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ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 10º ANO DE MATEMÁTICA – A Tema II – Funções e Gráficos.

Funções polinomiais. Função módulo.

Professora Rosa Canelas 1 Ano lectivo 2006/2007

Ficha de trabalho

Decomposição e resolução de equações e inequações polinomiais

1. Verifique, recorrendo ao algoritmo da divisão, que: 6 420x 54x 32x 2− + + é divisível por x 1− .

2. De um modo geral, que relação deve haver entre os coeficientes de um polinómio para que

este seja divisível por x – 1?

3. Determine o quociente e o resto da divisão de:

a. 24x 2x 3− + por x – 1.

b. 4 24x 2x 6x− + por 22x x 1+ −

4. Resolva, em IR, as equações:

a. 3 2x 5x 6x 0− + = . b.

225 x x 3 0

4 − − =

.

5. Considere a função polinomial definida por 3 27 1f(x) 5x x2 4

= − +

a. Verifique que 12

é raiz de f.

b. Para todo o x real tem-se que ( ) ( )1f x x g x2

= −

. Encontre o polinómio g(x).

c. Resolva a equação f(x) = 0.

6. Indique os polinómios do 3º grau que admitem as raízes 1, 2 e 3.

7. Existe algum polinómio do 3º grau que admita as raízes 1,2,3 e 4.

8. Considere a função polinomial definida por 3 2f(x) 6x x 31x 10= + − + .

a. Decomponha em factores f(x).

b. Resolva a equação f(x) = 0.

9. Considere a função polinomial definida por 3 2f(x) 2x 3x 5x 6= − + + −

a. Determine os zeros de f.

b. Determine os valores de x, para os quais a função é negativa.

10. Considere a função polinomial definida por 4 3 2g(x) x 2x 16x 2x 15= + − − +

a. Determine os valores de x que satisfazem a condição g(x)=0.

b. Resolva a condição ( )g 3x 0≥ . Apresente o resultado usando intervalos.

11. Considere o polinómio = − + − +4 3 2p(x) x 6x 11x 6x 1.

a. Determine o polinómio q(x), de tal modo que p(x) seja o quadrado de q(x).

b. Resolva a equação p(x) = 0.




Ficha de trabalho

Decomposição e resolução de equações e inequações polinomiais

Proposta de resolução

1. Verifiquemos, recorrendo ao algoritmo da divisão, que: 6 420x 54x 32x 2− + + é divisível por

x 1− .

20x6 -54x4 +32x +2 x -1

-20x6 +20x5 20x5 +20x4 -34x3 -34x2 -34x -2

0x6 +20x5 -54x4

-20x5 +20x4

0x5 -34x4

+34x4 -34x3

0x4 -34x3

+34x3 -34x2

0x3 -34x2 +32x

+34x2 -34x

0x2 -2x +2

+2x -2

0x +0

Como a divisão dá resto zero, − + +6 420x 54x 32x 2 é divisível por x 1− .

2. A relação que deve haver entre os coeficientes de um polinómio para que este seja divisível

por x – 1 decorre de outros processos de resolução: a regra de Ruffini ou o teorema do resto.

Vamos dividir sucessivamente um polinómio de grau1, 2, 3,... por x 1−

Concluímos assim que a soma dos coeficientes tem que ser zero.

3. Determine o quociente e o resto da divisão de:

a b 1 a a a+b=0

a b c 1 a a+b a a+b a+b+c=0

a b c d 1 a a+b a+b+c a a+b a+b+c a+b+c+d=0

4 -2 3 1 4 2 4 2 5




a. 24x 2x 3− + por x – 1.

O quociente é 4x +2 e o resto é 5.

b. 4 24x 2x 6x− + por 22x x 1+ − .

-2x4 +6x2 +4x 2x2 +x -1

+2x4 +x3 -x2 -x2 +0,5x +2,25

0x4 +x3 +5x2 +4x

-x3 -0,5x2 +0,5x

0x3 +4,5x2 +4,5x

-4,4x2 -2,25x +2,25

2,25x +2,25

O quociente é –x2 +0,5x+2,25 e o resto é 2,25x+2,25.

4. Resolvamos, em IR, as equações:

a. ( )3 2 2 2 5 25 24x 5x 6x 0 x x 5x 6 0 x 0 x 5x 6 0 x 0 x2

± −− + = ⇔ − + = ⇔ = ∨ − + = ⇔ = ∨ = ⇔

x 0 x 3 x 2= ∨ = ∨ =

As soluções são 0, 2 e 3.

b. − − = ⇔ − − = ⇔ − − = ⇔

22 2 25 5x x 3 0 x x 3 0 5x 4x 12 0

4 4

4 16 240 4 16 5x x x 2 x10 10 6

± + ±= ⇔ = ⇔ = ∨ = −

As soluções são 2 e 56

− .

5. Considere a função polinomial definida por 3 27 1f(x) 5x x2 4

= − +

a. Verifiquemos que 12

é raiz de f calculando

3 21 1 7 1 1 1 7 1 1 5 7 2f 5 5 02 2 2 2 4 8 2 4 4 8 8 8

= × − × + = × − × + = − + =

.

De facto 12

é raiz de f porque 1f 02

=

.




b. Para todo o x real tem-se que ( ) ( ) = −

1f x x g x2

. Encontramos o polinómio g(x) dividindo

f(x) por −1x2

.

( ) = − −2g x 5x x 0,5

c. Resolvamos a equação f(x) = 0

( ) 21 1 1 1 1 10 1 1 11 1 11f x 0 x 5x x 0 x x x x x2 2 2 2 2 2 2

± + + − = ⇔ − − − = ⇔ = ∨ = ⇔ = ∨ = ∨ =

6. Os polinómios do 3º grau que admitem as raízes 1, 2 e 3 são

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2a x 1 x 2 x 3 a x 2x x 2 x 3− − − = − − + − ( )3 2 2a x 3x 2x 3x 9x 2x 6= − + − + + −3 2ax 6ax 13ax 6a, a 0= − + − ≠

7. À pergunta “Existe algum polinómio do 3º grau que admita as raízes 1,2,3 e 4?” só podemos

responder: ”Não, porque um polinómio do 3º grau tem no máximo 3 raízes.”

8. Consideremos a função polinomial definida por 3 2f(x) 6x x 31x 10= + − + .

a. Para decompormos em factores f(x) precisamos de identificar uma raiz do polinómio e

vamos fazê-lo utilizando a calculadora:

Sabendo que 2 é raiz do polinómio vamos aplicar a Regra de Ruffini:

Então podemos escrever: ( ) ( ) ( )= − + −2f x x 2 6x 13x 5

e calculando as raízes do polinómio do 2º grau obtido:

− ± ++ − = ⇔ = ⇔2 13 169 1206x 13x 5 0 x

12

− ±= ⇔ = − ∨ =

13 17 5 1x x x12 2 3

Podemos finalmente escrever: ( ) ( ) = − + −

5 1f x 6 x 2 x x2 3

5 -3,5 0 0,25 0,5 2,5 -0,5 -0,25

5 -1 -0,5 0

6 1 -31 10 2 12 26 -10 6 13 -5 0




b. Para resolvermos a equação f(x) = 0 basta agora aplicar a lei do anulamento do produto

pois já temos o polinómio decomposto. ( ) = ⇔ = ∨ = − ∨ =5 1f x 0 x 2 x x2 3

9. Consideremos a função polinomial definida por 3 2f(x) 2x 3x 5x 6= − + + −

a. Para determinar os zeros de f vamos fazer como no exercício anterior:

Temos já dois zeros da função, o 1 e o 2 e vamos utilizar a regra de Ruffini.

-2 3 5 -6

1 -2 1 6

-2 1 6 0

2 -4 -6

-2 -3 0

Finalmente:

( ) ( ) ( )= ⇔ − + + − = ⇔ − − − − = ⇔ = ∨ = ∨ = −3 2 3f(x) 0 2x 3x 5x 6 0 x 1 x 2 2x 3 0 x 1 x 2 x2

b. Para determinarmos os valores de x, para os quais a função é negativa podemos utilizar

dois processos:

• Análise do gráfico (uma vez que já sabemos os zeros)

( ) ] [ < ⇔ ∈ − ∪ +∞

3f x 0 x ,1 2,2

• Analiticamente através do quadro de sinal dos factores do polinómio:




x −∞ −32

1 2 +∞

x -1 - - - 0 + + +

x -2 - - - - - 0 +

-2x-3 + 0 - - - - -

f(x)<0 + 0 - 0 + 0 -

( ) ] [ < ⇔ ∈ − ∪ +∞

3f x 0 x ,1 2,2

10. Consideremos a função polinomial definida por 4 3 2g(x) x 2x 16x 2x 15= + − − +

a. Determinemos os valores de x que satisfazem a condição g(x) = 0 começando como no

exercício anterior.

Daqui podemos concluir que ( ) = ⇔ = − ∨ = − ∨ = ∨ =g x 0 x 5 x 1 x 1 x 3 , porque um polinómio

do quarto grau não pode ter mais de 4 raízes

b. Resolvamos a condição ( ) ≥g 3x 0 , começando por utilizar a Regra de Ruffini para

decompor em factores o polinómio g (x)

1 2 -16 -2 15

-5 -5 15 5 -15

1 -3 -1 3 0

-1 -1 4 -3

1 -4 3 0

1 1 -3

1 -3 0

3 3

1 0

Então será ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + + − −g x x 5 x 1 x 1 x 3 . Então ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + + − −g 3x 3x 5 3x 1 3x 1 3x 3




x −∞ −53

−13

1

3 1 +∞

3x+5 - 0 + + + + + + +

3x+1 - - - 0 + + + + +

3x-1 - - - - - 0 + + +

3x-3 - - - - - - - 0 +

( ) ≥g 3x 0 + 0 - 0 + 0 - 0 +

( ) [ [ ≥ ⇔ ∈ −∞ − ∪ − ∪ +∞

5 1 1g 3x 0 x , , 1,3 3 3

11. Consideremos o polinómio = − + − +4 3 2p(x) x 6x 11x 6x 1.

a. Determinemos o polinómio q(x), de tal modo que p(x) seja o quadrado de q(x). Então q(x)

terá de ser um polinómio do 2º grau tal que: ( )+ + = − + − +22 4 3 2ax bx c x 6x 11x 6x 1

( ) ( )+ + + + = − + − + ⇔2 2 4 3 2ax bx c ax bx c x 6x 11x 6x 1

+ + + + + + + + = − + − + ⇔2 4 3 2 3 2 2 2 2 4 3 2a x abx acx abx b x bcx acx bcx c x 6x 11x 6x 1

( )+ + + + + = − + − + ⇔2 4 3 2 2 2 4 3 2a x 2abx 2ac b x 2bcx c x 6x 11x 6x 1

=

= − = = − + = ⇔ = − ∨ = = − = = − =

2

2

2

a 12ab 6 a 1 a 12ac b 11 b 3 b 32bc 6 c 1 c 1

c 1

Então ( ) ( )= − + ∨ = − + −2 2q x x 3x 1 q x x 3x 1

b. Resolvamos a equação p(x) = 0.

( ) ( )= ⇔ − + = ⇔ − + =22 2p x 0 x 3x 1 0 x 3x 1 0 ± − − +

⇔ = ⇔ = ∨3 9 4 3 5 3 5x x

2 2 2

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