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Uma viga de 3 m de comprimento e massa de 120 kg, está apoiada nas suas extremidades A e B e suporta duas cargas de 12 kg e 8 kg a 1 m e 2 m respectivamente do apoio A. Determinar as reações nos apoios. Adotar a aceleração da gravidade igual a 10 m/s 2.

Dados do problema

• comprimento da viga: L = 3 m;• .massa da viga: m V = 120 kg;• massa da carga aplicada em C: m C = 12 kg;• distância AC: d AC = 1 m;• massa da carga aplicada em D: m D = 8 kg;• distância AD: d AD = 2 m;• aceleração da gravidade: g = 10 m/s 2.

Esquema do problema

Adota-se o um sistema de referência no centro da viga, onde está aplicada a força peso ( P V ), positivo para o sentido horário de rotação (figura 1).

As forças de reação dos apoios estão aplicadas nos pontos A e B ( F A e F B ), as cargas aplicadas na viga são representadas pelas massas nos pontos C e D ( m C e m D ).

Solução

Para que a viga permaneça em equilíbrio devemos ter as seguintes condições

∑i

F i = 0 e ∑iM i = 0 (I)

As cargas aplicadas no pontos C e D são representadas pelas forças peso das massas colocadas nessas posições, a força peso é dada por

P =mg (II)

1

figura 1

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Aplicando a expressão (II) para as massas m C e m D , temos em módulo

F C =P C = m C gF C = 12 .10F C = 120 N (III)

F D =P D =m DgF D = 8.10F D = 80 N (IV)

A força peso da viga será

P V =m VgP V = 120 .10P V = 1200 N (V)

Desenhando as forças que agem na viga num sistema de eixos coordenados (figura 2) e aplicando a primeira condição de (I), temos

F AF B−F C−F D−P V = 0

substituindo os valores de (III), (IV) e (V), obtemos

F AF B−120−80−1200= 0F AF B−1400= 0F AF B = 1400 (VI)

O momento de uma força é dado por

M F = F d (VI)

• Momento da força peso da viga:Aplicando a expressão (V), temos a força (F) representada pela força peso da viga (P V)

e a distância será nula (d = 0), a força peso está aplicada no mesmo ponto tomado como referência, portanto o o momento será

M PV= 0 (VII)

• Momento da força de reação no apoio A:O ponto de referência G está no centro

da viga, a distância do ponto A ao centro será (figura 3)

d AG = L2

d AG =2

d AG = 1,5 m (VIII)

Aplicando a expressão (V), temos a força (F) representada pela força de reação do apoio no ponto A (F A) e a distância será dada pelo valor encontrado em (VIII), a força de reação tende a fazer a viga girar no mesmo sentido da orientação escolhida, portanto o momento será positivo

M F A= F Ad AG

M F A= 1,5F A (IX)

• Momento da força devido a carga no ponto C:

2

figura 2

figura 3

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A distância do ponto C ao ponto de referência G será (figura 4)

d AG = d ACd CG

1,5= 1d CG

d CG = 1,5−1d CG = 0,5 m (X)

Aplicando a expressão (V), temos a força (F) representada pela força peso da carga aplicada no ponto C (F C), encontrada na expressão (III), e a distância será dada pelo valor encontrado em (X), a força peso tende a fazer a viga girar no sentido contrário da orientação escolhida, portanto o momento será negativo

M F C=−F Cd CG

M F C=−120 .0,5

M F C=−60 N.m (XI)

• Momento da força devido a carga no ponto D:A distância do ponto D ao ponto de

referência G será (figura 5)

d AG = d AD−d DG

1,5 = 2−d DG

d DG = 2−1,5d DG = 0,5 m (XII)

Aplicando a expressão (V), temos a força (F) representada pela força peso da carga aplicada no ponto D (F D), encontrada na expressão (IV), e a distância será dada pelo valor encontrado em (XII), a força peso tende a fazer a viga girar no mesmo sentido da orientação escolhida, portanto o momento será positivo

M F D=F Dd DG

M F D= 80.0,5

M F D= 40 N.m (XIII)

• Momento da força de reação no apoio B:O ponto de referência G está no centro

da viga (figura 6), a distância do ponto B ao centro será o mesmo valor encontrado na expressão (VIII)

d AG = d BG

Aplicando a expressão (V), temos a força (F) representada pela força de reação do apoio no ponto B (F B) e a distância será dada pelo valor encontrado em (VIII), a força de reação tende a fazer a viga girar no sentido contrário da orientação escolhida, portanto o momento será negativo

M F B=−F Bd BG

M F B=−1,5F B (XIV)

Aplicando a segunda condição de (I), temos

M PVM F A

M F CM F D

M P B= 0

3

figura 4

figura 5

figura 6

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substituindo os valores de (VII), (IX), (XI), (XIII) e (XIV), obtemos

01,5F A−6040−1,5F B = 01,5F A−20−1,5F B = 0

1,5F A−1,5F B = 20 (XV)

As expressões (VI) e (XV) formam um sistema de duas equações a duas incógnitas (F A

e F B)

∣F AF B = 14001,5F A−1,5F B = 20

isolando o valor de F A na primeira equação e substituindo na segunda, obtemos

F A = 1400−F B (XVI)

1,5 1400−F B −1,5F B = 201,5.1400−1,5F B−1,5F B = 20

2100−3F B = 203F B = 2100−20

3F B = 2080

F B =2080

3

F B ≈ 693,3 N

substituindo este valor na expressão (XVI)

F A = 1400−693,3

F B ≈ 706,7 N

4