HomotetiaPúblico alvo:

Alunos da oitava série (nono ano) do ensino fundamental II

Pré-requisitos:Saber as condições de semelhança de triângulos,

construção de retas paralelas, perpendiculares e multiplicação de segmentos com régua e compasso, familiaridade com algum software de geometria dinâmica.

Aulas previstas:Três aulas que serão divididas em, uma teórica, uma para

formalização do conceito e resolução de exercícios e a ultima para a construção do pantógrafo em um software de geometria dinâmica.

Homotetia

Objetivos:Introduzir o conceito de homotetia de forma intuitiva,

aumentar a capacidade de utilização de softwares de geometria dinâmica e estimular os alunos a criarem objetos a partir de conhecimentos teóricos.

Material:

Pantógrafo de madeira, software igeom e retroprojetor.

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Aula 1 – Introdução intuitiva da homotetiaLevaremos algumas imagens de objetos ampliados e

colocaremos o questionamento de como podemos ampliar objetos planos sem deformá-los.

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Colocaremos o retroprojetor sem nenhuma imagem, só com a luz voltada para uma parede com alguém segurando um lápis a alguma distância dele. A imagem da sombra do lápis na parede terá o tamanho maior do que o lápis de verdade.

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Mostraremos então o pantógrafo de madeira e faremos uma demonstração de seu uso.

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Identificando as formas geométricas do pantógrafo

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A Base do triângulo maior (ADF) vai ser aumentada na mesma razão obtida através dos lados dos triângulos regulados pelos parafusos do pantógrafo (AB, BD,EF,DE) chegando a conclusão de que se temos AB/AD=1/2 teremos AC/AF=1/2 .

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Com essa aula, podemos introduzir intuitivamente aos alunos o conceito de homotetia, e os ensinaremos as propriedades e o uso de um pantógrafo.

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Aula 2 – formalização do conceito de homotetia.

Na primeira aula introduzimos o conceito com o uso do pantógrafo e com o retroprojetor, agora é necessária uma formalização do conceito por uma aproximação mais teórica.

Para definir homotetia precisamos de um centro de homotetia M e de uma razão r.

Homotetia é a transformação que gera um ponto A´ a partir de um ponto A de forma que MA*r = MA´.

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Após essa apresentação perguntaremos aos alunos o que eles acham que irá acontecer com um segmento de reta, chegando à conclusão de que os segmentos de reta irão “aumentar” seu tamanho, através da homotetia de seus pontos extremos, levando segmentos em segmentos paralelos.

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Agora perguntamos a eles sobre um polígono, e chegamos à mesma conclusão. Através da homotetia de seus vértices conseguiremos um polígono de lados paralelos e proporcionais aos lados do primeiro.

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Trazemos novamente a imagem do retroprojetor, mostrando como a lâmpada serve de centro de homotetia e a razão entre a distância lâmpada-parede e a lâmpada-lápis é nossa razão de homotetia.a+b/a = d/c = r

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Voltamos à imagem do pantógrafo e mostraremos como ele leva cada ponto C em um ponto F de forma que AF=AC*r onde r =AD/AB novamente utilizando a semelhança de triângulos.

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Um questionamento interessante a fazer para os alunos nesse momento, é se a homotetia é capaz de diminuir polígonos. Através de desenhos na lousa com sugestões dos alunos chegaremos a conclusão que isso é possível quando r < 1

Concluímos então que a homotetia leva pontos em pontos, segmentos em segmentos paralelos e polígonos em polígonos semelhantes de lados paralelos.

Homotetia1 - Um pantógrafo é capaz de diminuir uma imagem? Como?

2 - Como seria um pantógrafo para aumentar um polígono em 2,5 vezes?

A primeira questão leva os alunos a perceberem que trocando as pontas seca e de grafite do pantógrafo geramos a homotetia inversa, conseguindo diminuir segmentos. Na segunda questão os incentivaremos a trabalhar um pouco mais com as semelhanças de triângulo.

Homotetia3 - Dados M centro de homotetia, um triângulo ABC e o triângulo DEF gerado pela homotetia. Sabendo que AM = 2, DM =6, AB = 1, quanto mede DE?

4 - Quanto mede a área de um quadrado EFGH gerado a partir da homotetia de razão ½ de um quadrado de 20cm de perímetro .

Já nas questões três e quatro fixaremos mais o conceito de homotetia, sendo que na quarta mostraremos o interessante resultado de que, se os lados aumentam de razão r a área aumenta de razão r².

Homotetia5 - A partir de um triangulo ABC equilátero de lado 3 e do centro de homotetia M geramos um triângulo EFG e outro HIJ com homotetias de razão 3 e -3 respectivamente. Qual a relação entre os lados dos triângulos?

Na questão cinco introduzimos a homotetia de razão negativa, deixando para os alunos tentarem solucionar o problema logicamente.

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Aula 3 – Nessa aula iremos construir um pantógrafo com o software igeom. Esse processo é de grande dificuldade para os alunos e a ajuda do professor é indispensável.

Antes de abrir o programa vamos pensar nos pontos que temos de criar e suas propriedades, por exemplo, quais medidas têm que ser fixas? Quais são os pontos móveis?

Decidido que os pontos M e E ( centro da homotetia e ponta seca, respectivamente) devem ser criados primeiro (pois os outros dependem deles) começamos a construção.

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O principal problema a ser resolvido pelos alunos nesse momento, será como manter o paralelogramo com as medidas fixas na construção.

Esperamos que algum aluno apresente a solução, se isso não acontecer, sugerimos a utilização de segmentos auxiliares.

Homotetia•Traçar segmentos auxiliares AB e AC para que as

medidas dos lados dos paralelogramos sejam fixas (sugerimos AB/AC = 1/2 .

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•Criar dois pontos, M e E, onde M ira ser o centro da homotetia e E nossa ponta seca. Obs. ME < 2AB

•Traçar circunferência c1 de medida AB em M e c2 em E.

•Criar o ponto F, interseção de c1 e c2.

•Traçar MF.

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•Traçar circunferência c3 com centro em f e raio AC.

•Marcar ponto G interseção de MF com c3.

•Traçar segmento de reta EF e MG.

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• Traçar paralela a EF por G e paralela a MG por E, marcar a interseção delas como ponto H.

•Traçar circunferência c4 de centro G e raio GM

•Marcar ponto I, interseção de c4 com reta GH.

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•Traçar segmentos GI e EH.

HomotetiaApós a construção, deixaremos para os alunos os seguintes

problemas:

-Quantas vezes esse nosso pantógrafo aumenta?

-Como desenhar no igeom uma circunferência de perímetro três vezes maior que outra dada?

A resolução é basicamente a construção já feita, mas mantendo o ponto E inicialmente na borda da circunferência do enunciado, e utilizando a ferramenta de rastreamento de ponto.

HomotetiaAtravés dessas atividades levaremos os alunos a resolver os

seguintes problemas:

Como podemos aumentar figuras planas?

Qual a relação entre a sombra de um objeto projetado paralelamente a ele?

Quais propriedades do pantógrafo o tornam um instrumento de homotetias?

HomotetiaQual a relação entre áreas de polígonos gerados a partir de

outros com homotetia?Como construir um pantógrafo no igeom (dentro desse

problema existem outros problemas como o de manter as distâncias dos lados do paralelogramo fixas) ?

Para resolver esses problemas, adotamos uma metodologia mais intuitiva e com construções de forma a relacionar o conhecimento teórico e a prática.

HomotetiaIntegrantes:Bruno Magrini 5124605Everton Coelho

Bibliografia:1-Costa, D. M. ; Janzen, E. A.; Rolkouski, E. DIFERENTES MÍDIAS NA EXPLORAÇÃO DE ALGUNSCONCEITOS GEOMÉTRICOS.2- http://penta.ufrgs.br/edu/telelab/mundo_mat/malice2/homot.htm3- http://www6.ufrgs.br/espmat/disciplinas/geotri/moduloII/recursos29.html4- http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=107895-http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/diaadia/diadia/arquivos/File/conteudo/artigos_teses/EDUCACAO_E_TECNOLOGIA/RELATO.PDF6- http://pt.wikipedia.org/wiki/Pant%C3%B3grafo7- http://conesul2006.tripod.com/Material/HOMOTETIA.pdf