i t m o d e S o l u ç ã o

O m o d e l o E u l e r i a n o b i f á s i c o d e R U S C H E [ 6 6 ] e s t á i m p l e m e n t a d o n o s o l v e r

t w o P h a s e E u l e r F o a m . C o n s i d e r a n d o a s d e n i ç õ e s d a l i n g u a g e m d e p r o g r a m a ç ã o n o

O p e n F O A M ( v e r S e ç ã o 4 . 3 ) , o s c a m p o s v e t o r i a i s , c o m o a v e l o c i d a d e , e e s c a l a r e s ,

c o m o a s f r a ç õ e s v o l u m é t r i c a s , k

e

, s ã o a r m a z e n a d o s u s a n d o , r e s p e c t i v a m e n t e , o s

t e m p l a t e s v o l V e c t o r F i e l d e v o l S c a l a r F i e l d . A s s i m , e s s a s v a r i á v e i s s ã o a r m a z e -

n a d a s n o c e n t r o d o s v o l u m e s d e c o n t r o l e . E n q u a n t o i s s o , o s u x o s v o l u m é t r i c o s s ã o

v a r i á v e i s e s c a l a r e s a r m a z e n a d a s n o c e n t r o d a s f a c e s d o s v o l u m e s e , p o r t a n t o , s ã o

d e c l a r a d o s c o m o t e m p l a t e s u r f a c e S c a l a r F i e l d . P o r m , o t e m p l a t e p h a s e M o d e l

a r m a z e n a a s p r o p r i e d a d e s f í s i c a s , c o m o v i s c o s i d a d e e m a s s a e s p e c í c a d e c a d a f a s e .

U m a v e z t e n d o d e n i d o a s v a r i á v e i s d e c a m p o e s u a s p r o p r i e d a d e s f í s i c a s , a s

e t a p a s p a r a s o l u ç ã o d o m o d e l o b i f á s i c o p o d e m s e r d e n i d a s . O A l g o r i t m o

1a p r e s e n t a

a s e t a p a s d e s o l u ç ã o a t é o n a l d a s i m u l a ç ã o e m tfim

, c o m o i m p l e m e n t a d a s n o s o l v e r

t w o P h a s e E u l e r F o a m .




A l g o r i t m o 1 M e t o d o l o g i a p a r a o s o l v e r t w o P h a s e E u l e r F o a m .

1 . I n í c i o d a s i m u l a ç ã o .

2 . L e i t u r a d e d a d o s d a m a l h a , c a m p o s d e v e l o c i d a d e , f r a ç ã o v o l u m é t r i c a e p r o -

p r i e d a d e s f í s i c a s .

3 . L a ç o d o p a s s o d e t e m p o tn

.

3 . 1 L a ç o p a r a c o n v e r g ê n c i a d a f r a ç ã o v o l u m é t r i c a c o m Na p a s s o s .

3 . 1 . 1 S o l u ç ã o d a f r a ç ã o v o l u m é t r i c a p a r a a f a s e d i s p e r s a , E q . 5 . 2 4 , e c o n -

t í n u a , rc = 1 − rd .

3 . 2 C á l c u l o d o s t e r m o s d e i n t e r a ç ã o e n t r e f a s e s , Ωα .

3 . 3 D i s c r e t i z a ç ã o d o l a d o e s q u e r d o d a e q u a ç ã o d e t r a n s p o r t e d e q u a n t i d a d e

d e m o v i m e n t o , ΥC

α , p e l a s E q s . 5 . 4 , 5 . 1 0 e 5 . 1 1 p a r a α = d

, c

.

3 . 4 C á l c u l o d o s o p e r a d o r e s m a t r i c i a i s

(Aα)D e

(Aα)H .

3 . 5 L a ç o P I S O p a r a o a c o p l a m e n t o p r e s s ã o v e l o c i d a d e c o m Np

p a s s o s .

3 . 5 . 1 S o l u ç ã o d a e q u a ç ã o d a p r e s s ã o p e l a E q . 5 . 2 2 .

3 . 5 . 2 C o r r e ç ã o d o s u x o s v o l u m é t r i c o s , E q . 5 . 1 7 , e v e l o c i d a d e s , E q . 5 . 1 5 .

3 . 5 . 3 C á l c u l o d a s f r a ç õ e s v o l u m é t r i c a s c o m o p r o c e d i m e n t o d e s c r i t o n o

i t e m 3 . 1 ( s ó e f e t u a d o s e e s t i v e r a t i v a d o p e l o u s u á r i o ) .

3 . 6 C á l c u l o d a s E q s . 5 . 2 5 e 5 . 2 6 p a r a t u r b u l ê n c i a ( s ó e f e t u a d o s e e s t i v e r

a t i v a d o p e l o u s u á r i o ) .

3 . 7 V o l t a a o i t e m 3

p a r a n = n + 1

.

4 . F i m d a s i m u l a ç ã o q u a n d o tn = tfim

.



5 . 3 B a l a n ç o P o p u l a c i o n a l n o O p e n F O A M 1 1 4

P o r l o s o a , o O p e n F O A M n ã o u s a u m c r i t é r i o d e e r r o p a r a v e r i c a r a c o n v e r -

g ê n c i a d o s l a ç o s d e c o r r e ç ã o . A s s i m , c a a c a r g o d o u s u á r i o d e n i r o n ú m e r o d e

i t e r a ç õ e s n o s l a ç o s , s e n d o

Nap a s s o s p a r a a f r a ç ã o v o l u m é t r i c a e

N pp a r a o a c o -

p l a m e n t o P I S O . I s s o é u m a t o q u e p o d e c o m p r o m e t e r a s i m u l a ç ã o q u a n d o m a i s

i n t e r a ç õ e s s e r i a m n e c e s s á r i a s p a r a a t i n g i r c o n v e r g ê n c i a . D e f a t o , o s e r r o s a s s o c i a -

d o s a e s s a v a r i á v e l s e r i a m p r o p a g a d o s n a m a l h a e n o t e m p o l e v a n d o a r e s u l t a d o s

i n a c u r a d o s .

N a e t a p a 3 . 5 . 3 d o A l g o r i t m o

1, n o v o s v a l o r e s d a s f r a ç õ e s v o l u m é t r i c a s s ã o o b t i d o s

c o m o s c a m p o s a t u a l i z a d o s d e p r e s s ã o e v e l o c i d a d e . A s s i m , e s t a e t a p a p e r m i t e i n c l u i r

o s e f e i t o s d a c o r r e ç ã o d a s f r a ç õ e s v o l u m é t r i c a s n o a c o p l a m e n t o P I S O .

5 . 3 B a l a n ç o P o p u l a c i o n a l n o O p e n F O A M

C o m o a p r e s e n t a d o n o C a p . 3 , o m é t o d o n u m é r i c o h í b r i d o D i r e c t Q u a d r a t u r e M e t h o d

O f M o m e n t s [ 2 1 1 ] , c h a m a d o D Q M O M , f o i e s c o l h i d o c o m o m e t o d o l o g i a b a s e p a r a a

s o l u ç ã o d a e q u a ç ã o d e b a l a n ç o p o p u l a c i o n a l n e s t e t r a b a l h o . N e s t a p r i m e i r a e t a p a , a

s o l u ç ã o d a E B P u s a n d o o D Q M O M é i m p l e m e n t a d a n o O p e n F O A M c o m o u m n o v o

s o l v e r c h a m a d o p b e F o a m .

5 . 3 . 1 F o r m u l a ç ã o d o D Q M O M

U m a d a s v a n t a g e n s i n t r í n s e c a s d o D Q M O M é q u e c a d a f a s e d i s p e r s a p o d e s e r c a r a c -

t e r i z a d a p o r s u a d e n s i d a d e n u m é r i c a , c h a m a d a f u n ç ã o p e s o wα , e a v a r i á v e l i n t e r n a

c o n s i d e r a d a , c h a m a d a a b s c i s s a

ξα . E m s u a f o r m u l a ç ã o , e q u a ç õ e s d e t r a n s p o r t e p a r a

o s p e s o s e p a r a a s a b s c i s s a s p o n d e r a d a s , d e n i d a s c o m o ς α = wαξα , s ã o d e r i v a -

d a s p a r a c a d a f a s e d i s p e r s a . A d e r i v a ç ã o e f o r m u l a ç ã o d o D Q M O M f o i d i s c u t i d a

p r e v i a m e n t e n a S e ç ã o 3 . 2 . 5 d e s t e t r a b a l h o .

N e s t e t r a b a l h o , o t r a n s p o r t e d o s p e s o s e a b s c i s s a s p o n d e r a d a s é c o n s i d e r a d o p u -




r a m e n t e a d v e c t i v o , d e v i d o à n a t u r e z a d o e s c o a m e n t o u s u a l m e n t e t r a t a d o . P o r t a n t o ,

s u a s e q u a ç õ e s d e t r a n s p o r t e c a m n a f o r m a c o l o c a d a a b a i x o , o n d e uα r e p r e s e n t a a

v e l o c i d a d e a s s o c i a d a à c a d a p o n t o d e q u a d r a t u r a .

∂wα

∂t+ · (uαwα) = θα ( 5 . 2 7 )

∂ς α∂t

+ · (uας α) = κα ( 5 . 2 8 )

α = 1, . . . , n

O s t e r m o s f o n t e d a s E q s . 5 . 2 7 e 5 . 2 8 s ã o o b t i d o s a t r a v é s d a s o l u ç ã o d o s i s t e m a

l i n e a r c o l o c a d o d a E q . 5 . 2 9 .

(1 − k)n

α=1

ξkαθα + kn

α=1

ξk−1α κα = H (n)k ( 5 . 2 9 )

k = 0, . . . , n − 1

O t e r m o f o n t e H (n)k d o s i s t e m a l i n e a r a c i m a a g r e g a o s e f e i t o s d e i n t e r a ç ã o e n t r e

p a r t í c u l a s . C o n s i d e r a n d o a p e n a s o s e f e i t o s d e q u e b r a e a g r e g a ç ã o d e p a r t í c u l a s n a

f o r m u l a ç ã o d o D Q M O M , e s t e t e r m o f o n t e é e x p r e s s o c o m o :

H (n)k =

1

2

nα=1

nβ =1

(ξα + ξβ )

k − ξkα − ξkβ

a(ξα, ξβ )wαwβ

+n

α=1

b(ξα)wα

ϑ(ξα)πk(ξα) − ξkα

( 5 . 3 0 )

O b s e r v e q u e o s i s t e m a l i n e a r c o l o c a d o n a E q . 5 . 2 9 d e v e s e r r e s o l v i d o p a r a c a d a

v o l u m e d a m a l h a c o m p u t a c i o n a l . A p ó s a e t a p a d e s o l u ç ã o d o s i s t e m a l i n e a r , o s

t e r m o s f o n t e s d a s E q s . 5 . 2 7 e 5 . 2 8 s ã o o b t i d o s p a r a t o d o o d o m í n i o e o s c a m p o s

e s c a l a r e s d e p e s o s e a b s c i s s a s p o n d e r a d a s n a l m e n t e p o d e m s e r r e s o l v i d o s .

5 . 3 . 2 I m p l e m e n t a ç ã o N u m é r i c a

A s a b s c i s s a s e p e s o s s ã o r e p r e s e n t a d o s c o m o c a m p o s e s c a l a r e s d i s t r i b u í d o s n o c e n t r o

d o s v o l u m e s d e c o n t r o l e d a m a l h a c o m p u t a c i o n a l . C o n t u d o , c a d a p o n t o d e q u a d r a -

t u r a α

p o s s u i s e u p r ó p r i o c a m p o d e a b s c i s s a s e p e s o s . N a l i n g u a g e m d o O p e n F O A M ,




F i g u r a 5 . 1 : R e p r e s e n t a ç ã o d e u m t e m p l a t e P t r L i s t <

v o l S c a l a r F i e l d >

c o m n

e l e m e n t o s .

C a d a s e t a r e p r e s e n t a u m p o n t e i r o i n d i c a n d o o l o c a l o n d e c a d a v o l S c a l a r F i e l d e s t á a l o c a d o

n a m e m ó r i a .

c a d a c a m p o é u m a v a r i á v e l d o t i p o v o l S c a l a r F i e l d e d e v e s e r d e n i d a p a r a c a d a

α.

E m u m a i m p l e m e n t a ç ã o m a i s g e r a l , o n ú m e r o d e p o n t o s d e q u a d r a t u r a d e v e s e r

d e n i d o e m t e m p o d e e x e c u ç ã o e , p o r t a n t o , s u r g e a n e c e s s i d a d e d e u s a r u m a l i s t a q u e

a l o q u e n a m e m ó r i a n

c a m p o s d e v a r i á v e i s d o m e s m o t i p o . P a r a t a l , o O p e n F O A M

u t i l i z a o t e m p l a t e P t r L i s t <

T >

p a r a c o n s t r u i r u m a l i s t a d e c l a s s e s ( o u t e m p l a t e s )

d o t i p o T . N a v e r d a d e , e s t e t e m p l a t e p r o v ê u m a l i s t a d e p o n t e i r o s u s a d o s p a r a

l o c a l i z a r o s e n d e r e ç o s d a s c l a s s e s T a l o c a d a s s e q ü e n c i a l m e n t e n a m e m ó r i a . A s s i m ,

o P t r L i s t <

T >

f o r n e c e f á c i l a c e s s o , a r m a z e n a m e n t o e m a n i p u l a ç ã o d e u m a l i s t a d e

c l a s s e s d o t i p o T .

A s s i m , t o d a s a s v a r i á v e i s d o D Q M O M , c o m o p e s o s , a b s c i s s a s , a b s c i s s a s p o n -

d e r a d a s e o s t e r m o s f o n t e s d a s E q s . 5 . 2 7 e 5 . 2 8 , f o r a m p r o g r a m a d o s c o m o l i s t a s

c o m n

e l e m e n t o s u s a n d o o t e m p l a t e P t r L i s t <

T >

. P o r e x e m p l o , a d e n i ç ã o d e

P t r L i s t <


p a r a a s a b s c i s s a s d e c l a r a u m a l i s t a d e p o n t e i r o s q u e l o -

c a l i z a o e n d e r e ç o n a m e m ó r i a d e

nv o l S c a l a r F i e l d . N e s t e c a s o , o s p o n t e i r o s s e r ã o

e n d e r e ç a d o s a o v o l S c a l a r F i e l d r e f e r e n t e à s a b s c i s s a s d e c a d a p o n t o d e q u a d r a t u r a .

A F i g . 5 . 1 m o s t r a c o m o o t e m p l a t e P t r L i s t <

T >

e s t r u t u r a e l o c a l i z a a s c l a s s e s

T n a m e m ó r i a .

A s f u n ç õ e s d e q u e b r a , b(ξα)

, e a g r e g a ç ã o , a(ξα, ξβ ) , a m b a s p r e s e n t e s n a E q . 5 . 2 9 ,

s ã o i m p l e m e n t a d a s u s a n d o u m r e c u r s o d e p r o g r a m a ç ã o C + + c h a m a d o d e c l a r a ç ã o



5 . 4 A b o r d a g e m M U S I G 1 1 7

v i r t u a l . E s t e r e c u r s o p e r m i t e q u e d i f e r e n t e s f u n ç õ e s c o m o m e s m o p r o p ó s i t o s e j a m

i m p l e m e n t a d a s , m a s a p e n a s u m a d e l a s é u s a d a n o m o m e n t o d e e x e c u ç ã o d o c ó d i g o .

O u s e j a , d i f e r e n t e s m o d e l o s p o d e m s e r p r o g r a m a d o s e a e s c o l h a d o d e s e j a d o o c o r r e

e m t e m p o d e e x e c u ç ã o . A s c o n t r i b u i ç õ e s d o s e f e i t o s d e q u e b r a e a g r e g a ç ã o s ã o

c a l c u l a d a s p a r a c a d a v o l u m e d e c o n t r o l e .

U m a v e z t e n d o d e c l a r a d o a s v a r i á v e i s e f u n ç õ e s p e r t i n e n t e s , o a l g o r i t m o d o D Q -

M O M p o d e s e r e f e t u a d o . D e f a t o , é n e c e s s á r i o c r i a r u m l a ç o e m q u e a s v a r i á v e i s

p o s s a m s e r a c e s s a d a s e m c a d a u m d o s v o l u m e s d e c o n t r o l e d a m a l h a d e m o d o a

m o n t a r e r e s o l v e r o s i s t e m a l i n e a r c o l o c a d o n a E q . 5 . 2 9 . E s t e s i s t e m a é r e s o l v i d o

d e f o r m a d i r e t a p o r d e c o m p o s i ç ã o L U , m é t o d o j á i m p l e m e n t a d o n o O p e n F O A M , e

s u a s o l u ç ã o f o r n e c e o s t e r m o s f o n t e s d a s e q u a ç õ e s d e t r a n s p o r t e d o D Q M O M , θα

e κα , e m c a d a v o l u m e d e c o n t r o l e d a m a l h a . O s t e r m o s f o n t e s d e c a d a p o n t o d e

q u a d r a t u r a s ã o d e c l a r a d o s a r m a z e n a d o s a c e s s a n d o s e u s e n d e r e ç o s d e m e m ó r i a r e f e -

r e n t e s à p o s i ç ã o d o v o l u m e n a m a l h a . A o n a l d o l a ç o , o s t e r m o s f o n t e s ã o , e n m ,

r e c o n s t r u í d o s p a r a t o d o o d o m í n i o .

A s E q s . 5 . 2 7 e 5 . 2 8 s ã o r e s o l v i d a s d i r e t a m e n t e , d i s c r e t i z a n d o i m p l i c i t a m e n t e

t o d o s o s t e r m o s d e r i v a t i v o s , e n q u a n t o q u e o s t e r m o s f o n t e s ã o t r a t a d o s d e f o r m a

e x p l í c i t a . A f o r m a d i s c r e t i z a d a d a s E q s . 5 . 2 7 e 5 . 2 8 e s t ã o c o l o c a d a s n a s e q u ê n c i a : ∂ [wα]

∂t

+

· (φα[wα]f (φ,M,γ ))

= θα ( 5 . 3 1 )

∂ [ς α]

∂t + · (φα[ς α]f (φ,M,γ )) = κα ( 5 . 3 2 )

o n d e φα = S · (uα)f .

P o r m , a s e t a p a s d e s o l u ç ã o d o p b e F o a m e s t ã o d e s c r i t a s n o A l g o r i t m o 2

.

5 . 4 A b o r d a g e m M U S I G

E s t a a b o r d a g e m a c o p l a a o m o d e l o b i f á s i c o [ 6 6 ] o u s o d e b a l a n ç o p o p u l a c i o n a l p a r a

c a l c u l a r a s p r o p r i e d a d e s d a p o p u l a ç ã o . E s t a s e r e s u m e à a b o r d a g e m M U S I G [ 2 2 1 ]



5 . 4 A b o r d a g e m M U S I G 1 1 8

A l g o r i t m o 2 M e t o d o l o g i a p a r a o s o l v e r p b e F o a m .


2 . L e i t u r a d e d a d o s d a m a l h a , c a m p o s d e p e s o s e a b s c i s s a s p o n d e r a d a s e p r o p r i -

e d a d e s f í s i c a s .


.

3 . 1 L a ç o v a r r e n d o t o d o s o s v o l u m e s d e c o n t r o l e d a m a l h a .

3 . 1 . 1 C á l c u l o d a s f u n ç õ e s d e q u e b r a e a g r e g a ç ã o . C á l c u l o d o t e r m o f o n t e

H (n)k ( E q . 5 . 3 0 ) .

3 . 1 . 2 S o l u ç ã o d o s i s t e m a l i n e a r ( E q . 5 . 2 9 ) u s a n d o d e c o m p o s i ç ã o L U .

3 . 1 . 3 A r m a z e n a m e n t o d e θα e κα e m c a d a v o l u m e d e c o n t r o l e .

3 . 2 R e c o n s t r u ç ã o d o s t e r m o s f o n t e , θα e

κα , d a s E q s . 5 . 2 7 e 5 . 2 8 e m t o d o

o d o m í n i o c o m o l i s t a s d e p o n t e i r o s ( P t r L i s t <


) p a r a

c a d a p o n t o d e q u a d r a t u r a .

3 . 3 D i s c r e t i z a ç ã o e s o l u ç ã o d a s e q u a ç õ e s d e t r a n s p o r t e d o D Q M O M , E q s . 5 . 3 1

e 5 . 3 2 , p a r a tn

.

3 . 4 C á l c u l o d a s a b s c i s s a s ξα = ς α/wα .

3 . 5 V o l t a a o i t e m 3 p a r a n = n + 1

.


.



5 . 4 A b o r d a g e m M U S I G 1 1 9

p a r a a c o p l a m e n t o C F D - E B P , o n d e a s s u m e - s e q u e e x i s t e a p e n a s u m c a m p o d e v e -

l o c i d a d e p a r a t o d a s a s c l a s s e s d e p a r t í c u l a s , i n d e p e n d e n t e d e s e u t a m a n h o . E s t a

f o r m u l a ç ã o f o i a n a l i s a d a p r e v i a m e n t e n a S e ç ã o 3 . 3 . 1 d e s t e t r a b a l h o .

D e f a t o , a f r a ç ã o v o l u m é t r i c a d a f a s e , rα , a s s i m c o m o o d i â m e t r o m é d i o d e S a u t e r ,

ds , s ã o v a r i á v e i s i m p o r t a n t e s n a m o d e l a g e m b i f á s i c a . A p r i m e i r a v a r i á v e l é u s a d a

n a s e q u a ç õ e s d a c o n t i n u i d a d e e b a l a n ç o d e q u a n t i d a d e d e m o v i m e n t o d a s f a s e s . P o r

s u a v e z , o d i â m e t r o d e S a u t e r é u s a d o n o c á l c u l o d o s t e r m o s d e t r o c a d e m o m e n t u m

e n t r e a s f a s e s . U t i l i z a n d o o v o l u m e d a p a r t í c u l a c o m o v a r i á v e l i n t e r n a d a E B P é

p o s s í v e l o b t e r e x p r e s s õ e s p a r a

rde

ds, c o m o m o s t r a d o n a s e q u ê n c i a .

C o n s i d e r a n d o p a r t í c u l a s e s f é r i c a s , o d i â m e t r o d e S a u t e r é o b t i d o a p r o x i m a n d o a

E q . 3 . 4 2 p o r q u a d r a t u r a .

ds =

∞0

d3f (x, v , t) dv ∞0

d2f (x, v , t) dv

6

π

1/3 nα=1 ξαwαnα=1 ξ

2/3α wα

( 5 . 3 3 )

A o a p r o x i m a r a e x p r e s s ã o p a r a a f r a ç ã o g l o b a l d a f a s e d i s p e r s a , a p r e s e n t a d a n a

E q . 3 . 2 ( C a p . 3 ) , c o m a q u a d r a t u r a d e G o r d o n , a E q . 5 . 3 4 é o b t i d a c o n s i d e r a n d o n

f a s e s d i s p e r s a s .

rd =n

α=1

rα =

∞0

vf (x, v , t) dv n

α=1

ξαwα =n

α=1

ς α ( 5 . 3 4 )

P e l a E q . 5 . 3 4 , n o t a - s e q u e c a d a a b s c i s s a p o n d e r a d a é , d e f a t o , a p r ó p r i a f r a ç ã o

v o l u m é t r i c a d e c a d a f a s e d i s p e r s a . A s s i m , a e q u a ç ã o d e t r a n s p o r t e d e ς α , m o s t r a d a

n a E q . 5 . 2 8 , p o d e s e r r e e s c r i t a u s a n d o a m e s m a a b o r d a g e m c o l o c a d a n a E q . 5 . 2 3

[ 6 6 ] . S u a f o r m u l a ç ã o p a r t e d a v e l o c i d a d e d a m i s t u r a , u = ud

nα=1 ς α + rcuc , e d a

v e l o c i d a d e r e l a t i v a e n t r e a s f a s e s , ur = ud − uc . U t i l i z a n d o a v e l o c i d a d e d a m i s t u r a

p a r a e x p l i c i t a r ud e a v e l o c i d a d e r e l a t i v a p a r a e l i m i n a r

uc d a e x p r e s s ã o , c h e g a - s e à

E q . 5 . 3 5 a p ó s a s d e v i d a s m a n i p u l a ç õ e s .

ud = u + ur − ur

n

α=1ς α = u+ rcur ( 5 . 3 5 )

A o s u b s t i t u i r a v e l o c i d a d e d a f a s e d i s p e r s a , m o s t r a d a n a E q . 5 . 3 5 , n a E q . 5 . 2 8 ,

a e q u a ç ã o d e t r a n s p o r t e p a r a a a b s c i s s a p o n d e r a d a u s a d a n a a b o r d a g e m M U S I G é



5 . 5 M o d e l a g e m M u l t i - u i d o e E B P 1 2 0

o b t i d a .

∂ς α∂t

+ · (uς α) + · (urrcς α) = κα

α = 1, . . . , n( 5 . 3 6 )

A d i s c r e t i z a ç ã o d a E q . 5 . 3 6 é r e a l i z a d a d e f o r m a i m p l í c i t a e m t e r m o s d e ς α e

t e r m o f o n t e e x p l í c i t o .

∂ [ς α]

∂t

+

· (φ[ς α]f (φr,M,γ ))

+ · (φrrcf (−φr,M )

[ς α

]f (φr,M,γ )

) = κα

( 5 . 3 7 )

5 . 4 . 1 I m p l e m e n t a ç ã o N u m é r i c a

C o m a s o l u ç ã o d o D Q M O M j á i m p l e m e n t a d a n a S e ç ã o 5 . 3 , a e x t e n s ã o d o s o l v e r

b i f á s i c o t w o P h a s e E u l e r F o a m s e t o r n a s i m p l e s . E s t a a b o r d a g e m é i m p l e m e n t a d a

c o m o u m n o v o s o l v e r , c h a m a d o m u s i g F o a m . A s e t a p a s d e s o l u ç ã o s ã o a s m e s m a s

p r o p o s t a s o r i g i n a l m e n t e p o r R U S C H E [ 6 6 ] , m o s t r a d a s n o A l g o r i t m o 1

, s u b s t i t u i n d o

o i t e m 3.1

, p a r a s o l u ç ã o d a f r a ç ã o v o l u m é t r i c a , p e l o A l g o r i t m o 3

.

T o d o s o s t e r m o s d e p e n d e n t e s d o d i â m e t r o , p r e s e n t e s n o A l g o r i t m o 1

, s ã o c a l c u -

l a d o s a g o r a u s a n d o o d i â m e t r o d e S a u t e r , c a l c u l a d o n a e t a p a 3.1.5

d o A l g o r i t m o 3

.

5 . 5 M o d e l a g e m M u l t i - u i d o e E B P

E m m u i t o s c a s o s , c o n s i d e r a r a p e n a s d u a s f a s e s e u m d i â m e t r o m é d i o p a r a t o d a s a s

p a r t í c u l a s n ã o é a d e q u a d o p a r a c a r a c t e r i z a r s i s t e m a s m a i s c o m p l e x o s . A l é m d i s s o ,

c o m e s t a a b o r d a g e m n ã o é p o s s í v e l r e p r e s e n t a r s i s t e m a s c o n t e n d o f a s e s d i s p e r s a s

c o m p r o p r i e d a d e s f í s i c a s d i f e r e n t e s e n t r e s i . A s s i m , o m o d e l o E u l e r i a n o m u l t i - u i d o

f o i i m p l e m e n t a d o t e n d o o m o d e l o b i f á s i c o [ 6 6 ] , a p r e s e n t a d o n a S e ç ã o 5 . 2 , c o m o b a s e .

N e s t a a b o r d a g e m , c o n s i d e r a m - s e n

f a s e s d i s p e r s a s e a p e n a s u m a f a s e c o n t í n u a , o n d e




A l g o r i t m o 3 C á l c u l o d a s p r o p r i e d a d e s d a p o p u l a ç ã o p e l o D Q M O M e m s u b s t i t u i ç ã o

à e t a p a

3.1d o A l g o r i t m o

1.

3 . 1 . 1 L a ç o v a r r e n d o t o d o s o s v o l u m e s d e c o n t r o l e d a m a l h a .

3 . 1 . 1 . 1 C á l c u l o d a s f u n ç õ e s d e q u e b r a e a g r e g a ç ã o . C á l c u l o d o t e r m o f o n t e H

(n)k

( E q . 5 . 3 0 ) .

3 . 1 . 1 . 2 S o l u ç ã o d o s i s t e m a l i n e a r ( E q . 5 . 2 9 ) u s a n d o d e c o m p o s i ç ã o L U .

3 . 1 . 1 . 3 A r m a z e n a m e n t o d e θα e

κα e m c a d a v o l u m e .

3 . 1 . 2 R e c o n s t r u ç ã o d o s t e r m o s f o n t e , θα e

κα , d a s E q s . 5 . 2 7 e 5 . 3 6 e m t o d o o d o m í n i o

c o m o l i s t a s d e p o n t e i r o s ( P t r L i s t <


) p a r a c a d a p o n t o d e

q u a d r a t u r a .

3 . 1 . 3 D i s c r e t i z a ç ã o e s o l u ç ã o d a s e q u a ç õ e s d e t r a n s p o r t e d o D Q M O M , E q s . 5 . 3 1 e

5 . 3 7 .

3 . 1 . 4 C á l c u l o d a s a b s c i s s a s ξα = ς α/wα .

3 . 1 . 5 C á l c u l o d a s p r o p r i e d a d e s d a p o p u l a ç ã o , rd e

ds , u s a n d o r e s p e c t i v a m e n t e a s

E q s . 5 . 3 4 e 5 . 3 3 .

c a d a f a s e p o s s u i s e u p r ó p r i o c a m p o d e v e l o c i d a d e , f r a ç ã o v o l u m é t r i c a e d i â m e t r o

c a r a c t e r í s t i c o . E s t e ú l t i m o é c o n s t a n t e n o t e m p o e e m t o d o s o s p o n t o s d o d o m í n i o

e s p a c i a l .

C o m o i n t u i t o d e i n c l u i r o s e f e i t o s d e i n t e r a ç ã o e n t r e p a r t í c u l a s n o m o d e l o m u l -

t i f á s i c o , a i m p l e m e n t a ç ã o d o s e u a c o p l a m e n t o à s o l u ç ã o d a E B P u s a n d o o D Q M O M

f o i r e a l i z a d a . A s s i m , a s f r a ç õ e s v o l u m é t r i c a s e d i â m e t r o s c a r a c t e r í s t i c o s d e c a d a

u m a d a s f a s e s d i s p e r s a s s ã o o b t i d a s a t r a v é s d a s o l u ç ã o d a E B P . N e s t e c a s o , e s t a s

v a r i á v e i s p o d e m s o f r e r v a r i a ç õ e s n o e s p a ç o d e v i d o a o s e f e i t o s d e q u e b r a e a g r e g a ç ã o

d e p a r t í c u l a s .

A s p r ó x i m a s s e ç õ e s a p r e s e n t a m a m o d e l a g e m m u l t i - u i d o e s u a e x t e n s ã o p a r a




a a b o r d a g e m m u l t i f á s i c a p o l i d i s p e r s a . E m s e g u i d a , s u a s i m p l e m e n t a ç õ e s n o O p e n -

F O A M s ã o d e s c r i t a s .

5 . 5 . 1 E q u a ç ã o d e C o n s e r v a ç ã o M u l t i f á s i c a

A e q u a ç ã o p a r a c o n s e r v a ç ã o d e q u a n t i d a d e d e m o v i m e n t o m u l t i f á s i c a , m o s t r a d a n a

E q . 5 . 1 , u s a d a p o r R U S C H E [ 6 6 ] t a m b é m s e a p l i c a a o m o d e l o m u l t i - u i d o i n c o m -

p r e s s í v e l , c o n s i d e r a n d o α = 0, . . . , n

. S u a f o r m a s e m i - d i s c r e t i z a d a e s t á m o s t r a d a n a

E q . 5 . 4 . N a s a b o r d a g e n s m u l t i f á s i c a s , o s u b s c r i t o

α = 0r e f e r e - s e à f a s e c o n t í n u a

e n q u a n t o q u e α = 1, . . . , n

r e p r e s e n t a a f a s e d i s p e r s a .

N a m o d e l a g e m u s a d a n e s t e t r a b a l h o , a p e n a s a t r o c a d e m o m e n t u m p e l a i n t e r f a c e

e n t r e a s f a s e s c o n t í n u a e d i s p e r s a s f o r a m c o n s i d e r a d a s . D e s t a f o r m a , o t e r m o d e t r o c a

d e q u a n t i d a d e d e m o v i m e n t o p a r a a f a s e c o n t í n u a p o s s u i a c o n t r i b u i ç ã o d a s n

f a s e s

d i s p e r s a s , c o m o

M0 = −

nα=1

Mα ( 5 . 3 8 )

o n d e Mα é o t e r m o d e t r o c a d e m o m e n t u m p a r a a f a s e d i s p e r s a ,

Mα = Maα + Ms

α + Mmvα ( 5 . 3 9 )

c o n s i d e r a n d o a s f o r ç a s d e a r r a s t o , s u s t e n t a ç ã o e m a s s a v i r t u a l .

A m o d e l a g e m e d i s c r e t i z a ç ã o d o s t e r m o s d e i n t e r a ç ã o e n t r e f a s e s r e q u e r u m

t r a t a m e n t o e s p e c i a l , m o s t r a d o n a p r ó x i m a s e ç ã o .

T e r m o s d e I n t e r a ç ã o e n t r e F a s e s

O t e r m o d e i n t e r a ç ã o e n t r e f a s e s , c o n s i d e r a n d o a s f o r ç a s c o l o c a d a s n a E q . 5 . 3 9 , é

e s c r i t a p a r a a f a s e d i s p e r s a c o m o :

Mα = rαK aα[u0 − uα] + rαK sαur,α × ( × u0)

+ rαK mvα

D0u0

Dt−

Dαuα

Dt

( 5 . 4 0 )




o n d e ur,α = u0 − uα e o s t e r m o s m u l t i p l i c a d o r e s e s t ã o d e n i d o s n a E q . 5 . 4 1 , s o b a

h i p ó t e s e d e p a r t í c u l a s e s f é r i c a s .

K aα = 34

ρ0C D,αdα

|ur,α|, K sα = ρ0C L,α, K mvα = ρ0C MV,α ( 5 . 4 1 )

O s t e r m o s m u l t i p l i c a d o r e s a p r e s e n t a d o s n a E q . 5 . 4 1 d i f e r e m d a f o r m u l a ç ã o u s a d a

p o r R U S C H E [ 6 6 ] . D e s t a f o r m a , a f o r m u l a ç ã o u s u a l d a s f o r ç a s d e i n t e r a ç ã o f o i

a d o t a d a n e s t e t r a b a l h o [ 5 6 , 5 1 , 3 8 ] , p o i s c o n s i d e r a - s e q u e a s f a s e s s ã o b e m d e n i d a s

e n ã o e x i s t e i n v e r s ã o d e f a s e s .

O t e r m o d e t r o c a d e q u a n t i d a d e d e m o v i m e n t o p a r a a f a s e c o n t í n u a é e x p r e s s o

c o n s i d e r a n d o s u a i n t e r a ç ã o c o m t o d a s a s f a s e s d i s p e r s a s , s e n d o d e r i v a d o d i r e t a m e n t e

a t r a v é s d a s E q s . 5 . 3 8 , 5 . 3 9 e 5 . 4 0

M0 =n

α=1

rαK aα[uα − u0] −n

α=1

rαK sαur,α × ( × u0)

+n

α=1

rαK mvα

Dαuα

Dt−

D0u0

Dt ( 5 . 4 2 )

C o m o n o m o d e l o b i f á s i c o d e R U S C H E [ 6 6 ] , o s t e r m o s d e t r o c a d e q u a n t i d a d e d e

m o v i m e n t o e n t r e f a s e s s ã o d i s c r e t i z a d o s d e f o r m a s e m i - i m p l í c i t a ( v e r S e ç ã o 5 . 2 . 1 ) .

A s s i m , a v e l o c i d a d e p r e s e n t e n o t e r m o d e a r r a s t o e n a d e r i v a d a s u b s t a n t i v a d a

m a s s a v i r t u a l r e c e b e t r a t a m e n t o i m p l í c i t o p a r a a f a s e c o n s i d e r a d a . P o r s u a v e z , o s

t e r m o s d e s u s t e n t a ç ã o e a d e r i v a d a s u s b s t a n t i v a n a m a s s a v i r t u a l r e f e r e n t e à o u t r a

f a s e s ã o d i s c r e t i z a d o s d e f o r m a e x p l í c i t a . S e g u i n d o a m e s m a m e t o d o l o g i a m o s t r a d a

n a S e ç ã o 5 . 2 . 1 , a f o r m a d i s c r e t i z a d a d o l a d o e s q u e r d o d a e q u a ç ã o d e c o n s e r v a ç ã o

d e q u a n t i d a d e d e m o v i m e n t o m u l t i f á s i c a , E q . 5 . 4 , é o b t i d a p a r a a s f a s e s c o n t í n u a

( α = 0

) e d i s p e r s a s ( α = 1, . . . , n

) .

ΥC 0 = Υ0 +

1

r0ρ0

f

[u0]n

α=1

rαf K aαf +

1

r0ρ0

f

nα=1

rαf K sαf φr,α × ( × φ)

+ 1

r0ρ0f

nα=1

rαf K mvαf D0[u0]

Dt

−Dαuα

Dtf

( 5 . 4 3 )




ΥC α = Υα +

K aαρα

f

[ud] −

K sαρα

f

φr,α × ( × φ)

− K mvα

ραf D0u0

Dtf

− Dα[uα]

Dt ( 5 . 4 4 )

A f o r m a c o r r i g i d a e s e m i - d i s c r e t i z a d a d a e q u a ç ã o d e q u a n t i d a d e d e m o v i m e n t o ,

ΥC α , o b t i d a p a r a a s f a s e s c o n t í n u a e d i s p e r s a s s ã o e s c r i t a s c o m o m o s t r a d o r e s p e c t i -

v a m e n t e n a s E q s . 5 . 4 5 e 5 . 4 6 .

ΥC 0 = −

p

ρ0+ g +

1

r0ρ0

nα=1

rαK dαuα ( 5 . 4 5 )

ΥC α = − p

ρα+ g + K

d

αραu0 ( 5 . 4 6 )

A s e q u a ç õ e s d e c o r r e ç ã o p a r a a q u a n t i d a d e d e m o v i m e n t o d a s f a s e s s ã o o b t i d a s

u s a n d o o m e s m o p r o c e d i m e n t o a p l i c a d o a o m o d e l o E u l e r i a n o b i f á s i c o ( S e ç ã o 5 . 2 . 1 ) .

A s e q u a ç õ e s d e c o r r e ç ã o p a r a a s f a s e s d i s p e r s a e c o n t í n u a e s t ã o c o l o c a d a s r e s p e c t i -

v a m e n t e n a s E q s . 5 . 4 7 e 5 . 4 8 .

uα =

(Aα)H

(Aα)D −

p

ρα(Aα)D +

1

(Aα)Dg +

K aαρα(Aα)Du0

( 5 . 4 7 )

u0 =(A0)H

(A0)D−

p

ρ0(A0)D+

1

(A0)Dg +

1

r0ρ0(A0)D

nα=1

rαK aαuα ( 5 . 4 8 )

C o n t u d o , s a b e - s e q u e a s o l u ç ã o d a s e q u a ç õ e s a p r e s e n t a d a s a c i m a n ã o g a r a n t e a

c o n t i n u i d a d e . D e s t a f o r m a , a e q u a ç ã o m u l t i f á s i c a d a p r e s s ã o d e v e s e r f o r m u l a d a d e

f o r m a a s a t i s f a z e r a c o n t i n u i d a d e .

5 . 5 . 2 E q u a ç ã o M u l t i f á s i c a d a P r e s s ã o

A s o l u ç ã o d a e q u a ç ã o d a p r e s s ã o f o r n e c e c o r r e ç õ e s p a r a a t u a l i z a r i t e r a t i v a m e n t e o s

c a m p o s d e p r e s s ã o , u x o s v o l u m é t r i c o s e v e l o c i d a d e s , d e f o r m a q u e a c o n t i n u i d a d e

s e j a r e s p e i t a d a [ 6 6 ] . P a r a t a l , a e q u a ç ã o i n c o m p r e s s í v e l d a c o n t i n u i d a d e d a m i s t u r a

a v a l i a d a n a s f a c e s d o s v o l u m e s d e c o n t r o l e é u s a d a n a a b o r d a g e m m u l t i f á s i c a .

·

n

α=0

rαf φα

= 0

( 5 . 4 9 )




O s u x o s v o l u m é t r i c o s , φα , s ã o o b t i d o s p e l a i n t e r p o l a ç ã o d a s e q u a ç õ e s d e c o r -

r e ç ã o , E q s . 5 . 4 7 e 5 . 4 8 , p a r a o c e n t r o d a s f a c e s , i . e . , φα = S · (uα)f . D e f o r m a

g e r a l , o s u x o s v o l u m é t r i c o s p a r a

α = 0, . . . , np o d e m s e r e s c r i t o s c o m o m o s t r a d o

n a E q . 5 . 5 0 .

φα = φ∗α −

1

ρα(Aα)D

f

|S|f p ( 5 . 5 0 )

o n d e φ∗0 r e f e r e - s e à f a s e c o n t í n u a (

α = 0) , c o m o

φ∗0 =

(A0)H

(A0)D

f

· S +

1

(A0)D

f

g · S +

1

r0ρ0(A0)D

f

nα=1

rαf K aαf φα ( 5 . 5 1 )

e

φ∗α é e x p r e s s o p a r a a s f a s e s d i s p e r s a s (

α = 1, . . . , n)

φ∗α =

(Aα)H

(Aα)D

f

· S +

1(Aα)D

f

g · S+

K aαρα(Aα)D

f

φ0 . ( 5 . 5 2 )

A e q u a ç ã o m u l t i f á s i c a p a r a p r e s s ã o é c o n s t r u í d a a o s u b s t i t u i r o s u x o s v o l u -

m é t r i c o s d a s f a s e s c o n t í n u a e d i s p e r s a s , m o s t r a d o s n a s E q s . 5 . 5 0 , 5 . 5 1 e 5 . 5 2 , n a

E q . 5 . 4 9 . A e q u a ç ã o r e s u l t a n t e é m o s t r a d a a b a i x o .

· (D p p) = ·r0f φ∗0 +

n

α=1

rαf φ∗α ( 5 . 5 3 )

o n d e

D p = r0f

1

ρ0(A0)D

f

+n

α=1

rαf

1

ρα(Aα)D

f

( 5 . 5 4 )

A s s i m c o m o n a a b o r d a g e m b i f á s i c a , a e q u a ç ã o m u l t i f á s i c a p a r a a p r e s s ã o , m o s -

t r a d a n a E q . 5 . 5 3 , é d i s c r e t i z a d a d e f o r m a i m p l í c i t a c o m o u m t e r m o d i f u s i v o .

O c a m p o d e p r e s s ã o p a r a a m i s t u r a é d e t e r m i n a d o c o n s i d e r a n d o a c o n t i n u i d a d e

d o s u x o s v o l u m é t r i c o s . E s t e s u x o s , m o s t r a d o s n a E q . 5 . 5 0 , s ã o c o r r i g i d o s a p ó s

a s o l u ç ã o d a p r e s s ã o , u s a n d o a E q . 5 . 5 3 , o n d e u m p r o c e d i m e n t o i t e r a t i v o P I S O é

n e c e s s á r i o p a r a a t i n g i r c o n v e r g ê n c i a e n t r e e s t e s c a m p o s [ 2 6 3 ] .

5 . 5 . 3 E q u a ç ã o p a r a a F r a ç ã o V o l u m é t r i c a M u l t i f á s i c a

A e q u a ç ã o p a r a a f r a ç ã o v o l u m é t r i c a m u l t i f á s i c a f o i d e r i v a d a d e f o r m a s i m i l a r à

p r o p o s t a e m R U S C H E [ 6 6 ] . A p a r t i r d a v e l o c i d a d e d a m i s t u r a , u =n

α=0 rαuα ,




u m a e x p r e s s ã o p a r a uα f o i o b t i d a

uα = u + r0ur,0 +n

i=1i=α

riur,i ( 5 . 5 5 )

u s a n d o a v e l o c i d a d e r e l a t i v a e n t r e f a s e s ur,0 = uα − u0 e

ur,i = uα − ui .

A e x p r e s s ã o p a r a uα , a p r e s e n t a d a n a E q . 5 . 5 5 , f o i s u b s t i t u í d a n a e q u a ç ã o i n -

c o m p r e s s í v e l d a c o n t i n u i d a d e d a f a s e α

, E q . 4 . 2 1 , r e s u l t a n d o n a e q u a ç ã o m u l t i f á s i c a

p a r a a s f r a ç õ e s v o l u m é t r i c a s .

∂rα∂t

+ · (urα) + · (r0ur,0rα) + · n

i=1i=α

riur,irα = 0 ( 5 . 5 6 )

N o t e q u e , e s t a f o r m u l a ç ã o p r o p i c i a o a c o p l a m e n t o e n t r e a s f a s e s c o n t í n u a e d i s -

p e r s a s a t r a v é s d a s v e l o c i d a d e s r e l a t i v a s p r e s e n t e s n a E q . 5 . 5 6 .

A d i s c r e t i z a ç ã o d a E q . 5 . 5 6 é t o t a l m e n t e i m p l í c i t a e m r e l a ç ã o à rα . N o t e q u e

a n ã o - l i n e a r i d a d e d a s f r a ç õ e s v o l u m é t r i c a s n a E q . 5 . 5 6 r e q u e r u m p r o c e d i m e n t o

i t e r a t i v o p a r a a t i n g i r c o n v e r g ê n c i a .

∂ [rα]

∂t

+

· (φ[rα](φr,M ))

+

· (r0f φr,0[rα](φr ,M ))

+

·

n

i=1i=α

rif φr,i[rα](φr,M )

= 0

( 5 . 5 7 )

o n d e o u x o r e l a t i v o e n t r e a s f a s e s d i s p e r s a e c o n t í n u a é

φr,0 = φα − φ0e e n t r e a s

f a s e s d i s p e r s a s é φr,i = φα − φi .

5 . 5 . 4 A c o p l a m e n t o C F D - E B P M u l t i f á s i c o

O a c o p l a m e n t o d o m o d e l o m u l t i - u i d o à s o l u ç ã o d o b a l a n ç o p o p u l a c i o n a l é r e a l i z a d o

u s a n d o o s p e s o s e a b s c i s s a s d o D Q M O M p a r a o b t e r a s i n f o r m a ç õ e s d a p o p u l a ç ã o d e

p a r t í c u l a s .




C o m o v i s t o n a E q . 5 . 3 4 , c a d a a b s c i s s a p o n d e r a d a , ς α , é a p r ó p r i a f r a ç ã o v o l u -

m é t r i c a d a f a s e d i s p e r s a p a r a a c l a s s e α

. S e g u i n d o o m e s m o p r o c e d i m e n t o a p l i c a d o

à e q u a ç ã o d a f r a ç ã o v o l u m é t r i c a m u l t i f á s i c a , a e q u a ç ã o d e t r a n s p o r t e d o D Q M O M

p a r a a a b s c i s s a p o n d e r a d a , E q . 5 . 2 8 , f o i m o d i c a d a c o m o m o s t r a a E q . 5 . 5 8 .

∂ς α∂t

+ · (uς α) + · (ur,0ς α) − · (ni=1

ς iur,0ς α) + ·

n

i=1i=α

ς iur,iς α

= κα ( 5 . 5 8 )

N o m o d e l o m u l t i f á s i c o p o l i d i s p e r s o , a s o l u ç ã o d o s i s t e m a l i n e a r d o D Q M O M ,

m o s t r a d o n a E q . 5 . 2 9 , f o r n e c e o s t e r m o s f o n t e p a r a a s e q u a ç õ e s d e t r a n s p o r t e d o s

p e s o s e d a s f r a ç õ e s v o l u m é t r i c a s d a s f a s e s d i s p e r s a s ( a b s c i s s a s p o n d e r a d a s ) , m o s t r a -

d a s r e s p e c t i v a m e n t e n a s E q s . 5 . 2 7 e 5 . 5 8 . U m a v e z q u e a s o l u ç ã o d a q u a d r a t u r a é

o b t i d a , o s t e r m o s d e i n t e r a ç ã o e n t r e f a s e s s ã o c a l c u l a d o s e m c a d a v o l u m e d e c o n -

t r o l e d a m a l h a u s a n d o o d i â m e t r o c a r a c t e r í s t i c o d a s f a s e s d i s p e r s a s , dα , c o n s i d e r a n d o

p a r t í c u l a s e s f é r i c a s .

dα = 6ξα

π 1/3

( 5 . 5 9 )

P o r m , a E q . 5 . 5 8 é d i s c r e t i z a d a d e f o r m a i m p l í c i t a e m t e r m o s d e ς α , c o n s i d e -

r a n d o κα c o m o u m t e r m o f o n t e e x p l í c i t o .

∂ [ς α]

∂t

+

· (φ[ς α]f (φr ,M,γ ))

+

· (φr,0[ς α]f (φr ,M,γ ))

−

· (

n

i=1ς if φr,0[ς α]f (φr ,M,γ ))

+

·

ni=1i=α

ς if φr,i[ς α]f (φr ,M,γ )

= κα ( 5 . 6 0 )

5 . 5 . 5 I m p l e m e n t a ç ã o d a s A b o r d a g e n s

C o m o n o s d e s e n v o l v i m e n t o s a n t e r i o r e s , a c l a s s e P t r L i s t <

T >

f o i u s a d a p a r a

i m p l e m e n t a r e a l o c a r u m a l i s t a d e p o n t e i r o s s o b r e a c l a s s e T . N e s t e c a s o ,

e s t e t e m p l a t e t a m b é m f o i u s a d o p a r a a l o c a r o r e s u l t a d o d a d i s c r e t i z a ç ã o d a s




ne q u a ç õ e s d e c o n s e r v a ç ã o p a r a a s f a s e s d i s p e r s a s . D e s t a f o r m a , o s c a m -

p o s r e f e r e n t e s à s f a s e s d i s p e r s a s s ã o d e n i d o s c o m o P t r L i s t <

v o l V e c t o r F i e l d >

p a r a a s v e l o c i d a d e s , P t r L i s t

<v o l S c a l a r F i e l d

>p a r a a s f r a ç õ e s v o l u m é t r i c a s e

P t r L i s t <

s u r f a c e S c a l a r F i e l d >

p a r a o s u x o s v o l u m é t r i c o s .

A s o l u ç ã o d o s m o d e l o s m u l t i f á s i c o s s e g u e e t a p a s s i m i l a r e s à s d a m e t o d o l o g i a p r o -

p o s t a p o r R U S H E [ 6 6 ] , m o s t r a d o n o A l g o r i t m o 1

. C o n t u d o , o n ú m e r o d e i t e r a ç õ e s

n o s l a ç o s d e c o n v e r g ê n c i a n o a l g o r i t m o b i f á s i c o e r a m x o s e d e n i d o s p e l o u s u á r i o .

E m c o n t r a s t e , u m c r i t é r i o m i s t o e n t r e a s t o l e r â n c i a s a b s o l u t a ,

εabs , e r e l a t i v a ,

εrel ,

m o s t r a d o n a E q . 5 . 6 1 p a r a u m a v a r i á v e l g e n é r i c a

φ, f o i i m p l e m e n t a d o n o s s o l v e r s

m u l t i f á s i c o s p a r a c o n t r o l a r o s l a ç o s d e c o n v e r g ê n c i a . A s t o l e r â n c i a s s ã o d e n i d a s

p e l o u s u á r i o .

χ = max

|φit − φit−1|εabsεrel

+ |φit|

< εrel ( 5 . 6 1 )

A i m p l e m e n t a ç ã o d e s t a s a b o r d a g e n s n o O p e n F O A M g e r o u d o i s n o v o s s o l v e r s ,

o m u l t i P h a s e E u l e r F o a m , q u e é a e x t e n s ã o d o m o d e l o b i f á s i c o p a r a a f o r m u l a ç ã o

m u l t i - u i d o c o m n + 1

f a s e s , e o m u l t i P h a s e P b e F o a m , q u e a c o p l a o s e f e i t o s e n t r e

p a r t í c u l a s a o p r i m e i r o . O A l g o r i t m o 4

a p r e s e n t a a s e t a p a s d e s o l u ç ã o d o s o l v e r

m u l t i P h a s e E u l e r F o a m a t é o n a l d a s i m u l a ç ã o e m tfim

.

O a c o p l a m e n t o d a s o l u ç ã o d a E B P p e l o D Q M O M a o m o d e l o m u l t i - u i d o o c o r r e

n a e t a p a 3.1


, o n d e a f r a ç ã o v o l u m é t r i c a d a s f a s e s é c a l c u l a d a . N o

a c o p l a m e n t o C F D - E B P , o s e f e i t o s d e i n t e r a ç ã o e n t r e p a r t í c u l a s s ã o i n c l u í d o s n e s t a

e t a p a c o m a s o l u ç ã o d o D Q M O M . P o r t a n t o , a s o l u ç ã o d o s o l v e r m u l t i P h a s e P b e F o a m

é i g u a l à q u e l a a p r e s e n t a d a n o A l g o r i t m o

4, c o m s u b s t i t u i ç ã o d a e t a p a

3.1p e l a

s o l u ç ã o d o D Q M O M a p r e s e n t a d a n o A l g o r i t m o

5.

O d e s e n v o l v i m e n t o d o m o d e l o m u l t i f á s i c o e s e u a c o p l a m e n t o c o m a E B P u s a n d o

D Q M O M f o i a p r e s e n t a d o n a O p e n F O A M I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e 2007

, q u e o c o r -

r e u n a I n g l a t e r r a . M a i o r e s d e t a l h e s d e s u a i m p l e m e n t a ç ã o n o O p e n F O A M e s t ã o

d e s c r i t o s n o a r t i g o d a c o n f e r ê n c i a , e x p o s t o n o A p ê n d i c e C .




A l g o r i t m o 4 M e t o d o l o g i a p a r a a s o l u ç ã o d o m o d e l o m u l t i - u i d o n o s o l v e r

m u l t i P h a s e E u l e r F o a m .


2 . L e i t u r a d e d a d o s d a m a l h a , c a m p o s d e v e l o c i d a d e , f r a ç ã o v o l u m é t r i c a e p r o -

p r i e d a d e s f í s i c a s .


.

3 . 1 L a ç o p a r a c o n v e r g ê n c i a d a f r a ç ã o v o l u m é t r i c a a t é a t i n g i r a t o l e r â n c i a

e s p e c i c a d a p a r a a f r a ç ã o v o l u m é t r i c a g l o b a l d a f a s e d i s p e r s a , E q . 5 . 6 1 ,

o u Na

p a s s o s n o m á x i m o .

3 . 1 . 1 S o l u ç ã o d a f r a ç ã o v o l u m é t r i c a p a r a a f a s e d i s p e r s a , E q . 5 . 5 7 , e c o n -

t í n u a , r0 = 1 −

nα=1 rα .

3 . 2 C á l c u l o d o s t e r m o s d e i n t e r a ç ã o e n t r e f a s e s p a r a a s f a s e s d i s p e r s a s ,

E q . 5 . 4 0 , e p a r a a c o n t í n u a , E q . 5 . 4 2 .

3 . 3 D i s c r e t i z a ç ã o d o l a d o e s q u e r d o d a e q u a ç ã o d e t r a n s p o r t e d e q u a n t i d a d e

d e m o v i m e n t o , ΥC

α , p e l a s E q s . 5 . 4 3 e 5 . 4 4 p a r a α = 0, . . . , n

.

3 . 4 C á l c u l o d o s o p e r a d o r e s m a t r i c i a i s (Aα)D e

(Aα)H .

3 . 5 L a ç o P I S O p a r a o a c o p l a m e n t o p r e s s ã o v e l o c i d a d e a t é q u e a c o n d i ç ã o d a

E q . 5 . 6 1 s e j a s a t i s f e i t a p a r a a p r e s s ã o o u Np

i t e r a ç õ e s n o m á x i m o .

3 . 5 . 1 S o l u ç ã o d a f o r m a d i s c r e t i s a d a d a e q u a ç ã o m u l t i f á s i c a d a p r e s s ã o ,

E q . 5 . 5 3 .

3 . 5 . 2 C o r r e ç ã o d o s u x o s v o l u m é t r i c o s , E q s . 5 . 5 0 , 5 . 5 1 e 5 . 5 2 , e v e l o c i d a -

d e s , E q s . 5 . 4 7 e 5 . 4 8 .

3 . 5 . 3 C á l c u l o d a s f r a ç õ e s v o l u m é t r i c a s c o m o p r o c e d i m e n t o d e s c r i t o n o

i t e m 3.1

( s ó e f e t u a d o s e e s t i v e r a t i v a d o p e l o u s u á r i o ) .

3 . 6 C á l c u l o d a s E q s . 5 . 2 5 e 5 . 2 6 p a r a t u r b u l ê n c i a ( s ó e f e t u a d o s e e s t i v e r

a t i v a d o p e l o u s u á r i o ) .

3 . 7 V o l t a a o i t e m 3

p a r a n = n + 1

.


.




A l g o r i t m o 5 C á l c u l o d a s p r o p r i e d a d e s d a p o p u l a ç ã o p e l o D Q M O M e m s u b s t i t u i ç ã o

à e t a p a 3.1


.

3 . 1 . 1 L a ç o v a r r e n d o t o d o s o s v o l u m e s d e c o n t r o l e d a m a l h a .

3 . 1 . 1 . 1 C á l c u l o d a s f u n ç õ e s d e q u e b r a e a g r e g a ç ã o . C á l c u l o d o t e r m o f o n t e H

(n)k

( E q . 5 . 3 0 ) .

3 . 1 . 1 . 2 S o l u ç ã o d o s i s t e m a l i n e a r ( E q . 5 . 2 9 ) u s a n d o d e c o m p o s i ç ã o L U .

3 . 1 . 1 . 3 A r m a z e n a m e n t o d e θα e

κα p a r a c a d a v o l u m e d e c o n t r o l e .

3 . 1 . 2 R e c o n s t r u ç ã o d o s t e r m o s f o n t e , θα e

κα , d a s E q s . 5 . 2 7 e 5 . 5 8 e m t o d o o d o m í n i o

c o m o l i s t a s d e p o n t e i r o s ( P t r L i s t <


) p a r a c a d a p o n t o d e


3 . 1 . 3 D i s c r e t i z a ç ã o e s o l u ç ã o d a s e q u a ç õ e s d e t r a n s p o r t e d o D Q M O M , E q s . 5 . 3 1 e

5 . 6 0 .

3 . 1 . 4 C á l c u l o d a s a b s c i s s a s ξα = ς α/wα .

3 . 1 . 5 C á l c u l o d a s p r o p r i e d a d e s c a r a c t e r í s t i c a s d a f a s e d i s p e r s a , rα e dα , u s a n d o

r e s p e c t i v a m e n t e a s E q s . 5 . 3 4 ( rα = ς α ) e 5 . 5 9 .



C a p í t u l o 6

R e s u l t a d o s e D i s c u s s ã o


O d e s e n v o l v i m e n t o d a s m e t o d o l o g i a s p a r a e s c o a m e n t o p o l i d i s p e r s o f o r a m r e a l i z a d a s

e m e t a p a s b e m d i s t i n t a s . E m c a d a u m a d e s t a s e t a p a s , f o r a m g e r a d o s r e s u l t a d o s

i m p o r t a n t e s p a r a i n d i c a r o s r u m o s d e s t e t r a b a l h o .

N a s e q u ê n c i a , s ã o a p r e s e n t a d o s o s r e s u l t a d o s p a r a a a v a l i a ç ã o d o s m é t o d o s h í b r i -

d o s p a r a s o l u ç ã o d a E B P , i n d i c a n d o o s f a t o r e s p e l o s q u a i s o D Q M O M s e d e s t a c o u .

E m s e g u i d a , o s r e s u l t a d o s d a i m p l e m e n t a ç ã o d o D Q M O M n o O p e n F O A M , a v a l i a d o

e m c a s o s 0 D t r a n s i e n t e s e 1 D e s t a c i o n á r i o s , e p a r a o a c o p l a m e n t o M U S I G s ã o a p r e -

s e n t a d o s . P o r m , s ã o m o s t r a d o s o s r e s u l t a d o s p a r a a i m p l e m e n t a ç ã o m u l t i f á s i c a

n o O p e n F O A M e a a b o r d a g e m c o m a c o p l a m e n t o C F D - E B P .

6 . 2 C o m p a r a ç ã o e A v a l i a ç ã o d o s M é t o d o s H í b r i d o s

U m a a v a l i a ç ã o d o s m é t o d o s h í b r i d o s Q M O M [ 2 0 8 ] , D Q M O M [ 2 1 1 ] e P P D C [ 2 1 2 ] f o i

r e a l i z a d a v i s a n d o a e s c o l h a d o m e l h o r m é t o d o n u m é r i c o p a r a a s o l u ç ã o d a E B P . A

1 3 1



6 . 2 C o m p a r a ç ã o e A v a l i a ç ã o d o s M é t o d o s H í b r i d o s 1 3 2

a c u r á c i a d e s t e s m é t o d o s f o i t e s t a d a c o m p a r a n d o s e u s r e s u l t a d o s c o m s o l u ç õ e s a n a l í -

t i c a s [ 1 5 8 , 1 6 0 ] a p l i c a d a s a p r o b l e m a s t r a n s i e n t e s d e a g r e g a ç ã o e q u e b r a s i m u l t â n e a

e e q u i v a l e n t e , q u e b r a d o m i n a n t e e a g r e g a ç ã o d o m i n a n t e s e m d e p e n d ê n c i a e s p a c i a l .

O m é t o d o d a s c l a s s e s d e p i v ô x o [ 1 8 4 ] t a m b é m f o i a v a l i a d o , c o m o i n t u i t o d e v e -

r i c a r s e u c o m p o r t a m e n t o f r e n t e a o s m é t o d o s h í b r i d o s . U m s i m u l a d o r d e b a l a n ç o

p o p u l a c i o n a l f o i i m p l e m e n t a d o e m F O R T R A N 9 0 p a r a a v a l i a r e s s e s m é t o d o s .

O r e s u l t a d o d e s t a c o m p a r a ç ã o p r o p i c i o u a e l a b o r a ç ã o d e u m a r t i g o , s u b m e t i d o

r e c e n t e m e n t e p a r a p u b l i c a ç ã o . A v e r s ã o d e s u b m i s s ã o d o t r a b a l h o s e e n c o n t r a n o

A p ê n d i c e A .

A a n á l i s e d o s r e s u l t a d o s a p r e s e n t a d o s n o A p ê n d i c e A m o s t r o u a g r a n d e s u p e -

r i o r i d a d e e m a c u r á c i a d o s m é t o d o s Q M O M e D Q M O M . D e m o d o g e r a l , e s t e s d o i s

m é t o d o s s e c o m p o r t a m d e f o r m a s i m i l a r , a t i n g i n d o ó t i m a a c u r á c i a a o a v a l i a r o s e r r o s

r e l a t i v o s d o s m o m e n t o s d a d i s t r i b u i ç ã o , χR,k .

χR,k = µk(t) − µ(a)k (t)

µ(a)

k (t) ( 6 . 1 )

A F i g . 6 . 1 a p r e s e n t a o c o m p o r t a m e n t o d o s e r r o s r e l a t i v o s d o s m o m e n t o s p a r a

o c a s o d e q u e b r a d o m i n a n t e u s a n d o o Q M O M , D Q M O M , P P D C e o m é t o d o d a s

c l a s s e s ( M o C ) .

C o n t u d o , v e r i c a - s e p e l a c o m p a r a ç ã o d o s r e s u l t a d o s a p r e s e n t a d o s n a F i g . 6 . 1 ( a )

q u e , c o m o o Q M O M i n t e g r a d i r e t a m e n t e o s m o m e n t o s , s e u s e r r o s r e l a t i v o s s ã o i n f e -

r i o r e s a o s o b t i d o s p e l o D Q M O M p a r a o s d o i s p r i m e i r o s m o m e n t o s . O e r r o a s s o c i a d o

à a p r o x i m a ç ã o d a q u a d r a t u r a n o c á l c u l o d e s t e s m o m e n t o s a f e t a a a c u r á c i a d o D Q -

M O M . P a r a o s m o m e n t o s d e m a i o r o r d e m , a s a c u r á c i a s d o Q M O M e D Q M O M s ã o

b a s t a n t e s i m i l a r e s , c o m o m o s t r a a F i g . 6 . 1 ( b ) . D e f a t o , a d i f e r e n ç a d e p r e c i s ã o n ã o

i n u e n c i a a a c u r á c i a g l o b a l d e a m b o s m é t o d o s n o s c a s o s a n a l i s a d o s .

E m c o n t r a s t e , v e r i c a - s e p e l a s F i g s . 6 . 1 ( c ) e ( d ) q u e o s e r r o s r e l a t i v o s d o s m o m e n -

t o s o b t i d o s u s a n d o o s m é t o d o s P P D C e M o C s ã o m a i o r e s d o s q u e a q u e l e s o b t i d o s

p e l o Q M O M e D Q M O M .




10-16

10-15

10-14

10-13

10-12

10-11

10-10

10-9

10-8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

χR,k

n

DQMOM

QMOM

k = 0k = 1

10-16

10-15

10-14

10-13

10-12

10-11

10-10

10-9

10-8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

χR,k

n

DQMOM

QMOM

3

10-16

10-15

10-14

10-13

10-12

10-11

10-10

10-9

10-8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

χR,k

n

DQMOM

QMOM

10-16

10-15

10-14

10-13

10-12

10-11

10-10

10-9

10-8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

χR,k

n

DQMOM

QMOM

10-16

10-15

10-14

10-13

10-12

10-11

10-10

10-9

10-8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

χR,k

n

DQMOM

QMOM

10-16

10-15

10-14

10-13

10-12

10-11

10-10

10-9

10-8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

χR,k

n

DQMOM

QMOM

6

10-16

10-15

10-14

10-13

10-12

10-11

10-10

10-9

10-8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

χR,k

n

DQMOM

QMOM

10-16

10-15

10-14

10-13

10-12

10-11

10-10

10-9

10-8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

χR,k

n

DQMOM

QMOM

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

χR,kn

k = 2k = 3

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

χR,kn

3

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

χR,kn

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

χR,kn

6

( a ) ( b )

10-4

10-3

10-2

10-1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

χR,k

nk = 0k = 1k = 2k = 3

10-4

10-3

10-2

10-1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

χR,k

n

3

10-4

10-3

10-2

10-1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

χR,k

n

10-4

10-3

10-2

10-1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

χR,k

n

4

10-4

10-3

10-2

10-1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

χR,k

n

10-4

10-3

10-2

10-1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

χR,k

n

6

10-4

10-3

10-2

10-1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

χR,k

n

10-4

10-3

10-2

10-1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

χR,k

n

55

10-4

10-3

10-2

10-1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

χR,k

nk = 0k = 1k = 2k = 3

10-4

10-3

10-2

10-1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

χR,k

n

102

( c ) ( d )

F i g u r a 6 . 1 : E r r o r e l a t i v o d o s m o m e n t o s n o c a s o d e q u e b r a d o m i n a n t e p a r a o s m o m e n t o s

d e m e n o r o r d e m , µ0 − µ1 , ( a ) e m a i o r o r d e m ,

µ2 − µ3 , ( b ) u s a n d o o Q M O M e D Q M O M ,

P P D C ( c ) e M o C ( d ) .

U m a d a s l i m i t a ç õ e s d o P P D C e s t á n o f a t o d e s t e a p r e s e n t a r f a l s a c o n v e r g ê n c i a

e m s e u s r e s u l t a d o s . N e s t e c a s o , a s o l u ç ã o n u m é r i c a u s a n d o d i f e r e n t e s p o n t o s d e

q u a d r a t u r a c o n v e r g e e n t r e s i , m a s n ã o c o m a s o l u ç ã o a n a l í t i c a . E s t e c o m p o r t a m e n t o

p o d e s e r v e r i c a d o n a F i g . 6 . 2 , o n d e o s r e s u l t a d o s n u m é r i c o s d o s m o m e n t o s 2

e 3

n ã o c o n v e r g e m p a r a a s o l u ç ã o a n a l í t i c a a o u s a r d i f e r e n t e s v a l o r e s d e p o n t o s d e


P a r a v e r i c a r o c o m p o r t a m e n t o g l o b a l d o s m é t o d o s , d e n i u - s e u m e r r o m é d i o

e n v o l v e n d o o s s e i s p r i m e i r o s m o m e n t o s ,

χ = 1

6T

T l=1

5k=0

µk(tl) − µ(a)

k (tl)µ(a)k (tl)

2

( 6 . 2 )

o n d e o s u p e r s c r i t o (a)

r e f e r e - s e a o v a l o r a n a l í t i c o d o m o m e n t o [ 1 5 8 , 1 6 0 ] e T

é n ú m e r o




1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5

t

µk

k = 0, 1

k = 2

k = 3 nµk

(a)

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5

t

µk

k = 0, 1

k = 2

k = 3 n

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5

t

µk

k = 0, 1

k = 2

k = 3 n

3

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5

t

µk

k = 0, 1

k = 2

k = 3 n

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5

t

µk

k = 0, 1

k = 2

k = 3 n

6

F i g u r a 6 . 2 : C o m p o r t a m e n t o d e f a l s a c o n v e r g ê n c i a o b t i d o p e l o P P D C c o m 3 e 6 p o n t o s d e

q u a d r a t u r a e m u m c a s o d e q u e b r a e a g r e g a ç ã o e q u i v a l e n t e s .

t o t a l d e a m o s t r a g e n s d e µk t e n d o o s u b s c r i t o

lr e f e r i n d o - s e a o v a l o r a m o s t r a d o .

A F i g . 6 . 3 a p r e s e n t a o e r r o m é d i o o b t i d o p e l o s m é t o d o s h í b r i d o s e p e l o M o C

a p l i c a d o s a c a s o s d e q u e b r a d o m i n a n t e e a g r e g a ç ã o d o m i n a n t e .

É p o s s í v e l v e r i c a r p e l a F i g . 6 . 3 q u e o c o m p o r t a m e n t o g l o b a l d o Q M O M e D Q -

M O M s ã o i d ê n t i c o s e s u a a c u r á c i a a u m e n t a r a p i d a m e n t e c o m o n ú m e r o d e p o n t o s d e

q u a d r a t u r a u s a d o s . C o m o o P P D C a p r e s e n t a u m a f a l s a c o n v e r g ê n c i a , s u a a c u r á c i a

p o u c o é a f e t a d a p e l o n ú m e r o d e p o n t o s d e q u a d r a t u r a . D e f a t o , a t é o m é t o d o d a s

c l a s s e s s e t o r n a m a i s a c u r a d o q u e o P P D C , q u a n d o c e r c a d e 150

- 200

c l a s s e s s ã o

u s a d a s .

P o r m , o s t e s t e s d e t e m p o d e c o m p u t a ç ã o , a p r e s e n t a d o s n o A p ê n d i c e A , u s a n d o

d i f e r e n t e s p o n t o s d e q u a d r a t u r a i n d i c a r a m o D Q M O M c o m o o m é t o d o m a i s e c i -

e n t e u s a n d o a t é 8

p o n t o s . U s a n d o m a i s p o n t o s d e q u a d r a t u r a , o P P D C s e t o r n a

m a i s e c i e n t e q u e o s o u t r o s m é t o d o s . C o n t u d o , o D Q M O M p o s s u i m e l h o r a c u r á c i a

q u e e s t e ú l t i m o . A l é m d i s s o , o u s o 4

- 6

p o n t o s d e q u a d r a t u r a j á é s u c i e n t e p a r a

r e p r e s e n t a r b e m a s p r i n c i p a i s p r o p r i e d a d e s d a d i s t r i b u i ç ã o .

E m a d i ç ã o , p a r a c a s o s c o m d e p e n d ê n c i a e s p a c i a l , c a d a p e s o e a b s c i s s a s e c o m -



6 . 3 A v a l i a ç ã o d o D Q M O M e A c o p l a m e n t o M U S I G 1 3 5

10-1

100

101

3 4 5 6

50 100 150 200

pontos de quadratura

no. de classes

χ ( % )

10-1

100

101

3 4 5 6

50 100 150 200


no. de classes

χ ( % )

QMOMDQMOM

PPDCMoC

( a )

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

3 4 5 6

50 100 150 200


no. de classes

χ ( %

)

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

3 4 5 6

50 100 150 200


no. de classes

χ ( %

)

QMOMDQMOM

PPDCMoC

( b )

F i g u r a 6 . 3 : E r r o g l o b a l m é d i o o b t i d o p a r a o s c a s o s d e ( a ) q u e b r a d o m i n a n t e e ( b ) a g r e g a ç ã o

d o m i n a n t e .

p o r t a c o m o u m a v a r i á v e l e s c a l a r q u e s e p r o p a g a c o m s e u p r ó p r i o c a m p o d e v e l o c i -

d a d e . E s s a s v a r i á v e i s p o d e m s e r a s s o c i a d a s a c a d a f a s e d i s p e r s a e m u m e s c o a m e n t o

m u l t i f á s i c o , u t i l i z a n d o s u a s v e l o c i d a d e s n a s e q u a ç õ e s d e t r a n s p o r t e d e p e s o s e a b s -

c i s s a s . P o r t a n t o , o D Q M O M s e a p r e s e n t a c o m o o m é t o d o m a i s i n d i c a d o p a r a a

i m p l e m e n t a ç ã o d o a c o p l a m e n t o C F D - E B P .

6 . 3 A v a l i a ç ã o d o D Q M O M e A c o p l a m e n t o M U S I G

U m a v e z t e n d o d e n i d o o m é t o d o n u m é r i c o a s e r u s a d o , i n i c i o u - s e a e t a p a d e i m -

p l e m e n t a ç ã o n o O p e n F O A M . O D Q M O M f o i i m p l e m e n t a d o ( d e t a l h e s n a S e ç ã o 5 . 3 )




g e r a n d o o s o l v e r p b e F o a m . C o n t u d o , s u r g e a n e c e s s i d a d e d e v e r i c a r s e o D Q -

M O M f o i i m p l e m e n t a d o c o r r e t a m e n t e n o O p e n F O A M . P a r a t a l , f o r a m r e a l i z a d a s

s i m u l a ç õ e s 0 D t r a n s i e n t e s e 1 D e s t a c i o n á r i o s u s a n d o

4p o n t o s d e q u a d r a t u r a e s e u s

r e s u l t a d o s f o r a m c o m p a r a d o s c o m a s o l u ç ã o a n a l í t i c a d e L A G E [ 1 5 8 ] p a r a o c a s o

d e q u e b r a e a g r e g a ç ã o e q u i v a l e n t e s e M C C O Y e M A D R A S [ 1 6 0 ] p a r a o s c a s o s d e

q u e b r a e d e a g r e g a ç ã o d o m i n a n t e s .

N e s t a s s i m u l a ç õ e s , o s p r o c e s s o s d e q u e b r a e d e a g r e g a ç ã o e n t r e p a r t í c u l a s s ã o

c a r a c t e r i z a d o s p o r m o d e l o s i r r e a i s [ 1 5 8 , 1 6 0 ] ,

a(v, v) = 1, b(v) = 12

Φ(∞)2v, P (v | v) = 1v

, ϑ(v) = 2( 6 . 3 )

o n d e Φ(∞) = N T (∞)/N T (0)

é o p a r â m e t r o q u e c o n t r o l a o e f e i t o d e q u e b r a o u d e

a g r e g a ç ã o d o m i n a n t e . P o r s u a v e z , N T (∞)

e N T (0)

s ã o r e s p e c t i v a m e n t e o n ú m e r o

t o t a l d e p a r t í c u l a s n o d o m í n i o n o n a l e n o i n í c i o d o p r o c e s s o . P o r t a n t o , Φ(∞) > 1

p a r a o s p r o c e s s o s c o m q u e b r a d o m i n a n t e e Φ(∞) < 1

p a r a c a s o s c o m a g r e g a ç ã o

d o m i n a n t e .

D e m o d o a v e r i c a r a a p l i c a ç ã o d o D Q M O M e m e s c o a m e n t o s , o a c o p l a m e n t o

M U S I G f o i t e s t a d o p a r a c a s o s d e q u e b r a o u d e a g r e g a ç ã o d o m i n a n t e e m u m a g e -

o m e t r i a d e u m c a n a l c o m e x p a n s ã o e m d e g r a u ( b a c k w a r d f a c i n g s t e p - B F S ) b i d i -

m e n s i o n a l . A m i s t u r a b i f á s i c a u t i l i z a d a f o i u m a e m u l s ã o c t í c i a d e á g u a e m ó l e o .

N e s t a s s i m u l a ç õ e s , o s c a s o s d e q u e b r a e d e a g r e g a ç ã o d o m i n a n t e s f o r a m s i m u l a d o s

u s a n d o r e s p e c t i v a m e n t e Φ(∞) = 6

e 0, 1

.

E m s u a d i s s e r t a ç ã o d e m e s t r a d o , D A M I A N [ 1 8 ] i m p l e m e n t o u a s o l u ç ã o d a E B P

p e l o D Q M O M n o A N S Y S C F X v i a r o t i n a s d e u s u á r i o ( e m F O R T R A N ) . D e s s a f o r m a ,

f o i p o s s í v e l c o m p a r a r o s r e s u l t a d o s o b t i d o s p e l o O p e n F O A M c o m o A N S Y S C F X .

O s r e s u l t a d o s d e s t a c o m p a r a ç ã o f o r a m a p r e s e n t a d o s n o I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e

o f M u l t i p h a s e F l o w 2 0 0 7 [ 2 8 1 ] , q u e o c o r r e u e m L e i p i z g , A l e m a n h a , c u j o a r t i g o s e

e n c o n t r a n o A p ê n d i c e B . U m a v e r s ã o a p r i m o r a d a d e s t e t r a b a l h o f o i s u b m e t i d o e

a c e i t o r e c e n t e m e n t e p a r a p u b l i c a ç ã o [ 2 6 0 ] .




6 . 3 . 1 S o l u ç ã o d a E B P n o O p e n F O A M

E s t a s s i m u l a ç õ e s f o r a m r e a l i z a d a s c o m o o b j e t i v o d e r e a l i z a r u m a v e r i c a ç ã o r i g o r o s a

d a a c u r á c i a d a i m p l e m e n t a ç ã o d o D Q M O M n o O p e n F O A M . E m o u t r a s p a l a v r a s , o

i n t e r e s s e s e c o n c e n t r a n a a c u r á c i a d a i n t e g r a ç ã o n o t e m p o o u e s p a ç o d a s e q u a ç õ e s

d e t r a n s p o r t e d o D Q M O M . P o r t a n t o , o e r r o d a a p r o x i m a ç ã o p o r q u a d r a t u r a f o i

e x c l u í d o d a s c o m p a r a ç õ e s a p r e s e n t a d a s n e s t a s e ç ã o . P a r a t a l , a E B P h o m o g ê n e a

a p l i c a d a a o D Q M O M f o r n e c e u m s i s t e m a d e e q u a ç õ e s d i f e r e n c i a i s o r d i n á r i a s p a r a

o s p e s o s e a b s c i s s a s

dwα

dt= θα, dς α

dt= κα, α = 1 . . . n

( 6 . 4 )

c u j a s o l u ç ã o f o i i m p l e m e n t a d a e m u m c ó d i g o n u m é r i c o e s c r i t o e m F O R T R A N 9 0 ,

u s a d o p a r a g e r a r o s r e s u l t a d o s a p r e s e n t a d o s n a S e ç ã o 6 . 2 , c o m a r o t i n a D A S S L [ 2 8 2 ]

p a r a i n t e g r a ç ã o n o t e m p o .

O a l g o r i t m o a d a p t a t i v o p a r a o p a s s o d e t e m p o e o r d e m d e i n t e g r a ç ã o n u m é r i c a

n a D A S S L e m c o n j u n t o c o m u m e x i g e n t e c r i t é r i o p a r a c o n v e r g ê n c i a d a s e q u a ç õ e s

( t o l e r â n c i a s a b s o l u t a s e r e l a t i v a s d e 10−10

e 10−12

, r e s p e c t i v a m e n t e ) f o r n e c e r a m u m a

s o l u ç ã o n u m é r i c a v i r t u a l m e n t e l i v r e d e e r r o s d e i n t e g r a ç ã o n u m é r i c a . N e s t e c a s o , o

e s t a d o e s t a c i o n á r i o p a r a a s o l u ç ã o n u m é r i c a d o c a s o d e q u e b r a e a g r e g a ç ã o e q u i v a -

l e n t e s [ 1 6 0 ] é c o n s i d e r a d a a s o l u ç ã o a n a l í t i c a p a r a o s p e s o s , w(a)i , e a b s c i s s a s ,

ξ(a)i .

S e m d ú v i d a , e s t a s o l u ç ã o n u m é r i c a a i n d a c o n t é m o s e r r o s a s s o c i a d o s a a p r o x i m a -

ç ã o p o r q u a d r a t u r a d o D Q M O M . P o r t a n t o , a o c o m p a r a r o s r e s u l t a d o s p r o v i n d o s d a

i m p l e m e n t a ç ã o d o D Q M O M n o O p e n F O A M c o m a s o l u ç ã o a n a l í t i c a d a D A S S L ,

a p e n a s o s e r r o s a s s o c i a d o s à i n t e g r a ç ã o n o t e m p o e e s p a ç o s ã o m o s t r a d o s [ 1 8 ] .

D e f a t o , a s c o n d i ç õ e s d e s i m u l a ç ã o p a r a o c a s o t r a n s i e n t e f o r a m a s m e s m a s u s a d a s

n a S e ç ã o 6 . 2 . U s a n d o o s m é t o d o s d e E u l e r e x p l í c i t o e C r a n k - N i c h o l s o n e u m p a s s o

d e t e m p o d e 10−3 s

, a a c u r á c i a d a s s i m u l a ç õ e s f o i m e n s u r a d a a t r a v é s d e u m e r r o

m é d i o , m o s t r a d o n a E q . 6 . 5 .

χt2

=1

2nM

M j=1

ni=1

|w(a)i,j − wi,j|

w(a)i,j

2+

|ξ(a)i,j − ξi,j|

ξ(a)i,j

2 ( 6 . 5 )




T a b e l a 6 . 1 : E r r o s m é d i o s n a s s i m u l a ç õ e s t r a n s i e n t e s p a r a o s c a s o s d e ( a ) q u e b r a e a g r e g a ç ã o

e q u i v a l e n t e s , ( b ) q u e b r a d o m i n a n t e e ( c ) a g r e g a ç ã o d o m i n a n t e .

C a s o s

χt(%)

E u l e r C r a n k - N i c h o l s o n

a 0, 00015 0, 000045

b 0, 58 6, 26

c 0, 0094 0, 029

o n d e

M é o n ú m e r o t o t a l d e a m o s t r a s r e t i r a d a s n o t e m p o e o s u b s c r i t o

jr e p r e s e n t a

o v a l o r a m o s t r a d o .

E m t o d o s o s c a s o s a n a l i s a d o s , u m a ó t i m a a c u r á c i a f o i o b t i d a a o u s a r o m é t o d o

d e E u l e r . C o n t u d o , o m é t o d o d e C r a n k - N i c h o l s o n a p r e s e n t o u e r r o s m a i o r e s d o q u e

o s o b t i d o s p e l o E u l e r , d e v i d o a o s e u c o m p o r t a m e n t o o s c i l a t ó r i o q u a n d o o p a s s o d e

t e m p o u s a d o n ã o é p e q u e n o o s u c i e n t e . O s r e s u l t a d o s d o e r r o m é d i o e s t ã o c o l o c a d o s

n a T a b e l a 6 . 1 .

A s o l u ç ã o u n i d i m e n s i o n a l o b t i d a p e l o O p e n F O A M p ô d e s e r c o m p a r a d a c o m a

s o l u ç ã o t r a n s i e n t e d e M C C O Y e M A D R A S [ 1 6 0 ] a t r a v é s d e u m a t r a n s f o r m a ç ã o d e

d o m í n i o ,

dφ

dt= ϕ =⇒ uz

dφ

dz= ϕ

( 6 . 6 )

u t i l i z a n d o u m a v e l o c i d a d e uz d e p r o p a g a ç ã o d a s v a r i á v e i s n o d o m í n i o 1 D c o m t a m a -

n h o L = 1 m

. D e s t a f o r m a , L/uz r e p r e s e n t a o t e m p o a d v e c t i v o p a r a a p r o p a g a ç ã o

d a s o l u ç ã o d a E B P p e l o d o m í n i o 1 D . P o r c o n s e q u ê n c i a , uz p o d e s e r e s c o l h i d o d e

f o r m a q u e a s v a r i á v e i s d o D Q M O M a p r e s e n t e m p e r s e s t a c i o n á r i o s a o l o n g o d a

c o o r d e n a d a z

q u e s e j a m i g u a i s a o s p e r s d a s s i m u l a ç õ e s t r a n s i e n t e s .

C o n s i d e r a n d o q u e o s v a l o r e s e s t a c i o n á r i o s p a r a o s p e s o s e a b s c i s s a s n a s s i m u l a -

ç õ e s t r a n s i e n t e s s ã o a t i n g i d o s e m 0.5 s

p a r a o c a s o d e q u e b r a d o m i n a n t e e 40 s

p a r a

o c a s o d e a g r e g a ç ã o d o m i n a n t e , é p o s s í v e l c a l c u l a r a s v e l o c i d a d e s uz p a r a c a d a c a s o




T a b e l a 6 . 2 : E r r o m é d i o ( % ) p a r a a s s i m u l a ç õ e s 1 D n o c a s o s d e ( b ) q u e b r a e ( c ) a g r e g a ç ã o

d o m i n a n t e u s a n d o d i f e r e n t e s m é t o d o s d e i n t e r p o l a ç ã o .

O p e n F O A M C a s o

E s q u e m a a d v e c t i v o b c

Q U I C K 0, 11 0, 47

U D 1, 05 4, 85

G 0 . 2 1, 44 1, 26

G 0 . 6 1, 30 1, 26

G 1 . 0 0, 36 1, 31

a t r a v é s d o s t e m p o s a d v e c t i v o s L/uz . A s s i m , o s c a m p o s d e v e l o c i d a d e

uz , c o n s t a n t e

e d e n i d o p a r a t o d o o d o m í n i o , f o r a m c a l c u l a d o s c o m o 2 m/s

e 0.025 m/s

p a r a o s

c a s o s d e q u e b r a d o m i n a n t e e a g r e g a ç ã o d o m i n a n t e , r e s p e c t i v a m e n t e . O s d e t a l h e s

d e s t a o p e r a ç ã o e s t ã o c o l o c a d o s n o A p ê n d i c e B .

A o a n a l i s a r a s o l u ç ã o u n i d i m e n s i o n a l , n o t a - s e q u e v a r i a ç õ e s n a s o l u ç ã o d e a p e n a s

u m a v a r i á v e l p o d e p r o p a g a r e r r o s p a r a t o d a s a s o u t r a s v a r i á v e i s d o D Q M O M . I s t o

o c o r r e p o i s o s i s t e m a l i n e a r d o D Q M O M a g r e g a t o d a s a s i n f o r m a ç õ e s d a s v a r i á v e i s ,

a f e t a n d o - a s e p o d e n d o , i n c l u s i v e , l e v a r à d i v e r g ê n c i a d a s i m u l a ç ã o . O r e n o d a

m a l h a p o d e s e r e s s e n c i a l p a r a a t e n u a r e s t a s v a r i a ç õ e s e e v i t a r a d i v e r g ê n c i a d a

s o l u ç ã o n e s t e s c a s o s . O u t r a s o l u ç ã o a s e r c o n s i d e r a d a é a a n á l i s e d a d i s c r e t i z a ç ã o d o

t e r m o c o n v e c t i v o d a s e q u a ç õ e s d e t r a n s p o r t e d o D Q M O M . D e f a t o , e s t a s e q u a ç õ e s

s ã o p u r a m e n t e a d v e c t i v a s e , p o r t a n t o , f u n ç õ e s d e i n t e r p o l a ç ã o d e a l t a o r d e m e c o m

l i m i t a d o r e s d e u x o f o r n e c e m o s m e l h o r e s r e s u l t a d o s . O s m é t o d o s U p w i n d ( U D ) ,

Q U I C K e G A M M A ( G Γ1

) f o r a m t e s t a d o s p a r a o s c a s o s d e q u e b r a e d e a g r e g a ç ã o

d o m i n a n t e s u s a n d o r e s p e c t i v a m e n t e m a l h a s c o m 500

e 100

v o l u m e s .

P a r a o O p e n F O A M , a f u n ç ã o d e i n t e r p o l a ç ã o Q U I C K a p r e s e n t o u o s m e n o r e s

1

O p a r â m e t r o

Γé u m f a t o r d e b l e n d i n g e n t r e o s m é t o d o s U D e d i f e r e n ç a c e n t r a l [ 2 6 3 ] .




F i g u r a 6 . 4 : D i m e n s õ e s p a r a m é t r i c a s e n o m e d o s c o n t o r n o s d a g e o m e t r i a B F S , o n d e L =

11H , l = H e h = H/2 s e n d o

H = 0, 01 mp a r a o c a s o d e q u e b r a e

H = 0, 1 mp a r a

a g r e g a ç ã o d o m i n a n t e .

e r r o s m é d i o s . C o n t u d o , s a b e - s e q u e f u n ç õ e s c o m l i m i t a d o r e s d e u x o s ã o c a p a z e s

d e m i n i m i z a r a d i f u s ã o n u m é r i c a e o s c i l a ç õ e s . L e v a n d o i s s o e m c o n t a , a f u n ç ã o

G A M M A c o m f a t o r Γ = 1

[ 2 6 3 ] s e a p r e s e n t o u c o m o a m a i s i n d i c a d a p a r a s e r u s a d a

n a d i s c r e t i z a ç ã o d o D Q M O M a p l i c a d o a e s c o a m e n t o s .

C o m b a s e n o s t e s t e s a p r e s e n t a d o s a c i m a e s u a c o m p a r a ç ã o c o m r e s u l t a d o s a n a -

l í t i c o s , g a r a n t e - s e q u e o D Q M O M f o i i m p l e m e n t a d o c o r r e t a m e n t e n o O p e n F O A M .

6 . 3 . 2 E s c o a m e n t o e m e m u l s ã o u s a n d o o m o d e l o M U S I G

A s s i m u l a ç õ e s f o r a m r e a l i z a d a s e m u m a g e o m e t r i a B F S , c u j a s d i m e n s õ e s e s t ã o m o s -

t r a d a s n a F i g . 6 . 4 , d i s c r e t i z a d a c o m m a l h a s h e x a é d r i c a s e m i s t a t e t r a - p r i s m á t i c a s

c o m a p r o x i m a d a m e n t e 4 0 0 0 , 8 0 0 0 e 1 6 0 0 0 v o l u m e s d e c o n t r o l e .

C o n f o r m e f o i d i s c u t i d o n o A p ê n d i c e B , e s t a g e o m e t r i a f o i u t i l i z a d a d e v i d o à

s u a s i m p l i c i d a d e e p o r p o s s u i r z o n a s d e r e c i r c u l a ç ã o . A p e n a s a f o r ç a d e a r r a s t o f o i

c o n s i d e r a d a n e s t a s s i m u l a ç õ e s e e m c o n d i ç õ e s d e e s c o a m e n t o l a m i n a r ( m o d e l o d e

t u r b u l ê n c i a d e s a t i v a d o n a s s i m u l a ç õ e s ) . A l é m d i s s o , a s m e s m a s f u n ç õ e s d e q u e b r a

e d e a g r e g a ç ã o s i m p l e s [ 1 6 0 ] , m o s t r a d a s n a E q . 6 . 3 , f o r a m u s a d a s . A s p r o p r i e d a d e s

f í s i c a s e c o n d i ç õ e s d e e n t r a d a u s a d a s n a s s i m u l a ç õ e s e s t ã o l i s t a d o s n a T a b e l a 6 . 3 .

A v a r i á v e l i n t e r n a a d o t a d a n e s t e c a s o é o v o l u m e d a p a r t í c u l a , s e n d o q u e o

d o m í n i o i n t e r n o d o B F S p o s s u i p a r t í c u l a s c o m u m d i â m e t r o m é d i o d e S a u t e r d e




T a b e l a 6 . 3 : P r o p r i e d a d e s f í s i c a s e c o n d i ç õ e s d e e n t r a d a p a r a a m i s t u r a b i f á s i c a .

P r o p . F í s i c a s ó l e o á g u a

ρ( kg m−3

) 900 1000

η( kg m−1 s−1

) 1 · 10−5 1 · 10−6

V a r i á v e l C o n d i ç õ e s d e e n t r a d a

ds ( µm

) - 50

rα ( - ) 0, 9 0, 1

50 µmc o m o a c o n d i ç ã o i n i c i a l . N o s p r i m e i r o s t e s t e s d e s i m u l a ç ã o c o m o M U S I G ,

a p a r e c e r a m p r o b l e m a s n u m é r i c o s n a p r e c i s ã o d o c á l c u l o d o D Q M O M . D e s t e m o d o ,

f o r m a s a d i m e n s i o n a i s d o s p e s o s e a b s c i s s a s f o r a m u s a d a s c o m s u c e s s o p a r a e v i t a r

e s t e s p r o b l e m a s . A s s i m , t o d o o a l g o r i t m o d o D Q M O M u t i l i z a v a r i á v e i s a d i m e n -

s i o n a i s q u e d e v e m s e r c o n v e r t i d a s à s u a f o r m a d i m e n s i o n a l p a r a c a l c u l a r a f r a ç ã o

v o l u m é t r i c a e o d i â m e t r o d e S a u t e r u s a d o s n o m o d e l o b i f á s i c o . A s E q s . 6 . 7 e 6 . 8

m o s t r a m r e s p e c t i v a m e n t e a a d i m e n s i o n a l i z a ç ã o d o s p e s o s e a b s c i s s a s ,

wφα =

1

N T (0)wf α ( 6 . 7 )

ξφα =N T (0)

rd(0)ξf α ( 6 . 8 )

o n d e N T (0)

é o n ú m e r o t o t a l d e p a r t í c u l a s n o d o m í n i o ( m o m e n t o z e r o ) , rd(0)

é

a f r a ç ã o v o l u m é t r i c a g l o b a l d a f a s e d i s p e r s a ( p r i m e i r o m o m e n t o ) , a m b a s a v a l i a d a s

n o i n s t a n t e i n i c i a l o u n a e n t r a d a d o d o m í n i o . P o r s u a v e z , o s s u p e r s c r i t o s f e φ

r e p r e s e n t a m , r e s p e c t i v a m e n t e , a s v a r i á v e i s d i m e n s i o a n i s e a d i m e n s i o n a i s . M a i o r e s

d e t a l h e s s o b r e o p r o c e s s o d e a d i m e n s i o n a l i s a ç ã o s e e n c o n t r a m n o A p ê n d i c e B .

O s v a l o r e s i n i c i a i s d a s v a r i á v e i s d o D Q M O M f o r a m o b t i d a s p e l a c o n d i ç ã o e s t a -

c i o n á r i a d o s p e s o s e a b s c i s s a s o b t i d o s p e l a s o l u ç ã o d a D A S S L p a r a o c a s o d e q u e b r a

e a g r e g a ç ã o e q u i v a l e n t e s [ 1 6 0 ] . E s t e p r o c e d i m e n t o f o i d i s c u t i d o n a S e ç ã o 6 . 3 . 1 d o

p r e s e n t e t r a b a l h o .

T o d a s a s s i m u l a ç õ e s f o r a m r e a l i z a d a s u s a n d o o m é t o d o i m p l í c i t o d e C r a n k N i -




( a )

( b )

F i g u r a 6 . 5 : C o n t o r n o d o d i â m e t r o d e S a u t e r , ds , p a r a o s c a s o s d e ( a ) q u e b r a e ( b ) a g r e g a ç ã o

d o m i n a n t e .

c h o l s o n p a r a i n t e g r a ç ã o n o t e m p o c o m p a s s o d e t e m p o a d a p t a t i v o , c o n t r o l a d o d e t a l

f o r m a q u e o n ú m e r o d e C o u r a n t m á x i m o n a m a l h a s e j a 0, 3

. O s t e r m o s a d v e c t i v o s

d a s e q u a ç õ e s d e t r a n s p o r t e f o r a m a p r o x i m a d o s u s a n d o o m é t o d o d e i n t e r p o l a ç ã o

G a m m a , c o m Γ = 1

[ 2 6 3 ] . O a l g o r i t m o P I S O p a r a a c o p l a m e n t o p r e s s ã o v e l o c i d a d e

t e v e c o m o c r i t é r i o d e p a r a d a u m e r r o a b s o l u t o n a p r e s s ã o d e 0, 01

e , p a r a m a l h a s t e -

t r a é d r i c a s , 3

i t e r a ç õ e s f o r a m u s a d a s p a r a a c o r r e ç ã o d e n ã o - o r t o g o n a l i d a d e d a m a l h a

[ 2 6 3 ] .

O s r e s u l t a d o s d o c o n t o r n o d o d i â m e t r o d e S a u t e r , p a r a o s c a s o s d e q u e b r a e d e

a g r e g a ç ã o d o m i n a n t e s u s a n d o a m a l h a h e x a é d r i c a m a i s r e n a d a , e s t ã o c o l o c a d o s n a

F i g . 6 . 5 .

A d i s t r i b u i ç ã o d e t a m a n h o d e p a r t í c u l a s é a d v e c t a d a c o m o u i d o e s u a s m u d a n -

ç a s s ã o c a u s a d a s p e l o s e f e i t o s d e q u e b r a o u d e a g r e g a ç ã o . A s s i m , o g r a u d e m u d a n ç a

n a d i s t r i b u i ç ã o é p r o p o r c i o n a l a o t e m p o d e r e s i d ê n c i a d a s p a r t í c u l a s . C o m o o b s e r -

v a d o n o s r e s u l t a d o s c o l o c a d o s n a F i g . 6 . 5 , a s p a r t í c u l a s q u e c a m p r e s a s n o i n t e r i o r




38

40

42

44

46

48

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

d s

( µ m )

H

Tetra16k

8k

4k

38

40

42

44

46

48

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

d s

( µ m )

H

Tetra

Hexa16k

8k

4k

( a )

55

60

65

70

75

80

85

90

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

d s

( µ m )

H

Tetra

16k

8k

4k55

60

65

70

75

80

85

90

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

d s

( µ m )

H

TetraHexa

16k

8k

4k

( b )

F i g u r a 6 . 6 : C o n v e r g ê n c i a e m m a l h a p a r a o s c a s o s d e ( a ) q u e b r a e ( b ) a g r e g a ç ã o u s a n d o

m a l h a s h e x a é d r i c a s e t e t r a - p r i s m á t i c a s .

d a s z o n a s d e r e c i r c u l a ç ã o a p r e s e n t a m , c o m o e s p e r a d o , a l t a s t a x a s d e i n t e r a ç ã o .

D e m o d o a v e r i c a r a c o n v e r g ê n c i a d a m a l h a , o s r e s u l t a d o s d o d i â m e t r o d e

S a u t e r a m o s t r a d o s e m u m a l i n h a v e r t i c a l ( a l o c a d a n a r e g i ã o d o p r i m e i r o v ó r t i c e , e m

x = 1, 25H ) u s a n d o a s m a l h a s h e x a e t e t r a - p r i s m á t i c a s e s t ã o c o l o c a d o s n a F i g . 6 . 6 .

C o m o v e r i c a d o n a F i g . 6 . 6 , o s p i o r e s r e s u l t a d o s f o r a m o b t i d o s u s a n d o a m a l h a

t e t r a - p r i s m á t i c a . D e f a t o , o f o r m a t o d a m a l h a c o n s t r u í d a f o i a p r i n c i p a l r a z ã o d e s t e

c o m p o r t a m e n t o r u i m . P a r a q u e a f o r m u l a ç ã o d e v o l u m e s n i t o s i m p l e m e n t a d a n o

O p e n F O A M f o r n e ç a u m r e s u l t a d o m a i s a c u r a d o , o v e t o r q u e l i g a o c e n t r o d o v o l u m e




F i g u r a 6 . 7 : I l u s t r a ç ã o d a c o n v e r s ã o d e u m g r u p o d e e l e m e n t o s t e t r a é d r i c o s e m u m v o l u m e

d e c o n t r o l e p o l i é d r i c o .

e d a f a c e d e v e s e r p r e f e r e n c i a l m e n t e n o r m a l à f a c e . S e a n ã o - o r t o g o n a l i d a d e e n t r e

o v e t o r e o c e n t r o d a f a c e f o r a l t a , o O p e n F O A M p o d e t e r d i c u l d a d e s e m c o r r i g i r

o s u x o s e , c o n s e q u e n t e m e n t e , l e v a r a r e s u l t a d o s i n a c u r a d o s . A c o n v e r s ã o d a m a l h a

t e t r a - p r i s m a p a r a p o l i é d r i c a ( d u a l m e s h ) , i l u s t r a d a n a F i g . 6 . 7 , é i n t e r e s s a n t e p o i s

a l i n h a o u x o n o r m a l a f a c e c o m o c e n t r o d o s v o l u m e s d e c o n t r o l e .

C o n t u d o , a f e r r a m e n t a d e c o n v e r s ã o n ã o p o d e s e r a p l i c a d a a m a l h a s b i d i m e n s i -

o n a i s n o O p e n F O A M e , p o r t a n t o , o u s o d e m a l h a s p o l i é d r i c a s n ã o f o i t e s t a d o p a r a

e s t e c a s o . P o r é m , d e v e - s e r e s s a l t a r q u e u m e s t u d o m a i s a p r o f u n d a d o d a s o l u ç ã o d o

D Q M O M u s a n d o m a l h a s p o l i é d r i c a s d e v e s e r e f e t u a d o n o f u t u r o .

P o r m , a i m p l e m e n t a ç ã o d o D Q M O M n o O p e n F O A M f o i v e r i c a d a c o m s u c e s s o

e s u a e x t e n s ã o n o a c o p l a m e n t o M U S I G p ô d e s e r a v a l i a d a c o m p a r a d n o r e s u l t a d o s d e

d o i s p a c o t e s C F D d i f e r e n t e s . O s r e s u l t a d o s o b t i d o s e m a m b o s o s p a c o t e s a p r e s e n t a -

r a m p e q u e n a s d i f e r e n ç a s e n t r e s i d e v i d o a o s d e t a l h e s d e i m p l e m e n t a ç ã o e s p e c í c o s

a c a d a c ó d i g o . D e m o d o g e r a l , n ã o f o r a m v e r i c a d o s p r o b l e m a s n a s o l u ç ã o n u m é -

r i c a d o D Q M O M , p r i c i p a l m e n t e p e l a e s c o l h a c o r r e t a d a f u n ç ã o d e i n t e r p o l a ç ã o . D e

f a t o , d u r a n t e o s t e s t e s i n i c i a i s d a s s i m u l a ç õ e s c o m o a c o p l a m e n t o M U S I G u s a n d o a

f u n ç ã o Q U I C K n a s v a r i á v e i s d o D Q M O M , f o r a m n o t a d o s p r o b l e m a s d e d i v e r g ê n c i a

n u m é r i c a q u e l e v a r a m a e r r o s d e e x e c u ç ã o d e p o n t o u t u a n t e n o c ó d i g o . N e s t e s

c a s o s , o u s o d e f u n ç õ e s d e i n t e r p o l a ç ã o c o m l i m i t a d o r e s d e u x o f o i c r u c i a l p a r a o

s u c e s s o d a s s i m u l a ç õ e s .

É i m p o r t a n t e r e s s a l t a r q u e a s e q u a ç õ e s d e t r a n s p o r t e d o D Q M O M c o n v e r g i r a m



6 . 4 E s c o a m e n t o M u l t i f á s i c o P o l i d i s p e r s o 1 4 5

m a i s r á p i d o q u e a s e q u a ç õ e s q u e r e g e m o e s c o a m e n t o . E m c a d a p a s s o d e t e m p o ,

p o u c a s i t e r a ç õ e s f o r a m n e c e s s á r i a s p a r a q u e a t o l e r â n c i a n a s o l u ç ã o d o s s i s t e m a s

l i n e a r e s p r o v i n d o s d a d i s c r e t i z a ç ã o d o D Q M O M f o s s e a t i n g i d a . I s t o i n d i c a q u e

o s p a r â m e t r o s n u m é r i c o s , c o m o r e n o d e m a l h a e p a s s o d e t e m p o a d o t a d o , p o u c o

a f e t a r a m a s o l u ç ã o d o D Q M O M e e r a m p r i n c i p a l m e n t e c o n t r o l a d o s p e l a s e q u a ç õ e s

d o e s c o a m e n t o b i f á s i c o .

M a i o r e s d e t a l h e s s o b r e o s r e s u l t a d o s d a s s i m u l a ç õ e s d o M U S I G u s a n d o o O p e n -

F O A M e s u a c o m p a r a ç ã o c o m o A N S Y S C F X e s t ã o c o l o c a d o s n o A p ê n d i c e B .

6 . 4 E s c o a m e n t o M u l t i f á s i c o P o l i d i s p e r s o

A s s i m u l a ç õ e s m u l t i f á s i c a s f o r a m r e a l i z a d a s u s a n d o a m e s m a g e o m e t r i a B F S ( H =

0, 01 m) d a s i m u l a ç ã o a p r e s e n t a d a n a S e ç ã o 6 . 3 . 2 . P o r é m , a p e n a s a m a l h a h e x a é d r i c a

m a i s r e n a d a ( c o m c e r c a d e 1 6 m i l v o l u m e s ) f o i u t i l i z a d a n e s t e c a s o . N o v a m e n t e ,

a p e n a s a f o r ç a d e a r r a s t o e n t r e a s f a s e s f o i c o n s i d e r a d a . E m p r i m e i r o l u g a r , t e m - s e

c o m o o b j e t i v o v e r i c a r a i m p l e m e n t a ç ã o m u l t i f á s i c a n o O p e n F O A M e s u a s c a p a c i -

d a d e s . E m s e g u i d a , o a c o p l a m e n t o d o s o l v e r m u l t i f á s i c o c o m b a l a n ç o p o p u l a c i o n a l

é a n a l i s a d o .

A s s i m u l a ç õ e s f o r a m r e a l i z a d a s u s a n d o o m é t o d o d e C r a n k N i c h o l s o n p a r a i n -

t e g r a ç ã o n o t e m p o c o m p a s s o d e t e m p o a d a p t a t i v o e c o n t r o l a d o p e l o n ú m e r o d e

C o u r a n t m á x i m o m e n o r q u e

0, 3. O s t e r m o s c o n v e c t i v o s d a s e q u a ç õ e s d e t r a n s p o r t e

d o D Q M O M f o r a m a p r o x i m d a s u s a n d o o m é t o d o G a m m a [ 2 6 3 ] c o m c o e c i e n t e Γ

i g u a l a 1

. A c o n v e r g ê n c i a n o a c o p l a m e n t o p r e s s ã o v e l o c i d a d e f o i a t i n g i d a a s s u m i n d o

u m a t o l e r â n c i a d e 10−8

n o c r i t é r i o m i s t o ( E q . 5 . 6 1 ) s o b r e a p r e s s ã o .

P a r t e d o s r e s u l t a d o s c o n t i d o s n e s t a s e ç ã o f o r a m a p r e s e n t a d o s n a O p e n F O A M

I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e

2007, c u j o a r t i g o s e e n c o n t r a n o A p ê n d i c e C .




6 . 4 . 1 S i m u l a ç õ e s M u l t i f á s i c a s

N e s t e p o n t o , o p r i n c i p a l o b j e t i v o é v e r i c a r a i m p l e m e n t a ç ã o d o m o d e l o E u l e r i a n o

m u l t i f á s i c o n o O p e n F O A M , c o m o c o l o c a d o n a s e ç ã o s e g u i n t e .

V e r i c a ç ã o d a I m p l e m e n t a ç ã o

C o m o p r i m e i r a a v a l i a ç ã o , d e v e - s e v e r i c a r s e o s o l v e r m u l t i f á s i c o f o i i m p l e m e n t a d o

d e f o r m a c o r r e t a . P a r a t a l , p o d e - s e c o m p a r a r s e u s r e s u l t a d o s u s a n d o n = 2

c o m

a q u e l e s o b t i d o s c o m o s o l v e r b i f á s i c o d e R U S C H E [ 6 6 ] . E m a d i ç ã o , s i m u l a ç õ e s

m u l t i f á s i c a s u s a n d o v á r i a s f a s e s d i s p e r s a s c o m p r o p r i e d a d e s f í s i c a s i g u a i s e n t r e s i

t a m b é m p o d e m s e r u s a d a s p a r a v e r i c a r o c ó d i g o . N e s t e c a s o , a s f r a ç õ e s v o l u m é -

t r i c a s d a s f a s e s d i s p e r s a s d e v e m s e r i g u a i s e d e n i d a s d e t a l f o r m a q u e s u a s o m a

s e j a i g u a l à f r a ç ã o v o l u m é t r i c a g l o b a l d e n i d a n o s o l v e r b i f á s i c o . A s s i m , a f r a ç ã o

v o l u m é t r i c a d a s f a s e s d i s p e r s a s s ã o c a l c u l a d a s d i v i d i n d o a f r a ç ã o v o l u m é t r i c a g l o b a l

p e l o n ú m e r o d e f a s e s d i s p e r s a s u t i l i z a d a s . C o n s i d e r a n d o a f r a ç ã o v o l u m é t r i c a g l o b a l

n o t w o P h a s e E u l e r F o a m c o m o ra = 0, 1

, d e n i u - s e a s f r a ç õ e s n o s o l v e r m u l t i f á s i c o

c o m o rα = 0, 1

, 0, 05

e 0, 025

p a r a n = 2

, 3

e 5

, r e s p e c t i v a m e n t e .

D o i s c a s o s f o r a m a n a l i s a d o s , s e n d o q u e o p r i m e i r o c o n s i d e r a q u e a s f r a ç õ e s v o -

l u m é t r i c a s e o s d i â m e t r o s c a r a c t e r í s t i c o s d a s f a s e s n o i n t e r i o r d o d o m í n i o p o s s u e m

o m e s m o v a l o r d e n i d o n a e n t r a d a d a g e o m e t r i a . J á o s e g u n d o c a s o c o n s i d e r a q u e

e s t a s v a r i á v e i s s ã o n u l a s n o i n t e r i o r d o d o m í n i o . E s t e s c a s o s s ã o r e f e r e n c i a d o s r e s p e c -

t i v a m e n t e c o m o C a s o I e I I . O s v a l o r e s d e f r a ç ã o v o l u m é t r i c a e p r e s s ã o o b t i d o s p e l o s

s o l v e r s t w o P h a s e E u l e r F o a m e m u l t i P h a s e E u l e r F o a m , r e t i r a d o s d e u m a l i n h a v e r t i -

c a l p o s i c i o n a d a n a a l t u r a d o p r i m e i r o v ó r t i c e d o B F S ( x = 1, 25H

) , e s t ã o m o s t r a d o s

n a F i g . 6 . 8 .

É p o s s í v e l v e r i c a r u m a e x c e l e n t e c o n c o r d â n c i a e n t r e o s p e r s d e f r a ç ã o v o l u m é -

t r i c a g l o b a l e p r e s s ã o o b t i d o s n a s F i g s . 6 . 8 ( a ) e 6 . 8 ( b ) u s a n d o a m b o s s o l v e r s . N e s t e

c a s o , o d o m í n i o i n t e r n o j á e s t á p r e e n c h i d o p e l a e m u l s ã o e , p o r t a n t o , n o t a - s e a p e n a s




0.097

0.0975

0.098

0.0985

0.099

0.0995

0.1

0.1005

0.101

0.1015

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

Σ r α

V

Caso I

n = 2

n = 3

n = 5

T-F Euler-500

-400

-300

-200

-100

0

100

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

p

V

Caso I

n = 2

n = 3

n = 5

T-F Euler

( a ) ( b )

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

Σ r α

V

Caso II

n = 2

n = 3

n = 5

T-F Euler-670

-660

-650

-640

-630

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

p

V

Caso II

n = 2

n = 3

n = 5

T-F Euler

( c ) ( d )

F i g u r a 6 . 8 : P e r s v e r t i c a i s d e

nα=1 rα e

pp a r a o C a s o s I , ( a ) e ( b ) , e I I , ( c ) e ( d ) , u s a n d o

o s o l v e r t w o P h a s e E u l e r F o a m

( T - F E u l e r ) e o c ó d i g o m u l t i f á s i c o c o m d i f e r e n t e s n ú m e r o s n

d e f a s e s .

p e q u e n a s v a r i a ç õ e s n a f r a ç ã o v o l u m é t r i c a g l o b a l . O m e s m o n ã o o c o r r e n o C a s o I I ,

u m a v e z q u e a e m u l s ã o p r e e n c h e o d o m í n i o g e r a n d o z o n a s c o m a l t o g r a d i e n t e d e

f r a ç ã o v o l u m é t r i c a . D e f a t o , a s v a r i a ç õ e s d e f r a ç ã o v o l u m é t r i c a f o r a m c a l c u l a d a s d e

f o r m a a c u r a d a e m a m b o s o s c a s o s , c o m o m o s t r a m a s F i g s . 6 . 8 ( a ) e 6 . 8 ( c ) .

A s o l u ç ã o p a r a o p e r l d e p r e s s ã o a p r e s e n t o u ó t i m a c o n c o r d â n c i a e n t r e a s a b o r d a -

g e n s n o C a s o I , c o m o m o s t r a a F i g . 6 . 8 ( b ) . P o r o u t r o l a d o , o p e r l d e p r e s s ã o n o C a s o

I I a p r e s e n t o u p e q u e n o s d e s v i o s e n t r e a s s o l u ç õ e s , c o m o v e r i c a d o n a F i g . 6 . 8 ( d ) . A

o r d e m d e m a g n i t u d e d e s t e s d e s v i o s é d e q u a s e

0, 9%p a r a

n = 5, s e n d o q u e e s t e s

f o r a m c a u s a d o s p o r f a l t a d e p r e c i s ã o n a m a l h a . C o n t u d o , o s d e s v i o s n a p r e s s ã o

n ã o a f e t a r a m o c a m p o d e v e l o c i d a d e d a s f a s e s , c o m o é m o s t r a d o n a s F i g s . 6 . 9 ( a ) e

6 . 9 ( b ) , o n d e o s c o m p o n e n t e s x

e y

d a v e l o c i d a d e d e m i s t u r a ( uα =

nα=0 raua ) s ã o




-0.25

0

0.25

0.5

0.75

1

1.25

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

U

x

V

Caso II

n = 2

n = 3

n = 5

T-F Euler

-0.05

-0.025

0

0.025

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

U

y

V

Caso II

n = 2

n = 3

n = 5

T-F Euler

( a ) ( b )

F i g u r a 6 . 9 : P e r s v e r t i c a i s d o s c o m p o n e n t e s ( a ) x

e ( b ) y

d a v e l o c i d a d e d a m i s t u r a p a r a

o C a s o I I .

a p r e s e n t a d o s r e s p e c t i v a m e n t e .

A n a l i s a n d o o s r e s u l t a d o s a p r e s e n t a d o s a c i m a , é p o s s í v e l c o n c l u i r q u e a i m p l e -

m e n t a ç ã o d o c ó d i g o m u l t i f á s i c o ( m u l t i P h a s e E u l e r F o a m ) f o i r e a l i z a d a c o m s u c e s s o .

O u t r o s t e s t e s d e s i m u l a ç ã o f o r a m r e a l i z a d o s p a r a v e r i c a r o e f e i t o d a f o r ç a d e

a r r a s t o s o b r e o e s c o a m e n t o n o B F S . E s t e s r e s u l t a d o s s e e n c o n t r a m n o A p ê n d i c e C .

6 . 4 . 2 S i m u l a ç õ e s d e E s c o a m e n t o s P o l i d i s p e r s o s

N e s t a e t a p a , a i m p l e m e n t a ç ã o d a e x t e n s ã o d o c ó d i g o m u l t i f á s i c o a c o p l a d o à s o l u ç ã o

d a E B P u s a n d o o D Q M O M é v e r i c a d a a n a l i s a n d o r e s u l t a d o s d e s i m u l a ç õ e s . E m

s e g u i d a , f o r a m r e a l i z a d o s t e s t e s p a r a a v a l i a r o c u s t o c o m p u t a c i o n a l e x t r a a s s o c i a d o

a o a c o p l a m e n t o C F D - E B P e m r e l a ç ã o a o s o l v e r m u l t i f á s i c o .

C ó d i g o c o m A c o p l a m e n t o C F D - E B P

A s s i m c o m o n a s s i m u l a ç õ e s u s a n d o M U S I G ( S e ç ã o 6 . 3 . 2 ) , a s f o r m a s a d i m e n s i o n a i s

d o s p e s o s e a b s c i s s a s , m o s t r a d a s r e s p e c t i v a m e n t e n a s E q s . 6 . 7 a n d 6 . 8 , f o r a m u s a -

d o s n a s s i m u l a ç õ e s d e m o d o a e v i t a r p r o b l e m a s n u m é r i c o s . D a m e s m a f o r m a , a




c o n d i ç ã o i n i c i a l p a r a o D Q M O M f o i o b t i d a u s a n d o a s o l u ç ã o a n a l í t i c a p r o v i n d a

d a s o l u ç ã o n u m é r i c a d a D A S S L . A l é m d i s s o , a s f u n ç õ e s d e q u e b r a e d e a g r e g a ç ã o

[ 1 6 0 ] m o s t r a d a s n a E q . 6 . 3 f o r a m u s a d a s n e s t a s s i m u l a ç õ e s , c o m

Φ(∞) = 6e

0, 1

r e s p e c t i v a m e n t e .

A p ó s a s d e v i d a s c o n v e r s õ e s d i m e n s i o n a i s , o s d i â m e t r o s c a r a c t e r í s t i c o s e a s f r a ç õ e s

v o l u m é t r i c a s p o d e m s e r o b t i d o s a t r a v é s d a a p r o x i m a ç ã o d e q u a d r a t u r a . A s s i m , a

E q . 5 . 5 9 f o r n e c e dα s o b r e a h i p ó t e s e d e p a r t í c u l a s e s f é r i c a s e a E q . 5 . 3 4 o b t é m a

f r a ç ã o v o l u m é t r i c a g l o b a l d a f a s e d i s p e r s a

nα=1 rα , e a f r a ç ã o v o l u m é t r i c a d e c a d a

f a s e d i s p e r s a é

ς α.

N e s t e c a s o , a d e n s i d a d e n u m é r i c a t o t a l d e p a r t í c u l a s , N T (0)

, f o i d e n i d a c o m o

2, 1 · 1012 m−3c a l c u l a d a a t r a v é s d e u m a e x p r e s s ã o p r o v i n d a d o p r o c e s s o d e a d i m e n -

s i o n a l i z a ç ã o e e n v o l v e n d o o d i â m e t r o m é d i o d a d i s t r i b u i ç ã o e a f r a ç ã o v o l u m é t r i c a

g l o b a l d a f a s e d i s p e r s a ( d e t a l h e s n o s A p ê n d i c e s B e C ) . A s s i m u l a ç õ e s f o r a m r e a -

l i z a d a s c o n s i d e r a n d o a s m e s m a s p r o p r i e d a d e s f í s i c a s m o s t r a d a s n a T a b e l a 6 . 3 e a s

c o n d i ç õ e s i n i c i a i s d a s v a r i á v e i s n o i n t e r i o r d o d o m í n i o d e n i d a s c o m o a s m e s m a s

n a e n t r a d a d o m e s m o . O u s e j a , a s m e s m a s c o n d i ç õ e s u t i l i z a d a s n o C a s o I d a S e -

ç ã o 6 . 4 . 1 . O t e m p o t o t a l d e s i m u l a ç ã o p a r a o s c a s o s d e q u e b r a e d e a g r e g a ç ã o f o i

d e 0, 1 s

.

U s a n d o a s c o n d i ç õ e s e x p o s t a s a c i m a e

4p o n t o s d e q u a d r a t u r a , o s v a l o r e s i n i c i a i s

d i m e n s i o n a i s p a r a o s d i â m e t r o s c a r a c t e r í s i t c o s s ã o d1 = 33, 125

, d2 = 57, 478

, d3 =

78, 018e

d4 = 98, 392 µm, e p a r a a s f r a ç õ e s v o l u m é t r i c a s s ã o

r1 = 0, 026904,

r2 =

0, 061219,

r3 = 0, 011652e

r4 = 0, 000224.

O s g r á c o s d e c o n t o r n o d e d i â m e t r o c a r a c t e r í s t i c o e d e f r a ç ã o v o l u m é t r i c a d a s

f a s e s d i s p e r s a s 1

e 3

o b t i d a s p a r a o c a s o d e q u e b r a d o m i n a n t e s ã o m o s t r a d o s n a

F i g . 6 . 1 0 .

O c a s o d e q u e b r a d o m i n a n t e f o i s i m u l a d o c o m s u c e s s o , o n d e o e f e i t o d o a p r i -

s i o n a m e n t o d a s p a r t í c u l a s n o s v ó r t i c e s p o d e s e r o b s e r v a d o n a F i g . 6 . 1 0 . N o t a - s e




( a )

( b )

F i g u r a 6 . 1 0 : G r á c o s d e c o n t o r n o p a r a a s ( a ) f r a ç õ e s v o l u m é t r i c a s e ( b ) d i â m e t r o s c a r a c -

t e r í s t i c o s d a s f a s e s 1 e 3 n o c a s o d e q u e b r a d o m i n a n t e .




q u e o s g r á c o s d e c o n t o r n o d o s d i â m e t r o s c a r a c t e r í s t i c o s s ã o b a s t a n t e p a r e c i d o s ,

a p e s a r d e p o s s u í r e m f a i x a s d e t a m a n h o d i f e r e n t e s . J á n o c a n a l d e e n t r a d a d o B F S ,

a s p a r t í c u l a s c o m e ç a m a q u e b r a r p r o p i c i a n d o a q u e d a d a f r a ç ã o v o l u m é t r i c a

r3 a o

l o n g o d a s l i n h a s d e u x o d o e s c o a m e n t o . P o r s u a v e z , a f a s e 1

i n c o r p o r a a s p a r t í -

c u l a s o r i g i n á r i a s d a q u e b r a n a s o u t r a s f a s e s e , p o r t a n t o , s u a f r a ç ã o v o l u m é t r i c a s e

c o m p o r t a d e m o d o o p o s t o à r3 . D e v e - s e n o t a r q u e a q u e b r a d a s p a r t í c u l a s n a f a s e

3

é m a i s i n t e n s a q u e n a p r i m e i r a f a s e . I s t o o c o r r e p o i s a f u n ç ã o d e q u e b r a , m o s t r a d a

n a E q . 6 . 3 , é p r o p o r c i o n a l a o t a m a n h o d a p a r t í c u l a .

O c o n t o r n o d o s d i â m e t r o s c a r a c t e r í s t i c o s e a s f r a ç õ e s v o l u m é t r i c a s d a s f a s e s

1e

3p a r a o c a s o d e a g r e g a ç ã o d o m i n a n t e s ã o m o s t r a d o s n a F i g . 6 . 1 1 .

N o t a - s e p e l o s r e s u l t a d o s n a F i g . 6 . 1 1 q u e a s p a r t í c u l a s s e a g r e g a m c o n t i n u a -

m e n t e a o l o n g o d o e s c o a m e n t o d e v i d o a o u s o d e u m a f u n ç ã o d e a g r e g a ç ã o c o n s t a n t e

( E q . 6 . 3 ) . P o r t a n t o , a s m a i o r e s p a r t í c u l a s n o d o m í n i o s ã o a q u e l a s q u e c a m p r e -

s a s n o s v ó r t i c e s . P o r s u a v e z , a s f r a ç õ e s v o l u m é t r i c a s a p r e s e n t a m c o m p o r t a m e n t o

o p o s t o a o v e r i c a d o n o c a s o d e q u e b r a d o m i n a n t e . C o m a a g r e g a ç ã o d a s p a r t í c u l a s ,

a f r a ç ã o v o l u m é t r i c a d a f a s e 1

d i m i n u i c o n f o r m e a d a f a s e 3

a u m e n t a . I s t o o c o r r e

p o i s o s m a i o r e s d i â m e t r o s d a d i s t r i b u i ç ã o s e c o n c e n t r a m n a s f a s e s 3

e 4

.

E m c o n c l u s ã o , o s t e s t e s d e s i m u l a ç ã o d e e s c o a m e n t o p o l i d i s p e r s o f o r a m r e a l i z a d o s

c o m s u c e s s o p a r a o s c a s o s d e q u e b r a e d e a g r e g a ç ã o d e p a r t í c u l a s .

E c i ê n c i a d e P a r a l e l i s m o

A e c i ê n c i a d e p a r a l e l i z a ç ã o d o s c ó d i g o s p a r a o e s c o a m e n t o m u l t i f á s i c o e d o a c o p l a -

m e n t o C F D - E B P f o r a m a v a l i a d o s e m u m a m á q u i n a I n t e l Q u a d C o r e Q 6 6 0 0 2 . 4 G H z

c o m o s i s t e m a o p e r a c i o n a l L i n u x 6 4 b i t s . A s s i m u l a ç õ e s f o r a m r e a l i z a d a s u s a n d o

n = 5, c o m c o n d i ç õ e s e p a r â m e t r o s i d ê n t i c o s a o C a s o I ( S e ç ã o 6 . 4 . 1 ) e u s a n d o u m a

m a l h a r e n a d a c o m 7 8 0 0 0 v o l u m e s .

O a l g o r i t m o d o g r a d i e n t e b i c o n j u g a d o c o m p r e c o n d i c i o n a d o r d i a g o n a l L U i n -




( a )

( b )

F i g u r a 6 . 1 1 : G r á c o s d e c o n t o r n o p a r a a s ( a ) f r a ç õ e s v o l u m é t r i c a s e ( b ) d i â m e t r o s c a r a c -

t e r í s t i c o s d a s f a s e s 1

e 3

n o c a s o d e a g r e g a ç ã o d o m i n a n t e .




0⋅10

0

2 ⋅ 104

4 ⋅ 104

6 ⋅ 104

8 ⋅ 104

1 ⋅ 105

1 2 3 4

T e m p o E x e c .

( s )

N cpu

Caso I − 5 fases

Core 2 QUAD Q6600 2.4 GHz

código multifásicoacoplamento CFD−EBP

F i g u r a 6 . 1 2 : T e m p o c o m p u t a c i o n a l d e s i m u l a ç õ e s s e r i a i s e p a r a l e l a s ( N c p u ) u s a n d o o s

c ó d i g o s p a r a e s c o a m e n t o m u l t i f á s i c o c o m e s e m o a c o p l a m e n t o c o m b a l a n ç o p o p u l a c i o n a l .

c o m p l e t o f o i u s a d o n a s o l u ç ã o d e t o d o s o s s i s t e m a s l i n e a r e s p r o v i n d o s d e e q u a ç õ e s

d i s c r e t i z a d a s , c o n s i d e r a n d o u m a t o l e r â n c i a d e 10−10

. A p e n a s p a r a a s o l u ç ã o d a

e q u a ç ã o d a p r e s s ã o u t i l i z o u o p r e c o n d i c i o n a d o r d i a g o n a l C h o l e s k y i n c o m p l e t o c o m

t o l e r â n c i a d e 5 · 10−8

. O a l g o r i t m o M E T I S [ 2 8 3 ] f o i u s a d o n a d e c o m p o s i ç ã o d a

m a l h a .

O s t e m p o s c o m p u t a c i o n a i s d e s i m u l a ç õ e s s e r i a i s ( 1

p r o c e s s a d o r ) e p a r a l e l a s

u s a n d o o s s o l v e r s m u l t i P h a s e E u l e r F o a m e m u l t i P h a s e P b e F o a m c o m n = 5

e s t ã o

c o l o c a d o s n a F i g . 6 . 1 2 .

A p a r t i r d o t e m p o c o m p u t a c i o n a l m o s t r a d o n a F i g . 6 . 1 2 , v e r i c a - s e q u e a s i m u -

l a ç ã o e m p a r a l e l o u s a n d o 2

p r o c e s s a d o r e s f o i 1, 77

e 1, 82

m a i s r á p i d a q u e a s r o d a d a s

s e r i a i s n o s c ó d i g o s m u l t i f á s i c o e C F D - E B P , r e s p e c t i v a m e n t e . P o r s u a v e z , a s s i m u l a -

ç õ e s u s a n d o 4

p r o c e s s a d o r e s f o r a m 2, 77

e 3, 27

v e z e s m a i s r á p i d a s q u e a s s i m u l a ç õ e s

s e r i a i s p a r a e s t e s m e s m o s s o l v e r s . E s t a é u m a c l a r a e v i d ê n c i a q u e a p a r a l e l i z a ç ã o

d o m u l t i P h a s e P b e F o a m é m a i s e f e t i v a d o q u e o c ó d i g o m u l t i f á s i c o . N o a l g o r i t m o d e

C F D - E B P a c o p l a d o , a s o l u ç ã o d o s i s t e m a l i n e a r d o D Q M O M , m o s t r a d o n a E q . 5 . 2 9 ,




é c o m p u t a c i o n a l m e n t e c u s t o s o u m a v e z q u e o m e s m o é a v a l i a d o e m c a d a v o l u m e d a

m a l h a u s a n d o u m m é t o d o L U d e s o l u ç ã o m a t r i c i a l . C o n t u d o , a s o l u ç ã o d o s i s t e m a

l i n e a r d o D Q M O M s ó é n e c e s s á r i a p a r a o s v o l u m e s p r e s e n t e s r e s p e c t i v a m e n t e n o s

d o m í n i o s d e c o m p o s t o s d a m a l h a . P o r t a n t o , n ã o e x i s t e c o m u n i c a ç ã o e n t r e o s p r o -

c e s s a d o r e s n a s o l u ç ã o d e s t e s i s t e m a l i n e a r , o q u e c o n c e d e a o c ó d i g o d e C F D - E B P

m e l h o r t a x a d e p a r a l e l i z a ç ã o .

M e s m o a s s i m , a d i f e r e n ç a e n t r e o c u s t o c o m p u t a c i o n a l e m s i m u l a ç õ e s s e r i a i s

u s a n d o o s d o i s c ó d i g o s é u m f a t o r d e

2, 03e m f a v o r d o m u l t i f á s i c o . E s t e r e s u l t a d o

d i f e r e d a q u e l e o b t i d o p o r F A N e t a l . [ 2 5 1 ] , q u e r e p o r t o u q u e o c u s t o e x t r a d a s o l u ç ã o

d o s i s t e m a l i n e a r d o D Q M O M a u m e n t o u e m a p e n a s 18%

o t e m p o c o m p u t a c i o n a l e m

r e l a ç ã o a o s e u c ó d i g o m u l t i f á s i c o . A p e s a r d i s s o , d e v e - s e n o t a r q u e F A N e t a l . [ 2 5 1 ]

u t i l i s a r a m f u n ç õ e s d e q u e b r a e d e a g r e g a ç ã o c o n s t a n t e s e u m a m a l h a c o m p u t a c i o n a l

m u i t o g r o s s e i r a ( 750

v o l u m e s ) , o q u e p o d e t o r n a r s e u s r e s u l t a d o s n ã o e q u i v a l e n t e s

a o s o b t i d o s n o p r e s e n t e t r a b a l h o . P o r m , a d i f e r e n ç a e n t r e o s c u s t o s c o m p u t a c i o n a i s

u s a n d o o s d o i s c ó d i g o s d i m i n u i d e v i d o à p a r a l e l i z a ç ã o d o s i s t e m a l i n e a r d o D Q M O M .

C o m o f o i v e r i c a d o n a F i g . 6 . 1 2 , o c ó d i g o p a r a e s c o a m e n t o m u l t i f á s i c o é 1, 97

, 1, 87

e

1, 72v e z e s m a i s r á p i d o q u e o s o l v e r m u l t i P h a s e P b e F o a m a o u s a r r e s p e c t i v a m e n t e

d o i s , t r ê s e q u a t r o p r o c e s s a d o r e s .



C a p í t u l o 7

C o n c l u s õ e s e S u g e s t õ e s

7 . 1 R e s u m o d o T r a b a l h o e C o n c l u s õ e s

A p r e s e n t e t e s e a t i n g i u c o m s u c e s s o o o b j e t i v o d e d e s e n v o l v e r m é t o d o s p a r a a s i -

m u l a ç ã o d e e s c o a m e n t o s p o l i d i s p e r s o s a c o p l a n d o u m m o d e l o E u l e r i a n o m u l t i f á s i c o

à s o l u ç ã o d a e q u a ç ã o d e b a l a n ç o p o p u l a c i o n a l ( E B P ) . A i m p l e m e n t a ç ã o d e s t a s m e -

t o d o l o g i a s f o i r e a l i z a d a n o p a c o t e C F D O p e n F O A M , e s c r i t o e m C + + e c o m c ó d i g o

f o n t e a b e r t o . P a r t i n d o d o m o d e l o E u l e r i a n o b i f á s i c o [ 6 6 ] p r e v i a m e n t e i m p l e m e n t a d o

n o O p e n F O A M , o d e s e n v o l v i m e n t o f o i r e a l i z a d o e m e t a p a s g r a d u a i s . D e f a t o , e s t a s

e t a p a s f o r a m a s o l u ç ã o d a E B P u s a n d o o m é t o d o D Q M O M e o d e s e n v o l v i m e n t o d o

m o d e l o m u l t i f á s i c o . P o r m , c o m a i n t e g r a l i z a ç ã o d e s t e s c h e g o u - s e , e n m , a u m a f e r -

r a m e n t a c o m p u t a c i o n a l p a r a a s i m u l a ç ã o d e e s c o a m e n t o s m u l t i f á s i c o s p o l i d i s p e r s o s

c o n s i d e r a n d o n

f a s e s d i s p e r s a s .

U m e s t u d o p r e l i m i n a r c o m b a s e n a r e v i s ã o d a l i t e r a t u r a f o i r e a l i z a d o p a r a v e -

r i c a r o s m o d e l o s m u l t i f á s i c o s e x i s t e n t e s e s e l e c i o n a r a f o r m u l a ç ã o m a i s p r o p í c i a

p a r a o d e s e n v o l v i m e n t o d o t r a b a l h o . O m o d e l o m u l t i f á s i c o E u l e r i a n o s e m o s t r o u

c o m o o m a i s i n d i c a d o , p o i s o u s o d e v a r i á v e i s m é d i a s p e r m i t e o a c o p l a m e n t o c o m

a s o l u ç ã o d a E B P , e d e v i d o a s u a g e n e r a l i d a d e d e a p l i c a ç õ e s [ 3 0 , 3 8 , 3 9 ] . N e s t e

1 5 5



7 . 1 R e s u m o d o T r a b a l h o e C o n c l u s õ e s 1 5 6

m o d e l o , e x i s t e a n e c e s s i d a d e d e m o d e l a r a t r o c a d e q u a n t i d a d e d e m o v i m e n t o e n t r e

a s f a s e s . C o n t u d o , q u e s t õ e s i m p o r t a n t e s p a r a a r e p r o d u ç ã o d e e s c o a m e n t o s m u l t i -

f á s i c o s p o l i d i s p e r s o s r e a l í s t i c o s c o m o a m o d e l a g e m d a t u r b u l ê n c i a e f o r m u l a ç ã o d o s

c o e c i e n t e s p r e s e n t e s n o t e r m o s d e t r o c a d e q u a n t i d a d e d e m o v i m e n t o n ã o f o r a m

i n v e s t i g a d o s . D e f a t o , o f o c o d o p r e s e n t e t r a b a l h o s e c o n c e n t r a n o d e s e n v o l v i m e n t o

d a m e t o d o l o g i a d e a c o p l a m e n t o C F D - E B P e s u a i m p l e m e n t a ç ã o n o O p e n F O A M .

P o r t a n t o , a e s c o l h a d e u m m é t o d o n u m é r i c o e c i e n t e p a r a a s o l u ç ã o d a E B P e c i -

e n t e é c r u c i a l p a r a a m e t o d o l o g i a d e a c o p l a m e n t o . A p a r t i r d a r e v i s ã o b i b l i o g r á c a ,

v e r i c a - s e c l a r a m e n t e a s u p e r i o r i d a d e d a s a b o r d a g e n s h í b r i d a s p a r a a s o l u ç ã o n u m é -

r i c a d a E B P . O s m é t o d o s h í b r i d o s i n c o r p o r a m p r o p r i e d a d e s d o m é t o d o d a s c l a s s e s ,

c o m o a d i s c r e t i z a ç ã o d a s v a r i á v e i s i n t e r n a s ( v o l u m e , m a s s a , c o n c e n t r a ç ã o , e t c . ) , e o

u s o d e m o m e n t o s p a r a c a r a c t e r i z a r a d i s t r i b u i ç ã o d e p a r t í c u l a s [ 2 0 8 ] . C o n t u d o , a

g r a n d e v a n t a g e m d o s m é t o d o s h í b r i d o s r e c a i n o u s o d a q u a d r a t u r a d e G o r d o n [ 2 0 9 ] .

N e s t e c a s o , o s p e s o s e a b s c i s s a s a p r o x i m a m a s i n t e g r a i s d a f u n ç ã o d e d i s t r i b u i ç ã o d a

m e l h o r f o r m a p o s s í v e l e , e m c o n t r a s t e c o m o m é t o d o d a s c l a s s e s , a s a b s c i s s a s p o d e m

s e m o v e r l i v r e m e n t e p o r t o d o o d o m í n i o d a v a r i á v e l i n t e r n a s e m l i m i t a ç õ e s o u r e s -

t r i ç õ e s . A l é m d i s s o , p o u c o s p o n t o s d e q u a d r a t u r a s ã o n e c e s s á r i o s p a r a r e p r e s e n t a r

o s p r i n c i p a i s m o m e n t o s d a d i s t r i b u i ç ã o .

D e s s a f o r m a , f o i r e a l i z a d o u m e s t u d o p a r a d e t e r m i n a r a a c u r á c i a n u m é r i c a e s u a

e c i ê n c i a c o m p u t a c i o n a l d o s m é t o d o s h í b r i d o s e x i s t e n t e s n a l i t e r a t u r a , o Q M O M

[ 2 0 8 ] , D Q M O M [ 2 1 1 ] e P P D C [ 2 1 2 ] . O s t e s t e s f o r a m r e a l i z a d o s p a r a c a s o s d e q u e b r a

e a g r e g a ç ã o e q u i v a l e n t e s , q u e b r a d o m i n a n t e e a g r e g a ç ã o d o m i n a n t e , c o m p a r a n d o o s

r e s u l t a d o s n u m é r i c o s o b t i d o s c o m s o l u ç õ e s a n a l í t i c a s [ 1 5 8 , 1 6 0 ] . V e r i c o u - s e q u e

a s o l u ç ã o d o P P D C a p r e s e n t a e r r o s n u m é r i c o s s e v e r o s c a u s a d o s , p r i n c i p a l m e n t e ,

p o r u s a r u m a s e p a r a ç ã o d e o p e r a d o r e s b a s e a d o n o m é t o d o d e i n t e g r a ç ã o d e E u l e r

e x p l í c i t o . D e m o d o g e r a l , o Q M O M e D Q M O M a p r e s e n t a r a m a c u r á c i a b a s t a n t e

s i m i l a r . C o n t u d o , v e r i c o u - s e q u e q u e a e c i ê n c i a c o m p u t a c i o n a l d o D Q M O M é

s u p e r i o r à d o Q M O M . P o r t a n t o , é p o s s í v e l c o n c l u i r q u e o D Q M O M s e a p r e s e n t a

a t u a l m e n t e c o m o o m é t o d o n u m é r i c o m a i s i n d i c a d o p a r a s e r u s a d o c o m o b a s e d e s t e




t r a b a l h o .

A a n á l i s e d a s t é c n i c a s d e a c o p l a m e n t o C F D - E B P m o s t r o u q u e o m é t o d o d a s

c l a s s e s c o m p i v ô x o é u s a d o c o m f r e q u ê n c i a n o s t r a b a l h o s d a l i t e r a t u r a . N o a c o -

p l a m e n t o c o m p l e t o d o m é t o d o d a s c l a s s e s c o m o m o d e l o E u l e r i a n o m u l t i f á s i c o , c a d a

f a s e é r e p r e s e n t a d a p o r u m a c l a s s e . E s t a a b o r d a g e m é c o m p u t a c i o n a l m e n t e i n t e n -

s i v a d e v i d o a o g r a n d e n ú m e r o d e c l a s s e s n e c e s s á r i o s p a r a b e m r e p r e s e n t a r a f u n ç ã o

d e d i s t r i b u i ç ã o d e p a r t í c u l a s . P o r t a n t o , f o r m a s s i m p l i c a d a s d e a c o p l a m e n t o C F D -

E B P f o r a m p r o p o s t a s , c o m o o M U S I G h o m o g ê n e o [ 2 2 1 ] e n ã o - h o m o g ê n e o [ 2 2 3 , 2 2 4 ] .

P o r é m , e s t a s a b o r d a g e n s s ã o b a s t a n t e c r i t i c a d a s d e v i d o a s u a i n e c i ê n c i a .

A a b o r d a g e m E u l e r i a n a m u l t i f á s i c a a c o p l a d a a o D Q M O M é v i á v e l p o i s c a d a f a s e

é r e p r e s e n t a d a p o r u m p o n t o d e q u a d r a t u r a e , p o r t a n t o , s e r i a m n e c e s s á r i a s p o u c a s

f a s e s p a r a r e p r e s e n t a r b e m o s p r i n c i p a i s m o m e n t o s d a d i s t r i b u i ç ã o d e p a r t í c u l a s .

A l é m d i s s o , o D Q M O M a d a p t a o s p e s o s e a b s c i s s a s p a r a m e l h o r r e p r e s e n t a r o s

m o m e n t o s d a d i s t r i b u i ç ã o , e v i t a n d o a p e r d a d e p r e c i s ã o c a u s a d a p e l o t r u n c a m e n t o

d o d o m í n i o d a s v a r i á v e i s i n t e r n a s q u e u s u a l m e n t e o c o r r e n o m é t o d o d e p i v ô x o .

D e v i d o a s s u a s v a n t a g e n s e m r e l a ç ã o a s o u t r a s t é c n i c a s , a a b o r d a g e m d e a c o p l a m e n t o

C F D - E B P u s a n d o o D Q M O M f o i u t i l i z a d a n o p r e s e n t e t r a b a l h o .

V i s a n d o i m p l e m e n t a r o a c o p l a m e n t o C F D - E B P n o O p e n F O A M , f o i r e a l i z a d a

u m a r e v i s ã o s o b r e a s c a p a c i d a d e s e l i m i t a ç õ e s d a s m e t o d o l o g i a s n u m é r i c a s r e u n i d a s

n e s t e p a c o t e C F D . E m c o n c l u s ã o , a f a c i l i d a d e d e u s o , a s f o r m u l a ç õ e s n u m é r i c a s i m -

p l e m e n t a d a s , c o m o o m é t o d o d o s v o l u m e s n i t o s e s o l u ç ã o d e s i s t e m a s l i n e a r e s , e ,

p r i n c i p a l m e n t e , a l i b e r d a d e e m m a n i p u l a r s e u c ó d i g o f o n t e , t o r n a r a m o O p e n F O A M

p r o p í c i o p a r a a e x e c u ç ã o d o p r e s e n t e t r a b a l h o . P o r t a n t o , e s t u d a r a p r o g r a m a ç ã o d a s

c l a s s e s e t e m p l a t e s n o O p e n F O A M é , l o g i c a m e n t e , v i t a l p a r a a i m p l e m e n t a ç ã o d o s

c ó d i g o s . N o i n í c i o d e s t e t r a b a l h o , a d o c u m e n t a ç ã o s o b r e p r o g r a m a ç ã o n o O p e n -

F O A M e r a e s c a s s a e p r o v i n d a , p r i n c i p a l m e n t e , d a l i s t a d e d i s c u s s ã o d o s u s u á r i o s n a

i n t e r n e t . D e s s a f o r m a , o e s f o r ç o p a r a a p r e n d e r e e s t u d a r o c ó d i g o f o n t e f o i c o n s i -

d e r á v e l d e v i d o à v a r i e d a d e d e c l a s s e s e à c o m p l e x i d a d e d o p r o b l e m a a s e r t r a t a d o .




A p e s a r d i s s o , a s f o n t e s d e i n f o r m a ç ã o s o b r e o O p e n F O A M s ã o h o j e a b u n d a n t e s n a

i n t e r n e t , e m t r a b a l h o s t é c n i c o s e c i e n t í c o s . D e f a t o , a s f u n ç õ e s i m p l e m e n t a d a s n o

c ó d i g o s ã o p o d e r o s a s e b a s t a n t e v a r i a d a s , s e n d o c a p a z e s d e t r a t a r q u a s e t o d o p r o -

b l e m a q u e e n v o l v a c a m p o s t e n s o r i a i s . P o r m , c o n c l u i - s e q u e o O p e n F O A M é u m a

ó t i m a f e r r a m e n t a p a r a o d e s e n v o l v i m e n t o d e c ó d i g o s C F D , s e m a l i m i t a ç ã o e f a l t a

d e l i b e r d a d e i m p o s t a p o r p r o g r a m a s c o m e r c i a i s d e c ó d i g o f e c h a d o .

N e s t e t r a b a l h o , a i m p l e m e n t a ç ã o d o b a l a n ç o p o p u l a c i o n a l c o n s i d e r o u u m p r o -

b l e m a m o n o v a r i a d o , e m p r e g a n d o o v o l u m e d a s p a r t í c u l a s p a r a a d e s c r i ç ã o d a d i s -

t r i b u i ç ã o d e t a m a n h o s , c o n s i d e r a d o s a p e n a s o s e f e i t o s d e q u e b r a e a g r e g a ç ã o .

O s m o d e l o s m u l t i f á s i c o s E u l e r i a n o s f o r a m d e s e n v o l v i d o s c o m b a s e n o t r a b a l h o d e

R U S C H E [ 6 6 ] , q u e f o r m u l o u a a b o r d a g e m b i f á s i c a i m p l e m e n t a d a n o O p e n F O A M ,

c h a m a d a t w o P h a s e E u l e r F o a m , p a r a f a s e s i n c o m p r e s s í v e i s . N e s t e c a s o , a s f o r ç a s d e

t r o c a d e m o m e n t u m e n t r e a s f a s e s s ã o c a l c u l a d a s p o r u m d i â m e t r o m é d i o , c o n s t a n t e

d u r a n t e t o d a a s i m u l a ç ã o . P o r t a n t o , a s m e t o d o l o g i a s a q u i d e s e n v o l v i d a s e s t e n d e m

e s t e m o d e l o b i f á s i c o p a r a c o n s i d e r a r o s e f e i t o s d e p o l i d i s p e r s ã o u s a n d o n + 1 f a s e s .

O d e s e n v o l v i m e n t o o c o r r e u e m e t a p a s , o n d e a c o m p l e x i d a d e d a m o d e l a g e m a u m e n -

t a v a g r a d u a l m e n t e . O s d e t a l h e s s o b r e o u s o d a s c l a s s e s e t e m p l a t e s e m C + + p a r a

i m p l e m e n t a ç ã o d o s c ó d i g o s t a m b é m f o r a m a p r e s e n t a d o s n e s t e t r a b a l h o d e t e s e . A o

n a l d o d e s e n v o l v i m e n t o e i m p l e m e n t a ç ã o d o s c ó d i g o s , q u a t r o n o v o s s o l v e r s f o r a m

g e r a d o s :

•p b e F o a m , c o n t e n d o a s o l u ç ã o d a E B P p e l o D Q M O M , q u e é u t i l i z a d o e m t o d o s

o s o u t r o s s o l v e r s . O s t e r m o s f o n t e s d a s e q u a c õ e s d e t r a n s p o r t e d o s p e s o s

e a b s c i s s a s p o n d e r a d a s s ã o o b t i d a s a t r a v é s d a s o l u ç ã o d o s i s t e m a l i n e a r d o

D Q M O M e m c a d a v o l u m e d a m a l h a . A d e c o m p o s i ç ã o L U f o i u s a d a n a s o l u ç ã o

d o s i s t e m a l i n e a r .

•m u s i g F o a m , o n d e o p b e F o a m f o i a c o p l a d o a o c ó d i g o b i f á s i c o [ 6 6 ] . N e s t a a b o r d a -

g e m , t o d a s a s p a r t í c u l a s p r e s e n t e s n a f a s e d i s p e r s a p o s s u e m o m e s m o c a m p o d e

v e l o c i d a d e . E m a d i ç ã o , o c o e c i e n t e d a f o r ç a d e a r r a s t o f o i c a l c u l a d o u s a n d o




o d i â m e t r o m é d i o d e S a u t e r o b t i d o p e l a s o l u ç ã o d a E B P .

•m u l t i P h a s e E u l e r F o a m , c a r a c t e r i z a d o p e l a e x t e n s ã o d o m o d e l o i n c o m p r e s s í -

v e l b i f á s i c o [ 6 6 ] d e m o d o a c o n s i d e r a r u m a f a s e c o n t í n u a e n f a s e s d i s p e r s a s .

N e s t e c a s o , c a d a f a s e d i s p e r s a p o s s u i s e u p r ó p r i o c a m p o d e v e l o c i d a d e e f r a -

ç ã o v o l u m é t r i c a . C o n t u d o , o d i â m e t r o c a r a c t e r í s t i c o é c o n s t a n t e e m t o d o o

d o m í n i o .

•m u l t i P h a s e P b e F o a m , c o n s t r u í d o v i s a n d o o a c o p l a m e n t o d o s s o l v e r s p b e F o a m

e m u l t i P h a s e E u l e r F o a m p a r a a s i m u l a ç ã o d e e s c o a m e n t o s m u l t i f á s i c o s p o l i -

d i s p e r s o s . D i f e r e n t e d o s o l v e r m u l t i P h a s e E u l e r F o a m , o s d i â m e t r o s d a s f a s e s

d i s p e r s a s s ã o c a r a c t e r i z a d o s p o r c a m p o s e s c a l a r e s . N e s t e c a s o , o s d i â m e t r o s

c a r a c t e r í s t i c o s d a s f a s e s d i s p e r s a s s ã o a f e t a d o s d i r e t a m e n t e p e l o s e f e i t o s d e

i n t e r a ç ã o e n t r e p a r t í c u l a s , c o m o q u e b r a e a g r e g a ç ã o .

A i m p l e m e n t a ç ã o d o D Q M O M n o O p e n F O A M , c h a m a d a p b e F o a m , f o i t e s t a d a

e m c a s o s t r a n s i e n t e s 0 D e e s t a c i o n á r i o s 1 D . N e s t e ú l t i m o c a s o , a c o n v e r g ê n c i a d o s

r e s u l t a d o s n a m a l h a e a a c u r á c i a d e d i f e r e n t e s f u n ç õ e s d e i n t e r p o l a ç ã o p a r a o t e r m o

c o n v e c t i v o d a s e q u a ç õ e s d e t r a n s p o r t e d e D Q M O M f o r a m a v a l i a d a s . O s r e s u l t a d o s

n u m é r i c o s f o r a m c o m p a r a d o s c o m a s o l u ç ã o a n a l í t i c a d e M C C O Y e M A D R A S [ 1 6 0 ]

p a r a c a s o s d e q u e b r a e a g r e g a ç ã o d o m i n a n t e , a p r e s e n t a n d o ó t i m a a c u r á c i a d a s o -

l u ç ã o n u m é r i c a . N o s c a s o s u n i d i m e n s i o n a i s , o m é t o d o d e i n t e r p o l a ç ã o Q U I C K s e

d e s t a c o u p e l a s u a a c u r á c i a . C o n t u d o , s a b e - s e q u e f u n ç õ e s c o m l i m i t a d o r e s d e u x o

s ã o c a p a z e s d e m i n i m i z a r a d i f u s ã o n u m é r i c a e a s o s c i l a ç õ e s . C o m o a s e q u a ç õ e s d o

D Q M O M u t i l i z a d a s n e s t e t r a b a l h o p o s s u e m o c o m p o r t a m e n t o h i p e r b ó l i c o , a f u n -

ç ã o G A M M A c o m f a t o r Γ = 1

[ 2 6 3 ] s e a p r e s e n t o u c o m o a m a i s i n d i c a d a , e n t r e

a s t e s t a d a s , p a r a s e r u s a d a n a d i s c r e t i z a ç ã o d o D Q M O M e m a c o p l a m e n t o s C F D -

E B P . C o n s i d e r a n d o o s r e s u l t a d o s d i s c u t i d o s a c i m a , c o n c l u i u - s e q u e o p b e F o a m f o i

i m p l e m e n t a d o c o r r e t a m e n t e .

S i m u l a ç õ e s t r a n s i e n t e s c o m e f e i t o s d e q u e b r a e a g r e g a ç ã o d o m i n a n t e f o r a m r e -

a l i z a d a s p a r a a v a l i a r a a b o r d a g e m M U S I G . N e s t e s c a s o s f o i u t i l i z a d a u m a e m u l s ã o




d e á g u a e m ó l e o e s c o a n d o e m u m a g e o m e t r i a b i d i m e n s i o n a l d e u m c a n a l c o m e x -

p a n s ã o e m d e g r a u ( b a c k w a r d f a c i n g s t e p - B F S ) . V e r i c o u - s e q u e , p a r a c a d a p a s s o

d e t e m p o , a s e q u a ç õ e s d e t r a n s p o r t e d o D Q M O M c o n v e r g e m m a i s r á p i d o q u e a s

e q u a ç õ e s q u e r e g e m o e s c o a m e n t o . E m c o m p a r a ç ã o c o m o p a c o t e c o m e r c i a l A N S Y S

C F X , h o u v e c o n c o r d â n c i a e n t r e o s r e s u l t a d o s o b t i d o s p a r a o s d i â m e t r o d e S a u t e r ( v e r

A p ê n d i c e B ) . D e f a t o , n o s t e s t e s f e i t o s c o m m a l h a s h e x a é d r i c a s e t e t r a - p r i s m á t i c a s

m i s t a s , a s p r i m e i r a s a p r e s e n t a r a m m e l h o r e s r e s u l t a d o s . D e f a t o , o u s o d e m a l h a s

t e t r a é d r i c a s n o O p e n F O A M d e v e s e r c o n s i d e r a d o c o m c u i d a d o .

O s c ó d i g o s m u l t i P h a s e E u l e r F o a m e m u l t i P h a s e P b e F o a m t a m b é m f o r a m a v a l i a -

d o s u s a n d o a g e o m e t r i a B F S c o m a e m u l s ã o á g u a - ó l e o . A i m p l e m e n t a ç ã o d o c ó d i g o

m u l t i f á s i c o f o i v e r i c a d a s i m u l a n d o e s c o a m e n t o s b i f á s i c o s e c o m p a r a n d o s e u s r e s u l -

t a d o s c o m o s o b t i d o s p a r a o s o l v e r t w o P h a s e E u l e r F o a m . O s o l v e r m u l t i f á s i c o f o i

s i m u l a d o c o n s i d e r a n d o 2

, 3

e 5

f a s e s d i s p e r s a s c o m v a l o r e s d e f r a ç ã o v o l u m é t r i c a e

p r o p r i e d a d e s f í s i c a s i g u a i s . A l é m d i s s o , a f r a ç ã o v o l u m é t r i c a g l o b a l d a s f a s e s d i s p e r -

s a s é i g u a l à f r a ç ã o v o l u m é t r i c a d a f a s e d i s p e r s a n a e m u l s ã o . A c o n c o r d â n c i a d o s

r e s u l t a d o s o b t i d o s p e l a s d u a s a b o r d a g e n s v e r i c a m a p r o g r a m a ç ã o c o r r e t a d o c ó d i g o

m u l t i f á s i c o . A s s i m u l a ç õ e s p o l i d i s p e r s a s a p r e s e n t a r a m o c o m p o r t a m e n t o e s p e r a d o ,

o n d e a s f r a ç õ e s v o l u m é t r i c a s d a s f a s e s d i s p e r s a s s ã o a l t e r a d a s d e a c o r d o c o m o e f e i t o

d o m i n a n t e d a i n t e r a ç ã o e n t r e p a r t í c u l a s .

O s t e m p o s d e c o m p u t a ç ã o d o s s o l v e r s m u l t i P h a s e E u l e r F o a m e

m u l t i P h a s e P b e F o a m f o r a m a v a l i a d o s , c o n f e r i n d o a o p r i m e i r o m a i o r e c i ê n c i a .

I s t o s e d e v e a o c u s t o e x t r a d e c o m p u t a ç ã o d o D Q M O M n o m u l t i P h a s e P b e F o a m .

P o r é m , a p a r a l e l i z a ç ã o d o c ó d i g o C F D - E B P é b e m m a i s e c i e n t e d o q u e a d o

m u l t i P h a s e E u l e r F o a m , p o i s a s o l u ç ã o d o s i s t e m a l i n e a r d o D Q M O M é r e a l i z a d a

v o l u m e a v o l u m e .

N o t e q u e o p r e s e n t e t r a b a l h o f o c o u o d e s e n v o l v i m e n t o d a m e t o d o l o g i a e d e s u a

i m p l e m e n t a ç ã o , v i s a n d o o b t e r f e r r a m e n t a s c o m p u t a c i o n a i s p a r a a s i m u l a ç ã o d e e s c o -

a m e n t o s m u l t i f á s i c o s p o l i d i s p e r s o s . C o m a s f e r r a m e n t a s p r o d u z i d a s n e s t e t r a b a l h o ,



7 . 2 S u g e s t õ e s p a r a T r a b a l h o s F u t u r o s 1 6 1

a b r e - s e n o v a s f r o n t e i r a s p a r a o t r a t a m e n t o d o s p r o b l e m a s p r á t i c o s e m p r o c e s s o s

m u l t i f á s i c o s .

7 . 2 S u g e s t õ e s p a r a T r a b a l h o s F u t u r o s

T e n d o e m v i s t a o s r e s u l t a d o s o b t i d o s , a l g u m a s s u g e s t õ e s p a r a c o n t i n u a ç ã o d o p r e -

s e n t e t r a b a l h o s ã o p r o p o s t a s . E m r e l a ç ã o a o s a v a n ç o s n u m é r i c o s a s s o c i a d o s à i m -

p l e m e n t a ç ã o d o a c o p l a m e n t o C F D - E B P , s u g e r e - s e q u e n o v o s e s t u d o s e n f o q u e m :

•I m p l e m e n t a ç ã o d e m é t o d o s p a r a a E B P m u l t i v a r i a d a , s e n d o o p r ó x i m o p a s s o

n o d e s e n v o l v i m e n t o d a s t é c n i c a s p a r a a s i m u l a ç ã o d e e s c o a m e n t o s m u l t i f á s i c o s

p o l i d i s p e r s o s .

•I m p l e m e n t a ç ã o d e o u t r a s a b o r d a g e n s p a r a o a c o p l a m e n t o p r e s s ã o - v e l o c i d a d e

e m e s c o a m e n t o s m u l t i f á s i c o s [ 2 8 4 ] n o s c ó d i g o s d e s e n v o l v i d o s , a v a l i a n d o a p e r -

f o r m a n c e d e s t e s a l g o r i t m o s a p l i c a d a a o m o d e l o m u l t i f á s i c o p o l i d i s p e r s o . E s t e

é u m p o n t o i m p o r t a n t e n a s s i m u l a ç õ e s C F D c o m a l g o r i t m o s d e a c o p l a m e n t o

s e g r e g a d o .

•I m p l e m e n t a ç ã o d o s e f e i t o s d e c r e s c i m e n t o e n u c l e a ç ã o d e p a r t í c u l a s , d e m o d o

a c a r a c t e r i z a r f e n ô m e n o s d e m u d a n ç a d e f a s e .

•E x t e n s ã o d a m e t o d o l o g i a d o P P D C , v i s a n d o e l i m i n a r o s e r r o s a s s o c i a d o s à

i n t e g r a ç ã o n o t e m p o . P a r a t a l , d e v e - s e c o n s i d e r a r o u s o d e u m m é t o d o d e

s e p a r a ç ã o d e o p e r a d o r e s d e m a i s a l t a o r d e m e m s u a f o r m u l a ç ã o .

V i s a n d o a s i m u l a ç ã o d e e s c o a m e n t o s p o l i d i s p e r s o s r e a l í s t i c o s , a m o d e l a g e m d e

a l g u n s f e n ô m e n o s d e v e m s e r i n v e s t i g a d a s .

•M o d e l o s p a r a a q u e b r a e a g r e g a ç ã o d e p a r t í c u l a s s ã o a s p r i n c i p a i s f o n t e s d e

e r r o s n a s s i m u l a ç õ e s p o l i d i s p e r s a s . S e g u n d o A R A U J O [ 1 7 ] , m u i t o s d o s m o d e -

l o s p r e s e n t e s n a l i t e r a t u r a p a r t e m d e c o n c e i t o s d e f o r m u l a ç ã o e r r a d o s . D e s t a



7 . 2 S u g e s t õ e s p a r a T r a b a l h o s F u t u r o s 1 6 2

f o r m a , m a i s e s t u d o s s o b r e o d e s e n v o l v i m e n t o d o s m o d e l o s d e v e m s e r r e a l i -

z a d o s . A p e s a r d i s s o , s i m u l a ç õ e s C F D t r i d i m e n s i o n a i s p o d e m f o r n e c e r d a d o s

p a r a a e s t i m a ç ã o d e p a r â m e t r o s d e s t e s m o d e l o s .

•T e r m o s d e t r o c a d e q u a n t i d a d e d e m o v i m e n t o e n t r e a s f a s e s . A i n d a h á m u i t a

d i v e r g ê n c i a n a l i t e r a t u r a s o b r e a f o r m u l a ç ã o c o r r e t a d a s f o r ç a s e s u a i n u ê n c i a

n o e s c o a m e n t o .

•E s t u d o d a t u r b u l ê n c i a e m e s c o a m e n t o s m u l t i f á s i c o s . S a b e - s e d a i n u ê n c i a d a

t u r b u l ê n c i a n a d e s c r i ç ã o d o p e r l d e e s c o a m e n t o e d a d i n â m i c a d o s f e n ô m e n o s

d e i n t e r a ç ã o e n t r e p a r t í c u l a s , p o r é m a i n d a e x i s t e m m u i t a s d ú v i d a s e m s u a

f o r m u l a ç ã o .



R e f e r ê n c i a s B i b l i o g r á c a s

[ 1 ] K R I S H N A , R . , E L L E N B E R G E R , J . , M A R E T T O , C . , F l o w R e g i m e T r a n s i t i o n

i n B u b b l e C o l u m n s , I n t e r n a t i o n a l C o m m u n i c a t i o n s i n H e a t a n d M a s s

T r a n s f e r , v . 2 6 , n . 4 , p p . 4 6 7 4 7 5 , 1 9 9 9 .

[ 2 ] R A M K R I S H N A , D . , M A H O N E Y , A . W . , P o p u l a t i o n b a l a n c e m o d e l i n g . P r o -

m i s e f o r t h e f u t u r e , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g S c i e n c e , v . 5 7 , p p . 5 9 5 6 0 6 ,

2 0 0 2 .

[ 3 ] S C A R L E T T , B . , P a r t i c l e P o p u l a t i o n s - t o b a l a n c e o r n o t t o b a l a n c e , t h a t i s t h e

q u e s t i o n ! P o w d e r T e c h n o l o g y , v . 1 2 5 , p p . 1 4 , 2 0 0 2 .

[ 4 ] L A G E , P . L . C . , E S P Ó S I T O , R . O . , E x p e r i m e n t a l d e t e r m i n a t i o n o f b u b b l e s i z e

d i s t r i b u t i o n s i n b u b b l e c o l u m n s : P r e d i c t i o n o f m e a n b u b b l e d i a m e t e r a n d

g a s h o l d u p , P o w d e r T e c h n o l o g y , v . 1 0 1 , n . 2 , p p . 1 4 2 1 5 0 , 1 9 9 9 .

[ 5 ] R I B E I R O J R . , C . P . , L A G E , P . L . C . , E x p e r i m e n t a l s t u d y o n b u b b l e s i z e d i s -

t r i b u t i o n s i n a d i r e c t - c o n t a c t e v a p o r a t o r , B r a z i l i a n J o u r n a l o f C h e m i c a l

E n g i n e e r i n g , v . 2 1 , n . 1 , p p . 6 9 8 1 , 2 0 0 4 .

[ 6 ] R I B E I R O J R . , C . P . , L A G E , P . L . C . , D i r e c t - c o n t a c t e v a p o r a t i o n i n t h e h o m o -

g e n e o u s a n d h e t e r o g e n e o u s b u b b l i n g r e g i m e s . P a r t I : e x p e r i m e n t a l a n a l y -

s i s , I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f H e a t a n d M a s s T r a n s f e r , v . 4 7 , n . 1 7 - 1 8 ,

p p . 3 8 2 5 3 8 4 0 , 2 0 0 4 .

[ 7 ] S I L V A , M . O . , S I L V A , M . V . L . R . , L A G E , P . L . C . , O n t h e U s a g e o f C o n d u c -

t i v i t y S e n s o r s t o M e a s u r e G a s P h a s e F r a c t i o n i n B u b b l e C o l u m n s . I n :

1 6 3




E B E C E M 2 0 0 8 1 o E n c o n t r o B r a s i l e i r o s o b r e E b u l i ç ã o , C o n d e n s a ç ã o e

E s c o a m e n t o M u l t i f á s i c o L í q u i d o - G á s , v . C D R O M , p p . 1 7 , F l o r i a n ó p o l i s ,

2 0 0 8 .

[ 8 ] R I B E I R O J R . , C . P . , B O R G E S , C . P . , L A G E , P . L . C . , M o d e l l i n g o f d i r e c t -

c o n t a c t e v a p o r a t i o n u s i n g a s i m u l t a n e o u s h e a t a n d m u l t i c o m p o n e n t m a s s -

t r a n s f e r m o d e l f o r s u p e r h e a t e d b u b b l e s , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g S c i e n c e ,

v . 6 0 , n . 6 , p p . 1 7 6 1 1 7 7 2 , 2 0 0 5 .

[ 9 ] R I B E I R O J R . , C . P . , L A G E , P . L . C . , G a s - L i q u i d D i r e c t - C o n t a c t E v a p o r a t i o n :

A R e v i e w , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g a n d T e c h n o l o g y , v . 2 8 , n . 1 0 , p p . 1 0 8 1

1 1 0 7 , 2 0 0 5 .

[ 1 0 ] L A G E , P . L . C . , C A M P O S , F . B . , A d v a n c e s i n D i r e c t C o n t a c t E v a p o r a t o r

D e s i g n , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g a n d T e c h n o l o g y , v . 2 7 , n . 1 , p p . 9 1 9 6 ,

2 0 0 4 .

[ 1 1 ] S I L V A , L . F . L . R . , F O N T E S , C . E . , L A G E , P . L . C . , F r o n t t r a c k i n g i n r e -

c i r c u l a t i n g o w s : a c o m p a r i s o n b e t w e e n t h e T V D a n d R C M m e t h o d s i n

s o l v i n g t h e V O F e q u a t i o n , B r a z i l i a n J o u r n a l o f C h e m i c a l E n g i n e e r i n g ,

v . 2 2 , n . 1 , p p . 1 0 5 1 1 6 , 2 0 0 5 .

[ 1 2 ] M O N T E A G U D O , J . E . P . , L A G E , P . L . C . , C r o s s - P r o p e r t i e s R e l a t i o n s i n 3 D

P e r c o l a t i o n N e t w o r k s : I . N e t w o r k C h a r a c t e r i s t i c L e n g t h D e t e r m i n a t i o n ,

T r a n s p o r t i n P o r o u s M e d i a , v . 6 1 , n . 2 , p p . 1 4 3 1 5 6 , 2 0 0 5 .

[ 1 3 ] M O N T E A G U D O , J . E . P . , L A G E , P . L . C . , C r o s s - P r o p e r t i e s R e l a t i o n s i n 3 D

P e r c o l a t i o n N e t w o r k s : I I . N e t w o r k P e r m e a b i l i t y , T r a n s p o r t i n P o r o u s

M e d i a , v . 6 1 , n . 3 , p p . 2 5 9 2 7 4 , 2 0 0 5 .

[ 1 4 ] M O N T E A G U D O , J . E . P . , S I L V A , L . F . L . R . , L A G E , P . L . C . , S c a l i n g l a w s

f o r n e t w o r k m o d e l p e r m e a b i l i t y : a p p l i c a t i o n t o w e l l b o r e o i l o w s i m u -

l a t i o n w i t h s o l i d d e p o s i t i o n , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g S c i e n c e , v . 5 8 , n . 9 ,

p p . 1 8 1 5 1 8 2 9 , 2 0 0 3 .




[ 1 5 ] C A M P O S , F . B . , L A G E , P . L . C . , A n u m e r i c a l m e t h o d f o r s o l v i n g t h e t r a n s i e n t

m u l t i d i m e n s i o n a l p o p u l a t i o n b a l a n c e e q u a t i o n u s i n g a n E u l e r - L a g r a n g e

f o r m u l a t i o n , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g S c i e n c e , v . 5 8 , n . 1 2 , p p . 2 7 2 5 2 7 4 4 ,

2 0 0 3 .

[ 1 6 ] R I B E I R O J R . , C . P . , L A G E , P . L . C . , P o p u l a t i o n b a l a n c e m o d e l i n g o f b u b b l e

s i z e d i s t r i b u t i o n s i n a d i r e c t - c o n t a c t e v a p o r a t o r u s i n g a s p a r g e r m o d e l ,

C h e m i c a l E n g i n e e r i n g S c i e n c e , v . 5 9 , n . 1 2 , p p . 2 3 6 3 2 3 7 7 , 2 0 0 4 .

[ 1 7 ] A R A U J O , J . F . M . , E s t u d o d o s m o d e l o s d e q u e b r a e c o a l e s c ê n c i a p a r a e s c o -

a m e n t o s p o l i d i s p e r s o s , M a s t e r ' s T h e s i s , U n i v e r s i d a d e F e d e r a l d o R i o d e

J a n e i r o , P E Q / C O P P E , R J , B r a s i l , 2 0 0 6 .

[ 1 8 ] D A M I A N , R . B . , S i m u l a ç ã o C F D d e E s c o a m e n t o s M u l t i f á s i c o s P o l i d i s p e r s o s

u s a n d o B a l a n ç o P o p u l a c i o n a l , M a s t e r ' s T h e s i s , U n i v e r s i d a d e F e d e r a l d o

R i o d e J a n e i r o , P E Q / C O P P E , R J , B r a s i l , 2 0 0 7 .

[ 1 9 ] D U D U K O V I C , M . P . , L A R A C H I , F . , M I L L S , P . L . , M u l t i p h a s e R e a c t o r s

r e v i s i t e d , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g S c i e n c e , v . 5 4 , p p . 1 9 7 5 1 9 9 5 , 1 9 9 9 .

[ 2 0 ] J O S H I , J . B . , C o m p u t a t i o n a l o w m o d e l l i n g a n d d e s i g n o f b u b b l e c o l u m n

r e a c t o r s , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g S c i e n c e , v . 5 6 , p p . 5 8 9 3 5 9 3 3 , 2 0 0 1 .

[ 2 1 ] K R I S H N A , R . , E L L E N B E R G E R , J . , S I E , S . T . , R e a c t o r d e v e l o p m e n t f o r c o n -

v e r s i o n o f n a t u r a l g a s t o l i q u i d f u e l s : A s c a l e - u p s t r a t e g y r e l y i n g o n t h e

h y d r o d y n a m i c s a n a l o g i e s , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g S c i e n c e , v . 5 1 , n . 1 0 ,

p p . 2 0 4 1 2 0 5 0 , 1 9 9 6 .

[ 2 2 ] K R I S H N A , R . , U R S E A N U , M . I . , V A N B A T E N , J . M . , e t a l . , I n u e n c e o f s c a l e

o n t h e h y d r o d y n a m i c s o f b u b b l e c o l u m n s o p e r a t i n g i n t h e c h u r n - t u r b u l e n t

r e g i m e : E x p e r i m e n t s v s . E u l e r i a n s i m u l a t i o n s , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g S c i -

e n c e , v . 5 4 , p p . 4 9 0 3 4 9 1 1 , 1 9 9 9 .

[ 2 3 ] L A P I N , A . , L Ü B B E R T , A . , N u m e r i c a l s i m u l a t i o n s o f t h e d y n a m i c s o f t w o -

p h a s e g a s - l i q u i d o w s i n b u b b l e c o l u m n s , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g S c i e n c e ,

v . 4 9 , p p . 3 6 6 1 3 6 7 4 , 1 9 9 4 .




[ 2 4 ] D E L N O I J , E . , L A M M E R S , F . A . , K U I P E R S , J . A . M . , e t a l . , D y n a m i c s i -

m u l a t i o n o f d i s p e r s e d g a s - l i q u i d t w o - p h a s e o w u s i n g a d i s c r e t e b u b b l e

m o d e l , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g S c i e n c e , v . 5 2 , n . 9 , p p . 1 4 2 9 1 4 5 8 , 1 9 9 7 .

[ 2 5 ] D R E W , D . A . , M a t h e m a t i c a l m o d e l i n g o f t w o - p h a s e o w , A n n u a l R e v i e w s i n

F l u i d M e c h a n i c s , v . 1 5 , p p . 2 6 1 2 9 1 , 1 9 8 3 .

[ 2 6 ] K R I S H N A , R . , V A N B A T E N , J . M . , E u l e r i a n s i m u l a t i o n s o f b u b b l e c o l u m n s

o p e r a t i n g a t e l e v a t e d p r e s s u r e s i n t h e c h u r n t u r b u l e n t o w r e g i m e , C h e -

m i c a l E n g i n e e r i n g S c i e n c e , v . 5 6 , p p . 6 2 4 9 6 2 5 8 , 2 0 0 1 .

[ 2 7 ] C H E N , P . , S A N Y A L , J . , D U D U K O V I C , M . P . , C F D m o d e l i n g o f b u b b l e c o -

l u m n s o w s : i m p l e m e n t a t i o n o f p o p u l a t i o n b a l a n c e , C h e m i c a l E n g i n e e -

r i n g S c i e n c e , v . 5 9 , p p . 5 2 0 1 5 2 0 7 , 2 0 0 4 .

[ 2 8 ] R A M K R I S H N A , D . , P o p u l a t i o n B a l a n c e s T h e o r y a n d A p p l i c a t i o n s t o P a r t i -

c u l a t e S y s t e m s i n E n g i n e e r i n g . A c a d e m i c P r e s s : N o v a Y o r k , 2 0 0 0 .

[ 2 9 ] B A U E R , M . , E I G E N B E R G E R , G . , M u l t i s c a l e m o d e l i n g o f h y d r o d y n a m i c s ,

m a s s t r a n s f e r a n d r e a c t i o n i n b u b b l e c o l u m n r e a c t o r s , C h e m i c a l E n g i n e -

e r i n g S c i e n c e , v . 5 6 , n . 3 , p p . 1 0 6 7 1 0 7 4 , 2 0 0 1 .

[ 3 0 ] I S H I I , M . , T h e r m o - u i d D y n a m i c T h e o r y o f T w o - p h a s e F l o w . E y r o l l e s : P a r i s ,

1 9 7 5 .

[ 3 1 ] V A N W A C H E M , B . G . M . , A L M S T E D T , A . E . , M e t h o d s f o r m u l t i p h a s e c o m -

p u t a t i o n a l u i d d y n a m i c s , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g J o u r n a l , v . 9 6 , p p . 8 1

9 8 , 2 0 0 3 .

[ 3 2 ] D E L N O I J , E . , K U I P E R S , J . A . M . , V A N S W A A I J , W . P . M . , A t h r e e -

d i m e n s i o n a l C F D m o d e l f o r g a s - l i q u i d b u b b l e c o l u m n s , C h e m i c a l E n -

g i n e e r i n g S c i e n c e , v . 5 4 , n . 1 3 - 1 4 , p p . 2 2 1 7 2 2 2 6 , 1 9 9 9 .

[ 3 3 ] C R O W E , C . , S O M M E R F I E L D , M . , Y U T A K A , T . , M u l t i p h a s e F l o w s w i t h D r o -

p l e t s a n d P a r t i c l e s . C R C P r e s s , 1 9 9 8 .




[ 3 4 ] L I , C . , M O S Y A K , A . , H E T S R O N I , G . , D i r e c t n u m e r i c a l s i m u l a t i o n o f p a r t i c l e -

t u r b u l e n c e i n t e r a c t i o n , I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f M u l t i p h a s e F l o w , v . 2 5 ,

n . 2 , p p . 1 8 7 2 0 0 , 1 9 9 9 .

[ 3 5 ] D R U Z H I N I N , O . A . , E L G H O B A S H I , S . E . , A L a g r a n g i a n - E u l e r i a n M a p p i n g

S o l v e r f o r D i r e c t N u m e r i c a l S i m u l a t i o n o f B u b b l e - L a d e n T u r b u l e n t S h e a r

F l o w s U s i n g t h e T w o - F l u i d F o r m u l a t i o n , J o u r n a l o f C o m p u t a t i o n a l P h y -

s i c s , v . 1 5 4 , n . 1 , p p . 1 7 4 1 9 6 , 1 9 9 9 .

[ 3 6 ] B O I V I N , M . , S I M O N I N , O . , S Q U I R E S , K . D . , D i r e c t n u m e r i c a l s i m u l a t i o n

o f t u r b u l e n c e m o d u l a t i o n b y p a r t i c l e s i n i s o t r o p i c t u r b u l e n c e , J o u r n a l o f

F l u i d M e c h a n i c s , v . 3 7 5 , p p . 2 3 5 2 6 3 , 1 9 9 8 .

[ 3 7 ] S U S S M A N , M . , P U C K E T T , E . G . , A C o u p l e d L e v e l S e t a n d V o l u m e - o f - F l u i d

M e t h o d f o r C o m p u t i n g 3 D a n d A x i s y m m e t r i c I n c o m p r e s s i b l e T w o - P h a s e

F l o w s , J o u r n a l o f C o m p u t a t i o n a l P h y s i c s , v . 1 6 2 , n . 2 , p p . 3 0 1 3 3 7 ,

2 0 0 0 .

[ 3 8 ] E N W A L D , H . , P E I R A N O , E . , A L M S T E D T , A . - E . , E u l e r i a n t w o - p h a s e o w

t h e o r y a p p l i e d t o u i d i z a t i o n , I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f M u l t i p h a s e F l o w ,

v . 2 2 , n . S u p p . 1 , p p . 2 1 6 6 , 1 9 9 6 .

[ 3 9 ] D R E W , D . A . , P A S S M A N , S . L . , T h e o r y o f M u l t i c o m p o n e n t F l u i d s . 1 s t e d .

S p r i n g e r , 1 9 9 9 .

[ 4 0 ] I S H I I , M . , H I B I K I , T . , T h e r m o - F l u i d D y n a m i c s o f T w o - P h a s e F l o w . 1 s t e d .

S p r i n g e r : N o v a Y o r k , E U A , 2 0 0 6 .

[ 4 1 ] M A N N I N E N , M . , T A I V A S S A L O , V . , K A L L I O , S . , O n t h e m i x t u r e m o d e l f o r

m u l t i p h a s e o w , T e c h . R e p . 2 8 8 , T e c h n i c a l R e s e a r c h C e n t r e o f F i n l a n d ,

1 9 9 6 .

[ 4 2 ] B I R D , R . B . , S T E W A R T , W . E . , L I G H T F O O T , E . N . , T r a n s p o r t P h e n o m e n a .

J o h n W i l e y & S o n s I n c . : N o v a Y o r k , 1 9 6 0 .




[ 4 3 ] M I C H E L E , V . , C F D m o d e l i n g a n d m e a s u r e m e n t o f l i q u i d o w s t r u c t u r e a n d

p h a s e h o l d u p i n t w o - a n d t h r e e - p h a s e b u b b l e c o l u m n s , P h . D . T h e s i s , T e -

c h n i s c h e n U n i v e r s i t ä t C a r o l o - W i l h e l m i n a z u B r a u n s c h w e i g , 2 0 0 2 .

[ 4 4 ] B R E N N E N , C . E . , F u n d a m e n t a l s o f M u l t i p h a s e F l o w . 1 s t e d . C a m b r i d g e

U n i v e r s i t y P r e s s , 2 0 0 5 .

[ 4 5 ] B O V E , S . , C o m p u t a t i o n a l u i d d y n a m i c s o f g a s - l i q u i d o w s i n c l u d i n g b u b b l e

p o p u l a t i o n b a l a n c e s , P h . D . T h e s i s , E s b j e r g I n s t i t u t e o f E n g i n e e r i n g , D i -

n a m a r c a , 2 0 0 5 .

[ 4 6 ] S A N Y A L , J . , V Á S Q U E Z , S . , R O Y , S . , e t a l . , N u m e r i c a l s i m u l a t i o n o f g a s - l i q u i d

d y n a m i c s i n c y l i n d r i c a l b u b b l e c o l u m n r e a c t o r s , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g

S c i e n c e , v . 5 4 , p p . 5 0 7 1 5 0 8 3 , 1 9 9 9 .

[ 4 7 ] S O K O L I C H I N , A . , E I G E N B E R G E R , G . , A p p l i c a b i l i t y o f t h e s t a n d a r d k -

t u r b u l e n c e m o d e l t o t h e d y n a m i c s i m u l a t i o n o f b u b b l e c o l u m n s : P a r t

I . D e t a i l e d n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g S c i e n c e , v . 5 4 ,

p p . 2 2 7 3 2 2 8 4 , 1 9 9 9 .

[ 4 8 ] L A P I N , A . , M A U L , C . , J U N G H A N S , K . , e t a l . , I n d u s t r i a l - s c a l e b u b b l e c o l u m n

r e a c t o r s : g a s - l i q u i d o w a n d c h e m i c a l r e a c t i o n , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g

S c i e n c e , v . 5 6 , n . 1 , p p . 2 3 9 2 4 6 , 2 0 0 1 .

[ 4 9 ] C A R T L A N D G L O V E R , G . M . , G E N E R A L I S , S . C . , T h e m o d e l l i n g o f b u -

o y a n c y d r i v e n o w i n b u b b l e c o l u m n s , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g a n d P r o -

c e s s i n g , v . 4 3 , n . 2 , p p . 1 0 1 1 1 5 , 2 0 0 4 .

[ 5 0 ] F O R D , B . , L O T H , E . , F o r c e s o n e l l i p s o i d a l b u b b l e s i n a t u r b u l e n t s h e a r l a y e r ,

P h y s i c s o f F l u i d s , v . 1 0 , n . 1 , p p . 1 7 8 1 8 8 , 1 9 9 8 .

[ 5 1 ] L O T H , E . , N u m e r i c a l a p p r o a c h e s f o r m o t i o n o f d i s p e r s e d p a r t i c l e s , d r o p l e t s

a n d b u b b l e s , P r o g r e s s i n E n e r g y a n d C o m b u s t i o n S c i e n c e , v . 2 6 , p p . 1 6 1

2 2 3 , 2 0 0 0 .




[ 5 2 ] N E W T O N , I . , P h i l o s o p h i a e N a t u r a l i s : P r i n c i p i a M a t h e m a t i c a . S o c i e t a t i s R e -

g a l i s S o d a l i , 1 6 8 6 .

[ 5 3 ] A L L E N , H . S . , T h e m o t i o n o f a s p h e r e i n a v i s c o u s u i d , I n : P h i l o s o p h i c a l

M a g a z i n e , v . 5 0 , p p . 3 2 3 3 3 8 , 1 9 0 0 .

[ 5 4 ] S T O K E S , G . G . , O n t h e E e c t o f t h e I n t e r n a l F r i c t i o n o f F l u i d s o n t h e M o t i o n

o f P e n d u l u m s , C a m b r i d g e P h i l o s o p h i c a l S o c i e t y T r a n s a c t i o n s , v . 9 , p p . 8

1 0 6 , 1 8 5 1 .

[ 5 5 ] S C H L I C H T I N G , H . , B o n d a r y - L a y e r T h e o r y . 7 t h e d . M c G r a w - H i l l : N o v a Y o r k ,

1 9 7 9 .

[ 5 6 ] C L I F T , R . , G R A C E , J . R . , W E B E R , M . E . , B u b b l e s , D r o p s a n d P a r t i c l e s .

A c a d e m i c P r e s s : L o n d r e s , 1 9 7 8 .

[ 5 7 ] S I M O N N E T , M . , G E N T R I C , C . , O L M O S , E . , e t a l . , E x p e r i m e n t a l d e t e r m i n a -

t i o n o f t h e d r a g c o e c i e n t i n a s w a r m o f b u b b l e s , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g

S c i e n c e , v . 6 2 , n . 3 , p p . 8 5 8 8 6 6 , 2 0 0 7 .

[ 5 8 ] P O I S E U I L L E , J . L . M . , R e c h e r c h e s e x p e r i m e n t a l e s s u r l e m o u v e m e n t d e s l i -

q u i d e s d a n s l e s t u b e s d e t r é s p e t i t s d i a m e t r e s , I n : C o m p t e s R e n d u s , v . 1 2 ,

p p . 1 1 2 1 1 5 , A c a d e m i e d e s S c i e n c e s , 1 8 4 1 .

[ 5 9 ] S E G R É , G . , S I L B E R B E R G , A . , B e h a v i o u r o f m a c r o s c o p i c r i g i d s p h e r e s i n

P o i s e u i l l e o w P a r t 1 . D e t e r m i n a t i o n o f l o c a l c o n c e n t r a t i o n b y s t a t i s t i c a l

a n a l y s i s o f p a r t i c l e p a s s a g e s t h r o u g h c r o s s e d l i g h t b e a m s , J o u r n a l f F l u i d

M e c h a n i c s , v . 1 4 , p p . 1 1 5 1 3 5 , 1 9 6 2 .

[ 6 0 ] C O X , R . G . , M A S O N , S . G . , S u s p e n d e d P a r t i c l e s i n F l u i d F l o w T h r o u g h

T u b e s , A n n u a l R e v i e w o f F l u i d M e c h a n i c s , v . 3 , p p . 2 9 1 3 1 6 , 1 9 7 1 .

[ 6 1 ] T S U J I , Y . , M O R I K A W A , Y . , S H I O M I , H . , L D V m e a s u r e m e n t s o f a n a i r - s o l i d

t w o - p h a s e o w i n a v e r t i c a l p i p e , J o u r n a l o f F l u i d M e c h a n i c s , v . 1 3 9 ,

p p . 4 1 7 4 3 4 , 1 9 8 4 .




[ 6 2 ] A U T O N , T . R . , T h e l i f t f o r c e o n a s p h e r i c a l b o d y i n a r o t a t i o n a l o w , J o u r n a l

o f F l u i d M e c h a n i c s , v . 1 8 3 , p p . 1 9 9 2 1 8 , 1 9 8 7 .

[ 6 3 ] L E G E N D R E , D . , M A G N A U D E T , J . , T h e l i f t f o r c e o n a s p h e r i c a l b u b b l e i n a

v i s c o u s l i n e a r s h e a r o w , J o u r n a l o f F l u i d M e c h a n i c s , v . 3 6 8 , p p . 8 1 1 2 6 ,

1 9 9 8 .

[ 6 4 ] M C L A U G H L I N , J . B . , I n e r t i a l m i g r a t i o n o f a s m a l l s p h e r e i n l i n e a r s h e a r

o w s , J o u r n a l o f F l u i d M e c h a n i c s , v . 2 2 4 , p p . 2 6 1 2 7 4 , 1 9 9 1 .

[ 6 5 ] L E G E N D R E , D . , M A G N A U D E T , J . , A n o t e o n t h e l i f t f o r c e o n a s p h e r i c a l

b u b b l e o r d r o p i n a l o w - R e y n o l d s - n u m b e r s h e a r o w , P h y s i c s o f F l u i d s ,

v . 9 , n . 1 , p p . 3 5 7 2 3 5 7 4 , 1 9 9 7 .

[ 6 6 ] R U S C H E , H . , C o m p u t a t i o n a l u i d d y n a m i c s o f d i s p e r s e d t w o - p h a s e o w s a t

h i g h p h a s e f r a c t i o n s , P h . D . T h e s i s , I m p e r i a l C o l l e g e o f S c i e n c e , T e c h n o -

l o g y a n d M e d i c i n e , L o n d r e s , R e i n o U n i d o , 2 0 0 2 .

[ 6 7 ] D R E W , D . A . , L A H E Y , R . T . , S o m e s u p p l e m e n t a l a n a l y s i s c o n c e r n i n g t h e

v i r t u a l m a s s a n d l i f t f o r c e o n a s p h e r e i n a r o t a t i n g a n d s t r a i n i n g o w ,

I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f M u l t i p h a s e F l o w , v . 1 6 , p p . 1 1 2 7 1 1 3 0 , 1 9 9 0 .

[ 6 8 ] P F L E G E R , D . , G O M E S , S . , G I L B E R T , N . , e t a l . , H y d r o d y n a m i c s i m u -

l a t i o n s o f l a b o r a t o r y s c a l e b u b b l e c o l u m n s f u n d a m e n t a l s t u d i e s o f t h e

E u l e r i a n - E u l e r i a n m o d e l l i n g a p p r o a c h , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g S c i e n c e ,

v . 5 4 , p p . 5 0 9 1 5 0 9 9 , 1 9 9 9 .

[ 6 9 ] S U N D A R E S A N , S . , M o d e l i n g t h e H y d r o d y n a m i c s o f M u l t i p h a s e F l o w R e a c -

t o r s : C u r r e n t S t a t u s a n d C h a l l e n g e s , A I C h E J o u r n a l , v . 4 6 , n . 6 , p p . 1 1 0 2

1 1 0 5 , 2 0 0 0 .

[ 7 0 ] D E E N , N . G . , S O L B E R G , T . , H J E R T A G E R , B . H . , L a r g e e d d y s i m u l a t i o n o f

t h e g a s - l i q u i d o w i n a s q u a r e c r o s s - s e c t i o n e d b u b b l e c o l u m n , C h e m i c a l

E n g i n e e r i n g S c i e n c e , v . 5 6 , p p . 6 3 4 1 6 3 4 9 , 2 0 0 1 .




[ 7 1 ] B O U S S I N E S Q , J . , T h é o r i e d e l ' É c o u l e m e n t T o u r b i l l a n t , M e m . P r é s e n t é s p a r

D i v e r s S a v a n t s A c a d . S c i . I n s t . F r . , v . 2 3 , p p . 4 6 5 0 , 1 8 7 7 .

[ 7 2 ] B R A U E R , H . , T u r b u l e n z i n m e h r p h a s i g e n S t r ö m u n g e n , C h e m . I n g . T e c h . ,

v . 5 1 , n . 1 0 , p p . 9 3 4 9 4 8 , 1 9 7 9 .

[ 7 3 ] T S U C H I Y A , K . , O H S A K I , K . , T A G U C H I , K . , L a r g e a n d S m a l l B u b b l e I n -

t e r a c t i o n P a t t e r n s i n a B u b b l e C o l u m n , I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f M u l -

t i p h a s e F l o w , v . 2 2 , n . 1 , p p . 1 2 1 1 3 2 , 1 9 9 6 .

[ 7 4 ] L A U N D E R , B . , S P A L D I N G , D . , T h e n u m e r i c a l c o m p u t a t i o n o f t u r b u l e n t

o w s , C o m p u t e r M e t h o d s i n A p p l i e d M e c h a n i c s a n d E n g i n e e r i n g , v . 3 ,

p p . 2 6 9 2 8 9 , 1 9 7 4 .

[ 7 5 ] W I L C O X , D . C . , T u r b u l e n c e M o d e l i n g f o r C F D . D C W I n d u s t r i e s : C a l i f o r n i a ,

1 9 9 4 .

[ 7 6 ] S A T O , Y . , S E K O G U C H I , K . , L i q u i d v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n i n t w o - p h a s e b u b b l e

o w , I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f M u l t i p h a s e F l o w , v . 2 , p p . 7 9 9 5 , 1 9 7 5 .

[ 7 7 ] S A T O , Y . , S A D A T O M I , M . , S E K O G U C H I , K . , M o m e n t u m a n d h e a t t r a n s f e r

i n t w o - p h a s e b u b b l e o w - I T h e o r y , I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f M u l t i p h a s e

F l o w , v . 7 , p p . 1 6 7 1 7 7 , 1 9 8 1 .

[ 7 8 ] L A N C E , M . , B A R A I L L E , J . , T u r b u l e n c e i n t h e l i q u i d p h a s e o f a u n i f o r m

b u b b l y a i r - w a t e r o w m o d e l f o r b u b b l y t w o - p h a s e o w , J o u r n a l o f F l u i d

M e c h a n i c s , v . 2 2 2 , p p . 9 5 1 1 8 , 1 9 9 1 .

[ 7 9 ] C U I , Z . , F A N , L . S . , T u r b u l e n c e e n e r g y d i s t r i b u t i o n s i n b u b b l i n g g a s - l i q u i d

a n d g a s - l i q u i d - s o l i d o w s y s t e m s , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g S c i e n c e , v . 5 9 ,

p p . 1 7 5 5 1 7 6 6 , 2 0 0 4 .

[ 8 0 ] K A J I S H I M A , T . , I n u e n c e o f p a r t i c l e r o t a t i o n o n t h e i n t e r a c t i o n b e t w e e n

p a r t i c l e c l u s t e r s a n d p a r t i c l e - i n d u c e d t u r b u l e n c e , I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l

o f H e a t a n d F l u i d F l o w , v . 2 5 , p p . 7 2 1 7 2 8 , 2 0 0 4 .




[ 8 1 ] L U C A S , D . , K R E P P E R , E . , P R A S S E R , H . - M . , U s e o f m o d e l s f o r l i f t , w a l l

a n d t u r b u l e n t d i s p e r s i o n f o r c e s a c t i n g o n b u b b l e s f o r p o l y - d i s p e r s e o w s ,

C h e m i c a l E n g i n e e r i n g S c i e n c e , v . 6 2 , p p . 4 1 4 6 4 1 5 7 , 2 0 0 7 .

[ 8 2 ] K A T A O K A , I . , S E R I Z A W A , A . , B a s i c e q u a t i o n s o f t u r b u l e n c e i n g a s - l i q u i d

t w o - p h a s e o w , I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f M u l t i p h a s e F l o w , v . 1 5 , n . 5 ,

p p . 8 4 3 8 5 5 , 1 9 8 9 .

[ 8 3 ] L O P E Z D E B E R T O D A N O , M . , L A H E Y , R . T . , J O N E S , O . C . , D e v e l o p m e n t

o f a k -

m o d e l f o r b u b b l y t w o - p h a s e o w , J o u r n a l o f F l u i d s E n g i n e e r i n g ,

v . 1 1 6 , p p . 1 2 8 1 3 4 , 1 9 9 4 .

[ 8 4 ] C H A H E D , J . , R O I G , V . , M A S B E R N A T , L . , E u l e r i a n - E u l e r i a n t w o - u i d m o d e l

f o r t u r b u l e n t g a s - l i q u i d b u b b l y o w s , I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f M u l t i p h a s e

F l o w , v . 2 9 , p p . 2 3 4 9 , 2 0 0 3 .

[ 8 5 ] W I L D , G . , P O N C I N , S . , L I , H . - Z . , e t a l . , S o m e A s p e c t s o f t h e H y d r o d y n a m i c s

o f B u b b l e C o l u m n s , I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f C h e m i c a l R e a c t o r E n g i n e -

e r i n g , v . 1 , n . R 7 , p p . 1 3 6 , 2 0 0 3 .

[ 8 6 ] D E C K W E R , W . D . , B u b b l e C o l u m n R e a c t o r s . 2 n d e d . J o h n W i l e y & S o n s

L T D , 1 9 9 2 .

[ 8 7 ] C A M A R A S A , E . , V I A L A , C . , P O N C I N , S . , e t a l . , I n u e n c e o f c o a l e s c e n c e

b e h a v i o u r o f t h e l i q u i d a n d o f g a s s p a r g i n g o n h y d r o d y n a m i c s a n d b u b b l e

c h a r a c t e r i s t i c s i n a b u b b l e c o l u m n , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g a n d P r o c e s s i n g ,

v . 3 8 , n . 4 - 6 , p p . 3 2 9 3 4 4 , 1 9 9 9 .

[ 8 8 ] C H E N , R . C . , R E E S E , J . , F A N , L . S . , F l o w s t r u c t u r e i n a t h r e e - d i m e n s i o n a l

b u b b l e c o l u m n a n d t h r e e - p h a s e u i d i z e d b e d , A I C h E J o u r n a l , v . 4 0 , n . 7 ,

p p . 1 0 9 3 1 1 0 4 , 1 9 9 4 .

[ 8 9 ] Z A H R D N Í K , J . , F I A L O V Á , M . , R U Z I C K A , M . , e t a l . , D u a l i t y o f t h e g a s - l i q u i d

o w r e g i m e s i n b u b b l e c o l u m n r e a c t o r s , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g S c i e n c e ,

v . 5 2 , n . 2 1 - 2 2 , p p . 3 8 1 1 3 8 2 6 , 1 9 9 7 .




[ 9 0 ] T O R V I K , R . , S V E N D S E N , H . F . , M o d e l l i n g o f s l u r r y r e a c t o r s . A f u n d a m e n t a l

a p p r o a c h , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g S c i e n c e , v . 4 5 , p p . 2 3 2 5 2 3 3 2 , 1 9 9 0 .

[ 9 1 ] S V E N D S E N , H . F . , J A C K O B S E N , H . A . , T O R V I K , R . , L o c a l o w s t r u c t u -

r e s i n i n t e r n a l l o o p a n d b u b b l e c o l u m n r e a c t o r s , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g

S c i e n c e , v . 4 7 , p p . 3 2 9 7 3 3 0 4 , 1 9 9 2 .

[ 9 2 ] J A C K O B S E N , H . A . , S V E N D S E N , H . F . , H J A R B O , K . W . , O n t h e p r e d i c t i o n

o f l o c a l o w s t r u c t u r e s i n i n t e r n a l l o o p a n d b u b b l e c o l u m n r e a c t o r s u s i n g a

t w o u i d m o d e l , C o m p u t e r s a n d C h e m i c a l E n g i n e e r i n g , v . 1 7 S , p p . S 5 3 1

S 5 3 6 , 1 9 9 3 .

[ 9 3 ] G R E V S K O T T , S . , S A N N Æ S , B . H . , D U D U K O V I C , M . P . , e t a l . , L i q u i d c i r -

c u l a t i o n , b u b b l e s i z e d i s t r i b u t i o n s , a n d s o l i d m o v e m e n t i n t w o - a n d t h r e e -

p h a s e b u b b l e c o l u m n s , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g S c i e n c e , v . 5 1 , p p . 1 7 0 3

1 7 1 3 , 1 9 9 6 .

[ 9 4 ] J A K O B S E N , H . A . , S A N N Æ S , B . H . , G R E V S K O T T , S . , e t a l . , M o d e l i n g o f

b u b b l e d r i v e n v e r t i c a l o w s , I n d u s t r i a l a n d E n g i n e e r i n g C h e m i c a l R e s e -

a r c h , v . 3 6 , p p . 4 0 5 2 4 0 7 4 , 1 9 9 7 .

[ 9 5 ] G R I E N B E R G E R , J . , H O F M A N N , H . , I n v e s t i g a t i o n a n d m o d e l l i n g o f b u b b l e

c o l u m n s , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g S c i e n c e , v . 4 2 , p p . 2 2 1 5 2 2 2 0 , 1 9 9 2 .

[ 9 6 ] H I L L M E R , G . , W E I S M A N T E L , L . , H O F M A N N , H . , I n v e s t i g a t i o n s a n d m o -

d e l l i n g o f s l u r r y b u b b l e c o l u m n s , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g S c i e n c e , v . 4 9 ,

p p . 8 3 7 8 4 3 , 1 9 9 4 .

[ 9 7 ] R A N A D E , V . V . , F l o w i n b u b b l e c o l u m n s : s o m e n u m e r i c a l e x p e r i m e n t s , C h e -

m i c a l E n g i n e e r i n g S c i e n c e , v . 4 7 , p p . 1 8 5 7 1 8 6 9 , 1 9 9 2 .

[ 9 8 ] C E L I K , I . , W A N G , Y . - Z . , N u m e r i c a l s i m u l a t i o n o f c i r c u l a t i o n i n g a s - l i q u i d

c o l u m n r e a c t o r s : i s o t h e r m a l , b u b b l y , l a m i n a r o w , I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l

o f M u l t i p h a s e F l o w , v . 2 0 , n . 6 , p p . 1 0 5 3 1 0 7 0 , 1 9 9 4 .




[ 9 9 ] S O K O L I C H I N , A . , E I G E N B E R G E R , G . , G a s - l i q u i d o w i n b u b b l e c o l u m n s

a n d l o o p r e a c t o r s : P a r t I . D e t a i l e d m o d e l l i n g a n d n u m e r i c a l s i m u l a t i o n ,

C h e m i c a l E n g i n e e r i n g S c i e n c e , v . 4 9 , n . 2 4 B , p p . 5 7 3 5 5 7 4 6 , 1 9 9 4 .

[ 1 0 0 ] B E C K E R , S . , S O K O L I C H I N , A . , E I G E N B E R G E R , G . , G a s - l i q u i d o w i n

b u b b l e c o l u m n s a n d l o o p r e a c t o r s : P a r t I I . C o m p a r i s o n o f d e t a i l e d e x -

p e r i m e n t s a n d o w s i m u l a t i o n s , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g S c i e n c e , v . 4 9 , n .

2 4 B , p p . 5 7 4 7 5 7 6 2 , 1 9 9 4 .

[ 1 0 1 ] D E V A N A T H A N , N . , D U D U K O V I C , M . P . , L A P I N , A . , e t a l . , C h a o t i c o w i n

b u b b l e c o l u m n r e a c t o r s , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g S c i e n c e , v . 5 0 , p p . 2 6 6 1

2 6 6 7 , 1 9 9 5 .

[ 1 0 2 ] B O R C H E R S , O . , B U S C H , C . , S O K O L I C H I N , A . , e t a l . , A p p l i c a b i l i t y o f t h e

s t a n d a r d k -

t u r b u l e n c e m o d e l t o t h e d y n a m i c s i m u l a t i o n o f b u b b l e c o -

l u m n s . P a r t I I . C o m p a r i s o n o f d e t a i l e d e x p e r i m e n t s a n d o w s i m u l a t i o n s ,


[ 1 0 3 ] M U D D E , R . F . , S I M O N I N , O . , T w o - a n d t h r e e - d i m e n s i o n a l s i m u l a t i o n s o f

a b u b b l e p l u m e u s i n g a t w o - u i d m o d e l , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g S c i e n c e ,

v . 5 4 , p p . 5 0 6 1 5 0 6 9 , 1 9 9 9 .

[ 1 0 4 ] D E E N , N . G . , S O L B E R G , T . , H J E R T A G E R , B . H . , N u m e r i c a l S i m u l a t i o n

o f t h e G a s - L i q u i d F l o w i n a S q u a r e C r o s s - s e c t i o n e d B u b b l e C o l u m n . I n :

C H I S A 1 4 t h I n t e r n a t i o n a l C o n g r e s s o f C h e m i c a l a n d P r o c e s s E n g i n e e r i n g ,

P r a g a , R e p u b l i c a T c h e c a , 2 0 0 0 .

[ 1 0 5 ] P A N , Y . , D U D U K O V I C , M . P . , C H A N G , M . , D y n a m i c s i m u l a t i o n o f b u b b l y

o w i n b u b b l e c o l u m n s , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g S c i e n c e , v . 5 4 , p p . 2 4 8 1

2 4 8 9 , 1 9 9 9 .

[ 1 0 6 ] P F L E G E R , D . , B E C K E R , S . , M o d e l l i n g a n d s i m u l a t i o n o f t h e d y n a m i c

o w b e h a v i o r i n a b u b b l e c o l u m n , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g S c i e n c e , v . 5 6 ,

p p . 1 7 3 7 1 7 4 7 , 2 0 0 1 .




[ 1 0 7 ] E L G H O B A S H I , S . E . , A B O U - A R A B , T . W . , A t w o - e q u a t i o n t u r b u l e n c e m o -

d e l f o r t w o - p h a s e o w s , P h y s i c s o f F l u i d s , v . 2 6 , n . 4 , p p . 9 3 1 9 3 8 , 1 9 8 3 .

[ 1 0 8 ] S M A G O R I N S K Y , J . , G e n e r a l c i r c u l a t i o n e x p e r i m e n t s w i t h t h e p r i m i t i v e

e q u a t i o n s : I . t h e b a s i c e q u a t i o n s , M o n . W e a t h e r R e v i e w , v . 9 1 , p p . 9 9

1 6 4 , 1 9 6 3 .

[ 1 0 9 ] D E E N , N . G . , H J E R T A G E R , B . H . , S O L B E R G , T . , C o m p a r i s o n o f P I V

a n d L D A M e a s u r e m e n t M e t h o d s a p p l i e d t o t h e g a s - l i q u i d o w i n b u b b l e

c o l u m n . I n : 1 0 t h I n t e r n a t i o n a l S y m p o s i u m o n A p p l i c a t i o n s o f L a s e r

T e c h n i q u e s t o F l u i d M e c h a n i c s , L i s b o a , P o r t u g a l , 2 0 0 0 .

[ 1 1 0 ] B E R T O L A , F . , V A N N I , M . , B A L D I , G . , A p p l i c a t i o n o f C o m p u t a t i o n a l F l u i d

D y n a m i c s t o M u l t i p h a s e F l o w i n B u b b l e C o l u m n s , I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l

o f C h e m i c a l R e a c t o r E n g i n e e r i n g , v . 1 , n . A 3 , p p . 1 1 4 , 2 0 0 3 .

[ 1 1 1 ] B O V E , S . , S O L B E R G , T . , H J E R T A G E R , B . H . , N u m e r i c a l a s p e c t s o f b u b b l e

c o l u m n s i m u l a t i o n s , I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f C h e m i c a l R e a c t o r E n g i n e -

e r i n g , v . 2 , n . A 1 , p p . 1 2 2 , 2 0 0 4 .

[ 1 1 2 ] B E H Z A D I , A . , I S S A , R . I . , R U S C H E , H . , M o d e l l i n g o f d i s p e r s e d b u b b l e a n d

d r o p l e t o w a t h i g h p h a s e f r a c t i o n s , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g S c i e n c e , v . 5 9 ,

p p . 7 5 9 7 7 0 , 2 0 0 4 .

[ 1 1 3 ] G O S M A N , A . D . , I S S A , R . I . , L E K A K O U , C . , e t a l . , M u l t i d i m e n s i o n a l m o -

d e l l i n g o f t u r b u l e n t t w o - p h a s e o w s i n s t i r r e d v e s s e l s , A . I . C h . E . J o u r n a l ,

v . 3 8 , n . 1 2 , p p . 1 9 4 6 1 9 5 6 , 1 9 9 2 .

[ 1 1 4 ] B E L F ' D H I L A , R . , M A S B E R N A T , L . , S U Z A N N E , C . , M e a s u r e m e n t s i n

t w o - p h a s e b u b b l y o w s i n c o m p l e x g e o m e t r i e s , I n : P h a s e - I n t e r f a c e

P h e n o m e n a i n M u l t i p h a s e F l o w , p p . 2 4 5 2 5 7 , H e m i s p h e r e P u b l . C o r p . :

W a s h i n g t o n , 1 9 9 1 .

[ 1 1 5 ] L A N C E , M . , M A R I É , J . L . , M O U R S A L I , E . , e t a l . , E x p e r i m e n t a l s t u d y o f

t u r b u l e n t b u b b l y s h e a r o w s , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g C o m m u n i c a t i o n s ,

v . 1 4 1 - 1 4 2 , p p . 5 1 7 0 , 1 9 9 6 .




[ 1 1 6 ] B E C H , K . , D y n a m i c s i m u l a t i o n o f a 2 D b u b b l e c o l u m n , C h e m i c a l E n g i n e e -

r i n g S c i e n c e , v . 6 0 , p p . 5 2 9 4 5 3 0 4 , 2 0 0 5 .

[ 1 1 7 ] L U C A S , D . , P R A S S E R , H . - M . , M A N E R A , A . , I n u e n c e o f t h e l i f t f o r c e o n

t h e s t a b i l i t y o f a b u b b l e c o l u m n , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g S c i e n c e , v . 6 0 ,

p p . 3 6 0 9 3 6 1 9 , 2 0 0 5 .

[ 1 1 8 ] E K A M B A R A , K . , D H O T R E , M . T . , J O S H I , J . B . , C F D s i m u l a t i o n s o f b u b -

b l e c o l u m n r e a c t o r s : 1 D , 2 D a n d 3 D a p p r o a c h , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g

S c i e n c e , v . 6 0 , p p . 6 7 3 3 6 7 4 6 , 2 0 0 5 .

[ 1 1 9 ] M E N Z E L , T . , W E I D E , T . , S T A U D A C H E R , O . , e t a l . , R e y n o l d s s h e a r s t r e s s

m o d e l i n g o f b u b b l e c o l u m n r e a c t o r s , I n d u s t r i a l a n d E n g i n e e r i n g C h e m i s -

t r y R e s e a r c h , v . 2 9 , p p . 9 8 8 9 9 4 , 1 9 9 0 .

[ 1 2 0 ] D E V A N A T H A N , N . , M O S L E M I A N , D . , D U D U K O V I C , M . P . , F l o w m a p -

p i n g i n b u b b l e c o l u m n s u s i n g C A R P T , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g S c i e n c e ,

v . 4 5 , p p . 2 2 8 5 2 2 9 1 , 1 9 9 0 .

[ 1 2 1 ] C H E N , J . , K E M O U N , A . , A L - D A H H A N , M . H . , e t a l . , C o m p a r a t i v e h y -

d r o d y n a m i c s s t u d y i n a b u b b l e c o l u m n u s i n g c o m p u t e r - a u t o m a t e d r a d i o -

a c t i v e p a r t i c l e t r a c k i n g ( C A R P T ) / c o m p u t e d t o m o g r a p h y ( C T ) a n d p a r -

t i c l e i m a g e v e l o c i m e t r y ( P I V ) , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g S c i e n c e , v . 5 4 , n .

1 3 - 1 4 , p p . 2 1 9 9 2 2 0 7 , 1 9 9 9 .

[ 1 2 2 ] K U L K A R N I , A . A . , T r a n s p o r t p h e n o m e n a a n d n o n - l i n e a r d y n a m i c s i n m u l -

t i p h a s e s y s t e m s , P h . D . T h e s i s , U n i v e r s i t y o f M u m b a i , I n d i a , 2 0 0 3 .

[ 1 2 3 ] K R I S H N A , R . , U R S E A N U , M . I . , V A N B A T E N , J . M . , e t a l . , R i s e v e l o c i t y

o f a s w a r m o f l a r g e g a s b u b b l e s i n l i q u i d s , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g S c i e n c e ,

v . 5 4 , p p . 1 7 1 1 8 3 , 1 9 9 9 .

[ 1 2 4 ] K R I S H N A , R . , V A N B A T E N , J . M . , U R S E A N U , M . I . , T h r e e - p h a s e E u l e r i a n

s i m u l a t i o n s o f b u b b l e c o l u m n r e a c t o r s o p e r a t i n g i n t h e c h u r n - t u r b u l e n t r e -

g i m e : a s c a l e u p s t r a t e g y , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g S c i e n c e , v . 5 5 , p p . 3 2 7 5

3 2 8 6 , 2 0 0 0 .




[ 1 2 5 ] V A N B A T E N , J . M . , K R I S H N A , R . , E u l e r i a n s i m u l a t i o n s f o r d e t e r m i n a t i o n

o f t h e a x i a l d i s p e r s i o n o f l i q u i d a n d g a s p h a s e s i n b u b b l e c o l u m n s o p e r a -

t i n g i n t h e c h u r n t u r b u l e n t r e g i m e , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g S c i e n c e , v . 5 6 ,

p p . 5 0 3 5 1 2 , 2 0 0 1 .

[ 1 2 6 ] K R I S H N A , R . , E L L E N B E R G E R , J . , H E N N E P H O F , D . E . , A n a l o g o u s d e s -

c r i p t i o n o f g a s - s o l i d u i d i z e d b e d s a n d b u b b l e c o l u m n s , C h e m i c a l E n g i -

n e e r i n g J o u r n a l , v . 5 3 , p p . 8 9 1 0 1 , 1 9 9 3 .

[ 1 2 7 ] E L L E N B E R G E R , J . , K R I S H N A , R . , A u n i e d a p p r o a c h t o t h e s c a l e u p o f

g a s s o l i d u i d i z e d a n d g a s - l i q u i d b u b b l e c o l u m n r e a c t o r s , C h e m i c a l E n -

g i n e e r i n g S c i e n c e , v . 4 9 , p p . 5 3 9 1 5 4 1 1 , 1 9 9 4 .

[ 1 2 8 ] H A R M A T H Y , T . J . , V e l o c i t y o f l a r g e d r o p s a n d b u b b l e s i n m e d i a o f i n n i t e

o r r e s t r i c t e d e x t e n t , A I C h E J o u r n a l , v . 6 , n . 2 , p p . 2 8 1 2 8 8 , 1 9 6 0 .

[ 1 2 9 ] M E N D E L S O N , H . D . , T h e p r e d i c t i o n o f b u b b l e t e r m i n a l v e l o c i t i e s f r o m w a v e

t h e o r y , A I C h E J o u r n a l , v . 1 3 , p p . 2 5 0 2 5 3 , 1 9 6 7 .

[ 1 3 0 ] D A V I E S , R . M . , T A Y L O R , G . I . , T h e m e c h a n i c s o f l a r g e b u b b l e s r i s i n g t h -

r o u g h e x t e n d e d l i q u i d s a n d t h r o u g h l i q u i d s i n t u b e s , P r o c e e d i n g s o f t h e

R o y a l S o c i e t y o f L o n d o n , v . A 2 0 0 , p p . 3 7 5 3 9 0 , 1 9 5 0 .

[ 1 3 1 ] C O L L I N S , R . , T h e e e c t o f a c o n t a i n i n g c y l i n d r i c a l b o u n d a r y o n t h e v e l o c i t y

o f a l a r g e g a s b u b b l e i n a l i q u i d , J o u r n a l o f F l u i d M e c h a n i c s , v . 2 8 ,

p p . 9 7 1 1 2 , 1 9 6 7 .

[ 1 3 2 ] K R I S H N A , R . , E L L E N B E R G E R , J . , G a s h o l d - u p i n b u b b l e c o l u m n r e a c t o r s

o p e r a t i n g i n t h e c h u r n - t u r b u l e n t o w r e g i m e , A I C h E J o u r n a l , v . 4 2 ,

p p . 2 6 2 7 2 6 3 4 , 1 9 9 6 .

[ 1 3 3 ] K R I S H N A , R . , D E S W A R T , J . W . A . , E L L E N B E R G E R , J . , e t a l . , G a s h o l d -

u p i n s l u r r y b u b b l e c o l u m n s , A I C h E J o u r n a l , v . 4 3 , p p . 3 1 1 3 1 6 , 1 9 9 7 .




[ 1 3 4 ] H U L B U R T , H . , K A T Z , S . , S o m e p r o b l e m s i n p a r t i c l e t e c h n o l o g y . A s t a t i s t i c a l

m e c h a n i c a l f o r m u l a t i o n , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g S c i e n c e , v . 1 9 , p p . 5 5 5

5 7 4 , 1 9 6 4 .

[ 1 3 5 ] V A L E N T A S , K . J . , A M U N D S O N , A . R . , B r e a k a g e a n d c o a l e s c e n c e i n d i s p e r -

s e d p h a s e s y s t e m s , I n d u s t r i a l a n d E n g i n e e r i n g C h e m i s t r y : F u n d a m e n t a l s ,

v . 5 , n . 4 , p p . 5 3 3 5 4 2 , 1 9 6 6 .

[ 1 3 6 ] S M O L U C H O W S K I , M . , D r e i V o r t r ä g e ü b e r D i u s i o n , B r o w n s c h e M o l e k u -

l a r b e w e g u n g u n d K o a g u l a t i o n v o n K o l l o i d t e i l c h e n , P h y s . Z e i t c h r . , v . 1 7 ,

p p . 5 8 5 5 9 9 , 1 9 1 6 .

[ 1 3 7 ] S M O L U C H O W S K I , V e r s u c h e i n e r m a t h e m a t i s c h e n T h e o r i e d e r K o a g u l a t i o n -

k i n e t i k k o l l o i d e r L ö s u n g e n , Z e i t s c h r i f t f u r P h y s i k a l i s c h e C h e m i e , v . 9 2 ,

p p . 1 2 9 1 6 8 , 1 9 1 7 .

[ 1 3 8 ] R A N D O L P H , A . D . , L A R S O N , M . A . , T h e o r y o f P a r t i c u l a t e P r o c e s s e s . 2 n d

e d . A c a d e m i c P r e s s : N o v a Y o r k , E U A , 1 9 8 8 .

[ 1 3 9 ] M A N T Z A R I S , N . V . , A c e l l p o p u l a t i o n b a l a n c e m o d e l d e s c r i b i n g p o s i t i v e f e -

e d b a c k l o o p e x p r e s s i o n d y n a m i c s , C o m p u t e r s a n d C h e m i c a l E n g i n e e r i n g ,

v . 2 9 , n . 4 , p p . 8 9 7 9 0 9 , 2 0 0 5 .

[ 1 4 0 ] S C H W A R Z E R A , H . - C . , S C H W E R T F I R M B , F . , M A N H A R T B , M . , e t a l . ,

P r e d i c t i v e s i m u l a t i o n o f n a n o p a r t i c l e p r e c i p i t a t i o n b a s e d o n t h e p o p u l a -

t i o n b a l a n c e e q u a t i o n , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g S c i e n c e , v . 6 1 , n . 1 , p p . 1 6 7

1 8 1 , 2 0 0 6 .

[ 1 4 1 ] S M A G A L A A , T . G . , M C C O Y , B . J . , P o p u l a t i o n b a l a n c e m o d e l i n g o f p o l y m e r

b r a n c h i n g a n d h y p e r b r a n c h i n g , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g S c i e n c e , v . 6 1 , n . 1 ,

p p . 3 1 7 , 2 0 0 6 .

[ 1 4 2 ] N E R E , N . K . , R A M K R I S H N A , D . , S o l u t i o n o f p o p u l a t i o n b a l a n c e e q u a t i o n

w i t h p u r e a g g r e g a t i o n i n a f u l l y d e v e l o p e d t u r b u l e n t p i p e o w , C h e m i c a l

E n g i n e e r i n g S c i e n c e , v . 6 1 , n . 1 , p p . 9 6 1 0 3 , 2 0 0 6 .




[ 1 4 3 ] H A R P E R , W . R . , A n e x a c t t h e o r y o f t h e c o a g u l a t i o n o f s p h e r i c a l p a r t i c l e s

a r i s i n g f r o m t h e r m a l a g i t a t i o n , T r a n s a c t i o n o f F a r a d a y S o c i e t y , v . 3 2 ,

p p . 1 1 3 9 1 1 4 4 , 1 9 3 6 .

[ 1 4 4 ] H O W A R T H , W . J . , C o a l e s c e n c e o f d r o p s i n a t u r b u l e n t o w e l d , C h e m i c a l

E n g i n e e r i n g S c i e n c e , v . 1 9 , n . 1 , p p . 3 3 3 8 , 1 9 6 4 .

[ 1 4 5 ] C O U L A L O G L O U , C . A . , T A V L A R I D E S , L . L . , D e s c r i p t i o n o f i n t e r a c t i o n

p r o c e s s e s i n a g i t a t e d l i q u i d - l i q u i d d i s p e r s i o n s , C h e m i c a l e n g i n e e r i n g S c i -

e n c e , v . 3 2 , p p . 1 2 8 9 1 2 9 7 , 1 9 7 7 .

[ 1 4 6 ] P A R I C H A Y , K . D . , K U M A R , R . , R A M K R I S H N A , D . , C o a l e s c e n c e o f d r o p s

i n s t i r r e d d i s p e r s i o n . A w h i t e n o i s e m o d e l f o r c o a l e s c e n c e , C h e m i c a l E n -

g i n e e r i n g S c i e n c e , v . 4 2 , n . 2 , p p . 2 1 3 2 2 0 , 1 9 8 7 .

[ 1 4 7 ] L I U , L . X . , L I T S T E R , J . D . , I V E S O N , S . M . , e t a l . , C o a l e s c e n c e o f D e f o r m a -

b l e G r a n u l e s i n W e t G r a n u l a t i o n P r o c e s s e s , A I C h E J o u r n a l , v . 4 6 , n . 3 ,

p p . 5 2 9 5 3 9 , 2 0 0 0 .

[ 1 4 8 ] C A M P B E L L , G . M . , W E B B , C . , O n p r e d i c t i n g r o l l e r m i l l i n g p e r f o r m a n c e :

P a r t I : t h e b r e a k a g e e q u a t i o n , P o w d e r T e c h n o l o g y , v . 1 1 5 , n . 3 , p p . 2 3 4

2 4 2 , 2 0 0 1 .

[ 1 4 9 ] C A M P B E L L , G . M . , B U N N , P . J . , W E B B , C . , e t a l . , O n p r e d i c t i n g r o l l e r

m i l l i n g p e r f o r m a n c e : P a r t I I . T h e b r e a k a g e f u n c t i o n , P o w d e r T e c h n o l o g y ,

v . 1 1 5 , n . 3 , p p . 2 4 3 2 5 5 , 2 0 0 1 .

[ 1 5 0 ] D A V I S , O n t h e s t a t i s t i c s o f r a m d o m l y b r o k e n o b j e c t s , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g

S c i e n c e , v . 4 4 , n . 9 , p p . 1 7 9 9 1 8 0 5 , 1 9 8 9 .

[ 1 5 1 ] H I N Z E , J . O . , F u n d a m e n t a l s o f t h e h y d r o d y n a m i c m e c h a n i s m o f s p l i t t i n g i n

d i s p e r s i o n s p r o c e s s e s , A I C h E J o u r n a l , v . 1 , n . 3 , p p . 2 8 9 2 9 5 , 1 9 5 5 .

[ 1 5 2 ] S H I N N A R , R . , O n t h e b e h a v i o r o f l i q u i d d i s p e r s i o n s i n m i x i n g v e s s e l s , J o u r -

n a l o f F l u i d M e c h a n i c s , v . 1 0 , p p . 2 5 9 2 7 5 , 1 9 6 1 .




[ 1 5 3 ] N A R S I M H A N , G . , G U P T A , J . P . , R A M K R I S H N A . D . , A m o d e l f o r t r a n s i -

t i o n a l b r e a k a g e p r o b a b i l i t y o f d r o p l e t s i n a g i t a t e d l e a n l i q u i d - l i q u i d d i s -

p e r s i o n s , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g S c i e n c e , v . 3 4 , n . 2 , p p . 2 5 7 2 6 5 , 1 9 7 9 .

[ 1 5 4 ] T S O U R I S , C . , T A V L A R I D E S , L . L . , B r e a k a g e a n d c o a l e s c e n c e m o d e l s f o r

d r o p s i n t u r b u l e n t d i s p e r s i o n s , A I C h E J o u r n a l , v . 4 0 , p p . 3 9 5 4 0 6 , 1 9 9 4 .

[ 1 5 5 ] L U O , H . , S V E N D S E N , H . F . , T h e o r e t i c a l m o d e l f o r d r o p a n d b u b b l e b r e a k u p

i n t u r b u l e n t d i s p e r s i o n s , A I C h E J o u r n a l , v . 4 2 , n . 5 , p p . 1 2 2 5 1 2 3 3 , 1 9 9 6 .

[ 1 5 6 ] V I G I L , R . D . , Z I F F , R . M . , O n t h e s t a b i l i t y o f c o a g u l a t i o n - f r a g m e n t a t i o n

p o p u l a t i o n b a l a n c e s , J o u r n a l o f C o l l o i d a n d I n t e r f a c e S c i e n c e , v . 1 3 3 ,

n . 1 , p p . 2 5 7 2 6 4 , 1 9 8 9 .

[ 1 5 7 ] P A T I L , D . P . , A N D R E W S , J . R . G . , A n a n a l y t i c a l s o l u t i o n t o c o n t i n u o u s

p o p u l a t i o n b a l a n c e m o d e l d e s c r i b i n g o c c o a l e s c e n c e a n d b r e a k a g e - A

s p e c i a l c a s e , C h e m i c l a E n g i n e e r i n g S c i e n c e , v . 5 3 , n . 3 , p p . 5 9 9 6 0 1 ,

1 9 9 8 .

[ 1 5 8 ] L A G E , P . L . C . , C o m m e n t s o n t h e A n a n a l y t i c a l s o l u t i o n t o t h e p o p u l a t i o n

b a l a n c e e q u a t i o n w i t h c o a l e s c e n c e a n d b r e a k a g e t h e s p e c i a l c a s e w i t h

c o n s t a n t n u m b e r o f p a r t i c l e s b y D . P . P a t i l a n d J . R . G . A n d r e w s [ C h e m i -

c a l E n g i n e e r i n g S c i e n c e 5 3 ( 3 ) 5 9 9 6 0 1 ] , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g S c i e n c e ,

v . 5 7 , n . 5 7 , p p . 4 2 5 3 4 2 5 4 , 2 0 0 2 .

[ 1 5 9 ] D I E M E R , R . B . , O L S O N , J . H . , A m o m e n t m e t h o d o l o g y f o r c o a g u l a t i o n

a n d b r e a k a g e p r o b l e m s : P a r t 1 a n a l y t i c a l s o l u t i o n o f t h e s t e a d y - s t a t e

p o p u l a t i o n b a l a n c e , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g S c i e n c e , v . 5 7 , p p . 2 1 9 3 2 2 0 9 ,

2 0 0 2 .

[ 1 6 0 ] M C C O Y , B . J . , M A D R A S , G . , A n a l y t i c a l s o l u t i o n f o r a p o p u l a t i o n b a l a n c e

e q u a t i o n w i t h a g g r e g a t i o n a n d f r a g m e n t a t i o n , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g S c i -

e n c e , v . 5 8 , p p . 3 0 4 9 3 0 5 1 , 2 0 0 3 .




[ 1 6 1 ] R A M K R I S H N A , D . , B O R W A N K E R , J . D . , A p u r i s t i c a n a l y s i s o f p o p u l a t i o n

b a l a n c e I , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g S c i e n c e , v . 2 8 , n . 7 , p p . 1 4 2 3 1 4 3 5 ,

1 9 7 3 .

[ 1 6 2 ] R A M K R I S H N A , D . , B O R W A N K E R , J . D . , A p u r i s t i c a n a l y s i s o f p o p u l a t i o n

b a l a n c e I I , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g S c i e n c e , v . 2 9 , n . 8 , p p . 1 7 1 1 1 7 2 1 ,

1 9 7 4 .

[ 1 6 3 ] S H A H , B . H . , R A M K R I S H N A , D . , B O R W A N K E R , J . , S i m u l a t i o n o f p a r t i -

c u l a t e s y s t e m s u s i n g t h e c o n c e p t o f t h e i n t e r v a l o f q u i e s c e n c e , A I C h E

J o u r n a l , v . 2 3 , p p . 8 9 7 9 0 4 , 1 9 7 7 .

[ 1 6 4 ] K E N D A L L , D . , S t o c h a s t i c P r o c e s s e s a n d P o p u l a t i o n G r o w t h , J o u r n a l o f t h e

R o y a l S t a t i s t i c a l S o c i e t y . S e r i e s B , v . 1 1 , p p . 2 3 0 2 8 2 , 1 9 4 9 .

[ 1 6 5 ] S W E E T , I . R . , G U S T A F S O N , S . S . , R A M K R I S H N A , D . , P o p u l a t i o n B a l a n c e

M o d e l l i i n g o f B u b b l i n g F l u i d i z e d B e d R e a c t o r s - I . W e l l - s t i r r e d d e n s e

p h a s e , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g S c i e n c e , v . 4 2 , n . 2 , p p . 3 4 1 3 5 1 , 1 9 8 7 .

[ 1 6 6 ] D A S , P . K . , M o n t e C a r l o s i m u l a t i o n o f d r o p b r e a k a g e o n t h e b a s i s o f d r o p

v o l u m e , C o m p u t e r a n d C h e m i c a l E n g i n e e r i n g , v . 2 0 , n . 3 , p p . 3 0 7 3 1 3 ,

1 9 9 6 .

[ 1 6 7 ] G O O D S O N , M . , K R A F T , M . , S i m u l a t i o n o f c o a l e s c e n c e a n d b r e a k a g e : a n

a s s e s s m e n t o f t w o s t o c h a s t i c m e t h o d s s u i t a b l e f o r s i m u l a t i n g l i q u i d - l i q u i d

e x t r a c t i o n , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g S c i e n c e , v . 5 9 , p p . 3 8 6 5 3 8 8 1 , 2 0 0 4 .

[ 1 6 8 ] Z H A O , H . , M A I S E L S , A . , M A T S O U K A S , T . , e t a l . , A n a l y s i s o f f o u r M o n t e

C a r l o m e t h o d s f o r t h e s o l u t i o n o f p o p u l a t i o n b a l a n c e s i n d i s p e r s e d s y s -

t e m s , P o w d e r T e c h n o l o g y , v . 1 7 3 , p p . 3 8 5 0 , 2 0 0 7 .

[ 1 6 9 ] I R I Z A R R Y , R . , F a s t M o n t e C a r l o m e t h o d o l o g y f o r m u l t i v a r i a t e p a r t i c u l a t e

s y s t e m s - I : P o i n t e n s e m b l e M o n t e C a r l o , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g S c i e n c e ,

v . 6 3 , p p . 9 5 1 1 0 , 2 0 0 8 .




[ 1 7 0 ] I R I Z A R R Y , R . , F a s t M o n t e C a r l o m e t h o d o l o g y f o r m u l t i v a r i a t e p a r t i c u l a t e

s y s t e m s - I I : τ

- P E M C , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g S c i e n c e , v . 6 3 , p p . 1 1 1 1 2 1 ,

2 0 0 8 .

[ 1 7 1 ] B H A T I A , S . K . , C H A K R A B O R T Y , D . , M o d i e d M W R a p p r o a c h : A p p l i c a -

t i o n t o a g g l o m e r a t i v e p r e c i p i t a t i o n , A I C h E J o u r n a l , v . 3 8 , n . 6 , p p . 8 6 8

8 7 8 , 1 9 9 2 .

[ 1 7 2 ] G E L B A R D , F . , S E I N F E L D , J . H . , N u m e r i c a l s o l u t i o n o f t h e d y n a m i c e q u a -

t i o n f o r p a r t i c u l a t e s y s t e m s , J o u r n a l o f C o m p u t a t i o n a l P h y s i c s , v . 2 8 ,

p p . 3 5 7 3 7 5 , 1 9 7 8 .

[ 1 7 3 ] E Y R E , D . , W R I G H T , C . J . , R E U T E R , G . , S p l i n e - c o l l o c a t i o n w i t h a d a p t a t i v e

m e s h g r a d i n g f o r s o l v i n g t h e s t h o c a s t i c c o l l e c t i o n e q u a t i o n , J o u r n a l o f

C o m p u t a t i o n a l P h y s i c s , v . 7 8 , p p . 2 8 8 3 0 4 , 1 9 8 8 .

[ 1 7 4 ] N I C M A N I S , M . , H O U N S L O W , M . J . , F i n i t e - e l e m e n t m e t h o d s f o r s t e a d y -

s t a t e p o p u l a t i o n b a l a n c e e q u a t i o n s , A I C h E J o u r n a l , v . 4 4 , p p . 2 2 5 8

2 2 7 2 , 1 9 9 8 .

[ 1 7 5 ] L I U , Y . , C A M E R O N , I . T . , A n e w w a v e l e t - b a s e d m e t h o d f o r t h e s o l u t i o n

o f t h e p o p u l a t i o n b a l a n c e e q u a t i o n , C h e m i c a l E n g i n e r i n g S c i e n c e , v . 5 6 ,

p p . 5 2 8 3 5 2 9 4 , 2 0 0 1 .

[ 1 7 6 ] M A H O N E Y , A . W . , R A M K R I S H N A , D . , E c i e n t s o l u t i o n o f p o p u l a t i o n

b a l a n c e e q u a t i o n w i t h d i s c o n t i n u i t i e s b y n i t e e l e m e n t s , C h e m i c a l E n g i -

n e e r i n g S c i e n c e , v . 5 7 , p p . 1 1 0 7 1 1 1 9 , 2 0 0 2 .

[ 1 7 7 ] R I G O P O U L O S , S . , J O N E S , A . G . , F i n i t e - E l e m e n t S c h e m e f o r S o l u t i o n o f

t h e D y n a m i c P o p u l a t i o n B a l a n c e E q u a t i o n , A I C h E J o u r n a l , v . 4 9 , n . 5 ,

p p . 1 1 2 7 1 1 3 9 , 2 0 0 3 .

[ 1 7 8 ] D O R A O , C . A . , J A K O B S E N , H . A . , A p p l i c a t i o n o f t h e l e a s t s q u a r e m e t h o d

t o p o p u l a t i o n b a l a n c e p r o b l e m s , C o m p u t e r s a n d C h e m i c a l E n g i n e e r i n g ,

v . 3 0 , n . 3 , p p . 5 3 5 5 4 7 , 2 0 0 6 .




[ 1 7 9 ] D O R A O , C . A . , J A K O B S E N , H . A . , A p p l i c a t i o n o f t h e l e a s t s q u a r e m e t h o d

f o r s o l v i n g p o p u l a t i o n b a l a n c e p r o b l e m s i n Rd+1

, C h e m i c a l E n g i n e e r i n g

S c i e n c e , v . 6 1 , n . 1 5 , p p . 5 0 7 0 5 0 8 1 , 2 0 0 6 .

[ 1 8 0 ] D O R A O , C . A . , J A K O B S E N , H . A . , L e a s t - s q u a r e s s p e c t r a l m e t h o d f o r s o l -

v i n g a d v e c t i v e p o p u l a t i o n b a l a n c e p r o b l e m s , J o u r n a l o f C o m p u t a t i o n a l

a n d A p p l i e d M a t h e m a t i c s , v . 2 0 1 , n . 1 , p p . 2 4 7 2 5 7 , 2 0 0 7 .

[ 1 8 1 ] D O R A O , C . A . , J A K O B S E N , H . A . , T i m e - s p a c e - p r o p e r t y l e a s t s q u a r e s s p e c -

t r a l m e t h o d f o r p o p u l a t i o n b a l a n c e p r o b l e m s , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g S c i -

e n c e , v . 6 2 , n . 5 , p p . 1 3 2 3 1 3 3 3 , 2 0 0 7 .

[ 1 8 2 ] P I N T O , J . C . , L A G E , P . L . C . , M é t o d o s N u m é r i c o s e m P r o b l e m a s d e E n g e -

n h a r i a Q u í m i c a . E - p a p e r s : B r a s i l , R J , 2 0 0 1 .

[ 1 8 3 ] K O S T O G L O U , M . , K A R A B E L A S , A . J . , E v a l u a t i o n o f z e r o o r d e r m e t h o d s

f o r s i m u l a t i n g p a r t i c l e c o a g u l a t i o n , J o u r n a l o f C o l l o i d a n d I n t e r f a c e S c i -

e n c e , v . 1 6 3 , p p . 4 2 0 4 3 1 , 1 9 9 4 .

[ 1 8 4 ] K U M A R , S . , R A M K R I S H N A , D . , O n t h e s o l u t i o n o f p o p u l a t i o n b a l a n c e

e q u a t i o n s b y d i s c r e t i z a t i o n - I . a x e d p i v o t t e c h n i q u e , C h e m i c a l E n g i -

n e e r i n g S c i e n c e , v . 5 1 , n . 8 , p p . 1 3 1 1 1 3 3 2 , 1 9 9 6 .

[ 1 8 5 ] H O U N S L O W , M . J . , R Y A L L , R . L . , M A R S H A L L , V . R . , A d i s c r e t i z e d p o p u -

l a t i o n b a l a n c e f o r n u c l e a t i o n , g r o w t h a n d a g g r e g a t i o n , A I C h E J o u r n a l ,

v . 3 4 , n . 1 1 , p p . 1 8 2 1 1 8 3 2 , 1 9 8 8 .

[ 1 8 6 ] L I S T E R , J . D . , S M I T H , D . J . , H O U N S L O W , M . J . , A d j u s t a b l e d i s c r e t i z e d

p o p u l a t i o n b a l a n c e f o r g r o w t h a n d a g g r e g a t i o n , A I C h E J o u r n a l , v . 4 1 ,

n . 3 , p p . 5 9 1 6 0 3 , 1 9 9 5 .

[ 1 8 7 ] H I L L , P . , N G , K . , N e w d i s c r e t i s a t i o n p r o c e d u r e f o r t h e b r e a k a g e e q u a t i o n ,

A I C h E J o u r n a l , v . 4 1 , n . 5 , p p . 1 2 0 4 1 2 1 6 , 1 9 9 5 .




[ 1 8 8 ] W Y N N , E . J . W . , S i m u l a t i n g A g g r e g a t i o n a n d R e a c t i o n : N e w H o u n s l o w D P B

a n d F o u r - P a r a m e t e r S u m m a r y , A I C h E J o u r n a l , v . 5 0 , n . 3 , p p . 5 7 8

5 8 8 , 2 0 0 4 .

[ 1 8 9 ] A L E X O P O U L O S , A . H . , R O U S S O S , A . I . , K I P A R I S S I D E S , C . , P a r t I : d y -

n a m i c e v o l u t i o n o f t h e p a r t i c l e s i z e d i s t r i b u t i o n i n p a r t i c u l a t e p r o c e s s e s

u n d e r g o i n g c o m b i n e d p a r t i c l e g r o w t h a n d a g g r e g a t i o n , C h e m i c a l E n g i -


[ 1 9 0 ] A L E X O P O U L O S , A . H . , R O U S S O S , A . I . , K I P A R I S S I D E S , C . , P a r t I I : d y -

n a m i c e v o l u t i o n o f t h e p a r t i c l e s i z e d i s t r i b u t i o n i n p a r t i c u l a t e p r o c e s s e s

u n d e r g o i n g p a r t i c l e n u c l e a t i o n , g r o w t h a n d a g g r e g a t i o n , C h e m i c a l E n g i -


[ 1 9 1 ] K U M A R , J . , P E G L O W , M . , W A R N E C K E , G . , e t a l . , I m p r o v e d a c c u r a c y

a n d c o n v e r g e n c e o f d i s c r e t i z e d p o p u l a t i o n b a l a n c e f o r a g g r e g a t i o n : T h e

c e l l a v e r a g e t e c h n i q u e , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g S c i e n c e , v . 6 1 , p p . 3 3 2 7

3 3 4 2 , 2 0 0 6 .

[ 1 9 2 ] K U M A R , J . , P E G L O W , M . , W A R N E C K E , G . , e t a l . , T h e c e l l a v e r a g e t e c h -

n i q u e f o r s o l v i n g m u l t i - d i m e n s i o n a l a g g r e g a t i o n p o p u l a t i o n b a l a n c e e q u a -

t i o n s , N o p r e l o d o i : 1 0 . 1 0 1 6 / j . c o m p c h e m e n g . 2 0 0 7 . 1 0 . 0 0 1 , 2 0 0 7 .

[ 1 9 3 ] V A N N I , M . , A p p r o x i m a t e p o p u l a t i o n b a l a n c e e q u a t i o n s f o r a g g r e g a t i o n -

b r e a k a g e p r o c e s s e s , J o u r n a l o f C o l l o i d a n d I n t e r f a c e S c i e n c e , v . 2 2 1 ,

p p . 1 4 3 1 6 0 , 2 0 0 0 .

[ 1 9 4 ] B A T T E R H A M , R . J . , H A L L , J . S . , B A R T O N , G . , P e l l e t i z i n g k i n e t i c s a n d

s i m u l a t i o n o f f u l l - s c a l e b a l l i n g c i r c u i t s . I n : 3 r d I n t e r n a t i o n a l S y m p o s i u m

o n A g g l o m e r a t i o n , v . A 1 3 6 , N ü r n b e r g , A l e m a n h a , 1 9 8 1 .

[ 1 9 5 ] G E L B A R D , F . , T A M B O U R , Y . , S E I N F E L D , J . H . , S e c t i o n a l r e p r e s e n t a -

t i o n o f s i m u l a t i n g a e r o s o l d y n a m i c s , J o u r n a l o f C o l l o i d s a n d I n t e r f a c e

S c i e n c e , v . 7 6 , p p . 5 4 1 5 5 6 , 1 9 8 0 .




[ 1 9 6 ] M A R C H A L , P . , D A V I D , R . , K L E I N , J . P . , e t a l . , C r y s t a l l i z a t i o n a n d P r e -

c i p i t a t i o n E n g i n e e r i n g I . A n E c i e n t M e t h o d f o r S o l v i n g P o p u l a t i o n

B a l a n c e i n C r y s t a l l i z a t i o n a n d A g g l o m e r a t i o n , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g S c i -

e n c e , v . 4 3 , n . 1 , p p . 5 9 6 7 , 1 9 8 8 .

[ 1 9 7 ] V A N N I , M . , D i s c r e t i z a t i o n p r o c e d u r e f o r t h e b r e a k a g e e q u a t i o n , A I C h E

J o u r n a l , v . 4 5 , p p . 9 1 6 9 1 9 , 1 9 9 9 .


e q u a t i o n s b y d i s c r e t i z a t i o n - I I . a m o v i n g p i v o t t e c h n i q u e , C h e m i c a l E n -

g i n e e r i n g S c i e n c e , v . 5 1 , n . 8 , p p . 1 3 3 3 1 3 4 2 , 1 9 9 6 .

[ 1 9 9 ] A T T A R A K I H , M . M . , B A R T , H . J . , F A Q I R , N . M . , O p t i m a l m o v i n g a n d

x e d g r i d s f o r t h e s o l u t i o n o f d i s c r e t i z e d p o p u l a t i o n b a l a n c e i n b a t c h a n d

c o n t i n u o u s s y s t e m s : d r o p l e t b r e a k a g e , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g S c i e n c e ,

v . 5 8 , p p . 1 2 5 1 1 2 6 9 , 2 0 0 3 .

[ 2 0 0 ] N O P E N S , I . , B E H E Y D T , D . , V A N R O L L E G H E M , P . A . , C o m p a r i s o n a n d

p i t f a l l s o f d i e r e n t d i s c r e t i s e d s o l u t i o n m e t h o d s f o r p o p u l a t i o n b a l a n c e

m o d e l s : a s i m u l a t i o n s t u d y , C o m p u t e r s a n d C h e m i c a l E n g i n e e r i n g , v . 2 9 ,

p p . 3 6 7 3 7 7 , 2 0 0 5 .


e q u a t i o n s b y d i s c r e t i z a t i o n I I I . N u c l e a t i o n , g r o w t h a n d a g g r e g a t i o n o f

p a r t i c l e s , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g S c i e n c e , v . 5 2 , p p . 4 6 5 9 4 6 7 9 , 1 9 9 7 .

[ 2 0 2 ] L E E , G . , Y O O N , E . S . , L I M , Y . I . , e t a l . , A d a p t a t i v e m e s h m e t h o d f o r t h e

s i m u l a t i o n o f c r y s t a l l i z a t i o n p r o c e s s e s i n c l u d i n g a g g l o m e r a t i o n a n d b r e a -

k a g e : t h e p o t a s s u i m s u l f a t e s y s t e m , I n d u s t r i a l a n d E n g i n e e r i n g C h e m i s -

t r y R e s e a r c h , v . 4 0 , p p . 6 2 2 8 6 2 3 5 , 2 0 0 1 .

[ 2 0 3 ] H U A N G , W . , R E N , Y . , R U S S E L L , R . D . , M o v i n g M e s h M e t h o d s B a s e d o n

M o v i n g M e s h P a r t i a l D i e r e n t i a l E q u a t i o n s , J o u r n a l o f C o m p u t a t i o n a l

P h y s i c s , v . 1 1 3 , n . 2 , p p . 2 7 9 2 9 0 , 1 9 9 4 .




[ 2 0 4 ] H U , Q . , R O H A N I , S . , J U T A N . A . , N e w n u m e r i c a l m e t h o d f o r s o l v i n g t h e

d y n a m i c p o p u l a t i o n b a l a n c e e q u a t i o n s , A I C h E J o u r n a l , v . 5 1 , n . 1 1 ,

p p . 3 0 0 0 3 0 0 6 , 2 0 0 5 .

[ 2 0 5 ] F R I E D L A N D E R , S . K . , S m o k e , d u s t a n d h a z e . W i l e y : N o v a Y o r k , 1 9 7 7 .

[ 2 0 6 ] M C G R A W , R . , S A U N D E R S , J . H . , A c o n d e n s a t i o n f e e d b a c k m e c h a n i s m f o r

o s c i l l a t o r y n u c l e a t i o n a n d g r o w t h , A e r o s o l S c i e n c e a n d T e c h n o l o g y , v . 3 ,

p p . 3 6 7 3 8 0 , 1 9 8 4 .

[ 2 0 7 ] B A R R E T T , J . C . , J H E E T A , J . S . , I m p r o v i n g t h e a c c u r a c y o f t h e m o m e n t s

m e t h o d f o r s o l v i n g t h e a e r o s o l g e n e r a l d y n a m i c e q u a t i o n , J o u r n a l o f A e -

r o s o l S c i e n c e , v . 2 7 , n . 8 , p p . 1 1 3 5 1 1 4 2 , 1 9 9 6 .

[ 2 0 8 ] M C G R A W , R . , D e s c r i p t i o n o f t h e a e r o s o l d y n a m i c s b y t h e q u a d r a t u r e

m e t h o d o f m o m e n t s , A e r o s o l S c i e n c e a n d T e c h n o l o g y , v . 2 7 , p p . 2 5 5

2 6 5 , 1 9 9 7 .

[ 2 0 9 ] G O R D O N , R . G . , E r r o r b o u n d s i n e q u i l i b r i u m s t a t i s t i c a l m e c h a n i c s ,

A . I . C h . E . J o u r n a l , v . 9 , n . 5 , p p . 6 5 5 6 6 3 , 1 9 6 8 .

[ 2 1 0 ] M A R C H I S I O , D . L . , V I G I L , R . D . , F O X , R . O . , Q u a d r a t u r e m e t h o d o f m o -

m e n t s f o r a g g r e g a t i o n - b r e a k a g e p r o c e s s e s , J o u r n a l o f C o l l o i d a n d I n t e r -

f a c e S c i e n c e , v . 2 5 8 , p p . 3 2 2 3 3 4 , 2 0 0 3 .

[ 2 1 1 ] M A R C H I S I O , D . L . , F O X , R . O . , S o l u t i o n o f t h e p o p u l a t i o n b a l a n c e e q u a t i o n

u s i n g t h e d i r e c t q u a d r a t u r e m e t h o d o f m o m e n t s , J o u r n a l o f A e o r o s o l

S c i e n c e , v . 3 6 , p p . 4 3 7 3 , 2 0 0 5 .

[ 2 1 2 ] B O V E , S . , S O L B E R G , T . , H J E R T A G E R , B . H . , A n o v e l a l g o r i t h m f o r s o l v i n g

p o p u l a t i o n b a l a n c e e q u a t i o n s : T h e p a r a l l e l p a r e n t a n d d a u g h t e r c l a s s e s .

D e r i v a t i o n , a n a l y s i s a n d t e s t i n g , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g S c i e n c e , v . 6 0 ,

p p . 1 4 4 9 1 4 6 4 , 2 0 0 5 .

[ 2 1 3 ] W R I G H T , D . L . , M C G R A W , R . , R O S N E R , D . E . , B i v a r i a n t e x t e n s i o n o f t h e

q u a d r a t u r e m e t h o d o f m o m e n t s f o r m o d e l i n g s i m u l t a n e o u s c o a g u l a t i o n




a n d s i n t e r i n g o f p a r t i c l e p o p u l a t i o n s , J o u r n a l o f C o l l o i d a n d I n t e r f a c e

S c i e n c e , v . 2 3 6 , p p . 2 4 2 2 5 1 , 2 0 0 1 .

[ 2 1 4 ] M C G R A W , R . , W R I G H T , D . L . , C h e m i c a l l y r e s o l v e d a e r o s o l d y n a m i c s f o r

i n t e r n a l m i x t u r e s b y t h e q u a d r a t u r e m e t h o d o f m o m e n t s , J o u r n a l o f A e -

r o s o l S c i e n c e , v . 3 4 , p p . 1 8 9 2 0 9 , 2 0 0 3 .

[ 2 1 5 ] Y O O N , C . , M C G R A W , R . , R e p r e s e n t a t i o n o f g e n e r a l l y m i x e d m u l t i v a r i a t e

a e r o s o l s b y t h e q u a d r a t u r e m e t h o d o f m o m e n t s : I . S t a t i s t i c a l f o u n d a t i o n ,

J o u r n a l o f A e r o s o l S c i e n c e , v . 3 5 , p p . 5 6 1 5 7 6 , 2 0 0 4 .

[ 2 1 6 ] Y O O N , C . , M C G R A W , R . , R e p r e s e n t a t i o n o f g e n e r a l l y m i x e d m u l t i v a r i a t e

a e r o s o l s b y t h e q u a d r a t u r e m e t h o d o f m o m e n t s : I I . A e r o s o l d y n a m i c s ,

J o u r n a l o f A e r o s o l S c i e n c e , v . 3 5 , p p . 5 7 7 5 9 8 , 2 0 0 4 .

[ 2 1 7 ] J O H N S O N , R . A . , W I C H E R N , D . W . , A p p l i e d m u l t i v a r i a t e s t a t i s t i c a l a n a l y -

s i s . P r e n t i c e - H a l l : U p p e r S a d d l e R i v e r , N J , 1 9 9 2 .

[ 2 1 8 ] D I A M A N T A R A S , K . I . , K U N G , S . Y . , P r i n c i p a l c o m p o n e n t n e u r a l n e t w o r k s :

T h e o r y a n d a p p l i c a t i o n s . W i l e y : N o v a Y o r k , 1 9 9 6 .

[ 2 1 9 ] F O X , R . O . , B i v a r i a t e d i r e c t q u a d r a t u r e m e t h o d o f m o m e n t s f o r c o a g u l a t i o n

a n d s i n t e r i n g o f p a r t i c l e p o p u l a t i o n s , J o u r n a l o f A e r o s o l S c i e n c e , v . 3 7 ,

n . 1 1 , p p . 1 5 6 2 1 5 8 0 , 2 0 0 6 .

[ 2 2 0 ] D I E M E R J R . , R . B . , O L S O N , J . H . , B i v a r i a t e m o m e n t m e t h o d s f o r s i m u l t a -

n e o u s c o a g u l a t i o n , c o a l e s c e n c e a n d b r e a k u p , J o u r n a l o f A e r o s o l S c i e n c e ,

v . 3 7 , n . 3 , p p . 3 6 3 3 8 5 , 2 0 0 6 .

[ 2 2 1 ] L O , S . , A p p l i c a t i o n o f t h e m u s i g m o d e l t o b u b b l y o w s , T e c h . R e p . A E A T - 1 0 9 6 ,

A E A T e c h n o l o g y , 1 9 9 6 .

[ 2 2 2 ] K R E P P E R , E . , L U C A S , D . , P R A S S E R , H . - M . , O n t h e m o d e l l i n g o f b u b b l y

o w i n v e r t i c a l p i p e s , N u c l e a r E n g i n e e r i n g a n d D e s i g n , v . 2 3 5 , p p . 5 9 7

6 1 1 , 2 0 0 5 .




[ 2 2 3 ] F R A N K , T . , Z W A R T , P . J . , S H I , J . - M . , e t a l . , I n h o m o g e n e o u s M U S I G M o d e l

- a P o p u l a t i o n B a l a n c e A p p r o a c h f o r P o l y d i s p e r s e d B u b b l y F l o w s . p p .

0 6 7 . 1 0 6 7 . 1 4 , B l e d , E s l o v ê n i a , 2 0 0 5 .

[ 2 2 4 ] F R A N K , T . , Z W A R T , P . J . , K R E P P E R , E . , e t a l . , V a l i d a t i o n o f C F D m o d e l s

f o r m o n o - a n d p o l y d i s p e r s e a i r - w a t e r t w o - p h a s e o w s i n p i p e s , N u c l e a r

E n g i n e e r i n g a n d D e s i g n , v . 2 3 8 , p p . 6 4 7 6 5 9 , 2 0 0 8 .

[ 2 2 5 ] A N S Y S I N C . , A N S Y S C F X - 1 1 . 0 U s e r M a n u a l , 2 0 0 7 .

[ 2 2 6 ] L A G E , P . L . C . , T h e q u a d r a t u r e m e t h o d o f m o m e n t s f o r c o n t i n u o u s t h e r -

m o d y n a m i c s , C o m p u t e r s a n d C h e m i c a l E n g i n e e r i n g , v . 3 1 , n . 7 , p p . 7 8 2

7 9 9 , 2 0 0 6 .

[ 2 2 7 ] O L M O S , E . , G E N T R I C , C . , V I A L , C . , e t a l . , N u m e r i c a l s i m u l a t i o n o f m u l -

t i p h a s e o w i n b u b b l e c o l u m n r e a c t o r s . I n u e n c e o f b u b b l e c o a l e s c e n e c

a n d b r e a k - u p , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g S c i e n c e , v . 5 6 , p p . 6 3 5 9 6 3 6 5 ,

2 0 0 1 .

[ 2 2 8 ] K U R U L , N . , P O D O W S K I , M . Z . , M u l t i - d i m e n s i o n a l e e c t s i n s u b - c o o l e d

b o i l i n g . I n : 9 t h h e a t t r a n s f e r c o n f e r e n c e , 1 9 9 0 .

[ 2 2 9 ] P R I N C E , M . J . , B L A N C H , H . W . , B u b b l e c o a l e s c e n c e a n d b r e a k u p i n a i r -

s p a r g e d b u b b l e c o l u m n s , A I C h E J o u r n a l , v . 3 6 , p p . 1 4 8 5 1 4 9 9 , 1 9 9 0 .

[ 2 3 0 ] O L M O S , E . , G E N T R I C , C . , M I D O U X , N . , N u m e r i c a l d e s c r i p t i o n o f o w r e -

g i m e t r a n s i t i o n s i n b u b b l e c o l u m n r e a c t o r s b y a m u l t i p l e g a s p h a s e m o d e l ,


[ 2 3 1 ] G I D A S P O W , D . , M u l t i p h a s e F l o w a n d F l u i d i z a t i o n . A c a d e m i c P r e s s : S a n

D i e g o , 1 9 9 4 .

[ 2 3 2 ] S C H I L L E R , L . , N A U M A N N , A . , Ü b e r d i e g r u n d l e g e n d e n b e r e c h u n g e n b e i

d e r s c h w e r k r a f t b e r e i t u n g , Z . V e r e i n s d e u t c h e r I n g . , v . 7 7 , n . 1 2 , p p . 3 1 8

3 2 0 , 1 9 3 3 .




[ 2 3 3 ] T C H E N , C . M . , M e a n v a l u e a n d c o r r e l a t i o n p r o b l e m s c o n n e c t e d w i t h t h e m o -

t i o n o f s m a l l p a r t i c l e s s u s p e n d e d i n a t u r b u l e n t u i d , P h . D . T h e s i s , T U

D e l f t , H o l a n d a , 1 9 4 7 .

[ 2 3 4 ] L U O , H . , C o a l e s c e n c e , b r e a k u p a n d l i q u i d c i r c u l a t i o n i n b u b b l e c o l u m n r e a c -

t o r s , P h . D . T h e s i s , U n i v e r s i t y o f T r o n d h e i m , T r o n d h e i m , N o r u e g a , 1 9 9 3 .

[ 2 3 5 ] K U M A R , S . B . , M O S L E M I A N , D . , D U D U K O V I C , M . P . , G a s - h o l d u p m e a s u -

r e m e n t s i n b u b b l e c o l u m n s u s i n g c o m p u t e d t o m o g r a p h y , A I C h E J o u r n a l ,

v . 4 3 , n . 6 , p p . 1 4 1 4 1 4 2 5 , 1 9 9 7 .

[ 2 3 6 ] C H E N , P . , S A N Y A L , J . , D U D U K O V I C , M . P . , N u m e r i c a l s i m u l a t i o n o f b u b -

b l e c o l u m n s o w s : e e c t o f d i e r e n t b r e a k u p a n d c o a l e s c e n c e c l o s u r e s ,


[ 2 3 7 ] M A R T Í N E Z - B A Z Á N , C . , M O N T A Ñ É S , J . L . , L A S H E R A S , J . C . , O n t h e

b r e a k u p o f a n a i r b u b b l e i n j e c t e d i n t o a f u l l y d e v e l o p e d t u r b u l e n t o w .

P a r t 1 . B r e a k u p f r e q u e n c y , J o u r n a l o f F l u i d M e c h a n i c s , v . 4 0 1 , p p . 1 5 7

1 8 2 , 1 9 9 9 .

[ 2 3 8 ] M A R T Í N E Z - B A Z Á N , C . , M O N T A Ñ É S , J . L . , L A S H E R A S , J . C . , O n t h e

b r e a k u p o f a n a i r b u b b l e i n j e c t e d i n t o a f u l l y d e v e l o p e d t u r b u l e n t o w .

P a r t 2 . S i z e P D F o f t h e r e s u l t i n g d a u g h t e r b u b b l e s , J o u r n a l o f F l u i d

M e c h a n i c s , v . 4 0 1 , p p . 1 8 3 2 0 7 , 1 9 9 9 .

[ 2 3 9 ] R I B E I R O J R . , C . P . , D e s e n v o l v i m e n t o d e u m P r o c e s s o C o m b i n a d o d e E v a p o -

r a ç ã o p o r C o n t a t o D i r e t o e P e r m e a ç ã o d e V a p o r p a r a T r a t a m e n t o d e S u -

c o s , P h . D . T h e s i s , U n i v e r s i d a d e F e d e r a l d o R i o d e J a n e i r o , P E Q / C O P P E ,

R J , B r a s i l , 2 0 0 5 .

[ 2 4 0 ] C H E N , P . , D U D U K O V I C , M . P . , S A N Y A L , J . , T h r e e - D i m e n s i o n a l S i m u l a -

t i o n o f B u b b l e C o l u m n F l o w s w i t h B u b b l e C o a l e s c e n c e a n d B r e a k u p ,

A I C h E J o u r n a l , v . 5 1 , n . 3 , p p . 6 9 6 7 1 2 , 2 0 0 5 .




[ 2 4 1 ] C H E N , J . , L I , F . , D E G A L E E S A N , S . , e t a l . , F l u i d d y n a m i c p a r a m e t e r s

i n b u b b l e c o l u m n s w i t h i n t e r n a l s , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g S c i e n c e , v . 5 4 ,

p p . 2 1 8 7 2 1 9 7 , 1 9 9 9 .

[ 2 4 2 ] O N G , B . , E x p e r i m e n t a l i n v e s t i g a t i o n o f b u b b l e c o l u m n h y d r o d y n a m i c s E e c t

o f e l e v a t e d p r e s s u r e a n d s u p e r c i a l g a s v e l o c i t y , P h . D . T h e s i s , W a s h i n g t o n

U n i v e r s i t y , S t . L o u i s , M O , 2 0 0 3 .

[ 2 4 3 ] S H A I K H , A . , R A D O S , N . , A L - D A H H A N , M . H . , P h a s e D i s t r i b u t i o n i n a

H i g h P r e s s u r e S l u r r y B u b b l e C o l u m n v i a C o m p u t e d T o m o g r a p h y . I n :

4 t h M i d d l e E a s t R e n i n g a n d P e t r o c h e m i c a l E x h i b i t i o n a n d C o n f e r e n c e ,

M a n a m a , B a h r a i n , 2 0 0 3 .

[ 2 4 4 ] S A F F M A N , P . G . , T U R N E R , J . S . , O n t h e c o l l i s i o n s o f d r o p s i n t u r b u l e n t

c l o u d s , J o u r n a l o f F l u i d M e c h a n i c s , v . 1 , p p . 1 6 3 0 , 1 9 5 6 .

[ 2 4 5 ] M A R C H I S I O , D . L . , V I G I L , R . D . , F O X , R . O . , I m p l e m e n t a t i o n o f t h e q u a -

d r a t u r e m e t h o d o f m o m e n t s i n C F D c o d e s f o r a g g r e g a t i o n - b r e a k a g e p r o -

b l e m s , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g S c i e n c e , v . 5 8 , p p . 3 3 3 7 3 3 5 1 , 2 0 0 3 .

[ 2 4 6 ] P R A T , O . P . , D U C O S T E , J . J . , M o d e l i n g s p a t i a l d i s t r i b u t i o n o f o c s i z e i n

t u r b u l e n t p r o c e s s e s u s i n g t h e q u a d r a t u r e m e t h o d o f m o m e n t a n d c o m p u -

t a t i o n a l u i d d y n a m i c s , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g S c i e n c e , v . 6 1 , p p . 7 5 8 6 ,

2 0 0 6 .

[ 2 4 7 ] A D L E R , P . , H e t e r o c o a g u l a t i o n i n s h e a r o w , J o u r n a l o f C o l l o i d s a n d I n t e r -

f a c e S c i e n c e , v . 8 3 , n . 1 , p p . 1 0 6 1 1 5 , 1 9 8 1 .

[ 2 4 8 ] K U S T E R S , K . A . , T h e i n u e n c e o f t u r b u l e n c e o n a g g r e g a t i o n o f s m a l l p a r t i c l e s

i n a g i t a t e d v e s s e l s , P h . D . T h e s i s , U n i v e r s i t y o f E i n d h o v e n , H o l a n d a , 1 9 9 1 .

[ 2 4 9 ] P R E S S , W . H . , F L A N N E R Y , B . P . , T E U K O L S K Y , S . A . , e t a l . , N u m e r i c a l

R e c i p e s T h e A r t o f S c i e n t i c C o m p u t i n g ( F O R T R A N v e r s i o n ) . C a m -

b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s : C a m b r i d g e , 1 9 9 0 .




[ 2 5 0 ] P R E S S , W . H . , T E U K O L S K Y , S . A . , O r t h o g o n a l p o l y n o m i a l s a n d g a u s -

s i a n q u a d r a t u r e w i t h n o n c l a s s i c a l w e i g h t s , C o m p u t e r s i n P h y s i c s , v . 4 ,

p p . 4 2 3 4 2 6 , 1 9 9 0 .

[ 2 5 1 ] F A N , R . , M A R C H I S I O , D . L . , F O X , R . O . , A p p l i c a t i o n o f t h e d i r e c t q u a d r a -

t u r e m e t h o d o f m o m e n t s t o p o l y d i s p e r s e g a s - s o l i d u i d i s e d b e d s , P o w d e r

T e c h n o l o g y , v . 1 3 9 , p p . 7 2 0 , 2 0 0 4 .

[ 2 5 2 ] P A T A N K A R , S . V . , S P A L D I N G , D . B . , A c a l c u l a t i o n p r o c e d u r e f o r h e a t ,

m a s s a n d m o m e n t u m t r a n s f e r i n t h r e e - d i m e n s i o n a l p a r a b o l i c o w s , I n t e r -

n a t i o n a l J o u r n a l o f H e a t a n d M a s s T r a n s f e r , v . 1 5 , n . 1 0 , p p . 1 7 8 7 1 8 0 6 ,

1 9 7 2 .

[ 2 5 3 ] S P A L D I N G , D . B . , N u m e r i c a l c o m p u t a t i o n o f m u l t i - p h a s e u i d o w a n d h e a t

t r a n s f e r , I n : R e c e n t A d v a n c e s i n N u m e r i c a l M e t h o d s i n F l u i d s , v . 1 , p p .

3 9 6 8 , P i n e r i d g e P r e s s , 1 9 8 0 .

[ 2 5 4 ] F A N , R . , F O X , R . O . , S e g r e g a t i o n i n p o l y d i s p e r s e u i d i z e d b e d s : V a l i d a t i o n

o f a m u l t i - u i d m o d e l , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g S c i e n c e , v . 6 3 , n . 1 , p p . 2 7 2

2 8 5 , 2 0 0 8 .

[ 2 5 5 ] G O L D S C H M I D T , M . J . V . , L I N K , J . M . , M E L L E M A , S . , e t a l . , D i g i t a l

i m a g e a n a l y s i s m e a s u r e m e n t s o f b e d e x p a n s i o n a n d s e g r e g a t i o n d y n a m i c s

i n d e n s e g a s - u i d i z e d b e d s , P o w d e r T e c h n o l o g y , v . 1 3 8 , p p . 1 3 5 1 5 9 ,

2 0 0 3 .

[ 2 5 6 ] D A H L , S . R . , H R E N Y A , C . M . , S i z e s e g r e g a t i o n i n g a s - s o l i d u i d i z e d b e d s

w i t h c o n t i n u o u s s i z e d i s t r i b u t i o n s , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g S c i e n c e , v . 6 0 ,

p p . 6 6 5 8 6 6 7 3 , 2 0 0 5 .

[ 2 5 7 ] Z U C C A A , A . , M A R C H I S I O , D . L . , B A R R E S I A , A . A . , e t a l . , I m p l e m e n t a -

t i o n o f t h e p o p u l a t i o n b a l a n c e e q u a t i o n i n C F D c o d e s f o r m o d e l l i n g s o o t

f o r m a t i o n i n t u r b u l e n t a m e s , C h e m i c a l E n g i n e e r i n g S c i e n c e , v . 6 1 , n . 1 ,

p p . 8 7 9 5 , 2 0 0 6 .




[ 2 5 8 ] F O X , R . , C o m p u t a t i o n a l m o d e l s f o r t u r b u l e n t r e a c t i n g o w s . C a m b r i d g e U n i -

v e r s i t y P r e s s , 2 0 0 3 .

[ 2 5 9 ] K E N T , J . H . , H O N N E R Y , D . , S o o t a n d m i x t u r e f r a c t i o n i n t u r b u l e n t d i f -

f u s i o n a m e s , C o m b u s t i o n S c i e n c e a n d T e c h n o l o g y , v . 5 4 , p p . 3 8 3 3 9 7 ,

1 9 8 7 .

[ 2 6 0 ] S I L V A , L . F . L . R . , D A M I A N , R . B . , L A G E , P . L . C . , I m p l e m e n -

t a t i o n a n d a n a l y s i s o f n u m e r i c a l s o l u t i o n o f t h e p o p u l a t i o n b a l a n c e

e q u a t i o n i n C F D p a c k a g e s , C o m p u t e r s a n d C h e m i c a l E n g i n e e r i n g ,

v . d o i : 1 0 . 1 0 1 6 / j . c o m p c h e m e n g . 2 0 0 8 . 0 3 . 0 0 7 , 2 0 0 8 .

[ 2 6 1 ] P A T A N K A R , S . V . , N u m e r i c a l H e a t T r a n s f e r a n d F l u i d F l o w . T a y l o r & F r a n -

c i s G r o u p : N o v a Y o r k , 1 9 8 0 .

[ 2 6 2 ] M A L I S K A , C . R . , T r a n s f e r ê n c i a d e C a l o r e M e c â n i c a d o s F l u i d o s C o m p u t a -

c i o n a l . 2 n d e d . L T C : R i o d e J a n e i r o , 2 0 0 4 .

[ 2 6 3 ] J A S A K , H . , E r r o r a n a l y s i s a n d e s t i m a t i o n f o r t h e n i t e v o l u m e m e t h o d w i t h

a p p l i c a t i o n s t o u i d o w s , P h . D . T h e s i s , I m p e r i a l C o l l e g e o f S c i e n c e , T e -

c h n o l o g y a n d M e d i c i n e , L o n d r e s , R e i n o U n i d o , 1 9 9 6 .

[ 2 6 4 ] V E R S T E E G , H . K . , M A L A L A S E K E R A , W . , A n i n t r o d u c t i o n t o c o m p u t a t i -

o n a l u i d d y n a m i c s - T h e n i t e v o l u m e m e t h o d . L o n g m a n S c i e n t i c a n d

T e c h n i c a l : R e i n o U n i d o , 1 9 9 5 .

[ 2 6 5 ] R H I E , C . M . , C H O W , W . L . , A n u m e r i c a l s t u d y o f t h e t u r b u l e n t o w p a s t

a n i s o l a t e d a i r f o i l w i t h t r a i l i n g e d g e s e p a r a t i o n , A m e r i c a n I n s t i t u t e o f

A e r o n a u t i c s a n d A s t r o n a u t i c s , v . 2 1 , n . 1 1 , p p . 1 5 2 5 1 5 3 2 , 1 9 8 3 .

[ 2 6 6 ] P E R I C , M . , K E S S L E R , R . , S C H E U E R E R , G . , C o m p a r i s o n o f F i n i t e V o l u m e

N u m e r i c a l M e t h o d s w i t h S t a g g e r e d a n d C o l o c a t e d G r i d s , C o m p u t e r s a n d

F l u i d s , v . 1 6 , n . 4 , p p . 3 8 9 4 0 3 , 1 9 8 8 .

[ 2 6 7 ] T O R O , E . F . , R i e m a n n S o l v e r s a n d N u m e r i c a l M e t h o d s f o r F l u i d D y n a m i c s :

A P r a c t i c a l I n t r o d u c t i o n . 2 n d e d . S p r i n g e r : N o v a Y o r k , 1 9 9 9 .




[ 2 6 8 ] S A A D , Y . , I t e r a t i v e M e t h o d s f o r S p a r s e L i n e a r S y s t e m s . 2 n d e d . S I A M , 2 0 0 3 .

[ 2 6 9 ] W E L L E R , H . G . , D e r i v a t i o n , m o d e l l i n g a n d s o l u t i o n o f t h e c o n d i t i o n a l l y a v e -

r a g e d t w o - p h a s e o w e q u a t i o n s , T e c h . R e p . T R / H G W / 0 2 , N a b l a L t d . ,

2 0 0 2 .

[ 2 7 0 ] D E I T E L , P . J . , D E I T E L , H . M . , C + + H o w t o P r o g r a m . 6 t h e d . P r e n t i c e

H a l l , 2 0 0 7 .

[ 2 7 1 ] Y A N G , D . , C + + a n d O b j e c t - O r i e n t e d N u m e r i c C o m p u t i n g f o r S c i e n t i s t s a n d

E n g i n e e r s . S p r i n g e r : N o v a Y o r k , 2 0 0 1 .

[ 2 7 2 ] M A L A N , A . G . , L E W I S , R . W . , O n t h e d e v e l o p m e n t o f h i g h - p e r f o r m a n c e

C + + o b j e c t - o r i e n t e d c o d e w i t h a p p l i c a t i o n t o a n e x p l i c i t e d g e - b a s e d u i d

d y n a m i c s s c h e m e , C o m p u t e r s a n d F l u i d s , v . 3 3 , n . 1 0 , p p . 1 2 9 1 1 3 0 4 ,

2 0 0 4 .

[ 2 7 3 ] P O L I T I S , S . , P r e d i c t i o n o f T w o - P h a s e S o l i d - L i q u i d T u r b u l e n t F l o w S t i r r e d

V e s s e l s , P h . D . T h e s i s , U n i v e r s i t y o f L o n d o n , I m p e r i a l C o l l e g e , 1 9 8 9 .

[ 2 7 4 ] O L I V E I R A , P . J . , C o m p u t e r M o d e l l i n g o f M u l t i d i m e n s i o n a l M u l t i p h a s e F l o w

a n d A p p l i c a t i o n t o T - J u n c t i o n s , P h . D . T h e s i s , U n i v e r s i t y o f L o n d o n , I m -

p e r i a l C o l l e g e , 1 9 9 2 .

[ 2 7 5 ] H I L L , D . P . , T h e C o m p u t e r S i m u l a t i o n o f D i s p e r s e d T w o - P h a s e F l o w s , P h . D .

T h e s i s , I m p e r i a l C o l l e g e o f S c i e n c e , T e c h n o l o g y a n d M e d i c i n e , L o n d r e s ,

R e i n o U n i d o , 1 9 9 8 .

[ 2 7 6 ] U B B I N K , O . , N u m e r i c a l P r e d i c t i o n o f T w o F l u i d S y s t e m s w i t h S h a r p I n t e r f a -

c e s , P h . D . T h e s i s , I m p e r i a l C o l l e g e o f S c i e n c e , T e c h n o l o g y a n d M e d i c i n e ,

L o n d r e s , R e i n o U n i d o , 1 9 9 7 .

[ 2 7 7 ] B R E N N A N , D . , T h e N u m e r i c a l S i m u l a t i o n o f T w o - P h a s e F l o w s i n S e t t l i n g

T a n k s , P h . D . T h e s i s , I m p e r i a l C o l l e g e o f S c i e n c e , T e c h n o l o g y a n d M e d i -

c i n e , L o n d r e s , R e i n o U n i d o , 2 0 0 1 .




[ 2 7 8 ] D O P A Z O , C . , O n c o n d i t i o n a l a v a r a g e s f o r i n t e r m i t t e n t t u r b u l e n t o w s , J o u r -

n a l o f F l u i d M e c h a n i c s , v . 8 1 , n . 3 , p p . 4 3 3 4 3 8 , 1 9 7 7 .

[ 2 7 9 ] W E N , C . Y . , Y U , Y . H . , M e c h a n i c s o f u i d i z a t i o n , I n : C h e m . E n g . P r o g .

S y m p . S e r . , v . 6 2 , p p . 1 0 0 1 1 1 , 1 9 6 6 .

[ 2 8 0 ] I S S A , R . I . , S o l u t i o n o f t h e i m p l i c i t l y d i s c r e t i s e d u i d o w e q u a t i o n s b y

o p e r a t o r - s p l i t t i n g , J o u r n a l o f C o m p u t a t i o n a l P h y s i c s , v . 6 2 , n . 1 , p p . 4 0

6 5 , 1 9 8 6 .

[ 2 8 1 ] S I L V A , L . F . L . R . , D A M I A N , R . B . , L A G E , P . L . C . , I m p l e m e n t a t i o n a n d

a n a l y s i s o f n u m e r i c a l s o l u t i o n o f t h e p o p u l a t i o n b a l a n c e e q u a t i o n i n C F D

p a c k a g e s . I n : a v a i l a b l e o n C D , L e i p z i g , A l e m a n h a , 2 0 0 7 .

[ 2 8 2 ] P E T Z O L D , L . R . , A d e s c r i p t i o n o f D A S S L : A d i e r e n t i a l a l g e b r a i c s y s t e m

s o l v e r , S a n d 8 2 - 8 6 3 7 , S a n d i a N a t i o n a l L a b o r a t o r i e s , 1 9 8 2 .

[ 2 8 3 ] K A R Y P I S , G . , K U M A R , V . , A f a s t a n d h i g h q u a l i t y m u l t i l e v e l s c h e m e f o r

p a r t i t i o n i n g i r r e g u l a r g r a p h s , S I A M J o u r n a l o n S c i e n t i c C o m p u t i n g ,

v . 2 0 , n . 1 , p p . 3 5 9 3 9 2 , 1 9 9 9 .

[ 2 8 4 ] K A R E M A , H . , L O , S . , E c i e n c y o f i n t e r p h a s e c o u p l i n g a l g o r i t h m s i n u i d i -

z e d b e d c o n d i t i o n s , C o m p u t e r s a n d F l u i d s , v . 2 8 , p p . 3 2 3 3 6 0 , 1 9 9 9 .



A p ê n d i c e A

C o m p a r a ç ã o d o s M é t o d o s d e S o l u ç ã o

p a r a E B P

A . 1 I n f o r m a ç õ e s s o b r e o A p ê n d i c e

E s t e t r a b a l h o f o i s u b m e t i d o r e c e n t e m e n t e p a r a p u b l i c a ç ã o e m u m p e r i ó d i c o .

1 9 5



Comparison of the accuracy and performance

of quadrature-based methods for population

balance problems with simultaneous breakageand aggregation

L.F.L.R. Silva, R.C. Rodrigues, J.F. Mitre and P.L.C. Lage ∗

Programa de Engenharia Quımica — COPPE, Universidade Federal do Rio de

Janeiro, PO Box 68502, Rio de Janeiro, RJ, 21941-972 Brazil

Abstract

Simulations of polydisperse multiphase flows must include the effects of particlebreakage and aggregation, which requires the solution of the population balanceequation (PBE). Therefore, the analysis of the existing numerical techniques tosolve the PBE regarding their efficiency and accuracy is paramount to their im-plementation in CFD codes. This work focused on analyzing the three quadrature-based methods available in the literature (QMOM, DQMOM and PPDC) in termsof efficiency and accuracy and against the classical method of classes. Analytical

solutions were used to derive test cases from dominant breakage to dominant aggre-gation. The methods were evaluated in terms of moment accuracy and convergence.The computational costs were evaluated for all cases. It was verified that PPDChas poor convergence and is not adequate. For all cases, the QMOM and DQMOMpresented similar accuracy which was the best one achieved, but the DQMOM wasalways the most efficient method.

Key words: population balance, aggregation, breakage, QMOM, DQMOM, PPDC

1 Introduction

Disperse multiphase flow occurs in several equipment used in the modernchemical industry, as bubble columns, slurry reactors, liquid-liquid extractors

∗ Corresponding author. Tel: +55-21-2562-8346; Fax: 55-21-2562-8300.Email address: [email protected] (P.L.C. Lage).

Preprint submitted to Elsevier Science 28 May 2008



and spray towers. The complex interactions among the particles play an im-portant role in such flows by changing the dynamical behavior of the particlepopulation properties and the flow. The proper modelling of these systemsinvolves the solution of the population balance equation (PBE). The PBEis the conservation equation for the mean number density distribution func-

tion of particles, f (v, t), whose dimensions depend on the particle properties,v, considered as distribution variables. For an unique particle property, theproblem is called monovariated, as described by Hulburt and Katz (1964) andRamkrishna (2000), and the PBE is given by:

∂f (v, t)

∂t+

∂

∂v

V (v, t)f (v, t)

= H (v, t) (1)

where v is the particle property, V (v, t) is the time variation of the particleproperty for particles with property v and H (v, t) is the net number rate of particles generated with property v by unit volume of the particle space. Fora problem without physical space variations where v is the particle volumewith L3 units, as in the present work, the units of f (v, t), V (v, t) and H (v, t)are L−3, (L3 T −1) and (T L3)−1, respectively.

The last term of Eq. (1) usually involves integral functionals of f (v, t) due tothe breakage and aggregation processes, turning it into an integro-differentialequation. Therefore, analytical solutions can only be obtained in very simplecases, making numerical methods essential to solve the PBE for most practicalapplications.

1.1 Numerical Methods for the PBE

There are several numerical techniques available to solve Eq.(1), such as theMonte Carlo method (Ramkrishna and Borwanker, 1973, 1974), weightedresiduals based methods (Gelbard and Seinfield, 1978), the method of classes(MoC) (Hounslow et al., 1988; Kumar and Ramkrishna, 1996a,b; Vanni, 1999)and the method of moments (MOM) (Hulburt and Katz, 1964; McGraw andSaunders, 1984). These numerical techniques are summarized in Ramkrishna(2000), but all of them are too time-consuming for coupling to CFD simula-tions.

From these techniques, the MoC is considered an usually acceptable balancebetween accuracy and computational effort for monovariate population bal-ance problems. In the MoC, the continuous range of the internal coordinate,v, is partitioned into a finite series of contiguous intervals defined by vi andvi+1, i = 0, . . . , n. The [vi, vi+1] interval is the i class, in which a single prop-erty value, the pivot or abscissa ξi, is used to represent all particles belonging

2



to this interval. This discretization process transforms the integro-differentialPBE into a set of differential equations that can be solved by standard solvers.There are several MoC variants, which mainly differ on the choice of the dis-cretization grid and on the properties that are assumed to be conserved duringthe discretization. The classic formulation of MoC (Ramkrishna, 2000) utilizes

fixed pivots to discretize the particle domain, generating a set of differentialequations to be solved for the particle number density in each interval, N i.

In the MOM, a solution is sought for the lower-order moments of the num-ber density distribution function which are sometimes sufficient to provide astatistical description of the particulate system (Friedlander, 1977). The kth

moment of a distribution is defined as:

µk =

∞

0

vkf (v, t) dv, k = 0, . . . ,∞ (2)

The method is based on the PBE integration with the operator ∞0 vk · dv,

giving differential equations for the moments. At this point the MOM weaknessappears, because, except for very special cases, high-order moments are presentin the differential equations for the lower-order moments. This closure problemhas to be dealt with closure laws for some of the largest moments, which areapproximated relations that allows the calculation of the largest moments(µk, k ≥ n) that appears in the set of differential equations for the first n

moments (µk, k = 0,..,n− 1). This lack of closure is a severe drawback to theMOM, because it introduces an unknown error in the solution. This was themain reason that make the MOM unpopular in the academic community forseveral decades.

McGraw (1997) proposed the Quadrature Method of Moments (QMOM) thatsolves the closure problem by approximating the terms in the integrated PBEby a Gaussian quadrature that can be calculated using only those lower-ordermoments of the distribution function which are been solved for. The essenceof this approach lies in determining this Gaussian quadrature whose weight

function is the unknown distribution function. This can be done representingthe distribution function with a set of delta functions with weight functionswi and abscissas ξi (Lanczos, 1988),

f (v, t) =∞i=1

wiδ[v − ξi] (3)

which, when substituted on Eq. (2) for the first 2n moments, leads to 2n

3



equations for wi and ξi:

µk =ni=1

ξki wi, k = 0, . . . , 2n − 1 (4)

Thus, if the PBE is solved for the 2n first moments, they can be used tocalculate the n weights and n abscissas for the quadrature closure. However,the numerical solution of Eq. (4) is computationally expensive. Fortunately,there exists the Product Difference Algorithm (PDA), proposed by Gordon(1968), that is an efficient approach to evaluate the quadrature in which themoments are used to build a tri-diagonal matrix whose eigenvalue problemsolution calculates the weights and abscissas.

Using the same idea of a quadrature closure, Marchisio and Fox (2005) devel-

oped the Direct Quadrature Method of Moments (DQMOM). The DQMOMassumes the existence of a Gaussian quadrature, shown in Eq. (3), which isthus substituted into the PBE giving, after convenient integration using theoperator

∞0 vk · dv, differential equations for the weights and abscissas. Solv-

ing directly for the quadrature rule, the DQMOM avoids the extra load of thePDA, which is necessary for the QMOM. The PDA is necessary only for ini-tialization. During integration, the weights and abscissas evolve as the particledistribution function changes.

Recently, Bove et al. (2005) formulated the Parallel Parent and Daughter

Classes (PPDC) method to solve the PBE that also uses the Gaussian quadra-ture given by Gordon (1968). The PPDC method uses an operator splittingof the explicit Euler time marching method and several grids for the particleproperty space. Particle death events occurs in the parent particle grid whereasbirth events due to breakage and aggregation of particles are represented in anone-grid-per-event-type basis. Thus, the distribution functions for the parentand daughters particles are represented by series of Dirac delta functions, asgiven by Eq. (3), each one evolving in a different grid. The parent particle dis-tribution function is assumed to be the Gaussian-Gordon quadrature. Thus,there is one grid for the parent particles with n classes, n grids for the daugh-ters formed by breakage, one for each i-class parent particle, i = 1, . . . , n, andn(n − 1)/2 grids for the daughters generated by aggregation of two parentparticles, one for each combination of i and j parent classes, i, j = 1, . . . , n.These grids are called parallel because death and corresponding birth eventsoccur simultaneously in them. A characteristic of the PPDC method, which isanalyzed in the present work, is the need to define the grids associated to thebirth by breakage in terms of number of classes and their pivot positions. ThePPDC method regenerates the Gordon-Gaussian quadrature of the overallparticle distribution at the end of the time step by summing up the momentsof the parent and daughter particle distribution functions and then the PDA.

4



From the above, it is clear that QMOM, DQMOM and PPDC share one maincharacteristic: the closure of each method is given by a Gaussian quadra-ture whose weight is the number density distribution function of particles.When this quadrature rule is needed, all methods use the PDA algorithm of Gordon (1968) that needs the moments of the distribution function. Due to

the quadrature rule, all of these methods has a discrete representation of theparticle distribution function given by Eq. (3), which make them similar tothe MoC. Bove et al. (2005) themselves considered their method as a “non-standard” MoC. In the authors point of view, these three methods can beseen as hybrid methods, as they give a discrete representation of the numberdensity distribution function but with the accuracy of a Gaussian quadrature.

1.2 Scope and aim

The convergence of these hybrid methods have been analyzed in the originalcontributions (McGraw, 1997; Marchisio and Fox, 2005; Bove et al., 2005)but their numerical efficiencies have never been compared quantitatively. Theobjective of the present work is to quantitatively compare the computationalefficiency of the QMOM, DQMOM and PPDC method among themselves andagainst the classical MoC of Kumar and Ramkrishna (1996a).

2 Comparison framework

The best way to compare numerical methods is against analytical solutions,when the true numerical error can be easily evaluated, because there is no pointin comparing numerical methods using their solutions for a given problem withdifferent accuracies.

Although with some limitations, analytical solutions for the PBE consideringsimultaneous breakage and coalescence are indeed available from the literature(Patil and Andrews, 1998; Lage, 2002; McCoy and Madras, 2003). Patil andAndrews (1998) obtained an analytical solution for a special case where thetotal number of particles is constant. Latter, Lage (2002) corrected a simplifi-cation error in the deduction of Patil and Andrews (1998), obtaining a simplerexpression for the analytical solution. McCoy and Madras (2003) derived ananalytical solution for a more general case, where the total number of particlesis not constant, but using a different initial condition.

The present work uses the PBE problems whose analytical solutions are givenby Lage (2002) and McCoy and Madras (2003) to verify the convergence, accu-racy and computational efficiency of the MoC, QMOM, DQMOM and PPDC

5



method. Cases with dominant breakage, dominant aggregation and constantnumber of particles (invariant) were used. Firstly, the convergence of the nu-merical moments using different number of classes and quadrature points wasevaluated for these cases. Then, the transient behavior of the relative errorsof the moments was analyzed. As the PPDC method is based on the explicit

Euler method, the other methods were also solved using this time scheme forcomparison. Finally, the computational efficiency of the numerical solutionswere compared by determining the computational time for solutions with sim-ilar accuracy.

2.1 The PBE problems

Patil and Andrews (1998) analyzed the simultaneous breakage and aggregation

PBE for a mono-variate distribution function in particle volume, f (v, t), thatis given by:

df (v, t)

dt=

1

2

v 0

a(v − v, v)f (v − v, t)f (v, t) dv

−

∞ 0

a(v, v)f (v, t)f (v, t) dv

+

∞

v

ϑ(v)b(v)P (v | v)f (v, t) dv − b(v)f (v, t) (5)

where a(v, v) is the aggregation frequency, ϑ(v) is the mean number of par-ticles formed by breakage, b(v) is the breakage frequency and P (v | v) is theprobability density function of a particle of volume v generated by breakup of a particle of volume v.

The PBE shown in Eq. (5) is subjected to the following initial conditions:

f (v, 0) = µ0(0)µ0(0)

µ1(0) e

−µ0(0)µ1(0)

v(6)

or

f (v, 0) = µ0(0)

2

µ0(0)

µ1(0)

2ve−2

µ0(0)µ1(0)

v(7)

where µ0(0) and µ1(0) are the initial zero and first-order moments. Due tomass conservation, µ1 is constant for the considered problems.

6



The breakage and coalescence frequencies, the breakage mean number and theprobability function adopted by Patil and Andrews (1998) are shown below:

ϑ(v) = 2, b(v) = Sv, S = constant (8)

a(v − v

, v

) = C, C = constant (9)

P (v | v) =1

v(10)

Patil and Andrews (1998) introduced the following dimensionless variables

Φ(τ ) =µ0(t)

µ0(0), η =

vµ0(0)

µ1, τ = µ0(0)Ct, φ(η, τ ) =

f (v, t)µ1

[µ0(0)]2(11)

which turns Eq. (5) into:

∂φ

∂t=

1

2

η 0

φ(η − x, τ )φ(x, τ ) dx − φ(η, τ )Φ(τ )

+[Φ(∞)]2∞ η

φ(x, τ ) dx −η

2[Φ(∞)]2 φ(η, τ ) (12)

with initial conditions

φ(η, 0) = e−η

(13)

or

φ(η, 0) = 4ηe−2η, (14)

where

Φ(∞) =

2Sµ1/C/µ0(0) (15)

is the steady-state solution of the dimensionless particle number density.

Thus, when Φ(∞) = 1, the number density and the total number of particlesare constant. The dimensionless formulation presented in Eqs. (12), (13) and(14) were used by Patil and Andrews (1998), Lage (2002) and McCoy andMadras (2003) to obtain their analytical solutions.

If the initial distribution is normalized, µ0(0) = 1, and with µ1 = 1, thedimensionless variables are identical to its dimensional form when C = 1.0. In

7



this case, it is possible to relate S directly to Φ(∞) by simplifying Eq. (15)to:

S =1

2[Φ(∞)]2 (16)

Assuming these conditions, the dimensionless and dimensional solutions canbe compared directly. Therefore, the following description of the numericalmethods was carried out in the dimensional form.

2.2 Analytical solutions

2.2.1 Solution of Lage (2002)

The analytical solutions proposed by Patil and Andrews (1998) and Lage(2002) assumed no variation on the total number of particles, that is, Φ(τ ) =Φ(∞) = 1, ∀τ . They managed to derive analytical solutions for the initialconditions given by Eq. (13) and (14). The former was shown to be a steady-state solution. The latter initial condition gives a transient solution whosesimplified form given by Lage (2002) is:

φ(a)

(η, τ ) =

2i=1

K 1(τ ) + pi(τ )K 2(τ )

L2(τ ) + 4 pi(τ ) e pi(τ )η

, ∀τ > 0 (17)

where

K 1(τ ) = 7 + τ + e−τ

K 2(τ ) = 2 − 2e−τ

L2(τ ) = 9 + τ − e−τ

p1,2(τ ) = 14

(e−τ − τ − 9) ±

d(τ )

d(τ ) = τ 2 + (10 − 2e−τ )τ + 25 − 26e−τ + e−2τ (18)

The analytical moments are obtained through their definition, Eq. (2), as:

µ(a)k (τ ) =

Γ(2+k)2k

for τ = 02i=1[− pi(τ )]−k−1K 1(τ )+ pi(τ )K 2(τ )

L2(τ )+4 pi(τ )Γ(k + 1) for τ > 0

(19)

8



2.2.2 Solution of McCoy and Madras (2003)

McCoy and Madras (2003) treated the general case where the total numberof particles is not constant, Φ(0) = Φ(∞). Thus, Φ(∞) can assume arbitraryvalues, that represents systems with predominant breakage (Φ(∞) > 1) or

aggregation (Φ(∞) < 1). For the initial condition given by Eq. (14), they couldnot find a closed-form solution. For the initial condition given by Eq. (13), theymanaged to derive the following solution:

φ(a)(η, τ ) = Φ2(τ )e−ηΦ(τ ) (20)

where

Φ(τ ) = Φ(∞)

1 + Φ(∞) tanh(Φ(∞)τ /2)

Φ(∞) + tanh(Φ(∞)τ /2)

(21)

whose moments, for any finite Φ(∞), are given by:

µ(a)k (τ ) =

Φ(∞) + tanh(1

2Φ(∞)τ )

Φ(∞)(1 + Φ(∞) tanh(12

Φ(∞)τ ))

k−1Γ(k + 1), for τ ≥ 0 (22)

3 Numerical techniques

This section describes the MoC, QMOM, DQMOM and PPDC numericalformulations applied to Eq. (5).

3.1 The method of classes

In the MoC of Kumar and Ramkrishna (1996a), only two population propertiescan be conserved which are usually taken to be the zero and first moments.The zero order sectional moment, N i, represents the number of particles inclass i while the first moment conserves the chosen internal variable, which isthe volume, v, in the present case. In fact, N i includes all the particles withproperties between vi and vi+1 (vi < ξi < vi+1, ξi is the pivot) and is given by

N i =

vi+1 vi

f (v, t)dv, i = 1 . . . n (23)

Eq. (5) is integrated in the [ξi−1, ξi+1] interval and, after some manipulations(Ramkrishna, 2000), the following system of equations is obtained:

9



dN idt

=k≥ jk,j=1

ξi−1≤(ξk+ξj)≤ξi+1

(1 − 0.5δkj) Ψkjia(ξk, ξ j)N kN j − N in

k=1

N ka(ξk, ξi)

+n

k=i

ϕi,kb(ξk)N k − N ib(ξi) (24)

where Ψ and ϕ are grid dependent functions of the variables which, in thecase of number and volume conservation, are given by:

Ψkji =

(ξj+ξk)−ξi−1ξi−ξi−1

for ξi−1 ≤ (ξ j + ξk) ≤ ξiξi+1−(ξj+ξk)

ξi+1−ξifor ξi ≤ (ξ j + ξk) ≤ ξi+1

(25)

ϕik =

ξi+1 ξi

ξi+1 − vξi+1 − ξi

P (v | ξk) dv +

ξi ξi−1

v − ξi−1ξi − ξi−1

P (v | ξk) dv (26)

In order to provide better evaluations of the cases with dominant breakage ordominant aggregation, geometric grids were used. The grid ends were definedin order to avoid excessive truncation error of the initial distribution function,keeping the relation ξn/ξ1 = 108. The following geometric rule was used toconstruct the pivots:

ξi+1 = sξi for i = 0, . . . , n (27)

where s is the geometric parameter used to control the number of classes,whose value was chosen between 1.05 and 2. Only the ξi, i = 1, . . . , n wereactive pivots. ξ0 and ξn+1 were calculated to evaluate the limits of each classby:

vi =ξi−1 + ξi

2, i = 1, . . . , n + 1 (28)

Due to the choice of the conserved properties, it is not possible to conservethe moments µk, k > 1, but it is still possible to calculated them from thesolution:

µk =ni=1

ξki N i (29)

Further details about this method and its formulation can be found in Ramkr-ishna (2000) and Campos and Lage (2003).

10



3.2 Quadrature method of moments

The PBE, given by Eq. (5), is operated with ∞0 vk· dv, and the right-hand sides

of the resulting equations are approximated by using the Gordon-Gaussian

quadrature, giving the following QMOM moment equations:

dµk(t)

dt= H (

n)k , k = 0, . . . , 2n − 1 (30)

where

H (n)k =

1

2

ni=1

n j=1

[(ξi + ξ j)k − ξki − ξk j ]a(ξi, ξ j)wiw j

+

ni=1

b(ξi)wi[ϑ(ξi)πk(ξi) − ξki ] (31)

and

πk(ξi) =

ξi 0

vkP (v | ξi) dv (32)

For the present PBE problems, Eq. (10) leads to πk(ξi) =ξki

k+1. The PDA

implementation used in this work was the one given by Lage (2007) that gains

numerical precision by representing real numbers in critical computations inthe algorithm by using different variables for their mantissa and exponents.

3.3 Direct quadrature method of moments

The substitution of Eq. (3) into the PBE, Eq. (5), followed by operation with ∞0 vk · dv results in the differential equations for the weights and weighted-

abscissas, ς i = wiξi, given by:

dwi

dt= θi, i = 1, . . . , n (33)

dς idt

= i, i = 1, . . . , n (34)

together with the following system of 2n linear equations:

(1 − k)ni=1

ξki θi + kni=1

ξk−1i i = H (n)k , k = 0, . . . , 2n − 1 (35)

11



which is solved for the source terms of Eqs. (33) and (34), θi and i, i =1, . . . , n. It should be noted that the independent vector of the linear system,H (

n)k , is the same as in QMOM, given by Eq. (31) for simultaneous aggregation

and breakage.

In the DQMOM solution, the linear system given by Eq. (35) is solved andcoupled to the solution of the differential equations given by Eqs. (33) and(34). From a given distribution function, the PDA is used to generate theinitial conditions of wi and ς i, i = 1, . . . , n.

3.4 Parallel parent and daughter classes method

The time discretization used in PPDC is the explicit Euler method which

implies that the source terms in the PBE due to aggregation and breakageprocesses, referred here as superscript a and b, respectively, are evaluated usingthe distribution function at the beginning of the time step. Denoting the termsof birth and death of particles by the subscripts B and D, respectively, thetime-discretized PBE can be written as:

f (v, tn+1) − f (v, tn)

∆t= H aB(v, tn) + H aD(v, tn)

+ H bB(v, tn) + H bD(v, tn) (36)

In order to complete the PBE splitting, the distribution function is decom-posed into several series of Dirac delta functions for the several parallel grids:

f e(v, t) =ni=1

N i(t)δ[v − ξi] +ni=1

n j=1

Aij(t)δ[v − yij]

+ni=1

NB(i)k=1

B(i)k (t)δ[v − z

(i)k ] (37)

N i and ξi are, respectively, the number densities and pivots for the classes inthe parent grid. For each i and j, i, j = 1, . . . , n, Aij is the number densityat pivot yij = ξi + ξ j, that defines the daughter grid due to aggregation of particles belonging to the i and j parent classes. One daughter grid is definedfor the breakage of each parent class i, with B

(i)k being the number densities

at the pivots z(i)k ∈ [0, ξi). NB(i) are the number of classes in such grids.

Mass (or volume) conservation imposes a restriction upon the grids for thedaughter particles due to breakage. For binary breakage (ϑ = 2), the death of one parent particle with volume ξi results in the birth of two breakage daughter

12



particles with volumes λξi and (1− λ)ξi (0 ≤ λ ≤ 1). Thus, a symmetric gridin the form

z(i)k = λ

(i)k ξi, 0 ≤ λ

(i)k ≤ 1 and λ

(i)k = 1 − λ

(i)NB(i)+1−k (38)

suffices for mass conservation. However, it is still necessary to define the valueof NB(i). The original work of Bove et al. (2005) used an uniform rule toconstruct the daughter breakage grids, that is, they set:

N B(i) = c, c = constant (39)

Since the daughter classes must be empty at the beginning of the time interval[tn, tn+1], then

Aij(tn) = B(i)k (tn) = 0, ∀i,j,k (40)

Combining Eqs. (36) and (37) and using Eq. (40), the numerical densities attn+1 can be obtained by:

N i(tn+1) = N i(tn) +

−N i(tn)

n j=1

a(ξi, ξ j)N j(tn) − b(ξi)N i(tn)

∆t (41)

i = 1, . . . , n

Aij(tn+1) =

1 − 12

δij

a(ξi, ξ j)N i(tn)

∆t, i,j = 1, . . . , n , j ≥ i (42)

B(i)k (tn+1) = [ϑib(ξi)N i(tn)Π(ξi)] ∆t, i = 1, . . . , n, k = 1, . . . , N B(i) (43)

where

Π(ξi) =

v(i)k+1

v(i)k

P (v | ξi) dv (44)

which can be evaluated using Eq. (10) as Π(ξi) = v(i)

k+1

v(i)k

1ξi

dv =v(i)k+1−v

(i)k

ξi.

From Eq. (37), the moments at tn+1 can be calculated by:

µk(tn+1) =ni=1

ξki N i(tn+1) +ni=1

n j=1

ykijAij(tn+1)

13



+ni=1

NB(i)k=1

[z(i)k ]kB(i)

k (tn+1), k = 0, . . . , 2n − 1 (45)

which are then used in the PDA to determine N i and ξi at tn+1. Thus, theparent classes are rebuild from the moments calculated in Eq. (45) at every

time step.

4 Numerical Procedure

A PBE solver was programmed in FORTRAN 90 and the source code wascompiled with gfortran-4.1 using -O3 high optimization flag and double pre-cision variables. The Γ function used in the analytical solutions and its initialconditions, shown in Eqs. (19) and (22), were calculated with the gammln

subroutine described in the Numerical Recipes book (Press et al., 1990).

The eigenvalues and eigenvectors of the tri-diagonal matrix in PDA were ob-tained through the imtql2 subroutine (Smith et al., 1976), downloaded fromthe NetLib website. The DQMOM linear system, shown in Eq. (35), was solvedthrough Gaussian elimination using the gausslin subroutine (Pinto and Lage,2001). The DASSL routine (Petzold, 1982) was also used for time integrationof the systems of differential equations. In all cases simulated using DASSL,the values of absolute and relative tolerances in the code were set to 10−10 and10−12, respectively.

5 Numerical Results

Three PBE cases were selected for the method comparison: (i) the one foreach Lage (2002) gave the analytical solution, Eq. (19), in which breakageand aggregation are equally important (Φ(∞) = 1), (ii) the problem solvedby McCoy and Madras (2003), as given by Eq. (22), for dominant break-age (Φ(∞) = 10) and (iii) this same problem but for dominant aggregation

(Φ(∞) = 10

−1

). In the following, these cases are referred as cases I, II and III.It should be noted that µ1 is constant in all cases due to mass conservation. Be-sides, number conservation occurs in case I, that leads to a constant µ0. Onlythe first 4 to 6 moments of the distribution were considered in comparing thenumerical methods. This was considered enough for comparing the lower-orderapproximations that need to be used in PBE-CFD coupled solution.

The MoC was tested with 3 different grids using s = 1.4, 1.2 and 1.1 inEq. (27) which resulted in geometric meshes with 55, 102 and 194 classes,respectively. Grid endpoints were somewhat different for each case, being ξn

14



equal to 100, 10 and 140 for cases I, II and III, respectively. In addition, thedaughter breakage grid in PPDC was discretized using Eq. (39) with c = 5.

First, the moments obtained by the numerical solutions with the MoC, QMOM,DQMOM and PPDC method were compared to the analytical solutions in or-

der to evaluate the convergence of the moments using different number of quadrature points or classes. Since a good evaluation of the methods accura-cies is essential, several error definitions were used.

The relative error of the kth moment, χR,k, defined by Eq. (46), provides agood description of the transient numerical accuracy of the methods.

χR,k(t) =

µk(t) − µ(a)k (t)

µ(a)k (t)

(46)

As defined in Eq. (47), χP is the mean error of the first N moments of thedistribution at each time instant.

χP (t) =

1

N

N −1k=0

χ2R,k(t) (47)

The relative mean error (RME), given by Eq. (48), was used as a representa-tive way to evaluate the mean transient behavior of the first N moments. InEq. (48), T is the number of solution samples considered during the transient

simulation.

χ =

1

NT

T l=1

N −1k=0

χ2R,k(tl) =

1

T

T l=1

χP (tl) (48)

Finally, all the simulations were carried out until all moments reach steady-state values.

5.1 Time step convergence

The first results shown in this work aim to evaluate the time step convergencefor the quadrature-based methods. Since PPDC is derived with an explicitEuler discretization in time, an independent time-step solution is required forthe proper evaluation and comparison of the methods. Thus, a mean errorformulation involving only the first four moments of the distribution (N = 4),shown in Eq. (47), was used to evaluate the Euler time step integration errorfor the QMOM, DQMOM and PPDC simulations. All cases were integrated

15



using the hybrid methods with the explicit Euler scheme using different timesteps and 3 quadrature points.

The QMOM and DQMOM simulations were performed using the DASSL sub-routine as well. The latter uses a backward differentiation formula with an

adaptive time step to achieve a prescribed tolerance. Since the DASSL rela-tive and absolute tolerances used in this work are very small, DASSL resultscan be seen as a reference solution for comparing the solutions obtained withthe Euler method. As long as PPDC can not be integrated with DASSL, theinfluence of the Euler time step over the PPDC precision was tested until thetime step convergence was achieved.

The mean instantaneous errors for case I simulations with all hybrid methodsare shown in Figure 1. The results shown in Fig. 1(a) show different behaviorsbetween the QMOM and DQMOM only for large time steps and specially at

the beginning of the simulation, when the DQMOM error is larger. The behav-iors of the QMOM and DQMOM errors tend to become similar as the timestep is reduced until convergence. Their numerical solution using the Eulermethod converges to the DASSL results for ∆t = 10−4 s. It should be notedthat the DASSL results have no appreciable time integration error, being thesimulations results with QMOM and DQMOM almost identical. Therefore,the error seen in Fig. 1(a) for DASSL simulations are solely caused by thequadrature approximation. Therefore, although using the same quadratureapproximation, the DQMOM does not solve the problem in terms of the mo-ments, existing a non-linear interaction that increases the DQMOM error for

large time steps in the integration using the Euler method. On the other hand,the PPDC method accuracy depends heavily on the time step, as shown inFig. 1(b). Its solution became independent of the time step for ∆t = 10−6 s.This clearly indicates that the main source of error is the operator splitting.At the steady state is approached, t ≥ 10s, the error in the converged PPDCmethod is about twice larger than the QMOM and DQMOM errors.

Figures 2 and 3 shows the results for the simulations of cases II and III,respectively. Comparing the error magnitudes to those show in Fig. 1, it canbe seen that the errors are the largest for case II and the smallest for caseIII. This shows that the numerical solution of the breakage phenomena isthe largest source of error in these methods. The convergence behavior of theresults obtained by all methods using Euler integration shows the same trends.The QMOM and DQMOM simulation results obtained by Euler integrationfor case III also converged to their DASSL simulation results for ∆t = 10−4 s,as in case I, whereas this happened only for ∆t = 10−5 s for case II. Theconvergence of the PPDC method occurred for ∆t = 10−5 s for case III butonly for ∆t 10−7 s for case III.

It is not shown here, but the same convergence analysis was evaluated using 4

16



quadrature points. Basically the same behaviors for the numerical errors andthe ∆t convergence were obtained, showing that the present results are notappreciably affected by the chosen number of quadrature points.

5.2 Evaluation of the numerical errors

The comparison between the relative errors of the first four moments of thedistribution, obtained by Eq. 46, using different number of classes (MoC) andquadrature points (QMOM, DQMOM and PPDC) is shown in this section. Inorder to minimize the time integration errors, the DASSL subroutine was usedto integrate QMOM and DQMOM while the PPDC method was integratedwith the explicit Euler scheme using ∆t = 10−6 s. The moments were obtained

using 3, 4 and 6 quadrature points for QMOM, DQMOM and PPDC. Sincethe MoC results are also evaluated in this section, it is possible to comparethe accuracy between a fixed pivot method and the hybrid methods with theiradaptive pivot positioning. The MoC was employed using geometric grids asdescribed in Section 5.

The comparison of the moment relative errors for the solution of case I ispresented in Fig. 4, where it is clear that QMOM and DQMOM errors aremuch lower than those obtained with PPDC and MoC. A better comparisonbetween QMOM and DQMOM accuracies can be made from Figs. 4(a) and

4(b). Since the number, µ0, and the volume, µ1, of particles are constant forcase I, these lower moments present a very different behavior for the QMOMand DQMOM solutions. While QMOM provides relative errors in the order of machine accuracy (∼ 10−15) for these two moments, DQMOM shows relativeerrors in the order of the tolerances imposed in DASSL integration (10−10 −10−12). This comes from the fact that DQMOM solves for the weights andabscissas that are not constant along time even though µ0 and µ1 are. On theother hand, the errors of the higher moments, µ2 and µ3, obtained by QMOMand DQMOM are almost identical. In fact, the curves of µ2 and µ3 shown inFigs. 4(a) and 4(b) coincide if put together in the same graph. Furthermore,the accuracy of these moments increased as more quadrature points were used.

Differently from the QMOM and DQMOM results, Figure 4(c) shows thatthe accuracy of the moments obtained using the PPDC method are hardlyaffected by the number of quadrature points. In contrast, when the number of classes in the MoC was increased, the relative errors of the moments droppedby an almost constant factor, as shown in Fig. 4(d). In MoC, the error of µ1 is constant as the moment itself and its accuracy is increased with gridrefinement. Compared with PPDC method results, MoC was able to achievelower relative errors for µ2 and µ3 when using 102 classes.

17



The moment relative errors using the PPDC method should decrease as thenumber of quadrature points was increased. Instead of this expected behavior,the moment errors remain nearly the same independently of n, which indicatesa false convergence behavior. In this case, the numerical moments achieve con-vergence for increasing n but they are different from the analytical solution.

This is confirmed in Figure 5, where the analytical moments are comparedwith those obtained by PPDC with 3 and 6 quadrature points. From this fig-ure, it can be noted that the numerical results of µ3 achieve the same accuracyindependently of n and both quadrature approximations do not follow the an-alytical results. Thus, the PPDC method was not able to achieve convergenceof the moments in case I.

In case II, the number of particles, µ0, is not constant due the dominantbreakage. The relative errors of the simulations for case II are shown in Fig. 6.Again, QMOM and DQMOM achieved very small errors for the first two

moments and the errors for the higher moments, µ2 and µ3, were basically thesame for both methods. Thus, for a better readability, Fig. 6(a) only showsthe lower moments, µ0 and µ1, obtained by using QMOM and DQMOM. Sincethe latter methods obtained the same values for the higher moments, Fig. 6(b)shows their results only for DQMOM with n = 3 and 6. Finally, Figs. 6(c)and 6(d) present respectively the numerical errors for the PPDC and MoCmethods.

As in case I, QMOM also evaluates the constant µ1 with errors near themachine precision but the µ0 relative errors are in the order of the DASSL tol-

erances, varying negligibly with n, as seen in Fig. 6(a). On the other hand, theµ0 and µ1 relative errors obtained with DQMOM are two orders of magnitudelarger than the DASSL tolerances, indicating that there is error accumulationdue to the fast varying distribution in this dominant breakage case. In con-trast, the accuracy of µ2 and µ3 greatly increases with n, as can be seen inFig. 6(b).

The moment relative errors obtained by the PPDC method, shown in Fig. 6(c),are almost independent on the number of quadrature points. There is a in-crease in accuracy by increasing n only for µ2. In addition, µ0 and µ1 relativeerrors are accumulating in time, indicating that the chosen time step is stillsomewhat large. The relative errors for the higher moments have similar val-ues for the QMOM and DQMOM errors for n = 3 but are much larger forn = 6. This lack of proper convergence indicates that, as in case I, the PPDCmethod leads to a false convergence behavior. Figure 6(d) shows that MoC re-sults show a better performance than PPDC in this case. As in case I, momentaccuracy in MoC is improved by a constant factor as the grid is refined.

Fig. 7 presents the relative errors of the moments for case III using QMOM,DQMOM, PPDC and MoC. As observed in Fig. 7(a) and (b), the behaviors of

18



the errors of the lower moments, µ0 and µ1, obtained by QMOM and DQMOMare similar to those of case II. The DQMOM errors for µ0 and µ1 and theQMOM error for µ0 stay around 10−8, being controlled by DASSL tolerances,whereas the QMOM error for µ1 is near to machine precision. Both QMOMand DQMOM obtained the same accuracy for the higher moments although

some differences could be noticed for n = 6.

From Fig. 7(c), the relative moment errors obtained by the PPDC method alsoshow lack of proper convergence as n is increased. Besides, error accumulationis present for all moments. Figure 7(d) shows that MoC gives the worst solutionamong all analyzed methods for case III, showing its difficulty in representingfast aggregation processes.

The analysis of the RME, defined in Eq. (48), can provide an overall per-spective regarding the convergence rate of the methods. Figures 8, 9 and 10

presents the RME obtained for all methods using the first 6 moments andT = 1000 time samples for cases I, II and III, respectively. For the hybridmethods, the number of quadrature points was chosen to be 3, 4 and 6, andfor the MoC, three geometrical grids were chosen that basically double thenumber of pivots between successive grids.

As noticed in Figs. 8-10, the global behavior of QMOM and DQMOM are verysimilar. They basically reached the same RME values for all cases. Thus, thesmall differences in their accuracies are not relevant to the overall behavior.Moreover, QMOM/DQMOM presented the largest convergence rate for allcases, reaching very low values for the RME. For all cases, PPDC have the

smallest convergence rate, even when compared to the MoC. In fact, MoCusing the most refined grid was able to achieve better RME values than PPDCin all cases. The accuracy of MoC was almost the same for all simulated casessince the grid was properly adjusted for each case.

5.3 Computational Time

An evaluation of the computational time of QMOM, DQMOM and PPDC is

shown in this section. The gfortran 4.0 intrinsic subroutine CPU TIME wasused to return the elapsed CPU time in seconds, accurate to the millisecond.The tests were realized using the explicit Euler method with ∆t = 10−5 swhich was chosen in order to provide a good balance between accuracy and theproper comparison between all methods. It should be noted that in PBE-CFDcoupled simulations of polydisperse multiphase flows, low order methods areusually employed what makes our choice of integration method quite adequate.

The computational effort of each hybrid method was evaluated for n = 2 to10. The tests were evaluated for case I with 5 s of simulation time and using

19



an Intel Core 2 Duo 6600 2.4 MHz processor with Linux operational system.The computational time of the methods is shown in Fig. 11.

Indeed, DQMOM is much faster than the other methods in most of the simu-lations, because the extra effort of the PDA increases the computational time

of the PPDC method and QMOM. Figure 11 shows that the computationefforts of the QMOM and PPDC method were very similar for n ≤ 6. Forhigher values of n, the increase of the computational effort was not so severefor PPDC as for the other methods. As a matter of fact, PPDC presented thebest computational time for n ≥ 9. However, as seen in the previous section,the numerical solution of PPDC is extremely dependent on the time step andlacks proper convergence with the number of quadrature points. Therefore, itsusage is not recommended.

Both QMOM and DQMOM can provide an accurate solution using higher

values of time steps which results in faster simulations. Moreover, QMOMand DQMOM can use other time integration approaches than the explicitEuler method, such as a BDF method. The computational time of QMOMand DQMOM for case I using the DASSL routine are shown in Fig. 12. Asexpected, the simulations integrated with DASSL are much faster than thoseusing the explicit Euler method, reported in Fig. 11. However, when using n =10 the DASSL routine presented an error during the integration of DQMOMwhereas the QMOM solution was interrupted due to loss of precision in thePDA. As noticed in Fig. 12, the DASSL routine had difficulties to integratethe DQMOM solution using n = 9, which led to a substantial increase in thecomputational time.

The MoC was not considered in the previous tests since its computationaleffort to solve the PBE is huge when compared to the other methods. Forinstance, MoC solution with 102 classes for case I takes more than 3 secondsusing the DASSL routine and nearly 490 seconds using the explicit Euler with∆t = 10−5 s.

6 Conclusions

All three quadrature-based methods available in the literature, QMOM, DQ-MOM and PPDC, and the method of classes, MoC, were successfully comparedfor population balance problems with simultaneous breakage and aggregation.Three cases were setup with equivalent breakage and aggregation, dominantbreakage and dominant aggregation, referred as cases I, II and III, respectively.The numerical results were compared against the Lage (2002) and McCoy andMadras (2003) analytical solutions. The QMOM, DQMOM and MoC were in-tegrated in time using the backward difference formula (BDF) implemented in

20



the DASSL routine (Petzold, 1982) and also using the explicit Euler method,needed for the PPDC method.

The convergence of all quadrature-based methods regarding the time stepused in time integration was evaluated. Both QMOM and DQMOM could

easily achieved converged solutions. On the other hand, very small time stepswere necessary to achieve an time-step independent solution with the PPDCmethod, indicating that the error is mainly due to the existing operator split-ting.

All methods were analyzed regarding their convergence regarding the numberof particle classes, n. Although QMOM and DQMOM presented some differ-ences in the convergence behaviors of the distribution moments, their overallbehavior is basically the same, showing the largest convergence rate with n.However, the PPDC method showed poor convergence, showing only minor

improvements in the solutions when n was increased. The convergence rate isso small that a false convergence can easily be inferred if an analytical solu-tion is not available. The MoC was able to achieve a better accuracy than thePPDC method with a good convergence rate.

Finally, the computational effort of each quadrature-based method was eval-uated for different n values, using the explicit Euler method for the timeintegration. The DQMOM was shown to be the most efficient for n ≤ 8 andthe PPDC presented the best efficiency for n > 8. However, the PPDC solu-tion for the same n value is much less accurate than the DQMOM solution.In addition, the computational effort of both QMOM and DQMOM was eval-uated using the DASSL routine for integration, and DQMOM was also themost efficient method.

From the above comments, it can be conclude that the simulations using thePPDC method strongly suffer from numerical errors. The error in the operatorsplitting requires a very small timestep in the explicit Euler integration methodwhich leads to accumulation of truncation error. This makes the present ver-sion of PPDC inadequate. It can also be concluded that the DQMOM is themore efficient method for lower order moment approximations and it is rec-ommended for coupling population balance solutions to CFD simulations.

Acknowledgments

The authors would like to thank CNPq (grant no. 301548/2005-6) and FAPERJfor partially funding this research. L.F.L.R. Silva would also like to acknowl-edge the financial support given by Chemtech.

21



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23



Figure Captions

0⋅100

1⋅10-3

2⋅10-3

3⋅10-3

4⋅10-3

5⋅10-3

0.01 0.1 1 10

t

χP

Case I

DASSL

∆t = 10-2

∆t = 10-3

∆t = 10-4

0⋅100

1⋅10-3

2⋅10-3

3⋅10-3

4⋅10-3

5⋅10-3

0.01 0.1 1 10

t

χP

Case I

DQMOM

0⋅100

1⋅10-3

2⋅10-3

3⋅10-3

4⋅10-3

5⋅10-3

0.01 0.1 1 10

t

χP

Case I

0⋅100

1⋅10-3

2⋅10-3

3⋅10-3

4⋅10-3

5⋅10-3

0.01 0.1 1 10

t

χP

Case I

QMOM

(a)

10

-3

10-2

10-1

0 5 10 15

t

χP

Case I

PPDC

∆t = 10-3

∆t = 10-4

∆t = 10-5

∆t = 10-6

∆t = 10-7

(b)

Fig. 1. Moment mean errors for case I using (a) QMOM, DQMOM (b) and PPDC.

24



0⋅100

1⋅10-2

2⋅10-2

3⋅10-2

4⋅10-2

0.001 0.01 0.1 1

t

χP

Case II

DASSL

∆t = 10-3

∆t = 10-4

∆t = 10-5

0⋅100

1⋅10-2

2⋅10-2

3⋅10-2

4⋅10-2

0.001 0.01 0.1 1

t

χP

Case II

DQMOM

0⋅100

1⋅10-2

2⋅10-2

3⋅10-2

4⋅10-2

0.001 0.01 0.1 1

t

χP

Case II

0⋅100

1⋅10-2

2⋅10-2

3⋅10-2

4⋅10-2

0.001 0.01 0.1 1

t

χP

Case II

QMOM

(a)

10-2

10-1

100

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

χP

Case II PPDC

∆t10

-3

10-4

10-5

10-6

10-7

(b)

Fig. 2. Moment mean errors for case II using (a) QMOM, DQMOM and (b) PPDC.

25



0⋅100

1⋅10-3

2⋅10-3

3⋅10-3

4⋅10

-3

0 5 10 15 20 25 30 35 40

t

χP

Case III

DASSL

∆t = 10-2

∆t = 10

-3

∆t = 10-4

0⋅100

1⋅10-3

2⋅10-3

3⋅10-3

4⋅10

-3

0 5 10 15 20 25 30 35 40

t

χP

Case III

DQMOM

0⋅100

1⋅10-3

2⋅10-3

3⋅10-3

4⋅10

-3

0 5 10 15 20 25 30 35 40

t

χP

Case III

0⋅100

1⋅10-3

2⋅10-3

3⋅10-3

4⋅10

-3

0 5 10 15 20 25 30 35 40

t

χP

Case III

QMOM

(a)

10-4

10-3

10-2

0 5 10 15 20 25 30 35 40

t

χP

Case III

PPDC

∆t = 10-3

∆t = 10-4

∆t = 10-5

∆t = 10-6

∆t = 10-7

(b)

Fig. 3. Moment mean errors for case III using (a) QMOM, DQMOM and (b) PPDC.

26



10-16

10-14

10-12

10-10

10-8

10-6

10-4

10-2

0 1 2 3 4 5

t

χR,k

Case I

nk = 0k = 1k = 2k = 3

10-16

10-14

10-12

10-10

10-8

10-6

10-4

10-2

0 1 2 3 4 5

t

χR,k

Case I

n 3

10-16

10-14

10-12

10-10

10-8

10-6

10-4

10-2

0 1 2 3 4 5

t

χR,k

Case I

n

10-16

10-14

10-12

10-10

10-8

10-6

10-4

10-2

0 1 2 3 4 5

t

χR,k

Case I

n4

10-16

10-14

10-12

10-10

10-8

10-6

10-4

10-2

0 1 2 3 4 5

t

χR,k

Case I

n

10-16

10-14

10-12

10-10

10-8

10-6

10-4

10-2

0 1 2 3 4 5

t

χR,k

Case I

n

6

10-12

10-10

10-8

10-6

10-4

10-2

0 1 2 3 4 5

t

χR,k

Case I

n

k = 0k = 1k = 2k = 3

10-12

10-10

10-8

10-6

10-4

10-2

0 1 2 3 4 5

t

χR,k

Case I

n 3

10-12

10-10

10-8

10-6

10-4

10-2

0 1 2 3 4 5

t

χR,k

Case I

n

10-12

10-10

10-8

10-6

10-4

10-2

0 1 2 3 4 5

t

χR,k

Case I

n4

10-12

10-10

10-8

10-6

10-4

10-2

0 1 2 3 4 5

t

χR,k

Case I

n

10-12

10-10

10-8

10-6

10-4

10-2

0 1 2 3 4 5

t

χR,k

Case I

n

6

(a) (b)

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

0 1 2 3 4 5

t

χR,k

Case I

nk = 0k = 1

k = 2k = 3

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

0 1 2 3 4 5

t

χR,k

Case I

n 3

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

0 1 2 3 4 5

t

χR,k

Case I

n

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

0 1 2 3 4 5

t

χR,k

Case I

n

4

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

0 1 2 3 4 5

t

χR,k

Case I

n

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

0 1 2 3 4 5

t

χR,k

Case I

n

6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

0 1 2 3 4 5

t

χR,k

Case I

n

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

0 1 2 3 4 5

t

χR,k

Case I

n

55

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

0 1 2 3 4 5

t

χR,k

Case I

nk = 0k = 1k = 2k = 3

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

0 1 2 3 4 5

t

χR,k

Case I

n

102

(c) (d)

Fig. 4. Relative errors of the moments for case I using (a) QMOM, (b) DQMOM,(c) PPDC and (d) MoC.

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5

t

µk

Case I

k = 0, 1

k = 2

k = 3 nanalytical

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5

t

µk

Case I

k = 0, 1

k = 2

k = 3 n

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5

t

µk

Case I

k = 0, 1

k = 2

k = 3 n

3

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5

t

µk

Case I

k = 0, 1

k = 2

k = 3 n

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5

t

µk

Case I

k = 0, 1

k = 2

k = 3 n

6

Fig. 5. Comparison between the analytical and numerical moments using PPDCwith 3 and 4 quadrature points.

27



10-16

10-15

10-14

10-13

10-12

10-11

10-10

10-9

10-8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

χR,k

Case II

n

DQMOM

QMOM

k = 0k = 1

10-16

10-15

10-14

10-13

10-12

10-11

10-10

10-9

10-8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

χR,k

Case II

n

DQMOM

QMOM

3

10-16

10-15

10-14

10-13

10-12

10-11

10-10

10-9

10-8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

χR,k

Case II

n

DQMOM

QMOM

10-16

10-15

10-14

10-13

10-12

10-11

10-10

10-9

10-8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

χR,k

Case II

n

DQMOM

QMOM

10-16

10-15

10-14

10-13

10-12

10-11

10-10

10-9

10-8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

χR,k

Case II

n

DQMOM

QMOM

10-16

10-15

10-14

10-13

10-12

10-11

10-10

10-9

10-8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

χR,k

Case II

n

DQMOM

QMOM

6

10-16

10-15

10-14

10-13

10-12

10-11

10-10

10-9

10-8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

χR,k

Case II

n

DQMOM

QMOM

10-16

10-15

10-14

10-13

10-12

10-11

10-10

10-9

10-8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

χR,k

Case II

n

DQMOM

QMOM

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

χR,k

Case II

n

k = 2k = 3

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

χR,k

Case II

n

3

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

χR,k

Case II

n

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

χR,k

Case II

n

6

(a) (b)

10-4

10-3

10-2

10-1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

χR,k

Case II

nk = 0k = 1k = 2

k = 3

10-4

10-3

10-2

10-1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

χR,k

Case II

n

3

10-4

10-3

10-2

10-1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

χR,k

Case II

n

10-4

10-3

10-2

10-1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

χR,k

Case II

n

4

10-4

10-3

10-2

10-1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

χR,k

Case II

n

10-4

10-3

10-2

10-1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

χR,k

Case II

n

6

10-4

10-3

10-2

10-1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

χR,k

Case II

n

10-4

10-3

10-2

10-1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

χR,k

Case II

n55

10-4

10-3

10-2

10-1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

χR,k

Case II

n k = 0k = 1k = 2k = 3

10-4

10-3

10-2

10-1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

χR,k

Case II

n

102

(c) (d)

Fig. 6. Relative errors of moments for case II using QMOM (a), DQMOM (b),PPDC (c) and MoC (d).

28



10-16

10-14

10-12

10-10

10-8

10-6

10-4

10-2

0 5 10 15 20 25 30 35 40

t

χR,k

Case III

nk = 0k = 1k = 2k = 3

10-16

10-14

10-12

10-10

10-8

10-6

10-4

10-2

0 5 10 15 20 25 30 35 40

t

χR,k

Case III

n 3

10-16

10-14

10-12

10-10

10-8

10-6

10-4

10-2

0 5 10 15 20 25 30 35 40

t

χR,k

Case III

n

10-16

10-14

10-12

10-10

10-8

10-6

10-4

10-2

0 5 10 15 20 25 30 35 40

t

χR,k

Case III

n4

10-16

10-14

10-12

10-10

10-8

10-6

10-4

10-2

0 5 10 15 20 25 30 35 40

t

χR,k

Case III

n

10-16

10-14

10-12

10-10

10-8

10-6

10-4

10-2

0 5 10 15 20 25 30 35 40

t

χR,k

Case III

n

6

10-11

10-10

10-9

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

0 5 10 15 20 25 30 35 40

t

χR,k

Case III

n k = 0k = 1k = 2k = 3

10-11

10-10

10-9

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

0 5 10 15 20 25 30 35 40

t

χR,k

Case III

n 3

10-11

10-10

10-9

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

0 5 10 15 20 25 30 35 40

t

χR,k

Case III

n

10-11

10-10

10-9

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

0 5 10 15 20 25 30 35 40

t

χR,k

Case III

n4

10-11

10-10

10-9

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

0 5 10 15 20 25 30 35 40

t

χR,k

Case III

n

10-11

10-10

10-9

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

0 5 10 15 20 25 30 35 40

t

χR,k

Case III

n

6

(a) (b)

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

0 5 10 15 20 25 30 35 40

t

χR,k

Case III

n

k = 0k = 1k = 2k = 3

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

0 5 10 15 20 25 30 35 40

t

χR,k

Case III

n

3

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

0 5 10 15 20 25 30 35 40

t

χR,k

Case III

n

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

0 5 10 15 20 25 30 35 40

t

χR,k

Case III

n

4

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

0 5 10 15 20 25 30 35 40

t

χR,k

Case III

n

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

0 5 10 15 20 25 30 35 40

t

χR,k

Case III

n

6

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

0 5 10 15 20 25 30 35 40

t

χR,k

Case III

n

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

0 5 10 15 20 25 30 35 40

t

χR,k

Case III

n55

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

0 5 10 15 20 25 30 35 40

t

χR,k

Case III

nk = 0k = 1k = 2k = 3

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

0 5 10 15 20 25 30 35 40

t

χR,k

Case III

n

102

(c) (d)

Fig. 7. Relative errors of moments for case III using QMOM (a), DQMOM (b),PPDC (c) and MoC (d).

10-3

10-2

10-1

100

101

3 4 5 6

50 100 150 200

quadrature points

number of classes

χ ( %

)

10-3

10-2

10-1

100

101

3 4 5 6

50 100 150 200

quadrature points

number of classes

χ ( %

)

QMOM

DQMOMPPDC

MoC

Fig. 8. Results for the RME (%) using QMOM, DQMOM, PPDC and MoC simu-lated for case I using different number of classes/quadrature points.

29



10-1

100

101

3 4 5 6

50 100 150 200

quadrature points

number of classes

χ ( %

)

10-1

100

101

3 4 5 6

50 100 150 200

quadrature points

number of classes

χ ( %

)

QMOMDQMOM

PPDCMoC

Fig. 9. Results for the RME (%) in case II using QMOM, DQMOM, PPDC andMoC simulated using different number of classes/quadrature points.

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

3 4 5 6

50 100 150 200

quadrature points

number of classes

χ ( %

)

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

3 4 5 6

50 100 150 200

quadrature points

number of classes

χ ( %

)

QMOMDQMOM

PPDCMoC

Fig. 10. RME results (%) for case III using QMOM, DQMOM, PPDC and MoCsimulated using different number of classes/quadrature points.

30



100

101

102

2 3 4 5 6 7 8 9 10

C P U

T i m e ( s )

n

Case I

QMOMDQMOM

PPDC

Fig. 11. Computational time of the simulations using QMOM, DQMOM and PPDCfor case I using the explicit Euler method with ∆t = 10−5 s.

10-1

100

101

2 3 4 5 6 7 8 9

C P U

T i m e ( s )

n

Case I

QMOMDQMOM

Fig. 12. Computational time of QMOM and DQMOM simulated with the DASSLroutine.

31



A p ê n d i c e B

A v a l i a ç ã o e I m p l e m e n t a ç ã o d a E B P e

M U S I G

B . 1 I n f o r m a ç õ e s s o b r e o A p ê n d i c e

O t r a b a l h o a p r e s e n t a d o n e s t e a n e x o f o i a p r e s e n t a d o n a I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e

o f M u l t i p h a s e F l o w 2 0 0 7 [ 2 8 1 ] , q u e o c o r r e u e m L e i p i z g , A l e m a n h a . U m a v e r s ã o

a p r i m o r a d a d e s t e t r a b a l h o f o i a c e i t a r e c e n t e m e n t e p a r a p u b l i c a ç ã o [ 2 6 0 ] .

2 2 7



694 6th International Conference on Multiphase Flow,

ICMF 2007, Leipzig, Germany, July 9 – 13, 2007

Implementation and analysis of numerical solution of the population balance equation inCFD packages

Silva L.F.L.R., Damian R.B. and Lage P.L.C.

Programa de Engenharia Química, COPPE, Universidade Federal do Rio de JaneiroP. O. Box 68502, 21941-972, Rio de Janeiro, RJ, Brazil

[email protected]

Keywords: Population balance, DQMOM, ANSYS CFX, OpenFOAM

Abstract

Simulation of polydisperse flows must include the effects of particle-particle interaction, as breakage and aggregation,coupling the population balance equation (PBE) with the multiphase modelling. In fact, the implementation of efficient andaccurate new numerical techniques to solve the PBE is necessary. The Direct Quadrature Method of Moments (Marchisio& Fox 2005), known as DQMOM, came into view as a promissing choice for this implementation. DQMOM is a furtherdevelopment from QMOM (McGraw 1997), a moment-based method that uses an optimal adaptive quadrature closure. Inthe present work, DQMOM was implemented in two CFD packages: the commercial ANSYS CFX code, through FORTRANsubroutines, and the open-source OpenFOAM code, by directly coding the PBE solution. Transient zero-dimensional andsteady one-dimensional simulations were performed in order to explore the PBE solution accuracy using several interpolationschemes. Simulation cases with dominant breakage, dominant aggregation and invariant solution (equivalent breakage andaggregation) were simulated and validated against an analytical solution (McCoy & Madras 2003). The solution of thepopulation balance equation was then coupled to the two-fluid model, considering that all particles classes share the samevelocity field. Momentum exchange terms were evaluated using the local instantaneous Sauter mean diameter of the sizedistribution function. The two-dimensional tests were performed in a backward facing step geometry where the vortex zonestraps the particles and provides high rates of breakage and aggregation.

Introduction

The Computational Fluid Dynamic (CFD) simulations havebeen used with great success in chemical engineering appli-cations. Nowadays, CFD analysis allows the reproductionof local details in three-dimensional domains in equipmentsand the treatment of processes with complex physics as mul-tiphase, turbulent and reactional flows. However, the DirectNumeric Simulation (DNS) of these flows in industrial scale

are still intractable. Therefore, statistical averaging mod-elling approaches are necessary to reduce the computationaleffort.

One of these modelling approaches for multiphase flowsis the multifluid model, also called the Eulerian multiphaseflow model, in which conservation equations are derived foreach relevant mean variable field of each phase (momentum,energy, turbulence energy, mass concentration, etc.) (Ishii1975; Drew & Prassman 1999). In the statistical averagingprocess, interphase exchange terms are produced, which needto be modeled considering a characteristic length scale of theinterface. Dispersed multiphase flows are those in which one

phase is a connect domain and all the others phases are dis-persed in the form of small elements, the particles, used herefor drops, bubbles or solid particles. In these cases, particlediameter characterises the interphase length scale and it is

commonly used in modelling all interphase exchange termswhich give the interactions between the particles and the con-tinuous phase. However, they do not consider the particle-particle interactions.

In dispersed flows, the particles interact among them-selves. They collide and may aggregate. They can be brokendue to collisions or due to interaction with the continuousphase flow. Therefore, the occurrence of particles with dif-ferent sizes are more a rule than an exception in a dispersed

flow. In actual applications, the particles in a dispersed multi-phase flow are different due to several properties: size, shape,composition, energy content, etc. When the particles cannotbe assumed to be equal, the flow is called a polydisperse mul-tiphase flow.

There are two challenges in modelling dispersed flows:the exchange of momenta between particles due to col-lisions, which is important for dense solid particle flows(granular flows), and the changes of all other particle prop-erties due to particle breakage and aggregation, which isparamount in fluid particles flows. The former problem isanalysed by modelling each collision in the discrete element

method (Bertrand et al. 2005) or by including their statisticalaveraged influence in the multifluid model as in the theory of granular flows (Gidaspow 1994). The latter problem is anal-ysed by population balance (PB) (Ramkrishna 2000), which

1





includes the statistically averaged effect of breakage and ag-gregation on the particle population.

Population balance has shown to be a powerful tool todescribe the evolution of particle distributions in differentpieces of equipment for decades. Besides the modelling of the phenomena which change the number of particles (break-

age, aggregation and nucleation), it can also accounts for anyvariation of a particle property due to its interaction to thecontinuous phase. Recently, much research has been carriedout on the coupling of the solution of the population balanceequation (PBE) to CFD software. The main limitation of thiscoupling is the extra computational effort for PBE solution.Classical numerical techniques to solve the PBE, as MonteCarlo or sectional methods, are very computational expen-sive. Therefore, efficient and accurate new numerical meth-ods are necessary.

The Direct Quadrature Method of Moments (DQMOM)(Marchisio & Fox 2005) came into view as a promising

choice for the PBE-CFD coupling. DQMOM was inspired byQMOM (McGraw 1997), a moment-based method that usesan optimal adaptive quadrature closure. DQMOM avoids themoment balance equations of QMOM. The main advantageof QMOM/DQMOM is that few abscissas are necessary toaccurately describe a particle distribution due to the optimalquadrature closure. Since this leads to moving pivots, whenthe DQMOM solution of the PBE is coupled to CFD simula-tions, each point in the physical domain has its own quadra-ture abscissas and weights to describe the particle distribu-tion. The accuracy gain thus obtained enables that DQMOMcan be used in PBE-CFD simulations without increasing toomuch the computational effort as previous techniques do.

Marchisio & Fox (2005) presented the DQMOM technique,showing its efficiency against previous techniques. DQMOMwas used to the PBE-CFD simulations of a polydisperse gas-solid fluidised bed using the FLUENT package (Fan et al.

2004) and was recently applied to simulate flows with bivari-ate particle distributions (Fox 2006).

Besides the PBE-CFD coupling, another great challengeon the simulation of polydisperse flows are the breakage andaggregation modelling. Araújo (2006) showed that the cur-rent available breakup and coalescence models for gas-liquidflows are not completely adequate. For instance, a simula-tion of a bubble column flow must consider several difficult

modelling issues as turbulence in two-phase flow, momen-tum interphase exchange forces (drag, lift, virtual mass, walllubrication and turbulent dispersion forces) and the PBE so-lution with adequate breakage and coalescence models. Notethat experimental validations of this kind of flow are verydifficult due to the fact that too many modelling uncertaintiesare present.

The present work is focused on the investigation of the nu-merical behaviour of the coupled DQMOM solution in CFDcodes. For the present time, no attention will be given to re-alistic breakage and aggregation models and neither to theadequacy of the modelling of the momentum interphase ex-

change forces. Rigorous numerical verification steps werefollowed to learn how this coupling behaves in order to guar-antee numerical accuracy of the PBE solution in CFD codesbefore moving ahead to the other modelling stages.

The numerical verification were performed using the ana-lytical solution of McCoy & Madras (2003), which solvesthe monovariate PBE for a transient zero-dimensional prob-lem considering simple breakup and aggregation models.Cases with dominant breakage, dominant aggregation andthe invariant solution (equivalent breakage and aggregation)

were considered. First, transient zero-dimensional simula-tions were performed in order to check the time integra-tion accuracy of the CFD codes. Next, the time dependentzero-dimensional solution was transformed to a steady one-dimensional solution considering a uniform velocity field.This allowed the analysis of several advection schemes andmesh convergence. Finally, in order to verify the multi-dimensional behaviour of the implementation, a fictitioustwo-dimensional emulsion flow through a Backward FacingStep (BFS) geometry was simulated using the same simplemodels for breakage and aggregation.

Nomenclature

Aα cross section area divided by the volume of the particle (m−1)

a(v, v, t) aggregation frequency (m−3 s−1)b(v, t) breakage frequency (s−1)C D coefficient of interphase drag forceDα deformation tensor of phase α (kg m−1 s−2)ds Sauter mean diameter (m)f (x, v , t) particle distribution function (m−6)g gravitational field (m s−2)H (x, v , t) PBE source term (m−6 s−1)

k turbulent kinetic energy (m s−2

)Mα interphase force acting on phaseα (kg m−2 s−2)

N number of phasesn number of quadrature pointsP (v | v) conditional probability for generating a

daughter particle of volume v once a particleof volume v has broken (m−3)

p pressure (kg m−1 s−2)rα fraction of phase αTα tension tensor of phase α (kg m−1 s−2)t time (s)uα velocity field of phase α (m s−1)v volume of particle (m3)x external variables, spatial coordinates (m)wi quadrature weight (m−3)

Greek letters

χ mean relative errorΓ Gamma functionµk moment k of distributionς i weighted abscissa (ς i = ξiwi)ν α dynamic viscosity of phase α (kg m−1 s−1)ηα kinematic viscosity of phase α (m2 s−1)ρα density of phase α (kg m−3)

τ α viscous tension tensor of phaseα (kg m−1 s−2)

θi, κi DQMOM source termsϑ(v) mean number of particles formed due to the

2





breakage of a particle with volume vξi quadrature abscissa (m3)

Subscripts

c continuous phased dispersed phase

r relative

Superscripts

(a) analytical solutionD dragef f effectivef dimensional variableφ dimensionless variablelam laminarturb turbulent

Two-fluid Model

The two-fluid model is based on the mean mass and mo-

mentum conservation equations to describe the dynamic be-haviour of the two-phase flow. These equations are obtainedthrough average procedures, which usually are the time av-erage or the ensemble average. The average procedure intro-duces the average occurrence of phase α, rα, which is knownas the phase fraction. Due the average procedure, additionalterms appears in the mean conservation equations which needto be modeled. These terms represent the phenomena thatoccurs on scales smaller than the averaging scale. Detailsabout the theory and formulation of the two-fluid model canbe found in Ishii (1975), Drew & Prassman (1999) and Bove

(2005).Assuming that the interfacial tension effects are not impor-

tant, it is possible to consider that all phase share the samepressure field. In this case, the average two-fluid equationsare given by:

∂ (rαρα)

∂t+ · (rαραuα) = 0 (1)

∂ (rαραuα)

∂t+ · (rαραuαuα) = · (rαT

eff α )

+ Mα + rαραg (2)

where Teff

α

represents the effective tensor composed by themean viscous and turbulent tensors of phase α, which is usu-ally modelled using the Newtonian functional form:

Teff α = − pαI+ τ eff α (3)

τ eff α = ν eff α

2Dα −

2

3( · uα) I

−

2

3ραkαI (4)

Dα =1

2

uα + (uα)t

(5)

In Eq. 4, kα stands for the turbulent kinetic energy of phaseα. For turbulent flows, Eqs. 3 and 4 can be written in a dif-ferent form by the definition of the modified pressure, ˆ p:

Teff α = −ˆ pαI + τ

eff α (6)

τ eff α = 2ν eff α Dα (7)

ˆ pα = pα +2

3ραkα +

2

3ν eff α ( · uα) (8)

The formulation of Eqs. 3 and 4 is used in the twoPhaseEuler-Foam solver of OpenFOAM and that given by Eqs. 6 and 7is used in CFX.

In Eq. 2, Mα represents the momentum exchange throughthe interface or a force per unit volume acting on phase α.This force is usually decomposed as interaction forces re-

sponsible for drag, lift and virtual mass, among others. Ascommented before, there is no general agreement on the lit-erature about the modeling of Mα. In order to avoid addi-tional modelling uncertainty, it was decided to include onlythe drag force in Mα because it is usually the dominant forceand both ANSYS CFX and OpenFOAM use exactly the samecorrelation.

Considering a two-phase flow in which α = c representsthe continuous phase and α = d the dispersed phase, the dragforce is modelled as shown in Eq. 9.

MDc =

1

2rdAdρcC D |ur|ur (9)

where ur = ud − uc is the relative disperse phase velocity,Ad is the particle projected area normal to the relative veloc-ity divided by the particle volume and, for spherical particles,Ad simplifies as:

Ad =πd2d/4

πd3d/6=

3

2dd(10)

The drag coefficient, C D, is usually obtained through cor-relations which are dependent on the particle size. TheSchiller & Naumann (1933) correlation, shown in Eq. 11,is used in this work.

C D = 24(1+0.15Re

0.687d )

Red if Red < 10000.44 if Red > 1000

(11)

where the particle Reynolds number is shown below.

Red =ρcrc|ud − uc|dd

µd(12)

For the approximation that all particles have the same ve-locity field, the interaction force is determined using theSauter mean diameter, ds, of the particle size distribution(PSD).

Population Balance and DQMOM

A propper way of modelling the evolution of the propertiesof a relatively large number of particles in a two-phase flow,including the phenomena of aggregation and breakage, is byusing population balance. This implies the application of theprinciple of conservation to the number of particles, deriv-ing an equation in terms of the particle distribution function(PDF), f , which is called the population balance equation(PBE).

The PDF depends on time, external variables, which arethe physical space coordinates, and internal variables, which

can be any particle property (mass, volume, area, speciesconcentration, energy, etc.). In order to couple to CFD sim-ulations, the monovariate case of interest in the one in whichthe particles are distributed by their mass or volume. The

3





general form of the monovariated PBE (in volume, v) in-cluding particle breakage and aggregation is given by Eq. 13(Ramkrishna 2000).

∂f (x, v , t)

∂t+x · [udf (x, v , t)] = H (x, v , t) (13)

In Eq. 13, the source term H (x, v , t) includes the birthand death rates due aggregation and breakage processes, asdefined below

H (x, v , t) =1

2

v 0

a(v − v, v)f (v − v, t)f (v, t) dv

−

∞ 0


+

∞

vϑ(v)b(v)P (v | v)f (v, t) dv

− b(v)f (v, t), (14)

where a(v, v) is the aggregation frequency, ϑ(v) is the meannumber of particles formed by breakage, b(v) is the break-age frequency and P (v | v) is the conditional probability of generating a particle of volume v once a particle of volumev has broken. As seen in Eqs. 13 and 14, the PBE forms anintegro-differential equation and a proper method is neces-sary to its solution.

The Direct Quadrature Method of Moments (DQMOM)(Marchisio & Fox 2005) considers a quadrature closure ap-proximation for the integrals of the distribution function in

the space of internal variables in terms of Dirac delta func-tions. For a monovariate problem, the representation of thedistribution function is shown in Eq. 15, where ξi and wi

are, respectively, the quadrature abscissas and weights, beingscalar fields in the physical space.

f (x, v , t) =

ni=1

wi(x, t)δ[v − ξi(x, t)] (15)

The moments of the distribution function can be approxi-mated using Eq. 15 as shown below.

µk = ∞0

vkf (v, t) dv ni=1

ξki wi, k = 0, . . . , 2n− 1

(16)The quadrature approximation given by Eq. 15 can be sub-

stituted in the PBE (Eq. 13). The resulting equation involvesthe derivatives of the Dirac delta distribution, but it can be in-tegrated to give a relation between ordinary functions. If it isoperated with

vk · dv, k = 0, . . . , 2n−1, the linear system

of equations given by Eq. 17 is obtained after some manip-ulation (details is Marchisio & Fox 2005), together withtransport equations for the weights and weighted abscissas(ς i = wiξi), which are given in Eqs. 18 and 19.

(1−k)ni=1

ξki θi+kni=1

ξk−1i κi = H (n)k , k = 0, . . . , 2n−1

(17)

∂wi(x, t)

∂t+ · [ud,iwi(x, t)] = θi, i = 0, . . . , n (18)

∂ς i(x, t)

∂t+ · [ud,iς i(x, t)] = κi, i = 0, . . . , n (19)

The solution of Eqs. 17, 18 and 19 are fully coupled. In orderto solve the partial differential equations, Eqs. 18 and 19, in

the (t,x) domain, the linear system, Eq. 17, must be solvedat every point of this domain to give the source terms θi andκi.

The term H (n)k in Eq. 17 is the k moment of the source

term given by Eq. 14 approximated by the n-point quadra-ture. This term incorporates the aggregation and breakageeffects and is given by:

H (n)k =

1

2

ni=1

nj=1

[(ξi + ξj)k − ξki − ξkj ]a(ξi, ξj)wiwj

+n

i=1 b(ξi)wi[ϑ(ξi)πk(ξi)− ξki ], (20)

where πk(ξi) is defined as

πk(ξi) =

ξi0

vkP (v | ξi) dv (21)

Application of DQMOM to more general cases can be foundin Marchisio & Fox (2005).

Once the solution is known, any population property canbe calculated. The disperse phase fraction, rd, is of interest aswell as the Sauter mean diameter, ds. Due to the assumptionthat ud,i = ud, ∀i, the latter was used to evaluate the inter-phase forces. Using the quadrature approximation, Eqs. 22gives rd, whereas Eq. 23 gives ds under the assumption of spherical particles.

rd =

∞

0

vf (x, v , t) dv ni=1

ξiwi =

ni=1

ς i (22)

ds =

∞

0d3f (x, v , t) dv

∞

0d2f (x, v , t) dv

6

π

1/3 ni=1 ξiwin

i=1 ξ2/3i wi

(23)

CFD Packages

The DQMOM algorithm was implemented in both ANSYSCFX and OpenFOAM frameworks and then used to simulatethe zero and one-dimensional verification cases. Further, thecoupling of PBE with a two-phase flow considering a singlevelocity field for the disperse phase was also simulated. Thissection briefly presents the CFD packages and also explainsthe CFD-PBE coupling implementation.

ANSYS CFX is a commercial multipurpose CFD codecurrently developed by ANSYS Inc. The CFX numerical ker-nel uses the Element Based Finite Volume (EbFVm) methodto treat generalised unstructured meshes in Cartesian coordi-

nates. The discrete system of linearised equations is solvedusing the Algebraic Multigrid (AMG) method accelerated bythe Incomplete Lower Upper (ILU) factorisation technique.The Pressure-Velocity coupling is carried out in a single cell

4





of the collocated grid using a Rhie and Chow like formula-tion. This solution approach uses a fully implicit discreti-sation of the equations. In steady state solutions, the falsetime step technique is applied to the solution relaxation (Raw1994).

In ANSYS CFX, due to the EbFVm, the control volume

is generated around each mesh node by connecting all theneighbour element centres and corresponding edge centresby planes, forming a polyhedron. This approach leads to ahigher numerical accuracy, because it has many more inte-gration points per control volume (24 for a hexahedral vol-ume and 60 for a tetrahedral volume) than the classical finitevolume method (Raw 1994).

ANSYS CFX has the full Eulerian-Eulerian multiphaseformulation, which consist on separated variable fields (ve-locity, energy, turbulence, mass concentration, ...) for eachphase, but restricted to the fact that all phases have to sharethe same pressure field. The preliminary DQMOM imple-mentation in ANSYS CFX presented in this work considersthat all particles share the same velocity field. Thus, onlytwo phases were considered: one continuous and one dis-perse phases. The disperse phase contains all particles, inde-pendently of their sizes.

The transport equations for weights and weighted abscis-sas for the n-point quadrature, Eqs. 18 and 19, are imple-mented in ANSYS CFX as additional transported variablesin the dispersed phase, which have only temporal, advectiveand source terms. No diffusive term was present, leading toequations with hyperbolic behaviour. Therefore, special carewas taken to verify the accuracy of the advection schemesused in this work.

Using FORTRAN subroutines, θi and κi, which are thesource terms of the DQMOM additional variables transportequations, are calculated for each mesh node from the so-lution of the linear system given by Eq. 17. The solutionof these additional transport equation tracks the DQMOMweights and abscissas thought the space and time. However,initial fields for the weights and abscissas of the particle sizedistribution must be given. One can specify them directly orresort to the Product-Difference Algorithm (PDA) proposedby Gordon (1968), which can calculate the weights and ab-scissas from the first 2n moments of the particle distributionfunction which must be given. These can be easily calculated

if the initial PDF is known.OpenFOAM (Field Operation And Manipulation) is a free

source CFD package written in C++ which uses classes andtemplates to manipulate and operate scalar, vectorial and ten-sorial fields (Weller et al. 1998). Thus, OpenFOAM can in-terpretate the true meaning of a field, encapsulating the ideaof magnitude and direction of a vector, for instance. Com-bined with implementations of adequate numerical methodsto the discretisation of partial differential equations and tothe solution of the resulting linear systems, OpenFOAM is asa good choice to handle CFD problems. Besides, its open-source characteristics is an advantage in the implementation

of any addition or modification in the code.The OpenFOAM finite volume approach in each control

volume is performed using the Gauss theorem to transformthe volume integrals of flux divergence into surface integrals

P Nf

S NO

O

Figure 1: OpenFOAM non-orthogonality treatment that uses

the decomposition of S in the O and NO vectors (S = O+NO).

of normal fluxes. This leads to a flux discretisation whichis the sum of normal fluxes evaluated at each volume facecentres by interpolation from the neighbour volume centres.This is quite suitable for orthogonal meshes, but needs cor-rection for non-orthogonal grids. Jasak (1996) implementedan iterative procedure to correct the face fluxes due to themesh non-orthogonality. Thus, OpenFOAM separate the fluxin two parts known as the orthogonal and non-orthogonal

contributions. For instance, the volume integral of 2

φ leadsto the surface integral of S · φ which has to be evaluated atall volume faces. For a given face with area S , the integratedterm is S · (φ)f , where S = S S. Eq. 25 shows its vectordecomposition in the orthogonal contribution, easily calcu-lated, and the non-orthogonal correction.

S · (φ)f = O · (φ)f

+ NO · (φ)f (24)

orthogonal part non-orthogonal part

Fig. 1 shows the vectorsS,O andNO for the flux evaluationat face f whose neighbour volumes have centres given by

points P e N . The non-orthogonal contribution is explicitlyevaluated and the number of iterative flux corrections may beset by the user.

Several numerical flux interpolation schemes are avail-able in OpenFOAM, including upwind, central difference,QUICK and flux limiters schemes. Also, many numericalmethods for solving linear systems are available, as Gauss-Siedel, AMG and variants of the conjugated gradient meth-ods.

The PBE was implemented in OpenFOAM as a new solvercalled pbeFoam following exactly the DQMOM algorithm(Eqs. 17, 18 and 19) explained previously in this work. Thus,

the coupled CFD-PBE solver was implemented adapting anexisting two-phase flow solver (twoPhaseEulerFoam)using the pbeFoam solver.

The twoPhaseEulerFoam solver handles incompress-ible two-phase flows (Rusche 2002). This solver is imple-mented considering the drag, turbulent drag, lift and virtualmass interphase forces and it may utilise the modified k − turbulent model of Gosman (1992). It uses the PISO al-gorithm for the velocity-pressure coupling proposed by Issa(1986). The interphase drag terms are calculated using a par-ticle diameter which is constant through the simulation. Formore details on the numerical algorithms and approximations

for the two-phase modelling in OpenFOAM, the reader is en-couraged to read Jasak (1996) and Rusche (2002).

This work improves the actual twoPhaseEulerFoamsolver including the solution of the PBE using DQMOM. For

5





an incompressible dispersed phase, Eq. 1 implies to:

∂rd∂t

+ · (rdud) = 0 (25)

Since there is mass conservation in the breakage and aggrega-tion processes, n

i=1 κi = 0, and the sum for all i of Eq. 19

gives Eq. 25.Rusche (2002) utilises Eq. 25 as re-arranged by Weller

(2002) in a conservative and bounded form for all rd (0 ≤rd ≤ 1) given by Eq. 26.

∂rd∂t

+ · (urd) + · [urrd(1− rd)] = 0 (26)

where u = rcuc + rdud. In fact, this approach implicitlycouples the phases through the relative velocity (ur = ud −uc).

As seen in Eq. 22, each weighted abscissa ς i is actually thefraction of the disperse phase represented by class i. There-

fore, following Rusche (2002), Eq. 19 was implemented asexpressed in the form given by Eq. 27.

∂ς i∂t

+ · (uς i) + · [ur(1− rd)ς i] = κi (27)

Therefore, in the coupled CFD-PBE solver, the dispersephase fraction is obtained summing up the n weighted ab-scissas as given by Eq. 22. Once the quadrature is known,the interphase forces are calculated using the Sauter meandiameter evaluated by Eq. 23.

McCoy & Madras (2003) Solution

McCoy & Madras (2003) developed an analytical solutionfor the monovariated homogeneous PBE given by

df (v, t)

dt=

1

2

v0

a(v − v, v)f (v − v, t)f (v, t) dv

−

∞

0


+

∞

v

ϑ(v)b(v)P (v | v)f (v, t) dv

− b(v)f (v, t) (28)

for the following initial condition and breakage and aggrega-tion kernels:

f (v, 0) =µ0(0)2

µ1(0)e−

µ0(0)

µ1(0)v (29)

ϑ(v) = 2, b(v) = Sv, S = constant (30)

a(v − v, v) = C, C = constant (31)

P (v | v) =1

v(32)

McCoy & Madras (2003) used the initial number of par-ticles, µ0(0) =

∞

0f (x, v , t) dv, and the total particle vol-

ume, µ1 = ∞

0vf (x, v , t) dv, which is constant by volume

conservation upon breakage and aggregation, to define thefollowing dimensionless variables:

Φ(τ ) =µ0(t)

µ0(0), η =

vµ0(0)

µ1,

τ = µ0(0)Ct, φ(η, τ ) =f (v, t)µ1

[µ0(0)]2

(33)

Using these variables, the PBE became

∂φ(η, τ )

∂t=

1

2

η0

φ(η − x, τ )φ(x, τ ) dx

− φ(η, τ )Φ(τ )

+ [Φ(∞)]2 ∞

η

φ(x, τ ) dx

−η

2[Φ(∞)]2 φ(η, τ ) (34)

with the following initial condition:

φ(η, 0) = e−η (35)

whose analytical solution is (McCoy & Madras 2003):

φ(a)(η, τ ) = Φ2(τ )e−ηΦ(τ ), (36)

Φ(τ ) = Φ(∞)

1 + Φ(∞) tanh(Φ(∞)τ /2)

Φ(∞) + tanh(Φ(∞)τ /2)

where Φ(∞) =

2Sµ1/C/µ0(0) is the steady-state solu-tion of the dimensionless particle number density.

From Eq. 36, the moments of the dimensionless distribu-tion function can be evaluated as:

µ(a)k (τ ) =

Φ(∞) + tanh(Φ(∞)τ

2)

Φ(∞)(1 + Φ(∞) tanh(Φ(∞)τ 2 ))

k−1Γ(k + 1)

(37)whereas the initial moments of the dimensionless distributionare given by

µ(a)k (0) = Γ(1 + k) (38)

Thus, when Φ(∞) = 1, the solution is invariant with time.This happens when the expression µ0(0) =

2Sµ1/C is

satisfied, leading to a process with same intensity for break-age and aggregation. Thus, since Φ(∞) can assume arbitraryvalues, this solution may represent systems with dominant

breakage (Φ(∞) > 1) or dominant aggregation (Φ(∞) < 1).

Simulation Results

In order to evaluate the numerical code implemented into theCFD packages, different cases were simulated and comparedagainst the analytical solution of McCoy & Madras (2003).

For the numerical tests, a f distribution with µ0(0) =µ1 = 1 can be used. In this case, if C = 1 is also set, thenS = Φ(∞)2/2. Therefore, the dimensional PBE problemsolved for this distribution with:

a(v, v

) = 1, b(v) =

1

2 Φ(∞)2

v, P (v | v

) =

1

v , ϑ(v) = 2(39)

has a dimensional solution which is numerically equal tothe dimensionless analytical solution of McCoy & Madras

6





(2003). By choosing the values of Φ(∞) cases with differentbehaviour can be obtained. Three cases were considered: (a)the invariant solution (Φ(∞) = 1), (b) the breakage domi-nant solution (Φ(∞) = 10) and (c) the aggregation dominantsolution (Φ(∞) = 0.1).

The McCoy & Madras (2003) analytical solution gives the

moments of the distribution, µk, in Eq. 37. The DQMOMsolution provides the n weights and abscissas, which can beused to approximate the 2n first moments of the distributionused in the DQMOM algorithm. When comparing these twosets of moments, two different kinds of error emerge. Thefirst kind of error is related to the quadrature approximation(Eq. 16) of the DQMOM method, which is reduced dramat-ically with the increase of the number of quadrature points(Marchisio & Fox 2005). The second kind of error is relatedto the time-integration of the differential equation.

In previous works (Marchisio & Fox 2005; Fan et al.

2004), the convergence of DQMOM with the quadrature or-der has already been proved, showing that 3 − 4 quadrature

points are usually sufficient to obtain an accurate solution forCFD simulations. In the present work, our goal is a rigorousverification of the accuracy of DQMOM implementations inCFD codes. That is, our focus was in the accuracy of the timeor space integration of the DQMOM equation. Therefore, weexcluded the quadrature error from the present comparisonand carried out all the simulations using n = 4. In order toperform this exclusion, the DQMOM method was applied toEq. 13, generating a set of ordinary differential equations forweights and abscissas:

dwi

dt

= θi,dξi

dt

= κi, i = 1 . . . n (40)

which were implemented in a separated numerical code,which uses the DASSL routine (Petzold 1982) for the timeintegration. The adaptive time step and integration orderprocedure of DASSL together with a very strict criteria forconvergence (absolute and relative tolerances of 10−10 and10−12, respectively) led to a numerical solution for the 4-point quadrature case virtually free of numerical integration

error. This was called the “analytical” solution, w(a)i and

ξ(a)i . Of course, this numerical solution still has the DQ-

MOM quadrature error. Therefore, when the results from aDQMOM implementation in a CFD code are compared to

this DASSL solution, only integration errors in time or spaceare shown.

Transient zero-dimensional simulations

The transient zero-dimensional simulations were carried outintegrating in time Eqs. 18 and 19 for a null velocity field.Thus, the DQMOM transport equations were numericallysolved as simple ordinary differential equations using the ex-

plicit Euler method for OpenFOAM and the 2nd order Back-ward Differencing Scheme (BDS) for ANSYS CFX. Thechosen transient schemes were the default ones for each CFD

package. An invariant numerical solution was reached whenusing a constant time step of 10−3 s in both codes. Figs. 2and 3 show the comparison between the analytical abscis-sas and weights (DASSL solution) and their values obtained

10-1

100

101

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

ξi

i = 1

i = 2

i = 3

i = 4

AnalyticalOpenFOAM

CFX

Figure 2: Comparison of the abscissas obtained from AN-SYS CFX and OpenFOAM in the 0D simulations for case(b).

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

0 10 20 30 40t

wi

i = 1

i = 2

i = 3

i = 4

AnalyticalOpenFOAM

CFX

Figure 3: Comparison of the weights obtained from ANSYSCFX and OpenFOAM in the 0D simulations for case (c).

through ANSYS CFX and OpenFOAM for cases (b) and (c),respectively. From theses figures, the numerical results us-ing both codes are in excellent agreement to the analyticalsolution. A more detailed analysis of the solution errors canbe done by defining the overall mean relative error (OMRE),χt:

χt2

=1

2nM

M j=1

ni=1

|w(a)

i,j − wi,j |

w(a)i,j

2

+

|ξ(a)i,j − ξi,j |

ξ(a)i,j

2 (41)

where M is the number of samples regularly taken from thetransient simulation and the subscript j represents the timesample.

Considering M = 1000, the OMRE results for cases (a),

(b) and (c) using ANSYS CFX and OpenFOAM are shownin Table 1.

Analysing the OMRE results shown in Table 1, the Open-FOAM performance was very good, with its OMRE results

7





Table 1: ANSYS CFX and OpenFOAM OMRE for zero-dimensional simulations of cases (a), (b) and (c).

Cases χt(%)CFX OpenFOAM

a 1.52 · 10−4 5.12 · 10−5

b 0.21 0.58c 9.55 · 10−3 3.63 · 10−6

reaching 10−5–10−6 accuracy. On the other hand, ANSYSCFX performance was not good. Even though the softwareclaims to use the second-order BDS integration scheme, itsOMRE results are not accurate, being in the 10−3–10−4

range for cases (a) and (c) and reaching the surprisingly largevalue of 0.56 for case (b), the breakage dominant solution.As this code in not open-source, it was not possible to verifythe source of this large error.

Steady-state one-dimensional simulations

Although the analytical solution was given for the transientzero-dimensional PBE, it can also be used to verify one-dimensional simulations by transforming the time dependentPBE into a steady uniform-velocity one-dimensional PBE, asshown below for a general variable φ.

dφ

dt= ϕ =⇒ uz

dφ

dz= ϕ (42)

For a domain with length L in the z direction, L/uz rep-resents the advective time in the propagation of the PBE

solution into the domain. From Figs. 2 and 3, it is pos-sible to estimate the time necessary for the abscissas andweights to reach their steady-state values. Therefore, uz canbe chosen in order to these variables present profiles alongthe z coordinate in the steady-state one-dimensional simula-tion that are equal to their transient profiles in the transientzero-dimensional simulation.

This work used the one-dimensional geometry shown inFig. 4, 1 m long in z direction and with edges of 0.1 m inthe normal directions. ANSYS CFX simulations needed a 3-D domain but OpenFOAM simulations were carried out in a2-D domain (0.1 × 1 m). Of course, due to the 1-D nature

of the problem, the mesh had only one volume in the normaldirections.According to Fig. 4, the boundary conditions for all DQ-

MOM variables consists of specified value at the inlet andzero gradient for the others patches. The uz velocity field isconstant and specified for the whole domain in z direction.In order to avoid numerical inconsistencies during DQMOMcalculations, the initial fields of the weights and abscissas

Figure 4: The mesh with 100 volume used in the one-dimensional steady simulations. Boundary patches and z ori-entation are also shown.

were set to be uniform and equal to the corresponding inletcondition.

From Figs. 2 and 3 the steady-state solution is approxi-mately reached in 0.5 s for case (b) and 40 s for case (c).Thus, equating those values to the advective times L/uz ,uz values were calculated to be 2 m/s for case (b) and

0.025 m/s for case (c).The steady-state solution approach was nearly the samefor each code. ANSYS CFX uses, by default, a false tran-sient relaxation method for the steady-state simulations. InOpenFOAM, a transient run were adopted until the steady-state pattern was reached. Thus, the total simulation timein OpenFOAM were set as 0.5 s for case (b) and 40 s forcase (c), which guarantees the DQMOM variables advectionthrough the whole 1D domain. Besides of that, a maximumresidual criterion was used to ensure the steady-state conver-gence in both codes. Usually, 1000-10000 time steps werenecessary to obtain convergence in cases (b) and (c).

A mesh convergence analysis was made for the results of

both packages using the OMRE, as defined in Eq. 41, but nowM is the number of volumes in the mesh. It was assumedthat the mesh convergence was achieved when the resultantOMRE was lower than 1%.

The advection terms of the DQMOM transport equationswere discretised using high resolution numerical schemeswith flux limiters. The numerical schemes used to evalu-ate the mesh convergence are based on a blending betweenfirst order upwind (UD) and second order approaches, as ex-plained below for both packages.

Advective terms are interpolated in ANSYS CFX usingadvection schemes based on the blend factor, β , and can be

cast in the form:

φip = φUD + β φ · r (43)

where φUD is the value at the upwind node, r is the vectorfrom the upwind node to the integration point ip and φ isthe numerical approximation of the gradient at the upwindnode. When β is zero, the advection scheme yields the firstorder upwind scheme. When β is one, the solution is thesecond order accurate upwind scheme. The quantity β φ ·r,called the Numerical Advection Correction (NAC), may beviewed as an anti-diffusive correction applied to the upwindscheme.

The ANSYS CFX user can specify a constant value forβ or use the High Resolution (HR) advection scheme. Thisscheme chooses automatically a β based on flux limiters inorder to avoid oscillation in the solution in regions with largegradients. In other regions, the HR scheme keeps β equal to1 (Barth & Jesperson 1989), to maintain second-order accu-racy. This scheme is a quasi-second-order-accurate advectionscheme which avoids numeric oscillations.

For the OpenFOAM simulations, the Gamma scheme de-veloped by Jasak (1996), based on the Normalised VariableDiagram (NVD), was used. This scheme uses a smoothingcoefficient γ (0.1 < γ < 0.5) to blend the first order upwind

(UD) and the central difference (CD) schemes. The largerthe value of γ , the larger the blending introduced betweenthese schemes and the smoother the transition between them.Its implementation in OpenFOAM used the factor Γ = 2γ

8





Table 2: OMRE results (%) using uniform meshes for simu-lations with ANSYS CFX and OpenFOAM for case (b).

Software Number of volumes(advective scheme) 250 500 750

CFX (HR) 1.76 0.10 0.05OF (G1) 4.39 0.36 0.27

as input. The simulations using the γ advection schemewere referred in the present work by a G followed by theΓ (0.2 < Γ < 1) value employed.

Due its invariant behaviour, the one-dimensional simula-tions for case (a) presented mesh independent results, dif-fering from the analytical solution only due to machine pre-cision errors. As expected for constant fields, the use of different interpolation functions presented minimum effects.Therefore, the analysis of mesh convergence and advectiveinterpolation functions are presented only for cases (b) and

(c).The first convergence tests were performed with very

coarse uniform meshes (25-50 volumes). Due to the fastbreakage dynamics originated by its linear kernel, case (b)did not converge in these coarse meshes, presenting large os-cillations rates. The w3 and w4 variables showed a large gra-dient near the inlet boundary which might have contributedfor the divergence problem. In fact, the coupling introducedby the DQMOM linear system, Eq. 17, leads to divergenceeven if only one of the DQMOM variables is not well ap-proximated.

More refined meshes were then used to achieve conver-

gence. At least 250 volumes were necessary in both CFDpackages to reach a convergent steady-state in case (b). TheOMRE results for case (b) using uniform hexaedrical (or-thogonal) meshes with 250, 500 and 750 volumes are shownin Table 2.

Table 2 shows that overall convergence was achieved forcase (b) in the meshes with 500-750 volumes for the sim-ulations using both softwares. However, the simulationswith different packages present convergence differences in

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

z

wi

i = 1

i = 2

i = 3

i = 4

AnalyticalOpenFOAM 250

CFX 250

Figure 5: ANSYS CFX and OpenFOAM simulations in the250-volume mesh for case (b): numerical oscillations in theweights solutions near the inlet.

Table 3: OMRE results (%) using uniform meshes for simu-lations with ANSYS CFX and OpenFOAM for case (c).

Software Number of volumes(advective scheme) 25 50 100

CFX (HR) 2.31 1.06 0.37OF (G1) 2.87 1.31 0.33

the OMRE values. Fig. 5 shows the solutions obtained byANSYS CFX and OpenFOAM for the 250-volume mesh. Itis clear that the region with the oscillatory behaviour nearthe inlet is largely responsible for the OMRE values. There-fore, the differences in the convergence patterns for the re-sults obtained using the two softwares are related to the dif-ferent advective schemes used by each one. The usage of local β values based on flux limiters by the HR scheme inANSYS CFX is surely the responsible of its slightly betterconvergence behaviour than the constant γ coefficient sim-

ulations of OpenFOAM. The lack of convergence for case(b) in coarse meshes is also explained by this oscillatory be-haviour of the numerical solution near the inlet.

Similar convergence tests were performed for case (c), forwhich convergence was achieved in coarse meshes. Table 3shows the convergence of OMRE results for case (c). It isclear that convergence was achieved for the uniform mesheswith 50-100 volumes. Although not shown here, differentlyfrom case (b), the weight and abscissa profiles did not show aregion with large gradients near the inlet. Thus, convergencewas much easily achieved for case (c) than for case (b).

Analysis of different advection schemes

Considering the above convergence analysis, the 50 and500 volume meshes were chosen for cases (b) and (c), re-spectively, to evaluate different advective schemes imple-mented in OpenFOAM and ANSYS CFX. For the latter,three schemes with different fixed values of the β blend fac-tor were tested, being referred by BF followed by the β value.In ANSYS CFX, the High Resolution and QUICK interpola-tions schemes were also compared.

The schemes tested in OpenFOAM included the Gammascheme, with different γ coefficients, and the QUICK andUD schemes. Details of these interpolation schemes can be

found elsewhere (Barth & Jesperson 1989; Jasak 1996; Ver-steeg & Malalasekera 1995). Tables 4 and 5 present theOMRE results for ANSYS CFX and OpenFOAM, respec-tively.

Table 4: OMRE (%) results for ANSYS CFX simulations of cases (b) and (c) using different advection schemes.

ANSYS CFX CaseAdvection scheme b c

QUICK 0.04 0.36HR 0.10 1.06

BF 0.0 (UD) 1.06 4.55BF 0.75 0.25 1.65BF 1.0 0.18 0.61

9





Table 5: OMRE (%) results for OpenFOAM simulations of cases (b) and (c) using different advection schemes.

OpenFOAM CaseAdvection scheme b c

QUICK 0.11 0.47UD 1.05 4.85

G 0.2 1.44 1.26G 0.6 1.30 1.26G 1.0 0.36 1.31

Tables 4 and 5 shows expected behaviours for simulationsin sufficiently refined meshes. Second-order accurate meth-ods, QUICK and BF 1.0, gave the smallest values of OMREirrespectively of case and software, except for the HR schemeof ANSYS CFX in the simulation of case (b), for which theHR scheme is slightly better than BF 1.0. This is causedby the existence of numerical oscillations for this case, as

shown before. The first order accurate UD method gave theworst results for the ANSYS CFX simulations. Curiously,the Gamma scheme in OpenFOAM simulation of case (b)was worse than the UD method for two values of Γ. Thisshould also be an effect of the numerical oscillations stillpresent in this mesh. It is also interesting to note that theadvection schemes that are similarly implemented in bothsoftwares, QUICK and UD, gave basically the same valueof OMRE for both cases.

In general, a blending interpolation scheme with flux lim-iter is preferred, minimising the occurrence of numerical dif-fusion and oscillations. Considering the balance between nu-

merical robustness and accuracy, the better choices for theadvective scheme are the HR scheme for ANSYS CFX andthe Gamma scheme with Γ = 1 for OpenFOAM.

Emulsion Flow in 2D Backward Facing Step

This section presents the results of a two-dimensional testcase that was proposed to evaluate the performance of theimplemented PBE solution in a multi-dimensional flow fieldwith strong gradients. The well-known flow through a two-dimensional backward facing step (BFS) was chosen due toits simplicity and the presence of circulation zones with steepgradients in laminar flow.

The considered two-phase mixture consists of a water inoil emulsion. The breakup and coalescence between thewater droplets was considered using the same non-physicalmodels of the McCoy & Madras (2003) analytical solution.It should be emphasised that this was not a validation case as

Table 6: Physical properties and inlet conditions of the two-phase mixture.

Physical Properties oil waterρ (kg m−3) 900 1000η (kg m−1 s−1) 1 · 10−5 1 · 10−6

Variable Inlet conditionds (µm) - 50rα (-) 0.9 0.1

Figure 6: The 2D BFS with parametric dimensions andboundary patches.

no experimental data was available for comparison. There-fore, the breakage and coalescence models are immaterialin this numerical convergence test. Besides, the McCoy &Madras (2003) simple breakup and aggregation kernels donot depend on flow variables, as the turbulent energy dissipa-tion or shear stress, which make them adequate to comparethe results of different softwares in laminar flow, without theuncertainties in the implementation of turbulent models.

In these simulations, all particles share the same velocityfield. This assumption is reasonable for small droplets in aliquid-liquid flow with small density difference. As the parti-cle size distribution is advected by the flow, droplet breakageand coalescence cause its evolution. Therefore, the degree of PSD change is proportional to the disperse phase residencetime. The interphase forces between the continuous and thedisperse phases were calculated using the Sauter mean di-ameter of the particle size distribution obtained through thepopulation balance calculation. Therefore, the Sauter meandiameter is the only influence of the PBE solution in the CFDsimulation of the two phase flow.

The physical properties of the liquid-liquid dispersion andthe inlet conditions for the Sauter mean diameter and the dis-perse phase fraction are shown in Table 6, being based onactual water-in-oil emulsions.

The BFS geometry, dimensions and boundary patches areshown in Fig. 6. In the chosen BFS geometry, L = 11H ,l = H and h = H/2. H values are shown in Table 7.

The simulations were performed in quadrilateral andtriangular-quadrilateral meshes as shown in Fig. 7, which arecalled the hexahedral (hexa) and tetrahedral (tetra) meshes,respectively, due to the common practise. The mesh conver-

Figure 7: Hexahedral and tetrahedral meshes applied to theBFS geometry.

10





Table 7: Simulation Parameters for dominant breakup andaggregation situations.

Simulation Parameters Φ(∞) = 6 Φ(∞) = 0.1Channel Height, H [m] 0.01 0.1Inlet Velocity [m/s] 0.1 0.01Simulation Time [s] 0.1 10

gence test on each mesh type was performed using mesheswith 4000, 8000 and 16000 elements. Cases with dominantbreakage and dominant aggregation were investigated. Allcase assumed an inlet PDF given by Eq. 29. The flow waslaminar, with a Reynolds number of 100 for the continuousphase, in order to avoid possible implementation differencesbetween the turbulence models in the two codes. Also, in or-der to avoid different implementations of the interphase mo-mentum forces and to get sharper profiles, the drag force,with the Schiller & Naumann (1933) correlation for C D,

was the only interphase force considered in all simulations.On the previous zero and one-dimensional simulations, the

dimensional DQMOM results could be directly comparedwith the dimensionless analytical solution due the choice of the PBE parameters values in Eq. 33. For the general im-plementation of the PBE solution, it was verified that a di-mensionless DQMOM formulation was beneficial to avoidnumerical truncation problems due to the very small valuesassumed by the dimensional weights. The relations betweenthe dimensional and dimensionless abscissas and weights arebased on the dimensionless relations shown in Eq. 33. Forthe abscissas, Eq. Eq. 33 gives directly:

η =µ0v

µ1→ ξφi =

µ0ξf iµ1

(44)

For the weights, the following derivation establishes the re-quired relation.

∞

0

φ(η, τ ) dη =1

µ0

∞

0

f (v, t) dv or

ni=1

wφi =

1

µ0

ni=1

wf i =⇒ wφ

i =1

µ0wf i (45)

In these equations, µ0 and µ1 are conveniently chosen con-

stants, usually associated to the dimensional PDF at a bound-ary or initial condition. In fact, the first moment µ1 is thedisperse phase fraction, rd, and the inlet value given in Ta-ble 6 was used. The zero moment µ0 can be related to theSauter mean diameter of the inlet distribution, whose valueis also given in Table 6. Manipulating Eq. 23 with Eq. 33definitions and using the PDF of the inlet condition in di-mensionless form, Eq. 35, the value of µ0 can be calculatedfrom ds as follows:

ds =

6µ1

πµ0

13

∞

0ηe−ηdη

∞

0η2/3e−ηdη

⇒ µ0 =

3

2dsΓ 233

6µ1π

(46)Using the dimensionless abscissas and weights in the DQ-

MOM algorithm, it is convenient to calculate the dispersephase fraction and the Sauter mean diameter directly from

Figure 8: Sauter mean diameter contour plot in the finest

hexahedral mesh for the case with dominant breakage usingANSYS CFX.

Figure 9: Sauter mean diameter contour plot in the finesthexahedral mesh for the case with dominant breakage usingOpenFOAM.

them for the CFD-PBE coupling. These relations are easilyderived from Eqs. 33 and 46 and they are given in Eqs. 47and 48.

rd = µ1

ni=1

ξφi wφi (47)

ds

= 6µ1

πµ0 13

ni=1 ξφi wφ

ini=1

ξφi 23

wφi

(48)

As shown in the zero and one-dimensional simulations, thePDF evolves in the dominant breakage case much faster thanin the aggregation case. Thus, in order to use adequate advec-tive times for the BFS flow and the same Reynolds numberfor both cases, different geometry and velocity scales had tobe used, as shown in Table 7. The one-dimensional simu-lations showed that the simulation of the dominant breakupcase (b) required a much finer mesh that the simulation of thedominant aggregation case (c). It was then decided to use asmaller breakage rate (Φ(∞) = 6) for the two-dimensional

flow simulations in the BFS geometry in order to use thesame meshes for the cases with dominant breakup and dom-inant aggregation, although in different scales.

Transient flow simulations were performed, starting froma stagnant flow with the same properties of the inlet. Thesimulation results at the chosen total simulation time werecompared. As the BFS flow has large gradients caused by itsrecirculation zones, numerical weakness in the solution usingdifferent meshes in both software could be visualised.

In ANSYS CFX, the transient simulations were performedusing the BFS with a total of 1000 time steps using a coef-ficient loop convergence criterion of 10−4 in the maximum

residual of the discretized equations. The HR scheme wasused for the advection terms.In OpenFOAM, the simulations were carried out using the

implicit Crank Nicholson scheme for time integration with

11






hexahedral mesh for the case with dominant aggregation

using ANSYS CFX.

Figure 11: Sauter mean diameter contour plot in the finesthexahedral mesh for the case with dominant aggregation

using OpenFOAM.

adaptive time step, which was controlled to keep the maxi-mum mesh Courant number below 0.3. The advective termswere interpolated with the Gamma scheme with Γ = 1. ThePISO algorithm was performed until the absolute error in thepressure over the iterations was lower than 0.01 and, for tetra-hedral meshes, 13 iterations were used in the non-orthogonalface flux correction loop.

The following Figures 8, 9, 10 and 11 show contour plotsof the Sauter mean diameter at the final simulation time us-ing the finest hexahedral mesh. It is possible to observe thatboth codes calculated solutions for each of the cases that aredifferent. As commented before, the PSD evolution mainlydepends on the residence time of the disperse phase. There-fore, the Sauter mean diameter field is directly dependenton the disperse flow pathlines. Moreover, as both solversgave the same solution for the one-dimensional steady-statecases, it could be inferred that the differences in the resultsobtained by both codes are caused by differences in their ve-locity field solutions caused by time integration error or in-complete mesh convergence.

Tetrahedral meshes were also tested in order to investigatetheir behaviour. In the ds contour plots given in Figures 12and 13, it can be observed that the solution is poorer for tetra-hedral meshes. The gradients and flow structures are not wellcaptured as in the hexahedral meshes, specially for the Open-FOAM solution.

In order to investigate the mesh convergence more care-fully, ds profiles along straight lines were analysed, whichare shown in Figure 14. Figures 15 and 17 compare theSauter mean diameter results extracted along the horizontalline in the middle of the channel inlet in the direction of themain stream using the finest meshes. Figures 16 and 18 show

similar results extracted along the vertical line normal to themain stream that crosses the main recirculation zone.Analysing Figures 15, 16, 17 and 18, it can be observed

that the tetrahedral solutions for both cases have lower qual-


tetrahedral mesh for the case with dominant breakage usingANSYS CFX.

Figure 13: Sauter mean diameter contour plot in the finesttetrahedral mesh for the case with dominant breakage usingOpenFOAM.

ity. The convergence of the results along the horizontal linehave a good agreement because they represent the particledistribution evolution along the main flow direction in a re-gion with small velocity gradients. However, the conver-gence along the vertical line, which crosses the main recir-culation zone and the shear layer, is worse, showing differentconvergence behaviours for each code.

Regardless of the fact that each code presented a differ-ent flow solution, when analysing the results individually, itis possible to observe that each code tends to converge withmesh refinement. The charts given in Figures 19 and 20 showthe mesh convergence in the vertical line for ANSYS CFXwhereas Figures 21 and 22 present the mesh convergence re-sults for OpenFOAM. The ANSYS CFX results showed aclear mesh convergence behaviour, which was slightly betterfor hexahedral meshes. In OpenFOAM, hexahedral meshesalso presented a good mesh convergence, but tetrahedralmeshes performed much worse. This different behaviour iseven more pronounced for the dominant aggregation case.

In ANSYS CFX, as commented before, the control volumeis constructed around each mesh node. Therefore, tetrahedralmeshes have fewer nodes than elements, whereas in hexahe-dral meshes, both quantities are nearly the same. For thetetrahedral meshes used in this work, the number of nodeswas almost half of the number of elements. Thus, thesetetrahedral meshes have almost half of the control volumesof a hexahedral mesh with the same number of elements

Figure 14: Position of the vertical and horizontal lines usedin the mesh convergence studies.

12





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45

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48

49

50

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025

d s

( µ m )

L

Case (b)

ANSYS CFX

hexatetra44

45

46

47

48

49

50

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025

d s

( µ m )

L

Case (b)

ANSYS CFXOpenFOAM

hexatetra

Figure 15: Comparison between ANSYS CFX and Open-FOAM results using the finest meshes along horizontal linefor the case with dominant breakage.

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42

44

46

48

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

d s

( µ m )

H

Case (b)

ANSYS CFX

hexatetra

38

40

42

44

46

48

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

d s

( µ m )

H

Case (b)

ANSYS CFX

OpenFOAM

hexatetra

Figure 16: Comparison between ANSYS CFX and Open-FOAM results using the finest meshes along vertical line forthe case with dominant breakage.

in ANSYS CFX discretization. Despite the higher numeri-cal accuracy of integration for a polyhedral control volumearound a tetrahedral node due to the larger number of inte-gration points, the fewer number of control volumes madethe accuracy of the results for the 16K-elements tetrahedral

mesh be a little worse than those for the 16K-elements hex-ahedral mesh. In OpenFOAM, the treatment of the non-orthogonalities present on tetrahedral meshes could be con-sidered the reason to the worse performance of these meshes.For tetrahedral meshes, OpenFOAM would require more re-fined meshes to achieve convergence.

As commented before, the simulation results for the Sautermean diameter obtained using both codes have some differ-ences mainly caused by the flow solution, which dependson specific details of the numerical implementation of eachcode. Moreover, no strong numerical weakness was foundin the solution of the DQMOM transport equations, because,

in general, the DQMOM variables converged easier than thefluid flow solution. The correct choice of advection schemesbased on flux limiters can be pointed out as the key for thesuccess of these simulations.

50

55

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65

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0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

d s

( µ m )

L

Case (c)

ANSYS CFXhexatetra

50

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0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

d s

( µ m )

L

Case (c)

ANSYS CFX

OpenFOAMhexatetra

Figure 17: Comparison between ANSYS CFX and Open-FOAM results using the finest meshes along horizontal linefor the case with dominant aggregation.

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0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

d s

( µ m )

H

Case (c)

ANSYS CFX

hexatetra

55

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70

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0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

d s

( µ m )

H

Case (c)

ANSYS CFX

OpenFOAM

hexatetra

Figure 18: Comparison between ANSYS CFX and Open-FOAM results using the finest meshes along vertical line forthe case with dominant aggregation.

Conclusions

The present work carried out the implementation of the DQ-MOM method in two different CFD codes. An extensivework on the numerical verification of the coupled solution

behaviour was accomplished. An analytical solution for a ho-mogeneous time dependent population balance problem withsimple models for breakage and aggregation was used for thecomparisons. Important issues as mesh refinement, transientand advective schemes specific of each CFD code were alsoanalysed. In order to investigate the errors associated to thesolution of the DQMOM transport equations, the quadratureerror was suppressed. The error analysis utilised the RMSaverage of the relative error over all simulated results.

The zero-dimensional analysis, designed to evaluate thetime integration accuracy, concluded that the explicit Eulermethod of OpenFOAM performed very well. However, the

second order implicit Euler method, default method in AN-SYS CFX, showed significant integration errors.As the DQMOM transport equations have hyperbolic be-

haviour, a special attention was dedicated to the advective

13





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0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

d s

( µ m )

H

Case (b)ANSYS CFX

Tetra16k8k4k

38

40

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48

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

d s

( µ m )

H

Case (b)ANSYS CFX

Tetra

Hexa16k8k4k

Figure 19: Mesh convergence test for ANSYS CFX alongthe vertical line for the case with dominant breakage.

schemes used in the solution of the one-dimensional steady-state PBE. After a successful mesh refinement study, theanalysis of the advection schemes were accomplished usingthe intermediate meshes. The quasi-second-order-accurateadvection schemes based on flux limiters (High Resolution inANSYS CFX and Gamma with Γ = 1 in OpenFOAM) andthe second-order accurate QUICK scheme performed verywell. In fact, QUICK performed slight better than the HRor G1. ANSYS CFX also showed slightly better results thanOpenFOAM. Since the flux-limited advection schemes aremore robust, they were chosen for performing some two-dimensional two-phase flow simulations.

Simulations of transient two-dimensional laminar flows of a water-in-oil emulsion through a backward facing step wereperformed. The convergence of the DQMOM solution wasfaster than the equations of motion, showing that the timestep and the mesh refinement are still controlled by the fluidflow. Each software showed visibly different results in themeshes analysed. Individually, each software showed fairlygood mesh convergence.

For both codes, hexahedral meshes produced better resultsthan the tetrahedral ones. In ANSYS CFX, this was ex-

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( µ m )

H

Case (c)

ANSYS CFX

Tetra

16k8k4k

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0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

d s

( µ m )

H

Case (c)

ANSYS CFX

TetraHexa

16k8k4k

Figure 20: Mesh convergence test for ANSYS CFX alongthe vertical line for the case with dominant aggregation.

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0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

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( µ m )

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Case (b)OpenFOAM

Tetra16k8k4k

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46

48

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

d s

( µ m )

H

Case (b)OpenFOAM

Tetra

Hexa16k8k4k

Figure 21: Mesh convergence test for OpenFOAM along thevertical line for the case with dominant breakage.

plained due to the lower number (about half) of control vol-umes found in tetrahedral mesh with the number of elementskept fixed. In OpenFOAM, the worse results for the tetra-hedral meshes could be explained by some weakness of itsiterative explicit flux-correction method for non-orthogonalmeshes.

The implementations of the DQMOM algorithm in the twoCFD codes were verified. No strong difficult were found insolving the hyperbolic DQMOM transport equations. Theseimplementations are reliable enough to be applied in actualflow simulations with realistic breakup and aggregation mod-els.

Acknowledgements

The authors would like to thank CNPq (grant no.301548/2005-6). L.F.L.R. Silva would also like to acknowl-edge the financial support given by Chemtech.

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OpenFOAM

TetraHexa

16k8k4k

Figure 22: Mesh convergence test for OpenFOAM along thevertical line for the case with dominant aggregation.

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15



A p ê n d i c e C

M o d e l a g e m e I m p l e m e n t a ç ã o d o

M o d e l o P o l i d i s p e r s o

C . 1 I n f o r m a ç õ e s s o b r e o A p ê n d i c e

O a r t i g o c o l o c a d o n a s e q u ê n c i a f o i a p r e s e n t a d o n a O p e n F O A M I n t e r n a t i o n a l C o n f e -

r e n c e

2007, q u e o c o r r e u e m O l d W i n d s o r , R e i n o U n i d o . C o n t u d o , a l g u n s p e q u e n o s

e r r o s f o r a m o b s e r v a d o s n o m a n u s c r i t o e p e r m a n e c e r a m n a v e r s ã o a c e i t a e d i v u l g a d a

n o c o n g r e s s o . D e s t a f o r m a , u m a e r r a t a c o m r e f e r ê n c i a a o a r t i g o é c o l o c a d a a b a i x o .

C . 1 . 1 E r r a t a

O s e r r o s e s t ã o o r g a n i z a d o s p o r í t e n s r e f e r e n c i a n d o o l o c a l o n d e e s t e s o c o r r e m n o

m a n u s c r i t o .

1 . L e i a - s e O p e n F O A M i s a g o o d c h o i c e t o . . .

n a s e ç ã o 4

, p r i m e i r o p a r á g r a f o ,

s é t i m a l i n h a .

2 . L e i a - s e . . .

c o n s t r u c t i o n o f t h e r e s u l t i n g l i n e a r s y s t e m . n a s e ç ã o 4

, s e g u n d o

2 4 3



C . 1 I n f o r m a ç õ e s s o b r e o A p ê n d i c e 2 4 4

p a r á g r a f o , s e x t a l i n h a .

3 . L e i a - s e T h e f o l l o w i n g e q u a t i o n i s u s e d a s a n e x a m p l e . . .

n a s e ç ã o 4

, s e g u n d o

p a r á g r a f o , s é t i m a l i n h a .

4 . L e i a - s e

Υcα = . . .

e

Υc0 = . . .

r e p e c t i v a m e n t e n a s E q s . 2 4 e 2 5 . N e s t e c a s o ,

e s t a s s ã o a s f o r m a s c o m p l e m e n t a r e s d e Υα , o n d e

Υcα = Υα +

K αf ρα

[uα]e

Υc0 = Υ0 +

1

r0ρ0

n

α=1 rαf K αf [u0]

5 . L e i a - s e . . .

, b a c k t o s t e p 4 . n a e t a p a 4.5

d o a l g o r i t m o c o l o c a d o n a p á g i n a 9

.

6 . L e i a - s e . . .

d i e r e n t a p p r o a c h e s v a l i d a t e d . . .

n a s e ç ã o 4

, s e g u n d o p a r á g r a f o ,

s e x t a l i n h a .

N o p r e s e n t e m o m e n t o , e s t e t r a b a l h o e s t á s e n d o e s t e n d i d o p a r a s e r s u b m e t i d o

p a r a p u b l i c a ç ã o e m u m a r e v i s t a c i e n t í c a .



Implementation of an Eulerian Multi-phase Model in

OpenFOAM and its Application to Polydisperse

Two-Phase Flows

Silva L.F.L.R. and Lage P.L.C.∗

Programa de Engenharia Quımica, COPPE, Universidade Federal do Rio de Janeiro

Rio de Janeiro/RJ, P.O. Box 68502, 21941-972, Brazil∗[email protected]

Keywords: Multiphase modeling, Population balance, DQMOM

Abstract

Simulation of polydisperse flows must include the effects of particle-particle in-teraction, as breakage and aggregation, coupling the population balance equation(PBE) with the multi-phase modelling. In fact, the implementation of efficientand accurate new numerical techniques to solve the PBE is necessary. The Di-rect Quadrature of Moments (Marchisio & Fox 2005), known as DQMOM, cameinto view as a promissing choice for this implementation. DQMOM is a moment-based method that uses an optimal adaptive quadrature closure whereas only a few

quadrature points are usually necessary to obtain an accurate solution.Recently, Silva et al. (2007) extended the current OpenFOAM two-phase Eu-

lerian model (Rusche 2002) using the PBE solved with DQMOM. In this case, allparticles classes shared the same velocity field and the momentum exchange termswere evaluated using the local instantaneous Sauter mean diameter of the size dis-tribution function. Finally, transient simulations of a water-in-oil emulsion in abackward facing step geometry were performed considering simplified breakage andcoalescence kernels.

In the present work, the Rusche (2002) two-phase formulation was extendedto a multi-phase approach (n dispersed and 1 continuous phases) and then cou-pled with the PBE solution by DQMOM. Each one of the disperse phases has its

own velocity field. In the present implementation, only the interfacial momentum

exchange between the continuous and the disperse phases were considered.This work intends to focus on the multi-phase formulation and the issues re-

garding the PBE solution by DQMOM. In addition, details of the multi-phase andCFD-PBE coupling algoritms and OpenFOAM programming are provided. More-over, simulations evaluating the multi-phase code were performed where the samesimple breakage and aggregation kernels used by Silva et al. (2007) were used inthe CFD-PBE simulations.

1



1 Introduction

The Computational Fluid Dynamic (CFD) simulations have been used with great successin many fields of engineering. The simulation of polydisperse flows, which must includethe effects of particle-particle interactions, is an intensive field of CFD research. One of themodeling approachs of polydisperse flows include the coupling of the Eulerian multi-phasemodel and the population balance equation.

Recently, Silva et al. (2007) investigated the numerical behavior of the coupled so-lution of DQMOM (Marchisio & Fox 2005) using the commercial ANSYS CFX andopen-sorce OpenFOAM CFD packages. The authors first evaluated the solution of DQ-MOM in transient 0D and steady-state 1D simulations, comparing the results with theMcCoy & Madras (2003) analytical solution. Equivalent breakage and aggregation, dom-inant breakage and dominant aggregation simulations were performed. Next, the PBEsolution was coupled with the two-phase flow using the simplified breakage and aggrega-tion kernels of McCoy & Madras (2003). In this approach, all the particles shared thesame velocity field and the interphase forces were calculated using the mean Sauter diam-eter obtained using the PBE variables. Dominant breakage and aggregation simulations

were conducted in a backward facing-step (BFS) geometry presenting a good agreementamong the CFD packages.

In the present work, the incompressible two-phase code (Rusche 2002) currentlyimplemented in OpenFOAM-1.4 was extended to handle n + 1 phases, considering onecontinuous and n disperse phases. In addition, the CFD-PBE coupling using DQMOMwas implemented for this multi-phase approach. In the present approach, each phase hasits own velocity and diameter field. The formulation and details of code programmingare presented in this work. As in Silva et al. (2007), numerical tests of the multi-phase code were performed in a BFS geometry using a two-phase mixture. These resultswere compared with the simulation results of the twoPhaseEulerFoam solver. Numerical

tests using three-phase systems and parallel simulations were performed as well. Finally,the CFD-PBE coupling was simulated using the same simple models for breakage andaggregation of Silva et al. (2007).

2 Eulerian multi-phase model

The multi-phase model is based on the mean mass and momentum conservation equationsto describe the dynamic behaviour of the multi-phase flow. These equations are obtainedthrough average procedures, which introduces the average occurrence of phase α, rα,known as the phase fraction. Due to the average procedure, additional terms appears

in the mean conservation equations which need to be modeled. These terms representthe phenomena that occurs on scales smaller than the averaging scale. Details about thetheory and formulation of the multi-phase model can be found in Ishii (1975), Drew &Prassman (1999) and Bove (2005).

Assuming that the interfacial tension effects are not important, it is possible to con-sider that all phases share the same pressure field. In this case, the average multi-phaseequations are given by:

∂ (rαρα)

∂t+ · (rαραuα) = 0 (1)

2



∂ (rαραuα)

∂t+ · (rαραuαuα) = · (rαTeff

α ) + Mα + rαραg (2)

where Teff α represents the effective tensor composed by the mean viscous and turbulent

tensors of phase α, which is usually modelled using the Newtonian functional form:

Teff α = − pαI + τ eff α (3)

τ eff α = ν eff α

2Dα −2

3 ( · uα) I

−2

3ραkαI (4)

Dα =1

2

uα + (uα)t

(5)

where kα, in Eq. 4, stands for the turbulent kinetic energy of phase α. In this work, n + 1phases are considered where there is one continuous phase, referred with subscript 0, andn disperse phases.

In Eq. 2, Mα represents the momentum exchange through the interface or a force perunit volume acting on phase α. This force is usually decomposed as interaction forcesresponsible for drag, lift and virtual mass, among others (Rusche 2002). In this work,

only the drag force is considered since it is the dominant force in the analyzed cases of this work. The drag force for the disperse phase α is modelled as shown in Eq. 6.

Mα =1

2rαAαρ0C D,α |ur,α| ur,α (6)

where ur,α = u0 − uα is the relative disperse phase velocity, Aα is the particle projectedarea normal to the relative velocity divided by the particle volume and, for sphericalparticles, Aα simplifies as:

Aα =πd2

α/4

πd3α/6

=3

2dα

(7)

The drag coefficient, C D,α, is usually obtained through correlations which are depen-

dent on the particle size, dα. The Schiller & Naumann (1933) correlation is used in thiswork.

Finally, only the interfacial momentum exchange between the continuous and thedisperse phases were considered, i.e., M0 = −

nα=1 Mα.

3 Population balance and DQMOM

The general form of the monovariated PBE (in volume, v) including particle breakageand aggregation is given by Eq. 8 (Ramkrishna 2000).

∂f (x, v , t)∂t

+ x · [uαf (x, v , t)] = H (x, v , t) (8)

In Eq. 8, the source term H (x, v , t) includes the birth and death rates due aggregationand breakage processes, as defined below

H (x, v , t) =1

2

v 0

a(v − v, v)f (v − v, t)f (v, t) dv −

∞ 0


+

∞ v

ϑ(v)b(v)P (v | v)f (v, t) dv − b(v)f (v, t), (9)

3



where a(v, v) is the aggregation frequency, ϑ(v) is the mean number of particles formedby breakage, b(v) is the breakage frequency and P (v | v) is the conditional probabilityof generating a particle of volume v once a particle of volume v has broken. As seenin Eqs. 8 and 9, the PBE forms an integro-differential equation and a proper method isnecessary to its solution.

The Direct Quadrature Method of Moments (DQMOM) (Marchisio & Fox 2005)

considers a quadrature closure approximation for the integrals of the distribution functionin the space of internal variables in terms of Dirac delta functions. For a monovariateproblem, the representation of the distribution function is shown in Eq. 10, where ξαand wα are, respectively, the quadrature abscissas and weights, being scalar fields in thephysical space.

f (x, v , t) =n

α=1

wα(x, t)δ[v − ξα(x, t)] (10)

The quadrature approximation given by Eq. 10 can be substituted in the PBE (Eq. 8).The resulting equation involves the derivatives of the Dirac delta distribution, but it canbe integrated to give a relation between ordinary functions. If it is operated with vk · dv,

k = 0, . . . , 2n − 1, the linear system of equations given by Eq. 11 is obtained after somemanipulation (details in Marchisio & Fox 2005), together with transport equations forthe weights and weighted abscissas (ς α = wαξα), which are given in Eqs. 12 and 13.

(1 − k)n

α=1

ξkαθα + kn

α=1

ξk−1α κα = H (n)k , k = 0, . . . , 2n − 1 (11)

∂wα(x, t)

∂t+ · [uαwα(x, t)] = θi, α = 1, . . . , n (12)

∂ς α(x, t)

∂t + · [uας α(x, t)] = κα, α = 1, . . . , n (13)The solution of Eqs. 11, 12 and 13 are fully coupled. In order to solve the partial

differential equations, Eqs. 12 and 13, in the (t, x) domain, the linear system, Eq. 11,must be solved at every point of this domain to give the source terms θα and κα.

The term H (n)k in Eq. 11 is the k moment of the source term given by Eq. 9 approxi-

mated by the n-point quadrature. This term incorporates the aggregation and breakageeffects and is given by:

H (n)k =

1

2

n

α=1

n

β =1

[(ξα + ξβ )k − ξkα − ξkβ ]a(ξα, ξβ )wαwβ +

n

α=1

b(ξα)wα[ϑ(ξα)πk(ξα) − ξkα],(14)

where πk(ξα) is defined as

πk(ξα) =

ξα0

vkP (v | ξα) dv (15)

Once the solution is known, any population property can be calculated. The dispersephase fraction, rα, is of interest as well as the phase diameter, dα. Using the quadratureapproximation, Eq. 16 gives dα under the assumption of spherical particles

dα = 6ξα

π 1/3

(16)

4



whereas Eq. 17 gives the global volumetric fraction of the disperse phasen

α=1 rα,

nα=1

rα =

∞0

vf (x, v , t) dv n

α=1

ξαwα =n

α=1

ς α, (17)

and the volumetric fraction for the α disperse phase is ς α.

4 The OpenFOAM CFD package

OpenFOAM (Field Operation And Manipulation) is a free source CFD package writtenin C++ which uses classes and templates to manipulate and operate scalar, vectorial andtensorial fields (Weller et al. 1998). Thus, OpenFOAM can interpretate the true meaningof a field, encapsulating the idea of magnitude and direction of a vector, for instance. Com-bined with implementations of adequate numerical methods to the discretisation of partialdifferential equations and to the solution of the resulting linear systems, OpenFOAM isas a good choice to handle CFD problems. Besides, its open-source characteristics is an

advantage in the implementation of any addition or modification in the code.OpenFOAM provides two static functions, fvm and fvc, to discretise the differential

operators of the field, e.g., 2, · and ∂/∂t. The first function is used to disctretiseimplicit derivatives resulting in a linear system to be solved. In fact, the implicit sourceterms of the linear system can be defined using the fvm function as well. Therefore, thefvm function provides the PDE discretisation using the finite volume method and theconstruction of resulting linear system. On the other hand, the fvc function calculatesexplicit derivatives and can be used anywhere in the code. The following equation as anexample and to show the notation of these functions in this work.

∂ρu

∂t + · (φu) − 2

(µu) = − p (18)

Eq. 18 must be discretised in terms of u using the fvm function and p as an explicitsource term with the fvc function. For instance, the notation for an implicit discretisationis •[u] where • represents the differential operator discretised in terms of the [u] variable.The explicit operation is referred with the underlined notation over the operator. Thus,the discretisation of the Eq. 18 is:

∂ρ[u]

∂t

+ · (φ[u]) −

2(µ[u])

= − p (19)

For further informations about these discretisation procedures, the reader should readthe Programmer’s Guide available with OpenFOAM.

5 Implementation of the multi-phase code

The formulation of the multi-phase model presented in this work is based on Rusche(2002). In fact, Rusche (2002) describes the solution procedure using a multi-phaseapproach for the momentum equations and uses the interphase forces and the pressurecorrection algorithm specifically for two-phase flows. Thus, only the interphase forcesand the pressure correction were modified for the multi-phase approach. The momentum

5



equations are briefly presented in this work, but further details about them can be foundon Rusche (2002)1.

5.1 Multi-phase equations

Rusche (2002) utilises the “phase intensive” version of the incompressible momentum

equation which is obtained dividing Eq. 2 by ρα and rα considering α = 0, . . . , n.∂ uα

∂t+ uα · uα + · (τ eff α ) +

rαrα

· τ eff α = −1

ρα

p +Mα

rαρα+ g (20)

Rusche (2002) describes in details the manipulation and discretisation procedure of the l.h.s. of Eq. 20 (see section 3.2.2, pg. 109 of Rusche 2002) which results in semi-discretised equation shown below.

Υα = − p

ρα

+Ωα

rαρα+ g (21)

where Υα and Ωα refer respectively to the discretised forms of the l.h.s. of Eq. 20 and theinterphase term. The interphase term is discretised semi-implicity as source terms (seepg. 114 of Rusche 2002). Thus, the drag force of the disperse phases is

Ωα = rαf K αf (u0 − [uα]) (22)

where K α = 12

ρ0AαC D,α|ur,α| and the subscript f represents the interpolation to the facecentres. Similarly, the interphase term for the continuous phase is

Ω0 = −n

α=1

rαf K αf ([u0] − uα) (23)

The implict source terms of Eqs. 22 and 23 are included in the discretised l.h.s., Υα, forthe continuous (α = 0) and disperse (α = 1, . . . , n) phases resulting in the semi-discretisedforms shown below.

Υα = − p

ρα

+K αρα

u0 + g (24)

Υ0 = − p

ρ0

+1

r0ρ0

nα=1

rαK αuα + g (25)

The solution of the above equations does not garantee the continuity. It can beachieved by correcting the velocities using an update pressure field, which is chosen suchthat continuity is satisfied.

5.2 Phase momentum correction equation

The pressure equation is derived from the semi-discretised form of the momentum equa-tions shown in Eq. 21,

(Aα)Duα = (Aα)H − p

ρα+

K αρα

u0 + g (26)

1Several thesis related with OpenFOAM can be found at http://foamcfd.org/resources/theses.html

6



where Aα denotes the system of linear equations arising from the discretisation of themomentum equation whereas the ()D operator represents the diagonal coefficients of thematrix and ()H is the “H” operator. The “H” operator is an approximated solution of thelinear system obtained from the discretised equations that includes only the off-diagonalterms of the matrix. Further details about this operations can be found in Jasak (1996)and Rusche (2002).

Eq. 26 can be re-arranged to provide the phase momentum correction equation for thedisperse phases.

uα =(Aα)H

(Aα)D−

p

ρα(Aα)D+

K αρα(Aα)D

u0 +1

(Aα)Dg (27)

Consequently, the momentum correction equation for the continuous phase can bederived using the same procedure and it is shown in Eq. 28.

u0 =(A0)H

(A0)D−

p

ρ0(A0)D+

1

r0ρ0(A0)D

nα=1

rαK αuα +1

(A0)Dg (28)

5.3 The pressure equation

The solution of the pressure equation provides corrections for updating the pressure, fluxesand velocities so that continuity is obeyed. Rusche (2002) combined the volumetriccontinuity equation, shown in Eq. 1, into one to obtain an expresion for the mixturepressure. In the multi-phase approach, the mixture continuity equation evaluated at thecell faces is shown below.

·

r0f φ0 +

nα=1

rαf φα

= 0 (29)

The volumetric phase fluxes, φα

, are obtained interpolating the momentum correctionequations, Eqs. 27 and 28, to the face centres. In a general form, the volumetric flux forα = 0, . . . , n is shown in Eq. 30.

φα = φ∗α −

1

ρα(Aα)D

f

|S|⊥f p (30)

where φ∗α is expressed for the dispersed phases (α = 1, . . . , n) as

φ∗α =

(Aα)H

(Aα)D

f

· S +

K α

ρα(Aα)D

f

φ0 +

1

(Aα)D

f

g · S (31)

and φ∗0 for the continuous phase (α = 0) as

φ∗0 =

(A0)H

(A0)D

f

· S +

1

r0ρ0(A0)D

f

nα=1

rαf K αf φα +

1

(A0)D

f

g · S (32)

The pressure equation is constructed by substituting the volumetric fluxes of the con-tinuous and disperse phases, shown in Eqs. 30, 31 and 32, into Eq. 29. The resultingequation is discretised implicitly as a diffusion term.

·

r0f

1

ρ0(A0)Df

+n

α=1

rαf 1

ρα(Aα)Df

[ p]

= ·

r0f φ

∗0 +

n

α=1

rαf φ∗α

(33)

7



The mixture pressure field is determined considering the validity of the continuityof the volumetric fluxes. The phase fluxes, shown in Eq. 30, are corrected after thesolution of the pressure through Eq. 33 where an iterative procedure is necessary toachieve convergence.

5.4 The volumetric fraction equation

Rusche (2002) utilises Eq. 1 as re-arranged by Weller (2002) in a conservative andbounded form (see section 3.2.6 of Rusche 2002). The multi-phase equation for thevolumetric fraction was derived similarly, using the mixture velocity, defined as u =n

α=0 rαuα, to obtain an expression for uα.

uα = u + r0ur,0 +ni=1

i=α

riur,i (34)

using the phase relative velocities ur,0 = uα − u0 and ur,i = uα − ui.The expression for uα presented by Eq. 34 is substituted into the incompressible form

of Eq. 1 resulting the multi-phase volumetric fraction equations.

∂rα∂t

+ · (urα) + · (r0ur,0rα) + ·

n

i=1

i=α

riur,irα

= 0 (35)

The non-linear characteristic of the multi-phase volmetric fraction equations requiresiteration to achieve convergence. The discretised form of Eq. 35 is shown below.

∂ [rα]

∂t + · (φ[rα]) + · (r0f φr,0[rα]) + ·

n

i=1

i=α

rif φr,i[rα] = 0 (36)

5.4.1 The multi-phase CFD-PBE coupling

The coupling of the multi-phase code and the population balance is acomplished using theweights and abscissas to obtain important informations of the disperse phase populationproperties.

As seen in Eq. 17, each weighted abscissa ς α is actually the fraction of the dispersephase represented by class α. Therefore, following the same procedure applied to themulti-phase volumetric fraction equation, Eq. 13 was implemented as expressed in the

form given by Eq. 37.

∂ς α∂t

+ · (uς α) + · (ur,0ς α) − · (ni=1

ς iur,0ς α) + ·

n

i=1

i=α

ς iur,iς α

= κα (37)

Therefore, in the coupled CFD-PBE solver, the solution of the DQMOM linear system,shown in Eq. 11, provides the source terms for the weights and disperse phase fractions(weighted abscissas) transport equations, shown respectively in Eqs. 12 and 37. Oncethe quadrature is known, the interphase forces are calculated in each grid cell using thedisperse phase characteristic diameter evaluated by Eq. 16.

8



5.5 Algorithm of solution

The sequence of solution of the multi-phase code implemented in OpenFOAM is sum-marised next.

1. Solve the volumetric fraction for the disperse phases.

(a) Using the multi-phase code, Eq. 36.

(b) Using the CFD-PBE coupling, Eqs. 11, 12 and 37.

(b.1) Calculate the volumetric fraction and the characteristic diameter,Eqs. 17 and 16.

1.1 Convergence loop for the volumetric fractions, back to step 3.

1.2 Calculate the continuous phase fraction, r0 = 1 −n

α=1 rα.

2. Evaluation of the drag coefficient using Schiller & Naumann (1933).

3. Discretisation of the phase momentum equations, l.h.s. of Eqs. 24 and 25.

4. PISO-loop.

4.1 Calculate the (Aα)D and (Aα)H operators.

4.2 Construction and solution of the pressure equation, Eq. 33.

4.3 Update the volumetric phase fluxes, Eqs. 30 and 31 or 32.

4.4 Update the phase velocities, Eqs. 27 and 28.

4.5 Convergence loop for the pressure, back to step 6.

Usually, the user must define how many steps are necessary for the convergence of the volumetric fractions (step 1) and the coupling of pressure-velocity (step 4) loops. Inconstrast to this approach, a mixed absolute and relative tolerance, shown in Eq. 38, wasimplemented in this work to control and stop the convergence loop where the stop criteriamust be set by the user.

χ = max

|φit − φit−1|

1 + |φit|

(38)

The twoPhaseEulerFoam programming was extended to handle n + 1 phases usingthe PtrList<T> C++ template to construct an array of classes or templates of type T.This template is a list of pointers used to locate the T classes allocated sequentially inthe computer memory. Thus, the PtrList<T> template provides an easy access, storage

and manipulation of theT

classes array.All the disperse phase variables, such as transport properties (density, kinematic vis-cosity and diameter), PBE variables and volumetric fractions, velocities and fluxes fields,were programmed as arrays with n elements using the PtrList<T> template. For in-stance, a single volumetric fraction is defined using a volScalarField template whereasthe PtrList<volScalarField> declares a list of pointers which locates the adress inmemory of n volScalarField templates. In this case, each pointer will be addressed toeach allocated volumetric phase volScalarField.

On the other hand, the continuous phase was not included in the PtrList<T> tem-plate array only to provide a better distinction of the continuous and n disperse phasesin the code.

9



Figure 1: The 2D BFS with parametric dimensions and boundary patches.

Table 1: Physical properties and inlet conditions of the two-phase mixture.Physical Properties oil waterρ (kg m−3) 900 1000ν (m s−2) 1 · 10−5 1 · 10−6

Variable Inlet conditionuIN (m s−1) 1 1

dα (µm) - 50r (-) 0.9 0.1

6 Numerical simulations

This section presents the results of a two-dimensional test case that was proposed toevaluate the performance of the implemented multi-phase code and the CFD-PBE solutionin a multi-dimensional flow field with strong gradients.The well-known flow through a two-dimensional backward facing step (BFS) was chosen due to its simplicity and the presenceof circulation zones with steep gradients in laminar flow. The BFS geometry, dimensionsand boundary patches, shown in Fig. 1, was used by Silva et al. (2007). In the BFSgeometry, L = 11H , l = H and h = H/2, considering H = 0.01 m for all simulations.

A two-phase mixture consisting of a water in oil emulsion was used in the simulations(Silva et al. 2007). The physical properties of the liquid-liquid dispersion and the inletconditions for the Sauter mean diameter and the global disperse phase fraction are shownin Table 1, being based on actual water-in-oil emulsions.

Silva et al. (2007) performed mesh convergence tests using meshes with 4000, 8000and 16000 elements for hexahedral and tetrahedral meshes. In this work, only the finesthexaedral mesh was used in the simulations.

All the simulations were carried on using the implicit Crank Nicholson scheme for

time integration with adaptive time step, which was controlled to keep the maximummesh Courant number below 0.3. The advective terms were interpolated with the Gammascheme with coefficient Γ equal 0.5 (Jasak 1996). The iterative convergence procedureswere performed until the mixed error, shown in Eq. 38, achieved values lower than thespecified tolerances of 10−8 and 10−7 for the pressure and volumetric fraction respectively.Since the main flow was laminar, no turbulence model was used.

The fisrt simulations were performed to verify the implementation of the multi-phasecode in OpenFOAM considering the emulsion flow and comparing its results with thetwo-phase solver. Next, simulations including one more disperse phase, denser and moreviscous than the others, were tested using different characteristic diameters in order to

10



increase the drag force. Finally, the multi-phase CFD-PBE coupling was simulated fordominant breakage and dominant aggregation cases using simplified kernels (Silva et al.

2007).

6.1 Verification of the multi-phase code

The simpler way to verify the multi-phase code is comparing its simulation results usingn = 2 with those obtained by the two-phase solver implemented in OpenFOAM. In addi-tion, simulations using more phases can also be used to verify the multi-phase code whenusing the same transport properties for the n disperse phases and the phase volumetricfraction are equally set with the value obtained by the division of the global volumetricfraction by n. In this case, the fluidynamics and the global volumetric fraction of thedisperse phase,

nα=1 rα, should present the same simulated results when using different

number of phases.The simulation of two different situations were analysed to verify the multi-phase code.

In the first situation, the inital conditions of rα and dα into the domain were set as thesame as the inlet, as shown in Table 1. On the contrary, these variables were set as zerointo the domain for the second instance. These situations are respectively referred ascases I and II with 0.01 s and 0.1 s of simulation time.

Thus, simulations using n = 2, 3 and 5 were performed using respectively rα = 0.1, 0.05and 0.025, and using the water transport properties shown in Table 1 for the n dispersephases. In addition, the gravity force was not considered in the simulation tests. Theresults shown in this section were extracted from a vertical line poistioned at x = 0.0125 minto the channel (crossing the BFS recirculation zone). The following results presents thecomparison of the global volumetric fraction of the disperse phase and the pressure fieldsobtained using the twoPhaseEulerFoam code and the multi-phase code.

An excelent agreement on the solutions of the multi-phase code and the twoPhase-

EulerFoam solver can be observed in Figs. 2(a) and (b). It is a clear evidence of asuccessful modeling and programming of the multi-phase approach. Since the wholedomain is already filled with the emulsion mixture in case I, only minor variations of theglobal volumetric fraction caused by the recirculation flow should be noticed. As seen inFig. 2(a), these small variations were accurately solved when using the multi-phase code.For case II, the two-phase emulsion is filling the domain and gradients on the volumetricfraction should appear. Similarly as case I, the variations of the global volumetric fractionwere simulated accurately in case II.

The solution of the pressure vertical profiles in case II presented small deviations,as seen in Fig. 2(d). Compared with the twoPhaseEulerFoam solution, the order of

magnitude of these deviations is almost 0.9% for n = 5 and, as observed in Fig. 2(d), itdoes not follow a pattern when increasing n. These differences are probably caused due tominor numerical errors during the solution of the pressure equation despite of the smallconvergence errors used in the simulation. Although, it does not affect the velocity fieldwhich magnitude is shown in Fig. 3 for case II.

6.2 Effects of increasing the drag force

In order to evaluate the capabilities of the multi-phase solver, a three-phase emulsion wasconsidered including in the oil-water mixture a ficticious denser and more viscous liquid,

11



0.097

0.0975

0.098

0.0985

0.099

0.0995

0.1

0.1005

0.101

0.1015

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

Σ r α

V

Case I

n = 2n = 3

n = 5

T-F Euler-500

-400

-300

-200

-100

0

100

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

p

V

Case I

n = 2n = 3

n = 5

T-F Euler

(a) (b)

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

Σ r α

V

Case II

n = 2

n = 3

n = 5

T-F Euler-670

-660

-650

-640

-630

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

p

V

Case II

n = 2

n = 3

n = 5

T-F Euler

(c) (d)

Figure 2: Vertical profiles of n

α=1 rα and p for cases I, (a) and (b), and II, (c) and (d),using the twoPhaseEulerFoam code and the multi-phase code with different number of phases.

named phase L, which transport properties are ρ = 3000 kg/m3 and ν = 10−5 m/s2. Thesimulations were conducted using n = 5 with the multi-phase solver and considering theoil as the continuous phase, which transport properties are in the Table 1, and the otheras disperse phases. As in section 6.1, the volumetric fractions were set with the samevalue, rα = 0.025, for all the disperse phases. At this time, the subscripts 1 and 2 refer tothe water and 3 and 4 refer to the L phases. In addition, each disperse phase has differentcharacteristc diameter with values d1 = 40, d2 = 80, d3 = 120 and d4 = 160 µm.

As in case II of section 6.1, the domain was empty in the simulations and the totalsimulation time was 0.1 s. In addition, the gravity force was now included in these

simulations with −9.8 m/s2 in the y axis direction. The countour plots of the volumetricfractions in a section of the domain are shown in Fig. 4.

As observed in Fig. 4, the water volumetric fractions suffer only minor changes whencomparing the r1 and r2 contour plots. This is mainly caused due to the drag forceagainst the continuous phase. On the other hand, the drag force on the L phase is moreintense due to the higher values of the diameters and it affected the solutions of r3 andr4 differently. In fact, a settleling of the denser phase occurs on the lower wall just beforethe expansion of the channel and below the greater recirculation zone. Moreover, dueto its high viscosity the L phase is more resistent to be carried with the flow, and asconsequence, it is not entrapped into the vortices as the water is.

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0

0.25

0.5

0.75

1

1.25

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

| U |

V

Case II

n = 2

n = 3

n = 5

T-F Euler

Figure 3: Vertical profiles of the velocity magnitude in case II using the twoPhaseEuler-

Foam code and the multi-phase code with different number of phases.

6.3 CFD-PBE simulations

Finally, the two-phase emulsion was tested using the multi-phase with CFD-PBE couplingapproach. The simulations performed in this work used the same conditions used by Silvaet al. (2007). In this simulations, the breakup and coalescence between the water dropletswas considered using the same non-physical models of the McCoy & Madras (2003),

a(v, v) = 1, b(v) =1

2Φ(∞)2v, P (v | v) =

1

v, ϑ(v) = 2 (39)

where Φ(∞) is the parameter which controls the breakage or aggregation dominanceeffect. As in Silva et al. (2007), the breakage and aggregation cases were simulatedusing respectively Φ(∞) = 6, 0.1. The multi-phase CFD-PBE cases were simulated with5 phases and, as a result, the DQMOM formulation used 4 quadrature points.

The dimensionless weights and weighted absicssas were used in the simulations (Silvaet al. 2007). Although, the volumetric fraction and the characteristic diameter obtainedthrough the DQMOM variables were converted to the dimensional form to be used inthe multi-phase momentum equations as shown in Silva et al. (2007). As in case I(section 6.1), the initial condition of the variables into the domain are the same as theinlet. The initial condition for the DQMOM variables were set by McCoy & Madras

(2003) where the characteristic diameters were calculated using the dimensional abscissas(see Eq. 16), obtaining d1 = 33.125, d2 = 57.478, d3 = 78.018 and d4 = 98.392 µm.The total simulation time for the breakage case was 0 .1 s. The countour plot of the

characteristic diameter and the volumetric fraction of phases 1 and 3 simulated withdominant breakage are shown in Fig. 5.

As seen in Fig. 5, the breakage case were succesfully simulated where the particles areentrapped into the recirculation zones. In addition, the distribution of the particles arequite similar among phases 1 and 3 despiste of the different phase sizes. The breakagein phase 3 is more intense than phase 1 since the breakage kernel, shown in Eq. 39, islinearly dependent with the particle size. On the other hand, the occurrence of phase 1is higher than phase 3.

13



Figure 4: Countour plots of the disperse phases volumetric fractions.

14



Figure 5: Countour plots of the volumetric fractions and characteristic diameters forphases 1 and 3 for the breakage case.

15



The aggregation rate is much slower than the breakage, thus a longer simulation timeof 1 s was used. The diameter and volumetric fraction of phases 1 and 3 are shown inFig. 6.

In this case, the flow reached the steady state and the recirculation zones are welldefined, as seen in Fig. 6. The particles aggregates continualy into the domain where theparticle size distribution mainly depends on the residence time of the disperse phase.

In conclusion, the first simulation tests of the multi-phase CFD-PBE coupling codeperformed very well for the breakage and aggregation cases.

7 Conclusions

The formulation of the multi-phase model based on Rusche (2002) and the CFD-PBEcoupling using DQMOM was presented in this work. The discretisation procedure and thepressure velocity coupling was formulated for the multi-phase model. As well, details of the algorithm and the programming of the multi-phase code in OpenFOAM are providedin this work.

The multi-phase code was tested simulating two-phase flows and comparing the itssimulated results with the OpenFOAM two-phase solver. The multi-phase code was sim-ulated using 2, 3 and 5 equal disperse phases. The agreement of the solutions using thedifferent approachs validated the multi-phase programming.

The effect of the drag force was evaluated considering a three-phase liquid system withdifferent diameters. The density and viscosity differences were noticed in the simulationswhere the denser phase settled in the lower wall of the geometry.

The first simulation tests using the coupled CFD-PBE multi-phase approach imple-mented in OpenFOAM were successfully done. These implementations are reliable enoughto be applied in actual flow simulations with realistic breakup and aggregation models.

As noticed by Silvaet al.

(2007), no strong difficult were found in solving the hyperbolicDQMOM transport equations when using different velocity fields.

Acknowledgements

The authors would like to thank CNPq (grant no. 301548/2005-6). L.F.L.R. Silva wouldalso like to acknowledge the financial support given by Chemtech.

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Figure 6: Countour plots of the volumetric fractions and characteristic diameters forphases 1 and 3 for the dominant aggregation case.

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