exerciciosU4
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Sociedade Brasileira de Matem´ atica Mestrado Profissiona l em Matem´ atica em Rede Nacional MA33 - Introdu¸ c˜ao ` a ´ Algebra Linear Unidade 4 - Matrizes elementares, resolu¸ c˜ ao de sistemas Exerc ´ ıcios recomendados 1) Uma certa sequˆ encia d e transforma¸ c˜ oes elementares aplicadas a uma matriz A produz uma matriz B. A mesma sequˆ encia aplicada a AB produzir´ a que matriz? Justique sua resposta. 2) Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem. (a) Mostre que , se AB = I ent˜ ao A ´ e inve rt´ ı vel e A −1 = B . (b) Mostre que AB ´ e inve rt´ ı vel se , e somente se A e B s˜ ao invert´ ı veis . 3) Como devem ser escolhidos os coeficientes a, b e c para que o sistema ax + by − 3z = −3 −2x − by + cz = −1 ax + 3y − cz = −3 tenha a solu¸ c˜ ao x = 1, y = −1 e z = 2 ? 4) Determine os valores de k ∈ R para que o sistema abaixo kx + y + z = 1 x + ky + z = 1 x + y + kz = 1 (a) tenha uma ´ unica solu¸ c˜ ao; (b) n˜ ao tenha solu¸ c˜ ao; (c) tenha mais de uma solu¸ c˜ao. 5) Se A ´ e uma matriz 2 × 1 e B ´ e 1 × 2, mostre que AB n˜ ao ´ e invert´ ı vel . 6) Seja A uma matriz n ×n. Mostre que se A n˜ ao ´ e inver t´ ı ve l, ent˜ ao existe uma matriz B de ordem n × n, n˜ao nula, tal que AB = 0. 7) Seja A uma matriz n × n. Mo st re que se A comuta com qualquer matriz n × n se, somente se, existe a ∈ R tal que A = aI n . 1
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Sociedade Brasileira de MatematicaMestrado Profissional em Matematica em Rede Nacional
MA33 - Introducao a` Algebra LinearUnidade 4 - Matrizes elementares, resolucao de sistemasExerccios recomendados
1) Uma certa sequencia de transformacoes elementares aplicadas a uma matrizA produz uma matriz B. A mesma sequencia aplicada a AB produzira quematriz? Justique sua resposta.
2) Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem.
(a) Mostre que, se AB = I entao A e invertvel e A1 = B.
(b) Mostre que AB e invertvel se, e somente se A e B sao invertveis.
3) Como devem ser escolhidos os coeficientes a, b e c para que o sistemaax + by 3z = 32x by + cz = 1ax + 3y cz = 3
tenha a solucao x = 1, y = 1 e z = 2 ?4) Determine os valores de k R para que o sistema abaixo
kx + y + z = 1x + ky + z = 1x + y + kz = 1
(a) tenha uma unica solucao;
(b) nao tenha solucao;
(c) tenha mais de uma solucao.
5) Se A e uma matriz 2 1 e B e 1 2, mostre que AB nao e invertvel.6) Seja A uma matriz nn. Mostre que se A nao e invertvel, entao existe uma
matriz B de ordem n n, nao nula, tal que AB = 0.7) Seja A uma matriz n n. Mostre que se A comuta com qualquer matriz
n n se, somente se, existe a R tal que A = aIn.
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