Lista 1. 1) Escrever em coordenadas polares a equação da curva dada em coordenadas cartesianas. a)...
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List a 1
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Lista 1
1) Escrever em coordenadas polares a equação da curva dada em coordenadas cartesianas.
a) Y = 5X
rseny
rx
cos
rsenx
rx
5
cos
rsen
r
x
x cos
5
5arctan5tan
tan
1
5
1
rseny
rx
cos
rsenx
rx
2
cos
b) Y = X2
senx
cos1
senr
cos
cos
1
r sec tan
d) (x2 + y2) 2 = x3 – 3xy2
rsenyrx cos
23222 cos3coscos senrrsenr
23332224 cos3coscos senrrsenr
2334 cos3cos senrr
23 cos3cos senr
xx
d) (x2 + y2) 2 = x3 – 3xy2
23 cos3cos senr
2
coscos2cos 23
sen
sensensenr
2cos
2)(coscos 22 sensensenr
sensenr 22coscos
3cosr
2)
2ˆ rrar
dt
dr
dt
d
ra
2ˆ
1
3,05r 2236
t
3) T = 1
dt
d
dt
dr
dt
drr
rdt
dr
dt
d
ra
22ˆ 2
11
4) Prove que:
dt
dr
dt
d
ra
2ˆ
1
dt
d
dt
d
r
r
dt
d
r
rr
dt
d
dt
dr
dt
drr
ra
22
ˆ2
21
rrdt
dr
dt
d
ra
2
1 2ˆ
5. Um ponto move-se sobre a curva Sua aceleração transversal vale
No instante inicial t=0 tem-se que =1, d/dt=1/2.
Achar r(t) e (t).
Solução:Lembre-se da questão 4!
Integrando uma vez:
1, )2( 2/1 r
.ˆ2 1r
dt
dr
dt
d
ra
2ˆ
1
ˆ21 12
ˆ
r
dt
dr
dt
d
ra
Adtdt
drdv
22
ˆ
Atdt
dv
2)2(
2ˆ
Adttdt22
BAtt
2
2
22
22Impondo a condições de contorno: 122 tt2/12/12 ))1(2()( tttr 1)( 2 ttt
6)
2
0
1
60
/10
xy
srad
y
x
200 ))60cos((1)60( rrsen
ˆ)60(ˆ 0
rrrV srad /10
)( )cos(1 2 rsenyrxxy
6)
2
0
1
60
/10
xy
srad
26060
))cos()((1)()( 00 ttrtsentr
ˆ)60(ˆ 0
rrrV
26060
))cos()((1)()( 00 ttrdt
dtsentr
dt
d
srad /10
y
x
)(2 222 tsenzzyxr
20
2
/1 /8 30
ˆˆ2ˆ
sradsrad
zzrrrrrr
7)
Em um referencial inercial uma partícula possui coordenadas dadas por:
onde v0 é constante e t ≥ 0.
a) Escreva r(t) e (t) em coordenadas polares;
b) Escreva as coordenadas da partícula em um sistema de referência que gira com velocidade angular em torno do eixo z , no sentido horário.
c) No referencial em rotação, obtenha as componentes da velocidade da partícula nas direções transversal e radial.
Resposta:
a) Temos que obter uma expressão para r
0z(t) 2
1y(t)
2
3x(t) 00 tvtv
tvtvtvyxr 022
022
022
4
1
4
3
6
2
32
1
arctanarctan
0
0
tv
tv
x
y
e outra para
X
Y
X´
Y´
6
tvr 0
b) Escreva as coordenadas da partícula em um sistema de referência que gira com velocidade angular em torno do eixo z , no sentido horário.
6)´(
6coscos)´(
0
0
ttsenvtrsenty
ttvtrtx
6 t
c) No referencial em rotação, obtenha as componentes da velocidade da partícula nas direções transversal e radial.
ˆˆ
rrrV
ˆˆ 00 tvrvV
tvr 06
t
Exercício extra:Uma massa é abandonada com velocidade inicial igual a zero de modo que atinge o solo10 segundos depois de solta. Desprezando a resistência do ar, e tendo a frequencia angularde rotação da Terra = 7,5 x 10-5 rad/s e a aceleração da gravidade g = 10 m/s2 , obtenha;
a)A expressão que descreve a deflexão horizontal devido à rotação da Terra para umalatitude qualquer .
b) O valor da deflexão quando a partícula é solta no equador.
c) O valor da deflexão quando a partícula é solta no pólo norte
a) ´2 vmFCoriolis
´2´
2
2
vmdt
xdm
)´cos(2)(´2 vmsenvmFCoriolis
)´cos(2´
2
2
vdt
xd
)´cos(2´
2
2
vdt
xd
Integrando-se duas vezes e impondo que a velocidade inicial igua a zero temos:
)cos(3
1´ 3 gtx
O valor da deflexão quando apartícula é no equador: = 0 x´ = 0,25m
E o valor da deflexão quando apartícula é no polo norte: =90 x´ = 0 m
22)
´)( rmFcentrifuga
´2 vmFCoriolis
)cos()2/()(ˆ sensen
)()2/cos()cos(ˆ senr
22)
´)( rmFcentrifuga
kR
R
sen
kr
r ˆcos
00
0cos
ˆˆˆ
´
cos00
0cos
ˆˆˆ
´)(
R
sen
kr
r
´)( rmFcentrifuga
2)cos( mRFrcentrifuga
´)( rmFcentrifuga
ˆcosˆ)cos(´)( 22 senRrRr
senmRFcentrifuga
cos2
´2 vmFCoriolis
