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3a¯ Lista - Estruturas Algebricas

Disciplina:02848 - Licenciatura em Matematica

Nome: ra: Turma:Professor Alexandre Monteiro Data:09/11/2015

1. Em cada um dos seguintes casos, escreva f = g · q + r, com gr(r) < gr(g).

(a) f(x) = x2 − 2x + 1, g(x) = x− 1

(b) f(x) = x3 + x− 1, g(x) = x2 + 1

2. Encontre o quociente e o resto quando 2x3 + 3x2 − 13x + 5 e dividido por 2x− 3 em Z[x].

3. Encontre o maximo divisor comum d(x) entre p(x) = 3x4 + 7x3 − x2 − 7x − 2 e q(x) =3x3 + x2 − 12x− 4. Escreva d(x) como uma combinacao linear de p e q, em R[x].

4. Mostre que quando f(x) e dividido por x− c entao o resto e igual a f(c)

5. Mostre que dado f(x) ∈ K[x] entao c ∈ K e uma raiz de f(x)⇐⇒ (x− c) divide f(x).

6. Mostre que x− a e um fator de xn − an para todos os inteiros n.

7. Mostre que f(x) = x2 + 1 e irredutıvel em R[x].

8. Mostre que x2 − 2 ∈ Q[x] e irredutıvel mas x2 − 2 ∈ R[x] e nao irredutıvel.

9. Escreva o polinomio p(x) = x4 − 7x3 + 13x2 + 3x − 18 como um produto de polinomiosirredutıveis, sabendo-se que 3 e um zero de multiplicidade 2.

10. Determine as razızes de p(x) = x4 − 1 em cada um dos seguintes aneis:

(a) Z2[x]

(b) Z3[x]

(d) C[x]

11. Em Z8 considere os polinomios p(x) = x2 + 2x e q(x) = x2 + 6x + 5. Determine as raızesde p, q e q2.

12. Considere o anel de polinomios Z3[x]. Determine todos os polinomios irredutıveis da formax2 + x + a em Z3[x].

13. Dadas as afirmacoes abaixo, apresente uma demonstracao no caso da afirmacao ser ver-dadeira e exiba um contra-exemplo quando for falsa.

(a) O polinomio x3 + x2 + x + 2 e irredutıvel em Z3[x]; (b) A equacao 1 = p(x) · (x3 +x2 +x+2)+q(x)(x2 +2x+2) tem solucoes p(x), q(x) ∈ Z3[x], mas nao tem solucoesp(x), q(x) ∈ Z5[x]