Lista_3_2015
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3 a ¯ Lista - Estruturas Alg´ ebricas Disciplina:02848 - Licenciatura em Matem ´ atica Nome: ra: Turma: Professor Alexandre Monteiro Data:09/11/2015 1. Em cada um dos seguintes casos, escreva f = g · q + r, com gr(r) < gr(g). (a) f (x)= x 2 - 2x +1, g(x)= x - 1 (b) f (x)= x 3 + x - 1, g(x)= x 2 +1 2. Encontre o quociente e o resto quando 2x 3 +3x 2 - 13x +5 ´ e dividido por 2x - 3 em Z[x]. 3. Encontre o m´ aximo divisor comum d(x) entre p(x)=3x 4 +7x 3 - x 2 - 7x - 2 e q(x)= 3x 3 + x 2 - 12x - 4. Escreva d(x) como uma combinac ¸˜ ao linear de p e q, em R[x]. 4. Mostre que quando f (x) ´ e dividido por x - c ent˜ ao o resto ´ e igual a f (c) 5. Mostre que dado f (x) ∈ K [x] ent˜ ao c ∈ K ´ e uma raiz de f (x) ⇐⇒ (x - c) divide f (x). 6. Mostre que x - a ´ e um fator de x n - a n para todos os inteiros n. 7. Mostre que f (x)= x 2 +1 ´ e irredut´ ıvel em R[x]. 8. Mostre que x 2 - 2 ∈ Q[x] ´ e irredut´ ıvel mas x 2 - 2 ∈ R[x] ´ e n˜ ao irredut´ ıvel. 9. Escreva o polinˆ omio p(x)= x 4 - 7x 3 + 13x 2 +3x - 18 como um produto de polinˆ omios irredut´ ıveis, sabendo-se que 3 ´ e um zero de multiplicidade 2. 10. Determine as raz´ ızes de p(x)= x 4 - 1 em cada um dos seguintes an´ eis: (a) Z 2 [x] (b) Z 3 [x] (c) R[x] (d) C[x] 11. Em Z 8 considere os polin ˆ omios p(x)= x 2 + ¯ 2x e q(x)= x 2 + ¯ 6x + ¯ 5. Determine as ra´ ızes de p, q e q 2 . 12. Considere o an´ el de polin ˆ omios Z 3 [x]. Determine todos os polin ˆ omios irredut´ ıveis da forma x 2 + x + a em Z 3 [x]. 13. Dadas as afirmac ¸˜ oes abaixo, apresente uma demonstrac ¸˜ ao no caso da afirmac ¸˜ ao ser ver- dadeira e exiba um contra-exemplo quando for falsa. (a) O polinˆ omio x 3 + x 2 + x +2 ´ e irredut´ ıvel em Z 3 [x]; (b) A equac ¸˜ ao 1= p(x) · (x 3 + x 2 + x +2)+ q(x)(x 2 +2x +2) tem soluc ¸˜ oes p(x), q(x) ∈ Z 3 [x], mas n˜ ao tˆ em soluc ¸˜ oes p(x),q(x) ∈ Z 5 [x]
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3a¯ Lista - Estruturas Algebricas
Disciplina:02848 - Licenciatura em Matematica
Nome: ra: Turma:Professor Alexandre Monteiro Data:09/11/2015
1. Em cada um dos seguintes casos, escreva f = g · q + r, com gr(r) < gr(g).
(a) f(x) = x2 − 2x + 1, g(x) = x− 1
(b) f(x) = x3 + x− 1, g(x) = x2 + 1
2. Encontre o quociente e o resto quando 2x3 + 3x2 − 13x + 5 e dividido por 2x− 3 em Z[x].
3. Encontre o maximo divisor comum d(x) entre p(x) = 3x4 + 7x3 − x2 − 7x − 2 e q(x) =3x3 + x2 − 12x− 4. Escreva d(x) como uma combinacao linear de p e q, em R[x].
4. Mostre que quando f(x) e dividido por x− c entao o resto e igual a f(c)
5. Mostre que dado f(x) ∈ K[x] entao c ∈ K e uma raiz de f(x)⇐⇒ (x− c) divide f(x).
6. Mostre que x− a e um fator de xn − an para todos os inteiros n.
7. Mostre que f(x) = x2 + 1 e irredutıvel em R[x].
8. Mostre que x2 − 2 ∈ Q[x] e irredutıvel mas x2 − 2 ∈ R[x] e nao irredutıvel.
9. Escreva o polinomio p(x) = x4 − 7x3 + 13x2 + 3x − 18 como um produto de polinomiosirredutıveis, sabendo-se que 3 e um zero de multiplicidade 2.
10. Determine as razızes de p(x) = x4 − 1 em cada um dos seguintes aneis:
(a) Z2[x]
(b) Z3[x]
(c) R[x]
(d) C[x]
11. Em Z8 considere os polinomios p(x) = x2 + 2x e q(x) = x2 + 6x + 5. Determine as raızesde p, q e q2.
12. Considere o anel de polinomios Z3[x]. Determine todos os polinomios irredutıveis da formax2 + x + a em Z3[x].
13. Dadas as afirmacoes abaixo, apresente uma demonstracao no caso da afirmacao ser ver-dadeira e exiba um contra-exemplo quando for falsa.
(a) O polinomio x3 + x2 + x + 2 e irredutıvel em Z3[x]; (b) A equacao 1 = p(x) · (x3 +x2 +x+2)+q(x)(x2 +2x+2) tem solucoes p(x), q(x) ∈ Z3[x], mas nao tem solucoesp(x), q(x) ∈ Z5[x]
14. O grafico da figura abaixo pode representar a funcao f(x) =
(a) x(x− 1)
(b) x2(x2 − 1)
(c) x3(x− 1)
(d) x(x2 − 1)
(e) x2(x− 1)
15. Dado o polinonmio P (x) = x2 + 2ix + 3:
(a) Calcule o quociente da divisao de P (X) por (X − i).
(b) Ache as raızes de P (X).
16. Considere o polinomnio p(x) = x3 − 2x2 + 5x + 26.
(a) Verifique se o numero complexo 2 + 3i e raiz desse polinomio.
(b) Prove que p(x) > 0 para todo numero real maior do que −2
17. Considere a equacao:4x3 − 19x2 + 28x + m = 0
Determine:
(a) O valor de m sabendo que 2 e raiz dupla dessa equacao.
(b) A outra raiz.
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