Espaço Vetorial

88
Summary Espa¸ cos Vetoriais Hector L. Carrion ECT-UFRN fevereiro, 2012 Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

description

Exemplar muito bom, para pessoas com interesse em estudar

Transcript of Espaço Vetorial

  • Summary

    Espacos Vetoriais

    Hector L. Carrion

    ECT-UFRN

    fevereiro, 2012

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Summary1 Definicao de E. V.2 Subespaco3 Dependencia Linear4 Base e Dimensao5 Produto interno6 Espaco Vetorial Euclidiano7 Ortonormalidade

    Ortonormalidadeprocesso de ortonormalizacao

    8 Mudanca de Bases9 Matrizes ortogonais10 Autovalores e autovetores11 Diagonalizacao

    Diagonalizacao ortogonal12 Referencias Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Summary1 Definicao de E. V.2 Subespaco3 Dependencia Linear4 Base e Dimensao5 Produto interno6 Espaco Vetorial Euclidiano7 Ortonormalidade

    Ortonormalidadeprocesso de ortonormalizacao

    8 Mudanca de Bases9 Matrizes ortogonais10 Autovalores e autovetores11 Diagonalizacao

    Diagonalizacao ortogonal12 Referencias Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    definicao

    Um espaco vetorial e uma estrutura (E ,+, .) formada por um conjuntoE ,cujos elementos sao chamados vetores, no qual estao definidos duasoperacoesA adicao(+) eA multiplicacao por um escalar (.).- A adicao, que a cada par de vetores u, v E faz corresponder um novoelemento z = u + v , E , chamado a soma de u e v ,- A multiplicacao por um escalar, que a cada numero(escalar) a e acada vetor v E faz corresponder um vetor av , chamado o produto dea por v

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    axiomas

    A1 comutatividade: u + v = v + u;

    A2 associatividade: ( u + v) + w = u + ( v + w), e (a. b).v =a.(b.v);

    A3 vetor nulo: existe um vetor 0 E , chamado vetor nulo, ou vetorzero, /v + 0 = 0 + v = v , v E ;A4 inverso aditivo: para cada vetor v E existe um vetor v E ,chamado o inverso aditivo, ou o simetrico de v , tal quev + v = v + (v) = 0;A5 distributividade: (a+ b).v = a.v + b.v , e a.(u + v) = a.u+ a.v ;

    A6 multiplicacao por 1: 1.v = v .

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Exemplo 1 Seja 3 o espaco vetorial euclideano 3-dimensional. Umelemento de 3 e o vetor u = (u1, u2, u3), outro elemento pode ser ovetor w = (w1,w2,w3). Os numeros u1, u2, u3 sao chamados decoordenadas do vetor u (ou componentes). Com as duas operacoesdefinidas no espaco vetorial3

    u + w = (u1 + w1, u2 + w2, u3 + w3)

    v = (v1, v2, v3),

    mostre que o espaco 3 e um espaco vetorial.Exemplo 2 Seja Pn o conjunto dos polinomios de grau menor ou igual an. Pn = {a0+ a1x + a2x2+ ..+ an1xn1+ anxn; ai } O conjunto Pnjunto com as operacoes usuais de adicao de polinomios e multiplicacaopor um escalar, e um espaco vetorial. Analise o casso particular P2

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    exercicios

    1 Seja Mnm() o conjunto de todas as matrizes de ordem n m. SeA = [aij ],B = [bij ],A,B M, mostre que ele se torna um espacovetorial quando nele se define as seguinte operacoes

    A+ B = [aij + bij ],A = [aij ].

    2 Demonstre que o inverso aditivo u de u e unico.3 Seja V o primeiro quadrante do plano xy,

    V = {[

    xy

    ]

    , x 0, y 0}.a) se u V ,w V , u + w V ?.b) w V ? para qualquer real ? V e espaco vetorial?.

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    exercicios

    Demonstre usando os axiomas do espaco vetorial V , que0u = 0, u V , 0 e o escalar zero, 0 e o vetor nulo do espacovetorial.

    Quaisquer que sejam v ,w E , existe um unico u E tal quev + u = w (dica: utilize a propriedade 3, da nota de aula).

    Verifique se o conjunto de pares ordenados (x,y) do plano R2(+, ),com as seguintes operacoes(x , y) + (x , y ) = (x + x , y + y ), k (x , y) = (k2x , k2y), e umespaco vetorial.

    Verifique se o conjunto de matrizes da forma

    (

    a 00 b

    )

    munido das

    operacoes usuais de soma de matrizes e multiplicacao de matrizespor um escalar, e um espaco vetorial. a, b .

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    exercicios..

    seja C o espaco dos numeros complexos. Um elemento deste espacoe z tal que z = a+ bi ; z C , a, b . a e a parte real de z , e b ea parte imaginaria de z ,i2 = 1. Entao considerando as seguintesoperacoes

    z1 + z2 = (a1 + b1) + i(a2 + b2)z1 = a1 + b1i

    mostre que o espaco dos numeros complexos C forma um espacovetorial.Em 2 mantenhamos a definicao de produto av de um numero porum vetor mais modifiquemos a definicao de soma u + v dos vetoresu = (x , y), v = (x , y ). Em cada tentativa dizer quais axiomas doespaco vetorial continuam validos e quais sao violados.

    u + v = (xx , yy )u + v = (3x + 3x , 5y + 5y )

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Demonstrar que 0.u = 0, sendo u, 0, E , 0 R.demonstracao.

    u + 0.u = 1.v + 0.u A6

    = (1 + 0)u A5

    = 1.u A6

    u + 0.u = u A3

    0.u = 0, o.q.q.d.

    Demonstrar que, dado um vetor v E , o elemento neutro 0 e unico.Demonstrar que se w + u = w + v , entao u = v .

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Seja X o conjunto nao-vazio qualquer, poderia ser por exemplo, osnumeros reais R. Seja F(X ,R) o conjunto de todas as funcoes reaisf , g : X R. Ele se torna um espaco vetorial quando se definem asoma f + g de funcoes e o produto f do numero pela funcao fde maneira natural, como segue:

    (f + g)(x) = f (x) + g(x), (f )(x) = .f (x)

    Seja E = R2, e S = {(x , y), y > 0}, isto e sub-conjunto de vetoresde E = R2. Considere as operacoes usuais de soma de vetoresu + v = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2), e a multiplicacaousual de um escalar real por um vetor v = (x1, y1) como segueu = (x1, y1). Prove que S com esas duas operacoes basicas naoe um espaco vetorial.

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Summary1 Definicao de E. V.2 Subespaco3 Dependencia Linear4 Base e Dimensao5 Produto interno6 Espaco Vetorial Euclidiano7 Ortonormalidade

    Ortonormalidadeprocesso de ortonormalizacao

    8 Mudanca de Bases9 Matrizes ortogonais10 Autovalores e autovetores11 Diagonalizacao

    Diagonalizacao ortogonal12 Referencias Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Definicao

    E possivel um espaco vetorial estar contido em outro espaco vetorial.Seja E um espaco vetorial, um subespaco vetorial de E ou simplesmentesubespaco e um subconjunto F E com as seguintes propriedades:

    1 0 F .2 Se u,w F entao, u + w F3 Se v F entao, , v F

    Exemplo 1Seja E = 2, e v 6= 0, v E , mostrar que F = {v , } e umsubespaco vetorial de E .definicao. Uma matriz quadrada A = [Aij ] chama-sesimetrica (anti-simetrica) quando Aij = Aji (Aij = Aji ).

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Soma direta

    Exemplo 2 Prove que S = {conjunto de matrizes simetricas} e umsubespaco vetorial do conjunto de matrizes quadradas gerais do tipoMnn. De forma similar, prove queS = {conjunto de matrizes anti simetricas} e um subespaco vetorial doconjunto de matrizes quadradas gerais do tipo MnnPropriedade Seja E um espaco vetorial, e E1 E , E2 E , onde E1,E2sao subespacos vetoriais de E . A intersecao S = E1 E2 definido assim

    S = {v E / v E1, v E2} (1)e um espaco vetorial.Definicao Se E1 E , E2 E , e se

    S = E1 E2 = {0}, (tendo apenas 0 como elemento comun).w E ,w = v1 + v2, de modo unico. Onde v1 E1, v2 E2.

    Entao se escreve assim E1 E2 = E , diz-se E e a soma direta de E1 eE2 Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Exerccios

    1 Seja E = 3 eF = {(x , y , z) 3 ax + by + cz = 0; a, b, c escalares constantes.}Mostre que F e subespaco de E .

    2 Seja E = 4. Mostre que F = {(x , y , z , 0); x , y , z } e umsubespaco de E .

    3 Dado E = 2, mostre que F = {(x , y), x > 0} nao e subespaco deE .

    4 Seja 3 = {(a, b, c); a, b, c }, considerando

    E1 = {(a, b, 0); a, b },E2 = {(0, 0, c); c .}

    Mostre que 3 = E1 E2.Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    1 Seja s1 = {(0, x , y), x , y }; s2 = {(x , 0, y), x , y }; entaoS = s1 s2 nao e um espaco vetorial, falso verdadeiro?.

    2 Determine se os seguintes subconjuntos sao subespacos de R3

    a) todos os vetores da forma (a; 1; 1).b) todos os vetores da forma (a; b; c); b = a + c.

    3 Seja M2x2 o conjunto de matrizes com entradas todas reais deordem 2 2. Determine se as matrizes quadradas com det(A) = 0,forman um subespaco de M2x2.

    4 Seja P3 o conjunto de todos os polinomios da grau menos ou igual a3. Dado ai , i = 0, 1, 2, 3. Verifique sea) o conjunto F = {a1x + a2x2 + a3x3} ; e subespaco vetorial de P3.b) o conjunto F = {1 + a1x + a2x2 + a3x3 e subespaco vetorial deP3.

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Summary1 Definicao de E. V.2 Subespaco3 Dependencia Linear4 Base e Dimensao5 Produto interno6 Espaco Vetorial Euclidiano7 Ortonormalidade

    Ortonormalidadeprocesso de ortonormalizacao

    8 Mudanca de Bases9 Matrizes ortogonais10 Autovalores e autovetores11 Diagonalizacao

    Diagonalizacao ortogonal12 Referencias Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    seja E um espaco vetorial. Diz-se que um conjunto V E e linearmenteindependente abrevidamente L.I. quando nehum vetor v V ecombinacaolinear dos outros elementos de V .

    Pode-se dizer tambem que tais vetores sao linearmente independentes

    Quando um conjunto V e L.I. seus elementos sao todos 6= 0 pois o vetornulo e combinacao linear de quaisquer outros elementos de V

    Um conjunto V E e linearmente dependente, L.D. quando nao e L.I.Teorema: Seja V um conjunto L.I. no espaco vetorial E . Se1v1 + ...+ nvn = 0, com v1, ...vn V entao 1 = ... = n = 0.Reciprocamente, se a unica combinacao linear nula de vetores de V eaquela cujos coeficientes sao todos iguais a zero, entao V e umconjunto L.I.

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    seja E um espaco vetorial. Diz-se que um conjunto V E e linearmenteindependente abrevidamente L.I. quando nehum vetor v V ecombinacaolinear dos outros elementos de V .

    Pode-se dizer tambem que tais vetores sao linearmente independentes

    Quando um conjunto V e L.I. seus elementos sao todos 6= 0 pois o vetornulo e combinacao linear de quaisquer outros elementos de V

    Um conjunto V E e linearmente dependente, L.D. quando nao e L.I.Teorema: Seja V um conjunto L.I. no espaco vetorial E . Se1v1 + ...+ nvn = 0, com v1, ...vn V entao 1 = ... = n = 0.Reciprocamente, se a unica combinacao linear nula de vetores de V eaquela cujos coeficientes sao todos iguais a zero, entao V e umconjunto L.I.

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    seja E um espaco vetorial. Diz-se que um conjunto V E e linearmenteindependente abrevidamente L.I. quando nehum vetor v V ecombinacaolinear dos outros elementos de V .

    Pode-se dizer tambem que tais vetores sao linearmente independentes

    Quando um conjunto V e L.I. seus elementos sao todos 6= 0 pois o vetornulo e combinacao linear de quaisquer outros elementos de V

    Um conjunto V E e linearmente dependente, L.D. quando nao e L.I.Teorema: Seja V um conjunto L.I. no espaco vetorial E . Se1v1 + ...+ nvn = 0, com v1, ...vn V entao 1 = ... = n = 0.Reciprocamente, se a unica combinacao linear nula de vetores de V eaquela cujos coeficientes sao todos iguais a zero, entao V e umconjunto L.I.

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    seja E um espaco vetorial. Diz-se que um conjunto V E e linearmenteindependente abrevidamente L.I. quando nehum vetor v V ecombinacaolinear dos outros elementos de V .

    Pode-se dizer tambem que tais vetores sao linearmente independentes

    Quando um conjunto V e L.I. seus elementos sao todos 6= 0 pois o vetornulo e combinacao linear de quaisquer outros elementos de V

    Um conjunto V E e linearmente dependente, L.D. quando nao e L.I.Teorema: Seja V um conjunto L.I. no espaco vetorial E . Se1v1 + ...+ nvn = 0, com v1, ...vn V entao 1 = ... = n = 0.Reciprocamente, se a unica combinacao linear nula de vetores de V eaquela cujos coeficientes sao todos iguais a zero, entao V e umconjunto L.I.

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    seja E um espaco vetorial. Diz-se que um conjunto V E e linearmenteindependente abrevidamente L.I. quando nehum vetor v V ecombinacaolinear dos outros elementos de V .

    Pode-se dizer tambem que tais vetores sao linearmente independentes

    Quando um conjunto V e L.I. seus elementos sao todos 6= 0 pois o vetornulo e combinacao linear de quaisquer outros elementos de V

    Um conjunto V E e linearmente dependente, L.D. quando nao e L.I.Teorema: Seja V um conjunto L.I. no espaco vetorial E . Se1v1 + ...+ nvn = 0, com v1, ...vn V entao 1 = ... = n = 0.Reciprocamente, se a unica combinacao linear nula de vetores de V eaquela cujos coeficientes sao todos iguais a zero, entao V e umconjunto L.I.

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    exemplos

    Exemplo 1 Os vetores canonicose1 = (1, 0, ...., 0), e2 = (0, 1, 0...., 0), ....en = (0, ...., 0, 1) em E = nsao L.I.

    Exemplo 2 Os monomios {1, x , x2, x3} P3 sao L.I. Onde P3 saoos polinomios de grau 3Exemplo 3 Mostre que os vetoresv = (2, 3, 4),w = (2, 0,1), z = (6, 3, 2) em 3 sao L.D.

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Exerccios

    1 Seja v = (1, 2, 0),w = (0, 1,1), z = (3, 0, 1), mostre que elesformam um conjunto L.I no espaco V = 3.

    2 no 2, os vetores {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1), v = (m, n);m, n } saoL.D.

    3 Verifique se o seguinte conjunto

    V = {v1 =[

    1 05 2

    ]

    , v2 =

    [

    3 015 6

    ]

    } M()22.

    e ou nao L.I.

    4 Verifique se sao L.I. ou L. D. o seguinte conjunto

    P = {1 + 2x x2, 2 x + 3x2, 3 4x + 7x2} P2

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Summary1 Definicao de E. V.2 Subespaco3 Dependencia Linear4 Base e Dimensao5 Produto interno6 Espaco Vetorial Euclidiano7 Ortonormalidade

    Ortonormalidadeprocesso de ortonormalizacao

    8 Mudanca de Bases9 Matrizes ortogonais10 Autovalores e autovetores11 Diagonalizacao

    Diagonalizacao ortogonal12 Referencias Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Definicao de base de um E. V.Seja E um espaco vetorial qualquer e B = {v1, v2, ...vn} um conjunto devetores qualquer de E . Dizemos que B e uma base de E se as seguintescondicoes sao satisfeitas.

    B e linearmente independente.

    B gera E

    Que B gera E significa que todo vetor v E se exprime, de modo unico,como uma combinacao linear v = 1v1 + 2v2 + .., nvn de elementos dabase B. Os numeros 1, 2, ..n chaman-se as coordenadas do vetor v nabase B.Teorema Todas as bases de um espaco vetorial (e. v.) de dimensaofinita n, tem o mesmo numero de vetores e igual a n.

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Teorema Se B = {v1, ...., vn} e uma base de E entao cada vetorv E pode ser expresso assim: v = 1v1 + 2v2 + .., nvn de formaunica.

    Exemplo 1 Os vetorese1 = (1, 0, ...0), e2 = (0, 1, 0...0), ...en = (0, ...0, 1) constituem umabase {e1, e2, ..en} de n, chamada de base canonica.Exemplo 2 Os monomios {1, x , x2, ..xn} formam uma base para oespaco vetorial Pn dos polinomios de grau nExemplo 3 Mostre que as matrices m1,m2,m3,m4 sao uma base deM()22. Onde,m1 =

    [

    1 00 0

    ]

    , m2 =

    [

    0 00 1

    ]

    , m3 =

    [

    0 10 0

    ]

    ; m4 =[

    0 01 0

    ]

    , os tres exemplos anteriores sao bases canonicas.

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Dimensao de um E. V.

    Definicao de Dimensao.Se E possui uma base com n vetores, entao E tem dimensao n eanota-se dim E = n. Um espaco vetorial E e chamado de dimensaofinita se contem um conjunto finito {v1, ...vn} de vetores de base de E , ne um numero inteiro. Caso esta base de E nao for finita, diz-se que E eum e. v. (espaco vetorial) de dimensao infinita.Teorema. Seja E um e. v. de dimensao finita n, onde {v1, ..vn} euma base qualquer de E . entao e valido.

    1 Um conjunto com mais de n vetores em E e L.D.

    2 Um conjunto com menos do que n vetores nao gera E .

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Exemplos

    Exemplo 1 Seja E = R2 o espaco vetorial Euclidiano.a) Considere o conjunto B1 = {e1, e2} de vetores, ele e base de E ?b) Quais sao as coordenadas do vetor V = (x , y) nessa base?c) Seja outro conjunto de vetores B2 = {b1, b2}, b1 = (1, 1), b2 = (2, 0).B2 e base do espaco E = R2 ?d) Quais sao as coordenadas do vetor V = (x , y) na base B2?.e) Qual e a dimensao do espaco E = R2.Exemplo 2 Seja conjunto de vetores B = {p1, p2, p3, p4} do espacovetorial P2. Verfique se eles sao L.I. ou L.D.p1 = 1 + x , p2 = 2 x2, p3 = x + x2, p4 = 1.

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Exerccios

    Exemplo 1O espaco vetorial A(m n) das matrizes m n tem dimensao finitaigual a m.n.

    Exemplo 2.Mostre que a dimensao da base canonica de Pn e n + 1. Pn e opolinomio de grau n

    1 Mostre que S = {V1,V2,V3} forma uma base do espaco 3.V1 = (1, 0, 2);V2 = (1, 3, 2);V3 = (0, 1, 2). Encontrar ascomponentes do vetor W = (3, 1,2) na base S .

    2 Encontre as componentes do polinomio P , na base S = {P1,P2,P3}.Onde P = 2 x + x2,P1 = 1 + x ,P2 = 1 + x2,P3 = x + x2.

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Mostre que as matrices m1,m2,m3,m4 sao uma base de M()nnOnde, m1 =

    [

    0 11 0

    ]

    , m2 =

    [

    0 812 4

    ]

    , m3 =[

    3 63 6

    ]

    ;m4 =

    [

    0 11 0

    ]

    .

    Encontre as componentes de A na base S = {v1, v2, v3, v4}A =

    [

    2 01 3

    ]

    , v1 =

    [

    1 10 0

    ]

    , v2 =

    [

    1 10 0

    ]

    , v3 =[

    0 01 0

    ]

    ; v4 =

    [

    0 00 1

    ]

    .

    Determine a dimensao do subespaco de P3, consistindo de todos ospolinomios da forma P3 = a1x + a2x

    2 + a3x3.

    Determine a dimensao do subpespaco de R4 da formav = (a, b, c , d), d = a+ b, c = a b.

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Determine a dimensao da base do espaco-solucao do sistemax + y z = 0,2x y + 2z = 0,x + z = 0Dado o sistema de equacoesx + y z = 0, y 2w = 0, x z + 2w = 0a) Determine o posto da matriz de coeficientes, e o posto da matrizaumentada.b) o sistema tem solucao unica ou infinitas solucoes?c) Defina uma base do espaco solucao do sistema anterior.d) qual e a dimensao deste espaco?e) o sistema tem solucao trivial?f) o espaco solucao e subespaco de R4

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Summary1 Definicao de E. V.2 Subespaco3 Dependencia Linear4 Base e Dimensao5 Produto interno6 Espaco Vetorial Euclidiano7 Ortonormalidade

    Ortonormalidadeprocesso de ortonormalizacao

    8 Mudanca de Bases9 Matrizes ortogonais10 Autovalores e autovetores11 Diagonalizacao

    Diagonalizacao ortogonal12 Referencias Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Os axiomas do espaco vetorial nao sao suficientes para abordar certasnocoes geometricas como angulo, ortogonalidad,comprimento,distancia,etc. para estudar estas nocoes geometricas precisamosintroduzir o conceito de produto interno no espaco vetorial.produto internoUm produto interno num espaco vetorial E e uma funcao bi-linearsimetrica e positiva de E .

    : E E u, v < u, v >

    o numero real < u, v > e chamado de produto interno de u por v .

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    As seguintes propriedades devem ser satisfetias u, v ,w , EBilinearidade< u + w , v >=< u, v > + < w , v >; < u,w + v >=< u,w >+ < u, v >,< u, v >= < u, v >, < u, v >= < u, v >,

    simetria ou comutatividade< u, v >=< v , u >,

    Positividade< u, u > 0, se u 6= 0.como < 0, v >=< 0 + 0, v >=< 0, v > + < 0, v >, entao segueque < 0, v >= 0, v E

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Norma : A norma de um vetor v (ou comprimento de v) no espacovetorial E , esta definida do seguinte modo

    N : E v 7 N(v) = |v | = < v , v >. (2)

    Observamos que N(v) e um numero real nao negativo. Quando |v | = 1 ovetor v chama-se de vetor unitario.Distancia: A distancia entre os vetoresv = (v1, v2, ..., vn), u = (u1, u2, ..., un) E esta definido assim :

    d [u, v ] = |u v |. (3)

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Exemplos

    1 no espaco euclidiano 3 o produto interno canonico de vetoresu = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3) esta definido assim:

    < u, v >= u1v1 + u2v2 + u3v3 =i=3

    i=1 uivi .

    2 Seja < u, v > um produto interno num espaco linear E . Mostre quese < u, v >= 0, para qualquer v que pertence a E , entao u = 0.

    3 Seja u = (u1, u2) e v = (v1, v2). Mostre que temos um produtointerno em 2 no seguintes casos:a) < u, v >= 4u1.v1 + u2.v1 + u1.v2 + 4u2.v2b) < u,w >= 3u1w1 + 5u2w2.

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Exercicios

    1 Dado o produto interno < u,w > no espaco vetorial E , prove que setem |u + v |2 + |u v |2 = 2(|u|2 + |v |2).

    2 demonstre a desigualdade triangular para dois vetores u e v do plano2, |u + v | |u|+ |v |.

    3 Seja E = C 0[a, b] um espaco vetorial das funcoes contnuas reaisg , f [a, b] , provar que a funcao

    < ., . >: E E (4)

    < f , g > =

    b

    a

    fgdx (5)

    e um produto interno, [a, b] . Determine o produto interno entref = cos(x) e g = sin(x) e o modulo da funcaof = cos(x), a = 0, b = .

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    1 Seja o espaco vetorial M22() formado por todas as matrizes comelementos reais da forma A = [aij ]. Considerando o produto interno< A,B >= tr(ATB). Determine a norma de U M22(), sendoU =

    [

    1 23 1

    ]

    2 Seja p = a0 + a1x + a2x2 + ...+ anx

    n eq = b0 + b1x + b2x

    2 + ...+ bnxn, dois vetoresdo espaco vetorial

    Pn dos polinomios de grau maximo n. Demonstre que< p, q >=

    i=ni=0 aibi e um produto interno. logo,

    |p| =< p, p >=

    a20 + a21 + ...a

    nn. Determine |p|, onde p = 2 x2.

    3 Dois vetores de um espaco vetorial se chamam ortogonais se< u, v >= 0. No espaco Euclidiano 3, verifique que< i , j >=< i , k >=< k , j >= 0, considerando o produto internocanonico de 3.

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Summary1 Definicao de E. V.2 Subespaco3 Dependencia Linear4 Base e Dimensao5 Produto interno6 Espaco Vetorial Euclidiano7 Ortonormalidade

    Ortonormalidadeprocesso de ortonormalizacao

    8 Mudanca de Bases9 Matrizes ortogonais10 Autovalores e autovetores11 Diagonalizacao

    Diagonalizacao ortogonal12 Referencias Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Para todo numero natural n, o smbolo n representa o espaco vetorialeuclideano n-dimensional. os elementos de n sao as listas ordenadasv = (v1, ....., vn),w = (w1, ....,wn) de numeros reais. Por definicao aigualdade vetorial v = w significa as n igualdades numericasv1 = w1, ...., vn = wn. Os numeros v1, ...vn sao chamados as coordenadasdo vetor v na base canonica {e1, e2, .., e3} de R2. As duas operacosfundamentais do espaco vetorial n sao definidas assim :

    v + w = (v1 + w1, ...., vn + wn),

    v = (v1, ...., vn)

    O vetor zero 0 e por definicao, aquele cujas coordenadas sao todas iguaisa zero; 0 = (0, ...., 0). O inverso aditivo de v = (v1, ....., vn), ev = (v1, .....,vn).

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Definicao

    Seja u, v n, entao o angulo entre os vetores u e v esta definido doseguinte modo (ver exercio 1 da pag 45)

    1 cos() = < u, v >|u||v | 1.

    Norma Euclidiana: A norma de um vetor v = (v1, v2, ..., vn) do espacon esta definida do seguinte modo

    N : n ,v 7 N(v) = |v | = < v , v >. (6)

    onde |v | =

    u21 + u22 + ....u

    2n .

    Geometricamente a norma |v | e o comprimento do vetor v .Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Distancia entre vetores.Em forma similar a distancia entre os pontosv = (v1, v2, ..., vn), u = (u1, u2, ..., un) n esta definido assim :

    d(u, v) = |u v | =

    (u1 v1)2 + (u2 v2)2 + ....(un vn)2

    Propriedades da distancia entre os vetores u e v . Seja u, v ,w vetores den, logo

    d(u, v) 0,d(u, v) = d(v , u)

    d(u, v) = 0, u = v ,d(u, v) d(u,w) + d(w , v) (desigualdade triangular).

    A ultima propriedade, generaliza para o espaco n o resultado usual em3 que afirma que a menor distancia entre dois pontos do n e aolongo de uma reta.

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Exercicios

    Considere 3 com o produto interno usual (canonico) para as seguintesquestoes.

    Seja u = (2, 1,2, 0) e v = (1, 2, k , 2).a) Para que valores de k podemos afirmar que u e v sao ortogonais(perpendiculares),b) Se k = 0 qual e o angulo formado pelo vetores u e v .

    Sejam u = (4, 1, 2, 3), v = (0, 3, 8,2),w = (3, 1, 2, 2). Calculea) |v | b)|u + 3v | c) |u|+ |3v | d) | (u+w)|u+w| |Determine o angulo entre os vetores u = (1, 0, 2), v = (1, 2, 0).

    Suponha que v ,w , u sao vetores taisque(u, v) = 2, (v ,w) = 3, (u,w) = 5, |u| = 1, |v | = 2, |w | = 7.Calcule a) < u + v , v + w > b) |2w v |

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    1 Dado o produto interno < u,w > no espaco vetorial E = n, proveque | < u + v > | |u||v | desigualdade de Cauchy-Schwarz.

    2 Use o resultado anterior e demonstre a desigualdade triangular paradois vetores u e v de n, |u+ v | |u|+ |v |. desigualdade triangular.

    3 Encontre a distancia euclidiana entre os vetores u = (1, 2, 0) ev = (0, 3, 2).

    4 Resolva para v = (v1, v2, v3), se u.v = 10,w .v = 1, s.v = 7, u =(1,1, 4),w = (3, 2, 0), s = (4,5,1).

    5 u, v sao vetores do espaco n, encontre u.v , se|u v | = 5, |u + v | = 1.

    6 Seja V1,V2, ....,Vn vetores de n, considerando que< Vi ,Vj >= 0, i 6= j , demonstre que |

    i=ni=1 Vi | =

    i=ni=1 |Vi |2.

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Processo de Gram-Schmidt

    Summary1 Definicao de E. V.2 Subespaco3 Dependencia Linear4 Base e Dimensao5 Produto interno6 Espaco Vetorial Euclidiano7 Ortonormalidade

    Ortonormalidadeprocesso de ortonormalizacao

    8 Mudanca de Bases9 Matrizes ortogonais10 Autovalores e autovetores11 Diagonalizacao

    Diagonalizacao ortogonal12 Referencias Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Processo de Gram-Schmidt

    Definicao Seja E um espaco vetorial com produto interno. Dois vetoresu e v chaman-se ortogonais (ou perpendiculares) quando < u, v >= 0.Escreve-se entao u v .Em particular o vetor 0 e ortogonal a qualquer vetor v de E .Exemplo Seja P2 o espaco vetorial formado pelo conjunto dospolinomios de grau menor ou igual a 2. SejaP = po + p1x + p2x

    2,Q = q0 + q1x + q2x2. Seja o produto interno neste

    espaco vetorial da seguinte forma : < P ,Q >= p0q0 + p1q1 + p2q2.Sendo assim, se P = x kx2,Q = b + 2x + 2x2. Determine k para queP e Q sejam ortogonais, b e constante.bases ortonormaisSeja E um espaco vetorial, um conjunto de vetores F = {V1, ...Vm} Ee dito ortogonal quando dois vetores distintos quaisquer em F saoortogonais. Se, alem disso, todos os vetores de F sao unitarios entao F echamado de conjunto ortonormal.

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Processo de Gram-Schmidt

    Definicao Uma base B = {V1, ...Vm} do espaco vetorial E e dito baseortonormal se e somente se, para qualquer vetor Vi ,Vj B tem-se que

    < Vi ,Vj >=

    {

    0, i 6= j1, i = j .

    (7)

    Teorema Num espaco vetorial E , com produto interno, todo conjuntoortogonal F de vetores nao-nulos e L.I (provar, ver exerccios).Exemplo . Seja B = {V1,V2,V3} uma base do 3, onde

    V1 =

    132323

    , V2 =

    23

    1323

    , V3 =

    2323

    13

    .

    O calculo direto mostra que usando o produto interno canonico usual:< V1,V2 >=< V1,V3 >=< V2,V3 >= 0, < V1,V1 >=< V2,V2 >== 1. Ou em forma resumida < Vi ,Vj >= ij .

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Processo de Gram-Schmidt

    complemento ortogonal Se um vetor w E e ortogonal a todos osvetores de um subespaco F E , entao, dizemos que w e ortogonal a F .O conjunto de todos os vetors ortogonais a F e chamado delcomplemento ortogonal de F , e e denotado porF.Exemplo 1 O vetor w = (0, 0, 3) 3 e complemento ortogonal doplano xy = 2.Exemplo 2 Mostrar que se dois vetores sao ortogonais entao|u + v |2 = |u|2 + |v |2 (Teorema de pitagoras para espacos vetoriais comproduto interno).Exemplo 3 Mostre que a base canonica {e1, e2, ..., en} de n eortonormal, considerando o produto canonico usual. Ou seja

    < ei , ej >= ij , onde ij =

    {

    0, se; i 6= j1, se; i = j

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Processo de Gram-Schmidt

    Exercicios

    1 Seja o conjunto B = {v = (1, 1)/2,w = (1,1)/

    2} 2. Seja

    v = (v1, v2),w = (w1,w2). O conjunto B e ortonormal na basecanonica?. Considere o seguinte produto interno :< v ,w >= v1w1 + 2v2w2, verifique se B e ou nao conjuntoortonormal.

    2 Demonstre o Teorema enunciado na pagina 48.3 seja v ,w dois vetores arbitrarios de 3, Demonstrar que a projecao

    ortogonal do vetor v sobre o vetor w e dado por

    Prw (v) =< v ,w >

    |w |2 w .

    O vetor Prw (v) e paralelo a w .

    4 Verifique se o conjunto B = {~i~j2,~j+~k

    2,~i+~k

    2} e ortonormal.

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Processo de Gram-Schmidt

    Seja, B = {v1, v2, .....vn}, uma base qualquer do espaco vetorial E . Apartir desta base podemos construir uma base ortonormalO = {q1, .....qn} E . O processo e como segue:

    Seja w1 = v1, logo q1 =w1|w1| .

    w2 = v2 Prw1(v2), logo q2 = w2|w2|w3 = v3 Prw1(v3) Prw2(v3), logo q3 = w3|w3|.

    .

    wn = vn j=n1

    j=1 Prwj (vn), logo qn =wn|wn| .

    Observe que |q1| = ....|qn| = 1.

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Processo de Gram-Schmidt

    segue...

    logo, se pode verificar que o conjunto {q1, q2, ..., qn} e uma baseortonormal de E . A este processo de construcao de uma base ortonormalno espaco vetorial E e denominada de processo de ortonormalizacao deGram-Schmidt.exerciciosExerccio 1. Seja B = {v1 = (1, 1), v2 = (1, 2)} uma base do espacoeuclidiano E = 2. Construa uma base ortonormal de 2 a partir da baseB, usando o processo de Gram-Schmidt.Exerccio 2. Seja B = {v1 = (1, 1, 1), v2 = (0, 1, 1), v3 = (0, 0, 1)} umabase de E = 3. Construa uma base ortonormal para o espaco 3 apartir da base B, usando o processo de Gram-Schmidt. Nos doisexemplos anteriores, se assume que os vetores de base B estao dadas nabase canonica, e se deve utilizar o produto interno canonico de Rn.

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Summary1 Definicao de E. V.2 Subespaco3 Dependencia Linear4 Base e Dimensao5 Produto interno6 Espaco Vetorial Euclidiano7 Ortonormalidade

    Ortonormalidadeprocesso de ortonormalizacao

    8 Mudanca de Bases9 Matrizes ortogonais10 Autovalores e autovetores11 Diagonalizacao

    Diagonalizacao ortogonal12 Referencias Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Seja E um espaco vetorial de dimensao n. Consideremos as basesarbitrarias B1 = {q1, q2, ..., qn} E , e a base B2 = {q1, q2, ..., qn} E .Dado v E , tal que

    v = x1q1 + x2q2 + ....+ xnqn =

    xi qi , i = 1, ..n. (8)

    v = y1q1 + y2q2 + ....+ ynqn =

    yl ql , l = 1, ..n. (9)

    Os numeros reais xi sao as coordenadas de v na base B1, e os numerosreais yi sao as coordenadas de v na base B2. Coordenadas de v em formamatrizial.

    [v ]B1 =

    x1x2.xn

    , [v ]B2 =

    y1y2.yn

    (10)

    Qual e a relacao entre o conjunto de coordenadas xi e yi ?.Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Consideremos como exemplo o vetor q1 na base nova B2, teriamos:q1 = a11 q1 + a12 q2+, ....+ a1n qn =

    j=nj=1 a1j qj .

    Em forma geral

    qk =

    l=n

    l=1

    akl ql (11)

    Podemos pensar que as coordenadasdo vetor qk na nova base B2pode-se colocar como uma matriz coluna (k-esima coluna da matriz A).

    [qk ]B2 =

    ak1..

    akn

    (12)

    Os numeros reais aij sao elementos de uma matriz A, chamada matriz detransformacao ou matriz de mudanca de base, da base B2 a base B1.Substituindo (11) em (8), e organizando chegamos a seguinte relacao

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    v =

    xi qi =

    xk qk k=n

    k=1

    xk (

    l=n

    l=1

    akl ql) (13)

    logo, a ordem da sumacao pode-se trocar,

    v =k=n

    k=1

    l=n

    l=1

    xk akl ql =l=n

    l=1

    (k=n

    k=1

    xk akl)ql (14)

    comparando a igualdade anterior com a equacao (9) e utilizando aindependencia linear dos vetores de base qk , chegamos a conclusao:

    yl =

    k=n

    k=1

    akl xk , ou matricialmente,

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    y1y2.yn

    =

    a11 a21 . an1a12 a22 . .. . . .

    a1n . . ann

    x1x2.xn

    , ou [v ]B2 = AT [v ]B1

    (15)

    Esta ultima equacao e mais util, desde que permite calcular ascoordenadas de v na base nova B2 em funcao das coordenadas de v nabase anterior B1 e da matriz de mudanca de coordenadas A

    T .Observe que as colunas da matriz AT esta formada pelascoordenadasdos vetores qk , na nova base B2 respetivamenteAT = [ [q1]B2 [q2]B2 ...[qn]B2 ]

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    e importante fazer uma observacao, que verdadeiramente a matriz demudanca de bases, da base B1 B2 e a matriz A1. Desde que

    q1..qn

    = A1

    q1..qn

    , (16)

    observe a equacao (11), na qual realizamos a inversao da matriz A.Exemplo 1 Seja B1 = {q1 = (1, 0), q2 = (0, 1)} a base canonica de 2.Considere a nova base B2 = {q1 = (1, 1), q2 = (1, 1)}.a) Dado um vetor v , encontre a matriz que transforma as coordenadasiniciais deste vetor na base B1 a base B2.b) Encontre a matriz A1 da mudanca de bases (B1 B2).c) Dado o vetor v = (3, 4) na base inicial B1, encontre suas novascoordenadas na base B2.

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Exemplo 2 Seja B1 = {~i ,~j , ~k} a base canonica de 3. Considere a novabase B2 = {~i +~j , ~k +~j ,~i + ~k}.a) Encontre a matriz AT de transformacao de coordenadas.b) Dado os vetores v = (1, 1, 1),w = (1, 3,2) na base inicial B1,encontre suas novas coordenadas na base B2.Exerccio 1 Seja B = {e1, e2} uma base ortonormal do 2, sendoe1 = (1, 0) e e2 = (0, 1). Consideremos uma nova base ortonormalB = {e 1, e 2} de 2, produto da rotacao da base anterior B um angulo .a) Determine a matriz de transformacao (matriz de rotacao aoredor doeixo z) da base ortonormal B a base ortonormal B .b) Determine a matriz de mudanca de coordenadas da base ortonormalinicial B a base ortonormal final B

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Exerccio 2 Seja um vetor v = (3, 4) na base canonica B0 = {~i ,~j}.a) Determine as componentes do vetor v na base B1 = {q1, q2}, e nabase B2 = {q1, q2}. q1 = (1, 1), q2 = (1, 1), q1 = (1, 0), q2 = (1,1).b) Encontre a matriz de mudanca de base A12 que leva as coordenadasde v na base B1 a base B2.c) Verifique que A2 = A12A1. A matriz A1 e a matriz de mudanca decoordenadas da base canonica B0 a base B1.A matriz A2 e a matriz demudanca de coordenadas da base canonica B0 a base B2.Exerccio 3 Seja P1 o espaco vetorial formado pelos polinomios de graumaximo 1. Neste espaco definimos a base B1 = {p1, p2}, e a baseB2 = {q1, q2}. Onde p1 = 2 + 3x , p2 = 2x , e q1 = 2, q2 = 4 + 5x .a) Encontre a matriz de mudanca de coordenadas de B1 a B2.b) Seja o vetorw = 6+10x , encontre as coordenadas de w na base B1.c) Usando o resultado anterior, encontre as coordenadas de w na base B2.d) De forma similar que a pergunta b, calcule as coordenadas de w nabase B2, e compare com o resultado da parte c.

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Summary1 Definicao de E. V.2 Subespaco3 Dependencia Linear4 Base e Dimensao5 Produto interno6 Espaco Vetorial Euclidiano7 Ortonormalidade

    Ortonormalidadeprocesso de ortonormalizacao

    8 Mudanca de Bases9 Matrizes ortogonais10 Autovalores e autovetores11 Diagonalizacao

    Diagonalizacao ortogonal12 Referencias Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Vamos visualizar o conceito de matriz ortogonais atraves de um exemplo.

    Exemplo 1 Seja a matriz U =

    13 23 2323 13 2323

    23 13

    , esta matriz e dita

    ortogonal se os vetores coluna {ui , i = 1, 2, 3} desta matriz saoortonormais como se mostrou no exemplo 4.1. Podemos observar

    tambem que a matriz UT =

    13 23 2323 13 2323

    23 13

    e inversa de U .

    Podemos verificar diretamente que UUT = UTU = 1, o que quer dizerU1 = UT .

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Em geral se temos uma matriz ortogonal

    A =

    a11 . . a1i . . a1j . . a1na21 . . a2i . . a2j . . .

    .

    .

    ak1 . . aki . . akj . . .

    an1 . . ani . . anj . . ann

    ,

    os vetores coluna ai e aj sao ortonormais o que que dizer< ai , aj > ~ai .~aj = ij , ou em componentes

    k

    akiakj = ij . (17)

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Porem, lembrando que atik = aki , sendo atik as componentes da matriz

    transposta At ; podemos re-escrever a equacao 17 deste modo

    k

    akiakj =

    k

    atikakj = ij . (ATA = 1nn). (18)

    A analise da ortonormalidade feita com os vetores coluna tambem podeser feita com os vetores linha, desta forma chegariamos a seguinte relacao

    k

    aikajk =

    k

    aikatkj = ij . (AA

    T = 1nn), (19)

    similiar a equacao anterior 18. Logo, esta provado que para uma matrizortogonal se cumpre que AT = A1.

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Exercicios

    Exemplo 1 Mostre que a matriz A e ortogonal

    A =

    [

    1/232

    32 1/2

    ]

    Exerccio 1 Demonstre que se a matriz A e ortogonal, A1 tambem e.Exerccio 2 Demonstre que det(A) = 1, para toda matriz ortogonal A.Exerccio 3 Se temos duas bases B1,B2 ortonormais, a matriz detransformacao de coordenadas e uma matriz ortogonal: A1 = AT .

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Exerccio 4 Seja o espaco Euclidiano 3 e a base canonica B1 = {~i ,~j , ~k},ao longo dos eixos x1, x2, x3, respectivamente. Se giramos o sistema decoordenadas x1, x2, x3 rgidamente um angulo ao redor do terceiro eixox3 e no sentido antihorario, teremos uma nova base B2 = {q1, q2, q3}.a) Determine os vectores qi , i = 1, 2, 3 em funcao dos vetores unitarios~i ,~j , ~k da base canonica B1, considere um angulo fixo e arbitrario.b) Dado um vetor v = (0, 1, 2) na base canonica B1, qual sera as novascoordenadas de v = (y1, y2, y3) na nova base B2 ?, considere os cassos = /2, e = /4.Exerccio 5 Considere o espaco vetorial dos polinomios de grau maximo1 P1. Em P1 temos duas bases, a base canonica B1 = {p1 = 1, p2 = x};e a base B2 = {q1 = 2+x3 , q2 =

    12x3}.

    a) Verifique que esta ultima e uma base ortonormal tambem.b) Verique que a matriz de mudanca de coordenadas de B1 B2 e umamatriz ortogonal. Considere o produto interno definido para polinomiosem exerccios anteriores.

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Matriz de rotacaoQuando temos um sistema de coordenadas fixo X ,Y ,Z , e realizamos arotacao (no valor do angulo ) de um vetor V = (x , y , z) ao redor docerto eixo fixo no espaco R3 tal como ~n ; a matriz que transforma asvelhas coordenadas de V nas novas coordenadas de V = (x , y , z ) esempre uma matriz ortogonal; isto porque este tipo de matriz naomodifica a norma do vetor, ou seja, |V | = |V |; como e o caso numarotacao. Em geral, essa matriz de rotacao depende do angulo de giro edas componentes do vetor ~n que define o eixo de rotacao, logo:R = R(,~n). Em particular se o eixo de rotacao e o eixo +Z , esta matrizsomente depende do angulo , tal como segue:

    V = R()V , RT = R1

    |V | = |V | (20)

    Prove a igualdade (20).Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Exerccio 6 Seja a matriz de rotacao

    R() =

    cos() sin() 0sin() cos() 00 0 1

    ,

    esta matriz descreve a rotacao feita por um vetor V ao redor do eixo +Znum angulo no sentido antihorario. Por tanto, tendo a informacao daposicao inicial do vetor V = (x , y , z), e o angulo de rotacao , podemosdeterminar as novas coordenadas do vetor V = (x , y , z ) usando aequacao matricial [V ] = R() [V ]. Verifique que a matriz R e ortogonal.Pergunta : Se V = (1, 0, 3) e ele gira um angulo de = 90o graus emsentido antihorario, ao redor do eixo +z determine as coordenadas dovetor V . Obseve que, a diferenca do exerccio 4 (desta secao), aqui naotem mudanca de base, quem mudou foi o vetor.

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Summary1 Definicao de E. V.2 Subespaco3 Dependencia Linear4 Base e Dimensao5 Produto interno6 Espaco Vetorial Euclidiano7 Ortonormalidade

    Ortonormalidadeprocesso de ortonormalizacao

    8 Mudanca de Bases9 Matrizes ortogonais10 Autovalores e autovetores11 Diagonalizacao

    Diagonalizacao ortogonal12 Referencias Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Aplicacoes

    Orientacao de onibus espacial: Determinacao do eixo instantaneo derotacao.

    Solucao de sistema de equacoes diferenciais lineares(mistura de substancias, modos normais de vibracao, vibracao de umpredio, etc)

    Busca na rede e hierarquizacao de paginas no google.

    referencia: Steven J. Leon, algebra linear, 8aedi cao,Editorial Gen 2011.

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Seja A = [aij ]nn, seja X = [xi ]n1.Equacao de autovalores

    AX = X (21)

    autovalor de A associado ao autovetor XA equacao de autovalores pode ser colocada desta forma

    (A I )X = 0nn. (22)Onde I e a matriz identidade n nSeja B = A I , entao :

    BX = 0.

    Para termos solucao em X nao trivial(X 6= 0), a matriz B deve sersingular (B1). Logo

    det(B) = det(A I ) = 0, (23)

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    funcao caraterztica.

    Do ponto de vista do autovalor a equacao anterior (23) define umpolinomio em , por tanto podemos definir

    f () = det(A I ) = 0.

    Para uma matriz Ann o polinomiof () = a0 + a1x + a2x

    2 + ....an+1xn+1 + anx

    n, Pn. chama-se funcaocaraterizticaEquacao carateriztica

    f () = det(A I ) = 0. (24)

    As raizes da equacao anterior, sao os autovalores da matriz A.

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Exemplo 1 Encontre os autovalores e autovetoes da matriz

    A =

    (

    4 52 1

    )

    (25)

    Alguma propriedades de autovalores.Se v e autovetor associado ao autovalor de A :

    Entao v( real) tambem e autovetor de A associado ao mesmoautovalor .

    k e autovalor de Ak .

    1 e autovalor de A1.

    b e autovalor de bA.

    Uma matriz quadrada A e invertvel se, e somente se = 0 nao eum autovalor de A.

    http://www.wolframalpha.com/ procure eigenvalues (autovalores).Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Exerccios

    Exerccio 1 Encontre os autovalores e autovetoes das matrizes A, B, C,D, F, K.

    A =

    [

    4 44 2

    ]

    ,B =

    1 0 10 2 00 0 3

    ,C =

    1 0 20 0 02 0 4

    ,

    D =

    0 0 20 2 21 0 3

    ,F =

    1 0 20 2 02 0 1

    ,K =

    [

    0 14 0

    ]

    .

    Exerccio 2 Mostre que a equacao carateriztica de uma matriz A deordem 2 2 e da forma 2- traco(A) +det(A) = 0. e autovalor de A.Exerccio 3 Probar que se A e uma matriz quadrada, entao A e suatransposta AT tem os mesmo autovalores.

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Exerccio 3 Determine os valores propios das matrizes B1,C1,D5 (dapagina anterior).Propriedades1.- Os autovalores de uma matriz triangular sao os elementos da suadiagonal principal.2.- Os autovalores de uma matriz simetrica (A = AT ) sao numeros reais,e os autovetores associados a estes autovalores reais (distintos) saoortogonais (provar).3.- Seja V e autovetor e autovalor associados a uma matriz A., proveque s e um autovalor da matriz G = A s I , onde I matrizidentidade. , s sao numeros reais.TeoremaSe {X1,X2, ....Xn} sao autovetores de A associados a autovalores distintos1, 2, ..n respetivamente, entao o conjunto {X1,X2, ....Xn} e L. I.Exemplo: verifique a validade deste teorema nos exemplos anteriores.

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Diagonalizacao ortogonal

    Summary1 Definicao de E. V.2 Subespaco3 Dependencia Linear4 Base e Dimensao5 Produto interno6 Espaco Vetorial Euclidiano7 Ortonormalidade

    Ortonormalidadeprocesso de ortonormalizacao

    8 Mudanca de Bases9 Matrizes ortogonais10 Autovalores e autovetores11 Diagonalizacao

    Diagonalizacao ortogonal12 Referencias Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Diagonalizacao ortogonal

    Problema da diagonalizacaoDada uma matriz Ann existe uma matriz P (invertvel) tal que P1APe uma matriz diagonal ?.Resposta: Dita matriz pode existir ou nao. Casso dita matriz P existir, amatriz A chama-se diagonalizavel. Dizemos que P diagonaliza A.Teorema Uma matriz quadrada Ann e diagonalizavel se e somente se Atem n autovetores linearmente independentes.Procedimento de diagonalizacao

    1 Encontre os n, {X1,X2, ....Xn} autovetores de A. L. I.2 Forme a matriz P con os vetores coluna {X1,X2, ....Xn}.3 Realize a multiplicacao P1AP = D, D e a matriz procurada.

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Diagonalizacao ortogonal

    D = P1AP , D =

    1 0 . 00 2 0 00 0 . 00 0 0 n

    nn

    , (26)

    Condicao suficiente para diagonalizabilidade de uma matriz ATeorema se uma matriz Ann tem n autovalores distintos entao ela ediagonalizavel.Isto nao descarta a possibilidade de que a matriz Ann seja diagonalizavelmesmo quando tenha um numero menor que n de autovalores distintos.Exemplo

    Daigonalize A =

    1 3 33 5 33 3 1

    ,

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Diagonalizacao ortogonal

    Exerccios1.- Diagonalize se e possvel as matrizes A,B,C ,D,F que aparecem noexerccio 1 da secao anterior.2.- Diagonalize as seguintes matrizes

    A1 =

    [

    6 22 3

    ]

    , A2 =

    1 1 01 1 00 0 0

    ,A3 =

    2 4 34 6 33 3 1

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Diagonalizacao ortogonal

    Matrizes semelhantes

    Definicao. Considere duas matrizes quadradas A e B. A matriz A esemelhante a matriz B se, e somente se, existe uma matriz inversvel Ptal que A = PBP1.- Observe que se A e semelhante a B entao B e semelhante a A.Propriedades Sejam A e B matrizes semelhantes entao:1. det(A) = det(B),2. A e inversvel se, e somente se, B e inversvel,3. A e B tem o mesmo polinomio caracterstico (mesmos autovalores),4. A e B tem o mesmo traco.5.- a matriz A e sua forma diagonal D = P1AP sao semelhantes.6.- Seja P matriz invertvel, e B = PAP1 demostrar que Bn = PAnP1, n natural.

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Diagonalizacao ortogonal

    Observacoes importantes

    Suponhamos que temos uma matriz A33 e queremos diagonalizar. Podeacontecer os seguintes cassos.1.- Se a matriz tiver 3 autovalores diferentes (1 6= 2 6= 3), entao pelacondicao suficiente de diagonalizabilidade, a matriz A sera diagonalizavel.2.- Pode ser que dois autovalores sejam iguais, tal que 1 = 2 6= 3.2a) Neste casso se mesmo assim conseguimos encontrar 3 autovetoresL.I. (um associado a 3, e dois associaos a 1), entao ainda poderemosdiagonalizar a matriz A.2b) Se somente encontramos dois autovetores L. I. associados a 1 e 3,respectivamente, entao nao sera mais possvel diagonalizar a matriz A,posto que precisamos 3 autovetores L.I.3) Tres autovalores iguais. Nesste casso a semelhanca do casso dois,teremos duas possibilidade, ou vamos poder diagonalizar (quandoconseguirmos 3 vetores L.I) ou nao sera possvel diagonalizar a matriz A.

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Diagonalizacao ortogonal

    Diagonalizacao ortogonalDefinicao 6. Seja A Mnn(R), diz-se que A e diagonalizavelortogonalmente se existe uma matriz P , ortogonal (PT = P1), tal queP1AP = PTAP = D e uma matriz diagonal; diz-se que P diagonalizaortogonalmente A.Lembrando que se A e uma matriz simetrica entao:(a) Todos os valores proprios de A sao reais.(b) Vectores proprios associados a valores proprios distintos saoortogonais.Teorema .- Seja A Mnn(R). Sao equivalentes as afirmacoes:(a) A e diagonalizavel ortogonalmente.(b) A admite um conjunto o.n. de n vectores proprios.(c) A e simetrica. (prove de a b).

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Diagonalizacao ortogonal

    Diagonalizacao ortogonal

    Processo de diagonalizacao: Seja A Mnn(R) matriz simetrica.Passo 1. Determinar uma base para cada subespaco proprio de A.Passo 2. Aplicar o processo de ortogonalizacao de Gram-Schmidt a cadabase encontrada no Passo 1, para obter uma base o.n. para cada um dossubespacos proprios de A.Passo 3. Formar a matriz P cujas colunas sao os vectores das bases o.n.dos subespacos proprios determinadas no Passo 2; a matriz P diagonalizaortogonalmente a matriz A. A matriz diagonal D = PTAP = P1APtem como entradas principais os valores proprios de A.

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Diagonalizacao ortogonal

    Exerccio 1 Determine a matriz ortogonal P que diagonaliza a matriz

    simetrica A =

    7 2 02 6 20 2 5

    Exerccio 2 Determine a matriz ortogonal P que diagonaliza a matriz

    simetrica A =

    1 0 20 0 02 0 4

    Exerccio 3 Determine a matriz ortogonal P que diagonaliza a matriz

    simetrica B =

    3 2 42 6 24 2 3

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Diagonalizacao ortogonal

    Aplicacoes: Solucao de Sistema de equacoes diferencias ordinarias

    a11x1(t) + a12x2(t) = x1(t)

    a21x1(t) + a22x2(t) = x2(t), que na forma matricial e

    [

    a11 a12a21 a22

    ] [

    x1(t)x2(t)

    ]

    =

    [

    x1(t)x2(t)

    ]

    , ou AX (t) = X (t) sendo

    A =

    [

    a11 a12a21 a22

    ]

    , X =

    [

    x1x2

    ]

    A solucao do sistema anterior e (demonstracao em calculo 3).

    X (t) = c1e1 tV1 + c2e

    2 tV2,

    sendo 1, 2 e V1,V2 autovalores/autovetores correspondentes da matrizA.

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Diagonalizacao ortogonal

    Questao. Dois tanques contem cada um 100 litros de uma mistura.Inicialmente, a mistura no tanque A contem 40 gramas de sal, enquantoa mistura no tanque B contem 20 gramas de sal. O lquido e bombeadopara dentro e para fora dos tanques como mostra a figura a seguir.Determine a quantidade de sal em cada tanque no instante t. Determinea concentracao final em cada tanque no estado estacionario.

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Summary1 Definicao de E. V.2 Subespaco3 Dependencia Linear4 Base e Dimensao5 Produto interno6 Espaco Vetorial Euclidiano7 Ortonormalidade

    Ortonormalidadeprocesso de ortonormalizacao

    8 Mudanca de Bases9 Matrizes ortogonais10 Autovalores e autovetores11 Diagonalizacao

    Diagonalizacao ortogonal12 Referencias Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

  • Dependencia LinearBase de um E. V.

    Espaco Vetorial com produto InternoEspaco Vetorial canonico

    Ortogonalidade e bases ortonormaisMudanca de BasesMatrizes ortogonais

    Autovalores e autovetoresDiagonalizacao

    Referencias

    Referencias

    E. Elon Lages Lima, Algebra linear, colecao matematica universitaria(IMPA)- Setima edicao 2008.

    Anton Rorres, Algebra Linear com aplicacoes, oitava edicao,bookman.

    Algebra linear com aplicacoes, Steven J. Leon, Oitava edicao, GenLTC (2011).

    algebra linear e suas aplicacoes, David C. Lay. 2da edicao GEN.

    Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

    SummaryMain PartDefinio de E. V.SubespaoDependencia LinearBase e DimensoProduto internoEspao Vetorial EuclidianoOrtonormalidadeOrtonormalidadeprocesso de ortonormalizao

    Mudana de BasesMatrizes ortogonaisAutovalores e autovetoresDiagonalizaoDiagonalizao ortogonal

    Referencias