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Matemática B10.o ano volume 2

Ana Arede Soveral Carmen Viegas Silva

Revisão científicaProfessor Doutor Jaime Carvalho e Silva(Universidade de Coimbra)

Ana Arede Soveral Carmen Viegas Silva

Revisão científicaProfessor Doutor Jaime Carvalho e Silva(Universidade de Coimbra)

Matemática B10.o ano volume 2

Estatística – generalidades ...................... 6

Objecto da estatística e brevenota histórica ........................................................... 6

População e amostra. Recenseamentoe sondagem. Variável estatística ..................... 7

População e amostra .................................. 7Recenseamento e sondagem ................. 8Variável estatística ..................................... 9

Estatística descritiva e estatística indutiva....... 10

Resumindo.............................................................. 1 1

A vida da matemática...................................... 12

Actividades práticas E1-E2 ........................... 13

Exercícios resolvidos ....................................... 16

Exercícios propostos........................................ 17

Organização e interpretaçãode caracteres estatísticos ......................... 20

Análise gráfica de atributos qualitativos.Determinação da moda........................................ 20

Tabelas de frequências .............................. 20Representações gráficas ........................... 2 1Determinação da moda .............................. 23

Análise gráfica de atributos quantitativos.Variáveis discretas e variáveis contínuas.Função cumulativa .............................................. 24

Variáveis discretas ....................................... 24Variáveis contínuas ...................................... 27Separador de frequências ......................... 3 1

Medidas de localização de uma amostra...... 32Moda e classe modal.................................... 32Média aritmética ........................................... 34Mediana e classe mediana......................... 36Quartis ............................................................... 39

Medidas de dispersão de uma amosta ........... 4 1Amplitude total ............................................ 4 1Variância e desvio padrão .......................... 4 1Amplitude interquartis .............................. 44

Diagrama de extremos e quartis ...................... 44

Discussão das limitações estatísticas............ 46

Resumindo.............................................................. 48


Actividades práticas E3-E5 .......................... 50


Exercícios propostos........................................ 6 1

Referência às distribuiçõesbidimensionais .................................................. 66

Diagrama de dispersão......................................... 66

Coeficiente de correlação linear e sua variação no intervalo [–1, 1] ................................ 69

ESTATÍSTICA

MÓDULO INICIAL

GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO

FUNÇÕES E GRÁFICOS – GENERALIDADES. FUNÇÕES POLINOMIAIS

ÍndiceVOL. 1

VOL. 2

Movimentos periódicos. Funções trigonométricas .......................... 86

Resolução de problemas que envolvamtriângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Relações entre as razões trigonométricas de uma mesma amplitude de ângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94Relações entre as razões trigonométricas de ânguloscomplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96Razões trigonométricas dos ângulos de amplitudes 30o, 45o e 60o* . . . . . . . . . . 97

Resumindo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

A vida da matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Actividades práticas T1-T4 . . . . . . . . . . . . . . 102

Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 0

Unidades de medida de ângulose de arcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 4

Generalização das noções de ângulo e de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 7Referencial polar no plano . . . . . . . . . . . . 1 1 9Círculo trigonométrico . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 9

Resumindo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125


Actividades práticas T5-T6 . . . . . . . . . . . . . 127

Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 1

Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Redução ao 1.o quadrante . . . . . . . . . . . . . 134

Equações trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

Coordenadas polares* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146Conversão de coordenadas cartesianasem coordenadas polares e vice-versa* . . 148

Funções trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

Resumindo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 1


Actividades práticas T7-T10 . . . . . . . . . . . . 163

Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 1

Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

Centro de gravidade de um conjunto finito de pontos e sua interpretação física............... 70

Ideia intuitiva de recta de regressão.Sua interpretação e limitações......................... 7 1

Resumindo.............................................................. 73


Actividades práticas E6-E7.......................... 75


Exercícios propostos........................................ 80

Calculadoras CASIO FX-9860GII ou FX-9860GII SD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 1

Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

*Facultativo

MOVIMENTOS PERIÓDICOS.

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

ESTATÍSTICA

ESTATÍSTICA6

ESTATÍSTICA – GENERALIDADES

OBJECTO DA ESTATÍSTICA E BREVE NOTA HISTÓRICA

Para alguns autores a palavra «estatística» teve origem no termo «statistik» (emgrego significa «verificar»). Este termo foi usado pela primeira vez por GodofredoAchenwall (1719-1772).

A estatística aparece desde sempre ligada ao Estado e à necessidade de verificardeterminadas características de uma população.

Desde o início da civilização que se realizam inquéritos.

O censo mais antigo que se conhece data de 2200 a.C. e foi realizado por ordemdo imperador chinês Yao.

Na Babilónia, Nabucodonosor mandou registar em placas de argila todos os seusbens agrícolas.

No antigo Egipto, devido às cheias periódicas provocadas pelo rio Nilo, era neces-sário efectuar registos de propriedades e de bens.

Na Grécia antiga efectuavam-se inquéritos com o fim de lançar impostos.

O Império Romano foi o primeiro «estado» a reunir dados organizados sobre a popu-lação e os bens do Império.

Em Portugal, no reinado de D. Afonso III (1260-1279) realizou-se um dos primei-ros inquéritos «estatísticos», conhecido pelo «Rol dos Besteiros do Couto».

À data da elaboração deste manual (2010), o último levantamento estatístico (XIVRecenseamento Geral da População), o Censos 2001, foi realizado pelo InstitutoNacional de Estatística.

Fig. 1 A análise estatística do número de sismos ocorridosem determinada região permiteaos engenheiros e arquitectosprojectar cidades mais seguras.

Fig. 2 É através dos meios decomunicação social que sãodivulgados os resultados das sondagens à opinião pública.

ESTATÍSTICA – GENERALIDADES 7

Os dados recolhidos são muito importantes, pois têm influência nas decisões dosgovernantes em assuntos de interesse nacional e local, ao nível da educação, da saúde,do emprego, da economia, etc.

A estatística é a ciência que dispõe de processos próprios para recolher, organizar,classificar, apresentar e interpretar conjuntos de dados. Surge actualmente como umramo da matemática aplicada, que tem por objectivo extrair informações dos dadosrecolhidos para obter uma melhor compreensão das situações sob análise.

A palavra «informação» é uma das mais usadas na sociedade actual e a interpretaçãodessa informação é indispensável para compreender as mudanças no mundo. É cadavez mais importante distinguir a informação correcta e imparcial daquela a que se podechamar poluição informativa.

Exemplo de um estudo estatístico:

POPULAÇÃO E AMOSTRA. RECENSEAMENTO E SONDAGEM.

VARIÁVEL ESTATÍSTICA

População e amostra

Em estatística, definimos população, ou universo estatístico, como o conjunto deelementos (seres, objectos, etc.) com uma ou mais características em comum acercadas quais pretendemos efectuar um estudo. A população, sendo um conjunto de ele-mentos, pode ser finita ou infinita. Quando é finita, chama-se dimensão da populaçãoao número de elementos que a constitui; unidade estatística é a designação dada acada elemento que constitui a população.

NOTAAo realizar um estudo estatís-tico estamos a:• informar;• descrever;• prever;• prevenir.

Quanto vale o surf

É uma indústria poderosa, com crescimen-tos na ordem dos 10% nos últimos cincoanos. A crise afectou o mercado das roupas,calçado e acessórios, mas o material técni-co (pranchas, fatos, etc.) continuou em alta.€ 5 mil milhões é quanto vale o mercadodos desportos aquáticos com prancha nosEUA, de acordo com a SIMA (Surf IndustryManufacturers Association).€ 1691 milhões é o valor do mercado euro-peu, em 2008, de produtos relacionados comsurf, bodyboard, windsurf, wakeboard, kite-board e skimboard, de acordo com a empre-sa de estudos de mercado NPD.€ 304 milhões Equipamentos técnicos.€ 677 milhões Calçado.€ 710 milhões Roupa e acessórios.

in Visão, n.o 857, 2009

ESTATÍSTICA8

Pode não ser possível estudar todas as unidades estatísticas de uma população; porexemplo, num estudo sobre as compras que os europeus efectuam na Internet não seriapossível analisar todos os elementos da população, pois a sua dimensão é muito grande!

Em casos como estes é mais vantajoso recorrer a uma amostra – um subconjuntofinito da população a estudar. As conclusões resultantes da amostra são extensíveis atoda a população. Pelo contrário, quando se pretende realizar um censo, a amostra é todaa população.

Recenseamento e sondagem

Recenseamento ou censo é um estudo estatístico realizado sobre toda a população.Num recenseamento tem-se o propósito de recolher dados sobre todos os elementosda população e fazer juízos quantitativos acerca das características estudadas.

No caso de, por diversas razões, não se justificar o recenseamento, então tem sentidoaplicar uma sondagem.

Sondagem é um estudo estatístico realizado a partir de uma amostra.

Utilizar uma amostra tem algumas vantagens, tais como:

• mais económico – um estudo sobre toda a população teria custos elevados e éesse o motivo pelo qual se escolhe uma amostra quando se pretende saber, porexemplo, se determinado produto de consumo está a ser bem aceite pelo mercadoou não;

• mais rápido – em certos casos, estudar toda a população faria com que se perdessea actualidade. Imagine-se um estudo sobre a preferência televisiva dos portugueses;quando o estudo terminasse poderiam ser referidos programas que ainda não eramexibidos no início do estudo e outros que já não estariam sequer em exibição;

• prático – se a dimensão da população for muito grande e for possível obter umaamostra representativa, não se justifica estudar toda a população;

• operacional – quando se pretende estudar, por exemplo, o grau de resistência deum tijolo não se devem testar todos os tijolos!

As desvantagens da utilização de amostras são poucas e resumem-se, essencial-mente, ao modo como é «escolhida» a amostra. Se esta for escolhida de uma formaincorrecta, os dados analisados não poderão ser generalizados a toda a população.

Existem vários critérios para a formação adequada de uma amostra representativada população em estudo, como:

• imparcialidade – todos os elementos da população devem ter alguma probabilidadede serem seleccionados;

• representatividade – tem de ser definida no início do estudo e ser proporcionalàs características, tanto qualitativas como quantitativas, da população;

• dimensão – o número de elementos escolhidos para representar a populaçãodeve ser o suficiente e necessário para que seja possível abranger toda a variedadede subgrupos da população;

• aleatoriedade – a escolha da amostra tem de ser aleatória.

EXERCÍCIO 1Pretende fazer-se um estudosobre o número de irmãos dosalunos do 10.o ano de escolari-dade de uma determinadaescola secundária.

Indique:

1.1. a população em estudo.

1.2. a unidade estatística.

EXERCÍCIO 2Dê um exemplo de um estudoestatístico no qual deva ser uti-lizada:

2.1. apenas uma amostra.

2.2. uma amostra ou o universoestatístico.

EXERCÍCIO 3Todos os dias, jornais, revistas etelevisão apresentam estudosestatísticos.

Escolha um desses artigos eindique a população estudada.

NOTAA escolha de uma amostra obe-dece a técnicas específicas queconstituem o objecto de estudoda teoria de amostragem.

Caderno de ExercíciosExercícios 1 a 10.

Página 48.


Tendo em conta estes critérios, utilizam-se normalmente dois tipos de amostragem:

Amostragem aleatória simples ou sistemática

A amostragem simples consiste em extrair ao acaso, da população, o número de

elementos necessários para constituir a amostra.

Por exemplo, numa fábrica com 210 operários pretende fazer-se um estudo sobre o

funcionamento do respectivo refeitório. Escolhem-se, ao acaso, 21 elementos para

responderem ao inquérito.

A amostragem sistemática consiste em escolher aleatoriamente os elementos da

amostra segundo uma certa ordem.

No exemplo da fábrica, escolhe-se o primeiro operário que frequentou o refeitório

num determinado dia, em seguida só se escolhe o quinto, depois o décimo, e assim

sucessivamente até se obter a amostra pretendida.

Amostragem estratificada

Utiliza-se quando se sabe previamente que a população está dividida em subpopu-

lações.

Por exemplo, num estudo sobre o bom ou mau funcionamento dos serviços adminis-

trativos de uma escola, não faria sentido ter em conta só as opiniões dos professores

sem ter em conta, também, as dos alunos e pais.

Variável estatística

A propriedade ou característica que se pretende estudar é designada por variável

estatística, carácter estatístico ou atributo estatístico.

Numa população podem ser estudados vários atributos.

Por exemplo, num inquérito aos alunos de uma turma podemos estudar: a idade, o

número de irmãos, o tempo gasto no percurso casa-escola, o tipo de música preferida, etc.

Podemos, então, considerar vários tipos de variáveis que depois de observadas vão

constituir os dados estatísticos:

• variáveis qualitativas são as que exprimem uma qualidade, não podendo ser

mensuráveis.

Exemplos: o tipo de leitura preferido; o desporto favorito;

• variáveis quantitativas são as mensuráveis e podem ser:

– discretas: assumem um número finito ou infinito numerável de valores.

Exemplos: a idade ou o número de irmãos;

– contínuas: variáveis estatísticas que assumem um número infinito não numerá-

vel de valores.

Exemplo: o tempo gasto desde sair de casa até chegar à escola.

Actividadeprática E1

EXERCÍCIO 4Justifique se as amostras queforam usadas nas seguintessituações são «boas» ou «más».

4.1. Para saber o que se pensa-va sobre o desenvolvimento daindústria de calçado em Portu-gal, auscultou-se a opinião dasempresas com maior volume devendas no último ano.

4.2. Um canal televisivo pediuaos telespectadores que no fimde um debate telefonassempara uma de duas linhas telefó-nicas, consoante concordas-sem com o convidado A ou como convidado B.

EXERCÍCIO 5Classifique cada uma das seguin-tes variáveis estatísticas comoqualitativa ou quantitativa.

5.1. Cor dos olhos.

5.2. Peso de um bebé recém --nascido.

5.3. Local de trabalho.

5.4. Sexo.

5.5. Rendimento mensal deuma família portuguesa.

EXERCÍCIO 6Das seguintes variáveis estatís-ticas, indique as que são discre-tas e as que são contínuas.

6.1. Peso dos jogadores de umaequipa de futebol.

6.2. Número de espectadoresde um concerto de rock.

6.3. Altura dos alunos do 10.o

ano.

6.4. Número de golos marca-dos no escalão principal do cam-peonato nacional de futebol.

6.5. Número de exemplaresvendidos da revista «Educaçãoe Matemática».

Exercícios propostosExercícios 1 a 3, 5 a 7 e 9 a 12.Páginas 17 a 19.

ESTATÍSTICA10

ESTATÍSTICA DESCRITIVA E ESTATÍSTICA INDUTIVA

Num estudo estatístico podemos considerar duas fases:

• a estatística descritiva, onde se procura descrever a amostra pondo em evidência

as características principais;

• a estatística indutiva, que procura inferir conclusões para todo o universo, ou

população em estudo, a partir das conclusões obtidas pela estatística descritiva.

Salienta-se a importância de quantificar o erro cometido ao fazer esta inferência.

A estatística descritiva é constituída por várias etapas.

Começa-se pela identificação do problema, para ser possível definir o tipo de

dados pertinentes para o estudo.

Segue-se a recolha dos dados, que pode ser efectuada por diversos processos, como:

observação directa, entrevistas, preenchimento de inquéritos, questionários por telefone

ou por correio, etc.

Depois de recolhidos os dados é feita uma análise para excluir valores estranhos que

possam conduzir a conclusões erradas, isto é, faz-se a crítica dos dados.

Passa-se à organização e apresentação dos dados.

Por fim, temos a análise e interpretação dos dados e resultados obtidos.

Por exemplo, ao realizar-se um estudo sobre as fontes de emissão de gases com efeito

de estufa, e após o tratamento de dados, obteve-se o seguinte gráfico:

Podemos concluir que o sector da energia é o sector com mais responsabilidade

quanto ao aquecimento global.

Na estatística indutiva inferimos para toda a população as conclusões retiradas do

estudo da amostra. A necessidade de inferência das conclusões deu um novo rumo à

estatística indutiva, que, com base na teoria das probabilidades, permite a tomada de

decisões prevendo a evolução dos acontecimentos. Por exemplo, segundo a Comissão

Europeia, Portugal terá, em 2050, o maior corte no valor das pensões.

Em 2005, o sector da energia(por exemplo, a sua produção e transformação) e os transportes somaram 72% das emissões de dióxido de carbono, metano e óxidosde azoto em Portugal

Resíduos

Agricultura

Processos industriais

Transportes

Energia48%10%

24%

10%

8%

in Relatório de Estado do Ambiente, 2006

EXERCÍCIO 7Comente as seguintes afirma-ções:7.1. «Há três espécies de menti-ras: as mentiras, as mentirasabomináveis e as mentiras esta-tísticas.»

Mark Twain

7.2. «As estatísticas mostramque a maior parte dos acidentesde automóvel ocorre a velocida-des moderadas e que muitopoucos acidentes se dão a velo-cidades superiores a 150 km/h.Significará isto que é maisseguro conduzir a alta veloci-dade?»

7.3.«Um estudo mostra quenuma certa cidade europeia senotou um forte crescimento dapopulação e, simultaneamente,registou-se um notável incre-mento de ninhos de cegonhas.Apoiará este estudo a conhecidacrença de que são as cegonhasque trazem os bebés?»

in Martin Gardner, Apanhei-te!,Gradiva (adaptado)

DinamarcaHolandaAlemanha

ReinoUnidoEspanhaIrlandaPortugal

Previsão das variações de pensõesComparação entre 2008 e 2050, em %

-20

-10 -8-2

+2+5

+20

Fonte: Comissão Europeia, 2009

Energia e transportes mais poluentes

ActividadepráticaE2

Caderno de ExercíciosExercício 11.Página 49.

Exercícios propostosExercícios 4, 8 e 13.Páginas 17 a 19.

Previsão das variações em pensões

Fonte: «Relatório do Estado do Ambiente», 2006


RESUMINDO

Estatística – generalidades

• População ou universo estatístico é o conjunto de elementos com uma ou mais características

comuns, acerca da(s) qual(quais) se pretende efectuar um estudo.

• Amostra é um subconjunto finito da população.

• Unidade estatística é a designação dada a cada elemento que constitui a população.

• Dimensão de uma população finita é o número de elementos da população.

• Censo é um estudo estatístico realizado sobre toda a população.

• Sondagem é um estudo estatístico realizado a partir de uma amostra.

• Variável estatística, carácter estatístico ou atributo estatístico é a propriedade ou a característica

sobre a qual se pretende fazer o estudo.

• A estatística descritiva baseia-se essencialmente na recolha, organização, apresentação e inter-

pretação de dados.

Etapas de um estudo estatístico:

• A estatística indutiva tem como objectivo a inferência de conclusões para toda a população a

partir do estudo da amostra.

Qualitativas

QuantitativasDiscretas

Contínuas

Identificaçãodo problema

Variáveisestatísticas

População

Característicaspopulacionais

Característicasamostrais

Estudo da amostra

AmostraProdução de dados Estatística descritiva

Estatística indutiva

Recolhade dados

Críticados dados

Organizaçãoe apresentação

dos dados

Análisee interpretação

dos dados

ESTATÍSTICA12

«Estatística é o nome da ciência e da arte que trata a inferência incerta, que usa os núme-

ros para obter algum conhecimento acerca da natureza e da experiência.»

Warren Weaver (matemático norte-americano)

Muitos estados ordenaram estudos estatísticos para melhor conhecerem a sua população,com o objectivo de lançar impostos ou, também, de conhecer o número de homens de quedisporiam caso entrassem em guerra.

Em Londres, John Graunt (1620-1674) faz a primeira recolha organizada de informaçãosobre a natalidade e a mortalidade na sua cidade.

William Petty (1623-1687) procura igualmente leis quantitativas que traduzam fenómenossociais e políticos.

Em 1693, Edmond Halley, famoso astrónomo inglês que desenvolvera um grande interessepela estatística, publica o livro Cálculo dos graus de mortalidade da humanidade, deduzidosde curiosas tabelas dos nascimentos e mortes da cidade de Breslaw, com a intenção deestabelecer o custo das anuidades dos seguros de vida.

Os trabalhos realizados por Graunt, Petty e Halley são a base dos trabalhos estatísticos rea-lizados hoje em dia pelas companhias de seguros.

É o belga Adolphe Quételet quem organiza no seu país natal aquele que é considerado como oprimeiro censo de carácter verdadeiramente estatístico. Estabelece o sistema de recensea-mento de 10 em 10 anos, adoptado posteriormente por vários países e ainda hoje utilizado. É ele também que cria, em 1834, a Statistical Society em Londres e quem organiza, em Bru-xelas, a primeira conferência internacional de estatística, no ano de 1853.

Destaquemos ainda, entre outros estatísticos, Karl Pearson (1857-1936), que aplicou a análiseestatística ao estudo da hereditariedade e da evolução, e Sir Ronald Fisher (1890-1962),seguidor de Pearson, que deu uma nova dimensão à estatística, sendo considerado um dosfundadores da estatística moderna. Francis Galton utiliza métodos estatísticos diferentes einicia a estatística indutiva.

Embora Alexandre Herculano (1810-1877) refira, na obra História de Portugal, que foramefectuados vários recenseamentos na Península Ibérica durante a Idade Média, só em 1775 éfundada em Portugal uma instituição com o objectivo de produzir estatísticas oficiais, a quefoi dada a designação de Superintendência Geral dos Contrabandos e Descaminhos dosReais Direitos nestes Reinos e seus Domínios.

Em 1798, por ordem de Pina Manique (1733-1805), é feita uma avaliação populacional impor-tante, mas o primeiro recenseamento geral da população só é realizado em 1864.

O Instituto Nacional de Estatística (INE) surge em 1935 e, desde então, assegura o levantamentoestatístico em Portugal.

Edmond Halley[1656-1742]

Adolphe Quételet[1796–1874]

A VIDA DA MATEMÁTICA

Francis Galton[1822-1911]

Utilizou métodos de me-dição das capacidadesfísicas e mentais dos indi-víduos e desenvolveu téc-nicas estatísticas paraanalisar os dados recolhi-dos.

Foi Galton quem demons-trou que as impressõesdigitais de cada pessoasão únicas.

www.matematicaB.TE.ptLinks : Instituto Nacional de Estatística • Estatística divertida


«O cidadão comum é de tal modo bombardeado com dados, que vão desdeo estado da economia até à eficácia de marcas de pastas dentífricas, que, senão possuir noções elementares de estatística, torna-se incapaz de tomardecisões acertadas.»

Martin Gardner (escritor norte-americano)

OBJECTIVOS

Pretende-se com esta actividade aplicaros conhecimentos de estatística a situa-ções da vida real e criticar osresultados de estudos estatís-ticos apresentados por diferentesórgãos de comunicação social.

MATERIAIS

Notícias (de jornais, de revistas, etc.).

EXECUÇÃO DA ACTIVIDADE

1. A turma deve ser dividida em grupos de dois ou três alunos.

2. Cada grupo deve apresentar uma notícia por si escolhida para ser comentada.

3. Os trabalhos serão divulgados à turma e depois discutidos.

4. Cada grupo deverá ter em conta os seguintes aspectos:

• identificação do problema em estudo;

• população a que se refere o estudo;

• se se trata de uma sondagem ou de um censo;

• qual a unidade estatística em causa;

• análise do gráfico apresentado:

– se é de fácil leitura;

– se é elucidativo;

– se os valores apresentados levam ou não a uma leitura incorrecta.

5. Os trabalhos poderão ser apresentados sob a forma de cartaz, para posterior discussãocom a turma.

Actividade práticaE1

ESTATÍSTICA14

«A matemática é cada vez mais vital para a ciência, a tecnologia e a própriasociedade.»

Peter Lax (matemático húngaro)

OBJECTIVOS

Pretende-se com esta actividade que o aluno aplique todos os conceitos de estatística numasituação do quotidiano. Esta actividade pode ir sendo trabalhada ao longo do tema e à medidaque os diversos conceitos vão sendo estudados.


Para fazer um estudo estatístico é necessário construir um instrumento de recolha de infor-mação. O questionário da página seguinte é disso um exemplo. Depois de fotocopiado, deveser preenchido pelos alunos da turma.

Outra estratégia possível passa por formar grupos de trabalho dentro da turma, grupos estesque, numa segunda fase, escolhem uma amostra significativa de alunos dos diferentes anosde escolaridade da escola para, assim, fazerem uma recolha e posterior tratamento de dadosmais abrangente.

Após o preenchimento do questionário e da recolha de dados, os alunos devem estudar cadauma das variáveis apresentadas no questionário, focando os seguintes pontos:

• população e amostra em estudo;

• classificação da variável escolhida;

• tabelas de frequências relativas;

• representação gráfica;

• caso seja possível, calcular as medidas de localização e de dispersão;

• estudar a existência ou não de correlação linear entre as variáveis.

No final é apresentado um trabalho conjunto com a caracterização da turma.



Questionário

Nome: ______________________________________________________________________ N.o : _________ Ano: _________ Turma: _________

Data de nascimento: ________________________________________ Idade: _________

Morada: _______________________________________________________________________________________________________________________

E-mail: _______________________________________________________________________________________ Telefone ____________________

1. Em que escola estudou durante o ano lectivo anterior? _______________________________________

2. Vê bem? Sim _____________ Não _____________ Ouve bem? Sim _____________ Não _____________

3. Tem problemas de saúde? Sim _____________ Não _____________ Se sim, diga quais. _______________________

_________________________________________________________________________________________________________________________________

4. Quais são as suas disciplinas preferidas? ______________________________________________________________________

5. Quais são as disciplinas em que tem mais dificuldade? ___________________________________________________

6. Já reprovou alguma vez? Se sim, em que anos escolares? ____________________________________________

7. Se teve alguma(s) negativa(s) no ano lectivo anterior, indique a que disciplina(s).

_________________________________________________________________________________________________________________________________

8. Quanto tempo demora no trajecto escola-casa? ___________________________________________________________

9. Onde costuma estudar? Casa _____________ Escola _____________

10. Tem quem o ajude nos estudos? _____________ Se sim, quem o ajuda? ________________________________

11. Quantos minutos por dia dedica ao estudo?

[0, 30[ _____________ [30, 60[ _____________ [60, 90[ _____________ [90, 120[ _____________ [120, 150[ _____________

12. Tem Internet? Sim _____________ Não _____________

13. Se tem Internet, quantos minutos por dia costuma estar «ligado»?

[0, 30[ _____________ [30, 60[ _____________ [60, 90[ _____________ [90, 120[ _____________ [120, 150[ _____________

14. Qual o valor correspondente à soma das suas avaliações nas disciplinas do 3.o período noúltimo ano lectivo? _____________

15. Considera ter um comportamento correcto em sala de aula e no resto do recinto escolar? Sim ________ Não ________ Caso tenha respondido que não, tente explicar o seu comportamento:

________________________________________________________________________________________________________________________________

16. Considera que a sua turma tem um comportamento correcto na aula? Sim ________ Não ________Caso tenha respondido que não, apresente sugestões para se evitar a indisciplina:

________________________________________________________________________________________________________________________________

As questões seguintes devem ser respondidas apenas pelos alunos que se encontram no EnsinoSecundário.

1. Qual a razão pela qual escolheu o curso que está a frequentar? _______________________________________

_________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Corresponde às suas expectativas? Sim _____________ Não _____________ Porquê? __________________________

3. Gostaria de frequentar um curso superior? _________________ Qual? _________________________________________

4. Que profissão gostaria de ter? ______________________________________________________________________________________

Actividade prática E2H

ESTATÍSTICA16

1. Segundo um estudo efectuado pela DECO a 2314portugueses, entre os 65 e os 79 anos, as respostasdesta população à questão de «Quem gostaria de tercomo apoio?» estão representadas no seguintegráfico.

Indique:

1.1. a população em estudo.

1.2. a unidade estatística.

1.3. a variável estatística.

Resolução

1.

1.1. A população em estudo é «a população portuguesa», formada por 2314 indivíduos com idades entre 65 e 79 anos.

1.2. A unidade estatística é cada um dos elementos da população de 2314 indivíduos.

1.3. A variável estatística é a indicação de que apoio desejaria cada um dos indivíduos que constituem a população.

2. Justifique por que motivo são falsas as seguintes observações.

2.1. Utiliza-se toda a população para se estudar a percentagem de vitamina C nas embalagens de uma determinadamarca de sumo de frutas.

2.2. É a estatística descritiva que nos permite prever a evolução da população numa determinada cidade.

2.3. O número de moradores por apartamento é uma variável quantitativa contínua.

2.4. A quantidade de água existente no solo por m2 é uma variável qualitativa.

Resolução

2.

2.1. Porque não é economicamente viável testar toda a produção da fábrica de sumos, por questões de tempo e de desperdício do material produzido.

2.2. Porque a estatística descritiva apenas recolhe, organiza e apresenta os dados do estudo estatístico.

2.3. Porque o número de moradores por apartamento é representado por um número inteiro, logo é uma variávelquantitativa discreta.

2.4. Porque a quantidade de água no solo por m2 é uma variável que toma valores num intervalo de númerosreais, logo é uma variável quantitativa contínua.

Colegas de trabalho

Vizinhos

Padre

Amigos

Outros familiares

Filhos

Cônjuge ou companheiro

(% de inquiridos)

8,8

8,5

6,7

6,2

5,5

5,5

5,2

in , n.o 289, Março de 2008Proteste

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Apoio mais desejado


Nos exercícios 1 a 4, de escolha múltipla, seleccione a resposta correcta de entre as alternativas que lhesão apresentadas.

1. Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

A. Num censo são inquiridos todos os indivíduos da população.

B. O consumo de água de um agregado familiar é uma variável qualitativa.

C. O número de livros existente numa biblioteca é uma variável quantitativa contínua.

D. A nacionalidade dos turistas que gozam férias no Algarve é uma variável quantitativa discreta.

2. Qual das seguintes variáveis pode ser classificada como variável quantitativa contínua?

A. Número de filhos de um casal. C. Tempo de duração de pilhas alcalinas.

B. Clube de futebol preferido. D. Série televisiva preferida.

3. Um centro de saúde pretende saber que percentagem da população da sua região consome, usualmente,medicamentos sem receita médica.Qual das amostras seria mais aconselhável?

A. 30 pessoas entrevistadas à entrada do centro de saúde.

B. 30 jovens que frequentam a escola secundária abrangida pelo centro de saúde.

C. 30 pessoas entrevistadas ao acaso num determinado local e num determinado dia.

D. 30 pessoas inquiridas à porta das farmácias da zona, em diferentes dias e em diferentes horas.

4. Das seguintes situações, indique em qual delas se recorreu à estatística indutiva.

A. Volume de importações no ano 2010.

B. Despesa pública com a educação em Portugal.

C. Previsão acerca da necessidade de sangue nos hospitais.

D. Número de óbitos por acidente rodoviário no primeiro trimestre do ano de 2010.

5. Para cada um dos seguintes estudos indique se seria mais correcto estudar toda a população ou apenas umaamostra.

5.1. Resistência de uma peça de vidro ao calor.

5.2. Idade dos professores do distrito de Lisboa.

5.3. Tipo de transporte utilizado nas férias pelos portugueses.

5.4. Número de casamentos celebrados em 2010.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

ESTATÍSTICA18

6. Num rastreio médico feito numa faculdade pesaram-se os alunos do curso de Direito.

6.1. Qual a população e qual a unidade estatística?

6.2. Indique a variável estudada e classifique-a.

7. Uma editora decidiu fazer um levantamento sobre as preferências literárias dos jovens.Foram escolhidas 10 escolas do distrito de Coimbra e em cada escola foram inquiridos 20 alunos.

7.1. Como se chama este tipo de estudo?

7.2. Qual a população e a amostra em estudo?

7.3. Qual o atributo estudado?

7.4. Podem tirar-se conclusões sobre a preferência literária dos jovens portugueses com base neste estudo?Justifique a sua resposta. Se a resposta foi negativa, diga como procederia.

8. O administrador de uma empresa estava descontente com a produtividade dos colaboradores e marcou umareunião para discutir o problema. Na reunião, o representante dos operários referiu: «Os colaboradores tiveramum bom desempenho, a produtividade aumentou 100%.»

O administrador continuou, no entanto, insatisfeito.

Comente a situação.

9. Muitas vezes, é pedido aos espectadores de uma determinada estação televisiva que telefonem para uma de duaslinhas telefónicas, consoante concordem ou não com determinada opinião.

9.1. Trata-se de um processo fiável, para tirar conclusões credíveis? Porquê?

9.2. Indique um processo de recolha de dados que pudesse levar a resultados mais credíveis.

10. Segundo um estudo estatístico efectuado pela Gfk Metris a 1042 indivíduos portugueses, as respostas à questão«Até que ponto acha que será mais feliz daqui a 10 anos?» estão representadas no seguinte gráfico.

10.1. Indique a unidade estatística e a variável em estudo.

10.2. Classifique a variável estudada.

10.3. Quantos indivíduos optaram pela resposta «muito mais feliz»? E quantos não responderam ou não sabiam?

Não sabe//Não Responde

Muito mais feliz

Menos feliz

31%

44%

20%

5%

Mais feliz

in Visão, n.o 834, 2009


«Até que ponto acha que será mais feliz daqui a 10 anos?»


11. Observe o seguinte estudo, que envolveu 1039 indivíduos de ambos os sexos, com 15 ou mais anos, residentes emPortugal, e responda às questões que se seguem.

11.1. Este estudo refere-se a um censo ou a uma sondagem? Justifique a sua resposta.

11.2. Qual a unidade estatística e qual a variável em estudo?

11.3. Classifique a variável estudada.

12. Considere a informação dada no seguinte gráfico.

12.1. Classifique a variável em estudo.

12.2. No decorrer de que anos a taxa de desemprego na Zona Euro foi superior à de Portugal?

13. Elabore um pequeno texto sobre a importância da estatística no nosso dia-a-dia, realçando o recurso ao censo ouà sondagem.

Igual 13,7%Inglaterra 25,4%

Portugal 15,6%Suécia 26,1% Portugal 25,2%

NS/NR 38,0%Portugal 22,9%

Brasil 33,5%Igual 9,5%

Igual 10,0%

NS/NR 38,0%

NS/NR 37,0%

Igual 9,6%EUA 36,1%

Portugal 17,3%

NS/NR 48,3%

in , n.o 842, 2009Visão

Portugal

Zona Euro (média)

9%

8,1%

9,3,%

10,2%

9,1%

8,8%

7,5,%7,7,%

2005 2006 2007 2008 2009 2010


Se compararmos com Portugal, em que países há mais liberdade?

Evolução da taxa de desemprego

in Dinheiro & Direitos, Março/Abril 2009

ESTATÍSTICA20

ORGANIZAÇÃO E INTERPRETAÇÃO

DE CARACTERES ESTATÍSTICOS

ANÁLISE GRÁFICA DE ATRIBUTOS QUALITATIVOS.

DETERMINAÇÃO DA MODA

Tabelas de frequências

Numa determinada editora realizou-se um estudo com o objectivo de analisar a

distribuição de vendas das suas revistas temáticas.

Obteve-se a seguinte tabela de frequências absolutas e de frequências relativas:

O valor de N é o número total de efectivos, isto é, é a soma dos valores de fi ,

quando i varia desde 1 até k .

Escreve-se: N =k

Σi = 1

fi (lê-se «somatório de índice i dos valores de fi , quando i

varia desde 1 até k »).

Distribuição de 269 244 exemplares

Número de exemplaresxi

Frequênciaabsoluta

fi

Frequênciarelativa

fri (%)

Surfágua 55 719 21

Surf Júnior 81 002 30

Passeatas 30 331 11

Ecofin 47 279 18

Pequenotes 37 976 14

Beleza & Moda 16 937 36

N = 269 244

RECORDARFrequência absoluta (ou efec-tivo) de um valor x i é o númerode vezes que esse valor xi seregista quando se realiza umdeterminado estudo estatísticonuma população. Designa-sepor fi .

A soma de todos os efectivos éigual à dimensão finita, N , dapopulação:

N = f 1 + f 2 + … + f k

Sendo fi a frequência absolutado valor da variável xi , e sendoN a dimensão da população, afrequência relativa de xi édada pelo quociente:

fri = �Nfi

�


NOTAO símbolo Σ é a maiúscula daletra «sigma» do alfabeto grego.

ORGANIZAÇÃO E INTERPRETAÇÃO DE CARACTERES ESTATÍSTICOS 21

Para construir uma tabela de frequências relativas, basta dividir a frequência

absoluta do valor da variável pelo número total de efectivos.

Assim, como o somatório das frequências absolutas é igual à dimensão da popula-

ção, também a soma das frequências relativas é igual a 1 ou a 100%, consoante

sejam determinadas na forma decimal ou percentual.

Representações gráficas

Torna-se mais fácil compreender e interpretar uma distribuição se apresentarmos

os dados graficamente.

Considerando ainda o exemplo relativo à distribuição dos exemplares vendidos pelas

revistas, temos as seguintes representações gráficas:

Gráficos de barras

No eixo horizontal assinalam-se os dados estatísticos e no eixo vertical as respecti-

vas frequências absolutas ou relativas, conforme o caso.

Desenham-se as barras com a altura directamente proporcional ao efectivo ou à

frequência relativa. As barras têm todas a mesma largura e podem ser construídas

tanto na vertical, como na horizontal, tendo em atenção a escala dos eixos.

Núm

ero

de e

xem

plar

esve

ndid

os

Revistas

Surf

água

Surf

Júni

or

Pass

eata

s

Ecof

in

Pequ

enot

es

Bele

za e

Mod

a

100 000

80 000

55 719

81 002

30 331

47 27937 976

16 937

60 000

40 000

20 000

Número de exemplares vendidos

Revistas

Pequenotes

EcofinPasseatas

Surf JúniorSurfágua

16 937

37 976

47 27930 331

81 002

55 719

Beleza e Moda

EXERCÍCIO 1*Calcule o valor de:

1.1.4

Σi = 0

(i + 2)

1.2.3

Σm = –2

(m – 1)

EXERCÍCIO 2Numa escola, foi pedido aos 95alunos de Desporto do 10.o anoque indicassem a modalidadedesportiva que praticam (ape-nas uma), obtendo-se a seguintetabela:

2.1. Elabore uma tabela defrequências relativas.

2.2. Represente as frequên-cias relativas através de umgráfico de barras.

ModalidadesNúmero

de alunos

Futebol 41

Basquetebol 17

Andebol 9

Hóquei 12

Ginástica 16

*Facultativo

Distribuição de 269 244 exemplares por seis revistas


ESTATÍSTICA22

Gráficos circulares

A amplitude (ai) de cada sector circular é directamente proporcional ao valor da fre-

quência absoluta ( fi) ou da frequência relativa ( fri) e determina-se do seguinte modo:

N —— 360o ou seja ai = �Nfi� × 360o

fi —— ai

a1 = 0,21 × 360 � 76o

a2 = 0,30 × 360 � 108o

a3 = 0,11 × 360 � 40o

a4 = 0,18 × 360 � 65o

a5 = 0,14 × 360 � 50o

a6 = 0,06 × 360 � 21o

Pictogramas

Num pictograma faz-se corresponder um símbolo a um certo número de efectivos,

que é repetido tantas vezes quantas as necessárias para representar as frequências res-

pectivas.


Representa 15 000 exemplares

Surfágua

Surf Júnior

Passeatas

Ecofin

Pequenotes

Beleza e Moda

Surfágua21%

30%11%

18%

14%

6%

Surf JúniorPasseatas

Ecofin

Pequenotes

Beleza e Moda

EXERCÍCIO 3Com as classificações obtidasnum teste de Matemática pelos28 alunos de uma turma, o pro-fessor construiu o seguinte grá-fico de barras:

3.1. Elabore uma tabela defrequências absolutas.

3.2. Construa um gráfico cir-cular.

Insuf.

Suf.

Bom

M. Bom

18

46

25

11

0 20 40 60 fri(%)

xi

EXERCÍCIO 4Segundo o INE, o número deedifícios concluídos entre 2004e 2007 são os que constam naseguinte tabela:

Escolha um símbolo sugestivo econstrua um pictograma relati-vo à distribuição dada. Este tipode representação é o mais ade-quado a esta distribuição? Jus-tifique a sua resposta.

AnoNúmero de edifícios

construídos

2004 44 647

2005 45 308

2006 40 966

2007 36 576

Classificação no testede Matemática

Exercícios propostosExercícios 6, 7 e 8.Página 62.

Caderno de ExercíciosExercícios 1, 3, 4 e 7.

Página 53.



Determinação da moda

Se observarmos com atenção as tabelas de frequências dadas no exemplo sobre a dis-

tribuição dos exemplares vendidos pelas revistas (pág. 20), notamos que a Surf Júnior tem

a maior frequência, ou seja, é a moda da distribuição.

• Se ocorrem duas modas, a distribuição diz-se bimodal.

• Se existirem mais do que duas modas, diz-se multimodal ou plurimodal.

• Se não existir moda, a distribuição diz-se amodal (todas os valores da variável têm a

mesma frequência).

Por exemplo, num estudo feito sobre atendimento ao consumidor obtiveram-se os

seguintes gráficos:

Em relação às grandes superfícies, a moda é «mau». No estudo feito com incidência

em lojas do tipo tradicional, temos duas modas: «mau» e «medíocre».

25 grandes superfícies 30 lojas do tipo tradicional

Muito bom

MedíocreMau

BomBom

Médio

Medíocre

Mau

Médio

13

3

3

15

5

7

9

9

Protestein , n.o 293, Julho/Agosto 2008

EXERCÍCIO 5Indique a moda de cada umadas seguintes distribuições.

5.1.

5.2.

5.3.

Naturalidade Efectivos

Coimbra 31

Lisboa 72

Porto 50

Setúbal 42

Clubesde futebol

Efectivos

Benfica 8

Braga 4

Porto 8

Sporting 6

A moda, Mo , é o dado estatístico que ocorremais vezes numa distribuição, ou seja, é aqueleque tem maior frequência.

0

2

4

6

8

Bom Suf. Insuf.

Núm

ero

de a

luno

s

A moda, Mo , é o dado estatístico que ocorremais vezes numa distribuição, ou seja, é aqueleque tem maior frequência.

Atendimento ao consumidor

Classificação de um teste


N.o de faltasxi

Freq. absolutafi

Freq. relativafri (%)

0 5 17

1 9 31

2 8 28

3 3 10

4 3 10

5 1 4

N = 29

ESTATÍSTICA24

ANÁLISE GRÁFICA DE ATRIBUTOS QUANTITATIVOS.

VARIÁVEIS DISCRETAS E VARIÁVEIS CONTÍNUAS.

FUNÇÃO CUMULATIVA

Como já foi referido, as variáveis quantitativas podem ser discretas ou contínuas.

Para cada tipo é necessário aprofundar um pouco os nossos conhecimentos.

Variáveis discretas

A directora de uma turma do 10.o ano resolveu fazer um estudo estatístico sobre o

número de faltas dadas pelos alunos durante o 1.o período.

Construiu a respectiva tabela de frequências absolutas e relativas:

Para apresentar os dados de um modo mais sugestivo elaborou os seguintes gráficos:

0

0

2

2

0

4

2

1

1

0

1

5

2

2

3

1

1

1

4

3

4

0

2

3

1

1

2

1

2

00 1 2 3 4 5

2468

10

Número de faltas

fi

Número de faltasxi

Frequência absolutafi

Frequência relativafri (%)

0 5 17

1 9 31

2 8 28

3 3 10

4 3 10

5 1 4

N = 29

1: Edit

1: Plot1

ON

Type

X List : L1

Freq. : L2

9: ZoomStat

Estas instruções, bem comotodas as outras que oportu-namente surgirão, referem --se à utilização da cal-culadora Texas TI-84 PlusSilver Edition.

Nas páginas 181 a 187 é apre-sentado um conjunto deprocedimentos relativos à utilização das calculado-ras Casio FX-9860GII ou FX-9860GII SD.

STAT

2nd Y = ENTER

ENTER

2nd

2nd

1

2

ZOOM

GRAPH

NOTAEm alguns casos, as variáveisdiscretas podem ser analisadasagrupando os dados, nomeada-mente se se apresentarem semvalores repetidos ou com mui-tos valores.

Calculadoras CasioPágina 181.

Número de faltas dos alunos de uma turma de 10.º ano


Frequências acumuladas e função cumulativa

Para responder a questões do tipo: «Quantos alunos faltaram menos de três vezes?»

ou «Qual a percentagem de alunos que faltaram quatro vezes ou mais?» torna-se útil

estudar a frequência absoluta acumulada, Fi , ou a frequência relativa acumu-

lada, Fri . Exemplifiquemos, em primeiro lugar, utilizando as frequências absolutas.

O cálculo é feito da seguinte maneira:

Define-se a frequência absoluta acumulada, Fi , como a soma dos efectivos cor-

respondentes aos valores da variável desde o primeiro até ao valor de ordem i .

Gráfico de barras das frequências absolutas acumuladas:

Do mesmo modo se calculam as frequências relativas acumuladas, conforme se

verifica na tabela seguinte:

F1 = f1F2 = f1 + f2F3 = f1 + f2 + f3

F4 = f1 + f2 + f3 + f4F5 = f1 + f2 + f3 + f4 + f5F6 = f1 + f2 + f3 + f4 + f5 + f6 = N

00 1 2 3

Número de faltas4 5

5101520253035

Fi

Número de faltasxi


Frequência relativafri (%)

0 5 5

1 9 14

2 8 22

3 3 25

4 3 28

5 1 29

N = 29

1: Edit

Para a frequênciaacumulada:

Para a frequência relativa:

STAT


xi fri (%) Fri (%)

0 17 17

1 31 48

2 28 76

3 10 86

4 10 96

5 4 100

ESTATÍSTICA26

Podemos agora responder às questões atrás colocadas.

• Quantos alunos faltaram menos de três vezes?

R: 22 alunos (5 + 9 + 8), o que corresponde ao valor F2 .

• Qual a percentagem de alunos que faltaram quatro vezes ou mais?

R: 14% (100 – 86), que corresponde à diferença para 100% da frequência relativa

acumulada em 3 (F3).

Tendo em conta as frequências absolutas acumuladas do exemplo anterior, pode-se

definir uma função F : IR → IR , do seguinte modo:

Esta função F denomina-se função cumulativa. Repare-se que a cada valor da

variável, xi , corresponde a respectiva frequência acumulada.

Recorrendo à calculadora gráfica, representemos esta função:

A função cumulativa pode ser definida tanto com frequências absolutas acumula-

das como com frequências relativas.

Generalizando:

⎧ 0 se x � 0

⎪ 5 se 0 � x � 1

⎪ 14 se 1 � x � 2

F(x) = ⎨ 22 se 2 � x � 3

⎪ 25 se 3 � x � 4

⎪ 28 se 4 � x � 5

⎩ 29 se x � 5

EXERCÍCIO 6No stand de carros usados«Ancar», estão à venda 45 auto-móveis de anos diferentes.Organizaram-se os dados doseguinte modo:

Defina a função cumulativa erepresente-a graficamente.

Número de anos 1 2 3 4 5

fi 8 15 10 7 5

EXERCÍCIO 7O gerente de um clube de alu-guer de filmes, com o objectivode saber se ao longo de um mêso número de DVD alugados sealternava significativamente,organizou os dados relativos aomês anterior do seguinte modo:

7.1. Quantos DVD foram alu-gados nas primeiras duas sema-nas?

7.2. Qual a percentagem deDVD que foram alugados nasprimeiras três semanas?

7.3. Alugaram-se mais DVDna primeira quinzena ou nasegunda quinzena?

Semana fi Fi

1.a 634 634

2.a 582 1216

3.a 503 1719

4.a 554 2273

N = 2273

Dada uma variável estatística que toma os valores x1 , x 2 , ..., xk , com as res-pectivas frequências absolutas acumuladas F1 , F2 , ..., Fk , chama-se funçãocumulativa F à função real de variável real assim definida:

⎧ 0 se x � x1

⎪ F1 se x 1 � x � x2

⎪ F2 se x2 � x � x3

⎪F (x ) = ⎨ ·

⎪ ·

⎪ ·

⎪ Fk – 1 se xk – 1 � x � xk

⎩ Fk se x � xkExercícios propostosExercícios 10 e 12.Páginas 63 e 64.


Variáveis contínuas

Tendo em vista mostrar aos alunos como é importante possuírem uma boa estima-

tiva do peso de um objecto, a professora de Matemática resolveu levar para a aula os

objectos da fotografia em baixo: um abre-cartas e um pisa-papéis.

Cada aluno pegou nos objectos e estimou o respectivo peso em gramas.

A variável estatística «peso» é uma variável contínua e, face aos diferentes valores

estimados pelos alunos, foi necessário agrupar os dados em classes. A dimensão da

amostra foi de 58 valores, sendo o menor valor de 200 gramas e o mais elevado de

595 gramas.

Existem várias fórmulas de determinação do número de classes a considerar,

embora não haja consenso entre os especialistas.

Na nota ao lado são apresentados alguns exemplos. Ao longo do desenvolvimento

deste tema, utilizaremos a fórmula apresentada por Velleman.

Então, de acordo com esta fórmula, sendo N = 58 o número de classes será

�5�8� � 7,6 , isto é, 8 classes; a professora decidiu-se pelas seguintes classes:

[200, 250[ , [250, 300[ , [300, 350[ , [350, 400[ ,

[400, 450[ , [450, 500[ , [500, 550[ , [550, 600[

Ao fazê-lo deste modo, teve em conta os seguintes aspectos:

• as classes são representadas por intervalos em que o extremo esquerdo é fechado

e o direito aberto (existem outras opções);

• as classes têm a mesma amplitude (à diferença entre os extremos dos intervalos

dá-se o nome de amplitude da classe);

• a reunião de todas as classes abrange todos os valores da amostra;

• o número de classes depende do valor mínimo e do valor máximo das observa-

ções efectuadas.*Facultativo


NOTA*Seja N o número de observa-ções e k o número de classes aconsiderar.

• Truman L. Kelley construiu aseguinte tabela:

• Velleman sugere a fórmula:

k = �N� se N � 25 e

k = 5 se N � 25

• Sturges sugere N � 2k

Como se verifica, as opiniões divi-dem-se!

N K

5 2

10 4

25 6

50 8

100 10

200 12

500 15

1000 15

ESTATÍSTICA28

À média dos extremos de cada classe chama-se marca da classe. Esta é o repre-

sentante da classe, um elemento necessário para o uso da calculadora e para a cons-

trução de tabelas.

A professora construiu então a seguinte tabela de frequências absolutas e relativas:

Para melhor interpretar os resultados utilizam-se diferentes tipos de gráficos, como

o gráfico circular (pouco usado neste tipo de variáveis) ou o histograma.

Histograma

Quando se estuda uma variável contínua é frequente representar os dados através

de um histograma.

O histograma é constituído por rectângulos, tantos quantas as classes definidas, em

que a base corresponde à amplitude da classe e a altura é proporcional à frequência

da respectiva classe. Não há espaços entre os rectângulos.

0200 250 300 350 400 450 500 550 600

Peso (g)

Núm

ero

de a

luno

s

10

5

8

2

1714

9

14

9

5

21

15

20

Classes Marca da classe Frequência absoluta Frequência relativa

[200, 250[ 225 2 0,03

[250, 300[ 275 8 0,14

[300, 350[ 325 17 0,29

[350, 400[ 375 14 0,24

[400, 450[ 425 9 0,16

[450, 500[ 475 5 0,09

[500, 550[ 525 2 0,03

[550, 600[ 575 1 0,02

N = 58

Histograma:

NOTANo âmbito do Programa, só estu-damos distribuições em que asclasses têm a mesma amplitude.


Estimativa do peso de dois objectos


NOTANo gráfico ao lado, o símbolo

introduzido no eixo hori-zontal significa que a parte omi-tida do gráfico foi eliminada pornão conter nada de relevante.


Se assinalarmos o ponto médio do lado superior de cada rectângulo e os unirmos

sequencialmente através de segmentos de recta, obtemos uma linha poligonal: o polí-

gono de frequências.

Frequências acumuladas e função cumulativa

Assim como para as variáveis discretas, também para as variáveis contínuas têm

muito interesse as frequências acumuladas, tanto as absolutas como as relativas.

Determinam-se utilizando um processo semelhante ao já apresentado para as variá-

veis discretas.

Observando com atenção a tabela (designada por tabela de frequências absolutas e

relativas, simples e acumuladas), podemos afirmar que, por exemplo, 70% dos alu-

nos estimaram o peso dos objectos em menos de 400 g, ou que apenas 5% dos alunos

estimaram o peso em 500 g ou mais.

O peso real dos objectos era de 300 g!

0

52

8

17

14

9

5

2 1

10

15

20

Peso (g)200 250 300 350 400 450 500 550 600

Núm

ero

de a

luno

s

ClassesFrequência

absoluta

Frequência absoluta

acumulada

Frequência relativa

(%)


acumulada (%)

[200, 250[ 2 2 3 3

[250, 300[ 8 10 14 17

[300, 350[ 17 27 29 46

[350, 400[ 14 41 24 70

[400, 450[ 9 50 16 86

[450, 500[ 5 55 9 95

[500, 550[ 2 57 3 98

[550, 600[ 1 58 2 100

NOTAÉ habitual considerar-se umaclasse de igual amplitude ecom frequência zero, no início eno final, para completar o polí-gono, pois, assim, a área com-preendida entre o polígono e oeixo das abcissas é igual à somadas áreas das barras.

Não é necessário representar ohistograma para desenhar opolígono, pois basta unir ospontos cuja abcissa corres-ponde à marca da classe e aordenada à frequência da classerespectiva.

EXERCÍCIO 8Um treinador resolveu registaro tempo, em segundos, que osseus 26 atletas demoraram apercorrer duas pistas de atle-tismo.

Obteve os seguintes valores:

8.1. Depois de organizar osdados em classes, com limiteinferior de 150 e amplitude 25,construa uma tabela de fre-quências absolutas e relativas.

8.2. Represente a distribuiçãoatravés de um histograma.

295 280 272 270

215 199 190 185

176 260 261 260

176 228 226 181

220 178 210 180

221 155 179 205

220 175



ESTATÍSTICA30

NOTAO processo indicado para a cons-trução da função cumulativa é um exemplo. Existem outros.

EXERCÍCIO 9Uma fábrica produz tubos dePVC com 10 cm de diâmetro.

Para controlar o bom funciona-mento da máquina são efectua-das com regularidade mediçõesdo diâmetro de 28 tubos, selec-cionados ao longo do dia, acei-tando-se uma margem de errode 0,5 mm.

Num determinado dia, os resul-tados, em milímetros, foram osseguintes:

9.1. Organize os dados em seisclasses, considerando o limiteinferior da primeira classe 99,0e a amplitude 0,5. Construa atabela de frequências relativas(simples e acumuladas) e ográfico da respectiva funçãocumulativa.

9.2. Indique a percentagem detubos cujo diâmetro é inferior a10 cm.

9.3. Tendo em conta os resul-tados obtidos, considera que amáquina precisa de uma afina-ção ou que está em boas condi-ções de funcionamento?

101,8 100,3 99,3 99,4

101,1 100,2 100,4 99,7

100,5 100,0 99,9 99,8

100,3 99,4 99,8 100,2

99,3 101,1 101,3 99,7

99,8 100,2 99,9 100,0

100,5 99,3 100,5 100,1

O polígono de frequências absolutas acumuladas obtém-se unindo os vértices

superiores direitos dos rectângulos que formam o histograma correspondente às fre-

quências acumuladas.

Estamos agora em condições de definir a função cumulativa, utilizando a tabela

de frequências absolutas ou relativas acumuladas. Para tal, é preciso considerar que:

• antes do limite inferior da primeira classe, a frequência acumulada é 0, logo

podemos considerar o ponto (200, 0) ;

• no limite inferior da segunda classe, a frequência acumulada é a frequência acumu-

lada da classe anterior e corresponde ao ponto (250, 2) ;

• no limite inferior da terceira classe, a frequência acumulada é a frequência acu-

mulada da segunda classe, logo, o ponto (300, 10) pertence ao gráfico da fun-

ção, e assim sucessivamente.

Temos, assim, determinados os seguintes pontos: (200, 0) ; (250, 2) ; (300, 10) ;

(350, 27) ; (400, 41) ; (450, 50) ; (500, 55) ; (550, 57) ; (600, 58) .

Marcamos os pontos num sistema de eixos e em seguida unimo-los.

A partir do ponto (600, 58) continua-se com uma linha horizontal, pois 58 é o

valor máximo da frequência acumulada no presente caso. Antes de se atingir o ponto

(200, 0) procedemos de forma semelhante, pois a frequência acumulada é 0 .

O gráfico construído a partir das frequências relativas acumuladas teria um aspecto

idêntico.

Função cumulativa



Separador de frequências

Além das tabelas já estudadas existe outra forma de apresentar os dados, conhecida

como separador de frequências ou, usando o termo inglês, stem and leaf (caule-e -

-folhas). Vejamos como se procede.

A seguir encontram-se listadas as idades de 30 compradores de um determinado

modelo de automóvel:

Os dados podem ser ordenados da seguinte forma:

20 21 23 24 24 25 25 27 27 27 28 28 29

31 32 32 33 34 35 35 36 38 38

41 41 42 43 43

50 54

O caule representa o dígito (ou dígitos) da ordem de maior grandeza, no presente

caso, o algarismo das dezenas.

As folhas representam o algarismo das unidades. Podem escrever-se por ordem

crescente ou decrescente.

Na primeira linha temos o 2 como algarismo das dezenas e 0, 1, 3, 4, 5, 7, 8 e 9

como algarismos das unidades, ou seja, os valores: 20, 21, 23, 24, 24, 25, 25, 27, 27,

27, 28, 28 e 29.

Continua-se com o mesmo processo para as restantes linhas.

Esta tabela permite:

• uma melhor percepção do aspecto global dos dados sem perda de informação,

contrariamente ao que acontece nas classes;

• imaginar facilmente o gráfico representativo da distribuição;

• verificar até que ponto a distribuição é simétrica;

• verificar se existem concentrações ou lacunas de dados.

3538242750

2820425432

3135272821

2533342343

3241362427

4341382925

Caule Folhas

2

3

4

5

0

1

1

0

1

2

1

4

3

2

2

4

3

3

4

4

3

5

5

5

5

7

6

7

8

7

8

8 8 9

EXERCÍCIO 10Com os resultados do últimoteste de Matemática efectuadopela turma e numa escala de 0a 20:

10.1. desenhe um diagrama decaule-e-folhas dos resultadosobtidos.

10.2. divida os valores obtidosem classes e desenhe o respec-tivo histograma.

10.3. represente graficamentea respectiva função cumulativa.

ESTATÍSTICA32

MEDIDAS DE LOCALIZAÇÃO DE UMA AMOSTRA

As medidas de localização são valores ou parâmetros estatísticos da amostra que, por

si só, dão indicações importantes sobre as características da distribuição em estudo.

De entre as medidas de localização, destacam-se as que representam os dados

pelos seus valores centrais, designadas por medidas de tendência central, das quais

estudaremos: a moda, a média e a mediana.

É de salientar que o estudo destas medidas já foi iniciado em anos anteriores.

Moda e classe modal

Como já foi referido aquando do estudo das variáveis qualitativas, a moda, Mo ,

designa o dado estatístico mais frequente da distribuição.

Nas variáveis quantitativas surge a necessidade de considerar se os dados estão ou

não agrupados por classes.

No caso de não estarem agrupados por classes, o processo para determinar a moda

mantém-se.

Se os dados se apresentam agrupados por classes, define-se classe modal como

sendo aquela que aparece com maior frequência.

Na distribuição que considera a estimativa do peso de dois objectos (pág. 28), a classe

modal é o intervalo [300, 350[ , pois é a classe que tem maior frequência.

Para a distribuição que relaciona o número de faltas dadas pelos alunos de uma turma durante o 1.o período, representada na tabela seguinte, indique o valor da moda.

Resolução

A moda é «1 falta», pois é o dado mais frequente.

Exemplo 1

Número de faltasxi


0 5

1 9

2 8

3 3

4 3

5 1

N = 29

EXERCÍCIO 11Indique a moda de cada umadas seguintes distribuições.

11.1.

11.2.

EXERCÍCIO 12Observando o seguinte gráfico,relativo ao número de televiso-res por residência dos alunosde uma turma do 10.o ano, indi-que a respectiva moda.

xi 10 12 13 14 15

fi 4 5 8 10 6

xi 45 47 50 53 54

fi 3 10 7 10 3

0 5 10 15 20

4

Número de alunos

321

Número de televisores por residência


A tabela seguinte representa o tempo, em minutos, que 28 alunos de uma turma do 10.o anogastaram na utilização do computador durante um certo fim-de-semana.

2.1. Indique a respectiva classe modal.

2.2. Estime, geometricamente, o valor da moda.

Resolução

2.1. A classe modal é o intervalo [ 180, 210[ , pois é a classe com maior frequência absoluta.

2.2. Com uma razoável aproximação, o valor da moda pode ser estimado geometricamente doseguinte modo:

• constrói-se o histograma relativo à distribuição;

• determina-se a classe modal;

• unem-se os vértices superiores do rectângulo representativo da classe modal com os vérticesdas classes contíguas, de forma a encontrar o ponto de intersecção;

• baixa-se a perpendicular do ponto encontrado para o eixo horizontal, determinando-se assim,aproximadamente, o valor da moda.

Neste exemplo, o valor da moda está entre 180 e 195.

A determinação da moda é importante, pois indica o dado estatístico ou classe de maior frequência,o que é pertinente, por exemplo, para estudos de mercado.

No entanto, é uma medida limitativa. Por si só, não dá muita informação sobre a distribuição na suaglobalidade.

Exemplo 2

Classes(tempo em min)

Frequênciaabsoluta

[90, 120[ 2

[120, 150[ 5

[150, 180[ 6

[180, 210[ 12

[210, 240[ 3

N = 28

EXERCÍCIO 13Durante uma semana regista-ram-se os pesos, em quilogra-mas, dos bebés nascidos numaclínica:

3,4 2,1 4,0 2,7

2,8 2,6 3,0 3,1

2,7 3,5 2,6 3,8

3,2 2,4 2,5 3,2

13.1. Agrupe os dados em qua-tro classes e construa uma tabe-la de frequências absolutas.

13.2. Indique a classe modal.

NOTA*Existe uma fórmula para deter-minar a moda quando os dadosestão agrupados por classes.Apesar de não fazer parte doPrograma, apresentamo-la porcuriosidade:

Mo = li + × a

em que:

li → limite inferior da classemodal;

di + 1→ diferença entre a fre-quência da classe modale a frequência da classeseguinte à classe modal;

di – 1→ diferença entre a fre-quência da classe modale a frequência da classeanterior à classe modal;

a→ amplitude da classemodal.

No exemplo 2:

li = 180 ; di + 1 = 12 – 3 = 9

di – 1 = 12 – 6 = 6 ;

a = 210 – 180 = 30

Assim:

Mo = 180 + �9 +

66

� × 30⇔

⇔Mo � 192

di – 1��

di + 1 + di – 1

*Facultativo

Tempo gasto no computador

Exercícios propostosExercício 2.Página 61.


ESTATÍSTICA34

Média aritmética

Das três medidas de tendência central, a mais utilizada é a média aritmética, ou

valor médio, x� . Esta medida tem em conta todos os valores observados e determina -

-se de duas formas:

1. Caso os dados x1 , x2 , …, xN (N dados) não estejam agrupados por classes:

x� = =

Caso os dados se repitam, a expressão anterior é equivalente a:

x� = =

em que cada fi é a frequência absoluta do valor xi .

2. Para os dados agrupados por classes, considera-se:

x� =

em que xi é a marca da classe de ordem i e fi a respectiva frequência absoluta.

x1 + x2 + … + xN��N

ΣN

i = 1xi

�N

x1 f1 + x2 f2 + … + xm fm��NΣm

i = 1xi fi

�N

Σm

i = 1xi fi

�N

Num ginásio registou-se o número de praticantes deaeróbica durante duas semanas:

41; 38; 42; 35; 35; 35; 36; 38; 36; 42; 35; 36.

Determine a média de praticantes.

Resolução

Organizam-se os dados:

Calcula-se a respectiva média:

x� = � 37,4

A média é de, aproximadamente, 37 praticantes por sessão.

35 × 4 + 36 × 3 + 38 × 2 + 41 + 42 × 2��

12

Exemplo 3

Número de praticantes Efectivos

35 4

36 3

38 2

41 1

42 2

EXERCÍCIO 14Indique a média de cada umadas seguintes distribuições.

14.1.

14.2.

xi 10 12 13 14 15

fi 4 5 8 10 6

xi 45 47 50 53 54

fi 3 10 7 10 3

NOTASó para variáveis quantitativasfaz sentido determinar a média x� .

NOTASe utilizarmos a frequênciarelativa temos que:

x� = Σm

i = 1fri xi

NOTAA média pode tomar um valordiferente de todos os valoresobservados na distribuição.


Algumas considerações sobre a média

• A média é uma medida influenciada por qualquer alteração num dos valores

observados, sendo muito sensível a valores externos (altos ou baixos).

Por exemplo, ao efectuar a média das seguintes idades: 30, 25, 33, 45 e 60, obtemos:

x� = = 38,6

Basta alterar substancialmente apenas um destes valores para a média sofrer tam-

bém uma grande alteração.

Mude-se, por exemplo, o valor 25 para 85, e a média alterar-se-á para x� = 50,6 .

• A média de dois conjuntos de dados pode ser semelhante, não reflectindo distri-

buições idênticas. É preciso ter cuidado, pois pode dar uma informação incorrecta

em relação aos dados observados.

Por exemplo: numa cidade, A , registaram-se as seguintes temperaturas máximas

(em °C) ao longo de uma semana:

25, 26, 24, 25, 27, 26 e 28

A média é x� = � 25,9

Na cidade A , a média da temperatura máxima é de, aproximadamente, 26 ºC.

Numa outra cidade, B , registaram-se as temperaturas máximas (em °C) de:

18, 21, 22, 33, 19, 34, 36

A média das temperaturas nesta cidade é dada por:

x� = � 26,1

ou seja, aproximadamente 26 ºC, como na cidade A . As duas cidades têm as

mesmas características meteorológicas? Claro que não, pois as amplitudes térmicas

são muito diferentes.

25 + 30 + 33 + 45 + 60��

5

24 + 25 × 2 + 26 × 2 + 27 + 28��

7

18 + 19 + 21 + 22 + 33 + 34 + 36��

7

A tabela ao lado representa a distância, em metros, alcançada porum atleta de alta competição no lançamento do dardo, ao longode uma semana de treino. Determine a distância média alcançadapelo atleta.

Resolução

A média aritmética dos lançamentos do atleta é dada por:

x� = � 87,7

O atleta atingiu nos seus lançamentos a distância média de aproximadamente 87,7 metros.

80 × 4 + 84 × 27 + 88 × 20 + 92 × 18 + 96 × 6��

75

Exemplo 4

ClassesMarca

da classeEfectivos

[78, 82[ 80 4

[82, 86[ 84 27

[86, 90[ 88 20

[90, 94[ 92 18

[94, 98[ 96 6

N = 75

EXERCÍCIO 15Num agregado familiar de trêspessoas, o rendimento mensalé constituído pelos salários(em euros): 1345, 796 e 595.

15.1. Determine o salário médio.

15.2. Imagine que todos os salá-rios são sujeitos a um aumentode 8%. Qual passará a ser amédia? Que conclusão podetirar deste exemplo?

Nota: Considere-se uma distri-buição de média –x . Se multi-plicarmos por k todos osvalores observados, a médiadesta nova distribuição, –xf , étal que –xf = k –x .

→


Exercícios propostosExercícios 1, 4 e 13.Páginas 61 e 64.

ESTATÍSTICA36

Mediana e classe mediana

Tal como a média, a mediana só se utiliza para atributos quantitativos.

É uma medida de tendência central que nos informa sobre o valor central da distri-

buição. O seu cálculo, por se tratar de um parâmetro de ordem, exige a ordenação de

todos os valores da variável, o que normalmente se faz por ordem crescente (em sen-

tido lato).

Dados não agrupados por classes

A mediana é o valor que divide a distribuição dos valores da variável ao meio, ou

seja, 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais à mediana e os restantes

50% são maiores ou iguais.

• No caso do número de dados ser ímpar, existe um valor central que é a mediana ~x .

• Se o número de dados é par, toma-se a média aritmética dos dois valores centrais

para a mediana.

Esquematizando:

Chama-se mediana, Me , ou ~x , ao valor que ocupa o lugar central da distribuição quando os valoresda variável estão ordenados por ordem crescente ou decrescente.

N é ímpar N é par

x 1 x2 … xp … xN – 1 xN

�N

2– 1� dados �

N 2– 1� dados

x1 x2 … xp xp + 1… xN – 1 xN

�N2� dados �

N2� dados

�x = �xp +

2

xp + 1�

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩

�x

5.1. Calcule a mediana relativa às idades, em anos, de um agregado familiar de cinco pessoas cujasidades são 28, 32, 1, 5 e 57.

5.2. Ao longo de duas semanas, o Daniel registou o número de «cestos» que conseguiu no seu treinode basquetebol:

18, 23, 27, 20, 24, 28, 27, 30, 24, 25, 18, 28, 27, 30

Indique o valor da mediana.

5.3. A tabela seguinte representa a verba (em euros) que os 28 alunos do 12.o ano gastaram na escoladurante uma semana.

Determine, geometricamente, o valor aproximado da mediana, utilizando as frequências relativasacumuladas e a função cumulativa.

Exemplo 5EXERCÍCIO 16Indique a mediana de cada umadas seguintes distribuições.

16.1. 10, 9, 10, 11, 10, 8, 12

16.2. 23, 27, 24, 25, 27, 28, 24, 27

Despesa (euros)



acumulada

Frequência relativa (%)


acumulada (%)17 10 10 36 3618 13 23 46 8219 3 26 11 9320 2 28 7 100

N = 28

Caderno de ExercíciosExercícios 5 e 12.

Página 54.

EXERCÍCIO 17Lançou-se um dado 100 vezes eregistaram-se os resultadosobtidos na seguinte tabela:

17.1. Indique o valor da moda,da média e da mediana.

17.2. Lance 15 vezes um dadoe indique a moda, a média e amediana correspondentes aosresultados obtidos.

xi 1 2 3 4 5 6

fi 20 25 12 15 16 12


Resolução

5.1.

1 ; 5 ; 28 ; 32 ; 57↓

Me

Verificamos que a mediana corresponde ao terceiro valor da variável, ou seja, é 28 anos.

5.2. Organizaram-se os 14 dados na tabela de caule e folhas apresentada na nota ao lado.

Determina-se a mediana por simples observação da tabela de frequências absolutas.

Como o número de dados é par (14) , temos dois valores centrais, cujas ordens são:

�124� = 7 e �

124� + 1 = 8

A mediana é, como já foi referido, a média aritmética do número de cestos correspondentes àsétima e à oitava posição.

Ou seja, ~x = �25 +

227

� ⇔ ~x = 26

A mediana é 26 cestos.

5.3. O gráfico de barras construído a partir das frequências relativas acumuladas está representadoem baixo. A mediana corresponde ao valor de 50% da frequência relativa acumulada.

A mediana é 18 euros.

Em relação à função cumulativa, temos:

O valor da mediana é 18 euros.

⎧⎨⎩2 dados ⎧⎨⎩2 dados

NOTAEm relação ao exemplo ao lado,seria fácil utilizar a tabela decaule-e-folhas:

1 8 8

2 0 3 4 4 5 7 7 7 8 8

3 0 0

7.o valor(25)

8.o valor(27)

EXERCÍCIO 18O gráfico seguinte representaos dados de um inquérito feitoa um grupo de jovens sobre onúmero de idas a concertos demúsica rock durante os mesesde Julho, Agosto e Setembro.

18.1. Construa a respectivatabela de frequências absolu-tas e frequências relativas,simples e acumuladas.

18.2. Calcule, se possível, amédia, a moda e a me diana.

18.3. Depois de definir a fun-ção cumulativa das frequên-cias relativas e de a representarnum sistema de eixos, identifi-que a mediana.

0 1 2 3 4 oumais

Número de idas a concertos

Núm

ero

de jo

vens

0

10

20

30

40

23

35

1017

5

Número de idas a concertos de Julho a Setembro

Despesa feita pelos alunosao longo de uma semana

Exercícios propostosExercícios 3 e 5.Página 61.

ESTATÍSTICA38

Dados agrupados por classes

Quando, numa distribuição estatística, os dados estão agrupados por classes, a media-na, ~x , é o valor que corresponde à frequência relativa acumulada de 50%. À classeestatística a que pertence o valor ~x chama-se classe mediana.

Considere a tabela referente ao lançamento do dardo (da pág. 35) que se completacom as restantes frequências.

Observando os valores da frequência relativa acumulada, verifica-se que até à classe[82, 86[ apenas há 41% da frequência relativa acumulada, enquanto que até à classeseguinte [86, 90[ já há 68% da frequência relativa acumulada; logo, a mediana pertenceao intervalo [86, 90[ , pois é nesta classe que se localiza a frequência relativa acumuladade 50%.

Introduzindo os dados na calculadora gráfica podemos determinar um valor aproxi-mado para a mediana.

Algumas considerações sobre a mediana

• É uma medida de posição, não faz intervir todos os valores.

Exemplo

Observando os seguintes conjuntos de dados estatísticos, já ordenados,

1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 7 e 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6

verifica-se que em ambos a mediana é 4.

• A mediana é um parâmetro forte, não sendo influenciado por alterações dosextremos.

Exemplo

Observando os seguintes registos de temperaturas (°C), já ordenadas, de umalocalidade,

23, 23, 27, 28, 28, 29, 30

verifica-se que a mediana é 28 °C.

ClassesMarca

da classeEfectivos


acumulada


(%)


acumulada (%)

[78, 82[ 80 4 4 5 5

[82, 86[ 84 27 31 36 41

[86, 90[ 88 20 51 27 68

[90, 94[ 92 18 69 24 92

[94, 98[ 96 6 75 8 100

N = 75

Cálculo da mediana:

�CALC

1: 1–Var Stats

1–Var Stats L1, L2

STATS

ENTER

ENTER


EXERCÍCIO 19Na reserva de La Camargue,junto ao rio Ródano, Françaregistou-se o peso, em kg, de 55flamingos rosa:

19.1. Indique a classe mediana.

19.2. Determine o peso médiodos flamingos.

19.3. Construa o respectivo his-tograma e determine, geometri-camente, a mediana.

19.4. Que percentagem de fla-mingos tem peso igual ou supe-rior a 3,5 kg?

Peso (kg) fi

[2; 2,5[ 5

[2,5; 3[ 15

[3; 3,5[ 24

[3,5; 4[ 7

[4; 4,5[ 4

→


Supondo que tinha ocorrido um erro e que afinal o último registo teria sido de 32 °C,

o novo conjunto de dados 23, 23, 27, 28, 29, 32 continua a manter uma mediana de

28 °C.

• Como a mediana permite situar um dado na metade inferior ou superior da popu-

lação ou da amostra, usa-se, em geral, quando as distribuições são muito desequi-

libradas num dos extremos.

Quartis

Existem outras medidas, para além da moda, da mediana e da média, que nos dão a

localização de valores da variável. São os quantis, dos quais estudaremos apenas os

quartis.

Como o nome indica, os quartis são os valores que dividem a distribuição de fre-

quências em quatro partes iguais, correspondendo cada uma delas a 25% do total dos

dados ordenados.

Considerando os dados ordenados por ordem crescente, podemos usar o seguinte

esquema para uma melhor compreensão desta medida.

Em que:

• Q1 representa o 1.o quartil, separando os primeiros 25% dos dados, ordenados

por ordem crescente, dos restantes 75%;

• Q2 representa o 2.o quartil, que coincide com a mediana;

• Q3 , o 3.o quartil, divide a distribuição em duas partes, em que 75% dos dados

são menores ou iguais a Q3 e os restantes 25% são maiores ou iguais a Q3 .

O processo utilizado para determinar os quartis é idêntico ao que se utiliza para o

cálculo da mediana.

6.1. Determine os quartis da distribuição das classificações dos testes de avaliação da Marta no 1.o período:

8, 11, 12, 12, 13, 14, 12, 14, 15, 14, 8, 11, 12

6.2. Considere a tabela seguinte, que nos indica o número de litros de combustível gastos pelosempregados de uma empresa ao longo de um mês.

Localize os quartis.

Exemplo 6

Classes (litros) [50, 60[ [60, 70[ [70, 80[ [80, 90[ [90, 100[ [100, 110]

Frequência absoluta 2 3 2 6 2 2 N = 17

NOTAPara determinar os quartis coma calculadora gráfica, utiliza-seum processo idêntico ao que seusa para a mediana.

NOTAExiste uma regra prática quefacilita o processo de determi-nação da posição de cada quar-til para populações discretas.

• Seja N , a dimensão da popu-lação total da distribuição,um número ímpar:

posição do 1.o quartil:

↓p 1 = �

N4+ 1

�


↓p 3 = �

3(N4

+ 1)�

• Se N for par:


↓p 1 = �

N 4+ 2�


↓p 3 = �

3N 4+ 2

�


ESTATÍSTICA40

Resolução

6.1. Ordenando os dados, temos:

8 8 11 11 12 12 12 12 13 14 14 14 15

A dimensão da amostra é N = 13 , número ímpar.

• Posição do 1.o quartil:

p 1 = �13

4+ 1

� ⇔ p 1 = 3,5 , logo, o 1.o quartil é dado pela média dos termos de ordem 3 e 4 :

Q 1 = �11 +

211

� ⇔Q 1 = 11

• Posição do 3.o quartil:

p3 = �3(13

4+ 1)

� ⇔ p 3 = 10,5 , o 3.o quartil é a média dos termos de ordem 10 e 11:

Q 3 = �14 +

214

� ⇔Q 3 = 14

A Marta pode então afirmar que, por exemplo:

• pelo menos, 25% das classificações são inferiores ou iguais a 11;

• pelo menos, 25% das classificações são iguais ou superiores a 14;

• pelo menos, 50% das classificações variam entre 12 e 15.

6.2. Como se trata de uma variável contínua, é preferível optar pelas frequências relativasacumuladas

Assim, o 1.o quartil corresponde aos 25%, ou seja, pertence ao intervalo [60, 70[ .

O 2.o quartil (mediana) corresponde a 50%, ou seja, pertence ao intervalo [80, 90[ .

O 3.o quartil corresponde aos 75%, ou seja, pertence ao intervalo [80, 90[ .

Podemos também recorrer ao polígono de frequências relativas acumuladas para obter geometrica-mente um valor aproximado dos quartis, partindo do princípio que a distribuição é linear dentro decada classe.

Q 1~x Q 3

Cálculo de parâmetros estatísticos:

CALC 1:


EXERCÍCIO 20Localize os 1.o e 3.o quartis dasseguintes distribuições:

20.1. 12 9 8 1310 10 10 11

9 11 12 8

20.2.

xi 50 52 55 60

fi 6 3 7 3

EXERCÍCIO 21Com base na tabela apresenta-da no Exercício 19, localize os1.o e 3.o quartis.

Número de litros de gasolinagastos por uma empresa


MEDIDAS DE DISPERSÃO DE UMA AMOSTRA

Um factor muito importante para a interpretação de um conjunto de dados é a maior

ou menor dispersão dos dados em torno dos valores centrais. Para tal, vamos estudar

as seguintes medidas de dispersão: amplitude total, variância, desvio padrão e ampli-

tude interquartis.

Amplitude total

À diferença entre o maior e o menor valor da distribuição chamamos amplitude total,

ou simplesmente amplitude:

A = xmáx – xmín

Consideremos os dados da tabela seguinte, referentes aos anos de serviço dos traba-

lhadores de uma empresa de construção civil.

Determinemos a amplitude da distribuição relativamente ao número de anos de

serviço:

Amplitude = 8 – 3 = 5 anos

Note-se que esta medida é insensível às alterações dos valores intermédios; no seu

cálculo só intervêm os extremos, não fornecendo assim, por si só, informação muito

relevante sobre a distribuição.

Variância e desvio padrão

Considerando o exemplo anterior, vejamos como os dados relativos aos anos de

serviço se afastam da respectiva média (5 anos).

Note-se que, para se obter melhores valores aproximados, usaremos um valor da

média com aproximação às milésimas, x� � 5,025 .

NOTAA amplitude, a variância, o des-vio padrão e a amplitude inter-quartis só se determinam paraatributos quantitativos.

Anosde serviço

Número de trabalhadores

3 8

4 6

5 13

6 6

7 4

8 3

N = 40

ESTATÍSTICA42

Chama-se desvio de valor xi em relação à média –x , à diferença xi – –x .

A soma dos desvios é sempre igual a zero.

Este valor surge porque existem valores positivos e negativos que se compensam.

Por este motivo, determinam-se os quadrados ou os valores absolutos dos desvios.

Optámos por calcular o quadrado dos desvios.

À média aritmética dos quadrados dos desvios chama-se variância.

No caso citado, temos: V = �2 � �86

4

,9

0

76� � 2,174

Quanto mais afastados da média estiverem os dados, maior será a variância.

Como o cálculo da variância é feito a partir da média dos quadrados dos desvios, o

seu resultado vem expresso na unidade dos dados mas ao quadrado, o que dificulta a

sua interpretação.

Através do cálculo da raiz quadrada da variância obtém-se um valor que, em virtude

de ser representado na unidade dos dados, facilita a sua interpretação: o desvio

padrão.

Anosde serviço

xi


fi

Desvioxi – x�

fi (xi – x� ) fi (xi – x�)2

3 8 –2,025 – 16,2 32,805

4 6 –1,025 – 6,15 6,304

5 13 – 0,025 – 0,325 0,008

6 6 0,975 5,85 5,704

7 4 1,975 7,9 15,603

8 3 2,975 8,925 26,552

Total 40 0 86,976

Dados x1 , x2 , … , xN , N valores distintos de média x� , a variância V ou� 2 é a média dos quadrados dos desvios:

V = � 2 = =(x1 – x�)2 + (x2 – x�)2 + … + (xN – x�)2

��N

ΣN

i = 1(xi – x�)2

��N

O desvio padrão é a raiz quadrada positiva da variância (dados agrupadosnuma tabela de frequência):

� =

em que k é o número de valores distintos observados.

�k

i = 1

fi (xi ––x )2

��N

��

EXERCÍCIO 22Considere os dados indicados(em percentagem) relativos àsaudiências diárias de três esta-ções televisivas numa determi-nada semana.

22.1. Indique a amplitude decada uma das distribuiçõesrelativas à percentagem deaudiências de cada uma dasestações televisivas.

22.2. Determine a média deaudiências de cada uma dasestações durante a semanaconsiderada.

DataEstações

TV1 TV2 TV3

18/3 26,3 21,5 30,5

19/3 24,7 26,1 29,6

20/3 22,6 24,7 31,3

21/3 19,5 32,5 24,6

22/3 20,6 28,5 26,0

23/3 25,8 21,7 30,3

24/3 24,8 22,5 29,6

NOTA� é a letra «sigma» minúsculado alfabeto grego. A maiúsculaé Σ .

EXERCÍCIO 23Recolha as idades dos encarre-gados de educação dos seuscolegas de turma e calcule amédia e o desvio padrão dessadistribuição.


Assim, no exemplo, o desvio padrão é de:

� � �2�,1�7�4� � 1,474

No caso do cálculo do desvio padrão de uma distribuição com dados agrupados

por classes, o raciocínio é análogo, ou seja, determinam-se as marcas das classes, que

se representam por xi , sendo k o número de classes.

Tendo em conta a tabela seguinte, referente à distribuição dos vencimentos numa empresa de cons-trução civil, calcule o respectivo desvio padrão.

Resolução

Recorrendo à calculadora gráfica, determina-se a média e o desvio padrão.

Temos, então, –x = 975 e � � 237, 43 .

Exemplo 7

Vencimentos(em euros)


[500, 700[ 5

[700, 900[ 10

[900, 1100[ 15

[1100, 1300[ 6

[1300, 1500[ 3

[1500, 1700[ 1

N = 40

EXERCÍCIO 24Recolha os valores das alturas,em centímetros, dos colegasda turma e determine a médiae o desvio padrão dessa distri-buição.

CALCENTERSTAT STAT

→

→


WWWWWW

ESTATÍSTICA44

O desvio padrão, � , é a medida de dispersão mais usada, pois tem em conta todos osdados.

Note-se que o seu valor nunca é negativo.

Quanto maior for o desvio padrão, maior será a dispersão dos valores em relação àmédia.

É uma medida sensível a alterações nos valores da variável.

Amplitude interquartis

Em alguns casos tem interesse utilizar outra medida de dispersão, a amplitude

interquartis, que se representa por Aq e que é dada pela diferença entre os 3.o e 1.o

quartis.

No exemplo dos anos de serviço dos trabalhadores (pág. 41), e com a ajuda da calcu-

ladora, temos que:

1.º quartil: Q1 = 4 e 3.º quartil: Q3 = 6

logo,

Aq = 6 – 4 = 2

• se o valor da amplitude interquartis for pequena, os dados estão concentrados em

torno dos valores centrais;

• se o valor da amplitude interquartis for grande, a dispersão em torno dos valores

centrais é grande.

A amplitude interquartis não é sensível a alterações nos valores extremos, é uma

medida robusta.

DIAGRAMA DE EXTREMOS E QUARTIS

Para facilitar a comparação entre distribuições,

recorre-se frequentemente a um diagrama de extre-

mos e quartis.

Neste diagrama representam-se os valores máximo

e mínimo da distribuição, e os valores dos respecti-

vos quartis.

Começa-se por desenhar um eixo, horizontal ou

vertical, e, com uma escala adequada aos dados, mar-

cam-se os extremos e os quartis. Seguidamente,

construímos rectângulos entre os quartis.

NOTASe o desvio padrão for um valormuito elevado podemos estarperante, pelo menos, uma dasseguintes situações:• a amostra é muito dispersa;• existem valores desproporcio-

nais em relação aos restantesdados.

EXERCÍCIO 25Determine a amplitude inter-quartis da seguinte distribuição.

Número de telemóveis

por famíliafi

1 33

2 28

3 15

4 7


Vejamos a situação do exemplo 7 (pág. 43), onde, recorrendo à calculadora gráfica,

se determinaram os quartis relativos aos vencimentos dos trabalhadores da empresa de

construção civil. Apresenta-se o respectivo diagrama de extremos e quartis:

Observando o diagrama podemos concluir que existe uma maior concentração de

dados entre o 2.º e o 3.º quartis e que a maior dispersão é entre o 3.º quartil e o valor

máximo.

Diagrama de extremos e quartis:

2nd Y = ENTER

Com a calculadora gráfica determinaram-se os quartis relativos às distribuições das idades das equi-pas de andebol do Imparcial e do Atlético e, em seguida, construiu-se o seguinte diagrama de extre-mos e quartis:

Faça um breve comentário comparativo das duas distribuições.

Resolução

Estes diagramas permitem-nos tirar várias conclusões:

• na equipa do Imparcial existe pelo menos um jogador com 32 anos e o mais novo tem 19 anos,enquanto na equipa do Atlético o máximo é de 29 anos e o mínimo de 18 anos;

• a maior concentração de idades na equipa do Imparcial está entre os 19 e 21,5 anos, aproximadamente.Entre os 2.o e 3.o quartis, e entre o 3.o quartil e o valor máximo, a concentração é semelhante;

• no caso da equipa do Atlético, pode afirmar-se que estamos perante uma distribuição uniforme.

Exemplo 8

3.º Quartil

3.º Quartil

Máximo

Máximo

2.º Quartil2.º Quartil

1.º Quartil 1.º Quartil

MínimoMínimo

IMPARCIAL

ATLÉTICO

1819

2121,5

23,524,5

26

2829

32


EXERCÍCIO 26Com a ajuda da calculadoragráfica, desenhe o diagrama deextremos e quartis referente àdistribuição das alturas dosjogadores da equipa de ande-bol do Imparcial.

Altura dos jogadores do Imparcial

Classes(cm)

Frequênciaabsoluta

fi

[174, 180[ 3

[180, 186[ 3

[186, 192[ 6

[192, 198[ 2

[198, 204[ 2

Exercícios propostosExercícios 14 e 15.Páginas 64 e 65.

Caderno de ExercíciosExercícios 8 a 10.Página 55.

ESTATÍSTICA46

DISCUSSÃO DAS LIMITAÇÕES ESTATÍSTICAS

Num estudo estatístico não se pode ter em conta apenas as medidas de tendênciacentral, ou seja, a média, a moda e a mediana. Para tirar conclusões mais correctasdevem estudar-se também as medidas de dispersão.

Apesar de a média ser muito usada na comparação de distribuições, esta deve ser ana-lisada conjuntamente com a amplitude da distribuição e com o desvio padrão. É umamedida influenciada por qualquer alteração num dos valores observados.

Ao contrário da média, a mediana não é afectada pelos valores extremos, como seexemplifica nas seguintes distribuições.

A mediana é uma medida de posição que permite localizar os dados na metadesuperior ou inferior da distribuição.

Embora a moda seja uma medida de cálculo fácil, é utilizada tanto em variáveisqualitativas como quantitativas. É contudo uma medida limitativa.

Isoladamente, estas medidas não nos dão muitas informações úteis. No entanto,em conjunto permitem-nos analisar e interpretar correctamente a distribuição emestudo.

Os quartis, tal como a mediana, permitem-nos localizar os dados na distribuição,dando-nos uma ideia do grau de dispersão/concentração dos mesmos.

Distribuição «uniforme» Concentração nos extremos

Concentração na zona central Concentração no extremo inferior

EXERCÍCIO 27Fez-se um inquérito aos alunosdo 9.o ano de uma escola doEnsino Básico, referente ao res-pectivo número de irmãos.

Registou-se a seguinte tabela:

27.1. Determine o número mé-dio de irmãos para cada turma.

27.2. Desenhe um gráfico debarras para cada distribuição.

27.3. Localize os 1.o e 3.o quar-tis de cada turma.

27.4. A partir dos respectivosdiagramas de extremos e quar-tis, compare as duas distribui-ções.

Número de irmãos

9.o Afi

9.o Bfi

0 3 6

1 9 12

2 8 5

3 4 3

4 2 1

5 2 0

Total 28 27



Quanto às medidas de dispersão, a amplitude não é sensível a alterações dos valo-

res intermédios, o que por vezes é uma desvantagem.

O desvio padrão permite comparar distribuições com medidas de tendência central

aproximadas ou mesmo iguais.

Tem como grande vantagem o facto de nos informar sobre o grau de afastamento

dos dados em relação à média.

Nas distribuições simétricas, as medidas de localização central são aproximadamente

iguais. Nas distribuições assimétricas, a média desloca-se no sentido da «cauda» mais

comprida da distribuição.

Distribuição simétrica

Distribuição assimétrica positiva

Distribuição assimétrica negativa


ESTATÍSTICA48

Função cumulativa

⎧ 0 se x � x1

⎪ F1 se x1 � x � x2

⎪ F2 se x2 � x � x3

F (x ) = ⎨ F3 se x3 � x � x4 F1 , F2 , …, Fk Frequência acumulada⎪ .⎪ .⎪ .⎩ Fk se x � xk

Moda Dado estatístico que ocorre mais vezes na distribuição.

Mediana• Se N é ímpar, a mediana é o valor da variável que ocupa a posição central.• Se N é par, a mediana é a média aritmética dos valores centrais.

Média

Quartis

Diagrama de extremose quartis

Amplitude total Diferença entre os valores extremos da distribuição.

Amplitude interquartis Diferença entre os valores correspondentes a Q 3 e a Q 1 .

Variância

Desvio padrão

; x� = ou x� =k

Σi = 1

fri xi

k

Σi = 1

fi xi

�N

x� =Σ

N

i = 1xi

⎯N

• Se N é par – posição de Q 1 : P1 = N + 2�

4

• Se N é ímpar – posição de Q 1 : P1 = N + 1�

4

– posição de Q 3 : P3 = 3(N + 1)�

4

– posição de Q 3 : P3 = 3N + 2�

4

25% 25% 25% 25%

Q 1 Q 2 Q 3

� 2 = ou � 2 =

k

Σi = 1

fi (xi – x� )2

��N

ΣN

i = 1(xi – x� )2

��N

� = �� ou � = ��ΣN

i = 1(xi – x� )2

��N

k

Σi = 1

fi (xi – x� )2

��N

RESUMINDO

ORGANIZAÇÃO E INTERPRETAÇÃO DE CARACTERES ESTATÍSTICOS

A criptografia e a estatística

A criptografia permite escrever, por meio de abreviaturas ou sinais convencionais, uma mensagem que se pretendeser secreta.

Normalmente, utilizam-se números ou símbolos, aos quais se dá arbitrariamente um novo significado.

A estatística pode ajudar a decifrar estas mensagens, observando a frequência com que as letras do alfabeto sur-gem na língua em que a mensagem está escrita. Por exemplo, no alfabeto inglês, em 1000 letras de um texto, a letra«E» é a mais frequente, aparecendo, em média, 131 vezes; segue-se a letra «T», 90 vezes, e depois a letra «O», 82 vezes,também em média.

Assim, basta observar o símbolo mais frequente numa mensagem deste género e, a partir da frequência relativa,comparar com o respectivo alfabeto, fazendo a correspondência devida com a letra.

No livro O Escaravelho de Ouro, Edgar Allan Poe utiliza a frequência relativa para decifrar mensagens.

Também em A Aventura dos Bailarinos, Sherlock Holmes, o famoso detective criado pelo escritor britânico ArthurConan Doyle, decifra mensagens sucessivas do criminoso utilizando este método, acabando mesmo por enganá-loao enviar-lhe uma mensagem no código utilizado:

Ao longo dos tempos utilizaram-se várias formas de registo de dados estatísticos. Uma das mais originais e curiosasfoi utilizada pelos Incas.

Os quippus, cordões com nós, marcavam a cifra utilizando a cor e a posição. Todos os dados estatísticos estavamregistados nos diferentes quippus, desde o número de soldados até aos recursos do tesouro do império, permitindoassim aos governantes terem uma ideia geral das condições das suas províncias.

in Alice Fairbanks Mettos, Manual de Estatística (adaptado)e Teresa Vergari, O Zero e os Infinitos, Editora Minerva, 1991 (adaptado)

É curioso saber que a população inca estava tão habituada ao sistema dos quippus que, mes mo depois de se conver-ter ao Cristianismo, levava ao confessor o número de pecados cometidos marcados neste sistema.

49


www.matematicaB.TE.ptLinks : ALEA-Noções de estatística • Cartoons estatística: Matemática em geral

ESTATÍSTICA50


«Há cada vez mais necessidade de compreender a forma como a informação

é processada e traduzida em conhecimento utilizável.»

Martin Gardner (escritor norte-americano)

OBJECTIVOS

Pretende-se com esta actividade aplicar os conhecimentos de estatística a situaçõesda vida real e criticar os resultados.

MATERIAIS

Inquérito, computador, folha de cálculo.


Ocupação dos tempos livres

Após a realização do inquérito, apresentado em seguida, por todos os alunos da turma, reco-lha e organize os dados obtidos em tabelas de frequência e apresente-os, graficamente, doseguinte modo:

• variável qualitativa – diagrama circular;

• variável quantitativa discreta – gráfico de barras;

• variável quantitativa contínua – histograma.

Como conclusão, faça uma pequena análise dos resultados obtidos na sua turma.

Inquérito

Responda, no seu caderno, a cada uma das questões assinalando apenas uma opção.

1. Qual o desporto que pratica mais frequentemente?

2. Quantos livros lê mensalmente?

3. Quantas vezes por mês vai ao cinema?

4. Quantas horas por dia utiliza o computador (jogos, Internet…)?

A. Futebol

B. Voleibol

C. Basquetebol

D. Natação

E. Artes marciais

F. Ginástica

G. Outros

H. Nenhum

A. 0 livros

B. 1 livro

C. 2 livros

D. 3 livros

E. 4 ou mais livros

A. 0 vezes

B. 1 vez

C. 2 vezes

D. 3 vezes

E. 4 ou mais vezes

A. 0 a 2 horas

B. 2 a 4 horas

C. 4 a 6 horas

D. 6 a 8 horas

E. 8 a 10 horas

WWWWWW



Instruções para a folha de cálculo*

1. Abra uma folha.

2. Crie uma tabela com as diversas modalidades desportivas.

3. Construa o gráfico circular.

• Seleccione as colunas A e B e clique na Barra de Ferramen-tas em .

• Escolha o tipo de gráfico:

Pie

Next

Title – «Desporto praticado»

Data Label – Show percent

Finish

4. Crie uma nova tabela com o número de livros que lê e asrespectivas frequências.

5. Seleccione as colunas A e B e clique na Barra de Ferramentasem .

Escolha o tipo de gráfico:

Column

Next

Next

Title – «Número de livros lido num mês»

Legend – (não seleccionar)

Finish

6. Repita os passos anteriores para fazer um gráfico relativoao número de vezes que vai ao cinema.

7. Crie uma tabela com o número de horas que despende nocomputador e as respectivas frequências.

8. Seleccione as colunas A e B e clique na Barra de Ferra-mentas em e seleccione o tipo de gráfico:

Column

Next

Title – «Número de horas despendidas no computador»

X – Tempo, em horas

Y – fi

Legend – (não seleccionar)

Next

Finish

A B

Modalidade fi

Futebol 2

Voleibol

Basquetebol

Natação

…

…

N = …

A B

Número de livros

fi

0 3

1

2

3

� 4

N = …

A B

Horas fi

0 – 2 3

2 – 4

4 – 6

6 – 8

8 – 10

N = …

* Nesta actividade utilizamos a folha de cálculo Microsoft Office Excel. Existem, no entanto, outras folhas de cálculo, como a do Open Office (freeware), que têm as mesmas características e potencialidades.

ESTATÍSTICA52

continuação Actividade prática E3H

Clique sobre as barras do gráfico com o botão esquerdo do rato.

Clique no botão direito do rato. Aparece uma pasta FORMAT DATA SERIE.

Escolha Options e ponha a zeros Over lap (sobreposição) e Gap width (as barras juntam-se,formando um histograma).

9. Preencha a tabela de frequências de todas as variáveis.

Para calcular o valor de N :

• seleccione a coluna B (B2 a B5) e clique na Barra de Ferramentas em Σ .

Para completar a tabela de frequências:

• na coluna C, copie o valor da coluna anterior (B2) e na célula seguinte escreva =B3+C2 ;

• em seguida, na Barra de Ferramentas clique no EDIT (editar), depois no FILL (preencher)e por fim copie para baixo (DOWN);

• na coluna D, na primeira célula escreva =C2/30 e copie para baixo;

• na coluna E, repita o primeiro valor da coluna D e na célula seguinte escreva =D3+E2 ecopie para baixo, repetindo os passos efectuados na coluna C.

Para as frequências relativas aparecerem em percentagem, basta seleccionar a coluna respectivae clicar na Barra de Ferramentas em %.

A B C D E

Modalidade fi Fi fri Fri



«(…) Permitir que o ensino da estatística não seja apenas instrução (…)

mas formação. Formação que será útil ao aluno quer nos estudos ulteriores,

quer na sua vida quotidiana.

Maria Beatriz F. Matias (matemática portuguesa)

OBJECTIVOS

Pretende-se com esta actividade recolher, organizar e apresentar dados de um inquérito.

MATERIAIS

Folha de cálculo ou calculadora gráfica.


Trajecto escola-casa

Relativamente à turma, realizar um inquérito que permita responder às seguintes questões:

A. Quanto tempo gastam os alunos no trajecto escola-casa?

B. Será que a escola serve apenas os alunos da área em que está inserida ou serve também osque vivem nos arredores?

1. Recolha dados relativos à turma.

2. Introduza os dados no computador (ver instruções na página seguinte).

3. Determine a moda, a mediana e a média.

4. Construa a tabela de frequências absolutas e relativas, e as frequências acumuladas.

5. Desenhe o histograma das frequências absolutas e o polígono de frequências relativasacumuladas.

6. Faça um pequeno comentário sobre a situação dos alunos desta escola. Vivem perto oulonge da escola? Será possível, com os dados recolhidos, fazer uma generalização?

ESTATÍSTICA54


Instruções para a folha de cálulo*

1. Abra uma folha.

2. Introduza os dados obtidos na coluna A.

3. Crie uma tabela, a meio da folha.

4. Na tabela criada, coloque o cursor em frente da célula Moda.Clique na Barra de Ferramentas em fx .FUNCTION CATEGORY:STATISTICAL FUNCTION NAME: MODE (Moda) ou AVERAGE (Média) ou MEDIAN (Mediana).Seleccione a coluna A.

5. Seleccione a coluna A e clique na Barra de Ferramentas no comando A/Z↓ (ordenar valorespor ordem crescente).

6. Construa a tabela de frequências utilizando as colunas seguintes da folha do Excel (como osvalores devem ser muito dispersos, será melhor agrupá-los em classes com amplitude 10, por exemplo).

Para calcular o valor de N , seleccione a coluna D e clique na Barra de Ferramentas nocomando ∑ .

Moda

Mediana

Média

D E F G

fi Fi fri (%) Fri (%)

7 7 23 23

13 20 43 67

… … … …

N 30

B C D

Classes xi fi

[0, 10[ 5 7

[ 10, 20[ 15 13

… … …




Para os valores de Fi , na coluna E, escreva o primeiro valor da coluna D; na segunda célula dacoluna E, escreva =D3+E2 . Em seguida, na barra de menus, clique em EDIT, seleccione FILLe por fim DOWN.

Para os valores de fri , na coluna F, escreva na primeira célula =D2/30 e copie para baixo,como foi indicado anteriormente.

Para os valores de Fri , na coluna G, copie o primeiro valor da coluna F e na célula abaixoescreva =G2+F3; copie para baixo repetindo os mesmos passos anteriores.

Para as frequências relativas aparecerem em percentagem, basta seleccionar a colunarespectiva e na Barra de Ferramentas clicar no comando %.

7.Desenhe o histograma.

Seleccione a coluna das classes.Pressionando a tecla CTRL, seleccione com o rato a coluna referente à frequência absoluta.

Na Barra de Ferramentas clique no e em seguida em COLUMN;

�Serie NextSerie 2 Remove Next…

TITLE: escreva «Trajecto Escola-Casa»CATEGORY (X) AXIS: escreva «Tempo, em minutos».VALUE (Y) AXIS: escreva «fi »; Next; Finish.

Clique com o botão direito do rato sobre as barras do gráfico.No menu que aparece, seleccione FORMAT DATA SERIES e em OPTIONS ponha a zeros oOVERLAP e o GAPWIDTH.

8.Desenhe o polígono de frequências.Repita os mesmos passos para desenhar o histograma, mas no CHART WIZARD, no passo 1,siga a sequência STANDARD TYPES: CHART TYPE: LINE.

ESTATÍSTICA56

«Mais importante do que saber calcular uma média ou desvio padrão é per-

ceber o seu significado.»

Estatística e calculadoras gráficas, APM (1999)

OBJECTIVOS

Pretende-se com esta actividade concluir algumas relações entre as medidas de tendência cen-tral e as medidas de dispersão, assim como as respectivas representações gráficas.

MATERIAIS

Calculadora gráfica.


Comparação de medidas de tendência central e de dispersão

1. Posição relativa da moda, mediana e média de uma distribuição

Compare as medidas de tendência central (moda, mediana e média) em cada uma dasseguintes distribuições.



2. Comparação entre a média e o desvio padrão

2.1. Considere as duas distribuições A e B , que têm a mesma média, a mesma mediana eos mesmos extremos.

Os seus diagramas de extremos e quartis são os seguintes.

Qual das distribuições tem maior desvio padrão? Justifique a resposta.

2.2. Considere as quatro distribuições seguintes, que correspondem aos golos marcadospor quatro equipas de futebol.

Dos seguintes pares (média, desvio padrão), qual é o que corresponde a cada equipa?Justifique a resposta.


1 2 3 4

x� = 2 e � = 1,94 x� = 2,64 e � = 1,23 x� = 1,36 e � = 1,39 x� = 3,57 e � = 1,40

ESTATÍSTICA58

1. Considere os seguintes dados:

1.1. Construa uma tabela do tipo separador de frequências.

1.2. Construa uma tabela de frequências com os dados agrupados em classes.

1.3. Calcule as medidas de tendência central.

1.4. Calcule o desvio padrão.

1.5. Construa o polígono de frequências relativas acumuladas.

1.6. Determine os quartis e desenhe o respectivo diagrama de extremos e quartis.

1.7. Faça uma análise do diagrama de extremos e quartis, referindo a concentração ou dispersão dos dados.

Resolução

1.

1.1.

1.2. Sendo 32 o total dos dados e atendendo à fórmula de Velleman (pág. 27), o número de classes é seis, pois:

�3�2� = 5,6 � 6

As classes devem ter de amplitude 8, pois 55 – 10 = 45 e 45 : 6 = 7,5 .

Como 8 é par, facilita os cálculos do valor médio.


10 26 53 33 24 31 42 1421 10 46 11 23 35 43 5133 22 46 25 15 32 14 5033 22 18 55 12 17 45 51

ClassesMarca

da classe

[10, 18[ 14

[18, 26[ 22

[26, 34[ 30

[34, 42[ 38

[42, 50[ 46

[50, 58[ 54

1 0 0 1 2 4 4 5 7 8

2 1 2 2 3 4 5 6

3 1 2 3 3 3 5

4 2 3 5 6 6

5 0 1 1 3 5

WWWWWW



A marca da classe é a média dos extremos da classe:

�10 +

218

� = 14 ; �18 +

226

� = 22;…

Para determinar a frequência de cada classe, podemos recorrer ao separador de frequências:

• de 10 a 18 (exclusive) são todos os valores da primeira linha, excepto o último;

• de 18 a 26 (exclusive) são todos os valores da segunda linha, excepto o último, e incluindo o último da primeiralinha, e assim sucessivamente.

1.3. A classe modal é o intervalo [10, 18[ , porque é o intervalo que tem maior frequência.

A classe mediana é o intervalo [26, 34[ , porque é o intervalo que contém os 16.o e 17.o valores da variável.

A média é dada por:

x� = = 30,75

1.4. Para calcular o desvio padrão, utilizamos a calculadora gráfica.

Logo, � � 14,47 .

14 × 8 + 22 × 7 + 30 × 6 + 38 × 1 + 46 × 5 + 54 × 5��

32

ClassesMarca

da classefi Fi fri Fri

[10, 18[ 14 8 8 0,25 0,25

[18, 26[ 22 7 15 0,22 0,47

[26, 34[ 30 6 21 0,18 0,65

[34, 42[ 38 1 22 0,03 0,68

[42, 50[ 46 5 27 0,16 0,84

[50, 58[ 54 5 32 0,16 1,00


ESTATÍSTICA60

1.5. Para construir o polígono de frequências acumuladas, devemos construir inicialmente o histogramarespectivo e, em seguida, unir os cantos superiores direitos de cada barra.

1.6.

1.7. Analisando o diagrama de extremos e quartis, podemos concluir que existe maior concentração entre o mínimo e o 1.o quartil, tendo pelo menos 25% dos valores entre 10 e aproximadamente 18.A maior dispersão verifica-se entre os 2.o e 3.o quartis, ou seja, aproximadamente entre os valores 27 e 46.





1. Considere o gráfico ao lado.

A média aritmética desta distribuição é:

A. 2,3 C. 4,3

B. 3,2 D. 3,4

2. Considere a distribuição representada pelo gráfico.

A moda desta distribuição é:

A. 15 C. 5

B. 6 D. 3

3. Considere a seguinte distribuição.

A mediana é:

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

4. O valor real de k , de modo que a média dos valores 4 ; 5 ; 8 ; k ; 2 ; 13 seja 7 é:

A. k = 5 B. k = 10 C. k = 15 D. k = 20

5. Sabendo que uma certa distribuição tem o gráfico que se segue, indique quais os valores possíveis da moda, damediana e da média.

A. Mo = 2 ; �x = 3 ; x� � 3,5

B. Mo = 2 ; �x = 4 ; x� � 3

C. Mo = 4 ; �x = 2 ; x� � 3

D. Mo = 3 ; �x = 2 ; x� � 4


xi 1 2 3 4 5

fi 10 5 1 3 5

ESTATÍSTICA62

6. Foi realizado um inquérito a todos os trabalhadores de uma fábricaquanto ao seu nível de escolaridade e obtiveram -se os dados queconstam na tabela ao lado.

6.1. O estudo efectuado refere-se a uma sondagem ou a um recensea-mento?

6.2. Indique qual a variável em estudo e classifique-a.

6.3. Represente graficamente esta distribuição.

7. Num bairro habitacional de Lisboa, onde se tem verificado um crescente descontentamento por parte doshabitantes nas suas relações de vizinhança, foi realizado um inquérito a uma amostra de 120 moradores. Uma dasquestões colocadas pretendia que os indivíduos apontassem qual era, na sua opinião, a principal origem dosconflitos. As razões apontadas foram:

A – Grandes diferenças educacionais.

B – No bairro vive muita gente.

C – Pouca disponibilidade para estabelecer relações com os vizinhos.

D – Outras respostas.

Os dados recolhidos foram apresentados no gráfico circular ao lado.

7.1. Indique a variável em estudo e classifique-a.

7.2. Que outro tipo de representação poderia ser usada para esta distribuição?

7.3. Construa a tabela de frequências desta distribuição.

8. Foi realizado um inquérito a várias agências de viagem e obtiveram-se os seguintes resultados, provenientes de 20 000 respostas.

De onde vêm os turistas

A Alemanha e o Reino Unido são os principais mercados exteriores a

procurar o turismo em espaço rural no nosso país. Ainda assim, os

turistas portugueses representam mais de metade do total da procura.

8.1. Classifique a variável estatística.

8.2. Construa uma tabela de frequências absolutas.

8.3. Utilizando outro tipo de gráfico, represente graficamente esta distribuição.

HolandaHo

FrançaFraFra

Espanha

Ho

Es

Outros

Es

O

Reino Unido

Fra

ReRe

Alemanha

Re

AlAl

Portugal

Al

PoPo

52%

16%

6%5%4%4%

13%

HabilitaçõesNúmero

de respostas

1.o Ciclo 99

2.o Ciclo 80

3.o Ciclo 40

Secundário 55

Curso médio 11

Curso superior 15

Total 300

in Focus, n.o 359, 2006 (adaptado)


Qual a principal origemdos conflitos


9. Numa sondagem acerca da tendência de voto para a Associação deEstudantes de uma escola, inquiriram-se 100 alunos, sendo solicitadoque indicassem em qual das listas pensavam votar.Com base nas respostas apuradas construiu-se o quadro ao lado.

9.1. Classifique a variável. Justifique a resposta.


9.3. Represente graficamente a distribuição.

10. Fez-se um inquérito acerca do número de telemóveis existentes em cada agregado familiar de uma determinadacidade do litoral.

Obteve-se a tabela que se segue.

10.1. Determine as frequências absolutas acumuladas.

10.2. Quantos agregados familiares possuem menos de três telemóveis?

11. Num concerto musical esteve presente um conjunto de pessoas com a seguinte distribuição de idades:

11.1. Construa a tabela de frequências desta distribuição.

11.2. Quantas pessoas com menos de 49 anos assistiram ao concerto?

11.3. Calcule a idade média.

11.4. Construa o histograma e o polígono de frequências relativas acumuladas.

11.5. Indique a classe modal e a classe mediana.

Número de telemóveis

Frequênciaabsoluta

0 18

1 21

2 28

3 35

4 38

Idade [14, 21[ [21, 28[ [28, 35[ [35, 42[ [42, 49[ [49, 56[ [56, 63[ [63, 70[

Número de pessoas

10 8 6 3 3 7 10 3

ListasNúmero

de respostas

A 15

B 55

C 15

Não decidiu 10

Decidiu não votar 5


WWWWWW

ESTATÍSTICA64


Face 1 2 3 4 5 6

Número de vezes 3 4 6 7 10 10

12. Lançou-se um dado um certo número de vezes. Registou-se numa tabela o número de vezes que saiu cada umadas faces.

12.1. Indique o número de vezes que se lançou o dado.

12.2. Elabore uma tabela de frequências absolutas e de frequências relativas simples e acumuladas.

12.3. Quantas vezes saiu uma face com um número inferior a 3?

12.4. Quantas vezes saiu uma face com um número de pintas entre 2 e 5, exclusive?

13. Prova-se que ao considerar uma distribuição de média, –x , se adicionarmos uma constante k a todos os valoresobservados, a média desta nova distribuição, –x F , é tal que: –x F = –x + k .

Para financiar uma viagem, o João, o Rui e o Henrique depositaram numa conta comum as suas poupanças, res-pectivamente de 720, 800 e 910 euros.

13.1. Qual a quantia média dos depósitos?

13.2. O pai do Rui decidiu ajudar e deu a cada um deles 250 euros. Nesta nova situação, qual será a quantia médiadepositada?

13.3. Para que a quantia média fosse de 1100 euros, quanto deveria ter sido a oferta do pai do Rui a cada um dos jovens?

14. A baga de sabugueiro há muito que é reconhecida como sendo eficaz na prevenção e combate aos vírus queafectam as vias respiratórias.

A Declaração de Helsínquia (uma organização mundial que regulamenta as pesquisas envolvendo seres humanos)

autorizou uma cientista a experimentar um suplemento terapêutico durante uma epidemia de gripe pela estirpe

B/Panamá.

A um grupo de 30 doentes foi administrado o suplemento terapêutico e a outros 30 doentes um placebo.

Obtiveram-se os resultados que se seguem:

in Focus, n.o 47, 2000 (adaptado)

Placebo Suplementoterapêutico

Gru

po d

e es

tudo

(%)

Dias após início do tratamento

Cura completa

Nos doentes tratados com o suplemento terapêutico, a cura foi completa em 86,7% dos casos ao fim do segundo dia.

WWWWWW


14.1. Construa a tabela de frequências absolutas e relativas (simples e acumuladas) para cada um dos fármacos.

14.2. Calcule a média, a moda e a mediana de cada uma das distribuições.

14.3. Determine os quartis e desenhe o respectivo diagrama de extremos e quartis de cada uma das distribuições.

14.4. Quantos doentes ficaram curados no primeiro dia com o suplemento terapêutico? E quantos ficaram curadosdepois do 3.o dia com o placebo?

15. Para investigar o período de latência de um vírus, inocularam-se 100 cobaias e anotou-se o número de dias quedecorreram até aparecerem os primeiros sintomas.Os resultados foram os seguintes:

15.1. Determine o período médio de latência.

15.2. Localize a mediana da distribuição.

15.3. Localize o 1.o quartil e o 3.o quartil.

15.4. Indique a percentagem de cobaias que apresentaram sintomas antes de 8 dias de latência.

15.5. Calcule o número de cobaias que apresentaram sintomas depois de 12 dias de latência.

16. Para avaliar o fenómeno do absentismo na empresa Lisarte, estudou-se uma amostra de 143 indivíduos de ambosos sexos e avaliou-se o número de horas de ausência.

16.1. Classifique a variável em estudo.


16.3. Calcule um valor aproximado para o 3.o quartil e interprete o resultado.

16.4. Calcule a variância e o desvio padrão, indicando qual destas medidas é a mais utilizada e porquê.


Númerode dias

[4, 6[ [6, 8[ [8, 10[ [10, 12[ [12, 14[

Númerode cobaias

8 12 25 20 35

Número de horas em falta


[0, 15[ 30

[15, 30[ 90

[30, 45[ 11

[45, 60[ 12

ESTATÍSTICA66

REFERÊNCIA ÀS DISTRIBUIÇÕES

BIDIMENSIONAIS

Depois de terem sido estudadas as variáveis estatísticas isoladamente – distribui-

ções unidimensionais – vamos agora estudar duas variáveis em conjunto e verificar

se existe ou não alguma relação entre elas – distribuições bidimensionais.

Por exemplo, será que existe alguma relação entre:

• a taxa de desemprego e o produto nacional bruto (PNB) de um país?

• a temperatura de um lugar e a altitude a que este se situa?

• a idade de uma mulher e a sua tensão arterial?

DIAGRAMA DE DISPERSÃO

Num estudo efectuado no âmbito da

disciplina de Português, pretendeu

determinar-se a relação entre o número

de anos de estudo completos (x) e o

número de erros de ortografia ( y)

cometidos num ditado.

Para tal, foram escolhidos aleatoria-

mente 10 alunos de graus de escolari-

dade diferentes e elaborou-se a seguinte

tabela:

x 10 3 12 11 6 8 14 17 10 2

y 1 7 2 3 5 4 1 2 3 10

NOTAPode estudar-se a relação entretrês ou mais variáveis. Trata-sede correlação múltipla.

REFERÊNCIA ÀS DISTRIBUIÇÕES BIDIMENSIONAIS 67

Vamos representar os pares (x, y) num sistema de eixos coordenados.

À representação das variáveis x e y num referencial cartesiano chamamos dia-

grama de dispersão ou nuvem de pontos. Este diagrama permite-nos visualizar se

existe, ou não, relação entre as variáveis e identificar qual a condição mais apropriada

para descrever esta relação ou correlação.

Se todos os pontos do diagrama se localizarem na proximidade de uma recta, a

correlação denomina-se linear.

Se y aumentar quando x aumenta, então a correlação é positiva; se y diminuir

quando x aumenta, a correlação é negativa.

Neste exemplo, como o número de erros diminui à medida que o número de anos

de escolaridade aumenta, trata-se de uma correlação linear negativa.

Pode ainda acontecer que a linha que melhor se ajusta ao conjunto de pontos seja

uma linha curva. Então, a correlação denomina-se não linear.

As correlações não lineares podem ser quadráticas, cúbicas exponenciais, logarít-

micas, potenciais, etc.

EXERCÍCIO 1Desenhe o diagrama de disper-são de cada uma das seguintesdistribuições:

1.1.

1.2.

1.3.

x 3 4 5 2 1

y 7 8 11 6 1

x 1 5 2 3 4

y 6 3 5 3 3

x 10 20 15 5 12 10

y 3 4 1 2 6 11

Correlações lineares

Negativa

Correlação não linear

Positiva

ESTATÍSTICA68

Que tipo de relação poderá existir entre os seguintes pares de variáveis?

A – Venda de combustível e venda de automóveis.

B – Venda de discos e venda de livros.

C – Idade de um indivíduo e número de horas de sono.

Resolução

A – É provável que aumentando o número de vendas de automóveis aumente a venda de combustível;logo pode existir uma correlação linear positiva.

B – Não parece haver nenhuma relação entre a venda de discos e a venda de livros, logo, não hácorrelação linear entre as variáveis.

C – À medida que o indivíduo se aproxima da meia idade, o número de horas de sono tem tendên-cia a diminuir. O número de horas de sono de um bebé é superior ao número de horas de sonode um adulto; logo, a correlação será negativa.

Exemplo 1

A seguinte tabela indica a idade de 12 mulheres e as respectivas tensões arteriais (sistólicas):

2.1. Represente as variáveis x e y num diagrama de dispersão.

2.2. Que tipo de relação existe entre as duas variáveis?

Resolução

2.1.

2.2. Existe uma correlação linear positiva. À medida que a idade aumenta, também aumenta a tensãoarterial.

Exemplo 2

x 56 42 72 36 63 47 55 49 38 42 68 60

y 147 125 160 118 149 128 150 145 115 140 152 155

EXERCÍCIO 2Classifique quanto à correla-ção cada uma das distribuiçõesdo Exercício 1 (página anterior).

EXERCÍCIO 3Classifique o tipo de correla-ção que pode existir em cadaum dos seguintes casos:

3.1. Potência do motor de umautomóvel e o seu preço.

3.2. Temperatura do ar e a velo-cidade de propagação do som.

3.3. Rendimento do agregadofamiliar «per capita » e o possívelvalor de uma bolsa, atribuídapelo Estado, a um dos membrosdeste agregado familiar.


COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR E SUA VARIAÇÃO

NO INTERVALO [–1, 1]

Para medir o grau de associação linear entre duas variáveis, utiliza-se o coeficiente

de correlação linear ou coeficiente de correlação de Pearson.

A determinação analítica deste coeficiente está fora do âmbito do Programa do

10.o ano.

Este valor, que se representa por r , varia entre –1 e 1 . O seu cálculo é feito recor-

rendo à calculadora gráfica.

Quando a correlação é perfeita e negativa, o coeficiente toma o valor –1 ; se a corre-

lação é perfeita e positiva, o coeficiente toma o valor 1.

A valores próximos de zero, corresponde uma correlação fraca.

Utilizando uma escala, temos:

–1 forte fraca

Correlaçãoperfeita

Correlaçãoperfeita

0 fraca forte 1

Correlação perfeita negativa

Correlação forte negativa

Correlação perfeita positiva

Correlação forte positiva

NOTAAntes de determinar o coefi-ciente de correlação, verifiquese a opção está activa na cal-culadora.

CATALOG

Diagnostic On

2nd 0

ENTER

ENTER

EXERCÍCIO 4Associe a cada diagrama dedispersão o respectivo coefi-ciente:

A.

B.

C.

I r = – 0,2

II r = 0,95

III r = – 0,8

Exercícios propostosExercícios 1, 3 e 4.Página 80.

Caderno de ExercíciosExercícios 1 e 4.Página 58.

ESTATÍSTICA70

CENTRO DE GRAVIDADE DE UM CONJUNTO FINITO DE PONTOS

E SUA INTERPRETAÇÃO FÍSICA

Chamamos centro de gravidade de uma nuvem de pontos ao ponto de coordenadas

(x�, y�) , em que x� e y� correspondem às médias aritméticas dos valores das variáveis xe y , respectivamente. Consideremos, de novo, o estudo efectuado sobre o número de

erros ortográficos num ditado de Português (pág. 66).

Calculemos as médias x� e y� :

x� = = 9,3

y� = = 3,8

Vamos assinalar no diagrama de dispersão o ponto

de coordenadas (9,3; 3,8) , que corresponde ao cen-

tro de gravidade da nuvem.

Se considerarmos duas rectas paralelas aos eixos

coordenados que passam por x� e y� , a nuvem fica

dividida em quatro partes, a que chamamos quadran-

tes. A distribuição dos pontos pelos quadrantes per-

mite visualizar se existe correlação linear positiva ou

negativa.

Neste caso, os pontos distribuem-se pelos 2.o e 4.o

quadrantes, logo a correlação linear é negativa.

Pode ainda acontecer que os pontos se distribuam

principalmente nos 1.o e 3.o quadrantes. Então, a cor-

relação linear é positiva.

Ou, então, que os pontos se distribuam uniforme-

mente pelos quatro quadrantes.

Neste caso, não existe correlação.

Considera-se o centro de gravidade como o repre-

sentante da nuvem de pontos, podendo ainda imagi-

nar-se que toda a nuvem se encontra apoiada e em

equilíbrio sobre esse ponto.

10 + 3 + 12 + 11 + 6 + 8 + 14 + 17 + 10 + 2��

10

1 + 7 + 2 + 3 + 5 + 4 + 1 + 2 + 3 + 10��

10

Introduzir os dados na calculadora:

Determinar as coordenadas do centro de gravidade:

Diagrama de dispersão:


→

→



IDEIA INTUITIVA DE RECTA DE REGRESSÃO.

SUA INTERPRETAÇÃO E LIMITAÇÕES

Existindo uma correlação linear entre duas variáveis, como podemos chegar à recta

que melhor se ajusta à nuvem de pontos?

Existem vários métodos para obter essa recta.

O método mais simples consiste em desenhar uma recta com a ajuda de uma régua,

realizando o melhor ajuste possível do seguinte modo:

1. desenhar o diagrama de dispersão;

2. marcar o centro de gravidade ( x�, y�) ;

3. desenhar a recta que passa por ( x�, y�) de modo que os pontos se distribuam

igualmente ao longo da recta, abaixo e acima.

Este método é muito subjectivo, havendo por isso vários ajustamentos possíveis.

No entanto, será o processo utilizado neste livro.

Considere a seguinte tabela, onde estão registadas as altitudes de algumas estações

meteorológicas e as respectivas temperaturas médias anuais.

O diagrama de dispersão desta distribuição é o seguinte:


Altitude (m) Temperatura (°C)

720 11,6

90 14

140 15,7

54 16,6

77 16,6

270 16,2

36 17,7

35 17,4

15 18,4

1380 8,9

408 15,3

310 15,6

443 13

ESTATÍSTICA72

Depois de determinarmos as coordenadas do centro de gravidade C(306; 15,15) ,

representamo-lo no diagrama.

Com o auxílio de uma régua, traçamos uma recta que passe pelo centro de gravida-

de, de tal modo que os pares ordenados se distribuam de forma uniforme ao longo da

recta, acima e abaixo.

A recta que acabámos de desenhar chama-se recta de regressão.

O coeficiente de regressão (declive da recta) tem apenas o mesmo sinal do coefi-

ciente de correlação (no ecrã ao lado: r � – 0,91)

Outro método, este mais objectivo, consiste em determinar a recta que melhor se

aproxime dos valores observados, de tal modo que seja mínima a soma dos quadra-

dos das distâncias entre os valores observados e os correspondentes na recta.

A vantagem de se conhecer a recta de regressão é a possibilidade de prever o compor-

tamento da variável dependente y , conhecendo o valor da variável independente x .

A equação da recta de regressão pode ser afectada por pontos atípicos, pelo que é

melhor ignorá-los. Se a dimensão da amostra for suficientemente grande, a exclusão

destes valores não é significativa. Por exemplo, a recta B. traduz mais correctamente

a relação entre as seguintes variáveis.

Efeito de dois valores atípicos

Após introduzir os valores na calculadora e seguindo

os passos descritos na página 70:

Recta de regressão

→


EXERCÍCIO 5Considere a seguinte distribui-ção:

5.1. Represente a nuvem depontos.

5.2. Determine o centro degravidade da distribuição.

5.3. Utilizando a calculadora,obtenha a equação da recta deregressão.

5.4. Estime um valor para x = 800 .

x y

0 760

100 674

200 600

500 443

1000 268

1100 201

1500 112

A.

B.Exercícios propostosExercícios 5 a 10.Páginas 81 a 83.

Caderno de ExercíciosExercícios 2, 3, 5 e 6.

Página 58.


RESUMINDO

Diagrama de dispersão e recta de regressão

Coeficiente de correlação de Pearson

Coeficiente, r , que mede o grau de correlação linear entre duas variáveis.

–1 � r � 1

Centro de gravidade

Centro da nuvem de pontos, ( x�, y�) , em que x� e y� são respectivamente as médias aritméticas das

variáveis x e y .

Correlação perfeita negativa Correlação forte negativa

Correlação perfeita positiva

Não existe correlação

Correlação forte positiva

ESTATÍSTICA74

Por volta de 1880, três famosos matemáticos – Karl Pearson, Francis Galton e Francis Edgeworth – foram os prota-gonistas de uma «revolução estatística na Europa».

Destes, Karl Pearson, graças à sua determinação e capacidade de trabalho, é considerado um dos criadores da esta-tística aplicada.

Apesar de ter estudado Direito e exercido advocacia durante alguns anos, Pearson interessou-se pelos métodosestatísticos ao explorar os problemas biológicos da hereditariedade e da evolução.

Entre 1893 e 1912, escreveu artigos que no seu conjunto integraram a obra Mathematical Contribution to the Theoryof Evolution. Nestes artigos, as suas contribuições quanto à análise da regressão e ao coeficiente de correlação sãoimensas. Foi também co-fundador do jornal estatístico Biometrika, cuja publicação tanto ajudou o desenvolvimentoda estatística.

Pearson criou o «método dos momentos» e o sistema de «curvas de frequências», ainda hoje utilizados para a descri-ção matemática dos fenómenos naturais. Segundo este autor, deve renunciar-se à ideia de estudar casos isoladossem primeiro começar por um estudo em massa, estabelecendo-se, depois, classes mais limitadas.

A abordagem de Pearson ao problema da hereditariedade permitiu construir o método esta-tístico.

Também a biologia e a biometria (ramo da ciência que estuda, com métodos exactos, osaspectos quantitativos dos fenómenos vitais) devem a Pearson contribuições fundamentais.

Pearson foi membro da Royal Society e recebeu várias homenagens, tendo visto o seu traba-lho reconhecido ainda em vida.

Não podemos, também, deixar de salientar a enorme e fundamental contribuição de SirRonald Aylmer Fisher no desenvolvimento da estatística no século XX.

Nasceu em Londres, em 1890, e iniciou a sua carreira como professor de Matemática em 1919,na Rothamsted Agricultural Experiment Station, onde investigou a distribuição estatística eo coeficiente de correlação, tendo vindo a desenvolver a metodologia da biometria moderna.

Em 1922 deu uma nova definição à estatística, na qual era especificada a natureza da popu-lação, estimativa e distribuição.

Combinando a genética com a matemática, Fisher demonstrou a realidade dos efeitos deselecção natural e para os avaliar desenvolveu métodos estatísticos apropriados.

Tal como Pearson, também o seu trabalho foi amplamente reconhecido, tendo sido membroda Royal Society e recebido várias medalhas de mérito ao longo da sua vida. Faleceu emAdelaide, Austrália, em 1962.


Karl Pearson[1857–1936]

Fervoroso cultivador daverdade, em todos osseus trabalhos acompa-nha a exposição teóricacom a aplicação prática,como se temesse afas-tar-se demasiado domundo sensível, perden-do o apoio da realidade.

in Sérgio Macias Marques,Galeria de Matemáticos,

jornal «MatemáticaElementar», ed. de autor

www.matematicaB.TE.ptLinks : Dicionário estatístico • Correlação e regressão


«O efeito positivo ou negativo das tecnologias é uma questão em aberto,

dependendo muito da acção consciente que venha a ser feita pelos seus uti-

lizadores.»

Seymourt Papert (matemático norte-americano)

OBJECTIVOS

Pretende-se com esta actividade definir a recta de regressão e identificar os tipos de correlação.

MATERIAIS

Folha de cálculo ou calculadora gráfica.


Altura e número de calçado

Relativamente à turma, realize um estudo estatístico que permita responder à questão:

Existirá alguma relação entre a altura de uma pessoa e o número de calçado utilizado?

1. Recolha os dados relativos à turma.

2. Introduza os dados no computador.

3. Calcule as coordenadas do centro de gravidade.

4. Desenhe o diagrama de dispersão.

5. Desenhe a recta de regressão.

6. Preveja a altura de uma pessoa quando o número de calçado for …

7. Preveja o número de calçado de uma pessoa quando a altura for …


WWWWWW

ESTATÍSTICA76

Instruções para a folha de cálculo*

1. Abra uma folha.

2. Introduza os dados referentes à altura na coluna A e os dados referentes ao número decalçado na coluna B.

3. Para determinar as coordenadas do centro de gravidade:– seleccione a coluna da Altura;– clique na barra de ferramentas no comando ∑ (soma dos valores da coluna);– repita os mesmos passos para a coluna B;– calcule a média de x e de y escrevendo numa célula, por exemplo: =A20/15 (A20

é a célula do somatório da coluna A e 15 o valor de N ). Repita os passos anteriores para a coluna B, mas escrevendo =B20/15.

4. Para desenhar o gráfico de dispersão:– seleccione a coluna A e a coluna B;– na barra de ferramentas clique no comando CHART WIZARD e seleccione:

Step 1 – STANDARD TYPES: CHART TYPE: XY (SCATTER)Step 3 – Escreva o título e as variáveis representadas pelos eixos.

5. Para desenhar a recta de regressão:– clique sobre os pontos do gráfico com o botão direito do rato;– no menu que aparece escolha as opções: ADD TRENDLINE: TYPE: LINEAR;– no mesmo menu, em OPTIONS seleccione:

(3) DISPLAY EQUATION ON CHART e (3) DISPLAY R-SQUARED VALUE.

6. Para determinar o valor do coeficiente de correlação:– seleccione na barra de ferramentas o comando fx ;– no menu que aparece escolha:

FUNCTION CATEGORY: MATH&TRIGFUNCTION NAME: SQRT;

– seleccione as colunas A e B.

7. Construa a tabela para as previsões.Exemplo:

Na coluna referente ao número de calçado escreva a equação da recta de regressão adoptada:

=0,1798* D3+6,8915 (por exemplo).

Preencha para baixo. Atribuindo valores na coluna D aparecem os respectivos valores nacoluna E.


D E

1 Previsões

2 AlturaNúmero

de calçado

3 100 24,8715

4 168 37,0979

5 164 36,3787



«O poder matemático refere-se à capacidade de um indivíduo para explorar,

conjecturar e raciocinar.»

in Addenda Series, National Council of Teachers of Mathematics.

Tradução portuguesa, APM, 1993

OBJECTIVOS

Pretende-se com esta actividade aplicar os conhecimentos de estatística a um problema defísica.

MATERIAIS

Mola, objectos de pesos diferentes, régua, folha de cálculo ou calculadora gráfica.


Alongamento de uma mola

1. Pendure os vários objectos na mola e registe, no seu caderno, os respectivos alongamentosnuma tabela como a que se segue.

2. Introduza os dados na calculadora gráfica.

3. Calcule o peso médio e o alongamento médio.

4. Desenhe o diagrama de dispersão.

5. Estude que tipo de correlação linear existe entre as variáveis.

6. Desenhe a recta de regressão e escreva a equação que a define.


Peso (g)

Alongamento (cm)

ESTATÍSTICA78

1. Num inquérito a um grupo de trabalhadores de uma mina, sobre o número de anos de trabalho na mina (x )e o número de dias de doença no último ano ( y ) , obtiveram-se os seguintes resultados:

1.1. Apresente o diagrama de dispersão correspondente à distribuição e conclua se existe alguma correlação.

1.2. Determine o centro de gravidade.

1.3. Obtenha a equação da recta de regressão, recorrendo à calculadora gráfica.

1.4. Estime o número de dias de doença, no último ano, para um trabalhador com 25 anos de trabalho.

Resolução

1.

1.1. Comecemos por introduzir na calculadora os valores das duas variáveis.

� EDIT

Para obtermos o diagrama de dispersão na calculadora gráfica devemos seguir os seguintes passos:

9: ZoomStat

1: Plot

Observando o diagrama, verificamos que existe uma correlação linear positiva entre as variáveis.

STAT ENTER

ENTER

ZOOM

2nd Y =

Número de anosde trabalho (x )

14 9,5 15,5 12,5 18,5 5 15 20 8

Número de diasde doença ( y )

11,5 10 12 10 15 0 11 15 10

WWWWWW




1.2. Para calcular as coordenadas do centro de gravidade, temos de determinar o número médio de anos detrabalho e o número médio de dias de doença no último ano.

� CALC � 2: 2–Var Stats

2: 2 – Var Stats L1, L2

x� = 13,111

……

n = 9

y� = 10,5

As coordenadas do centro de gravidade são (13,1; 10,5) .

1.3. Para obter a equação da recta de regressão retomamos o Menu CALC, mas agora na opção 4: LinReg (ax + b).

A recta de regressão é dada por y = 0,78 x + 0,22 .

1.4. Devemos recorrer à opção TABLE do seguinte modo:

(TABLE SETUP)

Indpnt: Auto Ask

Um trabalhador com 25 anos de actividade deverá ter estado doente no último ano durante aproximada-mente 20 dias.

STAT ENTER

ENTER

ENTER

2nd

2nd

GRAPH

WINDOW

→

→

2nd Y =

VARS

GRAPH

ESTATÍSTICA80


1. O diagrama de dispersão tem como objectivo principal:

A. determinar o coeficiente de correlação.

B. determinar a equação exacta da recta de regressão.

C. ajudar a determinar o tipo de correlação existente entre as variáveis.

D. apenas a representação gráfica da distribuição.

2. A recta de regressão permite-nos:

A. concluir que não existe correlação entre as variáveis.

B. concluir que a correlação não é linear.

C. prever um valor para a variável dependente, conhecendo o valor da variável independente.

D. determinar o centro de gravidade da distribuição.

3. Os diagramas de dispersão A, B e C representam distribuições bidimensionais.

Das afirmações seguintes,

III. No diagrama A a correlação entre as variáveis é forte.

III. No diagrama B a correlação entre as variáveis é positiva.

III. No diagrama C não existe correlação entre as variáveis.

são verdadeiras:

A. I. e II. B. II. e III. C. I. e III. D. I., II. e III.

4. O coeficiente de correlação da distribuição bidimensional, representada ao lado, pode tomar o valor:

A. r = 0,8 B. r = – 0,7 C. r = 0,3 D. r = – 0,3


A B C


5. Considere os resultados dos alunos de uma escola secundária obtidos nos trabalhos de laboratório e em fichasteóricas na disciplina de Biologia.Obtiveram-se os seguintes resultados:

5.1. Construa o diagrama de dispersão.

5.2. Verifique se existe ou não correlação linear entre as variáveis.

5.3. Recorrendo à calculadora gráfica, determine a equação da recta de regressão desta distribuição.

5.4. Para um aluno que tenha classificação de 16 num trabalho de laboratório, que classificação será esperada naficha teórica?

6. Um tema actualmente muito discutido no campo da moderna Biologia diz respeito à previsão dos efeitos

mutagénicos das radiações atómicas sobre o Homem e os seres vivos em geral.

A este respeito, há indicações nítidas de que o efeito mutagénico cresce linearmente com a dose de radiação

recebida, quando esta se encontra acima de determinados níveis.

in M. A. Piteira Segurado, Biomatemática

O gráfico seguinte refere-se à relação entre as doses de radiação e o número de mutações genéticas.

6.1. Podemos afirmar que existe uma forte correlação linear entre as variáveis? Porquê?

6.2. Escreva a equação da recta de regressão representada no gráfico.

6.3. Supondo que um indivíduo esteve sujeito a uma dose de radiação de 55 unidades, qual será o número demutações genéticas a que poderá estar sujeito?


25

50

75

402050 60 80 100

y

xDose de radiação (unidades relativas)

Núm

ero

de m

utaç

ões

Laboratório (x ) 8 3 9 2 7 10 4 6 1 5

Teórica (y ) 9 5 10 1 8 7 3 4 2 6

ESTATÍSTICA82

7. Evolução da estatura e do peso de um lactente

O gráfico representa a relação entre a estatura e o peso de bebés de ambos os sexos.

Relativamente ao sexo feminino:

7.1. represente a nuvem de pontos e determine o centro de gravidade.

7.2. usando a calculadora, obtenha a equação da recta de regressão.

7.3. estime o peso de um bebé cuja estatura é 48 centímetros.

8. Composição nutritiva da carne

A tabela seguinte indica-nos as quantidades de proteínas e lípidos existentes em vários tipos de carne.

8.1. Apresente o diagrama de dispersão correspondente à distribuição.

8.2. Determine o centro de gravidade e determine se existe alguma correlação linear positiva ou negativa.

8.3. Obtenha a equação da recta de regressão, recorrendo à calculadora gráfica.

8.4. Que percentagem de lípidos terá um determinado tipo de carne, sabendo que tem 19% de proteínas?


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 MesesNascença

3,4 3,34,4 4,7 5,1 5,4 5,8

6,7 6,4 6,8 7 7,2 7,4 7,8 7,7 8,2 8 8,5 8,2 8,8 8,5 9 8,8 9,4 9,1 9,7

50 50 52 56 56 59 59 62 61 64 63 66 65 68 66 70 68 71 70 72 72 74 73 75 74 76

Rapariga

Rapaz

Peso

Esta

tura

Proteínas (%) Lípidos (%)

15,5 35

16 34

15 31

15 29,5

18 14,5

17 21

Evolução da estatura e do peso


9. Reciclar comportamentos na estrada

A condução adoptada pelo automobilista é um dos factores responsáveis pela variação do consumo de combustí-

vel e, consequentemente, pela quantidade de gases poluentes produzidos pelo carro. Por exemplo, num trajecto

urbano e com um motor a gasolina, um condutor agressivo pode ver aumentado o gasto de combustível e de

emissões de dióxido de carbono em 82%, face a uma condução económica e segura.

Consumo médio (l/100 km)

in Proteste, n.o 272, Setembro 2006

Considere os valores médios de consumo de combustível automóvel na cidade e na auto-estrada apresentadosno esquema acima.

9.1. Apresente o diagrama de dispersão correspondente à distribuição.

9.2. Determine as coordenadas do centro de gravidade e determine se existe correlação linear positiva ounegativa.

9.3. Escreva a equação da recta de regressão, recorrendo à calculadora gráfica.

9.4. Se um automobilísta cujo veículo consome 8,5 l de combustível aos 100 km conduzir na auto-estrada, qualserá o consumo do mesmo veículo na cidade?

10. Observe a tabela ao lado.

10.1. Apresente o diagrama de dispersão correspondente àdistribuição.

10.2. Escreva as coordenadas do centro de gravidade.

10.3. Indique o valor do coeficiente de correlação. Podemosafirmar que existe uma forte correlação entre os valoresanunciados e os valores medidos?

10.4. Escreva a equação da recta de regressão.

10.5. Para a marca G não foi anunciado nenhum valor para otempo de resposta. Indique um valor possível, tendo emconta que as características se mantêm.


Tempo de resposta de um monitor (ms)

Marca e modelo Anunciado Medido

A 8 4,8

B 12 5

C 16 17,5

D 8 6,4

E 8 6,7

F 8 4,3

G n.i. 20,3

H 12 8

I 8 3,5

J 16 6,3

MOVIMENTOS PERIÓDICOS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS86

MOVIMENTOS PERIÓDICOS.


RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS QUE ENVOLVAM TRIÂNGULOS

Do ponto de vista etimológico, a palavra trigonometria significa «medida dos triân-

gulos», sendo «tri» três, «gonos» ângulo e «metron» medir.

Actualmente, a trigonometria estuda os triângulos, relacionando os comprimentos

dos lados com a amplitude dos ângulos.

Vamos rever as razões trigonométricas já abordadas no 9.º ano, pois estas são impor-

tantes para o nosso estudo.

Fig. 1 Astrolábio náuticoSacramen to B (c. 1650), de fabrico português.

ActividadepráticaT1

Uma antena de rádio está fixa ao chão, como se pode observar na imagem. A antena está colocadaperpendicularmente em relação ao plano do chão e os cabos designados na figura por [AC ] e por[BD ] são paralelos. A distância do ponto O ao ponto A é de 7 metros, a distância de A a B é de 10 metros e a amplitude do ângulo OAC é de 55o.

1.1. Qual o comprimento do caborepresentado pelo segmento[AC ] ?

1.2. A que altura do chão está oreferido cabo preso à antena?

1.3. Determine a altura da antena.

Exemplo 1

MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 87

NOTAPara simplificar a escrita, porvezes usa-se «ângulo � » em vezde «ângulo de amplitude � ».

RECORDARCritérios de semelhança de triângulos

• Dois triângulos são semelhan-tes se e só se os comprimen-tos dos três lados de um dostriângulos forem proporcio-nais aos comprimentos dostrês lados do outro triângulo.

• Dois triângulos são semelhan-tes se e só se os comprimen-tos de dois lados de um dostriângulos forem proporcio-nais ao comprimento de doislados do outro triângulo e asamplitudes dos ângulos poreles formados forem iguais.

• Dois triângulos são semelhan-tes se e só se as amplitudes dedois ângulos de um dos triân-gulos forem iguais às amplitu-des de dois ângulos do outrotriângulo.

Actividadeprática T2

Resolução

Para determinar as medidas pedidas, vamos considerar o triângulo [AOC ] , rectângulo em O .

1.1. São dados do problema a medida do cateto adjacente ao ângulo de amplitude 55o. Assim,podemos recorrer às razões trigonométricas para resolver o nosso problema. Recordemos:

Em qualquer triângulo rectângulo, se designarmos por � a amplitude de um ângulo agudo, cha-mamos seno de � à razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa.

Em qualquer triângulo rectângulo, se designarmos por � a amplitude de um ângulo agudo,chamamos co-seno de � à razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a medidada hipotenusa.

Em qualquer triângulo rectângulo, se designarmos por � a amplitude de um ângulo agudo,chamamos tangente de � à razão entre a medida do cateto oposto e a medida do catetoadjacente a esse ângulo.

Pelo que no presente caso,

cos 55o = ⇔ A�C� = ⇔ A�C� � 12,2

O cabo mede, aproximadamente, 12,2 metros.

1.2. A altura pretendida pode ser calculada a partir da razão entre a medida do cateto oposto aoângulo OAC e a medida da hipotenusa.

7�cos 55o

O�A��A�C�

Assim, e em relação ao triângulo rectângulo [BOD ] , temos:

tg 55o = ⇔ O�D� = O�B� × tg 55o ⇔ O�D� = 17 × tg 55o ⇔ O�D� � 24,3O�D��O�B�

Em relação ao triângulo [AOC ] , temos:

sen 55o = ⇔ sen 55o = ⇔ O�C� = 12,2 × sen 55o ⇔ O�C� � 10

O cabo está preso a uma altura de aproximadamente 10 metros.

1.3. Como os triângulos [AOC ] e [BOD ] são semelhantes, pois as amplitudes de dois ângulos de umdos triângulos são iguais às amplitudes de dois ângulos do outro triângulo, podemos concluir que:

= ⇔ = ⇔—OD � 24,3

A antena mede, aproximadamente, 24,3 metros.

Também se pode calcular a altura da antena recorrendo à razão trigonométrica que relaciona amedida do cateto oposto a um ângulo com a medida do cateto adjacente.

10�O�D�

7�

17O�C��O�D�

O�A��O�B�

O�C��12,2

O�C��A�C�

sen � =

cos � =

tg � = B�C��A�B�

A�B��AA�C�

B�C��AA�C�

Exercícios propostosExercícios 1, 2, 4 e 5.Página 110.



EXERCÍCIO 1Num triângulo [ABC ] , rectân-gulo em C , sabe-se que a hipote-nusa mede 8 cm e que

^B = 20o .

Determine um va lor aproxima-do às centésimas para as medi-das dos catetos do triângulo.

Fig. 2 Quadrante. Para semedir um ângulo com a ajudade um quadrante, coloca-se a palhinha ao nível dos olhos e inclina-se o quadrante até se ver o topo do objecto a medir. A amplitude do ângulopretendida é dada pela posiçãodo fio na escala do quadrante.


Exemplo 2

Caderno de ExercíciosExercícios 7 a 12.

Página 68.


Uma pessoa com 1,80 metros de altura, colocada a 15 metros de distância de uma árvore, mediu,com a ajuda de um quadrante, a amplitude do ângulo � , tendo obtido 38o, conforme a figura ilustra.

Calcule a altura da árvore com um valor aproximado às décimas.

Resolução

Esquematizando a situação, temos:

A razão trigonométrica que relaciona as medidas dos catetos é a tangente de � , logo:

tg 38o = ⇔ tg 38o = ⇔ AA�B� = 15 tg 38o

Com a ajuda da calculadora, e verificando se a mesma está em Degree, concluímos que:

A�B� � 15 × 0,78 ⇔ AA�B� � 11,7

Para calcular a altura da árvore, basta somar à distância AA�B� a altura da pessoa.

Logo, A�D� = A�B� + B�D� � 11,7 + 1,8 = 13,5

A árvore tem, aproximadamente, 13,5 metros de altura.

A�B��

15A�B��B�C�

MODE


EXERCÍCIO 2

Nas encostas do vulcão Rano --Raraku, na ilha da Páscoa,encontram-se imensas cabeçasde pedra de grandes dimensões.Um turista, com 1,75 m de altura,colocou-se num plano horizon-tal com a base de uma estátua e,com a ajuda de um instrumentode medição de ângulos, olhoupara o topo da cabeça dessaestátua, segundo um ângulo de 16o; deslocou-se, rectilinea-mente, 3 metros na direcção daestátua e olhou novamente parao topo da sua cabeça, segundoum ângulo de 20o.

Qual era a altura da cabeça depedra observada pelo turista?Apresente o resultado em me-tros, arredondado às décimas.

Fig. 3 Esquema do uso do quadrante in The MarineMagazine, 1669.

Ao visitar o monumento a Cristo-rei, em Almada, umjovem, com a ajuda de um instrumento de medição deângulos, olhou para o topo do monumento, segundo umângulo de 74,8o, e para a base da imagem do Cristo-rei,segundo um ângulo de 70o.

Sabendo que a distância a que o jovem se encontrava dabase do monumento era de 30 metros, qual é a altura daimagem do Cristo -rei? Apresente a altura em metros,arredondando às unidades.

Resolução

Comecemos por esquematizar a situação apresentada:

Exemplo 3

Trata-se de dois triângulos rectângulos, em que se pretende relacionar a altura do monumento coma distância do observador ao ponto C .

Tendo em atenção os dados recolhidos, o modo mais simples de determinar a altura da imagem con-siste em recorrer à tangente.

tg 74,8o = �A�O�

C�C�

� ⇔ A�C� = O�C� tg 74,8o⇔ A�C� = 30 tg 74,8o

⇔ A�C� � 110,42

tg 70o = �O�B�C�

C�� ⇔ B�C� = O�C� tg 70o⇔ B�C� = 30 tg 70o

⇔ B�C� � 82,42

Logo, A�B� = A�C� – B�C� � 28

A imagem mede, aproximadamente, 28 metros.




Num mapa do arquipélago dos Açores, ao observar mais pormenorizadamente a ilha Terceira, pode-mos considerar o triângulo formado pelas localidades de Ponta do Queimado, Praia da Vitória eAngra do Heroísmo, acerca do qual temos os dados apresentados na figura abaixo.

Determine, com aproximação às décimas, a distância de Angra do Heroísmo a cada uma das outrasduas localidades.

Resolução

Comecemos por representar esquematicamente esta situação, traçando a altura do triângulo relati-vamente ao vértice A para obtermos dois triângulos rectângulos:

Aplicando as razões trigonométricas, temos:

Exemplo 4

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

tg 32o = tg 32o = �27,5

A�–P�

P�V�� A�P� = (27,5 – P�V� ) tg 32oA�P�

�—QP

tg 40o = P�V� tg 40o = A�P� P�V� tg 40o = (27,5 – P�V� ) tg 32oA�P��P�V�

____________________

P�V� tg 40o = 27,5 tg 32o – P�V� tg 32o

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

⇔

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

⇔

⎧⎨⎩

⇔

EXERCÍCIO 3

Uma lanterna produz um conede luz, de modo que, ao sercolocada na vertical, projectano chão uma área iluminadaem forma de círculo.Sabendo que a lanterna estásituada a 1,5 metros do chão eque a amplitude do ângulo for-mado por duas geratrizes dia-metralmente opostas é de130o, determine a área do cír-culo projectado. Apresente o resultado em m2,arredondado às décimas.

130º 1,5 m

NOTAAo ângulo que a linha de visão,a , do observador faz com ahorizontal, chama-se ângulode elevação.

Ao ângulo formado pela hori-zontal e a linha de visão, b , doobservador, chama-se ângulode depressão.

aÂngulo deelevaçãoÂngulo dedepressão

Horizontal

b


A distância entre Angra do Heroísmo e Ponta do Queimado é, aproximadamente, de 18,6 km e a distân-cia entre Angra do Heroísmo e Praia da Vitória é, aproximadamente, de 15,3 km.

____________________

P�V� (tg 40o + tg 32o) = 27,5 tg 32o

⎧⎨⎩

⇔

____________________⎧⎪⎨⎪⎩

⇔

sen 32o = ⇔ x = ⇔ x � 18,6

sen 40o = ⇔ y = ⇔ y � 15,3A�P�

�sen 40o

AA�P��

y

A�P��sen 32o

A�P��

x

P�V� = 27,5 tg 32o��

tg 40o + tg 32o

A�P� � 9,85

P�V� � 11,74

⎧⎪⎨⎪⎩

⇔

No caminho para a escola, três amigos atravessam um viaduto sobre a auto-estrada do Sul (A2).

Observando os pilares vermelhos resolvem estimar a altura destes.

Após alguns minutos de discussão sobre qual o melhor método de resolução, um dos rapazes lem-bra-se que construiu, no 9.o ano, um quadrante para a disciplina de Matemática. Depois de ir a casabuscar o instrumento e uma fita métrica, e fazer as medições necessárias, resolve o problema.

Explique um dos métodos que o jovem pode ter utilizado.

Resolução

Em primeiro lugar é necessário observar a posição do pilar em relação à estrada onde os rapazes seencontram. O pilar está na perpendi cular em relação à estrada e esta encontra-se num plano horizontal.

Exemplo 5

EXERCÍCIO 4

Uma serra separa duas aldeias,A e B .Um marco geodésico vê-se daaldeia A , com um ângulo de ele-vação de 22o, e da aldeia B comum ângulo de elevação de 38o.Sabendo que a distância emlinha recta, entre as duasaldeias é de 4592 metros, quala altitude da serra?Apresente o resultado arredon-dado às unidades.

EXERCÍCIO 5A nave Mariner X explorou oplaneta Mercúrio em Março de1974.

Na figura seguinte encon-tram-se representados o plane-ta Mercúrio e a nave Mariner X,quando esta se encontrava auma distância de 28 763 km da superfície do planeta e oobservava segundo um ângulode 8o 54’ 50’’.

Calcule um valor, aproximadoao quilómetro, para o raio doplaneta Mercúrio.

4592 m22º 38ºA B

28 763 km

8º54'50''Mariner X




Num certo ponto P do corrimão, paralelo à estrada, é fácil medir o ângulo de elevação e o ângulode depressão. Seguidamente, com a ajuda da fita métrica, mede-se a distância que separa o ponto Pdo pilar.

Esquematizando a situação para uma melhor interpretação,

verifica-se que:

tg 34o = �2x3� ⇔ x = 23 × tg 34o ⇔ x � 15,5

tg 23o = �2y3� ⇔ y = 23 × tg 23o ⇔ y � 9,8

x + y � 15,5 + 9,8 = 25,3

O pilar tem, aproximadamente, 25,3 metros de altura.

Uma aplicação à óptica: «Uma moeda dentro de água»

Coloca-se uma moeda dentro de um recipiente com água.

Para uma determinada quantidade de água, a moeda torna-se

visível e parece estar mais próxima da superfície do líquido

do que está na realidade.

Qual é a altura de água (arredondando às centésimas) neces-

sária para que a moeda comece a estar visível?

Considerações gerais:

• o observador está 21 cm acima do rebordo do recipiente cilíndrico e 12 cm à esquerda do

bordo esquerdo do recipiente;

• o recipiente tem 8 cm de altura e no seu interior encontra-se uma moeda centrada no fundo

do recipiente; o bordo direito da moeda está a 4 cm do lado esquerdo do recipiente.

in brochura Geometria – 11.o ano, ME-DES (adaptado)

Exemplo 6

Água

Ar


Resolução

Para a resolução deste problema, não esquecer a relação obtidapelo geómetra holandês Willebrord Snel (século XVII) entre oângulo de incidência i e o ângulo de refracção r : sen i = n sen r ,onde n é uma constante, chamada índice de refracção, quedepende dos dois meios que a luz atravessa.

O ângulo de incidência i no ar corresponde ao ângulo de refrac-ção r na água e, reciprocamente, ao ângulo de incidência r naágua corresponde o ângulo de refracção i no ar.

No caso da água, em comparação com o ar (trajectória água-ar), o valor de n é 1,33.

Como n = 1,33 quando a trajectória é água-ar, logo, = quando a trajectória é ar-água, pois

= .

Tendo em atenção a figura, podemos determinar a amplitude de � :

Utilizando a calculadora gráfica, determinemos a solução do sistema.

A solução, com valores arredondados às centésimas, é o par (3,3; 2,67).

De onde se conclui que o nível da água deve estar a 3,33 cm de altura,aproximadamente.

1�n

1�1,33

sen r�sen i

1�n

tg � =

tg i = 4 – y�

x

8 – x�

y 1,75y = 8 – x

0,40x = 4 – y

y = – �1,

175�x + �

1,875�

y = –0,4x + 4

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

⎧⎪⎨⎪⎩

⇔ ⇔

tg � = �21

12� ⇔ tg � = 1,75

⇔� � 60,26o

logo,

r = 90o – 60,26o⇔ r = 29, 74o

sen i = sen r ⇔ sen i = sen 29,74o

⇔ sen i � 0,37

⇔ i � 21,72o

logo, tg i � 0,40

Temos ainda que tg � = e tg i = :4 – y�

x8 – x�

y

1�1,33

1�1,33

⎧⎪⎨⎪⎩

EXERCÍCIO 6Atendendo à situação apresen-tada no exemplo 6 e utilizando arelação de Snel, determine n ,arredondando às milésimas,para:

6.1. i = 25° e r = 10°

6.2. i = 0,2 � e r = 0,13 �

Exercícios propostosExercícios 11, 13 a 16 e 19.Páginas 111 a 113.

Caderno de ExercíciosExercícios 16 a 21Página 70.


EXERCÍCIO 7Calcule o valor exacto de tg � ,sabendo que:

sen � = �13� e cos � =

2�2��3

EXERCÍCIO 8Sabendo que tg � = 0,75 e quesen � = 0,6 , determine por doisprocessos diferentes o valor,arredondando às décimas, decos � .

EXERCÍCIO 9Num triângulo rectângulo, emrelação à amplitude x de umdos ângulos agudos sabe-seque:

sen x = �18

�

9.1. Indique os valores de cos x e tg x .

9.2. Indique as dimensõesdos lados de um triângulo queobedeça às condições dadas.

EXERCÍCIO 10Sabendo que

1 – = 0,3

calcule cos θ , com θ ∈ [0, 90o[ .

Apresente o valor arredondadoàs centésimas.

cos2 θ��

1 + sen θ

Relações entre as razões trigonométricas de uma mesma amplitude de ângulo

Consideremos o seguinte triângulo rectângulo, em que a , b e h são as medidas,

em determinada unidade, dos comprimentos dos lados.

Em relação ao ângulo de amplitude � , temos:

sen � = �ha� e cos � = �

hb

�

Dividindo sen � por cos � , obtemos:

= =ba�� = tg �

logo,

= tg �

Visto que o triângulo é rectângulo, podemos aplicar o teorema de Pitágoras, ou

seja, a2 + b2 = h2 . Dividindo ambos os membros da igualdade por h2 , obtemos:

�ha2

2� + �

hb

2

2

� = �hh

2

2� ⇔ �

ha

2

2

� + �hb

2

2

� = 1 ⇔ ��ha

��2

+ ��hb

��2

= 1 ⇔

⇔ (sen �)2 + (cos �)2 = 1 ⇔ sen2� + cos2� = 1

A este resultado chamamos:

Fórmula Fundamental da Trigonometria

sen2� + cos2� = 1

Se dividirmos ambos os membros da igualdade sen2� + cos2� = 1 por cos2�

(para valores em que cos� ≠ 0 ), obtemos:

= ⇔ + = ⇔

⇔ � �2

+ 1 = ⇔

⇔ tg2 � + 1 = �co

1

s2��

tg2� + 1 = �co

1

s2��

sen ��cos �

�ha

��

�bh

�

sen ��cos �

sen2� + cos2��

cos2�1

�cos2�

sen x�cos x

1�cos2x

sen2��cos2�

cos2��cos2�

1�cos2�


EXERCÍCIO 12Determine, com uma apro xi -mação ao minuto, a amplitudeθ de um ângulo agudo, demodo que:

cos2 θ – sen2 θ = 0,4

EXERCÍCIO 11Sabendo que cos � = �

25� , calcule

sen2� + tg2� , apresentando oresultado arredondado às cen-tésimas.

Exemplo 7

Sabendo que �11

–+

ttgg

2

2�

�� = 0 e � � [0o, 90o[ , determine o valor, arredondado às centésimas, de cos � .

Resolução

Atendendo a que tg � = , simplifiquemos a expressão dada,

⇔ = 0 ⇔

⇔�cc

oo

ss

2

2�

�

–+

ss

ee

nn

2

2�

�� = 0 ⇔ cos2 � – sen2 � = 0

Como sen2 � + cos2 � = 1 ⇔ sen2 � = 1 – cos2 � , temos :

cos2 � – sen2 � = 0 ⇔ cos2 � – (1 – cos2 �) = 0 ⇔

⇔ cos2 � – 1 + cos2 � = 0 ⇔ 2 cos2 � = 1 ⇔

⇔ cos2 � = �12� ⇔ cos � = ± ��

12��

Como � � [0o, 90o[ , então, cos � = ��12�� ⇔ cos � � 0,71 .

�cos2

c�

os–

2s�

en2 ��

��

�cos2

c�

os+

2s�

en2 ��

sen ��cos �

= 0 ⇔ = 01 – �

cs

oen

s2

2

�

��

��

1 + �cse

ons2

2�

��

1 – tg2 ��

1 + tg2 �

Sabendo que sen2 a – cos2 a = – 0,629 , calcule sen a , arredondado às milésimas, e o valor aproxi-mado da amplitude do ângulo agudo a , em graus, minutos e segundos.

Resolução

Atendendo a que cos2 a = 1 – sen2 a e visto que se pretende determinar o valor de sen a , simplifi-quemos a condição dada:

sen2 a – cos2 a = – 0,629 ⇔ sen2a – (1 – sen2 a ) = – 0,629 ⇔

⇔ 2 sen2 a = – 0,629 + 1 ⇔ sen a = ±�0�,1�8�5�5�Como a é um ângulo agudo, temos que sen a = �0�,1�8�5�5� ⇔ sen a � 0,431 .

Para determinar a amplitude de ângulo a e recorrendo à calculadora, no MODE Degree, temosque a � sen–1 (0,431) ⇔ a � 25,531 .

Usando o procedimento indicado na margem, a � 25° 31’ 52’’.

Exemplo 8

Para determinar a amplitudede um ângulo em graus,minutos e segundos, pode-mos utilizar a seguinte opçãoda calculadora gráfica:

4:

APPS

DMS ENTER

2nd


Exercícios propostosExercícios 3, 7 e 20 a 23.Páginas 110 e 113.


Relações entre as razões trigonométricas de ângulos complementares

Considere-se o triângulo [ABC] , rectângulo em B . As medidas dos comprimentos

dos lados, em certa unidade de medida, são a , b e c , conforme ilustra a figura

seguinte:

Visto tratar -se de um triângulo rectângulo, os ângulos � e � são ângulos comple-

mentares, ou seja:

� + � = 90o ⇔ � = 90o – �

Em relação aos ângulos � e � , podemos definir as seguintes razões trigonométricas:

sen � = �ba

� e cos � = �bc

�

sen � = �bc

� e cos � = �ba

�

Comparando as expressões obtidas, podemos concluir que:

sen � = cos � e cos � = sen �

Surge assim o nome «co-seno»: seno do complementar.

Substituindo � por 90o – � , obtemos:

sen � = cos (90o – �)

cos � = sen (90o – �)

RECORDARDiz-se que dois ângulos sãocomplementares quando asoma das suas amplitudes, � e� , é 90o:

� + � = 90o

Diz-se que dois ângulos sãosuplementares quando asoma das suas amplitudes, � eθ , é 180o:

� + θ = 180o

EXERCÍCIO 13Quais das seguintes afirmaçõessão verdadeiras?

A. sen 10o = sen 80o

B. cos 10o = sen 80o

C. cos 40o = sen 60o

D. sen 75o = cos 15o

E. sen 45o = cos 45o


Razões trigonométricas dos ângulos de amplitudes 30°, 45° e 60° *

Consideremos um triângulo rectângulo isósceles, cuja hipotenusa tem por medida

1 unidade.

Como o triângulo é isósceles, tem dois ângulos iguais, medindo cada um deles 45º.

De acordo com a figura:

sen 45o = �1

x� e cos 45o = �

1

x�

Determinemos a medida x , aplicando o teorema de Pitágoras:

x2 + x2 = 12 ⇔ 2x2 = 1 ⇔ x2 = �1

2� ⇔ x = ±��

1

2�� ⇔

⇔ x = ± ⇔ x = ±

Como x se trata de uma medida, x > 0 , então x = e:

sen 45o = e cos 45o =

e como tg 45o = ⇔ tg 45o = ⇔ tg 45o = 1

Para determinarmos as razões trigonométricas dos ângulos de amplitudes 30o e 60o,

vamos considerar um triângulo equilátero com 1 unidade de lado.

1��2�

�2��2

�2��2

�2��2

�2��2

sen 45o

�cos 45o

�2��2

�2��2


*Facultativo


Observando a figura, concluímos que:

sen 30o = = �1

2� e cos 30o = �

1

y�

Para calcular o valor de y , vamos aplicar novamente o teorema de Pitágoras:

1 = ��1

2��

2

+ y2 ⇔ y2 = �3

4� ⇔ y = ±

Como y > 0 , temos:

y = , então, cos 30° = .

Logo, tg 30° = = = = =

Uma vez que sen � = cos (90º – �) e cos � = sen (90º – �) , em relação ao ângulo

de amplitude 60º , obtemos:

sen 60° = cos 30° = e cos 60° = sen 30° = �1

2�

tg 60° = �s

c

e

o

n

s 6

6

0

0

°

°� = = = �3�

�3��2

�3��2

�3��2

sen 30o

�cos 30o

�1

2�

��

��

2

3��

2�2�3�

1�

�3��3��3

�3��2

��3�

2�

��1

2�

2�3��2

�1

2�

��1

EXERCÍCIO 14Simplifique as expressões:

14.1. sen 30 o – 3 tg 30o ++cos2 30o

14.2. cos 45 o + sen 30 o –– 2 sen 45o + tg 45o

14.3. cos 2 30 o + sen 60 o ·· tg 30o – tg2 45o

14.4. sen 60 o – cos 60 o ·· cos 30o + sen2 30o · cos2 30o

EXERCÍCIO 15Calcule o valor exacto dasseguintes expressões, apresen-tando o resultado com o deno-minador racionalizado:

15.1.

15.2.

15.3.

15.4.

cos 30o + tg 45o��

sen 45o

cos 60o + sen 45o��

tg 30o – tg 60o

1 + cos 30o��

sen 60o – tg 30o

sen 30o · sen 45o��

cos 60o + tg 60o

Em resumo

30o 45o 60o

sen �12� �2��

2�3��

2

cos �3��2

�2��2

�12�

tg �3��3

1 �3�Exercícios propostosExercício 6.Página 110.


RESUMINDO

Razões trigonométricas de um ângulo agudo

• sen � = �bc

�

• cos � = �ac�

• tg � = �ba

� ; tg � = �s

c

e

o

n

s�

��

Fórmula fundamental da trigonometria

• sen2� + cos2� = 1


• sen (90º – �) = cos �

• cos (90º – �) = sen �

Razões trigonométricas dos ângulos de amplitudes 30o, 45o e 60o *

*Facultativo

30o 45o 60o

sen �12� �2��

2�3��

2

cos �3��2

�2��2

�12�

tg �3��3

1 �3�


Os Babilónios, assim como os Egípcios, já usavam relações entre medidas de lados e ampli-tudes de ângulos como propriedades de triângulos, mas foram os Gregos que, a partir de430 a.C., aproximadamente, começaram a estudar com mais rigor as relações entre arcos eângulos ao centro.

Hiparco de Niceia, no século II a.C., introduziu a divisão do círculo em 360 partes.

Ptolomeu (século II d.C.), no seu tratado de astronomia Almagesto, escrito por volta de 150 d.C., apresentou cada uma das 360 partes da circunferência dividida em sessenta partes – minutae primae – e cada uma destas também dividida em sessenta partes – minutaesecundae. Daqui se desenvolveram os termos «minuto» e «segundo». Este astrónomo gregodesenvolveu vários estudos importantes baseados na relação entre cordas e arcos corres-pondentes, devendo -se também a ele uma grande parte dos actuais teoremas sobre estetema.

Os árabes al-Battani e Abúl-Wefa desenvolveram os estudos anteriores e avançaram para arelação entre «a metade da corda e a metade do arco ou do ângulo ao centro sustentadopela corda total».

A primeira trigonometria foi esférica e não plana, sendo as razões trigonométricas utili-zadas na resolução de problemas com triângulos rectângulos planos apenas a partir doséculo XIII.

Foi o contributo de Regiomontanus, ao apresentar em 1464, no seu livro De TriangulisOmnimodis , resultados tanto ao nível da trigonometria esférica como plana, que permitiuo desenvolvimento desta última. Enunciou vários teoremas como, por exemplo, o actualteorema dos senos: dado um triângulo qualquer [ABC ] [como, por exemplo, o da figuraseguinte], tem-se que:

= =

No período do Renascimento, com os Descobrimentos, surgiram várias situações problemá-ticas que exigiram resolução rápida. Na astronomia, a teoria de Copérnico também obrigoua novas reflexões. Esta conjuntura fomentou novamente o interesse pela trigonometria,desenvolvendo o seu estudo. No entanto, foi só com Leonhard Euler (1707-1783) que se intro-duziram as notações apropriadas para o desenvolvimento deste ramo da Matemática.

b�

sen^

B

c�

sen^

C

a�

sen^

A

Hiparco de Niceia[c . 190-120 a.C.]

Johann MüllerRegiomontanus[ 1436–1476]

Fig. 4 Estudo da geometria.Iluminura persa, século XVI.


MOVIMENTOS PERIÓDICOS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

O desenvolvimento das populações humanas levou à criação de vários instrumentos de medição para levantamen-tos topográficos, navegação, divisão de terras, etc.

Não podemos deixar de salientar, entre outros desses instrumentos, a linha trave usada pelos Gregos por volta de325 a.C., o astrolábio introduzido também pelos Gregos no século II a.C. e desenvolvido pelos Portugueses na épocados Descobrimentos, assim como os sextantes e os quadrantes.

Nos séculos XVI e XVII foram introduzidos os grafómetros. Estes instrumentos medem ângulos sobre o terreno e,quando colocados na vertical, medem alturas e profundidades.

O grego Heron de Alexandria construiu, no século I d.C., o que se pensa ser o mais antigo teodolito. Este instrumentoé usado especialmente em topografia e tem sido constantemente modificado, acompanhando o desenvolvimentotecnológico.

Hoje em dia, em topografia e cartografia, utiliza-se um sistema de posicionamento global geodésico e cartográfico –o GPS.

101


www.matematicaB.TE.ptLinks : Graus, minutos e segundos • História da matemática

Fig. 7 Teodolito de Ertel & John, 1880. Fig. 8 Teodolito actual. Fig. 9 GPS (em português, Sistema dePosicionamento Global).

Fig. 5 Utilização do sextante. Fig. 6 Grafómetro de PhilippeDanfrie, 1597.


«A cultura matemática de hoje será válida também para o Homem de amanhã

se for transmitida de uma forma construtiva.»

Emma Castelnuovo (matemática italiana)

OBJECTIVOS

Pretende-se com esta actividade determinar medidas inacessíveis através da semelhança detriângulos.

MATERIAIS

Vara, fita métrica.


Medidas inacessíveis

Medição da altura do edifício da escola:

1. Escolha um local que permita medir a sombra do edifício.

2. Meça o comprimento da vara e, depois de colocar a vara perpendicularmente ao chão,meça a respectiva sombra.

3. Atendendo à semelhança de triângulos, calcule a altura do edifício.

4. Apresente as medições através de um esquema.

Compare os seus resultados com os de outros colegas que fizeram as medições com varas dediferentes comprimentos.

Actividade práticaT1


«Para compreender a Matemática é preciso fazer funcionar o cérebro, e isto

exige sempre um certo esforço.»

Lucio Lombardo Radice (matemático italiano)

OBJECTIVOS

Pretende-se com esta actividade deduzir as razões trigonométricas.

MATERIAIS

Computador.

Programa de geometria dinâmica GeoGebra.


A escada do pedreiro

Para maior segurança, a distância da base de uma escada de pedreiro à parede deve ser iguala um quarto do comprimento da escada.

Qual é o ângulo que uma escada, nesta posição, faz com o chão?

Será que depende do comprimento da escada?

in brochura Geometria – 11.o ano, ME–DES

Construa um modelo desta situação, de acordo com as seguintes instruções.

1. Desenhe um segmento de recta [AB ] , na horizontal, com a ajuda do botão .

Atribua letras aos extremos do segmento de recta, com o auxílio do botão .

2. Desenhe uma recta perpendicular ao segmento de recta [AB ] , passando pelo ponto A ,com o auxílio do botão .

3. Marque um ponto C no segmento de recta [AB ] , com o auxílio do botão .

Clique no ponto A e seleccione o ponto C ; escolha a opção ; Homotetia 4 / 1.Obtém o ponto C ’ .

4. Desenhe uma circunferência de centro A e que passe por C ’ (transformado de C ), com oauxílio do botão .

5. Marque o ponto D , da intersecção da circunferência com a recta vertical, com o botão .

6. Esconda a circunferência e o ponto C ’ , com o auxílio do botão .

7. Una os pontos D e C , com o botão .

8. Una os pontos D , C e A para medir a amplitude do ângulo ACD , com o auxílio do botão .

9. Determine a distância de A a C ; de A a D ; de C a D , com o auxílio do botão .



10. Anime o ponto C sobre o segmento de recta [AB ] , de modo a obter triângulos de dimensõesdiferentes.

Seleccione o ponto C com o botão .

11. Com a calculadora, determine a razão entre as medidas dos segmentos [AD ] e [AC ] .

12. Copie as seguintes tabelas para o seu caderno e complete-as, considerando � como aamplitude do ângulo ACD .

continuação Actividade prática T2H

A�C��C�D�

A�D��C�D�

A�D��A�C�

T1

T2

T3

cos � sen � tg �

Triângulos

T1 T2 T3

Comprimento da escada( [CD ] – hipotenusa)

Distância da escada à parede ( [AC ] – cateto adjacente)

Distância do topo da escada aochão ( [AD ] – cateto oposto)

Triâ

ngul

os


«A única forma de se certificar de que um conceito foi compreendido é

verificar a sua utilização numa situação concreta.»

António St. Aubyn (matemático português)

OBJECTIVOS

Pretende-se com esta actividade determinar medidas inacessíveis, utilizando o quadrante eas razões trigonométricas.

MATERIAIS

Tesoura, uma palhinha de refresco, linha e agulha, um peso e uma cartolina grossa. Fita métrica.


Construção de um quadrante

Com o quadrante vai poder efectuar as mediçõesnecessárias para calcular a altura da sua escola.

1. Imprima o quadrante disponível no site de apoio aeste manual (www.matematicaB.TE.pt/), recorte-o,cole-o na cartolina e dobre as abas.

2. Depois de recortar os círculos desenhados nas abasdo quadrante, introduza uma palhinha de refresco.

3. Com uma agulha, faça passar uma linha de coser pelo ponto que estámarcado no quadrante. Ate as duas pontas da linha, de modo que o quadrantepasse pela argola de linha.

4. Na outra extremidade da linha, prenda um peso, de modo que a linha fiqueesticada.

Medição da altura do edifício da escola

Escolha um local não muito distante, que permita ver o topo do edifício da sua escola.

Nota: Para se medir a amplitude de um ângulo com a ajuda de um quadrante, coloca-se apalhinha ao nível dos olhos e inclina-se o quadrante até se ver o topo do edifício.O valor da amplitude do ângulo pretendido é dado pela posição do fio na escala.

1. Meça a distância do edifício ao local das medições.

2. Meça a altura do observador até ao nível dos olhos.

3. Meça o ângulo de elevação, com a ajuda do quadrante.

4. Recolha os dados e efectue os cálculos necessários.

Compare com os dados dos outros colegas que tenham feito as medições a outras distâncias.



«Um matemático dirá que, dentro da própria Matemática, um corpo mate-

mático é útil quando for aplicável a um outro corpo matemático.»

Philip Davis e Reuben Hersh (matemáticos norte-americanos)

OBJECTIVOS

Pretende-se, com esta actividade, deduzir os valores aproximados das razões trigonométricasdos ângulos de amplitudes 30o, 45o e 60o.

MATERIAIS

Computador.



Razões trigonométricas dos ângulos de amplitudes 30o, 45o e 60o

1. Para desenhar um triângulo equilátero:

Desenhe um segmento de recta [AB ] , na horizontal, com a ajuda do botão .


Com o auxílo do botão faça rodar o segmento [AB ] 60o, seleccionando o objecto, emseguida o centro A e depois a amplitude do ângulo de rotação.

Marque o terceiro vértice e atribua-lhe a letra C .

2. Para traçar a bissectriz do ângulo ACB :

Trace uma perpendicular ao segmento [AB ] que passe por C , com o auxílio do botão .

Marque o ponto de intersecção do segmento [AB ] com a bissectriz do ângulo ACB com aletra D , utilizando o botão .

Esconda a perpendicular, com o auxílio do botão .

3. Meça os comprimentos de [AD ] , [CD ] e [AC ] , com o auxílio do botão .

4. Determine as amplitudes dos ângulos DAC e ACD , com o auxílio do botão .

5. Calcule as razões seguintes, no seu caderno:

sen A^

= = _________ e cos A^

= = _________C�D��A�C�

A�D��A�C�

Actividade práticaT4*

*Facultativo

WWWWWW


6. Desloque o ponto B , de modo a obter triângulos de dimensões diferentes.

Copie para o seu caderno a tabela seguinte e registe os diferentes comprimentos das alturase das bases dos vários triângulos.

7. Compare os resultados com os dos seus colegas.

8. Com um triângulo rectângulo e isósceles, tente chegar aos valores das razões trigonométricasdo ângulo de amplitude 45o.

Sugestão: Considere o comprimento dos catetos igual a uma unidade.

9. Registe no seu caderno as conclusões a que chegou.

Depois, copie a seguinte tabela e complete-a.

Nota: Tenha em conta a relação entre as razões trigonométricas de ângulos complementares.

Actividade prática T4H

A�D�(base do

triângulo)

C�D�(altura dotriângulo)

A�C�(lado do

triângulo)sen A

^cos A

^tg A

^

T1

T2

T3

T4

T5

Triâ

ngul

os

30o 45o 60o

seno

co-seno

tangente


1. Observe a figura seguinte.

Sabendo que:

• o relvado tem uma inclinação de 23o;

• a distância entre o caminho e a base da torre, medida sobre a relva, é aproximadamente de 5 m;

• uma pessoa deitada junto à árvore, a 2,5 m do relvado, avista o topo da torre segundo um ângulo de 53o com ahorizontal.

Determine a altura (em metros) da referida torre com aproximação às centésimas.

Resolução

1. Comecemos por fazer um esquema, que descreva a situaçãodada, sobre a figura anterior.Sabemos que a inclinação do relvado é de 23o e que a distânciado caminho à base da torre é de 5 m. Conhecemos, então, aamplitude do ângulo e a hipotenusa de um triângulorectângulo e pretendemos saber o comprimento do catetooposto ao ângulo, logo:

sen 23o = �5a

� ⇔ a = 5 sen 23o ⇔ a � 1,95

Para calcular o comprimento do cateto adjacente, temos:

cos 23o = �5c

� ⇔ c = 5 cos 23o ⇔ c � 4,6

Consideremos agora o triângulo rectângulo [OCT ] , que nos vai permitir calcular a distância do topo da torre ao solo.

O cateto adjacente mede: 2,5 + c � 2,5 + 4,6 = 7,1

O cateto oposto mede: h + a � h + 1,95

Relacionando a medida do cateto oposto ao ângulo com a medida do cateto adjacente a esse ângulo, vem:

tg 53o � ⇔ 7,1 tg 53o � h + 1,95 ⇔

⇔ h � –1,95 + 7,1 tg 53o ⇔ h � 7,47

A torre mede, aproximadamente, 7,47 metros.

h + 1,95�

7,1



2. Molde para fabrico de «pinos»

Pretende fazer-se um molde para o fabrico de sinalizadores de trânsito,como o que se encontra representado ao lado.

Sabe-se que:

• o diâmetro da base [AB ] mede 25 cm;

• o comprimento de [AC ] é 40 cm, encontrando -se o ponto C no cimo do«pino»;

• o círculo superior que limita o «pino» tem 4 cm de raio.

Qual é a amplitude do ângulo formado por duas geratrizes diametralmenteopostas?

Resolução

2. Comecemos por representar esquematicamente um corte vertical do «pino», obtendo-se um triângulo de base[AB ] e outro, cujo comprimento da base é 8 cm.

Atendendo à semelhança de triângulos, determinemos o comprimento de [AO ] :

�285� = ⇔ 320 + 8x = 25x ⇔

⇔ 17x = 320

⇔ x = �3

1270

� ⇔ x � 18,8

Temos, então, que:

A�O� � 40 + 18,8 ⇔ A�O� � 58,8

Designando por � a amplitude do ângulo definido por duas geratrizes diame-tralmente opostas e por �

2�

� a amplitude do ângulo definido por uma geratriz epela altura, temos:

sen ��2�

�� 1

528

,,58

� ⇔ �2�

� � sen–1 ��15

28

,,58

�� ⇔ �2�

� � 12,27o ⇔

⇔ � � 24,55o ⇔ � � 24o 33’

Logo, a amplitude do ângulo definido por duas geratrizes diametralmente opos-tas é aproximadamente igual a 24o 33’.

x�40 + x

C

BA




1. Atendendo à figura ao lado, podemos afirmar que:

A. sen � = �150� C. tg � = �

150�

B. cos � = �150� D. tg � = �

150�

2. Sabendo que a árvore pequena tem 3 m de altura e a sua sombra tem 4 m decomprimento, a altura da árvore grande, que se encontra a 2 m da árvorepequena, é:

A. 4 m C. 5 m

B. 4,5 m D. 6 m

3. Sabendo que sen � = �13

� , então cos2� – 1 é igual a:

A. �13

� B. �19� C. – �

19� D. �

23

�

4. Sabendo que a diagonal d mede 7,3 m e que a amplitude do ângulo � é15,6o, então o comprimento do lado maior do rectângulo, arredondado àsunidades, é:

A. 5 m C. 7 m

B. 6 m D. 8 m

5. Sabendo que as rectas r e s são tangentes à circunferência e fazem um ângulode amplitude 60o entre si, e que a distância do centro da circunferência ao pontode intersecção das duas rectas é 7 cm, então, o comprimento do raio é:

A. 2 cm C. 3,5 cm

B. 3 cm D. 4 cm

6. Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

A. sen 30o + cos 60o = 1 C. 2 tg 30o = 1

B. sen 45o + cos 45o = 1 D. = 1

7. A expressão (sen � + cos �)2 é equivalente a:

A. sen2 � + cos2 � C. 1 + 2 sen � · cos �

B. sen2 � – cos2 � D. 2 sen � · cos �

cos 60o�sen 60o



8. Um navio é puxado para o porto por dois rebocadores. Paratal, usam -se dois cabos de 20 m cada.Sabendo que a distância entre os rebocadores é de 10 m, qualé a amplitude do ângulo formado pelos cabos?Apresente o resultado arredondado às unidades.

9. Do cimo da torre do Bugio, um faroleiro vê aproximar-se um barco, segundo um ângulo de 83o. Passado algumtempo, vê o mesmo barco, segundo um ângulo de 36o. Observou ainda que a trajectória do barco foi rectilínea ena direcção da torre. Quantos metros se deslocou o barco entre as duas observações, sabendo-se que a torre tem14 metros de altura?

10. Pretende construir-se uma ponte sobre uma lagoa.Sabendo que uma pessoa colocada no ponto A estará a 162 mde um dos extremos da futura ponte e avistará o outroextremo segundo um ângulo de 33o, qual será o comprimentoda ponte?Apresente o resultado arredondado às décimas.

11. Pretende unir-se dois pilares de uma ponte com um tabuleiro.Sabe-se que os pilares têm 16 m de altura em relação ao nívelmédio das águas.Uma pessoa, num barco colocado entre os dois pilares, avistao topo de um deles segundo um ângulo de 70o, e o outro toposegundo um ângulo de 50o. Qual deve ser o comprimento do tabuleiro? Apresente o resul-tado arredondado às centésimas.

12. Sabe-se que a superfície iluminada por um candeeiro, colocado sobreuma mesa, tem a forma de um círculo. O candeeiro tem de altura 45 cm e os raios luminosos incidem na mesacom uma inclinação de 50o em relação à vertical, conforme a figura. Calcule, com valor arredondado às centésimas, a área da superfície damesa iluminada pelo candeeiro.



13. Sabendo que os dados indicados na figura ao lado se encontram expressos em centímetros,calcule a capacidade do bidão, em litros.Apresente o resultado arredondado às décimas.

Nota:O volume de um tronco de cone é dado pela expressão:

V = �13

� (R 2 + r 2 + Rr )�h

onde R corresponde à medida do raio maior, r à medida do raio menor e h à medidada altura do tronco de cone.

14. Ao longo das estradas surgem, com alguma frequência,separadores como os da figura ao lado. Para maiorfacilidade de transporte, estes separadores são ocos efeitos de plástico, mas ao serem colocados nas estradassão enchidos com água para ficarem mais pesados.Atendendo aos dados da figura abaixo, e não considerandoa parte inferior, calcule:

14.1. a capacidade de um separador, em litros (ignore asranhuras laterais).

14.2. a área total (em m2) arredondada às décimas, de um separador.

15. A figura representa um corte vertical num cesto de basequadrada.

Atendendo aos dados indicados, calcule a capacidade docesto em litros, arredondando o resultado às unidades.

16. Pretende construir-se um papagaio com a estrutura em madeira, como mostra afigura, e cobri-lo de papel colorido.

16.1. Calcule o comprimento, em metros, de friso de madeira necessário paraconstruir o papagaio.

16.2. Qual a área de papel, em cm2, necessária para cobrir o papagaio? (Apresenteo resultado arredondado às unidades.)



17. Dois amigos avistam um parapente, segundo os ângulos de amplitudes 88o e 70o,respectivamente. A que altura, em metros, se encontra o parapente?

Nota: Considere que os dois amigos e o parapente se encontram num planovertical.

18. Atendendo aos dados da figura, calcule a altura (em metros)do edifício mais alto. Apresente o resultado arredondado às décimas.

19. Na figura pode observar-se uma cratera existente no deserto do Arizona que é a mais impressionante marca demeteorito existente na Terra.Com o objectivo de calcular aproximadamente, em metros, o diâmetro da cratera, um jovem curioso resolve efec-tuar algumas medições e anotar os valores num esquema. Qual o valor encontrado, arredondando às unidades?

20. Considere o triângulo [ABC ] , rectângulo em C . Seja � = BA^

C , A�C� = 8 e sen � = �13� .

Calcule o comprimento de [BC ] arredondado às décimas.

21. Sabendo que � é um ângulo agudo e que sen � = �13� , calcule cos � , arredondado às centésimas.

22. Sabendo que � é um ângulo agudo e que tg � = �43� , calcule sen � e cos � .

Apresente os resultados arredondados às décimas.

23. Sabendo que � é um ângulo agudo e que cos � = �15

� , calcule o valor de sen � + tg � , arredondado àscentésimas.

4,8 m

3 mx

41°

11°



UNIDADES DE MEDIDA DE ÂNGULOS

E DE ARCOS

Como já foi referido na rubrica «A Vida da Matemática», que se encontra nas páginas

100-101, Hiparco de Niceia, por volta do século II a.C., dividiu a circunferência em 360

partes e definiu o grau como a amplitude de cada uma dessas partes. A partir daí, surgiu o

sistema sexagesimal – unidade de medida da amplitude de ângulos que ainda hoje usamos.

Neste sistema:

• a 1 grau correspondem 60 minutos do grau: 1º = 60’

• a 1 minuto do grau correspondem 60 segundos do grau: 1’ = 60’’

Para além do sistema sexagesimal, existem outros sistemas utilizados na medição de

ângulos e de arcos, tais como o sistema centesimal e o sistema circular.

Actualmente, o sistema centesimal, cuja unidade é o grado (g), é pouco utilizado,

salientando-se, no entanto, que alguns instrumentos de topografia e geodesia contêm

escalas graduadas nas unidades deste sistema. A correspondência entre o sistema sexage-

simal e o sistema centesimal é fácil, pois a 90º correspondem 100g.

O sistema circular é, sem dúvida, o sistema de maior interesse teórico e surge de um

modo natural em termos de simplificação de certas fórmulas e resultados matemáticos e

físicos. No sistema circular, a unidade de medida é o radiano.

Para deduzir o valor, em graus, de um radiano, torna -se

necessário construir um ângulo cuja medida seja um radiano.

Numa tampa circular e com o auxílio da régua e do esquadro,

comecemos por desenhar duas cordas, conforme se ilustra na

figura ao lado.ActividadepráticaT5

NOTAChamam-se tábuas naturaisàs tabelas que nos fornecemdirectamente os valores dasrazões trigonométricas.

Antes do aparecimento dascalculadoras, este era o únicomeio que existia para determi-nar as referidas razões.

Por se considerar interessante,apresenta-se um pequeníssimoexcerto de uma tábua.

Fig. 1 in Pedro de CamposTavares, Álgebra e Trigonometria, Edições Marânus, 1946.

Um radiano é a amplitude de um ângulo ao centro que corresponde a um arco de circunferência,cujo comprimento é igual ao comprimento do raio dessa circunferência. Representa-se por rad .

RECORDARPara determinar o centro deuma circunferência previamen-te traçada, basta encontrar oponto de intersecção das media-trizes de duas cordas da circun-ferência dada.

NOTADefine-se ângulo giro, ou devolta inteira, como um ângulode amplitude 360o.

NOTAPor ser mais simples, pode escre-ver-se 2� , � ou � , em vez de2� rad , � rad ou � rad , res-pectivamente.

Seguidamente, traçam-se as mediatrizes das referidas

cordas, obtendo -se o ponto de intersecção C , que é o

centro da tampa.

Com um fio, mede-se o comprimento do raio da

tampa.

Seguidamente, ajusta-se o fio à borda da tampa e

marcam-se os extremos de um arco de circunferência,

cuja medida seja igual ao comprimento do raio.

Unindo cada um dos extremos ao centro da tampa,

obtemos um ângulo agudo de amplitude 1 radiano

(rad). Com o auxílio do transferidor pode concluir-se

que:

57º < 1 rad < 58º

A amplitude de um radiano não depende do raio da circunferência, pois o compri-

mento da circunferência (2�r) aumenta na mesma proporção que o raio (r), e assim o

ângulo correspondente a um arco de comprimento igual ao raio é sempre o mesmo.

É agora fácil exprimir, no sistema sexagesimal, a medida de um radiano, pois

sabemos que a amplitude de um ângulo ao centro é igual à amplitude do arco de cir-

cunferência compreendido entre os seus lados. Então, podemos estabelecer que:

=

Como a amplitude de um ângulo giro é de 360o, vem:

= �2�

rr

� ⇔ 360º = ⇔

⇔ 360º = 2� rad

360º = 2� rad

Assim, fica estabelecida a passagem do sistema circular para o sistema sexagesi-

mal e vice -versa.

A partir da igualdade anterior, podemos concluir que:

1 rad = � �º � 57º 17’ 45’’

Tendo em conta que:

360º = 2� rad 180º = � rad 90º = rad ,

a conversão de um sistema para o outro não oferece dificuldades.

medida de um radiano��medida de um ângulo giro

comprimento do arco AB��comprimento da circunferência

1 rad��360°

2�r × 1 rad��

r

360�2�

��2

UNIDADES DE MEDIDA DE ÂNGULOS E DE ARCOS 115

C

C

C


Converta as seguintes amplitudes para o sistema sexagesimal:

2.1. 2.2. 2.3.

Resolução

2.1. � _______ 180o

_______ � � = ⇔ � = ⇔ � = 36o

2.2. � _______ 180o

_______ � � = ⇔ � = ⇔ � = 300o

2.3. � _______ 180o

_______ � � = ⇔ � = ⇔ � = 22,5o

��5

5��

3

��8

180�

5

5 × 180�

3

180�

8

��5

5��

3

��8

Exemplo 2

180 ×

�

��5

180 ×

�

5��

3

180 ×

�

��8

Indique, no sistema circular, as amplitudes dos ângulos:

1.1. 30o 1.2. 45o 1.3. 60o

Resolução

1.1. A relação dada anteriormente permite escrever que:

180o _______ �

30o _______ x x = ⇔ x =

1.2. 180o _______ �

45o _______ y y = ⇔ y =

1.3. 180o _______ �

60o _______ z z = ⇔ z =

Tendo em conta os resultados obtidos e relembrando as razões trigo nométricas de 30o, 45o e 60o*,podemos escrever:

� × 30o��

180o

��6

� × 45o��

180o

��4

� × 60o��

180o

��3

Exemplo 1

��6

��4

��3

30o 45o 60o

sen �12�

cos �12�

tg 1 �3�

�2��2

�3��2

�3��2

�2��2

�3��3

*Facultativo

Calculadoras CasioPáginas 182-183.

Radian 30

(Angle) 1:o

0,52359… �

0,16666…

1: Frac �16

�

MODE 2nd

APPS ENTER

: ENTER

MATH

EXERCÍCIO 1Copie para o seu caderno aseguinte tabela e complete-a:

Graus Radianos

360o

270o

200o

�2�3

50o

��12

10o

EXERCÍCIO 2Calcule, arredondando o resul-tado às centésimas.

2.1. cos – 2 sen

2.2. tg – sen – cos

2.3. sen2 – tg2

��4

��3

1�2

��3

��4

��6

��3

��3

Exercícios propostosExercício 1, 2, 9 e 10.Página 132.

Caderno de ExercíciosExercícios 1, 8 e 9.

Página 73.

Degree � �(Angle) 3:r

36

MODE��5

2nd

APPS

ENTER


Generalização das noções de ângulo e de arco

Como sabemos, nos aeroportos existem radares para detectar os aviões que se

aproximam da pista.

Os dados recolhidos pelo radar são visualizados na torre de controlo em diversos

monitores, como os apresentados na figura ao lado.

Entre outras informações, o radar indica-nos em que direcção (rota) se aproxima o

avião.

O «raio» deste círculo gira sem interrupções, marcando no ecrã os pontos aos

quais correspondem as posições dos aviões.

Exemplificando esta situação num esquema:

Temos o ponto P que pertence à circunferência e se desloca sobre esta no sentido

positivo.

O ponto P vai tomando diferentes posições sobre a circunferência:

• quando o ponto P está coincidente com o ponto A , terá percorrido um arco de

amplitude a partir da posição inicial indicada na figura. Como a amplitude do

arco é igual à amplitude do ângulo ao centro, dizemos que o ângulo descrito tem de

amplitude ;

• quando o ponto P está coincidente com o ponto B , terá percorrido um arco de

amplitude �2

�� a partir da posição inicial indicada na figura e o ângulo descrito

terá de amplitude �2

�� .

Se o ponto P descrever uma volta completa, formará um ângulo de amplitude 2�

ou 360º , o que nos leva a concluir que quando estiver alinhado novamente com o

ponto A , terá descrito um ângulo de amplitude + 2� .

Do mesmo modo, se o ponto P descrever k voltas até coincidir com o ponto A ,

descreverá um ângulo de amplitude + k × 2� .

Diz-se que as semi-rectas •OP e

•OA representam uma família de amplitudes de

ângulos de vértice O .

��5

��5

��5

��5

RECORDARÂngulos orientados

Ângulo positivo é o ângulogerado por uma semi-recta que roda em torno do ponto O(vértice do ângulo) no sentidocontrário ao movimento dosponteiros do relógio (sentidodirecto ou positivo).

Ângulo negativo é o ângulogerado por uma semi-recta queroda em torno do ponto O (vér-tice do ângulo) no sentido domovimento dos ponteiros dorelógio (sentido negativo).

Por exemplo:


EXERCÍCIO 3Considere a figura seguinte, naqual o círculo está dividido emoito partes iguais.

Indique uma expressão geral, nosistema circular, que permitaobter a amplitude de todos osângulos com origem em •OA eextremidade em:

3.1. •OF

3.2. •OC ou •OE ou •OG

3.3. •OD ou •OH

EXERCÍCIO 44.1. Determine a área de umsector circular, em que o ânguloao centro que o define tem deamplitude 1,5 rad e o raio docírculo mede 8 cm.

4.2. Deduza uma fórmula quepermita determinar a área deum sector circular de raio r ecujo ângulo ao centro que odefine tenha de amplitude �radianos.

Generalizando:

Chama-se amplitude principal de um ângulo à amplitude que pertence ao intervalo

[– �, �[ ou [–180º, 180º[ .

De forma análoga se generaliza a amplitude de um arco de circunferência.

A amplitude de um ângulo qualquer a pode ser expressa como a adição de um ângulo � , perten-cente ao intervalo [0, 2�[ , com um múltiplo, positivo ou negativo, de 2� :

a = � + 2k� com k � ZZ e � � [0, 2�[

ou no sistema sexagesimal:a = � + 360ok com k � ZZ e � � [0o, 360o[

Observando uma criança a andar de triciclo, verificou-se que os raios das rodas têm de comprimento8 e 11 centímetros.

Escolhido um ponto em cada uma das rodas, calcule a amplitude da rotação e o número de voltas decada um desses pontos para as distâncias percorridas de 10, 50 e 100 metros.

Resolução

A medida do perímetro da roda de 8 cm é dada por:

P = 2� × 0,08 ⇔ P � 0,503 m

Logo, podemos utilizar a seguinte correspondência:

360o ________ 0,503 � = ⇔ � � 7157,1o

� ________ 10

ou seja, a roda de 8 cm de raio efectua 19 voltas completas quando percorre uma distância de 10metros, pois:

� 19,9

Utilizando um raciocínio análogo, podemos preencher a seguinte tabela, sendo r a medida do raio ed a distância percorrida:

360o × 10�

0,503

7157,1o�

360o

Exemplo 3

r = 8 cm r = 11 cm

d = 10 m � = ⇔ � � 7157,1o

número de voltas: 19

360o × 10��2� × 0,08

� = ⇔ � � 5208,7o


360o × 10��

2� × 0,11

d = 50 m � = ⇔ � � 35 785,3o


360o × 50��2� × 0,08

� = ⇔ � � 26 043,5o


360o × 50��

2� × 0,11

d = 100 m � = ⇔ � � 71 570,6o


360o × 100��

2� × 0,08� = ⇔ � � 52 087,1o


360o × 100��

2� × 0,11

Exercícios propostosExercícios 3 a 5, 11, 15 e 16.Páginas 132 e 133.

Caderno de ExercíciosExercícios 2, 10, 12, 14, 16, 18 e 19.

Página 73.


Referencial polar no plano

Ao desenhar um referencial ortogonal e monométrico (ortonormado), o plano fica

dividido em quatro quadrantes.

Para representar um ângulo de amplitude � num referencial polar devemos ter em

conta que:

• o vértice do ângulo deve coincidir com a origem do referencial;

• o lado origem do ângulo deve coincidir com o semieixo positivo do eixo Ox ;• o lado extremidade do ângulo deve estar marcado no referencial consoante a

amplitude e o sentido do ângulo.

Um ângulo pertence ao 1.o, 2.º, 3.º ou 4.º quadrante conforme o lado extremidade

pertença respectivamente ao 1.º, 2.º, 3.º ou 4.º quadrante. Assim, temos, por exemplo:

Círculo trigonométrico

Em muitas situações, torna-se imperativo estudar as razões trigonométricas de um

ângulo que não seja necessariamente agudo.

Para facilitar este estudo recorre-se habitualmente a um círculo cujo raio tenha

comprimento 1 e centro na origem do referencial polar, que se designa por círculo

trigonométrico.

a � 1.º Q.

b � 2.º Q.

c � 3.º Q.

d � 4.º Q.

a � 4.o Q.

b � 3.o Q.

c � 2.o Q.

d � 1.o Q.




Sejam (x, y) as coordenadas do ponto P e � a amplitude do ângulo agudo com

lado origem coincidente com o semieixo positivo do eixo Ox e lado extremidade •OP :

Observando a figura anterior, podemos concluir que:

• sen � = ⇔ sen � = y , pois —OP = 1 unidade

Identifica -se o seno de � como sendo a ordenada do ponto P .

• cos � = ⇔ cos � = x

Identifica -se o co-seno de � como sendo a abcissa do ponto P . Ou seja,

P � (cos �, sen �)

Em relação à tangente de � , a sua visualização não é tão simples.

A figura seguinte representa um ângulo de amplitude � , do 1.º quadrante, no cír-

culo trigonométrico.

Assim, podemos considerar o triângulo rectângulo [OAT] , em que t é uma recta

tangente ao círculo no ponto A .

tg � = = = _

AT

Identifica -se a tangente de � como sendo a ordenada do ponto T .

y�—OP

x�—OP

medida do cateto oposto ao ângulo ��

medida do cateto adjacente ao ângulo �

_AT�

1

y

xO

Eixo dastangentes

Eixo dosco-senos

Eixo dossenos

t

EXERCÍCIO 5Observe atentamente a seguintefigura:

Indique o valor de:

5.1. sen �

5.2. cos �

5.3. sen (–�)

5.4. cos (–�)

NOTAO eixo Oy toma a designaçãode eixo dos senos.

O eixo Ox toma a designaçãode eixo dos co-senos.

A recta t , que tem a mesmadirecção e a mesma unidade demedida que o eixo Oy , designa --se por eixo das tangentes.


Indique as razões trigonométricas dos ângulos com amplitudes:

0 ; ; � ; � e 2�

Resolução

Comecemos por desenhar um círculo trigonométrico eassinalar os pontos A , B , C , D e E , associados

respectivamente aos ângulos de amplitudes 0 , , � ,

�32

� � e 2� , ou seja, aos ângulos cujos lados extremidade

coincidem com um dos semieixos coordenados.

Recordando que tg � = , preenche-se o seguinte quadro:

��2

3�2

��2

sen ��cos �

Exemplo 4

y

o x

D (0,-1)

A (1,0) E (1,0)

B (0,1)

C (-1,0)

Sinal das razões trigonométricas

Explorando o círculo trigonométrico podemos concluir o seguinte:

• Se o ângulo pertence ao 1.º quadrante:

sen � � 0

cos � � 0

tg � � 0

NOTAIlustramos as situações comângulos com amplitudes positi-vas. No entanto, podíamos tê-lofeito com amplitudes negati-vas, sendo indiferente para esteestudo.

EXERCÍCIO 6Determine o valor de:

6.1. sen + 2 cos 8� – 2 tg 4�

6.2. cos2 � – sen2 �32� �

6.3. tg 3� – 3 cos 5� +

+ sen3 �

��2

11�2


0��2

� �3�3

2�

0o 90o 180o 270o 360o

sen 0 1 0 –1 0

cos 1 0 –1 0 1

tg 0 Não existe 0 Não existe 0






sen � � 0

cos � � 0

tg � � 0

sen � � 0

cos � � 0

tg � � 0

sen � � 0

cos � � 0

tg � � 0

NOTAPara determinar a tangente deum ângulo do 2.o quadrante ou3.o quadrante é necessário pro-longar o lado extremidade doângulo até que este intersecte oeixo das tangentes.

EXERCÍCIO 7Indique, usando o círculo trigo-nométrico, o quadrante a quepertence e o sinal das razõestrigonométricas de cada umdos ângulos com as seguintesamplitudes:

7.1. 108o 7.4. – �53

��

7.2. – 910o 7.5. �2132��

7.3. 2080o 7.6. 10 rad



Variação das razões trigonométricas

Explorando o círculo trigonométrico podemos concluir o seguinte:

• No 1.o quadrante: sejam � e � amplitudes de dois ângulos quaisquer, tais que

� � � . Então:

sen � � sen � , logo, o seno é crescente;

cos � � cos � , logo, o co-seno é decrescente;

tg � � tg � , logo, a tangente é crescente.

• No 2.º quadrante: sejam � e � amplitudes de dois ângulos quaisquer, tais que

� � � . Então:

sen � � sen � , logo, o seno é decrescente;

cos � � cos � , logo, o co-seno é decrescente;



� � � . Então:

sen � � sen � , logo, o seno é decrescente;

cos � � cos � , logo, o co-seno é crescente;


EXERCÍCIO 8Indique, usando o círculo trigo-no métrico, um intervalo ]a, b [tal que:

�∈ ]a, b [

]a, b [ � [0, 2�[

e que verifi que cada uma dasseguintes condições:

8.1. cos � · sen � � 0

8.2. tg � + sen � � 0

8.3. cos � – sen � � 0

8.4. tg � · cos � � 0

EXERCÍCIO 9Indique, em radianos e arre-dondada às centésimas, aamplitude de um ângulo do 1.o

quadrante que verifique cadauma das seguintes condições:

9.1. cos � = 0,8

9.2. sen2 � + cos2� = 1

9.3. 0,3 sen � = 1

EXERCÍCIO 10Indique, usando o círculo trigo -nométrico o valor lógico das se -guintes afirmações:

A. O seno decresce e é positivono 3.o quadrante.

B. A tangente é crescente epositiva em todos os qua-drantes.

C. No 4.o quadrante, o co -senocres ce e é positivo.

D. Nos 2.o e 3.o quadrantes, o co --seno é negativo e crescente.

E. O seno é negativo e crescenteem todos os quadrantes.



� � � . Então:

sen � � sen � , logo, o seno é crescente;

cos � � cos � , logo, o co-seno é crescente;


Analisando a variação das razões trigonométricas, podemos concluir que, para

qualquer amplitude � , temos:

–1 � sen � � 1 e –1 � cos � � 1

Se, com a ajuda da calculadora (em graus), se tentar determinar a amplitude � de

um ângulo em que, por exemplo, sen � = 2 ou sen � = –1,2 , a calculadora dará a

correcta mensagem de erro, pois como foi referido as razões trigonométricas sen �

e cos � variam entre –1 e 1.

Quanto à tangente, esta pode tomar todos os valores reais, ou seja:

tg � � ]–� , +�[

Determinando, por exemplo, � tal que tg � = 100 , obteremos � � 89°.

EXERCÍCIO 11Sem recorrer à calculadora,usando o círculo trigo nométricocom plete, no seu caderno, com�, � ou =.

11.1. sen 50o ________ sen 370o

11.2. cos 70o ________ cos 410o

11.3. tg 210o ________ tg 400o

11.4. cos �75

� ________ cos �353�

11.5. sen �245� ________ cos �

145�

11.6. tg �169� ________ tg �

460�

sin–1 (2)

ERR: DOMAIN

tan–1 (100)

89,42706…

2nd sin

ENTER

2nd tan


NOTAAo usarmos as funções sen–1 ,cos–1 e tg–1 , a calculadora sónos indica a amplitude perten-cente ao intervalo:

[–90o, 90o] ou �– �2

�, �2

��

Caderno de ExercíciosExercícios 3 a 7, 15, 20 e 21.

Página 73.



RESUMINDO

Medidas de ângulos

• Sistema sexagesimal – unidade: grau (º).

• Sistema circular – unidade: radiano (rad).

1 rad � 57º 17’ 45’’

• Conversão de unidades entre os sistemas sexagesimal e circular:

� rad ________ 180º

x rad ________ �º

Generalização de ângulo

• sen (� + 2k�) = sen � , k � �

• cos (� + 2k�) = cos � , k � �

• tg (� + 2k�) = tg � , k � � mas, também, tg (� + k�) = tg � , k � �


• –1 � sen � � 1

• –1 � cos � � 1

• tg � � ]–�, +�[

1.o Q. 2.o Q. 3.o Q. 4.o Q.

sen + + – –

cos + – – +

tg + – + –

1.o Q. 2.o Q. 3.o Q. 4.o Q.

sen

cos

tg


Para a maioria das pessoas, a única unidade conhecida para a medição de ângulos é o grau, que, como já sabemos, é obtido pela divisão da circunferência em 360 partes iguais. Este sistema é muito prático, pois há vantagens muitosignificativas quando se trabalha com fracções sexagesimais.

No entanto, existem outros sistemas de medição, como o sistema centesimal.

Presume-se que foi Henry Briggs (1561-1630), geómetra inglês, quem utilizou a subdivisão centesimal na construçãode uma tábua trigonométrica. A unidade deste sistema é o grado (g), que corresponde à centésima parte do ângulorecto, ou seja, a 100 grados correspondem 90 graus. Neste sistema, temos ainda que a 1 grado correspondem 100 minutos do grado (’) e, por sua vez, a 1 minuto do grado correspondem 100 segundos do grado (’’).

Actualmente, apesar de muito defendido por alguns matemáticos, este sistema quase não éutilizado em cálculos, existindo apenas alguns instrumentos de topografia, de geodesia e deóptica que contêm escalas graduadas neste sistema.

Por volta de 1873, em trabalhos independentes realizados por Thomas Muir e James O.Thomson, demons trou -se a necessidade de uma nova unidade angular.

Esta nova medida, sendo mais «natural», foi obtida através da simples construção de umângulo com a amplitude de um radiano.

A este sistema, cuja unidade é o radiano, chamou-se sistema circular e, desde então, simpli-ficaram-se consideravelmente certas fórmulas e resultados matemáticos e físicos.

Este sistema também é utilizado para graduar instrumentos de medição.


www.matematicaB.TE.ptLinks : O radiano • Radianos e graus • Micrómetros • Instrumentos de medição

Thomas Muir[1844-1934]

Fig. 1 Micrómetro, c. 1930. Este aparelho óptico,usado para medir pequenas distâncias angularesou lineares, apresenta uma escala no sistemacentesimal (grados).

Fig. 2 Micrómetro de Repsold, 1911. Este instru-mento apresenta uma escala no sistema circular(radianos).



«Quando podemos medir aquilo de que falamos e exprimi-lo por meio de

números, sabemos alguma coisa sobre o assunto.»

Lord Kelvin (físico e matemático irlandês)

OBJECTIVOS

Pretende-se com esta actividade definir radiano e deduzir o seu valor aproximado em graus.

MATERIAIS



Radiano

1. Desenhe um segmento de recta [AB ] , na horizontal, com a ajuda do botão .


2. Marque um ponto C no segmento de recta [AB ] , com o auxílio do botão .

3. Desenhe uma circunferência de centro A e que passe por C , com o auxílio do botão .

4. Marque um ponto D sobre a circunferência, com o auxílio do botão .

5. Obtenha o segmento [AC ] , unindo os pontos A e C , com o botão .

6. Defina o arco CD . Seleccione os pontos C e D , com o auxílio do botão .

7. Determine o comprimento do raio [AC ] , o comprimento do arco CD e a amplitude do ânguloCAD , com o auxílio dos botões e .


8. Copie para o seu caderno a tabela que se segue e complete-a após ter efectuado as seguintesmedições:

• desloque o ponto D , de modo que o comprimento do arco CD seja igual ao comprimentodo raio [AC ] e registe a amplitude do ângulo respectivo;

• seguidamente, desloque o ponto C sobre o segmento [AB ] , desloque o ponto D demodo a que o comprimento do arco CD seja igual ao comprimento do raio [AC ] e registe,novamente, a amplitude do ângulo respectivo.

Altere o raio da circunferência e efectue novas medições, repetindo as instruções anteriores.

Em cada um dos casos, a amplitude do ângulo varia entre que valores?

Determine agora o valor exacto da amplitude desse ângulo.

Nota: Sabe-se que 360o correspondem ao comprimento da circunferência.


Definição

Um radiano é a amplitude de um arco de circunferência cujo comprimento é igual ao comprimentodo raio da circunferência.Qualquer que seja a circunferência, um radiano corresponde sempre a um ângulo de amplitudeaproximadamente igual a 57o 17’ 45’’ .

Comprimento do raio AC

Comprimento do arco CD

Amplitude do ângulo CAD

C 1

C 2

C 3

C4

C5

Cir

cunf

erên

cias



«Até realizarmos as observações, não temos nada sobre que pensar.»

Philip J. Davis e Reuben Hersh (matemáticos norte-americanos)

OBJECTIVOS

Pretende-se com esta actividade estudar o sinal e a variação das razões trigonométricas, recor-rendo ao círculo trigonométrico.

MATERIAIS




Calculadora gráfica Texas TI-84 Plus

Na opção , escolha o tipo de gráfico para coordenadas polares, a unidade angularradiano e gráfico por pontos. Seguidamente, escolha a janela conveniente para a visualiza-ção, .

Definir as coordenadas polares em . Seguidamente, desenhe o gráfico, prima epressione para visualizar as coordenadas dos pontos.

WINDOW

MODE

Y =

TRACE

GRAPH


WWWWWW



Copie para o seu caderno as tabelas seguintes e complete-as com o auxílio da calculadoragráfica.

Sinal das razões trigonométricas


1.o Q. 2.o Q. 3.o Q. 4.o Q.

sen

cos

1.o Q. 2.o Q. 3.o Q. 4.o Q.

sen

cos



1. Localize o quadrante em que se encontra cada um dos ângulos com as amplitudes seguintes:

1.1. � = 2020o 1.2. � = �254� �

Resolução

1.

1.1. Para saber a que quadrante pertence o ângulo de amplitude 2020o, temos de determinar o número de voltasinteiras (360o) contidas em 2020o. Para tal, dividimos 2020o por 360o e consideramos apenas a parte inteira do quociente.

2020o : 360o � 5,6111

Temos que:

360o × 5 = 1800o e 2020o – 1800o = 220o

Logo, podemos escrever que: 2020o = 5 × 360o + 220o

O lado extremidade do ângulo de amplitude 2020o coincide com o do ângulo de amplitude 220o, que pertenceao 3.o quadrante, logo, 2020o pertence ao 3.o quadrante.

1.2. Para saber a que quadrante pertence o ângulo �254� � , temos de decompor a fracção �

254� .

Determinemos o múltiplo do denominador mais próximo do numerador:

�254� � = �

255� � – �

15

� � = 5 � –

Como 5� é múltiplo ímpar de � , o lado extremidade do ângulo de amplitude 5� coincide com o lado extremi-

dade do ângulo de amplitude � e, como subtraímos �5�� , o ângulo de amplitude �

254�� pertencerá ao 2.o quadrante.

��5


Nos exercícios 1 a 8, de escolha múltipla, seleccione a resposta correcta de entre as alternativas que lhe sãoapresentadas.

1. Um ângulo tem de amplitude 200o. Qual é a sua amplitude no sistema circular?

A. �190

�� B. �190

�� C. 1,1� D. 3,5

2. Um ângulo tem de amplitude �2�

4� rad . Qual o valor aproximado da sua amplitude no sistema sexagesimal?

A. 7o B. 8o C. 0,13o D. 7o 30’

3. A amplitude principal do ângulo de amplitude 1230o é:

A. 150o B. –150o C. 30o D. –30o

4. A amplitude principal do ângulo de amplitude – 600o é:

A. 240o B. 120o C. –120o D. 60o

5. A amplitude principal do ângulo de amplitude �156�� é:

A. B. �65

� � C. –�45

� � D. – �65

� �

6. O ângulo de amplitude –1120o pertence ao:

A. 1.o Q. B. 2.o Q. C. 3.o Q. D. 4.o Q.

7. A que quadrantes poderá pertencer um ângulo, de amplitude � , sabendo que sen � � 0 ?

A. 1.o Q. ou 2.o Q. B. 2.o Q. ou 3.o Q. C. 3.o Q. ou 4.o Q. D. 1.o Q. ou 4.o Q.

8. A que intervalo pertence necessariamente o ângulo de amplitude � , sabendo que cos � � ]–1, 0[ ?

A. �0, � B. ]0, �[ C. � , � D. ]�, 2�[

9. Converta, para radianos, as amplitudes de cada um dos seguintes ângulos:

9.1. 210o 9.2. 1o 9.3. 120o 9.4. – 1860o 9.5. 3510o 9.6. – 1000o

10. Converta, para graus, as amplitudes de cada um dos seguintes ângulos:

10.1. 1 rad 10.2. 110 rad 10.3. 3 rad 10.4. 10.5. 10.6.

��5

��2

��2

3��

2

��5

��10

2��

3




11. Indique a amplitude principal de cada um dos ângulos com as seguintes amplitudes:

11.1. 1520o 11.2. 730o 11.3. –545o 11.4. –620o 11.5. 2004o 11.6. –2501o

12. Indique a que quadrante pertence cada um dos ângulos com as seguintes amplitudes:

12.1. 2315o 12.2. – 1050o 12.3. –930o 12.4. 12.5. 12.6. –

13. Entre que valores pode variar a amplitude do ângulo �∈ ]0, 2�[ , sabendo que:

13.1. sen � · cos � � 0 13.3. sen2 � · tg � � 0

13.2. sen � + 3 � 0 13.4. 0 � cos � · tg � � 1

14. Determine o intervalo de números reais a que pertence m , tal que:

14.1. sen � = , �∈ [0, 90o[ 14.2. cos � = m2 –m , �∈ �–�, ��15. Os raios das rodas de uma bicicleta do século XIX medem, respectivamente,

45 cm e 25 cm.Sabendo que a bicicleta percorreu 300 m, calcule valores aproximadospara o número de voltas que cada roda deu e a amplitude de rotação decada roda.

16. Numa máquina de costura, o grande volante com 35 cm de diâmetro, solidário com opedal, é uma roldana que impulsiona a roldana motriz da máquina, de 5 cm de diâme-tro. A máquina dá um ponto por cada volta da sua roldana.Suponhamos que o volante dá uma volta por segundo. Num minuto, quantos pontos serãodados pela máquina? A máquina de costura foi modernizada, eliminando-se o pedal e adi-cionando-se um motor dotado de uma roldana com 1,25 cm de diâmetro, ligada por umacorrente à roldana com 5 cm de diâmetro, já anteriormente existente.A que velocidade deverá funcionar o motor para que a máquina cosa à mesma velocidadeque anteriormente? Numa pequena composição, explique como determinou o númerode pontos que a máquina dá por minuto e qual deverá ser a velocidade do motor.

17��

321��

411��

6

2m + 1��

33�2

Roldanamotriz

Roldanavolante

in Brian Bolt, Matemáquinas,Gradiva.


REDUÇÃO AO 1.O QUADRANTE*

Reduzir um ângulo ao 1.º quadrante consiste em determinar um ângulo de amplitude

pertencente ao intervalo �0, �2

�� e cujas razões trigonométricas tenham, em valor

absoluto, valores iguais às razões trigonométricas do ângulo dado.

Relações entre as razões trigonométricas de ângulos suplementares

Consideremos, no círculo trigonométrico, os ângulos de amplitudes � e � – � :

Ao observar com atenção esta figura, que representa dois ângulos suplementares,

podemos concluir que:

sen (� – �) = sen �

cos (� – �) = –cos �

tg (� – �) = –tg �

NOTA� + (� – �) = �

Logo, os ângulos de amplitudes� e � – � são ângulos suple-mentares.

NOTAAo simplificar uma expressão,considerou-se sempre que oângulo de amplitude � perten-cia ao 1.o quadrante. No entanto,estas relações são válidas sejaqual for a amplitude do ângulo.

*Facultativo

REDUÇÃO AO 1.O QUADRANTE 135

Relações entre as razões trigonométricas dos ângulos de amplitudes � e � + �

Representemos os ângulos de amplitudes � e � + � no círculo trigonométrico:

Comparando as razões trigonométricas, podemos concluir que:

sen (� + �) = –sen �

cos (� + �) = –cos �

tg (� + �) = tg �

Relações entre as razões trigonométricas de ângulos simétricos

Considerando os ângulos de amplitudes � e – � , representados na figura seguinte,

podemos concluir que:

sen (–�) = –sen �

cos (–�) = cos �

tg (–�) = –tg �

Relações entre as razões trigonométricas dos ângulos de amplitudes � e 2� – �

Os resultados seguintes são idênticos aos da situação anterior, logo:

sen (2� – �) = –sen �

cos (2� – �) = cos �

tg (2� – �) = –tg �

EXERCÍCIO 1Simplifique:

1.1. sen (� – �) + sen (� + �) –

– cos (� – �)

1.2. cos (� + �) + cos (� – �) +

+ tg (� – �) + tg (� + �)

1.3. 3 sen (� + �) + cos (� – �) +

+ 2 sen (� – �)

1.4. sen (� – �) · sen (� + �) –

– cos (� – �) · cos (� + �) +

+ tg (� – �)

EXERCÍCIO 2Simplifique e calcule o valorexacto de:

2.1. sen �– �4�

�� + cos �– �4�

�� +

+ tg �–�4�

��2.2. sen �� – �

3�

�� + cos �– �6�

�� +

+ cos�� + �4�

��2.3. tg �� + �

3�

�� + tg �– �6�

�� –

– sen �� + �6�

��2.4. sen �– �

4�

�� – cos �� – �4�

�� +

+ tg�–� + �3�

��2.5. cos ��

6�

� –�� –

– sen �� – �6�

�� · tg �– �3�

��



Consideremos os ângulos complementares de amplitudes � e �2

�� – � no círculo trigo-

nométrico:

Como os triângulos rectângulos [OPM ] e [OP’M’ ] são geometricamente iguais,

temos:

sen ��2

�� – �� = �

y1

’� = �

1

x� = cos � e cos ��

2

�� – �� = �

x1

’� = �

1

y� = sen �

sen � – �� = cos � cos � – �� = sen �

Relações entre as razões trigonométricas dos ângulos de amplitudes � e �2�

� + �

Consideremos os ângulos de amplitudes � e �2

�� + � no círculo trigonométrico

representado na figura.

Observamos que:

sen ��2

�� + �� = y’ = x

cos ��2

�� + �� = x’ = –y

Concluímos que:

sen � + �� = cos � cos � + �� = –sen �

��2

��2

��2

��2

EXERCÍCIO 3Simplifique:

3.1. sen � – �� + cos (� – �) –

– sen (� – �) + cos � + ��3.2. cos � – �� –

– sen � + �� – cos (� + �) +

+ sen (– �)

3.3. sen �� – � · sen�� + �–

– cos (� – �) + cos (– �)

��2

��2

��2

��2

��2

��2

NOTA

� + ��2�

� – �� = �2�

�

Logo, os ângulos de amplitudes

� e �2�

� – � são ângulos com-

plementares.




Relações entre as razões trigonométricas dos ângulos de amplitudes � e �32�� – �

Observando a figura seguinte, concluímos que:

sen � – �� = y’ = –x

cos � – �� = x’ = –y

sen � – �� = –cos � cos � – �� = –sen �

Relações entre as razões trigonométricas dos ângulos de amplitudes � e �32�� + �

Observando a figura seguinte concluímos que:

sen � + �� = y’ = –x

cos � + �� = x’ = y

sen � + �� = –cos � cos � + �� = sen �

3��2

3��2

3��2

3��2

3��2

3��2

3��2

3��2

Indique o valor exacto de:

1.1. sen 210o + cos 150o + tg 300o

1.2. sen �125�� – sen �

43�� · tg �

23��

1.3. cos �169�� + sen �– �

76

�� + tg �367��

Exemplo 1

EXERCÍCIO 4Prove que:

4.1. 2 cos ��32�� – ��+

+ sen��2�

� + ��+ cos ��32�� + �� +

+ sen(� – �) = cos �

4.2. sen2 ��2�

� – �� +

+ cos2 ��2�

� + �� + sen ��32� � – ��–

– cos (3� + �) = 1

Caderno de ExercíciosExercícios 1, 2, 5 e 6.Páginas 79 e 80.


Resolução

1.1. 210o � 3.o Q. , logo:

sen 210o = sen (180o + 30o) = – sen 30o = – �12�

150o � 2.o Q. , então:

cos 150o = cos (180o – 30o) = – cos 30o = –

300o � 4.o Q. , então:

tg 300o = tg (360o – 60o) = –tg 60o = – �3�

Podemos agora calcular o valor pedido:

sen 210o + cos 150o + tg 300o = – �12� – – �3� =

1.2. sen �125� � = sen �8� – �

2�

�� = sen �– �2�

�� = – 1

Ao ângulo de amplitude 8� –�2�

� correspondem as razões trigonométricas de – ��2�

� , pois ao ângulo

de amplitude 8� correspondem quatro voltas completas no círculo trigonométrico.

sen �43

�� = sen �� + � = – sen �3�

� = –

tg �23

� � = tg �� – � = – tg �3�

� = – �3�

Então:

sen �125�� – sen �

43

�� · tg �23

�� = – 1 – �– � · (–�3�) = – 1 – �32� = – �

52�

1.3. cos � = cos �3� + � = cos �� + � = –cos = –

sen �– �� = sen �–� – � = sen =

tg � = tg �6� + � = tg =

Calculemos o valor exacto pedido:

cos � + sen �– �� + tg � = – + + =

�3��

2

��3

��6

37�

6

19�

67�6

37�

61

�2

3 – �3��6

�3��

2

�3��

2

�3��

2

�3��

2

�3��

3

�3��

3

��6

��6

��6

��6

��6

��6

1�2

7�6

�3��

2

19�

6

– 1 – 3 �3��2

��3

EXERCÍCIO 5Indique o valor exacto de:

5.1. 2 cos 240o – sen 135o + + tg 405o

5.2. tg �76�� + cos �

161

�� – sen �73

��

5.3. cos �56� � – sen �– �

54

�� ·

· sen �54

��

5.4.

RECORDARA amplitude a de um qualquerângulo pode ser expressa comoa adição da amplitude � , per-tencente ao intervalo [0, 2�[ ,com um múltiplo, positivo ounegativo, de 2� :

a = � + 2k� com k � ZZ

e � � [0, 2�[

sen ��232� ��– tg ��

367� ��· tg ��

53� ��

��2 cos ��

334� ��


Simplifique as seguintes expressões:

2.1. tg (5� – x) + sen ��72�� + x� + 2 sen ��

123�� – x� + cos (9� – x)

2.2. sen ��125�� + x� + sen (–x + 2�) + cos (4� – x) + cos �–x + �

127��

Resolução

2.1. tg (5� – x) = tg (–x ) = – tg x

sen ��72� � + x� = sen �2� + �

32� � + x� = sen ��

32� � + x� = –cos x

sen � � – x� = sen �6� + – x� = sen � – x� = cos x

cos (9� – x ) = cos (8� + � – x ) = cos (� – x ) = – cos x

Então:

tg (5� – x ) + sen ��72�� + x� + 2 sen � � – x�+ cos (9� – x ) = –tg x – cos x + 2 cos x – cos x = –tg x

2.2. sen ��125�� + x�= sen �6� + �

32�� + x�= sen��

32�� + x�= –cos x

sen (–x + 2�) = sen (–x ) = –sen x

cos (4� – x ) = cos (–x ) = cos x

cos �–x + �� = cos �–x + 8� + � = cos �–x + � = sen x

Voltemos à expressão inicial:

sen ��125�� + x� + sen (–x + 2�) + cos (4� – x ) + cos �–x + �� = – cos x – sen x + cos x + sen x = 0

13�

2��2

��2

17�

2

��2

13�

2

17�

2

��2

Exemplo 2 EXERCÍCIO 6Determine o valor de sen x ede cos x , sabendo que x per-tence ao 4.o quadrante e que:

sen ��92�� – x� = �

13�

EXERCÍCIO 7Determine o valor exacto daexpressão A(x ) = 8 sen x + cos x ,sabendo que x ∈ 1.o quadrantee que:

tg (x – 7�) = �15�

EXERCÍCIO 8Simplifique cada uma das ex-pressões se guintes:

8.1. sen (5� + x ) –

– cos ��32� � – x� + cos (3� – x)

8.2. tg (6� – x) –

– cos ��52� � + x� – tg (3� – x ) –

– sen (–x )

8.3. sen ��72� � + x� –

– sen (10� + x) + cos (–x )

Exercícios propostosExercícios 10 a 13.Página 175.

Caderno de ExercíciosExercícios 10 a 13 e 15 a 17.Página 81.


EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICASEquações com a tangente

Ao caminhar pelo centro de Lisboa observou-se um candeeiro da cidade, com

9,5 metros de altura. Verificou-se ainda que o comprimento da sombra do candeeiro

no plano horizontal era de 10 metros.

Qual a inclinação (em graus) aproximada dos raios solares naquele instante?

Tendo em atenção o esquema seguinte:

esta questão pode traduzir-se pela condição:

tg x = �9

1

,

0

5� ∧ 0º � x � 90º ⇔ tg x = 0,95 ∧ 0º � x � 90º .

Se recorrermos à calculadora, podemos encontrar a solução. Usando a função tg–1 ,

obtemos:

x = tg–1 0,95 ou seja x � 43,5º

Concluímos que o ângulo formado pelos raios solares com o solo tem de amplitude,

aproximadamente, 44º.

Esta questão também podia ter sido resolvida através do círculo trigonométrico,

marcando 0,95 no eixo das tangentes e medindo a amplitude do ângulo correspondente

a essa tangente.

Com a ajuda de um transferidor, iríamos obter 44º para valor aproximado de x .

No contexto do problema, a solução da equação tg x = 0,95 é x � 44º .



EXERCÍCIO 9Resolva, em IR , as seguintesequações:

9.1. tg x = –1

9.2. tg x =

9.3. tg (2x ) = �3�

�3��3

Resolva as seguintes equações:

3.1. tg x = 1, em IR

3.2. �3� + tg x = 0, no intervalo ]90o, 180o[

Resolução

3.1. Usando a calculadora em MODE Rad:

tg x = 1 ⇔ x = tg–1 (1) ⇔ x � 0,79 + k� , k � ZZ

Obtemos, assim, a expressão geral das soluções da equação dada.

3.2. �3� + tg x = 0 ⇔ tg x = –�3�Com a calculadora em MODE Degree:

tg x = –�3� ⇔ x = tg–1 (–�3�) ⇔ x = –60o

Como x � ]90o, 180o[ , então x = –60o + 180o, ou seja, x = 120°.

Exemplo 3


No entanto, se a equação anterior resultasse de um outro problema, em que x per-

tencesse ao intervalo [0, 2�] , qual seria a solução?

Mais uma vez, usando a calculadora em MODE Rad e tendo em atenção o círculo

trigonométrico, concluímos que:

x � 0,76 rad ∨ x � 3,90 rad

E se pretendêssemos, no conjunto das amplitudes, determinar as amplitudes de

todos os ângulos cuja tangente tem o valor de 0,95?

Também esta equação não tem uma solução única e, como os ângulos que têm por

tangente o valor 0,95 diferem de � ou de múltiplos de � , podemos concluir que:

x � 0,76 rad + k� , k � �

ou seja,

tg x = tg � ⇔ x = � + k� , k � �


Equações com o seno

Pretende construir-se um cone, em acrílico, com um raio da

base de 6 cm e uma área lateral de 437 cm2. Para tal, precisamos

de conhecer a amplitude do ângulo que a geratriz do cone faz

com o eixo.

Para resolver este problema, recordemos que a área lateral (Al)

de um cone é dada por:

Al = � · r · g

onde r representa o comprimento do raio da base e g o compri-

mento da geratriz.

Em relação ao comprimento g , basta resolver a seguinte equação:

437 = � · 6 · g ⇔ g = �4

6

3

�

7� ⇔ g � 23,184 cm

Seguidamente, para determinar a amplitude � do referido ângulo, tal que

0º � � � 90º , basta resolver a equação:

sen � � �23,

6

184� � 0,259

Recorrendo à calculadora em MODE Degree, obtemos um valor aproximado para

a amplitude � do ângulo:

� = sen–1 0,259 � 15º

Podemos, então, com todos os dados obtidos construir o referido cone.

Generalizemos esta situação à determinação das amplitudes, em radianos, de todos

os ângulos cujo seno é 0,259. Isto é, vamos determinar todas as soluções da equação:

sen x = 0,259

Recorrendo à calculadora em MODE Rad e calculando o valor sen–1 (0,259) obte-

mos uma solução que é, aproximadamente, 0,262 (o que no sistema sexagesimal cor-

responde a aproximadamente 15º). Mas observando o

círculo trignométrico ao lado encontra-se uma outra

solução, que é, aproximadamente, � – 0,262 � 2,880 .

Notamos ainda que as amplitudes dos ângulos que

procuramos se obtêm se somarmos ou subtrairmos múl-

tiplos de 2� a qualquer um destes valores. Assim, as

soluções são:

x � 0,262 + 2k� ∨ x � 2,880 + 2k� , k � �

Em conclusão, com � em radianos:

sen x = sen � ⇔ x = � + 2k� ∨ x = (� – �) + 2k� , k � �

y

o x-0,262 0,262

1

0,259


Resolva recorrendo à calculadora (em MODE Degree) as seguintes equações:

4.1. 2 sen x = �3�4.2. 2 sen x + �2� = 0 , no intervalo ]–90o, 90o[

Resolução

4.1. 2 sen x = �3� ⇔ sen x = ⇔ x = sen–1 � � ⇔ x = 60o

A solução da equação não é única, como se pode concluir pela observação do círculo trigonomé-trico representado em seguida.

A expressão geral das soluções desta equação é a seguinte:

x = 60o + 360o k ∨ x = 120o + 360o k , k � ZZ

4.2. 2 sen x + �2� = 0 ⇔

⇔ sen x = – ⇔

⇔ x = sen–1 �– � ⇔ x = –45o

então x = –45o + 360o k ∨ x = 225o + 360o k , k � ZZ

vamos atribuir valores inteiros ao parâmetro k demodo a determinar as soluções pertencentes ao intervalo]–90o, 90o[ .

• Para k = –1:

x = –45o – 360o ∨ x = 225o – 360o ⇔

⇔ x = –405o ∨ x = –135o

mas –405o � ]–90o, 90o[ e –135o � ]–90o, 90o[ .

Para valores inteiros de k menores do que –1 , obtemos amplitudes que não pertencem aointervalo ]–90o, 90o[ .

�3��2

�2��2

�3��2

�2��2

Exemplo 4 EXERCÍCIO 10Resolva, em IR , as seguintesequa ções:

10.1. 1 – 2 sen x = 0

10.2. 3 – sen x = 0

10.3. sen x + 2 = 1

10.4. 2 + 3 sen x = 1


Equações com o co-seno

Um jovem pretende determinar a amplitude do ângulo que a torre de Pisa faz com

a horizontal.

O jovem sabe que a altura da torre é de aproximadamente 55 metros e que, ao

meio -dia, os raios solares são perpendiculares ao solo em certos dias do ano.

Para resolver o problema, num desses dias, decide medir a sombra da torre e fazer

o seguinte esquema.

Resolvendo a equação:

cos x = �5

5

,

5

3� ⇔ cos x � 0,096

determinará a amplitude pretendida.

Recorrendo à calculadora em MODE Degree e não esquecendo que 0º � x � 90º ,

obtém:

x � cos–1 0,096 ⇔ x � 84,5º

A torre faz com a horizontal um ângulo de amplitude aproximadamente igual a 84,5º.

• Para k = 0:

x = –45o ∨ x = 225o

–45o� ]–90o, 90o[ mas 225o � ]–90o, 90o[ .

• Para k = 1 :

x = –45o + 360o ∨ x = 225o + 360o ⇔

⇔ x = 315o ∨ x = 585o

mas 315o � ]–90o, 90o[ e 585o � ]–90o, 90o[ .

Para qualquer valor inteiro de k , maior do que 1, obtemos amplitudes que não pertencem aointervalo ]–90o, 90o[ .

No intervalo ]–90o, 90o[ , o conjunto solução da equação é {–45o} .

EXERCÍCIO 11Resolva as seguintes equaçõesno intervalo ]–�, �[ :

11.1. �2� sen �x – �3�

�� = 1

11.2. �3� + 2 sen �x + �4�

�� = 0

11.3. 50 sen (2x ) = 13

11.4. 2 sen ��x3� + �

6�

�� = �2�

Fig. 1 Torre de Pisa, Itália,construída entre os séculos XII e XIV.




Resolva as seguintes equações:

5.1. cos x = 0,985 , em IR .

5.2. 1 + 2 cos x = 0 , no intervalo ]0, 2�[ .

Resolução

5.1. Recorrendo à calculadora em MODE Rad e utilizando a função cos–1 , obtemos:

x = cos–1 0,985 � 0,173 rad

então, a expressão geral das soluções da equação cos x = 0,985 é

x � ±0,173 + 2k� , k � ZZ

5.2. 1 + 2 cos x = 0 ⇔ cos x = – �12� , logo temos que x = cos–1 �– �

12�� 1,05

Recorrendo ao círculo trigonométrico, representado ao lado, temos:

x � � – 1,05 ou x � � + 1,05 , pois x � ]0, 2�[

ou seja, x � 2,09 ou x � 4,19 .

O conjunto solução é {2,09; 4,19} .

Exemplo 5

EXERCÍCIO 12Resolva, em IR , as seguintesequações:

12.1. 4 cos �2x – �4�

�� = 2

12.2. 10 sen � � – 3x� = 0

12.3. sen � � + x� ·

· cos (2x + 11�) = 0

12.4. cos ��121

�� – x�–

– sen (x – 3�) = 0

12.5. cos x – sen x · cos x = 0

7�2

7�2

Se, como nos casos anteriores do seno e da tan gente, se pretender determinar as

amplitudes de todos os ângulos tal que cos x � 0,096 , também esta equação não terá

solução única.

Como já vimos, uma solução é, aproximadamente, 84,5º ou 1,47 rad . No entanto, se

recorrermos ao círculo trigonométrico, representado em seguida, observamos que –1,47 rad

é ainda solução desta equação, bem como todas as amplitudes do tipo:

x � ±1,47 + 2k� , k � �

Em conclusão, com � em radianos:

cos x = cos � ⇔ x = ± � + 2k� , k � �

Caderno de ExercíciosExercícios 4, 9, 14 e 18.Página 80.

Exercícios propostosExercícios 3, 15 e 16.Páginas 174 a 176.


NOTAO sistema de coordenadaspolares foi utilizado pela pri-meira vez por dois grandesmatemáticos, Isaac Newton(1643-1727) e Jacques Bernoulli(1654-1705). A notação actualfoi apresentada por Euler (1707 --1783).Outros sistemas de coordena-das foram propostos, mas o sis-tema de coordenadas polaresprevalece como um dos maispráticos e de mais fácil mani-pulação.


NOTAO pólo tem coordenadas pola-res (0, θ) , sendo θ um ânguloqualquer.

*Facultativo

COORDENADAS POLARES*

Já sabemos localizar um ponto no plano e no espaço usando coordenadas rectan-

gulares ou cartesianas. Também é possível localizar um ponto no plano usando um

sistema de coordenadas chamado polar.

Para introduzir este sistema de coordenadas polares, fixemos um ponto O , cha-

mado pólo, e uma semi-recta com origem em O , chamada eixo polar. Para facilitar a

comparação entre os sistemas vamos considerar um referencial cartesiano e fixemos

o ponto O , pólo, na origem do referencial, e para eixo polar tomemos o semi-eixo

positivo Ox . A qualquer ponto P do plano associamos um par de elementos, em que o primeiro

é a distância, r , do ponto P ao pólo, e o segundo é o ângulo θ, formado pelo eixo

polar e pela semi-recta de origem O que passa por P e cuja amplitude pode ser

expressa em graus ou radianos.

Assim, dizemos que P tem coordenadas polares (r, θ) , onde r designa a coor-

denada radial e θ a coordenada angular.

Para localizar o ponto P numa grelha polar, traçamos o lado extremidade do

ângulo θ , com vértice no pólo e medido no sentido positivo (contrário ao movimento

dos ponteiros do relógio). Sobre o lado extremidade do ângulo marcamos um seg-

mento de comprimento r .

Note-se que o ângulo θ pode ser negativo (ou seja, medido no sentido negativo).

Assim, podemos afirmar que (r, θ) e (r, θ + 2k�) , k � � , representam o mes-

mo ponto. A um ponto pode corresponder uma infinidade de pares ordenados de

coordenadas polares. Por exemplo, o ponto P da figura pode ser representado por

(2, 45o) , (2, 405o) ou (2, –315o) .

Podemos concluir então que cada par de coordenadas polares está associado a um

único ponto do plano, mas um ponto do plano está associado a um conjunto infinito

de pares de coordenadas polares.


No entanto, por conveniência na resolução dos exercícios, vamos considerar

0o � θ � 360o .

Estabeleceu-se assim uma correspondência entre um ponto do plano, P , com o

ângulo θ , formado pelo semieixo positivo Ox (eixo polar) e pela semi-recta ·OP .

Coordenadas cartesianas ↔ Coordenadas polares

P (x, y) ↔ P (r, θ)

Vamos generalizar as coordenadas polares de modo a incluir valores negativos

para a primeira coordenada polar do ponto P , que antes só representava uma distân-

cia do ponto P ao pólo. Para este valor negativo consideramos que, na semi-recta

oposta à semi-recta de origem O e que faz um ângulo θ com o semieixo positivo

Ox, deve ser marcada uma distância de valor igual ao simétrico da primeira coorde-

nada polar do ponto P .

Considera-se que (–r, θ) e (r, θ + �) representam o mesmo ponto.

Represente numa grelha polar os pontos A , B , C , D e E , de coordenadas polares, respectivamente:

(1, 60o) ; (4, 210o) , �2, �6�

�� , �3, – �23�� e �–3, �

56��

Resolução

Atendendo às coordenadas radiais dos pontos, optou-se por uma grelha formada com circunferên-cias de raio 1, 2, 3 e 4. Visto as coordenadas angulares serem múltiplos ou submúltiplos de 30o ou60o, dividiram-se as circunferências em 12 partes iguais.

Assim, temos:

Exemplo 6

EXERCÍCIO 13Complete a tabela, no seu ca-derno, atendendo aos dados dafigura.

NOTADesigna-se o par de coordena-das polares de um ponto P(r, θ) ,com r � 0 e 0o � θ � 360o,como conjunto principal doponto P .

PontoCoord.

cartesianasCoord.

polares

A

B

C

D

EXERCÍCIO 14Considere o ponto P , de coor-

denadas polares �1, – �34

� �� .

Designe o ponto P pelas res-pectivas coordenadas polaresmas atendendo às seguintescondições:

14.1. r � 0 � 0 � θ � 2�

14.2. r � 0 � 0 � θ � 2�

EXERCÍCIO 15Considere uma grelha polarcomo a apre sentada na reso-lução do exemplo 6 e repre-sente os pontos A , B , C , D eE de coordenadas polares,respec tivamente:

�3, �4�

�� , �1, �34

� �� , (–2, �)

�2, – �56

� �� e �4, �43� ��



Conversão de coordenadas cartesianasem coordenadas polares e vice-versa*De coordenadas cartesianas para coordenadas polares

Seja P um ponto de coordenadas (x, y).

Em função de θ temos:

cos θ = e sen θ =

ou seja, x = r cos θ e y = r sen θ , logo, as coordenadas cartesianas do ponto P em

função de θ são (r cos θ, r sen θ) .

Aplicando o teorema de Pitágoras, x2 + y2 = r2 , obtemos r = �x2� +�y�2� .

Observando a figura verificamos que tg θ = , pelo que θ = tg–1 � � .

Visto que 0o � θ � 360o , existem dois valores de θ cuja tangente é dada por .

Assim, temos de verificar a que quadrante pertence o ponto para determinar o valor

de θ .

y�x

y�x

y�x

x�r

x�r

Indique as coordenadas polares dos pontos A e B cujas coordenadas cartesianas são, respectiva-

mente, (1, �3�) e (– 4�3�, – 4) .

Resolução

• A → (1, �3�) como r = �x2� +�y�2� então r = �1�2�+� (��3��)2� ⇔ r = 2

θ = tg–1 � � e A ∈ 1.o Q. , logo, θ = �3�

� .

Portanto, o ponto A tem como coordenadas polares �2, �3�

�� .

• B → (–4 �3�, –4)

r = �(–�4��3��)2�+� (�–�4�)2� ⇔ r = 8

θ = tg–1 � � ⇔ θ = tg–1 � � ∧ B ∈ 3.o Q. , logo,

θ = �6�

� + � ⇔ θ = �76�� .

O ponto B tem como coordenadas polares �8, �76�� .

�3��1

–4�

–4�3��3��

3

Exemplo 7

*Facultativo

EXERCÍCIO 16Escreva as coordenadas polares,sendo que r � 0 � 0 � θ �� 2� , dos seguintes pontosexpressos em coordenadascartesianas.

16.1. (2, –2)

16.2. (–3, �3�)

16.3. ��12�, �

16.4. (2�3�, 2)

�3��2


De coordenadas cartesianaspara coordenadas polares.



De coordenadas polares para coordenadas cartesianas

Observando novamente a figura, seja P um ponto de coordenadas polares (r, θ) .

Podemos deduzir as coordenadas cartesianas (x, y) a partir das coordenadas polares:

OP—= r , donde cos θ = e sen θ =

x = r cos θportanto

y = r sen θ

y�r

x�r

Indique as coordenadas cartesianas dos pontos C e D cujas coordenadas polares são, respectiva-

mente �2, �6�

�� e �–1, �54�� .

Resolução

• Se C tem coordenadas polares �2, �6�

�� , então:

x = 2 cos �6�

� ⇔ x = 2 × ⇔ x = �3�

y = 2 sen �6�

� ⇔ y = 2 × �1

2� ⇔ y = 1

C tem como coordenadas cartesianas (�3�, 1) .

• Se D tem coordenadas polares �–1, �54�� , então:

x = –1 cos �54�� ⇔ x = –1 × �– �⇔ x =

y = –1 sen �54�� ⇔ y = –1 × �– � ⇔ y =

D tem como coordenadas cartesianas � , � .�2��2

�2��2

�2��2

�2��2

�2��2

�2��2

�3��2

Exemplo 8


De coordenadas polares paracoordenadas cartesianas.

EXERCÍCIO 17Indique as coordenadas carte-sianas dos seguintes pontos,expressos em coordenadaspolares.

17.1. ��12�, �

54

�� 17.2. �3, – �

161

� ��17.3. �–3, �

23� ��

17.4. �–1, – �4�

��

⎧⎪⎨⎪⎩



Alguns lugares geométricos

Apresentamos a título de exemplo algumas representações gráficas de

equações polares, ou seja, equações em que as variáveis são r e θ .

Circunferência

Exemplos para r = a cos θ e r = a sen θ

Caracóis

Exemplos para r = a + b cos θ e r = a + b sen θ

Rosas

Exemplos para r = a cos (nθ) e r = a sen (nθ)

Lemniscatas (de Bernoulli)

Exemplos para r2 = a2 cos 2θ e r2 = a2 sen 2θ

NOTAPara este exemplo é necessárioconfigurar a janela de visuali-zação:

NOTAOutras curvas…

• Cardióide

• Espirais (a � 0)

Exemplos para r = a θ e r = a�θ


WWWWWW


NOTAConhecendo o gráfico de umafunção periódica num determi-nado intervalo do seu domínio(que inclua um período mínimo,se existir), ficamos a conhecerqualquer representação gráfi-ca definida em qualquer inter-valo do domínio.

Uma função f , real de variável real, diz-se períodica, de período p (real positivo), se para todo o xdo domínio da função, tal que x + p ainda pertence ao domínio da função, se tem f (x ) = f (x + p) .

Funções periódicas

Muitas situações ou fenómenos do nosso dia-a-dia são periódicos, isto é, de tem-

pos em tempos repetem-se. Por exemplo, todos os dias acontece o «nascer-do-sol» e

o «pôr-do-sol», a cada 28 dias a Lua estará na mesma fase, do ponto de vista de um

observador fixo na Terra.

As funções periódicas surgem numa grande variedade de problemas físicos:

vibrações de uma corda de um instrumento musical, movimento dos planetas ao

redor do Sol, rotação da Terra em torno do seu eixo, movimento de um pêndulo,

marés e movimento ondulatório em geral, entre outros.

Ao analisarmos uma representação gráfica de algumas destas funções verificamos

que têm um comportamento especial, pois as linhas desenhadas apresentam as mes-

mas características em intervalos consecutivos.

Para melhor entendermos esta situação apresentamos alguns exemplos:

A primeira representação gráfica é relativa à função real de variável real que a

cada valor x faz corresponder a sua parte decimal, em valor absoluto (designada por

função mantissa); a segunda representação relaciona a variável tempo com a tempe-

ratura de um congelador (cuja porta não é aberta).



As razões trigonométricas podem ser interpretadas, não só como relações entre os

comprimentos dos lados e as amplitudes dos ângulos de triângulos rectângulos, mas

também como correspondências unívocas, em que a cada amplitude x (em radianos)

de um ângulo corresponde uma razão trigonométrica dessa amplitude x .Neste caso, dizemos que estamos perante funções trigonométricas.

Como as amplitudes, em radianos, bem como os valores correspondentes das razões

trigonométricas, são números reais, estamos a definir funções reais de variável real.

Função seno

Seja f a função real de variável real definida por:

f: IR → IR

x � sen x

Com o auxílio da calculadora gráfica ou do círculo trigonométrico, vamos esboçar

o gráfico desta função no intervalo [0, 2�[ :

Para cada valor de x � [0, 2�[ , sen x é a ordenada de um ponto obtido pela

intersecção do lado extremidade do ângulo x com o círculo trigonométrico. Temos

P (x, sen x) .

Recorrendo à calculadora gráfica podemos obter as coordenadas de pontos que

pertençam ao gráfico desta função.

Para visualizar uma representação gráfica da função y = sen x , introduzimos

a expressão que define a função na calculadora, no MODE rad e com a janela

(«window») apresentada em baixo.

Em seguida, selecciona-se a opção TBLSET e obte-

mos, a partir da seguinte tabela, as coordenadas de pontos

que pertencem ao gráfico da função seno, conforme se

observa na margem.

Estamos em condições de esboçar uma representação

gráfica da função y = sen x , no intervalo [0, 2�[ .


35

32

65

67

34

23 2

35

611

611

233

467

65

32 2

236

3

6

1

-1

y

P

x



NOTAUma função é periódica, deperíodo p , positivo, se:

f (x + p) = f (x ) , � x , x + p � Df

RECORDARO gráfico de uma função ímparé simétrico relativamente àorigem.

Podemos continuar este estudo para ângulos cujas amplitudes sejam maiores ou

iguais a 2� e para amplitudes negativas, mas tal não é necessário, pois a função seno é

periódica. Atendendo à generalização de ângulo e ao estudo já efectuado sobre a varia-

ção das razões trigonométricas, podemos concluir que para a função

f : x � y = sen x

• Df = IR

• D’f = [–1, 1]

• é uma função ímpar, pois, sen (–x) = – sen x , � x � IR

• é uma função periódica, pois:

sen (2k� + x) = sen x , � x � IR , k � �

Para k = 1 obtém-se 2� ; este é o período mínimo da função.

• A expressão geral dos zeros é x = k� , k � � .

• A função tem máximos relativos para x = �2

�� + 2k� , k � � .

• A função tem mínimos relativos para:

x = + 2k� , k � � .

O gráfico da função seno define uma sinusóide.

3��2

A água que sai de uma torneira produz ondas na superfície de um tanque. Essas ondas são geradasperiodicamente e seguem o seguinte modelo matemático:

Y = 1,25 sen (0,8� x ) , x em segundos

9.1. Recorrendo à calculadora gráfica, esboçe um gráfico que represente este modelo no intervalo[0, 5] .

9.2. Qual é o intervalo de tempo entre duas cristas sucessivas de onda?

Resolução

9.1. Com a calculadora em MODE rad, e tendo em conta o intervalo dado, considerou-se a janelaapresentada na figura 2.

Obteve-se o gráfico apresentado na figura 3.

Exemplo 9

Fig. 3Fig. 3Fig. 2

WWWWWW



Com instrumentos apropriados, construiu-se a tabela ao lado, rela-tiva ao movimento circular de uma partícula, relacionando cada

instante, t (em segundos), com a distância, y (em centí-metros), a que a partícula se encontra do eixo Ox nessemesmo instante.

10.1. Utilizando a opção da calculadora gráfica, escreva uma expressão, definida poruma função do tipo

y = a sen (bt + c ) + d

que modele a situação dada.

10.2. Esboce o gráfico da função durante o primeiro segundo.

10.3. Determine a medida do raio da trajectória circular.

10.4. Indique a amplitude do ângulo � no instante t = 0 .

MODE STAT

Exemplo 10

9.2. Calcular o intervalo de tempo entre duas cristas sucessivas de onda é determinar o período dafunção. Pois, como se observa no gráfico, a função tem um único máximo absoluto cujo valor serepete periodicamente, definindo assim o período da função.

Para determinar o valor do período podemos determinar as abcissas de dois máximos consecu-tivos e depois calcular a diferença entre ambas. Recorrendo à calculadora, obtemos as abcissasx 1 � 0,625 e x 2 � 3,125 .

Calculando a sua diferença: x 2 – x 1 = 3,125 – 0,625 = 2,5

Logo, o período da função é 2,5, ou seja, de 2,5 segundos em 2,5 segundos forma-se uma crista.

t (s) y (cm)

0,00 9,93

0,10 17,04

0,20 19,97

0,30 18,02

0,40 11,65

0,50 2,43

0,60 –7,39

0,70 –15,39

0,80 –19,63

0,90 –19,06

1,00 –13,82

WWWWWW


EXERCÍCIO 18Considere a função real de va-riável real definida por:

f (x ) = –4 + 2 sen x

18.1. Verifique que a funçãonunca se anula.

18.2. Calcule:

f ��241

�� – f �– �53��

18.3. Determine x , tal que:

x � �0, �2�

�� e f (x ) = – �52�

Resolução

10.1. Na calculadora gráfica, efectuam-se os seguintes passos.

• Introduzir os valores dados na tabela em 1: Edit

• Ainda em , mas na opção Calc e escolhendo C: SinReg , obtém-se:

Atenção, a letra x representa a variável t .

• Por aproximação dos valores a , b , c e d , pode definir-se a função como:

y � 20 sen (5t + 0,52) + 0

ou introduzir na calculadora os valores obtidos, do seguinte modo:

5: statistics � EQ 1: RegEQ

• Escolher a janela de visualização mais adequada através da tabela de valores, tendo em aten-ção o contexto do exemplo.A seguir, apresenta-se uma opção.

• Verificar que os pontos marcados na opção LIST estão sobre o gráfico da função.

10.2.

10.3. Observando na página anterior a representação do movimento circular uniforme verificamospara t = 0,2 , y tem o valor máximo e coincide com o raio da trajectória. Assim, a medida doraio da trajectória é dada pelo máximo da função, ou seja, y � 20 .O raio tem de comprimento, aproximadamente, 20 cm.

10.4. No instante t = 0 temos y � 20 sen 0,52 , ou seja, a amplitude é de 0,52 rad .

STAT

STAT

Y = VARS ENTER


Função co-seno

Seja g a função, real de variável real, definida por:

g: IR → IR

x � cos x

Utilizando o método de trabalho semelhante ao do estudo da função y = sen x ,obtemos, a partir da calculadora gráfica ou do círculo trigonométrico, a seguinterepresentação gráfica:

de onde podemos concluir:

• Dg = IR

• D’g = [–1, 1]

• É uma função par, pois:

cos x = cos (–x) , � x � IR

• É uma função periódica, pois:

cos (2k� + x) = cos x , � x � IR , k � �

Para k = 1 , obtém-se 2� ; este é o período mínimo da função.

• A expressão geral dos zeros é:

x = + k� , k � �

• A função tem máximos relativos para:

x = 2k� , k � �

• A função tem mínimos relativos para:

x = � + 2k� , k � �

O gráfico da função co-seno define uma co-sinusóide.

��2

RECORDARO gráfico de uma função par é simétrico relativamente aoeixo Oy.

EXERCÍCIO 19Sabendo que � ∈ [0, 2�[ , indi-que os valores reais k tais que:

cos � = �4k

5– 1�

611

611

0

0

1

-1

23

35 2

3

y

x65

32

67

34

35

34

67

65

32 6 22

3

6



Em Janeiro, um gestor de uma empresa apresentou a relação entre a despesa d (em euros) de elec-tricidade, consumida pelo aquecimento central, e o tempo, t (em meses), no decorrer do último ano:

d (t ) = 200 cos (0,6t ) + 450

Note-se que t = 0 corresponde ao último dia do mês de Janeiro do ano em estudo.

11.1. Esboce o gráfico que representa a despesa ao longo do ano.

11.2. Determine a despesa relativa ao mês de Março.

11.3. Qual é o valor mínimo da despesa? E o máximo?

11.4. Mantendo-se as mesmas condições para o ano seguinte ao deste estudo, ao fim de quantosmeses a despesa atingirá o valor máximo? Com base no resultado obtido, justifique se o modeloapresentado é o adequado para o ano seguinte.

Resolução

11.1. Utilizando a calculadora gráfica, é necessário encontrar uma janela de visualização adequada,como, por exemplo, a que apresentamos na margem.

Verifique se a calculadora está em Radian, Seq., Dote siga os seguintes passos: u (n ) = 200 cos (0,6n ) + 450

. Utilizou-se esta opção pois o domínio da função é oconjunto dos últimos dias de cada mês.

Assim, obtemos o gráfico apresentado ao lado:

11.2. O mês de Março corresponde a t = 2 , logo:

d (2) = 200 cos (0,6 × 2) + 450 � 522,5

A despesa no mês de Março foi, aproximadamente, 522 euros e 50 cêntimos.

11.3. Usando a opção .

Obtemos para mínimo d � 252 euros (em 30 de Junho) epara o máximo, d � 642 euros , no dia 30 de Novembro.

11.4. Para resolver a questão podemos determinar o período dafunção.

Como d (t ) = d�t + � um período é ; observando o gráfico facilmente se conclui

que � 10,47 é o período mínimo.

No último dia do mês de Setembro, a despesa volta a atingir o valor máximo.

Tendo em conta o valor encontrado e as características do clima em Portugal, o modelo não éadequado, pois não é provável que no mês de Setembro a despesa em aquecimento atinja ovalor máximo.

2��0,6

MODE

GRAPH

Y =

TRACE

2��0,6

2��0,6

Exemplo 11

WWWWWW

Exercícios propostosExercícios 5, 6 e 20 a 23.Páginas 174, 176 e 177.



EXERCÍCIO 20Dada a função, real de variávelreal, definida por:

g (x ) = cos (2x ) – 3

20.1. Calcule:

g� �� – g� ��20.2. Com a ajuda da calcula-dora grá fica, indique:

• o contradomínio da função;

• um intervalo em que a funçãoseja crescente.

19�6

10�3

EXERCÍCIO 21Dada a função, real de variávelreal, definida por:

h (x ) = tg ��2x� � + 1

21.1. Indique o domínio e ocontradomínio da função.

21.2. Calcule o valor arredon-dado às centésimas de:

h��72

� �� – h��53

� ��21.3. Indique o período mínimoda função h .

21.4. Determine x , sabendoque: x � ]–�, �[ e h (x ) = 0 .


Função tangente

Com o auxílio da calculadora gráfica e do círculo trigonométrico, vamos traçar o

gráfico de t(x) = tg x .

Verificamos que o gráfico não apresenta um traço «contínuo», tendo várias inter-

rupções devido à tangente ser definida pelo quociente entre o valor da ordenada e o

valor da abcissa do ponto onde o lado extremidade do ângulo intersecta o eixo das

tangentes.

Este quociente só tem significado se a abcissa for diferente de zero, ou seja, por

exemplo, no intervalo em estudo [0, 2�] , a tangente só está definida para os ângulos

x tais que x � � , �� .

Podemos concluir que:

• Dt = IR\� + k� , k � ��• D’t = IR• É uma função ímpar, pois: tg (–x) = – tg x , � x � Dt

• É uma função periódica, pois:

tg (k� + x) = tg x , � x � Dt , k � �

Para k = 1 , obtém-se o período mínimo �

• A expressão geral dos zeros é: x = k� , k � �

• A função é crescente em qualquer intervalo do tipo:

�– + k�, + k�� , k � �

• O gráfico da função é simétrico em relação à origem.

O gráfico da função tangente define uma tangentóide.

3�2

��2

��2

��2

��2

611

611 0

3

3

6 3 2

2

3

6

65

32 18

7

187

32

65

35

23

34

65 2

67

34

23

35

x

y


Quatro aldeias situam-se nos quatro vérticesde um quadrado, de lado 1 quilómetro. A ope-radora de telecomunicações vai fazer umanova instalação de cabos, ligando as quatroaldeias. Apresentam-se, ao lado, vários esque-mas possíveis.

Determine o comprimento mínimo do cabo correspondente à solução mais económica. Apresente oresultado em quilómetros, arredondando às centésimas.

Nota:O comprimento do cabo de ligação (em quilómetros), em função da amplitude � (em radia-nos) do ângulo, é dado por:

C (�) = �co

2s �� + 1 – tg � com � � �0, �

in Modelação no Ensino da Matemática, Calculadora CBL e CBR, APM, Lisboa, 1999 (adaptado)

Resolução

Utilizando a expressão dada: C (�) = + 1 – tg �

inserimo-la na calculadora gráfica.

Para encontrar uma janela de visualização adequada (não esquecer que a calculadora deve estar emrad), consulte-se a tabela de valores (TABLE). Uma janela possível é a indicada na margem:

E a representação gráfica da função é:

Depois, calculamos o mínimo da função, que é:

C � 2,7320508para � � 0,52359937

O comprimento mínimo de cabo necessário será, aproximadamente, de 2,73 quilómetros.

2�cos �

��4

Exemplo 12

Fig. 5Fig. 4



EXERCÍCIO 22Considere a seguinte função,real de variável real:

h (x ) = sen x · tg x

22.1. Determine a expressãogeral dos zeros.

22.2. Calcule o valor, arredon-dado às centésimas, de:

4h� �� + 2h� ��22.3. Prove que:

h (x ) + cos x =

5�4

17�

3

1�cos x

EXERCÍCIO 23Considere a expressão:

f (x ) = a + b sen2x

Sempre que se atribui um valorreal a a e um valor real a b ,obtemos uma função de domí-nio IR .

23.1. Considere a = 2 e b = –5 .

Sabe-se que tg � = �12

� . Sem

recorrer à calculadora, calculef (�) .

23.2. Para um certo valor de ae um certo valor de b , a funçãof tem parte do seu gráficorepresentado na figura seguinte.

Conforme esta figura sugere:

• D ’f = [–3, 1]

• 0 e � são maximizantes.

• – �2�

� e �2�

� são minimizantes.

Determine a e b .

in Exame Nacional, 2003 (adaptado)

Na figura está representada a Terra e uma nave espacial, N .

Considere que a Terra é uma esfera de centro C e raio r .

A área da superfície da terra visível da nave, representada a sombreado na figura, é dada, em funçãodo ângulo � , por

f (�) = 2�r 2(1 – sen �) �� 0, �2�

��

13.1. Determine o valor de � para o qual é visível, da nave, a quarta parte da superfície terrestre.

13.2. Designando por h a distância da nave à Terra, mostre que a área da superfície da Terra visível

da nave é dada, em função de h , por g (h ) = .

Exame Nacional, in Matemática, Questões de Exame 12.o Ano, 1997-2003,2003, EME (adaptado)

Resolução

13.1. A área de uma superfície esférica é dada por A = 4�r 2.

Se só é visível da nave a quarta parte da superfície terrestre, então, a área desta é dada por A 1 = �r 2 .

O valor de � para o qual é visível, da nave, a zona referida é a solução da equação f (�) = �r 2 .

Então:

2�r 2(1 – sen �) = �r 2 ⇔ 2(1 – sen �) = 1 ⇔

⇔ 2 – 2 sen � = 1 ⇔ –2 sen � = –1 ⇔ sen � = �12�

Como � ∈ �0, � , o valor pretendido é � = .

13.2. Observando a figura temos: sen � = �C�N�

r� ⇔ sen � = �

r +r

h�

Como a área da superfície terrestre visível é dada por 2�r 2 (1 – sen �) , logo, substituindo nesta

expressão sen � por �r +

rh

� , obtemos:

2�r 2 (1 – sen �) = 2�r 2�1 – �r +

rh

�� = 2�r 2 � � =

ou seja, g(h) = .

2�r 2h�

r + h

��2

r + h – r�

r + h

��6

2�r 2h�

r + h

2�r 2h�

r + h

Exemplo 13

C N

A

B

r

r h

Exercícios propostosExercícios 24 a 28.Páginas 178 a 180.

Caderno de ExercíciosExercícios 24 e 25.

Página 84.


RESUMINDO

*Facultativo

Redução ao 1.o quadrante*

• sen � – �� = cos � • sen � + �� = cos �

• cos � – �� = sen � • cos � + �� = –sen �

• sen (� – �) = sen � • sen (� + �) = –sen �

• cos (� – �) = –cos � • cos (� + �) = –cos �

• tg (� – �) = –tg � • tg (� + �) = tg �

• sen � – �� = –cos � • sen � + �� = –cos �

• cos � – �� = –sen � • cos � + �� = sen �

• sen (2� – �) = –sen � • sen (– �) = –sen �

• cos (2� – �) = cos � • cos (– �) = cos �

• tg (2� – �) = –tg � • tg (– �) = –tg �

Equações trigonométricas

Considere � em radianos:

• sen x = sen � ⇔ x = � + 2k� ∨ x = (� – �) + 2k� , k � �

• cos x = cos � ⇔ x = ± � + 2k� , k � �

• tg x = tg � ⇔ x = � + k� , k � �

��2

��2

��2

��2

3��2

3��2

3��2

3��2


www.matematicaB.TE.ptLinks : Funções trigonométricas • Assuntos diversos relacionados com a trigonometria


As funções periódicas, como as funções seno e co -seno, têm inúmeras aplicações. Desde a física, a engenharia, a car-tografia, a navegação, até à zoologia, surgem fenómenos que se repetem periodicamente, com movimentos ondula-tórios ou vibratórios. O simples acto de sintonizar um determinado canal no nosso televisor não é mais do que captarum determinado comprimento de onda.

O movimento vibratório de uma corda musical também é analisado com base nas funçõestrigonométricas, tendo sido Brook Taylor (1685-1731) quem assim o considerou pela pri-meira vez.

A luz, o som, a electricidade,... são igualmente fenómenos periódicos.

No século XVII, Christiaan Huygens formulou a teoria ondulatória da luz e estudou várias curvas relacionadas com funções trigonométricas. Mais tarde, Augustin Fresnel (1788-1827),físico francês, explicou os fenómenos relativos à teoria ondulatória da luz como parte deondas sinusoidais, mas foi Thomas Young (1773-1829) quem provou que a luz se propaga porondas e que a cada cor corresponde um respec tivo comprimento de onda.

As marés são fenómenos naturais periódicos causados pela mútua atracção entre a Terra e aLua, e pelo movimento de rotação da Terra. É de salientar a contribuição de Joseph Fourierpara o estudo destes fenómenos.

É também notável a contribuição dada por Nicolau Copérnico, matemático e astrónomo,que conseguiu a aceitação, por parte da sociedade científica, da teoria sobre o movimentoda Terra em torno do Sol, já que na sua obra De lateribus angulis triangulorum definiuvários conceitos que, juntamente com a obra De triangulis e tabulae directorum, do mate-mático Regiomontanus, permitiram o desenvolvimento da trigonometria.

No entanto, foi só com François Viète (1540-1603) que a trigonometria se transformou numramo independente da Matemática. Em Canon mathematicus, escrito em 1579, apresentouas primeiras tábuas naturais das funções trigonométricas para amplitudes de ângulos deminuto a minuto e concluiu a periocidade destas funções.

«Como é difícil para um investigador interpretar os seus resultados sem ajuda da

matemá tica…»

Lord Rayleigh (físico britânico)

Christiaan Huygens[1629-1695]

Joseph Fourier[1768-1830]

Nicolau Copérnico[1473-1543]

Fig. 6 Onda sonora.


«A matemática produz um impulso, de tal maneira que qualquer resultado

novo aponta imediatamente para um outro.»

Alfred Adler (psicólogo austríaco)

OBJECTIVOS

Pretende-se com esta actividade determinar uma expressão geral das soluções de equações trigo-nométricas.

MATERIAIS

Calculadora gráfica Texas TI-84 Plus.


Equações trigonométricas

sen x = c

Calcule as soluções da equação sen x = c , no intervalo [0o, 360o[ .

Antes de iniciar a actividade, verifique se a unidade angular se encontra definida em graus edefina a janela conveniente para a visualização das soluções.

sen x = 0,8

Introduza na calculadora gráfica as expressões sen x e 0,8 em Y1 e Y2 , respectivamente, eesboçe os gráficos respectivos.

Determine as abcissas dos pontos de intersecção das duas linhas, utilizando a opção Intersect (1).

Repita os passos anteriores, para determinar as soluções das equações, arredondadas às cen-tésimas:

Copie para o seu caderno as tabelas e as expressões por preencher que se seguem e complete-as.

Que relação existe entre as soluções de cada equação?

(1) Nas calculadoras Casio FX-9860GII ou FX-9860GII SD, depois de desenhar o gráfico (pressionando F6), prima F5 (G-SOLV) e utilizea opção ISECT.


1. sen x = 1,5

2. sen x = 1

3. sen x = 0,5

4. sen x = 0

5. sen x = – 0,3

6. sen x = –1

7. sen x = –1,8

Número de soluçõesSoluções

�1 + �2�1 �2

sen x

0,81,51,50,50,0

–0,3,0–1,03–1,3,0

WWWWWW


Sabendo que a função seno admite período mínimo 360o, podemos escrever que a expressãogeral das soluções da equação sen x = c é:

sen x = c ⇔ sen x = sen � ⇔ x = _________________________ ∨ x = _________________________ , k � ZZ

Faça um estudo semelhante para as equações cos x = c e tg x = c e apresente as conclusões.

cos x = c


Sabendo que a função co-seno admite período mínimo 360o, podemos escrever que a expres-são geral das soluções da equação cos x = c é dada por:

cos x = c ⇔ cos x = cos � ⇔ x = _________________________ ∨ x = _________________________ , k � ZZ

tg x = c


Sabendo que a função tangente de x admite período mínimo 180o, podemos escrever que aexpressão geral das soluções da equação tg x = c é:

tg x = c ⇔ tg x = tg � ⇔ x = _________________________ , k � ZZ



�1 + �2�1 �2

cos x

0,81,51,50,50,0

–0,3,0–1,03–1,3,0


�1 + �2�1 �2

tg x

0,81,51,50,50,0

–0,3,0–1,03–1,3,0


«O último esforço da razão é reconhecer que existe uma infinidade de coisas

que a ultrapassam.»

Blaise Pascal (físico e matemático francês)

OBJECTIVOS

Pretende-se com esta actividade relacionar as coordenadas rectangulares com as coordenadaspolares.


Coordenadas polares

1. Considere o triângulo rectângulo [OAP ] e o ângulo θ .Seja —OP = 2 . Escreva, em função de θ , o comprimento dos segmentos [AP ] e [AO ] .

2. Considere agora o triângulo [OAP ] num referencial polar, de modo que o vértice Ocoincida com a origem do referencial e o ponto A pertença ao semi-eixo positivo Ox .Tendo em conta a questão 1, escreva as coordenadas do ponto P em função do ângulo θ .

3. Considere um ponto qualquer, Q , pertencente ao 1.o quadrante.Escreva as coordenadas de Q em função do ângulo θ (ângulo formado por o semi-eixopositivo ·Ox e a semi-recta ·OQ ) e em função de r (comprimento de [OQ ] ).

Nota: Tenha em conta que —OQ = r = �x2� +� y�2� e θ = tg–1 ��yx��

Actividade práticaT8*

*Facultativo


Já são nossas conhecidas as coordenadas cartesianas, introduzidas por René Descartes ePierre de Fermat.

Acabámos de estabelecer uma correspondência entre um ponto do plano, Q , com o ânguloθ , formado pelo semi-eixo positivo ·Ox e pela semi-recta ·OQ .

Chamamos a estas novas coordenadas coordenadas polares.

Coordenadas cartesianas ↔ Coordenadas polares

P (x, y ) ↔ P (r, θ)

x = r cos θ

y = r sen θ

4. Considere as três circunferências representadas com raios 1, 2 e 3 unidades. Sabendo que ascircunferências estão divididas em doze partes iguais, escreva as coordenadas polares dospontos A , B , C , D , E e F .

5. Considere as coordenadas polares dos seguintes pontos:

P�2, ��54�� , Q�0,5; �

56�� e R�1,5; –�

32��

5.1. Represente no seguinte referencial os pontos P , Q e R .

5.2. Determine as coordenadas rectangulares dos pontos P , Q e R .



«Nenhuma investigação merece o nome de Ciência se não passa pela demons-

tração matemática.»

Leonardo da Vinci (cientista italiano)

OBJECTIVOS

Pretende-se, com esta actividade, modelar o movimento de um pêndulo.

MATERIAIS


Sensor CBR.

Pêndulo.


Funções trigonométricas

f (x ) = a sen (bx + c ) + d

Calculadora Texas TI-84 Plus

Passos:

1. Ligue o sensor à calculadora gráfica.

2. Prima a tecla 2: CBL/CBR 3: Ranger 1: setup/sample�Start Now .

3. Ponha o pêndulo a oscilar na direcção do sensor .

4. Quando o gráfico terminar, prima 1: show plot .

5. Escolha a parte do gráfico que melhor represente uma sinusoidal. Para isso, deve fazer2: Select Domain e, com as setas ��, escolher o valor da esquerda e o valor da

direita do domínio que achar conveniente. 5 : Quit .

6. Surgem no ecrã as seguintes listas:

L1 tempo

L2 distância

L3 velocidade

L4 aceleração

7. Prima as teclas � C: SinReg .

8. Obtém-se a função trigonométrica do tipo f (x ) = A sen (bx + c ) + d .

ENTER ENTER ENTER

ENTER

ENTER

APPS

ENTER

ENTER

ENTER

STAT CALC ENTER ENTER



Calculadoras Casio FX-9860GII ou FX-9860GII SD

Passos:

1. Ligue o analisador à calculadora pelo cabo SB-62 e o sensor de movimento ao analisadorde dados EA-200 (na porta SONIC).

2. Na calculadora, entre no aplicativo ECON2 e pressione (SET UP) e escolha a opção 2(Advan).

Na primeira opção (Channel), active a porta SONIC. Na segunda opção (Sample), seleccioneo intervalo de tempo (por exemplo, 0,2 segundos) e o número de contagens (por exemplo, 30).

Quando a experiência estiver pronta, pressione (STRT).

3. Coloque o sensor de movimento a 50 cm do pêndulo. Coloque o pêndulo a oscilar. Pressione.

4. Quando a recolha estiver feita é exibido um gráfico.

5. Com o gráfico desenhado, prima OPTN seguido de (CALC). Rode o menu atéencontrar em a regressão Sin. Movendo o cursor, seleccione o valor inicial e o final.Para validar a escolha, pressione a tecla . A expressão é exibida. Para desenhar prima

e para copiar a expressão para o editor de funções, prima (COPY).

O valor d apresentado é o ponto inicial.

EXE

EXE

F1

F1

F4 F6

F6 F5

F1



«A capacidade de persistir, reflectir, investigar e trazer à memória outras

experiências é a chave para uma conclusão bem sucedida.»

Brian Bolt (matemático norte-americano)

OBJECTIVOS

Pretende-se com esta actividade consolidar os conhecimentos e aplicações das funçõestrigonométricas.

MATERIAIS

Vídeo do DES – «Projecto Matemática em Acção; Senos e Co-senos», Parte I.


Movimentos circulares e ondas sinusoidais

Com base no vídeo que lhe foi apresentado, complete, no seu caderno, as seguintes afirmações:

1. Um radiano corresponde a __________________________________________________________________________________ .

2. A palavra radiano é a abreviatura de ________________________________________ .

3. Um ângulo de 360o corresponde a ________________________________________ radianos.

4. A função seno varia entre ____________ e ______________ .

5. Considerando o intervalo [0, 2�] , a variação de sinal do seno é _______________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________________ .

6. A função seno tem ________________________________________ por período mínimo.



7. Quanto à paridade, a função seno é ________________________________________ .

8. A abreviatura da palavra co-seno corresponde a ________________________________________ .

9. O gráfico do co-seno pode obter-se do gráfico do seno, desde que se desloque este último________________________________________ radianos.

10. As coordenadas de um ponto sobre o círculo trigonométrico podem ser expressas emfunção das razões trigonométricas do ângulo cujo lado extremidade intersecta o círculonesse ponto do seguinte modo: ________________________________________ .

11. Todas as notas musicais correspondem a um gráfico sinusoidal? _______________ .

12. Duas notas musicais diferentes têm ________________________________________ diferentes.

13. A amplitude de uma nota musical varia com ________________________________________ .

14. Um gráfico de um som mais complexo pode ser obtido como _____________________________________ .

_____________________________________________________________________________________________________________________ .

15. ________________________________________ foi o matemático que, no início do século XIX, afirmou que«qualquer onda periódica é uma combinação de ondas de senos e co-senos com amplitudese frequências apropriadas».

TRABALHO DE GRUPO

Constitua um grupo de trabalho.

Com a ajuda de um sensor de som – CBL, uma calculadora gráfica Texas TI-Nspire e um instru-mento que produza som (apito, flauta, sino, etc.), obtenha um gráfico de uma função trigono-métrica. (1)

Estude essa função quanto ao período, à amplitude e à existência de máximos e mínimos.

Apresente as conclusões na forma de um relatório.

(1) No caso das calculadoras Casio FX-9860GII ou FX-9860GII SD (com o aplicativo ECON 2), deverá utilizar-se oanalisador de dados Casio EA-200 com o sensor de som.




1. Resolva, no intervalo [0, 2�] , a equação tg x = 3 .

Resolução

1. Recorrendo à calculadora gráfica, determinamos um valor aproximado para uma amplitude de um ângulo cujatangente é 3.

Primeiro, devemos verificar se a calculadora está em Rad.

x = tg–1 3 � 1,249045772

Por conveniência de cálculos, devemos escrever este valor em função de � . Para tal, basta dividir o valor obtidopor � .

x � 0,40�

Para esta aproximação, podemos então escrever:

tg x = 3 ⇔ tg x � tg 0,40� ⇔

⇔ x � 0,40� + k� , k � ZZ

Como se pretendem apenas as soluções pertencentes ao intervalo [0, 2�] , temos de atribuir valores inteiros a k ,de modo a determinar essas soluções.

• Se k = 0 , x = 0,40�

• Se k = 1 , x = 0,40� + � ⇔ x = 1,40�

• Se k = – 1 , x = 0,40� – � ⇔ x = –0,60�

Como a solução para k = –1 não pertence ao intervalo [0, 2�] , não é necessário atribuir a k valores inferiores a –1 .

• Se k = 2 , x = 0,40� + 2� ⇔ x = 2,40�

Como a solução é superior a 2� , não é necessário atribuir a k valores inteiros superiores a 2.

As soluções são aproximadamente iguais a 0,40� e 1,40� .

O conjunto solução é:

S = {0,40�; 1,40�}

MODE


2. Um ponto material, de massa 200 g, está animado de movimento circular uniforme e efectua 120 voltas por minuto.O espaço linear percorrido em 5,0 segundos é 6,28 metros.

2.1. Sabendo que a equação da elongação de um movimento vibratório simples é dada pela expressão:

y = A sen (�t) ( y em metros)

em que:

• frequência angular, � = ;

• período T = (posição corresponde ao número de voltas dadas no intervalo de tempo);

• A = R sendo, R = , onde �s é a variação do espaço percorrido;

escreva a equação da elongação do movimento vibratório simples que se obtém projectando este movimento circu-lar sobre o diâmetro da circunferência.

2.2. Calcule o valor da elongação ao fim de 12,2 segundos.

Resolução

2.

2.1. Atendendo que T = , e se a partícula efectua 120 voltas por minuto (60 segundos) temos que

T = ⇔ T = 0,5 .

E como � = , então, � = ⇔ � = 4� .

Sabendo que A = R e R = , então, R = ⇔ R � 0,0999 ⇔ R � 0,1

logo, A � 0,1 .

Então, a equação deste movimento é:

y = 0,1 sen (4�t)

2.2. Substituindo a variável t por 12,2, obtemos:

y (12,2) = 0,1 sen (4� × 12,2) � 0,0588

Ao fim de 12,2 segundos, a elongação é, aproximadamente, 0,06 metros.

2��

T

intervalo de tempo��

posição

�s��t

intervalo de tempo��

posição

60�120

2��

T2��0,5

�s��t

6,28�4� × 5




*3. O que se pode concluir acerca da veracidade da afirmação:

«O ponto A de coordenadas cartesianas (1, 1) corresponde ao ponto de coordenadas polares ��2�, �4�

�� .»

Resolução

3. Para verificar a veracidade da afirmação anterior, temos de verificar se o ponto A pertence à circunferência deraio �2� . Para tal vamos recorrer ao teorema de Pitágoras.

12 + 12 = r 2 ⇔ r 2 = 2 ⇔ r = �2�

Em seguida, verificamos se o ângulo formado pela semi-recta O·A e o semieixo positivo O

·x tem amplitude �

4�

� .Recorrendo às razões trigonométricas, temos que:

tg θ = , ou seja , θ = tg–1 (1) ⇔ θ = �4�

� , θ � [0, 2�[

Logo, podemos concluir que a afirmação é verdadeira.

*4. Seja B o ponto de coordenadas polares �2, �3�

�� . Determine as coordenadas cartesianas do ponto B .

Resolução

4. Atendendo à relação entre as coordenadas polares e as coordenadas cartesianas, temos que:

x = r cos θ e y = r sen θ

Então, x = 2 cos �3�

� ⇔ x = 2 · ⇔ x = 1 e y = 2 sen �3�

� ⇔ y = 2 ⇔ y = �3� .

Logo, as coordenadas do ponto B são (1, �3�) .

*5. Escreva as coordenadas cartesianas do ponto C cujas coordenadas polares são �–3, �4�

�� .

Resolução

*5. Como o valor de r é negativo, devemos somar � rad à amplitude do ângulo. Assim, o ponto está sobre a

circunferência de raio 3 e θ = �4�

� + � = �54�� .

O ponto pertence ao 3.o Q. e as suas coordenadas cartesianas são expressas por:

�3 cos �54�� , 3 sen �

54�� = �– , – �

1�1

1�2

�3��2

3�2��2

3�2��2

*Facultativo

(r > 0)


Nos exercícios 1 a 9, de escolha múltipla, seleccione a resposta correcta de entre as alternativas que lhe sãoapresentadas.

1. Se sen � + �� = , então, cos � é igual a:

A. B. – C. D. –

2. Considere as seguintes afirmações:

I A função seno é crescente no 1.o Q.

II A função co -seno é decrescente e positiva no 2.o Q.

III A função tangente é apenas crescente no 2.o Q.

Quais são as afirmações verdadeiras?

A. I e II. B. II e III. C. I e III. D. Apenas I.

3. O conjunto solução da equação cos x = – , no intervalo [–�, �] , é:

A. �– , � B. �– , � C. � , � D. {0, �}

4. A equação sen x = , no intervalo �– , � , tem como conjunto solução:

A. �– , � B. � , � C. � � D. � �

5. O período mínimo da função definida por f (x ) = 4 + 3 cos �4x + � é:

A. B. �6�

� C. 2� D. 4�

6. Sabendo que f (x ) = sen (2x ) + cos x , podemos afirmar que:

A. f (x ) = f (–x ) B. f (x ) = f (� – x ) C. f (x ) = –f (� – x ) D. f (x ) = f � – x�

��2

2�3

2�3

2�3

�5�3

�5�3

1�2

��3

��3

2��

32��

32��

34��

3

�3�2

��2

��2

��3

��3

��3

2��

32��

3��3

��3

��2

��2



*7. O ponto de coordenadas cartesianas (–4, 4) tem como coordenadas polares:

A. ��3�2�, � B. �–�3�2�, � C. �4�2�, � D. �4�2�, – �

*8. O ponto de coordenadas polares �–2, � corresponde ao ponto de coordenadas cartesianas:

A. (�3�, 1) B. (1, �3�) C. (�3�, 1) D. (–1, �3�)

*9. O ponto de coordenadas �–2, � pertence ao:

A. 1.o Q. B. 2.o Q. C. 3.o Q. D. 4.o Q.

10. Sendo tg � = �54

� e cos � < 0 , calcule o valor arredondado às centésimas, da seguinte expressão: sen2 � – 3 cos � .

11. Sabendo que � � 3.o Q. e que cos � + �� = �13� , calcule o valor arredondado às centésimas da expressão:

sen (� – �) + cos (2� + �) + tg �

12. Sabendo que � � 2.o Q. e que tg (� + �) = –3 , calcule:

sen � – �� + cos � + �� + tg �

13. Sabendo que � e � pertencem ao 1.o Q. e que sen � = �14

� e cos � = , calcule o valor arredondado às

centésimas da seguinte expressão:

cos � + sen � + tg � · sen �

14. Resolva, em IR , as seguintes equações:

14.1. tg x = 14.2. tg (2x ) = 1 14.3. tg �x + � = �3� 14.4. tg �2x – � = 0

15. Resolva, em IR , as seguintes equações:

15.1. sen (2x ) = 15.2. cos �x + � = 15.3. cos (3x ) = – �12� 15.4. 2 sen x – 1 = 0

��4

3��

43�

��4

��4

��

6

4��

3

��2

��2

3��

2

�2��2

�3��3

��3

��6

�2��2

��3

�3��2


*Facultativo


*16. Resolva, em [–�, �[ , as seguintes equações:

16.1. sen x = – 16.2. cos �x + � = 16.3. tg (2x ) = �3�

*17. Escreva as coordenadas polares dos pontos cujas coordenadas cartesianas são:

17.1. A(–8, 8) 17.3. C (3, – 3 �3�)

17.2. B (� 1�8�, �6�) 17.4. D (–2, – � 1�2�)

*18. Escreva as coordenadas cartesianas dos seguintes pontos expressos em coordenadas polares.

18.1. P �2, – � 18.3. R ��2�, – �

18.2. Q �1, � 18.4. S �4, – �

*19. Represente num referencial polar os seguintes pontos:

I. A �1, � III. C �3, – �

II. B �–1, – � IV. D �4, – �

*20. A pedido de um cliente, um fabricante tem de construir peças metálicas de área máxima com a forma de umtrapézio, em que:

A�B� = B�C� = C�D� = 2 dm

Designando por � a amplitude (em radianos) do ângulo A DC :

20.1. Exprima a altura h do trapézio e o comprimento da base maior, em função de � .

20.2. Prove que a área A(�) do trapézio é dada, em dm2, por: A (�) = 4 sen � + 4 sen � · cos �

20.3. Com o auxílio da calculadora gráfica, determine, em dm2 e com aproximação às décimas, a área máxima dapeça.


�3��2

��5

�2��2

��3

3��

2

5��

4

7��

6

4��

35�

��6

��4

5��

3


*Facultativo


21. Para iluminar uma região circular de 2 m de raio, coloca-se um foco da luz sobre a vertical que passa pelo centrodessa região. A intensidade luminosa do foco F , em certa unidade, é dada por:

I =

sendo h a altura, em metros, a que se coloca o foco e � a amplitude do ângulo assinalado na figura que se segue.

21.1. Mostre que I é dada por:

I (�) = �1

4� cos2 � · sen �

21.2. Com o auxílio da calculadora gráfica, determine, em radianos, um valorarredondado às centésimas para a amplitude � , de modo que a inten-sidade seja máxima.


22. Uma partícula oscila com MHS (movimento harmónico simples), sendo a equação da elongação dada por:

y (t ) = 6,0 × 10–2 sin � t + �Determine:

22.1. O período das oscilações.

22.2. A elongação no instante inicial.

22.3. A elongação ao fim de 2 segundos.

Apresente os resultados arredondados às centésimas.

23. As marés são fenómenos periódicos, que podem ser modelados por uma função do tipo:

Y = a + b sen (ct + d )

em que Y é o nível da água, em metros, e t o tempo, em horas.

Numa praia da costa portuguesa, em determinado dia, foram feitas várias medições que permitiram chegar àseguinte função:

Y = 3 + 2 sen ��2t��

23.1. Com o auxílio da calculadora gráfica, esboce o gráfico da função, durante o período de um dia.

23.2. Às oito horas da tarde, qual era o nível da água?

23.3. Em que momentos a água atingiu o nível de quatro metros?

sen ��

h2 + 4

2��

3��6


Fig. 7 Metrónomo.


24. Na figura que se segue encontram-se representações gráficas de duas funções, f e g , de domínio [0, 2�] ,definidas por:

f (x ) = sen (2x )

g (x ) = cos �2x – �

onde P1 , P2 , P3 e P4 são os pontos de intersecção dos gráficos de f e de g .

A abcissa de P1 é .

24.1. Determine as coordenadas de P2 .

24.2. Defina por condições, a região sombreada, incluindo a fronteira.


25. O satélite S tem uma órbita elíptica em torno daTerra, tal como se representa na figura.Tenha em atenção que os elementos nela desenhadosnão estão na mesma escala.Na elipse, estão assinalados dois pontos:

• o apogeu, que é o ponto da órbita mais afastado docentro da Terra;

• o perigeu, que é o ponto da órbita mais próximo docentro da Terra.

O ângulo de amplitude x , assinalado na figura, tem o vértice no centro da Terra; o seu lado origem passa no peri-geu, o seu lado extremidade passa no satélite e a sua amplitude está compreendida entre 0 e 360 graus.

A distância d , em km, do satélite ao centro da Terra, é dada por d = �1 + 0

7,80

27

0cos x

� .

Considere que a Terra é uma esfera de raio 6378 km.

25.1. Determine a altitude do satélite (distância à superfície da Terra) quandoeste se encontra no apogeu. Apresente o resultado em km, arredondando às unidades.

25.2. Num certo instante, o satélite está na posição indicada na figura.

A distância do satélite ao centro da Terra é, então, de 8200 km.

Determine o valor de x , em graus, arredondado às unidades.in Exame Nacional, 2000 (adaptado)

5��

6

��3




26. No ano 2000, em Lisboa, o tempo que decorreu entre o «nascer» e o «pôr-do-sol», no dia de ordem n do ano, foidado em horas, aproximadamente, por:

f (n ) = 12,2 + 2,64 sen n � {1, 2, 3, …, 366}

(O argumento da função seno está expresso em radianos.)

Por exemplo: no dia 3 de Fevereiro, trigésimo quarto dia do ano, o tempo que decorreu entre o «nascer» e o«pôr-do-sol» foi de f (34) � 10,3 horas.

26.1. No dia 24 de Março, Dia Nacional do Estudante, o sol «nasceu» às seis e meia da manhã. Em que instanteocorreu o «pôr-do-sol»? Apresente o resultado em horas e minutos (minutos arredondados às unidades).

Notas

• Recorde que, no ano 2000, o mês de Fevereiro teve 29 dias.

• Sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais.

26.2. Em alguns dias do ano, o tempo que decorreu entre o «nascer» e o «pôr-do-sol» foi superior a 14,7 horas. Recor-rendo à sua calculadora, determine em quantos dias do ano é que isso aconteceu. Indique como procedeu.


27. Num certo dia de Verão, as temperaturas, em graus Celsius, fora e dentro de uma determinada habitação, sãodadas, respectivamente, por:

f (t ) = 25 + 10 cos

e

d(t ) = 21,5 + 3,5 cos

(t designa o tempo, em horas, contado a partir das 0 horas desse dia.)

�(t + 10)��

12

�(t + 9)�

12

�(n – 81)��

183



Recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora, recolha os dados que lhe permitam calcular:

• a amplitude térmica (diferença entre o valor da temperatura máxima e o valor da temperatura mínima) dentrode casa;

• a amplitude térmica fora de casa;

• o desfasamento térmico (tempo que decorre entre as ocorrências das temperaturas máximas, fora e dentro decasa).

Transcreva os gráficos obtidos, bem como os valores encontrados.

Numa pequena composição, com cerca de dez linhas, refira o que se pode concluir acerca das condições de iso-lamento da referida habitação (admita que uma habitação se considera bem isolada se a amplitude térmicadentro de casa for inferior à terça parte da amplitude térmica fora de casa, e se o desfasamento térmico forsuperior a uma hora e meia).


28. A Rita está a participar num concurso de lançamentos de papagaios depapel.

No regulamento do concurso, estão as condições de apuramento para afinal, que se reproduzem a seguir.

Após um certo instante, indicado pelo júri:

• o papagaio não pode permanecer no ar mais do que um minuto;

• o papagaio tem de permanecer, pelo menos durante doze segundosseguidos, a uma altura superior a dez metros;

• o papagaio tem de ultrapassar os vinte metros de altura.

Admita que a distância, em metros, do papagaio da Rita ao solo, tsegundos após o instante indicado pelo júri, é dada por:

d(t ) = 9,5 + 7 sen ��2t0

2

0�� + 5 cos ��

4t��

(Os argumentos das funções seno e co-seno estão expressos em radianos.)

Note-se que, a partir do instante em que o papagaio atinge o solo, a sua distância ao solo deixa de ser dada poresta expressão, uma vez que passa a ser (naturalmente) igual a zero.

Deverá a Rita ser apurada para a final?

Utilize a calculadora para investigar esta questão. Numa pequena composição, com cerca de dez linhas, expliciteas conclusões a que chegou, justificando-as devidamente. Inclua, na sua resposta, os elementos recolhidos nautilização da calculadora: gráficos e coordenadas de alguns pontos (coordenadas arredondadas às décimas).

in Exame Nacional, 2.a fase, 2003 (adaptado)

CASIO FX-9860GII OU FX-9860GII SG 181

Gráficos estatísticos (Páginas 24, 28, 45 e 70)

Introduza os valores nas Lista 1 e Lista 2. Para desenhar um gráfico estatístico pressione (GRPH). Deve selec-cionar o tipo de gráfico, assim como as listas que vão ser representadas no respectivo gráfico. Pressione (SET)para efectuar essa configuração. Coloque o cursor em cima da opção «Graph Type» e seleccione o tipo de gráfico.Rode o menu (F6) para ter acesso a mais tipos de gráficos. No caso de escolher o histograma, pressione (Hist).

Nota: No caso de pretender a representação gráfica do diagrama de extremos e quartis, pressione (box).

Regresse ao ecrã anterior e peça o desenho do gráfico (F1 – GPH1). Defina o valor inicial da amplitude. Pres-sione para desenhar. No caso de desejar visualizar os diversos parâmetros estatísticos para esta amostra,pressione (1Var).

Cálculo das frequências acumuladas (Página 25)

Coloque o cursor sobre a Lista 3 e pressione . A barra de ferramentas altera.Pressione para ter acesso às opções da LIST. Pressione o número de vezesnecessárias para encontrar as frequências acumuladas (CumL) e pressione .Para escrever a palavra «List» utilize o atalho do teclado . Introduza onúmero da lista, neste caso 2. Pressione e o resultado é exibido.

Cálculo das frequências relativas

Coloque o cursor sobre a Lista 4 e pressione . Repita os passos anteriores até encontrar as frequênciasrelativas em (%) e pressione . Siga os passos como anteriormente e o resultado é exibido. Pressione e oresultado é exibido. Se for necessário apagar uma linha completa, pressione para recuar nos menus e utilizea tecla (DEL-A).

Parâmetros estatísticos (Páginas 35, 38, 40, 43, 59, 60 e 70)

Introduza os valores nas listas. Pressione (calc) e defina as listas que vão ser utilizadas no cálculo em(SET). Depois de efectuar a definição, regresse ao ecrã anterior (EXIT) e pressione (1VAR). Para visualizar osrestantes valores, utilize o cursor.

F1

F6

F1

F2

EXIT

EXE

F1

F2 F6

F1

OPTN

F1 F6

F3

SHIFT 1

EXE

OPTN

F4 EXE

EXIT

F4

CALCULADORAS CASIO FX-9860GII OU FX-9860GII SD

Determinar a amplitude de um ângulo em graus, minutos e segundos (Página 95)

Defina o SET UP da máquina (SHIFT MENU), na unidade angular (F1).

Introduza o valor, pressione . Pressione , seguido de . Escolha a opção (ANGL). Escolha a opçãopara converter o valor em graus, minutos e segundos.

Converter graus em radianos (Página 116)

O SET UP (SHIFT MENU) deverá estar em radianos:

Escreva «30», pressione , seguido de (rodar a barra de ferramentas). Pressione (ANGL). Pressione(o). Ao pressionar é exibido o resultado.

Converter radianos em graus (Página 116)

O SET UP (SHIFT MENU) deverá estar em graus:

Escreva « », pressione , seguido de (rodar a barra de ferramentas). Pressione (ANGL). Pressione

(r). Ao pressionar é exibido o resultado.

GRAUS

EXE

EXE

OPTN

OPTN

F6 F5

F6 F5

F1

F5

F5F6OPTN��5

EXEF2

CALCULADORAS CASIO182

Em ambas as conversões, pode utilizar o catálogo da máquina (SHIFT 4) e com as setas do cursor encontrar osímbolo «o» ou «r».

Escrita de funções trigonométricas (Página 124)

Defina o SET UP da máquina (SHIFT MENU), na unidade angular GRAUS (F1)

Para introduzir sin-1, deve utilizar SHIFT SIN, seguido do número e .

Para introduzir tg-1, deve utilizar SHIFT TAN, seguido do número e .

Círculo trigonométrico (Página 129)

No menu gráfico, escolha as coordenadas polares, pressionando (TYPE), seguido novamente de (Param).

Escolha a janela de visualização (SHIFT F3) [– �; �] × �– ; �.

Deve configurar a unidade angular para radianos. No SET UP (SHIFT MENU) ande com as setas do cursor para baixoaté encontrar a opção «Angle». Pressione (Rad) para seleccionar «radianos».

No editor de funções, escreva a função co-seno em Xt1 e seno em Yt1. Pressione (Draw) para desenhar o gráfico.

F3F3

��2

��2

F2

F6

EXE

EXE


CALCULADORAS CASIO 184

Conversão de coordenadas cartesianas em coordenadas polares e vice-versa

Coordenas cartesianas para polares (Página 148)

No menu , pressione a tecla , rode o menu pressionando até encontrar em a opção .Pressione esta tecla. Rode o menu, pressionando . Encontra em (Pol) a opção que lhe permite convertercoordenadas cartesianas em polares.

Introduza as coordenadas separadas por uma vírgula. Ao pressionar o resultado é exibido. Neste caso sabe-

mos que r = 2 e … = .

Se pretender saber o resultado na forma decimal (neste caso, só o valor de …), pressione a tecla .

Coordenas polares para cartesianas (Página 149)

O processo é idêntico ao anterior (conversão de coordenadas cartesianas em polares). Para converter de coordenadaspolares em cartesianas, pressione (Rec).

Introduza as coordenadas separadas por uma vírgula. Ao pressionar o resultado é exibido. Neste caso sabe-mos que x = �3� e y = 1 .

ANGLF5F6OPTNRUN

F1F6

EXE

��3

F2

EXE

F–D

Alguns lugares geométricos (Página 150)

Altere o tipo de coordenas para polares, pressionando (TYPE) seguido de (r=). Introduza a expressão. A uni-dade angular é «graus».

Utilize a seguinte janela de visualização. A unidade angular, para esta janela de visualização, deve ser em graus.

Regressão sinusoidal (Páginas 152 e 154)

No menu STAT, introduza os dados nas listas 1 e 2.

a) Para desenhar o gráfico dos pontos pressione (GRPH), mas antes de efectuar o esboço deve ter em atenção aforma como definiu os dados de saída. Pressione (SET) e verifique se a máquina está definida desta forma.Regresse ao ecrã anterior (EXIT) e pressione (GPH1). O gráfico de pontos é apresentado.

Escolha a regressão pretendida. Neste caso, regressão sinusoidal. Pressione , seguido de , até encontrar aopção «sin» em . Pressione esta tecla e são exibidos os vários parâmetros da regressão.

Por aproximação, pode definir-se a função da seguinte forma:

y = 20 sen (5x + 052)

F2F3

F1

F6

F1

F6F1

F5


b) Para desenhar o gráfico, pressione (Draw). Não se esqueça de ter a unidade angular em radianos.

Para copiar a equação para o menu gráfico pressione (copy). Pressione para gravar.

c) No menu vamos calcular o máximo. Com o gráfico desenhado no ecrã, pressione (G-SOLV) e escolhaa opção Max ( ). O máximo é exibido automaticamente.

Nota: Para desenhar o gráfico de uma função pressione (Draw).

Verifique se a função está activa para ser desenhada. Se o sinal de «=» não estiver como mostra a imagem anterior,coloque o cursor sobre Y1 e pressione (SEL).

Sucessões (Página 157)

Vamos utilizar o menu das sucessões (RECUR).

Seleccione o tipo de sucessão que pretende estudar, pressionando (TYPE). Neste caso vamos utilizar a sucessãoan que se encontra em .

Escreva a expressão. Utilize o n que se encontra em .

EXEF5

F5GRAPH

F2

F6

F1

F3

F1

F6

F1

CALCULADORAS CASIO 186

Deverá efectuar a definição da tabela pressionando (SET).

A janela de visualização (SHIFT F3) utilizada é a seguinte. Depois de configurada, pressione .

Para desenhar o gráfico deverá gerar previamente a tabela e só depois de a visualizar é que poderá escolher o tipode gráfico que pretende. Visualize a tabela pressionando .

Para visualizar um gráfico de pontos pressione .

Utilize a opção TRACE (F1), percorra o gráfico, utilizando as teclas do cursor, até visualizar o mínimo da expressão.

F5

EXIT

F6

F6


Páginas 8-101.1. Alunos do 10.o ano de uma escola

secundária.1.2. Cada aluno.2.1. Estudo sobre a produção de peças de uma

fábrica.2.2. Inquérito sobre ocupação de tempos livres

aos alunos de uma escola secundária.4.1. Má amostra, porque a opinião das

empresas com maior volume de vendasserá satisfatório.

4.2. Má amostra, porque a amostra não foiescolhida de modo a abranger um grupovariado de espectadores.

5.1. Variável qualitativa.5.2. Variável quantitativa.5.3. Variável qualitativa.5.4. Variável qualitativa.5.5. Variável quantitativa.6.1. Variável quantitativa contínua.6.2. Variável quantitativa discreta.6.3. Variável quantitativa contínua.6.4. Variável quantitativa discreta.6.5. Variável quantitativa discreta.

Páginas 17-191. A 2. C 3. D 4. C5.1. Amostra. 5.3. Amostra.5.2. População. 5.4. População.6.1. População: alunos do curso de Direito.

Unidade estatística: cada aluno do curso de Direito.

6.2. Peso dos alunos: variável quantitativa contínua.Unidade: cada aluno desse curso.

7.1. Sondagem.7.2. População: jovens portugueses.

Amostra: 20 alunos por escola em 10 escolas do distrito de Coimbra.

7.3. Atributo: preferência literária.7.4. Não, porque a amostra foi recolhida

apenas num distrito e não em todo o país.8. O aumento de 100% de produtividade não

era significativo, pois a produção inicialdeveria ser baixa.

9.1. Não, porque a amostra não foi escolhida de modo a abranger um grupo variado de espectadores.

9.2. Por exemplo, a estação televisiva deveriaescolher uma amostra adequada e entrarem contacto com os espectadores.

10.1. Cada um dos 1042 indivíduos.10.2. Variável qualitativa.10.3. 459; 323.11.1. Cada um dos 1039 indivíduos.11.2. Variável estatística: país com mais liberdade.

Unidade estatística: cada indivíduo.11.3. Variável qualitativa.12.1. Variável qualitativa.12.2. De 2005 até meados de 2006 e de meados

de 2008 até, possivelmente, 2010.

Páginas 21-461.1. 20 1.2. –3

2.1.

2.2.

3.1.

3.2. Insuficiente → 65o

Suficiente →166o

Bom → 90o

Muito bom → 39o

5.1. Lisboa.5.2. Benfica; Porto (bimodal). 5.3. Amodal.6.

7.1. 1216. 7.2. 75,6%7.3. Na primeira quinzena.8.1.

8.2.

9.1.

9.2. 43% têm diâmetro inferior a 10 cm.9.3. Necessita de afinação, pois pouco mais

do que 50% dos tubos tem o diâmetropretendido.

11.1. Mo = 14 11.2. Mo : 47 e 53 (bimodal).12. Mo = 213.1.

13.2. [2,6; 3,1[

14.1. x� � 13,15 14.2. x� � 49,9115.1. x� = !91215.2. x�1 = !984,96 . A média aumenta 8%.16.1. x = 10 16.2. �x = 2617.1. Mo = 2 ; �x = 3 ; x� = 3,1818.1.

⎧⎪

F (x ) = ⎨⎪⎩

0 se x � 18 se 1 � x � 223 se 2 � x � 333 se 3 � x � 440 se 4 � x � 545 se x � 5

Modalidades fri

Futebol 0,43

Basquetebol 0,18

Andebol 0,09

Hóquei 0,13

Ginástica 0,17

Classificação fi

Insuficiente 5

Suficiente 13

Bom 7

Muito bom 3

1500 175 200 225 250 275 300

5

10

Tempo

fi

(s)

Distribuição dos temposgastos pelo atleta

99 99,5100100,5101101,5102

20

40

70

90

100

Diâmetro(mm)

Fri (%)

Distribuição dos diâmetros dos tubos

Classes fi

[2,1 ; 2,6[ 3

[2,6 ; 3,1[ 6

[3,1 ; 3,6[ 5

[3,6 ; 4,1[ 2

SOLUÇÕES188

Soluções

Tempo(seg.)

fi Fi fri Fri

[150, 175[ 1 1 0,04 0,04

[175, 200[ 10 11 0,38 0,42

[200, 225[ 6 17 0,23 0,65

[225, 250[ 2 19 0,08 0,73

[250, 275[ 5 24 0,19 0,92

[275, 300[ 2 26 0,08 1

Classesdiâmetro (mm)

fi fri Fri

[99,0 ; 99,5[ 5 0,18 0,18

[99,5 ; 100,0[ 7 0,25 0,43

[100,0 ; 100,5[ 9 0,32 0,75

[100,5 ; 101,0[ 3 0,11 0,86

[101,0 ; 101,5[ 3 0,11 0,97

[101,5 ; 102[ 1 0,03 1

Número de idas

a concertosfi Fi fri Fri

0 23 23 0,26 0,26

1 35 58 0,39 0,65

2 10 68 0,11 0,76

3 17 85 0,19 0,95

�4 5 90 0,05 1

SOLUÇÕES 189

Número de dias

fi Fi fri Fri

1 5 5 0,167 0,167

2 5 10 0,167 0,334

3 5 15 0,167 0,501

4 13 28 0,433 0,934

5 2 30 0,066 1,00

18.2. �x = 1 ; Mo = 1; x� = 1,418.3.

19.1. Classe mediana: [3; 3,5[19.2. x� � 3,1619.3.

19.4. 20%20.1. Q 1 = 9 ; Q 3 = 11,520.2.Q 1 = 50 ; Q 3 = 5521. Q 1 � [2,5; 3[ ; Q 3 � [3; 3,5[22.1. TV1: 6,8. TV2: 11. TV3: 6,7.22.2. x�TV1 � 23,5. x�TV2 � 25,4. x�TV3 � 28,8. 25. Q 1 = 1 ; Q 3 = 3 ; Amp. = 3 – 1 = 226. Q 1 = 183 ; Q 2 = �x = 189 ; Q 3 = 19227.1. x�A � 2 ; x�B � 1,327.2.

27.3. 9.o A : Q 1 = 1 ; Q 3 = 39.o B : Q 1 = 1 ; Q 3 = 2

27.4.

No 9.o A, o número de irmãos distribui-sequase uniformemente.

No 9.o B temos uma concentração no extre-mo inferior. 75% dos alunos têm nomáximo dois irmãos.

Páginas 61-651. A 2. D 3. D 4. B 5. A6.1. Recenseamento.6.2. Nível de escolaridade: variável qualitativa.6.3.

7.1. Origem dos conflitos: variável qualitativa.7.2. Gráfico de barras.7.3.

8.1. Variável qualitativa.8.2.

9.1. Tendência de voto: variável qualitativa.9.2. Mo = B10.1.

10.2. 67 famílias.

11.1.

11.2. 30 pessoas. 11.3. x� = 39,48 anos11.4.

11.5. Classe modal: [14, 21[ e [56, 63[. Classe mediana: [35, 42[.

12.1. 4012.2.

12.3. 7 vezes. 12.4. 13 vezes.13.1. x� = 810 euros. 13.2. 1060 euros.13.3. 290 euros.14.1. Placebo

Suplemento terapêutico

Número de telémoveis Fi

0 18

1 39

2 67

3 102

4 140

Razões fi Fi fr % Fri %

A 48 48 40 40

B 42 90 35 75

C 24 114 20 95

D 6 120 5 100

Países fri (%) fi

Espanha 4 800

Holanda 4 800

França 5 1000

Reino Unido 6 1200

Alemanha 16 3200

Portugal 52 10 400

Outros 13 2600

Idade(anos)

Valorcentral

fi Fi fri Fri

[14, 21[ 17,5 10 10 0,20 0,20

[21, 28[ 24,5 8 18 0,16 0,36

[28, 35[ 31,5 6 24 0,12 0,48

[35, 42[ 38,5 3 27 0,06 0,54

[42, 49[ 45,5 3 30 0,06 0,60

[49, 56[ 52,5 7 37 0,14 0,74

[56, 63[ 59,5 10 47 0,20 0,94

[63, 70[ 66,5 3 50 0,06 1

Número de dias

fi Fi fri Fri

1 12 12 0,40 0,40

2 14 26 0,467 0,867

3 4 30 0,133 1,00

Fases fi Fi fri Fri

1 3 3 0,075 0,075

2 4 7 0,1 0,175

3 6 13 0,15 0,325

4 7 20 0,175 0,5

5 10 30 0,25 0,75

6 10 40 0,25 1

⎧⎪

F (x ) = ⎨⎪⎩

0 se x � 00,26 se 0 � x � 10,65 se 1 � x � 20,76 se 2 � x � 30,95 se 3 � x � 41 se x � 4

0 1 2 3 4 5

3

6

9

Númerode irmãos

fiNúmero de irmãosdos alunos do 9º A

0 1 2 3 4 5

2

6

12

Númerode irmãos

fiNúmero de irmãosdos alunos do 9.º B

SOLUÇÕES190

14.2. Placebo: x� � 3,07 ; Mo = 4 ; �x = 3Suplemento: x� � 1,73 ; Mo = 2 ; �x = 2

14.3.

Placebo: Q 1 = 2 ; Q 2 = 3 ; Q 3 = 4Suplemento: Q 1 = 1 ; Q 2 = 2 ; Q 3 = 2

14.4. 1.o dia de suplemento: 12 doentes. Depois do 3.o dia de placebo: 15 doen tes.

15.1. x� = 10,24 15.2.�x � [10, 12[15.3. Q1 � [8, 10[ e Q3 � [12, 14[15.4. 20% 15.5. 35 cobaias.16.1. Variável quantitativa contínua.16.2. x� � 23 ; Classe modal: [15, 30[

Classe mediana: [15, 30[16.3. Q 3 � 22,5 (pelo menos 25%

dos funcionários da empresa faltam mais de 22,5 h).

16.4. σ� 11,8 ; var � 139,24A variância não é tão utilizada porque vemexpressa no quadrado das unidades dadas.

Páginas 67-721.1. 1.2. 1.3.

2. 1 – Correlação positiva.2 – Correlação negativa.3 – Não existe correlação.

3.1. Correlação positiva.3.2. Correlação positiva.3.3. Correlação negativa.4. A – I B – III C – II5.1.

5.2. x� = 628,57 ; y� = 436,865.3. y = – 0,429x + 706,7 5.4. y = 363,5

Páginas 80-831.C 2. C 3. C 4. B5.1.

5.2. Existe correlação positiva.5.3. y = 0,85 x + 0,8 5.4. Aproximadamente 14,4 valores.6.1. Sim, porque os pontos da nuvem de pontos

estão muito próximos da recta.

6.2. Por exemplo: (25; 25) e (75; 65) ; y = �45

�x + 5

6.3. y = 497.1.

C (63,77; 6,91)7.2. y = 0,225 x – 7,447.3. Aproximadamente 3,36 kg.8.1.

8.2. x� = 16,08 ; y� = 27,5C (16,08 ; 27,5). Correlação negativa.

8.3. y = –5,79 x + 120,65 8.4. y = 10,649.1.

9.2. C (9,16; 6,30). Correlação positiva.9.3. y = 0,197x + 4,49 9.4. x = 20,36 l 10.1.

10.2. C (10,67; 6,94) 10.3. r � 0,6510.4. y = 0,789 x – 1,470 10.5. x = 27,59

Páginas 88-981. c 1 � 2,74 ; c 2 � 7,522. a � 5,8 m 3. A� � 32,5 m2

4. �1223 m 5. r � 2424 km6.1. n � 2,434 6.2. n � 1,480

7. 8. 0,8

9.1. cos x = ; tg x =

9.2.Por exemplo: catetos 1 e 3�7� ; hipotenusa 8.10. 0,95 11. 6,0912. � � 33o 12’ 13. B ; D e E.

14.1. �54

� – �3� 14.2.

14.3. �14

� 14.4.

15.1. 15.2. –

15.3. 2�3� + 3 15.4.

Páginas 110-1131.A 2. B 3. C 4. C 5.C 6. A 7. C 8. 29o 9. Aproximadamente, 104 m 10. 105,2 m11. 19,25 m 12. A � 9035,41 cm2

13. V � 49,3681 dm3 ; C � 49,4 �14.1. V � 151,29 dm3 ; C � 151 �14.2. A � 2,2 m2

15. V � 80,481 dm3 ; C � 80 �16.1. 302,8 cm � 303 cm16.2. 1866,7 cm2 � 1887 cm2

17. Aproximadamente, 1254 m18. 6,8 m (2 + 4,8)19. 1191 m20. B�C� � 2,821. cos � � 0,94

22. cos � = 0,6 ; sen � = 0,8

23. Aproximadamente, 5,88

Páginas 116-1241.

2.1. –1,02 2.2. –0,71 2.3. –2,25

3.1. �54

� � + 2k� , k � ZZ�2��

4

�7��21

3�7��8

3 – �2��2

4�3� + 3��

16

�3� + �6��4

�6� + 2�2��2

2�6� – �2��22

Graus Radianos

360o 2�

270o

200o

120o

50o

15o

10o �1�

8�

�1�

2�

�158� �

�23� �

�190� �

�32� �

SOLUÇÕES 191

3.2. �2�

� + 2k� , k � ZZ ∨

� + 2k� , k � ZZ ∨

�32� � + 2k� , k � ZZ

3.3. �34� � + 2k� , k � ZZ ∨

�74� � + 2k� , k � ZZ ;

ou simplesmente + k� , k ∈ZZ

4.1. x = 48 cm2 4.2. A = �

5.1. sen � = 5.2. cos � = – �12�

5.3. sen (–�) = –

5.4. cos (–�) = – �12�

6.1. 3 6.2. 0 6.3. 27.1. 108o � 2.o Q.

sen 108o � 0 ; cos 108o � 0tg 108o � 0

7.2. –910o � 2.o Q.:sen (–910o) � 0 ; cos (–910o) � 0tg (–910o) � 0

7.3. 2080o � 4.o Q.:sen 2080o � 0 ; cos 2080o � 0tg 2080o � 0

7.4. – �53� � � 1.o Q.:

sen �– �53�� 0 ; cos �– �

53�� 0

tg �– �53�� 0

7.5. �2132� � � 4.o Q. ; sen ��

2132� �� 0

cos ��2132� �� 0 ; tg ��

2132� �� 0

7.6. 10 rad � 3.o Q.sen 10 � 0 ; cos 10 � 0tg 10 � 0

8.1. ��, �32� �� p.e. 8.2. �0, �

2�

�� p.e.

8.3. ��2�

� , �� p.e. 8.4. ��, �32� �� p.e.

9.1. 0,64 9.2. Qualquer ângulo. 9.3. Impossível.10. A. Falsa. B. Falsa. C. Verdadeira.

D. Falsa. E. Falsa.11.1. > 11.2. < 11.3. < 11.4. = 11.5. = 11.6. >

Páginas 132-1331. B 2. D 3. A 4. B5. C 6. D 7. A 8. C

9.1. �76

� � 9.2. �1

180� � 9.3. �

23� �

9.4. – �331

� � 9.5. �329� � 9.6. – �

590� �

10.1. 57o 17’ 45” 10.2. 6302o 32’ 9”10.3. 171o 53’ 14” 10.4. 36o

10.5. 18o 10.6. 120o

11.1. 80o 11.2. 10o

11.3. 175o 11.4. 100o

11.5. –156o 11.6. 19o

12.1. 2.o Q. 12.2. 1.o Q12.3. 2.o Q. 12.4. 4.o Q12.5. 3.o Q 12.6. 1.o Q

13.1. � , ��∪� �32� � , 2��

13.2. ]0, 2� [

13.3. � , ��∪� �32� � , 2��

13.4. �0, �∪� , ��14.1. m � �–�

12�, 1� 14.2. m � [0, 1]

15. A roda maior dá cerca de 106 voltas e aamplitude de rotação é cerca de 38 197o.A roda menor dá 191 voltas e a amplitude derotação é de 68 755o.

Páginas 135-1601.1. cos � 1.2. –2 cos �1.3. – sen � – cos � 1.4. – 1 – tg �

2.1. – 1 2.2. �3� –

2.3. +

2.4. �3� 2.5. 03.1. – 2 sen � 3.2. 03.3. – cos2� + 2 cos �

5.1. – 5.2.

5.3. 5.4. – 1

6. sen x = – ; cos x = �13�

7.

8.1. – cos x 8.2. 2 sen x 8.3. – sen x

9.1. x = – �4�

� + k� , k � ZZ

9.2. x = �6�

� + k� , k � ZZ

9.3. x = �6�

� + k �2�

� , k � ZZ

10.1. x = �6�

� + 2k� ∨ x = �56

� � + 2k� , k � ZZ

10.2. Impossível.

10.3. x = – �2�

� + 2k� , k � ZZ

10.4. x � – 0,11� + 2k� ∨∨ x � 1,11� + 2k� , k � ZZ

11.1. x � 1,83 + 2k� ∨∨ x � 3,40 + 2k� , k � ZZS = {–2,88; 1,83}

11.2. x � –1,83 + 2 k� ∨∨ x � 3,40 + 2 k�, k � ZZS = {–2,88; –1,83}

11.3. x = 0,04� + k� ∨∨ x = 0,46� + k� , k � ZZS = {–0,96�; –0,54� ; 0,04�; 0,46�}

11.4. x � 0,79 + 6k� ∨∨ x � 5,5 + 6k� , k � ZZS = {0,79}

12.1. x � 0,92 + k� ∨∨ x � –0,13 + k� , k � ZZ

12.2. x � 3,66 + �23� k� ∨

∨ x � 2,62 + �23� k� , k � ZZ

12.3. x = + k� ∨ x = + , k � ZZ

12.4. IR (condição universal).

12.5. x = + k�, k � ZZ

13.

14.1. P�1, �� 14.2. �–1, �15.

16.1. �2�2�, �� 16.2. �2�3�, ��

16.3. �1, � 16.4. �4, �

17.1. �– , – � 17.2. � , �32��

17.3. ��32� , – � 17.4. �– , �

18.2. Aproximadamente, –3,1518.3. x = 0,27� + 2k� ∨

∨ x = 0,73� + 2k� , k � ZZS = {0,27�}

19. k � �– 1, �

�2�6��26

2�2��3

�3��3

�2��2

�3��2

– �3� + 1�

2

�2��2

3��

4

r 2�

2

�3��2

�3��2

2�3��3

1�2

��2

��2

��2

��2

k��

2

��4

��2

��2

��4

5�4

5�6

7�4

��6

��3

3�3��2

�2��4

�2��4

�2��2

�2��2

3�3��2

3�2

PontoCoord.

cartesianasCoord.

polares

A (2, 0) (2, 0)

B (0, 1)

C (–2, 0) (2, � )

D (0, –1)

�1, �2�

��

�1, �32� ��

SOLUÇÕES192

20.1. 120.2.D’g = [– 4 , –2]

f crescente em ��2�

�, �� , por exemplo

21.1. D = IR\{� + 2k�, k � ZZ} ; D ’ = IR21.2. Aproximadamente, –0,4221.3. p = 2�

21.4. x = –

22.1. x = k� , k � ZZ

22.2. –2�2� + 3 � 0,1723.1. f (�) = 1 23.2. a = 1 e b = –4

Páginas 174-1801. A 2. D 3. B 4. D5. A 6. C 7. C 8. A9. A10. 2,4811. –0,9212. –2,3713. 1,86

14.1. x = + k� , k � ZZ ⇔

⇔ x � 0,52 + k� , k � ZZ

14.2. x = + , k � ZZ ⇔

⇔ x � 0,39 + , k � ZZ

14.3. x = k� , k � ZZ

14.4. x = + , k � ZZ ⇔

⇔ x � 0,26 + , k � ZZ

15.1. x = + k� ∨

x = �38

� � + k� , k � ZZ ⇔

⇔ x � 0,39 + k� ∨ ∨ x � 1,18 + k� , k � ZZ

15.2. x = – + 2k� ∨

x = – + 2k� , k � ZZ ⇔

⇔ x � –0,52 + 2k� ∨ ∨ x � –1,57 + 2k� , k � ZZ

15.3. x = � �29

� � + �23

� k� , k � ZZ ⇔

⇔ x � –0,7 + �23

� k� , k � ZZ

15.4. x = + 2k� ∨

∨ x = �56

� � + 2k� , k � ZZ ⇔

⇔ x � 0,52 + 2k� ∨∨ x � 2,62 + 2k� , k � ZZ

16.1. x = – + 2k� ∨

∨ x = + �43

� � + 2k� , k � ZZ

x � [–�, �]

S = �– �23

� �, – �16.2. x = + 2k�

∨ x = – �290� � + 2k� , k � ZZ

x � [–�, �]

S = �– �290� �, �

16.3. x = + k , k � ZZ

x � [–�, �]

S = �– �, – , , ��

17.1. A8�2�, �

17.2. B2�6�,

17.3. C6, –

17.4. D4, �18.1. P(1, – �3�)

18.2. Q– , – 18.3. R (0, �2�)

18.4. S (–2 �3�, 2)19.

20.1. h = 2 sen � ; A�D� = 2 + 4 cos �20.2.x � 1,05 ; y � 5,196 ; A � 5,2 dm2

20.3.

21.2.

� � 0,615 rad22.1. p = 3 22.2. y (0) = 0,0322.3. y (2) = –0,0623.1.

23.2. Aprox. 1,9 m23.3. t � 1h 03m ; t � 5h 14m ;

t � 13h 37m ; t � 17h 48m

24.1. P2��56

� � , – 24.2. 0 ≤ x ≤

cos 2x – �56

� � ≤ y ≤ sen (2x )

25.1. Aproximadamente, 2031 km25.2. x � 229o

26.1. 18h 50m26.2. 38 dias.

��6

��2

k��

2

k��

2

��12

��8

��6

��3

��3

��20

��6

��2

5�6

��3

��6

3�4

��6

��3

4�3

�2��2

�3��2

��3

��20

2�3

�2��2

��2

��6

k��

2

��8

k��

2

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