Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul

Revisão

•Espaço VetorialSubespaçosDependência e Independência linearBase http://projetomatematica.wikispaces.comÁlgebra linear UEMS

Espaços Vetoriais

Propriedades dos E.V.

Exemplos de Espaços Vetoriais:

O conjunto das matrizes quadradas

Conjunto dos polinômiosExemplo 2.6 – Apostila (p.26)

P(K) = {p(x) = anx^n + ... + a1x + a0; ai ∈ K e n ≥ 0}´e um K - espaço vetorial com as operações usuais de soma de polinômios e multiplicação por escalar. Especificamente,sejam :p(x) = anxn + ... + a0 e q(x) = bmx^m + ... + b0

dois elementos em P(K). Sem perda de generalidade assumindo que n ≤ m, definimos a soma:

(p + q)(x) = bmx^m + ... + bn+1 + (an + bn)x^n + ... + (a0 + b0)

Além disso, se α ∈ K, o produto por escalar de α por p(x) ser´a, por definição, o polinômio:

(αp)(x) = (αan)x^n + ... + (αa1)x + (αa0)Para cada m ≥ 0, o conjunto

Pm(K) = {anx^n + ... + a1x + a0 : ai ∈ K 0 ≤ n ≤ m}também é um K - espaço vetorial (com as mesmas operações acima).

Exemplos - subespaço

Ex. Subespaço

Interseção de subespaços

Exemplo: Sistema de Equações Lineares

O conjunto solução de S é um subespaço vetorial?

W é um subespaço vetorial do espaço vetorial R4 /R?

• Seja W=

(i) (0,0,0) pertence a W?

(i) Se w1,w2 ∈ W ⇒ w1+w2 ∈ W ?

(ii) Se α ∈ R, e w ∈ W ⇒ αw ∈ W ?

Gráfico de Soluções de Sistemas Lineares – 3 incógnitas e 3 equações

x + y + z = 1 (1) 2x + 2y + 2z = 2 (2)z = 0 (3)

O conjunto solução (W) é um subespaço do espaço vetorial R³/R ?

(1) = (3) ( 1) ∩ (2) = reta Solução algébrica :

W= {(a, 1 - a, 0) / a pertence a R}

Ao fazer a variar no conjunto dos números reais, obtemos todos os pontos dessa reta.Possui infinitas soluções - Posível Indeterminado

Soma Direta

Exemplo:

Exemplo:

Combinação Linear

Exemplo:

Dados os vetores u=(1,2,3), v=(3,2,1) e w=(-3,2,7) em R³ obtenha números α, β tais que:

w = αu + β v.

Quantas soluções admite este problema ?

Subespaço gerado

Dizemos que um conjunto B é um conjunto gerador de V (ou B gera V) se todo elemento de V é uma combinação linear de um número finito de elementos de B.

Espaços das Matrizes M2(R)

Conjunto dos polinômios Pn(R)

Encontre o conjunto de Geradores dos subespaços abaixo:

Base e Dimensão

Base

Exercícios