1 Espacos Vetoriais

Definicao 1.1 Um espaco vetorial sobre R e um conjunto V no qual se tem definida uma adicao e uma multi-plicacao de seus elementos por escalares (isto e, por numeros reais), ou seja, dados u, v V, existe u + v V edados a R e u V, existe au = a.u V. Essas operacoes (adicao e multiplicacao por escalares) devem satisfazera`s seguintes propriedades:

1.1 u+ v = v + u, para todos u, v V.1.2 (u+ v) + w = u+ (v + w), para todos u, v, w V.1.3 Existe 0 V tal que u+ 0 = u, para todo u V. 0 e chamado vetor nulo.1.4 Dado u V, existe u V tal que u+ (u) = 0. u e chamado oposto ou simetrico de u.2 Para quaisquer a, b R e u, v V, valem as igualdades:2.1 a(u+ v) = au+ av.

2.2 (a+ b)v = av + bv.

2.3 (ab)v = a(bv).

2.4 1u = u.

Os elementos de um espaco vetorial sao chamados vetores.

Exemplos de espacos vetoriais sobre R :

1. O proprio conjunto R e um espaco vetorial sobre R, nas operacoes usuais de soma, x1 + x2, com x1, x2 R,e multiplicacao, a.x, com a, x R.

2. O conjunto C dos numeros complexos, nas operacoes usuais de soma e produto:

(x1 + iy1) + (x2 + iy2) = x1 + x2 + i(y1 + y2)

a(x+ iy) = ax+ i(ay)

3. O conjunto dos vetores da Geometria Analtica definidos por meio de segmentos orientados, nas operacoesusuais de somar vetores e multiplicar escalar por vetor.

4. Fixados inteiros positivos m e n, M(mn)(R) e o conjunto das matrizes m n de numeros reais e e umespaco vetorial sobre R nas operacoes usuais de somar matrizes e multiplicar numero real por matriz.

Conforme a propriedade 1.3, a matriz nula em M(23)(R) e 0 =(

0 0 00 0 0

)e, conforme 1.4, a matriz

oposta de A =

(a b cd e f

)e A =

( a b cd e f

).

5. O conjunto dos pares ordenados de numeros reais V = R2 = {(x1, x2) : x1, x2 R} e um espaco vetorialsobre R nas seguintes operacoes:

(a) Dados u = (x1, x2) R2 e v = (y1, y2) R2, temos: u+ v = (x1 + y1, x2 + y2).(b) Dados a R e u = (x1, x2) R2, temos: au = (ax1, ax2).

1

Vamos provar as propriedades 1.1 a 1.4 para o R2. Para isso, sejam u = (x1, x2), v = (y1, y2), w = (z1, z2)vetores arbitrarios em R2.

(a) Vamos mostrar que u+ v = v + u.De fato u+ v = (x1 + y1, x2 + y2) = (y1 + x1, y2 + x2) = (y1, y2) + (x1, x2) = v + u.

(b) (u+ v) + w = u+ (v + w).De fato: (u + v) + w = ((x1, x2) + (y1, y2)) + (z1, z2) = (x1 + y1, x2 + y2) + (z1, z2) = (x1 + y1 +z1, x2 + y2 + z2) = (x1, x2) + (y1 + z1, y2 + z2) = (x1, x2) + ((y1, y2) + (z1, z2)) = u+ (v + w).

(c) O vetor nulo de R2 e 0 = (0, 0).Temos: u+ 0 = (x1, x2) + (0, 0) = (x1 + 0, x2 + 0) = (x1, x2) = u.

(d) O vetor oposto de u = (x1, x2) em R2 e u = (x1,x2).Temos: u+ (u) = (x1, x2) + (x1,x2) = (x1 x1, x2 x2) = (0, 0) = 0.

6. O conjunto dos ternos ordenados de numeros reais V = R3 = {(x1, x2, x3) : x1, x2, x3 R} e um espacovetorial sobre R nas seguintes operacoes:

(a) Dados u = (x1, x2, x3) R3 e v = (y1, y2, y3) R3, temos: u+ v = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3).(b) Dados a R e u = (x1, x2, x3) R3, temos: au = (ax1, ax2, ax3).

7. Fixado um inteiro n > 0, o conjunto das n uplas de numeros reais V = Rn = {(x1, x2, . . . , xn) :x1, x2, . . . , xn R} e um espaco vetorial nas seguintes operacoes:(a) Dados u = (x1, x2, . . . , xn) Rn e v = (y1, y2, . . . , yn) Rn, temos: u+v = (x1+y1, x2+y2, . . . , xn+yn).(b) Dados a R e u = (x1, x2, . . . , xn) Rn, temos au = (ax1, ax2, . . . , axn).

8. Fixado um inteiro n > 0, o conjunto V = Pn(R) dos polinomios p(x) = a0 + a1x + a2x2 + + arxr degrau r n, incluindo o polinomio identicamente nulo, e um espaco vetorial sobre R nas operacoes usuaisde soma de polinomios e multiplicacao de numero real por polinomio (os coeficientes a0, a1, a2, . . . , ar dospolinomios em Pn(R) sao numeros reais).Em particular, temos

P2(R) = {a0 + a1x+ a2x2 : a0, a1, a2 R}.Vamos provar as propriedades 2.1 a 2.4 para P2(R). Para isso, sejam u = a0+a1x+a2x2 e v = b0+b1x+b2x2polinomios arbitrarios em P2(R) e a, b R.

(a) Vamos mostrar que a(u+ v) = au+ av.De fato, a(u+ v) = a[a0 + b0 + (a1 + b1)x+ (a2 + b2)x

2] = aa0 + aa1x+ aa2x2 + ab0 + ab1x+ ab2x

2 =a(a0 + a1x+ a2x

2) + a(b0 + b1x+ b2x2) = au+ av.

(b) (a+ b)u = au+ bu.De fato, (a+ b)u = (a+ b)a0 + (a+ b)a1x+ (a+ b)a2x

2 = aa0 + aa1x+ aa2x2 + ba0 + ba1x+ ba2x

2 =a(a0 + a1x+ a2x

2) + b(a0 + a1x+ a2x2) = au+ bu.

(c) (ab)u = a(bu).De fato, (ab)u = (ab)a0+(ab)a1x+(ab)a2x

2 = a(ba0)+a(ba1)x+a(ba2)x2 = a[b(a0+a1x+a2x

2)] =a(bu).

(d) 1u = u.De fato, 1u = a0 + a1x+ a2x

2 = u.

9. Seja I um intervalo de R e indiquemos por C(I) o conjunto das funcoes contnuas definidas no intervalo Ie tomando valores reais, isto e, C(I) = {f : I R : f e contnua }. Dados f, g C(I) e a R, definem-sef + g e af do seguinte modo:f + g : I R e (f + g)(t) = f(t) + g(t), t I;af : I R e (af)(t) = a.f(t),t I;

2

O calculo nos ensina que, uma vez que f e g sao contnuas, f + g e af tambem sao funcoes contnuas, isto e,f + g, af C(I). Temos entao sobre C(I) uma adicao e uma multiplicacao por escalares e pode-se verificarque C(I) e um espaco vetorial com relacao a esse par de operacoes.

Se V e um espaco vetorial, entao temos uma subtracao definida em V.Dados u, v V, temos: uv = u+(v),conforme a propriedade 1.4.

Conforme os exemplos acima, temos espacos vetoriais que podem ser conjuntos de matrizes, polinomios, funcoes,etc. Entretanto, e comum referirmo-nos aos elementos de um espaco vetorial como vetores, especialmente quandoos espacos vetoriais sao estudados de forma geral, sem preocupacoes com a natureza de seus elementos.

EXERCICIOS:

1. No espaco vetorial M(32)(R), consideremos os vetores:

A =

1 10 00 0

, B = 0 12 1

1 1

e C = 1 21 0

0 1

.(a) Calcular 2A+B 3C.(b) Calcular Y M(32)(R) tal que

A+ Y

2+Y B

2= C.

(c) Existem t1, t2 R de maneira que A = t1B + t2C?2. No espaco vetorial P3(R) sejam dados os vetores f(t) = t 1, g(t) = t2 + t 1 e h(t) = t+ 2.

(a) Calcular 2f(t) + 3g(t) 4h(t).(b) Existe k R de maneira que f(t) + kg(t) = h(t)?(c) Existem k1, k2 R tais que f(t) = k1g(t) + k2h(t)?

3. No R2 consideremos os vetores u = (1, 1), v = (3,2), w = (3,2). Resolver a equacao x+ u2

+v + x

2= w

na incognita x R2.4. Consideremos no espaco vetorial R3 os vetores u = (1, 2, 1), v = (3, 1,2) e w = (4, 1, 0).

(a) Calcular 2u+ v 3w.(b) Resolver a equacao 3u+ 2x = v + w na incognita x R3.

1.1 Subespacos

Definicao 1.2 Seja V um espaco vetorial sobre R. Um subespaco vetorial de V e um subconjunto W V quesatisfaz a`s seguintes condicoes:

(a) 0 W.(b) Se u, v W, entao u+ v W.(c) Se a R e v W, entao av W.

Proposicao 1.3 Se W e um subespaco vetorial do espaco vetorial V, entao W tambem e um espaco vetorial.

3

Demonstracao: Como W V, podemos somar dois elementos de W considerando-os como elementos de V emultiplicar um elemento de W por um escalar considerando-o como elemento de V. Pelas condicoes (b) e (c) dadefinicao acima, os resultados dessas operacoes estao em W. Assim, W satisfaz a` primeira condicao para ser espacovetorial: nele estao definidas uma soma e uma multiplicacao por escalares. Para que W seja espaco vetorial, essasoperacoes devem satisfazer a`s propriedades 1.1 a 1.4 e 2.1 a 2.4. De fato, isso e o que acontece, porque operamoscom os elementos de W considerando-os como elementos de V e as operacoes realizadas em V satisfazem a`spropriedades, porque V e um espaco vetorial. Quanto a` propriedade 1.4, dado v W, temos v W, porquev = (1).v e (1).v W, pela condicao (c) da definicao acima. 2

Exemplos:

1. Se V e um espaco vetorial, entao {0} e V sao subespacos de V, chamados subespacos triviais.2. Se W1 e W2 sao subespacos de V, entao W1 W2 tambem e subespaco de V.

Demonstracao:

(a) 0 W1 e 0 W2, pois W1 e W2 sao subespacos, logo 0 W1 W2.(b) Se u, v W1 W2, entao u, v W1 e u, v W2, logo u + v W1 e u + v W2, pois W1 e W2 sao

subespacos. Conclumos que u+ v W1 W2.(c) Se a R e v W1 W2, entao v W1 e v W2, logo av W1 e av W2, pois W1 e W2 sao

subespacos. Conclumos que av W1 W2. 2

3. Podemos considerar as solucoes de um sistema linear AX = B de n incognitas x1, x2, . . . , xn como matrizes-

colunas X =

x1x2...xn

M(n1)(R). Podemos tambem pensar nas solucoes de um sistema como vetores(x1, x2, . . . , xn) Rn. A seguir, provamos que o conjunto-solucao S de um sistema homogeneo AX = 0 den incognitas e um subespaco do Rn, ou de M(n1)(R). Temos: S = {X M(n1)(R)/AX = 0}.(a) 0 S, pois A0 = 0 (solucao trivial)(b) Se X1, X2 S = AX1 = 0 e AX2 = 0 = A(X1 +X2) = AX1 +AX2 = 0 + 0 = A(X1 +X2) =

0 = X1 +X2 S(c) Se a R e X S = AX = 0 = A(aX) = aAX = a0 = A(aX) = 0 = aX S.

Daqui por diante, o conjunto-solucao de um sistema homogeneo sera chamado espaco-solucao.

4. Mostrar que o subconjunto W = {(x, y) R2/y = 0} e um subespaco do R2.Solucao:

(a) (0, 0) W.(b) Sejam u = (x1, 0) e v = (x2, 0) em W ; da u+ v = (x1 + x2, 0), donde u+ v W.(c) Sejam u = (x, 0) em W e a R; entao au = (ax, 0), donde au W.

5. Mostrar que e um subespaco de M(nn)(R) o subconjunto W = {A M(nn)(R)/AT = TA}, onde T e umamatriz constante de M(nn)(R).Solucao:

(a) Seja 0 a matriz nula de M(nn)(R). 0 W, pois 0T = T0 = 0.(b) Sejam A,B W. Entao, AT = TA e BT = TB. Da, (A + B)T = AT + BT = TA + TB, logo

(A+B)T = T (A+B), donde A+B W.

4

(c) Sejam A W e a R. Entao, AT = TA. Da (aA)T = a(AT ) = a(TA), logo (aA)T = T (aA), dondeaA W.

EXERCICIOS:

1. Quais dos subconjuntos W dados a seguir sao subespacos do R3 ?

(a) W = {(x, y, z) R3/x = 0}(b) W = {(x, y, z) R3/x Z}(c) W = {(x, y, z) R3/y e irracional}(d) W = {(x, y, z) R3/x 3z = 0}(e) W = {(x, y, z) R3/ax+ by + cz = 0}, com a, b, c R.

2. Verificar que nao sao subespacos do R3 :

(a) W = {(x, y, z) R3/x = 1}(b) W = {(x, y, z) R3/x2 + y + z = 0}(c) W = {(x, y, z) R3/x < y < z}(d) W = {(x, y, z) R3/x+ y Q}

1.2 Geradores

Sejam V um espaco vetorial, v1, v2, . . . , vn V e a1, a2, . . . , an R. Entao, o vetor v = a1v1 + a2v2 + + anvn,que e um elemento de V, e uma combinacao linear de v1, v2, . . . , vn. Os escalares a1, a2, . . . , an sao chamadoscoeficientes da combinacao linear.

Uma vez fixados v1, v2, . . . , vn V, definimos o subespaco gerado por v1, v2, . . . , vn, representado por [v1, v2, . . . , vn],como sendo o subespaco de V seguinte:[v1, v2, . . . , vn] = {a1v1+a2v2+ +anvn/a1, a2, . . . , an R}, ou seja, [v1, v2, . . . , vn] e o conjunto das combinacoeslineares de v1, v2, . . . , vn. Mostraremos que esse conjunto e de fato um subespaco de V. Faremos isso para n = 2,sendo analoga a demonstracao para um n arbitrario. Seja W = [v1, v2] = {a1v1 + a2v2/a1, a2 R}.

1. 0 W, pois 0 = 0v1 + 0v2 (quando 0 representa um escalar e quando 0 representa o vetor nulo de V ?)2. Sejam u, v W. Entao, u = a1v1 + a2v2 e v = b1v1 + b2v2 para certos a1, a2, b1, b2 R. Temos: u + v =

(a1 + b1)v1 + (a2 + b2)v2, logo u+ v W.3. Sejam u W e a R. Entao, u = a1v1 + a2v2, logo au = aa1v1 + aa2v2, donde au W.

5

Exemplos: 1) V = R3, v V, v 6= 0. Temos: [v] = {av : a R}, logo [v] e a reta que contem o vetor v. (verfigura acima a` esquerda)

2) Sejam v1, v2 V = R3 dois vetores nao colineares. Entao, [v1, v2] = {a1v1 + a2v2/a1, a2 R} e o plano quepassa pela origem e contem os vetores v1 e v2. (ver figura acima a` direita)

Observe que o R3 pode ser considerado como sendo tanto o conjunto dos ternos ordenados de numeros reais comoo conjunto dos vetores geometricos no espaco tri-dimensional (e sobre o R2?)

Em breve veremos que os unicos subespacos do R3 sao os subespacos triviais {0} e R3, as retas passando pelaorigem e os planos passando pela origem.

3) Sejam V = R3, v1 = (1, 0, 0), v2 = (1, 1, 0). Entao, [v1, v2] = W = {(x, y, 0) : x, y R}. De fato:a) Dado v [v1, v2], temos: v = av1+bv2, para certos a, b R, donde v = a(1, 0, 0)+b(1, 1, 0) = (a, 0, 0)+(b, b, 0),logo v = (a+ b, b, 0), entao v W e esta provado que todo vetor v [v1, v2] esta em W. Resta mostrar que todov W esta em [v1, v2].b) Dado v = (x, y, 0) W, temos: v = (x y + y, y, 0) = (x y, 0, 0) + (y, y, 0) = (x y)(1, 0, 0) + y(1, 1, 0),donde v = (x y)v1 + yv2, logo v [v1, v2].Observe que o subespaco [v1, v2] e o plano que passa pela origem e contem v1 e v2 (o plano coordenado xy, deequacao z = 0).

4) Achar vetores geradores do seguinte subespaco de R4 :S = {(x, y, z, t) R4/x y z + t = 0}.Solucao: S e o espaco-solucao de um sistema homogeneo com uma unica equacao:

{x y z + t = 0.Portanto, conforme o Exemplo 3 acima, S e de fato um subespaco de R4. Temos: S = {(x, y, z, t) R4/x =y + z t}, logo (x, y, z, t) S se, e somente se, x = y + z t, logo (x, y, z, t) S equivale a (x, y, z, t) =(y + z t, y, z, t) = (y, y, 0, 0) + (z, 0, z, 0) + (t, 0, 0, t) = y(1, 1, 0, 0) + z(1, 0, 1, 0) + t(1, 0, 0, 1). Entao, S =[(1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1)], conforme a definicao de subespaco gerado.5) Achar vetores geradores do seguinte subespaco de R4 :W = {(x, y, z, t) R4/x y = z + t = 0}.Solucao: W e o espaco-solucao do sistema

{x y = 0

z + t = 0que ja esta escalonado. Assim,

W = {(x, y, z, t) R4/x = y e z = t} = {(y, y,t, t)/y, t R}, mas (y, y,t, t) = (y, y, 0, 0) + (0, 0,t, t) =y(1, 1, 0, 0) + t(0, 0,1, 1), entao W = [(1, 1, 0, 0), (0, 0,1, 1)].6) Achar vetores geradores do espaco-solucao do sistema:

2x + y z = 04x + y + 3z = 0x y z = 0

Solucao: Primeiramente, e preciso resolver o sistema, segundo o procedimento estudado no incio do curso. A

matriz aumentada do sistema e: 2 1 1 04 1 3 01 1 1 0

Executamos as operacoes elementares L2 2L1 + L2 e L3 L1 2L3 : 2 1 1 00 3 1 0

0 3 1 0

Da ultima matriz, obtemos:{

2x + y z = 0 (Eq.1)3y + z = 0 (Eq.2)

6

Da (Eq.2): y = z3 . Levando na (Eq.1): 2x z3 z = 0 = 2x 43z = 0 = x = 2 z3 . Logo, o espaco-solucao dosistema dado e S =

{(x, y, z) R3/ x = 2 z3 e y = z3

}={(

2 z3 , z3 , z)/ z R} , mas (2 z3 , z3 , z) = z (23 ,13 , 1) ,

entao S =[(

23 ,13 , 1

)]. Porem, S tambem pode ser gerado da seguinte forma: S = [(2,1, 3)].

7) Achar geradores do espaco-solucao do sistema:x y + 4z + 4t = 0x y 2z + t = 0x y + 2t = 02x 2y 2z + 3t = 0

Solucao: A matriz aumentada do sistema e:1 1 4 4 01 1 2 1 01 1 0 2 02 2 2 3 0

Executando as operacoes elementares L2 L1 L2; L3 L1 L3; L4 2L1 L4, obtemos:

1 1 4 4 00 0 6 3 00 0 4 2 00 0 10 5 0

Executando as operacoes elementares L2 L2/3; L3 L3/2; L4 L4/5, obtemos:

1 1 4 4 00 0 2 1 00 0 2 1 00 0 2 1 0

As linhas L3 e L4 sao copias da L2, por isso sao desconsideradas.{x y + 4z + 4t = 0 (Eq.1)

2z + t = 0 (Eq.2)As variaveis livres sao y e t. As variaveis que nao sao livres, x e z, devem ser postas em funcao das variaveis livres.Da (Eq.2) vem: z = t/2. Levando na (Eq.1): x y 2t + 4t = 0 = x = y 2t, logo o espaco solucao dosistema dado e:S =

{(x, y, z, t) R4/x = y 2t e z = t2

}={(y 2t, y, t2 , t

)/y, t R}, mas (y 2t, y, t2 , t) = (y, y, 0, 0) +(2t, 0, t2 , t) = y(1, 1, 0, 0) + t (2, 0,12 , 1) , entao, S = [(1, 1, 0, 0), (2, 0,12 , 1)].

Definicao 1.4 (Soma de Subespacos) Sejam V um espaco vetorial e U,W V subespacos. Entao, U +W eo subespaco de V dado por: U +W = {u+ w/u U,w W}.

A seguir, provamos que U +W e de fato um subespaco de V (ver definicao de subespaco):

1. 0 U +W, pois 0 = 0 + 0 e 0 U,W, porque U e W sao subespacos.2. Dados v1, v2 U + W, temos: v1 = u1 + w1, v2 = u2 + w2, para certos u1, u2 U, w1, w2 W. Entao,

v1 + v2 = (u1 + u2) + (w1 + w2), com u1 + u2 U e w1 + w2 W (neste ponto usamos que U e W saosubespacos - ver (b) na definicao de subespaco). Entao, v1 + v2 U +W.

3. Dados v U +W e a R, temos: v = u+w, para certos u U,w W. Entao, av = au+ aw, com au Ue aw W (ver (c) na definicao de subespaco). Entao, av U +W.

Sejam V, U, W como na definicao acima. Se U =[u1, u2, . . . , um

]para certos u1, u2, . . . , um U e W =[

w1, w2, . . . , wn], para certos w1, w2, . . . , wn W, entao e facil provar que U+W =

[u1, u2, . . . , um, w1, w2, . . . , wn

].

7

Definicao 1.5 Seja V um espaco vetorial. Dizemos que V e finitamente gerado se existir uma quantidadefinita de vetores v1, v2, . . . , vn tais que V =

[v1, v2, . . . , vn

].

Todos os espacos vetoriais mencionados ate aqui sao finitamente gerados, o que ficara claro em breve, a partir doestudo de bases. Estudaremos somente os espacos vetoriais finitamente gerados. Um exemplo de espaco vetorialque nao e finitamente gerado e P(R), o conjunto de todos os polinomios, de todos os graus, com coeficientesreais, mais o polinomio 0.

1.3 Dependencia e Independencia Linear

Definicao 1.6 Sejam V um espaco vetorial e v1, v2, . . . , vn V vetores. Dizemos que o conjunto{v1, v2, . . . , vn

}e linearmente independente (L.I.) se a igualdade a1v1 + a2v2 + + anvn = 0, (1)

onde a1, a2, . . . , an sao escalares, valer somente quando a1 = a2 = = an = 0. Caso contrario, existindoescalares a1, a2, . . . , an nao todos nulos e tais que a igualdade (1) e valida, dizemos que o conjunto

{v1, v2, . . . , vn

}e linearmente dependente (L.D.).

Proposicao 1.7{v1, v2, . . . , vn

}e L.D. se, e so se, um destes vetores for uma combinacao linear dos outros.

Assim, um conjunto de vetores sera L.I. se nenhum deles for uma combinacao linear dos outros.

Demonstracao: Suponha que{v1, v2, . . . , vn

}e L.D. Logo, existem escalares a1, a2, . . . , an nao todos nulos tais

que a1v1 + a2v2 + + anvn = 0. (1)Suponha que a1 6= 0. Entao, de (1) vem: a1v1 = a2v2 anvn, logo v1 = a2a1 v2 ana1 vn, mostrando quev1 e combinacao linear de v2, . . . , vn.

Reciprocamente, suponha que um dos vetores, digamos v1, e uma combinacao linear dos outros, ou seja, v1 =a2v2 + +anvn, entao, 1v1a2v2 anvn = 0, mostrando que existe uma combinacao linear de v1, v2, . . . , vncom coeficientes nao todos nulos e igual a 0. Portanto, por definicao,

{v1, v2, . . . , vn

}e L.D. 2

Exemplos: 1) V = R3 e v1, v2 V. Pela Proposicao acima,{v1, v2

}e L.D. se v1 = av2 ou v2 = bv1, ou seja, se

v1 e v2 forem colineares.

2) V = R3 e v1, v2, v3 V. Pela Proposicao acima,{v1, v2, v3

}e L.D. se um destes vetores for uma combinacao

linear dos outros, por exemplo, v1 = xv2 + yv3. Portanto,{v1, v2, v3

}e L.D. se, e so se, estes tres vetores forem

coplanares.

3) Seja V = R2. {(1,1), (1, 0), (1, 1)} e linearmente dependente, pois 12(1,1) 1(1, 0) + 12(1, 1) = (0, 0).4) O conjunto {(1, 1, 0, 0), (0, 2, 1, 0), (0, 0, 0, 3)} R4 e linearmente independente, pois se x(1, 1, 0, 0)+y(0, 2, 1, 0)+z(0, 0, 0, 3) = (0, 0, 0, 0) = (x, x, 0, 0)+(0, 2y, y, 0)+(0, 0, 0, 3z) = (0, 0, 0, 0) = (x, x+2y, y, 3z) = (0, 0, 0, 0) =

x = 0x + 2y = 0

3z = 0= x = y = z = 0.

5) Verificar se {(1, 1, 0), (0, 1, 0), (2, 1, 0)} R3 e linearmente independente.Solucao: x(1, 1, 0) + y(0, 1, 0) + z(2, 1, 0) = (0, 0, 0) = (x, x, 0) + (0, y, 0) + (2z, z, 0) = (0, 0, 0) = (x+ 2z, x+y + z, 0) = (0, 0, 0) =

{x + 2z = 0x + y + z = 0

={x + 2z = 0

y z = 0Do fato desse sistema ser indeterminado conclumos que os vetores dados sao linearmente dependentes. De fato,o sistema tem outras solucoes alem da solucao trivial, por exemplo, x = 2, y = 1, z = 1, donde 2(1, 1, 0) +1(0, 1, 0) + 1(2, 1, 0) = (0, 0, 0) e uma relacao de dependencia entre os vetores dados.

8

6) Verificar se {(1, 2, 3), (1, 4, 9), (1, 8, 27)} R3 e L.I.Solucao: x(1, 2, 3) + y(1, 4, 9) + z(1, 8, 27) = (0, 0, 0) = (x+ y + z, 2x+ 4y + 8z, 3x+ 9y + 27z) = (0, 0, 0) =

x + y + z = 02x + 4y + 8z = 03x + 9y + 27z = 0

1 1 1 02 4 8 03 9 27 0

1 1 1 01 2 4 0

1 3 9 0

1 1 1 00 1 3 0

0 2 8 0

1 1 1 00 1 3 00 1 4 0

1 1 1 00 1 3 0

0 0 1 0

x + y + z = 0

y + 3z = 0z = 0

Da, a unica solucao e a trivial e o conjunto de vetores dado e linearmente independente.

1.4 Base de um Espaco Vetorial

Definicao 1.8 Um conjunto B ={v1, v2, . . . , vn

}de vetores de um espaco vetorial V sera uma base de V se

1.{v1, v2, . . . , vn

}e linearmente independente.

2. v1, v2, . . . , vn geram V, isto e,[v1, v2, . . . , vn

]= V.

Exemplos: 1) Sejam V = R2, e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1) R2. Entao,{e1, e2

}e uma base do R2, porque e L.I.

e[e1, e2

]= R2. De fato, dado (a, b) R2, temos (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = ae1 + be2, donde (a, b) e uma

combinacao linear de e1 e e2. Como esta conclusao vale para qualquer (a, b) R2, temos que{e1, e2

}gera o R2,

ou seja,[e1, e2

]= R2.

{e1, e2

}e chamada base canonica do R2. Outra base do R2 e {(1, 1), (0, 1)}, pois

(1, 1) e (0, 1) sao L.I. e geram R2. De fato, dado (a, b) R2, tentemos escrever (a, b) como uma combinacao linearde (1, 1) e (0, 1) : (a, b) = x(1, 1) + y(0, 1). Desenvolvendo, obtemos x = a e y = b a, donde(a, b) = a(1, 1) + (b a)(0, 1).2) {(0, 1), (0, 2)} nao e base de R2, pois e L.D. (veja a figura abaixo).

3) {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e a base canonica do R3.4) {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)} e a base canonica do R4.5) {(1, 0, 0), (0, 1, 0)} nao e base do R3 : e L.I., mas nao gera todo R3, isto e, [(1, 0, 0), (0, 1, 0)] 6= R3.Em breve, provaremos o seguinte importante Teorema:

Teorema 1.9 Qualquer base de um espaco vetorial V tem sempre o mesmo numero de elementos. Este numeroe chamado dimensao de V e e denotado por dim V.

9

Exemplo: 6) dim R2 = 2 e dim R3 = 3.

7) Prove que {(1, 2), (0, 1)} e base do R2.Solucao:

1. Os dois vetores sao L.I., pois nao sao colineares.

2. Devemos mostrar que os vetores dados geram o R2. Assim, dado (a, b) R2, devemos encontrar x e y taisque (a, b) = x(1, 2) +y(0, 1). Temos:

{ x = a2x + y = b

= x = a = 2a+y = b = y = 2a+ b.

8) Prove que {(1,1, 2), (0, 1,1), (0, 0, 2)} e uma base do R3.Solucao:

1. Fica como exerccio mostrar que esses vetores sao L.I.

2. Prova de que os vetores dados geram o R3 : Dado (a, b, c) R3, devemos encontrar x, y, z tais que x(1,1, 2)+y(0, 1,1) + z(0, 0, 2) = (a, b, c). Desenvolvendo, obtemos:

x = a (Eq.1)x + y = b (Eq.2)2x y + 2z = c (Eq.3)

Levando x = a em (Eq.2): a+y = b, donde y = a+b. Substituindo

x e y na (Eq.3): 2a (a+ b) + 2z = c = a b+ 2z = c = 2z = a+ b+ c = z = a+ b+ c2

.

9) Uma base para V = M(22)(R) e:{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}.

Logo, dimM(22)(R) = 4.

10) Os n+ 1 polinomios 1, t, t2, . . . , tn formam uma base para Pn(R) e dim Pn(R) = n+ 1.

Se conhecemos um sistema de geradores de um subespaco W do Rn, e possvel determinar uma base para essesubespaco pelo processo explicado a seguir:

Primeiramente, forma-se uma matriz tendo como linhas os geradores. A seguir, escalona-se essa matriz e elimina-se as linhas que porventura anularem-se. Feito isso, a matriz obtida fornece, linha por linha, os vetores de umabase para o subespaco W.

Exemplo: 11) Seja W = [(2, 1, 1, 0), (1, 0, 1, 2), (0,1, 1, 4)] R4. Determinar uma base para W.

Solucao:

2 1 1 01 0 1 20 1 1 4

1 0 1 22 1 1 0

0 1 1 4

1 0 1 20 1 1 4

0 1 1 4

1 0 1 20 1 1 4

0 0 0 0

. Assim,{(1, 0, 1, 2), (0,1, 1, 4)} e uma base para W e dim W = 2.

Observacao: Se, conhecidos os geradores de um subespaco W Rn, e ao escrevermos a matriz tendo comolinhas esses geradores, obtivermos uma matriz ja escalonada, entao os proprios geradores serao uma base para W,logo eles serao L.I.

Exemplo: 12) Sejam U ={

(x, y, z) R3/x = 0} e W = [(1, 2, 0), (3, 1, 2)] R3. Determinar uma base para U,We U +W.Solucao: Como (x, y, z) U se, e so se, x = 0 e (0, y, z) = y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1), entao U = [(0, 1, 0), (0, 0, 1)].Para esses geradores, temos a matriz

(0 1 00 0 1

), que ja esta escalonada. Logo, esses geradores formam uma

base para U (ver OBS. acima).

10

Para obter uma base de W, temos:

(1 2 03 1 2

)(

1 2 00 5 2

), logo {(1, 2, 0), (0, 5,2)} e uma base de W.

Lembremos que U +W e gerado pelos geradores de U junto com os de W e determinemos uma base de U +W :0 1 00 0 11 2 00 5 2

1 2 00 1 00 0 10 5 2

1 2 00 1 00 0 10 0 2

1 0 00 1 00 0 10 0 0

. Logo, U +W =[(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)

]e U +W = R3.

Em breve, provaremos a seguinte Proposicao:

Proposicao 1.10 Seja W um subespaco de V. Se dim W = dim V, entao W = V.

Exemplo: 13) Sejam S = [(1,1, 2), (2, 1, 1)] R3, T = [(0, 1,1), (1, 2, 1)],U =

{(x, y, z) R3/x+ y = 4x z = 0} e V = {(x, y, z) R3/3x y z = 0} . Determinar as dimensoes de:

a) S b) T c) U d) V e) S + T f) T + U.

Solucao:

(a)

(1 1 22 1 1

)(

1 1 20 3 3

), logo, dim S = 2.

(b) E imediato que dim T = 2, pois seus geradores ja se apresentam na forma escalonada.

(c) U e o espaco-solucao do sistema

{x + y = 04x z = 0 = y = x e z = 4x, logo os vetores de U sao

da forma (x,x, 4x) = x(1,1, 4), donde {(1,1, 4)} e uma base de U e dim U = 1.(d) Os vetores de V sao da forma (x, y, 3x y) = x(1, 0, 3) + y(0, 1,1), logo V = [(1, 0, 3), (0, 1,1)]. Como

esses geradores de V ja estao na forma escalonada, dim V = 2.

(e)

1 1 22 1 10 1 11 2 1

1 1 20 3 30 1 10 3 1

1 1 20 1 10 3 30 3 1

1 1 20 1 10 0 00 0 2

.Logo, dim (S + T ) = 3 e da, pela Proposicao acima, S + T = R3.

(f)

0 1 11 2 11 1 4

1 2 10 1 1

1 1 4

1 2 10 1 1

0 3 3

1 2 10 1 1

0 0 0

.Logo, dim (T + U) = 2.

A dimensao do espaco vetorial V = {0} e considerada como sendo 0.

EXERCICIOS:

1. Considere o subespaco de R4 W = [(1, 1,2, 4), (1, 1,1, 2), (1, 4,4, 8)].

(a) O vetor v1 = (2/3, 1,1, 2) pertence a W?

11

(b) O vetor v2 = (0, 0, 1, 1) pertence a W?

2. Determinar um sistema de geradores para o espaco-solucao de cada um dos seguintes sistemas lineareshomogeneos:

a)

x y = 02x 3y = 03x + 12y = 0

b)

x + y + z = 02x y 2z = 0x + 4y + 5z = 0

c)

2x 2y + z = 03x y + 3z = 0

3y + 4z = 0d)

x y z t = 03x y + 2z 4t = 0

2y + 5z + t = 0

3. Dar um sistema de geradores para cada um dos seguintes subespacos do R3 :

(a) U ={

(x, y, z) R3 : x 2y = 0}(b) V =

{(x, y, z) R3 : x+ z = 0 e x 2y = 0}

(c) W ={

(x, y, z) R3 : x+ 2y 3z = 0}(d) U V (e) V +W

4. Quais dos subconjuntos abaixo do R3 sao linearmente independentes?

(a) {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (2, 3, 5)}(b) {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 0,2)}(c) {(0, 0, 0), (1, 2, 3), (4, 1,2)}(d) {(1, 1, 1), (1, 2, 1), (3, 2,1)}

5. Dar uma base e a dimensao do subespaco W de R4, ondeW =

{(x, y, z, t) R4 : x y = y e x 3y + t = 0}.

6. Sendo W o subespaco do exerccio anterior e U o subespaco do R4 gerado por (1, 2, 1, 3) e (3, 1,1, 4),determinar uma base e a dimensao de U +W.

7. Achar uma base e a dimensao do seguinte subespaco de R4 :U =

{(x, y, z, t) R4 : x y = 0 e x+ 2y + t = 0}.

8. No espaco vetorial R3 consideremos os seguintes subespacos: U ={

(x, y, z) R3 : x = 0} ,V =

{(x, y, z) R3 : y 2z = 0} e W = [(1, 1, 0), (0, 0, 2)]. Determinar uma base e a dimensao de cada um

dos subespacos:a) U b) V c) W d) U V e) V +W f) U + V +W.

9. Considere o subespaco de R4 gerado pelos vetores v1 = (1,1, 0, 0), v2 = (0, 0, 1, 1), v3 = (2, 2, 1, 1) ev4 = (1, 0, 0, 0).

(a) O vetor v = (2,3, 2, 2) [v1, v2, v3, v4]? Justifique.(b) Exiba uma base para

[v1, v2, v3, v4

].

(c)[v1, v2, v3, v4

]= R4? Por que?

10. Considere o subespaco de R3 gerado pelos vetores v1 = (1, 1, 0), v2 = (0,1, 1) e v3 = (1, 1, 1).[v1, v2, v3

]= R3? Por que?

12

11. Sejam W1 ={

(x, y, z, t) R4 : x + y = 0 e z t = 0} e W2 = {(x, y, z, t) R4 : x y z + t = 0} sube-spacos de R4.

(a) Determine W1 W2.(b) Exiba uma base para W1 W2.(c) Determine uma base para W1 +W2. Responda (justificando): W1 +W2 = R4?

1.5 Coordenadas

Sejam V um espaco vetorial de dimensao n e B = {v1, v2, . . . , vn} uma base de V. Entao, dado um vetor arbitrariov V, v se escreve de maneira unica como uma combinacao linear de v1, v2, . . . , vn :v = c1v1 + c2v2 + + cnvn (1)O fato de existirem escalares c1, c2, . . . , cn tais que (1) se verifica decorre de v1, v2, . . . , vn gerarem V. Agoramostraremos que os escalares c1, c2, . . . , cn sao univocamente determinados (isto e, sao unicos para cada v). Comefeito, suponha que existam outros escalares d1, d2, . . . , dn tais quev = d1v1 + d2v2 + + dnvn (2)De (1) e (2) segue que 0 = v v = c1v1 + c2v2 + + cnvn d1v1 d2v2 dnvn, donde (c1 d1) v1 +(c2 d2) v2 + + (cn dn) vn = 0, entao, como v1, v2, . . . , vn sao L.I., c1 d1 = c2 d2 = = cn dn = 0, ouc1 = d1, c2 = d2, . . . , cn = dn, mostrando que as combinacoes lineares em (1) e (2) sao identicas e que v se escrevede maneira unica como combinacao linear dos vetores da base B = {v1, v2, . . . , vn} . Os escalares c1, c2, . . . , cn

em (1) sao denominados coordenadas de v em relacao a` base B e escrevemos [v]B =

c1c2...cn

, matriz estadenominada matriz de coordenadas de v em relacao a` base B.

Exemplo: 1) Determinar as coordenadas do vetor u = (3, 0, 1) R3 em relacao a`s seguintes bases:

(a) B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} (base canonica do R3)(b) C = {(2,3, 1), (1,1, 0), (3,1, 2)}

Solucao:

(a) Devemos escrever o vetor u como combinacao linear de e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1). Temos:u = (3, 0, 1) = 3.(1, 0, 0) + 0.(0, 1, 0) + 1.(0, 0, 1), logo, as coordenadas procuradas sao 3, 0 e 1 e a matriz de

coordenadas de u em relacao a` base canonica e [u]B =

301

. Desse exemplo, observamos o seguinte fato:As coordenadas de qualquer vetor u R3 em relacao a` base canonica de R3 sao as proprias componentesde u (generalize para Rn).

(b) Devemos escrever o vetor u como combinacao linear dos vetores de C :(3, 0, 1) = x.(2,3, 1) + y.(1,1, 0) + z.(3,1, 2) (*)

Desenvolvendo, obtemos:

2x + y + 3z = 33x y z = 0x + 2z = 1

Resolvendo esse sistema, obtemos: x = 1, y =

13

2, z = 1. Levando em (*): u = (3, 0, 1) = 1(2,3, 1)+2(1,1, 0)+1(3,1, 2), logo, a matriz de coordenadas

de u em relacao a` base C e: [u]C =

121

.2) Determinar as coordenadas do polinomio p(t) = 3 + t + 2t2 t3 em relacao a` seguinte base de P3(R) : B ={

1,2 + t, 1 + t2, 1 t t3} .Solucao: Devemos escrever p(t) como combinacao linear dos vetores de B : 3+ t+2t2 t3 = a.1+ b (2 + t)+c(1 + t2

)+ d

(1 t t3) . Desenvolvendo, obtemos: 3 + t+ 2t2 t3 = a 2b+ c+ d+ bt dt+ ct2 dt3, donde

3 + t+ 2t2 t3 = a 2b+ c+ d+ (b d)t+ ct2 dt3. Nessa igualdade de polinomios, os coeficientes dos termosde mesmo grau devem ser iguais. Entao, temos o sistema:

a 2b + c + d = 3b d = 1

c = 2d = 1

. Resolvendo, obtemos: a = 2, b = 2, c = 2, d = 1 e a matriz de coorde-

nadas de p(t) em relacao a` base B e[p(t)

]B

=

2221

.

1.6 Matriz de Mudanca de Base

1. dim V = 2 : Sejam V um espaco vetorial de dimensao 2 e B = {u1, u2} , C = {v1, v2} duas bases de V.Qualquer vetor de V pode ser escrito como combinacao linear dos vetores de C. Aplicando isso aos vetoresu1, u2 B, temos:u1 = av1 + bv2u2 = cv1 +dv2, onde a, b, c, d R. Definimos a matriz de mudanca da base B para a base C, representadapor

[I]BC, como sendo a matriz:

[I]BC

=

(a cb d

).

Para determinar a matriz de mudanca de C para B,[I]CB, precisaramos escrever os vetores da base C como

combinacoes lineares dos vetores da base B.

2. dim V = 3 : Sejam V um espaco vetorial de dimensao 3 e B = {u1, u2, u3} , C = {v1, v2, v3} duas bases deV. Obviamente, os vetores de B podem ser escritos como combinacoes lineares dos vetores de C :u1 = av1 + bv2 + cv3u2 = dv1 + ev2 + fv3u3 = gv1 + hv2 + iv3

Definimos a matriz de mudanca da base B para a base C, representada por[I]BC

como sendo a matriz:[I]BC

=

a d gb e hc f i

.A matriz de mudanca de duas bases de um espaco vetorial V de dimensao n = 4, 5, 6, . . . e determinada de modoanalogo ao que fizemos para as dimensoes 2 e 3.

Exemplo: 1) Determinar a matriz de mudanca da baseB = {(1, 2), (0,1)} do R2 para a base C = {(2, 1), (1,1)}.

Solucao: Devemos escrever os vetores de B como combinacoes lineares dos vetores de C :(1, 2) = a(2, 1) + b(1,1)

14

(0,1) = c(2, 1) + d(1,1) Desenvolvendo, obtemos:{ 2a + b = 1a b = 2

{ 2c + d = 0c d = 1 .

Resolvendo estes sistemas, encontramos: a = 3, b = 5, c = 1, d = 2. Entao, a matriz de mudanca de B para Ce:[I]BC

=

(a cb d

)=

( 3 15 2

).

2) Achar a matriz de mudanca da base B = {(1, 1, 0), (2,1, 3), (4,5, 6)} do R3 para a base canonica ={(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}.

Solucao: Devemos escrever os vetores de B como combinacoes lineares dos vetores de :(1, 1, 0) = 1(1, 0, 0) + 1(0, 1, 0) + 0(0, 0, 1)(2,1, 3) = 2(1, 0, 0) 1(0, 1, 0) + 3(0, 0, 1)

(4,5, 6) = 4(1, 0, 0)5(0, 1, 0)+6(0, 0, 1) Portanto, a matriz de mudanca de B para e: [I]B

=

1 2 41 1 50 3 6

.Compare as colunas desta matriz com os vetores de B. Conclumos, entao, que e muito facil determinar a matrizde mudanca de uma base B do R3 para a base canonica (generalize para o Rn).

3) No espaco R3 consideremos as bases B = {e1, e2, e3} e C = {g1, g2, g3} relacionadas da seguinte maneira:g1 = e1 + e3,g2 = 2e1 + e2 + e3,g3 = e1 + 2e2 + e3. Determinar as matrizes de mudanca de B para C e de C para B.

Solucao: Pelas relacoes dadas, temos:[I]CB

=

1 2 10 1 21 1 1

. Conforme veremos em breve, a matriz de mudanca[I]BC

de B para C e a inversa da matriz de mudanca[I]CB

de C para B. Passamos, entao, a inverter a matrizacima: 1 2 1 1 0 00 1 2 0 1 0

1 1 1 0 0 1

. A seguir, executamos a operacao L3 L1 L3 : 1 2 1 1 0 00 1 2 0 1 00 1 0 1 0 1

. Executamos as operacoes L1 L1 2L2 e L3 L2 L3 : 1 0 3 1 2 00 1 2 0 1 00 0 2 1 1 1

. Executando L1 2L1 + 3L3 e L2 L2 L3 : 2 0 0 1 1 30 1 0 1 0 10 0 2 1 1 1

. Executando L1 L1/2 e L3 L3/2 : 1 0 0 1/2 1/2 3/20 1 0 1 0 10 0 1 1/2 1/2 1/2

, logo [I]BC

=

1/2 1/2 3/21 0 11/2 1/2 1/2

.

Proposicao 1.11 Sejam B e C bases de um espaco vetorial e[I]BC

= M. Entao, dado um vetor u V, a matrizde coordenadas

[u]C

de u em relacao a` base C pode ser calculada por:[u]C

= M.[u]B, ou

[u]C

=[I]BC.[u]B.

Exemplo: 4) Sejam B e C as bases dadas no Exemplo 3. Se as coordenadas de um vetor u R3 em relacao a`base B sao 1, 1 e 2, quais as coordenadas desse vetor em relacao a` base C?

15

Solucao: A matriz de coordenadas de u em relacao a` base B e[u]B

=

112

. Conforme o Exemplo 3,[I]BC

= 12

1 1 32 0 21 1 1

, logo a matriz de coordenadas de u em relacao a` base C e [u]C

=[I]BC.[u]B

=

12

1 1 32 0 21 1 1

. 11

2

= 12 42

2

= 21

1

.

Proposicao 1.12 Se B,C e D sao bases de um espaco vetorial V,[I]BC

= M e[I]CD

= N, entao[I]BD

= N.M =[I]CD.[I]BC. (veja a figura abaixo a` esquerda).

Sejam B e C bases de um espaco vetorial V de dimensao n,[I]BC

= P e[I]CB

= Q. Entao, conforme a figura acima

a` direita,[I]BB

= QP. Entao, como[I]BB

= In = matriz identidade de ordem n (prove isto), temos: QP = In.

Analogamente, PQ = In. Entao, concluimos que Q = P1, isto e, a matriz de mudanca

[I]BC

e a inversa da matriz

de mudanca[I]CB.

Proposicao 1.13 Sejam dim V = n, B uma base de V e P uma matriz quadrada inversvel n n. Entao, existeuma base C de V tal que

[I]BC

= P.

EXERCICIOS:

1. Determinar as coordenadas do vetor v = (4,5, 3) R3 em relacao a`s seguintes bases:

(a) Canonica.

(b) {(1, 1, 1), (1, 2, 0), (3, 1, 0)}(c) {(1, 2, 1), (0, 3, 2), (1, 1, 4)}

2. Quais sao as coordenadas de v = (1, 0, 0) R3 em relacao a` base = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0,1)}?3. Determinar as coordenadas do polinomio t3 em relacao a` seguinte base de P3(R) :{

1, 2 t, t2 + 1, 1 + t+ t3} .4. Sejam B = {(1, 0), (0, 1)}, B1 = {(1, 1), (1, 1)}, B2 =

{(

3, 1), (

3,1)} e B3 = {(2, 0), (0, 2)} bases doR2.

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(a) Ache as matrizes de mudanca:

i)[I]B1B

ii)[I]BB1

iii)[I]BB2

iv)[I]BB3

(b) Quais sao as coordenadas do vetor v = (3,2) em relacao a:i) B ii) B1 iii) B2 iv) B3

(c) As coordenadas de um vetor v em relacao a` base B1 sao dadas por[v]B1

=

(40

). Determinar as

coordenadas de v em relacao a`s seguintes bases: i) B ii) B2 iii) B3

5. Considere as bases B = {e1, e2, e3} e C = {g1, g2, g3} de R3 assim relacionadas:g1 = e1 e2 e3g2 = 2e2 + 3e3g3 = 3e1 + e3

(a) Determinar as matrizes de mudanca[I]BC

e[I]CB.

(b) Se um vetor v de R3 apresenta coordenadas 1, 2 e 3 em relacao a B, quais sao as coordenadas de vrelativamente a C?

6. Sejam B e C bases do R3 tais que[I]BC

=

1 1 00 1 11 0 1

e u, v vetores do R3. Determinar:

(a)[v]C, se

[v]B

=

123

.(b)

[u]B, se

[u]C

=

123

.7. A matriz de mudanca da base C = {(1, 1), (0, 2)} do R2 para uma base B desse mesmo espaco e

(1 02 3

).

Determinar a base B.

8. Sejam B1 = {(1, 0), (0, 2)}, B2 = {(1, 0), (1, 1)} e B3 = {(1,1), (0,1)} bases do R2.

(a) Ache: i)[I]B2B1

ii)[I]B3B2

iii)[I]B3B1

iv)[I]B2B1.[I]B3B2

(b) De uma relacao entre estas matrizes de mudanca de base.

1.7 Teoremas sobre Bases

Teorema 1.14 Sejam v1, v2, . . . , vn vetores nao nulos que geram um espaco vetorial V. Entao, dentre estes vetorespodemos extrair uma base de V.

Demonstracao: Se v1, v2, . . . , vn sao linearmente independentes, entao eles cumprem as condicoes para umabase, e nao temos mais nada a fazer. Se v1, v2, . . . , vn sao linearmente dependentes, entao, pela Proposicao 1.7,um destes vetores, vn, suponhamos, e uma combinacao linear dos outros (v1, . . . , vn1) e, portanto, v1, . . . , vn1ainda geram V. Se v1, . . . , vn1 forem L.I., estes vetores formarao uma base de V e acabou, mas se eles foremL.D., um destes vetores e uma combinacao linear dos outros e poderemos extrair esse vetor. Seguindo dessa forma,

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chegaremos a um subconjunto de {v1, . . . , vn} , formado por r (r n) vetores L.I. que ainda geram V, constituindo,portanto, uma base de V. 2

Teorema 1.15 Seja V um espaco vetorial gerado por um conjunto finito de vetores v1, . . . , vn. Entao, qualquersubconjunto de V com mais de n vetores e L.D. (e, portanto, qualquer subconjunto L.I. tem no maximo n vetores).

Demonstracao: Como [v1, . . . , vn] = V, pelo Teorema 1.14, podemos extrair uma base para V de {v1, . . . , vn} .Seja {v1, . . . , vr} , r n, esta base (para nao complicar a notacao). Consideremos agora w1, w2, . . . , wm, m vetoresde V, com m > n. Devemos mostrar que w1, w2, . . . , wm sao linearmente dependentes. Como v1, . . . , vr geram V,cada um dos vetores w1, w2, . . . , wm e uma combinacao linear de v1, . . . , vr. Entao, existem constantes aij , tais que

w1 = a11v1 + a12v2 + + a1rvrw2 = a21v1 + a22v2 + + a2rvr

...wm = am1v1 + am2v2 + + amrvr

(1)

Consideremos agora uma combinacao linear de w1, w2, . . . , wm igualando-se a zero: x1w1 +x2w2 + +xmwm = 0(2)

Substituindo as relacoes (1) em (2) e reagrupando os termos, obtemos:(a11x1 + a21x2 + + am1xm) v1 ++ (a12x1 + a22x2 + + am2xm) v2 + ++ (a1rx1 + a2rx2 + + amrxm) vr = 0.Como v1, v2, . . . , vr sao L.I., entaoa11x1 + a21x2 + + am1xm = 0a12x1 + a22x2 + + am2xm = 0

...a1rx1 + a2rx2 + + amrxm = 0

Temos entao um sistema linear homogeneo com r equacoes e m incognitas x1, . . . , xm e, como r n < m, eleadmite uma solucao nao trivial, ou seja, existem x1, x2, . . . , xm, nao todos nulos, tais que vale a igualdade (2).Portanto, w1, . . . , wm sao L.D. 2

Teorema 1.16 Qualquer base de um espaco vetorial V tem sempre o mesmo numero de vetores. Esse numero echamado dimensao de V, representada por dim V.

Demonstracao: Sejam {v1, . . . , vn} e {w1, . . . , wm} duas bases de V. Como v1, . . . , vn geram V e w1, . . . , wm saoL.I., pelo Teorema 1.15, m n.Por outro lado, como w1, . . . , wm geram V e v1, . . . , vn sao L.I., pelo Teorema 1.15, n m. Portanto, n = m. 2

Proposicao 1.17 Se dim V = n, entao todo subconjunto L.I. de V tem no maximo n vetores.

Demonstracao: Seja {v1, . . . , vn} uma base de V. Entao, v1, . . . , vn geram V. Entao, pelo Teorema 1.15, todosubconjunto L.I. de V tem no maximo n vetores. 2

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Proposicao 1.18 Se dim V = n, entao qualquer conjunto de vetores que gerem V deve ter no mnimo n vetores.

Demonstracao: Sejam v1, . . . , vr geradores de V. Entao, pelo Teorema 1.14, r n, porque qualquer base de Vtem n vetores. 2

Teorema 1.19 Qualquer subconjunto L.I. de um espaco vetorial V pode ser completado de modo a formar umabase de V.

Demonstracao: Sejam dim V = n e v1, . . . , vr vetores L.I. (pela proposicao 2.17, r n). Se [v1, . . . , vr] = V,entao {v1, . . . , vr} forma uma base e nao temos mais nada a fazer (neste caso, n = r). Porem se [v1, . . . , vr] 6= V,entao existe vr+1 V tal que vr+1 / [v1, . . . , vr], isto e, vr+1 nao e uma combinacao linear de v1, . . . , vr, entao{v1, . . . , vr, vr+1} e L.I. (prove isto). Se [v1, . . . , vr, vr+1] = V, entao {v1, . . . , vr+1} e a base procurada. Casocontrario, existe vr+2 / [v1, . . . , vr+1] e, entao, {v1, . . . , vr+1, vr+2} e L.I. Se [v1, . . . , vr+1, vr+2] = V, nossa provaesta concluda. Se nao, prosseguimos usando o mesmo argumento. Como, pela Proposicao 1.17, nao podemos termais do que n vetores L.I. em V, este processo tem que parar, obtendo-se uma base de V que contem os vetoresdados. 2

Teorema 1.20 Se dim V = n, qualquer conjunto de n vetores L.I. formara uma base de V.

Demonstracao: Se nao formasse uma base, poderamos completar o conjunto ate forma-la (Teorema 1.19) edessa forma teramos uma base com mais do que n vetores, o que e absurdo (Teorema 1.16). 2

Teorema 1.21 Seja W um subespaco de V. Se dim W = dimV = n, entao W = V.

Demonstracao: Seja {v1, . . . , vn} uma base de W. Como {v1, . . . , vn} e L.I. e dim V = n, pelo Teorema 1.20,{v1, . . . , vn} e base de V, logo W = V. 2

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