Guia Experimento 1_ Medição de Campo Elétrico em Capacitor de Placas Paralelas

UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE CENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E INFORMÁTICA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA ÁREA DE MICRO-ONDAS E ELETROMAGNETISMO APLICADOS

LABORATÓRIO DE ELETROMAGNETISMO

EXPERIMENTO 1

MEDIÇÃO DE CAMPO ELÉTRICO EM CAPACITOR DE PLACAS PARALELAS

Campina Grande, Paraíba 2013.2

1

Laboratório de Eletromagnetismo - Medição de Campo Elétrico em Capacitor de Placas Paralelas

1 OBJETIVOS

Avaliar o campo elétrico uniforme, , produzido entre as placas de um capacitor de

placas paralelas como função da distância entre as placas, , e do potencial elétrico .

2 MATERIAL UTILIZADO

Os materiais e equipamentos usados durante o experimento encontram-se listados

abaixo:

Figura 1 Arranjo para medições da

intensidade de campo elétrico.

a. Placa de alumínio, 283283

b. Palca de alumínio com encaixe central = 55

c. Medidor de campo elétrico

d. Fonte de alimentação. 0. . .600

e. Resistor, 10 Ω

f. Multímetro digital

g. 4 conectores vermelhos, = 750

h. 4 conectores azuis, = 750

i. Base métrica, = 60

j. Suporte da base

k. Base deslizante, ℎ = 80

l. Haste de aço, 250

m. Garra de ângulo reto

n. Régua plástica, = 200

2


3 INTRODUÇÃO TEÓRICA

A eletrostática compreende o estudo de cargas em repouso com base em seus modos

de interação e na análise de campos produzidos por distribuições destas cargas.

Os primeiros fenômenos de origem eletrostática foram observados pelos gregos, 5 séculos antes de Cristo. Eles observaram que pedaços de âmbar (elektra), quando atritados com tecidos adquiriam a capacidade de atraírem pequenas partículas de outros materiais. Como a ciência experimental e dedutiva ainda estava longe de ser desenvolvida, o interesse nesse fenômeno permaneceu no campo da lógica e da filosofia. A interação entre objetos eletricamente carregados (força eletrostática) só foi quantificada e equacionada no século 18 (1746), por um cientista francês chamado Charles Augustin de Coulomb (1736 – 1806). (PEREIRA; VARA, p.1)

3.1 SISTEMAS DE COORDENADAS

A escolha de uma representação espacial adequada a cada problema de campo do

eletromagnetismo é fundamental na simplificação dos campos envolvidos. Na física há cerca

de 13 (treze) sistemas de coordenadas ortogonais. Portanto, o sistema de coordenadas

apropriado ao problema é determinado de acordo com a geometria da região de existência de

campos.

Sistemas de coordenadas ortogonais são aqueles em que os eixos coordenados são

mutuamente perpendiculares. Estes eixos definem pontos no espaço segundo a interseção de

superfícies. Na Figura 2 é possível visualizar as superfíceis e vetores unitários dos três

sistemas de coordenadas mais comuns no estudo do eletromagnetismo (coordenadas

cartesianas, cilindricas e esféricas).

Figura 2 Superfícies e vetores unitários dos sistemas coordenados cartesiano, cilíndico e esférico.

3


Possíveis representações para um ponto nos sistemas cartesiano, cilíndrico e esférico

são respectivamente: , , , , , , , , . Para um campo vetorial !, têm-se:

"#$, #%, #&' ou #$() + #%(+ + #&(, no sistema cartesiano, "#-, #., #&' ou #-(/ +#.(0 + #&(, no sistema cinlíndrico e "#1 , #2, #.' ou #1(3 + #2(4 + #.(0 no sistema

esférico.

A necessidade da mudança entre coordenadas é recomendável para pontos e vetores a

fim de facilitar as operações matemáticas exigidas em um determinado problema.

3.2 LEI DE COULOMB

A força eletrostática foi quantificada por Coulomb em 1785 a partir de experimentos

utilizando uma balança de torção de alta precisão que mediu a força de interação entre cargas

puntiformes (aquelas cuja distância de separação é muito maior que suas dimensões).

Determinou-se que a intensidade da força de atração ou repulsão é inversamente proporcional

ao quadrado da distância e diretamente proporcional ao produto entre as cargas.

5 = 6 7879:9 1

A linha de ação da força eletrostática é direcionada ao longo da linha de separação

entre as cargas. Portanto, trata-se – a força eletrostática – de uma grandeza vetorial, que

possui intensidade, direção e sentido.

; = 78794=>?:9 (@AB 2

Em unidades do SI, a força é dada em newton (N). Deve-se ressaltar que uma

característica importante da força eletrostática é que trata-se de uma força mútua, ou seja, a

força sobre a carga 78 devido a carga 79 ;BA e a força sobre a carga 79 devido a carga 78 ;AB possuem intensidades iguais, porém, sentidos contrários. Contudo, cargas de mesmo

sinal se repelem (força repulsiva) e cargas de sinais opostos se atraem (força atrativa).

Uma carga elétrica produz uma região de influência ao seu redor. O efeito pode ser

sentido por outro objeto carregado posicionado nas imediações da carga. Este transmissor de

efeito, que se faz presente no espaço, a partir da existência de uma partícula carregada, é

denominado de campo eletrostático.

4


A caracterização do campo eletrostático produzido por um conjunto de cargas elétricas

pode ser feita colocando-se uma carga de teste 7t na região de campo, e medindo-se a força

elétrica ;, produzida sobre 7. A magnitude da carga de teste deve ser pequena de forma a não

perturbar o campo originalmente presente. A partir dessa medição, o campo eletrostático pode

ser definido pela relação:

= limF→?;7 3

= 74=>?:9 (@AB 4

A intensidade de campo elétrico é medida em newton/coulomb (N/C) ou volt/metro

(V/m). Assim como a força eletrostática o campo elétrico também é uma grandeza vetorial e

possui a mesma direção de ;.

A equação (4) pode ser generalizada para um sistema com mais de uma carga pontual.

Em função das coordenadas cartesianas no plano , a equação pode ser reescrita. Logo, se

considerarmos cargas H8, H9, ..., HI, localizadas nos respectios pontos 8, 8, 9, 9, ..., I, I, o campo resultante será:

= J 14=>? K 7L − LN − L9 + − L9OP9QILR8 () + J 14=>? K 7L − LN − L9 + − L9OP9QI

LR8 (+ 5

Além de cargas pontuais, distribuições contínuas de carga ao longo de uma linha,

superfície ou volume também são comuns. As densidades de carga linear S, superficial T e volumétrica U e os elementos de carga 7 associados a tais distribuições são

respectivamente 7 = S, 7 = VW, 7 = UX.

Portanto, o campo elétrico devido a um elemento de uma distribuição de cargas é

similar ao campo devido a uma carga pontual.

= 74=>?:9 (@AB 6

O campo eletrostático também pode ser representado a partir da utilização das linhas

de contorno, também denominadas curvas de nível. Uma linha de contorno é a posição

geométrica em que o campo tem o mesmo módulo.

5


Isto é, dado um campo = Y$() + Y%(+, a equação para linha de contorno é dada a

partir da relação entre as componentes do campo por elemento integrativo da respectiva

coordenada.

Y$ = Y% 7

3.3 LEI DE GAUSS

A divergência do campo vetorial fornece informações sobre a variação do módulo do

campo nas vizinhanças de um ponto do espaço que pode assumir, fisicamente, três situações

assim como ilustradas na Figura 3.

Figura 3 Ilustração da divergência de um campo vetorial em um ponto .

Na Figura 3, a primeira situação ilustra a divergência positiva porque o vetor diverge

em indicando a presença de uma fonte de grandeza vetorial. Entretanto, no segundo caso, a

divergência é dita negativa porque o vetor converge em caracterizando a presença de um

sorvedouro da grandeza.

Também é possível que o campo vetorial tenha divergência zero, assim como na

terceira situação da Figura 3, ou seja, o fluxo que flui para um certo ponto é idêntico ao fluxo

que sai do mesmo.

A divergência de um campo vetorial, expresso por suas componentes em sistemas de

coordenadas cartesianas, cilindricas e esféricas pode ser calculada a partir das equações (8),

(9) e (10) respectivamente.

∇ ∙ = \Y$\ + \Y%\ + \Y&\ 8

6


∇ ∙ = 1 \"Y-'\ + 1 \"Y.'\ + \Y&\ 9

∇ ∙ = 19 \9Y1\ + 1 sin \sin Y2\ + 1 sin \"Y.'\ 10

O campo eletrostático apresenta natureza central e dependência com o inverso do

quadrado da distância. Isto resulta na característica de conservação para o fluxo das linhas de

campo elétrico através de uma superfície fechada.

A Lei de Gauss estabelece que o fluxo, `, devido ao campo elétrico através de

qualquer superfície fechada é igual à carga total encerrada por esta superfície. Assim:

a = b a = c >? ∙ dT = 7 = e UXU 10

Portanto, para o campo elétrico, o teorema da divergência é válido. Isto é:

∇ ∙ = U>? 11

A lei de Gauss é uma alternativa simples de determinar para distribuições simétricas

de carga. Quando a distribuição de cargas não é simétrica deve-se recorrer à lei de Coulomb.

Para determinar o campo elétrico aplicando a lei de Gauss é necessário verificar a

existência de simetria (plana, axial, esférica). Em seguida, é escolhida uma superfície

matemática fechada (conhecida como superfície gaussiana) de forma que o vetor seja normal

ou tangencial à superfície gaussiana.

Assim, quando for normal à superfície, ∙ d = Yf e quando for tangencial à

superfície, ∙ d = 0. Para isto, deve-se escolher uma superfície compatível com a simetria

exibida pela distribuição de cargas.

3.4 CAPACITÂNCIA

A capacitância é uma propriedade física do capacitor e é medida em farads (F).

Dispomos de uma capacitor se o componente necessariamente apresentar dois ou mais

condutores carregados com cargas iguais, porém, de sinais contrários.

7


Sendo o condutor um corpo equipotencial e neste caso referido às placas do capacitor,

é importante ressaltar que as linhas de fluxo que saem de uma das placas devem,

obrigatoriamente, terminar na superfície da outra placa.

Define-se capacitância, , como a razão entre o valor da carga em uma das placas e o

valor absoluto da diferença de potencial entre elas. Portanto:

= 7 = >? ∬ ∙ dTh ∙ i 12

3.4.1 CAPACITOR DE PLACAS PARALELAS

Faremos o estudo de um caso particular de um capacitor, o capacitor de placas

paralelas (Figura 4) utilizando o ar como dielétrico. Isto é, aquele no qual a separação

entre as placas é muito pequena quando comparado com suas dimensões.

Figura 4 Capacitor de placas paralelas

Consideremos o caso ideal desprezando a dispersão do campo nas bordas das

placas, assim, o campo entre as placas deve ser considerado uniforme. De acordo com a

lei de Gauss temos que o campo elétrico em uma superfície infinita com distribuição

uniforme de carga dado por T /9, no plano ortogonal k = 0, é independente da

distância entre a superfície e o ponto de observação. Dessa forma:

= T2>? (l 13

Neste caso, é possível realizar três analises acerca do campo elétrico:

1. Acima da superfície carregada positivamente:

8


f+ + f− = f2>0 −(, + −f2>0 −(, = 0 14

2. Abaixo da superfície carregada negativamente:

f+ + f− = f2>0 (, + −f2>0 (, = 0 15

3. Entre as placas:

f+ + f− = f2>0 (, + −f2>0 −(, = f>0 (, 16

No capacitor da Figura 5, as superfícies paralelas encontram-se carregadas com

cargas +7 e – 7 a fim de determinar o campo elétrico, , em função da distância entre

as placas dado que estas estão submetidas a uma diferença de potencial ?.

Figura 5 Capacitor de placas paralelas

Para isto, resolve-se um Problema de Valor de Contorno, ou seja, soluciona-se a

equação diferencial ordinária de segunda ordem de Laplace, equação (17), em uma

dimensão espacial visto que o potencial depende apenas de uma variável, .

∇9 = 99 = 0 17

O método de resolução, neste caso, é a integração direta da equação, logo:

= # + n 18

Onde # e n são constantes de integração a serem determinadas a partir das

condições de fronteira:

= 0 ⇒ 0 = ? 19

9


= ⇒ = 0 20

Portanto,

= − ? + ? 21

E,

= −∇V = ? () 22

Para a placa carregada positivamente, +7:

T = 7f = >?0 23

Deste modo, é possível calcular a capacitância do capacitor:

= 7? = >0f 24

3.4.2 ENERGIA ARMAZENADA NO CAPACITOR DE PLACAS PARALELAS

Ao estabelecer uma diferença de potencial, , entre as placas de um capacitor, é

possível carregá-lo com carga 7, portanto, para calcular a energia potencial elétrica de

um capacitor precisamos calcular o trabalho, q, realizado no carregamento.

Assim, em um instante qualquer, foi transferida uma carga 7′ de uma placa de

um capacitor para outra. A diferença de potencial entre as placas nesse instante será:

s = 7s 25

Para transferir um incremento extra de carga 7′, o incremento de trabalho

necessário é:

q = s7s = 7s 7s 26

Assim,

q = t 7s 7sF? = 1 792 27

10


Ou

q = 12 9 28

4 PREPARAÇÃO

OBS: Importância: Durante o experimento será realizado o estudo do capacitor de

placas paralelas. Portanto, é importante saber analisar o comportamento das

medidas que serão realizadas. A preparação deverá ser entregue no dia do

experimento.

OBS: A atividade de simulção deve ser respondida e utilizando o software

Mathematica deve ser simulada. Para isto, siga o Roteiro Experimental de Simulação

presente no ANEXO B.

1. Considere as situações abaixo para um capacitor de placas paralelas de dimensões 283 × 283 .

a. Preencher a Tabela 1 (ANEXO A) calculando o campo elétrico gerado pelas

superfícies paralelas dado que as placas encontram-se a uma distância fixa v = 10 w e que a tensão aplicada ao capacitor está variando de acordo com a

tabela;

b. Preencher a Tabela 2 (ANEXO A) calculando o campo elétrico gerado pelas

superfícies paralelas dado que no capacitor a tensão é fixa, v = 200, e a

distância entre as placas variam segundo a tebela;

c. Calcular as capacitâncias do capacitor para todos os casos completando os valores

teóricos da Tabela 1 e Tabela 2 (ANEXO A);

d. Calcular a energia armazenada em cada um dos casos completando os valores

teóricos da Tabela 1 e Tabela 2 (ANEXO A).

2. Determine a força de atração entre as placas de um capacitor de placas paralelas.

11


3. Ainda para o capacitor de placas paralelas de área, #, e distância entre as placas, , imerso

no vácuo, explique o efeito qualitativo sobre sua capacitância, nos seguintes casos:

a. Reduzir a distância ;

b. Dobrar a área, #, de ambas as placas;

c. Dobrar a diferença de potencial entre as placas.

4. Atividade de simulação. Representar graficamente as linhas de campo elétrico em um

capacitor de placas paralelas. Para isto, considerar um sistema com 26 cargas elétricas de

1/9 nC, dentre as quais 13 estão carregadas positivamente e localizadas nos pontos H8−6,4, H9−5,4, HP−4,4, ..., H8P6,4 e as outras 13 cargas estão carregadas

negativamente e localizadas nos pontos H8x−6, −4, H8y−5, −4, H8z−4, −4, ..., H9z6, −4. Escrever a equação geral do campo resultante produzido pelas cargas Hy, Hz,

H, H|, H, H8|, H8, H9? e H98, H99. Considere 6 = 8x~ = 9 ∙ 10.

12


5 PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS

O experimento proposto é dividido em duas partes. A primeira parte trata de uma

montagem na qual mantém-se a distância entre as placas do capacitor constante a fim de

verificar a relação entre o campo e o potencial elétrico. A segunda parte consiste em uma

montagem em que será estudada a relação entre o campo elétrico e a distância entre as placas

mantendo o potencial elétrico constante e variando a distância entre as placas do capacitor.

5.1 MONTAGEM I - RELAÇÃO ENTRE CAMPO E POTENCIAL ELÉTRICO

1. Verifique a montagem dos equipamentos de acordo com a Figura 1 seguindo as

orientações do professor ou monitor;

2. Certifique-se de que a fonte de alimentação e os multímetros estão conectados

corretamente ao circuito;

3. Ligar a fonte de alimentação assegurando-se que a tensão entre as placas do

capacitor é 0 ;

4. É necessário estabelecer o zero de equilíbrio no medidor de campo elétrico.

Para isto, é necessário alimentar o equipamento com 12 , curto-circuitar as

placas do capacitor e com o auxílio do multímetro ajustar o equipamento;

5. Manter as placas do capacitor a uma distância fixa assim como no problema 1

item a da atividade de preparação;

6. Inicialmente aplicar uma tensão de 10 ao sistema e comparar o valor medido

com o valor calculado durante a preparação;

OBS: As medições estão relacionadas a uma faixa de medição e, portanto,

neste arranjo, a indicação do valor medido deverá ser ajustado de modo a

corresponder à intensidade de campo calculada teóricamente.

OBS: O ajuste da faixa de medição deverá ocorrer no equipamento Medidor

de campo elétrico, no botão 6 segundo a Figura 6.

7. Anotar todos os resultados na Tabela 1 presente no ANEXO A;

13


8. Repetir os itens 6 e 7 seguindo os valores sugeridos de tensão presentes na

Tabela 1 (ANEXO A).

Figura 6 Medidor de campo elétrico

5.2 MONTAGEM II - RELAÇÃO ENTRE O CAMPO ELÉTRICO E A DISTÂNCIA

ENTRE AS PLACAS DO CAPACITOR

1. Verifique a montagem dos equipamentos de acordo com a Figura 1 seguindo as

orientações do professor ou monitor;

2. Certifique-se de que a fonte de alimentação e os multímetros estão conectados

corretamente ao circuito;

3. Ligar a fonte de alimentação assegurando-se que a tensão entre as placas do

capacitor é 0 ;

4. É necessário estabelecer o zero de equilíbrio no medidor de campo elétrico.

Para isto, é necessário alimentar o equipamento com 12 , curto-circuitar as

placas do capacitor e com o auxílio do multímetro ajustar o equipamento;

5. Fixar a tensão entre as placas do capacitor assim como no problema 1 item b da

atividade de preparação;

6. Inicialmente, manter as placas do capacitor a uma distancia = 1,0 w e

comparar o valor medido com o valor calculado durante a preparação;

14


OBS: As medições estão relacionadas a uma faixa de medição e, portanto,

neste arranjo, a indicação do valor medido deverá ser ajustado de modo a

corresponder à intensidade de campo calculada teóricamente.

OBS: O ajuste da faixa de medição deverá ocorrer no equipamento Medidor

de campo elétrico, no botão 6 segundo a Figura 6.

7. Anotar todos os resultados na Tabela 2 presente no ANEXO A;

8. Repetir os itens 6 e 7 aumentando a distância entre as placas em 1,0 w até

atingir 12,0 w.

6 RELATÓRIO

Obs. O relatório deverá ser entregue uma semana após a data de realização do

experimento e deverá ser manuscrito.

O relatório deverá conter:

I- Capa padronizada;

Título do experimento, nome do aluno, matrícula, turma e número.

O modelo segue em anexo.

II- Introdução teórica;

Definições, interpretação física, expressões matemáticas.

III- Procedimentos experimentais;

Descrição dos procedimentos adotado durante o experimento.

IV- Análise e discussão dos resultados;

Gráficos obtidos, fatores relevantes observados, etc.

V- Conclusão.

7 REFERÊNCIAS

15


HAYT, W.H.(1958). Eletromagnetismo. Sexta Edição. LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora S.A. Rio de Janeiro, 2001. SADIKU, M. N. O. Elementos de eletromagnetismo. Terceira Edição. Bookman. VILLATE J. Campo Elétrico. Disponível em: < http://def.fe.up.pt/pt/Campo_el%C3%A9trico>. Acesso em: 23 out. 2013. FONTANA E. Eletromagnetismo – Parte 1. Disponível em: < http://www.ufpe.br/fontana/Eletromagnetismo1/EletromagnetismoWebPart01/mag1cap2.htm#mozTocId669198>. Acesso em: 15 nov. 2013. A elaboração deste guia foi realizada pelos alunos da UFCG (Campina Grande – Paraíba): Leonardo Fragoso Martins, Milena Marinho Arruda e Rodrigo Torres Guimarães sob orientação do Prof. Alexandre Jean René Serres e Prof. Mario de Sousa Araújo Filho.

16


8 ANEXO A - TABELAS

Tabela 1 - Relação entre campo e potencial elétrico. v = w

TENSÃO

CAMPO ELÉTRICO / CAPACITÂNCIA ; ENERGIA l

MEDIDO TEÓRICO MEDIDO TEÓRICO MEDIDO TEÓRICO

0

10

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

250

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Tabela 2 - Relação entre o campo elétrico e a distância entre as placas do capacitor. v =

DISTÂNCIA

ENTRE AS

PLACAS

CAMPO ELÉTRICO / CAPACITÂNCIA ; ENERGIA l

MEDIDO TEÓRICO MEDIDO TEÓRICO MEDIDO TEÓRICO

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

18


9 ANEXO B - ROTEIRO EXPERIMENTAL DE SIMULAÇÃO

Obs. Utilize como auxilo o Guia de Comandos do Mathematica para realização de

todo o experimento.

1. Inicialize o programa Mathematica;

2. Instale os pacotes VectorAnalysis e VectorFieldPlots digitando os camandos:

<< VectorAnalysis`

<< VectorFieldPlots`

3. Redefina as variáveis coordenadas nos sistemas de coordenadas cartesianas para

aquelas utilizadas no curso, usando o comando (5);

4. Determine algumas representações do campo . Para isto, utilize sequencialmente

as funções (11), (10) e (12) do Guia de Comandos do Mathematica. Considere os

intervalos −10 < < 10 e −10 < < 10;

5. Salve o arquivo do Mathematica usando a seguinte denominação: Lab2TnAm em

que n é o número da turma e m é o número do aluno nessa turma;

6. Envie o arquivo para [email protected].

10 ANEXO C – CAPA PADRONIZADA

Universidade Federal de Campina Grande Centro de Engenharia Elétrica e Informática Unidade Acadêmica de Engenharia Elétrica

Área de Micro-ondas e Eletromagnetismo Aplicados

Laboratório de Eletromagnetismo

Professor: Alexandre Jean René Serres Mário de S. Araujo Filho

Título do Experimento

Relatório

Aluno: _______________________________Matrícula: ________

Turma: ___ Número:___ Data: ________

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